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title: "As ondas sísmicas revelam o interior"
book: "Ciências da Terra e do espaço do ensino médio"
subject: earth
language: pt
chapter: 11
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/earth/2/pt/chapter/11-as-ondas-sismicas-revelam-o-interior
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 11 — As ondas sísmicas revelam o interior

Em 8 de outubro de 1909, um terremoto sacudiu o vale do rio Kupa, a cerca de $40\,\mathrm{km}$ a sudeste de Zagreb, na Croácia. Alguns meses antes, Andrija Mohorovičić tinha instalado um novo sismógrafo no Observatório Meteorológico de Zagreb, e ele registrou todo o evento. Depois, ele pediu a outros observatórios os seus registros e reuniu os de 41 estações. Nos registros das estações mais distantes, ele encontrou algo inesperado: duas [ondas P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) separadas, uma fraca e depois uma mais forte, onde deveria haver uma só. Desse par de ondas, ele deduziu que a rocha sob a crosta é diferente, e mediu a profundidade da fronteira. Este capítulo mostra como os tempos de chegada das ondas dos terremotos revelam as camadas da Terra: a base da crosta, o núcleo e a sua parte externa líquida, e todo o interior, profundidade por profundidade.

**O que você já sabe.**

Um terremoto começa num ponto dentro da Terra, o foco; o ponto da superfície logo acima dele é o epicentro. Um sismômetro registra a vibração do solo, e a magnitude mede o tamanho de um terremoto (Livro 1, 7º ano). A Terra tem uma crosta, um manto e um núcleo; o núcleo tem uma parte externa líquida e uma parte interna sólida. As ondas dos terremotos são de dois tipos principais, as [ondas P](#def-g11-seismic-structure-body-waves), mais rápidas, e as [ondas S](#def-g11-seismic-structure-body-waves), mais lentas, e as [ondas S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) não conseguem atravessar um líquido (Livro 1, 6º ano). Uma onda que atravessa a fronteira entre dois materiais nos quais se propaga com as velocidades $v_1$ e $v_2$ é refratada: $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$, onde os ângulos são medidos a partir da perpendicular à fronteira (lei de Snell; os livros de física).

## 11.1 As ondas sísmicas e os tempos de percurso

### 11.1.1 Dois tipos de ondas de volume

Um terremoto envia ondas em todas as direções. Algumas se propagam ao longo da superfície; outras, as ondas de volume, atravessam o interior da Terra, e são elas que o revelam.

**Definição 11.1 (Onda P; onda S).**

Uma *onda P* é uma onda sísmica que alternadamente comprime e estica a rocha: a rocha vai e volta ao longo da direção em que a onda se propaga. Ela atravessa sólidos, líquidos e gases, e é a onda sísmica mais rápida, por isso chega primeiro. Uma *onda S* cisalha a rocha: a rocha se move perpendicularmente à direção em que a onda se propaga. Ela só atravessa sólidos, e chega depois da onda P.

Um líquido escoa e não oferece resistência a uma mudança de forma, de modo que não consegue transmitir um cisalhamento: é por isso que as [ondas S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) param na superfície de um líquido. Na maioria das rochas, uma [onda P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) se propaga cerca de $\sqrt 3 \approx 1.7$ vezes mais depressa que uma [onda S](#def-g11-seismic-structure-body-waves). Na crosta superior, uma [onda P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) se propaga a cerca de $5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ e uma [onda S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) a cerca de $3.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; logo abaixo da crosta, elas chegam a cerca de $8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ e $4.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

![Sismólogos da Puerto Rico Seismic Network e do USGS instalam um sismômetro temporário no sudoeste de Porto Rico, em 10 de janeiro de 2020. Fotografia: Thomas Pratt, USGS (domínio público).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g11-seismic-structure/img-bf0a36fba1b0.jpg)

*Sismólogos da Puerto Rico Seismic Network e do USGS instalam um sismômetro temporário no sudoeste de Porto Rico, em 10 de janeiro de 2020. Fotografia: Thomas Pratt, USGS (domínio público).*

### 11.1.2 As curvas de tempo de percurso

A distância de um terremoto a uma estação distante é medida como um ângulo: o ângulo $\Delta$ no centro da Terra entre o epicentro e a estação, a *distância epicentral*. Um grau dela corresponde a $111.2\,\mathrm{km}$ ao longo da superfície.

**Definição 11.2 (Tempo de percurso; curva de tempo de percurso).**

O *tempo de percurso* de uma onda sísmica até uma estação é o tempo que ela leva para ir do foco até a estação. A *curva de tempo de percurso* de uma onda é o gráfico do seu tempo de percurso em função da distância epicentral da estação.

Uma estação registra o instante em que cada onda chega; quando o instante do terremoto é conhecido, a diferença é o [tempo de percurso](#def-g11-seismic-structure-travel-time). Milhares de terremotos registrados por milhares de estações deram as [curvas de tempo de percurso](#def-g11-seismic-structure-travel-time) com grande precisão. Na figura, as curvas são calculadas a partir do [modelo de referência da Terra](#def-g11-seismic-structure-reference-model) da [Seção 11.4](#sec-11-4), e os pontos são [tempos de percurso](#def-g11-seismic-structure-travel-time) observados em terremotos reais: os dois concordam em menos de dois por cento em toda parte, e quase sempre em um ou dois segundos.

![Curvas de tempo de percurso das ondas P (azul) e das ondas S (laranja) de um terremoto na superfície, calculadas com o modelo de referência da Terra; as curvas tracejada e pontilhada são ondas P que atravessaram o núcleo (pontilhada: o núcleo interno). Pontos pretos: tempos de percurso observados. Entre cerca de 99 e 144, nenhuma onda P chega diretamente (sombreado).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g11-seismic-structure/fig-f26944342039.svg)

*[Curvas de tempo de percurso](#def-g11-seismic-structure-travel-time) das [ondas P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) (azul) e das [ondas S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) (laranja) de um terremoto na superfície, calculadas com o [modelo de referência da Terra](#def-g11-seismic-structure-reference-model); as curvas tracejada e pontilhada são [ondas P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) que atravessaram o núcleo (pontilhada: o núcleo interno). Pontos pretos: [tempos de percurso](#def-g11-seismic-structure-travel-time) observados. Entre cerca de $99{}^{\circ}$ e $144{}^{\circ}$, nenhuma [onda P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) chega diretamente (sombreado).*

A curva S sobe mais abruptamente que a curva P, de modo que o atraso entre as duas chegadas cresce com a distância. Isso dá a distância de um terremoto a partir de um único registro.

**Método 11.3 (Distância de um terremoto pelo atraso S–P).**

1. No registro, leia o instante da primeira [onda P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) e o da primeira [onda S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) ; a sua diferença é o atraso S–P.
2. Nas [curvas de tempo de percurso](#def-g11-seismic-structure-travel-time) (ou numa tabela delas), encontre a distância epicentral em que a curva S fica esse atraso acima da curva P.
3. Converta em quilômetros, se necessário, com $111.2\,\mathrm{km}$ por grau.

Com três estações, o epicentro é o ponto que fica à distância certa das três.

**Exemplo 11.4 (Um terremoto a 60∘60{}^{\circ}60∘).**

Os [tempos de percurso](#def-g11-seismic-structure-travel-time) observados são de $608\,\mathrm{s}$ para P e $1101\,\mathrm{s}$ para S a $60{}^{\circ}$, e de $536\,\mathrm{s}$ e $967\,\mathrm{s}$ a $50{}^{\circ}$. Uma estação que registra uma [onda S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) $493\,\mathrm{s}$ (8 minutos e 13 segundos) depois da [onda P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) fica, portanto, a $60{}^{\circ}$ do epicentro: cerca de $60 \times 111.2 \approx
6670\,\mathrm{km}$. A $50{}^{\circ}$, o atraso seria de apenas $431\,\mathrm{s}$.

![Num observatório de sismologia, os registros de muitas estações são mostrados lado a lado, e os terremotos que eles localizam são marcados num mapa-múndi (ilustração gerada por IA).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g11-seismic-structure/img-a554ba992d18.jpg)

*Num observatório de sismologia, os registros de muitas estações são mostrados lado a lado, e os terremotos que eles localizam são marcados num mapa-múndi (ilustração gerada por IA).*

## 11.2 A refração e o Moho

### 11.2.1 A onda que corre ao longo de uma fronteira

No interior da Terra, a velocidade das ondas sísmicas muda com a profundidade, quase sempre gradualmente, mas em alguns lugares de uma vez.

**Definição 11.5 (Descontinuidade sísmica).**

Uma *descontinuidade sísmica* é uma superfície no interior da Terra através da qual a velocidade das ondas sísmicas muda bruscamente — numa espessura muito menor que o comprimento das ondas.

Numa descontinuidade, parte de uma onda é refletida e parte é refratada. Tome uma camada de espessura $h$ na qual as [ondas P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) se propagam a $v_1$, sobre uma camada na qual elas são mais rápidas, $v_2 > v_1$. Um raio que desce com o ângulo $i$ em relação à vertical é refratado com o ângulo $r$ dado por $\sin r = (v_2/v_1)\sin
i$: ele se afasta da vertical. Quando $\sin i$ chega a $v_1/v_2$, o raio refratado corre exatamente ao longo da fronteira. O ângulo

$$
i_c, \qquad \sin i_c = \frac{v_1}{v_2},
$$

é o *ângulo crítico*. A onda refratada no [ângulo crítico](#ex-g11-seismic-structure-sp) se propaga ao longo do topo da camada mais rápida com a velocidade $v_2$ e, à medida que avança, envia ondas de volta para cima, para a camada superior, todas com o ângulo $i_c$: elas chegam à superfície como a *onda frontal*.

![A onda direta e a onda frontal (em escala: crosta de 30\, km de espessura). A onda frontal desce com o ângulo crítico i_c, corre ao longo do topo do manto e volta a subir com i_c; ao longo de todo o seu trajeto no Moho, ela envia ondas para a superfície (tracejadas). Ela não chega a nenhuma estação mais próxima que 2h i_c, cerca de 71\, km aqui.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g11-seismic-structure/fig-78ff3c7eb88b.svg)

*A onda direta e a [onda frontal](#ex-g11-seismic-structure-sp) (em escala: crosta de $30\,\mathrm{km}$ de espessura). A [onda frontal](#ex-g11-seismic-structure-sp) desce com o [ângulo crítico](#ex-g11-seismic-structure-sp) $i_c$, corre ao longo do topo do manto e volta a subir com $i_c$; ao longo de todo o seu trajeto no [Moho](#def-g11-seismic-structure-moho), ela envia ondas para a superfície (tracejadas). Ela não chega a nenhuma estação mais próxima que $2h\tan i_c$, cerca de $71\,\mathrm{km}$ aqui.*

**Proposição 11.6 (Tempo de percurso da onda frontal).**

Para uma fonte na superfície, uma estação à distância $x \ge 2h\tan i_c$ recebe a [onda frontal](#ex-g11-seismic-structure-sp) depois de

$$
t(x) = \frac{x}{v_2} + \frac{2h\cos i_c}{v_1}.
$$

A sua [curva de tempo de percurso](#def-g11-seismic-structure-travel-time) é uma reta de inclinação $1/v_2$ que, prolongada para trás, corta o eixo dos tempos no *tempo de intercepto* $t_i = 2h\cos i_c/v_1$.

**Demonstração.** O raio desce por um trecho inclinado de comprimento $h/\cos i_c$, que avança horizontalmente $h\tan i_c$; ele faz o mesmo na subida. Entre os dois, ele corre ao longo da fronteira por $x - 2h\tan i_c$. O tempo é

$$
t = \frac{2h}{v_1\cos i_c} + \frac{x - 2h\tan i_c}{v_2}
    = \frac{x}{v_2} + \frac{2h}{v_1\cos i_c} - \frac{2h\sin i_c}{v_2\cos i_c}.
$$

Como $1/v_2 = \sin i_c/v_1$, os dois últimos termos dão $\frac{2h}{v_1\cos i_c}\,(1 - \sin^2 i_c) = \frac{2h\cos i_c}{v_1}$. ∎

A onda direta chega depois de $x/v_1$: a sua curva é uma reta que passa pela origem, mais inclinada que a reta da [onda frontal](#ex-g11-seismic-structure-sp). Perto da fonte, a onda direta chega primeiro; longe, a [onda frontal](#ex-g11-seismic-structure-sp), que percorreu a maior parte do caminho na velocidade maior, a ultrapassa.

**Proposição 11.7 (Distância de cruzamento).**

A [onda frontal](#ex-g11-seismic-structure-sp) chega antes da onda direta além da *distância de cruzamento*

$$
x_c = 2h\sqrt{\frac{v_2 + v_1}{v_2 - v_1}}.
$$

**Demonstração.** As duas chegam juntas quando $x/v_1 = x/v_2 + 2h\cos i_c/v_1$, isto é, $x\,(v_2 - v_1)/(v_1 v_2) = 2h\cos i_c/v_1$, logo $x = 2h\cos i_c\,v_2/(v_2 -
v_1)$. Ora, $\cos i_c = \sqrt{1 - v_1^2/v_2^2} = \sqrt{(v_2 - v_1)(v_2 +
v_1)}/v_2$, portanto $x = 2h\sqrt{(v_2 + v_1)(v_2 - v_1)}/(v_2 - v_1) =
2h\sqrt{(v_2 + v_1)/(v_2 - v_1)}$. Além dela, a [onda frontal](#ex-g11-seismic-structure-sp), cuja reta é menos inclinada, chega primeiro. ∎

![Tempos de percurso da onda direta e da onda frontal para a crosta da figura anterior. A reta da onda frontal, prolongada para trás (tracejada), corta o eixo dos tempos no tempo de intercepto; além da distância de cruzamento x_c 165\, km, a onda frontal chega primeiro.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g11-seismic-structure/fig-1db6c8bb7b41.svg)

*[Tempos de percurso](#def-g11-seismic-structure-travel-time) da onda direta e da [onda frontal](#ex-g11-seismic-structure-sp) para a crosta da figura anterior. A reta da [onda frontal](#ex-g11-seismic-structure-sp), prolongada para trás (tracejada), corta o eixo dos tempos no [tempo de intercepto](#prop-g11-seismic-structure-head-wave); além da [distância de cruzamento](#prop-g11-seismic-structure-crossover) $x_c \approx
165\,\mathrm{km}$, a [onda frontal](#ex-g11-seismic-structure-sp) chega primeiro.*

### 11.2.2 A base da crosta

**Definição 11.8 (Moho).**

A *descontinuidade de Mohorovičić*, ou *Moho*, é a [descontinuidade sísmica](#def-g11-seismic-structure-discontinuity) na base da crosta, onde a velocidade das [ondas P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) salta de no máximo cerca de $7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ para cerca de $8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, a velocidade no topo do manto.

**História — Mohorovičić e as duas ondas P, 1909.**

Andrija Mohorovičić (1857–1936) descobriu, nos registros do terremoto de 1909, que além de uma certa distância — em geral entre 100 e $150\,\mathrm{km}$ — uma [onda P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) fraca e mais rápida chegava antes da [onda P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) forte. Ele a explicou como uma onda que tinha atravessado uma rocha mais rápida sob a crosta. Ele chamou as duas ondas de Pg (a onda direta na crosta) e Pn (a [onda frontal](#ex-g11-seismic-structure-sp) ao longo do topo do manto), fez o mesmo para as [ondas S](#def-g11-seismic-structure-body-waves), e deduziu as velocidades das duas camadas e a profundidade da fronteira entre elas. A onda Pn se propaga a cerca de $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, a velocidade do topo do manto. Os seus artigos de 1910 provaram que a crosta e o manto são diferentes; a fronteira leva o seu nome.

**Método 11.9 (Profundidade do Moho a partir de um diagrama de tempos de percurso).**

1. Represente os tempos das primeiras chegadas em função da distância ao epicentro.
2. Trace a reta da onda direta (pela origem) e a reta da [onda frontal](#ex-g11-seismic-structure-sp) ; as suas inclinações são $1/v_1$ e $1/v_2$ .
3. Prolongue a reta da [onda frontal](#ex-g11-seismic-structure-sp) para trás até o eixo dos tempos: ela o corta no [tempo de intercepto](#prop-g11-seismic-structure-head-wave) $t_i$ .
4. Com $\sin i_c = v_1/v_2$ , a espessura da crosta é $h = \dfrac{v_1\,t_i}{2\cos i_c}$ .

**Exemplo 11.10 (Uma crosta de 30 km30\,\mathrm{km}30km de espessura).**

Com $v_1 = 6.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ e $v_2 = 8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $\sin i_c = 0.765$, $i_c \approx 49.9{}^{\circ}$ e $\cos i_c \approx 0.644$. Um [tempo de intercepto](#prop-g11-seismic-structure-head-wave) de $6.23\,\mathrm{s}$ dá $h = 6.2 \times 6.23/(2 \times 0.644) \approx
30\,\mathrm{km}$. A [onda frontal](#ex-g11-seismic-structure-sp) chega à superfície pela primeira vez a $2h\tan i_c \approx 71\,\mathrm{km}$ e ultrapassa a onda direta além de $x_c = 60\sqrt{14.3/1.9} \approx 165\,\mathrm{km}$.

Medido dessa maneira no mundo inteiro, o [Moho](#def-g11-seismic-structure-moho) fica apenas a cerca de $5\,\mathrm{km}$ abaixo do fundo dos oceanos. Sob os continentes, ele fica em média a cerca de $41\,\mathrm{km}$ de profundidade: cerca de $30\,\mathrm{km}$ onde a crosta foi estirada, mais de $45\,\mathrm{km}$ sob as cadeias de montanhas, e até cerca de $100\,\mathrm{km}$ sob as cordilheiras mais altas. A crosta é uma pele fina: mesmo $41\,\mathrm{km}$ são menos de um por cento do raio da Terra.

## 11.3 O núcleo

### 11.3.1 Raios que se curvam

No manto, a velocidade das ondas sísmicas aumenta com a profundidade. Um raio que desce atravessa rochas cada vez mais rápidas e, pela lei de Snell, se afasta um pouco mais da vertical a cada passo: o seu trajeto se curva e volta a subir em direção à superfície. Quanto mais fundo um raio faz a curva, mais longe do terremoto ele volta à superfície. A figura mostra raios desse tipo, calculados com as velocidades do [modelo de referência da Terra](#def-g11-seismic-structure-reference-model).

![Raios de um terremoto no topo da Terra, calculados com as velocidades do modelo de referência. À direita: raios P que fazem a curva no manto, até cerca de 99, e raios P que atravessam o núcleo e saem além de cerca de 144; entre os dois, nenhum raio P chega diretamente. À esquerda: raios S, que fazem a curva no manto; nenhum atravessa o núcleo externo líquido, e nenhuma onda S direta chega além de cerca de 103.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g11-seismic-structure/fig-c74c8d70a960.svg)

*Raios de um terremoto no topo da Terra, calculados com as velocidades do modelo de referência. À direita: raios P que fazem a curva no manto, até cerca de $99{}^{\circ}$, e raios P que atravessam o núcleo e saem além de cerca de $144{}^{\circ}$; entre os dois, nenhum raio P chega diretamente. À esquerda: raios S, que fazem a curva no manto; nenhum atravessa o núcleo externo líquido, e nenhuma [onda S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) direta chega além de cerca de $103{}^{\circ}$.*

### 11.3.2 A zona de sombra e o núcleo externo líquido

Em 1906, o sismólogo Oldham percebeu que as [ondas P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) registradas do outro lado da Terra em relação a um terremoto chegavam atrasadas em comparação com os tempos esperados, e propôs um núcleo central no qual elas se propagam mais devagar. Em 1912, Gutenberg mostrou que as [ondas P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) não chegam a toda uma faixa de distâncias, entre cerca de $105{}^{\circ}$ e $143{}^{\circ}$, com chegadas fortes logo além de $143{}^{\circ}$; em 1914, ele situou o topo do núcleo a $2900\,\mathrm{km}$ de profundidade.

**Definição 11.11 (Zona de sombra).**

A *zona de sombra* de uma onda sísmica é a faixa de distâncias epicentrais que a onda não consegue alcançar diretamente a partir de um terremoto, porque o núcleo a desvia ou a detém.

Os raios a explicam. Os raios P que fazem a curva logo acima do núcleo voltam à superfície a cerca de $100{}^{\circ}$ do terremoto. Um raio que desce um pouco mais inclinado entra no núcleo, onde a velocidade P cai bruscamente de $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ para cerca de $8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: pela lei de Snell, ele se inclina *em direção* à vertical, atravessa o núcleo e sai muito mais longe, além de cerca de $144{}^{\circ}$. Nenhum raio P que faz a curva no manto e nenhum raio P que atravessa o núcleo cai entre os dois. No modelo de referência, a [zona de sombra](#def-g11-seismic-structure-shadow-zone) P vai de $98.5{}^{\circ}$ a $143.8{}^{\circ}$, perto dos $105{}^{\circ}$–$143{}^{\circ}$ de Gutenberg.

As [ondas S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) dizem mais. Nenhuma [onda S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) atravessa o núcleo externo: o núcleo externo não transmite ondas de cisalhamento, logo ele é líquido. Em consequência, nenhuma [onda S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) chega diretamente além de cerca de $103{}^{\circ}$ no modelo de referência — em todo o lado oposto da Terra.

**Definição 11.12 (Limite manto–núcleo; limite do núcleo interno).**

O *limite manto–núcleo* é a [descontinuidade sísmica](#def-g11-seismic-structure-discontinuity) entre o manto sólido e o núcleo externo líquido, a uma profundidade de $2891\,\mathrm{km}$; ali, a velocidade P cai de cerca de $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ para cerca de $8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, e as [ondas S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) param. O *limite do núcleo interno*, a uma profundidade de $5150\,\mathrm{km}$, separa o núcleo externo líquido do núcleo interno sólido; ali, a velocidade P salta de cerca de $10.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ para cerca de $11.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

A [zona de sombra](#def-g11-seismic-structure-shadow-zone) não é completamente silenciosa: [ondas P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) fracas chegam a ela. Inge Lehmann as explicou em 1936 com um núcleo interno sólido, no qual as [ondas P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) se propagam mais depressa (Livro 1, 6º ano). Os raios mostram como. Um raio P que chega ao núcleo interno se afasta da vertical onde a velocidade salta para cima, como no [Moho](#def-g11-seismic-structure-moho), e sai do núcleo mais cedo: no modelo de referência, os raios que atravessam o núcleo interno chegam à superfície a partir de cerca de $121{}^{\circ}$, dentro da [zona de sombra](#def-g11-seismic-structure-shadow-zone) (curva pontilhada da figura dos [tempos de percurso](#def-g11-seismic-structure-travel-time)).

## 11.4 Um modelo de referência da Terra

Reunidos, milhões de [tempos de percurso](#def-g11-seismic-structure-travel-time) dão a velocidade das [ondas P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) e S em cada profundidade. As suas velocidades dependem da rocha e da sua densidade, e a massa total da Terra fixa a sua densidade média; juntas, elas dão também a densidade em cada profundidade.

**Definição 11.13 (Modelo de referência da Terra).**

Um *modelo de referência da Terra* é uma tabela da velocidade das [ondas P](#def-g11-seismic-structure-body-waves), da velocidade das [ondas S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) e da densidade em função da profundidade, a mesma em todas as direções, escolhida para concordar com os [tempos de percurso](#def-g11-seismic-structure-travel-time) observados das ondas sísmicas e com a massa da Terra.

O mais usado é o Preliminary Reference Earth Model (PREM), publicado por A. M. Dziewonski e D. L. Anderson em 1981. Os raios e os [tempos de percurso](#def-g11-seismic-structure-travel-time) deste capítulo foram calculados com ele: o [tempo de percurso](#def-g11-seismic-structure-travel-time) P a $60{}^{\circ}$, por exemplo, sai $607\,\mathrm{s}$, contra $608\,\mathrm{s}$ observados.

![As velocidades das ondas P e S e a densidade em função da profundidade no Preliminary Reference Earth Model (Dziewonski e Anderson, 1981). As linhas pontilhadas marcam as principais descontinuidades abaixo do Moho, que é raso demais para aparecer nesta escala.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g11-seismic-structure/fig-99408ff1df66.svg)

*As velocidades das [ondas P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) e S e a densidade em função da profundidade no Preliminary Reference Earth Model (Dziewonski e Anderson, 1981). As linhas pontilhadas marcam as principais descontinuidades abaixo do [Moho](#def-g11-seismic-structure-moho), que é raso demais para aparecer nesta escala.*

Lendo o modelo de cima para baixo:

- a crosta, com velocidades P de 5.8 a $6.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , termina no [Moho](#def-g11-seismic-structure-moho) ( $24.4\,\mathrm{km}$ neste modelo médio);
- no manto, as velocidades sobem com a profundidade, com saltos bruscos menores, os maiores perto de $400\,\mathrm{km}$ e de $670\,\mathrm{km}$ ;
- a $2891\,\mathrm{km}$ , a velocidade S cai a zero e a velocidade P cai mais de $5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : o núcleo externo líquido;
- a $5150\,\mathrm{km}$ , as [ondas S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) voltam a existir: o núcleo interno sólido, de $1220\,\mathrm{km}$ de raio.

A densidade sobe de $2.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ na crosta para $5.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ na base do manto, depois salta para $9.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ no topo do núcleo e chega a $13.1\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ no centro. A densidade média de todo o modelo é de $5.5\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$, o dobro da das rochas da crosta: o interior profundo, e sobretudo o núcleo, é feito de um material muito mais denso que a superfície. O núcleo contém cerca de um terço da massa da Terra.

## 11.5 Exercícios

**Exercício 11.1 ★.**

Dê duas diferenças entre as [ondas P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) e as [ondas S](#def-g11-seismic-structure-body-waves). Qual delas é registrada primeiro por um sismômetro, e por quê?

**Solução de Exercício 11.1.**

Uma [onda P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) comprime e estica a rocha, que se move ao longo da direção de propagação; uma [onda S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) a cisalha, e a rocha se move perpendicularmente a essa direção. As [ondas P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) atravessam sólidos e líquidos; as [ondas S](#def-g11-seismic-structure-body-waves), só sólidos. A [onda P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) é registrada primeiro, porque é a mais rápida das duas.

**Exercício 11.2 ★.**

Uma estação fica a $40{}^{\circ}$ de um epicentro. A que distância ela está, medida ao longo da superfície? A quantos graus fica uma estação a $8900\,\mathrm{km}$ de um epicentro?

**Solução de Exercício 11.2.**

$40 \times 111.2 = 4448\,\mathrm{km}$, cerca de $4450\,\mathrm{km}$. $8900/111.2
\approx 80{}^{\circ}$.

**Exercício 11.3 ★.**

Os [tempos de percurso](#def-g11-seismic-structure-travel-time) observados a $40{}^{\circ}$ são de $456\,\mathrm{s}$ para P e $822\,\mathrm{s}$ para S. Converta-os em minutos e segundos, e dê o atraso S–P.

**Solução de Exercício 11.3.**

$456\,\mathrm{s}$ são 7 minutos e 36 segundos; $822\,\mathrm{s}$ são 13 minutos e 42 segundos. O atraso S–P é de $822 - 456 = 366\,\mathrm{s}$, isto é, 6 minutos e 6 segundos.

**Exercício 11.4 ★.**

Uma crosta na qual as [ondas P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) se propagam a $6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ repousa sobre um manto onde elas se propagam a $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Calcule o [ângulo crítico](#ex-g11-seismic-structure-sp).

**Solução de Exercício 11.4.**

$\sin i_c = 6.0/8.0 = 0.75$, logo $i_c \approx 48.6{}^{\circ}$.

**Exercício 11.5 ★.**

No modelo de referência, o [limite manto–núcleo](#def-g11-seismic-structure-core) fica a $2891\,\mathrm{km}$ de profundidade e o [limite do núcleo interno](#def-g11-seismic-structure-core) a $5150\,\mathrm{km}$; o raio da Terra é de $6371\,\mathrm{km}$. Calcule a espessura do núcleo externo, o raio do núcleo e o raio do núcleo como fração do raio da Terra.

**Solução de Exercício 11.5.**

O núcleo externo tem $5150 - 2891 = 2259\,\mathrm{km}$ de espessura. O raio do núcleo é $6371 - 2891 = 3480\,\mathrm{km}$, e $3480/6371 \approx 0.55$: um pouco mais da metade do raio da Terra.

**Exercício 11.6 ★★.**

Os atrasos S–P observados são de $224\,\mathrm{s}$ a $20{}^{\circ}$, $298\,\mathrm{s}$ a $30{}^{\circ}$, $366\,\mathrm{s}$ a $40{}^{\circ}$, $431\,\mathrm{s}$ a $50{}^{\circ}$ e $493\,\mathrm{s}$ a $60{}^{\circ}$. Uma estação registra uma [onda S](#def-g11-seismic-structure-body-waves) 6 minutos e 6 segundos depois da [onda P](#def-g11-seismic-structure-body-waves). A que distância está o terremoto, em graus e em quilômetros? Por que uma única estação não consegue dizer onde está o terremoto?

**Solução de Exercício 11.6.**

6 minutos e 6 segundos são $366\,\mathrm{s}$: o terremoto está a $40{}^{\circ}$, isto é, $40 \times 111.2 \approx 4450\,\mathrm{km}$. Um único atraso só dá a distância: o epicentro pode estar em qualquer ponto de um círculo desse raio em torno da estação. São precisas mais duas estações para encontrar o único ponto que fica à distância certa das três.

**Exercício 11.7 ★★.**

Com as velocidades do [Exercício 11.4](#exo-g11-seismic-structure-4) e uma crosta de $35\,\mathrm{km}$ de espessura, calcule os [tempos de percurso](#def-g11-seismic-structure-travel-time) da onda direta e da [onda frontal](#ex-g11-seismic-structure-sp) numa estação a $200\,\mathrm{km}$ do epicentro. Qual chega primeiro?

**Solução de Exercício 11.7.**

$i_c \approx 48.6{}^{\circ}$ e $\cos i_c \approx 0.661$. Onda direta: $200/6.0
\approx 33.3\,\mathrm{s}$. [Onda frontal](#ex-g11-seismic-structure-sp): $200/8.0 + 2 \times 35 \times 0.661/6.0
\approx 25.0 + 7.7 = 32.7\,\mathrm{s}$. A [onda frontal](#ex-g11-seismic-structure-sp) chega primeiro, cerca de $0.6\,\mathrm{s}$ antes.

**Exercício 11.8 ★★.**

Para a crosta do [Exercício 11.7](#exo-g11-seismic-structure-7), calcule a distância crítica $2h\tan i_c$ e a [distância de cruzamento](#prop-g11-seismic-structure-crossover). Verifique que a resposta ao [Exercício 11.7](#exo-g11-seismic-structure-7) concorda.

**Solução de Exercício 11.8.**

$\tan i_c \approx 1.134$: a distância crítica é $2 \times 35 \times 1.134
\approx 79\,\mathrm{km}$. A [distância de cruzamento](#prop-g11-seismic-structure-crossover) é $2 \times 35 \times
\sqrt{14.0/2.0} = 70\sqrt 7 \approx 185\,\mathrm{km}$. A estação do [Exercício 11.7](#exo-g11-seismic-structure-7) fica a $200\,\mathrm{km}$, além do cruzamento: a [onda frontal](#ex-g11-seismic-structure-sp) chega primeiro, como se encontrou.

**Exercício 11.9 ★★.**

Sob um oceano, uma crosta de $6\,\mathrm{km}$ de espessura, na qual as [ondas P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) se propagam a $6.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, repousa sobre um manto a $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Calcule o [ângulo crítico](#ex-g11-seismic-structure-sp), o [tempo de intercepto](#prop-g11-seismic-structure-head-wave) e a [distância de cruzamento](#prop-g11-seismic-structure-crossover). Por que as estações precisam estar muito mais próximas umas das outras para encontrar o [Moho](#def-g11-seismic-structure-moho) sob um oceano do que sob um continente?

**Solução de Exercício 11.9.**

$\sin i_c = 6.5/8.0 = 0.8125$, $i_c \approx 54.3{}^{\circ}$ e $\cos i_c \approx
0.583$. [Tempo de intercepto](#prop-g11-seismic-structure-head-wave): $2 \times 6 \times 0.583/6.5 \approx 1.1\,\mathrm{s}$. [Distância de cruzamento](#prop-g11-seismic-structure-crossover): $12\sqrt{14.5/1.5} \approx 37\,\mathrm{km}$. Sob um continente, o cruzamento fica perto de $165\,\mathrm{km}$, de modo que estações a algumas dezenas de quilômetros umas das outras captam as duas retas; sob o oceano, a [onda frontal](#ex-g11-seismic-structure-sp) já chega primeiro além de cerca de $37\,\mathrm{km}$, e a reta da onda direta tem apenas algumas dezenas de quilômetros de comprimento: as estações precisam estar a alguns quilômetros umas das outras para traçá-la.

**Exercício 11.10 ★★.**

Um raio P no manto mais profundo, onde se propaga a $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, encontra o [limite manto–núcleo](#def-g11-seismic-structure-core) a $30{}^{\circ}$ da perpendicular. Abaixo do limite, a velocidade P é de $8.06\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Calcule o ângulo do raio refratado. O raio se inclina em direção à perpendicular ou se afasta dela? Use isso para explicar por que os raios P que entram no núcleo saem longe do terremoto.

**Solução de Exercício 11.10.**

$\sin r = (8.06/13.7)\sin30{}^{\circ} \approx 0.294$, logo $r \approx 17.1{}^{\circ}$: o raio se inclina em direção à perpendicular, isto é, em direção ao centro da Terra. Ele atravessa, portanto, o núcleo por um longo trajeto perto do seu meio, e volta a sair bem longe, do outro lado: os raios P que entram no núcleo saem muito mais longe do terremoto que os raios que passam logo ao lado dele.

**Exercício 11.11 ★★.**

No modelo de referência, uma [onda P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) que desce em linha reta passando pelo centro leva $1210\,\mathrm{s}$ para chegar ao ponto oposto da Terra. Quanto tempo ela levaria se percorresse todo o diâmetro ($12\,742\,\mathrm{km}$) a $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, a velocidade P na base do manto? O que Oldham concluiu desses atrasos?

**Solução de Exercício 11.11.**

$12\,742/13.7 \approx 930\,\mathrm{s}$, cerca de 15.5 minutos, enquanto a onda leva $1210\,\mathrm{s}$, cerca de 20 minutos: ela chega uns 280 segundos atrasada. Mesmo na velocidade mais alta do manto, a onda chegaria muito antes, de modo que o meio da Terra precisa freá-la. Oldham concluiu que a Terra tem um núcleo central no qual as [ondas P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) se propagam mais devagar que no manto.

**Exercício 11.12 ★★★.**

(1) A partir da [Proposição 11.6](#prop-g11-seismic-structure-head-wave), mostre que a espessura da crosta é

$$
h = \frac{t_i\,v_1 v_2}{2\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}.
$$

(2) Aplique-a a $t_i = 6.23\,\mathrm{s}$, $v_1 = 6.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ e $v_2 = 8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**Solução de Exercício 11.12.**

(1) Pela proposição, $t_i = 2h\cos i_c/v_1$, e $\cos i_c = \sqrt{1 -
v_1^2/v_2^2} = \sqrt{v_2^2 - v_1^2}/v_2$. Logo

$$
t_i = \frac{2h\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}{v_1 v_2},
  \qquad\text{portanto}\qquad
  h = \frac{t_i\,v_1 v_2}{2\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}.
$$

(2) $h = 6.23 \times 6.2 \times 8.1/\bigl(2\sqrt{65.61 -
38.44}\bigr) \approx 312.9/10.43 \approx 30.0\,\mathrm{km}$.

**Exercício 11.13 ★★★.**

A densidade média da Terra é de $5.52\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$. Trate a Terra como um núcleo de raio $3480\,\mathrm{km}$ e densidade uniforme $\rho_c$, dentro de um manto e de uma crosta de densidade uniforme $4.45\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ (a média do modelo de referência). (1) Que fração do volume da Terra é o núcleo? (2) Calcule $\rho_c$. (3) Compare com a densidade no topo do núcleo no modelo de referência, $9.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$, e com a densidade da crosta.

**Solução de Exercício 11.13.**

(1) $(3480/6371)^3 \approx 0.163$: o núcleo é cerca de $16\,\%$ do volume. (2) A densidade média é a média ponderada pelos volumes: $5.52 = 0.163
\rho_c + 0.837 \times 4.45$, logo $\rho_c \approx (5.52 - 3.72)/0.163 \approx
11.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$. (3) Isso é mais que $9.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$, como deve ser, já que a densidade do núcleo aumenta em direção ao centro (até $13.1\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$); é cerca de quatro vezes a densidade da crosta, $2.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$. O núcleo é feito de um material muito mais denso que as rochas da superfície.

**Exercício 11.14 ★★★.**

A [zona de sombra](#def-g11-seismic-structure-shadow-zone) P de Gutenberg vai de $105{}^{\circ}$ a $143{}^{\circ}$. (1) Dê os seus limites em quilômetros ao longo da superfície. (2) Numa esfera, a área entre as distâncias angulares $a$ e $b$ de um ponto é a fração $(\cos a - \cos
b)/2$ de toda a superfície. Que fração da superfície da Terra não recebe nenhuma [onda P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) direta de um dado terremoto? (3) Por que cada terremoto tem a sua própria [zona de sombra](#def-g11-seismic-structure-shadow-zone)?

**Solução de Exercício 11.14.**

(1) $105 \times 111.2 \approx 11\,700\,\mathrm{km}$ e $143 \times 111.2 \approx
15\,900\,\mathrm{km}$. (2) $(\cos105{}^{\circ} - \cos143{}^{\circ})/2 \approx (-0.259 +
0.799)/2 \approx 0.27$: cerca de $27\,\%$ da superfície, um anel em torno do ponto oposto ao terremoto. (3) A [zona de sombra](#def-g11-seismic-structure-shadow-zone) é uma faixa de distâncias ao epicentro: ela se desloca com o terremoto. Cada terremoto tem o seu próprio anel.

**Exercício 11.15 ★★★.**

Sob uma alta cadeia de montanhas, um levantamento de refração encontra $v_1 =
6.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $v_2 = 8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ e um [tempo de intercepto](#prop-g11-seismic-structure-head-wave) de $9.5\,\mathrm{s}$. (1) Calcule a espessura da crosta ali. (2) Que [tempo de intercepto](#prop-g11-seismic-structure-head-wave) daria uma crosta de $30\,\mathrm{km}$ de espessura com as mesmas velocidades? (3) Compare com a espessura média da crosta continental.

**Solução de Exercício 11.15.**

(1) $h = 9.5 \times 6.3 \times 8.1/\bigl(2\sqrt{65.61 - 39.69}\bigr) \approx
484.8/10.18 \approx 48\,\mathrm{km}$. (2) $\sin i_c = 6.3/8.1 \approx 0.778$, $\cos i_c \approx 0.629$, e $t_i = 2 \times 30 \times 0.629/6.3 \approx
6.0\,\mathrm{s}$. (3) A crosta sob a cordilheira tem cerca de $48\,\mathrm{km}$ de espessura, mais que a média continental de cerca de $41\,\mathrm{km}$ e perto da média das cadeias de montanhas: as cordilheiras altas se apoiam numa crosta espessa.

## 11.6 Problema: encontrar o Moho

**Problema 11.1.**

Problema de fim de semana — a profundidade da crosta a partir de quinze estações

Um pequeno terremoto ocorre a uma profundidade muito rasa sob um continente. Quinze estações dispostas numa linha reta a partir do epicentro registram os instantes de chegada da primeira [onda P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) e, onde é possível lê-los, de uma segunda. As leituras abaixo são inventadas, mas calculadas como um levantamento real as encontraria, ao décimo de segundo. Pg é a onda que se propaga pela crosta, Pn a que correu ao longo do topo do manto.

| distância ($\mathrm{km}$) | Pg ($\mathrm{s}$) | Pn ($\mathrm{s}$) | distância ($\mathrm{km}$) | Pg ($\mathrm{s}$) | Pn ($\mathrm{s}$) |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 20 | 3.3 | — | 180 | 29.0 | 28.5 |
| 40 | 6.5 | — | 200 | 32.3 | 30.9 |
| 60 | 9.7 | — | 220 | — | 33.3 |
| 80 | 12.8 | 16.2 | 240 | — | 35.8 |
| 100 | 16.1 | 18.6 | 260 | — | 38.3 |
| 120 | 19.3 | 21.1 | 280 | — | 40.8 |
| 140 | 22.6 | 23.6 | 300 | — | 43.2 |
| 160 | 25.8 | 26.0 |  |  |  |

**Parte I — A onda direta.**

1. Em papel milimetrado, represente os tempos Pg e Pn em função da distância ( $1\,\mathrm{cm}$ para $20\,\mathrm{km}$ e para $5\,\mathrm{s}$ ). Como se dispõem os pontos Pg?
2. Por que a reta Pg passa perto da origem?
3. Usando as estações a 20 e a $200\,\mathrm{km}$ , calcule a inclinação da reta Pg em segundos por quilômetro.
4. Deduza a velocidade $v_1$ das [ondas P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) na crosta.
5. Se a crosta continuasse, quando a onda Pg chegaria à estação a $300\,\mathrm{km}$ ?

**Parte II — A onda refratada.**

6. Usando as estações a 100 e a $300\,\mathrm{km}$ , calcule a inclinação da reta Pn e a velocidade $v_2$ das [ondas P](#def-g11-seismic-structure-body-waves) sob a crosta.
7. Compare $v_2$ com a velocidade da onda Pn que Mohorovičić mediu, cerca de $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Que rocha fica sob a crosta?
8. Calcule o [ângulo crítico](#ex-g11-seismic-structure-sp) $i_c$ .
9. Nenhuma estação mais próxima que $80\,\mathrm{km}$ registra uma onda Pn. Usando a [Proposição 11.6](#prop-g11-seismic-structure-head-wave) , explique por que existe uma distância mínima a partir da qual a [onda frontal](#ex-g11-seismic-structure-sp) pode ser registrada.
10. Entre 80 e $160\,\mathrm{km}$ , Pn chega depois de Pg. Por que ela ainda é registrada?

**Parte III — O cruzamento.**

11. Pela tabela, entre quais duas estações a primeira onda a chegar passa de Pg para Pn?
12. Escreva as equações das duas retas, usando os pontos a $20\,\mathrm{km}$ (Pg) e a $100\,\mathrm{km}$ (Pn).
13. Calcule a distância em que as duas retas se cruzam.
14. Além de $200\,\mathrm{km}$ , nenhuma estação registra Pg como uma onda separada. Que onda uma estação a $250\,\mathrm{km}$ registra primeiro, e quando?

**Parte IV — A profundidade do Moho.**

15. Prolongue a reta Pn para trás até o eixo dos tempos: qual é o [tempo de intercepto](#prop-g11-seismic-structure-head-wave) $t_i$ ?
16. Calcule $\cos i_c$ , e a espessura $h$ da crosta pelo [Método 11.9](#met-g11-seismic-structure-moho) .
17. Verifique: com esse $h$ , calcule a [distância de cruzamento](#prop-g11-seismic-structure-crossover) com a [Proposição 11.7](#prop-g11-seismic-structure-crossover) e compare com a questão 13.
18. Verifique de novo: calcule a distância crítica $2h\tan i_c$ e compare com a estação mais próxima que registra Pn.
19. Os sismólogos dão $h$ apenas a alguns quilômetros. Por que um valor mais fino não se justifica?
20. Conclua: a que profundidade fica o [Moho](#def-g11-seismic-structure-moho) sob esta região? A crosta aqui é fina ou espessa para um continente?

**Solução de Problema 11.1.**

**1.** Os pontos Pg ficam numa reta; os pontos Pn ficam em outra reta, menos inclinada.

**2.** O terremoto está a uma profundidade muito rasa sob o epicentro: uma estação à distância zero registraria a onda imediatamente.

**3.** $(32.3 - 3.3)/(200 - 20) = 29.0/180 \approx 0.161$ $\mathrm{s}$ por quilômetro.

**4.** $v_1 = 180/29.0 \approx 6.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**5.** $3.3 + 280 \times 0.161 \approx 48.4\,\mathrm{s}$.

**6.** $(43.2 - 18.6)/(300 - 100) = 24.6/200 = 0.123$ $\mathrm{s}$ por quilômetro, logo $v_2 = 200/24.6 \approx 8.13\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**7.** Ela é próxima de $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: sob a crosta fica a rocha do topo do manto.

**8.** $\sin i_c = 6.21/8.13 \approx 0.763$, logo $i_c \approx
49.8{}^{\circ}$.

**9.** A [onda frontal](#ex-g11-seismic-structure-sp) desce com o ângulo $i_c$ e volta a subir com o mesmo ângulo. O primeiro ponto em que ela pode voltar à superfície fica $h\tan i_c$ além do ponto em que ela chegou ao [Moho](#def-g11-seismic-structure-moho), que por sua vez fica a $h\tan i_c$ da fonte: nenhuma estação mais próxima que $2h\tan i_c$ pode recebê-la.

**10.** Um sismômetro registra todas as ondas que chegam até ele, não só a primeira; a onda Pn chega depois da onda Pg, mas ainda aparece como uma onda separada no registro.

**11.** A $160\,\mathrm{km}$, Pg ($25.8\,\mathrm{s}$) vem antes de Pn ($26.0\,\mathrm{s}$); a $180\,\mathrm{km}$, Pn ($28.5\,\mathrm{s}$) vem antes de Pg ($29.0\,\mathrm{s}$). A mudança acontece entre essas duas estações.

**12.** Pg: $t = 3.3 + 0.1611\,(x - 20) \approx 0.08 + 0.1611\,x$. Pn: $t = 18.6 + 0.123\,(x - 100) = 6.30 + 0.123\,x$ ($x$ em quilômetros, $t$ em segundos).

**13.** $0.08 + 0.1611\,x = 6.30 + 0.123\,x$ dá $x \approx
6.22/0.0381 \approx 163\,\mathrm{km}$.

**14.** Pn, depois de $6.30 + 0.123 \times 250 \approx 37.1\,\mathrm{s}$.

**15.** $t_i \approx 6.3\,\mathrm{s}$.

**16.** $\cos i_c \approx 0.646$, logo $h = 6.21 \times 6.3/(2 \times
0.646) \approx 30.3\,\mathrm{km}$.

**17.** $x_c = 2 \times 30.3 \times \sqrt{14.34/1.92} \approx 60.6 \times
2.73 \approx 165\,\mathrm{km}$, a menos de $2\,\mathrm{km}$ dos $163\,\mathrm{km}$ da questão 13.

**18.** $\tan i_c \approx 1.18$: $2 \times 30.3 \times 1.18 \approx
72\,\mathrm{km}$. A estação mais próxima que registra Pn fica a $80\,\mathrm{km}$, e a de $60\,\mathrm{km}$ não registra: os dois resultados concordam.

**19.** Os tempos são lidos a $0.1\,\mathrm{s}$, e um erro de $0.1\,\mathrm{s}$ só em $t_i$ muda $h$ em cerca de $0.5\,\mathrm{km}$; as velocidades, tiradas de inclinações, também são incertas, e o terremoto não estava exatamente na superfície. A crosta também não é perfeitamente uniforme. Uma precisão de um ou dois quilômetros é o máximo que os dados permitem.

**20.** **O [Moho](#def-g11-seismic-structure-moho) fica a cerca de $30\,\mathrm{km}$ sob esta região**: a crosta aqui é do lado fino para um continente, cuja crosta tem em média cerca de $41\,\mathrm{km}$; $30\,\mathrm{km}$ é típico das regiões onde a crosta foi estirada.