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title: "La source sismique"
book: "Sciences de la Terre et de l’Univers à l’université — 1re année"
subject: earth
language: fr
chapter: 18
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/18-la-source-sismique
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Chapitre 18 — La source sismique

Le matin du 18 avril 1906, le sol au nord et au sud de San Francisco s’est rompu le long d’une ligne de plus de quatre cents kilomètres. Routes, clôtures et rangées d’arbres qui traversaient la ligne ont été coupées, et les deux moitiés de chacune ont été trouvées à des mètres l’une de l’autre, la moitié ouest toujours déplacée vers le nord. Des arpenteurs avaient mesuré les positions de repères dans la région durant le demi-siècle précédent, et quand les repères furent mesurés de nouveau la comparaison montra quelque chose de plus étrange que la rupture elle-même : le sol s’était courbé, lentement et en douceur, pendant des décennies avant le séisme, et le séisme l’avait laissé reprendre sa forme. Ce chapitre suit un séisme depuis le lent chargement d’une faille jusqu’aux quelques minutes où elle glisse, et relit le glissement dans les ondes et dans le sol : quelle fut son ampleur, dans quelle direction elle s’est déplacée, à quelle vitesse se prépare le suivant, et à quelle fréquence viennent les séismes de chaque taille.

**Tu sais déjà.**

Le foyer d’un séisme est le point où la rupture commence, son épicentre le point de la surface au-dessus de lui ; la magnitude mesure la taille d’un séisme, l’intensité les secousses en un lieu ; un sismomètre enregistre le mouvement du sol sous forme de sismogramme (livre 1, année 7). L’onde P, une onde de compression, arrive la première et l’onde S, une onde de cisaillement, après elle (livre 2, année 11). Une faille a un [compartiment supérieur](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-elements) et un [compartiment inférieur](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-elements) ; le [vecteur glissement](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-elements) est le déplacement du [compartiment supérieur](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-elements) par rapport au [compartiment inférieur](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-elements), son [pitch](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-elements) $r$ est mesuré sur le plan de faille à partir de la direction, et le [pitch](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-elements) nomme la faille : environ $90{}^{\circ}$ inverse, environ $-90{}^{\circ}$ normale, environ 0 [senestre](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types), environ $180{}^{\circ}$ [dextre](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types) ([Chapitre 17](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#ch-b1-faults-folds-fabrics)). Un solide élastique retrouve sa forme quand la contrainte est retirée ; le module de cisaillement $\mu$ relie une contrainte de cisaillement à la [déformation de cisaillement](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/16-contrainte-deformation-et-rheologie#def-b1-stress-strain-rheology-strain) qu’elle produit (physique) ; les failles glissent quand la contrainte de cisaillement atteint leur résistance au frottement, et les séismes commencent dans la partie cassante supérieure de la [croûte](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/9-la-terre-en-couches#def-b1-layered-earth-layers), la [couche sismogène](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/16-contrainte-deformation-et-rheologie#def-b1-stress-strain-rheology-strength-envelope) ([Chapitre 16](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/16-contrainte-deformation-et-rheologie#ch-b1-stress-strain-rheology)). Des stations permanentes de positionnement par satellite, dont les positions quotidiennes sur des années donnent la vitesse du sol là où elles se trouvent, mesurent les mouvements des plaques ([Chapitre 12](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/12-cinematique-des-plaques-sur-une-sphere#ch-b1-plate-kinematics)).

## 18.1 Rebond élastique et cycle sismique

Deux plaques qui glissent l’une contre l’autre à vitesse constante ne glissent pas, en général, régulièrement le long de la faille qui les sépare. Le frottement garde la faille bloquée tandis que les plaques continuent de se déplacer loin d’elle, de sorte que les roches de part et d’autre sont courbées comme un ressort. Quand la contrainte de cisaillement sur la faille atteint sa résistance, la faille glisse en quelques secondes ou minutes, et les roches courbées reviennent brusquement.

**Définition 18.1 (Rebond élastique, cycle sismique, intervalle de récurrence).**

Le *rebond élastique* est le retour soudain vers leur forme non déformée des roches de part et d’autre d’une faille, quand la faille, bloquée tandis qu’elles étaient déformées, glisse lors d’un séisme ; l’énergie élastique qu’elles avaient stockée est libérée, en partie sous forme d’ondes sismiques. Le *cycle sismique* d’un segment de faille est la séquence répétée d’un long stade intersismique, pendant lequel le segment est bloqué et la déformation s’accumule autour de lui, d’un stade cosismique, le séisme, pendant lequel il glisse, et d’un stade postsismique, de mois à décennies, pendant lequel les environs s’ajustent au nouvel état. L’*intervalle de récurrence* d’un segment est le temps entre deux grands séismes successifs sur lui.

![Rebond élastique vu de dessus, sur une clôture (en bleu) construite droite en travers d’une faille dextre bloquée. Flèches rouges : le mouvement des deux blocs loin de la faille, par rapport à elle. (b) Tant que la faille est bloquée, le sol lointain bouge et la clôture se courbe, le long de la courbe du profil intersismique de la . (c) Le séisme libère la courbure : chaque moitié de la clôture est de nouveau droite, et les deux moitiés sont décalées à la faille du glissement. La courbure est exagérée : une vraie clôture se courbe de quelques mètres sur des dizaines de kilomètres.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-earthquake-source/fig-5bca510f40b3.svg)

*[Rebond élastique](#def-b1-earthquake-source-seismic-cycle) vu de dessus, sur une clôture (en bleu) construite droite en travers d’une faille [dextre](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types) bloquée. Flèches rouges : le mouvement des deux blocs loin de la faille, par rapport à elle. (b) Tant que la faille est bloquée, le sol lointain bouge et la clôture se courbe, le long de la courbe du profil intersismique de la [Section 18.4](#sec-18-4). (c) Le séisme libère la courbure : chaque moitié de la clôture est de nouveau droite, et les deux moitiés sont décalées à la faille du glissement. La courbure est exagérée : une vraie clôture se courbe de quelques mètres sur des dizaines de kilomètres.*

Si la faille est bloquée entre les séismes et que chaque séisme défait le glissement accumulé par les plaques depuis le précédent, le mouvement des plaques fixe le rythme du cycle.

**Proposition 18.2 (La récurrence à partir de la vitesse de glissement).**

Soit un segment de faille chargé à la vitesse de glissement à long terme $\dot s$, bloqué entre les séismes, et glissant de la même quantité $D$ à chaque séisme. Alors l’[intervalle de récurrence](#def-b1-earthquake-source-seismic-cycle) de ses séismes est

$$
T = \frac{D}{\dot s} .
$$

Si seule la fraction $c$ de la vitesse de glissement est bloquée, le reste glissant régulièrement sans séismes, $T = D/(c\,\dot s)$.

**Démonstration.** Sur un long temps $t$, les deux côtés de la faille se déplacent de $\dot s\,t$ l’un par rapport à l’autre. Loin de la faille le sol bouge régulièrement, donc sur la faille elle-même le même déplacement doit être rattrapé, ici par les seuls séismes : si $N$ séismes se produisaient dans le temps $t$, alors $N D = \dot s\,t$ au glissement d’un séisme près, et $t/N \to D/\dot s$. Avec la fraction $1-c$ du glissement faite par glissement régulier, les séismes rattrapent $c\,\dot s\,t$ et $t/N \to D/(c\,\dot s)$. ∎

Avec des valeurs typiques de la faille de San Andreas, un glissement de $4\,\mathrm{m}$ à chaque grand séisme et une vitesse de glissement de $20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$, l’[intervalle de récurrence](#def-b1-earthquake-source-seismic-cycle) est de $200\,\mathrm{ans}$. À Wallace Creek, dans le centre de la Californie, un chenal de cours d’eau coupé à travers la faille a été décalé de $128\,\mathrm{m}$ en $3587$ ans depuis son incision, soit en moyenne $36\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$, proche de la vitesse d’environ $34\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ mesurée sur d’autres décalages de là ; le dernier grand séisme sur ce tronçon, en 1857, a glissé de près de $10\,\mathrm{m}$, ce qui à ce rythme demande environ trois siècles pour s’accumuler.

![À gauche : des clôtures dans des terres cultivées du comté de Marin, au nord de San Francisco, traversées par la rupture de 1906, publiées la même année comme « terre séparée par la faille du séisme ». Photographie tirée de Popular Science Monthly, vol. 69 (1906), domaine public. À droite : Wallace Creek, plaine de Carrizo, vu du ciel : le cours d’eau descend des collines (en haut), et là où il traverse la faille de San Andreas, au pied des collines, son chenal fait un décrochement de 130\, m, le décalage accumulé en des milliers d’années de séismes. Photographie : R. E. Wallace, U.S. Geological Survey, domaine public. Les deux proviennent de Wikimedia Commons.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-earthquake-source/img-b4344719f032.jpg)

![À gauche : des clôtures dans des terres cultivées du comté de Marin, au nord de San Francisco, traversées par la rupture de 1906, publiées la même année comme « terre séparée par la faille du séisme ». Photographie tirée de Popular Science Monthly, vol. 69 (1906), domaine public. À droite : Wallace Creek, plaine de Carrizo, vu du ciel : le cours d’eau descend des collines (en haut), et là où il traverse la faille de San Andreas, au pied des collines, son chenal fait un décrochement de 130\, m, le décalage accumulé en des milliers d’années de séismes. Photographie : R. E. Wallace, U.S. Geological Survey, domaine public. Les deux proviennent de Wikimedia Commons.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-earthquake-source/img-38b0e8894e3d.jpg)

*À gauche : des clôtures dans des terres cultivées du comté de Marin, au nord de San Francisco, traversées par la rupture de 1906, publiées la même année comme « terre séparée par la faille du séisme ». Photographie tirée de *Popular Science Monthly*, vol. 69 (1906), domaine public. À droite : Wallace Creek, plaine de Carrizo, vu du ciel : le cours d’eau descend des collines (en haut), et là où il traverse la faille de San Andreas, au pied des collines, son chenal fait un décrochement de $130\,\mathrm{m}$, le décalage accumulé en des milliers d’années de séismes. Photographie : R. E. Wallace, U.S. Geological Survey, domaine public. Les deux proviennent de Wikimedia Commons.*

La proposition donne une moyenne, non un horaire. Près de Parkfield, sur la même faille, un séisme de magnitude environ 6 en 1857 a été suivi de cinq autres, très semblables, sur le même tronçon d’environ $30\,\mathrm{km}$, à des intervalles de près de 22 ans jusqu’en 1966 ; le suivant était attendu avant 1993, et est venu en 2004, avec une [magnitude de moment](#def-b1-earthquake-source-mw) de 6.0 et sans signe précurseur net. La résistance d’une faille, le glissement de chaque séisme et le chargement par ses voisines varient tous d’un cycle à l’autre, et le [cycle sismique](#def-b1-earthquake-source-seismic-cycle) est mieux décrit par un [intervalle de récurrence](#def-b1-earthquake-source-seismic-cycle) moyen et une dispersion autour de lui que par une période.

Certains segments de faille ne se bloquent pas du tout. Entre Parkfield et San Juan Bautista, la section centrale de la faille de San Andreas flue : un glissement régulier sur la faille absorbe presque tout le mouvement des plaques, et peu de déformation, voire aucune, s’accumule de part et d’autre, si bien que cette section n’a pas de grands séismes ; la grande rupture de 1857 a commencé à son extrémité sud et celle de 1906 s’est arrêtée à la nord. Une faille qui flue sur une partie de son aire n’est bloquée qu’en partie, ce qui est le coefficient $c$ de la proposition.

**Sur le terrain — Lire d’anciens séismes dans une tranchée.**

Les instruments enregistrent les séismes depuis un peu plus d’un siècle, bien moins qu’un cycle de la plupart des failles. Les paléosismologues allongent l’enregistrement en lisant le sol. On creuse une tranchée de quelques mètres de profondeur à travers une faille active là où des couches de sédiments se sont déposées de façon continue, dans un marais, un lac ou un petit cône alluvial. Sur ses parois, chaque séisme se montre sous forme de couches coupées et décalées par la faille et recouvertes, intactes, par de plus jeunes ; d’un escarpement enfoui par des dépôts ultérieurs ; de sable qui s’est liquéfié et est monté par des fissures pour s’étaler sur la surface de l’époque. La tourbe ou les restes de plantes dans les couches juste en dessous et juste au-dessus de chaque cassure sont datés par le radiocarbone, et encadrent ainsi la date de chaque séisme : un marais sur la faille de San Andreas garde l’enregistrement de douze. Le long des côtes, des nappes de sable déposées par des tsunamis et des marais qui se sont affaissés brusquement d’un mètre environ, enfouis sous la vase de marée, enregistrent les grands séismes de subduction. Sur la faille de San Andreas, la plus grande part du glissement des temps historiques est venue avec des séismes de magnitude 6 ou plus.

**Histoire des sciences — Harry Fielding Reid et le rebond élastique.**

Harry Fielding Reid, physicien américain, était membre de la commission d’État qui étudia le séisme de 1906. En comparant les positions de points levés en 1851–1865, en 1874–1892 et après le séisme, il trouva que des points éloignés des deux côtés de la faille de San Andreas s’étaient déplacés d’environ $3.2\,\mathrm{m}$ l’un par rapport à l’autre depuis le premier levé, un peu plus de la moitié du glissement d’environ $6\,\mathrm{m}$ sur la faille : un demi-siècle avant le séisme, la déformation qui allait rompre la faille était déjà à moitié constituée. Seules des forces élastiques pouvaient avoir déplacé le sol si soudainement, et il appela ce retour soudain le [rebond élastique](#def-b1-earthquake-source-seismic-cycle). Il le publia dans le deuxième volume du rapport de la commission, en 1910 ; c’est toujours le principal modèle du [cycle sismique](#def-b1-earthquake-source-seismic-cycle). Le positionnement par satellite a depuis mesuré la courbure qu’il ne pouvait qu’inférer.

## 18.2 Moment sismique et magnitude

La taille d’un séisme est la quantité de glissement qu’il a faite, sur l’aire de faille qui a glissé, pondérée par la rigidité des roches.

**Définition 18.3 (Moment sismique).**

Soit un séisme qui glisse de la quantité moyenne $D$ sur une rupture d’aire $A$, dans des roches de module de cisaillement $\mu$ (la lettre désigne aussi un coefficient de frottement, au [Chapitre 16](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/16-contrainte-deformation-et-rheologie#ch-b1-stress-strain-rheology) ; le contexte dit lequel). Son *moment sismique* est

$$
M_0 = \mu A D ,
$$

en newtons mètres.

L’unité est celle d’un couple. Un glissement sur une faille émet les mêmes ondes que deux paires de forces opposées, deux couples, appliquées au foyer, et le [moment sismique](#def-b1-earthquake-source-moment) est le moment de chaque couple (cette équivalence, le double couple, est démontrée dans le volume de troisième année). Le moment a les dimensions d’une énergie, mais ce n’en est pas une : l’énergie rayonnée sous forme d’ondes en est une petite fraction. Pour les roches de la [croûte](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/9-la-terre-en-couches#def-b1-layered-earth-layers), on prend $\mu$ égal à $30\,\mathrm{GPa}$.

Le moment se calcule aujourd’hui à partir des ondes de longue période enregistrées dans le monde entier. Pour le séisme du Tohoku du 11 mars 2011, la solution préférée par l’U.S. Geological Survey donne $M_0 = 5.59 \times 10^{22}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$. La faille a glissé sur une aire d’environ $400\,\mathrm{km}$ de long et $150\,\mathrm{km}$ de large ; la définition donne alors le glissement moyen

$$
D = \frac{M_0}{\mu A}
    = \frac{5.59 \times 10^{22}}{3 \times 10^{10}\times4 \times 10^{5}\times1.5 \times 10^{5}}
    \approx 31\,\mathrm{m} ,
$$

et des modèles de la rupture trouvent jusqu’à $50\text{ à }60\,\mathrm{m}$ dans sa partie la plus déplacée.

La magnitude du livre 1 était calculée à partir de l’amplitude des ondes sur un sismogramme. De telles magnitudes mesurent les ondes d’une période ; dès qu’une rupture est bien plus longue que leur longueur d’onde, de quelques à une cinquantaine de kilomètres, l’amplitude cesse de croître avec sa taille, et la magnitude sature. La magnitude des ondes de volume sature près de 6.5, la magnitude des ondes de surface près de 8.3. En 2011, la première alerte au tsunami pour le Tohoku reposait sur une magnitude de ce genre, qui est insuffisante pour les séismes de magnitude 8 ou plus, et elle a sous-estimé les ondes. Le moment ne sature pas, et la magnitude est maintenant définie à partir de lui.

**Définition 18.4 (Magnitude de moment).**

La *magnitude de moment* d’un séisme de [moment sismique](#def-b1-earthquake-source-moment) $M_0$, en newtons mètres, est

$$
M_w = \tfrac23\left(\log_{10} M_0 - 9.1\right) .
$$

Thomas Hanks et Hiroo Kanamori ont défini l’échelle en 1979, avec la constante 9.05 à la place de 9.1, une différence de 0.03 sur $M_w$ ; les constantes ont été choisies pour s’accorder avec les anciennes magnitudes là où celles-ci ne saturent pas. La magnitude du livre 1 est, pour les grands séismes, ce nombre : pour le Tohoku, $M_w = \tfrac23(\log_{10}5.59 \times 10^{22} - 9.1) = \tfrac23(22.75 - 9.1) = 9.1$ ; le grand séisme du Chili de 1960 et le séisme de l’Alaska de 1964 ont des [magnitudes de moment](#def-b1-earthquake-source-mw) de 9.5 et 9.2, des tailles que les anciennes magnitudes ne pouvaient pas montrer.

**Proposition 18.5 (Une unité de magnitude).**

Le [moment sismique](#def-b1-earthquake-source-moment) est $M_0 = 10^{1.5 M_w + 9.1}$ newtons mètres. Une unité de [magnitude de moment](#def-b1-earthquake-source-mw) le multiplie par $10^{1.5} \approx 31.6$, deux unités par $1000$. Si l’énergie rayonnée est une fraction fixe du moment, elle croît dans le même rapport.

**Démonstration.** En résolvant la définition pour $M_0$ on obtient $\log_{10} M_0 = 1.5 M_w + 9.1$, et pour deux séismes

$$
\log_{10}\frac{M_0'}{M_0} = 1.5\,(M_w' - M_w) ,
$$

ce qui vaut $1.5$ pour une unité et $3$ pour deux. Si l’énergie rayonnée est $E_s = k M_0$ avec le même $k$ pour les deux, $E_s'/E_s = M_0'/M_0$. ∎

L’approximation de Kanamori, $E_s \approx M_0/(2\times10^4)$ (admise), est l’hypothèse de la dernière phrase ; le facteur d’environ 32 en énergie par unité de magnitude, rencontré au livre 1, est cette proposition. Comme $M_0 = \mu A D$ et que le glissement d’un séisme croît avec la taille de sa rupture, une grande magnitude demande une grande faille. La rupture de 1906, d’environ $430\,\mathrm{km}$ de long, a brisé la [couche sismogène](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/16-contrainte-deformation-et-rheologie#def-b1-stress-strain-rheology-strength-envelope) jusqu’à environ $15\,\mathrm{km}$ avec un glissement moyen de quelques mètres : avec $D = 4\,\mathrm{m}$, $M_0 = 3 \times 10^{10}\times4.3 \times 10^{5}\times1.5 \times 10^{4}
\times 4 = 7.7 \times 10^{20}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ et $M_w = 7.9$, la magnitude du catalogue. Une magnitude de 9 demande une rupture de centaines de kilomètres de long et de plus d’une centaine de large, ce que seules les interfaces faiblement inclinées des zones de subduction offrent.

## 18.3 Mécanismes au foyer

L’onde P est la première à atteindre un sismomètre. Son [premier mouvement](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism), la première oscillation de l’enregistrement vertical, est vers le haut là où l’onde arrive comme une poussée, le sol comprimé et projeté loin de la source, et vers le bas là où elle arrive comme une traction. Autour d’un séisme, poussées et tractions s’agencent selon un motif qui donne l’orientation de la faille et la direction du glissement.

**Proposition 18.6 (Le signe du premier mouvement).**

Soit une faille de normale vers le haut $\mathbf n$ qui glisse du vecteur unitaire $\mathbf d$ (le glissement du [compartiment supérieur](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-elements) par rapport au [compartiment inférieur](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-elements)). L’onde P qui quitte le foyer dans la direction unitaire $\mathbf x$ arrive comme une poussée si $(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x) > 0$ et comme une traction si $(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x) < 0$. Les poussées et les tractions remplissent donc quatre quadrants, séparés par le plan de faille ($\mathbf n\cdot\mathbf x = 0$) et par le plan perpendiculaire au glissement ($\mathbf d\cdot\mathbf x = 0$).

**Démonstration.** Une direction avec $\mathbf n\cdot\mathbf x > 0$ pointe dans le [compartiment supérieur](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-elements), qui se déplace de $\mathbf d$ par rapport au [compartiment inférieur](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-elements) : la roche devant lui, où $\mathbf d\cdot\mathbf x > 0$, est comprimée, et la roche derrière lui, où $\mathbf d\cdot\mathbf x < 0$, est tirée. Une direction avec $\mathbf n\cdot\mathbf x < 0$ pointe dans le [compartiment inférieur](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-elements), qui se déplace de $-\mathbf d$ par rapport au [compartiment supérieur](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-elements), donc les signes sont inversés. Dans chaque cas le [premier mouvement](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) a le signe de $(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf
d\cdot\mathbf x)$. ∎

L’argument ne donne que le signe. L’amplitude du [premier mouvement](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism), qui est proportionnelle à $2(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x)$ et donc maximale à $45{}^{\circ}$ des deux plans et nulle sur eux, est admise ici (volume de troisième année).

![Premiers mouvements autour d’une faille dextre verticale de direction nord, vue de dessus, pour des ondes quittant le foyer horizontalement vers des stations tout autour. Flèches noires : le glissement des deux blocs. Les poussées remplissent les quadrants nord-ouest et sud-est, les tractions les deux autres ; la faille et le plan auxiliaire les séparent. L’axe P (flèches pointant vers l’intérieur) bissecte les quadrants de traction, l’axe T (flèches pointant vers l’extérieur) les quadrants de poussée. Un glissement senestre sur le plan en tirets, le bloc au sud de lui se déplaçant vers l’est, donnerait exactement le même motif ().](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-earthquake-source/fig-c9c76dad0d07.svg)

*[Premiers mouvements](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) autour d’une faille [dextre](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types) verticale de direction nord, vue de dessus, pour des ondes quittant le foyer horizontalement vers des stations tout autour. Flèches noires : le glissement des deux blocs. Les poussées remplissent les quadrants nord-ouest et sud-est, les tractions les deux autres ; la faille et le [plan auxiliaire](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) les séparent. L’[axe P](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) (flèches pointant vers l’intérieur) bissecte les quadrants de traction, l’[axe T](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) (flèches pointant vers l’extérieur) les quadrants de poussée. Un glissement [senestre](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types) sur le plan en tirets, le bloc au sud de lui se déplaçant vers l’est, donnerait exactement le même motif ([Proposition 18.8](#prop-b1-earthquake-source-auxiliary)).*

Le produit $(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x)$ ne change pas quand on échange $\mathbf n$ et $\mathbf d$. Cette symétrie est le fait central des [mécanismes au foyer](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism).

**Définition 18.7 (Mécanisme au foyer, plan nodal, plan auxiliaire, axe P, axe T).**

Le *premier mouvement* d’une onde P à un sismomètre est la direction, vers le haut ou vers le bas, du premier mouvement du sol sur l’enregistrement vertical. Le *mécanisme au foyer* d’un séisme est l’orientation du plan de faille et la direction du glissement sur lui, telles que trouvées à partir de ses ondes sismiques. Les deux plans perpendiculaires passant par le foyer qui séparent les poussées des tractions sont ses *plans nodaux* ; l’un est le plan de faille, et l’autre, perpendiculaire au glissement, est le *plan auxiliaire*. L’*axe P* et l’*axe T* sont les directions à $45{}^{\circ}$ des deux plans nodaux au milieu des quadrants de traction et des quadrants de poussée :

$$
\mathbf P = \frac{\mathbf n - \mathbf d}{\sqrt2}, \qquad
  \mathbf T = \frac{\mathbf n + \mathbf d}{\sqrt2} .
$$

**Proposition 18.8 (Les deux plans nodaux).**

Un glissement $\mathbf d$ sur le plan de normale $\mathbf n$ et un glissement $\mathbf n$ sur le plan de normale $\mathbf d$ donnent les mêmes [premiers mouvements](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) dans toutes les directions. Les [premiers mouvements](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) déterminent donc les deux [plans nodaux](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism), les [axes P](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) et T et le sens du glissement sur chaque plan, mais ils ne disent pas quel [plan nodal](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) est la faille.

**Démonstration.** Le signe de $(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x)$ est inchangé par l’échange de $\mathbf n$ et $\mathbf d$ ; les plans $\mathbf n\cdot\mathbf x = 0$ et $\mathbf d\cdot\mathbf x = 0$ sont échangés, et $\mathbf n \pm \mathbf d$ sont inchangés. Un couple $(\mathbf n, \mathbf d)$ et le couple $(-\mathbf n, -\mathbf d)$, qui décrit le même glissement vu de l’autre bloc, donnent aussi le même produit. Rien dans les [premiers mouvements](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) ne distingue les deux descriptions. ∎

Pour décider quel [plan nodal](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) a glissé, les sismologues utilisent d’autres indices : le plan le long duquel s’alignent les répliques, la faille vue en surface, la limite de plaques sur laquelle se trouve le séisme. Pour le grand séisme de Sumatra–Andaman de 2004, les deux [plans nodaux](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) plongent de $8{}^{\circ}$ vers le nord-est et de $83{}^{\circ}$ vers le sud-ouest. Les séismes antérieurs de la région et les modèles de plaques placent tous deux le [panneau plongeant](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/14-les-marges-actives#def-b1-active-margins-slab) le long d’un plan plongeant doucement vers le nord-est, et le plan peu profond est pris pour la faille : le séisme a rompu l’interface de plaques de la zone de subduction, et ses répliques se sont étendues sur plus de $1300\,\mathrm{km}$.

Comme l’[axe P](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) se trouve au milieu des tractions et l’[axe T](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) au milieu des poussées, on les lit souvent comme les directions de plus forte et de plus faible contrainte compressive, $\sigma_1$ et $\sigma_3$. Ils n’en sont que des approximations. Une nouvelle faille se forme à $45{}^{\circ} - \phi/2$ de $\sigma_1$, non à $45{}^{\circ}$ ([Chapitre 16](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/16-contrainte-deformation-et-rheologie#ch-b1-stress-strain-rheology)), et une ancienne faille peut glisser sous un angle encore différent, si bien que les axes d’un séisme peuvent se trouver à des dizaines de degrés des [contraintes principales](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/16-contrainte-deformation-et-rheologie#def-b1-stress-strain-rheology-principal) ; les contraintes d’une région se trouvent à partir des mécanismes de nombreux séismes ensemble.

Un [mécanisme au foyer](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) vit sur une sphère autour du foyer. On le trace sur la moitié inférieure de cette sphère, que traverse chaque rai vers une station lointaine, projetée sur un disque : un rai de vecteur unitaire $\mathbf x = (E, N, U)$, avec $U \le 0$, est tracé en

$$
(X, Y) = \frac{(E, N)}{\sqrt{1 - U}} ,
$$

la verticale au centre et l’horizontale sur le cercle unité. Cette projection conserve les aires (admis ; les projections de la sphère sont étudiées dans le volume de troisième année), si bien que chaque quadrant couvre sa vraie part du disque. Les quadrants de poussée sont grisés ; l’image s’appelle un ballon de plage.

![Ballons de plage : l’hémisphère inférieur autour du foyer en projection équivalente, nord en haut, les quadrants de poussée grisés, P et T marquant les axes (une lettre est ramenée vers l’intérieur quand son axe est près du bord). Chaque mécanisme est donné par l’attitude d’un plan nodal, sens du pendage et pendage, et le pitch du glissement sur lui. (a) Une faille normale plongeant de 60 vers l’est : le quadrant de traction remplit le centre. (b) Une faille inverse plongeant de 30 vers l’est : le quadrant de poussée remplit le centre. (c) Une faille décrochante verticale : quatre quadrants se rejoignant au centre. (d) Le séisme du Tohoku de 2011 (tenseur des moments de l’U.S. Geological Survey) : un chevauchement sur un plan plongeant de 8 vers 282, sous le Japon, avec le plan auxiliaire raide à l’est.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-earthquake-source/fig-bd8e5a40bdfb.svg)

*Ballons de plage : l’hémisphère inférieur autour du foyer en projection équivalente, nord en haut, les quadrants de poussée grisés, P et T marquant les axes (une lettre est ramenée vers l’intérieur quand son axe est près du bord). Chaque mécanisme est donné par l’[attitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/4-les-cartes-geologiques#def-b1-geological-maps-attitude) d’un [plan nodal](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism), [sens du pendage](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/4-les-cartes-geologiques#def-b1-geological-maps-attitude) et [pendage](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/4-les-cartes-geologiques#def-b1-geological-maps-attitude), et le [pitch](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-elements) du glissement sur lui. (a) Une [faille normale](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types) plongeant de $60{}^{\circ}$ vers l’est : le quadrant de traction remplit le centre. (b) Une [faille inverse](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types) plongeant de $30{}^{\circ}$ vers l’est : le quadrant de poussée remplit le centre. (c) Une [faille décrochante](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types) verticale : quatre quadrants se rejoignant au centre. (d) Le séisme du Tohoku de 2011 (tenseur des moments de l’U.S. Geological Survey) : un [chevauchement](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types) sur un plan plongeant de $8{}^{\circ}$ vers $282$, sous le Japon, avec le [plan auxiliaire](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) raide à l’est.*

Les sismologues donnent un mécanisme par la direction, le [pendage](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/4-les-cartes-geologiques#def-b1-geological-maps-attitude) et le [pitch](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-elements) de chaque [plan nodal](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) ; la direction est le [sens du pendage](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/4-les-cartes-geologiques#def-b1-geological-maps-attitude) moins $90{}^{\circ}$, comme au [Chapitre 17](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#ch-b1-faults-folds-fabrics). Pour le Tohoku, les plans sont $192/8/78$ et $24/81/91$ en direction, [pendage](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/4-les-cartes-geologiques#def-b1-geological-maps-attitude) et [pitch](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-elements), et les [axes P](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) et T ont pour direction $113$ et $296$ et plongent de $36{}^{\circ}$ et $53{}^{\circ}$. Le [plan auxiliaire](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) se déduit du plan de faille : sa normale est $\mathbf d$ et son glissement est $\mathbf n$, de sorte qu’on le trouve en calculant $\mathbf n$ et $\mathbf d$ à partir de la direction, du [pendage](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/4-les-cartes-geologiques#def-b1-geological-maps-attitude) et du [pitch](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-elements), en les échangeant, et en relisant la direction, le [pendage](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/4-les-cartes-geologiques#def-b1-geological-maps-attitude) et le [pitch](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-elements) (exercice [18.7](#exo-b1-earthquake-source-7)).

**Méthode 18.9 (Lire un ballon de plage).**

1. Regarder le centre, qui est la verticale. Grisé (une poussée droit vers le bas) : une composante inverse ou de [chevauchement](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types) ; blanc : une composante normale. Deux diamètres droits se croisant au centre : un mécanisme décrochant.
2. Trouver les deux [plans nodaux](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) , les courbes qui bordent les quadrants. Un plan passant par le centre est vertical ; un plan plonge vers le côté du centre où se trouve sa courbe, d’autant plus doucement que la courbe est proche du bord.
3. Trouver l’ [axe T](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) au milieu des quadrants grisés et l’ [axe P](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) au milieu des blancs : le sol a été raccourci selon P et allongé selon T.
4. Pour chaque [plan nodal](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) , lire ou calculer le [pitch](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-elements) , et nommer la faille qu’il serait avec la [Définition 17.3](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types) . Les deux plans partagent toujours le sens en [pendage](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/4-les-cartes-geologiques#def-b1-geological-maps-attitude) , normal ou inverse, et ont des sens en direction opposés : un mécanisme décrochant donne un plan [dextre](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types) et un plan [senestre](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types) .
5. Choisir le plan de faille d’après les répliques, la géologie ou la limite de plaques.

**Au laboratoire — Dans un observatoire sismologique.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-earthquake-source/img-b1c11b7501bd.jpg)

*Des sismologues lisant une section d’enregistrements, les traces d’un même séisme à des stations classées par distance (illustration IA).*

Quelques minutes après un grand séisme, ses ondes ont été enregistrées par des centaines de stations, et les données parviennent aux analystes des observatoires en temps quasi réel. Les premières arrivées de l’onde P, qui atteignent les stations d’autant plus tard qu’elles sont éloignées, sont pointées sur les enregistrements pour localiser le foyer. Puis les ondes longues et lentes enregistrées pendant les dizaines de minutes suivantes sont comparées à des ondes calculées pour des sources d’essai ; la source dont les ondes s’ajustent le mieux donne le tenseur des moments, qui contient ensemble le [moment sismique](#def-b1-earthquake-source-moment), la [magnitude de moment](#def-b1-earthquake-source-mw) et les deux [plans nodaux](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism). Pour les petits séismes, trop faibles pour cela, les analystes lisent les [premiers mouvements](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) sur les enregistrements les plus proches et leur ajustent les [plans nodaux](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism), de la façon décrite dans cette section. Chaque solution est publiée avec ses incertitudes, et révisée à mesure que d’autres données arrivent.

## 18.4 Mesurer le chargement : la géodésie

Entre les séismes, une faille bloquée est invisible aux sismomètres, mais le sol autour d’elle bouge. Des stations permanentes de positionnement par satellite mesurent ce mouvement, et la façon dont leurs vitesses changent à travers une faille dit jusqu’à quelle profondeur elle est bloquée.

**Définition 18.10 (Profondeur de blocage).**

La *profondeur de blocage* d’une faille est la profondeur jusqu’à laquelle elle est bloquée entre les séismes, la faille en dessous glissant régulièrement à la vitesse à long terme ; c’est la profondeur de la partie de la faille qui glisse lors du prochain séisme.

**Proposition 18.11 (Vitesse intersismique à travers une faille décrochante).**

Soit une [faille décrochante](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types) verticale dans un demi-espace élastique, bloquée de la surface à la profondeur $D$, et glissant à la vitesse $V$ en dessous. La vitesse de la surface parallèlement à la faille, à la distance $x$ d’elle, est

$$
v(x) = \frac{V}{\pi}\arctan\frac{x}{D} .
$$

Si la faille glisse ensuite de $s$ de la surface à la profondeur $D$ lors d’un séisme, la surface se déplace de $u(x) = (s/\pi)\arctan(D/x)$ pour $x > 0$, et de $-u(-x)$ pour $x < 0$.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

Ce modèle, dû à Savage et Burford, est la forme la plus simple du [rebond élastique](#def-b1-earthquake-source-seismic-cycle), et la courbe de la clôture de la première figure. Ses propriétés découlent de la formule.

**Proposition 18.12 (Lire le profil intersismique).**

Dans le modèle de la [Proposition 18.11](#prop-b1-earthquake-source-interseismic) :

1. loin de la faille la vitesse tend vers $\pm V/2$ , les deux plaques se déplaçant à $V$ l’une par rapport à l’autre ;
2. la moitié du changement de vitesse à travers la faille se produit dans la distance $D$ d’elle : $v(\pm D) = \pm V/4$ ;
3. la vitesse de déformation en cisaillement de la surface, $\mathrm dv/\mathrm dx$ , est maximale sur la faille, où elle vaut $V/(\pi D)$ ;
4. si la faille, après un chargement pendant le temps $t$ , glisse de $s = Vt$ lors d’un séisme, le sol se retrouve déplacé de $\pm s/2$ partout de chaque côté : le cycle ne laisse aucune courbure permanente, seulement le décalage $s$ sur la faille.

**Démonstration.** (a) $\arctan(x/D) \to \pm\pi/2$ quand $x \to \pm\infty$. (b) $\arctan 1 = \pi/4$, donc $v(D) = V/4$, et $v$ est impaire. (c) $\mathrm dv/\mathrm dx = (V/\pi D)/(1 +
x^2/D^2)$, maximale en $x = 0$. (d) Pour $x > 0$, le chargement a déplacé le sol de $t\,v(x) = (s/\pi)\arctan(x/D)$ et le séisme de $(s/\pi)\arctan(D/x)$ ; puisque $\arctan y + \arctan(1/y) = \pi/2$ pour $y > 0$, la somme est $s/2$. La même chose vaut avec les signes inversés pour $x < 0$. ∎

La propriété (b) donne la [profondeur de blocage](#def-b1-earthquake-source-locking-depth) à partir d’un profil de stations : c’est la distance à la faille à laquelle la vitesse a changé d’un quart de $V$ par rapport à sa valeur sur la faille. Un blocage peu profond concentre la déformation près de la faille (figure ci-dessous), un blocage profond l’étale sur une large ceinture. Le long du système de San Andreas, les [profondeurs de blocage](#def-b1-earthquake-source-locking-depth) trouvées par la géodésie vont de presque 0, sur les segments qui fluent, à $26\,\mathrm{km}$, et s’accordent avec les profondeurs des séismes : la partie bloquée est la [couche sismogène](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/16-contrainte-deformation-et-rheologie#def-b1-stress-strain-rheology-strength-envelope) du [Chapitre 16](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/16-contrainte-deformation-et-rheologie#ch-b1-stress-strain-rheology). Pour une vitesse de glissement de $34\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ et une [profondeur de blocage](#def-b1-earthquake-source-locking-depth) de $15\,\mathrm{km}$, la vitesse de déformation en cisaillement sur la faille est $0.034/(\pi\times15\,000) = 7.2 \times 10^{-7}$ par an, ce qui courbe une ligne à travers la faille de moins d’un millimètre par kilomètre en un an, et pourtant stocke, en deux siècles, les plusieurs mètres de glissement d’un grand séisme.

![Vitesse du sol parallèlement à une faille décrochante bloquée, par rapport à la trace de la faille, pour une vitesse de glissement V = 34\, mm\, yr-1, celle de la faille de San Andreas à Wallace Creek, et trois profondeurs de blocage (). Plus le blocage est peu profond, plus la ceinture où la vitesse change est étroite.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-earthquake-source/fig-d633e90df68d.svg)

*Vitesse du sol parallèlement à une [faille décrochante](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types) bloquée, par rapport à la trace de la faille, pour une vitesse de glissement $V = 34\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$, celle de la faille de San Andreas à Wallace Creek, et trois [profondeurs de blocage](#def-b1-earthquake-source-locking-depth) ([Proposition 18.11](#prop-b1-earthquake-source-interseismic)). Plus le blocage est peu profond, plus la ceinture où la vitesse change est étroite.*

Le positionnement par satellite mesure le sol en quelques stations. Les satellites radar le mesurent partout : deux images radar de la même zone prises depuis la même orbite à des moments différents sont comparées onde par onde, et la différence de phase cartographie le changement de la distance entre le sol et le satellite, point par point, à cent mètres d’écart, sans réseau de stations installé à l’avance. La première carte de ce genre, d’un grand séisme californien de 1992, montra son déplacement cosismique en une seule image et s’accorda avec le glissement mesuré sur le terrain et par arpentage ; la technique, l’interférométrie radar, relève du volume de troisième année.

## 18.5 À quelle fréquence : la loi de Gutenberg–Richter

Les petits séismes sont bien plus fréquents que les grands, et d’une façon remarquablement régulière.

**Proposition 18.13 (Loi de Gutenberg–Richter).**

Dans une région et sur une période, le nombre $N$ de séismes de magnitude au moins $M$ obéit à

$$
\log_{10} N = a - bM ,
$$

pour tout $M$ au-dessus de la [magnitude de complétude](#def-b1-earthquake-source-b-value) du catalogue, avec des constantes $a$ et $b$ qui dépendent de la région ; $b$ est proche de 1 dans la plupart des régions actives.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

La loi est un résultat d’observation, publié par Beno Gutenberg et Charles Richter pour la Californie en 1944 et trouvé depuis partout ; aucune théorie ne la dérive encore, ni la valeur de $b$.

**Définition 18.14 (Valeur b, magnitude de complétude).**

La constante $b$ de la [loi de Gutenberg–Richter](#prop-b1-earthquake-source-gutenberg-richter) d’une région est sa *valeur b*. La *magnitude de complétude* d’un catalogue est la plus petite magnitude au-dessus de laquelle il enregistre tous les séismes de la région et de la période.

Une [valeur b](#def-b1-earthquake-source-b-value) de 1 signifie dix fois moins de séismes à chaque unité de magnitude. Sous la [magnitude de complétude](#def-b1-earthquake-source-b-value), les décomptes sont inférieurs à la droite, parce que les petits séismes sont enregistrés par trop peu de stations pour être localisés : la loi semble se courber, et $b$ doit être mesuré au-dessus d’elle. Pour la Terre entière, divisée en séismes superficiels, intermédiaires et profonds, les valeurs mesurées se situent entre 0.72 et 1.34, mais elles diffèrent de $30\,\%$ ou plus d’un catalogue, d’un intervalle de magnitudes ou d’une méthode à l’autre : une valeur loin de 1 est d’abord une raison de vérifier le catalogue.

![Les 7031 séismes de magnitude 6 ou plus dans le monde, 1976–2025 (catalogue de l’U.S. Geological Survey). (a) Le nombre annuel de séismes de magnitude au moins M ; la droite est l’ajustement des moindres carrés de _10 N en fonction de M de 6.0 à 7.5, où chaque décompte dépasse 200 : _10 N = 8.20 - 1.01\,M par an. Au-dessus de la magnitude 8 les quelques événements tombent sous la droite. (b) La part du moment sismique total libéré par les séismes de magnitude au moins M, chaque moment calculé comme 101.5M + 9.1 N\, m : les 40 séismes de magnitude 8 ou plus en ont libéré 63\,\%.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-earthquake-source/fig-dde1cbdeac3c.svg)

*Les $7031$ séismes de magnitude 6 ou plus dans le monde, 1976–2025 (catalogue de l’U.S. Geological Survey). (a) Le nombre annuel de séismes de magnitude au moins $M$ ; la droite est l’ajustement des moindres carrés de $\log_{10} N$ en fonction de $M$ de 6.0 à 7.5, où chaque décompte dépasse 200 : $\log_{10} N = 8.20 - 1.01\,M$ par an. Au-dessus de la magnitude 8 les quelques événements tombent sous la droite. (b) La part du [moment sismique](#def-b1-earthquake-source-moment) total libéré par les séismes de magnitude au moins $M$, chaque moment calculé comme $10^{1.5M + 9.1}$ $\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ : les 40 séismes de magnitude 8 ou plus en ont libéré $63\,\%$.*

Pour le catalogue mondial de la figure, la loi avec $a = 8.20$ et $b = 1.01$ prédit 14 séismes de magnitude 7 ou plus par an, comme observé, et 1.35 de magnitude 8 ou plus, alors que 40 en cinquante ans, 0.8 par an, ont été enregistrés. Que les plus grands séismes soient vraiment moins nombreux que la droite, comme la taille finie des failles le suggérerait, ou seulement assez rares pour manquer sur cinquante ans, n’est pas tranché par si peu d’événements. Environ une magnitude sur neuf de ce catalogue est une magnitude d’ondes de surface ou de volume, qui saturent ; les plus grands événements ont tous des [magnitudes de moment](#def-b1-earthquake-source-mw).

Les nombreux petits séismes font peu du travail. Leur nombre est multiplié par dix à chaque unité de magnitude en moins, mais leurs moments sont divisés par 31.6.

**Proposition 18.15 (Les plus grands séismes libèrent l’essentiel du moment).**

Soient des séismes qui obéissent à la [loi de Gutenberg–Richter](#prop-b1-earthquake-source-gutenberg-richter) avec $b < 1.5$, jusqu’à une plus grande magnitude $M_{\max}$, et groupés en classes larges d’une unité de magnitude, la classe supérieure se terminant à $M_{\max}$. Alors les séismes de la classe supérieure libèrent plus que la fraction $1 - 10^{-(1.5 - b)}$ du moment total, si petite que soit la plus petite magnitude comptée : plus de $68\,\%$ pour $b = 1$.

**Démonstration.** Numérotons les classes $k = 0, 1, \dots, K$ à partir de la plus petite, la classe $k$ allant de $M_k$ à $M_k + 1$, avec $M_{k+1} = M_k + 1$. D’après la loi, le nombre de séismes de la classe $k$ est $10^{a - bM_k} - 10^{a - b(M_k+1)} =
10^{a - bM_k}(1 - 10^{-b})$ ; d’après la [Proposition 18.5](#prop-b1-earthquake-source-moment-steps) le moment de chacun se situe entre $10^{1.5M_k + 9.1}$ et $10^{1.5}$ fois cela, et comme chaque classe est la précédente décalée d’une unité, le moment de la classe $k$ est $C q^k$ pour une constante $C$ et le rapport $q = 10^{-b}\times10^{1.5} = 10^{1.5 - b} > 1$. Le total est la somme géométrique

$$
S = C(1 + q + \dots + q^K) = C\,\frac{q^{K+1} - 1}{q - 1} ,
$$

et la part de la classe supérieure est

$$
\frac{C q^K}{S} = \frac{q^K (q - 1)}{q^{K+1} - 1}
  > \frac{q^K (q - 1)}{q^{K+1}} = 1 - \frac1q = 1 - 10^{-(1.5 - b)} .
$$

Pour $b = 1$, $1 - 10^{-0.5} = 0.684$. ∎

Dans le catalogue mondial la part est de cet ordre : la dernière unité de magnitude, de 8.1 à 9.1, a libéré plus de la moitié du moment de cinquante ans, et les deux plus grands séismes, Sumatra–Andaman en 2004 et Tohoku en 2011, de magnitudes 9.1, en ont libéré $29\,\%$ à eux seuls. Le moment qu’une limite de plaques doit libérer est fixé par sa vitesse de glissement ; la proposition dit qu’il est libéré presque entièrement dans ses plus grands séismes, et que les nombreux petits, si fréquents soient-ils, ne délestent pas une faille du prochain grand.

## 18.6 Exercices

**Exercice 18.1 ★.**

(a) Calculer la [magnitude de moment](#def-b1-earthquake-source-mw) d’un séisme de [moment sismique](#def-b1-earthquake-source-moment) $4 \times 10^{17}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$. (b) Le séisme du Tohoku avait $M_0 = 5.59 \times 10^{22}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ : vérifier sa magnitude. (c) Quel [moment sismique](#def-b1-earthquake-source-moment) a un séisme de magnitude 7.0 ?

**Solution de Exercice 18.1.**

(a) $\log_{10}(4 \times 10^{17}) = 17.60$, donc $M_w = \tfrac23(17.60 - 9.1) = 5.67$. (b) $\log_{10}(5.59 \times 10^{22}) = 22.75$ et $M_w = \tfrac23(22.75 - 9.1) =
9.10$. (c) $M_0 = 10^{1.5\times7.0 + 9.1} = 10^{19.6} = 3.98 \times 10^{19}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$.

**Exercice 18.2 ★.**

Une [faille décrochante](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types) est chargée à $25\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$, et ses séismes glissent chacun d’environ $3\,\mathrm{m}$. (a) Quel est leur [intervalle de récurrence](#def-b1-earthquake-source-seismic-cycle) si la faille est entièrement bloquée entre eux ? (b) Et si la moitié de la vitesse de glissement est reprise par un fluage régulier ?

**Solution de Exercice 18.2.**

(a) $T = D/\dot s = 3\,\mathrm{m}/0.025\,\mathrm{m}\,\mathrm{an}^{-1} = 120\,\mathrm{an}$. (b) Avec $c = 0.5$, $T = D/(c\dot s) = 240\,\mathrm{an}$ : le fluage absorbe la moitié du mouvement, et les séismes, de même glissement, viennent deux fois moins souvent.

**Exercice 18.3 ★.**

Combien de fois plus grand est le [moment sismique](#def-b1-earthquake-source-moment) d’un séisme de magnitude 7.4 que celui d’un séisme de magnitude 6.2 ? Combien de séismes de magnitude 6.2 libéreraient le même moment ?

**Solution de Exercice 18.3.**

D’après la [Proposition 18.5](#prop-b1-earthquake-source-moment-steps), le rapport des moments est $10^{1.5\times(7.4 - 6.2)} = 10^{1.8} = 63.1$ : il faut 63 séismes de magnitude 6.2 pour libérer le moment d’un séisme de magnitude 7.4.

**Exercice 18.4 ★.**

Dans une région avec $b = 1$, mille séismes de magnitude 3 ou plus sont enregistrés chaque année. Combien de magnitude 5 ou plus, et de magnitude 6 ou plus, sont attendus chaque année ? Quel est le temps moyen entre séismes de magnitude 7 ou plus ?

**Solution de Exercice 18.4.**

Avec $b = 1$, chaque unité de magnitude divise le décompte par 10 : 10 séismes de magnitude 5 ou plus par an, 1 de magnitude 6 ou plus, et 0.1 de magnitude 7 ou plus, c’est-à-dire un tous les 10 ans en moyenne.

**Exercice 18.5 ★★.**

Le séisme de 1906 a rompu la faille de San Andreas sur environ $430\,\mathrm{km}$. (a) En supposant que la rupture a atteint $15\,\mathrm{km}$ de profondeur avec un glissement moyen de $4\,\mathrm{m}$, et $\mu = 30\,\mathrm{GPa}$, calculer son [moment sismique](#def-b1-earthquake-source-moment) et sa [magnitude de moment](#def-b1-earthquake-source-mw). (b) De combien la magnitude change-t-elle si la rupture n’allait que jusqu’à $10\,\mathrm{km}$ de profondeur ? (c) Laquelle des deux estimations est la plus proche de 7.9 ?

**Solution de Exercice 18.5.**

(a) $A = 4.3 \times 10^{5} \times 1.5 \times 10^{4}\,\mathrm{m} = 6.45 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{2}$, et $M_0 = 3 \times 10^{10}\times6.45 \times 10^{9}\times4 = 7.74 \times 10^{20}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ; $\log_{10}M_0 = 20.89$ et $M_w = \tfrac23(20.89 - 9.1) = 7.86$. (b) Une profondeur de $10\,\mathrm{km}$ divise l’aire et le moment par 1.5, ce qui abaisse la magnitude de $\tfrac23\log_{10}1.5 = 0.12$, à 7.74. (c) La première, 7.86, s’arrondit au 7.9 du catalogue ; la seconde est un peu basse. La magnitude n’est pas très sensible à la profondeur : un facteur 1.5 sur l’aire ne fait que 0.12 de magnitude.

**Exercice 18.6 ★★.**

La rupture du séisme du Tohoku faisait environ $400\,\mathrm{km}$ de long et $150\,\mathrm{km}$ de large, et son moment $5.59 \times 10^{22}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$. (a) Calculer son glissement moyen avec $\mu = 30\,\mathrm{GPa}$. (b) La plaque pacifique plonge sous le Japon à environ $83\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ : combien de temps met-elle à accumuler ce glissement si l’interface est entièrement bloquée ? (c) Et si la fraction bloquée est 0.8, ou 0.5 ?

**Solution de Exercice 18.6.**

(a) $D = M_0/(\mu A) = 5.59 \times 10^{22}/(3 \times 10^{10}\times4 \times 10^{5}\times1.5 \times 10^{5})
= 31.1\,\mathrm{m}$. (b) $31.1\,\mathrm{m}/0.083\,\mathrm{m}\,\mathrm{an}^{-1} = 374\,\mathrm{an}$. (c) Avec la fraction bloquée 0.8, $31.1/(0.8\times0.083) = 468\,\mathrm{an}$ ; avec 0.5, $749\,\mathrm{an}$. Moins l’interface est bloquée, plus le glissement d’un grand séisme met de temps à se constituer ; le glissement moyen trouvé ici avec un rectangle de $400\,\mathrm{km} \times 150\,\mathrm{km}$ et $\mu = 30\,\mathrm{GPa}$ n’est lui-même qu’une estimation, et le vrai glissement était loin d’être uniforme.

**Exercice 18.7 ★★.**

Un [plan nodal](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) du séisme de 2004 de Sumatra–Andaman a pour direction $329$, [pendage](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/4-les-cartes-geologiques#def-b1-geological-maps-attitude) $8{}^{\circ}$ et [pitch](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-elements) $110{}^{\circ}$. (a) Écrire $\mathbf n$ et $\mathbf d$ en composantes est, nord et haut. (b) Trouver la direction, le [pendage](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/4-les-cartes-geologiques#def-b1-geological-maps-attitude) et le [pitch](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-elements) du [plan auxiliaire](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism). (c) Trouver les directions et [plongements](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge) des [axes P](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) et T. (d) Quel plan est la faille, et de quel type de faille s’agit-il ?

**Solution de Exercice 18.7.**

(a) La direction est $\phi = 329$, le [sens du pendage](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/4-les-cartes-geologiques#def-b1-geological-maps-attitude) $a = 059$, le [pendage](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/4-les-cartes-geologiques#def-b1-geological-maps-attitude) $\delta =
8{}^{\circ}$. Alors, dans le repère est–nord–haut, $\mathbf s = (\sin329, \cos329, 0) = (-0.5150, 0.8572, 0)$, $\mathbf u = (-\cos8\sin59, -\cos8\cos59, \sin8) = (-0.8488, -0.5100, 0.1392)$, $\mathbf n = (\sin8\sin59, \sin8\cos59, \cos8) = (0.1193, 0.0717, 0.9903)$, et avec $r = 110{}^{\circ}$,

$$
\mathbf d = \cos110\,\mathbf s + \sin110\,\mathbf u = (-0.6215, -0.7724, 0.1308) .
$$

(b) Le [plan auxiliaire](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) a pour normale $\mathbf d$ et pour glissement $\mathbf n$. En prenant la normale vers le haut, il plonge de $\arccos 0.1308 = 82.5{}^{\circ}$ vers $\arctan(-0.6215/-0.7724) = 218.8$, donc sa direction est $128.8$ ; le glissement $\mathbf n$ projeté sur ses vecteurs de direction et de remontée du [pendage](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/4-les-cartes-geologiques#def-b1-geological-maps-attitude) donne le [pitch](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-elements) $87.2{}^{\circ}$. Arrondi : $129/83/87$, le second plan de la solution publiée. (c) $\mathbf P = (\mathbf n - \mathbf d)/\sqrt2$ a pour direction $221$ et plonge de $37{}^{\circ}$ ; $\mathbf T = (\mathbf n + \mathbf d)/\sqrt2$ a pour direction $036$ et plonge de $52{}^{\circ}$ (publié : $222/38$ et $36/52$). (d) Le plan peu profond, plongeant de $8{}^{\circ}$ vers $059$, le long du [panneau plongeant](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/14-les-marges-actives#def-b1-active-margins-slab) : une [faille inverse](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types) de [pitch](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-elements) $110{}^{\circ}$, et, plongeant de moins de $45{}^{\circ}$, un [chevauchement](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types), l’interface de plaques de la zone de subduction.

**Exercice 18.8 ★★.**

Une faille verticale de direction $045$ glisse de façon [dextre](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types). (a) Pour des ondes quittant le foyer horizontalement vers des stations plein nord, est, sud et ouest, lesquelles arrivent comme des poussées et lesquelles comme des tractions ? (b) Donner les directions des [axes P](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) et T. (c) Montrer qu’un glissement [senestre](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types) sur un plan vertical de direction $135$ donne les mêmes [premiers mouvements](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism).

**Solution de Exercice 18.8.**

(a) Le plan plonge vers $135$, donc $\mathbf n = (\sin135, \cos135, 0) =
(0.707, -0.707, 0)$ ; un glissement [dextre](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types) a $r = 180{}^{\circ}$, $\mathbf d = -\mathbf s
= (-0.707, -0.707, 0)$. Vers le nord, $\mathbf x = (0, 1, 0)$ : $(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x) = (-0.707)(-0.707) > 0$, une poussée. Est : $(0.707)(-0.707) < 0$, une traction. Sud : une poussée ; ouest : une traction. (b) $\mathbf P = (\mathbf n - \mathbf d)/\sqrt2 = (1, 0, 0)$ : l’[axe P](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) est horizontal de direction $090$–$270$ ; $\mathbf T = (0, -1, 0)$ est de direction $000$–$180$. (c) Le plan vertical de direction $135$–$315$ a pour normale $\mathbf d$. Avec le glissement $\mathbf n$, le bloc de son côté sud-ouest, vers lequel pointe $\mathbf d$, se déplace vers $135$ ; vu du bloc nord-est, en regardant vers le sud-ouest, c’est vers la gauche : un glissement [senestre](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types). D’après la [Proposition 18.8](#prop-b1-earthquake-source-auxiliary), ce glissement donne les mêmes [premiers mouvements](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) dans toutes les directions.

**Exercice 18.9 ★★.**

À travers une [faille décrochante](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types) bloquée, les stations du champ lointain des deux côtés se déplacent à $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ l’une par rapport à l’autre. Une station à $10\,\mathrm{km}$ de la faille se déplace à $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ par rapport à la trace de la faille. (a) Trouver la [profondeur de blocage](#def-b1-earthquake-source-locking-depth). (b) Prédire la vitesse d’une station à $30\,\mathrm{km}$ de la faille. (c) Calculer la vitesse de déformation en cisaillement sur la faille.

**Solution de Exercice 18.9.**

(a) $V = 40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ et $v = V/4$ à $10\,\mathrm{km}$, donc d’après la [Proposition 18.12](#prop-b1-earthquake-source-profile)(b) $D = 10\,\mathrm{km}$ ; directement, $D = x/\tan(\pi v/V) = 10/\tan(\pi/4) = 10\,\mathrm{km}$. (b) $v(30) =
(40/\pi)\arctan 3 = 15.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$. (c) $V/(\pi D) =
0.040/(\pi\times10\,000) = 1.27 \times 10^{-6}$ par an.

**Exercice 18.10 ★★★.**

(a) Montrer que, si $b$ était supérieur à 1.5, le moment total des séismes d’une région serait dominé par les plus petits. (b) Quelle part du moment la dernière unité de magnitude libère-t-elle au moins, pour $b = 0.8$ ? (c) Avec $a = 8.20$ et $b = 1.01$ par an du catalogue mondial, combien de séismes de magnitude 9 ou plus la loi prédirait-elle en cinquante ans ? Le catalogue de 1976–2025 en contient deux ; commenter.

**Solution de Exercice 18.10.**

(a) Les moments des classes sont toujours $C q^k$ avec $q = 10^{1.5 - b}$, mais maintenant $q < 1$ : le moment des classes décroît vers les grandes magnitudes, et la classe inférieure, $k = 0$, porte la part $C/S = (1 - q)/(1 - q^{K+1}) > 1 - q$, image en miroir de la [Proposition 18.15](#prop-b1-earthquake-source-largest). Les plus petits séismes comptés domineraient alors, et le total croîtrait sans limite à mesure que l’on inclurait des séismes de plus en plus petits. (b) $1 - 10^{-0.7} = 0.80$ : au moins $80\,\%$. (c) $\log_{10}N = 8.20 - 1.01\times9 = -0.89$, donc $N = 0.13$ par an et environ 6.4 en cinquante ans, trois fois les deux observés. La droite, ajustée entre les magnitudes 6 et 7.5, surestime les plus grands séismes ; ou bien la loi s’infléchit vers le bas au sommet, comme le suggère la taille finie des failles, ou bien cinquante ans sont trop peu pour échantillonner des événements qui viennent une fois par décennies. Les deux sont possibles avec deux événements.

**Exercice 18.11 ★★★.**

Une clôture droite est construite à travers une faille [dextre](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types) bloquée avec $V =
34\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ et $D = 15\,\mathrm{km}$. (a) Après 150 ans, de combien les poteaux à $1\,\mathrm{km}$, $15\,\mathrm{km}$ et $50\,\mathrm{km}$ à l’est de la faille se sont-ils déplacés le long d’elle, par rapport au poteau sur la faille ? (b) La faille glisse ensuite de tout le déficit lors d’un séisme. Quel est le glissement, et de combien chacun des trois poteaux se déplace-t-il pendant le séisme ? (c) Vérifier la partie (d) de la [Proposition 18.12](#prop-b1-earthquake-source-profile) sur les trois poteaux.

**Solution de Exercice 18.11.**

(a) En 150 ans un poteau en $x$ se déplace de $150\,v(x) = 150\times(34/\pi)
\arctan(x/15)$ millimètres par rapport au poteau sur la faille : $0.11\,\mathrm{m}$ à $1\,\mathrm{km}$, $1.28\,\mathrm{m}$ à $15\,\mathrm{km}$, $2.08\,\mathrm{m}$ à $50\,\mathrm{km}$, vers le sud pour une faille [dextre](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types) vue de l’ouest. (b) Le déficit de glissement est $s = 0.034\,\mathrm{m}\,\mathrm{an}^{-1}\times150\,\mathrm{an} = 5.1\,\mathrm{m}$. Pendant le séisme les poteaux se déplacent de $(s/\pi)\arctan(D/x)$ : $2.44\,\mathrm{m}$ à $1\,\mathrm{km}$, $1.28\,\mathrm{m}$ à $15\,\mathrm{km}$, $0.47\,\mathrm{m}$ à $50\,\mathrm{km}$. (c) Les sommes sont $0.11 + 2.44$, $1.28 + 1.28$ et $2.08 + 0.47$, toutes $2.55\,\mathrm{m}$ $= s/2$ : après le séisme la clôture est de nouveau droite du côté est, déplacée de $s/2$, et le côté ouest, par symétrie, de $-s/2$.

**Exercice 18.12 ★★★.**

Un séisme a un [axe P](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) horizontal de direction $000$ et un [axe T](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) horizontal de direction $090$. (a) Montrer que ses [plans nodaux](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) sont verticaux et de direction $045$ et $135$, avec $\mathbf n$, $\mathbf d = (\mathbf T \pm \mathbf P)/\sqrt2$. (b) Donner le sens du glissement sur chaque plan. (c) Si la faille s’était formée comme une nouvelle faille dans une roche avec $\phi = 30{}^{\circ}$, sous une $\sigma_1$ selon l’[axe P](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism), sous quelles directions se trouverait-elle, et pourquoi l’[axe P](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) n’est-il qu’une approximation de $\sigma_1$ ? (d) Une faille cartographiée à proximité a pour direction $040$. Quel [plan nodal](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) est vraisemblablement la faille, et quel est son sens de glissement ?

**Solution de Exercice 18.12.**

(a) $\mathbf P = (0, 1, 0)$ et $\mathbf T = (1, 0, 0)$. Le couple $\mathbf n = (\mathbf T + \mathbf P)/\sqrt2 = (0.707, 0.707, 0)$, $\mathbf d = (\mathbf T - \mathbf P)/\sqrt2 = (0.707, -0.707, 0)$ vérifie $\mathbf P = (\mathbf n - \mathbf d)/\sqrt2$ et $\mathbf T = (\mathbf n +
\mathbf d)/\sqrt2$. Les deux vecteurs sont horizontaux, donc les deux [plans nodaux](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) sont verticaux : le plan de normale $\mathbf n$ (vers $045$) a pour direction $135$–$315$, le plan de normale $\mathbf d$ (vers $135$) a pour direction $045$–$225$. (b) Sur le plan de direction $315$, le bloc du côté nord-est se déplace selon $\mathbf d$, vers $135$ : vu de l’autre bloc, vers la droite, un glissement [dextre](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types). Sur le plan de direction $045$, le bloc du côté sud-est se déplace selon $\mathbf n$, vers $045$ : un glissement [senestre](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types). (c) Une nouvelle faille fait $45{}^{\circ} - \phi/2 =
30{}^{\circ}$ avec $\sigma_1$ : avec $\sigma_1$ de direction $000$, les failles auraient pour directions $030$ ([senestre](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types)) et $330$ ([dextre](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types)), à $15{}^{\circ}$ des [plans nodaux](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism). L’[axe P](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) est fixé à $45{}^{\circ}$ des [plans nodaux](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) par la géométrie, quel que soit le frottement de la roche, donc il coïncide avec $\sigma_1$ seulement si la faille a glissé à $45{}^{\circ}$ de lui. (d) La faille de direction $040$ est à $5{}^{\circ}$ du [plan nodal](#def-b1-earthquake-source-focal-mechanism) de direction $045$ : ce plan est vraisemblablement la faille, et le glissement sur lui est [senestre](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types).

## 18.7 Problème : Le prochain grand séisme sur une faille bloquée

**Problème 18.1.**

Problème du week-end — un segment bloqué d’une limite de plaques décrochante, de son chargement et de ses séismes passés jusqu’à la magnitude du prochain

Une [faille décrochante](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/17-failles-plis-et-fabriques#def-b1-faults-folds-fabrics-fault-types) droite et verticale forme la limite entre deux plaques. Un de ses segments, long de $250\,\mathrm{km}$, est bloqué ; ses séismes ne commencent pas plus profond que $15\,\mathrm{km}$. Des tranchées creusées à travers lui datent ses quatre derniers grands séismes d’environ 1050, 1290, 1480 et 1712, avec des décalages de $7.0$, $6.0$, $5.5$ et $7.5\,\mathrm{m}$. Des stations permanentes loin de la faille de part et d’autre se déplacent à $30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ l’une par rapport à l’autre. Prendre $\mu =
30\,\mathrm{GPa}$, l’année 2025 comme présent, et donner les magnitudes à 0.01.

**Partie I — Le chargement.**

1. Calculer les intervalles entre les quatre séismes et leur moyenne.
2. Calculer le décalage moyen, et l’ [intervalle de récurrence](#def-b1-earthquake-source-seismic-cycle) qu’il implique avec la [Proposition 18.2](#prop-b1-earthquake-source-recurrence) pour une faille entièrement bloquée.
3. Calculer la vitesse de glissement impliquée par la seule tranchée, à partir des décalages de les trois derniers séismes et du temps entre le premier et le dernier. Comparer avec la vitesse géodésique.
4. Il y a combien de temps a eu lieu le dernier séisme, et quel déficit de glissement s’est accumulé depuis, si le segment est entièrement bloqué ?
5. Comparer ce déficit aux décalages de la tranchée. Le prochain séisme est-il en retard ?
6. Pourquoi la tranchée ne peut-elle donner la date du prochain ?

**Partie II — La taille du prochain séisme.**

7. Quelle est l’aire de la partie bloquée du segment ?
8. Calculer le [moment sismique](#def-b1-earthquake-source-moment) d’un séisme qui libérerait tout le déficit.
9. Calculer la [magnitude de moment](#def-b1-earthquake-source-mw) du séisme de 1712, en supposant qu’il a rompu la même aire avec son décalage de tranchée pour glissement moyen.
10. De quel facteur le moment du prochain séisme dépasse-t-il celui de 1712, et cela fait-il combien d’unités de magnitude ?
11. Si seule la moitié du segment se rompait, avec le même glissement, quelle serait la magnitude ?
12. Donner le [moment sismique](#def-b1-earthquake-source-moment) que le segment accumule chaque année.

**Partie III — Fréquence et énergie.**

13. Le catalogue régional suit $\log_{10} N = 4.3 - M$ par an, pour toutes les failles de la région. Quelle est sa [valeur b](#def-b1-earthquake-source-b-value) , et combien de séismes de magnitude 5 ou plus, et 6 ou plus, donne-t-il chaque année ?
14. Quel temps moyen entre séismes de magnitude 7 ou plus donne-t-il, et de magnitude 8 ou plus ?
15. Comparer la récurrence d’un grand séisme d’après le catalogue avec celle d’après la tranchée. Que dit la différence de l’usage de la loi des petits séismes pour prévoir les grands ?
16. Les séismes de magnitude 5 à 8 de la loi régionale libèrent, tous ensemble, environ $5.5 \times 10^{17}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ par an. Quelle fraction du moment du segment cela représente-t-il ?
17. Combien de fois plus d’énergie qu’un séisme de magnitude 6 le prochain grand séisme rayonnerait-il ?
18. À l’aide de la [Proposition 18.15](#prop-b1-earthquake-source-largest) , expliquer pourquoi les séismes modérés du segment ne le délestent pas.

**Partie IV — La profondeur de blocage à partir des stations.**

19. Un profil de stations à travers le segment donne, par rapport à la trace de la faille, les vitesses $-11.6$ , $-7.5$ , $-3.1$ , $3.1$ , $7.5$ et $11.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ en $x = -40$ , $-15$ , $-5$ , $5$ , $15$ et $40\,\mathrm{km}$ . Vérifier que le profil est antisymétrique, et donner les vitesses attendues loin de la faille.
20. À partir de la station à $15\,\mathrm{km}$ , calculer la [profondeur de blocage](#def-b1-earthquake-source-locking-depth) .
21. La calculer de nouveau à partir des stations à $5\,\mathrm{km}$ et $40\,\mathrm{km}$ , et expliquer les petites différences.
22. Comparer la [profondeur de blocage](#def-b1-earthquake-source-locking-depth) avec la profondeur des séismes, et dire pourquoi elles devraient s’accorder.
23. Calculer la vitesse de déformation en cisaillement sur la faille.
24. À 0.01 près, quelle est la [magnitude de moment](#def-b1-earthquake-source-mw) du séisme qui libérerait tout le déficit de glissement du segment ?

**Solution de Problème 18.1.**

**1.** Les intervalles sont $1290 - 1050 = 240$, $1480 - 1290 = 190$ et $1712 - 1480 = 232$ ans ; leur moyenne est $220.7\,\mathrm{an}$.

**2.** Le décalage moyen est $(7.0 + 6.0 + 5.5 + 7.5)/4 = 6.5\,\mathrm{m}$, et $T = 6.5/0.030 = 216.7\,\mathrm{an}$, proche de l’intervalle moyen.

**3.** Les décalages des trois derniers séismes, $6.0 + 5.5 + 7.5 =
19.0\,\mathrm{m}$, se sont accumulés entre 1050 et 1712, en 662 ans : $19.0\,\mathrm{m}
/662\,\mathrm{an} = 28.7\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$, $4\,\%$ de moins que les $30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ géodésiques. Les deux concordent dans l’incertitude des dates et des décalages : le segment libère presque tout son chargement dans ses grands séismes.

**4.** $2025 - 1712 = 313$ ans, et le déficit est $0.030\,\mathrm{m}\,\mathrm{an}^{-1}\times313\,\mathrm{an} = 9.39\,\mathrm{m}$.

**5.** Le déficit dépasse tous les décalages de la tranchée, le plus grand étant $7.5\,\mathrm{m}$, et le temps depuis 1712 dépasse le plus long intervalle, 240 ans. En ce sens le segment est en retard ; cela ne veut pas dire que le séisme est imminent, seulement que la faille détient déjà plus de glissement qu’elle n’en a jamais libéré d’un coup dans l’enregistrement.

**6.** Les intervalles vont de 190 à 240 ans et les décalages de $5.5\text{ à }7.5\,\mathrm{m}$ : le cycle n’est pas périodique, et la résistance de la faille au prochain séisme est inconnue. La tranchée donne une moyenne et une dispersion, d’où l’on peut estimer une probabilité, non une date.

**7.** $A = 250\,\mathrm{km}\times15\,\mathrm{km} = 3750\,\mathrm{km}^{2} =
3.75 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{2}$.

**8.** $M_0 = 3 \times 10^{10}\times3.75 \times 10^{9}\times9.39 =
1.06 \times 10^{21}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$.

**9.** $M_0 = 3 \times 10^{10}\times3.75 \times 10^{9}\times7.5 =
8.44 \times 10^{20}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$, so $M_w = \tfrac23(20.926 - 9.1) = 7.88$.

**10.** Le rapport est $9.39/7.5 = 1.25$, ce qui fait $\tfrac23\log_{10}1.25 =
0.07$ de magnitude.

**11.** La moitié de l’aire divise le moment par deux et abaisse la magnitude de $\tfrac23\log_{10}2 = 0.20$ : $M_w = 7.75$.

**12.** $\mu A V = 3 \times 10^{10}\times3.75 \times 10^{9}\times0.030 =
3.38 \times 10^{18}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ par an.

**13.** $b = 1$. $N(5) = 10^{4.3 - 5} = 0.20$ par an et $N(6) = 0.020$ par an.

**14.** $N(7) = 0.0020$ par an : un tous les 500 ans ; $N(8) = 0.00020$ par an : un tous les $5000$ ans.

**15.** La loi donne un séisme de magnitude 7.95 ou plus tous les $1/10^{4.3 - 7.95} = 4500$ ans, la tranchée un tous les 220 ans, vingt fois plus souvent. La loi est ajustée aux nombreux petits séismes de toutes les failles de la région ; extrapolée aux grands séismes d’un seul segment, elle les sous-estime fortement. La récurrence des grands séismes sur une faille se tire de son propre enregistrement et de son chargement, non des petits.

**16.** $5.5 \times 10^{17}/3.38 \times 10^{18} = 0.16$ : les séismes modérés libèrent $16\,\%$ du moment que le segment accumule.

**17.** D’après la [Proposition 18.5](#prop-b1-earthquake-source-moment-steps), $10^{1.5\times(7.95 - 6)} = 10^{2.92} \approx 840$ fois plus.

**18.** Avec $b = 1$, le moment des séismes est dominé par les plus grands : quoi que fassent les séismes modérés, ils libèrent une part mineure, ici $16\,\%$, et les $84\,\%$ restants, le déficit de glissement, attendent le grand séisme.

**19.** $v(-x) = -v(x)$ pour chaque paire, donc le profil est antisymétrique. Loin de la faille les vitesses tendent vers $\pm V/2 = \pm15\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$.

**20.** $D = x/\tan(\pi v/V) = 15/\tan(\pi\times7.5/30) = 15/\tan45{}^{\circ} =
15\,\mathrm{km}$ : à la [profondeur de blocage](#def-b1-earthquake-source-locking-depth) la vitesse est $V/4$.

**21.** À $5\,\mathrm{km}$ : $D = 5/\tan(\pi\times3.1/30) = 5/\tan18.6{}^{\circ} =
14.9\,\mathrm{km}$ ; à $40\,\mathrm{km}$ : $D = 40/\tan69.6{}^{\circ} = 14.9\,\mathrm{km}$. Les vitesses sont données à $0.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$, et cet arrondi seul déplace $D$ d’environ $0.1\,\mathrm{km}$ ; avec des données réelles, le bruit de chaque station serait plus grand, et la [profondeur de blocage](#def-b1-earthquake-source-locking-depth) serait ajustée à toutes les stations à la fois.

**22.** La [profondeur de blocage](#def-b1-earthquake-source-locking-depth), $15\,\mathrm{km}$, égale la profondeur des plus profonds séismes. La partie bloquée de la faille est sa partie cassante, la [couche sismogène](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/16-contrainte-deformation-et-rheologie#def-b1-stress-strain-rheology-strength-envelope), où le frottement la retient entre les séismes et cède dans eux ; en dessous, la roche plus chaude flue ([Chapitre 16](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/16-contrainte-deformation-et-rheologie#ch-b1-stress-strain-rheology)) et la faille glisse régulièrement, ce qui est le glissement à la vitesse $V$ sous $D$ du modèle.

**23.** $V/(\pi D) = 0.030/(\pi\times15\,000) = 6.4 \times 10^{-7}$ par an.

**24.** Avec $M_0 = 1.056 \times 10^{21}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$, $\log_{10}M_0 = 21.024$ et $M_w = \tfrac23(21.024 - 9.1) = 7.949$. À 0.01 près, le séisme qui libérerait tout le déficit du segment a la [magnitude de moment](#def-b1-earthquake-source-mw) **7.95**.