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title: "Le rayonnement et le transport de chaleur"
book: "Sciences de la Terre et de l’Univers à l’université — 1re année"
subject: earth
language: fr
chapter: 27
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/27-le-rayonnement-et-le-transport-de-chaleur
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Chapitre 27 — Le rayonnement et le transport de chaleur

À un million de milles, la face éclairée de la Terre est un disque de mer bleue, de terre brune et de nuages blancs. La lumière du Soleil tombe le plus directement au milieu du disque, près des tropiques, et rase ses bords ; les tropiques absorbent bien plus d’énergie que les régions polaires. Pourtant les tropiques ne se réchauffent pas d’année en année, ni les pôles ne se refroidissent. Les vents et les courants océaniques portent l’excédent vers les pôles, plusieurs pétawatts. Ce chapitre mesure les trois termes de ce bilan : la lumière solaire que reçoit chaque [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic), la part qu’elle garde et l’infrarouge qu’elle renvoie vers l’espace, et le transport qui compense la différence. Une grande part du transport voyage sous une forme invisible, la vapeur d’eau, dont la chaleur latente est libérée partout où elle se condense en pluie.

![Tout le côté éclairé de la Terre, photographié le 6 juillet 2015 par une caméra du Deep Space Climate Observatory, à un million de milles ; l’Amérique du Nord et centrale sont au milieu, avec les mers peu profondes turquoise des Caraïbes. Deux semaines après le solstice de juin l’Arctique, en haut, est éclairé jour et nuit. Les nuages brillants réfléchissent une grande part de la lumière qui les atteint ; la teinte bleutée est de la lumière solaire diffusée par les molécules de l’air. (NASA Goddard Space Flight Center, domaine public, via Wikimedia Commons.)](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-radiation-heat-transport/img-8b82188f61b6.jpg)

*Tout le côté éclairé de la Terre, photographié le 6 juillet 2015 par une caméra du Deep Space Climate Observatory, à un million de milles ; l’Amérique du Nord et centrale sont au milieu, avec les mers peu profondes turquoise des Caraïbes. Deux semaines après le solstice de juin l’Arctique, en haut, est éclairé jour et nuit. Les nuages brillants réfléchissent une grande part de la lumière qui les atteint ; la teinte bleutée est de la lumière solaire diffusée par les molécules de l’air. (NASA Goddard Space Flight Center, domaine public, via Wikimedia Commons.)*

**Tu sais déjà.**

Le [Chapitre 1](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#ch-b1-spherical-astronomy) a défini l’[insolation](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-insolation), la puissance de la lumière du Soleil reçue par mètre carré d’une surface horizontale au sommet de l’atmosphère, $I = S_0(a/r)^2\sin h_\odot$ tant que le Soleil est levé, avec $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ à la distance moyenne $a$ ; il a donné la hauteur du Soleil d’après son [angle horaire](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $H$, sa [déclinaison](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $\delta$ et la [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $\varphi$, $\sin h_\odot = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos H$ ; et l’[angle horaire](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $H_0$ du coucher, $\cos H_0 = -\tan\varphi\tan\delta$ ([Proposition 1.16](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#prop-b1-spherical-astronomy-rising)). Le [Chapitre 3](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/3-planetologie-comparee#ch-b1-comparative-planetology) a défini l’[albédo de Bond](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/3-planetologie-comparee#def-b1-comparative-planetology-albedo) d’une planète et sa [température d’équilibre](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/3-planetologie-comparee#def-b1-comparative-planetology-equilibrium-temperature). Les volumes de physique donnent la loi en inverse du carré pour la lumière, le rayonnement d’un corps noir, $\sigma T^4$ par mètre carré avec $\sigma = 5.670 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ (Stefan–Boltzmann), et la chaleur latente d’un changement d’état. Le livre 2 a montré que la Terre intercepte en moyenne le quart de la constante solaire, a dessiné le bilan énergétique global de la Terre et vérifié qu’il s’équilibre, et a décrit le transport de chaleur vers les pôles en mots.

## 27.1 L’insolation selon la latitude et la saison

L’[insolation](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-insolation) instantanée change de minute en minute à mesure que le Soleil traverse le ciel. Pour le climat, ce qui compte est sa somme sur un jour.

**Définition 27.1 (Insolation journalière moyenne).**

L’*insolation journalière moyenne* $\bar Q$ à une [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) un jour donné est l’[insolation](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-insolation) instantanée moyennée sur les 24 heures de ce jour, nuits comprises, la [déclinaison](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) du Soleil et sa distance étant tenues à leurs valeurs du jour. C’est une puissance par mètre carré de surface horizontale au sommet de l’atmosphère, en $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

Tenir $\delta$ et $r$ fixes pendant un jour est sans danger : la [déclinaison](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) change d’au plus $0.4{}^{\circ}$ par jour, et la distance de moins de $0.03\,\%$.

**Théorème 27.2 (Insolation journalière moyenne).**

À la [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $\varphi$, un jour où la [déclinaison](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) du Soleil est $\delta$ et sa distance $r$,

$$
\bar Q = \frac{S_0}{\pi}\left(\frac{a}{r}\right)^{2}
  \bigl(h_0\sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\sin h_0\bigr),
$$

où $h_0 \in [0, \pi]$ est l’[angle horaire](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) du coucher en radians : $\cos h_0 =
-\tan\varphi\tan\delta$ quand $|\tan\varphi\tan\delta| \le 1$ ; $h_0 = \pi$ dans le jour polaire ($\tan\varphi\tan\delta > 1$) ; $h_0 = 0$, et $\bar Q = 0$, dans la nuit polaire ($\tan\varphi\tan\delta < -1$).

**Démonstration.** L’[angle horaire](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $H$ avance uniformément de $2\pi$ en un jour, donc la moyenne sur le jour est la moyenne sur $H \in [-\pi, \pi]$. Le Soleil est levé pour $-h_0 < H < h_0$, où $\sin h_\odot > 0$, et l’[insolation](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-insolation) est nulle ailleurs. D’où

$$
\bar Q = \frac{1}{2\pi}\int_{-h_0}^{h_0} S_0\left(\frac{a}{r}\right)^{2}
  \bigl(\sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos H\bigr)\,\mathrm dH ,
$$

qui vaut $(S_0/2\pi)(a/r)^2\bigl(2h_0\sin\varphi\sin\delta +
2\cos\varphi\cos\delta\sin h_0\bigr)$. Les bornes viennent de la [Proposition 1.16](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#prop-b1-spherical-astronomy-rising) : la hauteur est nulle quand $\cos H = -\tan\varphi\tan\delta$. Si ce nombre dépasse 1 en valeur absolue, le Soleil ne franchit jamais l’horizon : quand $\tan\varphi\tan\delta > 1$, l’intégrande est positive pour tout $H$ et l’intégrale porte sur le jour entier, $h_0 = \pi$ ; quand $\tan\varphi\tan\delta < -1$, elle est négative pour tout $H$ et le Soleil ne se lève jamais. ∎

Deux cas particuliers valent d’être sus par cœur. À l’équateur, $\varphi = 0$ et $h_0 = \pi/2$ quelle que soit la saison :

$$
\bar Q_\text{équateur} = \frac{S_0}{\pi}\left(\frac{a}{r}\right)^{2}\cos\delta ,
$$

maximale aux équinoxes, $S_0/\pi = 433.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ à la distance moyenne. À un pôle en été, $h_0 = \pi$ et $\varphi = \pi/2$ : $\bar Q_\text{pôle} =
S_0(a/r)^2\sin\delta$, le Soleil tournant dans le ciel à une hauteur constante égale à la [déclinaison](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-equatorial).

**Proposition 27.3 (L’été polaire).**

Un jour de [déclinaison](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $\delta > 0$, l’[insolation journalière moyenne](#def-b1-radiation-heat-transport-daily-insolation) au pôle Nord dépasse celle à l’équateur si et seulement si $\pi\tan\delta > 1$, c’est-à-dire $\delta >
17.66{}^{\circ}$. Au solstice de juin, $\delta = 23.44{}^{\circ}$, le rapport est $\pi\tan
\delta = 1.362$.

**Démonstration.** Les deux cas particuliers ci-dessus partagent le facteur $(S_0/\pi)(a/r)^2$ ; leur rapport est $\pi\sin\delta/\cos\delta = \pi\tan\delta$, qui dépasse 1 quand $\tan\delta >
1/\pi$, $\delta > \arctan(1/\pi) = 17.66{}^{\circ}$. Avec l’obliquité, $\pi\tan23.44{}^{\circ} = 1.362$. ∎

Avec l’orbite de la Terre, le solstice de juin tombe près de l’aphélie, $(a/r)^2 = 0.968$ : le pôle Nord reçoit alors $524\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ en moyenne journalière, l’équateur $385\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Six mois plus tard le pôle Sud, près du périhélie, reçoit $559\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $6.7\,\%$ de plus que le pôle Nord dans son été : le rapport est exactement celui des deux valeurs de $(a/r)^2$. La figure ci-dessous montre $\bar Q$ sur toute une année. Les maxima sont aux pôles aux solstices ; les coins sombres sont les nuits polaires, limitées par la [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $90{}^{\circ} -
|\delta|$ ; le point subsolaire, où le Soleil passe au [zénith](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) à midi, se déplace entre les tropiques avec la [déclinaison](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-equatorial).

![Insolation journalière moyenne au sommet de l’atmosphère en fonction du jour de l’année et de la latitude, d’après le avec S_0 = 1361\, W\, m-2 et l’orbite de la Terre. Tirets : la latitude subsolaire, égale à la déclinaison ; trait plein : les bords des nuits polaires. Les pôles d’été reçoivent plus que tout autre endroit de la Terre ; l’été austral, près du périhélie, est le plus lumineux des deux.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-radiation-heat-transport/fig-d55e12d8b021.svg)

*[Insolation journalière moyenne](#def-b1-radiation-heat-transport-daily-insolation) au sommet de l’atmosphère en fonction du jour de l’année et de la [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic), d’après le [Théorème 27.2](#thm-b1-radiation-heat-transport-daily) avec $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ et l’orbite de la Terre. Tirets : la [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) subsolaire, égale à la [déclinaison](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) ; trait plein : les bords des nuits polaires. Les pôles d’été reçoivent plus que tout autre endroit de la Terre ; l’été austral, près du périhélie, est le plus lumineux des deux.*

La moyenne de $\bar Q$ sur l’année donne l’[insolation](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-insolation) annuelle moyenne de chaque [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) (figure ci-dessous) : $415.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ à l’équateur, $328.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ à $40{}^{\circ}$, $172.4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ à l’un ou l’autre pôle. L’été polaire est intense mais l’hiver polaire est sombre, et sur une année l’équateur reçoit $2.41$ fois autant qu’un pôle. La courbe est la même dans les deux hémisphères, bien que l’été austral soit le plus lumineux ; l’[Exercice 27.10](#exo-b1-radiation-heat-transport-10) montre pourquoi.

![Insolation journalière moyenne en fonction de la latitude aux deux solstices, et sa moyenne annuelle (noir). La moyenne annuelle dépasse la moyenne globale, 340.3\, W\, m-2 (tirets), entre 37 S et 37 N, sur 60\,\% de la surface de la Terre.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-radiation-heat-transport/fig-bdd8bceba8dc.svg)

*[Insolation journalière moyenne](#def-b1-radiation-heat-transport-daily-insolation) en fonction de la [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) aux deux solstices, et sa moyenne annuelle (noir). La moyenne annuelle dépasse la moyenne globale, $340.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ (tirets), entre $37{}^{\circ}$ S et $37{}^{\circ}$ N, sur $60\,\%$ de la surface de la Terre.*

**Proposition 27.4 (La moyenne globale).**

À chaque instant, l’[insolation](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-insolation) moyennée sur toute la sphère est $\tfrac14
S_0(a/r)^2$. Moyennée aussi sur l’année, elle est $S_0/(4\sqrt{1 - e^2})$, où $e$ est l’excentricité de l’orbite : $340.30\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ pour la Terre, à $0.02\,\%$ de $S_0/4 = 340.25\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

**Démonstration.** La Terre, de rayon $R$, intercepte la lumière du Soleil qui traverse un disque d’aire $\pi
R^2$, une puissance $S_0(a/r)^2\pi R^2$, qui tombe sur l’hémisphère éclairé ; répartie sur toute la surface $4\pi R^2$, elle donne le premier résultat. La moyenne temporelle de $(a/r)^2$ sur l’orbite est $1/\sqrt{1-e^2}$ ([Exercice 27.11](#exo-b1-radiation-heat-transport-11)). ∎

## 27.2 Rayonnement absorbé et émis

De la lumière du Soleil qu’une [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) reçoit, elle en réfléchit une fraction directement, par les nuages, la neige, la glace, le désert et, à un moindre degré, la mer ; elle absorbe le reste, dans l’air et à la surface. Elle perd aussi de l’énergie en émettant du rayonnement infrarouge vers l’espace, jour et nuit.

**Définition 27.5 (Rayonnement infrarouge sortant).**

Le *rayonnement infrarouge sortant* (OLR, de l’anglais *outgoing longwave radiation*) est la puissance de rayonnement infrarouge quittant le sommet de l’atmosphère vers l’espace, par mètre carré. La *température d’émission* $T_e$ est la température d’un corps noir qui émettrait la même puissance : $\sigma T_e^4 = \text{OLR}$.

L’OLR vient en partie de la surface, à travers l’air là où il est transparent à l’infrarouge, et en partie de l’air et des sommets de nuages plus haut. La [température d’émission](#def-b1-radiation-heat-transport-olr) est une propriété du rayonnement, non la température d’un niveau particulier : elle est plus basse que celle du sol en dessous, parce que les couches émettrices sont plus froides.

**Définition 27.6 (Rayonnement net ; excédent et déficit radiatifs).**

Le *rayonnement net* au sommet de l’atmosphère est

$$
R = \underbrace{(1 - \alpha)\,\bar Q}_{\text{solaire absorbé}} - \text{OLR},
$$

où $\alpha$ est l’albédo local, la fraction de la lumière du Soleil incidente réfléchie vers l’espace ; les trois grandeurs sont des moyennes annuelles à une [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic). Une [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) où $R > 0$ a un *excédent radiatif* ; une où $R < 0$ a un *déficit radiatif*.

Sur toute la Terre le [rayonnement net](#def-b1-radiation-heat-transport-net-radiation) doit avoir une moyenne presque nulle, puisque la planète ne se réchauffe ni ne se refroidit de plus de quelques dixièmes de watt par mètre carré : la dernière évaluation place le déséquilibre à $0.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, sur un flux incident de $340\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ dont $100\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ sont réfléchis (un albédo global de $0.294$) et $239\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ repartent sous forme d’infrarouge.

Les profils zonaux de ce chapitre viennent d’une réanalyse, c’est-à-dire d’un système de prévision météorologique exécuté sur les décennies passées, qui assimile les observations de chaque jour et fournit un état complet et cohérent de l’atmosphère. La réanalyse utilisée ici, à partir de 1948, donne des moyennes mensuelles sur une grille de 94 [latitudes](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) et 192 [longitudes](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) ; ce chapitre utilise ses moyennes sur 1991–2020. Ses flux de rayonnement sont des sorties de modèle, des prévisions contraintes par les observations. La figure ci-dessous montre leurs moyennes zonales en fonction de $\sin\varphi$, de sorte que des largeurs égales sur l’axe sont des aires égales sur la sphère.

![Rayonnement solaire absorbé (orange) et rayonnement infrarouge sortant (rouge) en moyenne zonale et annuelle au sommet de l’atmosphère, d’après la Réanalyse 1 NCEP-NCAR, moyennes 1991–2020 (données fournies par le NOAA PSL, Boulder, Colorado, États-Unis, depuis leur site https://psl.noaa.gov). Zones teintées : l’excédent radiatif des basses latitudes et les déficits des hautes latitudes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-radiation-heat-transport/fig-38b09a28c9f0.svg)

*Rayonnement solaire absorbé (orange) et [rayonnement infrarouge sortant](#def-b1-radiation-heat-transport-olr) (rouge) en moyenne zonale et annuelle au sommet de l’atmosphère, d’après la Réanalyse 1 NCEP-NCAR, moyennes 1991–2020 (données fournies par le NOAA PSL, Boulder, Colorado, États-Unis, depuis leur site https://psl.noaa.gov). Zones teintées : l’[excédent radiatif](#def-b1-radiation-heat-transport-net-radiation) des basses [latitudes](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) et les déficits des hautes [latitudes](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic).*

Les deux courbes ont des formes très différentes. La lumière solaire absorbée chute de $288\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ près de l’équateur à $76\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ à $81{}^{\circ}$ N, d’un facteur $3.8$ : l’[insolation](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-insolation) baisse, et l’albédo passe de $0.31$ à $0.57$, avec le Soleil bas, la neige et la glace de mer. L’OLR ne chute que de $245\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ à $192\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, d’un facteur $1.27$ ; les [températures d’émission](#def-b1-radiation-heat-transport-olr) sont $256\,\mathrm{K}$ et $241\,\mathrm{K}$. L’OLR est même légèrement plus bas à l’équateur, $245\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, que près de $20{}^{\circ}$, $269\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ : les nuages de la ceinture de pluie équatoriale montent haut et leurs sommets froids émettent peu, tandis que les cieux subtropicaux plus clairs laissent s’échapper davantage d’infrarouge. Partout où la lumière solaire absorbée dépasse l’OLR, la [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) a un excédent.

**Exemple 27.7 (Le bilan global de la réanalyse).**

En moyenne sur le globe, la réanalyse reçoit $341.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, réfléchit $117.0\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ (un albédo de $0.342$), absorbe $224.8\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ et émet $237.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ : un [rayonnement net](#def-b1-radiation-heat-transport-net-radiation) de $-12.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. L’OLR est à $1.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ de la valeur évaluée de $239\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, mais la réflexion est supérieure de $17\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ aux $100\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ évalués. Un déséquilibre réel de cette taille refroidirait la Terre de $6.6\,\mathrm{PW}$ ; c’est une erreur du modèle, non une propriété de la Terre, et le transport ci-dessous est calculé après retrait de la moyenne globale.

## 27.3 Le transport méridien de chaleur

**Définition 27.8 (Transport méridien de chaleur).**

Le *transport méridien de chaleur* $T(\varphi)$ à travers le parallèle de [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $\varphi$ est l’énergie portée vers le nord à travers ce parallèle par unité de temps, par l’atmosphère et l’océan ensemble, en moyenne annuelle. Il est compté positif vers le nord et mesuré en pétawatts ($1\,\mathrm{PW}$ = $10^{15}\,\mathrm{W}$).

**Proposition 27.9 (Le transport d’après le rayonnement net).**

Si l’énergie stockée dans chaque bande de [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) ne change pas d’une année à l’autre, alors pour une Terre de rayon $a_\oplus$,

$$
T(\varphi) = 2\pi a_\oplus^2\int_{-\pi/2}^{\varphi} R(\varphi')\cos\varphi'\,
  \mathrm d\varphi' = -2\pi a_\oplus^2\int_{\varphi}^{\pi/2} R(\varphi')\cos
  \varphi'\,\mathrm d\varphi' ,
$$

et $T$ est extrême aux [latitudes](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) où $R$ change de signe.

**Démonstration.** Prenons la calotte polaire au sud du parallèle $\varphi$ comme volume de contrôle, du fond de l’océan au sommet de l’atmosphère (figure ci-dessous). L’énergie y entre ou en sort de deux façons seulement : par rayonnement au sommet, une puissance nette $\int R\,\mathrm dA$, et par le transport à travers son bord, $-T(\varphi)$ (un transport vers le nord quitte la calotte sud). La bande entre $\varphi'$ et $\varphi' + \mathrm d\varphi'$ a pour aire $\mathrm dA = 2\pi a_\oplus\cos\varphi'
\cdot a_\oplus\,\mathrm d\varphi'$. Sans variation de stockage, la somme est nulle : $\int_{-\pi/2}^{\varphi} R\,2\pi a_\oplus^2\cos\varphi'\,\mathrm d\varphi' -
T(\varphi) = 0$. Appliqué à la Terre entière ($\varphi = \pi/2$, pas de bord), le même bilan donne $\int R\,\mathrm dA = 0$ sur la sphère, d’où la seconde forme. En dérivant, $T'(\varphi) = 2\pi a_\oplus^2 R(\varphi)\cos\varphi$, qui s’annule là où $R$ change de signe. ∎

![Le volume de contrôle de la , dessiné pour la calotte au nord du parallèle (teintée) : en régime permanent, ce que la calotte perd par rayonnement au sommet de l’atmosphère (rouge) est ce que l’atmosphère et l’océan apportent à travers son bord (orange).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-radiation-heat-transport/fig-63b56573f935.svg)

*Le volume de contrôle de la [Proposition 27.9](#prop-b1-radiation-heat-transport-mht), dessiné pour la calotte au nord du parallèle $\varphi$ (teintée) : en régime permanent, ce que la calotte perd par rayonnement au sommet de l’atmosphère (rouge) est ce que l’atmosphère et l’océan apportent à travers son bord (orange).*

Appliquée à la réanalyse, avec sa moyenne globale de $-12.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ retranchée de $R$ à chaque [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic), la proposition donne la courbe ci-dessous. Le transport est dirigé vers le nord dans l’hémisphère nord et vers le sud dans l’hémisphère sud, toujours vers le pôle. Il culmine à $4.1\,\mathrm{PW}$ près de $38{}^{\circ}$ N et $4.5\,\mathrm{PW}$ près de $32{}^{\circ}$ S, là où $R$ moins sa moyenne change de signe ; à travers $40{}^{\circ}$ N il vaut $4.11\,\mathrm{PW}$. Il est faible à l’équateur, où l’excédent de chaque hémisphère est exporté vers son propre pôle.

![Le transport méridien de chaleur impliqué par le rayonnement net de la réanalyse (noir) et sa part de chaleur latente (tirets verts, d’après l’évaporation et les précipitations, ) ; Réanalyse 1 NCEP-NCAR, moyennes 1991–2020, données fournies par le NOAA PSL. Carré : le maximum du transport atmosphérique seul dans une estimation contrainte par des mesures satellitaires du rayonnement, 5.0\, PW à 43 N (Trenberth et Caron, 2001).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-radiation-heat-transport/fig-540927c3c944.svg)

*Le [transport méridien de chaleur](#def-b1-radiation-heat-transport-mht) impliqué par le [rayonnement net](#def-b1-radiation-heat-transport-net-radiation) de la réanalyse (noir) et sa part de chaleur latente (tirets verts, d’après l’évaporation et les précipitations, [Section 27.4](#sec-27-4)) ; Réanalyse 1 NCEP-NCAR, moyennes 1991–2020, données fournies par le NOAA PSL. Carré : le maximum du transport atmosphérique seul dans une estimation contrainte par des mesures satellitaires du rayonnement, $5.0\,\mathrm{PW}$ à $43{}^{\circ}$ N (Trenberth et Caron, 2001).*

Le carré sur la figure est un avertissement. Une étude des années 1985–1989, quand une expérience satellitaire mesurait de façon fiable le rayonnement au sommet de l’atmosphère, a calculé le transport de l’atmosphère à partir des vents, des températures et de l’humidité de deux réanalyses : l’atmosphère seule porte $5.0\,\mathrm{PW}$ à $43{}^{\circ}$ N, plus que les $4.0\,\mathrm{PW}$ de cette réanalyse pour l’atmosphère et l’océan ensemble. La même étude a trouvé que les flux de la réanalyse issus du modèle s’accordent moins bien avec des estimations océaniques indépendantes que des flux dérivés des observations. Une fois la moyenne globale retirée, le transport ne dépend que de la façon dont $R$ varie avec la [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic), et le [rayonnement net](#def-b1-radiation-heat-transport-net-radiation) de cette réanalyse varie trop peu des tropiques aux pôles. La forme de la courbe, ses maxima aux moyennes [latitudes](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) et sa quasi-symétrie, peut être crue ; sa hauteur est trop faible d’au moins un cinquième.

Qui porte la chaleur ? La même étude trouve que l’océan en porte plus que l’atmosphère seulement entre l’équateur et $17{}^{\circ}$ N ; à $35{}^{\circ}$, où le transport total culmine dans chaque hémisphère, l’atmosphère en porte $78\,\%$ dans le nord et $92\,\%$ dans le sud. La part de l’océan est l’objet du [Chapitre 29](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/29-la-circulation-de-locean#ch-b1-ocean-circulation), celle de l’atmosphère du [Chapitre 28](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/28-la-circulation-generale-de-latmosphere#ch-b1-atmospheric-circulation).

**Méthode 27.10 (Le transport à partir de bandes zonales).**

1. Diviser la calotte au-delà de la [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) considérée en bandes ; pour chacune, prendre l’ [insolation](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-insolation) moyenne $\bar Q_i$ , l’albédo $\alpha_i$ et l’OLR $_i$ .
2. Calculer le [rayonnement net](#def-b1-radiation-heat-transport-net-radiation) de chaque bande, $R_i = (1 - \alpha_i)\bar Q_i -  \text{OLR}_i$ , et retrancher la moyenne globale de $R$ si elle n’est pas nulle.
3. Calculer l’aire de chaque bande, $A_i = 2\pi a_\oplus^2(\sin\varphi_{i,2} -  \sin\varphi_{i,1})$ , avec $a_\oplus = 6371\,\mathrm{km}$ .
4. Le transport à travers le bord est moins la puissance nette de la calotte, $-\sum_i R_i A_i$ , positif vers le pôle ; diviser par $10^{15}$ pour obtenir des pétawatts.

## 27.4 Chaleur latente et chaleur sensible

La surface de la Terre absorbe la plus grande part de la lumière du Soleil, mais l’atmosphère rayonne la plus grande part de l’infrarouge vers l’espace. La surface cède de l’énergie à l’air de trois façons : par son propre rayonnement infrarouge, en réchauffant l’air à son contact, et en évaporant de l’eau, dont la chaleur latente est libérée partout où la vapeur se condense. Cet endroit peut être à des milliers de kilomètres : la chaleur latente voyage avec le vent.

**Définition 27.11 (Flux de chaleur latente et sensible ; rapport de Bowen).**

Le *flux de chaleur latente* $LE$ est la puissance par mètre carré que la surface perd par évaporation : le taux d’évaporation $E$, en $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, multiplié par la chaleur latente de vaporisation $L$. Le *flux de chaleur sensible* $H$ est la puissance par mètre carré que la surface passe à l’air par conduction et turbulence, en le réchauffant. Les deux sont comptés positifs vers le haut. Leur rapport $B = H/LE$ est le *rapport de Bowen*.

Vers $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $L = 2.4655\,\mathrm{MJ}\,\mathrm{kg}^{-1}$. Le [rapport de Bowen](#def-b1-radiation-heat-transport-surface-fluxes) est petit sur la mer et sur le sol humide, où l’eau est abondante, et grand sur les terres sèches. Dans la réanalyse il vaut $0.09$ à l’équateur, $0.37$ à $25{}^{\circ}$ N, la [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) des grands déserts chauds, et est négatif à $70{}^{\circ}$ N, où les surfaces de neige et de glace sont plus froides que l’air au-dessus en moyenne annuelle, si bien que la chaleur sensible va vers le bas. En moyenne sur le globe, la réanalyse donne $LE =
82.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ et $H = 15.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, un [rapport de Bowen](#def-b1-radiation-heat-transport-surface-fluxes) de $0.18$ ; les valeurs évaluées sont $82\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ et $21\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, un rapport de $0.26$.

Le livre 2 a transformé le [flux de chaleur latente](#def-b1-radiation-heat-transport-surface-fluxes) en une hauteur d’eau évaporée chaque année. La réciproque transforme une pluie, qu’un pluviomètre peut recueillir, en un flux d’énergie.

**Proposition 27.12 (Les précipitations comme flux d’énergie).**

Un taux de précipitation de $1\,\mathrm{m}$ d’eau par an libère dans l’atmosphère, là où sa vapeur s’est condensée, une puissance moyenne de

$$
\frac{1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2} \times 2.4655 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}}{3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}}
  = 78.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2} .
$$

**Démonstration.** Une couche d’eau de $1\,\mathrm{m}$ de profondeur a une masse de $1000\,\mathrm{kg}$ par mètre carré. La condensation de la vapeur qui la forme libère $1000L$ ; une année de $365.25$ jours dure $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$. ∎

**Exemple 27.13 (Le cycle de l’eau comme flux d’énergie).**

Le cycle mondial de l’eau apporte $373\,000$ kilomètres cubes de pluie et de neige à l’océan chaque année et $113\,000$ aux terres : répartis sur les $5.10 \times 10^{8}\,\mathrm{km}^{2}$ de la Terre, $0.953\,\mathrm{m}$ par an, ce qui libère $74\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ d’après la [Proposition 27.12](#prop-b1-radiation-heat-transport-rain). La réanalyse fait pleuvoir $2.82\,\mathrm{mm}$ par jour, $1.03\,\mathrm{m}$ par an, $80\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Les deux sont proches du [flux de chaleur latente](#def-b1-radiation-heat-transport-surface-fluxes) évalué de $82\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, dont l’intervalle d’incertitude est $72\text{ à }85\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ : au fil des ans, l’eau qui s’évapore retombe et la chaleur latente prélevée à la surface est entièrement cédée à l’air.

Le bilan vaut pour le globe, non pour chaque [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic), et la différence est un transport (figure ci-dessous). Dans les subtropiques la mer évapore plus d’eau qu’il n’en tombe : $LE$ dépasse $LP$, la chaleur latente des précipitations. La ceinture de pluie équatoriale et les moyennes [latitudes](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) reçoivent plus de pluie qu’elles n’évaporent. Entre les deux, la vapeur est portée par le vent, et avec elle la chaleur latente. Par l’argument de la [Proposition 27.9](#prop-b1-radiation-heat-transport-mht), appliqué à l’intégrale de $LE - LP$, la réanalyse porte $1.4\,\mathrm{PW}$ de chaleur latente vers le nord à travers $40{}^{\circ}$ N, un tiers de son transport total en ce lieu ; le transport latent est dessiné en tirets sur la figure du transport ci-dessus.

![Moyennes zonales et annuelles du flux de chaleur latente LE (vert), de la chaleur latente libérée par les précipitations, LP (bleu), et du flux de chaleur sensible H (rouge, tirets), d’après la Réanalyse 1 NCEP-NCAR, moyennes 1991–2020 (données fournies par le NOAA PSL). Là où LE > LP, dans les subtropiques, de la vapeur d’eau est exportée ; là où LP > LE, sous les ceintures de pluie, elle est importée.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-radiation-heat-transport/fig-524f7f6204b9.svg)

*Moyennes zonales et annuelles du [flux de chaleur latente](#def-b1-radiation-heat-transport-surface-fluxes) $LE$ (vert), de la chaleur latente libérée par les précipitations, $LP$ (bleu), et du [flux de chaleur sensible](#def-b1-radiation-heat-transport-surface-fluxes) $H$ (rouge, tirets), d’après la Réanalyse 1 NCEP-NCAR, moyennes 1991–2020 (données fournies par le NOAA PSL). Là où $LE > LP$, dans les subtropiques, de la vapeur d’eau est exportée ; là où $LP > LE$, sous les ceintures de pluie, elle est importée.*

## 27.5 Le bilan énergétique de la surface

Le bilan global dessiné au livre 2 peut se lire comme une équation pour la surface.

**Proposition 27.14 (Bilan énergétique de la surface).**

Soit $R_n$ le [rayonnement net](#def-b1-radiation-heat-transport-net-radiation) à la surface, lumière du Soleil absorbée plus infrarouge reçu de l’air moins infrarouge émis, et $G$ la puissance par mètre carré qui va dans le sol ou l’océan en dessous. Alors, par mètre carré,

$$
R_n = LE + H + G .
$$

En moyenne globale, $R_n = 160 + 342 - 398 = 104\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, dont $82\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ vont à l’évaporation, $21\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ au [flux de chaleur sensible](#def-b1-radiation-heat-transport-surface-fluxes), et $G \approx 1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, aux arrondis des chiffres près, à l’océan et au sol.

**Démonstration.** Prenons pour système une mince couche à la surface, sans capacité thermique propre. L’énergie ne l’atteint que sous forme de rayonnement ($R_n$, net) et ne la quitte que sous forme de [flux de chaleur latente](#def-b1-radiation-heat-transport-surface-fluxes) et sensible vers le haut et de conduction ou de mélange vers le bas ; le bilan est l’équation. Les nombres sont les moyennes globales évaluées. ∎

![Le bilan énergétique moyen global de la surface en W\, m-2, d’après les valeurs du Sixième Rapport d’évaluation du GIEC, Groupe de travail I, Figure 7.2. Le rayonnement net absorbé par la surface, 104\, W\, m-2, est cédé à l’atmosphère surtout sous forme de chaleur latente ; G, le petit reste, réchauffe l’océan.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-radiation-heat-transport/fig-7d25879fd5c6.svg)

*Le bilan énergétique moyen global de la surface en $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, d’après les valeurs du Sixième Rapport d’évaluation du GIEC, Groupe de travail I, Figure 7.2. Le [rayonnement net](#def-b1-radiation-heat-transport-net-radiation) absorbé par la surface, $104\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, est cédé à l’atmosphère surtout sous forme de chaleur latente ; $G$, le petit reste, réchauffe l’océan.*

Le [flux de chaleur latente](#def-b1-radiation-heat-transport-surface-fluxes), quatre cinquièmes de $R_n$, est de loin le plus grand des deux termes non radiatifs : sur le globe, la surface se refroidit surtout en évaporant de l’eau. Le petit $G$ est le chauffage du système climatique, les $0.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ du bilan au sommet de l’atmosphère ; les neuf dixièmes en sont stockés dans l’océan.

**Remarque 27.15 (Local et global).**

En un lieu donné, $G$ est loin d’être petit : il est grand et positif le jour et en été, négatif la nuit et en hiver, et ne se compense que sur un jour ou sur une année. Sur l’océan, la chaleur stockée dans la [couche de mélange](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/26-la-structure-de-latmosphere-et-de-locean#def-b1-fluid-envelopes-structure-ocean-layers) peut aussi être emportée latéralement par les courants : le bilan local doit alors inclure le transport de l’océan, comme le bilan d’une bande de [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) inclut celui de l’atmosphère.

## 27.6 Exercices

**Exercice 27.1 ★.**

(a) Calculer $S_0/\pi$ avec $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) Le jour de l’équinoxe de mars, l’[insolation journalière moyenne](#def-b1-radiation-heat-transport-daily-insolation) à l’équateur est de $436.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. En déduire $(a/r)^2$ et $r/a$ ce jour-là. (c) Au solstice de juin, $(a/r)^2 = 0.9683$ et $\delta = 23.44{}^{\circ}$. Calculer l’[insolation journalière moyenne](#def-b1-radiation-heat-transport-daily-insolation) à l’équateur.

**Solution de Exercice 27.1.**

(a) $S_0/\pi = 1361/\pi = 433.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) À l’équateur à un équinoxe $\bar Q = (S_0/\pi)(a/r)^2$, donc $(a/r)^2 = 436.7/433.2 = 1.0080$ et $r/a =
1.0080^{-1/2} = 0.9960$ : la Terre est $0.4\,\%$ plus près du Soleil que sa distance moyenne. (c) $\bar Q = 433.2 \times 0.9683 \times \cos23.44{}^{\circ} =
384.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

**Exercice 27.2 ★.**

L’[insolation](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-insolation) annuelle moyenne est de $415.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ à l’équateur et de $172.4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ aux pôles ; la moyenne globale est de $340.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (a) De quel facteur l’équateur dépasse-t-il les pôles ? (b) La moyenne annuelle égale la moyenne globale à $37.0{}^{\circ}$ N et S. Quelle fraction de la surface de la Terre se trouve entre ces deux parallèles ? (c) Pourquoi cela fait-il paraître la courbe de la moyenne annuelle plus favorable aux hautes [latitudes](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) que ne l’est réellement la surface de la Terre ?

**Solution de Exercice 27.2.**

(a) $415.6/172.4 = 2.41$. (b) La zone entre les parallèles $\pm\varphi$ a pour aire $2\pi a_\oplus^2 \times 2\sin\varphi$, une fraction $\sin\varphi$ de la sphère : $\sin37.0{}^{\circ} = 0.602$, $60\,\%$. (c) Sur un axe en [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic), les bandes près des pôles paraissent aussi larges que celles près de l’équateur, mais elles couvrent bien moins d’aire : la zone au-delà de $60{}^{\circ}$ ne fait que $1 - \sin60{}^{\circ} =
13.4\,\%$ de la surface. En fonction de $\sin\varphi$, les tropiques remplissent la plus grande part de l’axe.

**Exercice 27.3 ★.**

Dans la réanalyse l’OLR est de $244.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ près de l’équateur, $192.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ à $81{}^{\circ}$ N et $237.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ en moyenne globale. (a) Calculer les trois [températures d’émission](#def-b1-radiation-heat-transport-olr). (b) Sur les mêmes [latitudes](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic), la lumière solaire absorbée chute de $287.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ à $75.8\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Comparer les deux rapports. (c) Qu’implique la comparaison pour le [rayonnement net](#def-b1-radiation-heat-transport-net-radiation) ?

**Solution de Exercice 27.3.**

(a) $T_e = (\text{OLR}/\sigma)^{1/4}$ : $256.4\,\mathrm{K}$, $241.3\,\mathrm{K}$ et $254.5\,\mathrm{K}$. (b) Lumière solaire absorbée : $287.7/75.8 = 3.80$ ; OLR : $244.9/192.3 =
1.27$. (c) Le [rayonnement net](#def-b1-radiation-heat-transport-net-radiation) suit la lumière solaire absorbée : positif et grand dans les tropiques, fortement négatif aux hautes [latitudes](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic). L’OLR, qui varie peu, ne compense pas la chute de la lumière solaire absorbée.

**Exercice 27.4 ★.**

La précipitation moyenne globale de la réanalyse est de $2.82\,\mathrm{mm}$ par jour. (a) La convertir en mètres par an. (b) Calculer la chaleur latente qu’elle libère, en $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, avec la [Proposition 27.12](#prop-b1-radiation-heat-transport-rain). (c) Comparer avec le [flux de chaleur latente](#def-b1-radiation-heat-transport-surface-fluxes) global propre à la réanalyse, $82.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, et expliquer pourquoi les deux doivent s’accorder sur de nombreuses années.

**Solution de Exercice 27.4.**

(a) $2.82 \times 365.25 = 1030\,\mathrm{mm}$, $1.03\,\mathrm{m}$ par an. (b) $1.030 \times
78.1 = 80.4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (c) Le $LE$ de la réanalyse est plus grand de $2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Sur de nombreuses années l’atmosphère ne peut continuer d’accumuler de la vapeur d’eau : toute l’eau évaporée retombe, donc $LE$ et $LP$ doivent être égaux en moyenne globale. La différence est un déséquilibre du modèle, comme son déséquilibre radiatif.

**Exercice 27.5 ★★.**

(a) Au solstice de juin ($\delta = 23.44{}^{\circ}$, $(a/r)^2 = 0.9683$), calculer l’[insolation journalière moyenne](#def-b1-radiation-heat-transport-daily-insolation) au pôle Nord. (b) Au solstice de décembre, $(a/r)^2 =
1.0334$ ; la calculer au pôle Sud et le rapport des deux. (c) Le Soleil ne s’élève qu’à $23.4{}^{\circ}$ au-dessus de l’horizon au pôle : expliquer comment le pôle peut tout de même battre l’équateur.

**Solution de Exercice 27.5.**

(a) $\bar Q = S_0(a/r)^2\sin\delta = 1361 \times 0.9683 \times 0.3978 =
524.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) $1361 \times 1.0334 \times 0.3978 =
559.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ ; le rapport est $1.0334/0.9683 = 1.067$. (c) Le pôle a de la lumière 24 heures sur 24 à une hauteur constante, donc son $\sin h_\odot$ moyen sur le jour est $\sin\delta = 0.398$. À l’équateur le Soleil est haut à midi, mais couché la moitié du temps ; la moyenne de $\sin h_\odot$ sur les 24 heures est $\cos\delta/\pi =
0.292$. Le rapport est $\pi\tan\delta = 1.362$ ([Proposition 27.3](#prop-b1-radiation-heat-transport-polar-summer)).

**Exercice 27.6 ★★.**

À $40{}^{\circ}$ N, calculer l’[angle horaire](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) du coucher, la durée du jour et l’[insolation journalière moyenne](#def-b1-radiation-heat-transport-daily-insolation) (a) au solstice de juin, avec $(a/r)^2 = 0.9683$, $\delta =
23.44{}^{\circ}$ ; (b) au solstice de décembre, avec $(a/r)^2 = 1.0334$, $\delta =
-23.44{}^{\circ}$. (c) Quelle part du rapport entre les deux vient de la distance au Soleil ?

**Solution de Exercice 27.6.**

(a) $\cos h_0 = -\tan40{}^{\circ}\tan23.44{}^{\circ} = -0.3638$, $h_0 = 111.33{}^{\circ} =
1.943\,\mathrm{rad}$ ; le jour dure $24 \times 111.33/180 = 14.84\,\mathrm{h}$ ; $\bar Q =
(1361/\pi) \times 0.9683 \times (1.943 \times 0.6428 \times 0.3978 + 0.7660 \times
0.9175 \times 0.9315) = 483.0\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) $\cos h_0 = +0.3638$, $h_0 =
68.67{}^{\circ}$, $9.16\,\mathrm{h}$ ; $\bar Q = 155.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (c) Le rapport est $483.0/155.9 = 3.10$. La distance contribue $0.9683/1.0334 = 0.937$ : elle joue contre l’été boréal. La géométrie, la hauteur du Soleil et la durée du jour, contribue $3.10/0.937 = 3.31$, tout le contraste saisonnier et plus.

**Exercice 27.7 ★★.**

La réanalyse donne les moyennes zonales suivantes ($\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$) :

| [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) | $0{}^{\circ}$ | $25{}^{\circ}$ N | $45{}^{\circ}$ N | $70{}^{\circ}$ N |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $LE$ | 96.0 | 96.4 | 52.4 | 23.7 |
| $H$ | 8.9 | 36.1 | 17.7 | $-3.6$ |

(a) Calculer le [rapport de Bowen](#def-b1-radiation-heat-transport-surface-fluxes) à chaque [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic). (b) Quelle [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) a le plus grand rapport ? Quelle sorte de surface l’explique ? (c) Interpréter le signe de $H$ à $70{}^{\circ}$ N.

**Solution de Exercice 27.7.**

(a) $B = H/LE$ : $0.093$ à l’équateur, $0.374$ à $25{}^{\circ}$ N, $0.338$ à $45{}^{\circ}$ N, $-0.152$ à $70{}^{\circ}$ N. (b) $25{}^{\circ}$ N : la moyenne zonale comprend les grands déserts chauds, terres sèches avec peu d’eau à évaporer, où le sol chauffé réchauffe l’air à la place. (c) $H < 0$ signifie que la chaleur passe de l’air à la surface : en moyenne annuelle la neige et la glace de mer sont plus froides que l’air au-dessus d’elles, qui est réchauffé par de l’air venu de [latitudes](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) plus basses.

**Exercice 27.8 ★★.**

Le bilan global évalué au sommet de l’atmosphère est de $340\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ incidents, $100\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ réfléchis, $239\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ émis ; la réanalyse donne $341.9\,$, $117.0\,$ et $237.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (a) Calculer les deux albédos et les deux [rayonnements nets](#def-b1-radiation-heat-transport-net-radiation). (b) Quel terme explique l’essentiel du déséquilibre de la réanalyse ? (c) Montrer que si la moyenne globale de $R$ n’était pas retirée, la [Proposition 27.9](#prop-b1-radiation-heat-transport-mht) laisserait un transport de $-6.6\,\mathrm{PW}$ au pôle Nord, et expliquer pourquoi c’est impossible.

**Solution de Exercice 27.8.**

(a) Évalué : $\alpha = 100/340 = 0.294$, $R = 340 - 100 - 239 =
+1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ (les $0.7$ arrondis). Réanalyse : $\alpha = 117.0/341.9 =
0.342$, $R = 341.9 - 117.0 - 237.7 = -12.8\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ avec ces termes arrondis, $-12.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ avec ceux, non arrondis, de l’[Exemple 27.7](#ex-b1-radiation-heat-transport-global). (b) La réanalyse absorbe $224.8$ contre $240$, $15.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ de moins, parce qu’elle réfléchit $17\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ de plus ; son OLR n’est inférieur que de $1.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. L’excès de réflexion explique le déséquilibre. (c) L’intégration de $R$ du pôle Sud au pôle Nord donne l’intégrale globale, $-12.9 \times 4\pi a_\oplus^2 = -12.9 \times
5.10\times10^{14} = -6.6\,\mathrm{PW}$. Un transport à travers le pôle Nord est impossible : il n’y a rien au-delà, le parallèle est un point. La proposition ne vaut que si $\int R\,\mathrm dA = 0$, ce qu’exige le régime permanent.

**Exercice 27.9 ★★.**

Dans la réanalyse, la ceinture comprise entre $30{}^{\circ}$ S et $30{}^{\circ}$ N a un [rayonnement net](#def-b1-radiation-heat-transport-net-radiation) moyen, après retrait de la moyenne globale, de $+33\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (a) Calculer l’aire de la ceinture et son excédent total en pétawatts. (b) Si les deux hémisphères exportaient l’excédent à parts égales, combien traverserait chacun des parallèles $30{}^{\circ}$ N et $30{}^{\circ}$ S ? (c) La réanalyse donne $4.00\,\mathrm{PW}$ vers le nord à travers $30{}^{\circ}$ N et $4.50\,\mathrm{PW}$ vers le sud à travers $30{}^{\circ}$ S. Que dit la différence ?

**Solution de Exercice 27.9.**

(a) L’aire est $2\pi a_\oplus^2 \times 2\sin30{}^{\circ} = 2\pi a_\oplus^2 =
2.55 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, la moitié de la Terre ; l’excédent est $33 \times 2.55\times10^{14} =
8.4\,\mathrm{PW}$. (b) $4.2\,\mathrm{PW}$ à travers chaque parallèle. (c) Les deux font $8.5\,\mathrm{PW}$, l’excédent, mais elles sont inégales : l’hémisphère sud exporte $0.5\,\mathrm{PW}$ de plus que le nord. L’excédent n’est pas partagé à l’équateur : dans cette réanalyse $0.36\,\mathrm{PW}$ de l’excédent des tropiques nord traversent l’équateur vers le sud.

**Exercice 27.10 ★★★.**

L’[insolation journalière moyenne](#def-b1-radiation-heat-transport-daily-insolation) dépend de la [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic), de la [déclinaison](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) et du facteur $(a/r)^2$. (a) Avec la deuxième loi de Kepler, $r^2\,\mathrm d\lambda/\mathrm dt = h$ constant, où $\lambda$ est la [longitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) [écliptique](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) du Soleil, montrer que l’énergie qu’une [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) reçoit pendant que $\lambda$ avance de $\mathrm d\lambda$ ne dépend pas de $r$. (b) En déduire que l’[insolation](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-insolation) annuelle moyenne à la [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $\varphi$ égale celle à $-\varphi$, bien que l’été austral soit plus lumineux. (c) Dans le modèle d’orbite de ce chapitre, le Soleil met $186.4$ jours de l’équinoxe de mars à celui de septembre et $178.8$ jours au retour. Expliquer comment ces nombres s’accordent avec (b).

**Solution de Exercice 27.10.**

(a) Écrivons la moyenne journalière $\bar Q = (a/r)^2 F(\varphi, \delta)$, avec $F$ la parenthèse du [Théorème 27.2](#thm-b1-radiation-heat-transport-daily) multipliée par $S_0/\pi$. Pendant $\mathrm dt$ l’énergie reçue par mètre carré est $\bar Q\,\mathrm dt$, et $\mathrm dt = r^2\,\mathrm d\lambda/h$, donc $\bar Q\,\mathrm dt = (a^2/h)
F(\varphi, \delta(\lambda))\,\mathrm d\lambda$ : le facteur $r^2$ se simplifie. (b) Sur une année l’énergie est $(a^2/h)\int_0^{2\pi} F(\varphi,
\delta(\lambda))\,\mathrm d\lambda$. La formule est inchangée quand $\varphi$ et $\delta$ changent de signe ensemble, $F(-\varphi, \delta) = F(\varphi, -\delta)$, et $\delta(\lambda + \pi) = -\delta(\lambda)$, puisque $\sin\delta = \sin\varepsilon
\sin\lambda$. Le décalage de $\lambda$ de $\pi$ dans l’intégrale montre que $-\varphi$ reçoit la même énergie que $\varphi$. (c) Le printemps et l’été boréaux durent $7.6$ jours de plus, parce que la Terre est près de l’aphélie et se déplace alors lentement ; l’été austral est plus lumineux mais plus court. D’après (a), les deux effets se compensent exactement.

**Exercice 27.11 ★★★.**

(a) En utilisant la deuxième loi de Kepler sous la forme $r^2\,\mathrm d\lambda/\mathrm dt = h$ et l’aire de l’ellipse, $\pi a b = hP/2$ sur une période $P$, montrer que la moyenne temporelle de $(a/r)^2$ sur une orbite est $a/b = 1/\sqrt{1 - e^2}$. (b) Achever la démonstration de la [Proposition 27.4](#prop-b1-radiation-heat-transport-global). (c) Avec $e = 0.0167$, calculer la moyenne annuelle globale et son écart à $S_0/4$.

**Solution de Exercice 27.11.**

(a) $\langle (a/r)^2\rangle = \frac1P\int_0^P \frac{a^2}{r^2}\,\mathrm dt =
\frac1P\int_0^{2\pi}\frac{a^2}{r^2}\frac{r^2}{h}\,\mathrm d\lambda = \frac{2\pi
a^2}{hP} = \frac{2\pi a^2}{2\pi a b} = \frac ab$, et $b = a\sqrt{1-e^2}$. (b) La moyenne globale instantanée $\frac14 S_0(a/r)^2$ a donc pour moyenne $\frac14 S_0
\langle(a/r)^2\rangle = S_0/(4\sqrt{1-e^2})$. (c) Numériquement, $340.25/\sqrt{1 - 0.0167^2} =
340.30\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, soit $0.05\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ ou $0.014\,\%$ au-dessus de $S_0/4$.

**Exercice 27.12 ★★★.**

La réanalyse donne un transport total de $4.10\,\mathrm{PW}$ à travers $35{}^{\circ}$ N et $4.02\,\mathrm{PW}$ à travers $43{}^{\circ}$ N. (a) En utilisant la répartition de Trenberth et Caron à $35{}^{\circ}$ N (atmosphère $78\,\%$), partager le total de la réanalyse en une part atmosphérique et une part océanique. (b) La même étude trouve $5.0\,\mathrm{PW}$ pour l’atmosphère seule à $43{}^{\circ}$ N. Que dit cela de la réanalyse ? (c) Retirer la moyenne globale de $R$ ne guérit pas cette erreur. Pourquoi pas ?

**Solution de Exercice 27.12.**

(a) Atmosphère $0.78 \times 4.10 = 3.20\,\mathrm{PW}$, océan $0.22 \times 4.10 =
0.90\,\mathrm{PW}$. (b) On trouve que l’atmosphère seule porte plus, $5.0\,\mathrm{PW}$, que l’atmosphère et l’océan de la réanalyse ensemble, $4.02\,\mathrm{PW}$ : le transport total de la réanalyse est trop faible d’au moins un cinquième ($1 - 4.02/5.0 = 0.20$). Son [rayonnement net](#def-b1-radiation-heat-transport-net-radiation) varie trop peu entre les tropiques et les pôles. (c) Retirer une constante de $R$ rend son intégrale globale nulle mais laisse inchangée sa variation avec la [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) ; l’erreur réside dans cette variation, dans l’albédo des nuages et des surfaces du modèle à chaque [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic), et pas seulement dans la moyenne globale.

## 27.7 Problème : Quelle chaleur traverse le 40e parallèle ?

**Problème 27.1.**

Problème du week-end — le bilan énergétique de la calotte au nord de $40{}^{\circ}$ N

La calotte de la Terre au nord de $40{}^{\circ}$ N, qui contient l’essentiel de l’Europe, de la Russie et du Canada, rayonne plus d’énergie vers l’espace qu’elle n’en absorbe du Soleil. Ce problème mesure le déficit, et donc la chaleur que l’atmosphère et l’océan apportent à travers le 40e parallèle. Utiliser $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $a_\oplus = 6371\,\mathrm{km}$, $\sigma = 5.670 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$, $L =
2.4655 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$. Les données de bandes sont les moyennes de la réanalyse pour 1991–2020.

**Partie I — La lumière du Soleil au nord de $40{}^{\circ}$ N.** Au solstice de juin $\delta = 23.44{}^{\circ}$ et $(a/r)^2 = 0.9683$ ; au solstice de décembre $\delta =
-23.44{}^{\circ}$ et $(a/r)^2 = 1.0334$ ; à l’équinoxe de mars $\delta = 0$ et $(a/r)^2 = 1.0081$.

1. Calculer l’ [insolation journalière moyenne](#def-b1-radiation-heat-transport-daily-insolation) à $40{}^{\circ}$ N les trois jours.
2. La calculer à $80{}^{\circ}$ N les mêmes trois jours.
3. En juin, $80{}^{\circ}$ N reçoit plus que $40{}^{\circ}$ N. Expliquer pourquoi, avec les [angles horaires](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) du coucher.
4. En intégrant le théorème sur l’année, on trouve des moyennes annuelles de $306.9\,$ , $260.3\,$ , $213.7\,$ , $185.6\,$ et $173.8\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ à $45{}^{\circ}$ , $55{}^{\circ}$ , $65{}^{\circ}$ , $75{}^{\circ}$ et $85{}^{\circ}$ N. Comparer avec l’ [insolation](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-insolation) de bande du tableau de la Partie II et donner deux raisons des différences.
5. L’ [insolation](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-insolation) moyenne globale de la réanalyse est de $341.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ . Quelle valeur de $S_0$ implique-t-elle ?
6. Calculer l’aire de la calotte au nord de $40{}^{\circ}$ N et la fraction de la surface de la Terre qu’elle couvre.

**Partie II — Absorbé et émis.** La réanalyse donne, pour cinq bandes de la calotte :

| bande | $40{}^{\circ}$–$50{}^{\circ}$ | $50{}^{\circ}$–$60{}^{\circ}$ | $60{}^{\circ}$–$70{}^{\circ}$ | $70{}^{\circ}$–$80{}^{\circ}$ | $80{}^{\circ}$–$90{}^{\circ}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\bar Q$ ($\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$) | 308.4 | 262.4 | 217.3 | 188.7 | 176.1 |
| albédo $\alpha$ | 0.358 | 0.393 | 0.426 | 0.510 | 0.576 |
| OLR ($\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$) | 226.1 | 210.3 | 201.3 | 197.4 | 191.6 |

7. Calculer le rayonnement solaire absorbé de chaque bande.
8. Calculer le [rayonnement net](#def-b1-radiation-heat-transport-net-radiation) de chaque bande. Quelle bande a le plus grand déficit ?
9. Calculer la [température d’émission](#def-b1-radiation-heat-transport-olr) de chaque bande.
10. De $40{}^{\circ}$ – $50{}^{\circ}$ à $80{}^{\circ}$ – $90{}^{\circ}$ , de quel facteur la lumière solaire absorbée chute-t-elle, et de quel facteur l’OLR ?
11. Donner deux raisons pour lesquelles l’albédo augmente vers le pôle.
12. Pourquoi l’OLR varie-t-il tellement moins que la lumière solaire absorbée ?

**Partie III — Le rayonnement net de la calotte.**

13. Calculer l’aire de chaque bande et vérifier qu’elles s’additionnent à l’aire de la question 6.
14. Calculer la puissance radiative nette de chaque bande et de toute la calotte, en pétawatts.
15. Calculer l’albédo moyen de la calotte, en pondérant chaque bande par sa lumière solaire incidente, et le comparer à l’albédo global de la réanalyse, $0.342$ .
16. Le [rayonnement net](#def-b1-radiation-heat-transport-net-radiation) moyen global de la réanalyse est de $-12.90\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ . Que signifierait-il s’il était réel ? Comparer avec le déséquilibre évalué de $+0.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ .
17. Retrancher cette moyenne globale du [rayonnement net](#def-b1-radiation-heat-transport-net-radiation) de chaque bande et calculer de nouveau la puissance nette de la calotte.
18. Expliquer, avec la [Proposition 27.9](#prop-b1-radiation-heat-transport-mht) , pourquoi le déficit corrigé de la calotte doit être apporté à travers le 40 e parallèle.

**Partie IV — Le transport et sa part latente.** Sur la calotte la réanalyse donne un [flux de chaleur latente](#def-b1-radiation-heat-transport-surface-fluxes) moyen de $42.4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ et une précipitation moyenne de $1.95\,\mathrm{mm}$ par jour ; sur le globe, la moyenne de $LE - LP$ est de $2.07\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

19. Calculer le transport à travers $40{}^{\circ}$ N, en pétawatts.
20. Calculer la chaleur latente $LP$ libérée par les précipitations de la calotte, en $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ , et la comparer à $LE$ .
21. En retirant la moyenne globale de $LE - LP$ , calculer la chaleur latente apportée dans la calotte sous forme de vapeur d’eau, en pétawatts.
22. Quelle fraction du transport à travers $40{}^{\circ}$ N est de la chaleur latente ?
23. En prenant la part de l’atmosphère trouvée par Trenberth et Caron à $35{}^{\circ}$ N, $78\,\%$ , comme valable à $40{}^{\circ}$ N, partager le transport en chaleur latente, reste du transport atmosphérique, et océan.
24. La même étude trouve $5.0\,\mathrm{PW}$ pour l’atmosphère seule à $43{}^{\circ}$ N. Votre réponse est-elle une borne supérieure ou inférieure de la vérité ?
25. Quelle chaleur traverse le 40 e parallèle nord, en pétawatts ?

**Solution de Problème 27.1.**

1. Juin : $\cos h_0 = -0.3638$ , $h_0 = 111.33{}^{\circ}$ , $\bar Q =  483.0\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ . Décembre : $h_0 = 68.67{}^{\circ}$ , $\bar Q =  155.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ . Mars : $h_0 = 90{}^{\circ}$ , $\bar Q = (1361/\pi)  \times 1.0081 \times \cos40{}^{\circ} = 334.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ .
2. En juin : $\tan80{}^{\circ}\tan23.44{}^{\circ} = 2.46 > 1$ , jour polaire, $h_0 = \pi$ : $\bar Q = 1361 \times 0.9683 \times \sin80{}^{\circ}\sin23.44{}^{\circ} =  516.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ . Décembre : nuit polaire, $\bar Q = 0$ . Mars : $(1361/\pi) \times 1.0081 \times \cos80{}^{\circ} = 75.8\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ .
3. À $80{}^{\circ}$ N le Soleil ne se couche pas ( $h_0 = 180{}^{\circ}$ , 24 heures) alors qu’à $40{}^{\circ}$ N il brille $14.8\,\mathrm{h}$ . Sa hauteur est plus basse, entre $13.4{}^{\circ}$ et $33.4{}^{\circ}$ , mais le terme $h_0\sin\varphi\sin\delta$ , qui croît avec la durée du jour et la [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) , l’emporte.
4. Les valeurs de bande dépassent les valeurs centrales de $0.5\,\%$ , $0.8\,\%$ , $1.7\,\%$ , $1.7\,\%$ et $1.3\,\%$ . D’abord, la réanalyse utilise un éclairement solaire légèrement plus grand (question 5), $0.5\,\%$ de plus. Ensuite, une moyenne de bande n’est pas la valeur au centre : la moitié équatoriale de chaque bande a plus d’aire et plus de lumière que la moitié polaire.
5. D’après la [Proposition 27.4](#prop-b1-radiation-heat-transport-global) , $S_0 = 4\sqrt{1-e^2}  \times 341.9 = 1367\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ , $0.47\,\%$ de plus que $1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ .
6. $A = 2\pi a_\oplus^2(1 - \sin40{}^{\circ}) = 2\pi \times (6.371\times10^6)^2  \times 0.3572 = 9.110 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{2}$ , une fraction $(1 - \sin40{}^{\circ})/2 =  0.179$ de la Terre.
7. $(1 - \alpha)\bar Q$ : $198.0$ , $159.3$ , $124.7$ , $92.5$ , $74.7$ $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ .
8. $R$ : $-28.1$ , $-51.0$ , $-76.6$ , $-104.9$ , $-116.9$ $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ . Les cinq bandes sont en déficit ; la bande polaire $80{}^{\circ}$ – $90{}^{\circ}$ a le plus grand.
9. $T_e = (\text{OLR}/\sigma)^{1/4}$ : $251.3$ , $246.8$ , $244.1$ , $242.9$ , $241.1$ $\mathrm{K}$ .
10. Absorbé : $198.0/74.7 = 2.65$ ; OLR : $226.1/191.6 = 1.18$ .
11. Le Soleil est plus bas, et la lumière arrivant sous un angle rasant est davantage réfléchie par les nuages et l’eau ; la neige et la glace de mer, surfaces brillantes, couvrent davantage le sol et la mer vers le pôle.
12. L’OLR varie comme $T_e^4$ , et $T_e$ ne varie que de $10\,\mathrm{K}$ , $4\,\%$ , sur la calotte : les hautes [latitudes](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/1-astronomie-spherique#def-b1-spherical-astronomy-geographic) sont maintenues bien plus chaudes que leur lumière solaire seule ne le permettrait, par la chaleur apportée du sud.
13. En $\mathrm{m}^{2}$ : $3.143 \times 10^{13}$ , $2.550 \times 10^{13}$ , $1.879 \times 10^{13}$ , $1.151 \times 10^{13}$ , $0.387 \times 10^{13}$ ; la somme est $9.110 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{2}$ .
14. $R_iA_i$ : $-0.883$ , $-1.300$ , $-1.439$ , $-1.207$ , $-0.453$ $\mathrm{PW}$ ; la calotte : $-5.28\,\mathrm{PW}$ .
15. $\alpha_\text{calotte} = \sum\alpha_i\bar Q_iA_i/\sum\bar Q_iA_i = 0.400$ , contre $0.342$ pour le globe.
16. $-12.90 \times 5.10\times10^{14} = -6.58\,\mathrm{PW}$ : la Terre perdrait de la chaleur à ce rythme et se refroidirait. Le déséquilibre évalué est $+0.7 \times 5.10\times10^{14} = +0.36\,\mathrm{PW}$ , dix-huit fois plus petit et de signe opposé : le déséquilibre de la réanalyse est une erreur de modèle.
17. $R_i + 12.90$ corrigé : $-15.2$ , $-38.1$ , $-63.7$ , $-92.0$ , $-104.0$ $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ ; puissances $-0.478$ , $-0.972$ , $-1.197$ , $-1.059$ , $-0.403$ $\mathrm{PW}$ ; la calotte : $-4.108\,\mathrm{PW}$ , un déficit moyen de $45.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ .
18. L’énergie de la calotte ne change pas d’une année à l’autre, donc ce qu’elle perd au sommet de l’atmosphère doit y entrer, et la seule voie d’entrée est à travers le 40 e parallèle : $T(40{}^{\circ}) = -2\pi a_\oplus^2\int_{40{}^{\circ}}^{90{}^{\circ}}  R\cos\varphi\,\mathrm d\varphi$ .
19. $T(40{}^{\circ}\,\text{N}) = +4.11\,\mathrm{PW}$ , vers le nord.
20. $LP = 2.4655\times10^6 \times 1.95/86400 = 55.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ , plus que $LE = 42.4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ : il tombe plus d’eau sur la calotte qu’il n’en évapore ; la différence arrive sous forme de vapeur.
21. $(LE - LP) - 2.07 = 42.4 - 55.6 - 2.07 = -15.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ ; multiplié par l’aire de la calotte : $-1.40\,\mathrm{PW}$ . L’atmosphère apporte $1.40\,\mathrm{PW}$ de chaleur latente à travers $40{}^{\circ}$ N.
22. $1.40/4.11 = 0.34$ : un tiers.
23. Océan $0.22 \times 4.11 = 0.90\,\mathrm{PW}$ ; atmosphère $0.78 \times 4.11 =  3.20\,\mathrm{PW}$ , dont $1.40\,\mathrm{PW}$ de chaleur latente et $1.80\,\mathrm{PW}$ portés sous forme de chaleur sensible et d’énergie potentielle de l’air.
24. Une borne inférieure. Le total de la réanalyse à $43{}^{\circ}$ N, $4.02\,\mathrm{PW}$ , est inférieur à l’atmosphère seule dans l’étude, $5.0\,\mathrm{PW}$ ; le vrai total est plus grand.
25. Environ $4.11\,\mathrm{PW}$ , $4.11 \times 10^{15}\,\mathrm{W}$ , d’après le rayonnement de la réanalyse, dont un tiers sous forme de chaleur latente ; la vraie valeur est plus grande encore.