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title: "Erosión y transporte"
book: "Ciencias de la Tierra y del espacio universitarias — primer año"
subject: earth
language: es
chapter: 20
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/20-erosion-y-transporte
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 20 — Erosión y transporte

Tras una tormenta, el río bajo el puente baja de color marrón. El agua que el día anterior era clara está espesa de lodo, remolinea alrededor de las pilas y arrastra ramas, y en el fondo, sin verse, los cantos rodados chocan entre sí al rodar. Cada segundo, la crecida se lleva toneladas de tierra. Aguas abajo, tras una presa, ese mismo lodo se asienta en el agua quieta del embalse, que pierde un poco de volumen cada año; más lejos aún, en la desembocadura del río, se extiende en el mar como una pluma parda que se puede ver desde el espacio. Este capítulo pone cifras a ese viaje: cuánto transporta un río y en qué formas, con qué rapidez se hunde un grano, qué corriente necesita para ponerlo en movimiento, y con qué rapidez, al fin, se desgasta un paisaje entero.

**Lo que ya sabes.**

La erosión es el desgaste de la tierra y el arrastre de sus trozos; la sedimentación es su depósito allí donde el transportista se frena (libro 1, año 5). Un río transporta su carga sedimentaria como [carga de fondo](#def-b1-erosion-transport-load), [carga en suspensión](#def-b1-erosion-transport-load) y [carga disuelta](#def-b1-erosion-transport-load); la [tasa de denudación](#def-b1-erosion-transport-denudation) de una región es el espesor de roca que se le retira por unidad de tiempo, en metros por millón de años; cuando la erosión retira un espesor $e$ de [corteza](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/9-la-tierra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers), la recuperación isostática solo deja bajar la superficie en $e(1 - \rho_c/\rho_m)$ (libro 2, año 12). El caudal de un río es el volumen de agua que pasa por una sección transversal por unidad de tiempo, y su cuenca de drenaje el área que lo alimenta (libro 2, año 10). En la [isostasia de Airy](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/11-isostasia-y-anomalias-de-la-gravedad#prop-b1-isostasy-gravity-airy) la [corteza](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/9-la-tierra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) flota sobre el [manto](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/9-la-tierra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) con una raíz proporcional a su relieve ([Proposición 11.5](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/11-isostasia-y-anomalias-de-la-gravedad#prop-b1-isostasy-gravity-airy)). La [hidrólisis](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/19-meteorizacion-y-arcillas#def-b1-weathering-clays-hydrolysis) de los silicatos envía iones y sílice disuelta a los ríos ([Definición 19.3](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/19-meteorizacion-y-arcillas#def-b1-weathering-clays-hydrolysis)). La viscosidad dinámica $\mu$ de un fluido mide su resistencia a la cizalla, y la viscosidad cinemática es $\nu = \mu/\rho$; una esfera de diámetro $d$ que se mueve despacio a la velocidad $w$ a través de un fluido sufre el arrastre $3\pi\mu d w$ (ley de Stokes); el número de Reynolds $w d/\nu$ compara la inercia con las fuerzas viscosas, y el flujo alrededor de la esfera es suave mientras sea pequeño (libros de física).

## 20.1 Flujos de solutos y de partículas

Un río elimina la tierra de dos maneras: como materia en disolución, productos de la [meteorización química](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/19-meteorizacion-y-arcillas#def-b1-weathering-clays-weathering), y como granos sólidos, productos de la [meteorización física](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/19-meteorizacion-y-arcillas#def-b1-weathering-clays-weathering) y residuos insolubles de la [meteorización química](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/19-meteorizacion-y-arcillas#def-b1-weathering-clays-weathering). Los dos viajan de forma distinta, y los propios granos viajan de dos maneras.

**Definición 20.1 (Carga disuelta, carga en suspensión, carga de fondo).**

La carga de un río es la materia que transporta más allá de una sección transversal, en tres partes que se distinguen por cómo viajan. La *carga disuelta* es la materia en disolución, iones y sílice disuelta, que se mueve con el agua a su propia velocidad. La *carga en suspensión* está formada por granos sostenidos dentro del flujo por su turbulencia, sobre todo arcilla, limo y arena fina, que se mueven casi a la velocidad del agua y raramente tocan el fondo. La *carga de fondo* está formada por granos que ruedan, se deslizan o saltan a lo largo del fondo, en contacto frecuente con él, mucho más despacio que el agua.

![Las tres cargas de un río, vistas de lado (esquemático, sin escala). El flujo es más rápido cerca de la superficie y se frena hasta cero en el fondo. Los iones están repartidos por toda la profundidad; los granos en suspensión son arrastrados por los remolinos, y más de ellos cerca del fondo; los granos de la carga de fondo ruedan, se deslizan o dan saltos cortos. A la derecha: las fuerzas sobre un grano del fondo. El arrastre y la sustentación del flujo tienden a hacerlo rodar sobre su vecino de aguas abajo, alrededor del punto de contacto; su peso en el agua lo retiene.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-erosion-transport/fig-2144aecd1ef3.svg)

*Las tres cargas de un río, vistas de lado (esquemático, sin escala). El flujo es más rápido cerca de la superficie y se frena hasta cero en el fondo. Los iones están repartidos por toda la profundidad; los granos en suspensión son arrastrados por los remolinos, y más de ellos cerca del fondo; los granos de la [carga de fondo](#def-b1-erosion-transport-load) ruedan, se deslizan o dan saltos cortos. A la derecha: las fuerzas sobre un grano del fondo. El arrastre y la sustentación del flujo tienden a hacerlo rodar sobre su vecino de aguas abajo, alrededor del punto de contacto; su peso en el agua lo retiene.*

La frontera entre las dos cargas sólidas no la fija el tamaño del grano: depende del flujo. Una crecida que transporta arena en suspensión la deja en el fondo, como [carga de fondo](#def-b1-erosion-transport-load), cuando baja; la arcilla más fina, en cambio, permanece en suspensión en casi cualquier corriente y apenas se encuentra en el fondo de un río que fluye. Cada carga se mide como un flujo, una masa por unidad de tiempo que atraviesa una sección transversal del río.

**Proposición 20.2 (Flujo de una carga).**

Sea $c$ la concentración de una [carga disuelta](#def-b1-erosion-transport-load) o en suspensión (masa por unidad de volumen de agua) y $u$ la velocidad del agua, ambas variables a través de la sección de área $A$. (1) El flujo instantáneo de la carga a través de la sección es

$$
F = \iint_A c\,u\,\mathrm dA = \overline{c}_Q\,Q,
$$

donde $Q = \iint_A u\,\mathrm dA$ es el caudal y $\overline{c}_Q$ la concentración media ponderada por la velocidad. (2) Durante un periodo $T$ en el que el caudal $Q(t)$ y la concentración $C(t)$ del río varían, la masa transportada es

$$
M = \int_0^T Q\,C\,\mathrm dt = T\left(\overline{Q}\;\overline{C} +
  \operatorname{cov}(Q, C)\right),
$$

donde las barras son medias temporales y $\operatorname{cov}(Q, C)$ es la media de $(Q - \overline{Q})(C - \overline{C})$. El producto del caudal medio y la concentración media da la masa correcta solo si ambos no están correlacionados.

**Demostración.** (1) En un tiempo $\mathrm dt$, el agua que atraviesa un pequeño área $\mathrm dA$ de la sección llena un volumen $u\,\mathrm dA\,\mathrm dt$, que lleva la masa $c\,u\,\mathrm dA\,\mathrm dt$; sumando sobre la sección se obtiene $F$, y $\overline{c}_Q$ se define como $F/Q$. (2) Escríbase $Q = \overline{Q} + Q'$ y $C =
\overline{C} + C'$, donde las fluctuaciones $Q'$ y $C'$ tienen media nula en el periodo. Entonces $QC = \overline{Q}\,\overline{C} + \overline{Q}\,C' + Q'\,\overline{C}
+ Q'C'$; los dos términos del medio promedian cero, y la media de $Q'C'$ es la covarianza. ∎

La covarianza importa para la [carga en suspensión](#def-b1-erosion-transport-load). Su concentración sube bruscamente en las crecidas, cuando la lluvia lava la tierra hacia los arroyos y el flujo más rápido levanta granos del fondo, así que $Q$ y $C$ crecen juntos: una gran parte del sedimento anual de un río pasa en unos pocos días de crecida, y una campaña de muestreo que los pierda, o una concentración media multiplicada por el caudal medio, subestima la carga. La [carga disuelta](#def-b1-erosion-transport-load) se comporta al revés: las crecidas la diluyen, y su concentración es mayor en caudal bajo, cuando el río se alimenta de agua subterránea que ha estado mucho tiempo en contacto con la roca.

**Método 20.3 (La carga anual de un río a partir de aforos).**

1. Regístrese el caudal de forma continua en una estación de aforo.
2. Muéstrese el agua con muchos caudales, las crecidas incluidas, y mídase la masa de sedimento por litro (filtrando y pesando) y la de cada especie disuelta.
3. Pondérense las concentraciones por el caudal en el momento del muestreo para obtener la concentración media ponderada por el flujo, o ajústese la concentración como función del caudal y aplíquese a todo el registro.
4. Multiplíquese por el volumen total de agua del año, o súmese $Q\,C\,\Delta  t$ sobre el registro ( [Proposición 20.2](#prop-b1-erosion-transport-flux) ).
5. Añádase la [carga de fondo](#def-b1-erosion-transport-load) , que los muestreadores de agua no recogen, a partir de medidas separadas o como una fracción estimada.
6. Para la [carga disuelta](#def-b1-erosion-transport-load) , quítese lo que no procede de la roca: las sales traídas por la lluvia y, para el bicarbonato, el carbono tomado del aire ( [Capítulo 19](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/19-meteorizacion-y-arcillas#ch-b1-weathering-clays) ).

![Izquierda: un río en crecida lleva agua parda cargada de sedimento (ilustración IA). Derecha: la pluma de inundación del Misisipi vertiéndose en el golfo de México alrededor de su delta, vista por el instrumento MODIS del satélite Terra el 4 de marzo de 2018; el lodo en suspensión tiñe el mar de pardo y verde, y el viento del sudeste empuja la pluma hacia el noroeste. Imagen del Observatorio de la Tierra de la NASA de Joshua Stevens, dominio público, a través de Wikimedia Commons.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-erosion-transport/img-a0ccd7958308.jpg)

![Izquierda: un río en crecida lleva agua parda cargada de sedimento (ilustración IA). Derecha: la pluma de inundación del Misisipi vertiéndose en el golfo de México alrededor de su delta, vista por el instrumento MODIS del satélite Terra el 4 de marzo de 2018; el lodo en suspensión tiñe el mar de pardo y verde, y el viento del sudeste empuja la pluma hacia el noroeste. Imagen del Observatorio de la Tierra de la NASA de Joshua Stevens, dominio público, a través de Wikimedia Commons.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-erosion-transport/img-26d480525435.jpg)

*Izquierda: un río en crecida lleva agua parda cargada de sedimento (ilustración IA). Derecha: la pluma de inundación del Misisipi vertiéndose en el golfo de México alrededor de su delta, vista por el instrumento MODIS del satélite Terra el 4 de marzo de 2018; el lodo en suspensión tiñe el mar de pardo y verde, y el viento del sudeste empuja la pluma hacia el noroeste. Imagen del Observatorio de la Tierra de la NASA de Joshua Stevens, dominio público, a través de Wikimedia Commons.*

*Los ríos del mundo.* Antes de cualquier influencia humana, los ríos del mundo llevaban al océano costero unas $14\,\mathrm{Gt}$ de sedimento en suspensión al año, $15.5\,\mathrm{Gt}$ con la [carga de fondo](#def-b1-erosion-transport-load). Las personas han cambiado ambos extremos del viaje: la agricultura y la deforestación han aumentado la erosión del suelo, añadiendo unas $2.3\,\mathrm{Gt}$ al año a los ríos, mientras que los embalses retienen sedimento: los grandes atrapan alrededor del $20\,\%$ del flujo y los pequeños otro $6\,\%$, y más de $100\,\mathrm{Gt}$ de sedimento yacen ahora detrás de presas construidas sobre todo en los últimos cincuenta años. El efecto neto es una reducción: el flujo actual es de unos $12.6\,\mathrm{Gt}$ al año.

**Datos de 2005.**

Las cifras del flujo de sedimento en suspensión, antes y después de la influencia humana, proceden de un modelo global del sedimento de los ríos publicado en 2005. Desde entonces se han construido presas.

La [carga disuelta](#def-b1-erosion-transport-load) es menor. Una recopilación clásica de análisis de ríos, hecha en 1963, situó la materia disuelta que los ríos del mundo entregan al mar en unas $3.9\,\mathrm{Gt}$ al año, cerca del $30\,\%$ del flujo actual en suspensión, con una concentración media de $120\,\mathrm{mg}$ por litro. El bicarbonato constituye casi la mitad, $58\,\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$, seguido del calcio, la sílice, el sulfato, el cloruro y el sodio. Parte de ella no procede de la roca: buena parte del bicarbonato lleva carbono tomado del aire o del suelo, y parte del cloruro y del sodio procede de la sal marina arrastrada por la lluvia. Los ríos individuales se separan mucho de estas medias.

*El presupuesto sedimentario de una cuenca.* No todo grano erosionado en una cuenca de drenaje llega a su desembocadura. La tierra arrastrada desde un campo puede detenerse al pie de la ladera, la arena puede almacenarse durante siglos en la llanura de inundación y en las barras del río, y un embalse puede retener la mayor parte de lo que le llega. La carga medida en la desembocadura es el saldo del presupuesto: lo que se erosiona en las laderas y en las orillas, menos lo que se almacena en el camino, más lo que se recupera de viejos depósitos. En unas pocas décadas de aforos este saldo puede diferir mucho de la tasa de erosión a largo plazo, en un sentido o en el otro, lo que es una razón para los otros métodos de [Sección 20.4](#sec-20-4).

## 20.2 Velocidad de sedimentación

Un grano es más denso que el agua y se hunde. Si un río puede transportarlo, y dónde se depositará, depende ante todo de la rapidez con que se hunde.

**Definición 20.4 (Velocidad de sedimentación).**

La *velocidad de sedimentación* $w_s$ de un grano es la velocidad constante con la que cae a través de agua en reposo, cuando el arrastre del agua equilibra su peso sumergido, es decir, su peso menos el empuje del agua que desaloja.

Un grano liberado en agua quieta se acelera hasta que su arrastre, que crece con su velocidad, equilibra su peso sumergido; para un grano de arena o de limo esto lleva una pequeña fracción de segundo, así que la [velocidad de sedimentación](#def-b1-erosion-transport-settling) es la velocidad a la que cae casi todo el trayecto. Con las densidades $\rho_s$ del grano y $\rho$ del agua, escríbase $R = (\rho_s - \rho)/\rho$ para la densidad sumergida relativa.

**Proposición 20.5 (Sedimentación de Stokes).**

Una esfera de diámetro $d$ y densidad $\rho_s$ que cae despacio a través de agua de densidad $\rho$ y viscosidad dinámica $\mu$, según la ley de Stokes, tiene la [velocidad de sedimentación](#def-b1-erosion-transport-settling)

$$
w_s = \frac{(\rho_s - \rho)\,g\,d^2}{18\,\mu} = \frac{R\,g\,d^2}{18\,\nu}.
$$

La ley vale mientras el número de Reynolds del grano $w_s d/\nu$ esté por debajo de unos 1, es decir, para diámetros menores que $d_1 = \left(18\,\nu^2/(R\,g)\right)^{1/3}$.

**Demostración.** El peso de la esfera es $\rho_s g\,\pi d^3/6$ y el empuje $\rho g\,\pi d^3/6$, así que su peso sumergido es $(\rho_s - \rho)\,g\,\pi d^3/6$. En la [velocidad de sedimentación](#def-b1-erosion-transport-settling) iguala al arrastre $3\pi\mu d\,w_s$:

$$
(\rho_s - \rho)\,g\,\frac{\pi d^3}{6} = 3\pi\mu d\,w_s
  \quad\Longrightarrow\quad
  w_s = \frac{(\rho_s - \rho)\,g\,d^2}{18\,\mu},
$$

y dividiendo el numerador y el denominador por $\rho$ se obtiene la segunda forma. El número de Reynolds de esta velocidad es $R g d^3/(18\nu^2)$, que vale 1 para $d = d_1$ y crece como $d^3$. ∎

Para el cuarzo, de densidad $2650\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, en agua a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, de densidad $998.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ y viscosidad $1.0016\,\mathrm{mPa}\,\mathrm{s}$: $R =
1.65$, $\nu = 1.003 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, y con $g =
9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ el límite es $d_1 = 0.104\,\mathrm{mm}$, una arena fina. Por debajo, la ley de Stokes da las [velocidades de sedimentación](#def-b1-erosion-transport-settling) del limo y la arcilla: un grano de limo de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ de diámetro se hunde a $9.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $1\,\mathrm{m}$ en unas tres horas; una partícula de arcilla de $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ a $3.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $1\,\mathrm{m}$ en $3.2$ días. Las partículas naturales de arcilla son escamas, no esferas, y se hunden aún más despacio. Agua de $5\,\mathrm{m}$ de profundidad, perfectamente quieta, tardaría dieciséis días en quedar libre de esa arcilla; un río que fluye, cuyos remolinos la mantienen agitada, nunca lo consigue, y por eso el lodo más fino viaja hasta el mar.

Por encima de $d_1$ el arrastre crece más deprisa que en proporción a la velocidad: el agua que fluye junto al grano se separa tras él en una estela, y a números de Reynolds grandes el arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad. Los experimentos con granos naturales se resumen en una sola fórmula que une los dos regímenes.

**Proposición 20.6 (Ley combinada de sedimentación).**

La [velocidad de sedimentación](#def-b1-erosion-transport-settling) de granos naturales de diámetro de tamiz $d$ es, para todos los tamaños,

$$
w_s = \frac{R\,g\,d^2}{C_1\,\nu + \sqrt{0.75\,C_2\,R\,g\,d^3}},
$$

con $C_1 = 18$ y $C_2 = 1.0$.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

La ley se debe a Ferguson y Church, que la ajustaron a [velocidades de sedimentación](#def-b1-erosion-transport-settling) medidas en arenas naturales. Para granos pequeños la raíz cuadrada es despreciable y se reduce a la ley de Stokes; para granos grandes el primer término del denominador es despreciable y $w_s \to \sqrt{4 R g d/(3 C_2)}$, que crece solo como la raíz cuadrada del tamaño. Las constantes dependen de la forma de los granos: $C_2 = 0.4$ describe esferas lisas, y valores mayores granos más angulosos, que encuentran más arrastre. Las dos leyes se separan por encima de $0.1\,\mathrm{mm}$. Para un grano de $1\,\mathrm{mm}$ la ley combinada da $0.126\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, siete veces menos que la ley de Stokes; para un canto de $10\,\mathrm{mm}$, $0.46\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ frente a los $90\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ sin sentido de la ley de Stokes (diagrama de abajo).

![Velocidad de sedimentación de granos de cuarzo en agua a 20\, C, frente a su diámetro, ambos en escalas logarítmicas: la ley de Stokes y la ley combinada de los granos naturales, calculadas. En estas escalas la ley de Stokes es una recta de pendiente 2. Las dos coinciden para el limo y la arcilla; por encima de unos 0.1\, mm, donde el número de Reynolds del grano pasa de 1, el arrastre de la estela frena los granos gruesos. Las marcas de la parte inferior señalan los límites de las clases granulométricas, en 3.9\, µ m (1/256 mm), 62.5\, µ m (1/16 mm) y 2\, mm.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-erosion-transport/fig-a4f80a0a59e5.svg)

*[Velocidad de sedimentación](#def-b1-erosion-transport-settling) de granos de cuarzo en agua a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, frente a su diámetro, ambos en escalas logarítmicas: la ley de Stokes y la ley combinada de los granos naturales, calculadas. En estas escalas la ley de Stokes es una recta de pendiente 2. Las dos coinciden para el limo y la arcilla; por encima de unos $0.1\,\mathrm{mm}$, donde el número de Reynolds del grano pasa de 1, el arrastre de la estela frena los granos gruesos. Las marcas de la parte inferior señalan los límites de las clases granulométricas, en $3.9\,\text{µ}\mathrm{m}$ ($1/256$ mm), $62.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ ($1/16$ mm) y $2\,\mathrm{mm}$.*

En todo el intervalo del diagrama, desde la arcilla más fina hasta una grava gruesa, la [velocidad de sedimentación](#def-b1-erosion-transport-settling) abarca ocho órdenes de magnitud. Esta es la primera razón por la que los ríos clasifican su sedimento: una corriente que se frena deja caer su grava de inmediato, su arena a metros, su limo a kilómetros, y lleva su arcilla a un lago o al mar. Las clases granulométricas y la clasificación de los sedimentos son el tema del capítulo siguiente ([Capítulo 21](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/21-sedimentos-clasticos-y-sus-ambientes#ch-b1-clastic-sediments)).

## 20.3 Umbral de movimiento y diagrama de Hjulström

Un grano en reposo en el fondo de un río es puesto en movimiento por la fuerza del agua que fluye sobre él. Esa fuerza se mide con un esfuerzo.

**Definición 20.7 (Esfuerzo de cizalla en el fondo, velocidad de cizalla).**

El *esfuerzo de cizalla en el fondo* $\tau_b$ de un flujo es la fuerza por unidad de área que ejerce sobre su fondo, paralela al fondo, en el sentido del flujo. La velocidad de cizalla es $u_* = \sqrt{\tau_b/\rho}$, una velocidad que mide el mismo esfuerzo.

El [esfuerzo de cizalla en el fondo](#def-b1-erosion-transport-bed-shear) no puede leerse en un medidor de corriente, pero en un flujo estacionario se deduce de un equilibrio de fuerzas.

**Proposición 20.8 (Producto profundidad–pendiente).**

En un flujo estacionario y uniforme de profundidad $h$ por un canal ancho de pendiente pequeña $S$, el [esfuerzo de cizalla en el fondo](#def-b1-erosion-transport-bed-shear) es

$$
\tau_b = \rho\,g\,h\,S .
$$

**Demostración.** Considérese el agua sobre un trozo de fondo de longitud $L$ a lo largo del flujo y de anchura unitaria, siendo el canal tan ancho que sus orillas pueden ignorarse. El flujo es estacionario y uniforme, así que esta agua no se acelera y las fuerzas sobre ella se equilibran. Las fuerzas de presión sobre sus caras aguas arriba y aguas abajo son iguales y opuestas, pues la profundidad es la misma en ambas. A lo largo del flujo quedan la componente del peso, $\rho g h L \sin\beta$, donde $\beta$ es el ángulo del fondo, y el rozamiento del fondo, $\tau_b L$, que se le opone. Por tanto $\tau_b
= \rho g h \sin\beta$, y para un ángulo pequeño $\sin\beta \approx \tan\beta = S$. ∎

Un río de $2\,\mathrm{m}$ de profundidad con una pendiente de $0.001$, un metro de desnivel por kilómetro, tiene $\tau_b = 998.2 \times 9.81 \times 2 \times 0.001 =
19.6\,\mathrm{Pa}$, y una velocidad de cizalla de $0.140\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. En un canal que no es ancho, las orillas toman su parte del rozamiento, y la profundidad se sustituye por el radio hidráulico, el área de la sección dividida por su perímetro mojado ([Ejercicio 20.5](#exo-b1-erosion-transport-5)).

*Fuerzas sobre un grano.* El flujo empuja un grano del fondo con su arrastre, y lo levanta con el flujo más rápido sobre su cima (el recuadro de la primera figura de este capítulo). Ambas fuerzas actúan sobre el área del grano, así que escalan como $\tau_b
d^2$; el grano resiste con su peso sumergido, que escala como $(\rho_s - \rho) g d^3$. El cociente de ambas es la medida natural de la intensidad del flujo para un grano dado.

**Definición 20.9 (Parámetro de Shields, umbral de movimiento).**

El *parámetro de Shields* de un flujo de [esfuerzo de cizalla en el fondo](#def-b1-erosion-transport-bed-shear) $\tau_b$ sobre granos de diámetro $d$ y densidad $\rho_s$ es

$$
\theta = \frac{\tau_b}{(\rho_s - \rho)\,g\,d}.
$$

El *umbral de movimiento* de los granos es el [esfuerzo de cizalla en el fondo](#def-b1-erosion-transport-bed-shear), o el valor $\theta_c$ del parámetro de Shields, al que empiezan a moverse.

El valor crítico $\theta_c$ se mide en canales, y las medidas caen sobre una sola curva cuando se representan frente a un tamaño de grano adimensional que combina el grano y el fluido.

**Proposición 20.10 (Curva de umbral de Soulsby y Whitehouse).**

Para granos de diámetro $d$ sobre un fondo plano, con $D_* = d\,\left(R\,g/\nu^2\right)^{1/3}$, el [parámetro de Shields](#def-b1-erosion-transport-threshold) crítico es

$$
\theta_c = \frac{0.3}{1 + 1.2\,D_*} + 0.055\left(1 - e^{-0.02\,D_*}\right),
$$

y el esfuerzo de cizalla crítico en el fondo es $\tau_c = \theta_c\,(\rho_s - \rho)\,g\,d$.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

Para granos gruesos $\theta_c$ tiende a $0.055$: la grava se mueve cuando el [esfuerzo de cizalla en el fondo](#def-b1-erosion-transport-bed-shear) alcanza alrededor de una vigésima parte del peso sumergido de una capa de granos de un diámetro de espesor, por unidad de área. Las fórmulas de transporte de sedimento que usan un umbral constante toman valores de $0.03$ a $0.047$, siendo este último el de la fórmula clásica de [carga de fondo](#def-b1-erosion-transport-load) de Meyer-Peter y Müller. Para la arena fina $\theta_c$ vuelve a subir, hasta $0.077$ a $0.1\,\mathrm{mm}$: los granos pequeños quedan dentro de la capa lenta y viscosa del agua junto al fondo y están protegidos por sus vecinos. El mínimo, $0.030$, cae cerca de $0.7\,\mathrm{mm}$. En pascales el umbral crece siempre con el tamaño (diagrama de abajo): $0.13\,\mathrm{Pa}$ para una arena de $0.1\,\mathrm{mm}$, $0.51\,\mathrm{Pa}$ a $1\,\mathrm{mm}$, $9.0\,\mathrm{Pa}$ a $10\,\mathrm{mm}$, $57\,\mathrm{Pa}$ para un canto de $64\,\mathrm{mm}$.

![El umbral de movimiento de los granos de cuarzo en agua a 20\, C, según la curva de Soulsby y Whitehouse, calculado desde el límite de la arena fina (0.0625\, mm) hasta el tamaño de un canto. (a) El parámetro de Shields crítico es casi constante para la grava y sube para la arena fina. (b) El esfuerzo de cizalla crítico en el fondo crece casi en proporción al diámetro para la grava.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-erosion-transport/fig-95c219e4e594.svg)

*El [umbral de movimiento](#def-b1-erosion-transport-threshold) de los granos de cuarzo en agua a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, según la curva de Soulsby y Whitehouse, calculado desde el límite de la arena fina ($0.0625\,\mathrm{mm}$) hasta el tamaño de un canto. (a) El [parámetro de Shields](#def-b1-erosion-transport-threshold) crítico es casi constante para la grava y sube para la arena fina. (b) El esfuerzo de cizalla crítico en el fondo crece casi en proporción al diámetro para la grava.*

**Ejemplo 20.11 (Lo que mueve el río).**

En el río de $2\,\mathrm{m}$ de profundidad con pendiente de $0.001$, $\tau_b =
19.6\,\mathrm{Pa}$. Para granos de $20\,\mathrm{mm}$, $\theta = 19.6/(1651.8 \times
9.81 \times 0.020) = 0.060$, justo por encima de su umbral de $0.055$: se mueven. Para granos de $40\,\mathrm{mm}$, $\theta = 0.030$, la mitad del umbral: se quedan. El río mueve su fondo hasta la grava gruesa; para la arena de $1\,\mathrm{mm}$, $\theta = 1.21$, casi cuarenta veces el umbral de $0.031$.

*Hacia la suspensión.* Una vez en movimiento, un grano salta a lo largo del fondo o es recogido por el flujo, según si los remolinos, cuyas velocidades son del orden de la velocidad de cizalla, pueden sostenerlo frente a su sedimentación.

**Proposición 20.12 (Criterio de suspensión).**

Un grano de [velocidad de sedimentación](#def-b1-erosion-transport-settling) $w_s$ puede permanecer en suspensión en un flujo turbulento solo si algunos remolinos ascienden más deprisa de lo que él se hunde. Como las velocidades ascendentes de los remolinos son del orden de la velocidad de cizalla $u_*$, la suspensión empieza cuando $u_*$ se acerca a $w_s$ y está plenamente desarrollada cuando $u_*$ la supera; este capítulo toma $u_* = w_s$ como límite de la suspensión.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

En el río del ejemplo, $u_* = 0.140\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, que la ley combinada de sedimentación asigna a granos de $1.16\,\mathrm{mm}$: la arena más fina que aproximadamente un milímetro viaja en suspensión, y la arena más gruesa y la grava como [carga de fondo](#def-b1-erosion-transport-load). El argumento se remonta a Bagnold, que observó que los granos de $0.1\,\mathrm{mm}$ o menos quedan totalmente en suspensión en cuanto se mueven, mientras que los granos mayores de $1\,\mathrm{mm}$ necesitan un [esfuerzo de cizalla en el fondo](#def-b1-erosion-transport-bed-shear) muchas veces mayor que su umbral. Cuando la crecida baja y $u_*$ disminuye, la arena gruesa cae primero al fondo.

*Del esfuerzo a la velocidad media.* Lo que se mide o se estima con facilidad en un río es su velocidad media. En un flujo turbulento sobre un fondo rugoso por granos de diámetro $d$, un canal ancho de profundidad $h$ tiene la velocidad media $U = u_*\left(6.25 + 5.75\log_{10}(h/d)\right)$, una ley establecida por Keulegan en 1938 a partir de los experimentos de Nikuradse y Bazin, así que el [umbral de movimiento](#def-b1-erosion-transport-threshold) corresponde a la velocidad media crítica

$$
U_c = \left(6.25 + 5.75\,\log_{10}\frac{h}{d}\right)\sqrt{\theta_c\,R\,g\,d},
$$

y el límite de suspensión, $u_* = w_s$, a $U_s = \left(6.25 +
5.75\log_{10}(h/d)\right) w_s$. Ambos dependen de la profundidad, aunque solo a través de un logaritmo.

Las velocidades de umbral pertenecen, pues, a una profundidad y a un conjunto de leyes: calculadas para otra profundidad, o leídas de otras mediciones, salen distintas. Representadas frente al tamaño del grano, su forma es robusta pero sus valores no lo son, y el [esfuerzo de cizalla en el fondo](#def-b1-erosion-transport-bed-shear), que no depende de la profundidad de la misma manera, es la mejor medida de lo que puede hacer un flujo. Las velocidades siguen siendo más intuitivas, y la manera clásica de dibujarlas es un diagrama.

**Definición 20.13 (Diagrama de Hjulström).**

Un *diagrama de Hjulström* representa la velocidad media de un flujo frente al diámetro de los granos, en escalas logarítmicas, y divide el plano en los campos en que los granos en reposo son erosionados, los granos ya en movimiento se mantienen en transporte y los granos en movimiento se depositan.

![Un diagrama de tipo Hjulström para granos de cuarzo en agua de 1\, m de profundidad a 20\, C, calculado: el umbral de movimiento (sólido) según la curva de Soulsby y Whitehouse, el límite de suspensión (discontinuo) según la ley combinada de sedimentación, ambos convertidos en velocidades medias mediante la ley de Keulegan. Por encima de la curva sólida, los granos en reposo son erosionados; por debajo de la menor de las dos curvas (sombreada), los granos en movimiento se depositan. Los granos más finos que 0.13\, mm pasan a suspensión en cuanto se mueven; los más gruesos viajan primero como carga de fondo. El cálculo solo vale para granos sueltos: el campo rayado del limo y la arcilla cohesivos es esquemático.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-erosion-transport/fig-b218cedecfed.svg)

*Un diagrama de tipo Hjulström para granos de cuarzo en agua de $1\,\mathrm{m}$ de profundidad a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, calculado: el [umbral de movimiento](#def-b1-erosion-transport-threshold) (sólido) según la curva de Soulsby y Whitehouse, el límite de suspensión (discontinuo) según la ley combinada de sedimentación, ambos convertidos en velocidades medias mediante la ley de Keulegan. Por encima de la curva sólida, los granos en reposo son erosionados; por debajo de la menor de las dos curvas (sombreada), los granos en movimiento se depositan. Los granos más finos que $0.13\,\mathrm{mm}$ pasan a suspensión en cuanto se mueven; los más gruesos viajan primero como [carga de fondo](#def-b1-erosion-transport-load). El cálculo solo vale para granos sueltos: el campo rayado del limo y la arcilla cohesivos es esquemático.*

*Lectura del diagrama.* Tres rasgos llevan la geología. Primero, los granos más fáciles de erosionar son las arenas finas, entre unos $0.06$ y $0.2\,\mathrm{mm}$, que una corriente de $31\text{ a }34\,\mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-1}$ pone en movimiento en agua de $1\,\mathrm{m}$ de profundidad; los granos más gruesos necesitan más, hasta unos $3\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ para un canto de $64\,\mathrm{mm}$. Segundo, el limo y la arcilla, aunque son más ligeros, son más difíciles de erosionar que la arena fina una vez asentados: sus partículas se pegan entre sí, y un lodo compactado resiste una corriente que arrastraría la arena. El cálculo para granos sueltos no puede verlo, y las velocidades de erosión medidas de los lodos varían con su compactación y su contenido de agua, de ahí el campo rayado. Tercero, la brecha entre erosión y sedimentación se abre mucho para los granos finos: una partícula de arcilla necesita una corriente fuerte para desprenderse de un fondo fangoso, pero una vez en el agua permanece allí incluso en el flujo más suave, que es toda la historia de la crecida parda y de la pluma en el mar.

**Historia — Dos estudios de los años treinta.**

En 1935 Filip Hjulström, del Instituto Geográfico de Uppsala, publicó un largo estudio de la obra del río Fyris, en el centro de Suecia, que contenía el diagrama que lleva su nombre: velocidades de erosión y de sedimentación frente al tamaño del grano, en escalas logarítmicas. A diferencia de las curvas anteriores, su curva de erosión tenía un mínimo, entre unos $0.1$ y $0.5\,\mathrm{mm}$: la arena fina suelta es la más fácil de erosionar, mientras que la arena más gruesa y la grava, y también el limo y la arcilla, que se cohesionan, necesitan corrientes más fuertes. Un año después, en 1936, el ingeniero A. Shields, en la tesis que defendió en la Escuela Técnica Superior de Berlín, representó el [umbral de movimiento](#def-b1-erosion-transport-threshold) como un cociente de fuerzas, el parámetro que hoy lleva su nombre, frente a un tamaño de grano adimensional. Las velocidades de Hjulström ignoran la profundidad del flujo; el enfoque adimensional de Shields no, y es la base de las fórmulas de umbral que se usan hoy, como la que está detrás de los diagramas de este capítulo.

## 20.4 Tasas de denudación

Las cargas de un río, sumadas sobre su cuenca, miden la rapidez con que la cuenca se desgasta.

**Definición 20.14 (Tasa de denudación).**

La *tasa de denudación* $D$ de una región es la velocidad media con que la retirada de materia, como granos sólidos y en disolución, baja su superficie, expresada como el espesor equivalente de roca fresca por unidad de tiempo, en metros por millón de años ($\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$, lo mismo que milímetros por mil años). La masa retirada por unidad de área y de tiempo, en toneladas por kilómetro cuadrado y por año, es el rendimiento específico de sedimento.

**Proposición 20.15 (Denudación a partir de las cargas de los ríos).**

Si una cuenca de área $A$ pierde, a través de su desembocadura, las masas anuales $F_s$ de [carga en suspensión](#def-b1-erosion-transport-load), $F_b$ de [carga de fondo](#def-b1-erosion-transport-load) y $F_d$ de [carga disuelta](#def-b1-erosion-transport-load) procedentes de sus rocas, y si no se almacena nada en el camino, su [tasa de denudación](#def-b1-erosion-transport-denudation) es

$$
D = \frac{F_s + F_b + F_d}{\rho_r\,A},
$$

con $\rho_r$ la densidad de la roca fresca. Para $\rho_r =
2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, un rendimiento específico de $100\,\mathrm{t}\,\mathrm{km}^{-2}\,\mathrm{yr}^{-1}$ corresponde a $37\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$.

**Demostración.** La masa perdida por unidad de área y de tiempo es $(F_s + F_b + F_d)/A$; dividida por la densidad de la roca se convierte en el espesor de roca perdido por unidad de tiempo. Para la conversión, $100\,\mathrm{t}\,\mathrm{km}^{-2}\,\mathrm{yr}^{-1}$ es $1 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}/1 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2} = 0.1\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$ al año, o $0.1/2700 = 3.7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}$ al año, $37\,\mathrm{m}$ por millón de años. ∎

La [carga disuelta](#def-b1-erosion-transport-load) cuenta solo por la parte que procede de la roca, no del aire: el carbono del bicarbonato de la meteorización de silicatos se toma de la atmósfera, y solo los cationes y la sílice son de la roca. La parte química de la denudación no es pequeña. Donde el clima es cálido y húmedo y el relieve bajo, puede aproximarse o superar a la parte mecánica, mientras que en las montañas empinadas domina la parte mecánica.

*Tres relojes.* La [tasa de denudación](#def-b1-erosion-transport-denudation) puede medirse en tres intervalos de tiempo muy distintos. Las cargas de los ríos integran años a decenios, y dependen de las pocas crecidas que ocurrieron, o no, durante las mediciones. El sedimento retenido en un embalse o un lago, medido topografiando su fondo, integra de decenios a un siglo de su vida. El tercer reloj está escrito en los propios granos, por los rayos cósmicos.

**Proposición 20.16 (Nucleidos cosmogénicos y erosión).**

Supóngase que un nucleido se produce en una roca por los rayos cósmicos a la velocidad $P(z) = P_0\,e^{-\rho z/\Lambda}$ por unidad de masa, decreciendo exponencialmente con la profundidad $z$ ($\rho$ la densidad de la roca, $\Lambda$ una constante, la longitud de atenuación expresada como masa por unidad de área), y que la superficie baja a la velocidad constante $\varepsilon$. Despreciando la desintegración radiactiva, un grano que llega a la superficie lleva la concentración

$$
N = \frac{P_0\,\Lambda}{\rho\,\varepsilon}.
$$

**Demostración.** Respecto de la superficie, que baja a la velocidad $\varepsilon$, un grano sube a la velocidad $\varepsilon$, así que pasa el tiempo $\mathrm dz/\varepsilon$ en una capa de espesor $\mathrm dz$ a la profundidad $z$, y allí gana la concentración $P(z)\,\mathrm dz/\varepsilon$. Subiendo desde gran profundidad, llega a la superficie con

$$
N = \frac{1}{\varepsilon}\int_0^{\infty} P_0\,e^{-\rho z/\Lambda}\,\mathrm dz
  = \frac{P_0}{\varepsilon}\,\frac{\Lambda}{\rho}. \qedhere
$$

∎

La concentración es inversamente proporcional a la tasa de erosión: una superficie que erosiona despacio mantiene cada grano cerca de la superficie durante mucho tiempo, y lo carga de nucleidos. La tasa que da se promedia sobre el tiempo que se tarda en erosionar los pocos metros en que se concentra la producción, que es de unos mil a un millón de años, según la tasa. Despreciar la desintegración está justificado cuando ese tiempo es corto frente a la vida del nucleido; cuando la erosión es muy lenta, se incluye la desintegración y la fórmula se alarga un poco.

**En el laboratorio — Berilio-10 en arena de río.**

El nucleido habitual es el berilio-10, por lo demás excepcionalmente raro en la superficie de la Tierra, fabricado por los rayos cósmicos en el cuarzo de los primeros metros de roca. Para medir la [tasa de denudación](#def-b1-erosion-transport-denudation) de una cuenca entera, los geoquímicos recogen arena del fondo de su río cerca de la desembocadura, con la hipótesis de que el río mezcla granos de cada ladera de la cuenca en proporción a la velocidad con que se erosiona cada una. En el laboratorio, el cuarzo se separa de los demás [minerales](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/7-minerales-formadores-de-rocas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) y se limpia con ácidos que eliminan el berilio formado en el aire y que trae la lluvia; luego se disuelve, se añade una cantidad conocida de berilio ordinario, y se extrae el berilio. Sus isótopos se cuentan átomo a átomo con un espectrómetro de masas con acelerador, que puede encontrar los raros átomos de berilio-10 entre un enorme exceso del isótopo ordinario.

*Las tasas reales.* Una recopilación de $1599$ de tales mediciones, publicada en 2011, encontró que los afloramientos de roca desnudos bajan despacio: $12\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ de promedio, con una mediana de $5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ (450 afloramientos). La roca sedimentaria se desgasta más deprisa, $20\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ de promedio, que la metamórfica, $11\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$, y la ígnea, $8.7\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$. Las cuencas de drenaje enteras pierden mucho más, $218\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ de promedio con una mediana de $54\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ ($1149$ cuencas): sus laderas empinadas, los deslizamientos y los cauces de los ríos erosionan mucho más deprisa que sus cumbres desnudas, y unas pocas cuencas muy rápidas elevan la media cuatro veces por encima de la mediana. La pendiente media de una cuenca es el mejor predictor único de su tasa. Las cuencas de regiones sísmicamente activas, donde las montañas se están levantando, promedian $367\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$, frente a $182\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ en las regiones tranquilas; las cuencas polares, barridas por los glaciares, $537\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$; las cuencas áridas, $100\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$.

*La [isostasia](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/11-isostasia-y-anomalias-de-la-gravedad#def-b1-isostasy-gravity-isostasy) frena el descenso.* Retirar roca de una región en [isostasia](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/11-isostasia-y-anomalias-de-la-gravedad#def-b1-isostasy-gravity-isostasy) aligera sus columnas, y la [corteza](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/9-la-tierra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) se eleva para restablecer el equilibrio. Con $\rho_c
= 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ y $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ ([Capítulo 11](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/11-isostasia-y-anomalias-de-la-gravedad#ch-b1-isostasy-gravity)), la fórmula de rebote recordada al principio del capítulo da un descenso de solo $1 - 2700/3300 = 0.18$ del espesor retirado: para bajar la superficie media de una región $1\,\mathrm{m}$, la erosión debe retirar $5.5\,\mathrm{m}$ de roca. El tiempo para desgastar una cordillera es, pues, más de cinco veces lo que sugiere su altura dividida por su [tasa de denudación](#def-b1-erosion-transport-denudation), y las rocas que hoy están en la superficie de cordilleras viejas y desgastadas yacían una vez a muchos kilómetros de profundidad. Y como el rebote sigue al espesor medio retirado, no a su distribución, una cordillera cuyos valles están muy cortados mientras sus picos apenas se tocan se eleva en conjunto: sus picos suben, aunque nada se les haya añadido ([Ejercicio 20.11](#exo-b1-erosion-transport-11)).

*Las tasas cambian.* Una [tasa de denudación](#def-b1-erosion-transport-denudation) medida hoy no es una constante del paisaje. A medida que disminuyen el relieve y las pendientes, también disminuye la tasa, y una cordillera vieja y rebajada se desgasta cada vez más despacio; a la inversa, una cordillera que se levanta, o un clima que cambia, la aumenta. Un tiempo calculado con la tasa de hoy es una primera estimación, no una predicción.

## 20.5 Ejercicios

**Ejercicio 20.1 ★.**

Un río tiene un caudal medio de $500\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$ y lleva, como media ponderada por el caudal, $0.4\,\mathrm{g}$ de sedimento en suspensión por litro. Calcúlese su flujo en suspensión en kilogramos por segundo y en millones de toneladas al año (tómese un año de $365.25$ días).

**Solución de Ejercicio 20.1.**

$0.4\,\mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}$ son $0.4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, así que el flujo es $500 \times 0.4 =
200\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$. Un año de $365.25$ días dura $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, así que el flujo anual es $6.31 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}$, o $6.31\,\mathrm{Mt}$.

**Ejercicio 20.2 ★.**

Con la ley de Stokes, calcúlese la [velocidad de sedimentación](#def-b1-erosion-transport-settling) de un grano de limo de cuarzo de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ de diámetro en agua a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($R = 1.6548$, $\nu =
1.0034 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$), compruébese que su número de Reynolds del grano es pequeño, y calcúlese el tiempo que tarda en hundirse a través de $2\,\mathrm{m}$ de agua en reposo.

**Solución de Ejercicio 20.2.**

$w_s = R g d^2/(18\nu) = 1.6548 \times 9.81 \times (30 \times 10^{-6})^2/(18 \times
1.0034 \times 10^{-6}) = 8.09 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, unos $0.8\,\mathrm{mm}$ por segundo. Su número de Reynolds del grano es $w_s d/\nu = 8.09 \times 10^{-4} \times
30 \times 10^{-6}/1.0034 \times 10^{-6} = 0.024$, muy por debajo de 1: vale la ley de Stokes. Se hunde $2\,\mathrm{m}$ en $2/8.09 \times 10^{-4} = 2472\,\mathrm{s}$, unos $41\,\mathrm{min}$.

**Ejercicio 20.3 ★.**

Un arroyo ancho de $0.5\,\mathrm{m}$ de profundidad fluye con una pendiente de $4 \times 10^{-4}$. Calcúlese su [esfuerzo de cizalla en el fondo](#def-b1-erosion-transport-bed-shear), con $\rho = 998.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, y el [parámetro de Shields](#def-b1-erosion-transport-threshold) del flujo para granos de cuarzo de $1\,\mathrm{mm}$ y de $10\,\mathrm{mm}$ ($\rho_s = 2650\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$). Los valores críticos son $0.0314$ a $1\,\mathrm{mm}$ y $0.0556$ a $10\,\mathrm{mm}$: ¿qué granos se mueven?

**Solución de Ejercicio 20.3.**

$\tau_b = \rho g h S = 998.2 \times 9.81 \times 0.5 \times 4 \times 10^{-4} =
1.96\,\mathrm{Pa}$. Con $(\rho_s - \rho) g = 1651.8 \times 9.81 =
16\,204\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-3}$: para $1\,\mathrm{mm}$, $\theta = 1.96/(16204 \times 0.001) =
0.121$, casi cuatro veces el umbral de $0.0314$, así que la arena se mueve; para $10\,\mathrm{mm}$, $\theta = 0.0121$, una quinta parte del umbral de $0.0556$, así que la grava permanece. El arroyo transporta su arena sobre un lecho de grava que no se mueve.

**Ejercicio 20.4 ★.**

El flujo moderno de sedimento en suspensión hacia el océano es de unas $12.6\,\mathrm{Gt}$ al año, el flujo disuelto de unas $3.9\,\mathrm{Gt}$ al año, con una concentración media de $120\,\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$. (a) ¿Cuál es el cociente entre el flujo en suspensión y el disuelto? (b) Antes de la influencia humana el flujo en suspensión era de $14\,\mathrm{Gt}$ al año: ¿qué masas retienen los grandes embalses ($20\,\%$) y todos los embalses ($26\,\%$)? (c) ¿Qué volumen anual de agua del río implican el flujo disuelto y su concentración? ¿Cuál es entonces la concentración media de sedimento en suspensión, en gramos por litro?

**Solución de Ejercicio 20.4.**

(a) $12.6/3.9 = 3.2$: los ríos transportan en suspensión unas tres veces más que en disolución. (b) Grandes embalses: $0.20 \times 14 = 2.8\,\mathrm{Gt}$ al año; todos ellos: $0.26 \times 14 = 3.64\,\mathrm{Gt}$ al año. (c) El flujo disuelto es de $3.9 \times 10^{15}\,\mathrm{g}$ al año a $120\,\mathrm{g}\,\mathrm{m}^{-3}$, así que el agua que lo lleva es $3.9 \times 10^{15}/120 = 3.25 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}$, unos $32\,500\,\mathrm{km}^{3}$ al año. La [carga en suspensión](#def-b1-erosion-transport-load) en esa agua es $1.26 \times 10^{16}\,\mathrm{g}/3.25 \times 10^{16}\,\mathrm{L} =
0.39\,\mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}$.

**Ejercicio 20.5 ★★.**

En un canal de anchura finita, el producto profundidad–pendiente se convierte en $\tau_b =
\rho g R_h S$, con el radio hidráulico $R_h$, el área de la sección dividida por su perímetro mojado. (a) Calcúlese $R_h$ para un canal rectangular de $10\,\mathrm{m}$ de anchura y $2\,\mathrm{m}$ de profundidad. (b) Compárese el [esfuerzo de cizalla en el fondo](#def-b1-erosion-transport-bed-shear) con una pendiente de $0.001$ con el de un canal muy ancho de la misma profundidad. (c) Demuéstrese que $R_h \to h$ cuando crece la anchura.

**Solución de Ejercicio 20.5.**

(a) La sección tiene el área $10 \times 2 = 20\,\mathrm{m}^{2}$ y el perímetro mojado $10 + 2 \times 2 = 14\,\mathrm{m}$, así que $R_h = 20/14 = 1.43\,\mathrm{m}$. (b) $\tau_b = 998.2 \times 9.81 \times 1.43 \times 0.001 = 14.0\,\mathrm{Pa}$, frente a $19.6\,\mathrm{Pa}$ para un canal muy ancho de $2\,\mathrm{m}$ de profundidad: el cociente es $R_h/h = 0.714$, pues las orillas toman el resto del rozamiento. (c) Para un canal rectangular de anchura $b$, $R_h = bh/(b + 2h) = h/(1 + 2h/b)$, que tiende a $h$ cuando $b$ crece.

**Ejercicio 20.6 ★★.**

(a) Muéstrese, a partir de [Proposición 20.5](#prop-b1-erosion-transport-stokes), que el límite $d_1$ de la ley de Stokes es proporcional a $\nu^{2/3}$. (b) A $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ la viscosidad del agua es de $1.3059\,\mathrm{mPa}\,\mathrm{s}$ y su densidad $999.7\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$; calcúlese $d_1$ para el cuarzo, sabiendo que es de $0.104\,\mathrm{mm}$ a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, donde $\nu = 1.0034 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ (despréciese el pequeño cambio de $R$). (c) ¿En qué factor se hunde más despacio un grano de limo de cuarzo de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ a $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ que a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$? ¿Qué significa esto para un río en invierno?

**Solución de Ejercicio 20.6.**

(a) $d_1 = \left(18\nu^2/(Rg)\right)^{1/3} = (18/(Rg))^{1/3}\,\nu^{2/3}$, y $R$ y $g$ no dependen de la viscosidad. (b) $\nu = 1.3059 \times 10^{-3}/999.7 =
1.306 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, frente a $1.0034 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: el cociente es $1.302$, y $1.302^{2/3} = 1.192$, así que $d_1 = 0.104 \times 1.192 = 0.124\,\mathrm{mm}$. (c) En el intervalo de Stokes $w_s$ es inversamente proporcional a $\nu$: el grano se hunde $1.302$ veces más despacio, unos $30\,\%$. El agua fría mantiene el sedimento fino en suspensión durante más tiempo: un río en invierno transporta su limo algo más lejos para el mismo caudal.

**Ejercicio 20.7 ★★.**

Para granos de cuarzo de $0.1\,\mathrm{mm}$, $0.5\,\mathrm{mm}$ y $2\,\mathrm{mm}$ en agua a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, calcúlese la [velocidad de sedimentación](#def-b1-erosion-transport-settling) según la ley de Stokes y según la ley combinada, y el cociente entre ambas. Explíquese la tendencia.

**Solución de Ejercicio 20.7.**

Con $R g/(18\nu) = 8.99 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ y la ley combinada:

| $d$ | Stokes ($\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$) | combinada ($\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$) | cociente |
| --- | --- | --- | --- |
| $0.1\,\mathrm{mm}$ | $8.99 \times 10^{-3}$ | $7.53 \times 10^{-3}$ | $1.19$ |
| $0.5\,\mathrm{mm}$ | $0.225$ | $0.0711$ | $3.16$ |
| $2\,\mathrm{mm}$ | $3.60$ | $0.197$ | $18.3$ |

El cociente crece con el tamaño, porque crece el número de Reynolds del grano: la ley de Stokes, válida solo para números de Reynolds pequeños, aumenta como $d^2$, mientras que el arrastre de la estela frena los granos gruesos hasta una velocidad que crece solo como $\sqrt d$.

**Ejercicio 20.8 ★★.**

(a) Calcúlense, con la curva de Soulsby y Whitehouse, el [parámetro de Shields](#def-b1-erosion-transport-threshold) crítico y el esfuerzo de cizalla crítico en el fondo para granos de cuarzo de $0.2\,\mathrm{mm}$ y $20\,\mathrm{mm}$. (b) ¿Qué profundidad de agua, que fluye de forma estacionaria en un canal ancho con una pendiente de $0.002$, alcanza cada umbral?

**Solución de Ejercicio 20.8.**

(a) $(Rg/\nu^2)^{1/3} = 25\,263\,\mathrm{m}^{-1}$. A $0.2\,\mathrm{mm}$, $D_* = 5.05$ y $\theta_c = 0.3/7.06 + 0.055(1 - e^{-0.101}) = 0.0425 + 0.0053 =
0.0478$; $\tau_c = 0.0478 \times 16204 \times 2 \times 10^{-4} = 0.155\,\mathrm{Pa}$. A $20\,\mathrm{mm}$, $D_* = 505$ y $\theta_c = 0.3/607 + 0.055(1 - e^{-10.1}) =
0.0005 + 0.0550 = 0.0555$; $\tau_c = 0.0555 \times 16204 \times 0.02 =
18.0\,\mathrm{Pa}$. (b) $h = \tau_c/(\rho g S)$ con $\rho g S =
19.58\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{-1}$: $7.9\,\mathrm{mm}$ de agua mueven la arena fina, $0.92\,\mathrm{m}$ la grava.

**Ejercicio 20.9 ★★.**

Una cuenca de $2000\,\mathrm{km}^{2}$ exporta cada año $0.6\,\mathrm{Mt}$ de [carga en suspensión](#def-b1-erosion-transport-load) y de fondo y $0.2\,\mathrm{Mt}$ de [carga disuelta](#def-b1-erosion-transport-load) procedente de la roca. Calcúlese su rendimiento específico y su [tasa de denudación](#def-b1-erosion-transport-denudation) para una densidad de la roca de $2650\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. ¿Cómo se compara con la mediana de las cuencas medidas con berilio-10?

**Solución de Ejercicio 20.9.**

La cuenca pierde $0.8\,\mathrm{Mt}$ = $8 \times 10^{5}\,\mathrm{t}$ al año, o $8 \times 10^{5}/2000 =
400\,\mathrm{t}\,\mathrm{km}^{-2}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Según [Proposición 20.15](#prop-b1-erosion-transport-denudation), $D = 8 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}/(2650 \times 2 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{2}) = 1.51 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}$ al año, o $151\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$. Eso es unas tres veces la mediana de las cuencas medidas con berilio-10, $54\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$, aunque por debajo de su media de $218\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$: una cuenca bastante rápida, como lo son las de relieve empinado o de región tectónicamente activa.

**Ejercicio 20.10 ★★★.**

Un río ancho de $3\,\mathrm{m}$ de profundidad fluye con una pendiente de $5 \times 10^{-4}$. (a) Calcúlense su velocidad de cizalla y su [esfuerzo de cizalla en el fondo](#def-b1-erosion-transport-bed-shear). (b) Con [Proposición 20.12](#prop-b1-erosion-transport-suspension) y la ley combinada de sedimentación, hállese el mayor grano de cuarzo que transporta en suspensión. (c) Con la curva de umbral, hállese el mayor grano que mueve en absoluto. (d) Descríbanse el fondo y la carga de este río.

**Solución de Ejercicio 20.10.**

(a) $u_* = \sqrt{g h S} = \sqrt{9.81 \times 3 \times 5 \times 10^{-4}} =
0.1213\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ y $\tau_b = \rho u_*^2 = 14.7\,\mathrm{Pa}$. (b) La suspensión necesita $w_s < u_* = 0.1213\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. La ley combinada da $0.126\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $1\,\mathrm{mm}$; resolviendo $w_s(d) = 0.1213$ por tanteo resulta $d = 0.94\,\mathrm{mm}$. (c) Para la grava $\theta_c \approx 0.0555$, así que $\tau_c = 14.7\,\mathrm{Pa}$ para $d \approx
14.7/(0.0555 \times 16204) = 16.3\,\mathrm{mm}$; a ese tamaño la curva de umbral da $\theta_c = 0.0555$, en efecto. (d) Los granos más gruesos que unos $16\,\mathrm{mm}$ permanecen en el fondo y forman un suelo estable de grava; la grava más fina y la arena más gruesa que cerca de un milímetro viajan como [carga de fondo](#def-b1-erosion-transport-load); la arena fina, el limo y la arcilla viajan en suspensión.

**Ejercicio 20.11 ★★★.**

Una meseta en equilibrio isostático es cortada por valles hasta que se elimina el $30\,\%$ de su volumen por encima de los fondos de los valles; antes del corte se alzaba como una superficie plana $1000\,\mathrm{m}$ por encima de los futuros fondos de valle. Tómense $\rho_c = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ y $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (a) ¿Qué espesor medio de roca se retira? (b) ¿Cuánto se eleva la región por [isostasia](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/11-isostasia-y-anomalias-de-la-gravedad#def-b1-isostasy-gravity-isostasy)? (c) ¿Cuánto ha bajado la superficie media? (d) ¿Qué ha pasado con las cumbres que no fueron erosionadas?

**Solución de Ejercicio 20.11.**

(a) $0.30 \times 1000\,\mathrm{m} = 300\,\mathrm{m}$ de roca, promediada sobre la región. (b) El rebote es $300 \times 2700/3300 = 245\,\mathrm{m}$. (c) La superficie media baja solo $300 - 245 = 55\,\mathrm{m}$. (d) Las cumbres, que no fueron erosionadas, son elevadas con toda la región: ahora están $245\,\mathrm{m}$ más altas que antes. Cortar valles puede elevar los picos de una cordillera.

**Ejercicio 20.12 ★★★.**

Un embalse de $50 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ recibe $0.5\,\mathrm{Mt}$ de sedimento al año y retiene el $90\,\%$ de él. El depósito, húmedo y suelto, tiene una densidad aparente de $1300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (a) ¿Qué volumen del embalse llena cada año, y qué fracción es? (b) ¿Cuánto tarda en llenarse la mitad del embalse a este ritmo? (c) ¿Por qué la pérdida de volumen suele frenarse a medida que el embalse envejece?

**Solución de Ejercicio 20.12.**

(a) $0.9 \times 5 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}/1300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3} = 346\,000\,\mathrm{m}^{3}$ al año, o $0.69\,\%$ del embalse. (b) La mitad del embalse, $25 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$, se llena en $25 \times 10^{6}/346\,000 = 72\text{ años}$ a este ritmo. (c) A medida que el embalse se llena, su volumen, y con él el tiempo de residencia del agua, disminuye, y pasan granos más finos: su eficacia de retención baja. Mientras tanto, los depósitos más antiguos quedan enterrados y se compactan, expulsando agua, de modo que su densidad aparente sube y cada tonelada ocupa menos sitio. Ambos efectos frenan la pérdida de volumen a medida que el embalse envejece.

## 20.6 Problema: ¿con qué rapidez se desgastan las Varden Hills?

**Problema 20.1.**

Problema de fin de semana — el río de las Varden Hills, desde sus cargas hasta el tiempo que tarda en desgastar las colinas

El río de las Varden Hills drena una cuenca de $80\,\mathrm{km}^{2}$ de granito, esquisto y rocas sedimentarias. En su desembocadura, una estación de aforo registra un caudal medio de $1.2\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$; tras varios años de muestreo, la concentración media ponderada por el caudal del sedimento en suspensión es de $150\,\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$, y la de la [carga disuelta](#def-b1-erosion-transport-load) procedente de las rocas, de $80\,\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$. La [carga de fondo](#def-b1-erosion-transport-load) se estima en el $10\,\%$ de la [carga en suspensión](#def-b1-erosion-transport-load). Tómense un año de $365.25$ días, una densidad de la roca de $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, granos de cuarzo de densidad $2650\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, y agua a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($R
= 1.6548$, $\nu = 1.0034 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$).

**Parte I — Las cargas.**

1. Exprésese el caudal medio como escorrentía, la profundidad de agua repartida sobre la cuenca cada año, en milímetros.
2. Calcúlese el flujo anual de sedimento en suspensión, en toneladas.
3. Calcúlese el flujo anual de [carga disuelta](#def-b1-erosion-transport-load) procedente de la roca.
4. Calcúlense la [carga de fondo](#def-b1-erosion-transport-load) y la carga total.
5. La concentración media en el tiempo del sedimento en suspensión es muy inferior a $150\,\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$ . Explíquese por qué, y cuál de las dos debe multiplicarse por el caudal medio.
6. ¿Qué fracción del total representa la [carga disuelta](#def-b1-erosion-transport-load) ? Compárese con los ríos del mundo, cuyo flujo disuelto es de unas $3.9\,\mathrm{Gt}$ y el flujo en suspensión de $12.6\,\mathrm{Gt}$ al año.

**Parte II — La tasa de denudación.**

7. Calcúlese el rendimiento específico de sedimento de la cuenca.
8. Calcúlese su [tasa de denudación](#def-b1-erosion-transport-denudation) , en metros por millón de años.
9. Compárese con la mediana de las cuencas medidas con berilio-10, $54\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ . ¿Es la cuenca rápida o lenta?
10. Una medida de berilio-10 en arena de la desembocadura da una tasa del mismo orden. ¿Qué intervalos de tiempo promedian la medición de caudal y el berilio, y por qué pueden diferir?
11. ¿Por qué solo debe contarse la parte de la [carga disuelta](#def-b1-erosion-transport-load) que procede de la roca?

**Parte III — Un embalse.** Se proyecta una presa en la desembocadura, que retendría un embalse de $1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ con una profundidad media de $8\,\mathrm{m}$.

12. ¿Cuál es el tiempo de residencia medio del agua en el embalse, en días?
13. ¿Cuánto tarda en llegar al fondo un grano de arena de cuarzo de $0.1\,\mathrm{mm}$ que entra por la superficie (ley combinada)?
14. La misma pregunta para un grano de limo de $0.02\,\mathrm{mm}$ , con la ley de Stokes.
15. La misma pregunta para una partícula de arcilla de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . ¿Queda atrapada?
16. ¿Cuál es el grano más fino que se hunde a través de toda la profundidad dentro del tiempo de residencia?
17. Supóngase que la [carga de fondo](#def-b1-erosion-transport-load) y el $70\,\%$ de la [carga en suspensión](#def-b1-erosion-transport-load) quedan atrapados, y que el resto es arcilla más fina, y que el depósito tiene una densidad aparente de $1300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ . ¿Qué volumen llena cada año, qué fracción del embalse es, y cuánto tarda en estar llena la mitad?

**Parte IV — Desgastar las colinas.**

18. Con la [tasa de denudación](#def-b1-erosion-transport-denudation) de la pregunta 8, ¿cuánto tardaría en bajar las colinas $100\,\mathrm{m}$ , si no ocurriera nada más?
19. Con $\rho_c = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ y $\rho_m =  3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ , ¿qué fracción del espesor retirado es la que baja la superficie media una vez que la [isostasia](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/11-isostasia-y-anomalias-de-la-gravedad#def-b1-isostasy-gravity-isostasy) se ha ajustado?
20. ¿Qué espesor de roca debe retirarse para bajar la superficie media $100\,\mathrm{m}$ ?
21. Si la erosión se concentra en los valles, ¿qué pasa con las cumbres más altas durante ese tiempo?
22. ¿Por qué es improbable que la tasa de hoy se mantenga constante durante millones de años, y en qué sentido cambiará?
23. En millones de años, con tres cifras, ¿cuánto tarda, con la tasa de hoy y con el rebote isostático, en bajar las Varden Hills $100\,\mathrm{m}$ ?

**Solución de Problema 20.1.**

**1.** Un año de agua son $1.2 \times 3.156 \times 10^{7} = 3.79 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}$; repartidos sobre $8 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}$, una capa de $0.473\,\mathrm{m}$: una escorrentía de $473\,\mathrm{mm}$ al año.

**2.** $1.2 \times 0.150\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3} = 0.18\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$, o $5680\,\mathrm{t}$ al año.

**3.** $1.2 \times 0.080 = 0.096\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$, o $3030\,\mathrm{t}$ al año.

**4.** La [carga de fondo](#def-b1-erosion-transport-load) es de $568\,\mathrm{t}$ al año, y la total $5680 + 3030 +
568 = 9278\,\mathrm{t}$ al año.

**5.** La concentración del sedimento en suspensión es alta durante los pocos días de crecida, cuando el caudal también es alto, y baja el resto del tiempo. Un promedio temporal da a cada día el mismo peso, así que lo domina la multitud de días de caudal bajo y concentración baja. Según [Proposición 20.2](#prop-b1-erosion-transport-flux), la masa anual es $\int Q\,C\,\mathrm dt$; la media ponderada por el flujo es esta integral dividida por $\int Q\,\mathrm dt$, así que es la media ponderada por el flujo la que debe multiplicarse por el caudal medio.

**6.** $3030/9278 = 0.33$, un tercio. Para los ríos del mundo, $3.9/(12.6 + 3.9) = 0.24$, y menos si se contara la [carga de fondo](#def-b1-erosion-transport-load). La parte de la cuenca es mayor: colinas bajas, donde la erosión mecánica lenta deja tiempo a la roca para disolverse, y calizas y creta, que se disuelven por completo.

**7.** $9278/80 = 116\,\mathrm{t}\,\mathrm{km}^{-2}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

**8.** $D = 9.278 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}/(2700 \times 8 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}) =
4.30 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}$ al año, $43.0\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$.

**9.** $43.0/54 = 0.80$: un poco por debajo de la mediana de las cuencas medidas, y cinco veces por debajo de su media. Una cuenca moderadamente lenta, como cabe esperar para colinas bajas en una región tranquila.

**10.** El aforo promedia los pocos años de medición, y depende de las crecidas que ocurrieron en ellos. El berilio-10 promedia el tiempo que se tarda en erosionar los pocos metros en los que se produce: a $43\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$, cada metro tarda $23\,000$ años, así que el promedio abarca decenas de miles de años. Pueden diferir por las grandes crecidas raras, ausentes en un registro corto; porque la agricultura y la tala han aumentado la erosión en los últimos siglos; y porque el sedimento se almacena en la llanura de inundación, y de allí se recupera.

**11.** Parte de la [carga disuelta](#def-b1-erosion-transport-load) no procede de la roca: buena parte del bicarbonato lleva carbono tomado del aire o del suelo, y la lluvia trae sal marina. Contarlos acreditaría a la cuenca una roca que no ha perdido.

**12.** $1.5 \times 10^{6}/1.2 = 1.25 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, $14.5$ días.

**13.** La ley combinada da $7.53 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$: el grano cae $8\,\mathrm{m}$ en $1062\,\mathrm{s}$, unos $18\,\mathrm{min}$. Queda atrapado.

**14.** $w_s = 8.99 \times 10^{5} \times (2 \times 10^{-5})^2 =
3.60 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$: $8\,\mathrm{m}$ en $22\,200\,\mathrm{s}$, unas $6.2$ horas. Atrapado.

**15.** $w_s = 8.99 \times 10^{5} \times (1 \times 10^{-6})^2 =
8.99 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$: $8\,\mathrm{m}$ tardan $8.9 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, $103$ días, siete veces el tiempo de residencia. La mayor parte pasa por la presa con el agua.

**16.** El grano debe caer $8\,\mathrm{m}$ en $1.25 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, es decir, a $6.4 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ como mínimo. Según la ley de Stokes $d = \sqrt{18\nu
w_s/(Rg)} = \sqrt{6.4 \times 10^{-6}/8.99 \times 10^{5}} = 2.7\,\text{µ}\mathrm{m}$: una arcilla fina. Los granos más gruesos quedan atrapados donde entren.

**17.** $568 + 0.7 \times 5680 = 4544\,\mathrm{t}$ al año, que llenan $4.544 \times 10^{6}/1300 = 3496\,\mathrm{m}^{3}$ al año, el $0.233\,\%$ del embalse. La mitad, $7.5 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{3}$, se llena en unos $215$ años.

**18.** $100/43.0 = 2.33\,\mathrm{Myr}$.

**19.** $1 - 2700/3300 = 0.18$: la superficie baja solo el $18\,\%$ del espesor retirado.

**20.** $100/0.1818 = 550\,\mathrm{m}$ de roca.

**21.** Toda la región se eleva $550 \times 2700/3300 = 450\,\mathrm{m}$ por rebote. Las cumbres apenas erosionadas son elevadas con ella, hasta $450\,\mathrm{m}$, mientras los valles se profundizan: el relieve crece antes de disminuir.

**22.** La [tasa de denudación](#def-b1-erosion-transport-denudation) depende sobre todo de las pendientes. A medida que las colinas se rebajan y sus pendientes se suavizan, la tasa disminuirá, salvo que el levantamiento o un cambio de clima las vuelva a empinar: el tiempo calculado a la tasa de hoy es una cota inferior.

**23.** $550/42.95 = 12.80$. A la tasa de hoy y con el rebote isostático, bajar las Varden Hills $100\,\mathrm{m}$ tarda **12.8** millones de años.