--- title: "La RMN en profundidad: pulsos, relajación y 2D" book: "Química universitaria — tercer año" subject: chemistry language: es chapter: 8 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/chemistry/4/es/chapter/8-la-rmn-en-profundidad-pulsos-relajacion-y-2d license: CC-BY-NC-SA-4.0 credit: "One Chemistry Book, One Course (one-course.com)" --- # Capítulo 8 — La RMN en profundidad: pulsos, relajación y 2D Un escáner de resonancia magnética de hospital y el espectrómetro de RMN de un departamento de química funcionan con el mismo principio. Ambos colocan núcleos de hidrógeno en un campo magnético intenso, inclinan su magnetización con un breve pulso de ondas de radio y escuchan la débil señal que esta induce al precesar y relajarse. El escáner convierte la señal en una imagen de los tejidos blandos; el espectrómetro, en una lista de desplazamientos químicos y acoplamientos y, con varios pulsos seguidos, en mapas bidimensionales que muestran qué átomo está enlazado a cuál. Este capítulo explica qué hacen los pulsos, por qué se desvanece la señal y cómo se leen los [espectros bidimensionales](#def-b3-advanced-nmr-two-d) —el método con el que hoy se resuelven la mayoría de las nuevas estructuras orgánicas. **Lo que ya sabes.** El volumen del primer año interpretó espectros de RMN de ${}^1$H: desplazamiento químico, apantallamiento, protones equivalentes, integración, acoplamiento espín–espín, constantes de acoplamiento y multipletes. El volumen del segundo año añadió la RMN de ${}^{13}$C con desacoplamiento de banda ancha y el DEPT, cuya secuencia de pulsos tomó como dada; los pulsos se explican aquí. El [Capítulo 2](https://one-course.com/books/chemistry/4/es/chapter/2-atomos-polielectronicos-y-simbolos-de-termino#ch-b3-many-electron-atoms) trató el espín como un momento angular. De la física: un momento magnético en un campo tiene la energía $-\boldsymbol\mu\cdot\mathbf B$, y las poblaciones de los niveles siguen el factor de Boltzmann $\eu^{-\Delta E/kT}$, desarrollado en el [Capítulo 10](https://one-course.com/books/chemistry/4/es/chapter/10-termodinamica-estadistica-funciones-de-particion#ch-b3-partition-functions). ![Izquierda: un escáner de resonancia magnética de hospital. Derecha: un laboratorio de RMN; cada imán superconductor está en su criostato, que se rellena con helio líquido y nitrógeno líquido desde los dewars de la izquierda. Fotografía de Shandchem, CC BY 2.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-advanced-nmr/img-eacbcc6419c7.jpg) ![Izquierda: un escáner de resonancia magnética de hospital. Derecha: un laboratorio de RMN; cada imán superconductor está en su criostato, que se rellena con helio líquido y nitrógeno líquido desde los dewars de la izquierda. Fotografía de Shandchem, CC BY 2.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-advanced-nmr/img-b21e496c2d1d.jpg) *Izquierda: un escáner de resonancia magnética de hospital. Derecha: un laboratorio de RMN; cada imán superconductor está en su criostato, que se rellena con helio líquido y nitrógeno líquido desde los dewars de la izquierda. Fotografía de Shandchem, CC BY 2.0.* ## 8.1 Espines nucleares en un campo magnético **Definición 8.1 (Número cuántico de espín nuclear, relación giromagnética).** Un núcleo tiene un momento angular de espín de número cuántico $I$, su *número cuántico de espín nuclear* ($I = 0$ para $\ce{^{12}C}$, $\ce{^{16}O}$; $\frac12$ para $\ce{^1H}$, $\ce{^{13}C}$, $\ce{^{15}N}$, $\ce{^{19}F}$, $\ce{^{31}P}$; 1 para $\ce{^2H}$, $\ce{^{14}N}$), y un momento magnético $\boldsymbol\mu = \gamma\hat{\mathbf I}$ proporcional a él; $\gamma$ es la *relación giromagnética*. Según un campo $B_0$ (eje $z$), $\hat I_z$ toma los valores $m_I\hbar$, $m_I = -I, \dots, I$. **Proposición 8.2 (Niveles Zeeman).** En un campo $B_0$, los niveles son $E_m = -m_I\gamma\hbar B_0$; las transiciones $\Delta m_I = \pm1$ absorben a la frecuencia $$ \nu_0 = \frac{\gamma B_0}{2\pi}. $$ **Demostración.** $E = -\boldsymbol\mu\cdot\mathbf B = -\gamma B_0\hat I_z$, de [valores propios](https://one-course.com/books/chemistry/4/es/chapter/1-mecanica-cuantica-para-quimicos-sistemas-modelo#def-b3-quantum-model-systems-operator) $-\gamma B_0m_I\hbar$. Los niveles adyacentes difieren en $\gamma\hbar B_0 = h\nu_0$. ∎ **Definición 8.3 (Frecuencia de Larmor).** $\nu_0 = \gamma B_0/2\pi$ es la *frecuencia de Larmor* del núcleo: la frecuencia de la resonancia, y también la frecuencia a la que su momento magnético precesa en torno al campo. **Ejemplo 8.4 (Los núcleos habituales).** Para un núcleo de espín $\frac12$ y momento $\mu$, $\gamma/2\pi = \mu/(Ih) = 2\mu/h$. Con los momentos medidos: $\ce{^1H}$ $42.58\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$, $\ce{^{19}F}$ $40.08\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$, $\ce{^{31}P}$ $17.25\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$, $\ce{^{13}C}$ $10.71\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$, $\ce{^{15}N}$ $-4.32\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$. Un “espectrómetro de $400\,\mathrm{MHz}$” tiene $B_0 = 9.4\,\mathrm{T}$: sus protones resuenan a $400.2\,\mathrm{MHz}$ y sus carbonos a $100.7\,\mathrm{MHz}$. **Proposición 8.5 (Una diferencia de población minúscula).** Para un espín $\frac12$ a la temperatura $T$, el exceso de núcleos en el nivel inferior es $$ \frac{N_\alpha - N_\beta}{N} \approx \frac{\gamma\hbar B_0}{2kT}. $$ **Demostración.** $N_\beta/N_\alpha = \eu^{-\Delta E/kT} \approx 1 - \Delta E/kT$, ya que $\Delta E \ll kT$; así, $(N_\alpha - N_\beta)/(N_\alpha + N_\beta) \approx \Delta E/2kT$, con $\Delta E = \gamma\hbar B_0$. ∎ Para los protones a $9.4\,\mathrm{T}$ y $300\,\mathrm{K}$, el exceso es de $3.2 \times 10^{-5}$: solo contribuyen tres núcleos de cada cien mil. Como tanto el exceso como la tensión inducida en la bobina crecen con $\gamma$ y $B_0$, la señal crece aproximadamente como $\gamma^3B_0^2$: de ahí la carrera hacia imanes cada vez más potentes, y la baja sensibilidad de los núcleos con $\gamma$ pequeño y baja abundancia natural, como el $\ce{^{13}C}$. ## 8.2 Pulsos y decaimiento de inducción libre **Definición 8.6 (Magnetización neta, sistema de referencia rotatorio).** La *magnetización neta* $\mathbf M$ de una muestra es la suma de sus momentos magnéticos nucleares por unidad de volumen; en el equilibrio vale $M_0$ según $\mathbf B_0$. El *sistema de referencia rotatorio* es un conjunto de ejes $x'$, $y'$, $z$ que gira en torno a $z$ a la frecuencia de las ondas de radio aplicadas; en él, la precesión a $\nu_0$ se ve frenada hasta la diferencia $\nu_0 - \nu_{\mathrm{rf}}$. **Proposición 8.7 (Precesión).** Una magnetización en un campo obedece a $\dd\mathbf M/\dd t = \gamma\,\mathbf M\times\mathbf B$; en un campo estático $B_0\mathbf e_z$, su componente transversal gira en torno a $z$ a la frecuencia angular $\omega_0 = \gamma B_0$, mientras $M_z$ permanece constante. **Demostración parcial.** La ecuación es la ecuación clásica del momento de fuerza para un momento magnético que lleva momento angular, que se admite de la física. Con $\mathbf B = B_0\mathbf e_z$: $\dot M_x = \gamma B_0M_y$, $\dot M_y = -\gamma B_0M_x$, $\dot M_z = 0$, cuya solución es $M_x + \iu M_y \propto \eu^{-\iu\gamma B_0t}$: una rotación a $\omega_0$ (en sentido horario vista desde $+z$ para $\gamma > 0$). ∎ **Definición 8.8 (Pulso de radiofrecuencia, ángulo de nutación).** Un *pulso de radiofrecuencia* es una breve ráfaga de ondas de radio a $\nu_{\mathrm{rf}} \approx \nu_0$, cuyo campo magnético $B_1$, fijo en el sistema rotatorio según $x'$, hace girar $\mathbf M$ en torno a $x'$. El ángulo girado es el *ángulo de nutación* $\theta = \gamma B_1t_p$ para un pulso de duración $t_p$: un pulso de $90^\circ$ lleva $\mathbf M$ al plano $x'y'$, y uno de $180^\circ$ la invierte. ![La magnetización en el sistema de referencia rotatorio. Un pulso de 90 en torno a x' lleva M de z a y' (con > 0, la rotación sigue la regla de la mano izquierda en torno a B_1, el convenio habitual); un pulso de 180 la invierte.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-advanced-nmr/fig-8a6770b4d3c7.svg) *La magnetización en el [sistema de referencia rotatorio](#def-b3-advanced-nmr-magnetisation). Un pulso de $90^\circ$ en torno a $x'$ lleva $\mathbf M$ de $z$ a $y'$ (con $\gamma > 0$, la rotación sigue la regla de la mano izquierda en torno a $\mathbf B_1$, el convenio habitual); un pulso de $180^\circ$ la invierte.* **Definición 8.9 (Decaimiento de inducción libre).** Tras un pulso de $90^\circ$, la magnetización transversal precesa a la [frecuencia de Larmor](#def-b3-advanced-nmr-larmor) e induce una tensión oscilante en la bobina que rodea la muestra, que se extingue a medida que la magnetización se relaja: es el *decaimiento de inducción libre* (FID). **Teorema 8.10 (Del FID al espectro).** La transformada de Fourier de una oscilación amortiguada $\eu^{-t/T_2}\cos(2\pi\nu t)$ ($t \ge 0$) es, cerca de $\nu$, una raya lorentziana de anchura total a media altura $1/(\pi T_2)$. **Demostración.** Si se escribe la señal como $\eu^{-t/T_2}\eu^{2\pi\iu\nu t}$ y se integra, se obtiene $\int_0^\infty\eu^{-t/T_2}\eu^{2\pi\iu(\nu - f)t}\dd t = \frac{1}{1/T_2 - 2\pi\iu(\nu - f)}$, cuya parte real es $\frac{T_2}{1 + 4\pi^2T_2^2(f - \nu)^2}$. Es máxima en $f = \nu$ y cae a la mitad cuando $2\pi T_2|f - \nu| = 1$, es decir, en $f - \nu = \pm1/(2\pi T_2)$: una anchura total de $1/(\pi T_2)$. ∎ ![Izquierda: el FID de dos rayas (diferencias de 100 y 250\, Hz, T_2 = 0.10\, s), con pulsaciones por la interferencia de las dos frecuencias dentro de una envolvente exponencial (trazo discontinuo). Derecha: su transformada de Fourier, dos rayas lorentzianas de 3.2\, Hz de anchura.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-advanced-nmr/fig-4a696426dc36.svg) *Izquierda: el FID de dos rayas (diferencias de 100 y $250\,\mathrm{Hz}$, $T_2 = 0.10\,\mathrm{s}$), con pulsaciones por la interferencia de las dos frecuencias dentro de una envolvente exponencial (trazo discontinuo). Derecha: su transformada de Fourier, dos rayas lorentzianas de $3.2\,\mathrm{Hz}$ de anchura.* **Proposición 8.11 (Acumulación de señal).** Sumar $N$ FID multiplica la señal por $N$ y el ruido aleatorio por $\sqrt N$: la relación señal/ruido crece como $\sqrt N$. **Demostración.** La señal se suma de forma coherente. El ruido de adquisiciones independientes tiene media nula y varianza $\sigma^2$ cada una; la varianza de una suma de $N$ términos independientes es $N\sigma^2$ (la ley de propagación del volumen del segundo año), de modo que su desviación típica es $\sqrt N\sigma$. ∎ El DEPT, que clasifica las señales de ${}^{13}$C según el número de hidrógenos unidos, aplica una secuencia de pulsos a protones y carbonos separados por esperas de $1/2J$: la gran magnetización de los protones se transfiere al carbono a través del acoplamiento a un enlace, lo que multiplica la señal del carbono por unos $\gamma_H/\gamma_C \approx 4$, y el ángulo del último pulso de protones pondera de distinto modo CH, $\ce{CH2}$ y $\ce{CH3}$. La misma idea —trasladar magnetización entre núcleos a través de sus acoplamientos— está en la base de los experimentos bidimensionales que siguen. ## 8.3 Relajación **Definición 8.12 (Tiempos de relajación longitudinal y transversal).** El retorno de $M_z$ a $M_0$ tras una perturbación es exponencial, con el *tiempo de relajación longitudinal* $T_1$ (relajación espín–red: energía cedida al entorno). El decaimiento de la magnetización transversal hasta cero es exponencial, con el *tiempo de relajación transversal* $T_2 \le T_1$ (relajación espín–espín: pérdida de coherencia de fase entre los espines). **Proposición 8.13 (Inversión-recuperación).** Tras un pulso de $180^\circ$, $M_z(t) = M_0(1 - 2\eu^{-t/T_1})$; pasa por cero en $t_{\mathrm{nulo}} = T_1\ln2$. **Demostración.** La ecuación de relajación $\dd M_z/\dd t = (M_0 - M_z)/T_1$ con $M_z(0) = -M_0$ tiene la solución $M_0 - 2M_0\eu^{-t/T_1}$, que se anula cuando $\eu^{-t/T_1} = \frac12$. ∎ **Método 8.14 (Medir T1T_1T1​ y fijar una espera de reciclado cuantitativa).** 1. Ejecutar la secuencia $180^\circ$ – $\tau$ – $90^\circ$ –adquisición para una serie de esperas $\tau$ , aguardando al menos $5T_1$ entre barridos. 2. Ajustar cada señal a $M_0(1 - 2\eu^{-\tau/T_1})$ , o leer el paso por cero: $T_1 = t_{\mathrm{nulo}}/\ln2$ . 3. Para una integración cuantitativa con pulsos de $90^\circ$ , esperar al menos $5T_1$ del núcleo más lento entre barridos: así falta $\eu^{-5} < 1\,\%$ de la magnetización. ![Relajación (valores modelo). La magnetización longitudinal invertida se recupera pasando por cero en T_1 2; la magnetización transversal decae más deprisa, con T_2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-advanced-nmr/fig-43aa0cdc5c8f.svg) *Relajación (valores modelo). La magnetización longitudinal invertida se recupera pasando por cero en $T_1\ln2$; la magnetización transversal decae más deprisa, con $T_2$.* **Definición 8.15 (Eco de espín).** En la secuencia $90^\circ$–$\tau$–$180^\circ$–$\tau$, los espines que se han desfasado por las inhomogeneidades del campo se reenfocan en el instante $2\tau$ y producen un *eco de espín*; su amplitud decae con el verdadero $T_2$, libre de la inhomogeneidad del imán. **Definición 8.16 (Efecto Overhauser nuclear).** Saturar o perturbar un espín cambia, a través de su relajación dipolar, la intensidad de la señal de otro espín próximo en el espacio: es el *efecto Overhauser nuclear* (NOE). Su velocidad de crecimiento es proporcional a $r^{-6}$, de modo que solo se observa entre núcleos separados menos de unos $0.5\,\mathrm{nm}$, estén enlazados o no. ## 8.4 RMN bidimensional **Definición 8.17 (Espectro bidimensional, pico de cruce, pico diagonal).** Un *espectro bidimensional* se registra repitiendo una secuencia de pulsos con una espera $t_1$, que se va incrementando, antes del tiempo de adquisición $t_2$; una doble transformada de Fourier da un mapa de intensidad en función de dos frecuencias. Un *pico de cruce* en $(\delta_1, \delta_2)$ muestra que los núcleos a $\delta_1$ y $\delta_2$ están conectados (por un acoplamiento o por proximidad); un *pico diagonal* en $(\delta, \delta)$ pertenece a un solo núcleo. **Definición 8.18 (COSY, HSQC, HMBC, NOESY).** El *COSY* (espectroscopia de correlación) correlaciona protones acoplados entre sí, normalmente a través de tres enlaces (H–C–C–H). El *HSQC* (coherencia heteronuclear de cuanto único) correlaciona cada carbono con los protones directamente unidos a él. El *HMBC* (correlación heteronuclear a varios enlaces) correlaciona carbonos con protones situados a dos o tres enlaces, a través de carbonos cuaternarios y heteroátomos. El *NOESY* correlaciona protones próximos en el espacio a través del [efecto Overhauser nuclear](#def-b3-advanced-nmr-noe). ![Secuencias de pulsos (el tiempo avanza hacia la derecha; rectángulos llenos: pulsos, etiquetados con su ángulo de nutación en grados; en azul, la señal registrada). El eco de espín alcanza su máximo a 2 del primer pulso.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-advanced-nmr/fig-9ecf9212b317.svg) *Secuencias de pulsos (el tiempo avanza hacia la derecha; rectángulos llenos: pulsos, etiquetados con su [ángulo de nutación](#def-b3-advanced-nmr-pulse) en grados; en azul, la señal registrada). El [eco de espín](#def-b3-advanced-nmr-echo) alcanza su máximo a $2\tau$ del primer pulso.* **Método 8.19 (Resolver una estructura con espectros bidimensionales).** 1. A partir de la fórmula, de las integrales de ${}^1$ H y del espectro de ${}^{13}$ C/DEPT, enumerar los carbonos CH, $\ce{CH2}$ , $\ce{CH3}$ y cuaternarios. 2. [HSQC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) : asignar cada señal de protón a su carbono. 3. [COSY](#def-b3-advanced-nmr-experiments) : unir los carbonos protonados en sistemas de espín (cadenas de vecinos). 4. [HMBC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) : unir los sistemas de espín a través de carbonos cuaternarios, carbonilos y heteroátomos, donde el [COSY](#def-b3-advanced-nmr-experiments) no dice nada. 5. [NOESY](#def-b3-advanced-nmr-experiments) : fijar configuraciones relativas y conformaciones a partir de los contactos a través del espacio. 6. Comprobar cada señal con la estructura propuesta. ![Espectros bidimensionales del butanoato de etilo, CH3CH2CH2COOCH2CH3, dibujados con sus desplazamientos medidos. COSY: en negro, los picos diagonales; en rojo, los picos de cruce entre protones de carbonos vecinos —dos sistemas de espín, etilo y propilo, sin ningún pico de cruce a través del oxígeno del éster. Derecha: los picos HSQC (cuadrados) unen cada protón con su carbono; los picos HMBC (círculos) muestran que los protones OCH_2 (4.13\, ppm) y los protones CH_2C=O (2.28\, ppm) alcanzan ambos el carbono carbonílico a 173.6\, ppm.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-advanced-nmr/fig-d2288801bee3.svg) *[Espectros bidimensionales](#def-b3-advanced-nmr-two-d) del butanoato de etilo, $\ce{CH3CH2CH2COOCH2CH3}$, dibujados con sus desplazamientos medidos. [COSY](#def-b3-advanced-nmr-experiments): en negro, los [picos diagonales](#def-b3-advanced-nmr-two-d); en rojo, los [picos de cruce](#def-b3-advanced-nmr-two-d) entre protones de carbonos vecinos —dos sistemas de espín, etilo y propilo, sin ningún [pico de cruce](#def-b3-advanced-nmr-two-d) a través del oxígeno del éster. Derecha: los picos [HSQC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) (cuadrados) unen cada protón con su carbono; los picos [HMBC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) (círculos) muestran que los protones OCH$_2$ ($4.13\,\mathrm{ppm}$) y los protones CH$_2$C=O ($2.28\,\mathrm{ppm}$) alcanzan ambos el carbono carbonílico a $173.6\,\mathrm{ppm}$.* ## 8.5 Otros núcleos y dinámica El flúor 19 y el fósforo 31, de espín $\frac12$, abundantes al 100 % y con $\gamma$ grande, son casi tan fáciles de observar como los protones; sus amplios intervalos de desplazamientos los convierten en sondas precisas de su entorno (fármacos, fosfatos, ligandos como las fosfinas del [Capítulo 20](https://one-course.com/books/chemistry/4/es/chapter/20-quimica-organometalica-enlace-y-ligandos#ch-b3-organometallic-bonding)). El nitrógeno 15 es raro y débil, y suele observarse indirectamente a través de los protones unidos a él. El acoplamiento entre núcleos distintos se elimina por desacoplamiento, como para el ${}^{13}$C en el volumen del segundo año. **Definición 8.20 (Temperatura de coalescencia).** Cuando un núcleo se intercambia entre dos entornos de desplazamientos separados por $\Delta\nu$ (en hercios), sus dos rayas se ensanchan a medida que el intercambio se acelera y se funden en una sola a la *temperatura de coalescencia* $T_c$. **Proposición 8.21 (Velocidad en la coalescencia).** Para dos sitios igualmente poblados sin acoplamiento, la constante de velocidad de intercambio en la coalescencia es $k_c = \pi\Delta\nu/\sqrt2$. **Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎ La deducción, a partir de las ecuaciones de Bloch con intercambio, corresponde a cursos más avanzados. Con la ecuación de Eyring ([Capítulo 12](https://one-course.com/books/chemistry/4/es/chapter/12-teorias-de-la-velocidad-de-reaccion#ch-b3-rate-theories)), la velocidad da la barrera: la RMN dinámica mide rotaciones en torno a enlaces amida, inversiones de anillos e intercambios de ligandos con barreras de 40 a $100\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$. **Ejemplo 8.22 (Una imagen de resonancia magnética).** En la resonancia magnética de imagen, un gradiente de campo hace que la [frecuencia de Larmor](#def-b3-advanced-nmr-larmor) de los protones del agua dependa de la posición, de modo que la transformada de Fourier de la señal es un mapa de dónde están. El contraste procede de la relajación: el tiempo de repetición y las esperas de eco se eligen para ponderar la imagen por $T_1$ o por $T_2$, que difieren de un tejido a otro; los agentes de contraste que contienen gadolinio acortan el $T_1$ del agua cercana ([Capítulo 24](https://one-course.com/books/chemistry/4/es/chapter/24-quimica-bioinorganica#ch-b3-bioinorganic)). **En el laboratorio — Preparar un espectrómetro.** La muestra, disuelta en un disolvente deuterado, se baja hasta la sonda. El espectrómetro se enclava (“lock”) en la señal del deuterio para compensar la lenta deriva del campo; la sonda se sintoniza y se adapta a la frecuencia de cada núcleo; el campo se hace homogéneo sobre la muestra ajustando las bobinas de corrección (“shims”) hasta que las rayas son estrechas. El campo del imán es permanente: las herramientas de acero, las tarjetas de crédito y los marcapasos se mantienen fuera de la línea de seguridad marcada. **Historia — De la resonancia a las dos dimensiones.** Felix Bloch y Edward Purcell detectaron la resonancia magnética nuclear en la materia condensada en 1946 (premio Nobel de Física, 1952). Richard Ernst introdujo la RMN pulsada por transformada de Fourier en 1966 y, siguiendo una idea de Jean Jeener, la espectroscopia bidimensional en la década de 1970 (premio Nobel de Química, 1991). ## 8.6 Ejercicios **Ejercicio 8.1 ★.** Calcúlense las [frecuencias de Larmor](#def-b3-advanced-nmr-larmor) de $\ce{^1H}$, $\ce{^{13}C}$ y $\ce{^{19}F}$ a $14.1\,\mathrm{T}$ ($\gamma/2\pi = 42.58$, 10.71 y $40.08\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$). **Solución de Ejercicio 8.1.** $\nu_0 = (\gamma/2\pi)B_0$: $\ce{^1H}$ $600.4\,\mathrm{MHz}$, $\ce{^{13}C}$ $151.0\,\mathrm{MHz}$, $\ce{^{19}F}$ $565.1\,\mathrm{MHz}$. **Ejercicio 8.2 ★.** Calcúlese el exceso relativo de protones en el nivel inferior a $9.4\,\mathrm{T}$ y $300\,\mathrm{K}$. ¿Cuánto cambia a $4\,\mathrm{K}$? **Solución de Ejercicio 8.2.** $h\nu_0/2kT = 6.626\times10^{-34} \times 400.2\times10^6/(2 \times 1.381\times10^{-23} \times 300) = 3.2 \times 10^{-5}$. A $4\,\mathrm{K}$ es 75 veces mayor, $2.4 \times 10^{-3}$ (la aproximación sigue siendo válida). **Ejercicio 8.3 ★.** Un pulso de $90^\circ$ dura $10\,\text{µ}\mathrm{s}$ para los protones. ¿Cuánto vale $\gamma B_1/2\pi$? ¿Cuánto dura un pulso de $180^\circ$, y qué hace un pulso de $5\,\text{µ}\mathrm{s}$? **Solución de Ejercicio 8.3.** $\theta = \gamma B_1t_p = \pi/2$ en $10\,\text{µ}\mathrm{s}$: $\gamma B_1/2\pi = 1/(4 \times 10\,\text{µ}\mathrm{s}) = 25\,\mathrm{kHz}$. Un pulso de $180^\circ$ dura $20\,\text{µ}\mathrm{s}$; uno de $5\,\text{µ}\mathrm{s}$ da $45^\circ$. **Ejercicio 8.4 ★.** Una raya tiene $3.2\,\mathrm{Hz}$ de anchura a media altura. ¿Cuánto vale $T_2$ (suponiendo un campo perfectamente homogéneo)? **Solución de Ejercicio 8.4.** $T_2 = 1/(\pi \times 3.2) = 0.10\,\mathrm{s}$. **Ejercicio 8.5 ★★.** Usando una señal $\propto\gamma^3$ por núcleo y la abundancia natural del 1.1 % del $\ce{^{13}C}$, compárese la sensibilidad de la RMN de ${}^{13}$C y de ${}^1$H. ¿Cuántos barridos más necesita un espectro de ${}^{13}$C para la misma relación señal/ruido? **Solución de Ejercicio 8.5.** $(10.71/42.58)^3 = 0.0159$, multiplicado por 0.011: $1.75 \times 10^{-4}$, alrededor de 1/5700 de la señal del protón. Como S/R $\propto\sqrt N$, una S/R igual exige $5700^2 \approx 3 \times 10^{7}$ veces más barridos —imposible, y por eso los espectros de ${}^{13}$C usan muestras más concentradas, desacoplamiento y transferencia de polarización. **Ejercicio 8.6 ★★.** En un experimento de inversión-recuperación, la señal de un carbono se anula en $\tau = 1.39\,\mathrm{s}$. Encuéntrense $T_1$ y la espera de reciclado para un trabajo cuantitativo. **Solución de Ejercicio 8.6.** $T_1 = 1.39/\ln2 = 2.0\,\mathrm{s}$; espera de reciclado $\ge 5T_1 = 10\,\mathrm{s}$. **Ejercicio 8.7 ★★.** En el espectro [COSY](#def-b3-advanced-nmr-experiments) de la butanona, $\ce{CH3COCH2CH3}$, ¿qué [picos de cruce](#def-b3-advanced-nmr-two-d) aparecen? ¿Qué carbonos presentan picos [HMBC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) procedentes de los protones del metilo singlete? **Solución de Ejercicio 8.7.** [COSY](#def-b3-advanced-nmr-experiments): un solo [pico de cruce](#def-b3-advanced-nmr-two-d), entre el cuadruplete $\ce{CH2}$ y el triplete $\ce{CH3}$ del grupo etilo; el singlete $\ce{CH3CO}$ no se acopla con nada. [HMBC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) desde el metilo singlete: el carbono carbonílico (dos enlaces) y el carbono $\ce{CH2}$ (tres enlaces). **Ejercicio 8.8 ★★.** Dos señales de metilo de una amida, separadas $50\,\mathrm{Hz}$ a baja temperatura, coalescen a $330\,\mathrm{K}$. Calcúlense la velocidad de intercambio en la coalescencia y la energía de Gibbs de activación con $\Delta G^\ddagger = RT_c\ln(k_BT_c/hk_c)$. **Solución de Ejercicio 8.8.** $k_c = \pi \times 50/\sqrt2 = 111\,\mathrm{s}^{-1}$. $\Delta G^\ddagger = 8.314 \times 330 \times \ln(6.88\times10^{12}/111) = 68\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$. **Ejercicio 8.9 ★★.** Un NOE entre los protones H$_a$ y H$_b$ es cuatro veces más intenso que entre H$_a$ y H$_c$, situados a $0.30\,\mathrm{nm}$. Estímese la distancia H$_a$–H$_b$. **Solución de Ejercicio 8.9.** NOE $\propto r^{-6}$: $r_b = 0.30 \times 4^{-1/6} = 0.24\,\mathrm{nm}$. **Ejercicio 8.10 ★★★.** Demuéstrese, resolviendo $\dd\mathbf M/\dd t = \gamma\mathbf M\times\mathbf B_1$ en el sistema rotatorio con $\mathbf B_1$ según $x'$, que un pulso hace girar $\mathbf M$ un ángulo $\gamma B_1t_p$ en torno a $x'$. **Solución de Ejercicio 8.10.** En el sistema rotatorio, en resonancia, solo queda $\mathbf B_1 = B_1\mathbf e_{x'}$: $\dot M_{x'} = 0$, $\dot M_{y'} = \gamma B_1M_z$, $\dot M_z = -\gamma B_1M_{y'}$ (componentes de $\gamma\mathbf M\times\mathbf B_1$). Así, $M_{x'}$ es constante y $(M_{y'}, M_z)$ gira con la velocidad angular $\gamma B_1$: tras $t_p$, un ángulo $\gamma B_1t_p$ en torno a $x'$. **Ejercicio 8.11 ★★★.** Explíquese por qué el [eco de espín](#def-b3-advanced-nmr-echo) reenfoca el desfase debido a un campo inhomogéneo pero no el debido a las interacciones aleatorias entre espines. ¿Qué constante de tiempo mide la amplitud del eco? **Solución de Ejercicio 8.11.** Un espín en un campo ligeramente más intenso gana fase a un ritmo adicional constante durante $\tau$; el pulso de $180^\circ$ invierte su fase, y pierde exactamente la misma cantidad durante el segundo $\tau$: todos esos espines se realinean en $2\tau$. Las interacciones aleatorias espín–espín fluctúan en el tiempo y no se repiten en el segundo intervalo: su desfase no se deshace. La amplitud del eco decae con el verdadero $T_2$. **Ejercicio 8.12 ★★★.** Propóngase la estructura de un compuesto $\ce{C4H8O2}$ cuyo espectro de ${}^1$H presenta un cuadruplete (2H, 4.12 ppm), un singlete (3H, 2.05 ppm) y un triplete (3H, 1.26 ppm), y cuyo espectro [HMBC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) correlaciona los protones del cuadruplete con un carbono a 171 ppm (datos del ejercicio). ¿Qué otro éster de la misma fórmula daría un patrón [HMBC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) distinto, y cómo? **Solución de Ejercicio 8.12.** Etanoato de etilo, $\ce{CH3COOCH2CH3}$: cuadruplete $\ce{OCH2}$ (4.12), singlete $\ce{CH3CO}$ (2.05), triplete $\ce{CH3}$; los protones del cuadruplete ven el carbono carbonílico a tres enlaces, a través del oxígeno del éster. El propanoato de metilo, $\ce{CH3CH2COOCH3}$, mostraría su cuadruplete hacia 2.3 ppm (sobre un carbono hacia 27 ppm en el [HSQC](#def-b3-advanced-nmr-experiments), no 60) y un singlete $\ce{OCH3}$ hacia 3.7 ppm, cuyo pico [HMBC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) hacia el carbonilo atraviesa el oxígeno. ## 8.7 Problema: el éster de la piña en dos dimensiones **Problema 8.1.** Problema de fin de semana — el butanoato de etilo, resuelto de nuevo a partir de espectros bidimensionales: los sistemas de espín a partir del COSY, los carbonos a partir del HSQC, el enlace éster a partir del HMBC, y la espera necesaria para un espectro de carbono cuantitativo Un éster $\ce{C6H12O2}$ del aroma de la piña presenta señales de ${}^1$H a 4.13 (2H, c), 2.28 (2H, t), 1.66 (2H, m), 1.25 (3H, t) y 0.95 ppm (3H, t), y señales de ${}^{13}$C a 173.6, 60.1, 36.3, 18.6, 14.3 y 13.7 ppm, registradas a $9.4\,\mathrm{T}$. Sus espectros 2D son los de la figura de la sección 4. Datos del problema: los valores de $T_1$ de los carbonos son de unos $20\,\mathrm{s}$ para el carbonilo y de 2 a $6\,\mathrm{s}$ para los demás. **Parte I — Una dimensión.** 1. Calcúlese el grado de insaturación de $\ce{C6H12O2}$ . 2. ¿Qué señal de ${}^{13}$ C es la del carbonilo? ¿Cuál la del carbono unido al oxígeno? 3. ¿Cuántos carbonos protonados hay? ¿Qué mostraría el DEPT-135? 4. A $9.4\,\mathrm{T}$ , ¿cuáles son las [frecuencias de Larmor](#def-b3-advanced-nmr-larmor) de ${}^1$ H y de ${}^{13}$ C? 5. La constante de acoplamiento del cuadruplete es $7.2\,\mathrm{Hz}$ . ¿Qué anchura tiene, en ppm, el cuadruplete a $400\,\mathrm{MHz}$ ? 6. ¿Por qué los espectros 1D por sí solos pueden dejar abierto el orden de los fragmentos? **Parte II — [COSY](#def-b3-advanced-nmr-experiments).** 7. Enumérense los [picos de cruce](#def-b3-advanced-nmr-two-d) del mapa [COSY](#def-b3-advanced-nmr-experiments) . 8. Dedúzcanse los dos sistemas de espín. 9. ¿Por qué no hay [pico de cruce](#def-b3-advanced-nmr-two-d) entre 4.13 y 2.28 ppm? 10. ¿Qué señal de protón está acoplada a otras dos? Explíquese su multiplicidad. 11. ¿Qué habría significado un [pico de cruce](#def-b3-advanced-nmr-two-d) entre 0.95 y 1.25 ppm? 12. Dibújense los dos fragmentos. **Parte III — [HSQC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) y [HMBC](#def-b3-advanced-nmr-experiments).** 13. A partir del [HSQC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) , asígnese cada carbono a sus protones. 14. ¿Qué dos carbonos metílicos solo se distinguen gracias al [HSQC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) ? 15. ¿Qué pico [HMBC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) une el fragmento etilo al carbonilo, y a través de cuántos enlaces? 16. ¿Qué picos [HMBC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) unen el fragmento propilo al carbonilo? 17. Dedúzcase la estructura y descártese su isómero, el propanoato de propilo. 18. ¿Por qué suelen faltar los picos [HMBC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) a través de cuatro o más enlaces? **Parte IV — Un espectro de carbono cuantitativo.** 19. ¿Por qué las integrales de un espectro de ${}^{13}$ C ordinario no son proporcionales al número de carbonos? 20. ¿Qué fracción de su magnetización de equilibrio recupera el carbonilo si los barridos se repiten cada $5\,\mathrm{s}$ con pulsos de $90^\circ$ (partiendo cada vez de cero)? 21. ¿Qué fracción tras $5T_1$ ? 22. Aparte de la relajación, ¿qué efecto del desacoplamiento de protones distorsiona las integrales de carbono, y cómo se suprime? 23. Con una espera de $5T_1$ , ¿cuánto duran 256 barridos? 24. Enúnciese el resultado: la espera de reciclado mínima para un espectro de ${}^{13}$ C cuantitativo de este éster. **Solución de Problema 8.1.** **1.** $(2 \times 6 + 2 - 12)/2 = 1$: un C=O. **2.** 173.6 ppm: el carbonilo del éster; 60.1 ppm: el $\ce{OCH2}$. **3.** Cinco; DEPT-135: $\ce{CH2}$ negativos (60.1, 36.3, 18.6), $\ce{CH3}$ positivos (14.3, 13.7), el carbonilo ausente. **4.** $400.2\,\mathrm{MHz}$ y $100.7\,\mathrm{MHz}$. **5.** $3J = 21.6\,\mathrm{Hz} = 0.054\,\mathrm{ppm}$. **6.** Las multiplicidades muestran qué grupos son vecinos dentro de cada fragmento, pero no cómo se unen los fragmentos a través del oxígeno y del carbonilo. **7.** 4.13–1.25; 2.28–1.66; 1.66–0.95 (y sus simétricos). **8.** $\ce{OCH2CH3}$ (4.13, 1.25) y $\ce{CH2CH2CH3}$ (2.28, 1.66, 0.95). **9.** Los protones $\ce{OCH2}$ y $\ce{CH2C=O}$ están separados por el oxígeno y el carbono carbonílico: cinco enlaces, ningún acoplamiento resuelto. **10.** 1.66 ppm, entre $\ce{CH2}$ y $\ce{CH3}$: acoplado a 2 + 3 = 5 protones con $J$ parecidas, un sextuplete (un multiplete). **11.** Metilos acoplados y, por tanto, dos $\ce{CH3}$ sobre carbonos adyacentes (una unidad $\ce{CH3-CH3}$): imposible aquí. **12.** $\ce{-O-CH2-CH3}$ y $\ce{-CH2-CH2-CH3}$, más el $\ce{C=O}$. **13.** 4.13/60.1; 2.28/36.3; 1.66/18.6; 1.25/14.3; 0.95/13.7. **14.** 14.3 ($\ce{CH3}$ del etilo) y 13.7 ppm ($\ce{CH3}$ del butanoílo), separados solo $0.6\,\mathrm{ppm}$. **15.** De 4.13 ppm a 173.6 ppm: H–C–O–C, tres enlaces. **16.** 2.28 ppm (dos enlaces) y 1.66 ppm (tres enlaces) hacia 173.6 ppm. **17.** $\ce{CH3CH2CH2C(=O)OCH2CH3}$, el butanoato de etilo. El propanoato de propilo situaría un triplete $\ce{OCH2}$ (no un cuadruplete) hacia 4.0 ppm y un cuadruplete hacia 2.3 ppm. **18.** Los acoplamientos a cuatro enlaces suelen ser inferiores a 1 Hz; la espera del [HMBC](#def-b3-advanced-nmr-experiments), ajustada a 5–10 Hz, no los selecciona. **19.** Los carbonos se relajan a velocidades distintas y reciben del desacoplamiento incrementos Overhauser nucleares distintos. **20.** $1 - \eu^{-5/20} = 0.22$: el carbonilo está infrarrepresentado en un factor 4. **21.** $1 - \eu^{-5} = 0.993$. **22.** El NOE debido al desacoplamiento de protones, distinto para cada carbono; se suprime con el desacoplamiento inverso controlado (desacoplador encendido solo durante la adquisición). **23.** $256 \times 100\,\mathrm{s} = 25\,600\,\mathrm{s}$, unas 7 horas. **24.** **$5T_1$ del carbono carbonílico: $100\,\mathrm{s}$ entre barridos.**