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title: "Minéralogie optique"
book: "Sciences de la Terre et de l’Univers à l’université — 1re année"
subject: earth
language: fr
chapter: 8
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/8-mineralogie-optique
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Chapitre 8 — Minéralogie optique

Entre [polariseurs croisés](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope), une [lame mince](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section) de gabbro s’illumine comme un vitrail. De longues lattes grises et blanches, rayées comme un code-barres, traversent le champ ; entre elles, des grains brillent en bleu, en jaune et en magenta ; quelques-uns restent noirs quel que soit l’angle. Chacun de ces effets a une cause que l’on peut calculer, et chacun dit quel [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) est là. Ce chapitre explique comment la lumière traverse un cristal, pourquoi un [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) entre [polariseurs croisés](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) est coloré, comment la couleur mesure une propriété du [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral), et comment un pétrologue nomme les grains d’une [lame mince](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section) avec pour seul instrument un microscope. Il se termine par une lame inconnue dont on trouve les minéraux, et l’[épaisseur réelle](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/5-les-coupes-geologiques#def-b1-cross-sections-thickness), d’après ce qu’elle montre.

**Tu sais déjà.**

Une [lame mince](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section) est une tranche de roche d’environ $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ d’épaisseur sur une lame de verre ; le [microscope polarisant](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) la regarde en [lumière polarisée non analysée](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) (un seul polariseur) et entre [polariseurs croisés](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) ([Chapitre 6](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#ch-b1-field-lab-methods-1)). L’indice de réfraction $n$ d’un milieu est le rapport de la vitesse de la lumière dans le vide à sa vitesse dans le milieu, et la réfraction à une interface obéit à la loi de Snell–Descartes $n_1\sin i_1 = n_2\sin i_2$ (physique, volume de première année). La lumière est une onde transversale ; un polariseur ne laisse passer que la composante du champ électrique le long de sa direction, de sorte qu’un analyseur faisant l’angle $\alpha$ avec lui laisse passer la fraction $\cos^2\alpha$ de l’intensité (loi de Malus, physique).

## 8.1 La lumière dans les cristaux

Dans un verre, un liquide ou un cristal cubique, la lumière se propage à la même vitesse dans toutes les directions et quelle que soit sa direction de vibration. Dans la plupart des minéraux, il n’en est rien : l’arrangement des atomes diffère selon les directions, et la réponse des électrons au champ électrique de l’onde aussi.

**Définition 8.1 (Minéraux isotropes et anisotropes).**

Un [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) est un *minéral isotrope* lorsque son indice de réfraction est le même pour toute direction de propagation et de vibration de la lumière ; les minéraux cubiques ([grenat](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups), halite, spinelle) et les verres sont isotropes. Il est un *minéral anisotrope* lorsque son indice de réfraction dépend de la direction de vibration ; tous les minéraux des autres systèmes cristallins sont anisotropes.

Une lame taillée dans un cristal anisotrope ne laisse pas passer la lumière comme une onde unique. On admet le résultat suivant de l’optique cristalline (physique, volume de deuxième année) : pour une direction de propagation donnée, une lame d’un [minéral anisotrope](#def-b1-optical-mineralogy-anisotropic) transmet deux ondes qui vibrent selon deux directions perpendiculaires fixées dans la lame, ses *directions de vibration*, et se propagent avec deux indices de réfraction différents $n_1$ et $n_2$. La lumière qui vibre selon l’une de ces directions traverse la lame sans changer de polarisation ; la lumière qui vibre selon toute autre direction est décomposée en ses deux composantes selon elles. Les deux indices dépendent de la direction de propagation, et il existe des directions particulières dans lesquelles ils sont égaux.

**Définition 8.2 (Axe optique, minéraux uniaxes et biaxes).**

Un *axe optique* d’un [minéral anisotrope](#def-b1-optical-mineralogy-anisotropic) est une direction de propagation le long de laquelle la lumière se propage avec un seul indice de réfraction, quelle que soit sa direction de vibration, comme dans un milieu isotrope. Un [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) est *uniaxe* lorsqu’il a un axe optique (minéraux des systèmes trigonal, quadratique et hexagonal, comme le quartz et la calcite) et *biaxe* lorsqu’il en a deux (minéraux orthorhombiques, monocliniques et tricliniques, comme l’[olivine](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups), les [pyroxènes](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups), les [amphiboles](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups), les [micas](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) et les [feldspaths](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups)).

La géométrie se résume par une surface, l’indicatrice : un ellipsoïde dont le rayon dans chaque direction est l’indice de réfraction pour la lumière vibrant dans cette direction. La section de l’ellipsoïde perpendiculaire à la direction de propagation est une ellipse dont les axes sont les deux directions de vibration et dont les demi-axes sont $n_1$ et $n_2$. Pour un [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) [uniaxe](#def-b1-optical-mineralogy-optic-axis), l’ellipsoïde est de révolution autour de l’[axe optique](#def-b1-optical-mineralogy-optic-axis), avec deux indices principaux $n_\omega$ et $n_\varepsilon$ : le quartz a $n_\omega = 1.544$ et $n_\varepsilon = 1.553$, la calcite $1.658$ et $1.486$.

Un [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) [biaxe](#def-b1-optical-mineralogy-optic-axis) a trois indices principaux $n_\alpha < n_\beta < n_\gamma$ et deux sections circulaires, perpendiculaires à ses deux [axes optiques](#def-b1-optical-mineralogy-optic-axis) : la forstérite a $1.635$, $1.651$ et $1.670$.

**Définition 8.3 (Biréfringence (d’un minéral)).**

La *biréfringence* d’un [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) est la différence $\delta = n_{\max} - n_{\min}$ entre son plus grand et son plus petit indice de réfraction principal : $n_\varepsilon - n_\omega$ en valeur absolue pour un [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) [uniaxe](#def-b1-optical-mineralogy-optic-axis), $n_\gamma - n_\alpha$ pour un [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) [biaxe](#def-b1-optical-mineralogy-optic-axis). Dans un grain coupé selon toute autre direction, la différence $|n_1 - n_2|$ est comprise entre 0 (une section perpendiculaire à un [axe optique](#def-b1-optical-mineralogy-optic-axis)) et $\delta$ (une section contenant les directions de $n_{\max}$ et de $n_{\min}$).

La [biréfringence](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence) est une propriété du [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral), comme sa masse volumique : quartz $0.009$, calcite $0.172$, forstérite $0.035$, fayalite $0.052$. Une [lame mince](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section) coupe les grains d’un [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) selon toutes les orientations, de sorte que ses grains montrent toutes les valeurs de 0 à $\delta$ ; seule la plus haute est caractéristique.

## 8.2 Observations en lumière polarisée non analysée

Avec le seul polariseur inférieur, le microscope montre la forme des grains, leur couleur, leurs clivages et leur [relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief).

**Définition 8.4 (Pléochroïsme).**

Un [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) est *pléochroïque* lorsque sa couleur, vue en [lumière polarisée non analysée](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope), change quand la platine tourne ; le *pléochroïsme* est ce changement. Il tient à ce que l’absorption de la lumière dépend de sa direction de vibration dans le cristal.

La biotite est le cas d’école : un grain coupé en travers de son clivage passe du jaune-brun pâle au brun foncé en tournant, le plus foncé lorsque les traces de clivage sont le long du polariseur. La hornblende passe du jaune au vert. La plupart des autres silicates des roches (quartz, [feldspaths](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups), [olivine](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups), diopside, muscovite) sont incolores en [lame mince](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section), et leurs grains incolores se distinguent par d’autres moyens.

**Définition 8.5 (Relief, liseré de Becke).**

Le *relief* d’un grain en [lame mince](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section) est la netteté avec laquelle son contour, ses fissures et sa surface ressortent sur le milieu de montage ; il est fort lorsque les indices de réfraction du grain et du milieu diffèrent beaucoup, faible lorsqu’ils sont proches. Le *liseré de Becke* est la fine ligne brillante qui borde un grain dont l’indice diffère de celui de son environnement lorsque la mise au point du microscope est légèrement décalée.

**Proposition 8.6 (Relief et indice de réfraction).**

Un rayon qui traverse sous l’incidence $i$ une frontière entre un milieu de montage d’indice $n_m$ et un grain d’indice $n$ voisin de $n_m$ est dévié de

$$
\varepsilon \approx \frac{|n - n_m|}{n_m}\,\tan i
$$

(en radians), au premier [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) en $(n - n_m)/n_m$. Les déviations aux bords inclinés d’un grain, et donc son [relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief), croissent proportionnellement à $|n - n_m|$.

**Démonstration.** La loi de Snell–Descartes donne $n_m \sin i = n \sin r$. Écrivons $n = n_m(1 + \eta)$ avec $\eta$ petit et $r = i - \varepsilon$ avec $\varepsilon$ petit. Alors $\sin i = (1 + \eta)(\sin i - \varepsilon\cos i) + O(\eta^2, \varepsilon^2)$, donc $\eta \sin i = \varepsilon\cos i$ au premier [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour), c’est-à-dire $\varepsilon = \eta\tan i$, avec $|\eta| = |n - n_m|/n_m$. ∎

Une [lame mince](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section) est montée dans une résine d’indice voisin de $1.54$.

Le quartz ($1.544$–$1.553$) et les [feldspaths](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) ($1.52$–$1.59$) y sont presque invisibles : [relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief) faible, limites de grains difficiles à voir. L’[olivine](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) ($1.64$–$1.88$), les [pyroxènes](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) et les [amphiboles](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) ressortent avec des bords sombres et une surface d’aspect rugueux : [relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief) fort. Le [grenat](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) ($1.83$) paraît presque cerné de noir. La calcite, dont l’indice va de $1.486$ à $1.658$ avec la direction de vibration, change de [relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief) quand la platine tourne, un effet appelé scintillement. Le [relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief) dit seulement de combien $n$ est éloigné de $n_m$, non de quel côté ; le [liseré de Becke](#def-b1-optical-mineralogy-relief) dit le côté.

**Méthode 8.7 (Le test du liseré de Becke).**

Faire la mise au point sur le bord d’un grain en [lumière polarisée non analysée](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope), fermer un peu le diaphragme d’ouverture, et remonter légèrement la mise au point (éloigner l’objectif de la lame). Le [liseré de Becke](#def-b1-optical-mineralogy-relief) brillant se déplace dans le milieu d’indice de réfraction le plus élevé : s’il se déplace dans le grain, le grain a l’indice le plus élevé ([relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief) positif) ; s’il en sort vers la résine ou le grain voisin, le grain a l’indice le plus faible ([relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief) négatif).

La méthode fonctionne parce qu’une limite de grain n’est jamais exactement verticale : à une limite inclinée, la lumière est réfractée vers le côté d’indice le plus élevé, et au-delà de l’angle critique elle est totalement réfléchie de ce côté, si bien que la lumière qui traverse la limite se concentre au-dessus du milieu d’indice le plus élevé. Remonter la mise au point regarde un plan situé au-dessus de la lame, où cette lumière concentrée se trouve à l’intérieur du matériau d’indice le plus élevé.

## 8.3 Entre polariseurs croisés

Avec l’analyseur inséré, à angle droit du polariseur, un grain isotrope est noir dans toutes les positions : la lumière l’atteint en vibrant selon le polariseur et le quitte en vibrant de la même façon, et l’analyseur l’arrête entièrement. Un grain anisotrope est généralement brillant et coloré. La raison est la [différence de marche](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) entre ses deux ondes.

**Définition 8.8 (Différence de marche (dans une lame cristalline)).**

La *différence de marche* $\Delta$ d’une lame d’un [minéral anisotrope](#def-b1-optical-mineralogy-anisotropic) est la différence entre les chemins optiques de ses deux ondes à la sortie de la lame, l’onde la plus lente étant en retard sur la plus rapide.

**Proposition 8.9 (Différence de marche et biréfringence).**

Une lame d’épaisseur $d$ dont les deux ondes ont les indices $n_1 > n_2$ a la [différence de marche](#def-b1-optical-mineralogy-retardation)

$$
\Delta = d\,(n_1 - n_2),
$$

et ses deux ondes en sortent avec un déphasage $\varphi = 2\pi\Delta/\lambda$ pour une lumière de longueur d’onde $\lambda$ dans le vide. Dans une [lame mince](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section), la plus grande [différence de marche](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) que montrent les grains d’un même [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) est $d\,\delta$.

**Démonstration.** Une onde qui traverse une épaisseur $d$ à la vitesse $c/n$ met le temps $nd/c$ ; son chemin optique, la distance que la lumière parcourrait dans le vide pendant ce temps, est $nd$. Les deux ondes entrent ensemble ; à la sortie, la plus lente est en retard de $n_1 d - n_2 d = d(n_1 - n_2)$, retard qui est la fraction $\Delta/\lambda$ d’une période, c’est-à-dire un déphasage $2\pi\Delta/\lambda$. La plus grande valeur de $n_1 - n_2$ parmi toutes les orientations est $\delta$ ([Définition 8.3](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence)). ∎

Un grain de quartz de l’orientation la plus favorable dans une lame de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ d’épaisseur a $\Delta = 30\,000\,\mathrm{nm}\times0.009 =
270\,\mathrm{nm}$ ; un grain de calcite $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.172 = 5160\,\mathrm{nm}$.

![La lumière à travers une lame cristalline entre polariseurs croisés. Le polariseur laisse passer la vibration est–ouest (a) ; la lame la sépare en deux ondes selon ses directions de vibration, à et + 90 du polariseur (b) ; l’analyseur, nord–sud, laisse passer la composante nord–sud de chacune (c). Les deux composantes ont des grandeurs égales et des signes opposés : sans le retard, elles s’annulent et la lame paraît sombre ; l’onde 2 est en retard sur l’onde 1 du déphasage = 2π /, et la somme ne s’annule plus.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-optical-mineralogy/fig-8b6b0b258803.svg)

*La lumière à travers une lame cristalline entre [polariseurs croisés](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope). Le polariseur laisse passer la vibration est–ouest (a) ; la lame la sépare en deux ondes selon ses directions de vibration, à $\theta$ et $\theta + 90{}^{\circ}$ du polariseur (b) ; l’analyseur, nord–sud, laisse passer la composante nord–sud de chacune (c). Les deux composantes ont des grandeurs égales et des signes opposés : sans le retard, elles s’annulent et la lame paraît sombre ; l’onde 2 est en retard sur l’onde 1 du déphasage $\varphi = 2\pi\Delta/\lambda$, et la somme ne s’annule plus.*

**Théorème 8.10 (Intensité entre polariseurs croisés).**

Une lame de [différence de marche](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) $\Delta$ dont les directions de vibration font l’angle $\theta$ avec le polariseur, entre [polariseurs croisés](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope), transmet à la longueur d’onde $\lambda$ l’intensité

$$
I = I_0\,\sin^2 2\theta\,\sin^2\frac{\pi\Delta}{\lambda},
$$

où $I_0$ est l’intensité qui sort du polariseur.

**Démonstration.** Prenons le polariseur selon $x$ et l’analyseur selon $y$, et écrivons le champ sortant du polariseur comme la partie réelle de $E_0 e^{i\omega t}$ selon $x$, avec $I_0 = E_0^2$ à une constante près. La direction de vibration 1 de la lame est le vecteur unitaire $(\cos\theta, \sin\theta)$, la direction 2 est $(-\sin\theta, \cos\theta)$. Le champ incident a pour composantes $E_0\cos\theta$ selon 1 et $-E_0\sin\theta$ selon 2. La lame laisse l’onde 1 inchangée, à une phase commune près, et retarde l’onde 2 de $\varphi = 2\pi\Delta/\lambda$ ([Proposition 8.9](#prop-b1-optical-mineralogy-retardation)) ; en amplitudes complexes, les ondes qui sortent de la lame sont $E_0\cos\theta$ selon 1 et $-E_0\sin\theta\,e^{-i\varphi}$ selon 2. Leurs composantes selon $y$ sont $E_0\cos\theta\sin\theta$ et $-E_0\sin\theta\cos\theta\,e^{-i\varphi}$ ; l’analyseur laisse passer leur somme,

$$
A = E_0\sin\theta\cos\theta\,(1 - e^{-i\varphi}) .
$$

Comme $|1 - e^{-i\varphi}|^2 = 2 - 2\cos\varphi = 4\sin^2(\varphi/2)$ et $\sin\theta\cos\theta = \frac12\sin2\theta$, l’intensité est $|A|^2 = E_0^2\,\sin^2 2\theta\,\sin^2(\varphi/2)$, c’est-à-dire $I = I_0\sin^2 2\theta\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$. Si l’onde 1 est la plus lente, $\varphi$ change de signe et $I$ est inchangé. ∎

Le théorème contient tout ce que montre le microscope entre [polariseurs croisés](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope). Son premier facteur ne dépend que de l’orientation du grain sur la platine ; le second, seulement de la [différence de marche](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) du grain et de la couleur de la lumière.

**Définition 8.11 (Position d’extinction, angle d’extinction).**

Un grain anisotrope entre [polariseurs croisés](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) est en *position d’extinction* lorsqu’il est sombre parce que ses directions de vibration sont parallèles au polariseur et à l’analyseur. L’*angle d’extinction* d’un grain est l’angle entre une direction visible dans le grain (une trace de clivage, un allongement, un plan de [macle](#def-b1-optical-mineralogy-twin)) et la position d’extinction la plus proche, lu sur la platine graduée.

Le facteur $\sin^2 2\theta$ s’annule pour $\theta = 0$, $90{}^{\circ}$, $180{}^{\circ}$ et $270{}^{\circ}$ : un grain devient sombre quatre fois par tour complet de la platine, et est le plus brillant à mi-chemin, à $45{}^{\circ}$ de l’extinction (figure ci-dessous). Un grain avec $\Delta = 0$ — un [minéral isotrope](#def-b1-optical-mineralogy-anisotropic), ou une section perpendiculaire à un [axe optique](#def-b1-optical-mineralogy-optic-axis) — reste sombre en permanence. L’[angle d’extinction](#def-b1-optical-mineralogy-extinction) dépend de la symétrie du cristal : un [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) dont les directions de vibration sont liées à ses clivages, comme les minéraux orthorhombiques, s’éteint parallèlement à eux (extinction droite) ; un [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) monoclinique ou triclinique ne le fait généralement pas (extinction oblique). Le plus grand [angle d’extinction](#def-b1-optical-mineralogy-extinction) entre les traces de clivage et la direction de vibration lente est d’environ $38{}^{\circ}$ dans le diopside et de $15{}^{\circ}$–$19{}^{\circ}$ dans la hornblende, dans des sections parallèles à $(010)$ : l’une des façons de distinguer un [pyroxène](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) d’une [amphibole](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) en [lame mince](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section).

![L’intensité laissée passer par un grain quand la platine tourne, à la longueur d’onde 550\, nm, pour trois différences de marche (). Quatre extinctions par tour, quatre maxima à 45 d’elles ; la différence de marche fixe la hauteur des maxima, qui est presque nulle lorsque est proche d’un nombre entier de longueurs d’onde.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-optical-mineralogy/fig-1ecc3b13c7fa.svg)

*L’intensité laissée passer par un grain quand la platine tourne, à la longueur d’onde $550\,\mathrm{nm}$, pour trois [différences de marche](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) ([Théorème 8.10](#thm-b1-optical-mineralogy-intensity)). Quatre extinctions par tour, quatre maxima à $45{}^{\circ}$ d’elles ; la [différence de marche](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) fixe la hauteur des maxima, qui est presque nulle lorsque $\Delta$ est proche d’un nombre entier de longueurs d’onde.*

### 8.3.1 Teintes de polarisation

En lumière blanche, le second facteur $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$ agit comme un filtre qui dépend de la longueur d’onde. Un grain avec $\Delta = 270\,\mathrm{nm}$ laisse passer presque tout le vert et le jaune ($\lambda$ voisin de $2\Delta = 540$ nm, où le facteur vaut 1) et un peu moins du violet et du rouge : il paraît blanc. Un grain avec $\Delta = 550\,\mathrm{nm}$ supprime le jaune-vert ($\lambda = \Delta$) et laisse passer le rouge et le bleu : il paraît magenta. Quand $\Delta$ croît, les longueurs d’onde supprimées se déplacent sur le spectre et de nouvelles apparaissent, et la couleur parcourt une suite fixe.

**Définition 8.12 (Teinte de polarisation, ordre, abaque de Michel-Lévy).**

La *teinte de polarisation* d’un grain anisotrope est sa couleur entre [polariseurs croisés](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) en lumière blanche, à $45{}^{\circ}$ de l’extinction ; elle ne dépend que de sa [différence de marche](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) $\Delta$. Les couleurs se répètent par bandes d’environ $550\,\mathrm{nm}$ de [différence de marche](#def-b1-optical-mineralogy-retardation), chacune se terminant par une teinte rouge-violet ; chaque bande est un *ordre* (premier, deuxième, troisième…). L’*abaque de Michel-Lévy* montre les teintes de polarisation en fonction de la [différence de marche](#def-b1-optical-mineralogy-retardation), avec les droites $\Delta = d\,\delta$ qui relient l’épaisseur d’une section, la [biréfringence](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence) d’un [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) et sa couleur.

![Un abaque de Michel-Lévy calculé à partir des premiers principes : pour chaque différence de marche, la couleur de la lumière blanche (illuminant standard CIE D65) à travers des polariseurs croisés et une lame à 45 de l’extinction, d’après les fonctions colorimétriques CIE 1931 (données © CIE, CC BY-SA 4.0) et la transformation sRGB, normalisée à la lumière laissée passer par des polariseurs parallèles. Les droites noires donnent = d\, pour la biréfringence de chaque minéral ; la droite en tirets est l’épaisseur standard de 30\, µ m. Les teintes rouge-violet qui terminent les ordres tombent à 542, 1074 et 1605\, nm dans ce calcul.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-optical-mineralogy/fig-075f5962a1e1.svg)

*Un [abaque de Michel-Lévy](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) calculé à partir des premiers principes : pour chaque [différence de marche](#def-b1-optical-mineralogy-retardation), la couleur de la lumière blanche (illuminant standard CIE D65) à travers des [polariseurs croisés](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) et une lame à $45{}^{\circ}$ de l’extinction, d’après les fonctions colorimétriques CIE 1931 (données © CIE, CC BY-SA 4.0) et la transformation sRGB, normalisée à la lumière laissée passer par des polariseurs parallèles. Les droites noires donnent $\Delta = d\,\delta$ pour la [biréfringence](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence) de chaque [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) ; la droite en tirets est l’épaisseur standard de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$. Les teintes rouge-violet qui terminent les [ordres](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) tombent à 542, 1074 et $1605\,\mathrm{nm}$ dans ce calcul.*

L’abaque est calculé exactement comme le dit le théorème. Pour chaque [différence de marche](#def-b1-optical-mineralogy-retardation), chaque longueur d’onde de la lumière est pondérée par $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$ ; le spectre transmis est ensuite converti en une couleur telle que l’œil la voit, par les fonctions colorimétriques standard de la colorimétrie, puis en rouge, vert et bleu d’un écran ou d’une imprimante par la transformation sRGB. Trois traits méritent d’être remarqués. Le premier [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) commence noir, passe par le gris et le blanc (le seul blanc de l’abaque est près de $270\,\mathrm{nm}$, où le spectre est presque entièrement transmis), puis le jaune, l’orange et le rouge. Les deuxième et troisième [ordres](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) sont les plus brillants, avec des bleus, verts, jaunes et magentas vifs. Au-delà du quatrième [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour), les couleurs s’estompent : lorsque $\Delta$ vaut de nombreuses longueurs d’onde, le filtre $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$ oscille plusieurs fois sur le spectre visible, laisse passer chaque couleur tour à tour et, en moyenne, la moitié de la lumière : le grain paraît gris pâle rosé ou verdâtre, le blanc d’[ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) élevé de la calcite.

Lire l’abaque est le cœur de la minéralogie optique. Dans une section d’épaisseur connue, la plus haute couleur que montre un [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) donne sa [biréfringence](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence) : suivre l’épaisseur jusqu’à la couleur, puis la droite passant par ce point jusqu’à sa [biréfringence](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence). Inversement, un [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) de [biréfringence](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence) connue donne l’épaisseur : dans une bonne section de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, le quartz ne montre jamais plus qu’un blanc de premier [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) ou le jaune le plus pâle, et une section où le quartz montre du jaune ou de l’orange est trop épaisse.

**Histoire des sciences — Auguste Michel-Lévy.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-optical-mineralogy/img-da5c8106aa0c.jpg)

*Michel-Lévy étudiant, vers 1862. Domaine public.*

Auguste Michel-Lévy (1844–1911), qui devint directeur du Service de la carte géologique de France, fut l’un des premiers à identifier systématiquement les minéraux des roches au [microscope polarisant](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope). Avant lui, les couleurs des minéraux entre [polariseurs croisés](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) étaient employées de façon empirique ; il montra que ce qui compte est la [biréfringence](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence) maximale de chaque [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral), que l’on peut mesurer en comparant les couleurs de ses grains à un coin de quartz dont la [différence de marche](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) croît régulièrement sur sa longueur. Avec son élève Alfred Lacroix, il publia en 1888 *Les minéraux des roches*, un manuel des propriétés optiques des minéraux des roches. L’abaque qui porte son nom, des couleurs en fonction de la [différence de marche](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) avec des droites d’égale [biréfringence](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence), est toujours la façon de lire les [teintes de polarisation](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour).

Deux ondes qui sortent d’un grain peuvent recevoir une [différence de marche](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) supplémentaire connue grâce à une lame auxiliaire insérée au-dessus de la section à $45{}^{\circ}$ des polariseurs. La plus courante est taillée pour montrer le rouge du premier [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) (lame de teinte sensible), une [différence de marche](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) d’environ $540\,\mathrm{nm}$. Si la direction de vibration lente du grain est parallèle à la direction lente de la lame, les retards s’ajoutent et la couleur du grain monte d’environ un [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) ; si elle est parallèle à la direction rapide, ils se retranchent et la couleur descend. Un grain gris de premier [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) de $100\,\mathrm{nm}$ devient bleu de deuxième [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) ($640\,\mathrm{nm}$) dans une orientation et orange de premier [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) ($440\,\mathrm{nm}$) dans l’autre ; le test montre laquelle des deux directions de vibration du grain est la lente, propriété utilisée pour identifier les minéraux allongés.

## 8.4 Identifier les minéraux en lame mince

**Définition 8.13 (Macle, macle polysynthétique).**

Une *macle* est une association de deux cristaux ou plus du même [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) dont les réseaux sont reliés par une symétrie que le cristal n’a pas lui-même, comme une réflexion par rapport à un plan (le plan de macle). Une *macle polysynthétique* est une macle répétée sur des plans parallèles, qui divise un cristal en minces lamelles parallèles dont les orientations alternent.

Entre [polariseurs croisés](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope), les lamelles d’une [macle polysynthétique](#def-b1-optical-mineralogy-twin) s’éteignent alternativement : la moitié d’entre elles sont sombres lorsque l’autre moitié sont brillantes, et le cristal paraît rayé. Le [plagioclase](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) montre presque toujours ces rayures, qui le distinguent aussitôt du quartz et du [feldspath alcalin](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) ; son autre caractère, un [relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief) faible et des couleurs allant du gris au blanc de premier [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour), il le partage avec eux. Les [angles d’extinction](#def-b1-optical-mineralogy-extinction) des deux familles de lamelles, mesurés de part et d’autre du plan de [macle](#def-b1-optical-mineralogy-twin), dépendent de la composition du [plagioclase](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups), et des abaques de ces angles donnent sa teneur en anorthite.

**Méthode 8.14 (Identifier un minéral en lame mince).**

1. En [lumière polarisée non analysée](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) : noter si le grain est opaque ; sa couleur et son [pléochroïsme](#def-b1-optical-mineralogy-pleochroism) (tourner la platine) ; son [relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief) , et de quel côté de $1.54$ se situe son indice ( [liseré de Becke](#def-b1-optical-mineralogy-relief) ) ; sa forme et ses clivages, et l’angle entre deux clivages.
2. Entre [polariseurs croisés](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) : vérifier s’il reste sombre (isotrope, ou section perpendiculaire à un [axe optique](#def-b1-optical-mineralogy-optic-axis) ) ; parmi les grains d’un même [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) , trouver la plus haute [teinte de polarisation](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) et lire la [biréfringence](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence) sur l’ [abaque de Michel-Lévy](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) pour l’épaisseur de la section.
3. Mesurer l’ [angle d’extinction](#def-b1-optical-mineralogy-extinction) sur les grains montrant un clivage ou un allongement ; chercher les [macles](#def-b1-optical-mineralogy-twin) (rayures polysynthétiques, [macles](#def-b1-optical-mineralogy-twin) simples).
4. Comparer avec un tableau de propriétés optiques ( [Table 8.1](#tab-b1-optical-mineralogy-key) ) et avec les minéraux que la roche peut contenir ( [Chapitre 7](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#ch-b1-rock-forming-minerals) ).

| [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) | couleur (LPNA) | indices | [biréfringence](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence) | plus haute teinte à $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ | autres caractères |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| quartz | incolore | 1.544–1.553 | 0.009 | blanc du premier [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) | pas de clivage ; pas de [macles](#def-b1-optical-mineralogy-twin) visibles ; [uniaxe](#def-b1-optical-mineralogy-optic-axis) |
| orthose | incolore, souvent trouble | 1.518–1.525 | 0.005 | gris du premier [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) | [relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief) négatif ; [macles](#def-b1-optical-mineralogy-twin) simples |
| [plagioclase](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) | incolore | 1.526–1.590 | 0.008–0.013 | blanc à jaune pâle du premier [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) | [macle polysynthétique](#def-b1-optical-mineralogy-twin) |
| muscovite | incolore | 1.552–1.618 | 0.035–0.042 | teintes vives du deuxième au troisième [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) | un clivage parfait ; extinction droite |
| biotite | brune, verte | 1.565–1.696 | 0.04–0.07 | masquée par sa propre couleur | fort [pléochroïsme](#def-b1-optical-mineralogy-pleochroism) ; un clivage parfait |
| hornblende | verte, brune | 1.675–1.695 | 0.020 | bleu du deuxième [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) | [pléochroïque](#def-b1-optical-mineralogy-pleochroism) ; clivages à $56{}^{\circ}$/$124{}^{\circ}$ ; extinction $15{}^{\circ}$–$19{}^{\circ}$ |
| diopside | incolore | 1.664–1.694 | 0.030 | jaune du deuxième [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) | clivages à environ $87{}^{\circ}$/$93{}^{\circ}$ ; extinction d’environ $38{}^{\circ}$ |
| [olivine](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) | incolore (Mg) à jaune pâle (Fe) | 1.635–1.879 | 0.035–0.052 | fin du deuxième [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) au troisième [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) | [relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief) fort ; fissures irrégulières, pas de bon clivage |
| [grenat](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) | incolore à rose pâle | 1.830 (almandin) | isotrope | noir | [relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief) très fort ; contours à six ou huit côtés |
| calcite | incolore | 1.486–1.658 | 0.172 | blanc d’[ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) élevé | le [relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief) change à la rotation ; clivage rhomboédrique |
| magnétite | opaque | — | — | — | noire dans les deux modes d’éclairage |

***Table 8.1.** Propriétés optiques des minéraux courants des roches en [lame mince](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section). LPNA : [lumière polarisée non analysée](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope). La plus haute teinte se lit sur l’[abaque de Michel-Lévy](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) à $\Delta = 30\,000\,\mathrm{nm}\times\delta$.*

![(a) lumière polarisée non analysée](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-optical-mineralogy/img-e88b8668f4d4.jpg)

![(b) polariseurs croisés](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-optical-mineralogy/img-3e410af05130.jpg)

*(a) [lumière polarisée non analysée](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope)*

*(b) [polariseurs croisés](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope)*

*Le même champ d’un gabbro en [lame mince](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section). En [lumière polarisée non analysée](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) (a), le [plagioclase](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) est incolore à [relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief) faible, les grains de [pyroxène](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) et d’[olivine](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) sont gris-brun pâle à [relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief) fort et fissures denses, et le minerai opaque est noir ; l’échelle est un micromètre oculaire. Entre [polariseurs croisés](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) (b), les lattes de [plagioclase](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) sont rayées par la [macle polysynthétique](#def-b1-optical-mineralogy-twin), les grains de [pyroxène](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) et d’[olivine](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) brillent dans les teintes du deuxième [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour), et le minerai reste noir. Photographies Chmee2, CC BY-SA 3.0 (Wikimedia Commons).*

**Au laboratoire — Une séance au microscope.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-optical-mineralogy/img-7b74980cdd77.jpg)

*Un étudiant à un [microscope polarisant](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) dans un laboratoire d’enseignement (illustration générée par IA).*

Une pétrologue qui décrit une nouvelle [lame mince](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section) la parcourt d’abord à faible grossissement, pour voir la texture et les minéraux principaux, puis grain par grain. Pour chaque [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral), elle consigne les observations de la méthode ci-dessus, estime sa proportion dans le champ, et note comment les grains se touchent : lesquels ont cristallisé en premier, lesquels remplissent les espaces laissés, lesquels en remplacent d’autres. Les mesures optiques se font avec la platine graduée en degrés et une lame auxiliaire ; les compositions, lorsqu’elles comptent, sont mesurées plus tard à la microsonde sur la même lame. Un laboratoire d’enseignement fonctionne de la même façon, un microscope par étudiant et, à côté, une boîte de lames de référence de minéraux connus.

## 8.5 Exercices

**Exercice 8.1 ★.**

Calculer la plus grande [différence de marche](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) du quartz ($\delta = 0.009$) et de la calcite ($\delta = 0.172$) dans une section de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ d’épaisseur. À l’aide de l’[abaque de Michel-Lévy](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour), décrire la couleur de chacun.

**Solution de Exercice 8.1.**

Quartz : $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.009 = 270\,\mathrm{nm}$, un blanc du premier [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour). Calcite : $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.172 = 5160\,\mathrm{nm}$, bien au-delà de l’abaque : un blanc pâle d’[ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) élevé, faiblement rosé ou verdâtre.

**Exercice 8.2 ★.**

Un grain est tourné sur la platine entre [polariseurs croisés](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope). Calculer $I/I_0$, en fraction de son maximum, pour $\theta = 0$, $22.5{}^{\circ}$, $45{}^{\circ}$, $67.5{}^{\circ}$ et $90{}^{\circ}$ depuis une [position d’extinction](#def-b1-optical-mineralogy-extinction).

**Solution de Exercice 8.2.**

$I/I_{\max} = \sin^2 2\theta$ : $0$ à $0{}^{\circ}$ ; $\sin^245{}^{\circ} = 0.5$ à $22.5{}^{\circ}$ ; $1$ à $45{}^{\circ}$ ; $0.5$ à $67.5{}^{\circ}$ ; $0$ à $90{}^{\circ}$.

**Exercice 8.3 ★.**

Expliquer pourquoi un [grenat](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) reste noir entre [polariseurs croisés](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) quelle que soit la position de la platine, et pourquoi un grain de quartz peut faire de même. Comment les distinguer en [lumière polarisée non analysée](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) ?

**Solution de Exercice 8.3.**

Le [grenat](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) est cubique, donc isotrope : la lumière le quitte en vibrant comme elle y est entrée, le long du polariseur, et l’analyseur l’arrête ; $\Delta = 0$ dans toutes les positions. Un grain de quartz coupé perpendiculairement à son [axe optique](#def-b1-optical-mineralogy-optic-axis) a lui aussi $n_1 = n_2$ pour la lumière qui se propage le long de cet axe, donc $\Delta = 0$ : il reste sombre lui aussi. En [lumière polarisée non analysée](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope), le [grenat](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) a un [relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief) très fort ($1.83$ contre $1.54$), le quartz presque nul.

**Exercice 8.4 ★.**

Classer par [relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief), dans un milieu d’indice $1.54$, l’orthose ($n$ voisin de $1.52$), le quartz ($1.55$), la forstérite ($1.65$) et l’almandin ($1.83$). Lequel a un [relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief) négatif ? Dans quelle direction son [liseré de Becke](#def-b1-optical-mineralogy-relief) se déplace-t-il quand la mise au point est remontée ?

**Solution de Exercice 8.4.**

$|n - 1.54|$ : almandin $0.29$, forstérite $0.11$, orthose $0.02$, quartz $0.01$ ; [relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief) dans cet [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour), du plus fort au plus faible. L’orthose a l’indice le plus bas : [relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief) négatif, et son [liseré de Becke](#def-b1-optical-mineralogy-relief) sort du grain, vers la résine, quand la mise au point est remontée.

**Exercice 8.5 ★★.**

Dans une section de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, les grains d’un [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) vert [pléochroïque](#def-b1-optical-mineralogy-pleochroism) à deux clivages à $56{}^{\circ}$ et $124{}^{\circ}$ montrent au plus un bleu du deuxième [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour), lu sur l’abaque comme $\Delta = 650\,\mathrm{nm}$. Calculer sa [biréfringence](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence) et nommer le [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) à l’aide du [Table 8.1](#tab-b1-optical-mineralogy-key).

**Solution de Exercice 8.5.**

$\delta = 650/30000 = 0.022$. Un [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) vert [pléochroïque](#def-b1-optical-mineralogy-pleochroism) à clivages à $56{}^{\circ}$ et $124{}^{\circ}$ et de [biréfringence](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence) voisine de $0.020$ : la hornblende.

**Exercice 8.6 ★★.**

À l’aide de la [Proposition 8.6](#prop-b1-optical-mineralogy-relief) avec $n_m = 1.54$ et $i = 30{}^{\circ}$, calculer la déviation au bord d’un grain de quartz ($n = 1.553$) et d’un grain de forstérite ($n = 1.651$), en degrés, et le rapport des deux. Vérifier la seconde avec la loi de Snell–Descartes exacte.

**Solution de Exercice 8.6.**

$\tan30{}^{\circ} = 0.5774$. Quartz : $(0.013/1.54)\times0.5774 = 0.004\,87\,\mathrm{rad}
= 0.28{}^{\circ}$. Forstérite : $(0.111/1.54)\times0.5774 = 0.0416\,\mathrm{rad} =
2.38{}^{\circ}$. Rapport $0.111/0.013 = 8.5$. Exactement : $\sin r = 1.54\sin30{}^{\circ}/1.651
= 0.4664$, $r = 27.80{}^{\circ}$, soit une déviation de $2.20{}^{\circ}$ : la formule du premier [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) surestime de $8\,\%$ pour une différence d’indice aussi grande.

**Exercice 8.7 ★★.**

Une lame de teinte sensible rouge du premier [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) a $\Delta = 540\,\mathrm{nm}$. Un grain de quartz de $\Delta = 270\,\mathrm{nm}$ est placé à $45{}^{\circ}$ avec la lame insérée. Quelles sont les deux [différences de marche](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) totales possibles, et les couleurs qu’elles donnent sur l’abaque ? Quelle orientation rend parallèles les deux directions lentes ?

**Solution de Exercice 8.7.**

$270 + 540 = 810\,\mathrm{nm}$, un vert du deuxième [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour), lorsque les directions lentes du grain et de la lame sont parallèles (les retards s’ajoutent) ; $|270 - 540| =
270\,\mathrm{nm}$, de nouveau un blanc du premier [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour), lorsque la direction lente du grain est parallèle à la direction rapide de la lame.

**Exercice 8.8 ★★.**

À son bord aminci, un grain de fayalite ($\delta = 0.052$) passe de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ à zéro. Combien de teintes rouge-violet, qui terminent les [ordres](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) à 542, 1074 et $1605\,\mathrm{nm}$, apparaissent comme franges colorées entre le bord et la partie d’épaisseur pleine du grain ?

**Solution de Exercice 8.8.**

En pleine épaisseur, $\Delta = 30\,000\,\mathrm{nm}\times0.052 = 1560\,\mathrm{nm}$. Du bord ($\Delta = 0$) vers l’intérieur, la [différence de marche](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) passe par 542 et $1074\,\mathrm{nm}$ mais pas par $1605\,\mathrm{nm}$ : deux franges rouge-violet.

**Exercice 8.9 ★★.**

Sur plusieurs grains allongés à un bon clivage, un géologue mesure des [angles d’extinction](#def-b1-optical-mineralogy-extinction) de $0{}^{\circ}$, $21{}^{\circ}$, $36{}^{\circ}$ et $37{}^{\circ}$ entre la trace du clivage et la direction de vibration lente. Pourquoi les valeurs diffèrent-elles ? Le [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) est-il plus probablement du diopside ou de la hornblende ?

**Solution de Exercice 8.9.**

L’[angle d’extinction](#def-b1-optical-mineralogy-extinction) mesuré sur un grain dépend de la façon dont le grain est coupé : seules les sections d’une orientation particulière montrent le plus grand angle, et les autres en montrent moins, jusqu’à zéro. La plus grande valeur, environ $37{}^{\circ}$, est celle qu’il faut comparer : elle correspond au diopside (environ $38{}^{\circ}$), non à la hornblende (au plus $19{}^{\circ}$).

**Exercice 8.10 ★★★.**

Refaire la démonstration du [Théorème 8.10](#thm-b1-optical-mineralogy-intensity) avec l’analyseur parallèle au polariseur, et montrer que $I_\parallel = I_0\bigl(1 - \sin^2 2\theta\sin^2(\pi\Delta/\lambda)\bigr)$. Quelle couleur un grain de $\Delta = 550\,\mathrm{nm}$ montre-t-il à $45{}^{\circ}$ entre polariseurs parallèles ?

**Solution de Exercice 8.10.**

Avec l’analyseur selon $x$, les composantes en $x$ des deux ondes sont $E_0\cos\theta\cdot\cos\theta$ et $-E_0\sin\theta\,e^{-i\varphi}\cdot(-\sin\theta)$, donc $A = E_0(\cos^2\theta + \sin^2\theta\,e^{-i\varphi})$ et

$$
|A|^2 = E_0^2\bigl(\cos^4\theta + \sin^4\theta + 2\sin^2\theta\cos^2\theta\cos\varphi\bigr)
  = E_0^2\bigl(1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta\,(1 - \cos\varphi)\bigr),
$$

en utilisant $\cos^4\theta + \sin^4\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta$. Comme $2\sin^2\theta\cos^2\theta = \frac12\sin^2 2\theta$ et $1 - \cos\varphi =
2\sin^2(\varphi/2)$, $I_\parallel = I_0(1 - \sin^2 2\theta\sin^2(\pi\Delta/\lambda))$. À chaque longueur d’onde, $I_\parallel + I_\perp = I_0$ : les couleurs entre polariseurs parallèles sont les complémentaires de celles entre [polariseurs croisés](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope). Un grain de [différence de marche](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) $550\,\mathrm{nm}$, magenta entre [polariseurs croisés](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope), est vert jaunâtre pâle entre polariseurs parallèles.

**Exercice 8.11 ★★★.**

Pour un grain de calcite avec $\Delta = 5000\,\mathrm{nm}$, le facteur $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$ s’annule chaque fois que $\Delta/\lambda$ est un entier. (a) Combien de fois s’annule-t-il entre $400$ et $700\,\mathrm{nm}$ ? (b) Montrer qu’au voisinage de $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ deux zéros successifs sont distants d’environ $\lambda^2/\Delta$, et le calculer. (c) Expliquer pourquoi le grain paraît presque blanc.

**Solution de Exercice 8.11.**

(a) $\Delta/\lambda$ va de $5000/700 = 7.14$ à $5000/400 = 12.5$ ; il passe par les entiers 8 à 12 : cinq zéros. (b) Les zéros sont en $\lambda_k = \Delta/k$ ; deux zéros successifs sont distants de $\Delta/k - \Delta/(k + 1) =
\Delta/(k(k + 1)) \approx \lambda^2/\Delta$, soit $550^2/5000 =
60.5\,\mathrm{nm}$ près de $550\,\mathrm{nm}$. (c) Cinq bandes sombres étroites réparties sur le spectre retirent un peu de chaque couleur, et le reste passe avec un poids moyen d’un demi : l’œil voit une teinte pâle, presque neutre.

**Exercice 8.12 ★★★.**

Montrer que, en moyenne sur un tour complet de la platine, un grain entre [polariseurs croisés](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) laisse passer $\frac12 I_0\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$. Une géologue estime les [biréfringences](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence) à partir de la plus haute teinte de chaque [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral), en supposant $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, dans une section qui est en fait de $25\,\text{µ}\mathrm{m}$ d’épaisseur. De quel facteur toutes ses valeurs sont-elles fausses, et dans quel sens ?

**Solution de Exercice 8.12.**

Sur un tour complet, la moyenne de $\sin^2 2\theta$ est $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin^2 2\theta\,
\mathrm d\theta = \frac12$, donc l’intensité moyenne est $\frac12 I_0\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$. Elle calcule $\delta = \Delta/30000$ au lieu de $\Delta/25000$ (en nm) : toutes ses valeurs valent $25/30 = 0.83$ des valeurs vraies, trop basses de $17\,\%$.

## 8.6 Problème : Identifier les minéraux d’une lame mince inconnue

**Problème 8.1.**

Problème du week-end — observer le relief, le pléochroïsme et les teintes de polarisation, mesurer l’épaisseur d’une section avec du quartz, et nommer ses minéraux

Une [lame mince](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/6-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-i#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section) d’une roche magmatique inconnue, montée dans une résine d’indice $1.540$, est dite avoir $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ d’épaisseur. Elle contient cinq minéraux, notés de A à E. Utiliser le tableau des propriétés optiques du chapitre, l’[abaque de Michel-Lévy](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) et les valeurs suivantes : quartz $n_\omega = 1.544$, $n_\varepsilon = 1.553$ ; diopside $n_\alpha = 1.664$, $n_\beta = 1.672$, $n_\gamma = 1.694$.

**Partie I — Lumière polarisée non analysée.**

1. Le [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) A est incolore, avec des limites de grains difficiles à voir. Le [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) B est incolore, avec de forts bords sombres et deux clivages se coupant à environ $87{}^{\circ}$ . Lequel a le [relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief) le plus fort ?
2. Pour A, pris comme du quartz, et B, pris comme du diopside, calculer $|n - n_m|$ en utilisant la moyenne des indices principaux de chacun.
3. À l’aide de la [Proposition 8.6](#prop-b1-optical-mineralogy-relief) , calculer le rapport des déviations à leurs bords pour la même inclinaison de la limite.
4. Quand on remonte la mise au point, le [liseré de Becke](#def-b1-optical-mineralogy-relief) de B se déplace dans le grain. Que montre-t-il ?
5. Le [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) C passe du jaune pâle au brun foncé quand la platine tourne, le plus foncé lorsque son unique clivage est le long du polariseur. Nommer la propriété et le [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) .
6. Le [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) D est incolore, à faible [relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief) , en longues lattes ; E est vert à jaune et [pléochroïque](#def-b1-optical-mineralogy-pleochroism) , avec deux clivages à $124{}^{\circ}$ . Que suggère l’angle pour E ?

**Partie II — L’épaisseur de la section.**

7. Quelle est la plus grande [différence de marche](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) du quartz dans une section d’exactement $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ ? Quelle couleur est-ce ?
8. Pourquoi faut-il chercher la plus grande [différence de marche](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) parmi de nombreux grains de A, plutôt que la mesurer sur l’un d’eux ?
9. La plus haute teinte que montrent les grains de A est un jaune pâle du premier [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) ; un comparateur à coin de quartz en donne la [différence de marche](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) , $342\,\mathrm{nm}$ . Calculer l’ [épaisseur réelle](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/5-les-coupes-geologiques#def-b1-cross-sections-thickness) de la section.
10. De combien pour cent la section est-elle plus épaisse qu’elle ne devrait ?
11. À $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ et à $45{}^{\circ}$ de l’extinction, calculer $I/I_0$ pour ce grain de quartz, et pour le même grain dans une section de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ .
12. Calculer l’intervalle des [différences de marche](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) de D, pris comme [plagioclase](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) ( $\delta = 0.008$ à $0.013$ ), dans cette section, et dire si ses couleurs restent dans le premier [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) .

**Partie III — La biréfringence de B.**

13. La plus haute teinte de B est un bleu lu comme $\Delta = 1140\,\mathrm{nm}$ . De quel [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) est-elle ?
14. Calculer la [biréfringence](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence) de B avec l’épaisseur trouvée à la question 9.
15. Quelle [biréfringence](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence) aurait-on trouvée en supposant $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ ? Quel [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) incolore à [relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief) fort cela aurait-il suggéré, et pourquoi est-il déplacé dans une roche contenant du quartz (considérer $\ce{Mg2SiO4 + SiO2 -> 2 MgSiO3}$ ) ?
16. Comparer le résultat de la question 14 au tableau, avec le [relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief) et les clivages de B, et conclure.
17. Quelle couleur B montrerait-il au plus dans une section correcte de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ ?
18. La section est amincie jusqu’à $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ . De combien faut-il l’amincir, et quelle est alors la plus haute teinte du quartz ?

**Partie IV — Extinction et macles.**

19. Les lattes de D sont divisées en bandes parallèles qui s’éteignent alternativement. Nommer ce caractère et le [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) .
20. Les bandes d’une latte s’éteignent à $27{}^{\circ}$ et $28{}^{\circ}$ de part et d’autre du plan de [macle](#def-b1-optical-mineralogy-twin) . Que donnent de tels angles, mesurés sur de nombreuses lattes, une fois comparés à des abaques publiés ?
21. Le plus grand [angle d’extinction](#def-b1-optical-mineralogy-extinction) entre les clivages de E et sa direction lente est de $17{}^{\circ}$ . Nommer E.
22. Calculer la plus grande [différence de marche](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) de E dans cette section et la couleur qu’elle montre.
23. Un grain de B reste sombre pendant une rotation complète. Expliquer comment il peut être le même [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) que les grains brillants de B.
24. Lister les minéraux A à E, et dire quelle sorte de roche ils forment.
25. Quelle est l’ [épaisseur réelle](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/5-les-coupes-geologiques#def-b1-cross-sections-thickness) de la section, en micromètres ?

**Solution de Problème 8.1.**

**1.** B : les bords sombres signifient un [relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief) fort ; les limites à peine visibles de A signifient un [relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief) faible.

**2.** A : $(1.544 + 1.553)/2 = 1.5485$, $|n - n_m| = 0.0085$. B : $(1.664 + 1.672 + 1.694)/3 = 1.6767$, $|n - n_m| = 0.1367$.

**3.** Les déviations sont proportionnelles à $|n - n_m|$ : $0.1367/0.0085 =
16.1$.

**4.** B a un indice plus élevé que la résine : [relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief) positif.

**5.** [Pléochroïsme](#def-b1-optical-mineralogy-pleochroism) ; biotite.

**6.** Deux clivages à $56{}^{\circ}$ et $124{}^{\circ}$ : une [amphibole](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups).

**7.** $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.009 = 270\,\mathrm{nm}$ : blanc du premier [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour).

**8.** Chaque grain est coupé selon sa propre orientation et montre une valeur de $|n_1 - n_2|$ comprise entre 0 et $\delta$ ; seuls les grains coupés parallèlement à l’[axe optique](#def-b1-optical-mineralogy-optic-axis) montrent $\delta$ lui-même. La plus haute teinte parmi de nombreux grains est celle à utiliser.

**9.** $d = 342/0.009 = 38\,000\,\mathrm{nm} = 38\,\text{µ}\mathrm{m}$.

**10.** $(38 - 30)/30 = 26.7\,\%$.

**11.** $\sin^2(\pi\times342/550) = 0.861$; at $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, $\sin^2(\pi\times270/550) = 0.999$.

**12.** $38\,000\,\mathrm{nm}\times0.008 = 304\,\mathrm{nm}$ à $38\,000\,\mathrm{nm}\times0.013 = 494\,\mathrm{nm}$ : du blanc à l’orange-rouge, tout en dessous de la fin du premier [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) à $542\,\mathrm{nm}$.

**13.** Entre 1074 et $1605\,\mathrm{nm}$ : troisième [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour).

**14.** $\delta = 1140/38000 = 0.030$.

**15.** $1140/30000 = 0.038$, ce qui aurait suggéré une [olivine](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups). Une [olivine](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) magnésienne et du quartz réagissent pour donner du [pyroxène](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups), $\ce{Mg2SiO4 + SiO2 -> 2 MgSiO3}$ ; une roche qui a cristallisé avec du quartz ne devrait pas garder les deux.

**16.** $0.030$ est la [biréfringence](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence) du diopside ; son [relief](#def-b1-optical-mineralogy-relief) fort, son absence de couleur et ses deux clivages voisins de $87{}^{\circ}$ concordent : B est un clinopyroxène, le diopside.

**17.** $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.030 = 900\,\mathrm{nm}$ : jaune du deuxième [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour).

**18.** De $8\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; le quartz ne montre alors au plus que $270\,\mathrm{nm}$, blanc du premier [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour).

**19.** [Macle polysynthétique](#def-b1-optical-mineralogy-twin) : D est du [plagioclase](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups).

**20.** La composition du [plagioclase](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) (sa teneur en anorthite).

**21.** Une [amphibole](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) d’[angle d’extinction](#def-b1-optical-mineralogy-extinction) $17{}^{\circ}$ : la hornblende ($15{}^{\circ}$–$19{}^{\circ}$), non un [pyroxène](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) ($38{}^{\circ}$ pour le diopside).

**22.** $38\,000\,\mathrm{nm}\times0.020 = 760\,\mathrm{nm}$ : un vert du deuxième [ordre](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour).

**23.** Il est coupé perpendiculairement à un [axe optique](#def-b1-optical-mineralogy-optic-axis) : ses deux indices sont égaux pour la lumière qui se propage le long de l’axe, $\Delta = 0$, et il reste sombre comme un grain isotrope.

**24.** A quartz, B diopside, C biotite, D [plagioclase](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups), E hornblende : une roche magmatique intermédiaire avec un peu de quartz, comme une diorite quartzique.

**25.** La section a **$38\,\text{µ}\mathrm{m}$** d’épaisseur.