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title: "Télescopes, détecteurs et photométrie"
book: "Sciences de la Terre et de l’Univers à l’université — 1re année"
subject: earth
language: fr
chapter: 2
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/2-telescopes-detecteurs-et-photometrie
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Chapitre 2 — Télescopes, détecteurs et photométrie

Tout ce que l’astronomie sait des étoiles, à part quelques météorites et les échantillons rapportés de la Lune et d’astéroïdes, elle l’a appris de la lumière qu’elles envoient. Cette lumière traverse l’atmosphère terrestre, qui absorbe des domaines entiers de longueurs d’onde et brouille le reste ; elle est recueillie par un miroir dont la taille limite à la fois la faiblesse des astres observables et la finesse des détails ; elle est comptée par un détecteur qui transforme des photons en électrons, et chaque comptage porte une incertitude statistique. Avant qu’un éclat devienne une [luminosité](#def-b1-observing-the-sky-flux) ou une distance, chacune de ces étapes doit être comprise et corrigée. Ce chapitre suit la lumière de l’étoile jusqu’au nombre : les fenêtres de l’atmosphère et la loi d’extinction, le télescope et le [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing), le détecteur et son bruit, puis les magnitudes, les parallaxes et les couleurs qui transforment des [flux](#def-b1-observing-the-sky-flux) mesurés en propriétés des étoiles. La même atmosphère, vue d’en bas, est l’objet des chapitres sur le climat ([Chapitre 27](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/27-le-rayonnement-et-le-transport-de-chaleur#ch-b1-radiation-heat-transport)) ; la même photométrie, appliquée aux planètes, ouvre le chapitre suivant ([Chapitre 3](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/3-planetologie-comparee#ch-b1-comparative-planetology)).

**Tu sais déjà.**

L’objectif d’un télescope recueille la lumière sur son ouverture et forme une image à son foyer ; la diffraction par une ouverture de diamètre $D$ limite le plus petit angle qu’il sépare à environ $1.22\,\lambda/D$, critère de Rayleigh (volume de physique de première année). Un réseau disperse la lumière selon la longueur d’onde (deuxième année), et une source qui se déplace le long de la ligne de visée voit ses raies spectrales décalées par l’effet Doppler (année 12). Un corps en équilibre thermique émet le spectre du corps noir, dont le maximum obéit à la loi de Wien (deuxième année). En chimie, l’absorbance d’une solution croît proportionnellement à la longueur du trajet.

## 2.1 Les fenêtres de l’atmosphère

L’atmosphère est transparente à certaines longueurs d’onde et opaque à d’autres. Le rayonnement est absorbé surtout par la vapeur d’eau, le dioxyde de carbone et l’ozone, et, aux plus courtes longueurs d’onde, par les atomes et les molécules de la haute atmosphère elle-même.

**Définition 2.1 (Fenêtre atmosphérique).**

Une *fenêtre atmosphérique* est un domaine de longueurs d’onde dans lequel l’atmosphère transmet la plus grande part du rayonnement qui arrive à son sommet jusqu’au sol. La *fenêtre optique* s’étend du proche ultraviolet au proche infrarouge ; la *fenêtre radio*, des longueurs d’onde d’environ un centimètre à environ dix mètres.

La figure ci-dessous esquisse l’opacité de l’atmosphère, des rayons gamma aux grandes ondes radio. Les rayons gamma, les rayons X et l’ultraviolet en dessous d’environ $0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ n’atteignent jamais le sol : on les observe depuis l’espace. La lumière visible passe, avec un certain flou. La plus grande partie de l’infrarouge est absorbée par la vapeur d’eau et le dioxyde de carbone, sauf dans des fenêtres étroites que les observatoires terrestres exploitent sur des sites élevés et secs ; les [bandes photométriques](#def-b1-observing-the-sky-magnitude) du proche infrarouge s’y logent, à $1.24\,\text{µ}\mathrm{m}$, $1.65\,\text{µ}\mathrm{m}$ et $2.16\,\text{µ}\mathrm{m}$. Les longueurs d’onde d’environ $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ à un millimètre sont de nouveau bloquées ; les ondes radio de quelques centimètres à une dizaine de mètres passent, même à travers les nuages ; les plus longues sont réfléchies par l’ionosphère.

![L’opacité de l’atmosphère au rayonnement venu de l’espace, de 0.1\, nm à 1\, km (échelle logarithmique). Schéma d’après une figure de la NASA tombée dans le domaine public : seules comptent ici les fenêtres, non la forme exacte de chaque bande d’absorption. J, H et K désignent les bandes photométriques du proche infrarouge.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-observing-the-sky/fig-c9e6d2632b3f.svg)

*L’opacité de l’atmosphère au rayonnement venu de l’espace, de $0.1\,\mathrm{nm}$ à $1\,\mathrm{km}$ (échelle logarithmique). Schéma d’après une figure de la NASA tombée dans le domaine public : seules comptent ici les fenêtres, non la forme exacte de chaque bande d’absorption. J, H et K désignent les [bandes photométriques](#def-b1-observing-the-sky-magnitude) du proche infrarouge.*

### Extinction

Même à l’intérieur de la fenêtre optique, l’atmosphère retire une partie de la lumière, par absorption et par diffusion sur les molécules et les aérosols. Une couche mince d’épaisseur $\mathrm ds$ le long du rayon retire une fraction de l’intensité proportionnelle à $\mathrm ds$ : $\mathrm dI = -\kappa I\,\mathrm ds$, où le coefficient d’extinction $\kappa$ (par mètre) dépend de la longueur d’onde et de la composition de l’air à cette altitude. C’est la loi de l’absorbance d’une solution, appliquée à une colonne d’air.

**Proposition 2.2 (Loi de Bouguer).**

Le long d’un rayon traversant un milieu absorbant, l’intensité décroît comme

$$
I = I_0\,e^{-\tau}, \qquad \tau = \int_0^s \kappa\,\mathrm ds' ,
$$

où $I_0$ est l’intensité qui entre dans le milieu et $\tau$, l’épaisseur optique du trajet, est un nombre pur. Pour une atmosphère plan-parallèle, une étoile à la distance zénithale $z$ (angle entre sa direction et la verticale) est vue à travers l’épaisseur optique $\tau(z) = \tau_0\sec z$, où $\tau_0$ est l’épaisseur optique au [zénith](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere).

**Démonstration.** L’équation $\mathrm dI/I = -\kappa\,\mathrm ds$ se sépare : en intégrant du sommet de l’atmosphère ($I = I_0$, $s = 0$) à l’observateur, on obtient $\ln(I/I_0) = -\int_0^s\kappa\,\mathrm ds'$. Dans une atmosphère plan-parallèle, $\kappa$ ne dépend que de la hauteur $y$, et un rayon incliné de $z$ sur la verticale parcourt $\mathrm ds = \mathrm dy/\cos z$ pour s’élever de $\mathrm dy$. D’où $\tau(z) = \int \kappa(y)\,\mathrm dy/\cos z = \tau_0\sec z$. ∎

**Définition 2.3 (Masse d’air, coefficient d’extinction atmosphérique).**

La *masse d’air* $X$ d’une observation est l’épaisseur optique de la ligne de visée divisée par l’épaisseur optique au [zénith](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) : $X = \tau(z)/\tau_0$. Elle vaut 1 au [zénith](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) et, pour une atmosphère plan-parallèle, $X = \sec z$. Le *coefficient d’extinction atmosphérique* $k$ dans une bande donnée est l’affaiblissement, en magnitudes, produit par une masse d’air, de sorte qu’une étoile de magnitude $m_0$ au-dessus de l’atmosphère est observée à

$$
m = m_0 + kX .
$$

Les magnitudes sont définies à la [Section 2.4](#sec-2-4) ; il suffit ici de savoir qu’un affaiblissement d’un facteur $e^{-\tau}$ ajoute $2.5\log_{10}e\;\tau = 1.086\,\tau$ magnitudes, de sorte que $k = 1.086\,\tau_0$. La [masse d’air](#def-b1-observing-the-sky-extinction) plan-parallèle est excellente jusqu’à une hauteur d’environ $30{}^{\circ}$ ($X = 2$) et tombe en défaut près de l’horizon, où $\sec z$ croît sans limite alors que le trajet réel à travers une atmosphère courbe reste fini ; les observateurs évitent les faibles hauteurs pour cette raison et pour le flou qui croît avec le trajet.

**Méthode 2.4 (La droite d’extinction).**

Pour trouver la magnitude $m_0$ qu’aurait une étoile au-dessus de l’atmosphère :

1. mesurer la magnitude $m$ de l’étoile, ou d’une étoile standard, à plusieurs [masses d’air](#def-b1-observing-the-sky-extinction) au cours de la nuit, pendant qu’elle se lève ou se couche ;
2. calculer chaque [masse d’air](#def-b1-observing-the-sky-extinction) à partir de la distance zénithale, $X = \sec z$ ;
3. tracer $m$ en fonction de $X$ et ajuster une droite par moindres carrés ;
4. la pente est le coefficient d’extinction $k$ de la nuit dans cette bande ; l’ordonnée à l’origine ( $X = 0$ ) est $m_0$ .

Le même $k$ corrige ensuite toutes les autres étoiles observées la même nuit dans la même bande : $m_0 = m - kX$.

**Exemple 2.5.**

Une nuit, une étoile a été mesurée six fois dans la bande V :

| $X$ | 1.05 | 1.18 | 1.36 | 1.62 | 1.95 | 2.31 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $m$ | 8.024 | 8.031 | 8.072 | 8.104 | 8.171 | 8.216 |

La droite des moindres carrés, tracée dans la figure ci-dessous, a pour pente $k = 0.160\,\mathrm{mag}$ par [masse d’air](#def-b1-observing-the-sky-extinction) et pour ordonnée à l’origine $m_0 = 7.851$. Les points s’écartent d’elle de $0.006$ magnitude, la précision d’une bonne nuit de photométrie. Au [zénith](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere), l’étoile est affaiblie de $0.16$ magnitude, soit une perte de $1 - 10^{-0.4\times0.160} = 14\,\%$ de sa lumière.

![Une droite d’extinction : la magnitude d’une étoile à six masses d’air (points) et la droite des moindres carrés, extrapolée à X = 0, la magnitude au-dessus de l’atmosphère. Les magnitudes croissent vers le bas : une étoile plus faible est plus bas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-observing-the-sky/fig-9bd82f535f13.svg)

*Une droite d’extinction : la magnitude d’une étoile à six [masses d’air](#def-b1-observing-the-sky-extinction) (points) et la droite des moindres carrés, extrapolée à $X = 0$, la magnitude au-dessus de l’atmosphère. Les magnitudes croissent vers le bas : une étoile plus faible est plus bas.*

### Seeing

L’air au-dessus d’un télescope n’est jamais immobile. Des cellules d’air de températures légèrement différentes, donc d’indices de réfraction légèrement différents, dérivent à travers le faisceau et le dévient de petits angles aléatoires, qui changent plusieurs fois par seconde. L’œil voit une étoile scintiller ; une longue pose enregistre une tache floue bien plus grande que la figure de diffraction du télescope.

**Définition 2.6 (Le seeing).**

Le *seeing* d’un site est le diamètre angulaire de l’image d’une source ponctuelle brouillée par la turbulence atmosphérique en longue pose, mesuré par la largeur à mi-hauteur de l’image, en secondes d’arc.

Le [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) change d’une nuit à l’autre et d’une heure à l’autre. Les sites sont choisis pour lui : au sommet du Mauna Kea, à $4204\,\mathrm{m}$, le [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) médian de l’atmosphère libre est d’environ $0.40{}^{\prime\prime}$, de $0.45{}^{\prime\prime}$ environ en hiver à $0.35{}^{\prime\prime}$ en été, le meilleur dixième des nuits restant au-dessous d’environ $0.25{}^{\prime\prime}$ ; le même site n’a qu’une médiane de $0.9\,\mathrm{mm}$ de vapeur d’eau précipitable au-dessus de lui, ce qui ouvre ses fenêtres infrarouges.

## 2.2 Télescopes et résolution

Un télescope fait deux choses : il collecte la lumière sur la surface de son objectif, et il forme une image où les détails sont séparés. La surface collectrice croît comme $D^2$ : un miroir deux fois plus large recueille quatre fois plus de photons dans le même temps et atteint des étoiles quatre fois plus faibles. La résolution est limitée par la diffraction à environ $1.22\,\lambda/D$, et par le [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing).

**Exemple 2.7.**

Le télescope Canada–France–Hawaï du Mauna Kea a une ouverture de $3.58\,\mathrm{m}$. À $550\,\mathrm{nm}$, sa limite de diffraction est

$$
1.22\times\frac{550 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}}{3.58\,\mathrm{m}} = 1.87 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}
  = 0.039{}^{\prime\prime},
$$

dix fois plus fine que le [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) médian de $0.40{}^{\prime\prime}$ du même site. Les deux limites sont égales pour un miroir de diamètre $D = 1.22\lambda/\theta =
1.22\times550 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}/(0.40/206\,265) = 0.35\,\mathrm{m}$ : tout télescope au sol plus large qu’environ $35\,\mathrm{cm}$ est limité par le [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing), et non par sa propre optique, aux longueurs d’onde visibles.

Un grand télescope au sol gagne donc en surface collectrice, non en netteté, à moins de corriger la turbulence. L’*optique adaptative* le fait : un capteur mesure, plusieurs fois par seconde, la déformation du front d’onde d’une étoile brillante (ou d’une étoile artificielle créée par un laser dans la haute atmosphère), et un miroir mince, courbé par de nombreux petits actionneurs, annule la déformation. La correction marche mieux dans l’infrarouge, où la turbulence est plus lente et plus faible, et sur un petit champ autour de l’étoile guide. Dans l’espace, il n’y a pas de [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) du tout.

## 2.3 Détecteurs

L’œil intègre la lumière pendant une fraction de seconde et ne répond qu’à une petite fraction des photons qui y entrent. Les plaques photographiques intégraient pendant des heures mais n’enregistraient qu’une petite fraction de la lumière. L’astronomie moderne emploie des détecteurs de photons à semi-conducteurs, où chaque photon absorbé d’énergie suffisante libère un électron.

**Définition 2.8 (Rendement quantique, rapport signal sur bruit).**

Le *rendement quantique* $\eta$ d’un détecteur à une longueur d’onde donnée est la fraction des photons incidents qu’il enregistre, sous forme de photoélectrons : $\eta = N_\mathrm{e}/N_\gamma$. Le *rapport signal sur bruit* d’une mesure est le signal mesuré divisé par son écart type, taille typique de son erreur aléatoire.

Le *dispositif à transfert de charge* (CCD) est le détecteur standard de la fenêtre optique. C’est une mince plaquette de silicium divisée en une grille de pixels, chacun étant un puits de potentiel qui stocke les électrons libérés par les photons absorbés en lui pendant la pose. À la fin de la pose, des tensions appliquées en séquence aux électrodes déplacent les charges de pixel en pixel, ligne par ligne, vers un amplificateur unique qui les mesure une à une ; l’image est le tableau des comptages. Un CCD enregistre une grande fraction des photons incidents sur la majeure partie du visible, sa réponse est proportionnelle à la lumière reçue jusqu’à une charge maximale par pixel (sa *pleine capacité*), et il peut intégrer pendant des heures. Les matrices infrarouges fonctionnent sur le même principe avec d’autres semi-conducteurs, lues pixel par pixel.

Les photons arrivent au hasard. Si une source envoie en moyenne $N$ photoélectrons pendant une pose, le comptage effectivement enregistré fluctue d’une pose à l’autre avec l’écart type $\sqrt N$ (statistique de Poisson, admise en probabilités : les comptages d’événements rares et indépendants).

**Proposition 2.9 (Bruit de photons).**

Lorsque le bruit de photons de la source seule domine, une source donnant $R$ photoélectrons par seconde est mesurée en un temps $t$ avec le [rapport signal sur bruit](#def-b1-observing-the-sky-detector)

$$
\mathrm{SNR} = \frac{Rt}{\sqrt{Rt}} = \sqrt{Rt} ;
$$

il croît comme la racine carrée du temps de pose, et comme le diamètre du télescope (puisque $R \propto D^2$). L’erreur sur la magnitude est alors $\sigma_m \approx 1.086/\mathrm{SNR}$.

**Démonstration.** Le signal est $N = Rt$ et son écart type $\sqrt N$. Pour la magnitude, $m = -2.5\log_{10}N + \text{cste}$, donc une petite erreur $\sigma_N$ donne $\sigma_m = 2.5\log_{10}e\;\sigma_N/N = 1.086/\mathrm{SNR}$. ∎

Mesurer une magnitude à $0.01$ près exige un [rapport signal sur bruit](#def-b1-observing-the-sky-detector) d’environ 109, soit environ $12\,000$ photoélectrons. Pour les sources faibles, deux autres termes interviennent. Le ciel lui-même luit, et chaque pixel de l’image de l’étoile collecte aussi des photons du ciel, à un taux $B$ ; et l’amplificateur ajoute un bruit de lecture $\sigma_r$ à chaque pixel lu. L’expression complète,

$$
\mathrm{SNR} = \frac{Rt}{\sqrt{Rt + Bt + n\sigma_r^2}}
$$

sur les $n$ pixels de l’image, se réduit à $\sqrt{Rt}$ pour une étoile brillante et à $R\sqrt t/\sqrt B$ pour une source plus faible que le ciel. Comme $B$ croît avec l’aire du disque de [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing), un bon [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) paie deux fois : une image plus nette sépare mieux et collecte moins de ciel ([Exercice 2.11](#exo-b1-observing-the-sky-11)).

**Sur le terrain — Une nuit au télescope.**

La photométrie se fait avec des étalonnages autant qu’avec des étoiles. Avant la nuit, un observateur d’un observatoire professionnel prend des images de *biais* (poses de durée nulle, qui enregistrent le décalage électronique de chaque pixel) et des *champs plats* (images de l’intérieur uniformément éclairé de la coupole ou du ciel crépusculaire, qui cartographient la variation de sensibilité d’un pixel à l’autre et à travers le champ) ; les images scientifiques sont corrigées en soustrayant le biais et en divisant par le champ plat. Pendant la nuit, des étoiles standard de magnitudes connues sont observées à plusieurs [masses d’air](#def-b1-observing-the-sky-extinction) pour fixer la droite d’extinction et le point zéro qui convertit les comptages en magnitudes. Une nuit est dite *photométrique* lorsque l’extinction reste assez stable pour que cette correction tienne ; au sommet du Mauna Kea, $55\,\%$ des nuits sont photométriques.

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-observing-the-sky/img-e239fdb66796.jpg)

## 2.4 Flux et magnitudes

**Définition 2.10 (Flux, luminosité).**

Le *flux* $F$ reçu d’une source est la puissance de son rayonnement traversant une surface unité perpendiculaire à sa direction, en watts par mètre carré ; restreint à une bande de longueurs d’onde, c’est le flux dans cette bande. La *luminosité* $L$ de la source est la puissance totale qu’elle rayonne, en watts.

**Proposition 2.11 (Loi en inverse du carré de la distance).**

Une source de [luminosité](#def-b1-observing-the-sky-flux) $L$ rayonnant également dans toutes les directions, vue à une distance $d$ à travers le vide, donne le [flux](#def-b1-observing-the-sky-flux)

$$
F = \frac{L}{4\pi d^2} .
$$

**Démonstration.** En régime stationnaire et sans absorption, la puissance qui traverse toute sphère centrée sur la source est la même, $L$, par conservation de l’énergie. Par symétrie, elle se répartit uniformément sur l’aire de la sphère, $4\pi d^2$. ∎

**Exemple 2.12.**

La [luminosité](#def-b1-observing-the-sky-flux) du Soleil est de $3.828 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$. À une unité astronomique, $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, son [flux](#def-b1-observing-the-sky-flux) est $3.828 \times 10^{26}/(4\pi\times
(1.496 \times 10^{11})^2) = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ : l’irradiance solaire que la Terre reçoit au sommet de son atmosphère.

Les [flux](#def-b1-observing-the-sky-flux) couvrent un énorme intervalle, et les astronomes les comparent sur une échelle logarithmique héritée des classes dans lesquelles on rangeait jadis les étoiles visibles à l’œil nu, les plus brillantes de première grandeur, les plus faibles de sixième.

**Définition 2.13 (Magnitude apparente, bande photométrique).**

Une *bande photométrique* est un domaine de longueurs d’onde sélectionné par un filtre standard, désigné par une lettre : U (ultraviolet), B (bleu), V (visuel), R (rouge), I (proche infrarouge), et J, H, K dans les fenêtres de l’infrarouge. La *magnitude apparente* $m$ d’une source dans une bande est définie à partir de son [flux](#def-b1-observing-the-sky-flux) $F$ dans cette bande par

$$
m_1 - m_2 = -2.5\log_{10}\frac{F_1}{F_2} ,
$$

le point zéro étant fixé par des étoiles standard, proche de la magnitude de l’étoile Véga dans chaque bande. Une différence de 5 magnitudes correspond à un facteur exactement égal à 100 en [flux](#def-b1-observing-the-sky-flux) ; une magnitude est un facteur $100^{1/5} = 2.512$. Les sources plus brillantes ont des magnitudes plus petites, éventuellement négatives.

Les longueurs d’onde pivots des filtres standard U, B, V, R et I sont $358.5\,\mathrm{nm}$, $437.1\,\mathrm{nm}$, $547.8\,\mathrm{nm}$, $650.4\,\mathrm{nm}$ et $802.0\,\mathrm{nm}$.

Dans la bande V, le Soleil a la [magnitude apparente](#def-b1-observing-the-sky-magnitude) $-26.74$, Sirius, l’étoile la plus brillante du ciel nocturne, $-1.46$, et Véga $0.03$. Le Soleil est donc $10^{0.4\times(26.74 - 1.46)} = 1.29 \times 10^{10}$ fois plus brillant que Sirius dans notre ciel ; cela ne dit encore rien de celui des deux qui rayonne le plus, ce qui exige les distances.

### Parallaxe et parsec

Pendant que la Terre fait le tour du Soleil, une étoile proche semble se déplacer par rapport aux étoiles de fond, bien plus lointaines, en décrivant en un an une petite ellipse. Ce mouvement apparent est la mesure la plus directe des distances stellaires : il utilise l’orbite de la Terre comme base d’un arpenteur.

**Définition 2.14 (Parallaxe annuelle, parsec).**

La *parallaxe annuelle* $p$ d’une étoile est l’angle sous lequel on voit, depuis l’étoile, le rayon de l’orbite de la Terre, soit une unité astronomique, perpendiculairement à la ligne de visée ; c’est le demi-grand axe de l’ellipse annuelle que l’étoile semble décrire. Le *parsec* ($\mathrm{pc}$) est la distance à laquelle une unité astronomique sous-tend une seconde d’arc :

$$
1\,\mathrm{pc} = \frac{1\,\mathrm{au}}{\tan1{}^{\prime\prime}} = 206\,265\,\mathrm{au}
  = 3.0857 \times 10^{16}\,\mathrm{m} = 3.2616\,\mathrm{ly} .
$$

Comme $p$ est minuscule, $\tan p \approx p$ en radians, et la distance s’ensuit aussitôt :

$$
d = \frac{1\,\mathrm{au}}{\tan p} \quad\Longrightarrow\quad
  \frac{d}{\mathrm{pc}} = \frac{1}{p/\text{arcsec}} .
$$

Sirius a une parallaxe de $0.379\,21{}^{\prime\prime}$, donc se trouve à $1/0.37921 =
2.637\,\mathrm{pc}$, soit $8.60\,\mathrm{ly}$. Même les étoiles les plus proches ont des parallaxes inférieures à une seconde d’arc, plus petites que le [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) : la parallaxe se déduit du déplacement du centre de l’image de l’étoile, que de nombreux photons localisent bien plus précisément que la largeur de l’image. Une mission spatiale décrite à la fin de ce chapitre a mesuré ainsi les positions de près de deux milliards d’objets.

![Parallaxe annuelle (hors échelle) : vue depuis l’étoile, le rayon de l’orbite de la Terre sous-tend l’angle p. À six mois d’intervalle, la direction de l’étoile diffère de 2p. L’angle réel pour l’étoile la plus proche est inférieur à une seconde d’arc.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-observing-the-sky/fig-73733aca6464.svg)

*[Parallaxe annuelle](#def-b1-observing-the-sky-parallax) (hors échelle) : vue depuis l’étoile, le rayon de l’orbite de la Terre sous-tend l’angle $p$. À six mois d’intervalle, la direction de l’étoile diffère de $2p$. L’angle réel pour l’étoile la plus proche est inférieur à une seconde d’arc.*

**Définition 2.15 (Magnitude absolue, module de distance).**

La *magnitude absolue* $M$ d’une étoile dans une bande est la [magnitude apparente](#def-b1-observing-the-sky-magnitude) qu’elle aurait à la distance de $10\,\mathrm{pc}$, vue à travers le vide. La différence $m - M$ est son *module de distance*.

**Proposition 2.16 (Le module de distance).**

Pour une étoile à la distance $d$ vue à travers le vide,

$$
m - M = 5\log_{10}\frac{d}{10\,\mathrm{pc}} .
$$

Si la lumière est affaiblie en chemin par $A$ magnitudes d’extinction, $m - M = 5\log_{10}(d/10\,\mathrm{pc}) + A$. Dans une bande, le rapport des [luminosités](#def-b1-observing-the-sky-flux) de deux étoiles est $L_1/L_2 = 10^{0.4(M_2 - M_1)}$.

**Démonstration.** D’après la loi en inverse du carré, le [flux](#def-b1-observing-the-sky-flux) à $d$ et le [flux](#def-b1-observing-the-sky-flux) à $10\,\mathrm{pc}$ sont dans le rapport $F(d)/F(10\,\mathrm{pc}) = (10\,\mathrm{pc}/d)^2$. La définition des magnitudes donne $m - M = -2.5\log_{10}(10\,\mathrm{pc}/d)^2
= 5\log_{10}(d/10\,\mathrm{pc})$. L’extinction multiplie le [flux](#def-b1-observing-the-sky-flux) par $10^{-0.4A}$, ce qui ajoute $A$ à $m$. À la distance commune de $10\,\mathrm{pc}$, les [flux](#def-b1-observing-the-sky-flux) sont dans le rapport des [luminosités](#def-b1-observing-the-sky-flux), et $M_1 - M_2 = -2.5\log_{10}(L_1/L_2)$. ∎

Le Soleil a la [magnitude absolue](#def-b1-observing-the-sky-absolute) $M_\odot = 4.83$ et la [luminosité](#def-b1-observing-the-sky-flux) $3.828 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$. En comparant la [magnitude absolue](#def-b1-observing-the-sky-absolute) d’une étoile dans V à celle du Soleil, on obtient sa [luminosité](#def-b1-observing-the-sky-flux) dans V en unités solaires, $L/L_\odot = 10^{0.4(4.83 - M)}$ — une [luminosité](#def-b1-observing-the-sky-flux) *en bande V*, car une étoile bien plus chaude ou plus froide que le Soleil met une part différente de sa puissance en dehors de la bande V.

### Couleur

**Définition 2.17 (Indice de couleur).**

L’*indice de couleur* d’une étoile est la différence de ses magnitudes dans deux bandes, la plus bleue en premier ; le plus utilisé est $B - V$. Un $B - V$ petit ou négatif marque une étoile bleue, une valeur grande une étoile rouge.

L’[indice de couleur](#def-b1-observing-the-sky-colour-index) ne dépend pas de la distance, puisque la loi en inverse du carré affaiblit les deux bandes de la même façon ; il mesure la forme du spectre, donc la température de la surface de l’étoile. Une étoile rayonne à peu près comme un corps noir dont le spectre culmine à $\lambda_\mathrm{max} = b/T$ (loi de Wien, avec $b = 2.898 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$, admise du volume de physique de deuxième année). La figure ci-dessous trace trois spectres de corps noir : un corps froid à $3500\,\mathrm{K}$ culmine dans le proche infrarouge et donne plus de [flux](#def-b1-observing-the-sky-flux) dans V que dans B ; la température effective du Soleil, $5772\,\mathrm{K}$, place son maximum à $502\,\mathrm{nm}$, entre B et V ; un corps à $10\,000\,\mathrm{K}$ culmine dans l’ultraviolet et est plus brillant dans B que dans V. Le rapport des luminances B et V croît régulièrement avec la température, de $0.46$ à $0.97$ puis $1.53$ pour les trois courbes, ce qui explique que $B - V$ diminue quand $T$ augmente.

![Spectres de corps noir à trois températures, chacun divisé par son propre maximum, avec les longueurs d’onde pivots des filtres U, B, V, R et I (en tirets). Le maximum se déplace vers les courtes longueurs d’onde quand la température augmente (loi de Wien) : 828\, nm, 502\, nm et 290\, nm.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-observing-the-sky/fig-06376f2f84e6.svg)

*Spectres de corps noir à trois températures, chacun divisé par son propre maximum, avec les longueurs d’onde pivots des filtres U, B, V, R et I (en tirets). Le maximum se déplace vers les courtes longueurs d’onde quand la température augmente (loi de Wien) : $828\,\mathrm{nm}$, $502\,\mathrm{nm}$ et $290\,\mathrm{nm}$.*

Quatre étoiles brillantes montrent l’éventail des couleurs :

| étoile | $V$ | $B$ | $B - V$ | parallaxe ($\mathrm{mas}$) |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| Rigel | 0.13 | 0.10 | $-0.03$ | 3.78 |
| Altaïr | 0.76 | 0.98 | 0.22 | 194.95 |
| Polaris | 2.02 | 2.62 | 0.60 | 7.54 |
| Bételgeuse | 0.42 | 2.27 | 1.85 | 6.55 |

Rigel est blanc-bleu et Bételgeuse, dans la même constellation, orange-rouge : une différence de couleur visible à l’œil nu. Leurs types spectraux, B8 et M1–M2, disent la même chose dans le langage des spectres, objet du volume de troisième année.

## 2.5 Spectrographes

La photométrie mesure la lumière dans quelques larges bandes ; un spectrographe l’étale en un spectre. La lumière issue du foyer du télescope traverse une fente étroite, est rendue parallèle par un collimateur, est dispersée par un réseau (ou un prisme) et est focalisée par une caméra sur un détecteur, où chaque longueur d’onde tombe sur une colonne de pixels différente (voir la figure ci-dessous). Un réseau dont $N$ traits sont éclairés, utilisé à l’ordre $k$, sépare deux longueurs d’onde distantes de $\Delta\lambda$ lorsque $\lambda/\Delta\lambda \le kN$, son pouvoir de résolution (rappelé du volume de physique de deuxième année).

![Le trajet de la lumière dans un télescope et un spectrographe à réseau (schématique, l’objectif du télescope et les optiques étant dessinés comme des lentilles, avec deux longueurs d’onde) : la fente isole l’image de l’étoile, le collimateur rend le faisceau parallèle, le réseau le disperse, et la caméra focalise chaque longueur d’onde en un point propre du détecteur.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-observing-the-sky/fig-b5160452bd07.svg)

*Le trajet de la lumière dans un télescope et un spectrographe à réseau (schématique, l’objectif du télescope et les optiques étant dessinés comme des lentilles, avec deux longueurs d’onde) : la fente isole l’image de l’étoile, le collimateur rend le faisceau parallèle, le réseau le disperse, et la caméra focalise chaque longueur d’onde en un point propre du détecteur.*

Un spectre porte trois sortes d’information. Ses *raies*, sombres là où les atomes et les ions de l’atmosphère de l’étoile absorbent, brillantes là où un gaz chaud et ténu émet, identifient les éléments chimiques présents. La forme de son continuum, et les intensités relatives de raies formées à des températures différentes, donnent la température du gaz. Et le décalage Doppler des raies donne la vitesse le long de la ligne de visée : une raie de longueur d’onde au repos $\lambda$ est décalée de $\Delta\lambda = \lambda v_r/c$ pour une vitesse radiale $v_r$ très inférieure à $c$. Mesurer $v_r$ à $1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ exige un pouvoir de résolution de l’ordre de $c/v_r = 300\,000$, ou bien un pouvoir de résolution modéré et de nombreuses raies mesurées ensemble. La façon dont les spectres révèlent la structure, la composition et les mouvements des étoiles et des galaxies fait l’objet du volume de troisième année.

## 2.6 Observer depuis l’espace

Au-dessus de l’atmosphère, il n’y a ni fenêtre fermée, ni extinction, ni [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing), et, dans l’infrarouge, plus de lueur d’air tiède. Les télescopes spatiaux paient cet avantage par leur coût, par la masse et la taille limitées qu’une fusée peut lancer, et, pour la plupart, par l’impossibilité de les réparer. On les emploie là où le sol ne peut rivaliser : pour les rayons gamma, les rayons X et l’ultraviolet, qui n’atteignent jamais le sol ; pour l’infrarouge au-delà des fenêtres étroites ; pour des images à la limite de diffraction sur un grand champ ; et pour des mesures, comme les parallaxes d’un très grand nombre d’étoiles, qui exigent un instrument stable hors de l’air turbulent.

**Chiffres de 2026.**

Trois observatoires spatiaux montrent l’éventail. Le télescope spatial Hubble, lancé en 1990, a un miroir primaire de $2.4\,\mathrm{m}$ de diamètre. Le télescope spatial James Webb, lancé le 25 décembre 2021, a un miroir primaire de $6.5\,\mathrm{m}$ de diamètre formé de 18 segments hexagonaux, pour une surface collectrice de $25\,\mathrm{m}^{2}$ ; il travaille de $0.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ à $28.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ et gravite autour du Soleil près du deuxième point de Lagrange, L2, à $1.5$ million de kilomètres de la Terre, du côté opposé au Soleil. Gaia, lancé le 19 décembre 2013 vers la même région, a utilisé deux télescopes sur un plan focal commun de CCD pour cartographier en trois dimensions les positions et les mouvements de près de deux milliards d’objets ; ses observations sont terminées, et ses catalogues sont en cours de publication.

![Six des 18 segments hexagonaux du miroir primaire du télescope spatial James Webb, préparés pour un essai à froid en 2011 ; ensemble, déployés dans l’espace, les 18 forment un miroir de 6.5\, m de large. Photographie NASA/MSFC/David Higginbotham, domaine public.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-observing-the-sky/img-51270ec2f6e4.jpg)

*Six des 18 segments hexagonaux du miroir primaire du télescope spatial James Webb, préparés pour un essai à froid en 2011 ; ensemble, déployés dans l’espace, les 18 forment un miroir de $6.5\,\mathrm{m}$ de large. Photographie NASA/MSFC/David Higginbotham, domaine public.*

## 2.7 Exercices

**Exercice 2.1 ★.**

Quel est le rapport des [flux](#def-b1-observing-the-sky-flux) de deux étoiles de magnitudes 1.0 et 6.0 ? De Rigel ($V = 0.13$) et de Polaris ($V = 2.02$) ? Laquelle est la plus brillante dans le ciel ?

**Solution de Exercice 2.1.**

Une différence de 5 magnitudes est un facteur 100 : l’étoile de magnitude 1.0 envoie 100 fois plus de [flux](#def-b1-observing-the-sky-flux). Rigel et Polaris : $10^{0.4\times(2.02 - 0.13)} =
10^{0.756} = 5.70$ ; Rigel, de plus petite magnitude, est la plus brillante.

**Exercice 2.2 ★.**

La parallaxe d’Altaïr est de $0.194\,95{}^{\prime\prime}$. Donner sa distance en [parsecs](#def-b1-observing-the-sky-parallax), en unités astronomiques et en années-lumière.

**Solution de Exercice 2.2.**

$d = 1/0.19495 = 5.13\,\mathrm{pc}$, soit $5.1295\times206265 =
1.058 \times 10^{6}\,\mathrm{au}$ et $5.1295\times3.2616 = 16.7\,\mathrm{ly}$.

**Exercice 2.3 ★.**

Calculer la limite de diffraction d’un télescope spatial de $2.4\,\mathrm{m}$ à $550\,\mathrm{nm}$, en secondes d’arc, et la comparer à un [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) de $0.40{}^{\prime\prime}$. Faire de même pour un télescope de $6.5\,\mathrm{m}$ à $2.0\,\text{µ}\mathrm{m}$.

**Solution de Exercice 2.3.**

$1.22\times550 \times 10^{-9}/2.4 = 2.80 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad} = 0.058{}^{\prime\prime}$, soit environ sept fois mieux qu’un [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) de $0.40{}^{\prime\prime}$ : dans l’espace, le télescope atteint sa limite de diffraction. Pour $6.5\,\mathrm{m}$ à $2.0\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $1.22\times2.0 \times 10^{-6}/6.5 = 3.75 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad} = 0.077{}^{\prime\prime}$.

**Exercice 2.4 ★.**

À partir du tableau des quatre étoiles brillantes, classer Rigel, Altaïr, Polaris et Bételgeuse de la surface la plus chaude à la plus froide. Pourquoi peut-on comparer l’[indice de couleur](#def-b1-observing-the-sky-colour-index) entre des étoiles à des distances très différentes ?

**Solution de Exercice 2.4.**

$B - V$ croît de Rigel ($-0.03$) à Altaïr (0.22), Polaris (0.60) et Bételgeuse (1.85) : la plus chaude est Rigel, puis Altaïr, Polaris et Bételgeuse. La distance affaiblit les deux bandes du même facteur, donc $B - V$ n’en est pas modifié (tant qu’aucune poussière ne rougit la lumière en chemin).

**Exercice 2.5 ★★.**

Une étoile est mesurée à la magnitude 6.412 à la distance zénithale $30{}^{\circ}$ et à 6.590 à $60{}^{\circ}$ la même nuit. En supposant une atmosphère plan-parallèle, calculer les deux [masses d’air](#def-b1-observing-the-sky-extinction), le coefficient d’extinction et la magnitude de l’étoile au-dessus de l’atmosphère.

**Solution de Exercice 2.5.**

$X_1 = \sec30{}^{\circ} = 1.1547$, $X_2 = \sec60{}^{\circ} = 2.0000$. $k = (6.590 - 6.412)/(2.0000 - 1.1547) = 0.178/0.8453 = 0.211$ par [masse d’air](#def-b1-observing-the-sky-extinction), et $m_0 = 6.412 - 0.2106\times1.1547 = 6.169$.

**Exercice 2.6 ★★.**

Une étoile donne 400 photoélectrons en une pose de $10\,\mathrm{s}$, et le bruit de photons de l’étoile seule domine. Quel est le [rapport signal sur bruit](#def-b1-observing-the-sky-detector) ? Quelle durée de pose faut-il pour atteindre un [rapport signal sur bruit](#def-b1-observing-the-sky-detector) de 100 ? Pour mesurer la magnitude à $0.01$ ?

**Solution de Exercice 2.6.**

$\mathrm{SNR} = \sqrt{400} = 20$. Le [rapport signal sur bruit](#def-b1-observing-the-sky-detector) croît comme $\sqrt t$ : pour 100, $t = 10\,\mathrm{s}\times(100/20)^2 = 250\,\mathrm{s}$. Une erreur de $0.01$ magnitude exige $\mathrm{SNR} = 1.086/0.01 = 108.6$, donc $t = 10\times(108.6/20)^2 = 295\,\mathrm{s}$.

**Exercice 2.7 ★★.**

Rigel a $V = 0.13$ et une parallaxe de $0.003\,78{}^{\prime\prime}$. En négligeant l’extinction entre Rigel et nous, calculer sa distance, sa [magnitude absolue](#def-b1-observing-the-sky-absolute) et sa [luminosité](#def-b1-observing-the-sky-flux) en bande V en unités solaires ($M_\odot = 4.83$).

**Solution de Exercice 2.7.**

La distance est $d = 1/0.00378 = 264.6\,\mathrm{pc}$, et la [magnitude absolue](#def-b1-observing-the-sky-absolute) $M = 0.13 - 5\log_{10}26.46 = 0.13 - 7.11 = -6.98$. $L/L_\odot = 10^{0.4\times(4.83 + 6.98)} =
10^{4.724} = 5.3 \times 10^{4}$ dans V.

**Exercice 2.8 ★★.**

Comparer les surfaces collectrices d’un miroir circulaire de $2.4\,\mathrm{m}$ (en ignorant son obstruction centrale) et du télescope Webb ($25\,\mathrm{m}^{2}$). De combien la pose pendant laquelle le télescope Webb recueille le même nombre de photons est-elle plus courte ? Quelle fraction d’un disque plein de $6.5\,\mathrm{m}$ de diamètre sa surface collectrice représente-t-elle, et pourquoi est-elle inférieure à un ?

**Solution de Exercice 2.8.**

$\pi\times1.2^2 = 4.52\,\mathrm{m}^{2}$, et $25/4.52 = 5.5$ : le télescope Webb recueille le même nombre de photons en une pose 5.5 fois plus courte. Un disque plein de $6.5\,\mathrm{m}$ de diamètre aurait $\pi\times3.25^2 = 33.2\,\mathrm{m}^{2}$ ; le miroir réel en a $25/33.2 = 75\,\%$, car 18 hexagones laissent découvert le bord de ce disque et les interstices entre segments et l’ouverture centrale ne recueillent rien.

**Exercice 2.9 ★★.**

(a) À partir de la [luminosité](#def-b1-observing-the-sky-flux) du Soleil, $3.828 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$, calculer son [flux](#def-b1-observing-the-sky-flux) à $10\,\mathrm{pc}$. (b) Les [magnitudes apparente](#def-b1-observing-the-sky-magnitude) et absolue du Soleil sont $-26.74$ et $4.83$. Utiliser le [module de distance](#def-b1-observing-the-sky-absolute) pour retrouver la distance Soleil–Terre, en unités astronomiques.

**Solution de Exercice 2.9.**

(a) $10\,\mathrm{pc} = 3.0857 \times 10^{17}\,\mathrm{m}$, et $F = 3.828 \times 10^{26}/(4\pi
\times(3.0857 \times 10^{17})^2) = 3.828 \times 10^{26}/1.1965 \times 10^{36} =
3.20 \times 10^{-10}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $1361/3.20 \times 10^{-10} = 4.3 \times 10^{12}$ fois moins qu’à la Terre. (b) $5\log_{10}(d/10\,\mathrm{pc}) = -26.74 - 4.83 = -31.57$, donc $d = 10\,\mathrm{pc}\times10^{-6.314} = 4.853 \times 10^{-6}\,\mathrm{pc}$, soit $4.853 \times 10^{-6}\times206265 = 1.001\,\mathrm{au}$.

**Exercice 2.10 ★★★.**

Montrer à partir de la [Proposition 2.2](#prop-b1-observing-the-sky-bouguer) que $k =
2.5\log_{10}e\;\tau_0$. Pour la nuit de la droite d’extinction ($k =
0.160$), calculer l’épaisseur optique au [zénith](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) $\tau_0$ et la fraction de la lumière qui atteint le télescope au [zénith](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) et pour $X = 2.31$. Quelle [masse d’air](#def-b1-observing-the-sky-extinction) prédirait une atmosphère plan-parallèle à une distance zénithale de $85{}^{\circ}$, et pourquoi ne faut-il pas se fier à cette valeur ?

**Solution de Exercice 2.10.**

Au-dessus de toute l’atmosphère le [flux](#def-b1-observing-the-sky-flux) est $F_0$ ; au-dessous, $F = F_0e^{-\tau_0X}$. Alors $m - m_0 = -2.5\log_{10}(F/F_0) = 2.5\log_{10}e\;\tau_0X$, ce qui est $kX$ avec $k = 2.5\log_{10}e\;\tau_0 = 1.0857\,\tau_0$. Pour $k = 0.160$ : $\tau_0 = 0.160/1.0857 = 0.147$. Au [zénith](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere), $e^{-0.147} = 0.863$ de la lumière arrive, soit $86\,\%$ ; pour $X = 2.31$, $e^{-0.147\times2.31} =
e^{-0.340} = 0.712$, soit $71\,\%$. Pour $z = 85{}^{\circ}$, $\sec z =
11.5$ ; mais le modèle plan-parallèle rend le trajet infini à l’horizon, alors que le trajet à travers une atmosphère courbe reste fini, et la réfraction courbe aussi le rayon : près de l’horizon, la formule surestime la [masse d’air](#def-b1-observing-the-sky-extinction) et ses erreurs croissent vite.

**Exercice 2.11 ★★★.**

Une galaxie faible donne $R = 50$ photoélectrons par seconde dans un télescope, et le ciel dans l’aire de son image en donne $B = 2000$ par seconde quand le [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) est de $0.80{}^{\prime\prime}$. Le bruit de lecture est négligeable. (a) Combien de temps faut-il poser pour un [rapport signal sur bruit](#def-b1-observing-the-sky-detector) de 10 ? (b) Le ciel dans l’image croît comme l’aire du disque de [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing). Recommencer pour un [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) de $0.40{}^{\prime\prime}$. (c) Montrer que, pour une source très inférieure au ciel, le temps de pose nécessaire pour un [rapport signal sur bruit](#def-b1-observing-the-sky-detector) donné varie comme $\theta^2/D^2$, où $\theta$ est le [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) et $D$ le diamètre du télescope.

**Solution de Exercice 2.11.**

(a) $\mathrm{SNR} = Rt/\sqrt{(R + B)t}$, donc $t = \mathrm{SNR}^2(R + B)/R^2
= 100\times2050/2500 = 82\,\mathrm{s}$. (b) Diviser le [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) par deux divise par 4 l’aire de l’image, donc $B$ : $B = 500$ et $t = 100\times550/2500 =
22\,\mathrm{s}$. (c) Pour $B \gg R$, $t \approx \mathrm{SNR}^2B/R^2$. Le taux de la source $R$ croît comme $D^2$ ; le taux du ciel $B$ croît comme la surface collectrice $D^2$ fois l’aire de ciel de l’image, $\theta^2$. Donc $t \propto
\theta^2D^2/D^4 = \theta^2/D^2$ : diviser le [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) par deux vaut autant que doubler le diamètre.

**Exercice 2.12 ★★★.**

Un réseau de 1200 traits par millimètre est éclairé sur $100\,\mathrm{mm}$ et utilisé au premier ordre. (a) Quel est son pouvoir de résolution, et la plus petite différence de longueur d’onde séparable à $550\,\mathrm{nm}$ ? (b) À quelle vitesse radiale cette différence correspond-elle ? (c) La Terre se déplace autour du Soleil à $29.78\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. De combien ce mouvement peut-il décaler une raie à $550\,\mathrm{nm}$, et à combien d’éléments de résolution cela correspond-il ? Que doit donc faire un observateur qui mesure la vitesse d’une étoile ?

**Solution de Exercice 2.12.**

(a) $N = 1200\times100 = 120\,000$ traits ; au premier ordre, le pouvoir de résolution est $1.2 \times 10^{5}$, et $\Delta\lambda = 550/(1.2 \times 10^{5}) =
4.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm}$. (b) $v = c\,\Delta\lambda/\lambda = c/(1.2 \times 10^{5}) =
2.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) $\Delta\lambda = 550\times29.78/299\,792 =
0.055\,\mathrm{nm}$, soit environ 12 éléments de résolution. L’observateur doit calculer, pour la date et l’heure de l’observation, la composante de la vitesse orbitale de la Terre vers l’étoile, et la soustraire, pour obtenir la vitesse de l’étoile par rapport au Soleil.

## 2.8 Problème : Peser la lumière de Sirius

**Problème 2.1.**

Problème du week-end — la distance de Sirius, son éclat et le nombre de photons qu’il envoie, et combien de soleils il éclipse

Sirius, l’étoile la plus brillante du ciel nocturne, a un compagnon faible, la naine blanche Sirius B. On utilise les données :

| astre | $V$ | parallaxe |
| --- | --- | --- |
| Sirius | $-1.46$ | $0.379\,21{}^{\prime\prime}$ |
| Sirius B | $8.44$ | — |
| Véga | $0.03$ | $0.130\,23{}^{\prime\prime}$ |
| le Soleil | $-26.74$ | — |

avec $M_\odot = 4.83$ dans V, $1\,\mathrm{pc} = 206\,265\,\mathrm{au} =
3.0857 \times 10^{16}\,\mathrm{m} = 3.2616\,\mathrm{ly}$, et un coefficient d’extinction $k = 0.15$ par [masse d’air](#def-b1-observing-the-sky-extinction) à l’observatoire.

**Partie I — À quelle distance est Sirius ?**

1. Calculer la distance de Sirius en [parsecs](#def-b1-observing-the-sky-parallax) .
2. L’exprimer en unités astronomiques et en mètres.
3. L’exprimer en années-lumière. Il y a combien de temps la lumière que nous voyons ce soir a-t-elle quitté Sirius ?
4. Sur une année, de quel angle total la direction de Sirius oscille-t-elle d’un côté à l’autre ? Le comparer à un [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) de $0.40{}^{\prime\prime}$ . Pourquoi cette oscillation peut-elle pourtant être mesurée à une petite fraction du [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) ?
5. Si la parallaxe était erronée de $0.001{}^{\prime\prime}$ , de quelle fraction la distance serait-elle erronée, et de combien d’années-lumière ?

**Partie II — Quel éclat a-t-il ?**

6. Calculer le rapport des [flux](#def-b1-observing-the-sky-flux) de Sirius et de Véga dans V.
7. Calculer le rapport des [flux](#def-b1-observing-the-sky-flux) du Soleil et de Sirius.
8. Calculer le rapport des [flux](#def-b1-observing-the-sky-flux) de Sirius et de Sirius B.
9. Depuis l’observatoire du Paranal, Sirius traverse le méridien à une hauteur de $82.09{}^{\circ}$ ( [Chapitre 1](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#ch-b1-spherical-astronomy) ). Calculer la [masse d’air](#def-b1-observing-the-sky-extinction) , l’extinction et la magnitude mesurée à cet instant.
10. Recommencer à une hauteur de $30{}^{\circ}$ . Quelle fraction de la lumière est perdue en chemin ?
11. Pourquoi la formule $X = \sec z$ tromperait-elle un observateur qui mesure Sirius juste après son lever ?

**Partie III — Compter les photons.** Une caméra montée sur un télescope de $1\,\mathrm{m}$ enregistre $3.0 \times 10^{4}$ photoélectrons par seconde d’une étoile de magnitude $V = 10.0$, une fois corrigée de l’extinction. Chaque pixel contient au plus $1.0 \times 10^{5}$ électrons (sa pleine capacité).

12. Combien de photoélectrons par seconde la caméra enregistre-t-elle de Sirius B ?
13. Quelle durée de pose donne à Sirius B un [rapport signal sur bruit](#def-b1-observing-the-sky-detector) de 1000, avec le seul bruit de photons de l’étoile ? Quelle est alors l’erreur sur sa magnitude ?
14. Combien de photoélectrons par seconde la caméra enregistre-t-elle de Sirius ?
15. Si $20\,\%$ de la lumière de Sirius tombe dans son pixel le plus brillant, combien de temps ce pixel met-il à se remplir ?
16. Sur l’image, les faibles ailes de l’image de Sirius déposent, à l’emplacement de Sirius B, $10^{-4}$ de la lumière de Sirius par pixel, et le pixel le plus brillant de Sirius B recueille $20\,\%$ de sa propre lumière. Comparer les deux taux dans ce pixel.
17. Quelle est la plus longue pose qui ne sature pas ce pixel ? Calculer le [rapport signal sur bruit](#def-b1-observing-the-sky-detector) de Sirius B dans ce pixel pour une pose de $0.5\,\mathrm{s}$ , en comptant le bruit de photons des deux sources. Sirius B est-il détectable, et qu’est-ce qui rend la détection difficile ?

**Partie IV — Combien de soleils ?**

18. Calculer le [module de distance](#def-b1-observing-the-sky-absolute) de Sirius.
19. En déduire la [magnitude absolue](#def-b1-observing-the-sky-absolute) de Sirius dans V, à deux décimales.
20. Calculer la distance et la [magnitude absolue](#def-b1-observing-the-sky-absolute) de Véga.
21. Lequel de Sirius et de Véga est intrinsèquement le plus lumineux dans V, et d’un facteur combien ?
22. Quelle serait la [magnitude apparente](#def-b1-observing-the-sky-magnitude) du Soleil vu à la distance de Sirius ? En prenant 6.0 comme magnitude la plus faible visible à l’œil nu par nuit noire, serait-il visible ?
23. Jusqu’à quelle distance Sirius resterait-il visible à l’œil nu ?
24. Calculer la [luminosité](#def-b1-observing-the-sky-flux) de Sirius en bande V en unités solaires : combien de soleils Sirius éclipse-t-il ?

**Solution de Problème 2.1.**

**1.** $d = 1/0.37921 = 2.637\,\mathrm{pc}$.

**2.** $2.637\times206265 = 5.44 \times 10^{5}\,\mathrm{au}$; $2.637\times3.0857 \times 10^{16} = 8.14 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$.

**3.** $2.637\times3.2616 = 8.60\,\mathrm{ly}$ : la lumière a quitté Sirius il y a 8.6 ans.

**4.** La direction oscille de $2p = 0.758{}^{\prime\prime}$, soit environ deux fois le [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing). L’oscillation se mesure à partir de la position du centre de l’image, non de son bord : en moyenne sur de nombreux photons, le centre est trouvé à une petite fraction de la largeur de l’image, d’autant plus précisément que l’on compte plus de photons.

**5.** $\Delta d/d = \Delta p/p = 0.001/0.37921 = 0.26\,\%$, soit $8.60\times0.0026 = 0.023\,\mathrm{ly}$.

**6.** $10^{0.4\times(0.03 + 1.46)} = 10^{0.596} = 3.94$.

**7.** $10^{0.4\times(26.74 - 1.46)} = 10^{10.112} = 1.29 \times 10^{10}$.

**8.** $10^{0.4\times(8.44 + 1.46)} = 10^{3.96} = 9120$.

**9.** $z = 90{}^{\circ} - 82.09{}^{\circ} = 7.91{}^{\circ}$, $X = \sec7.91{}^{\circ} =
1.0096$ ; extinction $0.15\times1.0096 = 0.151$ magnitude ; magnitude mesurée $m = -1.46 + 0.151 = -1.31$.

**10.** $z = 60{}^{\circ}$, $X = 2.000$ ; extinction 0.30 magnitude, $m = -1.16$. La fraction transmise est $10^{-0.4\times0.30} = 0.759$ : $24\,\%$ de la lumière est perdue.

**11.** Au lever, $z = 90{}^{\circ}$ et $\sec z$ est infini, alors que le trajet réel à travers l’atmosphère courbe est long mais fini ; la réfraction courbe aussi le rayon. Près de l’horizon, l’extinction est grande et change vite, et la correction plan-parallèle est fausse.

**12.** $3.0 \times 10^{4}\times10^{0.4\times(10.0 - 8.44)} = 3.0 \times 10^{4}
\times10^{0.624} = 3.0 \times 10^{4}\times4.21 = 1.26 \times 10^{5}$ photoélectrons par seconde.

**13.** Un [rapport signal sur bruit](#def-b1-observing-the-sky-detector) de 1000 exige $N = 1000^2 = 1.0 \times 10^{6}$ photoélectrons : $t = 1.0 \times 10^{6}/1.26 \times 10^{5} = 7.9\,\mathrm{s}$. L’erreur sur la magnitude est $1.086/1000 = 0.0011$.

**14.** $3.0 \times 10^{4}\times10^{0.4\times(10.0 + 1.46)} = 3.0 \times 10^{4}
\times10^{4.584} = 1.15 \times 10^{9}$ photoélectrons par seconde.

**15.** $0.20\times1.15 \times 10^{9} = 2.30 \times 10^{8}$ par seconde dans le pixel le plus brillant, qui se remplit en $1.0 \times 10^{5}/2.30 \times 10^{8} =
4.3 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$, soit moins d’une demi-milliseconde.

**16.** Les ailes de Sirius donnent $1.15 \times 10^{9}\times10^{-4} =
1.15 \times 10^{5}$ par seconde ; Sirius B donne $0.20\times1.26 \times 10^{5} =
2.52 \times 10^{4}$ par seconde. L’éblouissement de Sirius est 4.6 fois plus brillant que le pic de Sirius B.

**17.** Le pixel reçoit $1.15 \times 10^{5} + 2.52 \times 10^{4} = 1.40 \times 10^{5}$ par seconde et se remplit en $1.0 \times 10^{5}/1.40 \times 10^{5} = 0.71\,\mathrm{s}$. En $0.5\,\mathrm{s}$ : signal $2.52 \times 10^{4}\times0.5 = 1.26 \times 10^{4}$, total $7.01 \times 10^{4}$, bruit $\sqrt{7.01 \times 10^{4}} = 265$, donc $\mathrm{SNR} =
1.26 \times 10^{4}/265 = 48$. Sirius B est détectable en ce qui concerne le bruit de photons ; la difficulté tient à ce qu’il faut connaître et soustraire l’éblouissement avec une précision bien meilleure qu’un cinquième de sa valeur, alors que le cœur de Sirius sature en moins d’une milliseconde.

**18.** $m - M = 5\log_{10}(2.637/10) = 5\times(-0.579) = -2.89$.

**19.** $M = -1.46 + 2.89 = 1.43$.

**20.** $d = 1/0.13023 = 7.679\,\mathrm{pc}$ ; $m - M = 5\log_{10}0.7679 = -0.57$, donc $M = 0.03 + 0.57 = 0.60$.

**21.** Véga, de plus petite [magnitude absolue](#def-b1-observing-the-sky-absolute), d’un facteur $10^{0.4\times(1.43 - 0.60)} = 10^{0.332} = 2.15$. Sirius paraît plus brillant seulement parce qu’il est plus proche.

**22.** $m = M_\odot + (m - M) = 4.83 - 2.89 = 1.94$ : le Soleil serait une étoile assez brillante à l’œil nu.

**23.** $5\log_{10}(d/10\,\mathrm{pc}) = 6.0 - 1.43 = 4.57$, donc $d = 10\times10^{0.914} = 82.0\,\mathrm{pc}$, soit environ $267\,\mathrm{ly}$.

**24.** $L/L_\odot = 10^{0.4\times(4.83 - 1.43)} = 10^{1.36} = 22.9$ : dans la bande V, Sirius éclipse **environ 23 soleils**.