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title: "Medindo a Terra"
book: "Ciências da Terra e do espaço do ensino médio"
subject: earth
language: pt
chapter: 1
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/earth/2/pt/chapter/1-medindo-a-terra
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 1 — Medindo a Terra

Na praia, observe um navio que se afasta rumo ao mar aberto. Ele não simplesmente encolhe até ficar pequeno demais para ser visto: primeiro desaparece o casco, como se afundasse, depois a parte baixa da superestrutura, e o topo do mastro some por último. O mar entre você e o navio não é plano; ele se curva. Há mais de vinte e dois séculos, um sábio de Alexandria transformou uma observação parecida — o comprimento de uma sombra ao meio-dia — numa medida do tamanho do planeta inteiro. Este capítulo acompanha essa medida e as que vieram depois: as cadeias de triângulos que os agrimensores estenderam através de países inteiros, as expedições enviadas ao Ártico e ao equador para saber se a Terra é achatada, o nascimento do metro e os satélites com que o planeta é medido hoje.

![A Terra fotografada pela tripulação da Apollo 17 a caminho da Lua, em dezembro de 1972: a África, a Arábia e o gelo da Antártida. Fotografia: NASA (domínio público).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g10-measuring-the-earth/img-69dd2ed4a0ac.jpg)

*A Terra fotografada pela tripulação da Apollo 17 a caminho da Lua, em dezembro de 1972: a África, a Arábia e o gelo da Antártida. Fotografia: NASA (domínio público).*

**O que você já sabe.**

Um lugar da Terra é localizado pela sua latitude, o ângulo ao norte ou ao sul do equador, e pela sua longitude, o ângulo a leste ou a oeste de um meridiano de referência; os meridianos ligam os polos, e os paralelos contornam a Terra paralelamente ao equador (Livro 1). Num meio homogêneo, a luz se propaga em linha reta, e os raios que chegam à Terra vindos do Sol, muito distante, são paralelos (os livros de física). Num triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é o cateto oposto dividido pela hipotenusa, o cosseno é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa e a tangente é o cateto oposto dividido pelo cateto adjacente (os livros de matemática).

## 1.1 Uma Terra redonda

Muito antes de alguém poder olhar a Terra do espaço, várias observações mostravam que ela é redonda.

- **Navios além do horizonte.** Um navio que se afasta desaparece de baixo para cima, em todas as direções e em todos os mares: a superfície do mar é curva em toda parte.
- **A sombra na Lua.** Durante um eclipse da Lua, a sombra da Terra cai sobre a Lua. A borda dela é sempre um arco de circunferência, qualquer que seja a hora da noite; só uma esfera projeta uma sombra redonda em todas as direções.
- **As estrelas mudam com a latitude.** Um viajante que segue para o norte vê a Estrela Polar subir mais alto acima do horizonte, e estrelas do céu austral desaparecem abaixo dele: o horizonte do viajante se inclina à medida que ele se desloca sobre uma superfície curva.
- **A volta ao mundo e a vista do espaço.** Navios, e depois aviões, deram a volta ao mundo em todas as direções; desde os anos 1960, o planeta inteiro, redondo, é fotografado.

![Por que um navio desaparece de baixo para cima: o observador só vê o que fica acima da linha de visada que tangencia o mar no horizonte. A curvatura está muito exagerada.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g10-measuring-the-earth/fig-2fde95a4fc51.svg)

*Por que um navio desaparece de baixo para cima: o observador só vê o que fica acima da linha de visada que tangencia o mar no horizonte. A curvatura está muito exagerada.*

## 1.2 Eratóstenes mede a Terra

Eratóstenes de Cirene (276–194 a.C.) era o bibliotecário de Alexandria. Ele tinha ouvido dizer que em Siena, a atual Assuã, bem ao sul, subindo o Nilo, o Sol iluminava todo o fundo de um poço ao meio-dia do dia do solstício de verão: estava então exatamente a pino. Em Alexandria, no mesmo momento, uma vara vertical projetava uma sombra curta: os raios do Sol faziam com a vertical um ângulo de cerca de $7.2{}^{\circ}$, um cinquenta avos de uma volta completa.

![O raciocínio de Eratóstenes. Em Siena o Sol está a pino: seus raios apontam para o centro da Terra. Em Alexandria, uma vara vertical, que também aponta para o centro, faz um ângulo com os raios. O ângulo no centro entre os dois lugares é o mesmo . O ângulo está exagerado: era de apenas 7.2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g10-measuring-the-earth/fig-5835f75516f7.svg)

*O raciocínio de Eratóstenes. Em Siena o Sol está a pino: seus raios apontam para o centro da Terra. Em Alexandria, uma vara vertical, que também aponta para o centro, faz um ângulo $\alpha$ com os raios. O ângulo no centro entre os dois lugares é o mesmo $\alpha$. O ângulo está exagerado: era de apenas $7.2{}^{\circ}$.*

**Proposição 1.1 (Relação de Eratóstenes).**

Se dois lugares estão no mesmo meridiano, a uma distância $d$ um do outro, e se os raios do Sol ao meio-dia fazem com a vertical ângulos que diferem de $\alpha$ (em graus), a circunferência da Terra é

$$
C = \frac{360{}^{\circ}}{\alpha}\, d .
$$

**Demonstração.** O Sol está tão longe que os seus raios que chegam aos dois lugares são paralelos. Em cada lugar, a vertical aponta para o centro da Terra. Na figura, o raio que chega à vara e o raio terrestre que passa por Siena são duas retas paralelas, e o raio terrestre que passa por Alexandria corta as duas: o ângulo $\alpha$ entre a vara e o raio de luz e o ângulo no centro entre os dois raios terrestres são alternos internos, portanto iguais. O arco $d$ é a mesma fração da circunferência inteira que o ângulo $\alpha$ é de uma volta completa: $d/C = \alpha/360{}^{\circ}$. ∎

**Método 1.2 (Medir uma circunferência com duas sombras).**

1. Escolha dois lugares (quase) no mesmo meridiano e meça a distância norte–sul $d$ entre eles.
2. Ao meio-dia solar local do mesmo dia, meça em cada lugar o ângulo entre uma vara vertical e os raios do Sol: $\tan \theta = s/h$ , em que $h$ é a altura da vara e $s$ o comprimento da sua sombra. Nunca olhe para o próprio Sol: o ângulo é lido apenas na sombra.
3. Calcule a diferença $\alpha$ dos dois ângulos e aplique $C = (360/\alpha)\,d$ .

**Exemplo 1.3 (Os números de Eratóstenes).**

Eratóstenes tomou a distância de Alexandria a Siena como 5000 *estádios*, uma unidade grega de comprimento. Com $\alpha = 1/50$ de volta,

$$
C = 50 \times 5000 = 250\,000 \text{ estádios}.
$$

Quanto media um estádio? Os historiadores ainda discutem. Com $157.2\,\mathrm{m}$, $C \approx 39\,300\,\mathrm{km}$; com $166.7\,\mathrm{m}$, $C \approx 41\,700\,\mathrm{km}$. A verdadeira circunferência meridiana é de $40\,008\,\mathrm{km}$: de um jeito ou de outro, Eratóstenes errou por apenas alguns por cento.

**Observação 1.4 (O que foi suposto).**

Eratóstenes supôs uma Terra esférica, um Sol distante o bastante para que seus raios fossem paralelos, Siena exatamente sobre o trópico (onde o Sol pode ficar a pino) e Siena exatamente ao sul de Alexandria. Cada hipótese era quase verdadeira, mas não exatamente: Assuã fica cerca de $3{}^{\circ}$ de longitude a leste de Alexandria. O que importa é a componente norte–sul da distância, a que segue o meridiano.

## 1.3 A triangulação

Medir uma grande distância no chão com uma corrente ou uma régua é lento e, através de rios, florestas e montanhas, impossível. Já os ângulos podem ser medidos com muita precisão por uma luneta montada sobre um círculo graduado, apontada sucessivamente para dois sinais distantes. A partir do século XVIII, os agrimensores usaram isso para medir países inteiros.

**Definição 1.5 (Geodésia).**

A *geodésia* é a ciência que mede a forma e o tamanho da Terra e as posições dos pontos da sua superfície, e que acompanha como eles mudam com o tempo.

**Definição 1.6 (Triangulação).**

A *triangulação* localiza pontos distantes por meio de uma cadeia de triângulos: um dos lados, a *base*, é medido no chão com grande cuidado; todos os ângulos dos triângulos são medidos a partir dos seus vértices; todos os outros lados são então calculados.

O cálculo se apoia numa única relação entre os lados e os ângulos de qualquer triângulo. Num triângulo $ABC$, escreva $a$, $b$, $c$ para os lados opostos aos vértices $A$, $B$, $C$, e $A$, $B$, $C$ também para os ângulos nesses vértices.

**Proposição 1.7 (A lei dos senos).**

Em qualquer triângulo $ABC$,

$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.
$$

**Demonstração.** Trace a altura relativa a $C$, que encontra a reta $AB$ em $H$ (painel da direita da figura abaixo); escreva $h = CH$. No triângulo retângulo $AHC$, $\sin A = h/b$, logo $h = b \sin A$. No triângulo retângulo $BHC$, $\sin B = h/a$, logo $h = a \sin B$. Portanto $b \sin A = a \sin B$, isto é, $a/\sin A = b/\sin B$. (Se o ângulo em $B$ for obtuso, $H$ cai além de $B$ e o ângulo do triângulo retângulo em $B$ é $180{}^{\circ} - B$, que tem o mesmo seno.) O mesmo argumento com a altura relativa a $A$ dá $b/\sin B = c/\sin C$. ∎

![À esquerda: uma cadeia de triângulos estendida ao longo de um meridiano a partir de uma base medida AB; os arcos marcam dois dos muitos ângulos medidos com o instrumento. À direita: a altura h relativa a C, escrita de duas maneiras, dá a lei dos senos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g10-measuring-the-earth/fig-3a01b35e7660.svg)

*À esquerda: uma cadeia de triângulos estendida ao longo de um meridiano a partir de uma base medida $AB$; os arcos marcam dois dos muitos ângulos medidos com o instrumento. À direita: a altura $h$ relativa a $C$, escrita de duas maneiras, dá a lei dos senos.*

**Método 1.8 (Calcular uma cadeia de triangulação).**

1. No primeiro triângulo $ABC$ , medem-se a base $c = AB$ e os ângulos em $A$ e em $B$ ; o terceiro ângulo é $C = 180{}^{\circ} - A - B$ (e a sua medida serve de controle das outras).
2. A lei dos senos dá os dois outros lados: $b = AC = c \sin B / \sin C$ e $a = BC = c \sin A / \sin C$ .
3. Um lado calculado passa a ser o lado conhecido do triângulo seguinte, e assim por diante ao longo da cadeia.
4. Por fim, a componente norte–sul de cada lado é calculada com o cosseno do seu ângulo com o meridiano, e as componentes são somadas.

**Exemplo 1.9 (Um triângulo).**

Mede-se uma base $AB = 8.000\,\mathrm{km}$; de $A$, o sinal $C$ é visto a $70{}^{\circ}$ da direção de $B$, e de $B$ a $60{}^{\circ}$ da direção de $A$. Então $C = 50{}^{\circ}$ e

$$
AC = \frac{8.000 \times \sin 60^\circ}{\sin 50^\circ} = \frac{8.000 \times 0.8660}{0.7660}
  \approx 9.044\,\mathrm{km}, \qquad
  BC = \frac{8.000 \times \sin 70^\circ}{\sin 50^\circ} \approx 9.814\,\mathrm{km}.
$$

Nenhuma distância, exceto a base, foi percorrida a pé.

**Exemplo 1.10 (O meridiano do metro).**

Em março de 1791, o metro foi definido como a décima milionésima parte da distância do polo ao equador ao longo de um meridiano. Para encontrar essa distância, dois astrônomos, Jean-Baptiste Delambre e Pierre Méchain, mediram por [triangulação](#def-g10-measuring-the-earth-triangulation) o arco de meridiano de Dunquerque, no mar do Norte, a Barcelona, no Mediterrâneo — quase sete anos de trabalho, Delambre nos dois terços do norte, Méchain no terço do sul. As duas cidades diferem de $9.646{}^{\circ}$ de latitude; no elipsoide moderno, o arco entre os seus paralelos mede $1072.2\,\mathrm{km}$. Conhecer o comprimento de um arco e a sua diferença de latitude dá o comprimento de um grau; a forma da Terra dá então o quarto de meridiano inteiro. Padrões de platina do novo metro foram fabricados em 1799 e guardados nos Arquivos nacionais.

**História — O círculo repetidor.**

Os ângulos do meridiano do metro foram medidos com um *círculo repetidor*, instrumento construído por Jean-Charles de Borda: duas lunetas sobre um círculo graduado, apontadas alternadamente para dois sinais muitas vezes seguidas, de modo que os erros de leitura da graduação ficam divididos pelo número de repetições.

![Um círculo repetidor montado para medir ângulos horizontais, como gravado no relato de Delambre sobre a medição (1807). Domínio público (Wikimedia Commons).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g10-measuring-the-earth/img-c618cce0d111.jpg)

*Um círculo repetidor montado para medir ângulos horizontais, como gravado no relato de Delambre sobre a medição (1807). Domínio público (Wikimedia Commons).*

## 1.4 Uma Terra achatada

Por volta de 1687, Isaac Newton argumentou, a partir da sua teoria da gravitação, que uma Terra em rotação deve ser um esferoide achatado nos polos e dilatado no equador. Medidas de graus do meridiano feitas pelos astrônomos do Observatório de Paris pareciam dizer o contrário: uma Terra alongada nos polos. A questão foi decidida medindo o comprimento de um grau de latitude em lugares tão afastados quanto possível.

![Uma Terra achatada, com o achatamento muito exagerado (o verdadeiro é pequeno demais para ser visto nesta escala). A vertical de um lugar é perpendicular à superfície; ela não aponta exatamente para o centro. A latitude do lugar é o ângulo entre a sua vertical e o plano do equador.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g10-measuring-the-earth/fig-9c8b3f9faa1b.svg)

*Uma Terra achatada, com o [achatamento](#def-g10-measuring-the-earth-ellipsoid) muito exagerado (o verdadeiro é pequeno demais para ser visto nesta escala). A vertical de um lugar é perpendicular à superfície; ela não aponta exatamente para o centro. A latitude $\varphi$ do lugar é o ângulo entre a sua vertical e o plano do equador.*

A latitude é medida pelas estrelas: é o ângulo entre a vertical local e o plano do equador. Numa Terra achatada, a superfície é menos curva perto dos polos do que perto do equador. Onde a superfície é menos curva, é preciso percorrer uma distância maior sobre ela para que a vertical gire um grau: *um grau de latitude é mais longo perto dos polos*.

**História — Lapônia e Peru.**

Em 1735, a Academia de Ciências de Paris enviou uma expedição ao equador, na província espanhola do Peru (hoje o Equador); ela trabalhou ali durante nove anos, até 1744. Em 1736–1737, uma segunda expedição, chefiada por Pierre-Louis Moreau de Maupertuis com o jovem matemático Alexis Clairaut, mediu um grau do meridiano na Lapônia, perto do Círculo Polar Ártico. O grau da Lapônia deu 57 437 *toesas* (a antiga unidade de comprimento; cerca de $111.95\,\mathrm{km}$), e o grau do Peru apenas 56 737 toesas: o grau é mais longo perto do polo, e Newton tinha razão. Os dois números implicavam um [achatamento](#def-g10-measuring-the-earth-ellipsoid) de cerca de $1/205$ — grande demais, como mostraram levantamentos posteriores, mas a questão do sinal estava resolvida.

![O comprimento de um grau de latitude no elipsoide de referência da , do equador ao polo. Calculado com o elipsoide WGS 84.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g10-measuring-the-earth/fig-23dca2d3970f.svg)

*O comprimento de um grau de latitude no [elipsoide de referência](#def-g10-measuring-the-earth-ellipsoid) da [Definição 1.11](#def-g10-measuring-the-earth-ellipsoid), do equador ao polo. Calculado com o elipsoide WGS 84.*

**Definição 1.11 (Elipsoide de referência e achatamento).**

Um *elipsoide de referência* é a superfície obtida pela rotação de uma elipse em torno do seu eixo menor, escolhida para se ajustar o mais possível à forma da Terra. O seu *raio equatorial* é $a$, o seu *raio polar* é $b$, e o seu *achatamento* é

$$
f = \frac{a-b}{a}.
$$

**Proposição 1.12 (As dimensões da Terra).**

O [elipsoide de referência](#def-g10-measuring-the-earth-ellipsoid) usado no posicionamento por satélite (WGS 84) tem

$$
a = 6378.137\,\mathrm{km}, \qquad b = 6356.752\,\mathrm{km}, \qquad
  f = \frac{1}{298.257}.
$$

O raio polar é $21.4\,\mathrm{km}$ mais curto que o raio equatorial. O equador mede $40\,075\,\mathrm{km}$ e um meridiano, de polo a polo e de volta, $40\,008\,\mathrm{km}$; o quarto de meridiano, do equador a um polo, mede $10\,001.966\,\mathrm{km}$. Um grau de latitude mede $110.574\,\mathrm{km}$ no equador e $111.694\,\mathrm{km}$ nos polos. Um grau de longitude mede $111.32\,\mathrm{km}$ no equador e diminui em direção aos polos aproximadamente como $\cos \varphi$.

**Exemplo 1.13 (Um grau de longitude).**

Um paralelo de latitude $\varphi$ é um círculo cujo raio é a distância ao eixo, cerca de $R \cos \varphi$. A $60{}^{\circ}$ N, a sua circunferência é cerca de metade da do equador, e um grau de longitude mede cerca de $111.32 \times \cos 60^\circ \approx 55.7\,\mathrm{km}$ (o elipsoide dá $55.80\,\mathrm{km}$).

**Observação 1.14 (Quão redonda é a Terra?).**

Um [achatamento](#def-g10-measuring-the-earth-ellipsoid) de $1/298$ é pequeno. Num globo de $30\,\mathrm{cm}$ de diâmetro, o diâmetro polar seria apenas $1\,\mathrm{mm}$ mais curto que o equatorial — invisível. A fossa oceânica mais profunda, a quase $11\,\mathrm{km}$ abaixo do nível do mar, seria um arranhão de cerca de um quarto de milímetro de profundidade. Para a maioria dos usos, a Terra é uma esfera de raio médio $6371\,\mathrm{km}$; para posições precisas, é preciso o elipsoide.

## 1.5 A geodésia hoje

![Um agrimensor trabalhando com um instrumento moderno que mede ângulos e, com um feixe de luz, distâncias; um sinal de levantamento está plantado no morro ao fundo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g10-measuring-the-earth/img-40b9b55e0059.jpg)

*Um agrimensor trabalhando com um instrumento moderno que mede ângulos e, com um feixe de luz, distâncias; um sinal de levantamento está plantado no morro ao fundo.*

As grandes triangulações dos séculos XVIII e XIX foram substituídas pelos satélites. Um receptor no chão capta os sinais de vários satélites cujas posições são conhecidas a cada instante e calcula a sua própria posição a partir dos tempos de percurso dos sinais (Livro 1). Redes de receptores permanentes, fixados no substrato rochoso no mundo inteiro, medem as suas posições continuamente. Elas definem o referencial em que todo mapa e toda posição por satélite são dados, e elas se movem: mostram as placas da litosfera derivando alguns centímetros por ano ([Capítulo 13](https://one-course.com/books/earth/2/pt/chapter/13-as-placas-e-os-seus-movimentos#ch-g11-plate-motions)).

**No campo — Medir o terreno hoje.**

Os geodesistas fixam antenas em pilares de concreto assentados no substrato rochoso, longe de prédios e árvores, e registram as suas posições a cada poucos segundos durante anos. Eles combinam esses dados com medidas de radiotelescópios que observam galáxias muito distantes e com feixes de laser disparados contra satélites que levam espelhos. Os agrimensores, nos canteiros de obras e no campo, ainda medem ângulos e distâncias com instrumentos sobre tripés, e os amarram ao referencial dos satélites.

## 1.6 Exercícios

**Exercício 1.1 ★.**

Dê três observações, possíveis sem sair do chão, que mostram que a Terra é redonda. Para cada uma, explique numa frase por que uma Terra plana não poderia produzi-la.

**Solução de Exercício 1.1.**

Um navio desaparece pelo casco primeiro: num mar plano ele apenas encolheria, permanecendo inteiro visível. A sombra da Terra na Lua durante um eclipse é sempre um arco de circunferência: um disco plano projetaria uma sombra alongada quando visto de lado. Viajando para o norte, a Estrela Polar sobe acima do horizonte: numa Terra plana a sua altura ficaria quase a mesma.

**Exercício 1.2 ★.**

O que é a [geodésia](#def-g10-measuring-the-earth-geodesy)? O que é a [triangulação](#def-g10-measuring-the-earth-triangulation), e qual é o único comprimento que precisa ser medido no chão numa [triangulação](#def-g10-measuring-the-earth-triangulation)?

**Solução de Exercício 1.2.**

A [geodésia](#def-g10-measuring-the-earth-geodesy) mede a forma e o tamanho da Terra e as posições dos pontos da sua superfície, e como eles mudam com o tempo. A [triangulação](#def-g10-measuring-the-earth-triangulation) localiza pontos por uma cadeia de triângulos em que todos os ângulos são medidos; só um comprimento, a base, é medido no chão.

**Exercício 1.3 ★.**

Eratóstenes verificou que o ângulo entre os raios do Sol e a vertical em Alexandria era $1/50$ de volta completa quando o Sol estava a pino em Siena, a 5000 estádios dali. Calcule a circunferência em estádios e depois em quilômetros, tomando um estádio de $157.2\,\mathrm{m}$.

**Solução de Exercício 1.3.**

$C = 50 \times 5000 = 250\,000$ estádios; $250\,000 \times 157.2\,\mathrm{m} =
39\,300\,\mathrm{km}$.

**Exercício 1.4 ★.**

Um grau de latitude mede cerca de $111\,\mathrm{km}$. Quanto mede um minuto de latitude ($1/60$ de grau)? Quanto mede, aproximadamente, o meridiano do equador ao polo?

**Solução de Exercício 1.4.**

$111/60 \approx 1.85\,\mathrm{km}$. Quarto de meridiano: $90 \times 111 \approx
10\,000\,\mathrm{km}$.

**Exercício 1.5 ★.**

Usando o raio equatorial $6378.137\,\mathrm{km}$ e o raio polar $6356.752\,\mathrm{km}$, calcule a diferença dos dois raios e o [achatamento](#def-g10-measuring-the-earth-ellipsoid) $f = (a-b)/a$. Escreva $f$ como um dividido por um número inteiro.

**Solução de Exercício 1.5.**

$a - b = 6378.137 - 6356.752 = 21.385\,\mathrm{km}$; $f = 21.385/6378.137 \approx 0.003353 \approx 1/298$.

**Exercício 1.6 ★★.**

Duas cidades estão no mesmo meridiano, a $500\,\mathrm{km}$ uma da outra. Ao meio-dia do mesmo dia, uma vara vertical de $1.00\,\mathrm{m}$ de altura projeta uma sombra de $0.364\,\mathrm{m}$ na cidade do sul e de $0.456\,\mathrm{m}$ na cidade do norte. Calcule o ângulo entre os raios do Sol e a vertical em cada cidade e, depois, a circunferência da Terra.

**Solução de Exercício 1.6.**

Sul: $\tan\theta_1 = 0.364$, $\theta_1 \approx 20.0{}^{\circ}$. Norte: $\tan\theta_2 = 0.456$, $\theta_2 \approx 24.5{}^{\circ}$. $\alpha = 4.5{}^{\circ}$, logo $C = (360/4.5) \times 500 = 80 \times 500 =
40\,000\,\mathrm{km}$.

**Exercício 1.7 ★★.**

Num triângulo $ABC$, a base $AB = 10.00\,\mathrm{km}$, o ângulo em $A$ é de $62{}^{\circ}$ e o ângulo em $B$ é de $71{}^{\circ}$. Calcule o ângulo em $C$ e os comprimentos $AC$ e $BC$.

**Solução de Exercício 1.7.**

$C = 180 - 62 - 71 = 47{}^{\circ}$. $AC = 10.00 \sin 71^\circ/\sin 47^\circ = 10.00 \times 0.9455/0.7314 \approx
12.93\,\mathrm{km}$; $BC = 10.00 \sin 62^\circ/\sin 47^\circ \approx
12.07\,\mathrm{km}$.

**Exercício 1.8 ★★.**

Um avião voa exatamente para oeste ao longo do paralelo $60{}^{\circ}$ N, da longitude $10{}^{\circ}$ L à longitude $20{}^{\circ}$ O. Usando um grau de longitude de $111.3 \cos \varphi$ km, calcule a distância que ele percorre. Quanto mediria a mesma variação de longitude sobre o equador?

**Solução de Exercício 1.8.**

A variação de longitude é $10 + 20 = 30{}^{\circ}$. A $60{}^{\circ}$ N, um grau mede $111.3 \times 0.5 = 55.65\,\mathrm{km}$, logo a distância é $30 \times 55.65 \approx 1670\,\mathrm{km}$. Sobre o equador: $30 \times 111.3 \approx 3340\,\mathrm{km}$, o dobro.

**Exercício 1.9 ★★.**

O olho de um observador está a $h = 2\,\mathrm{m}$ acima de um mar calmo. A linha de visada até o horizonte tangencia o mar em $T$; o centro da Terra é $O$, e o olho, $E$. Explique por que o triângulo $OTE$ tem um ângulo reto em $T$ e, depois, use o teorema de Pitágoras com $R = 6371\,\mathrm{km}$ para mostrar que a distância até o horizonte é de cerca de $\sqrt{2Rh}$, e calcule-a.

**Solução de Exercício 1.9.**

A linha de visada toca o mar em $T$: uma tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de contato, logo o ângulo em $T$ é reto. Pitágoras: $(R+h)^2 = R^2 + d^2$, logo $d^2 = 2Rh + h^2$; $h$ é minúsculo comparado com $R$, logo $d \approx \sqrt{2Rh} = \sqrt{2 \times
6\,371\,000 \times 2} \approx 5050\,\mathrm{m}$, cerca de $5\,\mathrm{km}$.

**Exercício 1.10 ★★.**

Leia a curva dos comprimentos de grau. Entre quais latitudes o comprimento de um grau varia mais depressa? Explique em duas frases por que um grau de latitude é mais longo perto dos polos do que perto do equador.

**Solução de Exercício 1.10.**

A curva é mais inclinada nas latitudes médias, por volta de $30{}^{\circ}$ a $60{}^{\circ}$, e plana perto do equador e do polo. Numa Terra achatada, a superfície é menos curva perto dos polos; quanto menos curva a superfície, maior a distância a percorrer para que a vertical (e portanto a latitude) gire um grau.

**Exercício 1.11 ★★.**

O arco de meridiano de Dunquerque a Barcelona abrange $9.646{}^{\circ}$ de latitude e mede $1072.2\,\mathrm{km}$. Calcule o comprimento médio de um grau ao longo dele. Se todos os graus tivessem esse comprimento, quanto mediria o quarto de meridiano? Compare com $10\,002.0\,\mathrm{km}$ e explique a pequena diferença.

**Solução de Exercício 1.11.**

$1072.2/9.646 \approx 111.15\,\mathrm{km}$ por grau; $90 \times 111.15
\approx 10\,004\,\mathrm{km}$, $2\,\mathrm{km}$ a mais que o verdadeiro quarto de meridiano. O arco está centrado perto de $46{}^{\circ}$, onde um grau é um pouco mais longo que o grau médio do equador ao polo ($10\,002.0/90 \approx 111.13\,\mathrm{km}$).

**Exercício 1.12 ★★★.**

Eratóstenes mediu um ângulo de $7.2{}^{\circ}$ e uma distância de 5000 estádios. Se o seu ângulo estivesse errado em $0.1{}^{\circ}$ (pequeno demais), em que porcentagem a sua circunferência estaria errada, e em que sentido? Qual das suas duas medidas você acha que era a menos precisa?

**Solução de Exercício 1.12.**

Com $7.1{}^{\circ}$: $C = (360/7.1) \times 5000 \approx 253\,500$ estádios em vez de $250\,000$: cerca de 1.4 % a mais (um ângulo menor para a mesma distância significa uma Terra maior). A distância, contada em passos por caminhantes ao longo do Nilo, era bem menos precisa que o ângulo.

**Exercício 1.13 ★★★.**

Uma cadeia de dois triângulos: em $ABC$, $AB = 6.000\,\mathrm{km}$, $A = 55{}^{\circ}$, $B = 75{}^{\circ}$. No triângulo seguinte, $ACD$, construído sobre o lado $AC$, o ângulo em $A$ é de $50{}^{\circ}$ e o ângulo em $C$ é de $68{}^{\circ}$. Calcule $AC$ e, depois, $AD$.

**Solução de Exercício 1.13.**

Em $ABC$: $C = 50{}^{\circ}$, $AC = 6.000 \sin 75^\circ/\sin 50^\circ
\approx 7.566\,\mathrm{km}$. Em $ACD$: o ângulo em $D$ é $180 - 50 - 68 =
62{}^{\circ}$, e $AD = 7.566 \sin 68^\circ/\sin 62^\circ \approx
7.945\,\mathrm{km}$.

**Exercício 1.14 ★★★.**

Em que latitude um grau de longitude mede a metade do que mede no equador? Em que latitude ele mede um décimo? Explique por que nenhuma das duas respostas depende do tamanho da Terra.

**Solução de Exercício 1.14.**

$\cos\varphi = 1/2$ dá $\varphi = 60{}^{\circ}$; $\cos\varphi = 0.1$ dá $\varphi \approx 84.3{}^{\circ}$. Um grau de longitude na latitude $\varphi$ é o grau do equador multiplicado por $\cos\varphi$: a razão depende só do ângulo, não do raio.

**Exercício 1.15 ★★★.**

Use os valores do elipsoide: um grau de latitude mede $110.574\,\mathrm{km}$ no equador e $111.694\,\mathrm{km}$ no polo. Numa esfera de mesmo raio médio, um grau mediria $111.195\,\mathrm{km}$ em toda parte. Em quantos metros erraria um agrimensor que supusesse uma esfera, ao longo de um grau no equador e ao longo de um grau no polo? Por que um mapa que dá posições com precisão de um metro precisa ser calculado sobre o elipsoide?

**Solução de Exercício 1.15.**

No equador: $111.195 - 110.574 = 0.621\,\mathrm{km} = 621\,\mathrm{m}$; no polo: $111.694 - 111.195 = 0.499\,\mathrm{km} = 499\,\mathrm{m}$. Erros de várias centenas de metros por grau, que se somam grau após grau, são muito maiores que o metro: as posições convertidas a partir de latitudes e longitudes precisam usar o elipsoide.

## 1.7 Problema: o metro e o meridiano

**Problema 1.1.**

Problema de fim de semana — da sombra de Eratóstenes ao comprimento do primeiro metro

Um estudante refaz a história da medida da Terra com números modernos. Assuã, a antiga Siena, fica na latitude $24.09{}^{\circ}$ N, e Alexandria a $31.20{}^{\circ}$ N; no elipsoide moderno, o arco de meridiano entre os seus dois paralelos mede $788\,\mathrm{km}$. No elipsoide, um grau de latitude mede $110.57\,\mathrm{km}$ no equador, $111.13\,\mathrm{km}$ a $45{}^{\circ}$ e $111.51\,\mathrm{km}$ a $66{}^{\circ}$, e o quarto de meridiano mede $10\,001.966\,\mathrm{km}$.

**Parte I — Eratóstenes de novo.**

1. Calcule a diferença de latitude entre Assuã e Alexandria.
2. Que fração de uma volta completa ela representa? Compare com o $1/50$ de Eratóstenes.
3. Calcule a circunferência da Terra que o método de Eratóstenes dá com esses números modernos.
4. As duas cidades não estão no mesmo meridiano: Assuã fica cerca de $3{}^{\circ}$ de longitude a leste de Alexandria. Que distância deve ser usada no método: a distância em linha reta entre as cidades ou o arco de meridiano entre os seus paralelos? Por quê?
5. Por que as duas sombras precisam ser medidas no mesmo dia, ao meio-dia solar local?

**Parte II — Uma pequena triangulação.** Mede-se uma base $AB = 12.000\,\mathrm{km}$. De $A$, o sinal $C$ é visto a $58{}^{\circ}$ de $B$; de $B$, a $66{}^{\circ}$ de $A$. No triângulo seguinte, $ACD$, o ângulo em $A$ é de $47{}^{\circ}$ e o ângulo em $C$ é de $75{}^{\circ}$. O lado $AD$ aponta $8{}^{\circ}$ a leste do norte.

6. Calcule o ângulo em $C$ no triângulo $ABC$ .
7. Calcule o lado $AC$ .
8. Calcule o lado $BC$ .
9. Calcule o ângulo em $D$ no triângulo $ACD$ e, depois, o lado $AD$ .
10. Calcule a distância norte–sul entre $A$ e $D$ .
11. Usando o comprimento do grau a $45{}^{\circ}$ , calcule a diferença de latitude entre $A$ e $D$ , em graus e em minutos de arco.

**Parte III — Uma Terra achatada.**

12. Em quantos metros um grau de latitude a $66{}^{\circ}$ é mais longo que um grau no equador?
13. Explique o que essa diferença mostra sobre a forma da Terra.
14. No elipsoide, $a = 6378.137\,\mathrm{km}$ e $b = 6356.752\,\mathrm{km}$ . Calcule $a - b$ e o [achatamento](#def-g10-measuring-the-earth-ellipsoid) .
15. Explique por que, numa Terra achatada, o fio de prumo num lugar de latitude $45{}^{\circ}$ não aponta exatamente para o centro da Terra.

**Parte IV — O primeiro metro.**

16. Segundo a definição de 1791, quanto deveria medir o quarto de meridiano, em metros?
17. O metro de platina de 1799 foi fabricado a partir de um valor medido do meridiano. Se o quarto de meridiano mede na verdade $10\,001.966\,\mathrm{km}$ , quanto mede a sua décima milionésima parte?
18. O metro de 1799 era longo ou curto demais em relação à sua própria definição? Em que fração?
19. A barra de platina copiou fielmente o comprimento calculado nos anos 1790. O quarto de meridiano calculado naquela época era longo ou curto demais? Explique.
20. Em quantos milímetros o primeiro metro era mais curto que a décima milionésima parte do verdadeiro quarto de meridiano? Compare com a espessura de uma folha de papel, cerca de $0.1\,\mathrm{mm}$ .

**Solução de Problema 1.1.**

**1.** $31.20 - 24.09 = 7.11{}^{\circ}$.

**2.** $7.11/360 \approx 0.0198 = 1/50.6$, muito perto do $1/50$ de Eratóstenes.

**3.** $C = 788 \times 360/7.11 \approx 39\,900\,\mathrm{km}$.

**4.** O arco de meridiano entre os paralelos: a diferença dos ângulos ao meio-dia é a diferença de latitude, que mede apenas a separação norte–sul dos dois lugares; a componente leste–oeste da distância não tem nenhum papel.

**5.** Ao meio-dia solar local, o Sol está no plano do meridiano, o mesmo para os dois lugares; no mesmo dia ele tem a mesma posição entre as estrelas, de modo que os dois ângulos só diferem por causa da curvatura da Terra.

**6.** $180 - 58 - 66 = 56{}^{\circ}$.

**7.** $AC = 12.000 \sin 66^\circ/\sin 56^\circ = 12.000 \times
0.9135/0.8290 \approx 13.223\,\mathrm{km}$.

**8.** $BC = 12.000 \sin 58^\circ/\sin 56^\circ \approx 12.275\,\mathrm{km}$.

**9.** O ângulo em $D$ é $180 - 47 - 75 = 58{}^{\circ}$; $AD = 13.223 \sin 75^\circ/\sin 58^\circ \approx 15.061\,\mathrm{km}$.

**10.** $15.061 \cos 8^\circ \approx 14.914\,\mathrm{km}$.

**11.** $14.914/111.13 \approx 0.1342{}^{\circ}$, isto é, $0.1342 \times 60 \approx 8.05$ minutos de arco.

**12.** $111.51 - 110.57 = 0.94\,\mathrm{km}$: $940\,\mathrm{m}$.

**13.** Perto do polo, a vertical gira mais devagar com a distância: a superfície ali é menos curva. A Terra é achatada nos polos e dilatada no equador.

**14.** $a - b = 21.385\,\mathrm{km}$; $f = 21.385/6378.137 \approx 1/298$.

**15.** O fio de prumo é perpendicular à superfície do elipsoide. Numa elipse, a perpendicular à curva só passa pelo centro no equador e nos polos; a $45{}^{\circ}$ ela corta o eixo abaixo do centro.

**16.** $10\,000\,000$ metros, isto é, $10\,000\,\mathrm{km}$.

**17.** $10\,001\,966/10\,000\,000 \approx 1.000\,196\,6\,\mathrm{m}$.

**18.** Curto demais: a verdadeira décima milionésima parte vale $1.0001966$ do metro de 1799, logo o metro de 1799 é curto em cerca de $1.97 \times 10^{-4}$ do seu comprimento, 0.02 %.

**19.** Curto demais. A barra é a décima milionésima parte do quarto de meridiano calculado nos anos 1790; como a barra é mais curta que a décima milionésima parte do verdadeiro quarto de meridiano, o quarto de meridiano calculado era mais curto que o verdadeiro.

**20.** $1.0001966 - 1 = 0.0001966$ m: o primeiro metro era cerca de **$0.2\,\mathrm{mm}$ curto demais** — cerca de duas folhas de papel em um metro, uma precisão espantosa para um levantamento feito com lunetas e ângulos através de um país inteiro.