---
title: "A datação radiométrica e a idade da Terra"
book: "Ciências da Terra e do espaço do ensino médio"
subject: earth
language: pt
chapter: 25
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/earth/2/pt/chapter/25-a-datacao-radiometrica-e-a-idade-da-terra
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# Capítulo 25 — A datação radiométrica e a idade da Terra

Em 1862, o físico William Thomson, mais tarde lorde Kelvin, calculou a [idade da Terra](#def-g12-age-of-the-earth-age) a partir da maneira como ela esfria. Ele supôs que ela tinha se formado fundida e vinha perdendo o seu calor desde então, e perguntou quanto tempo levaria para que o gradiente de temperatura perto da superfície caísse ao seu valor atual. A sua resposta foi 96 milhões de anos, em algum ponto entre 20 e 400 milhões; em 1897, ele a tinha estreitado para entre 20 e 40 milhões. Os geólogos acharam isso curto demais para a história que liam nas rochas. A resposta veio da radioatividade, que Kelvin não conhecia.

![William Thomson, lorde Kelvin, em 1906. Fotografia Russell and Sons, Londres (Smithsonian Institution Libraries, sem restrições de direitos autorais conhecidas).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g12-age-of-the-earth/img-a5954b7cfb78.jpg)

*William Thomson, lorde Kelvin, em 1906. Fotografia Russell and Sons, Londres (Smithsonian Institution Libraries, sem restrições de direitos autorais conhecidas).*

**O que você já sabe.**

A datação relativa põe as rochas e os eventos em ordem; uma idade absoluta é um número de anos (Livro 1, 7º ano). Um isótopo radioativo, o pai, decai num isótopo filho ao acaso: o número $N$ de átomos pais que restam cai como $N = N_0\,e^{-\lambda t}$, em que $\lambda$ é a constante de decaimento, e se reduz à metade a cada meia-vida $T = \ln 2/\lambda$ (os livros de física). Os minerais mais antigos conhecidos, zircões da Austrália Ocidental, têm 4.4 bilhões de anos ([Capítulo 19](https://one-course.com/books/earth/2/pt/chapter/19-a-crosta-continental#ch-g12-continental-crust)). A Terra também perde um calor que a radioatividade continua a produzir, e o seu manto convecta ([Capítulo 24](https://one-course.com/books/earth/2/pt/chapter/24-o-calor-interno-da-terra#ch-g12-internal-heat)).

## 25.1 Uma história das estimativas

Antes da radioatividade, toda estimativa da [idade da Terra](#def-g12-age-of-the-earth-age) se apoiava num processo cuja taxa se supunha conhecida.

| quem, quando | método e o que ele supõe | estimativa |
| --- | --- | --- |
| Phillips, 1860 | espessura das camadas sedimentares dividida por uma taxa de deposição; supõe uma taxa constante | de 38 a 96 milhões de anos |
| Kelvin, 1862 | resfriamento de uma Terra fundida só por condução, sem nenhuma fonte de calor no interior | de 20 a 400 milhões de anos |
| G. H. Darwin | tempo desde que a Lua se separou da Terra, a partir da desaceleração dos seus movimentos pelas marés | pelo menos 56 milhões de anos |
| Joly, 1899 | sal levado ao mar pelos rios, dividido pelo aporte anual; supõe um aporte constante e nenhum sal removido | de 80 a 100 milhões de anos |

**História — O calor que faltava a Kelvin.**

Em 1903, Pierre Curie e Albert Laborde mostraram que o rádio libera calor, e vários cientistas logo argumentaram que esse calor derrubava a conclusão de Kelvin. Um ano depois, Ernest Rutherford, numa conferência com Kelvin na plateia, lembrou-lhe que ele tinha limitado a [idade da Terra](#def-g12-age-of-the-earth-age) “desde que nenhuma nova fonte de calor fosse descoberta”. A radioatividade parecia ser essa fonte. No entanto, não era o principal erro de Kelvin: o que mais prolonga o resfriamento da Terra é a [convecção do manto](https://one-course.com/books/earth/2/pt/chapter/24-o-calor-interno-da-terra#def-g12-internal-heat-convection), que mantém o manto superior quente e o gradiente na crosta alto por muito mais tempo do que a condução sozinha manteria.

A radioatividade também deu um relógio. Em 1907, Bertram Boltwood mostrou que minerais de urânio da mesma idade contêm a mesma quantidade de chumbo para cada grama de urânio: o chumbo é produzido pelo urânio. Em 1913, Arthur Holmes podia escrever que as rochas mais antigas datadas tinham $1600$ milhões de anos, e em 1927 ele situou a [idade da Terra](#def-g12-age-of-the-earth-age) entre 1.6 e 3.0 bilhões de anos. Em 1956, Clair Patterson mediu 4.55 bilhões de anos. O valor de hoje é 4.54 bilhões de anos, com uma margem de um por cento.

![Estimativas da idade da Terra em função do ano em que foram feitas, em escala logarítmica; as barras cobrem a faixa que cada autor deu. O ponto de Holmes de 1913 é a idade das rochas mais antigas então datadas, um mínimo. Fontes: Holmes (1913, 1927); Patterson (1956); U.S. Geological Survey.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g12-age-of-the-earth/fig-af633829ea42.svg)

*Estimativas da [idade da Terra](#def-g12-age-of-the-earth-age) em função do ano em que foram feitas, em escala logarítmica; as barras cobrem a faixa que cada autor deu. O ponto de Holmes de 1913 é a idade das rochas mais antigas então datadas, um mínimo. Fontes: Holmes (1913, 1927); Patterson (1956); U.S. Geological Survey.*

## 25.2 Um relógio radioativo

Um relógio radioativo só funciona se nada lhe foi acrescentado nem retirado desde que ele começou a funcionar.

**Definição 25.1 (Sistema fechado).**

Uma rocha ou um mineral é um *sistema fechado* para um isótopo pai e o seu filho se, desde o momento em que o seu relógio começou, nenhum átomo do pai ou do filho entrou nele ou saiu dele, a não ser pelo decaimento do pai no filho.

Para um mineral, o relógio começa quando ele se cristaliza a partir de um magma, ou, mais exatamente, quando ele esfriou o bastante para que os átomos parem de entrar e sair dele. Um aquecimento, um fluido quente ou o intemperismo podem abrir de novo o sistema, e a idade medida então está errada, ou data esse evento posterior.

Contar os átomos filhos num [sistema fechado](#def-g12-age-of-the-earth-closed-system) dá a idade, desde que se saiba quantos havia no início. Em geral, não se sabe. O rubídio-87 decai em estrôncio-87, mas todo mineral também incorporou algum estrôncio-87 quando se formou. O método da [isócrona](#def-g12-age-of-the-earth-isochron) contorna isso medindo vários minerais de uma mesma rocha.

## 25.3 A isócrona

O estrôncio tem um isótopo, o estrôncio-86, que é estável e não é produzido por nenhum decaimento: num [sistema fechado](#def-g12-age-of-the-earth-closed-system), o seu número continua o mesmo, e ele serve de referência. As razões isotópicas $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ e $^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$ são o que um espectrômetro de massa mede.

**Teorema 25.2 (A equação da isócrona).**

Num mineral que foi um [sistema fechado](#def-g12-age-of-the-earth-closed-system) durante um tempo $t$,

$$
\left(\frac{^{87}\mathrm{Sr}}{^{86}\mathrm{Sr}}\right)_{\text{agora}}
  = \left(\frac{^{87}\mathrm{Sr}}{^{86}\mathrm{Sr}}\right)_{0}
  + \left(\frac{^{87}\mathrm{Rb}}{^{86}\mathrm{Sr}}\right)_{\text{agora}}
  \left(e^{\lambda t} - 1\right),
$$

em que o índice 0 marca o valor quando o relógio começou e $\lambda$ é a constante de decaimento do rubídio-87.

**Demonstração.** Seja $P$ o número de átomos de rubídio-87 agora e $P_0$ quando o relógio começou. Pela lei do decaimento, $P = P_0\,e^{-\lambda t}$, logo $P_0 = P\,e^{\lambda t}$, e o número de átomos que decaíram é $P_0 - P = P\,(e^{\lambda t}-1)$. Num [sistema fechado](#def-g12-age-of-the-earth-closed-system), cada um deles virou um átomo de estrôncio-87, que se soma aos $D_0$ átomos presentes no início: $D = D_0 + P\,(e^{\lambda
t}-1)$. Dividindo pelo número de átomos de estrôncio-86, que não mudou, obtém-se a equação. ∎

Os minerais de um granito se cristalizaram a partir de um mesmo magma, então todos começaram com a mesma razão $(^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr})_0$. Mas eles incorporaram quantidades muito diferentes de rubídio. Todos compartilham o mesmo $t$ e a mesma razão inicial, então a equação diz que os seus pontos ficam sobre uma mesma reta.

**Definição 25.3 (Isócrona).**

Uma *isócrona* é a reta sobre a qual ficam os pontos de minerais ou de rochas que se formaram ao mesmo tempo a partir da mesma fonte e continuaram [sistemas fechados](#def-g12-age-of-the-earth-closed-system) desde então, quando a razão do filho para o isótopo estável é representada em função da razão do pai para o isótopo estável. A sua inclinação dá a idade deles, e o ponto em que ela encontra o eixo vertical dá a sua razão inicial.

**Proposição 25.4 (A idade a partir da inclinação).**

Se uma [isócrona](#def-g12-age-of-the-earth-isochron) tem inclinação $m$, a idade é

$$
t = \frac{\ln(1+m)}{\lambda}.
$$

**Demonstração.** Comparando com a equação da [isócrona](#def-g12-age-of-the-earth-isochron), $m = e^{\lambda t} - 1$, logo $e^{\lambda t} = 1 + m$, $\lambda t = \ln(1+m)$, e $t = \ln(1+m)/\lambda$. ∎

Para o rubídio-87, $\lambda = 1.3972 \times 10^{-11}$ por ano, uma meia-vida de $\ln 2/\lambda \approx 49.6$ bilhões de anos: mais de dez vezes a [idade da Terra](#def-g12-age-of-the-earth-age).

**Método 25.5 (Datar uma rocha com uma isócrona).**

1. Separe vários minerais da rocha (ou tome várias amostras dela) com quantidades diferentes de rubídio.
2. Meça em cada um as razões $^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$ ( $x$ ) e $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ ( $y$ ).
3. Represente $y$ em função de $x$ e verifique que os pontos ficam sobre uma reta: se um não fica, essa amostra não foi um [sistema fechado](#def-g12-age-of-the-earth-closed-system) .
4. Tome a inclinação $m$ da reta, e calcule $t = \ln(1+m)/\lambda$ .
5. Leia a razão inicial onde a reta encontra o eixo vertical.

**Exemplo 25.6 (O granito de Varden).**

O granito das Colinas de Varden, a região inventada desta série, dá estas razões (dados de exercício):

| amostra | $^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$ | $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ |
| --- | --- | --- |
| plagioclásio | 0.35 | 0.70952 |
| hornblenda | 1.20 | 0.71321 |
| rocha total | 3.10 | 0.72146 |
| feldspato potássico | 6.40 | 0.73578 |
| biotita | 24.0 | 0.81218 |

Passando pelo plagioclásio e pela biotita, a inclinação é $m = (0.81218 - 0.70952)/(24.0 - 0.35) \approx 0.004341$. Então $t = \ln(1.004341)/1.3972 \times 10^{-11} \approx 3.10 \times 10^{8}$ anos: o granito tem 310 milhões de anos. A reta encontra o eixo vertical em $0.70952 - 0.35 \times 0.004341 \approx 0.7080$, a razão inicial.

![A isócrona rubídio–estrôncio do granito de Varden (dados de exercício). Quando o granito se formou, todos os seus minerais ficavam sobre a reta horizontal pontilhada; desde então, cada um subiu em proporção ao seu rubídio, e hoje eles ficam sobre a reta contínua.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g12-age-of-the-earth/fig-cdecf738cf04.svg)

*A [isócrona](#def-g12-age-of-the-earth-isochron) rubídio–estrôncio do granito de Varden (dados de exercício). Quando o granito se formou, todos os seus minerais ficavam sobre a reta horizontal pontilhada; desde então, cada um subiu em proporção ao seu rubídio, e hoje eles ficam sobre a reta contínua.*

**No laboratório — Pesar átomos.**

As razões são medidas com um espectrômetro de massa. Alguns miligramas de um mineral são dissolvidos em ácido, e o estrôncio é separado do rubídio por via química, já que os dois isótopos de massa 87 seriam contados juntos de outro modo. O estrôncio, depositado sobre um filamento de metal e aquecido no vácuo, emite íons; um campo elétrico os acelera e um ímã curva as suas trajetórias, os íons mais leves mais que os mais pesados, de modo que cada isótopo chega ao seu próprio coletor. As suas correntes dão as razões.

![Um espectrômetro de massa num laboratório: uma amostra está sendo carregada na extremidade da fonte. Ilustração gerada por IA.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g12-age-of-the-earth/img-129ba8949729.jpg)

*Um espectrômetro de massa num laboratório: uma amostra está sendo carregada na extremidade da fonte. Ilustração gerada por IA.*

A razão inicial é também um indício da origem do magma. O rubídio prefere o líquido quando o manto se funde, então ao longo das eras ele se concentrou na [crosta continental](https://one-course.com/books/earth/2/pt/chapter/19-a-crosta-continental#def-g12-continental-crust-continental-crust), que produziu por isso mais estrôncio-87: as rochas da crosta têm uma razão $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ mais alta que as rochas do manto. Um magma formado por fusão da crosta herda essa razão alta.

## 25.4 A idade da Terra

Nenhuma rocha da Terra remonta ao início da Terra: a rocha mais antiga conhecida, o gnaisse de Acasta, tem 4.03 bilhões de anos, e os zircões mais antigos 4.4 bilhões. A superfície foi fundida, erodida e reciclada desde então. A datação da própria Terra vem dos meteoritos, fragmentos dos pequenos corpos que se formaram com os planetas e alguns dos quais continuaram [sistemas fechados](#def-g12-age-of-the-earth-closed-system) desde então.

**Definição 25.7 (Idade da Terra).**

A *idade da Terra* é o tempo desde que a Terra se formou pela acreção de corpos menores, no nascimento do Sistema Solar. Medida a partir dos meteoritos por datação radiométrica, ela é de $4.54$ bilhões de anos, com uma margem de um por cento.

Em 1956, Clair Patterson mediu os isótopos do chumbo em três meteoritos rochosos e dois meteoritos metálicos. Dois isótopos do chumbo são produzidos pelo decaimento do urânio, o chumbo-206 a partir do urânio-238 e o chumbo-207 a partir do urânio-235, enquanto o chumbo-204 não é produzido por nenhum decaimento. Como no caso do estrôncio, os pontos dos meteoritos que se formaram ao mesmo tempo ficam sobre uma reta, quando $^{207}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ é representado em função de $^{206}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$. O meteorito metálico de Canyon Diablo, no Arizona, quase não contém urânio: o seu chumbo não mudou desde que ele se formou, e marca a extremidade inferior da reta, o chumbo com que o Sistema Solar começou.

![Um fragmento do meteorito metálico de Canyon Diablo, 2641\, g. Fotografia Geoffrey Notkin, CC BY-SA 2.5 (Wikimedia Commons).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g12-age-of-the-earth/img-53e01ac4f94f.jpg)

*Um fragmento do meteorito metálico de Canyon Diablo, $2641\,\mathrm{g}$. Fotografia Geoffrey Notkin, CC BY-SA 2.5 (Wikimedia Commons).*

Para o chumbo, a inclinação $m$ depende da idade através dos dois isótopos do urânio; a relação é admitida aqui. Com as constantes que Patterson usou,

$$
m = \frac{1}{137.8}\,\frac{e^{\lambda_{235}t}-1}{e^{\lambda_{238}t}-1},
  \qquad \lambda_{235} = 9.72 \times 10^{-10},\ \lambda_{238} = 1.537 \times 10^{-10}
  \text{ por ano},
$$

o que dá:

| idade (bilhões de anos) | 4.40 | 4.45 | 4.50 | 4.55 | 4.60 | 4.65 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| inclinação $m$ | 0.533 | 0.551 | 0.570 | 0.590 | 0.610 | 0.632 |

![A isócrona do chumbo de Patterson: os cinco meteoritos ficam sobre uma mesma reta, e quase também o chumbo de um sedimento oceânico moderno, que representa a Terra. Fonte: Patterson (1956), Tabela 1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-2/g12-age-of-the-earth/fig-b10ac0c3595e.svg)

*A [isócrona](#def-g12-age-of-the-earth-isochron) do chumbo de Patterson: os cinco meteoritos ficam sobre uma mesma reta, e quase também o chumbo de um sedimento oceânico moderno, que representa a Terra. Fonte: Patterson (1956), Tabela 1.*

Uma reta traçada pelos cinco pontos tem uma inclinação de cerca de 0.603, entre as inclinações para 4.55 e 4.60 bilhões de anos da tabela. O resultado do próprio Patterson, levando em conta os erros das medições e das constantes de decaimento, foi de 4.55 bilhões de anos, com uma margem de 0.07. Ele mediu depois o chumbo de um sedimento oceânico moderno, que mistura chumbo de uma grande massa da crosta da Terra: ele fica sobre a mesma reta. O chumbo da Terra evoluiu como o dos meteoritos, ao longo do mesmo tempo: a Terra é tão antiga quanto eles.

Desde então, centenas de medições o confirmaram. Os meteoritos dão idades de 4.53 a 4.58 bilhões de anos, e os sólidos mais antigos do Sistema Solar, pequenas inclusões ricas em cálcio e alumínio encontradas em alguns meteoritos, se formaram há $4567.30$ milhões de anos, com uma margem de 0.16. A Terra se formou mais tarde a partir desse material, e é por isso que a sua idade, 4.54 bilhões de anos, é um pouco menor que a deles.

## 25.5 Exercícios

**Exercício 25.1 ★.**

Dê a palavra: (a) um mineral em que nenhum átomo pai ou filho entrou ou do qual nenhum saiu desde que o seu relógio começou; (b) a reta sobre a qual ficam os minerais de uma mesma idade e de uma mesma fonte; (c) o tempo desde que a Terra se formou por acreção.

**Solução de Exercício 25.1.**

(a) um [sistema fechado](#def-g12-age-of-the-earth-closed-system); (b) uma [isócrona](#def-g12-age-of-the-earth-isochron); (c) a [idade da Terra](#def-g12-age-of-the-earth-age).

**Exercício 25.2 ★.**

Usando a tabela do granito de Varden, ponha as suas cinco amostras na ordem da sua razão de rubídio-87 para estrôncio-86, da mais baixa. Qual delas fica mais alta na [isócrona](#def-g12-age-of-the-earth-isochron), e por que ela produziu mais estrôncio-87?

**Solução de Exercício 25.2.**

Plagioclásio (0.35), hornblenda (1.20), rocha total (3.10), feldspato potássico (6.40), biotita (24.0). A biotita fica mais alta: ela contém mais rubídio-87 para o seu estrôncio-86, então o seu rubídio produziu mais estrôncio-87 desde que o granito se formou.

**Exercício 25.3 ★.**

Calcule a meia-vida do rubídio-87 a partir da sua constante de decaimento, $1.3972 \times 10^{-11}$ por ano. Quantas vezes a [idade da Terra](#def-g12-age-of-the-earth-age) ela vale?

**Solução de Exercício 25.3.**

$T = \ln 2/\lambda = 0.6931/1.3972 \times 10^{-11} \approx 4.96 \times 10^{10}$ anos, 49.6 bilhões de anos: $49.6/4.54 \approx 11$ vezes a [idade da Terra](#def-g12-age-of-the-earth-age).

**Exercício 25.4 ★.**

Calcule $e^{\lambda t} - 1$ para o rubídio-87 para $t = 310$ milhões de anos e $t = 480$ milhões de anos.

**Solução de Exercício 25.4.**

$\lambda t = 1.3972 \times 10^{-11} \times 3.10 \times 10^{8} \approx 0.004331$, e $e^{0.004331} - 1 \approx 0.004341$. Para 480 milhões de anos, $\lambda t
\approx 0.006707$ e $e^{\lambda t} - 1 \approx 0.006729$. Os dois ficam perto do próprio $\lambda t$, já que $\lambda t$ é pequeno.

**Exercício 25.5 ★.**

Ponha em ordem de data as estimativas de Phillips, Holmes (1927), Joly, Kelvin (1862) e Patterson. Quantas vezes maior que o limite superior da estimativa de Joly é a idade atual da Terra?

**Solução de Exercício 25.5.**

Phillips (1860), Kelvin (1862), Joly (1899), Holmes (1927), Patterson (1956). $4540/100 \approx 45$ vezes.

**Exercício 25.6 ★★.**

Um mineral do granito de Varden (310 milhões de anos, razão inicial 0.7080) tem $^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr} = 10.0$. Qual é a sua $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ hoje? Qual era ela quando o granito se formou?

**Solução de Exercício 25.6.**

$0.7080 + 10.0 \times 0.004341 \approx 0.7514$ hoje; 0.7080 quando o granito se formou, como todo mineral do granito.

**Exercício 25.7 ★★.**

Quatro amostras do xisto de Varden dão $(x, y)$ = (0.90, 0.71806), (2.60, 0.72950), (5.10, 0.74632) e (9.40, 0.77525), com $x =
{}^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$ e $y = {}^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$. (1) A partir da primeira e da última amostras, calcule a inclinação e a idade. (2) Verifique que as duas amostras do meio ficam sobre a mesma reta. (3) O resultado é coerente com os 310 milhões de anos do granito e com o princípio das relações de corte?

**Solução de Exercício 25.7.**

(1) $m = (0.77525 - 0.71806)/(9.40 - 0.90) = 0.05719/8.50 \approx 0.006728$; $t = \ln(1.006728)/1.3972 \times 10^{-11} \approx 4.80 \times 10^{8}$ anos, 480 milhões de anos. (2) $0.71806 + 1.70 \times 0.006728 \approx 0.72950$ e $0.71806 + 4.20
\times 0.006728 \approx 0.74632$: as duas ficam sobre a reta. (3) Sim: o granito corta o xisto, logo é mais jovem, e 310 é menos que 480 milhões de anos.

**Exercício 25.8 ★★.**

Por que uma rocha em que todos os minerais têm a mesma razão de rubídio para estrôncio não dá nenhuma [isócrona](#def-g12-age-of-the-earth-isochron)? Por que a biotita, no granito de Varden, fixa a inclinação melhor que os outros minerais?

**Solução de Exercício 25.8.**

Todos os seus pontos cairiam no mesmo lugar: um ponto não define nenhuma reta nem nenhuma inclinação. A biotita fica muito à direita das outras; um pequeno erro num ponto muda então a inclinação da reta que passa por ela e pelo plagioclásio muito menos do que mudaria para dois pontos próximos.

**Exercício 25.9 ★★.**

Muito depois que o granito de Varden se formou, um fluido quente fez a sua biotita perder parte do seu estrôncio-87. (1) Para onde o seu ponto se move no diagrama da [isócrona](#def-g12-age-of-the-earth-isochron)? (2) Que idade a biotita e o plagioclásio sozinhos dariam então: velha demais ou jovem demais? (3) Como o método da [isócrona](#def-g12-age-of-the-earth-isochron) revela o problema?

**Solução de Exercício 25.9.**

(1) O seu rubídio não muda, então ela conserva o seu $x$; ela tem menos estrôncio-87, então o seu $y$ cai: o ponto desce na vertical. (2) A reta que passa por ela e pelo plagioclásio é menos inclinada, e dá uma idade jovem demais. (3) A biotita não fica mais sobre a reta que passa pelos outros minerais: os pontos não estão alinhados, sinal de que uma amostra não foi um [sistema fechado](#def-g12-age-of-the-earth-closed-system).

**Exercício 25.10 ★★.**

(1) Quantas vezes mais longa que os 96 milhões de anos de Kelvin é a [idade da Terra](#def-g12-age-of-the-earth-age)? (2) Joly supôs que os rios levam sal ao mar a uma taxa constante e que nada dele sai do mar. Qual dessas hipóteses torna a sua idade curta demais se estiver errada, e por quê?

**Solução de Exercício 25.10.**

(1) $4540/96 \approx 47$ vezes. (2) Se parte do sal sai do mar, por exemplo enterrada nos sedimentos, o mar contém menos sal do que todo o que os rios trouxeram: dividir o sal presente pelo aporte anual dá um tempo curto demais.

**Exercício 25.11 ★★.**

Usando os valores de Patterson para Canyon Diablo (9.46, 10.34) e Nuevo Laredo (50.28, 34.86), calcule a inclinação da reta que passa pelos dois meteoritos, e leia a idade na tabela das inclinações.

**Solução de Exercício 25.11.**

$m = (34.86 - 10.34)/(50.28 - 9.46) = 24.52/40.82 \approx 0.601$, entre as inclinações para 4.55 (0.590) e 4.60 bilhões de anos (0.610): cerca de 4.58 bilhões de anos.

**Exercício 25.12 ★★★.**

Um basalto da região de Varden, também com 310 milhões de anos, tem uma razão inicial de 0.7035, contra 0.7080 para o granito. (1) Qual rocha tem mais chance de vir do manto fundido, e qual da crosta fundida? (2) Explique por quê com o que você sabe do rubídio. (3) As duas poderiam ter se cristalizado a partir de um mesmo magma?

**Solução de Exercício 25.12.**

(1) O basalto, com a razão mais baixa, vem do manto; o granito, com a mais alta, vem pelo menos em parte da crosta fundida. (2) O rubídio vai para o líquido quando o manto se funde, então ele se concentrou na crosta, que produziu mais estrôncio-87 ao longo das eras. (3) Não: minerais que se cristalizam a partir de um mesmo magma compartilham a sua razão inicial, e essas duas rochas não.

**Exercício 25.13 ★★★.**

(1) Que fração do rubídio-87 presente quando a Terra se formou resta hoje? E do urânio-238 (meia-vida de 4.47 bilhões de anos)? (2) Qual seria a inclinação de uma [isócrona](#def-g12-age-of-the-earth-isochron) rubídio–estrôncio para uma rocha de um milhão de anos? Por que o rubídio–estrôncio é um relógio ruim para rochas jovens?

**Solução de Exercício 25.13.**

(1) Rubídio-87: $2^{-4.54/49.61} \approx 0.94$, cerca de $94\,\%$ restante; urânio-238: $2^{-4.54/4.47} \approx 0.49$, cerca da metade. (2) $m =
e^{\lambda t} - 1 \approx 1.3972 \times 10^{-11} \times 10^6 \approx
1.4 \times 10^{-5}$: mesmo a biotita do granito de Varden ($x = 24$) subiria só $0.0003$ acima da razão inicial. Tão pouco estrôncio-87 se formou que mal se distingue a inclinação de zero: um relógio lento convém às rochas antigas.

**Exercício 25.14 ★★★.**

A reta que passa pelos cinco meteoritos de Patterson é $y = 4.438 + 0.6026\,x$. (1) Que $^{207}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ ela prevê para o sedimento oceânico, em $x = 19.0$? Patterson mediu 15.5: em que porcentagem eles diferem? (2) Que idade a inclinação 0.6026 dá, pela tabela? Compare com os $4.55 \pm 0.07$ bilhões de anos de Patterson.

**Solução de Exercício 25.14.**

(1) $4.438 + 0.6026 \times 19.0 \approx 15.89$; $15.5$ é menor em $0.39$, cerca de $2.4\,\%$: o sedimento fica perto da reta. (2) 0.6026 fica entre 0.590 (4.55) e 0.610 (4.60): cerca de 4.58 bilhões de anos, dentro da faixa de Patterson, de 4.48 a 4.62 bilhões de anos.

**Exercício 25.15 ★★★.**

Kelvin supôs que todo o calor que a Terra perde, $46.7\,\mathrm{TW}$ hoje, é calor armazenado. (1) A radioatividade repõe cerca de $24.4\,\mathrm{TW}$ dele. Em quanto isso, sozinho, prolonga o tempo para perder uma dada reserva de calor? (2) Partindo de 96 milhões de anos, isso basta para chegar à idade verdadeira? (3) O que Kelvin deixou escapar que importa mais?

**Solução de Exercício 25.15.**

(1) A reserva perde então só $46.7 - 24.4 = 22.3\,\mathrm{TW}$ líquidos, então a mesma reserva dura $46.7/22.3 \approx 2.1$ vezes mais. (2) $96 \times 2.1 \approx
200$ milhões de anos, ainda mais de vinte vezes curto demais. (3) A [convecção do manto](https://one-course.com/books/earth/2/pt/chapter/24-o-calor-interno-da-terra#def-g12-internal-heat-convection), que traz calor das profundezas e mantém o gradiente perto da superfície alto por muito mais tempo que a condução sozinha.

**Problema 25.1.**

Problema de fim de semana — datar o granito de Varden

O granito das Colinas de Varden, a região inventada desta série, corta o xisto em volta dele. Um laboratório mediu cinco das suas amostras (exemplo acima): plagioclásio (0.35, 0.70952), hornblenda (1.20, 0.71321), rocha total (3.10, 0.72146), feldspato potássico (6.40, 0.73578) e biotita (24.0, 0.81218), cada uma como $(^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr},\ ^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr})$. A constante de decaimento do rubídio-87 é $1.3972 \times 10^{-11}$ por ano.

**Parte I — As amostras.**

1. Que amostra é a mais rica em rubídio em relação ao estrôncio?
2. Por que todos os minerais começaram com a mesma $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ ?
3. Por que as razões são tomadas em relação ao estrôncio-86?
4. Qual dos três isótopos aumentou desde que o granito se formou, e por quê?
5. Que aspecto tinham os cinco pontos no diagrama quando o granito acabava de se formar?

**Parte II — A reta isócrona.**

6. Calcule a inclinação pelo plagioclásio e pela biotita.
7. Calcule a inclinação pelo plagioclásio e pela rocha total.
8. Compare as duas inclinações. Qual é a mais confiável, e por quê?
9. Encontre onde a reta da questão 6 encontra o eixo vertical.
10. Verifique que o feldspato potássico fica sobre essa reta.

**Parte III — A inclinação e a idade.**

11. Escreva a relação entre a inclinação e $e^{\lambda t}$ .
12. Calcule $\lambda t$ .
13. Calcule a idade $t$ .
14. O xisto foi datado de 480 milhões de anos. A ordem das duas idades é a que as relações de campo exigem?
15. O Carbonífero vai de 358.9 a 298.9 milhões de anos atrás. Em que período o granito se formou?

**Parte IV — A razão inicial e a fonte.**

16. O que representa a interseção, 0.7080?
17. Um basalto da região se formou com uma razão de 0.7035. Qual rocha tem a razão inicial mais alta?
18. Por que as rochas da crosta têm razões mais altas que o manto?
19. O que a razão inicial do granito sugere sobre a rocha que se fundiu para formá-lo?
20. Resuma: que idade tem o granito de Varden?

**Solução de Problema 25.1.**

**1.** A biotita ($x = 24.0$).

**2.** Eles se cristalizaram a partir de um mesmo magma, e os minerais que se cristalizam a partir de um mesmo líquido incorporam o seu estrôncio com a sua razão de isótopos.

**3.** O estrôncio-86 é estável e não é produzido por nenhum decaimento: num [sistema fechado](#def-g12-age-of-the-earth-closed-system), o seu número não muda, então ele é uma referência fixa.

**4.** O estrôncio-87, produzido pelo decaimento do rubídio-87; o rubídio-87 diminuiu e o estrôncio-86 continuou o mesmo.

**5.** Uma reta horizontal em $y = 0.7080$: mesma razão, $x$ diferentes.

**6.** $(0.81218 - 0.70952)/(24.0 - 0.35) = 0.10266/23.65 \approx
0.004341$.

**7.** $(0.72146 - 0.70952)/(3.10 - 0.35) = 0.01194/2.75 \approx
0.004342$.

**8.** Elas concordam com uma diferença de 1 em 4000. A primeira é a mais confiável: os seus dois pontos estão afastados, então o arredondamento das razões pesa menos.

**9.** $0.70952 - 0.35 \times 0.004341 \approx 0.7080$.

**10.** $0.7080 + 6.40 \times 0.004341 \approx 0.73578$: exatamente o valor medido.

**11.** $e^{\lambda t} = 1 + m = 1.004341$.

**12.** $\lambda t = \ln 1.004341 \approx 0.004331$.

**13.** $t = 0.004331/1.3972 \times 10^{-11} \approx 3.10 \times 10^{8}$ anos.

**14.** Sim: o granito corta o xisto, então, pelo princípio das relações de corte, ele é mais jovem, e 310 é menos que 480 milhões de anos.

**15.** 310 milhões de anos ficam entre 358.9 e 298.9 milhões de anos: o Carbonífero.

**16.** A razão $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ do magma quando o granito se cristalizou.

**17.** O granito: $0.7080 > 0.7035$.

**18.** O rubídio vai para o líquido quando o manto se funde, então ele se concentrou na crosta; com mais rubídio, a crosta produziu mais estrôncio-87.

**19.** Que o magma veio, pelo menos em parte, da [crosta continental](https://one-course.com/books/earth/2/pt/chapter/19-a-crosta-continental#def-g12-continental-crust-continental-crust) fundida, e não só do manto.

**20.** O granito de Varden tem **310 milhões de anos**.