---
title: "Cinétique complexe : chaînes, enzymes et oscillations"
book: "Chimie universitaire — 3e année"
subject: chemistry
language: fr
chapter: 13
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/chemistry/4/fr/chapter/13-cinetique-complexe-chaines-enzymes-et-oscillations
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Chemistry Book, One Course (one-course.com)"
---

# Chapitre 13 — Cinétique complexe : chaînes, enzymes et oscillations

Un bécher de solution agitée devient incolore, puis ambré, puis bleu, puis de nouveau incolore, et recommence pendant de longues minutes ; versé dans une boîte, le même mélange dessine des spirales qui tournent et se propagent. Quand Boris Belousov décrivit une telle réaction en 1951, son manuscrit fut refusé : un système chimique, pensait le rapporteur, ne peut pas aller et venir, puisqu’il doit descendre vers l’équilibre. Il descend bien ; simplement, il ne descend pas en ligne droite. Ce chapitre traite des mécanismes à plusieurs étapes dont les intermédiaires sont régénérés : [réactions en chaîne](#def-b3-complex-kinetics-chain) et explosions, molécules qui ont besoin de collisions pour se décomposer seules, [enzymes](#def-b3-complex-kinetics-enzyme), et [réactions oscillantes](#def-b3-complex-kinetics-oscillating), avec les méthodes qui suivent des réactions trop rapides pour être mélangées à la main.

**Rappel.**

Le volume de première année a défini un mécanisme réactionnel comme une suite d’actes élémentaires, l’étape cinétiquement déterminante, les approximations du pré-équilibre rapide et des états quasi stationnaires, et les catalyseurs. Le volume de deuxième année a nommé les étapes d’une chaîne radicalaire (amorçage, propagation, rupture), les amorceurs radicalaires et la longueur de chaîne cinétique d’une polymérisation, et a ajusté des droites par les moindres carrés. Le [Chapitre 12](https://one-course.com/books/chemistry/4/fr/chapter/12-theories-des-vitesses-de-reaction#ch-b3-rate-theories) a donné la [théorie de l’état de transition](https://one-course.com/books/chemistry/4/fr/chapter/12-theories-des-vitesses-de-reaction#def-b3-rate-theories-tst) et la limite de diffusion, d’environ $10^{10}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$.

## 13.1 Réactions en chaîne

**Définition 13.1 (Réaction en chaîne, porteur de chaîne).**

Une *réaction en chaîne* est une réaction dans laquelle des intermédiaires réactifs, les *porteurs de chaîne*, sont régénérés par un cycle d’étapes de propagation, de sorte qu’un seul événement d’amorçage transforme de nombreuses molécules de réactif.

Bodenstein mesura en 1906 la vitesse de $\ce{H2 + Br2 -> 2 HBr}$ et trouva une loi qu’aucun acte unique ne pouvait produire : la vitesse croît comme $[\ce{Br2}]^{1/2}$ et diminue à mesure que HBr s’accumule. Le mécanisme fut écrit en 1919 :

| amorçage | $\ce{Br2 -> 2 Br}$ | $k_1$ |
| --- | --- | --- |
| propagation | $\ce{Br + H2 -> HBr + H}$ | $k_2$ |
| propagation | $\ce{H + Br2 -> HBr + Br}$ | $k_3$ |
| inhibition | $\ce{H + HBr -> H2 + Br}$ | $k_4$ |
| rupture | $\ce{2 Br -> Br2}$ | $k_{-1}$ |

(les collisions avec un troisième corps M, qui apportent et emportent l’énergie des étapes d’amorçage et de rupture, restent implicites).

**Théorème 13.2 (La loi de vitesse de la réaction dihydrogène–dibrome).**

Avec l’approximation des états quasi stationnaires pour Br et pour H, la vitesse $v = \frac12\,\dd[\ce{HBr}]/\dd t$ du mécanisme vaut

$$
v = \frac{k[\ce{H2}][\ce{Br2}]^{1/2}}{1 + k'[\ce{HBr}]/[\ce{Br2}]},
  \qquad k = k_2\Bigl(\frac{k_1}{k_{-1}}\Bigr)^{1/2},\ k' = \frac{k_4}{k_3}.
$$

**Démonstration.** AEQS pour H : $k_2[\ce{Br}][\ce{H2}] = k_3[\ce{H}][\ce{Br2}] + k_4[\ce{H}][\ce{HBr}]$. AEQS pour Br : $2k_1[\ce{Br2}] - k_2[\ce{Br}][\ce{H2}] + k_3[\ce{H}][\ce{Br2}] + k_4[\ce{H}][\ce{HBr}] - 2k_{-1}[\ce{Br}]^2 = 0$. En additionnant les deux équations, les termes de propagation se compensent : $k_1[\ce{Br2}] = k_{-1}[\ce{Br}]^2$, donc $[\ce{Br}] =
(k_1/k_{-1})^{1/2}[\ce{Br2}]^{1/2}$. Alors $[\ce{H}] = k_2[\ce{Br}][\ce{H2}]/(k_3[\ce{Br2}] + k_4[\ce{HBr}])$ et

$$
\frac{\dd[\ce{HBr}]}{\dd t} = k_2[\ce{Br}][\ce{H2}] + k_3[\ce{H}][\ce{Br2}] - k_4[\ce{H}][\ce{HBr}] = 2k_3[\ce{H}][\ce{Br2}]
  = \frac{2k_2[\ce{Br}][\ce{H2}]}{1 + (k_4/k_3)[\ce{HBr}]/[\ce{Br2}]},
$$

en utilisant la première équation ; en substituant $[\ce{Br}]$, on obtient le résultat. ∎

![Le cycle de propagation de la chaîne dihydrogène–dibrome : chaque tour consomme un H2 et un Br2, forme deux HBr et rend l’atome de brome qui l’a commencé. L’amorçage alimente le cycle en porteurs, la rupture les élimine ; l’étape d’inhibition retransforme un atome H en Br aux dépens d’un HBr déjà formé.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-d2064b196253.svg)

*Le cycle de propagation de la chaîne dihydrogène–dibrome : chaque tour consomme un $\ce{H2}$ et un $\ce{Br2}$, forme deux HBr et rend l’atome de brome qui l’a commencé. L’amorçage alimente le cycle en porteurs, la rupture les élimine ; l’étape d’inhibition retransforme un atome H en Br aux dépens d’un HBr déjà formé.*

![Le mécanisme dihydrogène–dibrome intégré pas à pas (constantes de vitesse modèles, unités réduites, k' = 0.1) : conversion en fonction du temps (à gauche), et vitesse 1/2 ( HBr)/ t du mécanisme complet comparée à la loi tirée de l’AEQS (à droite). Après une période d’induction, pendant laquelle les atomes de brome s’accumulent, les deux coïncident à mieux que 1 %.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-182db952c3c1.svg)

*Le mécanisme dihydrogène–dibrome intégré pas à pas (constantes de vitesse modèles, unités réduites, $k' = 0.1$) : conversion en fonction du temps (à gauche), et vitesse $\frac12\dd[\ce{HBr}]/\dd t$ du mécanisme complet comparée à la loi tirée de l’AEQS (à droite). Après une période d’induction, pendant laquelle les atomes de brome s’accumulent, les deux coïncident à mieux que 1 %.*

**Méthode 13.3 (La loi de vitesse d’un mécanisme en chaîne).**

1. Écrire une équation d’état quasi stationnaire pour chaque [porteur de chaîne](#def-b3-complex-kinetics-chain) .
2. Les additionner : les étapes de propagation, qui ne font qu’échanger un porteur contre un autre, se compensent, et il reste amorçage égal rupture ; on en tire la concentration des porteurs.
3. Utiliser l’équation d’un porteur pour exprimer les autres.
4. Écrire la vitesse de formation d’un produit à partir des étapes de propagation.

Le nombre de cycles de propagation par événement d’amorçage, ici $v/k_1[\ce{Br2}]$, est la longueur de chaîne cinétique du volume de deuxième année ; pour la réaction dihydrogène–dibrome, il est de l’ordre de $10^3$ à $10^6$ selon les conditions. L’inhibition par le produit explique pourquoi la vitesse baisse plus vite que les réactifs ne sont consommés.

## 13.2 Chaînes ramifiées et explosions

**Définition 13.4 (Ramification de chaîne, limites d’explosion).**

La *ramification de chaîne* est une étape de propagation qui produit plus de [porteurs de chaîne](#def-b3-complex-kinetics-chain) qu’elle n’en consomme, comme $\ce{H + O2 -> OH + O}$, qui transforme un porteur en deux. Les *limites d’explosion* d’un mélange sont les pressions, à une température donnée, auxquelles sa réaction lente se transforme en explosion.

**Proposition 13.5 (Critère de ramification).**

Supposons que les porteurs soient créés à la vitesse $v_i$, se multiplient par ramification avec la constante de vitesse $f$ et disparaissent par rupture avec la constante de vitesse $g$ : $\dd n/\dd t = v_i + (f - g)n$. Si $f < g$, $n$ tend vers la valeur stationnaire $v_i/(g - f)$ ; si $f > g$, $n$ croît exponentiellement et la réaction explose.

**Démonstration.** L’équation linéaire a pour solution $n(t) = \frac{v_i}{g - f}\bigl(1 - \eu^{-(g - f)t}\bigr)$, qui tend vers $v_i/(g - f)$ quand $g > f$ ; quand $f > g$, l’exposant est positif et $n$ croît comme $\eu^{(f - g)t}$ sans limite (jusqu’à épuisement des réactifs). ∎

Pour des mélanges dihydrogène–dioxygène à quelques centaines de degrés, $f$ croît avec la pression (il est proportionnel à $[\ce{O2}]$), la rupture sur les parois du récipient est rapide à basse pression (les radicaux y diffusent facilement), et la rupture par collisions à trois corps ($\ce{H + O2 + M -> HO2 + M}$) croît comme le carré de la pression. La ramification l’emporte entre une première limite, fixée par les parois, et une deuxième limite, fixée par la rupture à trois corps ; à pression encore plus élevée apparaît une troisième limite, où la chaleur libérée ne peut plus s’évacuer. Cette dernière est une explosion thermique, due à la croissance exponentielle de la vitesse avec la température plutôt qu’à la ramification ; la plupart des explosions industrielles sont de ce type.

## 13.3 Réactions monomoléculaires

Une molécule comme le cyclopropane s’isomérise seule, avec une cinétique d’ordre 1 aux pressions ordinaires ; pourtant, à basse pression, la constante de vitesse diminue. L’énergie nécessaire vient des collisions.

**Définition 13.6 (Mécanisme de Lindemann, zone de transition).**

Le *mécanisme de Lindemann* d’une réaction monomoléculaire est la suite $\mathrm{A + M \rightleftharpoons A^* + M}$ ($k_1$, $k_{-1}$), activation et désactivation par collision avec une molécule M quelconque, suivie de $\mathrm{A^* \to P}$ ($k_2$). La *zone de transition* est le domaine de pressions où la constante de vitesse d’ordre 1 observée décroît depuis sa valeur de haute pression vers un comportement d’ordre 2.

**Théorème 13.7 (Constante de vitesse de Lindemann).**

Avec l’approximation des états quasi stationnaires pour $\mathrm{A^*}$, $v = k_{\mathrm{uni}}[\mathrm A]$ avec

$$
k_{\mathrm{uni}} = \frac{k_1k_2[\mathrm M]}{k_{-1}[\mathrm M] + k_2},
$$

qui tend vers $k_\infty = k_1k_2/k_{-1}$ à haute pression (ordre 1) et vers $k_1[\mathrm M]$ à basse pression (ordre 2) ; elle vaut $k_\infty/2$ pour $[\mathrm M]_{1/2} = k_2/k_{-1}$.

**Démonstration.** $\dd[\mathrm{A^*}]/\dd t = k_1[\mathrm A][\mathrm M] - k_{-1}[\mathrm{A^*}][\mathrm M] - k_2[\mathrm{A^*}] = 0$ donne $[\mathrm{A^*}] =
k_1[\mathrm A][\mathrm M]/(k_{-1}[\mathrm M] + k_2)$ et $v = k_2[\mathrm{A^*}]$. Si $k_{-1}[\mathrm M] \gg k_2$, la désactivation l’emporte sur la réaction et $\mathrm{A^*}$ est en pré-équilibre : $k_{\mathrm{uni}} \to k_1k_2/k_{-1}$. Si $k_{-1}[\mathrm M]
\ll k_2$, toute molécule activée réagit et l’activation est cinétiquement déterminante : $k_{\mathrm{uni}} \to k_1[\mathrm M]$. ∎

![La courbe de transition de Lindemann (constantes modèles) : ordre 1, avec la constante limite k_∈fty, à haute pression, ordre 2 (k_1( M)) à basse pression, et la moitié de k_∈fty pour ( M)_1/2 = k_2/k_-1. Les courbes réelles sont plus étalées : la constante de vitesse k_2 d’une molécule énergisée croît avec son énergie.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-cd9fb7f5b919.svg)

*La courbe de transition de Lindemann (constantes modèles) : ordre 1, avec la constante limite $k_\infty$, à haute pression, ordre 2 ($k_1[\mathrm M]$) à basse pression, et la moitié de $k_\infty$ pour $[\mathrm M]_{1/2} = k_2/k_{-1}$. Les courbes réelles sont plus étalées : la constante de vitesse $k_2$ d’une molécule énergisée croît avec son énergie.*

## 13.4 Cinétique enzymatique

**Définition 13.8 (Enzyme, site actif, complexe enzyme–substrat).**

Une *enzyme* est un catalyseur biologique, presque toujours une protéine, qui accélère une réaction spécifique de son substrat. Le *site actif* est la poche de l’enzyme où le substrat se fixe et réagit ; l’espèce liée est le *complexe enzyme–substrat* ES.

**Définition 13.9 (Constante de Michaelis, vitesse maximale, constantes catalytique et de spécificité).**

Pour le mécanisme $\mathrm{E + S \rightleftharpoons ES \to E + P}$ ($k_1$, $k_{-1}$, $k_2$), à la concentration totale d’[enzyme](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) $[\mathrm E]_0$, la *constante catalytique* est $k_{\mathrm{cat}} = k_2$, la *vitesse maximale* est $V_{\max} = k_{\mathrm{cat}}[\mathrm E]_0$, la *constante de Michaelis* est $K_M = (k_{-1} + k_2)/k_1$, et la *constante de spécificité* est $k_{\mathrm{cat}}/K_M$.

**Théorème 13.10 (Équation de Michaelis–Menten).**

Quand $[\mathrm S] \gg [\mathrm E]_0$ et que ES est dans un état quasi stationnaire, la vitesse initiale de formation du produit vaut

$$
v = \frac{V_{\max}[\mathrm S]}{K_M + [\mathrm S]} .
$$

C’est l’*équation de Michaelis–Menten*.

**Démonstration.** AEQS : $k_1[\mathrm E][\mathrm S] = (k_{-1} + k_2)[\mathrm{ES}]$, et $[\mathrm E] = [\mathrm E]_0 - [\mathrm{ES}]$ (le substrat libre est pratiquement tout le substrat, puisque $[\mathrm S] \gg [\mathrm E]_0$). Donc $[\mathrm{ES}]
= [\mathrm E]_0[\mathrm S]/(K_M + [\mathrm S])$ et $v = k_2[\mathrm{ES}]$. ∎

**Remarque 13.11.**

Michaelis et Menten (1913) supposaient plutôt un pré-équilibre rapide entre E, S et ES ; on obtient la même équation avec $K_M$ remplacée par la constante de dissociation $k_{-1}/k_1$, limite de $K_M$ quand $k_2 \ll k_{-1}$. La [constante catalytique](#def-b3-complex-kinetics-michaelis) est ce que les biochimistes appellent le nombre de renouvellement de l’[enzyme](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) : le nombre de molécules de substrat qu’un [site actif](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) transforme par seconde lorsqu’il est saturé.

Pour $[\mathrm S] = K_M$, la vitesse vaut $V_{\max}/2$ ; pour $[\mathrm S] \ll K_M$, elle vaut $(k_{\mathrm{cat}}/K_M)[\mathrm E]_0[\mathrm S]$ : la [constante de spécificité](#def-b3-complex-kinetics-michaelis) est la constante de vitesse d’ordre 2 de l’[enzyme](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) libre avec son substrat, et elle ne peut pas dépasser la vitesse à laquelle ils se rencontrent, la limite de diffusion du [Chapitre 12](https://one-course.com/books/chemistry/4/fr/chapter/12-theories-des-vitesses-de-reaction#ch-b3-rate-theories). Quelques [enzymes](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) s’en approchent ; l’[enzyme](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) « moyenne », dans une étude portant sur plusieurs milliers d’[enzymes](#def-b3-complex-kinetics-enzyme), a un $k_{\mathrm{cat}}/K_M$ d’environ $10^5$ $\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, quelque quatre ordres de grandeur au-dessous.

**Proposition 13.12 (Forme de Lineweaver–Burk).**

L’[équation de Michaelis–Menten](#thm-b3-complex-kinetics-michaelis-menten) équivaut à

$$
\frac1v = \frac{1}{V_{\max}} + \frac{K_M}{V_{\max}}\,\frac{1}{[\mathrm S]},
$$

une droite de $1/v$ en fonction de $1/[\mathrm S]$, d’ordonnée à l’origine $1/V_{\max}$, de pente $K_M/V_{\max}$, et qui coupe en $-1/K_M$ l’axe des $1/[\mathrm S]$.

**Démonstration.** On inverse : $1/v = (K_M + [\mathrm S])/(V_{\max}[\mathrm S])$. Pour $1/v = 0$, $1/[\mathrm S] = -1/K_M$. ∎

**Méthode 13.13 (KMK_MKM​ et Vmax⁡V_{\max}Vmax​ par moindres carrés non linéaires).**

1. Mesurer des vitesses initiales à des concentrations de substrat réparties d’environ $K_M/5$ à $10K_M$ .
2. Ajuster directement $v = V_{\max}[\mathrm S]/(K_M + [\mathrm S])$ , en minimisant $\sum(v_i - v(\mathrm S_i))^2$ (par itérations, en partant des valeurs d’une droite de Lineweaver–Burk) ; les écarts-types se tirent des résidus et de la sensibilité de $v$ à chaque paramètre.
3. N’utiliser le tracé de Lineweaver–Burk que pour voir l’allure : inverser de petites vitesses amplifie leurs erreurs, si bien que la droite des moindres carrés passant par les $1/v$ est dominée par les points les moins précis, et ses paramètres sont biaisés.

**Définition 13.14 (Inhibition).**

Un inhibiteur I se fixe de façon réversible sur l’[enzyme](#def-b3-complex-kinetics-enzyme). Dans l’*inhibition compétitive*, il ne se fixe que sur l’[enzyme](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) libre, au [site actif](#def-b3-complex-kinetics-enzyme), avec la *constante d’inhibition* $K_i$ (constante de dissociation de EI) ; dans l’*inhibition incompétitive*, il ne se fixe que sur ES, avec la constante $K_i'$ ; dans l’*inhibition mixte*, il se fixe sur les deux.

**Proposition 13.15 (Lois de vitesse en présence d’un inhibiteur).**

Avec $\alpha = 1 + [\mathrm I]/K_i$ et $\alpha' = 1 + [\mathrm I]/K_i'$, la vitesse garde la forme de Michaelis–Menten $v = V^{\mathrm{app}}[\mathrm S]/(K_M^{\mathrm{app}} + [\mathrm S])$ avec : [inhibition compétitive](#def-b3-complex-kinetics-inhibition), $K_M^{\mathrm{app}} = \alpha K_M$, $V^{\mathrm{app}} = V_{\max}$ ; incompétitive, $K_M^{\mathrm{app}} = K_M/\alpha'$, $V^{\mathrm{app}} =
V_{\max}/\alpha'$ ; mixte, $K_M^{\mathrm{app}} = \alpha K_M/\alpha'$, $V^{\mathrm{app}} = V_{\max}/\alpha'$.

**Démonstration.** Cas mixte (les autres en sont les limites $K_i' \to \infty$ et $K_i \to \infty$) : l’[enzyme](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) se répartit entre E, EI, ES et ESI avec $[\mathrm{EI}] = [\mathrm E][\mathrm I]/K_i$, $[\mathrm{ESI}] = [\mathrm{ES}][\mathrm I]/K_i'$ et l’état quasi stationnaire $[\mathrm E][\mathrm S] = K_M[\mathrm{ES}]$. Donc $[\mathrm E]_0 = [\mathrm E]\alpha + [\mathrm{ES}]\alpha' =
[\mathrm{ES}](\alpha K_M/[\mathrm S] + \alpha')$ et $v = k_2[\mathrm{ES}] = V_{\max}[\mathrm S]/(\alpha K_M + \alpha'[\mathrm S])$ ; diviser numérateur et dénominateur par $\alpha'$ donne la forme annoncée. ∎

**Méthode 13.16 (Reconnaître le type d’inhibition).**

1. Mesurer $v([\mathrm S])$ à plusieurs concentrations d’inhibiteur et tracer les droites de Lineweaver–Burk.
2. Droites concourantes sur l’axe des $1/v$ (même $V_{\max}$ ) : [inhibition compétitive](#def-b3-complex-kinetics-inhibition) ; un grand excès de substrat l’emporte sur l’inhibiteur.
3. Droites parallèles (pente $K_M/V_{\max}$ inchangée) : [inhibition incompétitive](#def-b3-complex-kinetics-inhibition) .
4. Droites concourantes à gauche de l’axe des $1/v$ : [inhibition mixte](#def-b3-complex-kinetics-inhibition) .
5. Obtenir $K_i$ en ajustant les constantes apparentes en fonction de $[\mathrm I]$ : pour un inhibiteur compétitif, $K_M^{\mathrm{app}} = K_M + (K_M/K_i)[\mathrm I]$ , une droite.

![Cinétique de Michaelis–Menten avec K_M = 0.80\, mM et V_ = 0.50\, µ M\, s-1 (modèle) : sans inhibiteur (noir), avec un inhibiteur compétitif à ( I) = 2K_i (bleu, K_M triplée, même V_) et avec un inhibiteur incompétitif à ( I) = K_i' (rouge, K_M et V_ divisées par deux). À droite : les droites de Lineweaver–Burk ; la droite compétitive coupe la droite sans inhibiteur sur l’axe des 1/v, la droite incompétitive lui est parallèle (1/( S) en mM-1, 1/v en s\, µ M-1).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-a100eaef7511.svg)

*Cinétique de Michaelis–Menten avec $K_M = 0.80\,\mathrm{mM}$ et $V_{\max} = 0.50\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$ (modèle) : sans inhibiteur (noir), avec un inhibiteur compétitif à $[\mathrm I] = 2K_i$ (bleu, $K_M$ triplée, même $V_{\max}$) et avec un inhibiteur incompétitif à $[\mathrm I] = K_i'$ (rouge, $K_M$ et $V_{\max}$ divisées par deux). À droite : les droites de Lineweaver–Burk ; la droite compétitive coupe la droite sans inhibiteur sur l’axe des $1/v$, la droite incompétitive lui est parallèle ($1/[\mathrm S]$ en $\mathrm{mM}^{-1}$, $1/v$ en $\mathrm{s}\,\text{µ}\mathrm{M}^{-1}$).*

## 13.5 Autocatalyse, oscillations et réactions rapides

**Définition 13.17 (Réaction autocatalytique).**

Une *réaction autocatalytique* est une réaction dans laquelle un produit catalyse sa propre formation, comme dans $\mathrm{A + X \to 2\,X}$.

**Proposition 13.18 (Loi logistique).**

Pour $\mathrm{A + X \to 2\,X}$, de constante de vitesse $k$ et de concentrations initiales $a_0$ et $x_0$, avec $N = a_0 + x_0$,

$$
x(t) = \frac{N}{1 + (N/x_0 - 1)\eu^{-kNt}},
$$

une courbe en S qui atteint la moitié de sa valeur finale à $t_{1/2} = \ln(N/x_0 - 1)/kN$.

**Démonstration.** $\dd x/\dd t = kx(N - x)$, puisque $a = N - x$. En séparant les variables, $\frac{\dd x}{x(N - x)} = \frac1N\bigl(\frac1x + \frac{1}{N - x}\bigr)\dd x
= k\,\dd t$, donc $\ln\frac{x}{N - x} = kNt + \ln\frac{x_0}{N - x_0}$, ce qui se réarrange sous la forme annoncée ; $x = N/2$ quand $(N/x_0 - 1)\eu^{-kNt} = 1$. ∎

**Définition 13.19 (Réaction oscillante, cycle limite).**

Une *réaction oscillante* est une réaction dans laquelle les concentrations d’intermédiaires croissent et décroissent périodiquement pendant que la réaction globale progresse vers l’équilibre. Un *cycle limite* est une trajectoire fermée dans l’espace des concentrations vers laquelle convergent les trajectoires voisines, de sorte que l’oscillation a une amplitude indépendante du point de départ.

**Théorème 13.20 (Modèle de Lotka–Volterra).**

Pour le schéma autocatalytique $\mathrm{A + X \to 2\,X}$, $\mathrm{X + Y \to 2\,Y}$, $\mathrm{Y \to B}$, A étant maintenu constant, les concentrations obéissent à $\dot x = x(a - by)$, $\dot y = y(dx - c)$ avec des constantes positives, et la grandeur

$$
V = dx - c\ln x + by - a\ln y
$$

est constante le long de chaque trajectoire : les trajectoires sont des courbes fermées autour de l’état stationnaire $(c/d, a/b)$, et les concentrations oscillent avec une amplitude fixée par le point de départ.

**Démonstration.** $\dot V = (d - c/x)\dot x + (b - a/y)\dot y = (dx - c)(a - by) + (by - a)(dx - c) = 0$. $V$ est la somme de deux fonctions convexes ayant un unique minimum en $(c/d, a/b)$, donc ses courbes de niveau sont des courbes fermées autour de ce point ; une trajectoire reste sur l’une d’elles et, la vitesse ne s’annulant nulle part ailleurs, en fait le tour périodiquement. ∎

Les oscillations de Lotka–Volterra sont fragiles : chaque point de départ donne sa propre orbite, et toute perturbation fait passer le système sur une autre. Les oscillateurs chimiques réels possèdent un [cycle limite](#def-b3-complex-kinetics-oscillating), qui exige une non-linéarité déstabilisant l’état stationnaire.

**Proposition 13.21 (Instabilité du bruxellateur).**

Le modèle $\dot X = A - (B + 1)X + X^2Y$, $\dot Y = BX - X^2Y$ (concentrations réduites, $A$ et $B$ maintenus constants) possède l’unique état stationnaire $(A, B/A)$, qui est stable si $B < 1 + A^2$ et instable si $B > 1 + A^2$ ; le système se fixe alors sur un [cycle limite](#def-b3-complex-kinetics-oscillating).

**Démonstration.** En annulant les deux dérivées : $BX = X^2Y$ donne $XY = B$, puis $A - X = 0$. La matrice jacobienne en $(A, B/A)$ vaut

$$
\begin{pmatrix} -(B + 1) + 2XY & X^2 \\ B - 2XY & -X^2 \end{pmatrix}
  = \begin{pmatrix} B - 1 & A^2 \\ -B & -A^2 \end{pmatrix},
$$

de trace $B - 1 - A^2$ et de déterminant $A^2 > 0$. Les petits écarts évoluent comme $\eu^{\lambda t}$, où $\lambda$ désigne les [valeurs propres](https://one-course.com/books/chemistry/4/fr/chapter/1-la-mecanique-quantique-du-chimiste-systemes-modeles#def-b3-quantum-model-systems-operator), dont le produit est le déterminant (positif) et la somme la trace : les deux ont une partie réelle négative quand la trace est négative, positive quand elle est positive. L’existence du [cycle limite](#def-b3-complex-kinetics-oscillating) pour $B > 1 + A^2$ (les trajectoires restant confinées dans une région bornée) est admise. ∎

**Méthode 13.22 (La stabilité linéaire d’un état stationnaire).**

1. Trouver l’état stationnaire en annulant toutes les dérivées temporelles.
2. Y calculer la matrice jacobienne des dérivées partielles des vitesses.
3. Pour deux variables : stable si la trace est négative et le déterminant positif ; un état instable à [valeurs propres](https://one-course.com/books/chemistry/4/fr/chapter/1-la-mecanique-quantique-du-chimiste-systemes-modeles#def-b3-quantum-model-systems-operator) complexes ( $\mathrm{tr}^2 < 4\det$ ) donne des oscillations croissantes, candidates à un [cycle limite](#def-b3-complex-kinetics-oscillating) .

![En haut : le bruxellateur (A = 1, B = 3 > 1 + A2) s’installe dans des oscillations entretenues de période 7.2 (temps réduit). En bas à gauche : deux trajectoires, l’une partant près de l’état stationnaire instable (point) et l’autre loin à l’extérieur, s’enroulent sur le même cycle limite. En bas à droite : orbites de Lotka–Volterra, chacune fixée par son point de départ, autour de l’état stationnaire (point).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-d0f9cd2c08ba.svg)

*En haut : le bruxellateur ($A = 1$, $B = 3 > 1 + A^2$) s’installe dans des oscillations entretenues de période 7.2 (temps réduit). En bas à gauche : deux trajectoires, l’une partant près de l’état stationnaire instable (point) et l’autre loin à l’extérieur, s’enroulent sur le même [cycle limite](#def-b3-complex-kinetics-oscillating). En bas à droite : orbites de Lotka–Volterra, chacune fixée par son point de départ, autour de l’état stationnaire (point).*

La réaction de Belousov–Zhabotinsky, oxydation de l’acide malonique par les ions bromate catalysée par le cérium ou par l’indicateur ferroïne, parcourt un tel cycle : une production autocatalytique de $\ce{HBrO2}$ s’enclenche quand la concentration en bromure tombe sous un seuil, oxyde le catalyseur (le changement de couleur), et s’arrête quand le catalyseur oxydé régénère du bromure. Sans agitation, en couche mince, l’oscillation se propage sous forme d’ondes.

![Ondes spirales de la réaction de Belousov–Zhabotinsky dans une couche mince de solution : chaque front bleu est une onde d’oxydation du catalyseur, qui progresse dans le milieu réduit (rouge) et ne peut pas rentrer dans la région qu’elle vient de quitter.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/img-a59a0c24bc84.jpg)

*Ondes spirales de la réaction de Belousov–Zhabotinsky dans une couche mince de solution : chaque front bleu est une onde d’oxydation du catalyseur, qui progresse dans le milieu réduit (rouge) et ne peut pas rentrer dans la région qu’elle vient de quitter.*

**Définition 13.23 (Méthode de relaxation, temps de relaxation chimique).**

Une *méthode de relaxation* perturbe brusquement un système à l’équilibre (par un saut de température, de pression ou de champ électrique) et suit son retour vers le nouvel équilibre. Pour une petite perturbation, l’écart décroît exponentiellement, avec le *temps de relaxation chimique* $\tau$.

**Proposition 13.24 (Temps de relaxation d’une association).**

Pour $\mathrm{A + B \rightleftharpoons C}$ ($k_1$, $k_{-1}$), après une petite perturbation,

$$
\frac1\tau = k_1([\mathrm A]_e + [\mathrm B]_e) + k_{-1} .
$$

**Démonstration.** Posons $[\mathrm C] = [\mathrm C]_e + x$, $[\mathrm A] = [\mathrm A]_e - x$, $[\mathrm B] = [\mathrm B]_e - x$. Alors $\dot x =
k_1([\mathrm A]_e - x)([\mathrm B]_e - x) - k_{-1}([\mathrm C]_e + x)$ ; les termes sans $x$ se compensent à l’équilibre, et en négligeant $x^2$ : $\dot x = -[k_1([\mathrm A]_e + [\mathrm B]_e) + k_{-1}]x$. ∎

La mesure de $\tau$ à plusieurs concentrations donne une droite de $1/\tau$ en fonction de $[\mathrm A]_e +
[\mathrm B]_e$ dont la pente est $k_1$ et l’ordonnée à l’origine $k_{-1}$ : les deux constantes, tirées d’expériences sur un système qui ne s’écarte jamais de l’équilibre de plus de quelques pour cent. Manfred Eigen mesura ainsi les réactions les plus rapides en solution, dont la neutralisation de $\ce{H3O+}$ par $\ce{OH-}$.

![Relaxation de A + B C après un saut de température qui a abaissé sa constante d’équilibre de 5 % (modèle : k_1 = 1.0 × 108\, L\, mol-1\, s-1, k_-1 = 1.0 × 103\, s-1, 1.0 × 10-4\, mol/ L de A et de B au total) : l’équation de vitesse complète et l’exponentielle de constante 1/ = k_1(( A)_e + ( B)_e) + k_-1 coïncident.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-ea0a9e4b26b2.svg)

*Relaxation de $\mathrm{A + B \rightleftharpoons C}$ après un saut de température qui a abaissé sa constante d’équilibre de 5 % (modèle : $k_1 = 1.0 \times 10^{8}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, $k_{-1} = 1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$, $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$ de A et de B au total) : l’équation de vitesse complète et l’exponentielle de constante $1/\tau = k_1([\mathrm A]_e + [\mathrm B]_e) + k_{-1}$ coïncident.*

**Définition 13.25 (Flux stoppé, photolyse éclair).**

La *méthode du flux stoppé* mélange deux solutions de réactifs en une milliseconde environ en les poussant à travers un mélangeur jusqu’à une cellule d’observation, puis arrête l’écoulement et enregistre l’absorbance ou la [fluorescence](https://one-course.com/books/chemistry/4/fr/chapter/7-spectroscopie-electronique-et-photophysique#def-b3-electronic-spectroscopy-luminescence). La *photolyse éclair* crée une espèce réactive par une impulsion lumineuse brève et intense, et suit ses réactions à l’aide d’un second faisceau lumineux retardé.

![Un appareil à flux stoppé. Le poussoir entraîne deux seringues ; les solutions se rencontrent dans le mélangeur et remplissent la cellule d’observation en une milliseconde environ ; le piston de la seringue d’arrêt heurte une butée, l’écoulement s’arrête, et le détecteur enregistre la réaction de la solution fraîchement mélangée.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-561743ed8945.svg)

*Un appareil à flux stoppé. Le poussoir entraîne deux seringues ; les solutions se rencontrent dans le mélangeur et remplissent la cellule d’observation en une milliseconde environ ; le piston de la seringue d’arrêt heurte une butée, l’écoulement s’arrête, et le détecteur enregistre la réaction de la solution fraîchement mélangée.*

![Un enregistrement de bouffée en flux stoppé (données du problème du week-end) : le premier produit d’une enzyme à deux étapes apparaît en une bouffée rapide suivie d’une droite ; le trait en tirets extrapole le régime stationnaire jusqu’à t = 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-55028ec07cfb.svg)

*Un enregistrement de bouffée en flux stoppé (données du problème du week-end) : le premier produit d’une [enzyme](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) à deux étapes apparaît en une bouffée rapide suivie d’une droite ; le trait en tirets extrapole le régime stationnaire jusqu’à $t = 0$.*

**Au laboratoire — Une mesure en flux stoppé.**

Les deux seringues sont remplies des solutions d’[enzyme](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) et de substrat dans le même tampon, thermostatées, et actionnées plusieurs fois pour rincer la cellule avant les tirs enregistrés ; chaque courbe est une moyenne de cinq à dix tirs. Le temps mort, âge du mélange au début de l’observation, est mesuré une fois pour toutes avec une réaction de vitesse connue.

**Sécurité.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-aa048b319e7f.svg)

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-ed6bb6b332c4.svg)

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-d16e3fb60326.svg)

Dibrome : liquide volatil, dense, rouge-brun ; mortel par inhalation, provoque de graves brûlures, très toxique pour les organismes aquatiques. Manipulé uniquement sous hotte, avec des gants et une protection du visage ; une solution de thiosulfate de sodium est gardée à portée de main pour réduire les déversements.

**Histoire des sciences — Bodenstein et Belousov.**

Max Bodenstein et Samuel Lind mesurèrent la loi de vitesse de la réaction dihydrogène–dibrome en 1906 ; Jens Christiansen, Karl Herzfeld et Michael Polanyi l’expliquèrent en 1919 par le mécanisme en chaîne de ce chapitre. Boris Belousov, biochimiste à Moscou, découvrit sa [réaction oscillante](#def-b3-complex-kinetics-oscillating) vers 1951 en cherchant un modèle chimique d’un cycle métabolique ; son manuscrit fut refusé, et seul un bref résumé parut en 1959. Anatol Zhabotinsky reprit la réaction dans les années 1960 et l’expliqua ; le mécanisme complet fut établi au début des années 1970.

## 13.6 Exercices

**Exercice 13.1 ★.**

Pour la chaîne $\ce{Cl2 -> 2 Cl}$, $\ce{Cl + H2 -> HCl + H}$, $\ce{H + Cl2 -> HCl + Cl}$, $\ce{2 Cl -> Cl2}$, nommer chaque étape et les [porteurs de chaîne](#def-b3-complex-kinetics-chain), et écrire la réaction globale.

**Solution de Exercice 13.1.**

$\ce{Cl2 -> 2 Cl}$ : amorçage ; $\ce{Cl + H2 -> HCl + H}$ et $\ce{H + Cl2 -> HCl + Cl}$ : propagation ; $\ce{2 Cl -> Cl2}$ : rupture. Porteurs : Cl et H. Bilan (somme des deux étapes de propagation) : $\ce{H2 + Cl2 -> 2 HCl}$.

**Exercice 13.2 ★.**

Un système de Lindemann a $k_2 = 1.0 \times 10^{7}\,\mathrm{s}^{-1}$ et $k_{-1} = 1.0 \times 10^{10}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ (données de l’exercice). Calculer $[\mathrm M]_{1/2}$ et la pression correspondante à $750\,\mathrm{K}$.

**Solution de Exercice 13.2.**

$[\mathrm M]_{1/2} = k_2/k_{-1} = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{mol}/\mathrm{L} = 1.0\,\mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3}$ ; $p = cRT = 1.0 \times 8.314 \times 750 =
6.2\,\mathrm{kPa}$.

**Exercice 13.3 ★.**

Exprimer $v/V_{\max}$ pour $[\mathrm S] = K_M$, $3K_M$ et $9K_M$. Quelle concentration donne 90 % de $V_{\max}$ ?

**Solution de Exercice 13.3.**

$v/V_{\max} = [\mathrm S]/(K_M + [\mathrm S])$ : $\frac12$, $\frac34$, $\frac{9}{10}$. Pour 90 % de $V_{\max}$, il faut $[\mathrm S] = 9K_M$.

**Exercice 13.4 ★.**

Une [enzyme](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) a $k_{\mathrm{cat}} = 100\,\mathrm{s}^{-1}$ et $K_M = 0.80\,\mathrm{mM}$. Calculer sa [constante de spécificité](#def-b3-complex-kinetics-michaelis) et la comparer à la limite de diffusion dans l’eau, $7.4 \times 10^{9}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, ainsi qu’à la valeur typique de $10^5$ $\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**Solution de Exercice 13.4.**

$k_{\mathrm{cat}}/K_M = 100/0.80 \times 10^{-3} = 1.25 \times 10^{5}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ : quelque 60 000 fois au-dessous de la limite de diffusion, et proche de la valeur typique.

**Exercice 13.5 ★★.**

On propose que la décomposition $\ce{CH3CHO -> CH4 + CO}$ se déroule ainsi : $\ce{CH3CHO -> CH3 +
CHO}$ ($k_1$) ; $\ce{CH3 + CH3CHO -> CH4 + CH3CO}$ ($k_2$) ; $\ce{CH3CO -> CH3 + CO}$ ($k_3$) ; $\ce{2 CH3 -> C2H6}$ ($k_4$). Montrer que la vitesse de formation du méthane vaut $k_2(k_1/2k_4)^{1/2}[\ce{CH3CHO}]^{3/2}$.

**Solution de Exercice 13.5.**

AEQS pour $\ce{CH3CO}$ : $k_2[\ce{CH3}][\ce{CH3CHO}] = k_3[\ce{CH3CO}]$. AEQS pour $\ce{CH3}$ : $k_1[\ce{CH3CHO}] - k_2[\ce{CH3}][\ce{CH3CHO}] + k_3[\ce{CH3CO}] - 2k_4[\ce{CH3}]^2 = 0$. En additionnant : $k_1[\ce{CH3CHO}] =
2k_4[\ce{CH3}]^2$, donc la concentration $[\ce{CH3}] = (k_1/2k_4)^{1/2}[\ce{CH3CHO}]^{1/2}$, et $\dd[\ce{CH4}]/\dd t = k_2[\ce{CH3}][\ce{CH3CHO}] =
k_2(k_1/2k_4)^{1/2}[\ce{CH3CHO}]^{3/2}$.

**Exercice 13.6 ★★.**

En partant de concentrations égales en $\ce{H2}$ et en $\ce{Br2}$, avec $k' = 0.10$, de quel facteur la vitesse a-t-elle diminué quand la moitié du dibrome est consommée ? Quelle part de cette diminution est due à l’inhibition ?

**Solution de Exercice 13.6.**

À mi-conversion, $[\ce{H2}] = [\ce{Br2}] = \frac12$, $[\ce{HBr}] = 1$ (unités relatives) : $v/v_0 = \frac12 \times (\frac12)^{1/2}/(1 + 0.10 \times 1/0.5) = 0.354/1.2 = 0.29$. Sans inhibition, ce serait 0.354 : l’inhibition divise encore la vitesse par 1.2.

**Exercice 13.7 ★★.**

Dans un mélange modèle dihydrogène–dioxygène (données de l’exercice), la ramification a la constante de vitesse $f = 1000\,p$, la rupture aux parois $6000/p$ et la rupture à trois corps $10\,p^2$, toutes en $\mathrm{s}^{-1}$ avec $p$ en kPa. Trouver le domaine de pression dans lequel le mélange explose.

**Solution de Exercice 13.7.**

Explosion quand $1000p > 6000/p + 10p^2$, c’est-à-dire $10p^3 - 1000p^2 + 6000 < 0$, dont les racines positives valent 2.48 et $99.9\,\mathrm{kPa}$ : le mélange explose entre environ 2.5 et $100\,\mathrm{kPa}$ (première et deuxième limites du modèle).

**Exercice 13.8 ★★.**

Les vitesses initiales valent $0.20\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$ pour $[\mathrm S] = 0.50\,\mathrm{mM}$ et $0.40\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$ pour $2.0\,\mathrm{mM}$. Trouver $K_M$ et $V_{\max}$.

**Solution de Exercice 13.8.**

$1/v = 1/V_{\max} + (K_M/V_{\max})/[\mathrm S]$ : $5.0 = 1/V_{\max} + 2.0K_M/V_{\max}$ et $2.5 = 1/V_{\max} + 0.5K_M/V_{\max}$. En retranchant : $K_M/V_{\max} = 1.667\,\mathrm{s}\,\mathrm{mM}\,\text{µ}\mathrm{M}^{-1}$, puis $1/V_{\max} = 1.667$ : $V_{\max} = 0.60\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$, $K_M = 1.0\,\mathrm{mM}$.

**Exercice 13.9 ★★.**

Avec $50\,\text{µ}\mathrm{M}$ d’un inhibiteur, la droite de Lineweaver–Burk d’une [enzyme](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) ($K_M = 0.80\,\mathrm{mM}$) coupe la droite sans inhibiteur sur l’axe des $1/v$ et coupe l’axe des $1/[\mathrm S]$ en $-0.417\,\mathrm{mM}^{-1}$. Identifier le type d’inhibition et calculer $K_i$.

**Solution de Exercice 13.9.**

Même ordonnée à l’origine sur l’axe des $1/v$ : [inhibition compétitive](#def-b3-complex-kinetics-inhibition). $K_M^{\mathrm{app}} = 1/0.417 = 2.40\,\mathrm{mM} = 3K_M$, donc $1 + 50/K_i = 3$ et $K_i = 25\,\text{µ}\mathrm{M}$.

**Exercice 13.10 ★★★.**

Pour $\mathrm{A + X \to 2\,X}$ avec $k = 0.50\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, $a_0 = 1.00\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$ et $x_0 = 0.010\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$, calculer l’instant où la moitié de la quantité finale de X est présente, et l’instant où la vitesse est maximale.

**Solution de Exercice 13.10.**

$N = 1.01\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$ : $t_{1/2} = \ln(1.01/0.010 - 1)/(0.50 \times 1.01) = \ln100/0.505 = 9.1\,\mathrm{s}$. La vitesse $kx(N - x)$ est maximale pour $x = N/2$ : c’est le même instant, le point d’inflexion de la courbe en S.

**Exercice 13.11 ★★★.**

Pour le bruxellateur avec $A = 1$, calculer les [valeurs propres](https://one-course.com/books/chemistry/4/fr/chapter/1-la-mecanique-quantique-du-chimiste-systemes-modeles#def-b3-quantum-model-systems-operator) de la jacobienne à l’état stationnaire pour $B = 1.5$ et $B = 2.5$, et décrire le comportement au voisinage de l’état stationnaire dans chaque cas.

**Solution de Exercice 13.11.**

Trace $B - 2$, déterminant 1. $B = 1.5$ : $\lambda = -0.25 \pm 0.968\iu$, un foyer stable (oscillations amorties vers l’état stationnaire). $B = 2.5$ : $\lambda = 0.25 \pm 0.968\iu$, un foyer instable : les oscillations croissent jusqu’à atteindre le [cycle limite](#def-b3-complex-kinetics-oscillating).

**Exercice 13.12 ★★★.**

Pour $\mathrm{A + B \rightleftharpoons C}$ avec $k_1 = 1.0 \times 10^{8}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ et $k_{-1} = 1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$, et $[\mathrm A]_e = [\mathrm B]_e = 2.70 \times 10^{-5}\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$, calculer $\tau$. Comment obtiendrait-on les deux constantes de vitesse à partir des seules mesures de relaxation ?

**Solution de Exercice 13.12.**

$1/\tau = 1.0 \times 10^{8} \times 5.40 \times 10^{-5} + 1.0 \times 10^{3} = 6.4 \times 10^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\tau = 156\,\text{µ}\mathrm{s}$. Mesurer $\tau$ à plusieurs concentrations totales : $1/\tau$ en fonction de $[\mathrm A]_e + [\mathrm B]_e$ est une droite de pente $k_1$ et d’ordonnée à l’origine $k_{-1}$.

## 13.7 Problème : une enzyme, un inhibiteur et une dose

**Problème 13.1.**

Problème du week-end — une enzyme, un inhibiteur et une dose : les paramètres de Michaelis–Menten par moindres carrés, la constante d’inhibition d’un inhibiteur compétitif, l’activité restante à une dose donnée, et une bouffée en flux stoppé

Une [enzyme](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) ($[\mathrm E]_0 = 5.0\,\mathrm{nM}$ dans les essais) hydrolyse son substrat ; vitesses initiales (données du problème) :

| $[\mathrm S]$ / mM | 0.10 | 0.20 | 0.40 | 0.80 | 1.60 | 3.20 | 6.40 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $v$ / $\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$ | 0.0566 | 0.0981 | 0.169 | 0.247 | 0.340 | 0.397 | 0.447 |

En présence d’un inhibiteur, des ajustements du même type donnent $V_{\max}$ inchangée et la constante $K_M$ apparente : 0.79, 1.47, 2.38 et $4.02\,\mathrm{mM}$ pour $[\mathrm I] = 0$, 20, 50 et $100\,\text{µ}\mathrm{M}$. Une expérience en flux stoppé avec $[\mathrm E]_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{M}$ et un substrat saturant donne l’enregistrement de bouffée de la figure de la section 5 (une bouffée de $1.28\,\text{µ}\mathrm{M}$ de constante de vitesse $625\,\mathrm{s}^{-1}$, puis $200\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$).

**Partie I — $K_M$ et $V_{\max}$.**

1. Pourquoi utilise-t-on des vitesses initiales ?
2. Tracer le diagramme de Lineweaver–Burk ; sa droite des moindres carrés donne $K_M =  0.773\,\mathrm{mM}$ et $V_{\max} = 0.491\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$ . Quels points la dominent ?
3. Pourquoi préfère-t-on un ajustement non linéaire direct ?
4. L’ajustement non linéaire donne $K_M = 0.801 \pm 0.023\,\mathrm{mM}$ et $V_{\max} = 0.502 \pm  0.005\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$ . Les valeurs de Lineweaver–Burk sont-elles compatibles avec elles ?
5. Calculer $k_{\mathrm{cat}}$ .
6. Calculer la [constante de spécificité](#def-b3-complex-kinetics-michaelis) .
7. La comparer à la limite de diffusion et à une [enzyme](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) typique.

**Partie II — L’inhibiteur.**

8. Quel type d’inhibition les données montrent-elles ?
9. Écrire $K_M^{\mathrm{app}}$ en fonction de $[\mathrm I]$ .
10. La droite des moindres carrés de $K_M^{\mathrm{app}}$ en fonction de $[\mathrm I]$ a pour ordonnée à l’origine $0.799\,\mathrm{mM}$ et pour pente $0.0321\,\mathrm{mM}\,\text{µ}\mathrm{M}^{-1}$ . En déduire $K_i$ .
11. Son écart-type vaut $0.9\,\text{µ}\mathrm{M}$ . Donner un intervalle à 95 % ( $t = 4.30$ pour deux degrés de liberté).
12. Que mesure $K_i$ ?

**Partie III — L’activité restante.**

13. Exprimer la fraction d’activité restante, $v_i/v_0$ , en fonction de $[\mathrm S]$ et de $[\mathrm I]$ .
14. L’évaluer pour $[\mathrm S] = K_M$ et $[\mathrm I] = K_i$ .
15. Pour $[\mathrm S] = K_M$ et $[\mathrm I] = 10K_i$ .
16. Pour $[\mathrm S] = 10K_M$ et $[\mathrm I] = 10K_i$ . Commenter.
17. Montrer qu’une inhibition à 90 % pour $[\mathrm S] = K_M$ exige $[\mathrm I] = 18K_i$ .
18. Calculer cette concentration avec le $K_i$ ajusté.

**Partie IV — La bouffée.**

19. L’ [enzyme](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) fonctionne en deux étapes, $\mathrm{E + S \to E{-}acyl + P_1}$ ( $k_2$ ) puis $\mathrm{E{-}acyl \to E +  P_2}$ ( $k_3$ ). Pourquoi $\mathrm P_1$ apparaît-il en une bouffée ?
20. L’amplitude de la bouffée vaut $[\mathrm E]_0\bigl(k_2/(k_2 + k_3)\bigr)^2$ . En déduire $k_2/(k_2 + k_3)$ .
21. À partir de la pente du régime stationnaire, calculer $k_{\mathrm{cat}}$ et le comparer à la partie I.
22. La constante de vitesse de la bouffée vaut $k_2 + k_3$ . En déduire $k_2$ et $k_3$ .
23. Vérifier que $k_{\mathrm{cat}} = k_2k_3/(k_2 + k_3)$ .
24. Énoncer le résultat : la concentration d’inhibiteur qui donne une inhibition à 90 % pour $[\mathrm S] = K_M$ .

**Solution de Problème 13.1.**

**1.** Au départ, $[\mathrm S]$ est connue et le produit, qui pourrait inhiber l’[enzyme](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) ou réagir en retour, est absent. **2.** Les points de faible $[\mathrm S]$, à grands $1/[\mathrm S]$ et $1/v$ : ils fixent la pente, et l’inversion amplifie leurs erreurs. **3.** Il pondère chaque vitesse telle qu’elle est mesurée ; la droite de Lineweaver–Burk donne des paramètres biaisés. **4.** $K_M$ : $0.773$ est à 1.2 écart-type au-dessous de 0.801 ; $V_{\max}$ : $0.491$ est à 2.2 écarts-types au-dessous de 0.502. Les deux sont trop bas, comme le laisse attendre le biais. **5.** $k_{\mathrm{cat}} = 0.502/0.0050 = 100\,\mathrm{s}^{-1}$. **6.** $100/0.801 \times 10^{-3} = 1.25 \times 10^{5}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$. **7.** Quelque 60 000 fois au-dessous de la limite de diffusion ; une [enzyme](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) typique. **8.** Compétitive : $V_{\max}$ inchangée, $K_M$ apparente croissant avec $[\mathrm I]$. **9.** $K_M^{\mathrm{app}} = K_M(1 + [\mathrm I]/K_i) = K_M + (K_M/K_i)[\mathrm I]$. **10.** $K_i = 0.799/0.0321 = 24.9\,\text{µ}\mathrm{M}$. **11.** $24.9 \pm 4.30 \times 0.9 = 24.9 \pm 3.9\,\text{µ}\mathrm{M}$. **12.** La constante de dissociation du complexe enzyme–inhibiteur : la concentration d’inhibiteur qui occupe la moitié de l’[enzyme](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) libre. **13.** $v_i/v_0 = (K_M + [\mathrm S])/(K_M(1 + [\mathrm I]/K_i) + [\mathrm S])$. **14.** $2/3 = 0.67$. **15.** $2/12 = 0.17$. **16.** $11/21 = 0.52$ : à forte concentration, le substrat l’emporte sur l’inhibiteur. **17.** Pour $[\mathrm S] = K_M$, $v_i/v_0 = 2/(2 + [\mathrm I]/K_i) = 0.10$ donne $[\mathrm I]/K_i = 18$. **18.** $18 \times 24.9 = 448\,\text{µ}\mathrm{M}$. **19.** La première étape est rapide : chaque molécule d’[enzyme](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) libère vite un $\mathrm P_1$ et se trouve piégée sous forme d’[acyl-enzyme](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) ; ensuite, $\mathrm P_1$ n’apparaît qu’au rythme auquel la lente seconde étape libère l’[enzyme](#def-b3-complex-kinetics-enzyme). **20.** $1.28/2.0 = 0.64 = (k_2/(k_2 + k_3))^2$, donc $k_2/(k_2 + k_3) = 0.80$. **21.** $200/2.0 = 100\,\mathrm{s}^{-1}$, la même valeur que dans la partie I. **22.** $k_2 = 0.80 \times 625 = 500\,\mathrm{s}^{-1}$, $k_3 = 125\,\mathrm{s}^{-1}$. **23.** $500 \times 125/625 = 100\,\mathrm{s}^{-1}$. **24.** **$[\mathrm I]_{90\,\%} = 18K_i \approx 0.45\,\mathrm{mM}$ pour $[\mathrm S] = K_M$.**