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title: "La Tierra estratificada"
book: "Ciencias de la Tierra y del espacio universitarias — primer año"
subject: earth
language: es
chapter: 9
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/9-la-tierra-estratificada
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 9 — La Tierra estratificada

El 8 de octubre de 1909 un terremoto sacudió el valle del Kupa, al sureste de Zagreb.

Andrija Mohorovičić, que dirigía el observatorio de la zona, reunió los sismogramas registrados en toda Europa y notó algo extraño: hasta unos pocos cientos de kilómetros del epicentro, la primera sacudida llegaba de una manera; más lejos, tomaba el relevo otro tipo de primera llegada, como si parte de la energía hubiera encontrado un camino más rápido a profundidad. Lo explicó mediante una frontera a unos cincuenta kilómetros de profundidad, por debajo de la cual las ondas viajan más deprisa: la base de la [corteza](#def-b1-layered-earth-layers). Un siglo de registros como aquellos, millones de ellos, ha convertido aquella primera frontera en un modelo de referencia de toda la Tierra, capa a capa, con sus velocidades, su densidad, su gravedad y su presión hasta el centro. Este capítulo muestra cómo se halla una frontera a partir de los tiempos de viaje, qué dice el modelo de referencia, cómo se traza un perfil de densidad a partir de las velocidades sísmicas solamente y se comprueba con la masa y el momento de inercia de la Tierra, qué [minerales](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/7-minerales-formadores-de-rocas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) forman el [manto](#def-b1-layered-earth-layers) a cada profundidad, de qué está hecho el núcleo y dónde termina la cáscara rígida del planeta.

**Lo que ya sabes.**

Una onda P es una onda de compresión, y una onda S una onda de cizalla; las ondas S no atraviesan los líquidos, y las zonas de sombra de las ondas P y S del núcleo dan el radio del [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) líquido (libro 2, año 11). Las ondas se refractan en una frontera según la ley de Snell, $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$ (física). En un fluido en reposo la presión crece con la profundidad como $\mathrm dP = \rho g\,\mathrm dz$ (física, primer año universitario). La [corteza](#def-b1-layered-earth-layers), el [manto](#def-b1-layered-earth-layers) y el núcleo se presentaron en el libro 1 (año 6).

## 9.1 Ondas sísmicas en una Tierra estratificada

Las velocidades de las ondas sísmicas dependen de los módulos elásticos de la roca y de su densidad. Los libros de física las deducen de las ecuaciones de la elasticidad de medios continuos; aquí se toman como conocidas.

**Proposición 9.1 (Velocidades sísmicas).**

En un sólido elástico isótropo de densidad $\rho$, módulo de compresión $K$ y módulo de cizalla $\mu$, las ondas P y S viajan a

$$
v_P = \sqrt{\frac{K + \tfrac43\mu}{\rho}}, \qquad v_S = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}.
$$

En un líquido $\mu = 0$: $v_S = 0$ y no se propaga ninguna onda S.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

Como $K$ y $\mu$ son positivos, $v_P > v_S$ siempre: en la [corteza](#def-b1-layered-earth-layers) y el [manto](#def-b1-layered-earth-layers) del PREM, $v_P$ es unas $1.8$ a $1.9$ veces $v_S$, y las ondas P llegan primero. Ambas velocidades crecen en general con la profundidad, porque la presión rigidiza la roca más de lo que la comprime, de modo que los rayos se curvan de nuevo hacia la superficie; y en algunas profundidades dan un salto.

**Definición 9.2 (Discontinuidad sísmica, Moho, fronteras núcleo–manto y del núcleo interno).**

Una *discontinuidad sísmica* es una superficie en el interior de la Tierra a través de la cual las velocidades sísmicas, la densidad o ambas cambian bruscamente, en un espesor pequeño comparado con una longitud de onda sísmica. La *discontinuidad de Mohorovičić* (o *Moho*) es la base de la [corteza](#def-b1-layered-earth-layers), donde $v_P$ salta hasta unos $8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. La *frontera núcleo–manto* es la superficie entre el [manto](#def-b1-layered-earth-layers) silicatado sólido y el [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) líquido; la *frontera del núcleo interno* es la superficie entre el [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) líquido y el [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) sólido.

### 9.1.1 Refracción en una frontera entre capas

Tomemos una capa de espesor $h$ y velocidad $v_1$, la [corteza](#def-b1-layered-earth-layers), sobre un semiespacio de velocidad $v_2 > v_1$, el [manto](#def-b1-layered-earth-layers), y una fuente en la superficie. Tres ondas llegan a un receptor a la distancia $x$. La onda directa viaja en la capa, a $v_1$. La onda reflejada rebota en la frontera. Y un rayo que incide sobre la frontera con el ángulo crítico $i_c$, con $\sin i_c = v_1/v_2$, se refracta a lo largo de ella, viaja en el medio más rápido justo debajo a la velocidad $v_2$ y devuelve energía hacia arriba, a la capa, con el mismo ángulo $i_c$ a lo largo de todo su recorrido.

**Definición 9.3 (Onda de cabeza, distancia de cruce).**

Una *onda de cabeza* es la onda que viaja a lo largo de una frontera a la velocidad del medio más rápido situado debajo y sale de ella hacia arriba con el ángulo crítico. La *distancia de cruce* es la distancia a la fuente a partir de la cual la onda de cabeza llega antes que la onda directa.

**Teorema 9.4 (Tiempos de viaje en una Tierra de dos capas).**

Sobre una capa de espesor $h$ y velocidad $v_1$ apoyada en un semiespacio de velocidad $v_2 > v_1$, una fuente y un receptor en la superficie a la distancia $x$ dan

$$
t_{\text{directa}} = \frac{x}{v_1}, \qquad
  t_{\text{cabeza}} = \frac{x}{v_2} + \frac{2h\cos i_c}{v_1}
  \quad (x \ge 2h\tan i_c), \qquad \sin i_c = \frac{v_1}{v_2},
$$

y la [onda de cabeza](#def-b1-layered-earth-head-wave) llega primero más allá de la [distancia de cruce](#def-b1-layered-earth-head-wave)

$$
x_c = 2h\sqrt{\frac{v_2 + v_1}{v_2 - v_1}}.
$$

**Demostración.** La [onda de cabeza](#def-b1-layered-earth-head-wave) desciende con el ángulo $i_c$ a través de la capa, por un camino de longitud $h/\cos i_c$, recorre la frontera a lo largo de la distancia $x - 2h\tan i_c$ y sube por un camino de longitud $h/\cos i_c$. Su tiempo de viaje es

$$
t_{\text{cabeza}} = \frac{2h}{v_1\cos i_c} + \frac{x - 2h\tan i_c}{v_2}
  = \frac{x}{v_2} + \frac{2h}{v_1\cos i_c}\Bigl(1 - \frac{v_1\sin i_c}{v_2}\Bigr)
  = \frac{x}{v_2} + \frac{2h}{v_1\cos i_c}\,(1 - \sin^2 i_c),
$$

que es $x/v_2 + 2h\cos i_c/v_1$. El camino existe solo si el recorrido horizontal es positivo, $x \ge 2h\tan i_c$. Los dos tiempos son iguales cuando $x(1/v_1 - 1/v_2) = 2h\cos i_c/v_1$; con $\cos i_c = \sqrt{v_2^2 - v_1^2}/v_2$,

$$
x\,\frac{v_2 - v_1}{v_1 v_2} = \frac{2h\sqrt{(v_2 - v_1)(v_2 + v_1)}}{v_1 v_2},
$$

que da $x_c$. Más allá de él, la recta de la [onda de cabeza](#def-b1-layered-earth-head-wave), de pendiente menor $1/v_2$, queda por debajo de la recta de la onda directa. ∎

En un gráfico de tiempo de viaje frente a distancia, las ondas directa y de cabeza son dos rectas. Sus pendientes son las velocidades inversas $1/v_1$ y $1/v_2$; la recta de la [onda de cabeza](#def-b1-layered-earth-head-wave), prolongada hasta $x = 0$, corta el eje de tiempos en el *tiempo de intersección* $t_i = 2h\cos i_c/v_1$. La onda reflejada, $t = \sqrt{x^2 + 4h^2}/v_1$, es una hipérbola que toca la recta de la [onda de cabeza](#def-b1-layered-earth-head-wave) en la distancia crítica $2h\tan i_c$, donde nace la [onda de cabeza](#def-b1-layered-earth-head-wave) ([Ejercicio 9.10](#exo-b1-layered-earth-10)).

![Refracción sobre una corteza de 35\, km de espesor, a 6.0\, km\, s-1, sobre un manto a 8.0\, km\, s-1 ((a) a escala verdadera). (a) La onda directa recorre la superficie; la onda reflejada dibujada es la que incide sobre el Moho con el ángulo crítico, 48.6; la onda de cabeza recorre el Moho y vuelve con ese ángulo. (b) Tiempos de llegada: la onda de cabeza aparece a la distancia crítica, 79\, km, tangente a la reflexión, y adelanta a la onda directa a la distancia de cruce, 185\, km. La prolongación punteada da el tiempo de intersección t_i = 7.7\, s.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-layered-earth/fig-dfc92d537d09.svg)

*Refracción sobre una [corteza](#def-b1-layered-earth-layers) de $35\,\mathrm{km}$ de espesor, a $6.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, sobre un [manto](#def-b1-layered-earth-layers) a $8.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ ((a) a escala verdadera). (a) La onda directa recorre la superficie; la onda reflejada dibujada es la que incide sobre el [Moho](#def-b1-layered-earth-discontinuity) con el ángulo crítico, $48.6{}^{\circ}$; la [onda de cabeza](#def-b1-layered-earth-head-wave) recorre el [Moho](#def-b1-layered-earth-discontinuity) y vuelve con ese ángulo. (b) Tiempos de llegada: la [onda de cabeza](#def-b1-layered-earth-head-wave) aparece a la distancia crítica, $79\,\mathrm{km}$, tangente a la reflexión, y adelanta a la onda directa a la [distancia de cruce](#def-b1-layered-earth-head-wave), $185\,\mathrm{km}$. La prolongación punteada da el tiempo de intersección $t_i = 7.7\,\mathrm{s}$.*

**Método 9.5 (La profundidad de una frontera a partir de un perfil de refracción).**

1. Represéntense los tiempos de primera llegada frente a la distancia, y ajústese una recta a las llegadas cercanas a la fuente y otra a las lejanas.
2. Las inversas de las pendientes dan $v_1$ y $v_2$ ; después $\sin i_c = v_1/v_2$ .
3. Léase el tiempo de intersección $t_i$ de la recta lejana en $x = 0$ , y calcúlese $h = t_i v_1/(2\cos i_c)$ ; compruébese con la [distancia de cruce](#def-b1-layered-earth-head-wave) , $h = \tfrac12 x_c\sqrt{(v_2 - v_1)/(v_2 + v_1)}$ .
4. Una frontera solo se encuentra si $v_2 > v_1$ : una capa más lenta debajo de otra más rápida no produce [onda de cabeza](#def-b1-layered-earth-head-wave) y permanece oculta.

Las dos clases de primera llegada de Mohorovičić fueron exactamente estas dos rectas: la onda directa en la [corteza](#def-b1-layered-earth-layers) cerca de la fuente, y la [onda de cabeza](#def-b1-layered-earth-head-wave) a lo largo de la parte superior del [manto](#def-b1-layered-earth-layers) más lejos. Su figura para el espesor de la [corteza](#def-b1-layered-earth-layers) en esa región, $54\,\mathrm{km}$, se ha confirmado en su orden de magnitud, pero la profundidad del [Moho](#def-b1-layered-earth-discontinuity) varía de un lugar a otro. Bajo los océanos la [corteza](#def-b1-layered-earth-layers) tiene solo unos $5\,\mathrm{km}$ de espesor; bajo los continentes, de media unos $30\,\mathrm{km}$, y es mucho más gruesa bajo las grandes cordilleras. Para su modelo de referencia, el PREM situó el [Moho](#def-b1-layered-earth-discontinuity) a $11\,\mathrm{km}$ bajo el nivel del mar bajo los océanos y a $35\,\mathrm{km}$ bajo los continentes.

**Historia — Andrija Mohorovičić.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-layered-earth/img-32c3dbb82a2e.jpg)

*Andrija Mohorovičić. Dominio público.*

Andrija Mohorovičić (1857–1936) llegó a la sismología desde la meteorología: maestro, y después, de 1891 a 1921, director del observatorio meteorológico de Zagreb; publicó su último estudio meteorológico en 1901. En los sismogramas del terremoto del valle del Kupa, del 8 de octubre de 1909, halló dos parejas distintas de fases P y S: cerca de la fuente llegaba una clase de primera sacudida, y más lejos otra, que había viajado más deprisa a profundidad. Su lectura de estas dos llegadas como una onda directa y una onda refractada bajo una frontera dio la frontera que hoy lleva su nombre, y la primera medida del espesor de la [corteza](#def-b1-layered-earth-layers).

## 9.2 Un modelo de Tierra de referencia

El mismo razonamiento, aplicado a millones de tiempos de viaje a todas las distancias y a los periodos de las oscilaciones libres de la Tierra (todo el planeta suena como una campana tras un gran terremoto), da las velocidades a cada profundidad.

**Definición 9.6 (Modelo de Tierra de referencia).**

Un *modelo de Tierra de referencia* es una Tierra con simetría esférica, dada como las velocidades sísmicas $v_P(r)$, $v_S(r)$, la densidad $\rho(r)$ y, en los modelos más completos, la atenuación en función del radio $r$ solamente, que ajusta los tiempos de viaje observados, los periodos de oscilación libre, la masa de la Tierra y su momento de inercia. El más usado es el PREM, el Modelo Preliminar de Tierra de Referencia (1981).

El PREM se ajustó al radio $6371\,\mathrm{km}$, a la masa $5.974 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ y al [factor de momento de inercia](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/3-planetologia-comparada#def-b1-comparative-planetology-moi) $0.3308$ de la Tierra. Divide el planeta en unas pocas regiones unidas por discontinuidades, y sus perfiles (figura siguiente) muestran de inmediato las capas principales.

**Definición 9.7 (Corteza, manto, núcleo externo, núcleo interno).**

La *corteza* es la capa silicatada exterior, por encima del [Moho](#def-b1-layered-earth-discontinuity). El *manto* es la cáscara silicatada sólida entre el [Moho](#def-b1-layered-earth-discontinuity) y la [frontera núcleo–manto](#def-b1-layered-earth-discontinuity), a una profundidad de unos $2891\,\mathrm{km}$. El *núcleo externo* es la cáscara metálica líquida entre la [frontera núcleo–manto](#def-b1-layered-earth-discontinuity) y la [frontera del núcleo interno](#def-b1-layered-earth-discontinuity), a unos $5150\,\mathrm{km}$ de profundidad. El *núcleo interno* es la esfera metálica sólida situada debajo, de radio unos $1220\,\mathrm{km}$.

![PREM: las velocidades de las ondas P y S y la densidad frente a la profundidad. La velocidad S cae a cero en el núcleo externo líquido y reaparece, pequeña, en el núcleo interno sólido; en la frontera núcleo–manto la densidad casi se duplica mientras v_P baja de 13.7 a 8.1\, km\, s-1; los saltos cerca de 400\, km y 670\, km acotan la zona de transición.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-layered-earth/fig-e6e18ba09273.svg)

*PREM: las velocidades de las ondas P y S y la densidad frente a la profundidad. La velocidad S cae a cero en el [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) líquido y reaparece, pequeña, en el [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) sólido; en la [frontera núcleo–manto](#def-b1-layered-earth-discontinuity) la densidad casi se duplica mientras $v_P$ baja de 13.7 a $8.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$; los saltos cerca de $400\,\mathrm{km}$ y $670\,\mathrm{km}$ acotan la zona de transición.*

| frontera en PREM | profundidad (km) | radio (km) | qué cambia |
| --- | --- | --- | --- |
| [Moho](#def-b1-layered-earth-discontinuity) | 24.4 | 6346.6 | [corteza](#def-b1-layered-earth-layers) encima, peridotita debajo; $v_P$ de 6.8 a 8.1 |
| discontinuidad de 220 km | 220 | 6151 | base de la [zona de baja velocidad](#def-b1-layered-earth-lithosphere) en PREM |
| discontinuidad de 400 km | 400 | 5971 | [olivino](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/7-minerales-formadores-de-rocas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) a wadsleyita ($410\,\mathrm{km}$ en la mayoría de los estudios) |
| discontinuidad de 670 km | 670 | 5701 | ringwoodita a bridgmanita y ferropericlasa ($660\,\mathrm{km}$ en la mayoría de los estudios) |
| [frontera núcleo–manto](#def-b1-layered-earth-discontinuity) | 2891 | 3480 | silicato a hierro líquido; $v_S$ de 7.3 a 0; $\rho$ de 5.57 a 9.90 |
| [frontera del núcleo interno](#def-b1-layered-earth-discontinuity) | 5149.5 | 1221.5 | hierro líquido a sólido; $v_S$ de 0 a 3.5; $\rho$ de 12.17 a 12.76 |

***Table 9.1.** Las principales discontinuidades de PREM (velocidades en $\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, densidades en $\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$). PREM promedia la [corteza](#def-b1-layered-earth-layers) en $24.4\,\mathrm{km}$; las [cortezas](#def-b1-layered-earth-layers) reales van desde unos $5\,\mathrm{km}$ bajo los océanos hasta muchas decenas de kilómetros bajo las cordilleras.*

Dos hechos de estos perfiles se observan directamente. La anulación de $v_S$ en el [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) es la sombra de las ondas S recordada antes: las ondas S no entran en el núcleo más que como ondas P, el núcleo no transmite cizalla, y por tanto es líquido. Y el [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) transmite ondas S, lentamente: es sólido. Este segundo hecho procede de llegadas P débiles en lugares donde no debería haber ondas P.

**Historia — Inge Lehmann y el núcleo interno.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-layered-earth/img-aaf65ddebd5b.jpg)

*Inge Lehmann en 1932, por Even Neuhaus. Dominio público.*

Inge Lehmann (1888–1993), jefa del departamento de sismología del Instituto Geodésico danés, estudió los registros del terremoto de Buller de 1929, en Nueva Zelanda, y halló ondas P que llegaban dentro de la zona de sombra, donde el núcleo debía haberlas desviado. En un artículo de 1936 con el más breve de los títulos, *P$'$*, mostró que podían explicarse si el núcleo contenía un [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) más pequeño, con una velocidad P mayor, que devuelve parte de la energía hacia la superficie. Hoy se sabe que su [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) es sólido y que crece lentamente a medida que la Tierra se enfría. También descubrió la discontinuidad cercana a $220\,\mathrm{km}$ que lleva su nombre.

## 9.3 Densidad, gravedad y presión a partir de datos sísmicos

Las velocidades sísmicas dan dos combinaciones de los módulos y de la densidad, no la densidad misma. Una tercera relación procede de suponer que, dentro de una capa de composición uniforme, la roca se comprime simplemente por el peso de la roca que tiene encima.

**Definición 9.8 (Parámetro sísmico).**

El *parámetro sísmico* a una profundidad es

$$
\Phi = v_P^2 - \tfrac43 v_S^2 = \frac{K}{\rho},
$$

es decir, el módulo de compresión dividido por la densidad, calculado solo a partir de las dos velocidades sísmicas ([Proposición 9.1](#prop-b1-layered-earth-speeds)).

**Teorema 9.9 (Ecuación de Adams–Williamson).**

En una región de composición uniforme, en equilibrio hidrostático y comprimida adiabáticamente, la densidad varía con el radio como

$$
\frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dr} = -\frac{\rho(r)\,g(r)}{\Phi(r)},
$$

donde $g(r)$ es la gravedad a la distancia $r$ del centro.

**Demostración.** El equilibrio hidrostático da $\mathrm dP/\mathrm dr = -\rho g$ (el recordatorio, con $\mathrm dz = -\mathrm dr$). El módulo de compresión se define por $K = \rho\,\mathrm dP/\mathrm d\rho$ para la compresión considerada; para una roca de composición fija comprimida sin intercambio de calor, es el módulo adiabático que miden las ondas sísmicas, así que $\mathrm d\rho/\mathrm dP = \rho/K$. Por la regla de la cadena,

$$
\frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dr} = \frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dP}\,
  \frac{\mathrm dP}{\mathrm dr} = \frac{\rho}{K}\,(-\rho g) = -\frac{\rho g}{K/\rho}
  = -\frac{\rho g}{\Phi}. \qedhere
$$

∎

La ecuación falla en una discontinuidad, donde cambian la composición o la estructura cristalina, y allí donde la temperatura se aparta de la adiabática; pero entre las discontinuidades explica muy bien el aumento observado de la densidad con la profundidad (panel (c) de la figura siguiente). Partiendo de una densidad en la parte superior de cada región, integrándola hacia abajo, y ajustando los valores de partida hasta que la masa y el momento de inercia salgan bien, así se construyeron los primeros modelos de densidad. Los dos números globales son integrales de la densidad.

**Proposición 9.10 (Masa, gravedad, presión y momento de inercia).**

Para una Tierra con simetría esférica de radio $R$ y densidad $\rho(r)$, la masa dentro del radio $r$, la gravedad, la presión y el momento de inercia respecto de un eje que pasa por el centro son

$$
m(r) = \int_0^r 4\pi s^2\rho(s)\,\mathrm ds, \quad
  g(r) = \frac{G\,m(r)}{r^2}, \quad
  P(r) = \int_r^R \rho(s)\,g(s)\,\mathrm ds, \quad
  I = \frac{8\pi}{3}\int_0^R \rho(r)\,r^4\,\mathrm dr.
$$

**Demostración.** Una cáscara delgada de radio $s$ y espesor $\mathrm ds$ tiene el volumen $4\pi s^2\,\mathrm ds$, de ahí la primera integral. La gravedad de un cuerpo con simetría esférica fuera de un radio es la de su masa interior, concentrada en el centro, y las cáscaras exteriores a $r$ tiran sin fuerza neta (el teorema de la cáscara, que se admite de los libros de física); de ahí $g(r)$. Integrando la ecuación hidrostática desde la superficie, donde $P = 0$, se obtiene $P(r)$. Para el momento de inercia, una cáscara esférica delgada de masa $\mathrm dm$ y radio $r$ tiene, respecto de los tres ejes $x$, $y$, $z$, momentos cuya suma es $\int (y^2 + z^2) + (z^2 + x^2) + (x^2 + y^2)\,\mathrm dm = 2r^2\,\mathrm dm$; por simetría los tres son iguales, así que cada uno vale $\tfrac23 r^2\,\mathrm dm$. Con $\mathrm dm = 4\pi r^2\rho\,\mathrm dr$, sumando las cáscaras se obtiene $I$. ∎

Para una esfera de densidad uniforme, $I = \tfrac{8\pi}{15}\rho R^5 = 0.4\,MR^2$. El factor $I/MR^2 = 0.3308$ de la Tierra es menor: su masa se concentra hacia el centro, que es el primer argumento a favor de un núcleo denso. Calculadas solo con la densidad del PREM, las integrales dan una masa de $5.976 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ (un $0.06\,\%$ por encima de la medida $5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$), un factor $0.3309$, y una presión central de $364\,\mathrm{GPa}$, el valor tabulado con el PREM con una precisión del $0.1\,\%$.

![En el interior de la Tierra, a partir del PREM. (a) y (b) Gravedad y presión calculadas a partir de la densidad del PREM con : la gravedad se mantiene cerca de 10\, m\, s-2 a lo largo del manto, alcanza un máximo de 10.7\, m\, s-2 en la frontera núcleo–manto (FNM) y cae a cero en el centro; la presión llega a 136\, GPa en la FNM, a 329\, GPa en la frontera del núcleo interno (FNI) y a 364\, GPa en el centro. (c) La ecuación de Adams–Williamson, integrada hacia abajo desde la densidad del PREM a 771\, km y en la parte superior del núcleo externo con las velocidades y la gravedad del PREM (círculos), sigue al PREM con un error inferior al 0.2\,\%: allí el aumento de densidad es la compresión de un material uniforme; los saltos no lo son.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-layered-earth/fig-74d338499352.svg)

*En el interior de la Tierra, a partir del PREM. (a) y (b) Gravedad y presión calculadas a partir de la densidad del PREM con [Proposición 9.10](#prop-b1-layered-earth-integrals): la gravedad se mantiene cerca de $10\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ a lo largo del [manto](#def-b1-layered-earth-layers), alcanza un máximo de $10.7\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ en la [frontera núcleo–manto](#def-b1-layered-earth-discontinuity) (FNM) y cae a cero en el centro; la presión llega a $136\,\mathrm{GPa}$ en la FNM, a $329\,\mathrm{GPa}$ en la [frontera del núcleo interno](#def-b1-layered-earth-discontinuity) (FNI) y a $364\,\mathrm{GPa}$ en el centro. (c) La ecuación de Adams–Williamson, integrada hacia abajo desde la densidad del PREM a $771\,\mathrm{km}$ y en la parte superior del [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) con las velocidades y la gravedad del PREM (círculos), sigue al PREM con un error inferior al $0.2\,\%$: allí el aumento de densidad es la compresión de un material uniforme; los saltos no lo son.*

Que la gravedad crezca al bajar por el [manto](#def-b1-layered-earth-layers) es una consecuencia directa del núcleo denso: la masa que queda dentro del radio crece más despacio que $r^2$. A través del [manto](#def-b1-layered-earth-layers) $g$ apenas cambia, y la presión crece casi linealmente con la profundidad, unos $4.7\,\mathrm{GPa}$ por cada cien kilómetros.

## 9.4 El manto: una roca, varias asociaciones minerales

El [manto](#def-b1-layered-earth-layers) superior es peridotita, conocida por los fragmentos que traen a la superficie los volcanes y por las láminas de [manto](#def-b1-layered-earth-layers) empujadas sobre los continentes: entre la mitad y tres quintos de [olivino](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/7-minerales-formadores-de-rocas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) en volumen ($49\text{ a }62\,\%$ en las composiciones propuestas), y el resto [piroxenos](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/7-minerales-formadores-de-rocas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) y un [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/7-minerales-formadores-de-rocas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) alumínico ([plagioclasa](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/7-minerales-formadores-de-rocas#def-b1-rock-forming-minerals-groups), espinela o [granate](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/7-minerales-formadores-de-rocas#def-b1-rock-forming-minerals-groups), según la profundidad). La presión que crece con la profundidad no cambia esta composición, pero obliga a sus átomos a disponerse en estructuras más densas: los [polimorfos](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/7-minerales-formadores-de-rocas#def-b1-rock-forming-minerals-polymorph) ([Capítulo 7](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/7-minerales-formadores-de-rocas#ch-b1-rock-forming-minerals)) aparecen uno tras otro.

**Definición 9.11 (Zona de transición del manto).**

La *zona de transición del manto* es la parte del [manto](#def-b1-layered-earth-layers) comprendida entre las [discontinuidades sísmicas](#def-b1-layered-earth-discontinuity) cercanas a $410\,\mathrm{km}$ y $660\,\mathrm{km}$ de profundidad, en la que el [olivino](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/7-minerales-formadores-de-rocas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) del [manto](#def-b1-layered-earth-layers) superior se sustituye por sus [polimorfos](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/7-minerales-formadores-de-rocas#def-b1-rock-forming-minerals-polymorph) más densos, la wadsleyita y luego la ringwoodita. Encima está el [manto](#def-b1-layered-earth-layers) superior; debajo, el [manto](#def-b1-layered-earth-layers) inferior, hasta la [frontera núcleo–manto](#def-b1-layered-earth-discontinuity).

A unos $410\,\mathrm{km}$ ($14\,\mathrm{GPa}$) el [olivino](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/7-minerales-formadores-de-rocas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) $\ce{(Mg,Fe)2SiO4}$ se convierte en wadsleyita, de la misma fórmula; cerca de $520\,\mathrm{km}$ ($17.5\,\mathrm{GPa}$) la wadsleyita se convierte en ringwoodita; los [piroxenos](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/7-minerales-formadores-de-rocas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) se disuelven en un [granate](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/7-minerales-formadores-de-rocas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) rico en silicio, la majorita, hasta que, hacia la mitad de la zona de transición, el [granate](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/7-minerales-formadores-de-rocas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) contiene todos ellos, de modo que la zona es algo más de la mitad [polimorfos](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/7-minerales-formadores-de-rocas#def-b1-rock-forming-minerals-polymorph) del [olivino](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/7-minerales-formadores-de-rocas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) y el resto [granate](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/7-minerales-formadores-de-rocas#def-b1-rock-forming-minerals-groups). A unos $660\,\mathrm{km}$, a una presión cercana a $24\,\mathrm{GPa}$, la ringwoodita se descompone en dos [minerales](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/7-minerales-formadores-de-rocas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral), escritos para el [término extremo](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/7-minerales-formadores-de-rocas#def-b1-rock-forming-minerals-solid-solution) magnésico

$$
\ce{Mg2SiO4 -> MgSiO3 + MgO}:
$$

la bridgmanita, $\ce{(Mg,Fe)SiO3}$ con la estructura de la perovskita, y la ferropericlasa, $\ce{(Mg,Fe)O}$. Un [manto](#def-b1-layered-earth-layers) inferior de la misma composición que el [manto](#def-b1-layered-earth-layers) superior es, en volumen, alrededor de un $75\,\%$ de bridgmanita, un $17\,\%$ de ferropericlasa y un $8\,\%$ de una perovskita cálcica, y encaja con las densidades y velocidades del modelo de referencia. La bridgmanita es, por tanto, el [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/7-minerales-formadores-de-rocas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) más abundante de la Tierra; recibió su nombre solo en 2014, tras describirse granos naturales en un meteorito muy impactado.

Cada cambio produce [minerales](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/7-minerales-formadores-de-rocas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) más densos, así que eleva la densidad y las velocidades sísmicas: las transiciones son las discontinuidades de los perfiles (figura siguiente). Sus profundidades no son fijas. Un cambio de fase ocurre a una presión que depende de la temperatura, y la pendiente de esa dependencia (la pendiente de Clapeyron, que se trata en el siguiente volumen universitario) desplaza la discontinuidad de $410\,\mathrm{km}$ hacia arriba y la de $660\,\mathrm{km}$ hacia abajo en la roca fría de una losa que se hunde. Cartografiar el relieve de las discontinuidades es una de las formas de encontrar regiones frías y calientes en el [manto](#def-b1-layered-earth-layers).

![Los minerales de un manto de peridotita con la profundidad, como fracciones de volumen (esquema: las fronteras se dibujan nítidas, y las fracciones son valores redondos dentro de los intervalos citados en el texto). La composición no cambia; los minerales sí, hacia 410\, km, 520\, km y 660\, km.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-layered-earth/fig-1790fe9e3352.svg)

*Los [minerales](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/7-minerales-formadores-de-rocas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) de un [manto](#def-b1-layered-earth-layers) de peridotita con la profundidad, como fracciones de volumen (esquema: las fronteras se dibujan nítidas, y las fracciones son valores redondos dentro de los intervalos citados en el texto). La composición no cambia; los [minerales](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/7-minerales-formadores-de-rocas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) sí, hacia $410\,\mathrm{km}$, $520\,\mathrm{km}$ y $660\,\mathrm{km}$.*

En la base del [manto](#def-b1-layered-earth-layers), la capa llamada D$''$ (D doble prima, nombre conservado de un modelo temprano de la Tierra) tiene un gradiente de velocidad distinto del resto del [manto](#def-b1-layered-earth-layers) inferior; el PREM le asigna los $150\,\mathrm{km}$ más bajos del [manto](#def-b1-layered-earth-layers). Es heterogénea sísmicamente: parches de velocidad muy baja, gradientes empinados, reflectores. Se cree que es una capa límite entre el núcleo caliente y el [manto](#def-b1-layered-earth-layers), y quizá un cementerio de losas antiguas.

## 9.5 El núcleo

El núcleo es sobre todo hierro. Su densidad, sus velocidades y su capacidad de generar un campo magnético apuntan a un metal, y el hierro es, con mucho, el elemento más abundante de entre los bastante densos que muestran los meteoritos y el Sol. El níquel, abundante en los meteoritos de hierro, lo acompaña. Pero el núcleo no es hierro–níquel puro.

- El núcleo es un $5\text{ a }10\,\%$ menos denso que el hierro puro a la misma presión y temperatura: debe contener elementos ligeros, entre los que los candidatos son silicio, azufre, carbono, oxígeno e hidrógeno.
- La densidad salta en unos $4.5\,\%$ en la [frontera del núcleo interno](#def-b1-layered-earth-discontinuity) , demasiado para la solidificación de un mismo metal: el [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) también contiene elementos ligeros, pero menos, unos pocos por ciento frente al $5\text{ a }10\,\%$ del líquido.

La diferencia tiene una consecuencia. A medida que la Tierra se enfría —su [manto](#def-b1-layered-earth-layers) unos $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ por mil millones de años en la actualidad—, el líquido del núcleo se solidifica sobre el [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers), que crece, y

la solidificación deja la mayor parte de los elementos ligeros en el líquido. El líquido ligero liberado en la base del [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) sube, y se cree que esta flotabilidad ayuda a agitar el [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) y a impulsar la dinamo que genera el campo magnético terrestre.

## 9.6 Capas mecánicas: litosfera y astenosfera

Las capas de arriba se definen por composición y fase: [corteza](#def-b1-layered-earth-layers) y [manto](#def-b1-layered-earth-layers) son rocas distintas, [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) e interno son estados distintos. La tectónica de placas necesita otra división, por resistencia, que atraviesa la primera.

**Definición 9.12 (Litosfera, astenosfera, zona de baja velocidad).**

La *litosfera* es la cáscara rígida exterior de la Tierra, la [corteza](#def-b1-layered-earth-layers) y el [manto](#def-b1-layered-earth-layers) más superior, que se comporta como una capa resistente a lo largo de los tiempos geológicos y está dividida en placas. La *astenosfera* es la capa más débil del [manto](#def-b1-layered-earth-layers) superior situada debajo, que se deforma por un flujo lento y deja que las placas se muevan. La *zona de baja velocidad* es el intervalo de profundidad bajo la litosfera en el que las velocidades sísmicas, sobre todo las de las ondas S, son menores que justo encima y debajo.

La [litosfera](#def-b1-layered-earth-lithosphere) no es una roca sino un intervalo de temperaturas: la peridotita del [manto](#def-b1-layered-earth-layers) es resistente donde está fría y se arrastra donde está caliente, y su base es, aproximadamente, una isoterma. Es delgada bajo las dorsales, donde sube el [manto](#def-b1-layered-earth-layers) caliente, tiene unos $140\,\mathrm{km}$ de espesor bajo el fondo oceánico más antiguo, y $40\text{ a }280\,\mathrm{km}$ bajo los continentes, más gruesa bajo los cratones antiguos; la parte superior de la [astenosfera](#def-b1-layered-earth-lithosphere) está a unos $80\text{ a }200\,\mathrm{km}$. Sísmicamente, la [astenosfera](#def-b1-layered-earth-lithosphere) se manifiesta como la [zona de baja velocidad](#def-b1-layered-earth-lithosphere), cerca de sus condiciones de fusión: en el PREM la velocidad S disminuye ligeramente desde el [Moho](#def-b1-layered-earth-discontinuity) hasta $220\,\mathrm{km}$, donde vuelve a subir de golpe. Cómo depende la resistencia de la temperatura, y por qué, es el tema de [Capítulo 16](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/16-esfuerzo-deformacion-y-reologia#ch-b1-stress-strain-rheology).

**Sobre el terreno — A seismic station.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-layered-earth/img-c787a9689c94.jpg)

*Un sismómetro de banda ancha sobre su pilar en una cámara subterránea, con el registrador de datos en la pared (ilustración generada por IA).*

Los tiempos de viaje en los que descansan los modelos de referencia proceden de estaciones permanentes. Un sismómetro de banda ancha, que registra los movimientos del suelo desde centésimas de segundo hasta horas de periodo, se asienta sobre un pilar de hormigón apoyado en roca desnuda y aislado del suelo de la cámara, bajo una cubierta que mantiene su temperatura estable: un cambio de una fracción de grado, una corriente de aire o un camión que pasa aparecerían en el registro. El registrador de datos marca cada muestra con la hora que proporcionan los satélites, y los registros llegan por flujo a centros de datos que los comparten abiertamente. Las redes de estas estaciones localizan y datan cada gran terremoto; las llegadas elegidas en sus registros se invirtieron para obtener las velocidades a cada profundidad.

## 9.7 Ejercicios

**Ejercicio 9.1 ★.**

Con los radios del PREM $R = 6371\,\mathrm{km}$, $r_{\text{CMB}} = 3480\,\mathrm{km}$ y $r_{\text{ICB}} = 1221.5\,\mathrm{km}$, calcúlense las fracciones del volumen de la Tierra que ocupan el núcleo y el [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers).

**Solución de Ejercicio 9.1.**

Las fracciones de volumen son los cubos de los cocientes de radios: núcleo $(3480/6371)^3 = 0.1630$, es decir, $16.3\,\%$; [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) $(1221.5/6371)^3 = 0.00705$, $0.70\,\%$.

**Ejercicio 9.2 ★.**

Justo encima de la [frontera núcleo–manto](#def-b1-layered-earth-discontinuity) el PREM da $v_P = 13.7166\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $v_S = 7.264\,66\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho = 5.566\,45\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; justo debajo, $v_P = 8.064\,82\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $v_S = 0$, $\rho = 9.903\,49\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Calcúlense el [parámetro sísmico](#def-b1-layered-earth-seismic-parameter) y el módulo de compresión a cada lado (en GPa). ¿Qué cambia más a través de la frontera?

**Solución de Ejercicio 9.2.**

Por encima de la discontinuidad, en la capa superior: $\Phi = 13.7166^2 - \tfrac43\times7.26466^2 = 188.145 - 70.367 =
117.78\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$, $K = \rho\Phi = 5566.45\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}\times
117.78 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2} = 655.6\,\mathrm{GPa}$. Debajo: $\Phi = 8.06482^2 =
65.04\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$, $K = 9903.49\times65.04 \times 10^{6} = 644.1\,\mathrm{GPa}$. El módulo de compresión apenas cambia ($-1.7\,\%$). Lo que cambia es el módulo de cizalla, $\mu = \rho v_S^2 = 293.8\,\mathrm{GPa}$ encima y $0$ debajo (un líquido), y la densidad, que sube un $78\,\%$: de ahí la caída de $v_P$ a pesar de un $K$ casi igual.

**Ejercicio 9.3 ★.**

Una [corteza](#def-b1-layered-earth-layers) de $30\,\mathrm{km}$ de espesor, a $6.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, se apoya en un [manto](#def-b1-layered-earth-layers) a $8.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calcúlense el ángulo crítico, la distancia crítica y la [distancia de cruce](#def-b1-layered-earth-head-wave).

**Solución de Ejercicio 9.3.**

$\sin i_c = 6.2/8.1 = 0.7654$, $i_c = 49.95{}^{\circ}$. Distancia crítica $2\times30\times\tan49.95{}^{\circ} = 60\times1.1906 = 71.4\,\mathrm{km}$. [Distancia de cruce](#def-b1-layered-earth-head-wave) $60\sqrt{14.3/1.9} = 60\times2.743 = 164.6\,\mathrm{km}$.

**Ejercicio 9.4 ★.**

La masa del núcleo es $1.94 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ y su radio $3480\,\mathrm{km}$. Calcúlese la gravedad en la [frontera núcleo–manto](#def-b1-layered-earth-discontinuity) y compárese con la gravedad en la superficie, $9.82\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. ¿Por qué es mayor?

**Solución de Ejercicio 9.4.**

$g = Gm/r^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times1.94 \times 10^{24}/(3.48 \times 10^{6})^2 =
10.69\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, un $9\,\%$ más que en la superficie. Al bajar al núcleo, el cuadrado del radio cae hasta $(3480/6371)^2 = 0.298$ de su valor en la superficie, mientras que la masa atractora cae solo hasta $1.94/5.972 = 0.325$ del total, porque el núcleo contiene un tercio de la masa: $0.325/0.298 = 1.09$.

**Ejercicio 9.5 ★★.**

En un perfil de refracción las primeras llegadas están a $10.0\,\mathrm{s}$ a $60\,\mathrm{km}$, a $33.3\,\mathrm{s}$ a $200\,\mathrm{km}$ y a $45.8\,\mathrm{s}$ a $300\,\mathrm{km}$; la recta que pasa por el primer punto atraviesa el origen. Hállense $v_1$, $v_2$, el tiempo de intersección y la profundidad de la frontera, y compruébese el resultado con la [distancia de cruce](#def-b1-layered-earth-head-wave).

**Solución de Ejercicio 9.5.**

Cerca de la fuente $v_1 = 60/10.0 = 6.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Lejos, $v_2 = (300 - 200)/(45.8 - 33.3) = 100/12.5 = 8.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$; el tiempo de intersección es $t_i = 33.3 - 200/8.0 = 8.3\,\mathrm{s}$. Entonces $\sin i_c =
0.75$, $\cos i_c = 0.6614$, y $h = t_i v_1/(2\cos i_c) = 8.3\times6.0/1.3229
= 37.6\,\mathrm{km}$. Comprobación: $x_c = 2\times37.6\times\sqrt{14/2} = 199\,\mathrm{km}$, donde ambas ondas llegan en $199/6.0 = 199/8.0 + 8.3 = 33.2\,\mathrm{s}$.

**Ejercicio 9.6 ★★.**

Demuéstrese que una esfera uniforme tiene $I = 0.4\,MR^2$. Calcúlense después la masa y el factor $I/MR^2$ de una Tierra de dos capas: un núcleo de radio $3480\,\mathrm{km}$ y densidad $11.0\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ en un [manto](#def-b1-layered-earth-layers) de densidad $4.45\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, con $R = 6371\,\mathrm{km}$. Compárense con $5.972 \times 10^{24}$ kg y $0.3308$.

**Solución de Ejercicio 9.6.**

Para $\rho$ uniforme, $I = \tfrac{8\pi}{3}\rho\int_0^R r^4\,\mathrm dr =
\tfrac{8\pi}{15}\rho R^5$ y $M = \tfrac43\pi\rho R^3$, así que $I/MR^2 = (8/15)/(4/3) = 0.4$. Dos capas ($r_c = 3.48 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, $R = 6.371 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$): $M = \tfrac43\pi\bigl(11000\,r_c^3 + 4450\,(R^3 -
r_c^3)\bigr) = 5.977 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, un $0.08\,\%$ por encima de la masa medida; $I = \tfrac{8\pi}{15}\bigl(11000\,r_c^5 + 4450\,(R^5 - r_c^5)\bigr)$ da $I/MR^2 = 0.3457$. La masa es correcta, pero el factor es un $4.5\,\%$ demasiado alto: el [manto](#def-b1-layered-earth-layers) real no es uniforme, su densidad crece con la profundidad, lo que lleva la masa hacia dentro.

**Ejercicio 9.7 ★★.**

A $1471\,\mathrm{km}$ de profundidad el PREM da $v_P = 12.16\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $v_S = 6.673\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho = 4.86\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, y la gravedad es $9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Calcúlese el gradiente de densidad que da la ecuación de Adams–Williamson, en $\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ por $1000\,\mathrm{km}$, y compárese con las densidades del PREM, $4.844$ a $1471\,\mathrm{km}$ y $5.357$ a $2471\,\mathrm{km}$.

**Solución de Ejercicio 9.7.**

$\Phi = 12.16^2 - \tfrac43\times6.673^2 = 147.87 - 59.37 =
88.49\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$. Con la profundidad $z$, $\mathrm d\rho/\mathrm dz = \rho g/\Phi = 4860\times9.9/88.49 \times 10^{6} =
5.44 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-4}$, es decir, $0.544\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ por kilómetro, o $0.54\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ por cada $1000\,\mathrm{km}$. El PREM sube $5.357 - 4.844 =
0.513$ en esos $1000\,\mathrm{km}$, un $6\,\%$ menos: el gradiente calculado en la parte superior se aplica a todo el intervalo, mientras que $\Phi$ crece con la profundidad y el gradiente disminuye.

**Ejercicio 9.8 ★★.**

Estímese la presión a $670\,\mathrm{km}$ de profundidad a partir de una densidad media de $3.57\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ y una gravedad de $9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. ¿Qué cambio [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/7-minerales-formadores-de-rocas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) se espera allí?

**Solución de Ejercicio 9.8.**

$P \approx \bar\rho g z = 3570\times9.9\times670 \times 10^{3} = 23.7\,\mathrm{GPa}$ (PREM: $23.9\,\mathrm{GPa}$). Es la presión, unos $24\,\mathrm{GPa}$, a la que la ringwoodita se descompone en bridgmanita y ferropericlasa: la discontinuidad de $660\,\mathrm{km}$.

**Ejercicio 9.9 ★★.**

La densidad media del [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) en el PREM es $10.90\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; en la [frontera del núcleo interno](#def-b1-layered-earth-discontinuity) su densidad es $12.166\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ por encima y $12.764\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ por debajo. (a) Si el hierro en las mismas condiciones es un $5\text{ a }10\,\%$ más denso que el [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers), ¿qué intervalo de densidades da para el hierro líquido allí? (b) Calcúlese el salto de densidad en la [frontera del núcleo interno](#def-b1-layered-earth-discontinuity) en tanto por ciento, y compárese con el $4.5\,\%$ de estudios recientes. (c) ¿Qué diría un salto mayor que el que da la sola congelación sobre los elementos ligeros?

**Solución de Ejercicio 9.9.**

(a) Hierro líquido: $10.90\times1.05 = 11.4$ a $10.90\times1.10 =
12.0\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. (b) $12.764/12.166 = 1.049$: un salto de $4.9\,\%$ en el PREM, algo más que el $4.5\,\%$ de estudios recientes. (c) La sola congelación haría el sólido solo ligeramente más denso que el líquido; el salto mayor significa que el sólido contiene menos elementos ligeros que el líquido: ellos prefieren el líquido, y la congelación en la [frontera del núcleo interno](#def-b1-layered-earth-discontinuity) deja la mayor parte atrás.

**Ejercicio 9.10 ★★★.**

Demuéstrese que el tiempo de la onda reflejada $t_r(x) = \sqrt{x^2 + 4h^2}/v_1$ y el tiempo de la [onda de cabeza](#def-b1-layered-earth-head-wave) de [Teorema 9.4](#thm-b1-layered-earth-two-layer) son iguales, con pendientes iguales, en $x = 2h\tan i_c$, y que $t_r > t_{\text{cabeza}}$ más allá. Interprétese.

**Solución de Ejercicio 9.10.**

Sea $x_* = 2h\tan i_c$. Entonces $\sqrt{x_*^2 + 4h^2} = 2h/\cos i_c$ y $t_r(x_*) = 2h/(v_1\cos i_c)$. La [onda de cabeza](#def-b1-layered-earth-head-wave) da $t(x_*) = 2h\tan i_c/v_2 + 2h\cos i_c/v_1 = \frac{2h}{v_1}\bigl(\sin^2 i_c/\cos
i_c + \cos i_c\bigr) = 2h/(v_1\cos i_c)$, usando $\sin i_c = v_1/v_2$: lo mismo. La pendiente de la hipérbola es $t_r'(x) = x/(v_1\sqrt{x^2 + 4h^2})$; en $x_*$ vale $\sin i_c/v_1 = 1/v_2$, la pendiente de la recta de la [onda de cabeza](#def-b1-layered-earth-head-wave). Como $t_r'' > 0$, la hipérbola es convexa y queda por encima de cada una de sus tangentes: para $x > x_*$, $t_r > t_{\text{cabeza}}$. En la distancia crítica la reflexión incide sobre la frontera exactamente con $i_c$ y es el origen de la [onda de cabeza](#def-b1-layered-earth-head-wave); más allá, la [onda de cabeza](#def-b1-layered-earth-head-wave), que gana por viajar en el medio rápido, llega primero.

**Ejercicio 9.11 ★★★.**

Para una Tierra de densidad uniforme $\rho$, demuéstrese que $g(r) = \tfrac43\pi G\rho r$ y $P(r) = \tfrac23\pi G\rho^2(R^2 - r^2)$. Calcúlese la presión central con $\rho = 5513\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ y $R = 6371\,\mathrm{km}$, y compárese con los $363.85\,\mathrm{GPa}$ del PREM.

**Solución de Ejercicio 9.11.**

$m(r) = \tfrac43\pi\rho r^3$, así que $g = Gm/r^2 = \tfrac43\pi G\rho r$. Entonces $P(r) = \int_r^R \rho\,\tfrac43\pi G\rho s\,\mathrm ds = \tfrac23\pi G\rho^2(R^2
- r^2)$. En el centro $P = \tfrac23\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times5513^2\times
(6.371 \times 10^{6})^2 = 172\,\mathrm{GPa}$, un $47\,\%$ de los $363.85\,\mathrm{GPa}$ del PREM: concentrar la masa hacia el centro multiplica por algo más de dos la presión central.

**Ejercicio 9.12 ★★★.**

Demuéstrese que si $g/\Phi$ es constante a través de una capa, la ecuación de Adams–Williamson da $\rho = \rho_0\exp\bigl(g(z - z_0)/\Phi\bigr)$ con la profundidad $z$. Aplíquese al [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers), desde $2891\,\mathrm{km}$ ($\rho_0 =
9.90\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) hasta $5149.5\,\mathrm{km}$, con los valores medios $g = 7.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ y $\Phi = 87\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$; compárese con los $12.17\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ del PREM en la [frontera del núcleo interno](#def-b1-layered-earth-discontinuity).

**Solución de Ejercicio 9.12.**

Con $z$ la profundidad, $\mathrm d\rho/\mathrm dz = \rho g/\Phi$; si $g/\Phi$ es una constante $a$, $\mathrm d(\ln\rho)/\mathrm dz = a$ y $\rho = \rho_0
e^{a(z - z_0)}$. Aquí $a(z - z_0) = 7.9\times2258.5 \times 10^{3}/87 \times 10^{6} =
0.2051$ y $\rho = 9.90\times e^{0.2051} = 9.90\times1.2276 =
12.15\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, un $0.2\,\%$ por debajo de los $12.17$ del PREM: todo el aumento de densidad a lo largo del [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) es autocompresión.

## 9.8 Problema: pesar las cáscaras de la Tierra

**Problema 9.1.**

Problema de fin de semana — volúmenes, masas y momento de inercia de una Tierra de cuatro cáscaras construida con el PREM, comparados con la masa y el momento de inercia medidos; gravedad y presión en el interior profundo

La Tierra se divide en cuatro cáscaras en los radios del PREM, y a cada una se le asigna su densidad media en el PREM, redondeada:

| capa | desde (km) | hasta (km) | densidad media ($\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) |
| --- | --- | --- | --- |
| [corteza](#def-b1-layered-earth-layers), [manto](#def-b1-layered-earth-layers) superior y zona de transición | 5701 | 6371 | 3.57 |
| [manto](#def-b1-layered-earth-layers) inferior | 3480 | 5701 | 4.90 |
| [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) | 1221.5 | 3480 | 10.90 |
| [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) | 0 | 1221.5 | 12.89 |

Úsese $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$. La masa medida de la Tierra es $5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ y su [factor de momento de inercia](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/3-planetologia-comparada#def-b1-comparative-planetology-moi) $I/MR^2 = 0.3308$.

**Parte I — Volúmenes.**

1. Calcúlese el volumen de la Tierra.
2. Calcúlese el volumen de cada cáscara.
3. ¿Qué fracción del volumen ocupa cada cáscara? ¿Cuál es la mayor?
4. ¿Qué fracción del volumen es núcleo?

**Parte II — Masas.**

5. Calcúlese la masa de cada cáscara.
6. Súmense, y compárese el total con la masa medida.
7. Dedúzcase la densidad media de la Tierra modelo.
8. ¿Qué fracción de la masa está en el [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) ?
9. ¿Qué fracción de la masa está en el [manto](#def-b1-layered-earth-layers) y la [corteza](#def-b1-layered-earth-layers) juntos?
10. Compárese la parte del núcleo en el volumen y en la masa, y explíquese.

**Parte III — Momento de inercia.**

11. Muéstrese a partir de [Proposición 9.10](#prop-b1-layered-earth-integrals) que una cáscara uniforme entre $r_1$ y $r_2$ tiene $I = \tfrac{8\pi}{15}\rho\,(r_2^5 - r_1^5)$ .
12. Calcúlese el momento de inercia de cada cáscara.
13. ¿Qué cáscara aporta más, y por qué el [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) aporta casi nada?
14. Súmense y calcúlese $I/MR^2$ para el modelo.
15. Compárese con $0.3308$ y con el $0.4$ de una esfera uniforme.
16. Dentro de cada cáscara real la densidad aumenta con la profundidad. ¿Explica eso por qué el factor del modelo es demasiado alto? Explíquese.

**Parte IV — Gravedad y presión.**

17. Calcúlese la gravedad en la superficie del modelo.
18. Calcúlese la gravedad en la [frontera núcleo–manto](#def-b1-layered-earth-discontinuity) .
19. Calcúlese la densidad media del [manto](#def-b1-layered-earth-layers) y la [corteza](#def-b1-layered-earth-layers) juntos.
20. La gravedad en el [manto](#def-b1-layered-earth-layers) se mantiene cerca de $10\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ . Estímese la presión en la [frontera núcleo–manto](#def-b1-layered-earth-discontinuity) , y compárese con los $135.75\,\mathrm{GPa}$ del PREM.
21. Calcúlese la densidad media del núcleo, y el aumento de presión desde la [frontera núcleo–manto](#def-b1-layered-earth-discontinuity) hasta el centro en un núcleo uniforme, $\tfrac23\pi G\rho_c^2 r_c^2$ ( [Ejercicio 9.11](#exo-b1-layered-earth-11) aplicado solo al núcleo).
22. Súmense ambas para estimar la presión central, y compárese con los $363.85\,\mathrm{GPa}$ del PREM. ¿Por qué la estimación es demasiado baja?
23. ¿Cuáles de los números del modelo se comprueban con una medida, y cuáles solo con el propio PREM?
24. ¿Qué fracción de la masa de la Tierra está en el núcleo?

**Solución de Problema 9.1.**

**1.** $V = \tfrac43\pi(6.371 \times 10^{6})^3 = 1.0832 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{3}$.

**2.** $\tfrac43\pi(r_2^3 - r_1^3)$: [corteza](#def-b1-layered-earth-layers), [manto](#def-b1-layered-earth-layers) superior y zona de transición $3.0706 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$; [manto](#def-b1-layered-earth-layers) inferior $5.9961 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$; [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) $1.6890 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$; [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) $7.634 \times 10^{18}\,\mathrm{m}^{3}$.

**3.** $28.35\,\%$, $55.36\,\%$, $15.59\,\%$ y $0.70\,\%$: el [manto](#def-b1-layered-earth-layers) inferior es la cáscara mayor, más de la mitad del volumen de la Tierra.

**4.** $15.59 + 0.70 = 16.3\,\%$.

**5.** [Corteza](#def-b1-layered-earth-layers), [manto](#def-b1-layered-earth-layers) superior y zona de transición $3.0706 \times 10^{20}\times3570 =
1.0962 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$; [manto](#def-b1-layered-earth-layers) inferior $2.9381 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$; [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) $1.8410 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$; [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) $9.841 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$.

**6.** $5.9737 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, un $0.03\,\%$ por encima de la masa medida $5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

**7.** $5.9737 \times 10^{24}/1.0832 \times 10^{21} = 5515\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

**8.** $9.841 \times 10^{22}/5.9737 \times 10^{24} = 1.65\,\%$.

**9.** $(1.0962 + 2.9381)/5.9737 = 67.5\,\%$.

**10.** El núcleo es el $16.3\,\%$ del volumen y el $32.5\,\%$ de la masa, el doble: su densidad media, $10\,986\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, es unas $2.5$ veces la del [manto](#def-b1-layered-earth-layers).

**11.** Una cáscara de densidad uniforme da $I = \tfrac{8\pi}{3}\rho\int_{r_1}^{r_2} r^4\,\mathrm dr = \tfrac{8\pi}{15}\rho
(r_2^5 - r_1^5)$.

**12.** [Corteza](#def-b1-layered-earth-layers), [manto](#def-b1-layered-earth-layers) superior y zona de transición $2.676 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; [manto](#def-b1-layered-earth-layers) inferior $4.525 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) $9.27 \times 10^{36}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) $5.87 \times 10^{34}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$.

**13.** El [manto](#def-b1-layered-earth-layers) inferior: tiene la mitad de la masa, a radios grandes. El [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) contiene el $1.6\,\%$ de la masa, y toda ella cerca del eje: su parte es del $0.07\,\%$.

**14.** $I = 8.1345 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ e $I/MR^2 = 8.1345 \times 10^{37}/
(5.9737 \times 10^{24}\times(6.371 \times 10^{6})^2) = 0.3355$.

**15.** Un $1.4\,\%$ por encima de $0.3308$, y bastante por debajo de $0.4$: el modelo tiene casi la concentración correcta de masa hacia el centro.

**16.** Sí. Dentro de cada cáscara la densidad real es mayor abajo que arriba; una cáscara uniforme de la misma masa pone demasiada masa cerca de su radio exterior, donde cuenta con $r^2$, y por tanto sobrestima $I$.

**17.** $g = GM/R^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times5.9737 \times 10^{24}/
(6.371 \times 10^{6})^2 = 9.822\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$.

**18.** La masa del núcleo es $1.8410 \times 10^{24} + 9.841 \times 10^{22} =
1.9394 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, y $g = G m/r_c^2 = 10.69\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$.

**19.** $(1.0962 \times 10^{24} + 2.9381 \times 10^{24})/(3.0706 \times 10^{20} +
5.9961 \times 10^{20}) = 4.0343 \times 10^{24}/9.0667 \times 10^{20} = 4450\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

**20.** $P \approx 4450\times10\times2.891 \times 10^{6} = 128.6\,\mathrm{GPa}$, un $5\,\%$ por debajo de los $135.75\,\mathrm{GPa}$ del PREM.

**21.** $\rho_c = 1.9394 \times 10^{24}/1.7653 \times 10^{20} = 10\,986\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, y $\Delta P = \tfrac23\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times10986^2\times
(3.48 \times 10^{6})^2 = 204.3\,\mathrm{GPa}$.

**22.** $128.6 + 204.3 = 332.9\,\mathrm{GPa}$, un $8.5\,\%$ por debajo de los $363.85\,\mathrm{GPa}$ del PREM. Ambas estimaciones ignoran el aumento de densidad con la profundidad dentro de cada región, que sitúa más masa en profundidad, mantiene la gravedad más alta al bajar y aumenta $\rho g$, el gradiente de presión.

**23.** La masa total (pregunta 6), el [factor de momento de inercia](https://one-course.com/books/earth/3/es/chapter/3-planetologia-comparada#def-b1-comparative-planetology-moi) (pregunta 15) y la gravedad en la superficie (pregunta 17, frente a la media medida de $9.82\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$) se comprueban con medidas de la Tierra; la gravedad en el núcleo y las presiones solo pueden compararse con el PREM, que es en sí mismo un modelo.

**24.** El núcleo contiene el **$32.5\,\%$** de la masa de la Tierra.