---
title: "الفلك الكروي"
book: "علوم الأرض والفضاء الجامعية — السنة الأولى"
subject: earth
language: ar
chapter: 1
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/3/ar/chapter/1-spherical-astronomy
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# الفصل 1 — الفلك الكروي

في ليلة صافية بعيدًا عن أي مدينة، تُسجّل كاميرا ذات تعريض طويل موجّهة نحو السماء النجومَ أقواسًا من دوائر، كلها متمركزة حول نقطة واحدة لا تتحرك. فالنجم الذي طلع من الشرق عند التاسعة من هذه الليلة يطلع غدًا قرابة التاسعة إلا خمس دقائق، ثم يطلع أبكر فأبكر كل ليلة بعدها. والشمس عند الظهر أعلى في يونيو منها في ديسمبر، وفي أقصى الشمال لا تغيب البتة في منتصف الصيف. كل ذلك ناتج عن دوران الأرض حول محورها وعن دورانها حول الشمس، كما يبدو من سطحها. ولوصف ذلك يحتاج الفلكي والجيولوجي إلى إحداثيات على كرة، وإلى مثلثات مرسومة على الكرة، وإلى ساعات تتبع النجوم أو الشمس. وهذا الفصل يبني هذه الأدوات. وتعود في حركيات الصفائح ([الفصل 12](https://one-course.com/books/earth/3/ar/chapter/12-plate-kinematics-on-a-sphere#ch-b1-plate-kinematics))، حيث تدور الصفائح على الكرة، وفي فصول المناخ ([الفصل 27](https://one-course.com/books/earth/3/ar/chapter/27-radiation-and-heat-transport#ch-b1-radiation-heat-transport))، حيث يحرّك ضوء الشمس الذي تتلقاه كل بقعة بحسب عرضها الجغرافي الرياحَ والتيارات.

**ما تعرفه من قبل.**

تدور الأرض حول محورها مرةً في اليوم، وتدور حول الشمس مرةً في السنة على مدار يكاد يكون دائريًا؛ ومحورها مائل على مستوى هذا المدار، وهذا [الميل](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) هو ما يصنع الفصول (كتب الفيزياء، الصف 6 والصف 12؛ وتُستعاد قوانين كبلر من كتاب الفيزياء للسنة الأولى). وتُحدَّد نقطة على الأرض بعرضها الجغرافي وطولها الجغرافي (الكتاب 1، الصف 6). ومتجهة طولها واحد تتعيّن بزاويتين، كما في الإحداثيات الكروية؛ والجداء السلّمي لمتجهتين وحدويتين هو جيب تمام الزاوية بينهما، والجداء المختلط $\vec u\cdot(\vec v\times\vec w)$ لا يتغيّر بالتبديل الدوري للمتجهات الثلاث.

## 1.1 المثلثات على الكرة

**تعريف 1.1 (الدائرة العظمى، المثلث الكروي).**

*الدائرة العظمى* لكرة هي تقاطعها مع مستوٍ يمرّ بمركزها؛ وكل مقطع آخر بمستوٍ يسمّى *دائرة صغرى*. وعبر نقطتين غير متقابلتين قطريًا تمرّ دائرة عظمى واحدة وحدها، وأقصر قوسيها هو أقصر طريق بين النقطتين على الكرة. و*المثلث الكروي* هو الشكل الذي تكوّنه ثلاث نقاط على الكرة، هي رؤوسه $A$ و$B$ و$C$، تصلها أقواس من دوائر عظمى أقصر من $180{}^{\circ}$. وأضلاعه $a$ و$b$ و$c$ المقابلة للرؤوس $A$ و$B$ و$C$ على الترتيب تُقاس بالزوايا التي تحصرها عند المركز، وزواياه $A$ و$B$ و$C$ هي الزوايا بين مستويي الضلعين اللذين يلتقيان عند كل رأس.

على كرة نصف قطرها $R$ يكون للضلع الذي طوله $a$ راديانًا الطولُ $Ra$. وكل ضلع وكل زاوية محصوران بين $0$ و$\pi$.

![مثلث كروي ABC على كرة مركزها O. أضلاعه a وb وc أقواس من دوائر عظمى، تُقاس بالزاويتين BOC وCOA وAOB؛ والزاوية A (بالأحمر) هي الزاوية بين الضلعين اللذين يلتقيان عند A. والمثلث المرسوم فيه a = 78.6 وb = 62.6 وc = 64.8، وزواياه 89.9 و64.9 و67.4، ومجموعها أكبر من 180.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-spherical-astronomy/fig-95a96042710a.svg)

*مثلث كروي $ABC$ على كرة مركزها $O$. أضلاعه $a$ و$b$ و$c$ أقواس من دوائر عظمى، تُقاس بالزاويتين $BOC$ و$COA$ و$AOB$؛ والزاوية $A$ (بالأحمر) هي الزاوية بين الضلعين اللذين يلتقيان عند $A$. والمثلث المرسوم فيه $a = 78.6{}^{\circ}$ و$b = 62.6{}^{\circ}$ و$c = 64.8{}^{\circ}$، وزواياه $89.9{}^{\circ}$ و$64.9{}^{\circ}$ و$67.4{}^{\circ}$، ومجموعها أكبر من $180{}^{\circ}$.*

**مبرهنة 1.2 (قاعدة جيب التمام).**

في [المثلث الكروي](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle)،

$$
\cos a = \cos b\cos c + \sin b\sin c\cos A .
$$

**برهان.** نعمل على الكرة الوحدوية، ونختار المحاور بحيث تقع $A$ عند القطب: $\vec A = (0, 0, 1)$، والمستوي $xz$ الذي يحوي $B$: $\vec B = (\sin c, 0, \cos c)$، لأن $B$ تبعد بالزاوية $c$ عن النقطة $A$. والنقطة $C$ تبعد بالزاوية $b$ عن $A$، وتقع على دائرة عظمى تمرّ بالنقطة $A$ وتصنع الزاوية $A$ مع المستوي $xz$: $\vec C = (\sin b\cos A, \sin b\sin A, \cos b)$. والضلع $a$ هو الزاوية بين $\vec B$ و$\vec C$، إذن

$$
\cos a = \vec B\cdot\vec C = \sin c\sin b\cos A + \cos c\cos b. \qedhere
$$

∎

**مبرهنة 1.3 (قاعدة الجيب).**

في [المثلث الكروي](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle)،

$$
\frac{\sin A}{\sin a} = \frac{\sin B}{\sin b} = \frac{\sin C}{\sin c}.
$$

**برهان.** بالمتجهات الواردة في البرهان السابق، نحسب $\vec B \times \vec C = (-\cos c\sin b\sin A,\ \cos c\sin b\cos A - \sin c\cos b,\
\sin c\sin b\sin A)$، فيكون الجداء المختلط $\vec A\cdot(\vec B\times\vec C) = \sin b\sin c\sin A$. ولا يتغيّر الجداء المختلط بالتبديل الدوري للرؤوس $A$ و$B$ و$C$، وبوضع $B$ ثم $C$ عند القطب نحصل بالطريقة نفسها على $\sin c\sin a\sin B$ و$\sin a\sin b\sin
C$. والعبارات الثلاث متساوية؛ وبقسمتها على $\sin a\sin b\sin c$ نحصل على القاعدة. ∎

عندما تكون الأضلاع صغيرة بالنسبة إلى نصف القطر، يكون $\cos a \approx 1 -
a^2/2$ و$\sin a \approx a$، فتصير القاعدتان قاعدتي جيب التمام والجيب في المثلثات المستوية: فعلى رقعة صغيرة بما يكفي تكون الكرة مستوية. أما في المثلث الكبير فلا: فمجموع زوايا [المثلث الكروي](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) أكبر من $180{}^{\circ}$ ([التمرين 1.12](#exo-b1-spherical-astronomy-12)).

**طريقة 1.4 (حساب المسافة والاتجاه على الكرة).**

لإيجاد أقصر مسافة بين موضعين عرضهما الجغرافي $\varphi_1$ و$\varphi_2$ وطولهما الجغرافي $\lambda_1$ و$\lambda_2$، والاتجاه الذي يُنطلق فيه:

1. نكوّن المثلث الذي رؤوسه القطب الشمالي $P$ والموضعان؛ أضلاعه الخارجة من القطب هي متممات العرض $90{}^{\circ} -  \varphi_1$ و $90{}^{\circ} - \varphi_2$ ، وزاويته عند القطب هي فرق [الطول الجغرافي](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $\Delta\lambda$ ؛
2. تعطي قاعدة جيب التمام البعد الزاوي $\Delta$ : $\cos\Delta = \sin\varphi_1\sin\varphi_2 +  \cos\varphi_1\cos\varphi_2\cos\Delta\lambda$ ؛ والمسافة هي $R\Delta$ ( $\Delta$ بالراديان)؛
3. الاتجاه الابتدائي هو زاوية المثلث عند الموضع الأول، من قاعدة جيب التمام المطبّقة على الضلع المقابل لها، $\sin\varphi_2 = \sin\varphi_1\cos\Delta + \cos\varphi_1\sin\Delta\cos  \mathrm{Az}$ ، ويُقاس من الشمال نحو الموضع الثاني.

يتغيّر الاتجاه على طول [الدائرة العظمى](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) (إلا على خط زوال أو على خط الاستواء): فالسفينة أو الطائرة التي تحافظ على الاتجاه نفسه في البوصلة تسلك منحنى آخر أطول.

## 1.2 الإحداثيات على الكرة

**تعريف 1.5 (خط العرض وخط الطول).**

لتكن الأرض كرة تدور حول محورها القطبي. و*العرض الجغرافي* $\varphi$ لنقطة هو الزاوية بين مستوى خط الاستواء والنصف القطري المار بالنقطة، وتتراوح من $-90{}^{\circ}$ (القطب الجنوبي) إلى $+90{}^{\circ}$ (القطب الشمالي)؛ و*الطول الجغرافي* $\lambda$ هو الزاوية، المقاسة في مستوى خط الاستواء، بين نصف مستوى الزوال المار بالنقطة ونصف مستوى زوال مرجعي، هو الزوال المار بغرينتش، وتُعدّ موجبة نحو الشرق، وتتراوح من $-180{}^{\circ}$ إلى $180{}^{\circ}$.

الأرض في الواقع مفلطحة قليلًا؛ والعرض المستعمل في الخرائط وفي السماء هو الزاوية بين الشاقول المحلي ومستوى خط الاستواء، وهو يختلف عن الزاوية المركزية بما لا يتجاوز $0.2{}^{\circ}$ ([الفصل 11](https://one-course.com/books/earth/3/ar/chapter/11-isostasy-and-gravity-anomalies#ch-b1-isostasy-gravity)). [وخطوط العرض](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) المتساوي، أي دوائر العرض المتوازية، هي دوائر صغرى؛ أما خطوط الزوال فهي أنصاف دوائر عظمى.

**تعريف 1.6 (الكرة السماوية).**

*الكرة السماوية* كرة وهمية مركزها الراصد، تُوضع عليها كل نجمة في اتجاهها؛ والاتجاهات وحدها تهمّ لا المسافات. ويلتقي امتدادا محور الأرض بها عند *القطبين السماويين*، الشمالي والجنوبي؛ ومستوى خط استواء الأرض يقطعها على طول *خط الاستواء السماوي*. و*سمت الرأس* هو النقطة الواقعة فوق الراصد مباشرة على الشاقول المحلي؛ والأفق هو [الدائرة العظمى](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) التي تبعد عنه $90{}^{\circ}$. و*خط الزوال المحلي* هو [الدائرة العظمى](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) المارّة بسمت الرأس وبالقطبين السماويين؛ وهو يلتقي بالأفق عند نقطتي الشمال والجنوب.

ولأن الأرض تدور من الغرب إلى الشرق، تبدو [الكرة السماوية](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) كأنها تدور في الاتجاه المعاكس، من الشرق إلى الغرب، حول محور [القطبين السماويين](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere)، دورةً كاملةً في أقلّ قليلًا من يوم. وتحتفظ النجوم بمواضعها النسبية، فهي بعيدة إلى حدّ أن رحلة الأرض السنوية حول الشمس لا تغيّر اتجاهاتها إلا بأقلّ من ثانية قوسية ([الفصل 2](https://one-course.com/books/earth/3/ar/chapter/2-telescopes-detectors-and-photometry#ch-b1-observing-the-sky)).

**تعريف 1.7 (الإحداثيات الأفقية).**

*الارتفاع* $h$ للنجم هو زاويته فوق الأفق، وتتراوح من $-90{}^{\circ}$ إلى $90{}^{\circ}$؛ وبُعده الزاوي عن [سمت الرأس](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) هو $z = 90{}^{\circ} - h$. و*السمت* $\mathrm{A}$ هو الزاوية، على طول الأفق، من نقطة الشمال إلى أسفل دائرة الارتفاع المارّة بالنجم، وتُقاس من $0{}^{\circ}$ إلى $360{}^{\circ}$ مارّةً بالشرق.

الإحداثيات الأفقية هي إحداثيات الراصد: تتغيّر بتغيّر المكان والزمن. أما إحداثيات السماء ذاتها فتدور معها بدوران [الكرة السماوية](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere).

**تعريف 1.8 (الإحداثيات الاستوائية).**

*الميل* $\delta$ للنجم هو زاويته عن [خط الاستواء السماوي](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere)، موجبة نحو الشمال، وتتراوح من $-90{}^{\circ}$ إلى $90{}^{\circ}$. [والدائرة العظمى](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) المارّة بالنجم [والقطبين السماويين](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) هي دائرة ساعته. و*الزاوية الساعية* $H$ للنجم هي الزاوية عند [القطب السماوي](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) بين [خط الزوال المحلي](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) ودائرة ساعة النجم، وتُقاس غربًا، بوحدة الساعة ومقدارها $15{}^{\circ}$. و*المطلع المستقيم* $\alpha$ هو الزاوية على طول [خط الاستواء السماوي](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) من نقطة ثابتة في السماء، هي [نقطة الاعتدال الربيعي](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) ([التعريف 1.12](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic))، إلى دائرة ساعة النجم، وتُقاس شرقًا، وتُعدّ بالساعات أيضًا.

[الميل والمطلع المستقيم](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) ثابتان على السماء، كالعرض والطول على الأرض، والفهارس الفلكية تسردهما. ويُستعمل لفظ [الميل](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) هنا بهذا المعنى الفلكي وحده؛ أما الزاوية بين الشمال الجغرافي وشمال البوصلة فيُسمّيها الانحراف المغناطيسي دائمًا ([الفصل 6](https://one-course.com/books/earth/3/ar/chapter/6-i#ch-b1-field-lab-methods-1)).

**قضية 1.9 (من الإحداثيات الاستوائية إلى الأفقية).**

عند [العرض الجغرافي](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $\varphi$، يكون لنجم ميله $\delta$ وزاويته الساعية $H$ الارتفاعُ والسمتُ المعطيان بالصيغتين الآتيتين

$$
\sin h = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos H,
  \qquad
  \cos\mathrm{A} = \frac{\sin\delta - \sin\varphi\sin h}{\cos\varphi\cos h},
$$

ويكون $\mathrm{A}$ بين $0{}^{\circ}$ و$180{}^{\circ}$ حين يكون النجم شرق خط الزوال ($\sin H < 0$)، و$\mathrm{A} = 360{}^{\circ} - \arccos(\dots)$ حين يكون غربه. وعلى الخصوص يساوي [ارتفاع القطب السماوي](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) الشمالي العرضَ الجغرافي.

**برهان.** نأخذ المثلث المكوّن من [القطب السماوي](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) الشمالي $P$ [وسمت الرأس](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) $Z$ والنجم $X$ (المثلث الفلكي، أو مثلث الموضع). والشاقول المحلي يصنع الزاوية $\varphi$ مع مستوى خط الاستواء، إذن $PZ =
90{}^{\circ} - \varphi$؛ و$PX = 90{}^{\circ} - \delta$؛ و$ZX = 90{}^{\circ} - h$. والزاوية عند $P$ هي [الزاوية الساعية](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $H$، والزاوية عند $Z$ هي [سمت النجم](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) مقيسًا من الشمال (شرقًا أو غربًا من خط الزوال). وتعطي قاعدة جيب التمام للضلع $ZX$، المقابل للرأس $P$، $\cos(90{}^{\circ} - h) = \cos(90{}^{\circ} - \varphi)\cos(90{}^{\circ} - \delta) +
\sin(90{}^{\circ} - \varphi)\sin(90{}^{\circ} - \delta)\cos H$، وهي الصيغة الأولى. وتعطي قاعدة جيب التمام للضلع $PX$، المقابل للرأس $Z$، $\sin\delta = \sin\varphi\sin h + \cos\varphi\cos h\cos\mathrm{A}$، وهي الثانية. وفي القطب يكون $\delta = 90{}^{\circ}$، فتقرأ الصيغة الأولى $\sin h = \sin\varphi$. ∎

![السماء عند العرض الجغرافي 45 ش، تُرى من الغرب والشمال على اليسار. يقع القطب السماوي الشمالي P على ارتفاع يساوي العرض الجغرافي فوق نقطة الشمال (بالأحمر: محور القطبين السماويين)، ويعبر خط الاستواء السماوي (بالأزرق) الأفقَ عند نقطتي الشرق والغرب. والنجم X الذي ميله 25، بعد ثلاث ساعات وعشرين دقيقة من عبوره خط الزوال (زاويته الساعية 50)، يكون على الارتفاع h = 45.3 (بالأخضر: دائرة ارتفاعه، من سمت الرأس Z إلى الأفق)، وعلى السمت 261؛ ودائرة ساعته (المنقّطة) تمتد من القطب عبر النجم إلى خط الاستواء. محسوب باستعمال .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-spherical-astronomy/fig-23534a17e5ca.svg)

*السماء عند [العرض الجغرافي](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $45{}^{\circ}$ ش، تُرى من الغرب والشمال على اليسار. يقع [القطب السماوي](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) الشمالي $P$ على ارتفاع يساوي [العرض الجغرافي](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) فوق نقطة الشمال (بالأحمر: محور [القطبين السماويين](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere))، ويعبر [خط الاستواء السماوي](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) (بالأزرق) الأفقَ عند نقطتي الشرق والغرب. والنجم $X$ الذي ميله $25{}^{\circ}$، بعد ثلاث ساعات وعشرين دقيقة من عبوره خط الزوال (زاويته الساعية $50{}^{\circ}$)، يكون على [الارتفاع](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $h = 45.3{}^{\circ}$ (بالأخضر: دائرة ارتفاعه، من [سمت الرأس](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) $Z$ إلى الأفق)، وعلى [السمت](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $261{}^{\circ}$؛ ودائرة ساعته (المنقّطة) تمتد من القطب عبر النجم إلى خط الاستواء. محسوب باستعمال [القضية 1.9](#prop-b1-spherical-astronomy-transform).*

**قضية 1.10 (العبور بخط الزوال والنجوم الدائرة حول القطب).**

عند [العرض الجغرافي](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $\varphi$، يعبر نجمٌ ميله $\delta$ خط الزوال ($H = 0$) على [الارتفاع](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $90{}^{\circ} - |\varphi - \delta|$، جنوب [سمت الرأس](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) إن كان $\delta < \varphi$، وشماله إن كان $\delta > \varphi$. وفي نصف الكرة الشمالي ($\varphi > 0$) لا يغيب النجم إن كان $\delta > 90{}^{\circ} - \varphi$، ولا يطلع إن كان $\delta < -(90{}^{\circ} - \varphi)$.

**برهان.** عند $H = 0$ يكون $\sin h = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta =
\cos(\varphi - \delta)$، إذن $h = 90{}^{\circ} - |\varphi - \delta|$. ويبلغ أدنى ارتفاع، عند $H = 180{}^{\circ}$، القيمةَ $\sin h = -\cos(\varphi + \delta)$، وهو موجب حين يكون $\varphi + \delta > 90{}^{\circ}$. ويبقى النجم تحت الأفق إذا كان حتى أعلى ارتفاع له سالبًا، أي $|\varphi - \delta| > 90{}^{\circ}$. ∎

**تعريف 1.11 (النجم الدائر حول القطب).**

*النجم الدائر حول القطب* نجم لا يغيب أبدًا عند [العرض الجغرافي](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) للراصد: يدور حول [القطب السماوي](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere)، فيعبر خط الزوال فوق القطب، ثم يعبره تحته بعد اثنتي عشرة ساعة نجمية.

![آثار النجوم فوق مرصد بارانال، في صحراء أتاكاما، عند العرض الجغرافي 24.6 ج: يسجّل التعريض الطويل قوس كل نجم حول القطب السماوي الجنوبي، الذي يقع على ارتفاع 24.6 فوق الأفق الجنوبي. الصورة: R. Wesson/ESO، بترخيص CC BY 4.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-spherical-astronomy/img-0b8be350f621.jpg)

*آثار النجوم فوق مرصد بارانال، في صحراء أتاكاما، عند [العرض الجغرافي](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $24.6{}^{\circ}$ ج: يسجّل التعريض الطويل قوس كل نجم حول [القطب السماوي](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) الجنوبي، الذي يقع على ارتفاع $24.6{}^{\circ}$ فوق الأفق الجنوبي. الصورة: R. Wesson/ESO، بترخيص CC BY 4.0.*

## 1.3 الزمن النجمي والزمن الشمسي

**تعريف 1.12 (دائرة البروج).**

*دائرة البروج* هي [الدائرة العظمى](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) من [الكرة السماوية](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) التي تبدو عليها الشمس تسير في السنة، وهي أثر مستوى مدار الأرض. وهي مائلة على [خط الاستواء السماوي](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) بزاوية *ميل دائرة البروج* $\varepsilon$، وهي ميل محور الأرض على مدارها. وتتقاطع دائرة البروج مع خط الاستواء في نقطتين؛ و*نقطة الاعتدال الربيعي* $\gamma$ هي التي تعبرها الشمس صاعدةً نحو الشمال في مارس. وطول الشمس الفلكي $\lambda_\odot$ على دائرة البروج هو زاويتها على طول دائرة البروج من $\gamma$، مقيسةً شرقًا.

[ميل دائرة البروج](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) اليوم هو $\varepsilon = 23.44{}^{\circ}$.

**تعريف 1.13 (الزمن النجمي).**

*الزمن النجمي* المحلي هو [الزاوية الساعية](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) [لنقطة الاعتدال الربيعي](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) $\gamma$. واليوم النجمي هو الفاصل بين مرورين متتاليين للنقطة $\gamma$ بخط الزوال.

لأن [المطلع المستقيم](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) يُقاس شرقًا من $\gamma$، [والزاوية الساعية](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) غربًا من خط الزوال، فإن كل نجم يحقق

$$
H = \mathrm{LST} - \alpha ,
$$

حيث LST هو [الزمن النجمي](#def-b1-spherical-astronomy-sidereal-time) المحلي: يعبر النجم خط الزوال حين يساوي [الزمن النجمي](#def-b1-spherical-astronomy-sidereal-time) مطلعه المستقيم. وساعة المرصد التي تُظهر [الزمن النجمي](#def-b1-spherical-astronomy-sidereal-time) تبيّن في لمحة أيّ جزء من السماء يقع فوق الرأس.

**قضية 1.14 (اليوم النجمي واليوم الشمسي).**

في [السنة المدارية](#def-b1-spherical-astronomy-tropical-year) التي تضم $N$ يومًا شمسيًا متوسطًا، تدور الأرض $N + 1$ دورة بالنسبة إلى النجوم. فيكون اليوم النجمي مساويًا

$$
\frac{N}{N + 1}\times24\,\mathrm{h},
$$

ومع $N = 365.2422$ يكون ذلك $23\,\mathrm{h}$ $56\,\mathrm{min}$ $4.09\,\mathrm{s}$: فيعبر النجم خط الزوال كل يوم أبكر بمقدار $3\,\mathrm{min}$ $56\,\mathrm{s}$ من [الزمن الشمسي المتوسط](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time).

**برهان.** نحسب الدورات بالنسبة إلى الشمس وبالنسبة إلى النجوم خلال سنة واحدة. تتحرك الشمس دورةً واحدةً على [دائرة البروج](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) شرقًا في السنة، في اتجاه دوران الأرض. فبالنسبة إلى الشمس تدور الأرض دورةً أقلّ مما تدور بالنسبة إلى النجوم، فيملأ $N$ يومًا شمسيًا و$N + 1$ يومًا نجميًا السنةَ نفسها. واليوم النجمي هو $N/(N+1)$ من اليوم الشمسي، أي $86\,400\,\mathrm{s}\times 365.2422/366.2422 = 86\,164.09\,\mathrm{s}$؛ والفرق هو $235.9\,\mathrm{s}$. وهذا يوافق دورة الأرض بالنسبة إلى النجوم المقيسة، $23.9345\,\mathrm{h}$. ∎

**تعريف 1.15 (الزمن الشمسي).**

*الزمن الشمسي الظاهري* هو [الزاوية الساعية](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) للشمس زائدًا 12 ساعة: فالمزولة تُظهره، ويكون الظهر حين تعبر الشمس خط الزوال. و*الزمن الشمسي المتوسط* هو [الزاوية الساعية](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial)، زائدًا 12 ساعة، لشمس وهمية متوسطة تسير على [خط الاستواء السماوي](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) بسرعة منتظمة، فتتمّ دورتها في [السنة المدارية](#def-b1-spherical-astronomy-tropical-year). وفرقهما، الظاهري ناقص المتوسط، هو *معادلة الزمن*.

وتسير الشمس الحقيقية أمام الشمس المتوسطة ثم خلفها لسببين. فالأرض تتحرك أسرع قرب الحضيض، في أوائل يناير، منها قرب الأوج، فيكون تقدّم الشمس على [دائرة البروج](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) غير منتظم (قانون كبلر الثاني)؛ والشمس تسير على [دائرة البروج](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic)، وهي مائلة على خط الاستواء، فتُسقَط الحركة المنتظمة على [دائرة البروج](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) على خط الاستواء الذي تقيسه [الزاوية الساعية](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) بتفاوت، أسرع قرب الانقلابين منها قرب الاعتدالين. وتحفظ الساعات المدنية [الزمن الشمسي المتوسط](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time) على خط زوال مرجعي في منطقتها الزمنية؛ ويسبق الزمن المحلي المتوسط عند [الطول الجغرافي](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $\lambda$ الزمنَ في غرينتش بمقدار $\lambda/15{}^{\circ}$ ساعة.

![معادلة الزمن على مدار السنة (الظاهري ناقص المتوسط): تتقدم المزولة حتى 16.4\, min في أوائل نوفمبر، وتتأخر 14.2\, min في منتصف فبراير. محسوبة من مدار كبلري بالاختلاف المركزي 0.0167 وميل 23.44، وخط طول الحضيض، وتاريخ اعتدال مارس 2026.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-spherical-astronomy/fig-7cb981698819.svg)

*[معادلة الزمن](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time) على مدار السنة (الظاهري ناقص المتوسط): تتقدم المزولة حتى $16.4\,\mathrm{min}$ في أوائل نوفمبر، وتتأخر $14.2\,\mathrm{min}$ في منتصف فبراير. محسوبة من مدار كبلري بالاختلاف المركزي 0.0167 وميل $23.44{}^{\circ}$، وخط طول الحضيض، وتاريخ اعتدال مارس 2026.*

## 1.4 الطلوع والغروب والشمس

**قضية 1.16 (الطلوع والغروب).**

عند [العرض الجغرافي](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $\varphi$، يطلع نجم ميله $\delta$ ويغرب، فيعبر الأفق عند الزاويتين الساعيتين $\pm H_0$ بحيث

$$
\cos H_0 = -\tan\varphi\tan\delta ,
$$

وعند [السمت](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $\mathrm{A}_0$ حيث $\cos\mathrm{A}_0 = \sin\delta/\cos\varphi$ (عند الطلوع، ويغرب عند $360{}^{\circ} - \mathrm{A}_0$). ويبقى فوق الأفق مدة $2H_0$، محوَّلة إلى ساعات بمعدل $15{}^{\circ}$ في الساعة.

**برهان.** على الأفق يكون $h = 0$، و[القضية 1.9](#prop-b1-spherical-astronomy-transform) تعطي $0 = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos H_0$، و$\cos\mathrm{A}_0 = \sin\delta/\cos\varphi$. وتزداد [الزاوية الساعية](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) بانتظام، بمقدار $15{}^{\circ}$ في الساعة، من $-H_0$ عند الطلوع إلى $+H_0$ عند الغروب. ∎

وبالنسبة إلى الشمس يعطي هذا طول النهار، إذا عُدّت الشمس نقطةً وأُهمل انكسار الضوء في الهواء (وكلاهما يضيف دقائق قليلة إلى ضوء النهار). وعند الاعتدالين يكون $\delta = 0$ و$H_0 = 90{}^{\circ}$: يدوم النهار والليل اثنتي عشرة ساعة في كل مكان، وتطلع الشمس من الشرق تمامًا.

![مسار الشمس عبر السماء عند العرض الجغرافي 45 ش: في انقلاب يونيو (بالأحمر)، وفي الاعتدالين (بالأسود)، وفي انقلاب ديسمبر (بالأزرق)، مع ارتفاعات الظهر 90 - + _. وعند الاعتدالين تطلع الشمس من الشرق تمامًا وتغرب من الغرب تمامًا؛ وفي يونيو تطلع من الشمال الشرقي.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-spherical-astronomy/fig-0db2fa0cc78c.svg)

*مسار الشمس عبر السماء عند [العرض الجغرافي](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $45{}^{\circ}$ ش: في انقلاب يونيو (بالأحمر)، وفي الاعتدالين (بالأسود)، وفي انقلاب ديسمبر (بالأزرق)، مع ارتفاعات الظهر $90{}^{\circ} - \varphi + \delta_\odot$. وعند الاعتدالين تطلع الشمس من الشرق تمامًا وتغرب من الغرب تمامًا؛ وفي يونيو تطلع من الشمال الشرقي.*

**قضية 1.17 (ميل الشمس).**

عندما تكون الشمس عند طول $\lambda_\odot$ على [دائرة البروج](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic)، يحقق ميلها ومطلعها المستقيم العلاقتين الآتيتين

$$
\sin\delta_\odot = \sin\varepsilon\sin\lambda_\odot, \qquad
  \tan\alpha_\odot = \cos\varepsilon\tan\lambda_\odot .
$$

**برهان.** نأخذ المحاور بحيث يتّجه المحور $x$ نحو $\gamma$، ويتّجه المحور $z$ نحو [القطب السماوي](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) الشمالي. في محاور $x$ و$y'$ و$z'$ المرتبطة [بدائرة البروج](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic)، والمحور $z'$ نحو قطبها، يكون اتجاه الشمس $(\cos\lambda_\odot, \sin\lambda_\odot, 0)$. ومحاور [دائرة البروج](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) هي محاور خط الاستواء بعد أن تُدار بالزاوية $\varepsilon$ حول $x$، فيكون اتجاه الشمس في المحاور الاستوائية $(\cos\lambda_\odot,\ \sin\lambda_\odot\cos\varepsilon,\
\sin\lambda_\odot\sin\varepsilon)$. ومركبته $z$ هي $\sin\delta_\odot$؛ ونسبة مركبتي $y$ و$x$ هي $\tan\alpha_\odot$. ∎

![طول النهار (مركز قرص الشمس فوق الأفق الهندسي) على مدار السنة عند خمسة أعراض شمالية، انطلاقًا من . وعند 70 ش تبقى الشمس فوق الأفق أسابيع حول انقلاب يونيو، وتبقى تحته حول انقلاب ديسمبر. وفي نصف الكرة الجنوبي تتزحزح المنحنيات نصف سنة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-spherical-astronomy/fig-645494adc3af.svg)

*طول النهار (مركز قرص الشمس فوق الأفق الهندسي) على مدار السنة عند خمسة أعراض شمالية، انطلاقًا من القضايا [1.16](#prop-b1-spherical-astronomy-rising) و[1.17](#prop-b1-spherical-astronomy-sun-declination). وعند $70{}^{\circ}$ ش تبقى الشمس فوق الأفق أسابيع حول انقلاب يونيو، وتبقى تحته حول انقلاب ديسمبر. وفي نصف الكرة الجنوبي تتزحزح المنحنيات نصف سنة.*

**تعريف 1.18 (الإشماس).**

*الإشماس* في مكان ولحظة معيّنين هو قدرة ضوء الشمس الساقط على وحدة المساحة من سطح أفقي عند أعلى الغلاف الجوي. فإذا كان $S_0$ الإشعاع الشمسي عند المسافة المتوسطة $a$ للشمس، و$r$ المسافة الفعلية، و$\theta_z$ البعد الزاوي للشمس عن [سمت الرأس](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere)،

$$
I = S_0\left(\frac{a}{r}\right)^{2}\cos\theta_z = S_0\left(\frac{a}{r}\right)^{2}\sin h_\odot
  \quad (h_\odot > 0), \qquad I = 0 \text{ ليلًا}.
$$

العامل $(a/r)^2$ هو قانون التربيع العكسي للضوء (كتب الفيزياء)؛ والعامل $\cos\theta_z$ يظهر لأن حزمة مقطعها متر مربع واحد تنتشر على $1/\cos\theta_z$ متر مربع من الأرض الأفقية. ومع $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ والمسافة بين الشمس والأرض بين $147.1 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ عند الحضيض و$152.1 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ عند الأوج، يتغيّر العامل $(a/r)^2$ بمقدار $\pm3.4\,\%$ في السنة. أما ميل المحور فيفعل أكثر من ذلك بكثير: إذ يغيّر [ارتفاع الظهر](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) ومدة النهار معًا، وهذان معًا يصنعان الفصول. ومجموع [الإشماس](#def-b1-spherical-astronomy-insolation) اليومي والسنوي، الذي يحرّك المناخ، يُحسب في [الفصل 27](https://one-course.com/books/earth/3/ar/chapter/27-radiation-and-heat-transport#ch-b1-radiation-heat-transport).

## 1.5 التقاويم

**تعريف 1.19 (السنة المدارية).**

*السنة المدارية* هي الفاصل المتوسط بين مرورين متتاليين للشمس [بنقطة الاعتدال الربيعي](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic). وهي التي تضبط الفصول، وتدوم 365.2422 يومًا شمسيًا متوسطًا.

[والسنة المدارية](#def-b1-spherical-astronomy-tropical-year) أقصر بنحو عشرين دقيقة من السنة النجمية، وهي الزمن الذي تعود فيه الأرض إلى الموضع نفسه بين النجوم (365.256 يومًا)، لأن محور الأرض يدور ببطء، فيتقدّم، ويحمل نقطة الاعتدال إلى الوراء على [دائرة البروج](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) (الكتاب 2). ويجب أن يضم التقويم عددًا صحيحًا من الأيام في [السنة المدارية](#def-b1-spherical-astronomy-tropical-year)، حتى تعود الفصول إلى التواريخ نفسها.

**قضية 1.20 (التقويم الغريغوري).**

في التقويم الغريغوري تكون السنة كبيسة من 366 يومًا إذا كان عددها قابلًا للقسمة على 4، إلا سنوات القرون فلا تكون كبيسة إلا إذا قبلت القسمة على 400. ومتوسط السنة فيه

$$
365 + \frac14 - \frac1{100} + \frac1{400} = 365.2425\text{ يومًا},
$$

ويتباعد عن الفصول بيوم واحد في نحو 3300 سنة.

**برهان.** في 400 سنة توجد 100 سنة قابلة للقسمة على 4، من بينها أربع سنوات قرنية، ثلاث منها غير قابلة للقسمة على 400. فتكون 97 سنة كبيسة، و$400\times 365 + 97 = 146\,097$ يومًا، أي 365.2425 يومًا في السنة. وبالنسبة إلى [السنة المدارية](#def-b1-spherical-astronomy-tropical-year) البالغة 365.2422 يومًا يكون الفائض 0.0003 يوم في السنة: يومًا واحدًا في $1/0.0003 \approx 3300$ سنة. ∎

**لمحة تاريخية — إصلاح التقويم عام 1582.**

كان تقويم يوليوس، الموروث من روما، يضيف يومًا كبيسة كل أربع سنين: فسنته البالغة 365.25 يومًا أطول من [السنة المدارية](#def-b1-spherical-astronomy-tropical-year) بمقدار 0.0078 يوم، أي بيوم كل 128 سنة. ومع توالي القرون انزاح تاريخ الاعتدال الربيعي عن 21 مارس، وهو التاريخ الذي كان حساب عيد الفصح يعتمد عليه. وفي 1582 قدّم البابا غريغوريوس الثالث عشر التقويم الذي يحمل اسمه، فأسقط الأيام المتراكمة دفعةً واحدة، واستبدل بقاعدة يوليوس قاعدة [القضية 1.20](#prop-b1-spherical-astronomy-gregorian). وقد صار التقويم المدني المعترَف به دوليًا.

**في الميدان — تحديد الموقع بالنجوم.**

قبل تحديد المواقع بالأقمار الصناعية، كان الملاحون في البحر يحدّدون عرضهم الجغرافي وطولهم الجغرافي من السماء. فبالسكستانت كانوا يقيسون [ارتفاع الشمس](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) عند الظهر، أو ارتفاع نجمين أو ثلاثة عند الغسق، ويقرؤون الوقت على كرونومتر مضبوط على زمن خط زوال غرينتش. وكل ارتفاع، مع [ميل النجم](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) وزاويته الساعية في غرينتش من التقويم الفلكي، يعطي دائرةً صغرى على الأرض تقع عليها السفينة، وهي دائرة النقاط التي يكون النجم عندها على ذلك [الارتفاع](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal). وتتقاطع دائرتان أو ثلاث من هذه الدوائر عند موقع السفينة، فهي مثلثات كروية تُحلّ في البحر كل يوم. أما [ارتفاع الشمس](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) عند الظهر وحده فيعطي [العرض الجغرافي](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) ([القضية 1.10](#prop-b1-spherical-astronomy-culmination))؛ وأما زمن الظهر المحلي على الساعة فيعطي [الطول الجغرافي](#def-b1-spherical-astronomy-geographic)، بمعدل أربع دقائق زمنية لكل درجة.

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-spherical-astronomy/img-82c9297df0c6.jpg)

## 1.6 التمارين

**تمرين 1.1 ★.**

يقع راصد عند [العرض الجغرافي](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $52{}^{\circ}$ ش. على أيّ ارتفاع يقع [القطب السماوي](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) الشمالي؟ وأيّ النجوم، بحسب ميلها، لا تغيب أبدًا هناك، وأيّها لا تطلع أبدًا؟

**حل التمرين 1.1.**

[ارتفاع القطب](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) يساوي [العرض الجغرافي](#def-b1-spherical-astronomy-geographic): $52{}^{\circ}$. لا يغيب النجم إن كان $\delta > 90{}^{\circ} - 52{}^{\circ} = 38{}^{\circ}$، ولا يطلع إن كان $\delta < -38{}^{\circ}$.

**تمرين 1.2 ★.**

حوّل مطلعًا مستقيمًا قدره $6\,\mathrm{h}$ $45\,\mathrm{min}$ إلى درجات. وعند زمن نجمي محلي قدره $10\,\mathrm{h}$ $0\,\mathrm{min}$، احسب [الزاوية الساعية](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) لنجم له هذا [المطلع المستقيم](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial). أيقع النجم شرق خط الزوال أم غربه؟

**حل التمرين 1.2.**

$6.75\,\mathrm{h}\times15{}^{\circ} = 101.25{}^{\circ}$. $H = \mathrm{LST} - \alpha =
10\,\mathrm{h} - 6\,\mathrm{h}\,45\,\mathrm{min} = 3\,\mathrm{h}\,15\,\mathrm{min}$، أي $48.75{}^{\circ}$. [والزاوية الساعية](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) موجبة: فالنجم غرب خط الزوال، وكان قد عبره قبل ثلاث ساعات وربع نجمية.

**تمرين 1.3 ★.**

عند [العرض الجغرافي](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $40{}^{\circ}$ ش، احسب [ارتفاع الشمس](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) عند الظهر في الانقلابين وفي الاعتدالين ($\varepsilon = 23.44{}^{\circ}$).

**حل التمرين 1.3.**

$h = 90{}^{\circ} - \varphi + \delta_\odot$: $73.44{}^{\circ}$ في انقلاب يونيو، $50{}^{\circ}$ في الاعتدالين، $26.56{}^{\circ}$ في انقلاب ديسمبر.

**تمرين 1.4 ★.**

هل كانت سنة 1900 كبيسة؟ وهل كانت 2000؟ وهل ستكون 2100؟ وبكم يومًا في القرن يتباعد تقويم يوليوس عن سنة مدارية مقدارها 365.2422 يومًا، وبكم يومًا يتباعد التقويم الغريغوري؟

**حل التمرين 1.4.**

1900: قابلة للقسمة على 100 وغير قابلة للقسمة على 400، فليست كبيسة. 2000: قابلة للقسمة على 400، فهي كبيسة. 2100: ليست كبيسة. وتزيد السنة اليولية على [السنة المدارية](#def-b1-spherical-astronomy-tropical-year) بمقدار $365.25 - 365.2422 = 0.0078$ يوم، أي $0.78$ يوم في القرن؛ وتزيد عليها السنة الغريغورية بمقدار $0.0003$ يوم، أي $0.03$ يوم في القرن.

**تمرين 1.5 ★★.**

تقع نقطتان على [العرض الجغرافي](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $45{}^{\circ}$ ش، عند الطولين $0{}^{\circ}$ و$90{}^{\circ}$ ق. احسب المسافة على [الدائرة العظمى](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) بينهما ($R = 6371\,\mathrm{km}$)، والمسافة على دائرة عرضهما. أيّهما أقصر، وبكم؟

**حل التمرين 1.5.**

$\cos\Delta = \sin^245{}^{\circ} + \cos^245{}^{\circ}\cos90{}^{\circ} = 0.5$، إذن $\Delta = 60{}^{\circ}$، والمسافة هي $6371\times\pi/3 = 6672\,\mathrm{km}$. على الدائرة الموازية، وهي [دائرة صغرى](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) نصف قطرها $R\cos45{}^{\circ}$، تكون المسافة $6371\times\cos45{}^{\circ}\times\pi/2 = 7076\,\mathrm{km}$. [والدائرة العظمى](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) أقصر بنحو $404\,\mathrm{km}$.

**تمرين 1.6 ★★.**

عند [العرض الجغرافي](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $48{}^{\circ}$ ش، لنجم ميله $20{}^{\circ}$ زاويته الساعية $30{}^{\circ}$. احسب ارتفاعه وسمته. في أيّ اتجاه ينبغي أن ينظر الراصد؟

**حل التمرين 1.6.**

$\sin h = \sin48{}^{\circ}\sin20{}^{\circ} + \cos48{}^{\circ}\cos20{}^{\circ}\cos30{}^{\circ}
= 0.2542 + 0.5446 = 0.7987$، إذن $h = 53.0{}^{\circ}$. $\cos\mathrm{A} = (\sin20{}^{\circ} - \sin48{}^{\circ}\sin53.0{}^{\circ})/(\cos48{}^{\circ}
\cos53.0{}^{\circ}) = (0.3420 - 0.5935)/0.4027 = -0.6246$، و$\arccos = 128.7{}^{\circ}$؛ فالنجم غرب خط الزوال ($H > 0$)، إذن $\mathrm{A} = 360{}^{\circ} -
128.7{}^{\circ} = 231.3{}^{\circ}$: أي نحو الجنوب الغربي، على ارتفاع $53{}^{\circ}$ فوق الأفق.

**تمرين 1.7 ★★.**

احسب طول النهار عند [العرض الجغرافي](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $60{}^{\circ}$ ش في انقلاب يونيو، مع اعتبار الشمس نقطةً على أفق هندسي. وتحقّق من جوابك على شكل طول النهار.

**حل التمرين 1.7.**

$\cos H_0 = -\tan60{}^{\circ}\tan23.44{}^{\circ} = -1.7321\times0.4335 = -0.7510$، $H_0 = 138.67{}^{\circ}$، فيكون طول النهار $2\times138.67/15 = 18.49\,\mathrm{h}$، أي نحو $18\,\mathrm{h}$ $29\,\mathrm{min}$، كما يُظهر منحنى $60{}^{\circ}$ ش في انقلاب يونيو.

**تمرين 1.8 ★★.**

يعبر نجم خط الزوال الليلة عند الساعة 22:00 من الزمن المحلي المتوسط. في أيّ ساعة سيعبره بعد 30 يومًا؟ وبعد كم يومًا سيعبره عند الظهر، فيكون غير مرئي في ضوء النهار؟

**حل التمرين 1.8.**

يتقدّم العبور بمقدار $3.93\,\mathrm{min}$ كل يوم، فيتقدّم بمقدار $30\times3.93 =
118\,\mathrm{min}$ في 30 يومًا: فيعبر النجم نحو الساعة 20:02. ولكي يعبر عند الظهر يجب أن يتقدّم بمقدار $10\,\mathrm{h}$ = $600\,\mathrm{min}$، وهذا يستغرق $600/3.93 \approx 153$ يومًا.

**تمرين 1.9 ★★.**

احسب [الإشماس](#def-b1-spherical-astronomy-insolation) عند أعلى الغلاف الجوي عند الظهر، على [العرض الجغرافي](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $45{}^{\circ}$ ش: (أ) في أحد الاعتدالين، آخذًا $r = a$؛ (ب) في انقلاب يونيو، آخذًا لقيمة $r$ مسافة الأوج. المعطيات: $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$، $a = 149.598 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$، والأوج $152.100 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$.

**حل التمرين 1.9.**

(أ) عند أحد الاعتدالين يكون [الارتفاع](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) الظهري $45{}^{\circ}$: $I = 1361\times\sin45{}^{\circ}
= 962\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (ب) وفي انقلاب يونيو $h = 68.44{}^{\circ}$، و $(a/r)^2 = (149.598/152.100)^2 = 0.9674$: $I = 1361\times0.9674\times\sin68.44{}^{\circ} = 1224\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. فالشمس الأعلى تعوّض أكثر مما تنقصه الزيادة في المسافة.

**تمرين 1.10 ★★★.**

باستعمال [القضية 1.17](#prop-b1-spherical-astronomy-sun-declination)، احسب [ميل الشمس](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) ومطلعها المستقيم عندما يكون طولها على [دائرة البروج](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) $60{}^{\circ}$. وبكم درجة يتأخر [المطلع المستقيم](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) عن الطول؟ وفسّر بهذه النتيجة لماذا يسهم [ميل دائرة البروج](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) في [معادلة الزمن](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time).

**حل التمرين 1.10.**

$\sin\delta_\odot = \sin23.44{}^{\circ}\sin60{}^{\circ} = 0.3445$، $\delta_\odot = 20.15{}^{\circ}$. $\tan\alpha_\odot = \cos23.44{}^{\circ}\tan60{}^{\circ}
= 1.5890$، و$\alpha_\odot = 57.82{}^{\circ}$ (في الربع نفسه الذي فيه $\lambda_\odot$). ويتأخر [المطلع المستقيم](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) بمقدار $2.18{}^{\circ}$، أي $2.18\times4 \approx
8.7\,\mathrm{min}$ من الزمن. فالشمس التي تسير بانتظام على [دائرة البروج](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) تتحرك مع ذلك بتفاوت في [المطلع المستقيم](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial)، وهو الكمية التي تحدد [الزاوية الساعية](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) ومن ثم المزولة: فهي متأخرة عن الشمس المتوسطة بين الاعتدال والانقلاب التالي، ومتقدمة عليها بين الانقلاب والاعتدال التالي. وهذا هو حدّ [الميل](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) في [معادلة الزمن](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time).

**تمرين 1.11 ★★★.**

بيّن أنه في انقلاب يونيو تطلع الشمس عند [السمت](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $\mathrm{A}_0$ حيث $\cos\mathrm{A}_0 = \sin\varepsilon/\cos\varphi$. وعند أيّ [عرض جغرافي](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) تطلع تمامًا في الشمال الشرقي؟ وماذا يحدث للصيغة عند أعراض أكبر من $90{}^{\circ} - \varepsilon$؟

**حل التمرين 1.11.**

عند الطلوع يكون $h = 0$، فتعطي [القضية 1.9](#prop-b1-spherical-astronomy-transform) $\sin\delta = \cos\varphi\cos\mathrm{A}_0$؛ وفي انقلاب يونيو $\delta = \varepsilon$، إذن $\cos\mathrm{A}_0 = \sin\varepsilon/\cos\varphi$. وعند $\mathrm{A}_0 = 45{}^{\circ}$: $\cos\varphi = \sin23.44{}^{\circ}/\cos45{}^{\circ} =
0.5626$، و$\varphi = 55.8{}^{\circ}$ ش. وفوق $90{}^{\circ} - \varepsilon =
66.56{}^{\circ}$ يكون $\sin\varepsilon/\cos\varphi > 1$: فلا يوجد سمت للطلوع، لأن الشمس لا تغيب في ذلك اليوم (شمس منتصف الليل).

**تمرين 1.12 ★★★.**

الهلالة الكروية هي الجزء من الكرة المحصور بين نصفي دائرتين عظميين يصلان نقطتين متقابلتين، وبينهما الزاوية $\theta$. (أ) بيّن أن مساحتها هي $2\theta R^2$. (ب) كل ضلع من [المثلث الكروي](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) $ABC$، إذا مُدّ إلى دائرة عظمى كاملة، يعطي مع الأضلاع الأخرى ثلاثة أزواج من الهلالات المتقابلة زواياها $A$ و$B$ و$C$ تغطي الكرة، فيكون المثلث ومقابله مغطّيين ثلاث مرات. استنتج مبرهنة جيرار: مساحة المثلث هي $R^2(A + B + C - \pi)$. (ج) طبّقها على المثلث الذي زواياه قائمة الثلاث، وعلى المثلث المرسوم في هذا الفصل (زواياه $89.9{}^{\circ}$ و$64.9{}^{\circ}$ و$67.4{}^{\circ}$).

**حل التمرين 1.12.**

(أ) الهلالة التي زاويتها $\theta$ هي الكسر $\theta/2\pi$ من الكرة: $\frac{\theta}{2\pi}\times4\pi R^2 = 2\theta R^2$. (ب) تغطي الأزواج الثلاثة من الهلالات مساحةً مجموعها $2\times(2A + 2B + 2C)R^2$؛ فتغطي الكرة مرة واحدة، إلا المثلث ومقابله فيغطّيان ثلاث مرات، أي بضعف ما يلزم: $4(A + B + C)R^2 = 4\pi R^2 + 4S$، حيث $S$ مساحة المثلث. إذن $S = R^2(A + B + C - \pi)$. (ج) ثلاث زوايا قائمة: $S = R^2(3\pi/2 - \pi) = \pi R^2/2$، أي ثُمن الكرة (ثماني كروي). ومثلث الشكل: $89.9 + 64.9 + 67.4 - 180 = 42.2{}^{\circ}$، أي $0.736$ راديان: $S = 0.736\,R^2$، أي $5.9\,\%$ من الكرة.

## 1.7 مسألة: ليلة في مرصد جبلي

**مسألة 1.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — أين يقع مرصد بارانال، وماذا تُظهر سماؤه، وكم يطول أطول ليل فيه

يقع مرصد بارانال في صحراء أتاكاما عند [العرض الجغرافي](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $24.63{}^{\circ}$ ج [والطول الجغرافي](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $70.40{}^{\circ}$ غ. ومرصد غرينتش الملكي، الذي تُعدّ منه الأطوال الجغرافية، يقع عند العرض $51.48{}^{\circ}$ ش وعند الطول $0.00{}^{\circ}$. ولنجمين لامعين في السماء الجنوبية الإحداثياتُ الآتية:

| النجم | [المطلع المستقيم](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) | [الميل](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) |
| --- | --- | --- |
| سيريوس | $6\,\mathrm{h}$ $45\,\mathrm{min}$ $9\,\mathrm{s}$ | $-16.72{}^{\circ}$ |
| كانوبس | $6\,\mathrm{h}$ $23\,\mathrm{min}$ $57\,\mathrm{s}$ | $-52.70{}^{\circ}$ |

وخذ $R = 6371\,\mathrm{km}$ و$\varepsilon = 23.44{}^{\circ}$ [والسنة المدارية](#def-b1-spherical-astronomy-tropical-year) 365.2422 يومًا، واعتبر الشمس نقطةً على أفق هندسي.

**الجزء الأول — بارانال على الكرة الأرضية.**

1. أعطِ متممَي العرض لبارانال ولغرينتش، وفرقَ [الطول الجغرافي](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) بينهما.
2. اكتب قاعدة جيب التمام للمثلث الذي رؤوسه القطب الشمالي وبارانال وغرينتش، واحسب جيب تمام البعد الزاوي $\Delta$ بين المرصدين.
3. استنتج $\Delta$ بالدرجات، والمسافة على [الدائرة العظمى](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) بالكيلومترات.
4. احسب الاتجاه الابتدائي من بارانال نحو غرينتش ( [الطريقة 1.4](#met-b1-spherical-astronomy-great-circle) ).
5. تحقّق من الاتجاه بقاعدة الجيب.
6. هل تصل طائرة تحافظ على هذا الاتجاه طوال الرحلة إلى غرينتش؟ علّل.

**الجزء الثاني — سماء بارانال.**

7. على أيّ ارتفاع يقع [القطب السماوي](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) الجنوبي فوق الأفق الجنوبي لبارانال؟
8. على أيّ ارتفاع يعبر سيريوس خط الزوال، وعلى أيّ جانب من [سمت الرأس](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) ؟
9. دون أيّ ميل يكون النجم دائرًا حول القطب في بارانال؟ وهل كانوبس نجم دائر حول القطب؟
10. ما أعلى ارتفاع يبلغه كانوبس؟
11. احسب [الزاوية الساعية](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) التي يطلع عندها سيريوس، وكم يبقى فوق الأفق بالساعات النجمية.
12. على أيّ سمت يطلع سيريوس؟

**الجزء الثالث — الساعات.**

13. ما [الزمن النجمي](#def-b1-spherical-astronomy-sidereal-time) المحلي عندما يعبر سيريوس خط الزوال؟
14. احسب طول اليوم النجمي، وبكم دقيقة يتقدّم عبور النجم خط الزوال كل ليلة.
15. خذ [الزمن النجمي](#def-b1-spherical-astronomy-sidereal-time) المحلي عند منتصف الليل المحلي المتوسط مساويًا $12\,\mathrm{h}$ في اعتدال مارس (20 مارس 2026)، حين تكون الشمس قرب [نقطة الاعتدال الربيعي](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) ؛ ثم يكسب [الزمن النجمي](#def-b1-spherical-astronomy-sidereal-time) $24/365.2422$ ساعة كل يوم. بعد كم يومًا من الاعتدال يعبر سيريوس خط الزوال عند منتصف الليل المحلي المتوسط؟ وفي أيّ تاريخ؟
16. في تلك الليلة، بكم يختلف الزمن المحلي المتوسط في بارانال عن الزمن في غرينتش؟
17. تبلغ [معادلة الزمن](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time) عندئذٍ نحو $-3\,\mathrm{min}$ . ما الوقت الذي تُظهره مزولة في المرصد ( [الزمن الشمسي الظاهري](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time) ) عندما يعبر سيريوس خط الزوال؟
18. بكم يتقدّم عبوره بعد أسبوع؟

**الجزء الرابع — أطول ليل.**

19. ما [ميل الشمس](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) في كلّ انقلاب؟
20. احسب [ارتفاع الشمس](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) عند الظهر في بارانال في انقلابي يونيو وديسمبر. على أيّ جانب من [سمت الرأس](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) تكون في ديسمبر؟
21. في انقلاب ديسمبر تبلغ المسافة بين الشمس والأرض 0.9837 من المسافة المتوسطة. احسب [الإشماس](#def-b1-spherical-astronomy-insolation) عند الظهر في أعلى الغلاف الجوي فوق بارانال ( $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ ).
22. في أيّ انقلاب يكون الليل أطول في بارانال؟ واحسب [الزاوية الساعية](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) لغروب الشمس في ذلك التاريخ.
23. على أيّ سمت تطلع الشمس في ذلك التاريخ؟
24. استنتج طول أطول ليل في السنة في بارانال، بالساعات والدقائق.

**حل المسألة 1.1.**

**1.** متممات العرض: $90{}^{\circ} - (-24.63{}^{\circ}) = 114.63{}^{\circ}$ و $90{}^{\circ} - 51.48{}^{\circ} = 38.52{}^{\circ}$؛ وفرق [الطول الجغرافي](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $70.40{}^{\circ}$.

**2.** $\cos\Delta = \cos114.63{}^{\circ}\cos38.52{}^{\circ} +
\sin114.63{}^{\circ}\sin38.52{}^{\circ}\cos70.40{}^{\circ} = -0.3260 + 0.1899 =
-0.1362$.

**3.** $\Delta = 97.83{}^{\circ}$؛ والمسافة $6371\times1.7074 =
10\,878\,\mathrm{km}$، أي نحو $10\,900\,\mathrm{km}$.

**4.**

$$
\cos\mathrm{Az} = \frac{\cos38.52{}^{\circ} - \cos114.63{}^{\circ}\cos97.83{}^{\circ}}
  {\sin114.63{}^{\circ}\sin97.83{}^{\circ}} = \frac{0.7823 - 0.0568}{0.9006} = 0.8056 ,
$$

$\mathrm{Az} = 36.3{}^{\circ}$، نحو الشمال الشرقي.

**5.** $\sin\mathrm{Az} = \sin70.40{}^{\circ}\sin38.52{}^{\circ}/\sin97.83{}^{\circ}
= 0.5922$، فيعطي $36.3{}^{\circ}$ أو $143.7{}^{\circ}$؛ والجيب الموجب في السؤال 4 يختار $36.3{}^{\circ}$.

**6.** لا. فالاتجاه الثابت يقطع كل خط زوال بالزاوية نفسها، ويلتف حزونيًا نحو القطب؛ أما اتجاه [الدائرة العظمى](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) فيتغيّر باستمرار (إنه $36.3{}^{\circ}$ عند البداية وحدها). فالطائرة تقطع مسافة أطول وتصل إلى مكان آخر ما لم تصحّح اتجاهها.

**7.** [ارتفاع القطب السماوي](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) الجنوبي يساوي مقدار [العرض الجغرافي](#def-b1-spherical-astronomy-geographic): $24.63{}^{\circ}$.

**8.** $h = 90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} - (-16.72{}^{\circ})| = 82.09{}^{\circ}$؛ وبما أن $\delta > \varphi$، يعبر سيريوس شمال [سمت الرأس](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) بمقدار $7.91{}^{\circ}$.

**9.** لا يغيب النجم إن كان $\delta < -(90{}^{\circ} - 24.63{}^{\circ}) =
-65.37{}^{\circ}$. وكانوبس، عند $-52.70{}^{\circ}$، ليس دائرًا حول القطب: إنه يغيب.

**10.** $90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} + 52.70{}^{\circ}| = 61.93{}^{\circ}$، جنوب [سمت الرأس](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere).

**11.** $\cos H_0 = -\tan(-24.63{}^{\circ})\tan(-16.72{}^{\circ}) =
-(0.4584)(0.3004) = -0.1377$؛ $H_0 = 97.92{}^{\circ}$. يبقى سيريوس فوق الأفق مدة $2\times97.92/15 = 13.06\,\mathrm{h}$ من [الزمن النجمي](#def-b1-spherical-astronomy-sidereal-time)، أي نحو $13\,\mathrm{h}$.

**12.** $\cos\mathrm{A}_0 = \sin(-16.72{}^{\circ})/\cos24.63{}^{\circ} =
-0.3165$: يطلع سيريوس على [السمت](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $108.5{}^{\circ}$، جنوب الشرق.

**13.** عندما يكون $H = 0$ يكون $\mathrm{LST} = \alpha = 6\,\mathrm{h}~45\,\mathrm{min}~9\,\mathrm{s}$.

**14.** $86\,400\,\mathrm{s}\times365.2422/366.2422 = 86\,164.09\,\mathrm{s} =
23\,\mathrm{h}~56\,\mathrm{min}~4\,\mathrm{s}$؛ يتقدّم العبور بمقدار $235.9\,\mathrm{s}$، أي $3\,\mathrm{min}$ $56\,\mathrm{s}$، كل ليلة.

**15.** نحتاج إلى $12 + n\times24/365.2422 = 6.7525 + 24$، إذن $n = 18.7525/0.065710 = 285.4$ يومًا. و285 يومًا بعد 20 مارس هي 30 ديسمبر: يعبر سيريوس خط الزوال عند منتصف الليل المحلي المتوسط في ليلة 30 إلى 31 ديسمبر 2026.

**16.** بارانال تقع $70.40{}^{\circ}$ غرب غرينتش: فالزمن المحلي المتوسط متأخر بمقدار $70.40/15 = 4.693\,\mathrm{h}$، أي $4\,\mathrm{h}$ $41.6\,\mathrm{min}$.

**17.** [الزمن الشمسي الظاهري](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time) = [الزمن الشمسي المتوسط](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time) + [معادلة الزمن](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time) = $0\,\mathrm{h} - 3\,\mathrm{min}$: تُظهر المزولة نحو 23:57.

**18.** $7\times3.93\,\mathrm{min} \approx 27.5\,\mathrm{min}$ أبكر.

**19.** $+23.44{}^{\circ}$ في انقلاب يونيو، و$-23.44{}^{\circ}$ في انقلاب ديسمبر.

**20.** يونيو: $90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} - 23.44{}^{\circ}| = 41.93{}^{\circ}$. ديسمبر: $90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} + 23.44{}^{\circ}| = 88.81{}^{\circ}$؛ لأن $\delta_\odot = -23.44{}^{\circ} > \varphi$، تعبر الشمس شمال [سمت الرأس](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) بمقدار $1.19{}^{\circ}$.

**21.** $I = 1361\times(1/0.9837)^2\times\sin88.81{}^{\circ} = 1361\times
1.0334\times0.9998 = 1406\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

**22.** في يونيو يكون الشتاء الجنوبي. $\cos H_0 = -\tan(-24.63{}^{\circ})
\tan23.44{}^{\circ} = 0.4584\times0.4335 = 0.1988$: تغرب الشمس عند [الزاوية الساعية](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $H_0 = 78.53{}^{\circ}$.

**23.** $\cos\mathrm{A}_0 = \sin23.44{}^{\circ}/\cos24.63{}^{\circ} = 0.4376$: $\mathrm{A}_0 = 64.0{}^{\circ}$، شمال الشرق.

**24.** طول النهار $2\times78.53/15 = 10.47\,\mathrm{h}$؛ وأطول ليل في السنة في بارانال يدوم $24 - 10.47 = 13.53\,\mathrm{h}$، أي **$13\,\mathrm{h}$ $32\,\mathrm{min}$**.