---
title: "Complexe kinetiek: ketens, enzymen en oscillaties"
book: "Universitaire scheikunde — jaar 3"
subject: chemistry
language: nl
chapter: 13
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/chemistry/4/nl/chapter/13-complexe-kinetiek-ketens-enzymen-en-oscillaties
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Chemistry Book, One Course (one-course.com)"
---

# Hoofdstuk 13 — Complexe kinetiek: ketens, enzymen en oscillaties

Een beker met een geroerde oplossing wordt kleurloos, dan amberkleurig, dan blauw, dan weer kleurloos, en blijft dat vele minuten lang herhalen; uitgegoten in een schaal tekent hetzelfde mengsel spiralen die draaien en zich verplaatsen. Toen Boris Belousov zo’n reactie in 1951 beschreef, werd zijn manuscript geweigerd: een chemisch systeem, meende de referent, kan niet heen en weer gaan, want het moet bergaf gaan naar het evenwicht. Het gaat wel bergaf; het gaat alleen niet rechtdoor. Dit hoofdstuk behandelt mechanismen met veel stappen waarvan de intermediairen geregenereerd worden: [kettingreacties](#def-b3-complex-kinetics-chain) en explosies, moleculen die botsingen nodig hebben om in hun eentje uiteen te vallen, [enzymen](#def-b3-complex-kinetics-enzyme), en de [oscillerende reacties](#def-b3-complex-kinetics-oscillating), met de methoden die reacties volgen die te snel zijn om met de hand te mengen.

**Wat je al weet.**

Het deel van jaar 1 definieerde een reactiemechanisme als een opeenvolging van elementaire stappen, de snelheidsbepalende stap, de voorevenwichtsbenadering en de stationaire-toestandsbenadering, en katalysatoren. Het deel van jaar 2 benoemde de stappen van een radicaalketen (initiatie, propagatie, terminatie), radicaalinitiatoren en de kinetische ketenlengte van een polymerisatie, en paste kleinstekwadratenrechten aan. [Hoofdstuk 12](https://one-course.com/books/chemistry/4/nl/chapter/12-theorieen-van-reactiesnelheden#ch-b3-rate-theories) gaf de [overgangstoestandstheorie](https://one-course.com/books/chemistry/4/nl/chapter/12-theorieen-van-reactiesnelheden#def-b3-rate-theories-tst) en de diffusielimiet van ongeveer $10^{10}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$.

## 13.1 Kettingreacties

**Definitie 13.1 (Kettingreactie, kettingdrager).**

Een *kettingreactie* is een reactie waarin reactieve intermediairen, de *kettingdragers*, geregenereerd worden door een cyclus van propagatiestappen, zodat één initiatiegebeurtenis veel moleculen beginstof omzet.

Bodenstein mat in 1906 de snelheid van $\ce{H2 + Br2 -> 2 HBr}$ en vond een wet die geen enkele afzonderlijke stap kon voortbrengen: de snelheid groeit als $[\ce{Br2}]^{1/2}$ en daalt naarmate HBr zich ophoopt. Het mechanisme werd in 1919 opgeschreven:

| initiatie | $\ce{Br2 -> 2 Br}$ | $k_1$ |
| --- | --- | --- |
| propagatie | $\ce{Br + H2 -> HBr + H}$ | $k_2$ |
| propagatie | $\ce{H + Br2 -> HBr + Br}$ | $k_3$ |
| inhibitie | $\ce{H + HBr -> H2 + Br}$ | $k_4$ |
| terminatie | $\ce{2 Br -> Br2}$ | $k_{-1}$ |

(botsingen met een derde lichaam M, dat energie aanvoert naar en afvoert uit de initiatie- en terminatiestappen, blijven impliciet).

**Stelling 13.2 (De snelheidswet van waterstof en broom).**

Met de stationaire-toestandsbenadering voor Br en H is de snelheid $v = \frac12\,\dd[\ce{HBr}]/\dd t$ van het mechanisme

$$
v = \frac{k[\ce{H2}][\ce{Br2}]^{1/2}}{1 + k'[\ce{HBr}]/[\ce{Br2}]},
  \qquad k = k_2\Bigl(\frac{k_1}{k_{-1}}\Bigr)^{1/2},\ k' = \frac{k_4}{k_3}.
$$

**Bewijs.** Stationaire toestand voor H: $k_2[\ce{Br}][\ce{H2}] = k_3[\ce{H}][\ce{Br2}] + k_4[\ce{H}][\ce{HBr}]$. Stationaire toestand voor Br: $2k_1[\ce{Br2}] - k_2[\ce{Br}][\ce{H2}] + k_3[\ce{H}][\ce{Br2}] + k_4[\ce{H}][\ce{HBr}] - 2k_{-1}[\ce{Br}]^2 = 0$. Als men de twee vergelijkingen optelt, vallen de propagatietermen weg: $k_1[\ce{Br2}] = k_{-1}[\ce{Br}]^2$, dus $[\ce{Br}] =
(k_1/k_{-1})^{1/2}[\ce{Br2}]^{1/2}$. Dan is $[\ce{H}] = k_2[\ce{Br}][\ce{H2}]/(k_3[\ce{Br2}] + k_4[\ce{HBr}])$ en

$$
\frac{\dd[\ce{HBr}]}{\dd t} = k_2[\ce{Br}][\ce{H2}] + k_3[\ce{H}][\ce{Br2}] - k_4[\ce{H}][\ce{HBr}] = 2k_3[\ce{H}][\ce{Br2}]
  = \frac{2k_2[\ce{Br}][\ce{H2}]}{1 + (k_4/k_3)[\ce{HBr}]/[\ce{Br2}]},
$$

met de eerste vergelijking; invullen van $[\ce{Br}]$ geeft het resultaat. ∎

![De propagatiecyclus van de keten van waterstof en broom: elke omloop verbruikt één H2 en één Br2, maakt twee HBr en geeft het broomatoom terug waarmee hij begon. De initiatie voedt de cyclus met dragers, de terminatie verwijdert ze; de inhibitiestap zet een H-atoom terug om in Br, ten koste van een HBr dat al gevormd was.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-23c95931e2a0.svg)

*De propagatiecyclus van de keten van waterstof en broom: elke omloop verbruikt één $\ce{H2}$ en één $\ce{Br2}$, maakt twee HBr en geeft het broomatoom terug waarmee hij begon. De initiatie voedt de cyclus met dragers, de terminatie verwijdert ze; de inhibitiestap zet een H-atoom terug om in Br, ten koste van een HBr dat al gevormd was.*

![Het mechanisme van waterstof en broom, stap voor stap geïntegreerd (modelwaarden van de snelheidsconstanten, gereduceerde eenheden, k' = 0.1): omzetting als functie van de tijd (links), en de snelheid 1/2 ( HBr)/ t van het volledige mechanisme vergeleken met de wet van de stationaire toestand (rechts). Na een inductieperiode, waarin de broomatomen zich opbouwen, vallen de twee samen tot op minder dan 1 %.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-3cf346edaab1.svg)

*Het mechanisme van waterstof en broom, stap voor stap geïntegreerd (modelwaarden van de snelheidsconstanten, gereduceerde eenheden, $k' = 0.1$): omzetting als functie van de tijd (links), en de snelheid $\frac12\dd[\ce{HBr}]/\dd t$ van het volledige mechanisme vergeleken met de wet van de stationaire toestand (rechts). Na een inductieperiode, waarin de broomatomen zich opbouwen, vallen de twee samen tot op minder dan 1 %.*

**Methode 13.3 (De snelheidswet van een kettingmechanisme).**

1. Schrijf voor elke [kettingdrager](#def-b3-complex-kinetics-chain) een stationaire-toestandsvergelijking.
2. Tel ze op: de propagatiestappen, die alleen de ene drager tegen de andere ruilen, vallen weg, en de initiatie blijft gelijk aan de terminatie; dat geeft de concentratie van de drager.
3. Gebruik de vergelijking van één drager om de andere dragers uit te drukken.
4. Schrijf de vormingssnelheid van een product uit de propagatiestappen.

Het aantal propagatiecycli per initiatiegebeurtenis, hier $v/k_1[\ce{Br2}]$, is de kinetische ketenlengte uit het deel van jaar 2; voor de reactie van waterstof met broom is ze, afhankelijk van de omstandigheden, van de orde van $10^3$ tot $10^6$. De inhibitie door het product verklaart waarom de snelheid sneller daalt dan de beginstoffen verbruikt worden.

## 13.2 Vertakte ketens en explosies

**Definitie 13.4 (Kettingvertakking, explosiegrenzen).**

*Kettingvertakking* is een propagatiestap die meer [kettingdragers](#def-b3-complex-kinetics-chain) voortbrengt dan ze verbruikt, zoals $\ce{H + O2 -> OH + O}$, die van één drager er twee maakt. De *explosiegrenzen* van een mengsel zijn de drukken waarbij, bij een gegeven temperatuur, zijn trage reactie overgaat in een explosie.

**Propositie 13.5 (Vertakkingscriterium).**

Stel dat dragers ontstaan met de snelheid $v_i$, zich vermenigvuldigen door vertakking met de snelheidsconstante $f$ en verdwijnen door terminatie met de snelheidsconstante $g$: $\dd n/\dd t = v_i + (f - g)n$. Als $f < g$, nadert $n$ tot de stationaire waarde $v_i/(g - f)$; als $f > g$, groeit $n$ exponentieel en explodeert de reactie.

**Bewijs.** De lineaire vergelijking heeft de oplossing $n(t) = \frac{v_i}{g - f}\bigl(1 - \eu^{-(g - f)t}\bigr)$, die naar $v_i/(g - f)$ gaat wanneer $g > f$; wanneer $f > g$ is de exponent positief en groeit $n$ als $\eu^{(f - g)t}$ zonder grens (tot de beginstoffen op zijn). ∎

Voor mengsels van waterstof en zuurstof bij enkele honderden graden groeit $f$ met de druk (het is evenredig met $[\ce{O2}]$), is de terminatie aan de wanden van het vat snel bij lage druk (de radicalen diffunderen er gemakkelijk naartoe), en groeit de terminatie door driedeeltjesbotsingen ($\ce{H + O2 + M -> HO2 + M}$) met het kwadraat van de druk. De vertakking wint tussen een eerste grens, bepaald door de wanden, en een tweede grens, bepaald door de driedeeltjesterminatie; bij nog hogere druk verschijnt een derde grens waar de vrijgekomen warmte niet meer kan ontsnappen. Die laatste is een thermische explosie, gedreven door de exponentiële groei van de snelheid met de temperatuur in plaats van door vertakking; de meeste industriële explosies zijn van dat soort.

## 13.3 Monomoleculaire reacties

Een molecuul zoals cyclopropaan isomeriseert in zijn eentje, met een kinetiek van de eerste orde bij gewone drukken; toch daalt de snelheidsconstante bij lage druk. De benodigde energie komt van botsingen.

**Definitie 13.6 (Mechanisme van Lindemann, overgangsgebied).**

Het *mechanisme van Lindemann* van een monomoleculaire reactie is de opeenvolging $\mathrm{A + M \rightleftharpoons A^* + M}$ ($k_1$, $k_{-1}$), activering en deactivering door botsing met een willekeurig molecuul M, gevolgd door $\mathrm{A^* \to P}$ ($k_2$). Het *overgangsgebied* (“fall-off”) is het drukbereik waarin de waargenomen snelheidsconstante van de eerste orde daalt van haar waarde bij hoge druk naar een gedrag van de tweede orde.

**Stelling 13.7 (Snelheidsconstante van Lindemann).**

Met de stationaire-toestandsbenadering voor $\mathrm{A^*}$ is $v = k_{\mathrm{uni}}[\mathrm A]$ met

$$
k_{\mathrm{uni}} = \frac{k_1k_2[\mathrm M]}{k_{-1}[\mathrm M] + k_2},
$$

die naar $k_\infty = k_1k_2/k_{-1}$ gaat bij hoge druk (eerste orde) en naar $k_1[\mathrm M]$ bij lage druk (tweede orde); ze is $k_\infty/2$ bij $[\mathrm M]_{1/2} = k_2/k_{-1}$.

**Bewijs.** $\dd[\mathrm{A^*}]/\dd t = k_1[\mathrm A][\mathrm M] - k_{-1}[\mathrm{A^*}][\mathrm M] - k_2[\mathrm{A^*}] = 0$ geeft $[\mathrm{A^*}] =
k_1[\mathrm A][\mathrm M]/(k_{-1}[\mathrm M] + k_2)$ en $v = k_2[\mathrm{A^*}]$. Als $k_{-1}[\mathrm M] \gg k_2$, is de deactivering sneller dan de reactie en is $\mathrm{A^*}$ in voorevenwicht: $k_{\mathrm{uni}} \to k_1k_2/k_{-1}$. Als $k_{-1}[\mathrm M]
\ll k_2$, reageert elk geactiveerd molecuul en is de activering snelheidsbepalend: $k_{\mathrm{uni}} \to k_1[\mathrm M]$. ∎

![De overgangskromme van Lindemann (modelconstanten): eerste orde met de limietconstante k_∈fty bij hoge druk, tweede orde (k_1( M)) bij lage druk, en de helft van k_∈fty bij ( M)_1/2 = k_2/k_-1. Echte overgangskrommen zijn breder: de snelheidsconstante k_2 van een aangeslagen molecuul groeit met zijn energie.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-cd9fb7f5b919.svg)

*De overgangskromme van Lindemann (modelconstanten): eerste orde met de limietconstante $k_\infty$ bij hoge druk, tweede orde ($k_1[\mathrm M]$) bij lage druk, en de helft van $k_\infty$ bij $[\mathrm M]_{1/2} = k_2/k_{-1}$. Echte overgangskrommen zijn breder: de snelheidsconstante $k_2$ van een aangeslagen molecuul groeit met zijn energie.*

## 13.4 Enzymkinetiek

**Definitie 13.8 (Enzym, actieve plaats, enzym-substraatcomplex).**

Een *enzym* is een biologische katalysator, bijna altijd een eiwit, die een specifieke reactie van zijn substraat versnelt. De *actieve plaats* is de holte van het enzym waar het substraat bindt en reageert; het gebonden deeltje is het *enzym-substraatcomplex* ES.

**Definitie 13.9 (Michaelisconstante, maximale snelheid, katalytische constante en specificiteitsconstante).**

Voor het mechanisme $\mathrm{E + S \rightleftharpoons ES \to E + P}$ ($k_1$, $k_{-1}$, $k_2$) bij een totale enzymconcentratie $[\mathrm E]_0$ is de *katalytische constante* $k_{\mathrm{cat}} = k_2$, de *maximale snelheid* $V_{\max} = k_{\mathrm{cat}}[\mathrm E]_0$, de *michaelisconstante* $K_M = (k_{-1} + k_2)/k_1$, en de *specificiteitsconstante* $k_{\mathrm{cat}}/K_M$.

**Stelling 13.10 (Vergelijking van Michaelis-Menten).**

Wanneer $[\mathrm S] \gg [\mathrm E]_0$ en ES zich in een stationaire toestand bevindt, is de beginsnelheid van de vorming van het product

$$
v = \frac{V_{\max}[\mathrm S]}{K_M + [\mathrm S]} .
$$

Deze uitspraak is de *vergelijking van Michaelis-Menten*.

**Bewijs.** Stationaire toestand: $k_1[\mathrm E][\mathrm S] = (k_{-1} + k_2)[\mathrm{ES}]$, en $[\mathrm E] = [\mathrm E]_0 - [\mathrm{ES}]$ (het vrije substraat is praktisch al het substraat, omdat $[\mathrm S] \gg [\mathrm E]_0$). Dus is $[\mathrm{ES}]
= [\mathrm E]_0[\mathrm S]/(K_M + [\mathrm S])$ en $v = k_2[\mathrm{ES}]$. ∎

**Opmerking 13.11.**

Michaelis en Menten (1913) namen in plaats daarvan een snel voorevenwicht aan van E, S en ES; dezelfde vergelijking volgt dan, met $K_M$ vervangen door de dissociatieconstante $k_{-1}/k_1$, de limiet van $K_M$ wanneer $k_2 \ll k_{-1}$. De [katalytische constante](#def-b3-complex-kinetics-michaelis) is wat biochemici het omzetgetal van het [enzym](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) noemen: het aantal substraatmoleculen dat één [actieve plaats](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) per seconde omzet wanneer ze verzadigd is.

Bij $[\mathrm S] = K_M$ is de snelheid $V_{\max}/2$; bij $[\mathrm S] \ll K_M$ is ze $(k_{\mathrm{cat}}/K_M)[\mathrm E]_0[\mathrm S]$: de [specificiteitsconstante](#def-b3-complex-kinetics-michaelis) is de snelheidsconstante van de tweede orde van het vrije [enzym](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) met zijn substraat, en ze kan de snelheid waarmee die elkaar ontmoeten niet overschrijden, de diffusielimiet van [Hoofdstuk 12](https://one-course.com/books/chemistry/4/nl/chapter/12-theorieen-van-reactiesnelheden#ch-b3-rate-theories). Enkele [enzymen](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) komen er dichtbij; het “gemiddelde” [enzym](#def-b3-complex-kinetics-enzyme), in een overzicht van enkele duizenden, heeft een $k_{\mathrm{cat}}/K_M$ van ongeveer $10^5$ $\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, zo’n vier grootteordes lager.

**Propositie 13.12 (Vorm van Lineweaver-Burk).**

De [vergelijking van Michaelis-Menten](#thm-b3-complex-kinetics-michaelis-menten) is gelijkwaardig met

$$
\frac1v = \frac{1}{V_{\max}} + \frac{K_M}{V_{\max}}\,\frac{1}{[\mathrm S]},
$$

een rechte van $1/v$ tegen $1/[\mathrm S]$ met afsnijding $1/V_{\max}$, helling $K_M/V_{\max}$, en afsnijding $-1/K_M$ op de as $1/[\mathrm S]$.

**Bewijs.** Neem het omgekeerde: $1/v = (K_M + [\mathrm S])/(V_{\max}[\mathrm S])$. Bij $1/v = 0$ is $1/[\mathrm S] = -1/K_M$. ∎

**Methode 13.13 (KMK_MKM​ en Vmax⁡V_{\max}Vmax​ met niet-lineaire kleinste kwadraten).**

1. Meet beginsnelheden bij substraatconcentraties gespreid van ongeveer $K_M/5$ tot $10K_M$ .
2. Pas $v = V_{\max}[\mathrm S]/(K_M + [\mathrm S])$ rechtstreeks aan, door $\sum(v_i - v(\mathrm S_i))^2$ te minimaliseren (iteratief, vertrekkend van de waarden van een rechte van Lineweaver-Burk); de standaardfouten volgen uit de residuen en de gevoeligheid van $v$ voor elke parameter.
3. Gebruik de grafiek van Lineweaver-Burk alleen om het patroon te zien: het omkeren van kleine snelheden vergroot hun fouten, zodat de kleinstekwadratenrechte door $1/v$ gedomineerd wordt door de minst nauwkeurige punten, en haar parameters vertekend zijn.

**Definitie 13.14 (Inhibitie).**

Een inhibitor I bindt omkeerbaar aan het [enzym](#def-b3-complex-kinetics-enzyme). Bij *competitieve inhibitie* bindt hij alleen aan het vrije [enzym](#def-b3-complex-kinetics-enzyme), in de [actieve plaats](#def-b3-complex-kinetics-enzyme), met de *inhibitieconstante* $K_i$ (dissociatieconstante van EI); bij *oncompetitieve inhibitie* bindt hij alleen aan ES, met de constante $K_i'$; bij *gemengde inhibitie* bindt hij aan beide.

**Propositie 13.15 (Snelheidswetten met inhibitie).**

Met $\alpha = 1 + [\mathrm I]/K_i$ en $\alpha' = 1 + [\mathrm I]/K_i'$ behoudt de snelheid de vorm van Michaelis-Menten $v = V^{\mathrm{app}}[\mathrm S]/(K_M^{\mathrm{app}} + [\mathrm S])$, met: competitief $K_M^{\mathrm{app}} = \alpha K_M$, $V^{\mathrm{app}} = V_{\max}$; oncompetitief $K_M^{\mathrm{app}} = K_M/\alpha'$, $V^{\mathrm{app}} =
V_{\max}/\alpha'$; gemengd $K_M^{\mathrm{app}} = \alpha K_M/\alpha'$, $V^{\mathrm{app}} = V_{\max}/\alpha'$.

**Bewijs.** Gemengd geval (de andere zijn er de limieten $K_i' \to \infty$ en $K_i \to \infty$ van): het [enzym](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) is verdeeld over E, EI, ES en ESI met $[\mathrm{EI}] = [\mathrm E][\mathrm I]/K_i$, $[\mathrm{ESI}] = [\mathrm{ES}][\mathrm I]/K_i'$ en de stationaire toestand $[\mathrm E][\mathrm S] = K_M[\mathrm{ES}]$. Dus is $[\mathrm E]_0 = [\mathrm E]\alpha + [\mathrm{ES}]\alpha' =
[\mathrm{ES}](\alpha K_M/[\mathrm S] + \alpha')$ en $v = k_2[\mathrm{ES}] = V_{\max}[\mathrm S]/(\alpha K_M + \alpha'[\mathrm S])$; teller en noemer delen door $\alpha'$ geeft de vermelde vorm. ∎

**Methode 13.16 (Het type inhibitie herkennen).**

1. Meet $v([\mathrm S])$ bij verschillende inhibitorconcentraties en teken de rechten van Lineweaver-Burk.
2. Rechten die elkaar snijden op de as $1/v$ (dezelfde $V_{\max}$ ): competitief; een grote overmaat substraat overwint de inhibitor.
3. Evenwijdige rechten (helling $K_M/V_{\max}$ onveranderd): oncompetitief.
4. Rechten die elkaar links van de as $1/v$ snijden: gemengd.
5. Bepaal $K_i$ door de schijnbare constanten uit te zetten tegen $[\mathrm I]$ : voor een competitieve inhibitor is $K_M^{\mathrm{app}} = K_M + (K_M/K_i)[\mathrm I]$ een rechte.

![Kinetiek van Michaelis-Menten met K_M = 0.80\, mM en V_ = 0.50\, µ M\, s-1 (model): zonder inhibitor (zwart), een competitieve inhibitor bij ( I) = 2K_i (blauw, K_M verdrievoudigd, dezelfde V_) en een oncompetitieve bij ( I) = K_i' (rood, K_M en V_ gehalveerd). Rechts: de rechten van Lineweaver-Burk; de competitieve rechte snijdt de niet-geïnhibeerde op de as 1/v, de oncompetitieve loopt er evenwijdig mee (1/( S) in mM-1, 1/v in s\, µ M-1).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-c4d075cb7d36.svg)

*Kinetiek van Michaelis-Menten met $K_M = 0.80\,\mathrm{mM}$ en $V_{\max} = 0.50\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$ (model): zonder inhibitor (zwart), een competitieve inhibitor bij $[\mathrm I] = 2K_i$ (blauw, $K_M$ verdrievoudigd, dezelfde $V_{\max}$) en een oncompetitieve bij $[\mathrm I] = K_i'$ (rood, $K_M$ en $V_{\max}$ gehalveerd). Rechts: de rechten van Lineweaver-Burk; de competitieve rechte snijdt de niet-geïnhibeerde op de as $1/v$, de oncompetitieve loopt er evenwijdig mee ($1/[\mathrm S]$ in $\mathrm{mM}^{-1}$, $1/v$ in $\mathrm{s}\,\text{µ}\mathrm{M}^{-1}$).*

## 13.5 Autokatalyse, oscillaties en snelle reacties

**Definitie 13.17 (Autokatalytische reactie).**

Een *autokatalytische reactie* is een reactie waarin een product zijn eigen vorming katalyseert, zoals in $\mathrm{A + X \to 2\,X}$.

**Propositie 13.18 (Logistische wet).**

Voor $\mathrm{A + X \to 2\,X}$ met snelheidsconstante $k$ en beginconcentraties $a_0$ en $x_0$, met $N = a_0 + x_0$, is

$$
x(t) = \frac{N}{1 + (N/x_0 - 1)\eu^{-kNt}},
$$

een S-vormige kromme die de helft van haar eindwaarde bereikt bij $t_{1/2} = \ln(N/x_0 - 1)/kN$.

**Bewijs.** $\dd x/\dd t = kx(N - x)$, omdat $a = N - x$. Scheiden van de veranderlijken geeft $\frac{\dd x}{x(N - x)} = \frac1N\bigl(\frac1x + \frac{1}{N - x}\bigr)\dd x
= k\,\dd t$, dus $\ln\frac{x}{N - x} = kNt + \ln\frac{x_0}{N - x_0}$, wat herschikt de vermelde vorm geeft; $x = N/2$ wanneer $(N/x_0 - 1)\eu^{-kNt} = 1$. ∎

**Definitie 13.19 (Oscillerende reactie, limietcyclus).**

Een *oscillerende reactie* is een reactie waarin de concentraties van intermediairen periodiek stijgen en dalen terwijl de totale reactie naar het evenwicht voortschrijdt. Een *limietcyclus* is een gesloten baan in de ruimte van de concentraties waar naburige banen naar convergeren, zodat de oscillatie een amplitude heeft die niet van het beginpunt afhangt.

**Stelling 13.20 (Model van Lotka-Volterra).**

Voor het autokatalytische schema $\mathrm{A + X \to 2\,X}$, $\mathrm{X + Y \to 2\,Y}$, $\mathrm{Y \to B}$ met A constant gehouden, gehoorzamen de concentraties aan $\dot x = x(a - by)$, $\dot y = y(dx - c)$ met positieve constanten, en de grootheid

$$
V = dx - c\ln x + by - a\ln y
$$

is constant langs elke baan: de banen zijn gesloten krommen rond de stationaire toestand $(c/d, a/b)$, en de concentraties oscilleren met een amplitude die vastgelegd wordt door het beginpunt.

**Bewijs.** $\dot V = (d - c/x)\dot x + (b - a/y)\dot y = (dx - c)(a - by) + (by - a)(dx - c) = 0$. $V$ is een som van twee convexe functies met één enkel minimum in $(c/d, a/b)$, zodat haar niveaukrommen gesloten krommen rond dat punt zijn; een baan blijft op een ervan en loopt er, omdat de snelheid elders nooit nul wordt, periodiek rond. ∎

De oscillaties van Lotka-Volterra zijn kwetsbaar: elk beginpunt geeft zijn eigen baan, en elke verstoring brengt het systeem naar een andere. Echte chemische oscillatoren hebben een [limietcyclus](#def-b3-complex-kinetics-oscillating), waarvoor een niet-lineariteit nodig is die de stationaire toestand destabiliseert.

**Propositie 13.21 (Instabiliteit van de brusselator).**

Het model $\dot X = A - (B + 1)X + X^2Y$, $\dot Y = BX - X^2Y$ (gereduceerde concentraties, $A$ en $B$ constant gehouden) heeft de enige stationaire toestand $(A, B/A)$, die stabiel is als $B < 1 + A^2$ en instabiel als $B > 1 + A^2$; het systeem komt dan op een [limietcyclus](#def-b3-complex-kinetics-oscillating) terecht.

**Bewijs.** Beide afgeleiden nul stellen: $BX = X^2Y$ geeft $XY = B$, en dan $A - X = 0$. De jacobimatrix in $(A, B/A)$ is

$$
\begin{pmatrix} -(B + 1) + 2XY & X^2 \\ B - 2XY & -X^2 \end{pmatrix}
  = \begin{pmatrix} B - 1 & A^2 \\ -B & -A^2 \end{pmatrix},
$$

met spoor $B - 1 - A^2$ en determinant $A^2 > 0$. Kleine afwijkingen evolueren als $\eu^{\lambda t}$ met $\lambda$ de [eigenwaarden](https://one-course.com/books/chemistry/4/nl/chapter/1-kwantummechanica-voor-chemici-modelsystemen#def-b3-quantum-model-systems-operator), waarvan het product de determinant is (positief) en de som het spoor: beide hebben een negatief reëel deel wanneer het spoor negatief is, een positief reëel deel wanneer het positief is. Het bestaan van de [limietcyclus](#def-b3-complex-kinetics-oscillating) voor $B > 1 + A^2$ (de banen blijven opgesloten in een begrensd gebied) wordt aangenomen. ∎

**Methode 13.22 (De lineaire stabiliteit van een stationaire toestand).**

1. Zoek de stationaire toestand door alle tijdsafgeleiden nul te stellen.
2. Bereken daar de jacobimatrix van de partiële afgeleiden van de snelheden.
3. Voor twee veranderlijken: stabiel als het spoor negatief is en de determinant positief; een instabiele toestand met complexe [eigenwaarden](https://one-course.com/books/chemistry/4/nl/chapter/1-kwantummechanica-voor-chemici-modelsystemen#def-b3-quantum-model-systems-operator) ( $\mathrm{tr}^2 < 4\det$ ) geeft groeiende oscillaties, een [kandidaat-limietcyclus](#def-b3-complex-kinetics-oscillating) .

![Boven: de brusselator (A = 1, B = 3 > 1 + A2) komt terecht in blijvende oscillaties met periode 7.2 (gereduceerde tijd). Linksonder: twee banen, één die start dicht bij de instabiele stationaire toestand (stip) en één ver daarbuiten, wikkelen zich op dezelfde limietcyclus. Rechtsonder: banen van Lotka-Volterra, elk vastgelegd door haar beginpunt, rond de stationaire toestand (stip).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-9e3aee27e114.svg)

*Boven: de brusselator ($A = 1$, $B = 3 > 1 + A^2$) komt terecht in blijvende oscillaties met periode 7.2 (gereduceerde tijd). Linksonder: twee banen, één die start dicht bij de instabiele stationaire toestand (stip) en één ver daarbuiten, wikkelen zich op dezelfde [limietcyclus](#def-b3-complex-kinetics-oscillating). Rechtsonder: banen van Lotka-Volterra, elk vastgelegd door haar beginpunt, rond de stationaire toestand (stip).*

De reactie van Belousov-Zhabotinsky, de oxidatie van malonzuur door bromaat, gekatalyseerd door cerium of door een ferroïne-indicator, doorloopt zo’n cyclus: een autokatalytische productie van $\ce{HBrO2}$ schakelt in wanneer bromide onder een drempel zakt, oxideert de katalysator (de kleuromslag), en wordt uitgeschakeld wanneer de geoxideerde katalysator bromide regenereert. Zonder roeren, in een dunne laag, plant de oscillatie zich voort als golven.

![Spiraalgolven van de reactie van Belousov-Zhabotinsky in een dunne laag oplossing: elk blauw front is een oxidatiegolf van de katalysator, die zich voortplant in het gereduceerde (rode) medium en niet kan terugkeren in het gebied dat ze net verlaten heeft.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/img-a59a0c24bc84.jpg)

*Spiraalgolven van de reactie van Belousov-Zhabotinsky in een dunne laag oplossing: elk blauw front is een oxidatiegolf van de katalysator, die zich voortplant in het gereduceerde (rode) medium en niet kan terugkeren in het gebied dat ze net verlaten heeft.*

**Definitie 13.23 (Relaxatiemethode, chemische relaxatietijd).**

Een *relaxatiemethode* verstoort een systeem in evenwicht plotseling (door een sprong van temperatuur, druk of elektrisch veld) en volgt zijn terugkeer naar het nieuwe evenwicht. Bij een kleine verstoring vervalt de afwijking exponentieel, met de *chemische relaxatietijd* $\tau$.

**Propositie 13.24 (Relaxatietijd van een associatie).**

Voor $\mathrm{A + B \rightleftharpoons C}$ ($k_1$, $k_{-1}$) is na een kleine verstoring

$$
\frac1\tau = k_1([\mathrm A]_e + [\mathrm B]_e) + k_{-1} .
$$

**Bewijs.** Schrijf $[\mathrm C] = [\mathrm C]_e + x$, $[\mathrm A] = [\mathrm A]_e - x$, $[\mathrm B] = [\mathrm B]_e - x$. Dan is $\dot x =
k_1([\mathrm A]_e - x)([\mathrm B]_e - x) - k_{-1}([\mathrm C]_e + x)$; de termen zonder $x$ vallen weg in het evenwicht, en na weglating van $x^2$: $\dot x = -[k_1([\mathrm A]_e + [\mathrm B]_e) + k_{-1}]x$. ∎

Het meten van $\tau$ bij verschillende concentraties geeft een rechte van $1/\tau$ tegen $[\mathrm A]_e +
[\mathrm B]_e$ met helling $k_1$ en afsnijding $k_{-1}$: beide constanten uit experimenten op een systeem dat nooit meer dan enkele procenten van het evenwicht afwijkt. Manfred Eigen mat op deze manier de snelste reacties in oplossing, waaronder de neutralisatie van $\ce{H3O+}$ door $\ce{OH-}$.

![Relaxatie van A + B C na een temperatuursprong die de evenwichtsconstante met 5 % verlaagde (model: k_1 = 1.0 × 108\, L\, mol-1\, s-1, k_-1 = 1.0 × 103\, s-1, 1.0 × 10-4\, mol/ L aan A en B in totaal): de volledige snelheidsvergelijking en de exponentiële functie met 1/ = k_1(( A)_e + ( B)_e) + k_-1 vallen samen.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-da896bdf0c9c.svg)

*Relaxatie van $\mathrm{A + B \rightleftharpoons C}$ na een temperatuursprong die de evenwichtsconstante met 5 % verlaagde (model: $k_1 = 1.0 \times 10^{8}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, $k_{-1} = 1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$, $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$ aan A en B in totaal): de volledige snelheidsvergelijking en de exponentiële functie met $1/\tau = k_1([\mathrm A]_e + [\mathrm B]_e) + k_{-1}$ vallen samen.*

**Definitie 13.25 (Stopped flow, flitsfotolyse).**

De *stopped-flowmethode* mengt twee oplossingen van beginstoffen in ongeveer een milliseconde door ze via een menger in een meetcel te drijven, stopt dan de stroming en registreert de absorbantie of de [fluorescentie](https://one-course.com/books/chemistry/4/nl/chapter/7-elektronische-spectroscopie-en-fotofysica#def-b3-electronic-spectroscopy-luminescence). *Flitsfotolyse* maakt een reactief deeltje met een korte, intense lichtpuls en volgt zijn reacties met een tweede, vertraagde lichtbundel.

![Een stopped-flowtoestel. De aandrijving duwt op twee spuiten; de oplossingen ontmoeten elkaar in de menger en vullen de meetcel binnen ongeveer een milliseconde; de zuiger van de stopspuit stoot tegen een blok, de stroming stopt, en de detector registreert de reactie van de pas gemengde oplossing.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-41338f02b507.svg)

*Een stopped-flowtoestel. De aandrijving duwt op twee spuiten; de oplossingen ontmoeten elkaar in de menger en vullen de meetcel binnen ongeveer een milliseconde; de zuiger van de stopspuit stoot tegen een blok, de stroming stopt, en de detector registreert de reactie van de pas gemengde oplossing.*

![Een stopped-flowcurve met burst (gegevens van het weekendprobleem): het eerste product van een enzym met twee stappen verschijnt in een snelle burst, gevolgd door een rechte; de gestreepte lijn extrapoleert de stationaire toestand terug naar t = 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-e6e4deef7ea7.svg)

*Een stopped-flowcurve met burst (gegevens van het weekendprobleem): het eerste product van een [enzym](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) met twee stappen verschijnt in een snelle burst, gevolgd door een rechte; de gestreepte lijn extrapoleert de stationaire toestand terug naar $t = 0$.*

**In het laboratorium — Een stopped-flowmeting.**

De twee spuiten worden gevuld met oplossingen van [enzym](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) en substraat in dezelfde buffer, op temperatuur gebracht, en meerdere keren afgevuurd om de cel te spoelen vóór de geregistreerde schoten; elke curve wordt gemiddeld over vijf tot tien schoten. De dode tijd, de ouderdom van het mengsel wanneer de waarneming begint, wordt één keer gemeten met een reactie met bekende snelheid.

**Veiligheid.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-aa048b319e7f.svg)

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-ed6bb6b332c4.svg)

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-d16e3fb60326.svg)

Broom: een vluchtige, dichte, roodbruine vloeistof; dodelijk bij inademing, veroorzaakt ernstige brandwonden, zeer giftig voor in het water levende organismen. Alleen te hanteren in een zuurkast, met handschoenen en gelaatsbescherming; een oplossing van natriumthiosulfaat wordt bij de hand gehouden om gemorste vloeistof te reduceren.

**Geschiedenis — Bodenstein en Belousov.**

Max Bodenstein en Samuel Lind maten de snelheidswet van waterstof en broom in 1906; Jens Christiansen, Karl Herzfeld en Michael Polanyi verklaarden haar in 1919 met het kettingmechanisme van dit hoofdstuk. Boris Belousov, een biochemicus in Moskou, vond zijn [oscillerende reactie](#def-b3-complex-kinetics-oscillating) rond 1951 toen hij een chemisch model voor een metabole cyclus zocht; zijn manuscript werd geweigerd, en alleen een korte samenvatting verscheen in 1959. Anatol Zhabotinsky nam de reactie in de jaren 1960 weer op en verklaarde haar; het volledige mechanisme werd in het begin van de jaren 1970 uitgewerkt.

## 13.6 Oefeningen

**Oefening 13.1 ★.**

Benoem voor de keten $\ce{Cl2 -> 2 Cl}$, $\ce{Cl + H2 -> HCl + H}$, $\ce{H + Cl2 -> HCl + Cl}$, $\ce{2 Cl -> Cl2}$ elke stap en de [kettingdragers](#def-b3-complex-kinetics-chain), en schrijf de totale reactie op.

**Oplossing van Oefening 13.1.**

$\ce{Cl2 -> 2 Cl}$: initiatie; $\ce{Cl + H2 -> HCl + H}$ en $\ce{H + Cl2 -> HCl + Cl}$: propagatie; $\ce{2 Cl -> Cl2}$: terminatie. Dragers: Cl en H. Totaal (som van de twee propagatiestappen): $\ce{H2 + Cl2 -> 2 HCl}$.

**Oefening 13.2 ★.**

Een systeem van Lindemann heeft $k_2 = 1.0 \times 10^{7}\,\mathrm{s}^{-1}$ en $k_{-1} = 1.0 \times 10^{10}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ (gegevens van de oefening). Bereken $[\mathrm M]_{1/2}$ en de bijbehorende druk bij $750\,\mathrm{K}$.

**Oplossing van Oefening 13.2.**

$[\mathrm M]_{1/2} = k_2/k_{-1} = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{mol}/\mathrm{L} = 1.0\,\mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3}$; $p = cRT = 1.0 \times 8.314 \times 750 =
6.2\,\mathrm{kPa}$.

**Oefening 13.3 ★.**

Druk $v/V_{\max}$ uit bij $[\mathrm S] = K_M$, $3K_M$ en $9K_M$. Welke concentratie geeft 90 % van $V_{\max}$?

**Oplossing van Oefening 13.3.**

$v/V_{\max} = [\mathrm S]/(K_M + [\mathrm S])$: $\frac12$, $\frac34$, $\frac{9}{10}$. 90 % van $V_{\max}$ vereist $[\mathrm S] = 9K_M$.

**Oefening 13.4 ★.**

Een [enzym](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) heeft $k_{\mathrm{cat}} = 100\,\mathrm{s}^{-1}$ en $K_M = 0.80\,\mathrm{mM}$. Bereken zijn [specificiteitsconstante](#def-b3-complex-kinetics-michaelis) en vergelijk ze met de diffusielimiet in water, $7.4 \times 10^{9}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, en met de typische $10^5$ $\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**Oplossing van Oefening 13.4.**

$k_{\mathrm{cat}}/K_M = 100/0.80 \times 10^{-3} = 1.25 \times 10^{5}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$: zo’n 60 000 keer onder de diffusielimiet, en dicht bij de typische waarde.

**Oefening 13.5 ★★.**

Voor de ontleding $\ce{CH3CHO -> CH4 + CO}$ wordt het volgende verloop voorgesteld: $\ce{CH3CHO -> CH3 +
CHO}$ ($k_1$); $\ce{CH3 + CH3CHO -> CH4 + CH3CO}$ ($k_2$); $\ce{CH3CO -> CH3 + CO}$ ($k_3$); $\ce{2 CH3 -> C2H6}$ ($k_4$). Toon aan dat de vormingssnelheid van methaan $k_2(k_1/2k_4)^{1/2}[\ce{CH3CHO}]^{3/2}$ is.

**Oplossing van Oefening 13.5.**

Stationaire toestand voor $\ce{CH3CO}$: $k_2[\ce{CH3}][\ce{CH3CHO}] = k_3[\ce{CH3CO}]$. Voor $\ce{CH3}$ geldt in de stationaire toestand: $k_1[\ce{CH3CHO}] - k_2[\ce{CH3}][\ce{CH3CHO}] + k_3[\ce{CH3CO}] - 2k_4[\ce{CH3}]^2 = 0$. Na optelling volgt $k_1[\ce{CH3CHO}] =
2k_4[\ce{CH3}]^2$, dus $[\ce{CH3}] = (k_1/2k_4)^{1/2}[\ce{CH3CHO}]^{1/2}$, en voor de vorming van methaan geldt $\dd[\ce{CH4}]/\dd t = k_2[\ce{CH3}][\ce{CH3CHO}] =
k_2(k_1/2k_4)^{1/2}[\ce{CH3CHO}]^{3/2}$.

**Oefening 13.6 ★★.**

Met welke factor is de snelheid gedaald, vertrekkend van gelijke concentraties $\ce{H2}$ en $\ce{Br2}$, met $k' = 0.10$, wanneer de helft van het broom verbruikt is? Welk deel van de daling is te wijten aan de inhibitie?

**Oplossing van Oefening 13.6.**

Bij halve omzetting is $[\ce{H2}] = [\ce{Br2}] = \frac12$, $[\ce{HBr}] = 1$ (relatieve eenheden): $v/v_0 = \frac12 \times (\frac12)^{1/2}/(1 + 0.10 \times 1/0.5) = 0.354/1.2 = 0.29$. Zonder inhibitie zou het 0.354 zijn: de inhibitie deelt de snelheid nog eens door 1.2.

**Oefening 13.7 ★★.**

In een modelmengsel van waterstof en zuurstof (gegevens van de oefening) heeft de vertakking de snelheidsconstante $f = 1000\,p$, de wandterminatie $6000/p$ en de driedeeltjesterminatie $10\,p^2$, alle in $\mathrm{s}^{-1}$ met $p$ in kPa. Bepaal het drukbereik waarin het mengsel explodeert.

**Oplossing van Oefening 13.7.**

Explosie wanneer $1000p > 6000/p + 10p^2$, dus $10p^3 - 1000p^2 + 6000 < 0$, waarvan de positieve wortels 2.48 en $99.9\,\mathrm{kPa}$ zijn: het mengsel explodeert tussen ongeveer 2.5 en $100\,\mathrm{kPa}$ (eerste en tweede grens van het model).

**Oefening 13.8 ★★.**

De beginsnelheden zijn $0.20\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$ bij $[\mathrm S] = 0.50\,\mathrm{mM}$ en $0.40\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$ bij $2.0\,\mathrm{mM}$. Bepaal $K_M$ en $V_{\max}$.

**Oplossing van Oefening 13.8.**

$1/v = 1/V_{\max} + (K_M/V_{\max})/[\mathrm S]$: $5.0 = 1/V_{\max} + 2.0K_M/V_{\max}$ en $2.5 = 1/V_{\max} + 0.5K_M/V_{\max}$. Aftrekken: $K_M/V_{\max} = 1.667\,\mathrm{s}\,\mathrm{mM}\,\text{µ}\mathrm{M}^{-1}$, en dan $1/V_{\max} = 1.667$: $V_{\max} = 0.60\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$, $K_M = 1.0\,\mathrm{mM}$.

**Oefening 13.9 ★★.**

Met $50\,\text{µ}\mathrm{M}$ van een inhibitor snijdt de rechte van Lineweaver-Burk van een [enzym](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) ($K_M = 0.80\,\mathrm{mM}$) de niet-geïnhibeerde op de as $1/v$ en snijdt ze de as $1/[\mathrm S]$ bij $-0.417\,\mathrm{mM}^{-1}$. Bepaal het type inhibitie en bereken $K_i$.

**Oplossing van Oefening 13.9.**

Dezelfde afsnijding op de as $1/v$: competitief. $K_M^{\mathrm{app}} = 1/0.417 = 2.40\,\mathrm{mM} = 3K_M$, dus $1 + 50/K_i = 3$ en $K_i = 25\,\text{µ}\mathrm{M}$.

**Oefening 13.10 ★★★.**

Bereken voor $\mathrm{A + X \to 2\,X}$ met $k = 0.50\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, $a_0 = 1.00\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$ en $x_0 = 0.010\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$ het tijdstip waarop de helft van de uiteindelijke hoeveelheid X aanwezig is, en het tijdstip van [maximale snelheid](#def-b3-complex-kinetics-michaelis).

**Oplossing van Oefening 13.10.**

$N = 1.01\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$: $t_{1/2} = \ln(1.01/0.010 - 1)/(0.50 \times 1.01) = \ln100/0.505 = 9.1\,\mathrm{s}$. De snelheid $kx(N - x)$ is het grootst bij $x = N/2$: hetzelfde ogenblik, het buigpunt van de S-kromme.

**Oefening 13.11 ★★★.**

Bereken voor de brusselator met $A = 1$ de [eigenwaarden](https://one-course.com/books/chemistry/4/nl/chapter/1-kwantummechanica-voor-chemici-modelsystemen#def-b3-quantum-model-systems-operator) van de jacobimatrix in de stationaire toestand voor $B = 1.5$ en $B = 2.5$, en beschrijf in elk geval het gedrag nabij de stationaire toestand.

**Oplossing van Oefening 13.11.**

Spoor $B - 2$, determinant 1. $B = 1.5$: $\lambda = -0.25 \pm 0.968\iu$, een stabiel brandpunt (gedempte oscillaties naar de stationaire toestand). $B = 2.5$: $\lambda = 0.25 \pm 0.968\iu$, een instabiel brandpunt: de oscillaties groeien tot ze de [limietcyclus](#def-b3-complex-kinetics-oscillating) bereiken.

**Oefening 13.12 ★★★.**

Bereken voor $\mathrm{A + B \rightleftharpoons C}$ met $k_1 = 1.0 \times 10^{8}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ en $k_{-1} = 1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$, en $[\mathrm A]_e = [\mathrm B]_e = 2.70 \times 10^{-5}\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$, de relaxatietijd $\tau$. Hoe zou je beide snelheidsconstanten uitsluitend uit relaxatiemetingen verkrijgen?

**Oplossing van Oefening 13.12.**

$1/\tau = 1.0 \times 10^{8} \times 5.40 \times 10^{-5} + 1.0 \times 10^{3} = 6.4 \times 10^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\tau = 156\,\text{µ}\mathrm{s}$. Meet $\tau$ bij verschillende totale concentraties: $1/\tau$ tegen $[\mathrm A]_e + [\mathrm B]_e$ is een rechte met helling $k_1$ en afsnijding $k_{-1}$.

## 13.7 Probleem: een enzym, een inhibitor en een dosis

**Probleem 13.1.**

Weekendprobleem — een enzym, een inhibitor en een dosis: de parameters van Michaelis-Menten met kleinste kwadraten, de inhibitieconstante van een competitieve inhibitor, de activiteit die overblijft bij een gegeven dosis, en een stopped-flowburst

Een [enzym](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) ($[\mathrm E]_0 = 5.0\,\mathrm{nM}$ in de metingen) hydrolyseert zijn substraat; beginsnelheden (gegevens van het probleem):

| $[\mathrm S]$ / mM | 0.10 | 0.20 | 0.40 | 0.80 | 1.60 | 3.20 | 6.40 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $v$ / $\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$ | 0.0566 | 0.0981 | 0.169 | 0.247 | 0.340 | 0.397 | 0.447 |

In aanwezigheid van een inhibitor geven aanpassingen van hetzelfde soort een onveranderde $V_{\max}$ en de schijnbare $K_M$: 0.79, 1.47, 2.38 en $4.02\,\mathrm{mM}$ bij $[\mathrm I] = 0$, 20, 50 en $100\,\text{µ}\mathrm{M}$. Een stopped-flowexperiment met $[\mathrm E]_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{M}$ en verzadigend substraat geeft de burstcurve van de figuur in paragraaf 5 (een burst van $1.28\,\text{µ}\mathrm{M}$ met snelheidsconstante $625\,\mathrm{s}^{-1}$, daarna $200\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$).

**Deel I — $K_M$ en $V_{\max}$.**

1. Waarom gebruikt men beginsnelheden?
2. Teken de grafiek van Lineweaver-Burk; haar kleinstekwadratenrechte geeft $K_M =  0.773\,\mathrm{mM}$ en $V_{\max} = 0.491\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$ . Welke punten domineren haar?
3. Waarom verkiest men een rechtstreekse niet-lineaire aanpassing?
4. De niet-lineaire aanpassing geeft $K_M = 0.801 \pm 0.023\,\mathrm{mM}$ en $V_{\max} = 0.502 \pm  0.005\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$ . Zijn de waarden van Lineweaver-Burk daarmee verenigbaar?
5. Bereken $k_{\mathrm{cat}}$ .
6. Bereken de [specificiteitsconstante](#def-b3-complex-kinetics-michaelis) .
7. Vergelijk ze met de diffusielimiet en met een typisch [enzym](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) .

**Deel II — De inhibitor.**

8. Welk type inhibitie tonen de gegevens?
9. Schrijf $K_M^{\mathrm{app}}$ als functie van $[\mathrm I]$ .
10. De kleinstekwadratenrechte van $K_M^{\mathrm{app}}$ tegen $[\mathrm I]$ heeft afsnijding $0.799\,\mathrm{mM}$ en helling $0.0321\,\mathrm{mM}\,\text{µ}\mathrm{M}^{-1}$ . Leid $K_i$ af.
11. De standaardfout ervan is $0.9\,\text{µ}\mathrm{M}$ . Geef een interval van 95 % ( $t = 4.30$ voor twee vrijheidsgraden).
12. Wat meet $K_i$ ?

**Deel III — Overblijvende activiteit.**

13. Druk de fractie overblijvende activiteit, $v_i/v_0$ , uit als functie van $[\mathrm S]$ en $[\mathrm I]$ .
14. Bereken ze bij $[\mathrm S] = K_M$ en $[\mathrm I] = K_i$ .
15. Bij $[\mathrm S] = K_M$ en $[\mathrm I] = 10K_i$ .
16. Bij $[\mathrm S] = 10K_M$ en $[\mathrm I] = 10K_i$ . Becommentarieer.
17. Toon aan dat 90 % inhibitie bij $[\mathrm S] = K_M$ $[\mathrm I] = 18K_i$ vereist.
18. Bereken die concentratie met de aangepaste $K_i$ .

**Deel IV — De burst.**

19. Het [enzym](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) werkt in twee stappen, $\mathrm{E + S \to E{-}acyl + P_1}$ ( $k_2$ ) en daarna $\mathrm{E{-}acyl \to E +  P_2}$ ( $k_3$ ). Waarom verschijnt $\mathrm P_1$ in een burst?
20. De burstamplitude is $[\mathrm E]_0\bigl(k_2/(k_2 + k_3)\bigr)^2$ . Leid $k_2/(k_2 + k_3)$ af.
21. Bereken uit de stationaire helling $k_{\mathrm{cat}}$ en vergelijk met Deel I.
22. De snelheidsconstante van de burst is $k_2 + k_3$ . Leid $k_2$ en $k_3$ af.
23. Controleer dat $k_{\mathrm{cat}} = k_2k_3/(k_2 + k_3)$ .
24. Formuleer het resultaat: de inhibitorconcentratie die 90 % inhibitie geeft bij $[\mathrm S] = K_M$ .

**Oplossing van Probleem 13.1.**

**1.** In het begin is $[\mathrm S]$ bekend en is het product, dat zou kunnen inhiberen of terugreageren, afwezig. **2.** De punten bij lage $[\mathrm S]$, bij grote $1/[\mathrm S]$ en $1/v$: ze bepalen de helling, en het omkeren vergroot hun fouten. **3.** Ze weegt elke gemeten snelheid zoals ze gemeten is; de rechte van Lineweaver-Burk geeft vertekende parameters. **4.** $K_M$: $0.773$ ligt 1.2 standaardfouten onder 0.801; $V_{\max}$: $0.491$ ligt 2.2 standaardfouten onder 0.502. Beide zijn te laag, zoals verwacht door de vertekening. **5.** $k_{\mathrm{cat}} = 0.502/0.0050 = 100\,\mathrm{s}^{-1}$. **6.** $100/0.801 \times 10^{-3} = 1.25 \times 10^{5}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$. **7.** Zo’n 60 000 keer onder de diffusielimiet; een typisch [enzym](#def-b3-complex-kinetics-enzyme). **8.** Competitief: $V_{\max}$ onveranderd, schijnbare $K_M$ die groeit met $[\mathrm I]$. **9.** $K_M^{\mathrm{app}} = K_M(1 + [\mathrm I]/K_i) = K_M + (K_M/K_i)[\mathrm I]$. **10.** $K_i = 0.799/0.0321 = 24.9\,\text{µ}\mathrm{M}$. **11.** $24.9 \pm 4.30 \times 0.9 = 24.9 \pm 3.9\,\text{µ}\mathrm{M}$. **12.** De dissociatieconstante van het enzym-inhibitorcomplex: de inhibitorconcentratie die de helft van het vrije [enzym](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) bezet. **13.** $v_i/v_0 = (K_M + [\mathrm S])/(K_M(1 + [\mathrm I]/K_i) + [\mathrm S])$. **14.** $2/3 = 0.67$. **15.** $2/12 = 0.17$. **16.** $11/21 = 0.52$: bij hoge substraatconcentratie verdringt het substraat de inhibitor. **17.** Bij $[\mathrm S] = K_M$ geeft $v_i/v_0 = 2/(2 + [\mathrm I]/K_i) = 0.10$ de waarde $[\mathrm I]/K_i = 18$. **18.** $18 \times 24.9 = 448\,\text{µ}\mathrm{M}$. **19.** De eerste stap is snel: elk enzymmolecuul geeft snel één $\mathrm P_1$ vrij en wordt gevangen als acylenzym; daarna verschijnt $\mathrm P_1$ maar zo snel als de trage tweede stap het [enzym](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) vrijmaakt. **20.** $1.28/2.0 = 0.64 = (k_2/(k_2 + k_3))^2$, dus $k_2/(k_2 + k_3) = 0.80$. **21.** $200/2.0 = 100\,\mathrm{s}^{-1}$, hetzelfde als in Deel I. **22.** $k_2 = 0.80 \times 625 = 500\,\mathrm{s}^{-1}$, $k_3 = 125\,\mathrm{s}^{-1}$. **23.** $500 \times 125/625 = 100\,\mathrm{s}^{-1}$. **24.** **$[\mathrm I]_{90\,\%} = 18K_i \approx 0.45\,\mathrm{mM}$ bij $[\mathrm S] = K_M$.**