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title: "La RMN approfondie : impulsions, relaxation et 2D"
book: "Chimie universitaire — 3e année"
subject: chemistry
language: fr
chapter: 8
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/chemistry/4/fr/chapter/8-la-rmn-approfondie-impulsions-relaxation-et-2d
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Chemistry Book, One Course (one-course.com)"
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# Chapitre 8 — La RMN approfondie : impulsions, relaxation et 2D

L’appareil d’IRM d’un hôpital et le spectromètre de RMN d’un département de chimie fonctionnent sur le même principe. Chacun place des noyaux d’hydrogène dans un champ magnétique intense, bascule leur aimantation par une brève impulsion d’ondes radio, et écoute le faible signal qu’elle induit en précessant puis en relaxant. L’appareil d’IRM transforme le signal en une image des tissus mous ; le spectromètre, en une liste de déplacements chimiques et de couplages, et, avec plusieurs impulsions successives, en cartes bidimensionnelles qui montrent quel atome est lié à quel autre. Ce chapitre explique ce que font les impulsions, pourquoi le signal s’évanouit, et comment se lisent les [spectres bidimensionnels](#def-b3-advanced-nmr-two-d) — la méthode par laquelle on résout aujourd’hui la plupart des nouvelles structures organiques.

**Rappel.**

Le volume de première année a interprété des spectres de RMN du ${}^1$H : déplacement chimique, blindage, protons équivalents, intégration, couplage spin–spin, constantes de couplage et multiplets. Le volume de deuxième année a ajouté la RMN du ${}^{13}$C avec découplage large bande et DEPT, dont il a admis la séquence d’impulsions ; les impulsions sont expliquées ici. Le [Chapitre 2](https://one-course.com/books/chemistry/4/fr/chapter/2-atomes-polyelectroniques-et-symboles-de-termes#ch-b3-many-electron-atoms) a traité le spin comme un moment cinétique. De la physique : un moment magnétique dans un champ a l’énergie $-\boldsymbol\mu\cdot\mathbf B$, et les populations des niveaux suivent le facteur de Boltzmann $\eu^{-\Delta E/kT}$, développé au [Chapitre 10](https://one-course.com/books/chemistry/4/fr/chapter/10-thermodynamique-statistique-fonctions-de-partition#ch-b3-partition-functions).

![À gauche : un appareil d’IRM hospitalier. À droite : un laboratoire de RMN ; chaque aimant supraconducteur se tient dans son cryostat, rempli d’hélium et d’azote liquides à partir des vases Dewar de gauche. Photographie Shandchem, CC BY 2.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-advanced-nmr/img-eacbcc6419c7.jpg)

![À gauche : un appareil d’IRM hospitalier. À droite : un laboratoire de RMN ; chaque aimant supraconducteur se tient dans son cryostat, rempli d’hélium et d’azote liquides à partir des vases Dewar de gauche. Photographie Shandchem, CC BY 2.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-advanced-nmr/img-b21e496c2d1d.jpg)

*À gauche : un appareil d’IRM hospitalier. À droite : un laboratoire de RMN ; chaque aimant supraconducteur se tient dans son cryostat, rempli d’hélium et d’azote liquides à partir des vases Dewar de gauche. Photographie Shandchem, CC BY 2.0.*

## 8.1 Spins nucléaires dans un champ magnétique

**Définition 8.1 (Nombre quantique de spin nucléaire, rapport gyromagnétique).**

Un noyau possède un moment cinétique de spin de nombre quantique $I$, son *nombre quantique de spin nucléaire* ($I = 0$ pour $\ce{^{12}C}$, $\ce{^{16}O}$ ; $\frac12$ pour $\ce{^1H}$, $\ce{^{13}C}$, $\ce{^{15}N}$, $\ce{^{19}F}$, $\ce{^{31}P}$ ; 1 pour $\ce{^2H}$, $\ce{^{14}N}$), et un moment magnétique $\boldsymbol\mu = \gamma\hat{\mathbf
I}$ qui lui est proportionnel ; $\gamma$ est le *rapport gyromagnétique*. Selon un champ $B_0$ (axe $z$), $\hat I_z$ prend les valeurs $m_I\hbar$, $m_I = -I, \dots, I$.

**Proposition 8.2 (Niveaux Zeeman).**

Dans un champ $B_0$, les niveaux sont $E_m = -m_I\gamma\hbar B_0$ ; les transitions $\Delta m_I = \pm1$ absorbent à la fréquence

$$
\nu_0 = \frac{\gamma B_0}{2\pi}.
$$

**Démonstration.** $E = -\boldsymbol\mu\cdot\mathbf B = -\gamma B_0\hat I_z$, de [valeurs propres](https://one-course.com/books/chemistry/4/fr/chapter/1-la-mecanique-quantique-du-chimiste-systemes-modeles#def-b3-quantum-model-systems-operator) $-\gamma B_0m_I\hbar$. Deux niveaux adjacents diffèrent de $\gamma\hbar B_0 = h\nu_0$. ∎

**Définition 8.3 (Fréquence de Larmor).**

$\nu_0 = \gamma B_0/2\pi$ est la *fréquence de Larmor* du noyau : la fréquence de la résonance, et aussi la fréquence à laquelle son moment magnétique précesse autour du champ.

**Exemple 8.4 (Les noyaux courants).**

Pour un noyau de spin $\frac12$ et de moment $\mu$, $\gamma/2\pi = \mu/(Ih) = 2\mu/h$. Avec les moments mesurés : $\ce{^1H}$ $42.58\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$, $\ce{^{19}F}$ $40.08\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$, $\ce{^{31}P}$ $17.25\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$, $\ce{^{13}C}$ $10.71\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$, $\ce{^{15}N}$ $-4.32\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$. Un « spectromètre à $400\,\mathrm{MHz}$ » a $B_0 = 9.4\,\mathrm{T}$ : ses protons résonnent à $400.2\,\mathrm{MHz}$, ses carbones à $100.7\,\mathrm{MHz}$.

**Proposition 8.5 (Une infime différence de population).**

Pour un spin $\frac12$ à la température $T$, l’excès de noyaux dans le niveau inférieur vaut

$$
\frac{N_\alpha - N_\beta}{N} \approx \frac{\gamma\hbar B_0}{2kT}.
$$

**Démonstration.** $N_\beta/N_\alpha = \eu^{-\Delta E/kT} \approx 1 - \Delta E/kT$ puisque $\Delta E \ll kT$ ; donc $(N_\alpha - N_\beta)/(N_\alpha + N_\beta) \approx \Delta E/2kT$, avec $\Delta E = \gamma\hbar B_0$. ∎

Pour des protons à $9.4\,\mathrm{T}$ et $300\,\mathrm{K}$, l’excès vaut $3.2 \times 10^{-5}$ : seuls trois noyaux sur cent mille contribuent. Comme l’excès et la tension induite dans la bobine croissent tous deux avec $\gamma$ et $B_0$, le signal croît à peu près comme $\gamma^3B_0^2$ : d’où la course à des aimants toujours plus intenses, et la faible sensibilité des noyaux de petit $\gamma$ et de faible abondance naturelle, comme $\ce{^{13}C}$.

## 8.2 Impulsions et signal de précession libre

**Définition 8.6 (Aimantation résultante, référentiel tournant).**

L’*aimantation résultante* $\mathbf M$ d’un échantillon est la somme de ses moments magnétiques nucléaires par unité de volume ; à l’équilibre, elle vaut $M_0$ selon $\mathbf B_0$. Le *référentiel tournant* est un système d’axes $x'$, $y'$, $z$ tournant autour de $z$ à la fréquence des ondes radio appliquées ; on y voit la précession à $\nu_0$ ralentie jusqu’au décalage $\nu_0 -
\nu_{\mathrm{rf}}$.

**Proposition 8.7 (Précession).**

Une aimantation dans un champ obéit à $\dd\mathbf M/\dd t = \gamma\,\mathbf M\times\mathbf B$ ; dans un champ statique $B_0\mathbf e_z$, sa composante transversale tourne autour de $z$ à la pulsation $\omega_0 = \gamma B_0$, tandis que $M_z$ reste constante.

**Démonstration partielle.** L’équation est l’équation classique du couple pour un moment magnétique porteur d’un moment cinétique, admise de la physique. Avec $\mathbf B = B_0\mathbf e_z$ : $\dot M_x = \gamma
B_0M_y$, $\dot M_y = -\gamma B_0M_x$, $\dot M_z = 0$, dont la solution est $M_x + \iu M_y \propto
\eu^{-\iu\gamma B_0t}$ : une rotation à $\omega_0$ (dans le sens horaire vu depuis $+z$ pour $\gamma > 0$). ∎

**Définition 8.8 (Impulsion de radiofréquence, angle de basculement).**

Une *impulsion de radiofréquence* est une brève salve d’ondes radio à $\nu_{\mathrm{rf}} \approx \nu_0$, dont le champ magnétique $B_1$, fixe dans le [référentiel tournant](#def-b3-advanced-nmr-magnetisation) selon $x'$, fait tourner $\mathbf M$ autour de $x'$. L’angle parcouru est l’*angle de basculement* $\theta = \gamma B_1t_p$ pour une impulsion de durée $t_p$ : une impulsion de $90^\circ$ amène $\mathbf M$ dans le plan $x'y'$, une impulsion de $180^\circ$ l’inverse.

![L’aimantation dans le référentiel tournant. Une impulsion de 90 autour de x' fait passer M de z à y' (pour > 0, la rotation suit la règle de la main gauche autour de B_1, convention usuelle) ; une impulsion de 180 l’inverse.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-advanced-nmr/fig-2aba709d3eeb.svg)

*L’aimantation dans le [référentiel tournant](#def-b3-advanced-nmr-magnetisation). Une impulsion de $90^\circ$ autour de $x'$ fait passer $\mathbf M$ de $z$ à $y'$ (pour $\gamma > 0$, la rotation suit la règle de la main gauche autour de $\mathbf B_1$, convention usuelle) ; une impulsion de $180^\circ$ l’inverse.*

**Définition 8.9 (Signal de précession libre).**

Après une impulsion de $90^\circ$, l’aimantation transversale précesse à la [fréquence de Larmor](#def-b3-advanced-nmr-larmor) et induit une tension oscillante dans la bobine qui entoure l’échantillon, tension qui s’éteint à mesure que l’aimantation relaxe : c’est le *signal de précession libre* (FID).

**Théorème 8.10 (Du FID au spectre).**

La transformée de Fourier d’une oscillation amortie $\eu^{-t/T_2}\cos(2\pi\nu t)$ ($t \ge 0$) est, au voisinage de $\nu$, une raie lorentzienne de largeur à mi-hauteur $1/(\pi T_2)$.

**Démonstration.** Écrivons le signal $\eu^{-t/T_2}\eu^{2\pi\iu\nu t}$ et intégrons : $\int_0^\infty\eu^{-t/T_2}\eu^{2\pi\iu(\nu - f)t}\dd t = \frac{1}{1/T_2 - 2\pi\iu(\nu - f)}$, dont la partie réelle vaut $\frac{T_2}{1 + 4\pi^2T_2^2(f - \nu)^2}$. Elle est maximale en $f = \nu$ et tombe à la moitié quand $2\pi T_2|f - \nu| = 1$, c’est-à-dire en $f - \nu = \pm1/(2\pi T_2)$ : une largeur totale de $1/(\pi T_2)$. ∎

![À gauche : le FID de deux raies (décalages de 100 et de 250\, Hz, T_2 = 0.10\, s), présentant des battements dus à l’interférence des deux fréquences dans une enveloppe exponentielle (en tirets). À droite : sa transformée de Fourier, deux raies lorentziennes larges de 3.2\, Hz.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-advanced-nmr/fig-7a38f0365c25.svg)

*À gauche : le FID de deux raies (décalages de 100 et de $250\,\mathrm{Hz}$, $T_2 = 0.10\,\mathrm{s}$), présentant des battements dus à l’interférence des deux fréquences dans une enveloppe exponentielle (en tirets). À droite : sa transformée de Fourier, deux raies lorentziennes larges de $3.2\,\mathrm{Hz}$.*

**Proposition 8.11 (Accumulation du signal).**

Additionner $N$ FID multiplie le signal par $N$ et le bruit aléatoire par $\sqrt N$ : le rapport signal sur bruit croît comme $\sqrt N$.

**Démonstration.** Le signal s’additionne de façon cohérente. Le bruit d’acquisitions indépendantes est de moyenne nulle et de variance $\sigma^2$ chacune ; la variance d’une somme de $N$ termes indépendants vaut $N\sigma^2$ (la loi de propagation du volume de deuxième année), donc son écart-type vaut $\sqrt N\sigma$. ∎

Le DEPT, qui trie les signaux de ${}^{13}$C selon le nombre d’hydrogènes portés, applique aux protons et aux carbones une séquence d’impulsions séparées par des délais de $1/2J$ : la grande aimantation des protons est transférée au carbone par le couplage à une liaison, ce qui multiplie le signal du carbone par environ $\gamma_H/\gamma_C \approx 4$, et l’angle de la dernière impulsion sur les protons pondère différemment CH, $\ce{CH2}$ et $\ce{CH3}$. La même idée — déplacer l’aimantation d’un noyau à l’autre par leurs couplages — sous-tend les expériences bidimensionnelles ci-dessous.

## 8.3 Relaxation

**Définition 8.12 (Temps de relaxation longitudinale et transversale).**

Le retour de $M_z$ à $M_0$ après une perturbation est exponentiel, avec le *temps de relaxation longitudinale* $T_1$ (relaxation spin–réseau : énergie cédée au milieu). La décroissance de l’aimantation transversale jusqu’à zéro est exponentielle, avec le *temps de relaxation transversale* $T_2 \le T_1$ (relaxation spin–spin : perte de cohérence de phase entre les spins).

**Proposition 8.13 (Inversion-récupération).**

Après une impulsion de $180^\circ$, $M_z(t) = M_0(1 - 2\eu^{-t/T_1})$ ; elle s’annule en $t_{\mathrm{null}} = T_1\ln2$.

**Démonstration.** L’équation de relaxation $\dd M_z/\dd t = (M_0 - M_z)/T_1$ avec $M_z(0) = -M_0$ a pour solution $M_0 - 2M_0\eu^{-t/T_1}$, qui s’annule quand $\eu^{-t/T_1} = \frac12$. ∎

**Méthode 8.14 (Mesurer T1T_1T1​ et régler un délai de recyclage quantitatif).**

1. Appliquer la séquence $180^\circ$ – $\tau$ – $90^\circ$ –acquisition pour une série de délais $\tau$ , en attendant au moins $5T_1$ entre deux acquisitions.
2. Ajuster chaque signal sur $M_0(1 - 2\eu^{-\tau/T_1})$ , ou lire le passage à zéro : $T_1 =  t_{\mathrm{null}}/\ln2$ .
3. Pour une intégration quantitative avec des impulsions de $90^\circ$ , attendre au moins $5T_1$ du noyau le plus lent entre deux acquisitions : il manque alors moins de $\eu^{-5} < 1\,\%$ de l’aimantation.

![Relaxation (valeurs modèles). L’aimantation longitudinale inversée revient en passant par zéro à T_1 2 ; l’aimantation transversale décroît plus vite, avec T_2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-advanced-nmr/fig-cc262aa9bc71.svg)

*Relaxation (valeurs modèles). L’aimantation longitudinale inversée revient en passant par zéro à $T_1\ln2$ ; l’aimantation transversale décroît plus vite, avec $T_2$.*

**Définition 8.15 (Écho de spin).**

Dans la séquence $90^\circ$–$\tau$–$180^\circ$–$\tau$, les spins qui se sont déphasés à cause des inhomogénéités du champ sont refocalisés au temps $2\tau$, ce qui produit un *écho de spin* ; son amplitude décroît avec le vrai $T_2$, affranchie de l’inhomogénéité de l’aimant.

**Définition 8.16 (Effet Overhauser nucléaire).**

Saturer ou perturber un spin modifie, par leur relaxation dipolaire, l’intensité du signal d’un autre spin proche dans l’espace : c’est l’*effet Overhauser nucléaire* (NOE). Sa vitesse d’établissement est proportionnelle à $r^{-6}$, si bien qu’on ne l’observe qu’entre noyaux distants de moins d’environ $0.5\,\mathrm{nm}$, qu’ils soient liés ou non.

## 8.4 La RMN bidimensionnelle

**Définition 8.17 (Spectre bidimensionnel, pic de corrélation, pic diagonal).**

Un *spectre bidimensionnel* s’enregistre en répétant une séquence d’impulsions avec un délai $t_1$ incrémenté avant le temps d’acquisition $t_2$ ; une double transformée de Fourier donne une carte de l’intensité en fonction de deux fréquences. Un *pic de corrélation* en $(\delta_1,
\delta_2)$ montre que les noyaux à $\delta_1$ et à $\delta_2$ sont reliés (par un couplage ou par la proximité) ; un *pic diagonal* en $(\delta, \delta)$ appartient à un seul noyau.

**Définition 8.18 (COSY, HSQC, HMBC, NOESY).**

La *COSY* (spectroscopie de corrélation) corrèle des protons couplés entre eux, en général à travers trois liaisons (H–C–C–H). La *HSQC* (cohérence hétéronucléaire à un quantum) corrèle chaque carbone avec les protons qui lui sont directement liés. La *HMBC* (corrélation hétéronucléaire à plusieurs liaisons) corrèle des carbones avec des protons distants de deux ou trois liaisons, par-delà les carbones quaternaires et les hétéroatomes. La *NOESY* corrèle des protons proches dans l’espace par l’[effet Overhauser nucléaire](#def-b3-advanced-nmr-noe).

![Séquences d’impulsions (le temps croît vers la droite ; rectangles pleins : impulsions, repérées par leur angle de basculement en degrés ; bleu : le signal enregistré). L’écho de spin culmine à 2 après la première impulsion.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-advanced-nmr/fig-9346907cb1b4.svg)

*Séquences d’impulsions (le temps croît vers la droite ; rectangles pleins : impulsions, repérées par leur [angle de basculement](#def-b3-advanced-nmr-pulse) en degrés ; bleu : le signal enregistré). L’[écho de spin](#def-b3-advanced-nmr-echo) culmine à $2\tau$ après la première impulsion.*

**Méthode 8.19 (Résoudre une structure à l’aide de spectres bidimensionnels).**

1. À partir de la formule brute, des intégrales en ${}^1$ H et du spectre de ${}^{13}$ C/DEPT, dresser la liste des carbones CH, $\ce{CH2}$ , $\ce{CH3}$ et quaternaires.
2. [HSQC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) : rattacher chaque signal de proton à son carbone.
3. [COSY](#def-b3-advanced-nmr-experiments) : réunir les carbones protonés en systèmes de spins (chaînes de voisins).
4. [HMBC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) : relier les systèmes de spins par-delà les carbones quaternaires, les carbonyles et les hétéroatomes, là où la [COSY](#def-b3-advanced-nmr-experiments) est muette.
5. [NOESY](#def-b3-advanced-nmr-experiments) : fixer les configurations relatives et les conformations à partir des contacts à travers l’espace.
6. Confronter chaque signal à la structure proposée.

![Spectres bidimensionnels du butanoate d’éthyle, CH3CH2CH2COOCH2CH3, tracés à ses déplacements mesurés. COSY : en noir, les pics diagonaux ; en rouge, les pics de corrélation entre protons portés par des carbones voisins — deux systèmes de spins, éthyle et propyle, sans pic de corrélation à travers l’oxygène de l’ester. À droite : les pics HSQC (carrés) relient chaque proton à son carbone ; les pics HMBC (cercles) montrent que les protons OCH_2 (4.13\, ppm) et les protons CH_2C=O (2.28\, ppm) atteignent tous deux le carbone du carbonyle à 173.6\, ppm.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-advanced-nmr/fig-20911a13c28c.svg)

*[Spectres bidimensionnels](#def-b3-advanced-nmr-two-d) du butanoate d’éthyle, $\ce{CH3CH2CH2COOCH2CH3}$, tracés à ses déplacements mesurés. [COSY](#def-b3-advanced-nmr-experiments) : en noir, les pics diagonaux ; en rouge, les [pics de corrélation](#def-b3-advanced-nmr-two-d) entre protons portés par des carbones voisins — deux systèmes de spins, éthyle et propyle, sans [pic de corrélation](#def-b3-advanced-nmr-two-d) à travers l’oxygène de l’ester. À droite : les pics [HSQC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) (carrés) relient chaque proton à son carbone ; les pics [HMBC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) (cercles) montrent que les protons OCH$_2$ ($4.13\,\mathrm{ppm}$) et les protons CH$_2$C=O ($2.28\,\mathrm{ppm}$) atteignent tous deux le carbone du carbonyle à $173.6\,\mathrm{ppm}$.*

## 8.5 Autres noyaux et dynamique

Le fluor 19 et le phosphore 31, de spin $\frac12$, abondants à 100 % et de grand $\gamma$, s’observent presque aussi facilement que les protons ; leurs larges gammes de déplacements en font des sondes précises de leur environnement (médicaments, phosphates, ligands comme les phosphines du [Chapitre 20](https://one-course.com/books/chemistry/4/fr/chapter/20-chimie-organometallique-liaisons-et-ligands#ch-b3-organometallic-bonding)). L’azote 15 est rare et peu sensible ; on l’observe en général indirectement, par les protons qui lui sont liés. Le couplage entre noyaux différents est supprimé par découplage, comme pour le ${}^{13}$C dans le volume de deuxième année.

**Définition 8.20 (Température de coalescence).**

Quand un noyau s’échange entre deux environnements dont les déplacements sont séparés de $\Delta\nu$ (en hertz), ses deux raies s’élargissent à mesure que l’échange s’accélère et fusionnent en une seule à la *température de coalescence* $T_c$.

**Proposition 8.21 (Vitesse à la coalescence).**

Pour deux sites également peuplés et sans couplage, la constante de vitesse d’échange à la coalescence vaut $k_c = \pi\Delta\nu/\sqrt2$.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

La démonstration, à partir des équations de Bloch avec échange, relève de cours plus avancés. Avec l’équation d’Eyring ([Chapitre 12](https://one-course.com/books/chemistry/4/fr/chapter/12-theories-des-vitesses-de-reaction#ch-b3-rate-theories)), la vitesse donne la barrière : la RMN dynamique mesure les rotations autour des liaisons amide, les inversions de cycle et les échanges de ligands, de barrières comprises entre 40 et $100\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$.

**Exemple 8.22 (Une image d’IRM).**

En imagerie par résonance magnétique, un gradient de champ rend la [fréquence de Larmor](#def-b3-advanced-nmr-larmor) des protons de l’eau dépendante de la position, si bien que la transformée de Fourier du signal est une carte de leur répartition. Le contraste vient de la relaxation : on choisit le temps de répétition et les délais d’écho pour pondérer l’image en $T_1$ ou en $T_2$, qui diffèrent d’un tissu à l’autre ; les agents de contraste au gadolinium raccourcissent le $T_1$ de l’eau voisine ([Chapitre 24](https://one-course.com/books/chemistry/4/fr/chapter/24-chimie-bioinorganique#ch-b3-bioinorganic)).

**Au laboratoire — Préparer un spectromètre.**

L’échantillon, dissous dans un solvant deutéré, descend dans la sonde. Le spectromètre se verrouille sur le signal du deutérium pour compenser la lente dérive du champ ; la sonde est accordée et adaptée à la fréquence de chaque noyau ; le champ est rendu homogène sur l’échantillon en réglant les bobines de correction (shims) jusqu’à ce que les raies soient fines. Le champ de l’aimant est permanent : outils en acier, cartes bancaires et stimulateurs cardiaques restent en dehors de la ligne de sécurité tracée au sol.

**Histoire des sciences — De la résonance aux deux dimensions.**

Felix Bloch et Edward Purcell détectèrent la résonance magnétique nucléaire dans la matière condensée en 1946 (prix Nobel de physique 1952). Richard Ernst introduisit la RMN impulsionnelle par transformée de Fourier en 1966 puis, à partir d’une idée de Jean Jeener, la spectroscopie bidimensionnelle dans les années 1970 (prix Nobel de chimie 1991).

## 8.6 Exercices

**Exercice 8.1 ★.**

Calculer les [fréquences de Larmor](#def-b3-advanced-nmr-larmor) de $\ce{^1H}$, $\ce{^{13}C}$ et $\ce{^{19}F}$ à $14.1\,\mathrm{T}$ ($\gamma/2\pi = 42.58$, 10.71 et $40.08\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$).

**Solution de Exercice 8.1.**

$\nu_0 = (\gamma/2\pi)B_0$ : $\ce{^1H}$ $600.4\,\mathrm{MHz}$, $\ce{^{13}C}$ $151.0\,\mathrm{MHz}$, $\ce{^{19}F}$ $565.1\,\mathrm{MHz}$.

**Exercice 8.2 ★.**

Calculer l’excès relatif de protons dans le niveau inférieur à $9.4\,\mathrm{T}$ et $300\,\mathrm{K}$. Comment change-t-il à $4\,\mathrm{K}$ ?

**Solution de Exercice 8.2.**

$h\nu_0/2kT = 6.626\times10^{-34} \times 400.2\times10^6/(2 \times 1.381\times10^{-23} \times 300)
= 3.2 \times 10^{-5}$. À $4\,\mathrm{K}$, il est 75 fois plus grand, $2.4 \times 10^{-3}$ (l’approximation reste valable).

**Exercice 8.3 ★.**

Une impulsion de $90^\circ$ dure $10\,\text{µ}\mathrm{s}$ pour les protons. Que vaut $\gamma B_1/2\pi$ ? Combien dure une impulsion de $180^\circ$, et que fait une impulsion de $5\,\text{µ}\mathrm{s}$ ?

**Solution de Exercice 8.3.**

$\theta = \gamma B_1t_p = \pi/2$ en $10\,\text{µ}\mathrm{s}$ : $\gamma B_1/2\pi = 1/(4 \times
10\,\text{µ}\mathrm{s}) = 25\,\mathrm{kHz}$. Une impulsion de $180^\circ$ dure $20\,\text{µ}\mathrm{s}$ ; $5\,\text{µ}\mathrm{s}$ donnent $45^\circ$.

**Exercice 8.4 ★.**

Une raie a une largeur à mi-hauteur de $3.2\,\mathrm{Hz}$. Que vaut $T_2$ (en supposant le champ parfaitement homogène) ?

**Solution de Exercice 8.4.**

$T_2 = 1/(\pi \times 3.2) = 0.10\,\mathrm{s}$.

**Exercice 8.5 ★★.**

En prenant un signal $\propto\gamma^3$ par noyau et l’abondance naturelle de 1.1 % du $\ce{^{13}C}$, comparer les sensibilités des RMN du ${}^{13}$C et du ${}^1$H. Combien d’acquisitions supplémentaires un spectre de ${}^{13}$C exige-t-il pour le même rapport signal sur bruit ?

**Solution de Exercice 8.5.**

$(10.71/42.58)^3 = 0.0159$, multiplié par 0.011 : $1.75 \times 10^{-4}$, environ 1/5700 du signal du proton. Comme S/B $\propto\sqrt N$, un même rapport S/B exige $5700^2 \approx 3 \times 10^{7}$ fois plus d’acquisitions — impossible, et c’est pourquoi les spectres de ${}^{13}$C utilisent des échantillons plus concentrés, le découplage et le transfert de polarisation.

**Exercice 8.6 ★★.**

Dans une expérience d’inversion-récupération, le signal d’un carbone s’annule pour $\tau = 1.39\,\mathrm{s}$. Trouver $T_1$ et le délai de recyclage pour un travail quantitatif.

**Solution de Exercice 8.6.**

$T_1 = 1.39/\ln2 = 2.0\,\mathrm{s}$ ; délai de recyclage $\ge 5T_1 = 10\,\mathrm{s}$.

**Exercice 8.7 ★★.**

Dans le spectre [COSY](#def-b3-advanced-nmr-experiments) de la butanone, $\ce{CH3COCH2CH3}$, quels [pics de corrélation](#def-b3-advanced-nmr-two-d) apparaissent ? Quels carbones présentent des pics [HMBC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) avec les protons du méthyle singulet ?

**Solution de Exercice 8.7.**

[COSY](#def-b3-advanced-nmr-experiments) : un seul [pic de corrélation](#def-b3-advanced-nmr-two-d), entre le quadruplet $\ce{CH2}$ et le triplet $\ce{CH3}$ du groupe éthyle ; le singulet $\ce{CH3CO}$ n’est couplé à rien. [HMBC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) depuis le méthyle singulet : le carbone du carbonyle (deux liaisons) et le carbone $\ce{CH2}$ (trois liaisons).

**Exercice 8.8 ★★.**

Deux signaux de méthyle d’un amide, distants de $50\,\mathrm{Hz}$ à basse température, coalescent à $330\,\mathrm{K}$. Calculer la vitesse d’échange à la coalescence et l’enthalpie libre d’activation à l’aide de $\Delta G^\ddagger = RT_c\ln(k_BT_c/hk_c)$.

**Solution de Exercice 8.8.**

$k_c = \pi \times 50/\sqrt2 = 111\,\mathrm{s}^{-1}$. $\Delta G^\ddagger = 8.314 \times 330 \times
\ln(6.88\times10^{12}/111) = 68\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$.

**Exercice 8.9 ★★.**

Un NOE entre les protons H$_a$ et H$_b$ est quatre fois plus intense qu’entre H$_a$ et H$_c$, situés à $0.30\,\mathrm{nm}$. Estimer la distance H$_a$–H$_b$.

**Solution de Exercice 8.9.**

NOE $\propto r^{-6}$ : $r_b = 0.30 \times 4^{-1/6} = 0.24\,\mathrm{nm}$.

**Exercice 8.10 ★★★.**

Montrer, en résolvant $\dd\mathbf M/\dd t = \gamma\mathbf M\times\mathbf B_1$ dans le [référentiel tournant](#def-b3-advanced-nmr-magnetisation) avec $\mathbf B_1$ selon $x'$, qu’une impulsion fait tourner $\mathbf M$ de $\gamma B_1t_p$ autour de $x'$.

**Solution de Exercice 8.10.**

Dans le [référentiel tournant](#def-b3-advanced-nmr-magnetisation), à la résonance, il ne reste que $\mathbf B_1 = B_1\mathbf e_{x'}$ : $\dot M_{x'} = 0$, $\dot M_{y'} = \gamma B_1M_z$, $\dot M_z = -\gamma B_1M_{y'}$ (composantes de $\gamma\mathbf M\times\mathbf B_1$). Donc $M_{x'}$ est constante et $(M_{y'}, M_z)$ tourne à la vitesse angulaire $\gamma B_1$ : au bout de $t_p$, de l’angle $\gamma B_1t_p$ autour de $x'$.

**Exercice 8.11 ★★★.**

Expliquer pourquoi l’[écho de spin](#def-b3-advanced-nmr-echo) refocalise le déphasage dû à un champ inhomogène, mais pas celui dû aux interactions aléatoires entre spins. Quelle constante de temps l’amplitude de l’écho mesure-t-elle ?

**Solution de Exercice 8.11.**

Un spin soumis à un champ un peu plus intense gagne de la phase à une vitesse supplémentaire constante pendant $\tau$ ; l’impulsion de $180^\circ$ inverse sa phase, et il en perd exactement autant pendant le second intervalle $\tau$ : tous ces spins se réalignent à $2\tau$. Les interactions spin–spin aléatoires fluctuent dans le temps et ne se répètent pas dans le second intervalle : le déphasage qu’elles causent n’est pas défait. L’amplitude de l’écho décroît avec le vrai $T_2$.

**Exercice 8.12 ★★★.**

Proposer la structure d’un composé $\ce{C4H8O2}$ dont le spectre de ${}^1$H présente un quadruplet (2H, 4.12 ppm), un singulet (3H, 2.05 ppm) et un triplet (3H, 1.26 ppm), et dont le spectre [HMBC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) corrèle les protons du quadruplet avec un carbone à 171 ppm (données de l’exercice). Quel autre ester de même formule donnerait une figure [HMBC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) différente, et en quoi ?

**Solution de Exercice 8.12.**

Éthanoate d’éthyle, $\ce{CH3COOCH2CH3}$ : quadruplet $\ce{OCH2}$ (4.12), singulet $\ce{CH3CO}$ (2.05), triplet $\ce{CH3}$ ; les protons du quadruplet voient le carbone du carbonyle à trois liaisons, à travers l’oxygène de l’ester. Le propanoate de méthyle, $\ce{CH3CH2COOCH3}$, présenterait son quadruplet vers 2.3 ppm (sur un carbone vers 27 ppm en [HSQC](#def-b3-advanced-nmr-experiments), et non 60) et un singulet $\ce{OCH3}$ vers 3.7 ppm dont le pic [HMBC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) vers le carbonyle traverse l’oxygène.

## 8.7 Problème : l’ester de l’ananas en deux dimensions

**Problème 8.1.**

Problème du week-end — le butanoate d’éthyle en deux dimensions : systèmes de spins (COSY), carbones (HSQC), liaison ester (HMBC) et délai d’un spectre de carbone quantitatif

Un ester $\ce{C6H12O2}$ de l’arôme de l’ananas présente des signaux de ${}^1$H à 4.13 (2H, q), 2.28 (2H, t), 1.66 (2H, m), 1.25 (3H, t) et 0.95 ppm (3H, t), et des signaux de ${}^{13}$C à 173.6, 60.1, 36.3, 18.6, 14.3 et 13.7 ppm, enregistrés à $9.4\,\mathrm{T}$. Ses spectres 2D sont ceux de la figure de la section 4. Données du problème : les $T_1$ des carbones valent environ $20\,\mathrm{s}$ pour le carbonyle, de 2 à $6\,\mathrm{s}$ pour les autres.

**Partie I — Une dimension.**

1. Calculer le nombre d’insaturations de $\ce{C6H12O2}$ .
2. Quel signal de ${}^{13}$ C est le carbonyle ? Lequel est le carbone lié à l’oxygène ?
3. Combien y a-t-il de carbones protonés ? Que montrerait le DEPT-135 ?
4. À $9.4\,\mathrm{T}$ , quelles sont les [fréquences de Larmor](#def-b3-advanced-nmr-larmor) de ${}^1$ H et de ${}^{13}$ C ?
5. Le couplage du quadruplet vaut $7.2\,\mathrm{Hz}$ : quelle est sa largeur, en ppm, à $400\,\mathrm{MHz}$ ?
6. Pourquoi les seuls spectres 1D peuvent-ils laisser ouvert l’ordre des fragments ?

**Partie II — [COSY](#def-b3-advanced-nmr-experiments).**

7. Énumérer les [pics de corrélation](#def-b3-advanced-nmr-two-d) de la carte [COSY](#def-b3-advanced-nmr-experiments) .
8. En déduire les deux systèmes de spins.
9. Pourquoi n’y a-t-il pas de [pic de corrélation](#def-b3-advanced-nmr-two-d) entre 4.13 et 2.28 ppm ?
10. Quel signal de proton est couplé à deux autres ? Expliquer sa multiplicité.
11. Qu’aurait signifié un [pic de corrélation](#def-b3-advanced-nmr-two-d) entre 0.95 et 1.25 ppm ?
12. Dessiner les deux fragments.

**Partie III — [HSQC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) et [HMBC](#def-b3-advanced-nmr-experiments).**

13. À partir de la [HSQC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) , attribuer chaque carbone à ses protons.
14. Quels deux carbones de méthyle ne sont distingués que par la [HSQC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) ?
15. Quel pic [HMBC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) relie le fragment éthyle au carbonyle, et à travers combien de liaisons ?
16. Quels pics [HMBC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) relient le fragment propyle au carbonyle ?
17. En déduire la structure, et exclure son isomère, le propanoate de propyle.
18. Pourquoi les pics [HMBC](#def-b3-advanced-nmr-experiments) à travers quatre liaisons ou plus sont-ils en général absents ?

**Partie IV — Un spectre de carbone quantitatif.**

19. Pourquoi les intégrales d’un spectre de ${}^{13}$ C ordinaire ne sont-elles pas proportionnelles au nombre de carbones ?
20. Quelle fraction de son aimantation d’équilibre le carbonyle récupère-t-il si les acquisitions sont répétées toutes les $5\,\mathrm{s}$ avec des impulsions de $90^\circ$ (en partant chaque fois de zéro) ?
21. Quelle fraction après $5T_1$ ?
22. Outre la relaxation, quel effet du découplage des protons fausse les intégrales des carbones, et comment le supprime-t-on ?
23. Avec un délai de $5T_1$ , combien de temps durent 256 acquisitions ?
24. Énoncer le résultat : le délai de recyclage minimal pour un spectre de ${}^{13}$ C quantitatif de cet ester.

**Solution de Problème 8.1.**

**1.** $(2 \times 6 + 2 - 12)/2 = 1$ : un C=O. **2.** 173.6 ppm : le carbonyle de l’ester ; 60.1 ppm : le $\ce{OCH2}$. **3.** Cinq ; DEPT-135 : $\ce{CH2}$ négatifs (60.1, 36.3, 18.6), $\ce{CH3}$ positifs (14.3, 13.7), le carbonyle absent. **4.** $400.2\,\mathrm{MHz}$ et $100.7\,\mathrm{MHz}$. **5.** $3J = 21.6\,\mathrm{Hz} = 0.054\,\mathrm{ppm}$. **6.** Les multiplicités montrent quels groupes sont voisins à l’intérieur de chaque fragment, mais non comment les fragments se raccordent à travers l’oxygène et le carbonyle. **7.** 4.13–1.25 ; 2.28–1.66 ; 1.66–0.95 (et leurs symétriques). **8.** $\ce{OCH2CH3}$ (4.13, 1.25) et $\ce{CH2CH2CH3}$ (2.28, 1.66, 0.95). **9.** Les protons $\ce{OCH2}$ et $\ce{CH2C=O}$ sont séparés par l’oxygène et le carbone du carbonyle : cinq liaisons, pas de couplage résolu. **10.** 1.66 ppm, entre $\ce{CH2}$ et $\ce{CH3}$ : couplé à 2 + 3 = 5 protons avec des $J$ voisines, un sextuplet (un multiplet). **11.** Des méthyles couplés supposeraient deux $\ce{CH3}$ sur des carbones voisins (un motif $\ce{CH3-CH3}$) : impossible ici. **12.** $\ce{-O-CH2-CH3}$ et $\ce{-CH2-CH2-CH3}$, plus le $\ce{C=O}$. **13.** 4.13/60.1 ; 2.28/36.3 ; 1.66/18.6 ; 1.25/14.3 ; 0.95/13.7. **14.** 14.3 ($\ce{CH3}$ de l’éthyle) et 13.7 ppm ($\ce{CH3}$ du butanoyle), distants de $0.6\,\mathrm{ppm}$ seulement. **15.** De 4.13 ppm vers 173.6 ppm : H–C–O–C, trois liaisons. **16.** 2.28 ppm (deux liaisons) et 1.66 ppm (trois liaisons) vers 173.6 ppm. **17.** $\ce{CH3CH2CH2C(=O)OCH2CH3}$, le butanoate d’éthyle. Le propanoate de propyle placerait un triplet $\ce{OCH2}$ (et non un quadruplet) vers 4.0 ppm et un quadruplet vers 2.3 ppm. **18.** Les couplages à quatre liaisons sont en général inférieurs à 1 Hz ; le délai [HMBC](#def-b3-advanced-nmr-experiments), réglé pour 5 à 10 Hz, ne les sélectionne pas. **19.** Les carbones relaxent à des vitesses différentes et reçoivent du découplage des exaltations Overhauser nucléaires différentes. **20.** $1 - \eu^{-5/20} = 0.22$ : le carbonyle est sous-représenté d’un facteur 4. **21.** $1 - \eu^{-5} = 0.993$. **22.** Le NOE dû au découplage des protons, différent pour chaque carbone ; on le supprime par le découplage inverse alterné (découpleur actif seulement pendant l’acquisition). **23.** $256 \times 100\,\mathrm{s} = 25\,600\,\mathrm{s}$, environ 7 heures. **24.** **$5T_1$ du carbone du carbonyle : $100\,\mathrm{s}$ entre deux acquisitions.**