---
title: "Populatiegenetica en natuurlijke selectie"
book: "Universitaire biologie — jaar 2"
subject: biology
language: nl
chapter: 22
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/22-populatiegenetica-en-natuurlijke-selectie
---

# Hoofdstuk 22 — Populatiegenetica en natuurlijke selectie

In 1848 werd bij Manchester een zwarte berkenspanner gevangen; in 1895 waren negentien van de twintig nachtvlinders in de stad zwart, en in 1970, toen het roet verdween, was de lichte vorm terug. De vlinders veranderden niet: de verhoudingen van twee [allelen](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) in een populatie van miljoenen veranderden, onder de ogen van vogels, in enkele tientallen generaties. Darwin had gezien dat selectie soorten moet veranderen, maar had geen manier om haar te tellen; dat tellen is de [populatiegenetica](#def-b2-population-genetics-frequencies), en het is het rekenwerk van dit hoofdstuk. Ze vraagt hoe [allelfrequenties](#def-b2-population-genetics-frequencies) zich gedragen wanneer er niets op inwerkt, en daarna hoe snel selectie, [mutatie](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/3-mutaties-en-diversificatie-van-het-genoom#def-b2-genome-diversification-mutation), migratie, toeval en inteelt ze verschuiven — en ze eindigt met de kenmerken die niet door één gen maar door vele worden bepaald, en dat is het meeste van wat selectie werkelijk ziet.

## 22.1 De genenpool in rust

**Definitie 22.1 (Populatie, genenpool, frequenties).**

Een *populatie* is een groep individuen van één soort die onderling voortplanten; haar *genenpool* is de verzameling van al hun [allelen](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary). Voor een locus met twee [allelen](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) $A$ en $a$ in een diploïde populatie van $N$ individuen zijn de *allelfrequenties* $p = (2N_{AA} +
N_{Aa})/2N$ en $q = 1 - p$, en de *genotypefrequenties* zijn de fracties $AA$, $Aa$ en $aa$. Evolutie, in de engste zin, is een verandering van allelfrequenties tussen generaties; de vraag van dit hoofdstuk is wat ze verandert en hoeveel.

**Stelling 22.2 (Hardy–Weinberg).**

In een grote populatie met willekeurige paring, zonder selectie, [mutatie](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/3-mutaties-en-diversificatie-van-het-genoom#def-b2-genome-diversification-mutation) of migratie, veranderen de [allelfrequenties](#def-b2-population-genetics-frequencies) niet van de ene generatie op de volgende, en na één enkele generatie van willekeurige paring zijn de genotypefrequenties

$$
AA : p^{2}, \qquad Aa : 2pq, \qquad aa : q^{2},
$$

en blijven ze zo. Dominantie laat een [dominant](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) zich niet verspreiden, en een zeldzaam [recessief](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) gaat niet verloren: het verbergt zich in heterozygoten, die de homozygoten met $2p/q$ tegen één overtreffen — voor $q = 0.01$ tweehonderd tegen één. De wet is de nulhypothese van de [populatiegenetica](#def-b2-population-genetics-frequencies): een afwijking ervan in een echte populatie, of een verandering van $p$ tussen generaties, is het kenmerk van een van de krachten hieronder.

**Bewijs.** Willekeurige paring is willekeurige versmelting van gameten: een gameet draagt $A$ met kans $p$ en $a$ met kans $q$, onafhankelijk van zijn partner, zodat de zygote $AA$ is met kans $p^{2}$, $Aa$ met $2pq$, $aa$ met $q^{2}$. De [allelfrequentie](#def-b2-population-genetics-frequencies) in de volgende generatie is $p' = p^{2} + \tfrac12(2pq) = p(p + q) = p$: onveranderd. Omdat de genotypefrequenties alleen van $p$ afhangen, zijn ze in elke generatie na de eerste dezelfde. ∎

**Voorbeeld 22.3 (Een frequentie aflezen).**

Taaislijmziekte, [recessief](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary), treft één Europees kind op 2500: $q^{2} = 1/2500$, $q = 0.02$, en de dragersfrequentie is $2pq
\approx 0.04$ — één persoon op 25 draagt een [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) dat zijn homozygoten doodt, en $98\,\%$ van de kopieën van het [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) zit in gezonde dragers, waar selectie ze niet kan zien. Daarom wordt een letaal [recessief](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) zo traag verwijderd, en daarom hadden eugenetische plannen om recessieve ziekten uit te roeien door de getroffenen te steriliseren nooit kunnen werken: het rekenwerk van de volgende paragraaf laat zien hoe traag.

## 22.2 Selectie

**Definitie 22.4 (Fitness).**

De *fitness* $w$ van een [genotype](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) is zijn relatieve bijdrage aan nakomelingen voor de volgende generatie — overleving tot de voortplanting maal vruchtbaarheid, geschaald zodat het beste [genotype](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) $w = 1$ heeft. De *selectiecoëfficiënt* $s$ van een [genotype](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) is zijn tekort, $w = 1 - s$. Fitness is een eigenschap van een [genotype](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) in een omgeving, niet van een [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) op zich: het [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) van de melanistische vlinder had $w > 1$ ten opzichte van het lichte op beroete schors en $w < 1$ op korstmos.

**Stelling 22.5 (Selectie verandert de allelfrequentie).**

Met genotypefitnesses $w_{AA}$, $w_{Aa}$, $w_{aa}$ is de gemiddelde [fitness](#def-b2-population-genetics-fitness) $\bar w = p^{2}w_{AA} + 2pq\,w_{Aa} + q^{2}w_{aa}$ en is de [allelfrequentie](#def-b2-population-genetics-frequencies) in de volgende generatie

$$
p' = \frac{p^{2}w_{AA} + pq\,w_{Aa}}{\bar w}, \qquad
\Delta p = p' - p = \frac{pq\,\bigl[p(w_{AA} - w_{Aa}) + q(w_{Aa} - w_{aa})\bigr]}{\bar w}.
$$

Twee gevolgen. Ten eerste is $\Delta p$ evenredig met $pq$: selectie werkt het snelst bij tussenliggende frequenties en het traagst wanneer een [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) zeldzaam of bijna gefixeerd is — er is dan weinig variatie om op in te werken. Ten tweede is de verandering tegen een [recessief](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) ($w_{AA} = w_{Aa} = 1$, $w_{aa} =
1 - s$) gelijk aan $\Delta q = -s\,pq^{2}/\bar w$, evenredig met $q^{2}$: een zeldzaam [recessief](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) is voor selectie bijna onzichtbaar, en het halveren van zijn frequentie vanaf $0.01$ duurt ongeveer honderd generaties, zelfs wanneer zijn homozygoten letaal zijn. Een gunstig [dominant](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) verspreidt zich eerst snel en stokt op het eind, om dezelfde reden.

**Bewijs.** Van de nakomelingen is een fractie $p^{2}w_{AA}/\bar w$ van type $AA$ en $2pq\,w_{Aa}/\bar w$ van type $Aa$ (de frequentie van elk [genotype](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) gewogen naar zijn [fitness](#def-b2-population-genetics-fitness) en opnieuw genormeerd); de $A$-allelen onder hen zijn alle van de eerste en de helft van de tweede, wat $p'$ geeft. Aftrekken van $p =
p\bar w/\bar w$ en uitwerken van $\bar w$ geeft $\Delta p$. Voor een letaal [recessief](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) ($s = 1$): $q' = q^{2}\cdot 0 + pq$ gedeeld door $\bar w = 1 -
q^{2}$, dus $q' = q/(1 + q)$, vandaar $1/q' = 1/q + 1$, en na $t$ generaties $1/q_t = 1/q_0 + t$: van $q_0 = 0.01$ tot $0.005$ duurt het $t = 100$. ∎

![Selectie aan het werk met een voordeel van 10\,\%. Een begunstigd dominant allel stijgt in zeventig generaties van 1\,\% tot een meerderheid en vertraagt daarna, terwijl zijn zeldzame recessieve tegenhanger zich in heterozygoten verbergt; een begunstigd recessief allel op 1\,\% komt in dezelfde tijd nauwelijks vooruit, omdat het bijna nooit zichtbaar wordt.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/biology-4/b2-population-genetics/fig-0d95512d5493.svg)

*Selectie aan het werk met een voordeel van $10\,\%$. Een begunstigd [dominant](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) stijgt in zeventig generaties van $1\,\%$ tot een meerderheid en vertraagt daarna, terwijl zijn zeldzame recessieve tegenhanger zich in heterozygoten verbergt; een begunstigd [recessief](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) op $1\,\%$ komt in dezelfde tijd nauwelijks vooruit, omdat het bijna nooit zichtbaar wordt.*

**Propositie 22.6 (Soorten selectie).**

*Gerichte* selectie begunstigt één uiterste en drijft een [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) naar fixatie (de melanistische vlinder in een beroet bos; antibioticaresistentie; de snavelgrootte van een vink bij droogte). *Stabiliserende* selectie begunstigt het midden en verwijdert de uitersten (het geboortegewicht bij de mens: de baby’s die sterven zijn de kleinste en de grootste); ze houdt een populatie waar ze is en is de meest voorkomende soort. *Disruptieve* selectie begunstigt beide uitersten tegenover het midden, en kan een populatie splitsen ([Hoofdstuk 23](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/23-soortvorming-en-macro-evolutie#ch-b2-speciation)). *Balancerende* selectie houdt twee [allelen](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) voor onbepaalde tijd in de populatie: door *heterozygotenvoordeel*, wanneer $Aa$ fitter is dan elk van beide homozygoten — met $w_{AA} = 1 - s$, $w_{aa} = 1 - t$, $w_{Aa} = 1$ komt de frequentie tot rust op $\hat p = t/(s + t)$ — of door *frequentieafhankelijke* selectie, wanneer een [genotype](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) fitter is naarmate het zeldzamer is (de zeldzame $S$-allelen van [Hoofdstuk 6](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/6-geslachtelijke-voortplanting-van-bloemplanten#ch-b2-angiosperm-reproduction), prooien die een roofdier nog niet heeft leren herkennen, de twee bekvormen van een schubbenetende vis).

**Bewijsmateriaal.** Sikkelcelhemoglobine doodt de meeste homozygoten voordat ze zich voortplanten, en toch staat het [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) in het malariagebied van Afrika op $10\,\%$ tot $20\,\%$. Allison (1954) toonde aan dat heterozygote kinderen veel minder en mildere malaria-infecties hadden dan elk van beide homozygoten, en de frequentie van het [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) valt samen met de historische verspreiding van falciparummalaria; in populaties van Afrikaanse afkomst die leven waar geen malaria is, daalt de frequentie sindsdien. Met $t \approx 0.8$ voor de sikkelcelhomozygoot en $s \approx 0.1$ voor de normale [homozygoot](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) in een malariagebied is $\hat q = s/(s + t) \approx 0.11$ — wat wordt waargenomen. ∎

## 22.3 Mutatie, migratie en het evenwicht

**Stelling 22.7 (Mutatie-selectie-evenwicht).**

Een schadelijk [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) wordt door [mutatie](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/3-mutaties-en-diversificatie-van-het-genoom#def-b2-genome-diversification-mutation) aangevuld met een snelheid $\mu$ per gameet per generatie en door selectie verwijderd. In evenwicht heffen de twee elkaar op: voor een [recessief](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) met [homozygoot](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) nadeel $s$,

$$
\hat q = \sqrt{\mu/s}\,;
$$

voor een [dominant](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) (of gedeeltelijk [dominant](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary)) [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) met [heterozygoot](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) nadeel $hs$, $\hat q = \mu/hs$. De evenwichtsfrequentie van een [recessief](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) is dus groot, zelfs voor een letaal: met $\mu = 10^{-5}$ en $s = 1$ is $\hat q = 3\times 10^{-3}$, en $0.6\,\%$ van de populatie draagt het. Elke populatie draagt zo’n *[genetische last](#thm-b2-population-genetics-balance)* op duizenden loci, grotendeels [recessief](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) en verborgen, en het evenwicht van de ratelredenering van [Hoofdstuk 7](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/7-ongeslachtelijke-voortplanting-en-klonen-bij-planten#ch-b2-asexual-reproduction) — een fractie $e^{-U/s}$ van de individuen zonder schadelijke [mutaties](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/3-mutaties-en-diversificatie-van-het-genoom#def-b2-genome-diversification-mutation) — is hetzelfde evenwicht, opgeteld over het genoom.

**Bewijs.** In elke generatie voegt [mutatie](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/3-mutaties-en-diversificatie-van-het-genoom#def-b2-genome-diversification-mutation) $\mu p \approx \mu$ aan $q$ toe en verwijdert selectie $s\,pq^{2}/\bar w \approx sq^{2}$ (voor kleine $q$); $\mu = s\hat q^{2}$ stellen geeft het recessieve resultaat. Voor een [dominant](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) verwijdert selectie $hs\,q$ per generatie (elke kopie is zichtbaar in een [heterozygoot](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary)), en $\mu = hs\hat q$. ∎

**Propositie 22.8 (Migratie en de regel van één migrant).**

Als elke generatie een fractie $m$ van een populatie bestaat uit immigranten uit een populatie met [allelfrequentie](#def-b2-population-genetics-frequencies) $p_{m}$, verschuift de frequentie naar $p_{m}$ met $\Delta p = m(p_{m} - p)$: het verschil tussen de twee populaties neemt af als $(1 - m)^{t}$. *[Genenstroom](#prop-b2-population-genetics-migration)* maakt gelijk; hij maakt lokale aanpassing ongedaan tenzij de selectie sterker is dan $m$, en hij is de kracht die een soort één soort houdt. Omgekeerd lopen populaties die geen migranten uitwisselen uiteen door drift en door hun eigen [mutaties](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/3-mutaties-en-diversificatie-van-het-genoom#def-b2-genome-diversification-mutation), en één enkele migrant per generatie — ongeacht de populatiegrootte — volstaat om te voorkomen dat ze door drift voor verschillende [allelen](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) gefixeerd raken.

## 22.4 Toeval: genetische drift

**Stelling 22.9 (Genetische drift).**

In een populatie van $N$ diploïde individuen is de [allelfrequentie](#def-b2-population-genetics-frequencies) van elke generatie een willekeurige steekproef van $2N$ gameten uit de vorige, zodat $p$ willekeurig zwerft met een variantie van $p(1 - p)/2N$ per generatie. De *heterozygotie* $H = 2pq$ neemt gemiddeld elke generatie af met een factor $(1 - 1/2N)$,

$$
H_t = H_0\left(1 - \frac{1}{2N}\right)^{t} \approx H_0\,e^{-t/2N},
$$

en elk [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) gaat uiteindelijk verloren of raakt *gefixeerd*, met een kans gelijk aan zijn huidige frequentie: een nieuwe neutrale [mutatie](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/3-mutaties-en-diversificatie-van-het-genoom#def-b2-genome-diversification-mutation), met frequentie $1/2N$, wordt gefixeerd met kans $1/2N$ en doet daar, als dat gebeurt, ongeveer $4N$ generaties over. Drift is verwaarloosbaar in een populatie van miljoenen en overheersend in een van enkele tientallen: een *flessenhals* of een *stichtersgebeurtenis* — enkele kolonisten op een eiland, een soort die door de jacht tot honderd dieren is teruggebracht — verliest in één generatie [allelen](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) door toeval en laat een populatie achter die uniform, verarmd en vol homozygoten is. De $N$ die telt, is de *effectieve* grootte, het aantal individuen dat zich werkelijk voortplant, meestal veel kleiner dan het getelde aantal.

**Bewijs.** De $2N$ genkopieën van de volgende generatie worden met teruglegging getrokken uit een pool waarin $A$ frequentie $p$ heeft: het aantal $A$-kopieën is binomiaal verdeeld met gemiddelde $2Np$ en variantie $2Np(1 - p)$, zodat $p'$ gemiddelde $p$ en variantie $p(1 - p)/2N$ heeft. Twee kopieën die in de volgende generatie willekeurig worden getrokken, komen met kans $1/2N$ van dezelfde ouderlijke kopie en zijn dan identiek, zodat de kans dat twee kopieën verschillen (de heterozygotie) elke generatie met $1 - 1/2N$ wordt vermenigvuldigd. Fixatiekans: de frequentie van een neutraal [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) is een martingaal — de verwachtingswaarde verandert nooit — en eindigt op 0 of 1, dus de kans om op 1 te eindigen is gelijk aan de beginwaarde. ∎

![Drift. Twee populaties van tien individuen die bij p = 0.5 beginnen, fixeren binnen vijfentwintig generaties tegengestelde allelen; twee van duizend zwerven in zestig generaties enkele procenten.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/biology-4/b2-population-genetics/fig-d9473ddbd928.svg)

*Drift. Twee populaties van tien individuen die bij $p = 0.5$ beginnen, fixeren binnen vijfentwintig generaties tegengestelde [allelen](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary); twee van duizend zwerven in zestig generaties enkele procenten.*

**Propositie 22.10 (Inteelt).**

Paring tussen verwanten verandert de [allelfrequenties](#def-b2-population-genetics-frequencies) niet, maar verhoogt het aandeel homozygoten: de *[inteeltcoëfficiënt](#prop-b2-population-genetics-inbreeding)* $F$ van een individu is de kans dat zijn twee [allelen](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) op een locus identiek door afstamming zijn, en de genotypefrequenties worden $p^{2} + Fpq$, $2pq(1 - F)$, $q^{2} + Fpq$. Voor nakomelingen van volle neven en nichten is $F = 1/16$, van broers en zussen $1/4$, van zelfbevruchting $1/2$. Omdat de recessieve [allelen](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) van de [genetische last](#thm-b2-population-genetics-balance) in de extra homozygoten zichtbaar worden, lijden ingeteelde nakomelingen aan *[inteeltdepressie](#prop-b2-population-genetics-inbreeding)*: een letaal [recessief](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) op $q = 0.01$ verschijnt bij $q^{2} = 10^{-4}$ van de nakomelingen uit willekeurige paring, maar bij $q^{2} + Fpq = 7\times 10^{-4}$ van de kinderen van neven en nichten, zeven keer meer; opgeteld over duizenden loci hebben kinderen van neven en nichten ongeveer twee keer de zuigelingensterfte van anderen, en een kleine populatie die generaties lang inteelt, verliest vruchtbaarheid en vitaliteit — het lot van het jachtluipaard, de Floridapanter en de koningshuizen van Europa.

## 22.5 Veel genen: kwantitatieve kenmerken

**Stelling 22.11 (Erfelijkheidsgraad en respons op selectie).**

Een kenmerk zoals lichaamslengte, opbrengst of snaveldiepte wordt bepaald door veel genen met een klein effect en door de omgeving, en varieert continu. De variantie ervan in een populatie valt uiteen in een *genetisch* deel $V_G$ en een *omgevingsdeel* $V_E$, en de *[erfelijkheidsgraad](#thm-b2-population-genetics-heritability)* $h^{2} = V_A/V_P$ is de fractie van de fenotypische variantie die te danken is aan de additieve effecten van genen (het deel dat wordt doorgegeven). Als de ouders van de volgende generatie worden geselecteerd met een gemiddelde dat dat van de populatie met $S$ overtreft (het *selectiedifferentieel*), overtreft hun nageslacht het met

$$
R = h^{2}\,S
$$

— de *[fokkersvergelijking](#thm-b2-population-genetics-heritability)*. Het is het hele fokken van dieren en planten in één regel: een [erfelijkheidsgraad](#thm-b2-population-genetics-heritability) van $0.5$ en ouders een standaardafwijking boven het gemiddelde geven nakomelingen een halve standaardafwijking erboven, en de winst stapelt zich generatie na generatie op. [Erfelijkheidsgraad](#thm-b2-population-genetics-heritability) is een eigenschap van een populatie in een omgeving, niet van een kenmerk: ze zegt niets over de vraag of een eigenschap vastligt, en een eigenschap met $h^{2} = 0.8$ in de ene populatie kan $h^{2} = 0$ hebben in een andere waarin elk individu hetzelfde [genotype](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) heeft.

**Bewijs.** Het verwachte [fenotype](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) van de nakomelingen regresseert op dat van het ouderlijk gemiddelde met helling $h^{2}$ (de additief-genetische covariantie tussen verwanten gedeeld door de fenotypische variantie), zodat een ouderlijke afwijking $S$ een afwijking $h^{2}S$ bij de nakomelingen geeft. In de praktijk wordt $h^{2}$ uit die regressie gemeten, of uit de gelijkenis van tweelingen en broers en zussen, of uit de respons zelf. ∎

**Bewijsmateriaal.** Het maïsexperiment van Illinois, begonnen in 1896, selecteerde elk jaar de kolven met het hoogste en het laagste oliegehalte: na honderd generaties was de hoge lijn gestegen van $5\,\%$ tot $20\,\%$ olie en de lage lijn gedaald tot onder $1\,\%$, en beide reageerden nog — de variatie van veel genen raakt door een eeuw selectie niet uitgeput. Op de Galápagos maten de Grants elke vink op één eiland tijdens de droogte van 1977: de overlevenden hadden snavels die $4\,\%$ dieper waren dan die van de doden, het kenmerk had $h^{2}
\approx 0.7$, en de kuikens van het volgende jaar hadden snavels die $3\,\%$ dieper waren dan die van de vorige generatie — selectie waargenomen, gemeten, en haar respons voorspeld door de vergelijking hierboven. ∎

![De fokkersvergelijking in een vinkenpopulatie. De droogte liet overlevenden achter met een gemiddelde snavel die S = 0.5\, mm dieper was; met h2 = 0.7 waren hun nakomelingen R = 0.35\, mm dieper dan de generatie ervoor.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/biology-4/b2-population-genetics/fig-b75d122ba99b.svg)

*De [fokkersvergelijking](#thm-b2-population-genetics-heritability) in een vinkenpopulatie. De droogte liet overlevenden achter met een gemiddelde snavel die $S = 0.5\,\mathrm{mm}$ dieper was; met $h^{2} = 0.7$ waren hun nakomelingen $R = 0.35\,\mathrm{mm}$ dieper dan de generatie ervoor.*

**Voorbeeld 22.12 (Het rekenwerk van de vlinder).**

Het melanistische [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) van de berkenspanner is [dominant](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary). Van een frequentie van ongeveer $10^{-3}$ in 1848 tot $90\,\%$ van de vlinders (een frequentie van bijna $0.7$) in 1895 is vijftig generaties; de selectievergelijking reproduceert dat met $s$ tussen $0.2$ en $0.3$ tegen de lichte vorm — en de loslaatexperimenten van Kettlewell in de jaren 1950, waarin vogels ongeveer in die verhouding lichte vlinders van beroete stammen en donkere van schone stammen haalden, maten de coëfficiënt rechtstreeks. De terugkeer na de wetten voor schone lucht, van $90\,\%$ melanistisch in 1960 tot onder $10\,\%$ in 2000, verliep met dezelfde snelheid in de andere richting. De hele episode — een grote populatie, een [dominant](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary), een sterke en omkeerbare selectieve factor — is [populatiegenetica](#def-b2-population-genetics-frequencies) die zich in het openbaar voltrekt.

![Links: de twee vormen van de berkenspanner op korstmos — welke een vogel vindt, hangt af van de schors. Rechts: het schelppolymorfisme van de gewone tuinslak, met kleuren en banden die in elke populatie in stand worden gehouden door roofdieren die de gewone vorm leren herkennen.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/biology-4/b2-population-genetics/img-2e8a8460a490.jpg)

![Links: de twee vormen van de berkenspanner op korstmos — welke een vogel vindt, hangt af van de schors. Rechts: het schelppolymorfisme van de gewone tuinslak, met kleuren en banden die in elke populatie in stand worden gehouden door roofdieren die de gewone vorm leren herkennen.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/biology-4/b2-population-genetics/img-14c2815b8467.jpg)

*Links: de twee vormen van de berkenspanner op korstmos — welke een vogel vindt, hangt af van de schors. Rechts: het schelppolymorfisme van de gewone tuinslak, met kleuren en banden die in elke populatie in stand worden gehouden door roofdieren die de gewone vorm leren herkennen.*

## 22.6 Opgaven

**Oefening 22.1 ★.**

In een steekproef van 1000 mensen zijn er 640 $MM$, 320 $MN$ en 40 $NN$. Bereken de [allelfrequenties](#def-b2-population-genetics-frequencies) en de verwachtingen volgens Hardy–Weinberg. Is de populatie in evenwicht?

**Oplossing van Oefening 22.1.**

$p(M) = (1280 + 320)/2000 = 0.8$, $q(N) = 0.2$. Verwacht $MM$: $0.64\times 1000 = 640$; $MN$: $2\times 0.8\times 0.2\times 1000 =
320$; $NN$: 40 — precies de waargenomen aantallen. De populatie is voor dit locus in evenwicht.

**Oefening 22.2 ★.**

Albinisme is [recessief](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) en treft één persoon op $20\,000$. Bereken de [allelfrequentie](#def-b2-population-genetics-frequencies) en de dragersfrequentie.

**Oplossing van Oefening 22.2.**

$q = \sqrt{1/20000} = 0.0071$; dragers $2pq \approx 0.014$, één persoon op 70. Dragers overtreffen getroffenen met $2p/q \approx
280$ tegen één.

**Oefening 22.3 ★.**

Definieer [fitness](#def-b2-population-genetics-fitness), [selectiecoëfficiënt](#def-b2-population-genetics-fitness) en [erfelijkheidsgraad](#thm-b2-population-genetics-heritability), en noem de vijf krachten die [allelfrequenties](#def-b2-population-genetics-frequencies) veranderen.

**Oplossing van Oefening 22.3.**

[Fitness](#def-b2-population-genetics-fitness): het verwachte aantal nakomelingen van een [genotype](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) ten opzichte van het beste. [Selectiecoëfficiënt](#def-b2-population-genetics-fitness) $s$: het fitnesstekort, $w = 1 -
s$. [Erfelijkheidsgraad](#thm-b2-population-genetics-heritability) $h^{2}$: de fractie van de fenotypische variantie die additief-genetisch is, of gelijkwaardig de helling van nakomelingen op ouders. Krachten: [mutatie](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/3-mutaties-en-diversificatie-van-het-genoom#def-b2-genome-diversification-mutation), selectie, drift, migratie, niet-willekeurige paring (de laatste verandert genotypefrequenties, geen [allelfrequenties](#def-b2-population-genetics-frequencies)).

**Oefening 22.4 ★.**

Geef van gerichte, stabiliserende en [balancerende selectie](#prop-b2-population-genetics-kinds) elk een voorbeeld, met telkens de selecterende factor.

**Oplossing van Oefening 22.4.**

Gericht: melanisme bij de berkenspanner, met als factor de vogels die op zicht jagen op door roet verdonkerde stammen. Stabiliserend: het geboortegewicht bij de mens, met als factor de sterfte van zeer kleine en zeer grote baby’s. Balancerend: sikkelcel, met als factoren malaria (tegen $AA$) en bloedarmoede (tegen $SS$) samen.

**Oefening 22.5 ★★.**

Een letaal [recessief](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) heeft frequentie $0.02$. Hoeveel generaties duurt het om die te halveren? Om $0.001$ te bereiken? Wat zegt dit over het effect van het verhinderen dat getroffenen zich voortplanten?

**Oplossing van Oefening 22.5.**

$q_t = q_0/(1 + tq_0)$: halveren duurt $1/q_0 = 50$ generaties; $0.001$ bereiken duurt $1/0.001 - 1/0.02 = 950$ generaties. Bijna alle kopieën van het [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) zitten in heterozygoten, onzichtbaar voor selectie; getroffenen verhinderen zich voort te planten (wat de natuur al doet, want ze zijn dood) verandert binnen een mensenleven niets meetbaars.

**Oefening 22.6 ★★.**

Bereken met $w_{AA} = 1$, $w_{Aa} = 1$, $w_{aa} = 0.8$ en $p = 0.3$ $\bar w$, $p'$ en $\Delta p$. Herhaal voor $p = 0.9$. Waarom is de tweede verandering zoveel kleiner?

**Oplossing van Oefening 22.6.**

$p = 0.3$: $\bar w = 0.09 + 0.42 + 0.8\times 0.49 = 0.902$; $p' =
(0.09 + 0.21)/0.902 = 0.333$; $\Delta p = +0.033$. $p = 0.9$: $\bar w
= 0.998$, $p' = 0.9018$, $\Delta p = +0.0018$. Bij $p = 0.9$ is maar $q^{2} = 0.01$ van de populatie $aa$: het [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) waartegen selectie werkt, zit verborgen in heterozygoten, en $\Delta p = spq^{2}/\bar w$ bevat de factor $q^{2}$.

**Oefening 22.7 ★★.**

De sikkelcelhomozygoot heeft in een malariagebied $w = 0.2$ en de normale [homozygoot](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) $w = 0.88$, de heterozygoten $w = 1$. Bereken de evenwichtsfrequentie van het sikkelcelallel en de fractie van de kinderen die in evenwicht met de ziekte wordt geboren.

**Oplossing van Oefening 22.7.**

Met $s = 0.12$ tegen $AA$ en $t = 0.8$ tegen $SS$ is $\hat q =
s/(s + t) = 0.12/0.92 = 0.13$. Getroffen geboorten $\hat q^{2} = 0.017$, ongeveer één kind op 60 — de prijs van de bescherming die de heterozygoten genieten.

**Oefening 22.8 ★★.**

Een [recessief](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) [letaal allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#prop-b2-meiosis-heredity-extensions) ontstaat door [mutatie](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/3-mutaties-en-diversificatie-van-het-genoom#def-b2-genome-diversification-mutation) met $\mu = 2 \times 10^{-5}\,$ per gameet. Bereken zijn evenwichtsfrequentie en de fractie getroffen geboorten. Een [dominant](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) [letaal allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#prop-b2-meiosis-heredity-extensions) (vóór de voortplanting) met dezelfde snelheid: welke fractie van de geboorten?

**Oplossing van Oefening 22.8.**

[Recessief](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) letaal: $\hat q = \sqrt{\mu} = \sqrt{2\times 10^{-5}} =
0.0045$; getroffen geboorten $\hat q^{2} = \mu = 2\times 10^{-5}$, één op $50\,000$. [Dominant](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) letaal: elke kopie wordt verwijderd in de generatie waarin ze verschijnt, zodat de getroffen geboorten gewoon de nieuwe [mutaties](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/3-mutaties-en-diversificatie-van-het-genoom#def-b2-genome-diversification-mutation) zijn, $2\mu = 4\times 10^{-5}$ (twee gameten per geboorte), één op $25\,000$ — het recessieve [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) verbergt zijn kopieën tweehonderd tegen één, het dominante verbergt niets.

**Oefening 22.9 ★★.**

Een populatie van 50 zich voortplantende individuen begint met $H = 0.5$. Bereken haar heterozygotie na 10, 50 en 200 generaties. Hoe groot moet een populatie zijn om over 100 generaties $90\,\%$ van haar heterozygotie te behouden?

**Oplossing van Oefening 22.9.**

$H_t = 0.5\,(1 - 1/100)^{t}$: na 10 generaties $0.45$; na 50 $0.30$; na 200 $0.067$. Voor $(1 - 1/2N)^{100} = 0.9$: $100/(2N) \approx -\ln 0.9 = 0.105$, dus $N \approx 475$, ongeveer 500 zich voortplantende individuen.

**Oefening 22.10 ★★★.**

Een eiland wordt gekoloniseerd door 10 vogels uit een populatie op het vasteland waarin een [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) frequentie $0.1$ heeft. Bereken de kans dat het [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) bij de stichters ontbreekt, en de kans dat het op het eiland uiteindelijk gefixeerd raakt als het in één kopie aanwezig is. Vergelijk met het vasteland.

**Oplossing van Oefening 22.10.**

Twintig genkopieën: $P(\text{afwezig}) = 0.9^{20} = 0.12$. Eén enkele kopie onder 20 heeft frequentie $0.05$, en een neutraal [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) raakt gefixeerd met een kans gelijk aan zijn frequentie: $0.05$. Op een vasteland van, zeg, $100\,000$ vogels heeft één kopie een kans van $5\times 10^{-6}$ om gefixeerd te raken. Het eiland is een plek waar zeldzame [allelen](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) verloren gaan en waar de [allelen](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) die overleven de overhand kunnen krijgen: drift verarmt en differentieert tegelijk.

**Oefening 22.11 ★★★.**

De melkgift heeft $h^{2} = 0.3$ en een standaardafwijking van $1000\,\mathrm{L}$. Een fokker houdt de beste $20\,\%$ van de koeien als moeders (hun gemiddelde ligt $1.4$ standaardafwijkingen boven dat van de kudde). Bereken de respons per generatie. Als stieren uit de beste $1\,\%$ worden gekozen (gemiddelde $2.7$ standaardafwijkingen erboven), wat is dan de respons? Waarom vertraagt de respons na veel generaties?

**Oplossing van Oefening 22.11.**

$R = h^{2}S = 0.3\times 1.4\times 1000\,\mathrm{L} = 420\,\mathrm{L}$ per generatie. Met stieren uit de beste $1\,\%$ is het gemiddelde differentieel $(1.4 + 2.7)/2 = 2.05$ standaardafwijkingen en $R =
0.3\times 2050 = 615\,\mathrm{L}$. De respons vertraagt omdat selectie de additieve variantie opgebruikt — gunstige [allelen](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) raken gefixeerd en $h^{2}$ daalt — en omdat de gecorreleerde veranderingen in andere eigenschappen (vruchtbaarheid, gezondheid) kosten opleggen die selectie op alleen de melkgift niet ziet.

**Oefening 22.12 ★★★.**

“Selectie is blind voor wat ze niet kan zien.” Bespreek, met het recessieve [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) in heterozygoten, de neutrale [mutatie](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/3-mutaties-en-diversificatie-van-het-genoom#def-b2-genome-diversification-mutation) en het kenmerk met een [erfelijkheidsgraad](#thm-b2-population-genetics-heritability) nul, waarop selectie wel en niet kan inwerken.

**Oplossing van Oefening 22.12.**

Selectie ziet [fenotypen](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary). Een [recessief](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) in een [heterozygoot](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) geeft geen [fenotype](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary), dus selectie kan het niet verwijderen, en zijn frequentie daalt als $1/t$, steeds trager. Een neutrale [mutatie](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/3-mutaties-en-diversificatie-van-het-genoom#def-b2-genome-diversification-mutation) maakt geen verschil in [fitness](#def-b2-population-genetics-fitness); haar lot hangt alleen van drift af, en ze raakt gefixeerd met kans $1/2N$. Een kenmerk met een [erfelijkheidsgraad](#thm-b2-population-genetics-heritability) nul kan sterk worden geselecteerd — de overlevenden kunnen sterk van de populatie verschillen — en toch is de volgende generatie onveranderd, omdat de verschillen niet erfelijk waren. Selectie kan alleen inwerken op erfelijke verschillen die voor de [fitness](#def-b2-population-genetics-fitness) verschil maken; al het andere evolueert door toeval of helemaal niet.

## 22.7 Vraagstuk: de vlinder, het eiland en de kudde

**Probleem 22.1.**

Weekendvraagstuk — de opkomst van de berkenspanner berekend met de selectievergelijking, de drift en inteelt van een stichterspopulatie gevolgd, een mutatie-selectie-evenwicht opgesteld, en een fokprogramma voorspeld, met als besluit de selectiecoëfficiënt van de vlinder, de heterozygotie van het eiland en de winst van de kudde

Berkenspanner: melanistisch [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) $M$ [dominant](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary), frequentie $p_0 = 0.001$ in 1848; $90\,\%$ van de vlinders melanistisch 50 generaties later; neem aan $w_{MM} = w_{Mm} = 1$ en $w_{mm} = 1 - s$. Eiland: gesticht door 12 vogels van een vasteland waar $H = 0.4$ en een [recessief](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) schadelijk [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) $q = 0.05$ heeft; het eiland herbergt daarna 40 zich voortplantende vogels. [Mutatie](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/3-mutaties-en-diversificatie-van-het-genoom#def-b2-genome-diversification-mutation): $\mu = 1 \times 10^{-5}\,$. Kudde: $h^{2} = 0.4$, standaardafwijking $800\,\mathrm{L}$.

**Deel I — De vlinder.**

1. Welke fractie van de vlinders was in 1848 melanistisch, en welke fractie van de $M$ -allelen zat in heterozygoten?
2. Toon aan dat, met $M$ [dominant](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) , de frequentie van het lichte [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) voldoet aan $q' = q(1 - sq)/(1 - sq^{2})$ .
3. Bereken, uitgaande van $q_0 = 0.999$ , $q$ na één generatie voor $s = 0.3$ .
4. $90\,\%$ melanistisch betekent $q^{2} = 0.1$ . Wat is $q$ dan?
5. Schat door proberen met de recursie (of de benadering $\Delta q \approx -sq^{2}p$ zolang $q$ dicht bij 1 ligt) het aantal generaties dat $s = 0.3$ nodig heeft om $q$ van $0.999$ tot $0.32$ te brengen, en vergelijk met de waargenomen 50.
6. Na de wetten voor schone lucht heeft de lichte vorm het voordeel: $s  = 0.3$ tegen $mm$ wordt $s = 0.3$ tegen $M\_$ . Toon aan dat $\Delta p = -spq^{2}/\bar w$ , en leg uit waarom de terugkeer van de lichte vorm eerst traag is en eindigt in een exponentiële afname van $M$ , terwijl de opkomst exponentieel begon en in een slakkengang eindigde.

**Deel II — Het eiland.**

7. Bereken de kans dat geen van de 12 stichters het schadelijke [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) draagt.
8. Bereken de verwachte heterozygotie na de stichtersgeneratie (getrokken uit $H = 0.4$ door 12 individuen, d.w.z. 24 genkopieën).
9. Bereken de heterozygotie na 100 generaties bij $N =  40$ , als fractie van die van het vasteland.
10. Een neutrale [mutatie](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/3-mutaties-en-diversificatie-van-het-genoom#def-b2-genome-diversification-mutation) verschijnt in één vogel. Bereken haar fixatiekans en de verwachte tijd tot fixatie als ze gefixeerd raakt.
11. De eilandvogels paren willekeurig maar zijn allemaal verwant. Met $F = 1/(2N)$ die zich per generatie opstapelt tot ongeveer $0.3$ na 30 generaties, bereken de frequentie van getroffen homozygoten voor het [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) met $q = 0.05$ , met en zonder inteelt.
12. Elke generatie komt er één vogel van het vasteland aan. Leg uit wat dit doet met de divergentie van het eiland en met zijn last.

**Deel III — Het evenwicht.**

13. Bereken de evenwichtsfrequentie van een [recessief](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) [letaal allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#prop-b2-meiosis-heredity-extensions) dat wordt aangevuld met $\mu = 10^{-5}$ , en de fractie getroffen geboorten.
14. Bereken hetzelfde voor $s = 0.1$ (een licht schadelijk [recessief](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) ).
15. Bereken het evenwicht voor een [dominant](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) met [heterozygoot](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) nadeel $hs = 0.05$ .
16. De geneeskunde geneest de letale aandoening, zodat $s$ daalt tot $0.1$ . Hoe verandert het evenwicht, en hoelang (in orde van grootte) doet de populatie erover om daar te komen?
17. Het genoom heeft $20\,000$ genen die elk met $10^{-5}$ muteren tot een [recessief](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) [letaal allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#prop-b2-meiosis-heredity-extensions) . Hoeveel letale [allelen](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) draagt een gemiddelde persoon in heterozygote toestand? (In evenwicht heeft elk locus $2\hat q$ kopieën per persoon.)
18. Leg uit waarom dat aantal verenigbaar is met een gezonde populatie en waarom het een huwelijk tussen neef en nicht kostbaar maakt.

**Deel IV — De kudde.**

19. De fokker houdt de beste $30\,\%$ van de koeien (gemiddelde $1.16$ standaardafwijkingen boven de kudde). Bereken het selectiedifferentieel in liters en de respons.
20. Wat is na vijf generaties van dezelfde selectie de verwachte winst, en waarom zou de werkelijke winst kleiner kunnen zijn?
21. Stieren leveren de helft van de genen en worden uit de beste $2\,\%$ gekozen ( $2.4$ standaardafwijkingen). Bereken de respons wanneer koeien en stieren zoals hierboven worden geselecteerd (neem het gemiddelde van de twee differentiëlen).
22. Een kudde waarin alle koeien klonen van één dier zijn: wat zijn $h^{2}$ en de respons? Wat zegt dat over de [erfelijkheidsgraad](#thm-b2-population-genetics-heritability) ?
23. Een vinkenpopulatie heeft $h^{2} = 0.7$ voor snaveldiepte en de droogte laat overlevenden achter met snavels die $0.6\,\mathrm{mm}$ dieper zijn. Voorspel de volgende generatie.
24. De fokker richt zich op een eigenschap met $h^{2} = 0.1$ . Welk selectiedifferentieel, in standaardafwijkingen, geeft dezelfde respons als in vraag 19?
25. Formuleer het resultaat: de $s$ van de vlinder en de tijd tot $90\,\%$ melanistisch, de heterozygotie van het eiland na 100 generaties, en de respons van de kudde per generatie.

**Oplossing van Probleem 22.1.**

**1.** Melanistische fractie $1 - q^{2} = 1 - 0.999^{2} = 0.002$, één vlinder op 500; de fractie van de $M$-allelen in heterozygoten is $2pq/(2pq + 2p^{2}) = q = 0.999$: vrijwel alle. **2.** Met $\bar w = 1 - sq^{2}$ zijn de kopieën van het lichte [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) na selectie $pq\cdot 1 + q^{2}(1 - s)$ op $\bar w$, dus $q'
= (pq + q^{2} - sq^{2})/(1 - sq^{2}) = q(1 - sq)/(1 - sq^{2})$. **3.** $q_1 = 0.999\times(1 - 0.2997)/(1 - 0.2994) = 0.99857$: een verandering van $-0.0014$. **4.** $q = \sqrt{0.1} = 0.32$. **5.** De herhaalde recursie neemt 28 generaties voor $s =
0.3$; de benadering geeft dezelfde orde (de verandering is eerst $-0.0003$ en versnelt daarna naarmate $p$ groeit). De waargenomen 50 generaties komen overeen met een kleinere $s$, ongeveer $0.2$ (de recursie geeft 45 generaties voor $s = 0.2$): een selectie van $20\text{ tot }30\,\%$ per generatie, enorm naar de maatstaven van de meeste [allelen](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary). **6.** Met $w_{MM} = w_{Mm} = 1 - s$, $w_{mm} = 1$: $\bar w = 1
- s(1 - q^{2})$ en $p' = p(1 - s)/\bar w$, dus $\Delta p = p[(1 - s) -
\bar w]/\bar w = -spq^{2}/\bar w$. De lichte vorm wordt alleen als [homozygoot](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) $mm$ begunstigd, aan het begin een fractie $q^{2} = 0.1$: de terugkeer begint traag. Als $q \to 1$ is $\Delta p \approx -sp$ en neemt $M$ exponentieel af, met een factor $1 - s$ per generatie: een [dominant](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) kan zich nergens verbergen. De opkomst was het spiegelbeeld: $\Delta p \approx +sp$ zolang $M$ zeldzaam was (exponentieel begin), daarna $\Delta q \approx -sq^{2}p \to$ een slakkengang, doordat het lichte [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) zich in heterozygoten verborg. De recursie geeft 27 generaties voor de terugkeer van $p = 0.68$ tot $0.001$, waarvan 16 om een frequentie van $5\,\%$ van het melanistische [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) te bereiken. **7.** $24$ genkopieën: $0.95^{24} = 0.29$. **8.** $H_1 = 0.4\,(1 - 1/24) = 0.383$. **9.** $H_{100} = 0.383\,(1 - 1/80)^{100} = 0.383\times 0.284 =
0.109$: $27\,\%$ van de $0.4$ van het vasteland. **10.** $P(\text{fixatie}) = 1/(2N) = 1/80 = 0.0125$; verwachte tijd tot fixatie $4N = 160$ generaties. **11.** Zonder inteelt $q^{2} = 0.0025$; met $F = 0.3$ $q^{2} + Fpq = 0.0025 + 0.3\times 0.95\times 0.05 = 0.017$: zeven keer meer getroffen vogels. **12.** Eén migrant per generatie ($m = 1/40$) volstaat om te voorkomen dat het eiland op neutrale loci uiteenloopt, en om de [allelen](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) aan te vullen die door drift verloren zijn gegaan; hij brengt ook de schadelijke [allelen](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) van het vasteland binnen met hun frequentie op het vasteland, en die worden door de inteelt op het eiland als homozygoten zichtbaar — de last wordt bepaald door het evenwicht tussen immigratie en blootstelling. **13.** $\hat q = \sqrt{10^{-5}} = 0.0032$; getroffen geboorten $\hat
q^{2} = 10^{-5}$. **14.** $\hat q = \sqrt{10^{-5}/0.1} = 0.01$; getroffen geboorten $10^{-4}$: een tien keer zwakkere selectie laat het [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) drie keer zo algemeen worden en de ziekte tien keer. **15.** $\hat p = \mu/(hs) = 10^{-5}/0.05 = 2\times 10^{-4}$; dragers $2\hat p = 4\times 10^{-4}$. **16.** Van $\hat q = 0.0032$ naar $0.01$: het [allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) stijgt met een snelheid die door [mutatie](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/3-mutaties-en-diversificatie-van-het-genoom#def-b2-genome-diversification-mutation) wordt bepaald, $\mu = 10^{-5}$ per generatie, dus de nadering duurt in de orde van $\Delta q/\mu \approx 700$ generaties — $20\,000$ jaar: elke beslissing die nu wordt genomen, wordt gevoeld door een populatie die in niets op de onze zal lijken. **17.** Elk locus levert $2\hat q = 0.0063$ letale kopieën per persoon; over $20\,000$ loci ongeveer $130$ — maar dat veronderstelt dat elk gen tot een [recessief](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) [letaal allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#prop-b2-meiosis-heredity-extensions) kan muteren; met de gangbare schatting van enkele duizenden essentiële genen draagt een persoon enkele tot enkele tientallen letale equivalenten in heterozygote toestand. **18.** Elk zit op een ander locus en elk is zeldzaam, zodat de kans dat een willekeurig paar allebei hetzelfde draagt klein is; neven en nichten delen een achtste van hun genen door afstamming, zodat voor elk van de verscheidene letale [allelen](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) van een neef het risico dat het kind [homozygoot](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#def-b2-meiosis-heredity-vocabulary) is $1/16$ per gedeeld [letaal allel](https://one-course.com/books/biology/4/nl/chapter/4-meiose-genetische-menging-en-erfelijkheid#prop-b2-meiosis-heredity-extensions) bedraagt — de extra kindersterfte bij huwelijken tussen neef en nicht is gemeten op enkele procenten. **19.** $S = 1.16\times 800\,\mathrm{L} = 930\,\mathrm{L}$; $R = 0.4\times
930 = 370\,\mathrm{L}$. **20.** Vijf generaties: ongeveer $1860\,\mathrm{L}$; in de praktijk minder, omdat de additieve variantie uitgeput raakt, omdat $h^{2}$ in de oorspronkelijke kudde werd geschat, en omdat de omgeving (voer, huisvesting) die de beste koeien voortbracht niet wordt doorgegeven. **21.** Gemiddeld differentieel $(1.16 + 2.4)/2 = 1.78$ standaardafwijkingen, $S = 1424\,\mathrm{L}$, $R = 0.4\times 1424 = 570\,\mathrm{L}$. **22.** Klonen hebben geen genetische variantie, dus $h^{2} = 0$ en $R =
0$, wat $S$ ook is: [erfelijkheidsgraad](#thm-b2-population-genetics-heritability) is een eigenschap van een populatie, het deel van haar variantie dat genetisch is, geen eigenschap van het kenmerk. **23.** $R = 0.7\times 0.6 = 0.42\,\mathrm{mm}$ dieper. **24.** Dezelfde respons $370\,\mathrm{L}$ vraagt $S = 370/0.1 =
3700\,\mathrm{L}$, dat is $4.6$ standaardafwijkingen — minder dan één koe op tienduizend houden: onpraktisch, en daarom worden eigenschappen met een lage [erfelijkheidsgraad](#thm-b2-population-genetics-heritability) traag of met andere middelen verbeterd (nakomelingenonderzoek, grotere families). **25.** Vlinder: $s \approx 0.2$ tot $0.3$, 28 generaties bij $0.3$ en 45 bij $0.2$, tegenover 50 waargenomen; eiland: $H_{100} \approx 0.11$, $27\,\%$ van het vasteland; kudde: $370\,\mathrm{L}$ per generatie met alleen de koeien, $570\,\mathrm{L}$ met geselecteerde stieren.