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title: "Velocidad de reacción"
book: "Química escolar — Años 1 a 12"
subject: chemistry
language: es
chapter: 41
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/41-velocidad-de-reaccion
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Chemistry Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 41 — Velocidad de reacción

Una botella de leche olvidada en la encimera de la cocina se agria en un par de días; en la nevera se conserva más de una semana. Un fuego artificial [arde](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/5-la-combustion-lo-que-necesita-un-fuego#def-g4-what-a-fire-needs-burning) en una fracción de segundo, mientras que una estatua de caliza de un parque urbano se desgasta a lo largo de siglos. Las [ecuaciones ajustadas](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/13-conservacion-de-la-masa-y-ecuaciones-ajustadas#def-g8-balanced-equations-equation) y las [tablas de avance](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/27-la-tabla-de-avance#def-g10-reaction-progress-table-extent) dicen qué da una reacción y cuánto; no dicen nada sobre su rapidez. En este capítulo medimos la velocidad de las reacciones, buscamos lo que la controla y describimos la forma más sencilla en que una reacción puede frenarse a medida que avanza.

**Lo que ya sabes.**

La concentración de una disolución ([Capítulo 26](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/26-concentracion-y-dilucion#ch-g10-concentration-and-dilution)) y el avance de una reacción ([Capítulo 27](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/27-la-tabla-de-avance#ch-g10-reaction-progress-table)). La [absorbancia](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/29-color-y-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) de una disolución diluida es proporcional a la concentración de la especie coloreada ([Capítulo 29](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/29-color-y-absorbancia#ch-g11-absorbance)). Una [valoración](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/36-las-valoraciones#def-g11-titration-titration) mide la cantidad de una especie ([Capítulo 36](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/36-las-valoraciones#ch-g11-titration)).

![La misma leche, en la encimera y en la nevera: las reacciones que la agrian son más lentas en frío.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-1/g12-reaction-rates/img-152e81ec3afa.jpg)

*La misma leche, en la encimera y en la nevera: las reacciones que la agrian son más lentas en frío.*

## 41.1 Seguir una reacción en el tiempo

Algunas reacciones terminan en cuanto los [reactivos](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/12-las-reacciones-quimicas-reactivos-y-productos#def-g7-chemical-reactions-reactant) se encuentran: la [precipitación](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/17-los-iones-y-las-disoluciones-ionicas#def-g9-ions-precipitate) del cloruro de plata, la reacción de un ácido con una base. Otras tardan minutos, horas o años. Para estudiar una reacción lenta, los químicos miden la concentración de un [reactivo](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/12-las-reacciones-quimicas-reactivos-y-productos#def-g7-chemical-reactions-reactant) o de un producto a intervalos regulares. Pueden

- tomar pequeñas muestras, detener la reacción en cada una y valorarlas;
- medir la [absorbancia](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/29-color-y-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) de la disolución, cuando un [reactivo](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/12-las-reacciones-quimicas-reactivos-y-productos#def-g7-chemical-reactions-reactant) o un producto es coloreado;
- medir la presión o el volumen de un gas desprendido, o la conductividad de una disolución cuyos [iones](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/17-los-iones-y-las-disoluciones-ionicas#def-g9-ions-ion) cambian.

**Definición 41.1 (Bloqueo cinético).**

El *bloqueo cinético* de una muestra consiste en detener, o frenar muchísimo, la reacción que tiene lugar en ella en el momento de tomarla, normalmente enfriándola de golpe y diluyéndola, para poder medir su composición con calma.

**En el laboratorio — Bloquear una muestra.**

Cada cinco minutos se toman con una pipeta $10.0\,\mathrm{mL}$ de la [mezcla](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/8-sustancias-puras-y-mezclas#def-g6-pure-substances-and-mixtures-mixture) de reacción y se vierten en un vaso de precipitados con unos $40\,\mathrm{mL}$ de agua helada. Diluida cinco veces y enfriada hasta cerca de $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, la reacción se vuelve tan lenta que puede considerarse detenida; después se valora la muestra. El instante de la muestra es el momento en que se vierte en el agua helada, no el de la [valoración](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/36-las-valoraciones#def-g11-titration-titration).

![Seguir una reacción por muestreo: tomar una muestra, bloquearla y medirla después con calma.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-1/g12-reaction-rates/fig-2c5a04ead925.svg)

*Seguir una reacción por muestreo: tomar una muestra, bloquearla y medirla después con calma.*

## 41.2 Factores cinéticos

**Definición 41.2 (Factor cinético).**

Un *factor cinético* es una magnitud que modifica la velocidad de una reacción sin cambiar lo que la reacción da: la temperatura, las concentraciones de los [reactivos](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/12-las-reacciones-quimicas-reactivos-y-productos#def-g7-chemical-reactions-reactant), la superficie de contacto entre [reactivos](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/12-las-reacciones-quimicas-reactivos-y-productos#def-g7-chemical-reactions-reactant) en fases distintas y la presencia de un catalizador (capítulo siguiente).

**Proposición 41.3 (Más caliente, más concentrado, más fino: más rápido).**

En general, una reacción es más rápida cuando la temperatura es más alta, cuando los [reactivos](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/12-las-reacciones-quimicas-reactivos-y-productos#def-g7-chemical-reactions-reactant) están más concentrados y, en el caso de un [reactivo](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/12-las-reacciones-quimicas-reactivos-y-productos#def-g7-chemical-reactions-reactant) sólido, cuando está más finamente dividido.

**Demostración.** Se admite, con una imagen: las partículas que reaccionan tienen que encontrarse, y con suficiente fuerza. Concentrarlas hace los encuentros más frecuentes; dividir un sólido ofrece más superficie de encuentro; calentarlas las hace moverse más deprisa, de modo que se encuentran más a menudo y, sobre todo, una mayor parte de los encuentros tiene energía suficiente para romper enlaces. ∎

**Ejemplo 41.4 (Tres casos cotidianos).**

Los alimentos se conservan más tiempo en la nevera, y mucho más en el congelador: las reacciones que los estropean se frenan con el frío. El polvo fino de harina en el [aire](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/4-el-aire-una-mezcla-de-gases#def-g4-air-a-mixture-of-gases-air) de un molino puede explotar, mientras que un saco de harina solo [arde](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/5-la-combustion-lo-que-necesita-un-fuego#def-g4-what-a-fire-needs-burning) lentamente: la misma reacción, con una superficie de contacto enorme. Un comprimido efervescente se [disuelve](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/2-mezclar-y-disolver#def-g2-mixing-and-dissolving-dissolve) más deprisa en agua si antes se tritura.

![Una estatua de caliza desgastada por la lluvia: una reacción que tarda siglos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-1/g12-reaction-rates/img-d07b57cf1d17.jpg)

*Una estatua de caliza desgastada por la lluvia: una reacción que tarda siglos.*

## 41.3 Velocidades de desaparición y de aparición

**Definición 41.5 (Velocidad de desaparición, velocidad de aparición).**

En una disolución de volumen constante, la *velocidad de desaparición* de un [reactivo](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/12-las-reacciones-quimicas-reactivos-y-productos#def-g7-chemical-reactions-reactant) A en el instante $t$ es

$$
v_A(t) = -\frac{d[\ce{A}]}{dt},
$$

y la *velocidad de aparición* de un producto P es $v_P(t) = \dfrac{d[\ce{P}]}{dt}$. Ambas son positivas, en $\mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{min}^{-1}$ (o por segundo).

**Método 41.6 (Leer una velocidad en una tangente).**

1. En la curva de $[\ce{A}]$ en función de $t$ , traza la tangente en el instante elegido.
2. Lee dos puntos alejados de la tangente y calcula su pendiente, $\Delta[\ce{A}] / \Delta t$ .
3. La [velocidad de desaparición](#def-g12-reaction-rates-rate) es la opuesta de esta pendiente (para un producto, la propia pendiente).

![La concentración de un reactivo A en función del tiempo, para la misma reacción de primer orden a dos temperaturas. La tangente en t = 0 (discontinua) da la velocidad inicial; las líneas de puntos marcan los tiempos de semirreacción.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-1/g12-reaction-rates/fig-ed5b9b4ead9d.svg)

*La concentración de un [reactivo](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/12-las-reacciones-quimicas-reactivos-y-productos#def-g7-chemical-reactions-reactant) A en función del tiempo, para la misma [reacción de primer orden](#def-g12-reaction-rates-first-order) a dos temperaturas. La tangente en $t = 0$ (discontinua) da la velocidad inicial; las líneas de puntos marcan los [tiempos de semirreacción](#def-g12-reaction-rates-half-life).*

**Ejemplo 41.7 (La velocidad inicial).**

En la curva azul, la tangente en $t = 0$ va de $10.0\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L}$ en $t = 0$ a $0$ en $t = 20\,\mathrm{min}$: su pendiente es $-10.0/20 = -0.50\,\mathrm{mmol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{min}^{-1}$, así que la velocidad inicial de desaparición es $0.50\,\mathrm{mmol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{min}^{-1}$. Más tarde la curva se aplana y la velocidad disminuye: la reacción se frena a medida que A se consume.

## 41.4 Reacciones de primer orden

**Definición 41.8 (Reacción de primer orden, constante de velocidad).**

Una reacción es una *reacción de primer orden* respecto a A si su [velocidad de desaparición](#def-g12-reaction-rates-rate) es proporcional a la concentración de A en todo instante:

$$
-\frac{d[\ce{A}]}{dt} = k\,[\ce{A}] .
$$

La constante positiva $k$, en $\mathrm{min}^{-1}$ o $\mathrm{s}^{-1}$, es la *constante de velocidad*; depende de la temperatura.

**Proposición 41.9 (Decrecimiento exponencial).**

Para una [reacción de primer orden](#def-g12-reaction-rates-first-order) con concentración inicial $[\ce{A}]_0$,

$$
[\ce{A}](t) = [\ce{A}]_0\, e^{-kt} .
$$

**Demostración.** La función $f(t) = [\ce{A}]_0 e^{-kt}$ tiene por derivada $f'(t) = -k [\ce{A}]_0 e^{-kt} = -k f(t)$, así que cumple la ecuación de velocidad, y $f(0) = [\ce{A}]_0$. Que sea la única función así se admite aquí (se demuestra en matemáticas, para las ecuaciones $y' = ay$). ∎

**Método 41.10 (Comprobar el primer orden).**

1. A partir de las medidas, calcula $\ln [\ce{A}]$ (o $\ln A$ para una [absorbancia](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/29-color-y-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) proporcional a $[\ce{A}]$ ) en cada instante.
2. Representa $\ln[\ce{A}]$ en función de $t$ : como $\ln[\ce{A}] = \ln[\ce{A}]_0 - kt$ , los puntos están alineados si y solo si la reacción es de primer orden.
3. La pendiente de la recta es $-k$ .

## 41.5 Tiempo de semirreacción

**Definición 41.11 (Tiempo de semirreacción).**

El *tiempo de semirreacción* $t_{1/2}$ de una reacción es el tiempo que tarda la concentración del [reactivo limitante](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/27-la-tabla-de-avance#def-g10-reaction-progress-table-limiting) en bajar a la mitad de su valor inicial.

**Proposición 41.12 (Tiempo de semirreacción de una reacción de primer orden).**

Para una [reacción de primer orden](#def-g12-reaction-rates-first-order),

$$
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k},
$$

sea cual sea la concentración inicial; al cabo de $n$ [tiempos de semirreacción](#def-g12-reaction-rates-half-life), la concentración se ha dividido por $2^n$.

**Demostración.** $[\ce{A}]_0 e^{-k t_{1/2}} = [\ce{A}]_0 / 2$ da $e^{-k t_{1/2}} = 1/2$, así que $k t_{1/2} = \ln 2$. Cada nuevo [tiempo de semirreacción](#def-g12-reaction-rates-half-life) vuelve a multiplicar la concentración por $e^{-k t_{1/2}} = 1/2$. ∎

**Ejemplo 41.13 (Leer los tiempos de semirreacción).**

Para $k = 0.050\,\mathrm{min}^{-1}$, $t_{1/2} = 0.693 / 0.050 =
13.9\,\mathrm{min}$: la concentración baja de 10.0 a 5.0, luego a 2.5 y luego a $1.25\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L}$ a los 13.9, 27.7 y $41.6\,\mathrm{min}$. El ensayo más caliente, con una $k$ el doble de grande, tiene un [tiempo de semirreacción](#def-g12-reaction-rates-half-life) la mitad, $6.9\,\mathrm{min}$, como muestra la figura.

**Observación 41.14 (Semividas en otros ámbitos).**

En física se usa la misma idea, con el nombre de periodo de semidesintegración, para los [núcleos](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/16-el-interior-del-atomo#def-g9-inside-the-atom-nucleus) radiactivos, cuyo número disminuye de la misma forma exponencial: una desintegración radiactiva se comporta como una [reacción de primer orden](#def-g12-reaction-rates-first-order). El libro de física la estudia.

![La decoloración del violeta cristal en disolución básica (datos del problema de fin de semana). Izquierda: la absorbancia disminuye siguiendo una exponencial. Derecha: A en función de t es una recta de pendiente -0.116\, min-1: la reacción es de primer orden respecto al colorante.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-1/g12-reaction-rates/fig-0ef5bcff89c5.svg)

![La decoloración del violeta cristal en disolución básica (datos del problema de fin de semana). Izquierda: la absorbancia disminuye siguiendo una exponencial. Derecha: A en función de t es una recta de pendiente -0.116\, min-1: la reacción es de primer orden respecto al colorante.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-1/g12-reaction-rates/fig-27a6786471e1.svg)

*La decoloración del violeta cristal en [disolución básica](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/18-acidos-bases-y-ph#def-g9-acids-bases-ph-acidic) (datos del problema de fin de semana). Izquierda: la [absorbancia](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/29-color-y-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) disminuye siguiendo una exponencial. Derecha: $\ln A$ en función de $t$ es una recta de pendiente $-0.116\,\mathrm{min}^{-1}$: la reacción es de primer orden respecto al colorante.*

## 41.6 Ejercicios

**Ejercicio 41.1 ★.**

Nombra el [factor cinético](#def-g12-reaction-rates-kinetic-factor) que actúa en cada caso: una nevera conserva los alimentos; el azúcar en polvo se [disuelve](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/2-mezclar-y-disolver#def-g2-mixing-and-dissolving-dissolve) más deprisa que un terrón; un ácido más concentrado ataca el cinc más deprisa; una manzana cortada se oscurece más deprisa en verano.

**Solución de Ejercicio 41.1.**

Temperatura; superficie de contacto; concentración; temperatura.

**Ejercicio 41.2 ★.**

Lee en la figura de $[\ce{A}]$ en función del tiempo el [tiempo de semirreacción](#def-g12-reaction-rates-half-life) de cada ensayo. ¿Cuánto vale $[\ce{A}]$ en la curva azul al cabo de dos [tiempos de semirreacción](#def-g12-reaction-rates-half-life)?

**Solución de Ejercicio 41.2.**

$13.9\,\mathrm{min}$ (azul) y $6.9\,\mathrm{min}$ (rojo). Al cabo de dos [tiempos de semirreacción](#def-g12-reaction-rates-half-life), $10.0 / 4 = 2.5\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L}$.

**Ejercicio 41.3 ★.**

Una tangente a la curva de un producto trazada en $t = 5\,\mathrm{min}$ pasa por $(0, 1.0\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L})$ y $(10\,\mathrm{min}, 5.0\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L})$. ¿Cuál es la [velocidad de aparición](#def-g12-reaction-rates-rate) del producto a los $5\,\mathrm{min}$?

**Solución de Ejercicio 41.3.**

Pendiente $(5.0 - 1.0)/10 = 0.40\,\mathrm{mmol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{min}^{-1}$: es la [velocidad de aparición](#def-g12-reaction-rates-rate) a los $5\,\mathrm{min}$.

**Ejercicio 41.4 ★.**

¿Por qué se vierte una muestra en agua helada antes de valorarla? ¿Por qué hay que anotar el instante de la muestra cuando se vierte, y no cuando se valora?

**Solución de Ejercicio 41.4.**

Enfriar y diluir hacen la reacción tan lenta que la composición ya no cambia durante la [valoración](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/36-las-valoraciones#def-g11-titration-titration). La composición medida es la que tenía la [mezcla](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/8-sustancias-puras-y-mezclas#def-g6-pure-substances-and-mixtures-mixture) cuando se detuvo la reacción, en el momento de verterla.

**Ejercicio 41.5 ★.**

Una [reacción de primer orden](#def-g12-reaction-rates-first-order) tiene un [tiempo de semirreacción](#def-g12-reaction-rates-half-life) de $10\,\mathrm{min}$. ¿Qué fracción del [reactivo](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/12-las-reacciones-quimicas-reactivos-y-productos#def-g7-chemical-reactions-reactant) queda al cabo de $30\,\mathrm{min}$? ¿Y al cabo de $1\,\mathrm{h}$?

**Solución de Ejercicio 41.5.**

$30\,\mathrm{min}$ son 3 [tiempos de semirreacción](#def-g12-reaction-rates-half-life): queda $1/8$. $1\,\mathrm{h}$ son 6 [tiempos de semirreacción](#def-g12-reaction-rates-half-life): $1/64$, alrededor del $1.6\,\%$.

**Ejercicio 41.6 ★★.**

Concentraciones de un [reactivo](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/12-las-reacciones-quimicas-reactivos-y-productos#def-g7-chemical-reactions-reactant), en $\mathrm{mmol}/\mathrm{L}$: 8.00 a $0\,\mathrm{min}$, 5.66 a $5\,\mathrm{min}$, 4.00 a $10\,\mathrm{min}$, 2.83 a $15\,\mathrm{min}$, 2.00 a $20\,\mathrm{min}$. Calcula $\ln[\ce{A}]$ en cada instante y demuestra que la reacción es de primer orden. Halla $k$ y el [tiempo de semirreacción](#def-g12-reaction-rates-half-life).

**Solución de Ejercicio 41.6.**

$\ln[\ce{A}]$: 2.079, 1.733, 1.386, 1.040, 0.693. Disminuye 0.346 cada $5\,\mathrm{min}$: una recta, primer orden. $k = 0.346/5 =
0.0693\,\mathrm{min}^{-1}$ y $t_{1/2} = \ln 2 / k = 10.0\,\mathrm{min}$ (como se ve directamente: 8.00, 4.00, 2.00 cada $10\,\mathrm{min}$).

**Ejercicio 41.7 ★★.**

Una [reacción de primer orden](#def-g12-reaction-rates-first-order) tiene $t_{1/2} = 25\,\mathrm{s}$. Calcula $k$.

**Solución de Ejercicio 41.7.**

$k = 0.693 / 25 = 0.0277\,\mathrm{s}^{-1}$.

**Ejercicio 41.8 ★★.**

Para $[\ce{A}]_0 = 0.100\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$ y $k = 0.020\,\mathrm{min}^{-1}$, calcula $[\ce{A}]$ al cabo de 10, 30 y $100\,\mathrm{min}$.

**Solución de Ejercicio 41.8.**

$0.100\,e^{-0.20} = 0.0819\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$; $0.100\,e^{-0.60} =
0.0549\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$; $0.100\,e^{-2.0} = 0.0135\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$.

**Ejercicio 41.9 ★★.**

En la figura de $[\ce{A}]$ en función del tiempo, estima la pendiente de la curva azul en $t = 13.9\,\mathrm{min}$ (traza una tangente) y compárala con $-k[\ce{A}]$ en ese instante.

**Solución de Ejercicio 41.9.**

A los $13.9\,\mathrm{min}$, $[\ce{A}] = 5.0\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L}$; la pendiente de la tangente es próxima a $-0.25$, y $-k[\ce{A}] = -0.050 \times 5.0 =
-0.25\,\mathrm{mmol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{min}^{-1}$: la mitad del valor inicial.

**Ejercicio 41.10 ★★.**

El yodo $\ce{I2}$, de color pardo, se forma lentamente en una disolución incolora. La [absorbancia](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/29-color-y-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) sube de 0 hacia 0.60. Explica por qué la [absorbancia](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/29-color-y-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) sirve para seguir $[\ce{I2}]$, y cómo se lee en la curva de $A$ en función de $t$ la [velocidad de aparición](#def-g12-reaction-rates-rate) en un instante dado.

**Solución de Ejercicio 41.10.**

El yodo es la única especie coloreada: por la ley de Beer–Lambert, $A = \varepsilon \ell [\ce{I2}]$. La [velocidad de aparición](#def-g12-reaction-rates-rate) es la pendiente de la tangente a la curva $[\ce{I2}](t)$, es decir, la pendiente de la tangente a $A(t)$ dividida por $\varepsilon \ell$.

**Ejercicio 41.11 ★★.**

Dos ensayos de la misma reacción empiezan con $[\ce{A}]_0 = 10$ y $20\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L}$. Si la reacción es de primer orden, compara sus velocidades iniciales y sus [tiempos de semirreacción](#def-g12-reaction-rates-half-life).

**Solución de Ejercicio 41.11.**

La velocidad inicial $k[\ce{A}]_0$ es el doble en el segundo ensayo; los [tiempos de semirreacción](#def-g12-reaction-rates-half-life) son iguales, $\ln 2 / k$, independientes de $[\ce{A}]_0$.

**Ejercicio 41.12 ★★★.**

¿Cuántos [tiempos de semirreacción](#def-g12-reaction-rates-half-life) tarda una [reacción de primer orden](#def-g12-reaction-rates-first-order) en reducir su [reactivo](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/12-las-reacciones-quimicas-reactivos-y-productos#def-g7-chemical-reactions-reactant) al $1\,\%$? ¿Y al $0.1\,\%$? Da la fórmula general del tiempo necesario para bajar a una fracción $f$.

**Solución de Ejercicio 41.12.**

$t = \ln(1/f)/k$. En [tiempos de semirreacción](#def-g12-reaction-rates-half-life): $\ln(1/f)/\ln 2$. Para el $1\,\%$, $\ln 100 / \ln 2 = 6.6$; para el $0.1\,\%$, $\ln 1000 / \ln 2 =
10.0$.

**Ejercicio 41.13 ★★★.**

Una reacción tiene $k = 0.050\,\mathrm{min}^{-1}$ a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $k = 0.100\,\mathrm{min}^{-1}$ a $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. ¿Cuánto tarda en consumir el $90\,\%$ del [reactivo](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/12-las-reacciones-quimicas-reactivos-y-productos#def-g7-chemical-reactions-reactant) a cada temperatura? Una regla práctica habitual dice que la velocidad se duplica cada $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: ¿la cumple esta reacción?

**Solución de Ejercicio 41.13.**

$90\,\%$ consumido, $f = 0.10$: $t = \ln 10 / k$, es decir, $46\,\mathrm{min}$ a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $23\,\mathrm{min}$ a $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. La [constante de velocidad](#def-g12-reaction-rates-first-order) se duplica en $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: aquí se cumple la regla.

**Ejercicio 41.14 ★★★.**

Se bloquea una muestra vertiendo $5.0\,\mathrm{mL}$ en $45\,\mathrm{mL}$ de agua helada. Da dos razones por las que la reacción se vuelve mucho más lenta. Si la reacción es de primer orden respecto a cada uno de dos [reactivos](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/12-las-reacciones-quimicas-reactivos-y-productos#def-g7-chemical-reactions-reactant), ¿por qué factor divide la velocidad la [dilución](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/26-concentracion-y-dilucion#def-g10-concentration-and-dilution-dilution) por sí sola?

**Solución de Ejercicio 41.14.**

La temperatura baja hasta cerca de $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, y las concentraciones se dividen por 10. Con una velocidad proporcional al producto de dos concentraciones, la [dilución](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/26-concentracion-y-dilucion#def-g10-concentration-and-dilution-dilution) por sí sola la divide por $10 \times 10 = 100$.

**Ejercicio 41.15 ★★★.**

Demuestra, derivando, que la [velocidad de desaparición](#def-g12-reaction-rates-rate) de una [reacción de primer orden](#def-g12-reaction-rates-first-order) es a su vez una función exponencial del tiempo, $v(t) = k[\ce{A}]_0 e^{-kt}$. ¿Cuál es la velocidad inicial? ¿Al cabo de cuánto tiempo es la velocidad la mitad de la inicial?

**Solución de Ejercicio 41.15.**

$v(t) = -\dfrac{d}{dt}\big([\ce{A}]_0 e^{-kt}\big) = k[\ce{A}]_0 e^{-kt}$. Velocidad inicial $k[\ce{A}]_0$; la velocidad se reduce a la mitad cuando $e^{-kt} = 1/2$, es decir, al cabo de un [tiempo de semirreacción](#def-g12-reaction-rates-half-life).

## 41.7 Problema: el colorante que se desvanece

**Problema 41.1.**

Problema de fin de semana — violeta cristal decolorado por iones hidróxido: ¿cuánto tarda el color en desaparecer casi por completo?

El colorante violeta cristal reacciona con los [iones](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/17-los-iones-y-las-disoluciones-ionicas#def-g9-ions-ion) hidróxido y da un producto incoloro. Con un gran exceso de hidróxido, la velocidad solo depende de la concentración del colorante. La [absorbancia](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/29-color-y-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) de la disolución se registra a la longitud de onda en la que el colorante absorbe más:

| $t$ ($\mathrm{min}$) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 15 | 20 | 25 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $A$ | 0.800 | 0.639 | 0.501 | 0.402 | 0.315 | 0.255 | 0.199 | 0.143 | 0.078 | 0.046 |

**Parte I — [Absorbancia](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/29-color-y-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) y concentración.**

1. ¿Por qué la [absorbancia](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/29-color-y-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) es proporcional a la concentración del colorante? ¿Qué condición debe cumplir la disolución?
2. ¿Por qué el producto, incoloro, no se ve a esta longitud de onda?
3. ¿Por qué se usa el hidróxido en gran exceso?
4. ¿Qué se leería en el espectrofotómetro al final de la reacción?

**Parte II — ¿Es de primer orden?**

5. Lee directamente en la tabla el [tiempo de semirreacción](#def-g12-reaction-rates-half-life) .
6. Comprueba que es el mismo de $t = 6$ a $t = 12$ min.
7. Calcula $\ln A$ en cada instante.
8. Representa $\ln A$ en función de $t$ (o usa la figura del capítulo). ¿Qué observas? Concluye.
9. Calcula la pendiente a partir de los puntos de 0 y de $20\,\mathrm{min}$ .

**Parte III — La [constante de velocidad](#def-g12-reaction-rates-first-order).**

10. Deduce $k$ .
11. Calcula el [tiempo de semirreacción](#def-g12-reaction-rates-half-life) a partir de $k$ y compáralo con la pregunta 5.
12. Calcula la velocidad inicial de desaparición del colorante, expresada como velocidad de disminución de la [absorbancia](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/29-color-y-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) .
13. ¿Cuál sería el [tiempo de semirreacción](#def-g12-reaction-rates-half-life) si la [absorbancia](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/29-color-y-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) inicial fuera 0.400?

**Parte IV — Predicción.**

14. Predice la [absorbancia](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/29-color-y-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) a los $30\,\mathrm{min}$ .
15. ¿En qué instante baja la [absorbancia](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/29-color-y-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) a 0.008, el $1\,\%$ de su valor inicial?
16. ¿A cuántos [tiempos de semirreacción](#def-g12-reaction-rates-half-life) corresponde?
17. El ojo deja de ver el color por debajo de $A = 0.010$ aproximadamente. ¿Cuándo parece incolora la disolución?
18. Se repite el experimento $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ más caliente y el [tiempo de semirreacción](#def-g12-reaction-rates-half-life) pasa a ser de $3.0\,\mathrm{min}$ . ¿Cuándo se alcanza el $1\,\%$ ?
19. Da la respuesta final: ¿cuántos [tiempos de semirreacción](#def-g12-reaction-rates-half-life) tarda el color en bajar al $1\,\%$ de su valor inicial, y cuántos minutos son aquí?

**Solución de Problema 41.1.**

**1.** Por la ley de Beer–Lambert, ya que el colorante es la única especie que absorbe a esta longitud de onda; la disolución debe estar lo bastante diluida ($A$ por debajo de 1, aproximadamente).

**2.** No absorbe luz visible: no añade nada a $A$.

**3.** Para que su concentración apenas cambie: así la velocidad solo depende del colorante.

**4.** $A = 0$ (el blanco).

**5.** $A$ baja de 0.800 a 0.402 en $6\,\mathrm{min}$: unos $6\,\mathrm{min}$.

**6.** De 0.402 a los $6\,\mathrm{min}$ a 0.199 a los $12\,\mathrm{min}$: de nuevo se reduce a la mitad en $6\,\mathrm{min}$.

**7.** $-0.223$, $-0.448$, $-0.691$, $-0.911$, $-1.155$, $-1.366$, $-1.614$, $-1.945$, $-2.551$, $-3.079$.

**8.** Los puntos están alineados: la reacción es de primer orden respecto al colorante.

**9.** $(-2.551 + 0.223)/20 = -0.116\,\mathrm{min}^{-1}$.

**10.** $k = 0.116\,\mathrm{min}^{-1}$.

**11.** $0.693 / 0.116 = 6.0\,\mathrm{min}$, como se lee en la tabla.

**12.** $k A_0 = 0.116 \times 0.800 = 0.093\,\mathrm{min}^{-1}$, en unidades de [absorbancia](https://one-course.com/books/chemistry/1/es/chapter/29-color-y-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) por minuto.

**13.** El mismo, $6.0\,\mathrm{min}$: el [tiempo de semirreacción](#def-g12-reaction-rates-half-life) de primer orden no depende del valor inicial.

**14.** $0.800\, e^{-0.116 \times 30} = 0.025$.

**15.** $t = \ln 100 / k = 4.61 / 0.116 = 40\,\mathrm{min}$.

**16.** $40 / 6.0 = 6.6$ [tiempos de semirreacción](#def-g12-reaction-rates-half-life).

**17.** $t = \ln(0.800/0.010)/k = 4.38 / 0.116 = 38\,\mathrm{min}$.

**18.** Siguen siendo 6.6 [tiempos de semirreacción](#def-g12-reaction-rates-half-life), ahora $6.6 \times 3.0 = 20\,\mathrm{min}$.

**19.** Unos 6.6 [tiempos de semirreacción](#def-g12-reaction-rates-half-life), es decir, unos $40\,\mathrm{min}$ aquí.