---
title: "الموجات الزلزالية تكشف باطن الأرض"
book: "علوم الأرض والفضاء في المرحلة الثانوية"
subject: earth
language: ar
chapter: 11
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/earth/2/ar/chapter/11-seismic-waves-reveal-the-interior
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# الفصل 11 — الموجات الزلزالية تكشف باطن الأرض

في 8 أكتوبر 1909 هزّ زلزال وادي نهر كوبا، على بعد نحو $40\,\mathrm{km}$ جنوب شرق زغرب، في كرواتيا. وقبل ذلك ببضعة أشهر، كان أندريا موهوروفيتشيتش قد ركّب مرسمة زلازل جديدة في مرصد زغرب للأرصاد الجوية، فسجلت الحدث كله. ثم طلب من مراصد أخرى سجلاتها فجمع سجلات 41 محطة. وعلى سجلات المحطات الأبعد وجد شيئًا غير متوقع: موجتين P منفصلتين، ضعيفة ثم أقوى منها، حيث كان ينبغي أن تكون واحدة. ومن هذا الزوج من الموجات استنتج أن الصخر الذي تحت القشرة مختلف، وقاس عمق الحد بينهما. يبيّن هذا الفصل كيف تكشف الأزمنة التي تصل فيها موجات الزلازل طبقاتِ الأرض: قاعدة القشرة، واللب وجزأه الخارجي السائل، والباطن كله، عمقًا بعد عمق.

**ما تعرفه من قبل.**

يبدأ الزلزال عند نقطة داخل الأرض، هي البؤرة؛ والنقطة التي تعلوها مباشرة على السطح هي المركز السطحي. ويسجل مقياس الزلازل اهتزاز الأرض، ويقيس القدر حجم الزلزال (الكتاب 1، الصف 7). وللأرض قشرة ووشاح ولب؛ وللب جزء خارجي سائل وجزء داخلي صلب. وموجات الزلازل نوعان رئيسيان: [الموجات P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) الأسرع [والموجات S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) الأبطأ، [والموجات S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) لا تستطيع عبور سائل (الكتاب 1، الصف 6). والموجة التي تعبر الحد بين مادتين تنتقل فيهما بالسرعتين $v_1$ و$v_2$ تنكسر: $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$، حيث تقاس الزاويتان من العمودي على الحد (قانون سنيل؛ كتب الفيزياء).

## 11.1 الموجات الزلزالية وأزمنة الانتقال

### 11.1.1 نوعان من الموجات الجسمية

يرسل الزلزال موجات في كل الاتجاهات. بعضها ينتقل على امتداد السطح؛ وبعضها الآخر، أي الموجات الجسمية، ينتقل عبر باطن الأرض، وهي التي تكشفه.

**تعريف 11.1 (الموجة P؛ الموجة S).**

*الموجة P* موجة زلزالية تضغط الصخر وتمطه على التناوب: فيتحرك الصخر ذهابًا وإيابًا على امتداد الاتجاه الذي تنتقل فيه الموجة. وهي تعبر الأجسام الصلبة والسوائل والغازات، وهي أسرع الموجات الزلزالية، فتصل أولًا. أما *الموجة S* فتقص الصخر: فيتحرك الصخر عموديًا على الاتجاه الذي تنتقل فيه الموجة. ولا تعبر إلا الأجسام الصلبة، وتصل بعد الموجة P.

السائل ينساب ولا يقاوم تغيّر الشكل، فلا يستطيع أن ينقل القص: ولهذا تتوقف [الموجات S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) عند سطح السائل. وفي معظم الصخور تنتقل [الموجة P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) أسرع من [الموجة S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) بنحو $\sqrt 3 \approx 1.7$ مرة. ففي القشرة العليا تنتقل [الموجة P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) بنحو $5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ [والموجة S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) بنحو $3.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$؛ وتحت القشرة مباشرة تبلغان نحو $8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ و$4.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

![علماء زلازل من شبكة بورتوريكو الزلزالية ومن هيئة المسح الجيولوجي الأمريكية يركّبون مقياس زلازل مؤقتًا في جنوب غرب بورتوريكو، في 10 يناير 2020. الصورة: توماس برات، هيئة المسح الجيولوجي الأمريكية (ملك عام).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g11-seismic-structure/img-bf0a36fba1b0.jpg)

*علماء زلازل من شبكة بورتوريكو الزلزالية ومن هيئة المسح الجيولوجي الأمريكية يركّبون مقياس زلازل مؤقتًا في جنوب غرب بورتوريكو، في 10 يناير 2020. الصورة: توماس برات، هيئة المسح الجيولوجي الأمريكية (ملك عام).*

### 11.1.2 منحنيات زمن الانتقال

تقاس المسافة من زلزال إلى محطة بعيدة على هيئة زاوية: الزاوية $\Delta$ في مركز الأرض بين المركز السطحي والمحطة، وهي *المسافة المركزية*. والدرجة الواحدة منها تساوي $111.2\,\mathrm{km}$ على امتداد السطح.

**تعريف 11.2 (زمن الانتقال؛ منحنى زمن الانتقال).**

*زمن الانتقال* لموجة زلزالية عند محطة هو الزمن الذي تستغرقه للانتقال من البؤرة إلى المحطة. و*منحنى زمن الانتقال* لموجة هو التمثيل البياني لزمن انتقالها بدلالة المسافة المركزية للمحطة.

تسجل المحطة الزمن الذي تصل فيه كل موجة؛ وحين يكون زمن الزلزال معروفًا، يكون الفرق هو [زمن الانتقال](#def-g11-seismic-structure-travel-time). وقد أعطت آلاف الزلازل التي سجلتها آلاف المحطات منحنيات [زمن الانتقال](#def-g11-seismic-structure-travel-time) بدقة كبيرة. وفي الشكل حُسبت المنحنيات من [النموذج المرجعي للأرض](#def-g11-seismic-structure-reference-model) في [القسم 11.4](#sec-11-4)، والنقاط [أزمنة انتقال](#def-g11-seismic-structure-travel-time) رُصدت في زلازل حقيقية: ويتفق الاثنان في حدود اثنين في المئة في كل مكان، وفي الغالب في حدود ثانية أو ثانيتين.

![منحنيات زمن الانتقال للموجات P (بالأزرق) والموجات S (بالبرتقالي) من زلزال عند السطح، محسوبة بالنموذج المرجعي للأرض؛ والمنحنيان المتقطع والمنقّط موجتان P عبرتا اللب (المنقّط: اللب الداخلي). النقاط السوداء: أزمنة انتقال مرصودة. وبين نحو 99 و144 لا تصل أي موجة P مباشرة (المنطقة المظللة).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g11-seismic-structure/fig-2e190e4da5a0.svg)

*منحنيات [زمن الانتقال](#def-g11-seismic-structure-travel-time) [للموجات P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) (بالأزرق) [والموجات S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) (بالبرتقالي) من زلزال عند السطح، محسوبة [بالنموذج المرجعي للأرض](#def-g11-seismic-structure-reference-model)؛ والمنحنيان المتقطع والمنقّط موجتان P عبرتا اللب (المنقّط: اللب الداخلي). النقاط السوداء: [أزمنة انتقال](#def-g11-seismic-structure-travel-time) مرصودة. وبين نحو $99{}^{\circ}$ و$144{}^{\circ}$ لا تصل أي [موجة P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) مباشرة (المنطقة المظللة).*

يرتفع المنحنى S أشد انحدارًا من المنحنى P، فيزداد التأخر بين الوصولين مع المسافة. وهذا يعطي بعد الزلزال انطلاقًا من سجل واحد.

**طريقة 11.3 (بعد الزلزال من التأخر S–P).**

1. على السجل، اقرأ زمن وصول أول [موجة P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) وأول [موجة S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) ؛ والفرق بينهما هو التأخر S–P.
2. على منحنيات [زمن الانتقال](#def-g11-seismic-structure-travel-time) (أو في جدول لها)، جد المسافة المركزية التي يقع عندها المنحنى S فوق المنحنى P بذلك التأخر.
3. حوّل إلى الكيلومترات، عند الحاجة، بمعدل $111.2\,\mathrm{km}$ لكل درجة.

وبثلاث محطات، يكون المركز السطحي هو النقطة التي تقع على البعد الصحيح من الثلاث كلها.

**مثال 11.4 (زلزال على بعد 60∘60{}^{\circ}60∘).**

[أزمنة الانتقال](#def-g11-seismic-structure-travel-time) المرصودة $608\,\mathrm{s}$ [للموجة P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) و$1101\,\mathrm{s}$ [للموجة S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) عند $60{}^{\circ}$، و$536\,\mathrm{s}$ و$967\,\mathrm{s}$ عند $50{}^{\circ}$. فالمحطة التي تسجل [موجة S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) بعد [الموجة P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) بمقدار $493\,\mathrm{s}$ (8 دقائق و13 ثانية) تقع إذن على بعد $60{}^{\circ}$ من المركز السطحي: أي نحو $60 \times 111.2 \approx
6670\,\mathrm{km}$. وعند $50{}^{\circ}$ لن يتجاوز التأخر $431\,\mathrm{s}$.

![في مرصد لعلم الزلازل، تُعرض سجلات محطات كثيرة جنبًا إلى جنب، وتُرسم الزلازل التي تحدد مواقعها على خريطة للعالم (صورة مولدة بالذكاء الاصطناعي).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g11-seismic-structure/img-a554ba992d18.jpg)

*في مرصد لعلم الزلازل، تُعرض سجلات محطات كثيرة جنبًا إلى جنب، وتُرسم الزلازل التي تحدد مواقعها على خريطة للعالم (صورة مولدة بالذكاء الاصطناعي).*

## 11.2 الانكسار والموهو

### 11.2.1 الموجة التي تجري على امتداد حد

تتغير سرعة الموجات الزلزالية داخل الأرض مع العمق، تدريجيًا في الغالب، لكنها تتغير في بعض المواضع دفعة واحدة.

**تعريف 11.5 (الانقطاع الزلزالي).**

*الانقطاع الزلزالي* سطح داخل الأرض تتغير عبره سرعة الموجات الزلزالية فجأة — على سمك أصغر بكثير من طول الموجات.

عند الانقطاع ينعكس جزء من الموجة وينكسر جزء آخر. لنأخذ طبقة سمكها $h$ تنتقل فيها [الموجات P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) بالسرعة $v_1$، فوق طبقة تكون فيها أسرع، $v_2 > v_1$. فالشعاع الهابط بالزاوية $i$ عن الرأسي ينكسر بالزاوية $r$ المعطاة بالعلاقة $\sin r = (v_2/v_1)\sin
i$: أي إنه ينحرف مبتعدًا عن الرأسي. وحين تبلغ $\sin i$ القيمة $v_1/v_2$، يجري الشعاع المنكسر على امتداد الحد تمامًا. والزاوية

$$
i_c, \qquad \sin i_c = \frac{v_1}{v_2},
$$

هي *الزاوية الحدية*. والموجة المنكسرة [بالزاوية الحدية](#ex-g11-seismic-structure-sp) تنتقل على امتداد أعلى الطبقة الأسرع بالسرعة $v_2$، وهي في أثناء ذلك ترسل موجات صاعدة إلى الطبقة العليا، كلها بالزاوية $i_c$: فتصل إلى السطح على هيئة *الموجة المنكسرة الحرجة*.

![الموجة المباشرة والموجة المنكسرة الحرجة (بمقياس رسم حقيقي: قشرة سمكها 30\, km). تهبط الموجة المنكسرة الحرجة بالزاوية الحدية i_c، وتجري على امتداد أعلى الوشاح ثم تصعد بالزاوية i_c؛ وعلى طول مسارها كله على الموهو ترسل موجات صاعدة إلى السطح (الخطوط المتقطعة). ولا تصل إلى أي محطة أقرب من 2h i_c، أي نحو 71\, km هنا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g11-seismic-structure/fig-f19797ad91e5.svg)

*الموجة المباشرة [والموجة المنكسرة الحرجة](#ex-g11-seismic-structure-sp) (بمقياس رسم حقيقي: قشرة سمكها $30\,\mathrm{km}$). تهبط [الموجة المنكسرة الحرجة](#ex-g11-seismic-structure-sp) [بالزاوية الحدية](#ex-g11-seismic-structure-sp) $i_c$، وتجري على امتداد أعلى الوشاح ثم تصعد بالزاوية $i_c$؛ وعلى طول مسارها كله على [الموهو](#def-g11-seismic-structure-moho) ترسل موجات صاعدة إلى السطح (الخطوط المتقطعة). ولا تصل إلى أي محطة أقرب من $2h\tan i_c$، أي نحو $71\,\mathrm{km}$ هنا.*

**قضية 11.6 (زمن انتقال الموجة المنكسرة الحرجة).**

لمصدر عند السطح، تتلقى المحطة الواقعة على المسافة $x \ge 2h\tan i_c$ [الموجة المنكسرة الحرجة](#ex-g11-seismic-structure-sp) بعد

$$
t(x) = \frac{x}{v_2} + \frac{2h\cos i_c}{v_1}.
$$

ومنحنى زمن انتقالها مستقيم ميله $1/v_2$، إذا مُدّ إلى الوراء قطع محور الزمن عند *زمن التقاطع* $t_i = 2h\cos i_c/v_1$.

**برهان.** يهبط الشعاع على ضلع مائل طوله $h/\cos i_c$، يتقدم به أفقيًا بمقدار $h\tan i_c$؛ ويفعل الشيء نفسه في الصعود. وبينهما يجري على امتداد الحد مسافة $x - 2h\tan i_c$. فالزمن هو

$$
t = \frac{2h}{v_1\cos i_c} + \frac{x - 2h\tan i_c}{v_2}
    = \frac{x}{v_2} + \frac{2h}{v_1\cos i_c} - \frac{2h\sin i_c}{v_2\cos i_c}.
$$

وبما أن $1/v_2 = \sin i_c/v_1$، فإن الحدين الأخيرين يعطيان $\frac{2h}{v_1\cos i_c}\,(1 - \sin^2 i_c) = \frac{2h\cos i_c}{v_1}$. ∎

تصل الموجة المباشرة بعد $x/v_1$: فمنحناها مستقيم يمر بالأصل، أشد انحدارًا من مستقيم [الموجة المنكسرة الحرجة](#ex-g11-seismic-structure-sp). فقرب المصدر تصل الموجة المباشرة أولًا؛ وبعيدًا عنه تسبقها [الموجة المنكسرة الحرجة](#ex-g11-seismic-structure-sp)، التي قطعت معظم الطريق بالسرعة الأعلى.

**قضية 11.7 (مسافة العبور).**

تصل [الموجة المنكسرة الحرجة](#ex-g11-seismic-structure-sp) قبل الموجة المباشرة فيما وراء *مسافة العبور*

$$
x_c = 2h\sqrt{\frac{v_2 + v_1}{v_2 - v_1}}.
$$

**برهان.** تصل الموجتان معًا حين يكون $x/v_1 = x/v_2 + 2h\cos i_c/v_1$، أي $x\,(v_2 - v_1)/(v_1 v_2) = 2h\cos i_c/v_1$، ومنه $x = 2h\cos i_c\,v_2/(v_2 -
v_1)$. والآن $\cos i_c = \sqrt{1 - v_1^2/v_2^2} = \sqrt{(v_2 - v_1)(v_2 +
v_1)}/v_2$، ومن ثم $x = 2h\sqrt{(v_2 + v_1)(v_2 - v_1)}/(v_2 - v_1) =
2h\sqrt{(v_2 + v_1)/(v_2 - v_1)}$. وفيما وراءها تصل أولًا [الموجة المنكسرة الحرجة](#ex-g11-seismic-structure-sp)، التي مستقيمها أقل انحدارًا. ∎

![أزمنة انتقال الموجة المباشرة والموجة المنكسرة الحرجة للقشرة في الشكل السابق. ومستقيم الموجة المنكسرة الحرجة، إذا مُدّ إلى الوراء (المتقطع)، يقطع محور الزمن عند زمن التقاطع؛ وفيما وراء مسافة العبور x_c 165\, km تصل الموجة المنكسرة الحرجة أولًا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g11-seismic-structure/fig-5deb5265683e.svg)

*[أزمنة انتقال](#def-g11-seismic-structure-travel-time) الموجة المباشرة [والموجة المنكسرة الحرجة](#ex-g11-seismic-structure-sp) للقشرة في الشكل السابق. ومستقيم [الموجة المنكسرة الحرجة](#ex-g11-seismic-structure-sp)، إذا مُدّ إلى الوراء (المتقطع)، يقطع محور الزمن عند [زمن التقاطع](#prop-g11-seismic-structure-head-wave)؛ وفيما وراء [مسافة العبور](#prop-g11-seismic-structure-crossover) $x_c \approx
165\,\mathrm{km}$ تصل [الموجة المنكسرة الحرجة](#ex-g11-seismic-structure-sp) أولًا.*

### 11.2.2 قاعدة القشرة

**تعريف 11.8 (الموهو).**

*انقطاع موهوروفيتشيتش*، أو *الموهو*، هو [الانقطاع الزلزالي](#def-g11-seismic-structure-discontinuity) عند قاعدة القشرة، حيث تقفز سرعة [الموجات P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) من نحو $7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ على الأكثر إلى نحو $8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$، وهي السرعة في أعلى الوشاح.

**لمحة تاريخية — موهوروفيتشيتش والموجتان P، 1909.**

وجد أندريا موهوروفيتشيتش (1857–1936)، في سجلات زلزال عام 1909، أنه فيما وراء مسافة معينة — بين 100 و$150\,\mathrm{km}$ عمومًا — كانت [موجة P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) ضعيفة وأسرع تصل قبل [الموجة P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) القوية. وفسّرها بأنها موجة انتقلت عبر صخر أسرع تحت القشرة. وسمّى الموجتين Pg (الموجة المباشرة في القشرة) وPn ([الموجة المنكسرة الحرجة](#ex-g11-seismic-structure-sp) على امتداد أعلى الوشاح)، وفعل الشيء نفسه مع [الموجات S](#def-g11-seismic-structure-body-waves)، واستنتج سرعتي الطبقتين وعمق الحد بينهما. وتنتقل الموجة Pn بنحو $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$، وهي سرعة أعلى الوشاح. وقد أثبتت أبحاثه المنشورة عام 1910 أن القشرة والوشاح مختلفان؛ ويحمل الحد بينهما اسمه.

**طريقة 11.9 (عمق الموهو من مخطط أزمنة الانتقال).**

1. ارسم أزمنة الوصول الأولى بدلالة البعد عن المركز السطحي.
2. ارسم مستقيم الموجة المباشرة (المار بالأصل) ومستقيم [الموجة المنكسرة الحرجة](#ex-g11-seismic-structure-sp) ؛ ميلاهما $1/v_1$ و $1/v_2$ .
3. مدّ مستقيم [الموجة المنكسرة الحرجة](#ex-g11-seismic-structure-sp) إلى الوراء حتى محور الزمن: فيقطعه عند [زمن التقاطع](#prop-g11-seismic-structure-head-wave) $t_i$ .
4. بما أن $\sin i_c = v_1/v_2$ ، فسمك القشرة هو $h = \dfrac{v_1\,t_i}{2\cos i_c}$ .

**مثال 11.10 (قشرة سمكها 30 km30\,\mathrm{km}30km).**

مع $v_1 = 6.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ و$v_2 = 8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$، يكون $\sin i_c = 0.765$، و$i_c \approx 49.9{}^{\circ}$ و$\cos i_c \approx 0.644$. وزمن تقاطع قدره $6.23\,\mathrm{s}$ يعطي $h = 6.2 \times 6.23/(2 \times 0.644) \approx
30\,\mathrm{km}$. وتصل [الموجة المنكسرة الحرجة](#ex-g11-seismic-structure-sp) إلى السطح أول مرة عند $2h\tan i_c \approx 71\,\mathrm{km}$ وتسبق الموجة المباشرة فيما وراء $x_c = 60\sqrt{14.3/1.9} \approx 165\,\mathrm{km}$.

إذا قيس [الموهو](#def-g11-seismic-structure-moho) بهذه الطريقة في أنحاء العالم كله، وُجد أنه لا يقع إلا على عمق نحو $5\,\mathrm{km}$ تحت قاع المحيطات. أما تحت القارات فيقع على عمق نحو $41\,\mathrm{km}$ في المتوسط: نحو $30\,\mathrm{km}$ حيث مُطّت القشرة، وأكثر من $45\,\mathrm{km}$ تحت الأحزمة الجبلية، وحتى نحو $100\,\mathrm{km}$ تحت أعلى السلاسل. فالقشرة جلد رقيق: حتى $41\,\mathrm{km}$ أقل من واحد في المئة من نصف قطر الأرض.

## 11.3 اللب

### 11.3.1 أشعة تنحني

تزداد سرعة الموجات الزلزالية في الوشاح مع العمق. فالشعاع الهابط يعبر صخرًا أسرع فأسرع، فينحرف، بحسب قانون سنيل، مبتعدًا قليلًا عن الرأسي عند كل خطوة: فينحني مساره ويرتد صاعدًا نحو السطح. وكلما كان ارتداد الشعاع أعمق، عاد إلى السطح أبعد عن الزلزال. ويبيّن الشكل أشعة كهذه، محسوبة بسرعات [النموذج المرجعي للأرض](#def-g11-seismic-structure-reference-model).

![أشعة من زلزال في أعلى الأرض، محسوبة بسرعات النموذج المرجعي. في اليمين: أشعة P ترتد في الوشاح، حتى نحو 99، وأشعة P تعبر اللب وتخرج فيما وراء نحو 144؛ وبينهما لا يصل أي شعاع P مباشرة. في اليسار: أشعة S، التي ترتد في الوشاح؛ ولا يعبر أي منها اللب الخارجي السائل، ولا تصل أي موجة S مباشرة إلى ما وراء نحو 103.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g11-seismic-structure/fig-db625d792c90.svg)

*أشعة من زلزال في أعلى الأرض، محسوبة بسرعات النموذج المرجعي. في اليمين: أشعة P ترتد في الوشاح، حتى نحو $99{}^{\circ}$، وأشعة P تعبر اللب وتخرج فيما وراء نحو $144{}^{\circ}$؛ وبينهما لا يصل أي شعاع P مباشرة. في اليسار: أشعة S، التي ترتد في الوشاح؛ ولا يعبر أي منها اللب الخارجي السائل، ولا تصل أي [موجة S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) مباشرة إلى ما وراء نحو $103{}^{\circ}$.*

### 11.3.2 منطقة الظل واللب الخارجي السائل

في عام 1906 لاحظ عالم الزلازل أولدهام أن [الموجات P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) المسجلة على الجانب البعيد من الأرض عن الزلزال تصل متأخرة عن الأزمنة المتوقعة، فاقترح لبًّا مركزيًا تنتقل فيه أبطأ. وفي عام 1912 بيّن غوتنبرغ أن [الموجات P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) لا تصل إلى نطاق كامل من المسافات، بين نحو $105{}^{\circ}$ و$143{}^{\circ}$، مع وصول قوي فيما وراء $143{}^{\circ}$ مباشرة؛ وفي عام 1914 حدّد أعلى اللب على عمق $2900\,\mathrm{km}$.

**تعريف 11.11 (منطقة الظل).**

*منطقة الظل* لموجة زلزالية هي مدى المسافات المركزية الذي لا تستطيع الموجة بلوغه مباشرة من الزلزال، لأن اللب يحرفها عنه أو يوقفها.

تفسرها الأشعة. فأشعة P التي ترتد فوق اللب مباشرة تعود صاعدة على بعد نحو $100{}^{\circ}$ من الزلزال. والشعاع الذي يهبط أشد انحدارًا قليلًا يدخل اللب، حيث تهبط سرعة [الموجة P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) فجأة من $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ إلى نحو $8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: فينحرف، بحسب قانون سنيل، *نحو* الرأسي، ويعبر اللب ويخرج أبعد بكثير، فيما وراء نحو $144{}^{\circ}$. ولا يحط بينهما أي شعاع P يرتد في الوشاح ولا أي شعاع P يعبر اللب. وفي النموذج المرجعي تمتد منطقة ظل [الموجات P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) من $98.5{}^{\circ}$ إلى $143.8{}^{\circ}$، قريبًا من قيمتي غوتنبرغ $105{}^{\circ}$–$143{}^{\circ}$.

وتخبرنا [الموجات S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) بأكثر من ذلك. فلا تعبر أي [موجة S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) اللب الخارجي: إن اللب الخارجي لا ينقل موجات القص، فهو إذن سائل. ونتيجة لذلك لا تصل أي [موجة S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) مباشرة فيما وراء نحو $103{}^{\circ}$ في النموذج المرجعي — أي على الجانب البعيد كله من الأرض.

**تعريف 11.12 (الحد بين اللب والوشاح؛ حد اللب الداخلي).**

*الحد بين اللب والوشاح* هو [الانقطاع الزلزالي](#def-g11-seismic-structure-discontinuity) بين الوشاح الصلب واللب الخارجي السائل، على عمق $2891\,\mathrm{km}$؛ وعنده تهبط سرعة [الموجة P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) من نحو $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ إلى نحو $8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$، وتتوقف [الموجات S](#def-g11-seismic-structure-body-waves). أما *حد اللب الداخلي*، على عمق $5150\,\mathrm{km}$، فيفصل اللب الخارجي السائل عن اللب الداخلي الصلب؛ وعنده تقفز سرعة [الموجة P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) من نحو $10.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ إلى نحو $11.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

ليست [منطقة الظل](#def-g11-seismic-structure-shadow-zone) صامتة تمامًا: [فموجات P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) ضعيفة تصل إليها. وقد فسّرتها إنغه ليمان عام 1936 بلب داخلي صلب تنتقل فيه [الموجات P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) أسرع (الكتاب 1، الصف 6). وتبيّن الأشعة كيف. فشعاع P الذي يبلغ اللب الداخلي ينحرف مبتعدًا عن الرأسي حيث تقفز السرعة صعودًا، كما عند [الموهو](#def-g11-seismic-structure-moho)، فيخرج من اللب أبكر: ففي النموذج المرجعي تبلغ الأشعة العابرة للب الداخلي السطح ابتداءً من نحو $121{}^{\circ}$، داخل [منطقة الظل](#def-g11-seismic-structure-shadow-zone) (المنحنى المنقّط في شكل [أزمنة الانتقال](#def-g11-seismic-structure-travel-time)).

## 11.4 نموذج مرجعي للأرض

إذا جُمعت ملايين [أزمنة الانتقال](#def-g11-seismic-structure-travel-time) أعطت سرعة [الموجات P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) وS عند كل عمق. وسرعاتها تتوقف على الصخر وعلى كثافته، والكتلة الكلية للأرض تحدد متوسط كثافتها؛ فيعطيان معًا الكثافة عند كل عمق أيضًا.

**تعريف 11.13 (النموذج المرجعي للأرض).**

*النموذج المرجعي للأرض* جدول لسرعة [الموجات P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) وسرعة [الموجات S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) والكثافة بدلالة العمق، متماثل في كل الاتجاهات، يُختار ليتفق مع [أزمنة الانتقال](#def-g11-seismic-structure-travel-time) المرصودة للموجات الزلزالية ومع كتلة الأرض.

وأكثرها استعمالًا النموذج المرجعي الأولي للأرض (PREM)، الذي نشره أ. م. جيفونسكي ود. ل. أندرسون عام 1981. وقد حُسبت به أشعة هذا الفصل وأزمنة انتقاله: [فزمن انتقال](#def-g11-seismic-structure-travel-time) [الموجة P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) عند $60{}^{\circ}$، مثلًا، يخرج $607\,\mathrm{s}$، مقابل $608\,\mathrm{s}$ مرصودة.

![سرعتا الموجات P وS والكثافة بدلالة العمق في النموذج المرجعي الأولي للأرض (جيفونسكي وأندرسون، 1981). وتعلّم الخطوط المنقطة الانقطاعات الرئيسية تحت الموهو، الذي هو أقرب إلى السطح من أن يظهر بهذا المقياس.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g11-seismic-structure/fig-abf7f194b3ee.svg)

*سرعتا [الموجات P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) وS والكثافة بدلالة العمق في النموذج المرجعي الأولي للأرض (جيفونسكي وأندرسون، 1981). وتعلّم الخطوط المنقطة الانقطاعات الرئيسية تحت [الموهو](#def-g11-seismic-structure-moho)، الذي هو أقرب إلى السطح من أن يظهر بهذا المقياس.*

بقراءة النموذج من الأعلى:

- القشرة، بسرعات [للموجات P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) من 5.8 إلى $6.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ، تنتهي عند [الموهو](#def-g11-seismic-structure-moho) ( $24.4\,\mathrm{km}$ في هذا النموذج المتوسط)؛
- في الوشاح ترتفع السرعات مع العمق، مع قفزات مفاجئة أصغر، أكبرها قرب $400\,\mathrm{km}$ و $670\,\mathrm{km}$ ؛
- عند $2891\,\mathrm{km}$ تهبط سرعة [الموجات S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) إلى الصفر وتنخفض سرعة [الموجات P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) بأكثر من $5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : إنه اللب الخارجي السائل؛
- عند $5150\,\mathrm{km}$ تعود [الموجات S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) إلى الوجود: إنه اللب الداخلي الصلب، ونصف قطره $1220\,\mathrm{km}$ .

ترتفع الكثافة من $2.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ في القشرة إلى $5.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ عند قاعدة الوشاح، ثم تقفز إلى $9.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ عند أعلى اللب وتبلغ $13.1\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ في المركز. ومتوسط كثافة النموذج كله $5.5\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$، أي ضعف كثافة صخور القشرة: فالباطن العميق، واللب قبل كل شيء، مصنوع من مادة أكثف بكثير من مادة السطح. ويحوي اللب نحو ثلث كتلة الأرض.

## 11.5 تمارين

**تمرين 11.1 ★.**

اذكر فرقين بين [الموجات P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) [والموجات S](#def-g11-seismic-structure-body-waves). أيهما يسجلها مقياس الزلازل أولًا، ولماذا؟

**حل التمرين 11.1.**

[الموجة P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) تضغط الصخر وتمطه، فيتحرك على امتداد اتجاه الانتقال؛ أما [الموجة S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) فتقصه، فيتحرك الصخر عموديًا على ذلك الاتجاه. وتعبر [الموجات P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) الأجسام الصلبة والسوائل؛ أما [الموجات S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) فلا تعبر إلا الأجسام الصلبة. وتُسجَّل [الموجة P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) أولًا لأنها الأسرع بين الاثنتين.

**تمرين 11.2 ★.**

تقع محطة على بعد $40{}^{\circ}$ من مركز سطحي. فما بعدها مقيسًا على امتداد السطح؟ وكم درجة تبعد محطة تقع على $8900\,\mathrm{km}$ من مركز سطحي؟

**حل التمرين 11.2.**

$40 \times 111.2 = 4448\,\mathrm{km}$، أي نحو $4450\,\mathrm{km}$. و$8900/111.2
\approx 80{}^{\circ}$.

**تمرين 11.3 ★.**

[أزمنة الانتقال](#def-g11-seismic-structure-travel-time) المرصودة عند $40{}^{\circ}$ هي $456\,\mathrm{s}$ [للموجة P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) و$822\,\mathrm{s}$ [للموجة S](#def-g11-seismic-structure-body-waves). حوّلها إلى دقائق وثوانٍ، وأعط التأخر S–P.

**حل التمرين 11.3.**

$456\,\mathrm{s}$ تساوي 7 دقائق و36 ثانية؛ و$822\,\mathrm{s}$ تساوي 13 دقيقة و42 ثانية. والتأخر S–P هو $822 - 456 = 366\,\mathrm{s}$، أي 6 دقائق و6 ثوانٍ.

**تمرين 11.4 ★.**

تقع قشرة تنتقل فيها [الموجات P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) بسرعة $6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ على وشاح تنتقل فيه بسرعة $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. احسب [الزاوية الحدية](#ex-g11-seismic-structure-sp).

**حل التمرين 11.4.**

$\sin i_c = 6.0/8.0 = 0.75$، إذن $i_c \approx 48.6{}^{\circ}$.

**تمرين 11.5 ★.**

في النموذج المرجعي يقع [الحد بين اللب والوشاح](#def-g11-seismic-structure-core) على عمق $2891\,\mathrm{km}$، [وحد اللب الداخلي](#def-g11-seismic-structure-core) على عمق $5150\,\mathrm{km}$؛ ونصف قطر الأرض $6371\,\mathrm{km}$. احسب سمك اللب الخارجي، ونصف قطر اللب، ونصف قطر اللب كسرًا من نصف قطر الأرض.

**حل التمرين 11.5.**

سمك اللب الخارجي $5150 - 2891 = 2259\,\mathrm{km}$. ونصف قطر اللب $6371 - 2891 = 3480\,\mathrm{km}$، و$3480/6371 \approx 0.55$: أي أكثر بقليل من نصف نصف قطر الأرض.

**تمرين 11.6 ★★.**

التأخرات S–P المرصودة هي $224\,\mathrm{s}$ عند $20{}^{\circ}$، و$298\,\mathrm{s}$ عند $30{}^{\circ}$، و$366\,\mathrm{s}$ عند $40{}^{\circ}$، و$431\,\mathrm{s}$ عند $50{}^{\circ}$، و$493\,\mathrm{s}$ عند $60{}^{\circ}$. وتسجل محطة [موجة S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) بعد [الموجة P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) بمقدار 6 دقائق و6 ثوانٍ. فما بعد الزلزال، بالدرجات وبالكيلومترات؟ ولماذا لا تستطيع محطة واحدة أن تحدد مكان الزلزال؟

**حل التمرين 11.6.**

6 دقائق و6 ثوانٍ تساوي $366\,\mathrm{s}$: فالزلزال على بعد $40{}^{\circ}$، أي $40 \times 111.2 \approx 4450\,\mathrm{km}$. والتأخر الواحد لا يعطي إلا المسافة: فقد يقع المركز السطحي في أي نقطة من دائرة بهذا نصف القطر حول المحطة. ويلزم محطتان أخريان لإيجاد النقطة الوحيدة الواقعة على البعد الصحيح من الثلاث كلها.

**تمرين 11.7 ★★.**

بسرعتي [التمرين 11.4](#exo-g11-seismic-structure-4) وقشرة سمكها $35\,\mathrm{km}$، احسب [زمني انتقال](#def-g11-seismic-structure-travel-time) الموجة المباشرة [والموجة المنكسرة الحرجة](#ex-g11-seismic-structure-sp) عند محطة على بعد $200\,\mathrm{km}$ من المركز السطحي. أيهما تصل أولًا؟

**حل التمرين 11.7.**

$i_c \approx 48.6{}^{\circ}$ و$\cos i_c \approx 0.661$. الموجة المباشرة: $200/6.0
\approx 33.3\,\mathrm{s}$. [الموجة المنكسرة الحرجة](#ex-g11-seismic-structure-sp): $200/8.0 + 2 \times 35 \times 0.661/6.0
\approx 25.0 + 7.7 = 32.7\,\mathrm{s}$. [فالموجة المنكسرة الحرجة](#ex-g11-seismic-structure-sp) تصل أولًا، أبكر بنحو $0.6\,\mathrm{s}$.

**تمرين 11.8 ★★.**

لقشرة [التمرين 11.7](#exo-g11-seismic-structure-7)، احسب المسافة الحرجة $2h\tan i_c$ [ومسافة العبور](#prop-g11-seismic-structure-crossover). وتحقق من أن جواب [التمرين 11.7](#exo-g11-seismic-structure-7) يتفق معهما.

**حل التمرين 11.8.**

$\tan i_c \approx 1.134$: فالمسافة الحرجة $2 \times 35 \times 1.134
\approx 79\,\mathrm{km}$. [ومسافة العبور](#prop-g11-seismic-structure-crossover) $2 \times 35 \times
\sqrt{14.0/2.0} = 70\sqrt 7 \approx 185\,\mathrm{km}$. ومحطة [التمرين 11.7](#exo-g11-seismic-structure-7) تقع عند $200\,\mathrm{km}$، فيما وراء [مسافة العبور](#prop-g11-seismic-structure-crossover): [فالموجة المنكسرة الحرجة](#ex-g11-seismic-structure-sp) تصل أولًا، كما وجدنا.

**تمرين 11.9 ★★.**

تحت محيط، تقع قشرة سمكها $6\,\mathrm{km}$، تنتقل فيها [الموجات P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) بسرعة $6.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$، على وشاح سرعته $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. احسب [الزاوية الحدية](#ex-g11-seismic-structure-sp)، [وزمن التقاطع](#prop-g11-seismic-structure-head-wave)، [ومسافة العبور](#prop-g11-seismic-structure-crossover). ولماذا يجب أن تكون المحطات أقرب بعضها إلى بعض بكثير لتحديد [الموهو](#def-g11-seismic-structure-moho) تحت محيط منها تحت قارة؟

**حل التمرين 11.9.**

$\sin i_c = 6.5/8.0 = 0.8125$، و$i_c \approx 54.3{}^{\circ}$ و$\cos i_c \approx
0.583$. [زمن التقاطع](#prop-g11-seismic-structure-head-wave): $2 \times 6 \times 0.583/6.5 \approx 1.1\,\mathrm{s}$. [مسافة العبور](#prop-g11-seismic-structure-crossover): $12\sqrt{14.5/1.5} \approx 37\,\mathrm{km}$. تحت قارة تقع [مسافة العبور](#prop-g11-seismic-structure-crossover) قرب $165\,\mathrm{km}$، فتلتقط محطات تفصل بينها بضع عشرات من الكيلومترات المستقيمين كليهما؛ أما تحت المحيط فتصل [الموجة المنكسرة الحرجة](#ex-g11-seismic-structure-sp) أولًا منذ نحو $37\,\mathrm{km}$، ولا يتجاوز طول مستقيم الموجة المباشرة بضع عشرات من الكيلومترات: فيجب أن تفصل بين المحطات بضعة كيلومترات لرسمه.

**تمرين 11.10 ★★.**

يلتقي شعاع P في أسفل الوشاح، حيث ينتقل بسرعة $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$، [بالحد بين اللب والوشاح](#def-g11-seismic-structure-core) بزاوية $30{}^{\circ}$ عن العمودي. وتحت الحد تكون سرعة [الموجة P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) $8.06\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. احسب زاوية الشعاع المنكسر. هل ينحرف الشعاع نحو العمودي أم مبتعدًا عنه؟ واستعمل ذلك لتفسير خروج أشعة P التي تدخل اللب بعيدًا عن الزلزال.

**حل التمرين 11.10.**

$\sin r = (8.06/13.7)\sin30{}^{\circ} \approx 0.294$، إذن $r \approx 17.1{}^{\circ}$: ينحرف الشعاع نحو العمودي، أي نحو مركز الأرض. ولذلك يعبر اللب على مسار طويل قريب من وسطه، ويخرج بعيدًا في الجهة الأخرى: فأشعة P التي تدخل اللب تخرج أبعد بكثير عن الزلزال من الأشعة التي تخطئه بقليل.

**تمرين 11.11 ★★.**

في النموذج المرجعي، تستغرق [موجة P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) تهبط مستقيمة عبر المركز $1210\,\mathrm{s}$ لتبلغ النقطة المقابلة من الأرض. فكم كانت ستستغرق لو قطعت القطر كله ($12\,742\,\mathrm{km}$) بسرعة $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$، وهي سرعة [الموجة P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) عند قاعدة الوشاح؟ وماذا استنتج أولدهام من تأخرات كهذه؟

**حل التمرين 11.11.**

$12\,742/13.7 \approx 930\,\mathrm{s}$، أي نحو 15.5 دقيقة، في حين تستغرق الموجة $1210\,\mathrm{s}$، أي نحو 20 دقيقة: فهي متأخرة بنحو 280 ثانية. فحتى بأعلى سرعة في الوشاح كانت الموجة ستصل أبكر بكثير، فلا بد أن وسط الأرض يبطئها. وقد استنتج أولدهام أن للأرض لبًّا مركزيًا تنتقل فيه [الموجات P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) أبطأ منها في الوشاح.

**تمرين 11.12 ★★★.**

(1) انطلاقًا من [القضية 11.6](#prop-g11-seismic-structure-head-wave)، بيّن أن سمك القشرة هو

$$
h = \frac{t_i\,v_1 v_2}{2\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}.
$$

(2) طبّقها على $t_i = 6.23\,\mathrm{s}$ و$v_1 = 6.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ و$v_2 = 8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**حل التمرين 11.12.**

(1) بحسب المبرهنة، $t_i = 2h\cos i_c/v_1$، و$\cos i_c = \sqrt{1 -
v_1^2/v_2^2} = \sqrt{v_2^2 - v_1^2}/v_2$. إذن

$$
t_i = \frac{2h\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}{v_1 v_2},
  \qquad\text{ومن ثم}\qquad
  h = \frac{t_i\,v_1 v_2}{2\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}.
$$

(2) $h = 6.23 \times 6.2 \times 8.1/\bigl(2\sqrt{65.61 -
38.44}\bigr) \approx 312.9/10.43 \approx 30.0\,\mathrm{km}$.

**تمرين 11.13 ★★★.**

متوسط كثافة الأرض $5.52\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$. عامل الأرض كأنها لب نصف قطره $3480\,\mathrm{km}$ وكثافته منتظمة $\rho_c$، داخل وشاح وقشرة كثافتهما منتظمة $4.45\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ (متوسط النموذج المرجعي). (1) ما الكسر الذي يمثله اللب من حجم الأرض؟ (2) احسب $\rho_c$. (3) قارنها بالكثافة عند أعلى اللب في النموذج المرجعي، $9.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$، وبكثافة القشرة.

**حل التمرين 11.13.**

(1) $(3480/6371)^3 \approx 0.163$: فاللب نحو $16\,\%$ من الحجم. (2) متوسط الكثافة هو المتوسط المرجّح بالحجوم: $5.52 = 0.163
\rho_c + 0.837 \times 4.45$، إذن $\rho_c \approx (5.52 - 3.72)/0.163 \approx
11.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$. (3) وهذا أكثر من $9.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$، كما ينبغي أن يكون، لأن كثافة اللب تزداد نحو المركز (حتى $13.1\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$)؛ وهي نحو أربعة أضعاف كثافة القشرة، $2.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$. فاللب مصنوع من مادة أكثف بكثير من صخور السطح.

**تمرين 11.14 ★★★.**

تمتد منطقة ظل [الموجات P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) عند غوتنبرغ من $105{}^{\circ}$ إلى $143{}^{\circ}$. (1) أعط حديها بالكيلومترات على امتداد السطح. (2) على الكرة، المساحة الواقعة بين البعدين الزاويين $a$ و$b$ عن نقطة هي الكسر $(\cos a - \cos
b)/2$ من السطح كله. فما الكسر من سطح الأرض الذي لا تصله أي [موجة P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) مباشرة من زلزال معين؟ (3) لماذا يكون لكل زلزال منطقة ظله الخاصة؟

**حل التمرين 11.14.**

(1) $105 \times 111.2 \approx 11\,700\,\mathrm{km}$ و$143 \times 111.2 \approx
15\,900\,\mathrm{km}$. (2) $(\cos105{}^{\circ} - \cos143{}^{\circ})/2 \approx (-0.259 +
0.799)/2 \approx 0.27$: أي نحو $27\,\%$ من السطح، على هيئة حلقة حول النقطة المقابلة للزلزال. (3) [منطقة الظل](#def-g11-seismic-structure-shadow-zone) مدى من المسافات عن المركز السطحي: فهي تتحرك مع الزلزال. ولكل زلزال حلقته الخاصة.

**تمرين 11.15 ★★★.**

تحت سلسلة جبلية عالية، يجد مسح بالانكسار أن $v_1 =
6.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ و$v_2 = 8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ [وزمن التقاطع](#prop-g11-seismic-structure-head-wave) $9.5\,\mathrm{s}$. (1) احسب سمك القشرة هناك. (2) ما [زمن التقاطع](#prop-g11-seismic-structure-head-wave) الذي تعطيه قشرة سمكها $30\,\mathrm{km}$ بالسرعتين نفسيهما؟ (3) قارن بمتوسط سمك القشرة القارية.

**حل التمرين 11.15.**

(1) $h = 9.5 \times 6.3 \times 8.1/\bigl(2\sqrt{65.61 - 39.69}\bigr) \approx
484.8/10.18 \approx 48\,\mathrm{km}$. (2) $\sin i_c = 6.3/8.1 \approx 0.778$، و$\cos i_c \approx 0.629$، و$t_i = 2 \times 30 \times 0.629/6.3 \approx
6.0\,\mathrm{s}$. (3) سمك القشرة تحت السلسلة نحو $48\,\mathrm{km}$، أي أسمك من المتوسط القاري البالغ نحو $41\,\mathrm{km}$، وقريب من متوسط الأحزمة الجبلية: فالسلاسل العالية تقوم على قشرة سميكة.

## 11.6 مسألة: البحث عن الموهو

**مسألة 11.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — عمق القشرة من خمس عشرة محطة

يقع زلزال صغير على عمق ضحل جدًا تحت قارة. وتسجل خمس عشرة محطة مصفوفة على خط مستقيم انطلاقًا من المركز السطحي أزمنة وصول أول [موجة P](#def-g11-seismic-structure-body-waves)، وكذلك، حيث يمكن قراءتها، أزمنة وصول موجة ثانية. القراءات أدناه مختلقة، لكنها محسوبة كما كان سيجدها مسح حقيقي، بدقة عُشر الثانية. والموجة Pg هي الموجة التي تنتقل عبر القشرة، والموجة Pn هي التي جرت على امتداد أعلى الوشاح.

| البعد ($\mathrm{km}$) | Pg ($\mathrm{s}$) | Pn ($\mathrm{s}$) | البعد ($\mathrm{km}$) | Pg ($\mathrm{s}$) | Pn ($\mathrm{s}$) |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 20 | 3.3 | — | 180 | 29.0 | 28.5 |
| 40 | 6.5 | — | 200 | 32.3 | 30.9 |
| 60 | 9.7 | — | 220 | — | 33.3 |
| 80 | 12.8 | 16.2 | 240 | — | 35.8 |
| 100 | 16.1 | 18.6 | 260 | — | 38.3 |
| 120 | 19.3 | 21.1 | 280 | — | 40.8 |
| 140 | 22.6 | 23.6 | 300 | — | 43.2 |
| 160 | 25.8 | 26.0 |  |  |  |

**الجزء الأول — الموجة المباشرة.**

1. على ورق بياني، ارسم زمني Pg وPn بدلالة البعد ( $1\,\mathrm{cm}$ لكل $20\,\mathrm{km}$ ولكل $5\,\mathrm{s}$ ). كيف تقع نقاط Pg؟
2. لماذا يمر مستقيم Pg قريبًا من الأصل؟
3. باستعمال المحطتين عند 20 و $200\,\mathrm{km}$ ، احسب ميل مستقيم Pg بالثواني لكل كيلومتر.
4. استنتج سرعة [الموجات P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) في القشرة $v_1$ .
5. لو امتدت القشرة، فمتى كانت الموجة Pg ستصل إلى المحطة الواقعة عند $300\,\mathrm{km}$ ؟

**الجزء الثاني — الموجة المنكسرة.**

6. باستعمال المحطتين عند 100 و $300\,\mathrm{km}$ ، احسب ميل مستقيم Pn وسرعة [الموجات P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) تحت القشرة $v_2$ .
7. قارن $v_2$ بسرعة الموجة Pn التي قاسها موهوروفيتشيتش، نحو $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . ما الصخر الذي يقع تحت القشرة؟
8. احسب [الزاوية الحدية](#ex-g11-seismic-structure-sp) $i_c$ .
9. لا تسجل أي محطة أقرب من $80\,\mathrm{km}$ موجة Pn. باستعمال [القضية 11.6](#prop-g11-seismic-structure-head-wave) ، فسّر لماذا توجد مسافة دنيا يمكن عندها تسجيل [الموجة المنكسرة الحرجة](#ex-g11-seismic-structure-sp) .
10. بين 80 و $160\,\mathrm{km}$ تصل Pn بعد Pg. فلماذا تظل مسجلة؟

**الجزء الثالث — العبور.**

11. من الجدول، بين أي محطتين تتحول الموجة الأولى وصولًا من Pg إلى Pn؟
12. اكتب معادلتي المستقيمين، باستعمال النقطتين عند $20\,\mathrm{km}$ (Pg) و $100\,\mathrm{km}$ (Pn).
13. احسب المسافة التي يتقاطع عندها المستقيمان.
14. فيما وراء $200\,\mathrm{km}$ لا تسجل أي محطة Pg موجةً منفصلة. فأي موجة تسجلها أولًا محطة على بعد $250\,\mathrm{km}$ ، ومتى؟

**الجزء الرابع — عمق الموهو.**

15. مدّ مستقيم Pn إلى الوراء حتى محور الزمن: ما [زمن التقاطع](#prop-g11-seismic-structure-head-wave) $t_i$ ؟
16. احسب $\cos i_c$ ، وسمك القشرة $h$ بطريقة [الطريقة 11.9](#met-g11-seismic-structure-moho) .
17. تحقق: بقيمة $h$ هذه، احسب [مسافة العبور](#prop-g11-seismic-structure-crossover) بواسطة [القضية 11.7](#prop-g11-seismic-structure-crossover) وقارن بنتيجة السؤال 13.
18. تحقق مرة أخرى: احسب المسافة الحرجة $2h\tan i_c$ وقارنها بأقرب محطة تسجل Pn.
19. يعطي علماء الزلازل $h$ بدقة بضعة كيلومترات فقط. فلماذا لا تُسوَّغ قيمة أدق؟
20. استنتج: على أي عمق يقع [الموهو](#def-g11-seismic-structure-moho) تحت هذه المنطقة؟ وهل القشرة هنا رقيقة أم سميكة بالنسبة إلى قارة؟

**حل المسألة 11.1.**

**1.** تقع نقاط Pg على مستقيم؛ وتقع نقاط Pn على مستقيم آخر أقل انحدارًا.

**2.** الزلزال على عمق ضحل جدًا تحت المركز السطحي: فالمحطة الواقعة على مسافة صفر كانت ستسجل الموجة فورًا.

**3.** $(32.3 - 3.3)/(200 - 20) = 29.0/180 \approx 0.161$ $\mathrm{s}$ لكل كيلومتر.

**4.** $v_1 = 180/29.0 \approx 6.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**5.** $3.3 + 280 \times 0.161 \approx 48.4\,\mathrm{s}$.

**6.** $(43.2 - 18.6)/(300 - 100) = 24.6/200 = 0.123$ $\mathrm{s}$ لكل كيلومتر، إذن $v_2 = 200/24.6 \approx 8.13\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**7.** إنها قريبة من $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: فتحت القشرة يقع صخر أعلى الوشاح.

**8.** $\sin i_c = 6.21/8.13 \approx 0.763$، إذن $i_c \approx
49.8{}^{\circ}$.

**9.** تهبط [الموجة المنكسرة الحرجة](#ex-g11-seismic-structure-sp) بالزاوية $i_c$ وتصعد بالزاوية نفسها. وأول نقطة يمكنها أن تعود فيها إلى السطح تقع على بعد $h\tan i_c$ وراء النقطة التي بلغت فيها [الموهو](#def-g11-seismic-structure-moho)، وهذه نفسها على بعد $h\tan i_c$ من المصدر: فلا تستطيع أي محطة أقرب من $2h\tan i_c$ أن تتلقاها.

**10.** يسجل مقياس الزلازل كل موجة تبلغه، لا الأولى وحدها؛ فالموجة Pn تصل بعد الموجة Pg لكنها تظل مرئية موجةً منفصلة على السجل.

**11.** عند $160\,\mathrm{km}$ تسبق Pg ($25.8\,\mathrm{s}$) الموجة Pn ($26.0\,\mathrm{s}$)؛ وعند $180\,\mathrm{km}$ تسبق Pn ($28.5\,\mathrm{s}$) الموجة Pg ($29.0\,\mathrm{s}$). فالتحول يحدث بين هاتين المحطتين.

**12.** Pg: $t = 3.3 + 0.1611\,(x - 20) \approx 0.08 + 0.1611\,x$. وPn: $t = 18.6 + 0.123\,(x - 100) = 6.30 + 0.123\,x$ ($x$ بالكيلومترات، و$t$ بالثواني).

**13.** $0.08 + 0.1611\,x = 6.30 + 0.123\,x$ يعطي $x \approx
6.22/0.0381 \approx 163\,\mathrm{km}$.

**14.** الموجة Pn، بعد $6.30 + 0.123 \times 250 \approx 37.1\,\mathrm{s}$.

**15.** $t_i \approx 6.3\,\mathrm{s}$.

**16.** $\cos i_c \approx 0.646$، إذن $h = 6.21 \times 6.3/(2 \times
0.646) \approx 30.3\,\mathrm{km}$.

**17.** $x_c = 2 \times 30.3 \times \sqrt{14.34/1.92} \approx 60.6 \times
2.73 \approx 165\,\mathrm{km}$، أي في حدود $2\,\mathrm{km}$ من قيمة $163\,\mathrm{km}$ في السؤال 13.

**18.** $\tan i_c \approx 1.18$: $2 \times 30.3 \times 1.18 \approx
72\,\mathrm{km}$. وأقرب محطة تسجل Pn تقع عند $80\,\mathrm{km}$، والمحطة الواقعة عند $60\,\mathrm{km}$ لا تسجلها: فالنتيجتان متفقتان.

**19.** تُقرأ الأزمنة بدقة $0.1\,\mathrm{s}$، والخطأ بمقدار $0.1\,\mathrm{s}$ في $t_i$ وحده يغيّر $h$ بنحو $0.5\,\mathrm{km}$؛ والسرعتان، المأخوذتان من الميلين، غير يقينيتين أيضًا، ولم يكن الزلزال عند السطح تمامًا. ثم إن القشرة ليست متجانسة تمامًا. فدقة كيلومتر أو اثنين هي أقصى ما تسمح به البيانات.

**20.** **يقع [الموهو](#def-g11-seismic-structure-moho) على عمق نحو $30\,\mathrm{km}$ تحت هذه المنطقة**: فالقشرة هنا رقيقة نسبيًا بالنسبة إلى قارة، يبلغ متوسط سمك قشرتها نحو $41\,\mathrm{km}$؛ و$30\,\mathrm{km}$ سمك نموذجي للمناطق التي مُطّت فيها القشرة.