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title: "Cinética complexa: cadeias, enzimas e oscilações"
book: "Química universitária — 3.º ano"
subject: chemistry
language: pt
chapter: 13
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/chemistry/4/pt/chapter/13-cinetica-complexa-cadeias-enzimas-e-oscilacoes
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Chemistry Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 13 — Cinética complexa: cadeias, enzimas e oscilações

Um béquer com uma solução agitada fica incolor, depois âmbar, depois azul, depois incolor de novo, e continua assim durante muitos minutos; despejada em uma placa, a mesma mistura desenha espirais que giram e se deslocam. Quando Boris Belousov descreveu uma reação desse tipo em 1951, seu manuscrito foi recusado: um sistema químico, pensava o revisor, não pode ir e voltar, já que precisa descer em direção ao equilíbrio. Ele desce, sim; só não desce em linha reta. Este capítulo trata de mecanismos com muitas etapas cujos intermediários são regenerados: [reações em cadeia](#def-b3-complex-kinetics-chain) e explosões, moléculas que precisam de colisões para se decompor sozinhas, [enzimas](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) e as [reações oscilantes](#def-b3-complex-kinetics-oscillating), com os métodos que acompanham reações rápidas demais para serem misturadas à mão.

**O que você já sabe.**

O volume do 1.º ano definiu um mecanismo de reação como uma sequência de etapas elementares, a etapa determinante da velocidade, as aproximações do pré-equilíbrio e do estado estacionário, e os catalisadores. O volume do 2.º ano designou as etapas de uma cadeia radicalar (iniciação, propagação, terminação), os iniciadores radicalares e o comprimento de cadeia cinético de uma polimerização, e ajustou retas por mínimos quadrados. O [Capítulo 12](https://one-course.com/books/chemistry/4/pt/chapter/12-teorias-da-velocidade-de-reacao#ch-b3-rate-theories) deu a [teoria do estado de transição](https://one-course.com/books/chemistry/4/pt/chapter/12-teorias-da-velocidade-de-reacao#def-b3-rate-theories-tst) e o limite de difusão, de cerca de $10^{10}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$.

## 13.1 Reações em cadeia

**Definição 13.1 (Reação em cadeia, portador de cadeia).**

Uma *reação em cadeia* é uma reação em que intermediários reativos, os *portadores de cadeia*, são regenerados por um ciclo de etapas de propagação, de modo que um único evento de iniciação converte muitas moléculas de reagente.

Bodenstein mediu em 1906 a velocidade de $\ce{H2 + Br2 -> 2 HBr}$ e encontrou uma lei que nenhuma etapa isolada poderia produzir: a velocidade cresce como $[\ce{Br2}]^{1/2}$ e diminui à medida que o HBr se acumula. O mecanismo foi escrito em 1919:

| iniciação | $\ce{Br2 -> 2 Br}$ | $k_1$ |
| --- | --- | --- |
| propagação | $\ce{Br + H2 -> HBr + H}$ | $k_2$ |
| propagação | $\ce{H + Br2 -> HBr + Br}$ | $k_3$ |
| inibição | $\ce{H + HBr -> H2 + Br}$ | $k_4$ |
| terminação | $\ce{2 Br -> Br2}$ | $k_{-1}$ |

(as colisões com um terceiro corpo M, que trazem e levam a energia nas etapas de iniciação e de terminação, ficam implícitas).

**Teorema 13.2 (A lei de velocidade hidrogênio–bromo).**

Com a aproximação do estado estacionário para Br e H, a velocidade $v = \frac12\,\dd[\ce{HBr}]/\dd t$ do mecanismo é

$$
v = \frac{k[\ce{H2}][\ce{Br2}]^{1/2}}{1 + k'[\ce{HBr}]/[\ce{Br2}]},
  \qquad k = k_2\Bigl(\frac{k_1}{k_{-1}}\Bigr)^{1/2},\ k' = \frac{k_4}{k_3}.
$$

**Demonstração.** Estado estacionário para H: $k_2[\ce{Br}][\ce{H2}] = k_3[\ce{H}][\ce{Br2}] + k_4[\ce{H}][\ce{HBr}]$. Estado estacionário para Br: $2k_1[\ce{Br2}] - k_2[\ce{Br}][\ce{H2}] + k_3[\ce{H}][\ce{Br2}] + k_4[\ce{H}][\ce{HBr}] - 2k_{-1}[\ce{Br}]^2 = 0$. Somando as duas equações, os termos de propagação se cancelam: $k_1[\ce{Br2}] = k_{-1}[\ce{Br}]^2$, logo $[\ce{Br}] =
(k_1/k_{-1})^{1/2}[\ce{Br2}]^{1/2}$. Então $[\ce{H}] = k_2[\ce{Br}][\ce{H2}]/(k_3[\ce{Br2}] + k_4[\ce{HBr}])$ e

$$
\frac{\dd[\ce{HBr}]}{\dd t} = k_2[\ce{Br}][\ce{H2}] + k_3[\ce{H}][\ce{Br2}] - k_4[\ce{H}][\ce{HBr}] = 2k_3[\ce{H}][\ce{Br2}]
  = \frac{2k_2[\ce{Br}][\ce{H2}]}{1 + (k_4/k_3)[\ce{HBr}]/[\ce{Br2}]},
$$

usando a primeira equação; substituir $[\ce{Br}]$ dá o resultado. ∎

![O ciclo de propagação da cadeia hidrogênio–bromo: cada volta consome um H2 e um Br2, forma dois HBr e devolve o átomo de bromo que a iniciou. A iniciação alimenta o ciclo com portadores, a terminação os remove; a etapa de inibição transforma um átomo de H de volta em Br à custa de um HBr já formado.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-a32164c3b510.svg)

*O ciclo de propagação da cadeia hidrogênio–bromo: cada volta consome um $\ce{H2}$ e um $\ce{Br2}$, forma dois HBr e devolve o átomo de bromo que a iniciou. A iniciação alimenta o ciclo com portadores, a terminação os remove; a etapa de inibição transforma um átomo de H de volta em Br à custa de um HBr já formado.*

![O mecanismo hidrogênio–bromo integrado etapa por etapa (constantes de velocidade-modelo, unidades reduzidas, k' = 0.1): conversão em função do tempo (à esquerda) e a velocidade 1/2 ( HBr)/ t do mecanismo completo comparada com a lei do estado estacionário (à direita). Depois de um período de indução, durante o qual os átomos de bromo se acumulam, as duas coincidem a menos de 1 %.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-622b8f893de0.svg)

*O mecanismo hidrogênio–bromo integrado etapa por etapa (constantes de velocidade-modelo, unidades reduzidas, $k' = 0.1$): conversão em função do tempo (à esquerda) e a velocidade $\frac12\dd[\ce{HBr}]/\dd t$ do mecanismo completo comparada com a lei do estado estacionário (à direita). Depois de um período de indução, durante o qual os átomos de bromo se acumulam, as duas coincidem a menos de 1 %.*

**Método 13.3 (A lei de velocidade de um mecanismo em cadeia).**

1. Escreva uma equação de estado estacionário para cada [portador de cadeia](#def-b3-complex-kinetics-chain) .
2. Some-as: as etapas de propagação, que apenas trocam um portador por outro, se cancelam, e resta a iniciação igual à terminação; isso dá a concentração dos portadores.
3. Use a equação de um portador para exprimir os demais.
4. Escreva a velocidade de formação de um produto a partir das etapas de propagação.

O número de ciclos de propagação por evento de iniciação, aqui $v/k_1[\ce{Br2}]$, é o comprimento de cadeia cinético do volume do 2.º ano; para a reação hidrogênio–bromo, ele é da ordem de $10^3$ a $10^6$, conforme as condições. A inibição pelo produto explica por que a velocidade cai mais depressa do que os reagentes são consumidos.

## 13.2 Cadeias ramificadas e explosões

**Definição 13.4 (Ramificação de cadeia, limites de explosão).**

A *ramificação de cadeia* é uma etapa de propagação que produz mais [portadores de cadeia](#def-b3-complex-kinetics-chain) do que consome, como $\ce{H + O2 -> OH + O}$, que transforma um portador em dois. Os *limites de explosão* de uma mistura são as pressões, a uma dada temperatura, nas quais sua reação lenta se transforma em explosão.

**Proposição 13.5 (Critério de ramificação).**

Sejam portadores criados com a velocidade $v_i$, multiplicados por ramificação com a constante de velocidade $f$ e eliminados por terminação com a constante de velocidade $g$: $\dd n/\dd t = v_i + (f - g)n$. Se $f < g$, $n$ tende ao valor estacionário $v_i/(g - f)$; se $f > g$, $n$ cresce exponencialmente e a reação explode.

**Demonstração.** A equação linear tem a solução $n(t) = \frac{v_i}{g - f}\bigl(1 - \eu^{-(g - f)t}\bigr)$, que tende a $v_i/(g - f)$ quando $g > f$; quando $f > g$, o expoente é positivo e $n$ cresce como $\eu^{(f - g)t}$ sem limite (até os reagentes se esgotarem). ∎

Para misturas de hidrogênio e oxigênio a algumas centenas de graus, $f$ cresce com a pressão (é proporcional a $[\ce{O2}]$), a terminação nas paredes do recipiente é rápida a baixa pressão (os radicais se difundem facilmente até elas), e a terminação por colisões a três corpos ($\ce{H + O2 + M -> HO2 + M}$) cresce com o quadrado da pressão. A ramificação vence entre um primeiro limite, fixado pelas paredes, e um segundo limite, fixado pela terminação a três corpos; a uma pressão ainda maior aparece um terceiro limite, onde o calor liberado não consegue mais escapar. Este último é uma explosão térmica, impulsionada pelo crescimento exponencial da velocidade com a temperatura e não pela ramificação; a maioria das explosões industriais é desse tipo.

## 13.3 Reações unimoleculares

Uma molécula como o ciclopropano se isomeriza sozinha, com cinética de primeira ordem nas pressões usuais; no entanto, a baixa pressão a constante de velocidade cai. A energia necessária vem das colisões.

**Definição 13.6 (Mecanismo de Lindemann, região de transição).**

O *mecanismo de Lindemann* de uma reação unimolecular é a sequência $\mathrm{A + M \rightleftharpoons A^* + M}$ ($k_1$, $k_{-1}$), ativação e desativação por colisão com uma molécula qualquer M, seguida de $\mathrm{A^* \to P}$ ($k_2$). A *região de transição* é a faixa de pressões em que a constante de velocidade de primeira ordem observada cai de seu valor de alta pressão em direção a um comportamento de segunda ordem.

**Teorema 13.7 (Constante de velocidade de Lindemann).**

Com a aproximação do estado estacionário para $\mathrm{A^*}$, $v = k_{\mathrm{uni}}[\mathrm A]$ com

$$
k_{\mathrm{uni}} = \frac{k_1k_2[\mathrm M]}{k_{-1}[\mathrm M] + k_2},
$$

que tende a $k_\infty = k_1k_2/k_{-1}$ a alta pressão (primeira ordem) e a $k_1[\mathrm M]$ a baixa pressão (segunda ordem); ela vale $k_\infty/2$ em $[\mathrm M]_{1/2} = k_2/k_{-1}$.

**Demonstração.** $\dd[\mathrm{A^*}]/\dd t = k_1[\mathrm A][\mathrm M] - k_{-1}[\mathrm{A^*}][\mathrm M] - k_2[\mathrm{A^*}] = 0$ dá $[\mathrm{A^*}] =
k_1[\mathrm A][\mathrm M]/(k_{-1}[\mathrm M] + k_2)$ e $v = k_2[\mathrm{A^*}]$. Se $k_{-1}[\mathrm M] \gg k_2$, a desativação supera a reação e $\mathrm{A^*}$ está em pré-equilíbrio: $k_{\mathrm{uni}} \to k_1k_2/k_{-1}$. Se $k_{-1}[\mathrm M]
\ll k_2$, toda molécula ativada reage e a ativação é a etapa determinante: $k_{\mathrm{uni}} \to k_1[\mathrm M]$. ∎

![A curva de transição de Lindemann (constantes-modelo): primeira ordem com a constante limite k_∈fty a alta pressão, segunda ordem (k_1( M)) a baixa pressão, e metade de k_∈fty em ( M)_1/2 = k_2/k_-1. As curvas de transição reais são mais largas: a constante de velocidade k_2 de uma molécula energizada cresce com sua energia.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-cd9fb7f5b919.svg)

*A curva de transição de Lindemann (constantes-modelo): primeira ordem com a constante limite $k_\infty$ a alta pressão, segunda ordem ($k_1[\mathrm M]$) a baixa pressão, e metade de $k_\infty$ em $[\mathrm M]_{1/2} = k_2/k_{-1}$. As curvas de transição reais são mais largas: a constante de velocidade $k_2$ de uma molécula energizada cresce com sua energia.*

## 13.4 Cinética enzimática

**Definição 13.8 (Enzima, sítio ativo, complexo enzima–substrato).**

Uma *enzima* é um catalisador biológico, quase sempre uma proteína, que acelera uma reação específica de seu substrato. O *sítio ativo* é o bolsão da enzima onde o substrato se liga e reage; a espécie ligada é o *complexo enzima–substrato* ES.

**Definição 13.9 (Constante de Michaelis, velocidade máxima, constantes catalítica e de especificidade).**

Para o mecanismo $\mathrm{E + S \rightleftharpoons ES \to E + P}$ ($k_1$, $k_{-1}$, $k_2$) com concentração total de [enzima](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) $[\mathrm E]_0$, a *constante catalítica* é $k_{\mathrm{cat}} = k_2$, a *velocidade máxima* é $V_{\max} = k_{\mathrm{cat}}[\mathrm E]_0$, a *constante de Michaelis* é $K_M = (k_{-1} + k_2)/k_1$, e a *constante de especificidade* é $k_{\mathrm{cat}}/K_M$.

**Teorema 13.10 (Equação de Michaelis–Menten).**

Quando $[\mathrm S] \gg [\mathrm E]_0$ e ES está em estado estacionário, a velocidade inicial de formação do produto é

$$
v = \frac{V_{\max}[\mathrm S]}{K_M + [\mathrm S]} .
$$

Esse enunciado é a *equação de Michaelis–Menten*.

**Demonstração.** Estado estacionário: $k_1[\mathrm E][\mathrm S] = (k_{-1} + k_2)[\mathrm{ES}]$, e $[\mathrm E] = [\mathrm E]_0 - [\mathrm{ES}]$ (o substrato livre é praticamente todo o substrato, pois $[\mathrm S] \gg [\mathrm E]_0$). Logo $[\mathrm{ES}]
= [\mathrm E]_0[\mathrm S]/(K_M + [\mathrm S])$ e $v = k_2[\mathrm{ES}]$. ∎

**Observação 13.11.**

Michaelis e Menten (1913) supuseram, em vez disso, um pré-equilíbrio rápido entre E, S e ES; a mesma equação decorre com $K_M$ substituída pela constante de dissociação $k_{-1}/k_1$, o limite de $K_M$ quando $k_2 \ll k_{-1}$. A [constante catalítica](#def-b3-complex-kinetics-michaelis) é o que os bioquímicos chamam de número de renovação da [enzima](#def-b3-complex-kinetics-enzyme): o número de moléculas de substrato que um [sítio ativo](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) converte por segundo quando saturado.

Em $[\mathrm S] = K_M$, a velocidade vale $V_{\max}/2$; para $[\mathrm S] \ll K_M$, ela vale $(k_{\mathrm{cat}}/K_M)[\mathrm E]_0[\mathrm S]$: a [constante de especificidade](#def-b3-complex-kinetics-michaelis) é a constante de velocidade de segunda ordem da [enzima](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) livre com seu substrato, e não pode exceder a velocidade com que eles se encontram, o limite de difusão do [Capítulo 12](https://one-course.com/books/chemistry/4/pt/chapter/12-teorias-da-velocidade-de-reacao#ch-b3-rate-theories). Algumas [enzimas](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) chegam perto; a [enzima](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) “média”, em um levantamento de vários milhares, tem $k_{\mathrm{cat}}/K_M$ de cerca de $10^5$ $\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, umas quatro ordens de grandeza abaixo.

**Proposição 13.12 (Forma de Lineweaver–Burk).**

A [equação de Michaelis–Menten](#thm-b3-complex-kinetics-michaelis-menten) é equivalente a

$$
\frac1v = \frac{1}{V_{\max}} + \frac{K_M}{V_{\max}}\,\frac{1}{[\mathrm S]},
$$

uma reta de $1/v$ em função de $1/[\mathrm S]$ com intercepto $1/V_{\max}$, inclinação $K_M/V_{\max}$ e intercepto $-1/K_M$ no eixo de $1/[\mathrm S]$.

**Demonstração.** Inverta: $1/v = (K_M + [\mathrm S])/(V_{\max}[\mathrm S])$. Em $1/v = 0$, $1/[\mathrm S] = -1/K_M$. ∎

**Método 13.13 (KMK_MKM​ e Vmax⁡V_{\max}Vmax​ por mínimos quadrados não lineares).**

1. Meça velocidades iniciais em concentrações de substrato distribuídas de cerca de $K_M/5$ a $10K_M$ .
2. Ajuste $v = V_{\max}[\mathrm S]/(K_M + [\mathrm S])$ diretamente, minimizando $\sum(v_i - v(\mathrm S_i))^2$ (de modo iterativo, partindo dos valores de uma reta de Lineweaver–Burk); as incertezas-padrão vêm dos resíduos e da sensibilidade de $v$ a cada parâmetro.
3. Use o gráfico de Lineweaver–Burk apenas para ver o padrão: inverter velocidades pequenas amplifica seus erros, de modo que a reta de mínimos quadrados de $1/v$ é dominada pelos pontos menos precisos, e seus parâmetros são enviesados.

**Definição 13.14 (Inibição).**

Um inibidor I se liga reversivelmente à [enzima](#def-b3-complex-kinetics-enzyme). Na *inibição competitiva*, ele se liga apenas à [enzima](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) livre, no [sítio ativo](#def-b3-complex-kinetics-enzyme), com a *constante de inibição* $K_i$ (constante de dissociação de EI); na *inibição incompetitiva*, ele se liga apenas a ES, com a constante $K_i'$; na *inibição mista*, ele se liga aos dois.

**Proposição 13.15 (Leis de velocidade com inibição).**

Com $\alpha = 1 + [\mathrm I]/K_i$ e $\alpha' = 1 + [\mathrm I]/K_i'$, a velocidade conserva a forma de Michaelis–Menten $v = V^{\mathrm{app}}[\mathrm S]/(K_M^{\mathrm{app}} + [\mathrm S])$ com: competitiva, $K_M^{\mathrm{app}} = \alpha K_M$, $V^{\mathrm{app}} = V_{\max}$; incompetitiva, $K_M^{\mathrm{app}} = K_M/\alpha'$, $V^{\mathrm{app}} =
V_{\max}/\alpha'$; mista, $K_M^{\mathrm{app}} = \alpha K_M/\alpha'$, $V^{\mathrm{app}} = V_{\max}/\alpha'$.

**Demonstração.** Caso misto (os outros são seus limites $K_i' \to \infty$ e $K_i \to \infty$): a [enzima](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) se reparte entre E, EI, ES e ESI com $[\mathrm{EI}] = [\mathrm E][\mathrm I]/K_i$, $[\mathrm{ESI}] = [\mathrm{ES}][\mathrm I]/K_i'$ e o estado estacionário $[\mathrm E][\mathrm S] = K_M[\mathrm{ES}]$. Logo $[\mathrm E]_0 = [\mathrm E]\alpha + [\mathrm{ES}]\alpha' =
[\mathrm{ES}](\alpha K_M/[\mathrm S] + \alpha')$ e $v = k_2[\mathrm{ES}] = V_{\max}[\mathrm S]/(\alpha K_M + \alpha'[\mathrm S])$; dividir o numerador e o denominador por $\alpha'$ dá a forma enunciada. ∎

**Método 13.16 (Reconhecer o tipo de inibição).**

1. Meça $v([\mathrm S])$ em várias concentrações de inibidor e trace as retas de Lineweaver–Burk.
2. Retas que se encontram no eixo de $1/v$ (mesma $V_{\max}$ ): competitiva; um grande excesso de substrato vence o inibidor.
3. Retas paralelas (inclinação $K_M/V_{\max}$ inalterada): incompetitiva.
4. Retas que se encontram à esquerda do eixo de $1/v$ : mista.
5. Obtenha $K_i$ ajustando as constantes aparentes em função de $[\mathrm I]$ : para um inibidor competitivo, $K_M^{\mathrm{app}} = K_M + (K_M/K_i)[\mathrm I]$ , uma reta.

![Cinética de Michaelis–Menten com K_M = 0.80\, mM e V_ = 0.50\, µ M\, s-1 (modelo): sem inibidor (preto), um inibidor competitivo em ( I) = 2K_i (azul, K_M triplicada, mesma V_) e um incompetitivo em ( I) = K_i' (vermelho, K_M e V_ reduzidas à metade). À direita: as retas de Lineweaver–Burk; a reta competitiva encontra a não inibida no eixo de 1/v, a incompetitiva é paralela a ela (1/( S) em mM-1, 1/v em s\, µ M-1).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-25c4d5f9bd6f.svg)

*Cinética de Michaelis–Menten com $K_M = 0.80\,\mathrm{mM}$ e $V_{\max} = 0.50\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$ (modelo): sem inibidor (preto), um inibidor competitivo em $[\mathrm I] = 2K_i$ (azul, $K_M$ triplicada, mesma $V_{\max}$) e um incompetitivo em $[\mathrm I] = K_i'$ (vermelho, $K_M$ e $V_{\max}$ reduzidas à metade). À direita: as retas de Lineweaver–Burk; a reta competitiva encontra a não inibida no eixo de $1/v$, a incompetitiva é paralela a ela ($1/[\mathrm S]$ em $\mathrm{mM}^{-1}$, $1/v$ em $\mathrm{s}\,\text{µ}\mathrm{M}^{-1}$).*

## 13.5 Autocatálise, oscilações e reações rápidas

**Definição 13.17 (Reação autocatalítica).**

Uma *reação autocatalítica* é aquela em que um produto catalisa sua própria formação, como em $\mathrm{A + X \to 2\,X}$.

**Proposição 13.18 (Lei logística).**

Para $\mathrm{A + X \to 2\,X}$ com constante de velocidade $k$ e concentrações iniciais $a_0$ e $x_0$, com $N = a_0 + x_0$,

$$
x(t) = \frac{N}{1 + (N/x_0 - 1)\eu^{-kNt}},
$$

uma curva em forma de S que atinge a metade de seu valor final em $t_{1/2} = \ln(N/x_0 - 1)/kN$.

**Demonstração.** $\dd x/\dd t = kx(N - x)$, pois $a = N - x$. Separando, $\frac{\dd x}{x(N - x)} = \frac1N\bigl(\frac1x + \frac{1}{N - x}\bigr)\dd x
= k\,\dd t$, logo $\ln\frac{x}{N - x} = kNt + \ln\frac{x_0}{N - x_0}$, que se rearranja na forma enunciada; $x = N/2$ quando $(N/x_0 - 1)\eu^{-kNt} = 1$. ∎

**Definição 13.19 (Reação oscilante, ciclo limite).**

Uma *reação oscilante* é aquela em que as concentrações dos intermediários sobem e descem periodicamente enquanto a reação global avança em direção ao equilíbrio. Um *ciclo limite* é uma trajetória fechada no espaço das concentrações para a qual convergem as trajetórias vizinhas, de modo que a oscilação tem uma amplitude independente do ponto de partida.

**Teorema 13.20 (Modelo de Lotka–Volterra).**

Para o esquema autocatalítico $\mathrm{A + X \to 2\,X}$, $\mathrm{X + Y \to 2\,Y}$, $\mathrm{Y \to B}$ com A mantido constante, as concentrações obedecem a $\dot x = x(a - by)$, $\dot y = y(dx - c)$ com constantes positivas, e a grandeza

$$
V = dx - c\ln x + by - a\ln y
$$

é constante ao longo de cada trajetória: as trajetórias são curvas fechadas em torno do estado estacionário $(c/d, a/b)$, e as concentrações oscilam com uma amplitude fixada pelo ponto de partida.

**Demonstração.** $\dot V = (d - c/x)\dot x + (b - a/y)\dot y = (dx - c)(a - by) + (by - a)(dx - c) = 0$. $V$ é a soma de duas funções convexas com um único mínimo em $(c/d, a/b)$, logo suas curvas de nível são curvas fechadas em torno desse ponto; uma trajetória permanece sobre uma delas e, como a velocidade nunca se anula fora dele, percorre-a periodicamente. ∎

As oscilações de Lotka–Volterra são frágeis: cada ponto de partida dá sua própria órbita, e qualquer perturbação leva o sistema a outra. Os osciladores químicos reais têm um [ciclo limite](#def-b3-complex-kinetics-oscillating), o que exige uma não linearidade que desestabilize o estado estacionário.

**Proposição 13.21 (Instabilidade do Brusselator).**

O modelo $\dot X = A - (B + 1)X + X^2Y$, $\dot Y = BX - X^2Y$ (concentrações reduzidas, $A$ e $B$ mantidos constantes) tem o único estado estacionário $(A, B/A)$, que é estável se $B < 1 + A^2$ e instável se $B > 1 + A^2$; o sistema se estabelece então em um [ciclo limite](#def-b3-complex-kinetics-oscillating).

**Demonstração.** Anulando as duas derivadas: $BX = X^2Y$ dá $XY = B$, e então $A - X = 0$. A matriz jacobiana em $(A, B/A)$ é

$$
\begin{pmatrix} -(B + 1) + 2XY & X^2 \\ B - 2XY & -X^2 \end{pmatrix}
  = \begin{pmatrix} B - 1 & A^2 \\ -B & -A^2 \end{pmatrix},
$$

com traço $B - 1 - A^2$ e determinante $A^2 > 0$. Pequenos desvios evoluem como $\eu^{\lambda t}$, com $\lambda$ os [autovalores](https://one-course.com/books/chemistry/4/pt/chapter/1-mecanica-quantica-para-quimicos-sistemas-modelo#def-b3-quantum-model-systems-operator), cujo produto é o determinante (positivo) e cuja soma é o traço: ambos têm partes reais negativas quando o traço é negativo, e positivas quando ele é positivo. A existência do [ciclo limite](#def-b3-complex-kinetics-oscillating) para $B > 1 + A^2$ (estando as trajetórias confinadas a uma região limitada) é admitida. ∎

**Método 13.22 (A estabilidade linear de um estado estacionário).**

1. Encontre o estado estacionário anulando todas as derivadas temporais.
2. Calcule ali a matriz jacobiana das derivadas parciais das velocidades.
3. Para duas variáveis: estável se o traço é negativo e o determinante positivo; um estado instável com [autovalores](https://one-course.com/books/chemistry/4/pt/chapter/1-mecanica-quantica-para-quimicos-sistemas-modelo#def-b3-quantum-model-systems-operator) complexos ( $\mathrm{tr}^2 < 4\det$ ) dá oscilações crescentes, candidatas a um [ciclo limite](#def-b3-complex-kinetics-oscillating) .

![Em cima: o Brusselator (A = 1, B = 3 > 1 + A2) se estabelece em oscilações sustentadas de período 7.2 (tempo reduzido). Embaixo, à esquerda: duas trajetórias, uma partindo perto do estado estacionário instável (ponto) e outra bem fora dele, enrolam-se sobre o mesmo ciclo limite. Embaixo, à direita: órbitas de Lotka–Volterra, cada uma fixada por seu ponto de partida, em torno do estado estacionário (ponto).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-b04f8bcd21c1.svg)

*Em cima: o Brusselator ($A = 1$, $B = 3 > 1 + A^2$) se estabelece em oscilações sustentadas de período 7.2 (tempo reduzido). Embaixo, à esquerda: duas trajetórias, uma partindo perto do estado estacionário instável (ponto) e outra bem fora dele, enrolam-se sobre o mesmo [ciclo limite](#def-b3-complex-kinetics-oscillating). Embaixo, à direita: órbitas de Lotka–Volterra, cada uma fixada por seu ponto de partida, em torno do estado estacionário (ponto).*

A reação de Belousov–Zhabotinsky, a oxidação do ácido malônico pelo bromato catalisada por cério ou por um indicador ferroína, percorre um ciclo desse tipo: uma produção autocatalítica de $\ce{HBrO2}$ se liga quando o brometo cai abaixo de um limiar, oxida o catalisador (a mudança de cor) e se desliga quando o catalisador oxidado regenera o brometo. Sem agitação, em uma camada fina, a oscilação se propaga como ondas.

![Ondas espirais da reação de Belousov–Zhabotinsky em uma camada fina de solução: cada frente azul é uma onda de oxidação do catalisador, que avança no meio reduzido (vermelho) e não pode reentrar na região que acabou de deixar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/img-a59a0c24bc84.jpg)

*Ondas espirais da reação de Belousov–Zhabotinsky em uma camada fina de solução: cada frente azul é uma onda de oxidação do catalisador, que avança no meio reduzido (vermelho) e não pode reentrar na região que acabou de deixar.*

**Definição 13.23 (Método de relaxação, tempo de relaxação química).**

Um *método de relaxação* perturba bruscamente um sistema em equilíbrio (por um salto de temperatura, de pressão ou de campo elétrico) e acompanha seu retorno ao novo equilíbrio. Para uma pequena perturbação, o desvio decai exponencialmente, com o *tempo de relaxação química* $\tau$.

**Proposição 13.24 (Tempo de relaxação de uma associação).**

Para $\mathrm{A + B \rightleftharpoons C}$ ($k_1$, $k_{-1}$), depois de uma pequena perturbação,

$$
\frac1\tau = k_1([\mathrm A]_e + [\mathrm B]_e) + k_{-1} .
$$

**Demonstração.** Escreva $[\mathrm C] = [\mathrm C]_e + x$, $[\mathrm A] = [\mathrm A]_e - x$, $[\mathrm B] = [\mathrm B]_e - x$. Então $\dot x =
k_1([\mathrm A]_e - x)([\mathrm B]_e - x) - k_{-1}([\mathrm C]_e + x)$; os termos sem $x$ se cancelam no equilíbrio e, desprezando $x^2$: $\dot x = -[k_1([\mathrm A]_e + [\mathrm B]_e) + k_{-1}]x$. ∎

Medir $\tau$ em várias concentrações dá uma reta de $1/\tau$ em função de $[\mathrm A]_e +
[\mathrm B]_e$ cuja inclinação é $k_1$ e cujo intercepto é $k_{-1}$: as duas constantes a partir de experimentos sobre um sistema que nunca se afasta do equilíbrio mais do que alguns por cento. Manfred Eigen mediu assim as reações mais rápidas em solução, entre elas a neutralização de $\ce{H3O+}$ por $\ce{OH-}$.

![Relaxação de A + B C depois de um salto de temperatura que abaixou sua constante de equilíbrio em 5 % (modelo: k_1 = 1.0 × 108\, L\, mol-1\, s-1, k_-1 = 1.0 × 103\, s-1, 1.0 × 10-4\, mol/ L de A e de B no total): a equação de velocidade completa e a exponencial com 1/ = k_1(( A)_e + ( B)_e) + k_-1 coincidem.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-ff1fb2fd62fc.svg)

*Relaxação de $\mathrm{A + B \rightleftharpoons C}$ depois de um salto de temperatura que abaixou sua constante de equilíbrio em 5 % (modelo: $k_1 = 1.0 \times 10^{8}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, $k_{-1} = 1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$, $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$ de A e de B no total): a equação de velocidade completa e a exponencial com $1/\tau = k_1([\mathrm A]_e + [\mathrm B]_e) + k_{-1}$ coincidem.*

**Definição 13.25 (Fluxo interrompido, fotólise por flash).**

O *método de fluxo interrompido* mistura duas soluções de reagentes em cerca de um milissegundo, impelindo-as através de um misturador até uma cubeta de observação, depois interrompe o fluxo e registra a absorbância ou a [fluorescência](https://one-course.com/books/chemistry/4/pt/chapter/7-espectroscopia-eletronica-e-fotofisica#def-b3-electronic-spectroscopy-luminescence). A *fotólise por flash* cria uma espécie reativa por um pulso de luz curto e intenso e acompanha suas reações com um segundo feixe de luz, retardado.

![Um aparelho de fluxo interrompido. O acionamento empurra duas seringas; as soluções se encontram no misturador e enchem a cubeta de observação em cerca de um milissegundo; o êmbolo da seringa de parada bate em um batente, o fluxo para, e o detector registra a reação da solução recém-misturada.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-3d7df0b5f4cc.svg)

*Um aparelho de fluxo interrompido. O acionamento empurra duas seringas; as soluções se encontram no misturador e enchem a cubeta de observação em cerca de um milissegundo; o êmbolo da seringa de parada bate em um batente, o fluxo para, e o detector registra a reação da solução recém-misturada.*

![Um traço de fluxo interrompido com explosão inicial (dados do problema de fim de semana): o primeiro produto de uma enzima de duas etapas aparece em uma explosão rápida seguida de uma reta; a reta tracejada extrapola o estado estacionário até t = 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-e84774871342.svg)

*Um traço de fluxo interrompido com explosão inicial (dados do problema de fim de semana): o primeiro produto de uma [enzima](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) de duas etapas aparece em uma explosão rápida seguida de uma reta; a reta tracejada extrapola o estado estacionário até $t = 0$.*

**No laboratório — Uma medida de fluxo interrompido.**

As duas seringas são carregadas com as soluções de [enzima](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) e de substrato no mesmo tampão, termostatizadas e disparadas várias vezes para lavar a cubeta antes dos disparos registrados; cada traço é a média de cinco a dez disparos. O tempo morto, a idade da mistura quando a observação começa, é medido uma vez com uma reação de velocidade conhecida.

**Segurança.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-aa048b319e7f.svg)

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-ed6bb6b332c4.svg)

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/chemistry-4/b3-complex-kinetics/fig-d16e3fb60326.svg)

Bromo: líquido volátil, denso, vermelho-acastanhado; fatal se inalado, provoca queimaduras graves, muito tóxico para os organismos aquáticos. Manipulado apenas na capela, com luvas e proteção facial; mantém-se à mão uma solução de tiossulfato de sódio para reduzir os derramamentos.

**História — Bodenstein e Belousov.**

Max Bodenstein e Samuel Lind mediram a lei de velocidade hidrogênio–bromo em 1906; Jens Christiansen, Karl Herzfeld e Michael Polanyi a explicaram em 1919 com o mecanismo em cadeia deste capítulo. Boris Belousov, bioquímico em Moscou, encontrou sua [reação oscilante](#def-b3-complex-kinetics-oscillating) por volta de 1951, quando procurava um modelo químico de um ciclo metabólico; seu manuscrito foi recusado, e só um breve resumo foi publicado em 1959. Anatol Zhabotinsky retomou a reação nos anos 1960 e a explicou; o mecanismo completo foi estabelecido no início dos anos 1970.

## 13.6 Exercícios

**Exercício 13.1 ★.**

Para a cadeia $\ce{Cl2 -> 2 Cl}$, $\ce{Cl + H2 -> HCl + H}$, $\ce{H + Cl2 -> HCl + Cl}$, $\ce{2 Cl -> Cl2}$, dê o nome de cada etapa e dos [portadores de cadeia](#def-b3-complex-kinetics-chain), e escreva a reação global.

**Solução de Exercício 13.1.**

$\ce{Cl2 -> 2 Cl}$: iniciação; $\ce{Cl + H2 -> HCl + H}$ e $\ce{H + Cl2 -> HCl + Cl}$: propagação; $\ce{2 Cl -> Cl2}$: terminação. Portadores: Cl e H. Reação global (soma das duas etapas de propagação): $\ce{H2 + Cl2 -> 2 HCl}$.

**Exercício 13.2 ★.**

Um sistema de Lindemann tem $k_2 = 1.0 \times 10^{7}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $k_{-1} = 1.0 \times 10^{10}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ (dados do exercício). Calcule $[\mathrm M]_{1/2}$ e a pressão correspondente a $750\,\mathrm{K}$.

**Solução de Exercício 13.2.**

$[\mathrm M]_{1/2} = k_2/k_{-1} = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{mol}/\mathrm{L} = 1.0\,\mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3}$; $p = cRT = 1.0 \times 8.314 \times 750 =
6.2\,\mathrm{kPa}$.

**Exercício 13.3 ★.**

Exprima $v/V_{\max}$ em $[\mathrm S] = K_M$, $3K_M$ e $9K_M$. Que concentração dá 90 % de $V_{\max}$?

**Solução de Exercício 13.3.**

$v/V_{\max} = [\mathrm S]/(K_M + [\mathrm S])$: $\frac12$, $\frac34$, $\frac{9}{10}$. Para 90 % de $V_{\max}$, é preciso $[\mathrm S] = 9K_M$.

**Exercício 13.4 ★.**

Uma [enzima](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) tem $k_{\mathrm{cat}} = 100\,\mathrm{s}^{-1}$ e $K_M = 0.80\,\mathrm{mM}$. Calcule sua [constante de especificidade](#def-b3-complex-kinetics-michaelis) e compare-a com o limite de difusão na água, $7.4 \times 10^{9}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, e com o valor típico de $10^5$ $\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**Solução de Exercício 13.4.**

$k_{\mathrm{cat}}/K_M = 100/0.80 \times 10^{-3} = 1.25 \times 10^{5}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$: cerca de 60 000 vezes abaixo do limite de difusão, e próxima do valor típico.

**Exercício 13.5 ★★.**

Propõe-se que a decomposição $\ce{CH3CHO -> CH4 + CO}$ ocorra por: $\ce{CH3CHO -> CH3 +
CHO}$ ($k_1$); $\ce{CH3 + CH3CHO -> CH4 + CH3CO}$ ($k_2$); $\ce{CH3CO -> CH3 + CO}$ ($k_3$); $\ce{2 CH3 -> C2H6}$ ($k_4$). Mostre que a velocidade de formação do metano é $k_2(k_1/2k_4)^{1/2}[\ce{CH3CHO}]^{3/2}$.

**Solução de Exercício 13.5.**

Estado estacionário para $\ce{CH3CO}$: $k_2[\ce{CH3}][\ce{CH3CHO}] = k_3[\ce{CH3CO}]$. Estado estacionário para $\ce{CH3}$: $k_1[\ce{CH3CHO}] - k_2[\ce{CH3}][\ce{CH3CHO}] + k_3[\ce{CH3CO}] - 2k_4[\ce{CH3}]^2 = 0$. Somando as duas relações, obtém-se: $k_1[\ce{CH3CHO}] =
2k_4[\ce{CH3}]^2$, logo $[\ce{CH3}] = (k_1/2k_4)^{1/2}[\ce{CH3CHO}]^{1/2}$, e $\dd[\ce{CH4}]/\dd t = k_2[\ce{CH3}][\ce{CH3CHO}] =
k_2(k_1/2k_4)^{1/2}[\ce{CH3CHO}]^{3/2}$.

**Exercício 13.6 ★★.**

Partindo de concentrações iguais de $\ce{H2}$ e de $\ce{Br2}$, com $k' = 0.10$, por que fator a velocidade caiu quando metade do bromo foi consumida? Que parte da queda se deve à inibição?

**Solução de Exercício 13.6.**

Na metade da conversão, $[\ce{H2}] = [\ce{Br2}] = \frac12$, $[\ce{HBr}] = 1$ (unidades relativas): $v/v_0 = \frac12 \times (\frac12)^{1/2}/(1 + 0.10 \times 1/0.5) = 0.354/1.2 = 0.29$. Sem inibição, seria 0.354: a inibição divide a velocidade por mais 1.2.

**Exercício 13.7 ★★.**

Em uma mistura-modelo de hidrogênio e oxigênio (dados do exercício), a ramificação tem a constante de velocidade $f = 1000\,p$, a terminação nas paredes $6000/p$ e a terminação a três corpos $10\,p^2$, todas em $\mathrm{s}^{-1}$, com $p$ em kPa. Encontre a faixa de pressão em que a mistura explode.

**Solução de Exercício 13.7.**

Explosão quando $1000p > 6000/p + 10p^2$, isto é, $10p^3 - 1000p^2 + 6000 < 0$, cujas raízes positivas são 2.48 e $99.9\,\mathrm{kPa}$: a mistura explode entre cerca de 2.5 e $100\,\mathrm{kPa}$ (primeiro e segundo limites do modelo).

**Exercício 13.8 ★★.**

As velocidades iniciais são $0.20\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$ em $[\mathrm S] = 0.50\,\mathrm{mM}$ e $0.40\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$ em $2.0\,\mathrm{mM}$. Encontre $K_M$ e $V_{\max}$.

**Solução de Exercício 13.8.**

$1/v = 1/V_{\max} + (K_M/V_{\max})/[\mathrm S]$: $5.0 = 1/V_{\max} + 2.0K_M/V_{\max}$ e $2.5 = 1/V_{\max} + 0.5K_M/V_{\max}$. Subtraindo: $K_M/V_{\max} = 1.667\,\mathrm{s}\,\mathrm{mM}\,\text{µ}\mathrm{M}^{-1}$, depois $1/V_{\max} = 1.667$: $V_{\max} = 0.60\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$, $K_M = 1.0\,\mathrm{mM}$.

**Exercício 13.9 ★★.**

Com $50\,\text{µ}\mathrm{M}$ de um inibidor, a reta de Lineweaver–Burk de uma [enzima](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) ($K_M = 0.80\,\mathrm{mM}$) encontra a reta sem inibidor no eixo de $1/v$ e corta o eixo de $1/[\mathrm S]$ em $-0.417\,\mathrm{mM}^{-1}$. Identifique o tipo de inibição e calcule $K_i$.

**Solução de Exercício 13.9.**

Mesmo intercepto no eixo de $1/v$: competitiva. $K_M^{\mathrm{app}} = 1/0.417 = 2.40\,\mathrm{mM} = 3K_M$, logo $1 + 50/K_i = 3$ e $K_i = 25\,\text{µ}\mathrm{M}$.

**Exercício 13.10 ★★★.**

Para $\mathrm{A + X \to 2\,X}$ com $k = 0.50\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, $a_0 = 1.00\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$ e $x_0 = 0.010\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$, calcule o instante em que metade da quantidade final de X está presente e o instante de [velocidade máxima](#def-b3-complex-kinetics-michaelis).

**Solução de Exercício 13.10.**

$N = 1.01\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$: $t_{1/2} = \ln(1.01/0.010 - 1)/(0.50 \times 1.01) = \ln100/0.505 = 9.1\,\mathrm{s}$. A velocidade $kx(N - x)$ é máxima em $x = N/2$: o mesmo instante, o ponto de inflexão da curva em S.

**Exercício 13.11 ★★★.**

Para o Brusselator com $A = 1$, calcule os [autovalores](https://one-course.com/books/chemistry/4/pt/chapter/1-mecanica-quantica-para-quimicos-sistemas-modelo#def-b3-quantum-model-systems-operator) da jacobiana no estado estacionário para $B = 1.5$ e $B = 2.5$, e descreva o comportamento perto do estado estacionário em cada caso.

**Solução de Exercício 13.11.**

Traço $B - 2$, determinante 1. $B = 1.5$: $\lambda = -0.25 \pm 0.968\iu$, um foco estável (oscilações amortecidas em direção ao estado estacionário). $B = 2.5$: $\lambda = 0.25 \pm 0.968\iu$, um foco instável: as oscilações crescem até atingirem o [ciclo limite](#def-b3-complex-kinetics-oscillating).

**Exercício 13.12 ★★★.**

Para $\mathrm{A + B \rightleftharpoons C}$ com $k_1 = 1.0 \times 10^{8}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $k_{-1} = 1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$, e $[\mathrm A]_e = [\mathrm B]_e = 2.70 \times 10^{-5}\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$, calcule $\tau$. Como você obteria as duas constantes de velocidade apenas com medidas de relaxação?

**Solução de Exercício 13.12.**

$1/\tau = 1.0 \times 10^{8} \times 5.40 \times 10^{-5} + 1.0 \times 10^{3} = 6.4 \times 10^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\tau = 156\,\text{µ}\mathrm{s}$. Meça $\tau$ em várias concentrações totais: $1/\tau$ em função de $[\mathrm A]_e + [\mathrm B]_e$ é uma reta de inclinação $k_1$ e intercepto $k_{-1}$.

## 13.7 Problema: Uma enzima, um inibidor e uma dose

**Problema 13.1.**

Problema de fim de semana — uma enzima, um inibidor e uma dose: os parâmetros de Michaelis–Menten por mínimos quadrados, a constante de inibição de um inibidor competitivo, a atividade restante a uma dada dose, e uma explosão inicial em fluxo interrompido

Uma [enzima](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) ($[\mathrm E]_0 = 5.0\,\mathrm{nM}$ nos ensaios) hidrolisa seu substrato; velocidades iniciais (dados do problema):

| $[\mathrm S]$ / mM | 0.10 | 0.20 | 0.40 | 0.80 | 1.60 | 3.20 | 6.40 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $v$ / $\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$ | 0.0566 | 0.0981 | 0.169 | 0.247 | 0.340 | 0.397 | 0.447 |

Na presença de um inibidor, ajustes do mesmo tipo dão $V_{\max}$ inalterada e a $K_M$ aparente: 0.79, 1.47, 2.38 e $4.02\,\mathrm{mM}$ em $[\mathrm I] = 0$, 20, 50 e $100\,\text{µ}\mathrm{M}$. Um experimento de fluxo interrompido com $[\mathrm E]_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{M}$ e substrato saturante dá o traço com explosão inicial da figura da seção 5 (uma explosão de $1.28\,\text{µ}\mathrm{M}$ com constante de velocidade $625\,\mathrm{s}^{-1}$, e depois $200\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$).

**Parte I — $K_M$ e $V_{\max}$.**

1. Por que se usam velocidades iniciais?
2. Trace o gráfico de Lineweaver–Burk; sua reta de mínimos quadrados dá $K_M =  0.773\,\mathrm{mM}$ e $V_{\max} = 0.491\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$ . Que pontos a dominam?
3. Por que se prefere um ajuste não linear direto?
4. O ajuste não linear dá $K_M = 0.801 \pm 0.023\,\mathrm{mM}$ e $V_{\max} = 0.502 \pm  0.005\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$ . Os valores de Lineweaver–Burk são compatíveis com eles?
5. Calcule $k_{\mathrm{cat}}$ .
6. Calcule a [constante de especificidade](#def-b3-complex-kinetics-michaelis) .
7. Compare-a com o limite de difusão e com uma [enzima](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) típica.

**Parte II — O inibidor.**

8. Que tipo de inibição os dados mostram?
9. Escreva $K_M^{\mathrm{app}}$ em função de $[\mathrm I]$ .
10. A reta de mínimos quadrados de $K_M^{\mathrm{app}}$ em função de $[\mathrm I]$ tem intercepto $0.799\,\mathrm{mM}$ e inclinação $0.0321\,\mathrm{mM}\,\text{µ}\mathrm{M}^{-1}$ . Deduza $K_i$ .
11. Sua incerteza-padrão é de $0.9\,\text{µ}\mathrm{M}$ . Dê um intervalo de 95 % ( $t = 4.30$ para dois graus de liberdade).
12. O que $K_i$ mede?

**Parte III — A atividade restante.**

13. Exprima a fração de atividade restante, $v_i/v_0$ , em função de $[\mathrm S]$ e de $[\mathrm I]$ .
14. Avalie-a em $[\mathrm S] = K_M$ e $[\mathrm I] = K_i$ .
15. Em $[\mathrm S] = K_M$ e $[\mathrm I] = 10K_i$ .
16. Em $[\mathrm S] = 10K_M$ e $[\mathrm I] = 10K_i$ . Comente.
17. Mostre que 90 % de inibição em $[\mathrm S] = K_M$ exige $[\mathrm I] = 18K_i$ .
18. Calcule essa concentração com o $K_i$ ajustado.

**Parte IV — A explosão inicial.**

19. A [enzima](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) trabalha em duas etapas, $\mathrm{E + S \to E{-}acyl + P_1}$ ( $k_2$ ) e depois $\mathrm{E{-}acyl \to E +  P_2}$ ( $k_3$ ). Por que $\mathrm P_1$ aparece em uma explosão?
20. A amplitude da explosão é $[\mathrm E]_0\bigl(k_2/(k_2 + k_3)\bigr)^2$ . Deduza $k_2/(k_2 + k_3)$ .
21. A partir da inclinação estacionária, calcule $k_{\mathrm{cat}}$ e compare com a Parte I.
22. A constante de velocidade da explosão é $k_2 + k_3$ . Deduza $k_2$ e $k_3$ .
23. Verifique que $k_{\mathrm{cat}} = k_2k_3/(k_2 + k_3)$ .
24. Enuncie o resultado: a concentração de inibidor que dá 90 % de inibição em $[\mathrm S] = K_M$ .

**Solução de Problema 13.1.**

**1.** No início, $[\mathrm S]$ é conhecida e o produto, que poderia inibir ou reagir de volta, está ausente. **2.** Os pontos de $[\mathrm S]$ baixa, em $1/[\mathrm S]$ e $1/v$ grandes: eles fixam a inclinação, e a inversão amplifica seus erros. **3.** Ele pondera cada velocidade tal como foi medida; a reta de Lineweaver–Burk dá parâmetros enviesados. **4.** $K_M$: $0.773$ fica 1.2 incerteza-padrão abaixo de 0.801; $V_{\max}$: $0.491$ fica 2.2 incertezas-padrão abaixo de 0.502. Os dois são baixos, como se espera do viés. **5.** $k_{\mathrm{cat}} = 0.502/0.0050 = 100\,\mathrm{s}^{-1}$. **6.** $100/0.801 \times 10^{-3} = 1.25 \times 10^{5}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$. **7.** Cerca de 60 000 vezes abaixo do limite de difusão; uma [enzima](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) típica. **8.** Competitiva: $V_{\max}$ inalterada, $K_M$ aparente crescendo com $[\mathrm I]$. **9.** $K_M^{\mathrm{app}} = K_M(1 + [\mathrm I]/K_i) = K_M + (K_M/K_i)[\mathrm I]$. **10.** $K_i = 0.799/0.0321 = 24.9\,\text{µ}\mathrm{M}$. **11.** $24.9 \pm 4.30 \times 0.9 = 24.9 \pm 3.9\,\text{µ}\mathrm{M}$. **12.** A constante de dissociação do complexo enzima–inibidor: a concentração de inibidor que ocupa metade da [enzima](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) livre. **13.** $v_i/v_0 = (K_M + [\mathrm S])/(K_M(1 + [\mathrm I]/K_i) + [\mathrm S])$. **14.** $2/3 = 0.67$. **15.** $2/12 = 0.17$. **16.** $11/21 = 0.52$: em concentração alta, o substrato vence a competição com o inibidor. **17.** Em $[\mathrm S] = K_M$, $v_i/v_0 = 2/(2 + [\mathrm I]/K_i) = 0.10$ dá $[\mathrm I]/K_i = 18$. **18.** $18 \times 24.9 = 448\,\text{µ}\mathrm{M}$. **19.** A primeira etapa é rápida: cada molécula de [enzima](#def-b3-complex-kinetics-enzyme) libera depressa um $\mathrm P_1$ e fica presa como [acil-enzima](#def-b3-complex-kinetics-enzyme); depois, $\mathrm P_1$ só aparece tão depressa quanto a lenta segunda etapa libera a [enzima](#def-b3-complex-kinetics-enzyme). **20.** $1.28/2.0 = 0.64 = (k_2/(k_2 + k_3))^2$, logo $k_2/(k_2 + k_3) = 0.80$. **21.** $200/2.0 = 100\,\mathrm{s}^{-1}$, o mesmo valor da Parte I. **22.** $k_2 = 0.80 \times 625 = 500\,\mathrm{s}^{-1}$, $k_3 = 125\,\mathrm{s}^{-1}$. **23.** $500 \times 125/625 = 100\,\mathrm{s}^{-1}$. **24.** **$[\mathrm I]_{90\,\%} = 18K_i \approx 0.45\,\mathrm{mM}$ em $[\mathrm S] = K_M$.**