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title: "A velocidade das reações"
book: "Química dos ensinos fundamental e médio"
subject: chemistry
language: pt
chapter: 41
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/41-a-velocidade-das-reacoes
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Chemistry Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 41 — A velocidade das reações

Uma garrafa de leite esquecida em cima da pia azeda em uns dois dias; na geladeira, ela dura mais de uma semana. Um fogo de artifício [queima](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/5-a-combustao-do-que-o-fogo-precisa#def-g4-what-a-fire-needs-burning) numa fração de segundo, enquanto uma estátua de calcário num parque da cidade se desgasta ao longo de séculos. As [equações balanceadas](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/13-conservacao-da-massa-e-equacoes-balanceadas#def-g8-balanced-equations-equation) e as [tabelas de avanço](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/27-a-tabela-de-avanco#def-g10-reaction-progress-table-extent) dizem o que uma reação dá e quanto; elas não dizem nada sobre a rapidez. Este capítulo mede a velocidade das reações, descobre o que a controla e descreve a maneira mais simples de uma reação ir ficando mais lenta à medida que avança.

**O que você já sabe.**

A concentração de uma solução ([Capítulo 26](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/26-concentracao-e-diluicao#ch-g10-concentration-and-dilution)) e o avanço de uma reação ([Capítulo 27](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/27-a-tabela-de-avanco#ch-g10-reaction-progress-table)). A [absorbância](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/29-cor-e-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) de uma solução diluída é proporcional à concentração da espécie colorida ([Capítulo 29](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/29-cor-e-absorbancia#ch-g11-absorbance)). Uma [titulação](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/36-a-titulacao#def-g11-titration-titration) mede a [quantidade de matéria](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/25-o-mol-e-a-massa-molar#def-g10-the-mole-amount) de uma espécie ([Capítulo 36](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/36-a-titulacao#ch-g11-titration)).

![O mesmo leite, em cima da pia e na geladeira: as reações que o azedam são mais lentas no frio.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-1/g12-reaction-rates/img-152e81ec3afa.jpg)

*O mesmo leite, em cima da pia e na geladeira: as reações que o azedam são mais lentas no frio.*

## 41.1 Acompanhar uma reação no tempo

Algumas reações terminam assim que os [reagentes](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/12-as-reacoes-quimicas-reagentes-e-produtos#def-g7-chemical-reactions-reactant) se encontram: a [precipitação](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/17-os-ions-e-as-solucoes-ionicas#def-g9-ions-precipitate) do cloreto de prata, a reação de um ácido com uma base. Outras levam minutos, horas ou anos. Para estudar uma reação lenta, os químicos medem a concentração de um [reagente](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/12-as-reacoes-quimicas-reagentes-e-produtos#def-g7-chemical-reactions-reactant) ou de um produto em intervalos regulares. Eles podem

- retirar pequenas amostras, interromper a reação em cada uma e titulá-las;
- medir a [absorbância](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/29-cor-e-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) da solução, quando um [reagente](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/12-as-reacoes-quimicas-reagentes-e-produtos#def-g7-chemical-reactions-reactant) ou um produto é colorido;
- medir a pressão ou o volume de um gás liberado, ou a condutividade de uma solução cujos [íons](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/17-os-ions-e-as-solucoes-ionicas#def-g9-ions-ion) mudam.

**Definição 41.1 (Interrupção da reação).**

A *interrupção da reação* numa amostra consiste em parar a reação nela, ou torná-la muito mais lenta, no momento em que a amostra é retirada, em geral resfriando-a de repente e diluindo-a, de modo que a sua composição possa ser medida com calma.

**No laboratório — Interromper a reação numa amostra.**

A cada cinco minutos, $10.0\,\mathrm{mL}$ da [mistura](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/8-substancias-puras-e-misturas#def-g6-pure-substances-and-mixtures-mixture) reacional são retirados com uma pipeta e despejados num béquer com cerca de $40\,\mathrm{mL}$ de água gelada. Diluída cinco vezes e resfriada perto de $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, a reação fica tão lenta que pode ser considerada parada; a amostra é então titulada. O instante da amostra é o momento em que ela foi despejada na água gelada, não o momento da [titulação](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/36-a-titulacao#def-g11-titration-titration).

![Acompanhar uma reação por amostragem: retirar uma amostra, interromper a reação nela e depois medi-la com calma.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-1/g12-reaction-rates/fig-852f08052066.svg)

*Acompanhar uma reação por amostragem: retirar uma amostra, interromper a reação nela e depois medi-la com calma.*

## 41.2 Os fatores cinéticos

**Definição 41.2 (Fator cinético).**

Um *fator cinético* é uma grandeza que muda a velocidade de uma reação sem mudar o que a reação dá: a temperatura, as concentrações dos [reagentes](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/12-as-reacoes-quimicas-reagentes-e-produtos#def-g7-chemical-reactions-reactant), a área de contato entre [reagentes](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/12-as-reacoes-quimicas-reagentes-e-produtos#def-g7-chemical-reactions-reactant) em fases diferentes e a presença de um catalisador (próximo capítulo).

**Proposição 41.3 (Mais quente, mais concentrado, mais fino: mais rápido).**

Em geral, uma reação é mais rápida quando a temperatura é mais alta, quando os [reagentes](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/12-as-reacoes-quimicas-reagentes-e-produtos#def-g7-chemical-reactions-reactant) estão mais concentrados e, para um [reagente](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/12-as-reacoes-quimicas-reagentes-e-produtos#def-g7-chemical-reactions-reactant) sólido, quando ele está mais finamente dividido.

**Demonstração.** Admitido, com uma imagem: as partículas que reagem precisam se encontrar, e com força suficiente. Concentrá-las torna os encontros mais frequentes; dividir um sólido oferece mais superfície para os encontros; aquecer faz as partículas se moverem mais depressa, de modo que elas se encontram mais vezes e, sobretudo, que uma parte maior dos encontros tem energia suficiente para romper ligações. ∎

**Exemplo 41.4 (Três casos do dia a dia).**

Os alimentos duram mais na geladeira e muito mais no congelador: as reações que os estragam ficam mais lentas no frio. A poeira fina de farinha no [ar](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/4-o-ar-uma-mistura-de-gases#def-g4-air-a-mixture-of-gases-air) de um moinho pode explodir, enquanto um saco de farinha só [queima](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/5-a-combustao-do-que-o-fogo-precisa#def-g4-what-a-fire-needs-burning) devagar, sem chama: a mesma reação, uma área de contato enorme. Um comprimido efervescente [se dissolve](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/2-misturar-e-dissolver#def-g2-mixing-and-dissolving-dissolve) mais depressa na água se for triturado antes.

![Uma estátua de calcário desgastada pela chuva: uma reação que leva séculos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-1/g12-reaction-rates/img-d07b57cf1d17.jpg)

*Uma estátua de calcário desgastada pela chuva: uma reação que leva séculos.*

## 41.3 Velocidades de consumo e de formação

**Definição 41.5 (Velocidade de consumo, velocidade de formação).**

Numa solução de volume constante, a *velocidade de consumo* de um [reagente](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/12-as-reacoes-quimicas-reagentes-e-produtos#def-g7-chemical-reactions-reactant) A no instante $t$ é

$$
v_A(t) = -\frac{d[\ce{A}]}{dt},
$$

e a *velocidade de formação* de um produto P é $v_P(t) = \dfrac{d[\ce{P}]}{dt}$. As duas são positivas, em $\mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{min}^{-1}$ (ou por segundo).

**Método 41.6 (Ler uma velocidade numa tangente).**

1. Na curva de $[\ce{A}]$ em função de $t$ , trace a tangente no instante escolhido.
2. Leia dois pontos bem afastados na tangente e calcule a sua inclinação, $\Delta[\ce{A}] / \Delta t$ .
3. A [velocidade de consumo](#def-g12-reaction-rates-rate) é o oposto dessa inclinação (para um produto, a própria inclinação).

![A concentração de um reagente A em função do tempo, para a mesma reação de primeira ordem a duas temperaturas. A tangente em t = 0 (tracejada) dá a velocidade inicial; as linhas pontilhadas marcam as meias-vidas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-1/g12-reaction-rates/fig-16cf37db1153.svg)

*A concentração de um [reagente](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/12-as-reacoes-quimicas-reagentes-e-produtos#def-g7-chemical-reactions-reactant) A em função do tempo, para a mesma [reação de primeira ordem](#def-g12-reaction-rates-first-order) a duas temperaturas. A tangente em $t = 0$ (tracejada) dá a velocidade inicial; as linhas pontilhadas marcam as meias-vidas.*

**Exemplo 41.7 (A velocidade inicial).**

Na curva azul, a tangente em $t = 0$ vai de $10.0\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L}$ em $t = 0$ até $0$ em $t = 20\,\mathrm{min}$: a sua inclinação é $-10.0/20 = -0.50\,\mathrm{mmol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{min}^{-1}$, logo a velocidade inicial de consumo é de $0.50\,\mathrm{mmol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{min}^{-1}$. Depois a curva se achata e a velocidade cai: a reação fica mais lenta à medida que A é consumido.

## 41.4 As reações de primeira ordem

**Definição 41.8 (Reação de primeira ordem, constante de velocidade).**

Uma reação é uma *reação de primeira ordem* em relação a A se a sua [velocidade de consumo](#def-g12-reaction-rates-rate) é proporcional à concentração de A a cada instante:

$$
-\frac{d[\ce{A}]}{dt} = k\,[\ce{A}] .
$$

A constante positiva $k$, em $\mathrm{min}^{-1}$ ou $\mathrm{s}^{-1}$, é a *constante de velocidade*; ela depende da temperatura.

**Proposição 41.9 (Decaimento exponencial).**

Para uma [reação de primeira ordem](#def-g12-reaction-rates-first-order) com concentração inicial $[\ce{A}]_0$,

$$
[\ce{A}](t) = [\ce{A}]_0\, e^{-kt} .
$$

**Demonstração.** A função $f(t) = [\ce{A}]_0 e^{-kt}$ tem derivada $f'(t) = -k [\ce{A}]_0 e^{-kt} = -k f(t)$, logo ela satisfaz a equação de velocidade, e $f(0) = [\ce{A}]_0$. Que ela seja a única função assim é admitido aqui (isso é demonstrado em matemática, para as equações $y' = ay$). ∎

**Método 41.10 (Testar a primeira ordem).**

1. A partir das medidas, calcule $\ln [\ce{A}]$ (ou $\ln A$ para uma [absorbância](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/29-cor-e-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) proporcional a $[\ce{A}]$ ) em cada instante.
2. Trace $\ln[\ce{A}]$ em função de $t$ : como $\ln[\ce{A}] = \ln[\ce{A}]_0 - kt$ , os pontos ficam numa reta se e somente se a reação é de primeira ordem.
3. A inclinação da reta é $-k$ .

## 41.5 A meia-vida

**Definição 41.11 (Meia-vida).**

A *meia-vida* $t_{1/2}$ de uma reação é o tempo necessário para que a concentração do [reagente limitante](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/27-a-tabela-de-avanco#def-g10-reaction-progress-table-limiting) caia à metade do seu valor inicial.

**Proposição 41.12 (A meia-vida de uma reação de primeira ordem).**

Para uma [reação de primeira ordem](#def-g12-reaction-rates-first-order),

$$
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k},
$$

qualquer que seja a concentração inicial; depois de $n$ meias-vidas, a concentração está dividida por $2^n$.

**Demonstração.** $[\ce{A}]_0 e^{-k t_{1/2}} = [\ce{A}]_0 / 2$ dá $e^{-k t_{1/2}} = 1/2$, logo $k t_{1/2} = \ln 2$. Cada nova [meia-vida](#def-g12-reaction-rates-half-life) multiplica de novo a concentração por $e^{-k t_{1/2}} = 1/2$. ∎

**Exemplo 41.13 (Ler as meias-vidas).**

Para $k = 0.050\,\mathrm{min}^{-1}$, $t_{1/2} = 0.693 / 0.050 =
13.9\,\mathrm{min}$: a concentração cai de 10.0 para 5.0, depois 2.5, depois $1.25\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L}$ em 13.9, 27.7 e $41.6\,\mathrm{min}$. O experimento mais quente, com um $k$ duas vezes maior, tem metade da [meia-vida](#def-g12-reaction-rates-half-life), $6.9\,\mathrm{min}$, como mostra a figura.

**Observação 41.14 (Meias-vidas em outros lugares).**

A mesma palavra é usada em física para os [núcleos](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/16-dentro-do-atomo#def-g9-inside-the-atom-nucleus) radioativos, cujo número diminui da mesma maneira exponencial: um decaimento radioativo se comporta como uma [reação de primeira ordem](#def-g12-reaction-rates-first-order). O livro de física trata disso.

![O descoramento do cristal violeta numa solução básica (dados do problema de fim de semana). À esquerda: a absorbância cai seguindo uma exponencial. À direita: A em função de t é uma reta de inclinação -0.116\, min-1: a reação é de primeira ordem em relação ao corante.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-1/g12-reaction-rates/fig-2259de57f08c.svg)

![O descoramento do cristal violeta numa solução básica (dados do problema de fim de semana). À esquerda: a absorbância cai seguindo uma exponencial. À direita: A em função de t é uma reta de inclinação -0.116\, min-1: a reação é de primeira ordem em relação ao corante.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-1/g12-reaction-rates/fig-27a6786471e1.svg)

*O descoramento do cristal violeta numa [solução básica](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/18-acidos-bases-e-ph#def-g9-acids-bases-ph-acidic) (dados do problema de fim de semana). À esquerda: a [absorbância](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/29-cor-e-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) cai seguindo uma exponencial. À direita: $\ln A$ em função de $t$ é uma reta de inclinação $-0.116\,\mathrm{min}^{-1}$: a reação é de primeira ordem em relação ao corante.*

## 41.6 Exercícios

**Exercício 41.1 ★.**

Dê o nome do [fator cinético](#def-g12-reaction-rates-kinetic-factor) que atua em cada caso: uma geladeira conserva os alimentos; o açúcar em pó [se dissolve](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/2-misturar-e-dissolver#def-g2-mixing-and-dissolving-dissolve) mais depressa que um torrão; um ácido mais concentrado ataca o zinco mais depressa; uma maçã cortada escurece mais depressa no verão.

**Solução de Exercício 41.1.**

Temperatura; área de contato; concentração; temperatura.

**Exercício 41.2 ★.**

Leia na figura de $[\ce{A}]$ em função do tempo a [meia-vida](#def-g12-reaction-rates-half-life) de cada experimento. Quanto vale $[\ce{A}]$ na curva azul depois de duas meias-vidas?

**Solução de Exercício 41.2.**

$13.9\,\mathrm{min}$ (azul) e $6.9\,\mathrm{min}$ (vermelha). Depois de duas meias-vidas, $10.0 / 4 = 2.5\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L}$.

**Exercício 41.3 ★.**

Uma tangente à curva de um produto, traçada em $t = 5\,\mathrm{min}$, passa por $(0, 1.0\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L})$ e $(10\,\mathrm{min}, 5.0\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L})$. Qual é a [velocidade de formação](#def-g12-reaction-rates-rate) do produto em $5\,\mathrm{min}$?

**Solução de Exercício 41.3.**

Inclinação $(5.0 - 1.0)/10 = 0.40\,\mathrm{mmol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{min}^{-1}$: essa é a [velocidade de formação](#def-g12-reaction-rates-rate) em $5\,\mathrm{min}$.

**Exercício 41.4 ★.**

Por que uma amostra é despejada em água gelada antes de ser titulada? Por que o instante da amostra deve ser anotado quando ela é despejada, e não quando ela é titulada?

**Solução de Exercício 41.4.**

O resfriamento e a [diluição](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/26-concentracao-e-diluicao#def-g10-concentration-and-dilution-dilution) tornam a reação tão lenta que a composição não muda mais durante a [titulação](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/36-a-titulacao#def-g11-titration-titration). A composição medida é a que a [mistura](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/8-substancias-puras-e-misturas#def-g6-pure-substances-and-mixtures-mixture) tinha quando a reação foi interrompida, no momento em que foi despejada.

**Exercício 41.5 ★.**

Uma [reação de primeira ordem](#def-g12-reaction-rates-first-order) tem uma [meia-vida](#def-g12-reaction-rates-half-life) de $10\,\mathrm{min}$. Que fração do [reagente](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/12-as-reacoes-quimicas-reagentes-e-produtos#def-g7-chemical-reactions-reactant) resta depois de $30\,\mathrm{min}$? E depois de $1\,\mathrm{h}$?

**Solução de Exercício 41.5.**

$30\,\mathrm{min}$ são 3 meias-vidas: resta $1/8$. $1\,\mathrm{h}$ são 6 meias-vidas: $1/64$, cerca de $1.6\,\%$.

**Exercício 41.6 ★★.**

Concentrações de um [reagente](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/12-as-reacoes-quimicas-reagentes-e-produtos#def-g7-chemical-reactions-reactant), em $\mathrm{mmol}/\mathrm{L}$: 8.00 em $0\,\mathrm{min}$, 5.66 em $5\,\mathrm{min}$, 4.00 em $10\,\mathrm{min}$, 2.83 em $15\,\mathrm{min}$, 2.00 em $20\,\mathrm{min}$. Calcule $\ln[\ce{A}]$ em cada instante e mostre que a reação é de primeira ordem. Encontre $k$ e a [meia-vida](#def-g12-reaction-rates-half-life).

**Solução de Exercício 41.6.**

$\ln[\ce{A}]$: 2.079, 1.733, 1.386, 1.040, 0.693. Ele diminui 0.346 a cada $5\,\mathrm{min}$: uma reta, primeira ordem. $k = 0.346/5 =
0.0693\,\mathrm{min}^{-1}$ e $t_{1/2} = \ln 2 / k = 10.0\,\mathrm{min}$ (como se vê diretamente: 8.00, 4.00, 2.00 a cada $10\,\mathrm{min}$).

**Exercício 41.7 ★★.**

Uma [reação de primeira ordem](#def-g12-reaction-rates-first-order) tem $t_{1/2} = 25\,\mathrm{s}$. Calcule $k$.

**Solução de Exercício 41.7.**

$k = 0.693 / 25 = 0.0277\,\mathrm{s}^{-1}$.

**Exercício 41.8 ★★.**

Para $[\ce{A}]_0 = 0.100\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$ e $k = 0.020\,\mathrm{min}^{-1}$, calcule $[\ce{A}]$ depois de 10, 30 e $100\,\mathrm{min}$.

**Solução de Exercício 41.8.**

$0.100\,e^{-0.20} = 0.0819\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$; $0.100\,e^{-0.60} =
0.0549\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$; $0.100\,e^{-2.0} = 0.0135\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$.

**Exercício 41.9 ★★.**

Na figura de $[\ce{A}]$ em função do tempo, estime a inclinação da curva azul em $t = 13.9\,\mathrm{min}$ (trace uma tangente), e compare-a com $-k[\ce{A}]$ nesse instante.

**Solução de Exercício 41.9.**

Em $13.9\,\mathrm{min}$, $[\ce{A}] = 5.0\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L}$; a inclinação da tangente é próxima de $-0.25$, e $-k[\ce{A}] = -0.050 \times 5.0 =
-0.25\,\mathrm{mmol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{min}^{-1}$: a metade do valor inicial.

**Exercício 41.10 ★★.**

O iodo $\ce{I2}$, marrom, se forma lentamente numa solução incolor. A [absorbância](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/29-cor-e-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) sobe de 0 em direção a 0.60. Explique por que a [absorbância](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/29-cor-e-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) pode ser usada para acompanhar $[\ce{I2}]$, e como a [velocidade de formação](#def-g12-reaction-rates-rate) num dado instante é lida na curva de $A$ em função de $t$.

**Solução de Exercício 41.10.**

O iodo é a única espécie colorida: pela lei de Beer–Lambert, $A = \varepsilon \ell [\ce{I2}]$. A [velocidade de formação](#def-g12-reaction-rates-rate) é a inclinação da tangente à curva $[\ce{I2}](t)$, isto é, a inclinação da tangente a $A(t)$ dividida por $\varepsilon \ell$.

**Exercício 41.11 ★★.**

Dois experimentos da mesma reação começam com $[\ce{A}]_0 = 10$ e $20\,\mathrm{mmol}/\mathrm{L}$. Se a reação é de primeira ordem, compare as suas velocidades iniciais e as suas meias-vidas.

**Solução de Exercício 41.11.**

A velocidade inicial $k[\ce{A}]_0$ é duas vezes maior no segundo experimento; as meias-vidas são iguais, $\ln 2 / k$, independentes de $[\ce{A}]_0$.

**Exercício 41.12 ★★★.**

Quantas meias-vidas uma [reação de primeira ordem](#def-g12-reaction-rates-first-order) leva para chegar a $1\,\%$ do seu [reagente](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/12-as-reacoes-quimicas-reagentes-e-produtos#def-g7-chemical-reactions-reactant)? E a $0.1\,\%$? Dê a fórmula geral do tempo necessário para cair a uma fração $f$.

**Solução de Exercício 41.12.**

$t = \ln(1/f)/k$. Em meias-vidas: $\ln(1/f)/\ln 2$. Para $1\,\%$, $\ln 100 / \ln 2 = 6.6$; para $0.1\,\%$, $\ln 1000 / \ln 2 =
10.0$.

**Exercício 41.13 ★★★.**

Uma reação tem $k = 0.050\,\mathrm{min}^{-1}$ a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $k = 0.100\,\mathrm{min}^{-1}$ a $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Quanto tempo ela leva para consumir $90\,\%$ do [reagente](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/12-as-reacoes-quimicas-reagentes-e-produtos#def-g7-chemical-reactions-reactant) a cada temperatura? Uma regra prática comum diz que a velocidade dobra a cada $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: esta reação a segue?

**Solução de Exercício 41.13.**

$90\,\%$ consumidos, $f = 0.10$: $t = \ln 10 / k$, isto é, $46\,\mathrm{min}$ a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $23\,\mathrm{min}$ a $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. A [constante de velocidade](#def-g12-reaction-rates-first-order) dobra em $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: a regra vale aqui.

**Exercício 41.14 ★★★.**

Interrompe-se a reação numa amostra despejando $5.0\,\mathrm{mL}$ dela em $45\,\mathrm{mL}$ de água gelada. Dê duas razões pelas quais a reação fica muito mais lenta. Se a reação é de primeira ordem em relação a cada um de dois [reagentes](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/12-as-reacoes-quimicas-reagentes-e-produtos#def-g7-chemical-reactions-reactant), por que fator a [diluição](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/26-concentracao-e-diluicao#def-g10-concentration-and-dilution-dilution) sozinha divide a velocidade?

**Solução de Exercício 41.14.**

A temperatura cai para perto de $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, e as concentrações são divididas por 10. Com uma velocidade proporcional ao produto de duas concentrações, a [diluição](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/26-concentracao-e-diluicao#def-g10-concentration-and-dilution-dilution) sozinha a divide por $10 \times 10 = 100$.

**Exercício 41.15 ★★★.**

Mostre, derivando, que a [velocidade de consumo](#def-g12-reaction-rates-rate) de uma [reação de primeira ordem](#def-g12-reaction-rates-first-order) é ela própria uma função exponencial do tempo, $v(t) = k[\ce{A}]_0 e^{-kt}$. Qual é a velocidade inicial? Depois de quanto tempo a velocidade é a metade da velocidade inicial?

**Solução de Exercício 41.15.**

$v(t) = -\dfrac{d}{dt}\big([\ce{A}]_0 e^{-kt}\big) = k[\ce{A}]_0 e^{-kt}$. Velocidade inicial $k[\ce{A}]_0$; a velocidade cai à metade quando $e^{-kt} = 1/2$, isto é, depois de uma [meia-vida](#def-g12-reaction-rates-half-life).

## 41.7 Problema: o corante que desbota

**Problema 41.1.**

Problema de fim de semana — o cristal violeta descorado pelos íons hidróxido: quanto tempo até a cor quase desaparecer?

O corante violeta chamado cristal violeta reage com os [íons](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/17-os-ions-e-as-solucoes-ionicas#def-g9-ions-ion) hidróxido e dá um produto incolor. Com um grande excesso de hidróxido, a velocidade só depende da concentração do corante. A [absorbância](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/29-cor-e-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) da solução é registrada no comprimento de onda em que o corante absorve mais:

| $t$ ($\mathrm{min}$) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 15 | 20 | 25 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $A$ | 0.800 | 0.639 | 0.501 | 0.402 | 0.315 | 0.255 | 0.199 | 0.143 | 0.078 | 0.046 |

**Parte I — [Absorbância](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/29-cor-e-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) e concentração.**

1. Por que a [absorbância](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/29-cor-e-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) é proporcional à concentração do corante? Que condição a solução deve satisfazer?
2. Por que o produto, incolor, não é visto nesse comprimento de onda?
3. Por que o hidróxido é usado em grande excesso?
4. O que se leria no espectrofotômetro no fim da reação?

**Parte II — É de primeira ordem?**

5. Leia a [meia-vida](#def-g12-reaction-rates-half-life) diretamente na tabela.
6. Verifique que ela é a mesma de $t = 6$ a $t = 12$ min.
7. Calcule $\ln A$ para cada instante.
8. Trace $\ln A$ em função de $t$ (ou use a figura do capítulo). O que você observa? Conclua.
9. Calcule a inclinação a partir dos pontos em 0 e $20\,\mathrm{min}$ .

**Parte III — A [constante de velocidade](#def-g12-reaction-rates-first-order).**

10. Deduza $k$ .
11. Calcule a [meia-vida](#def-g12-reaction-rates-half-life) a partir de $k$ , e compare com a questão 5.
12. Calcule a velocidade inicial de consumo do corante, expressa como uma velocidade de diminuição da [absorbância](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/29-cor-e-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) .
13. Qual seria a [meia-vida](#def-g12-reaction-rates-half-life) se a [absorbância](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/29-cor-e-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) inicial fosse 0.400?

**Parte IV — Previsão.**

14. Preveja a [absorbância](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/29-cor-e-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) em $30\,\mathrm{min}$ .
15. Em que instante a [absorbância](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/29-cor-e-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) cai a 0.008, $1\,\%$ do seu valor inicial?
16. Quantas meias-vidas são isso?
17. O olho deixa de ver a cor abaixo de cerca de $A = 0.010$ . Quando a solução parece incolor?
18. O experimento é repetido $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ mais quente, e a [meia-vida](#def-g12-reaction-rates-half-life) passa a ser $3.0\,\mathrm{min}$ . Quando se chega a $1\,\%$ ?
19. Dê a resposta final: quantas meias-vidas a cor leva para cair a $1\,\%$ do seu valor inicial, e quantos minutos são isso aqui?

**Solução de Problema 41.1.**

**1.** Pela lei de Beer–Lambert, sendo o corante a única espécie que absorve nesse comprimento de onda; a solução deve ser diluída o bastante ($A$ abaixo de cerca de 1).

**2.** Ele não absorve nenhuma luz visível: não acrescenta nada a $A$.

**3.** Para que a sua concentração quase não mude: a velocidade passa então a depender só do corante.

**4.** $A = 0$ (o branco).

**5.** $A$ cai de 0.800 para 0.402 em $6\,\mathrm{min}$: cerca de $6\,\mathrm{min}$.

**6.** De 0.402 em $6\,\mathrm{min}$ para 0.199 em $12\,\mathrm{min}$: de novo dividida por dois em $6\,\mathrm{min}$.

**7.** $-0.223$, $-0.448$, $-0.691$, $-0.911$, $-1.155$, $-1.366$, $-1.614$, $-1.945$, $-2.551$, $-3.079$.

**8.** Os pontos ficam numa reta: a reação é de primeira ordem em relação ao corante.

**9.** $(-2.551 + 0.223)/20 = -0.116\,\mathrm{min}^{-1}$.

**10.** $k = 0.116\,\mathrm{min}^{-1}$.

**11.** $0.693 / 0.116 = 6.0\,\mathrm{min}$, como lido na tabela.

**12.** $k A_0 = 0.116 \times 0.800 = 0.093\,\mathrm{min}^{-1}$, em unidades de [absorbância](https://one-course.com/books/chemistry/1/pt/chapter/29-cor-e-absorbancia#def-g11-absorbance-absorbance) por minuto.

**13.** A mesma, $6.0\,\mathrm{min}$: a [meia-vida](#def-g12-reaction-rates-half-life) de uma [reação de primeira ordem](#def-g12-reaction-rates-first-order) não depende do valor inicial.

**14.** $0.800\, e^{-0.116 \times 30} = 0.025$.

**15.** $t = \ln 100 / k = 4.61 / 0.116 = 40\,\mathrm{min}$.

**16.** $40 / 6.0 = 6.6$ meias-vidas.

**17.** $t = \ln(0.800/0.010)/k = 4.38 / 0.116 = 38\,\mathrm{min}$.

**18.** Ainda 6.6 meias-vidas, agora $6.6 \times 3.0 = 20\,\mathrm{min}$.

**19.** Cerca de 6.6 meias-vidas, isto é, cerca de $40\,\mathrm{min}$ aqui.