---
title: "Een bewoonbare planeet"
book: "Aard- en ruimtewetenschappen bovenbouw"
subject: earth
language: nl
chapter: 2
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/earth/2/nl/chapter/2-een-bewoonbare-planeet
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# Hoofdstuk 2 — Een bewoonbare planeet

Drie rotsplaneten draaien naast elkaar om de Zon. Aan het oppervlak van Venus is de lucht zo dicht dat ze tweeënnegentig keer harder drukt dan op Aarde, en zo heet — meer dan $460{}^{\circ}\mathrm{C}$ — dat lood er zou smelten. Op Mars drukt de ijle lucht nog geen honderdste zo hard als de onze, en ligt de gemiddelde temperatuur ver onder het vriespunt. Daartussen heeft de Aarde oceanen, regen en leven. De drie planeten zijn ontstaan uit dezelfde schijf van gas en stof rond de jonge Zon, uit grotendeels hetzelfde gesteente. Waarom dan zo’n verschillend lot? Dit hoofdstuk bekijkt wat de temperatuur van een planeet bepaalt, waardoor ze een atmosfeer kan vasthouden, onder welke voorwaarden water vloeibaar kan zijn, en waar, rond de Zon en rond andere sterren, zulke voorwaarden te vinden zijn.

![Venus, gezien door de ruimtesonde Mariner 10 in 1974, in kleuren die dicht bij wat het oog zou zien liggen: een planeet die helemaal in wolken is gehuld. Beeld: NASA/JPL-Caltech (publiek domein).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g10-habitable-planet/img-f75ffd1dd6ad.jpg)

*Venus, gezien door de ruimtesonde Mariner 10 in 1974, in kleuren die dicht bij wat het oog zou zien liggen: een planeet die helemaal in wolken is gehuld. Beeld: NASA/JPL-Caltech (publiek domein).*

**Wat je al weet.**

De Zon is een ster; om haar heen draaien de vier rotsplaneten Mercurius, Venus, de Aarde en Mars, en daarna de vier reuzenplaneten, in bijna cirkelvormige banen (de natuurkundeboeken en Boek 1). Elk lichaam straalt energie uit als licht, des te meer naarmate zijn temperatuur stijgt, bij de temperaturen van planeten vooral als infrarood licht (de natuurkundeboeken). Broeikasgassen — waterdamp, koolstofdioxide, methaan — absorberen een deel van het infrarood dat een oppervlak uitzendt en houden het warmer (de scheikundeboeken). Water bestaat als ijs, vloeibaar water en waterdamp; druk is een kracht per oppervlakte-eenheid, gemeten in pascal (de natuurkundeboeken).

## 2.1 De temperatuur die de ster oplegt

De Zon zendt haar licht gelijkmatig in alle richtingen uit. Op een afstand $d$ is haar vermogen $L$ (haar *lichtkracht*) verdeeld over een bol met oppervlakte $4\pi d^2$.

**Propositie 2.1 (De omgekeerd-kwadratenwet van het zonlicht).**

Het vermogen dat per vierkante meter loodrecht op de zonnestralen wordt ontvangen, de *bestralingssterkte* van de Zon, is op een afstand $d$ van de Zon

$$
S = \frac{L}{4\pi d^2}.
$$

Op de afstand van de Aarde, $1\,\mathrm{au}$, is $S_0 = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; op een afstand $d$ gemeten in astronomische eenheden is $S = S_0/d^2$.

**Bewijs.** In de lege ruimte gaat geen licht verloren, dus het hele vermogen $L$ gaat door elke bol met de Zon als middelpunt; op een bol met straal $d$ wordt het verdeeld over $4\pi d^2$ vierkante meter. Verdubbelt $d$, dan wordt de oppervlakte vier keer zo groot en $S$ vier keer zo klein. ∎

![Het licht dat op afstand d door één vierkant gaat, is op afstand 2d verdeeld over vier even grote vierkanten: de bestralingssterkte neemt af met het kwadraat van de afstand.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g10-habitable-planet/fig-a3894b8eaa82.svg)

*Het licht dat op afstand $d$ door één vierkant gaat, is op afstand $2d$ verdeeld over vier even grote vierkanten: de bestralingssterkte neemt af met het kwadraat van de afstand.*

Een planeet absorbeert het deel van dit licht dat ze niet weerkaatst, en ze straalt energie uit naar de ruimte als infrarood licht. Absorbeert ze meer dan ze uitstraalt, dan warmt ze op; warmer straalt ze meer uit; ze komt tot rust bij de temperatuur waarbij die twee in evenwicht zijn.

**Definitie 2.2 (Evenwichtstemperatuur).**

De *evenwichtstemperatuur* van een planeet is de temperatuur waarbij een lichaam dat straalt als een perfecte straler, precies het vermogen naar de ruimte zou uitzenden dat de planeet van haar ster absorbeert. Het deel van het invallende licht dat de planeet als geheel weerkaatst, is haar *bondalbedo* $A$.

**Propositie 2.3 (De evenwichtstemperatuur berekenen).**

Voor een planeet die de warmte die ze absorbeert over haar hele oppervlak verdeelt, geldt

$$
T_{\mathrm{eq}} = \left(\frac{S\,(1-A)}{4\sigma}\right)^{1/4},
  \qquad \sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}.
$$

Op de afstand van de Aarde en zonder enige weerkaatsing geeft dit $278.3\,\mathrm{K}$; op een afstand $d$ in astronomische eenheden en met albedo $A$ is $T_{\mathrm{eq}} = 278.3\,\mathrm{K} \times (1-A)^{1/4}/\sqrt{d}$.

**Gedeeltelijk bewijs.** De planeet onderschept zonlicht op een schijf met oppervlakte $\pi R^2$ en absorbeert het vermogen $(1-A)\,S\,\pi R^2$. Ze straalt uit over haar hele oppervlak, $4\pi R^2$. Een perfecte straler met temperatuur $T$ straalt $\sigma T^4$ per vierkante meter uit (een wet die in de natuurkundeboeken wordt bewezen en hier wordt aangenomen). Uit $4\pi R^2 \sigma T^4 = (1-A)\,S\,\pi R^2$ volgt de formule; de straal valt weg. Met $S = S_0/d^2$ is de vierdemachtswortel van $1/d^2$ gelijk aan $1/\sqrt d$. ∎

**Voorbeeld 2.4 (De Aarde).**

Met $S_0 = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ en $A = 0.294$ is $T_{\mathrm{eq}} = 278.3 \times 0.706^{1/4} \approx 255\,\mathrm{K}$, dat is $-18{}^{\circ}\mathrm{C}$. (Het gegevensblad van NASA geeft $254\,\mathrm{K}$.) De gemiddelde temperatuur van het aardoppervlak is $288\,\mathrm{K}$, $15{}^{\circ}\mathrm{C}$: het broeikaseffect van de atmosfeer warmt het met ongeveer $33\,\mathrm{K}$ op. Zonder dat effect zouden de oceanen bevriezen.

![Evenwichtstemperaturen, berekend uit de afstand en het bondalbedo van elk hemellichaam, naast de gemeten gemiddelde temperatuur van hun oppervlak. Gegevens: planetaire gegevensbladen van NASA.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g10-habitable-planet/fig-308c72e37a55.svg)

*Evenwichtstemperaturen, berekend uit de afstand en het bondalbedo van elk hemellichaam, naast de gemeten gemiddelde temperatuur van hun oppervlak. Gegevens: planetaire gegevensbladen van NASA.*

**Opmerking 2.5 (Het diagram lezen).**

Bij Mercurius en Mars, die bijna geen of maar een heel ijle atmosfeer hebben, ligt het gemeten gemiddelde dicht bij de [evenwichtstemperatuur](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature). Bij de Maan ligt het gemiddelde eronder: haar dagen en nachten duren elk ongeveer twee weken, en haar oppervlak schommelt van ongeveer $95\,\mathrm{K}$ tot $390\,\mathrm{K}$, wat de eenvoudige formule, bedoeld voor een planeet die haar warmte gelijkmatig verdeelt, niet beschrijft. Venus is het opvallende geval: met een bondalbedo van 0.77 — haar wolken weerkaatsen het grootste deel van het zonlicht — is haar [evenwichtstemperatuur](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature) lager dan die van de Aarde, en toch is haar oppervlak meer dan $500\,\mathrm{K}$ heter: het broeikaseffect van haar dikke atmosfeer van koolstofdioxide.

## 2.2 Een atmosfeer vasthouden

Een gas bestaat uit moleculen die voortdurend bewegen, des te sneller naarmate het gas heter is. Een molecuul bovenin een atmosfeer dat sneller omhoog beweegt dan de ontsnappingssnelheid van de planeet — de snelheid die nodig is om haar zwaartekracht voorgoed te verlaten (de natuurkundeboeken) — gaat verloren in de ruimte. In miljarden jaren verliest een kleine planeet met een zwakke zwaartekracht haar lucht; een grote houdt ze vast.

| hemellichaam | ontsnappingssnelheid ($\mathrm{km}/\mathrm{s}$) | druk aan het oppervlak (bar) | atmosfeer |
| --- | --- | --- | --- |
| Maan | 2.4 | 0 | geen |
| Mercurius | 4.3 | 0 | geen |
| Mars | 5.0 | 0.006 | ijl, koolstofdioxide |
| Venus | 10.4 | 92 | dik, koolstofdioxide |
| Aarde | 11.2 | 1 | stikstof en zuurstof |

**Opmerking 2.6 (Grootte is niet het hele verhaal).**

De Maan en Mercurius, klein en (voor Mercurius) dicht bij de hete Zon, zijn bijna al hun gassen kwijtgeraakt. Mars, met de helft van de ontsnappingssnelheid van de Aarde, hield een ijle atmosfeer. Venus en de Aarde hebben bijna dezelfde grootte en ontsnappingssnelheid, en toch heel verschillende atmosferen: hun geschiedenis — het lot van hun water en van hun koolstofdioxide — liep uiteen, zoals [Hoofdstuk 26](https://one-course.com/books/earth/2/nl/chapter/26-de-jonge-aarde-en-haar-atmosfeer#ch-g12-early-earth) voor de Aarde zal laten zien.

## 2.3 Vloeibaar water

![Het fasediagram van water, met de gemiddelde omstandigheden aan het oppervlak van Venus, de Aarde en Mars (vierkantjes). De drukas is logaritmisch: elke streep is honderd keer de streep eronder. Krommen berekend met de vergelijkingen van de International Association for the Properties of Water and Steam; planeetwaarden van NASA.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g10-habitable-planet/fig-fca468404d56.svg)

*Het fasediagram van water, met de gemiddelde omstandigheden aan het oppervlak van Venus, de Aarde en Mars (vierkantjes). De drukas is logaritmisch: elke streep is honderd keer de streep eronder. Krommen berekend met de vergelijkingen van de International Association for the Properties of Water and Steam; planeetwaarden van NASA.*

**Propositie 2.7 (Wanneer water vloeibaar kan zijn).**

Vloeibaar water bestaat alleen bij drukken boven die van het *tripelpunt*, $611.657\,\mathrm{Pa}$ ($0.006\,\mathrm{bar}$), waar ijs, vloeistof en damp naast elkaar bestaan bij $273.16\,\mathrm{K}$, en bij temperaturen onder het *kritieke punt*, $647.096\,\mathrm{K}$ ($220.64\,\mathrm{bar}$), waarboven vloeistof en damp niet meer te onderscheiden zijn. Bij een gegeven druk boven het tripelpunt is water vloeibaar tussen zijn smeltpunt, dicht bij $273\,\mathrm{K}$, en zijn kookpunt, dat daalt wanneer de druk daalt.

**Voorbeeld 2.8 (Drie planeten in één diagram).**

Het aardoppervlak, bij $288\,\mathrm{K}$ en $1\,\mathrm{bar}$, ligt in het vloeistofgebied: water kan er, afhankelijk van het weer, vloeibaar, ijs of damp zijn. Venus, bij $737\,\mathrm{K}$, ligt ver voorbij de kritieke temperatuur: daar is helemaal geen vloeibaar water mogelijk. Mars, bij $6.36\,\mathrm{mbar}$, ligt net boven het tripelpunt: water kookt er bij ongeveer $0.5{}^{\circ}\mathrm{C}$, zodat vloeibaar water er alleen zou kunnen bestaan in een venster van ongeveer een halve graad, en de gemiddelde temperatuur, $210\,\mathrm{K}$, ligt in het ijsgebied.

![Mount Sharp, in de Galekrater op Mars, gefotografeerd door de rover Curiosity in 2012, in de kleuren die zijn camera vastlegde. De onderste lagen werden miljarden jaren geleden in water afgezet. Beeld: NASA/JPL-Caltech/MSSS (publiek domein).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g10-habitable-planet/img-79417cb178a5.jpg)

*Mount Sharp, in de Galekrater op Mars, gefotografeerd door de rover Curiosity in 2012, in de kleuren die zijn camera vastlegde. De onderste lagen werden miljarden jaren geleden in water afgezet. Beeld: NASA/JPL-Caltech/MSSS (publiek domein).*

## 2.4 De bewoonbare zone

**Definitie 2.9 (Bewoonbare zone).**

De *bewoonbare zone* van een ster is het gebied van afstanden tot de ster waarop een rotsplaneet met genoeg water en een atmosfeer zoals die van de Aarde vloeibaar water aan haar oppervlak zou kunnen houden. De binnenrand ligt waar de planeet haar water door de hitte zou verliezen; de buitenrand waar zelfs een sterk broeikaseffect haar niet meer zou kunnen behoeden voor bevriezing.

**Propositie 2.10 (De bewoonbare zone van de Zon).**

Gedetailleerde modellen van planeetatmosferen plaatsen de [bewoonbare zone](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone) van de Zon tussen $0.99\,\mathrm{au}$ en $1.70\,\mathrm{au}$. De Aarde ($1\,\mathrm{au}$) ligt net binnen de binnenrand; Mars ($1.52\,\mathrm{au}$) ligt erin; Venus ($0.72\,\mathrm{au}$) ligt ruim binnen de binnenrand.

**Propositie 2.11 (Bewoonbare zones van andere sterren).**

Rond een ster met lichtkracht $L$ ontvangt een planeet dezelfde bestralingssterkte als op een afstand $d_\odot$ van de Zon wanneer ze ligt op

$$
d = d_\odot \sqrt{L/L_\odot}.
$$

De randen van de [bewoonbare zone](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone) verschuiven in eerste benadering evenredig mee (de kleur van het sterlicht speelt ook een kleine rol).

**Bewijs.** Gelijke bestralingssterkte betekent $L/(4\pi d^2) = L_\odot/(4\pi d_\odot^2)$, dus $d^2 = d_\odot^2\,L/L_\odot$. ∎

![Boven: de bewoonbare zone van de Zon en de vier rotsplaneten. Onder: de bewoonbare zone van de zwakke rode ster Proxima Centauri, berekend door die van de Zon te schalen met de vierkantswortel van de lichtkracht van de ster, en haar planeet Proxima b. Let op de andere schaal: de hele onderste strook is 0.1\, au lang.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g10-habitable-planet/fig-29c060940359.svg)

*Boven: de [bewoonbare zone](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone) van de Zon en de vier rotsplaneten. Onder: de [bewoonbare zone](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone) van de zwakke rode ster Proxima Centauri, berekend door die van de Zon te schalen met de vierkantswortel van de lichtkracht van de ster, en haar planeet Proxima b. Let op de andere schaal: de hele onderste strook is $0.1\,\mathrm{au}$ lang.*

## 2.5 Planeten van andere sterren

**Definitie 2.12 (Exoplaneet).**

Een *exoplaneet* is een planeet die om een andere ster dan de Zon draait.

Exoplaneten zijn veel te zwak en staan te dicht bij hun ster om rechtstreeks gezien te worden, op een paar reuzen na. De meeste worden onrechtstreeks gevonden: ofwel trekt de planeet één keer per omloop vóór haar ster langs en maakt die heel lichtjes zwakker, ofwel doet haar aantrekking de ster naar ons toe en van ons af wiebelen, waardoor de kleur van het sterlicht heen en weer verschuift. De tweede methode geeft alleen een *minimale* massa voor de planeet, omdat de helling van de baan niet bekend is. Deze methoden komen aan bod in het boek voor bachelorjaar 3.

**Cijfers van 2026.**

Op 15 oktober 2026 telde het NASA Exoplanet Archive 6 451 bevestigde exoplaneten.

**Voorbeeld 2.13 (Proxima b).**

De ster die het dichtst bij de Zon staat, Proxima Centauri, op $1.30\,\mathrm{pc}$, is een kleine rode ster met een lichtkracht van maar ongeveer $0.0015$ keer die van de Zon. In 2016 werd een planeet ontdekt die er elke 11.2 dagen omheen draait, op $0.0485\,\mathrm{au}$, met minstens 1.06 keer de massa van de Aarde. Op die afstand ontvangt ze ongeveer 0.64 keer de bestralingssterkte die de Aarde ontvangt, en ligt ze binnen de [bewoonbare zone](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone) van haar ster. Of ze een atmosfeer heeft, of water, is niet bekend.

**Opmerking 2.14 (Bewoonbaar is niet bewoond).**

De [bewoonbare zone](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone) zegt alleen iets over afstand en licht. Een planeet erin kan geen water hebben, geen atmosfeer, of de verkeerde — Mars ligt in de zone van de Zon en heeft vandaag geen vloeibaar water aan zijn oppervlak. De Aarde is bewoonbaar omdat verschillende voorwaarden tegelijk vervuld zijn: de juiste afstand, een massa die groot genoeg is om een atmosfeer vast te houden, veel water, en een broeikaseffect dat niet te zwak en niet te sterk is.

## 2.6 Oefeningen

**Oefening 2.1 ★.**

Definieer de [evenwichtstemperatuur](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature) van een planeet. Waarom is de gemiddelde oppervlaktetemperatuur van de Aarde hoger dan haar [evenwichtstemperatuur](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature)?

**Oplossing van Oefening 2.1.**

De temperatuur waarbij een perfecte straler precies het vermogen naar de ruimte zou uitstralen dat de planeet van haar ster absorbeert. Het aardoppervlak is warmer ($288\,\mathrm{K}$ tegen ongeveer $255\,\mathrm{K}$) omdat broeikasgassen een deel van het infrarood dat het uitzendt absorberen en een deel ervan terugsturen.

**Oefening 2.2 ★.**

Noem met behulp van het staafdiagram van evenwichts- en gemeten temperaturen het hemellichaam waarvan het oppervlak het sterkst door zijn atmosfeer wordt opgewarmd, en schat met hoeveel kelvin.

**Oplossing van Oefening 2.2.**

Venus: gemeten $737\,\mathrm{K}$ tegen een [evenwichtstemperatuur](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature) van ongeveer $227\,\mathrm{K}$, een opwarming van ongeveer $510\,\mathrm{K}$.

**Oefening 2.3 ★.**

Mars draait op $1.52\,\mathrm{au}$ van de Zon. Bereken met de omgekeerd-kwadratenwet en $S_0 = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ de bestralingssterkte van de Zon bij Mars.

**Oplossing van Oefening 2.3.**

$S = 1361/1.52^2 \approx 589\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ (het gegevensblad geeft $586\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, met de exacte gemiddelde afstand).

**Oefening 2.4 ★.**

Geef met behulp van het fasediagram van water de toestand van water bij $1\,\mathrm{bar}$ en $330\,\mathrm{K}$; bij $0.001\,\mathrm{bar}$ en $250\,\mathrm{K}$; bij $100\,\mathrm{bar}$ en $700\,\mathrm{K}$.

**Oplossing van Oefening 2.4.**

$1\,\mathrm{bar}$, $330\,\mathrm{K}$: vloeibaar (onder het kookpunt, ongeveer $373\,\mathrm{K}$). $0.001\,\mathrm{bar}$, $250\,\mathrm{K}$: ijs (de druk ligt boven de kromme tussen ijs en damp, die bij $250\,\mathrm{K}$ op ongeveer $0.0008\,\mathrm{bar}$ ligt). $100\,\mathrm{bar}$, $700\,\mathrm{K}$: damp — de temperatuur ligt boven de kritieke temperatuur, dus er kan geen vloeistof bestaan.

**Oefening 2.5 ★.**

Wat is een [exoplaneet](#def-g10-habitable-planet-exoplanet)? Beschrijf in telkens één zin de twee belangrijkste manieren waarop exoplaneten worden opgespoord.

**Oplossing van Oefening 2.5.**

Een planeet die om een andere ster dan de Zon draait. Transits: de planeet trekt vóór haar ster langs en maakt die bij elke omloop iets zwakker. Wiebelen: de aantrekking van de planeet beweegt de ster heen en weer langs onze gezichtslijn, waardoor de kleur van het sterlicht periodiek verschuift.

**Oefening 2.6 ★★.**

Bereken de [evenwichtstemperatuur](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature) van de Aarde met $S_0 = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ en $A = 0.294$, en daarna met $A = 0$. Reken beide om naar graden Celsius.

**Oplossing van Oefening 2.6.**

$T = (1361 \times 0.706/(4 \times 5.67\times10^{-8}))^{1/4} \approx
255\,\mathrm{K} \approx -18{}^{\circ}\mathrm{C}$. Met $A = 0$: $\approx 278\,\mathrm{K} \approx 5{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Oefening 2.7 ★★.**

Een ster is vier keer zo lichtsterk als de Zon. Tussen welke afstanden ligt haar [bewoonbare zone](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone)? Zou de Aarde, op $1\,\mathrm{au}$ van deze ster geplaatst, erbinnen liggen?

**Oplossing van Oefening 2.7.**

$\sqrt 4 = 2$: van $2 \times 0.99 = 1.98\,\mathrm{au}$ tot $2 \times 1.70 =
3.40\,\mathrm{au}$. Op $1\,\mathrm{au}$ zou de planeet vier keer de bestralingssterkte van de Aarde ontvangen: ver binnen de binnenrand, te heet.

**Oefening 2.8 ★★.**

Venus draait op $0.723\,\mathrm{au}$. Bereken de bestralingssterkte die ze ontvangt, en daarna haar [evenwichtstemperatuur](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature) met haar bondalbedo van 0.77. Vergelijk met haar oppervlaktetemperatuur van $737\,\mathrm{K}$ en verklaar het verschil.

**Oplossing van Oefening 2.8.**

$S = 1361/0.723^2 \approx 2604\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $T_{\mathrm{eq}} = (2604 \times 0.23/(4\sigma))^{1/4} \approx 227\,\mathrm{K}$. Het oppervlak is ongeveer $510\,\mathrm{K}$ heter: de dikke atmosfeer van koolstofdioxide ($92\,\mathrm{bar}$) veroorzaakt een enorm broeikaseffect.

**Oefening 2.9 ★★.**

Op Mars is de gemiddelde druk aan het oppervlak $6.36\,\mathrm{mbar}$, net boven het tripelpunt van water, en water kookt er bij ongeveer $0.5{}^{\circ}\mathrm{C}$. Leg uit waarom vloeibaar water vandaag niet kan blijven bestaan aan het oppervlak van Mars, zelfs niet op een zomermiddag waarop de grond $10{}^{\circ}\mathrm{C}$ bereikt.

**Oplossing van Oefening 2.9.**

Bij $6.36\,\mathrm{mbar}$ is water alleen vloeibaar tussen ongeveer $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $0.5{}^{\circ}\mathrm{C}$. Bij $10{}^{\circ}\mathrm{C}$ ligt de druk onder de kookkromme: het water kookt weg tot damp; ’s nachts bevriest het.

**Oefening 2.10 ★★.**

De ontsnappingssnelheid is $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ op de Maan en $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ op de Aarde. Bereken hun verhouding. Leg uit waarom de Aarde een atmosfeer heeft behouden en de Maan niet.

**Oplossing van Oefening 2.10.**

$11.2/2.4 \approx 4.7$. Een gasmolecuul moet bijna vijf keer sneller bewegen om aan de Aarde te ontsnappen dan aan de Maan; in miljarden jaren liet de zwakke zwaartekracht van de Maan haar gassen ontsnappen, terwijl die van de Aarde het grootste deel ervan vasthield.

**Oefening 2.11 ★★.**

Stel dat de Aarde met ijs bedekt was en haar bondalbedo tot 0.50 steeg. Bereken haar nieuwe [evenwichtstemperatuur](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature). Leg uit waarom zo’n toestand, eenmaal bereikt, de neiging zou hebben te blijven bestaan.

**Oplossing van Oefening 2.11.**

$T = (1361 \times 0.50/(4\sigma))^{1/4} \approx 234\,\mathrm{K}$, ongeveer $-39{}^{\circ}\mathrm{C}$. Het ijs zou zoveel zonlicht weerkaatsen dat de planeet koud genoeg zou blijven om het te behouden: een zichzelf versterkende kringloop.

**Oefening 2.12 ★★★.**

Laat zien dat $T_{\mathrm{eq}} = 278.3\,\mathrm{K} \times (1-A)^{1/4}/\sqrt{d}$, met $d$ in astronomische eenheden, volgt uit de formule van het hoofdstuk. Met welke factor verandert de [evenwichtstemperatuur](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature) als de afstand met vier wordt vermenigvuldigd?

**Oplossing van Oefening 2.12.**

$T_{\mathrm{eq}} = (S_0(1-A)/(4\sigma d^2))^{1/4} = (S_0/(4\sigma))^{1/4}
(1-A)^{1/4} (d^2)^{-1/4}$; $(1361/(4\sigma))^{1/4} \approx 278.3\,\mathrm{K}$ en $(d^2)^{1/4} = \sqrt d$. Vier keer zo ver: $T$ gedeeld door $\sqrt 4 = 2$.

**Oefening 2.13 ★★★.**

Op welke afstand van de Zon zou een planeet met albedo 0.294 een [evenwichtstemperatuur](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature) van $273\,\mathrm{K}$ hebben? Vergelijk met de binnenrand van de [bewoonbare zone](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone), en leg uit waarom die twee verschillen.

**Oplossing van Oefening 2.13.**

$\sqrt d = 278.3 \times 0.706^{1/4}/273 \approx 0.934$, dus $d \approx
0.873\,\mathrm{au}$, binnen de binnenrand ($0.99\,\mathrm{au}$). De [evenwichtstemperatuur](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature) houdt geen rekening met het broeikaseffect: een echte planeet met een atmosfeer is warmer dan $T_{\mathrm{eq}}$, zodat ze al verder naar buiten, op ongeveer $0.99\,\mathrm{au}$, oververhit raakt en haar water verliest. De randen komen uit modellen van de hele atmosfeer, niet uit $T_{\mathrm{eq}}$ alleen.

**Oefening 2.14 ★★★.**

Op een planeet met een druk aan het oppervlak van $1000\,\mathrm{Pa}$ kookt water bij ongeveer $7{}^{\circ}\mathrm{C}$. Tussen welke temperaturen kan water daar vloeibaar zijn? Wat zou er met een meer op die planeet gebeuren op een dag van $15{}^{\circ}\mathrm{C}$?

**Oplossing van Oefening 2.14.**

Tussen het smeltpunt, ongeveer $0{}^{\circ}\mathrm{C}$, en het kookpunt, ongeveer $7{}^{\circ}\mathrm{C}$. Bij $15{}^{\circ}\mathrm{C}$ zou het meer koken.

**Oefening 2.15 ★★★.**

Een planeet draait op $1.2\,\mathrm{au}$ van een ster die half zo lichtsterk is als de Zon. Bereken de randen van de [bewoonbare zone](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone) van de ster en zeg of de planeet erbinnen ligt. Hoe zeker kun je van het antwoord zijn?

**Oplossing van Oefening 2.15.**

$\sqrt{0.5} \approx 0.707$: van $0.707 \times 0.99 \approx 0.70\,\mathrm{au}$ tot $0.707 \times 1.70 \approx 1.20\,\mathrm{au}$. De planeet ligt precies op de buitenrand. De randen zijn modeluitkomsten en de schaling is bij benadering, dus het valt niet te zeggen of ze erbinnen of erbuiten ligt.

## 2.7 Probleem: kan Proxima b een oceaan hebben?

**Probleem 2.1.**

Weekendprobleem — van het licht van een zwakke rode ster tot de temperatuur van haar dichtstbijzijnde planeet

Een leerling leest het gegevensblad van de planeet Proxima b. Haar ster heeft een lichtkracht $L = 0.00151\,L_\odot$; de planeet draait op $d = 0.0485\,\mathrm{au}$ in 11.18 dagen om de ster en heeft minstens 1.055 keer de massa van de Aarde. Gebruik $S_0 = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$, de [bewoonbare zone](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone) van de Zon $0.99\text{ tot }1.70\,\mathrm{au}$, en de ontsnappingssnelheid van de Aarde $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**Deel I — Het licht van de ster.**

1. Bereken de bestralingssterkte bij de planeet als deel van die bij de Aarde, $L/d^2$ (met $L$ in zonnelichtkrachten en $d$ in au).
2. Druk ze uit in $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .
3. Vergelijk ze met de bestralingssterkte bij Venus ( $2601\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ) en bij Mars ( $586\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ).
4. Hoeveel jaren van de planeet passen er in één aardjaar?

**Deel II — Temperaturen zonder atmosfeer.**

5. Bereken de [evenwichtstemperatuur](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature) van een volkomen donkere planeet ( $A = 0$ ) bij die bestralingssterkte.
6. Bereken ze voor een planeet die even helder is als Venus ( $A = 0.77$ ).
7. Welke van deze twee temperaturen ligt boven het vriespunt van water? Wat laten de twee resultaten zien over de rol van wolken en ijs?

**Deel III — De bewoonbare zone.**

8. Bereken $\sqrt{L/L_\odot}$ .
9. Bereken de binnenrand van de [bewoonbare zone](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone) van de ster.
10. Bereken de buitenrand.
11. Ligt Proxima b in de [bewoonbare zone](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone) ?
12. Op welke afstand van de Zon zou een planeet dezelfde bestralingssterkte ontvangen als Proxima b? Waar zou dat in de [bewoonbare zone](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone) van de Zon liggen?

**Deel IV — Een atmosfeer en water?**

13. Als de planeet de gemiddelde dichtheid van de Aarde had, zou haar straal $1.055^{1/3}$ keer die van de Aarde zijn. Bereken deze factor.
14. De ontsnappingssnelheid is evenredig met $\sqrt{M/R}$ . Schat de ontsnappingssnelheid van de planeet. Zou ze een atmosfeer kunnen vasthouden?
15. Waarom is de massa alleen als minimum bekend?
16. Wat is volgens het fasediagram de laagste druk aan het oppervlak waarbij vloeibaar water nog mogelijk is?
17. Bereken de [evenwichtstemperatuur](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature) van Proxima b met het albedo van de Aarde, 0.294.
18. Met hoeveel kelvin zou haar broeikaseffect haar dan moeten opwarmen om haar oppervlak op de gemiddelde temperatuur van de Aarde, $288\,\mathrm{K}$ , te brengen?

**Oplossing van Probleem 2.1.**

**1.** $0.00151/0.0485^2 \approx 0.642$.

**2.** $0.642 \times 1361 \approx 874\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

**3.** Ertussenin: ongeveer drie keer minder dan bij Venus, anderhalf keer meer dan bij Mars.

**4.** $365.25/11.18 \approx 32.7$.

**5.** $(874/(4 \times 5.67\times10^{-8}))^{1/4} \approx 249\,\mathrm{K}$.

**6.** $(874 \times 0.23/(4\sigma))^{1/4} \approx 173\,\mathrm{K}$.

**7.** Geen van beide: $249\,\mathrm{K}$ ligt nog onder $273\,\mathrm{K}$. Een heldere laag wolken of ijs verlaagt de [evenwichtstemperatuur](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature) met meer dan $75\,\mathrm{K}$: wat een planeet bedekt, telt even zwaar als haar afstand.

**8.** $\sqrt{0.00151} \approx 0.0389$.

**9.** $0.99 \times 0.0389 \approx 0.0385\,\mathrm{au}$.

**10.** $1.70 \times 0.0389 \approx 0.066\,\mathrm{au}$.

**11.** Ja: $0.0385 < 0.0485 < 0.066$.

**12.** $d_\odot = 0.0485/0.0389 \approx 1.25\,\mathrm{au}$: in de binnenste helft van de [bewoonbare zone](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone) van de Zon, tussen de Aarde en Mars.

**13.** $1.055^{1/3} \approx 1.018$.

**14.** $11.2 \times \sqrt{1.055/1.018} \approx 11.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, ongeveer die van de Aarde: haar zwaartekracht zou een atmosfeer kunnen vasthouden (of ze er een heeft, hangt af van haar geschiedenis).

**15.** Het wiebelen van de ster verraadt alleen het deel van haar beweging langs onze gezichtslijn; omdat de helling van de baan onbekend is, is de gevonden massa alleen de werkelijke massa als we de baan precies van opzij zien, en anders een minimum.

**16.** De druk van het tripelpunt, $611.657\,\mathrm{Pa}$, ongeveer $0.006\,\mathrm{bar}$.

**17.** $(874 \times 0.706/(4\sigma))^{1/4} \approx 228\,\mathrm{K}$.

**18.** $288 - 228 = 60\,\mathrm{K}$: Proxima b zou een opwarming door het broeikaseffect van **ongeveer $60\,\mathrm{K}$** nodig hebben, bijna twee keer de $33\,\mathrm{K}$ van de Aarde.