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title: "Um planeta habitável"
book: "Ciências da Terra e do espaço do ensino médio"
subject: earth
language: pt
chapter: 2
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/earth/2/pt/chapter/2-um-planeta-habitavel
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 2 — Um planeta habitável

Três planetas rochosos giram lado a lado em torno do Sol. Na superfície de Vênus, o ar é tão denso que pressiona noventa e duas vezes mais que na Terra, e tão quente — mais de $460{}^{\circ}\mathrm{C}$ — que o chumbo derreteria. Em Marte, o ar rarefeito pressiona menos de um centésimo do que o nosso, e a temperatura média fica muito abaixo do ponto de congelamento. Entre os dois, a Terra tem oceanos, chuva e vida. Os três planetas se formaram do mesmo disco de gás e poeira em torno do jovem Sol, a partir praticamente das mesmas rochas. Por que destinos tão diferentes? Este capítulo examina o que fixa a temperatura de um planeta, o que lhe permite conservar uma atmosfera, em que condições a água pode ser líquida e onde, em torno do Sol e de outras estrelas, essas condições podem ser encontradas.

![Vênus vista pela sonda Mariner 10 em 1974, em cores próximas das que o olho veria: um planeta inteiramente envolto em nuvens. Imagem: NASA/JPL-Caltech (domínio público).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g10-habitable-planet/img-f75ffd1dd6ad.jpg)

*Vênus vista pela sonda Mariner 10 em 1974, em cores próximas das que o olho veria: um planeta inteiramente envolto em nuvens. Imagem: NASA/JPL-Caltech (domínio público).*

**O que você já sabe.**

O Sol é uma estrela; em torno dele, os quatro planetas rochosos, Mercúrio, Vênus, a Terra e Marte, e depois os quatro planetas gigantes, percorrem órbitas quase circulares (os livros de física e o Livro 1). Todo corpo irradia energia na forma de luz, tanto mais quanto mais alta for a sua temperatura, sobretudo como luz infravermelha nas temperaturas dos planetas (os livros de física). Os gases de efeito estufa — vapor de água, gás carbônico, metano — absorvem parte do infravermelho emitido por uma superfície e a mantêm mais quente (os livros de química). A água existe como gelo, água líquida e vapor de água; a pressão é uma força por unidade de área, medida em pascals (os livros de física).

## 2.1 A temperatura fixada pela estrela

O Sol envia a sua luz igualmente em todas as direções. A uma distância $d$, a sua potência $L$ (a sua *luminosidade*) se espalha sobre uma esfera de área $4\pi d^2$.

**Proposição 2.1 (A lei do inverso do quadrado da luz solar).**

A potência recebida por metro quadrado voltado para o Sol, a *irradiância solar*, a uma distância $d$ do Sol é

$$
S = \frac{L}{4\pi d^2}.
$$

À distância da Terra, $1\,\mathrm{au}$, $S_0 = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; a uma distância $d$ medida em unidades astronômicas, $S = S_0/d^2$.

**Demonstração.** Nenhuma luz se perde no espaço vazio, logo toda a potência $L$ atravessa cada esfera centrada no Sol; numa esfera de raio $d$, ela se reparte por $4\pi d^2$ metros quadrados. Dobrar $d$ multiplica a área por quatro e divide $S$ por quatro. ∎

![A luz que atravessa um quadrado à distância d se espalha por quatro quadrados do mesmo tamanho à distância 2d: a irradiância diminui como o inverso do quadrado da distância.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g10-habitable-planet/fig-cbf46a5148da.svg)

*A luz que atravessa um quadrado à distância $d$ se espalha por quatro quadrados do mesmo tamanho à distância $2d$: a irradiância diminui como o inverso do quadrado da distância.*

Um planeta absorve a parte dessa luz que ele não reflete e irradia energia para o espaço na forma de luz infravermelha. Se absorve mais do que irradia, ele se aquece; mais quente, irradia mais; e se estabiliza na temperatura em que as duas se equilibram.

**Definição 2.2 (Temperatura de equilíbrio).**

A *temperatura de equilíbrio* de um planeta é a temperatura em que um corpo que irradiasse como um emissor perfeito enviaria para o espaço exatamente a potência que o planeta absorve da sua estrela. A fração da luz incidente que o planeta, como um todo, reflete é o seu *albedo de Bond* $A$.

**Proposição 2.3 (Cálculo da temperatura de equilíbrio).**

Para um planeta que distribui o calor absorvido por toda a sua superfície,

$$
T_{\mathrm{eq}} = \left(\frac{S\,(1-A)}{4\sigma}\right)^{1/4},
  \qquad \sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}.
$$

À distância da Terra e sem nenhuma reflexão, isso dá $278.3\,\mathrm{K}$; a uma distância $d$ em unidades astronômicas e com albedo $A$, $T_{\mathrm{eq}} = 278.3\,\mathrm{K} \times (1-A)^{1/4}/\sqrt{d}$.

**Demonstração parcial.** O planeta intercepta a luz do Sol num disco de área $\pi R^2$ e absorve a potência $(1-A)\,S\,\pi R^2$. Ele irradia por toda a sua superfície, $4\pi R^2$. Um emissor perfeito à temperatura $T$ irradia $\sigma T^4$ por metro quadrado (uma lei demonstrada nos livros de física e admitida aqui). Igualar $4\pi R^2 \sigma T^4 = (1-A)\,S\,\pi R^2$ dá a fórmula; o raio se cancela. Com $S = S_0/d^2$, a raiz quarta de $1/d^2$ é $1/\sqrt d$. ∎

**Exemplo 2.4 (A Terra).**

Com $S_0 = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ e $A = 0.294$, $T_{\mathrm{eq}} = 278.3 \times 0.706^{1/4} \approx 255\,\mathrm{K}$, isto é, $-18{}^{\circ}\mathrm{C}$. (A ficha técnica da NASA indica $254\,\mathrm{K}$.) A temperatura média da superfície da Terra é de $288\,\mathrm{K}$, $15{}^{\circ}\mathrm{C}$: o efeito estufa da atmosfera a aquece em cerca de $33\,\mathrm{K}$. Sem ele, os oceanos congelariam.

![Temperaturas de equilíbrio calculadas a partir da distância e do albedo de Bond de cada corpo, ao lado das temperaturas médias medidas das suas superfícies. Dados: fichas planetárias da NASA.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g10-habitable-planet/fig-4706a543e386.svg)

*[Temperaturas de equilíbrio](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature) calculadas a partir da distância e do albedo de Bond de cada corpo, ao lado das temperaturas médias medidas das suas superfícies. Dados: fichas planetárias da NASA.*

**Observação 2.5 (Leitura do gráfico).**

Para Mercúrio e Marte, que quase não têm atmosfera ou têm uma muito rarefeita, a média medida fica perto da [temperatura de equilíbrio](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature). A média da Lua fica abaixo dela: lá, cada dia e cada noite duram cerca de duas semanas, e a superfície oscila entre cerca de $95\,\mathrm{K}$ e $390\,\mathrm{K}$, o que a fórmula simples, feita para um planeta que distribui o calor de modo uniforme, não descreve. Vênus é o caso marcante: com um albedo de Bond de 0.77 — as suas nuvens refletem a maior parte da luz do Sol —, a sua [temperatura de equilíbrio](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature) é mais baixa que a da Terra, e no entanto a sua superfície é mais de $500\,\mathrm{K}$ mais quente que isso: é o efeito estufa da sua espessa atmosfera de gás carbônico.

## 2.2 Conservar uma atmosfera

Um gás é feito de moléculas em movimento constante, tanto mais rápidas quanto mais quente o gás. Uma molécula no topo de uma atmosfera que se move para cima mais depressa que a velocidade de escape do planeta — a velocidade necessária para deixar de vez a sua gravidade (os livros de física) — se perde no espaço. Ao longo de bilhões de anos, um planeta pequeno, de gravidade fraca, perde o seu ar; um grande o conserva.

| corpo | velocidade de escape ($\mathrm{km}/\mathrm{s}$) | pressão na superfície (bar) | atmosfera |
| --- | --- | --- | --- |
| Lua | 2.4 | 0 | nenhuma |
| Mercúrio | 4.3 | 0 | nenhuma |
| Marte | 5.0 | 0.006 | rarefeita, gás carbônico |
| Vênus | 10.4 | 92 | espessa, gás carbônico |
| Terra | 11.2 | 1 | nitrogênio e oxigênio |

**Observação 2.6 (O tamanho não explica tudo).**

A Lua e Mercúrio, pequenos e (no caso de Mercúrio) perto do Sol quente, perderam quase todos os seus gases. Marte, com a metade da velocidade de escape da Terra, conservou uma atmosfera rarefeita. Vênus e a Terra têm quase o mesmo tamanho e a mesma velocidade de escape, e no entanto atmosferas muito diferentes: as suas histórias — o destino da sua água e do seu gás carbônico — divergiram, como o [Capítulo 26](https://one-course.com/books/earth/2/pt/chapter/26-a-terra-primitiva-e-a-sua-atmosfera#ch-g12-early-earth) mostrará para a Terra.

## 2.3 A água líquida

![O diagrama de fases da água, com as condições médias na superfície de Vênus, da Terra e de Marte (quadrados). O eixo das pressões é logarítmico: cada marca vale cem vezes a de baixo. Curvas calculadas com as equações da Associação Internacional para as Propriedades da Água e do Vapor (IAPWS); valores planetários da NASA.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g10-habitable-planet/fig-876fdb233fe6.svg)

*O diagrama de fases da água, com as condições médias na superfície de Vênus, da Terra e de Marte (quadrados). O eixo das pressões é logarítmico: cada marca vale cem vezes a de baixo. Curvas calculadas com as equações da Associação Internacional para as Propriedades da Água e do Vapor (IAPWS); valores planetários da NASA.*

**Proposição 2.7 (Quando a água pode ser líquida).**

A água líquida só existe a pressões acima da do *ponto triplo*, $611.657\,\mathrm{Pa}$ ($0.006\,\mathrm{bar}$), em que gelo, líquido e vapor coexistem a $273.16\,\mathrm{K}$, e a temperaturas abaixo do *ponto crítico*, $647.096\,\mathrm{K}$ ($220.64\,\mathrm{bar}$), além do qual líquido e vapor não podem mais ser distinguidos. A uma pressão dada, acima do ponto triplo, a água é líquida entre o seu ponto de fusão, perto de $273\,\mathrm{K}$, e o seu ponto de ebulição, que baixa quando a pressão baixa.

**Exemplo 2.8 (Três planetas num só diagrama).**

A superfície da Terra, a $288\,\mathrm{K}$ e $1\,\mathrm{bar}$, fica dentro do campo do líquido: ali a água pode ser líquida, gelo ou vapor, conforme o tempo. Vênus, a $737\,\mathrm{K}$, fica muito além da temperatura crítica: nenhuma água líquida é possível. Marte, a $6.36\,\mathrm{mbar}$, fica logo acima do ponto triplo: ali a água ferve a cerca de $0.5{}^{\circ}\mathrm{C}$, de modo que a água líquida só poderia sobreviver numa janela de cerca de meio grau, e a temperatura média, $210\,\mathrm{K}$, está no campo do gelo.

![O monte Sharp, dentro da cratera Gale, em Marte, fotografado pelo jipe-robô Curiosity em 2012, nas cores registradas pela sua câmera. As suas camadas inferiores foram depositadas na água, há bilhões de anos. Imagem: NASA/JPL-Caltech/MSSS (domínio público).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g10-habitable-planet/img-79417cb178a5.jpg)

*O monte Sharp, dentro da cratera Gale, em Marte, fotografado pelo jipe-robô Curiosity em 2012, nas cores registradas pela sua câmera. As suas camadas inferiores foram depositadas na água, há bilhões de anos. Imagem: NASA/JPL-Caltech/MSSS (domínio público).*

## 2.4 A zona habitável

**Definição 2.9 (Zona habitável).**

A *zona habitável* de uma estrela é o intervalo de distâncias à estrela em que um planeta rochoso com água suficiente e uma atmosfera como a da Terra poderia conservar água líquida na sua superfície. A sua borda interna fica onde o planeta perderia a sua água para o calor; a sua borda externa, onde nem mesmo um forte efeito estufa conseguiria mais impedir que ela congelasse.

**Proposição 2.10 (A zona habitável do Sol).**

Modelos detalhados de atmosferas planetárias situam a [zona habitável](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone) do Sol entre $0.99\,\mathrm{au}$ e $1.70\,\mathrm{au}$. A Terra ($1\,\mathrm{au}$) fica logo dentro da sua borda interna; Marte ($1.52\,\mathrm{au}$) fica dentro dela; Vênus ($0.72\,\mathrm{au}$) fica bem aquém da borda interna.

**Proposição 2.11 (Zonas habitáveis de outras estrelas).**

Em torno de uma estrela de luminosidade $L$, um planeta recebe a mesma irradiância que a uma distância $d_\odot$ do Sol quando fica a

$$
d = d_\odot \sqrt{L/L_\odot}.
$$

As bordas da [zona habitável](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone) se deslocam na mesma proporção, numa primeira aproximação (a cor da luz da estrela também importa um pouco).

**Demonstração.** Irradiância igual significa $L/(4\pi d^2) = L_\odot/(4\pi d_\odot^2)$, logo $d^2 = d_\odot^2\,L/L_\odot$. ∎

![Em cima: a zona habitável do Sol e os quatro planetas rochosos. Embaixo: a zona habitável da tênue estrela vermelha Proxima Centauri, calculada ajustando a do Sol pela raiz quadrada da luminosidade da estrela, e o seu planeta Proxima b. Note a mudança de escala: a faixa de baixo inteira mede 0.1\, au.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g10-habitable-planet/fig-ff37e85a08d9.svg)

*Em cima: a [zona habitável](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone) do Sol e os quatro planetas rochosos. Embaixo: a [zona habitável](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone) da tênue estrela vermelha Proxima Centauri, calculada ajustando a do Sol pela raiz quadrada da luminosidade da estrela, e o seu planeta Proxima b. Note a mudança de escala: a faixa de baixo inteira mede $0.1\,\mathrm{au}$.*

## 2.5 Planetas de outras estrelas

**Definição 2.12 (Exoplaneta).**

Um *exoplaneta* é um planeta que orbita uma estrela que não é o Sol.

Os [exoplanetas](#def-g10-habitable-planet-exoplanet) são fracos demais e próximos demais das suas estrelas para serem vistos diretamente, com exceção de alguns gigantes. A maioria é descoberta de forma indireta: ou o planeta passa na frente da sua estrela uma vez por órbita e a escurece muito levemente, ou a sua atração faz a estrela oscilar, aproximando-se e afastando-se de nós, o que desloca a cor da luz da estrela de um lado para o outro. O segundo método dá apenas uma massa *mínima* para o planeta, porque a inclinação da órbita não é conhecida. Esses métodos são estudados no volume do terceiro ano da graduação.

**Dados de 2026.**

Em 15 de outubro de 2026, o NASA Exoplanet Archive listava 6 451 [exoplanetas](#def-g10-habitable-planet-exoplanet) confirmados.

**Exemplo 2.13 (Proxima b).**

A estrela mais próxima do Sol, Proxima Centauri, a $1.30\,\mathrm{pc}$, é uma pequena estrela vermelha cuja luminosidade é de apenas cerca de $0.0015$ da do Sol. Em 2016, foi descoberto um planeta que a orbita a cada 11.2 dias, a $0.0485\,\mathrm{au}$, com pelo menos 1.06 vez a massa da Terra. A essa distância, ele recebe cerca de 0.64 da irradiância que a Terra recebe e fica dentro da [zona habitável](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone) da sua estrela. Não se sabe se ele tem atmosfera, nem água.

**Observação 2.14 (Habitável não quer dizer habitado).**

A [zona habitável](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone) diz respeito apenas à distância e à luz. Um planeta dentro dela pode não ter água, nem atmosfera, ou ter a atmosfera errada — Marte fica dentro da zona do Sol e não tem hoje água líquida na sua superfície. A Terra é habitável porque várias condições valem ao mesmo tempo: a distância certa, uma massa grande o bastante para conservar uma atmosfera, água em abundância e um efeito estufa nem fraco nem forte demais.

## 2.6 Exercícios

**Exercício 2.1 ★.**

Defina a [temperatura de equilíbrio](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature) de um planeta. Por que a temperatura média da superfície da Terra é mais alta que a sua [temperatura de equilíbrio](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature)?

**Solução de Exercício 2.1.**

A temperatura em que um emissor perfeito irradiaria para o espaço exatamente a potência que o planeta absorve da sua estrela. A superfície da Terra é mais quente ($288\,\mathrm{K}$ contra cerca de $255\,\mathrm{K}$) porque os gases de efeito estufa absorvem parte do infravermelho que ela emite e devolvem parte dele para baixo.

**Exercício 2.2 ★.**

Usando o gráfico de barras das [temperaturas de equilíbrio](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature) e medidas, indique o corpo cuja superfície é mais aquecida pela sua atmosfera e estime em quantos kelvins.

**Solução de Exercício 2.2.**

Vênus: $737\,\mathrm{K}$ medidos contra uma [temperatura de equilíbrio](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature) de cerca de $227\,\mathrm{K}$, um aquecimento de cerca de $510\,\mathrm{K}$.

**Exercício 2.3 ★.**

Marte orbita a $1.52\,\mathrm{au}$ do Sol. Usando a lei do inverso do quadrado com $S_0 = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, calcule a irradiância solar em Marte.

**Solução de Exercício 2.3.**

$S = 1361/1.52^2 \approx 589\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ (a ficha técnica dá $586\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, com a distância média exata).

**Exercício 2.4 ★.**

Usando o diagrama de fases da água, dê o estado da água a $1\,\mathrm{bar}$ e $330\,\mathrm{K}$; a $0.001\,\mathrm{bar}$ e $250\,\mathrm{K}$; a $100\,\mathrm{bar}$ e $700\,\mathrm{K}$.

**Solução de Exercício 2.4.**

$1\,\mathrm{bar}$, $330\,\mathrm{K}$: líquido (abaixo do ponto de ebulição, cerca de $373\,\mathrm{K}$). $0.001\,\mathrm{bar}$, $250\,\mathrm{K}$: gelo (a pressão fica acima da curva gelo–vapor, que está em cerca de $0.0008\,\mathrm{bar}$ a $250\,\mathrm{K}$). $100\,\mathrm{bar}$, $700\,\mathrm{K}$: vapor — a temperatura está acima da temperatura crítica, logo nenhum líquido pode existir.

**Exercício 2.5 ★.**

O que é um [exoplaneta](#def-g10-habitable-planet-exoplanet)? Descreva, numa frase cada, as duas principais maneiras de detectar [exoplanetas](#def-g10-habitable-planet-exoplanet).

**Solução de Exercício 2.5.**

Um planeta que orbita uma estrela que não é o Sol. Trânsitos: o planeta passa na frente da sua estrela e a escurece levemente a cada órbita. Oscilação: a atração do planeta move a estrela para a frente e para trás ao longo da nossa linha de visada, o que desloca periodicamente a cor da sua luz.

**Exercício 2.6 ★★.**

Calcule a [temperatura de equilíbrio](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature) da Terra com $S_0 = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ e $A = 0.294$ e, depois, com $A = 0$. Converta as duas para graus Celsius.

**Solução de Exercício 2.6.**

$T = (1361 \times 0.706/(4 \times 5.67\times10^{-8}))^{1/4} \approx
255\,\mathrm{K} \approx -18{}^{\circ}\mathrm{C}$. Com $A = 0$: $\approx 278\,\mathrm{K} \approx 5{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Exercício 2.7 ★★.**

Uma estrela é quatro vezes mais luminosa que o Sol. Entre que distâncias fica a sua [zona habitável](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone)? A Terra, colocada a $1\,\mathrm{au}$ dela, estaria dentro?

**Solução de Exercício 2.7.**

$\sqrt 4 = 2$: de $2 \times 0.99 = 1.98\,\mathrm{au}$ a $2 \times 1.70 =
3.40\,\mathrm{au}$. A $1\,\mathrm{au}$, o planeta receberia quatro vezes a irradiância da Terra: muito aquém da borda interna, quente demais.

**Exercício 2.8 ★★.**

Vênus orbita a $0.723\,\mathrm{au}$. Calcule a irradiância que ela recebe e, depois, a sua [temperatura de equilíbrio](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature) com o seu albedo de Bond de 0.77. Compare com a sua temperatura de superfície de $737\,\mathrm{K}$ e explique a diferença.

**Solução de Exercício 2.8.**

$S = 1361/0.723^2 \approx 2604\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $T_{\mathrm{eq}} = (2604 \times 0.23/(4\sigma))^{1/4} \approx 227\,\mathrm{K}$. A superfície é cerca de $510\,\mathrm{K}$ mais quente: a sua espessa atmosfera de gás carbônico ($92\,\mathrm{bar}$) produz um efeito estufa enorme.

**Exercício 2.9 ★★.**

Em Marte, a pressão média na superfície é de $6.36\,\mathrm{mbar}$, logo acima do ponto triplo da água, e ali a água ferve a cerca de $0.5{}^{\circ}\mathrm{C}$. Explique por que a água líquida não pode durar hoje na superfície de Marte, nem mesmo numa tarde de verão em que o solo chega a $10{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Solução de Exercício 2.9.**

A $6.36\,\mathrm{mbar}$, a água só é líquida entre cerca de $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $0.5{}^{\circ}\mathrm{C}$. A $10{}^{\circ}\mathrm{C}$, a pressão fica abaixo da curva de ebulição: a água se evapora fervendo; à noite, ela congela.

**Exercício 2.10 ★★.**

A velocidade de escape é de $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ na Lua e de $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ na Terra. Calcule a razão entre elas. Explique por que a Terra conservou uma atmosfera e a Lua, não.

**Solução de Exercício 2.10.**

$11.2/2.4 \approx 4.7$. Uma molécula de gás precisa se mover quase cinco vezes mais depressa para escapar da Terra do que da Lua; ao longo de bilhões de anos, a gravidade fraca da Lua deixou os seus gases escaparem, enquanto a da Terra reteve a maior parte deles.

**Exercício 2.11 ★★.**

Suponha que a Terra estivesse coberta de gelo e que o seu albedo de Bond subisse para 0.50. Calcule a sua nova [temperatura de equilíbrio](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature). Explique por que um estado assim, uma vez atingido, tenderia a durar.

**Solução de Exercício 2.11.**

$T = (1361 \times 0.50/(4\sigma))^{1/4} \approx 234\,\mathrm{K}$, cerca de $-39{}^{\circ}\mathrm{C}$. O gelo refletiria tanta luz do Sol que o planeta ficaria frio o bastante para conservá-lo: um ciclo que se reforça.

**Exercício 2.12 ★★★.**

Mostre que $T_{\mathrm{eq}} = 278.3\,\mathrm{K} \times (1-A)^{1/4}/\sqrt{d}$, com $d$ em unidades astronômicas, decorre da fórmula do capítulo. Por que fator a [temperatura de equilíbrio](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature) muda quando a distância é multiplicada por quatro?

**Solução de Exercício 2.12.**

$T_{\mathrm{eq}} = (S_0(1-A)/(4\sigma d^2))^{1/4} = (S_0/(4\sigma))^{1/4}
(1-A)^{1/4} (d^2)^{-1/4}$; $(1361/(4\sigma))^{1/4} \approx 278.3\,\mathrm{K}$ e $(d^2)^{1/4} = \sqrt d$. Quatro vezes mais longe: $T$ dividida por $\sqrt 4 = 2$.

**Exercício 2.13 ★★★.**

A que distância do Sol um planeta de albedo 0.294 teria uma [temperatura de equilíbrio](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature) de $273\,\mathrm{K}$? Compare com a borda interna da [zona habitável](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone) e explique por que as duas são diferentes.

**Solução de Exercício 2.13.**

$\sqrt d = 278.3 \times 0.706^{1/4}/273 \approx 0.934$, logo $d \approx
0.873\,\mathrm{au}$, aquém da borda interna ($0.99\,\mathrm{au}$). A [temperatura de equilíbrio](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature) ignora o efeito estufa: um planeta real com atmosfera é mais quente que $T_{\mathrm{eq}}$, logo ele superaquece e perde a sua água já mais longe, a cerca de $0.99\,\mathrm{au}$. As bordas vêm de modelos da atmosfera inteira, não apenas de $T_{\mathrm{eq}}$.

**Exercício 2.14 ★★★.**

Num planeta cuja pressão na superfície é de $1000\,\mathrm{Pa}$, a água ferve a cerca de $7{}^{\circ}\mathrm{C}$. Entre que temperaturas a água pode ser líquida ali? O que aconteceria com um lago nesse planeta num dia a $15{}^{\circ}\mathrm{C}$?

**Solução de Exercício 2.14.**

Entre o ponto de fusão, cerca de $0{}^{\circ}\mathrm{C}$, e o ponto de ebulição, cerca de $7{}^{\circ}\mathrm{C}$. A $15{}^{\circ}\mathrm{C}$, o lago ferveria.

**Exercício 2.15 ★★★.**

Um planeta orbita a $1.2\,\mathrm{au}$ de uma estrela duas vezes menos luminosa que o Sol. Calcule as bordas da [zona habitável](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone) da estrela e diga se o planeta está dentro dela. Que grau de certeza se pode ter na resposta?

**Solução de Exercício 2.15.**

$\sqrt{0.5} \approx 0.707$: de $0.707 \times 0.99 \approx 0.70\,\mathrm{au}$ a $0.707 \times 1.70 \approx 1.20\,\mathrm{au}$. O planeta está exatamente na borda externa. As bordas são resultados de modelos e o ajuste é aproximado, logo é impossível dizer se ele está dentro ou fora.

## 2.7 Problema: Proxima b poderia ter um oceano?

**Problema 2.1.**

Problema de fim de semana — da luz de uma tênue estrela vermelha à temperatura do seu planeta mais próximo

Um estudante lê a ficha técnica do planeta Proxima b. A sua estrela tem luminosidade $L = 0.00151\,L_\odot$; o planeta orbita a $d = 0.0485\,\mathrm{au}$ em 11.18 dias e tem pelo menos 1.055 vez a massa da Terra. Use $S_0 = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$, a [zona habitável](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone) do Sol, $0.99\text{ a }1.70\,\mathrm{au}$, e a velocidade de escape da Terra, $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**Parte I — A luz da estrela.**

1. Calcule a irradiância no planeta como fração da irradiância na Terra, $L/d^2$ (com $L$ em luminosidades solares e $d$ em au).
2. Expresse-a em $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .
3. Compare-a com a irradiância em Vênus ( $2601\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ) e em Marte ( $586\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ).
4. Quantos anos do planeta cabem num ano terrestre?

**Parte II — Temperaturas sem atmosfera.**

5. Calcule a [temperatura de equilíbrio](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature) de um planeta perfeitamente escuro ( $A = 0$ ) com essa irradiância.
6. Calcule-a para um planeta tão claro quanto Vênus ( $A = 0.77$ ).
7. Qual dessas duas temperaturas fica acima do ponto de congelamento da água? O que os dois resultados mostram sobre o papel das nuvens e do gelo?

**Parte III — A zona habitável.**

8. Calcule $\sqrt{L/L_\odot}$ .
9. Calcule a borda interna da [zona habitável](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone) da estrela.
10. Calcule a sua borda externa.
11. Proxima b está dentro da [zona habitável](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone) ?
12. A que distância do Sol um planeta receberia a mesma irradiância que Proxima b? Onde isso ficaria na [zona habitável](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone) do Sol?

**Parte IV — Uma atmosfera e água?**

13. Se o planeta tivesse a densidade média da Terra, o seu raio seria $1.055^{1/3}$ vez o da Terra. Calcule esse fator.
14. A velocidade de escape é proporcional a $\sqrt{M/R}$ . Estime a velocidade de escape do planeta. Ele poderia conservar uma atmosfera?
15. Por que a massa só é conhecida como um mínimo?
16. No diagrama de fases, qual é a menor pressão na superfície que permitiria haver água líquida?
17. Calcule a [temperatura de equilíbrio](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature) de Proxima b com o albedo da Terra, 0.294.
18. Em quantos kelvins o seu efeito estufa teria então de aquecê-lo para levar a sua superfície à temperatura média da Terra, $288\,\mathrm{K}$ ?

**Solução de Problema 2.1.**

**1.** $0.00151/0.0485^2 \approx 0.642$.

**2.** $0.642 \times 1361 \approx 874\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

**3.** Entre as duas: cerca de três vezes menos que em Vênus, uma vez e meia mais que em Marte.

**4.** $365.25/11.18 \approx 32.7$.

**5.** $(874/(4 \times 5.67\times10^{-8}))^{1/4} \approx 249\,\mathrm{K}$.

**6.** $(874 \times 0.23/(4\sigma))^{1/4} \approx 173\,\mathrm{K}$.

**7.** Nenhuma: $249\,\mathrm{K}$ ainda fica abaixo de $273\,\mathrm{K}$. Uma cobertura clara de nuvens ou de gelo baixa a [temperatura de equilíbrio](#def-g10-habitable-planet-equilibrium-temperature) em mais de $75\,\mathrm{K}$: o que cobre um planeta importa tanto quanto a sua distância.

**8.** $\sqrt{0.00151} \approx 0.0389$.

**9.** $0.99 \times 0.0389 \approx 0.0385\,\mathrm{au}$.

**10.** $1.70 \times 0.0389 \approx 0.066\,\mathrm{au}$.

**11.** Sim: $0.0385 < 0.0485 < 0.066$.

**12.** $d_\odot = 0.0485/0.0389 \approx 1.25\,\mathrm{au}$: na metade interna da [zona habitável](#def-g10-habitable-planet-habitable-zone) do Sol, entre a Terra e Marte.

**13.** $1.055^{1/3} \approx 1.018$.

**14.** $11.2 \times \sqrt{1.055/1.018} \approx 11.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, cerca da velocidade da Terra: a sua gravidade poderia reter uma atmosfera (se ele tem uma depende da sua história).

**15.** A oscilação da estrela revela apenas a parte do seu movimento ao longo da nossa linha de visada; como a inclinação da órbita é desconhecida, a massa encontrada só é a massa verdadeira se a órbita for vista de perfil, e é um mínimo nos outros casos.

**16.** A pressão do ponto triplo, $611.657\,\mathrm{Pa}$, cerca de $0.006\,\mathrm{bar}$.

**17.** $(874 \times 0.706/(4\sigma))^{1/4} \approx 228\,\mathrm{K}$.

**18.** $288 - 228 = 60\,\mathrm{K}$: Proxima b precisaria de um aquecimento por efeito estufa de **cerca de $60\,\mathrm{K}$**, quase o dobro dos $33\,\mathrm{K}$ da Terra.