---
title: "La Terre en couches"
book: "Sciences de la Terre et de l’Univers à l’université — 1re année"
subject: earth
language: fr
chapter: 9
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/9-la-terre-en-couches
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# Chapitre 9 — La Terre en couches

Le 8 octobre 1909, un séisme ébranla la vallée de la Kupa, au sud-est de Zagreb.

Andrija Mohorovičić, qui dirigeait l’observatoire de la ville, rassembla les sismogrammes enregistrés à travers l’Europe et remarqua quelque chose d’étrange : jusqu’à quelques centaines de kilomètres de l’épicentre, la première secousse arrivait d’une façon, plus loin un second type de première arrivée prenait le relais, comme si une part de l’énergie avait trouvé une voie plus rapide en profondeur. Il l’expliqua par une limite située à quelque cinquante kilomètres de profondeur, au-dessous de laquelle les ondes vont plus vite : la base de la [croûte](#def-b1-layered-earth-layers). Un siècle de tels enregistrements, des millions, a fait de cette première limite un modèle de référence de la Terre entière, couche par couche, avec ses vitesses, sa masse volumique, sa pesanteur et sa pression jusqu’au centre. Ce chapitre montre comment on trouve une limite à partir des temps de trajet, ce que dit le modèle de référence, comment on dessine un profil de masse volumique à partir des seules vitesses sismiques et on le vérifie avec la masse et le moment d’inertie de la Terre, quels minéraux constituent le [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) à chaque profondeur, de quoi est fait le noyau, et où s’arrête l’enveloppe rigide externe de la planète.

**Tu sais déjà.**

Une onde P est une onde de compression, une onde S une onde de cisaillement ; les ondes S ne traversent pas les liquides, et les zones d’ombre des ondes P et S du noyau donnent le rayon du [noyau externe](#def-b1-layered-earth-layers) liquide (livre 2, année 11). Les ondes sont réfractées à une limite selon la loi de Snell–Descartes, $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$ (physique). Dans un fluide au repos, la pression croît avec la profondeur comme $\mathrm dP = \rho g\,\mathrm dz$ (physique, volume de première année). La [croûte](#def-b1-layered-earth-layers), le [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) et le noyau ont été introduits au livre 1 (année 6).

## 9.1 Les ondes sismiques dans une Terre en couches

Les vitesses des ondes sismiques dépendent des modules d’élasticité de la roche et de sa masse volumique. Les livres de physique les déduisent des équations de l’élasticité des milieux continus ; elles sont ici supposées connues.

**Proposition 9.1 (Vitesses sismiques).**

Dans un solide élastique isotrope de masse volumique $\rho$, de module d’incompressibilité $K$ et de module de cisaillement $\mu$, les ondes P et S se propagent à

$$
v_P = \sqrt{\frac{K + \tfrac43\mu}{\rho}}, \qquad v_S = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}.
$$

Dans un liquide $\mu = 0$ : $v_S = 0$ et aucune onde S ne se propage.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

Comme $K$ et $\mu$ sont positifs, $v_P > v_S$ toujours : dans la [croûte](#def-b1-layered-earth-layers) et le [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) de PREM, $v_P$ vaut environ $1.8$ à $1.9$ fois $v_S$, et les ondes P arrivent en premier. Les deux vitesses croissent en général avec la profondeur, parce que la pression rigidifie la roche plus qu’elle ne la comprime, si bien que les rayons s’incurvent vers la surface ; et à quelques profondeurs elles sautent.

**Définition 9.2 (Discontinuité sismique, Moho, limites noyau–manteau et du noyau interne).**

Une *discontinuité sismique* est une surface à l’intérieur de la Terre à travers laquelle les vitesses sismiques, la masse volumique ou les deux changent brusquement, sur une épaisseur petite devant une longueur d’onde sismique. La *discontinuité de Mohorovičić* (ou *Moho*) est la base de la [croûte](#def-b1-layered-earth-layers), où $v_P$ saute à environ $8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. La *limite noyau–manteau* est la surface entre le [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) silicaté solide et le [noyau externe](#def-b1-layered-earth-layers) liquide ; la *limite du noyau interne* est la surface entre le [noyau externe](#def-b1-layered-earth-layers) liquide et le [noyau interne](#def-b1-layered-earth-layers) solide.

### 9.1.1 Réfraction à la limite d’une couche

Prenons une couche d’épaisseur $h$ et de vitesse $v_1$, la [croûte](#def-b1-layered-earth-layers), au-dessus d’un demi-espace de vitesse $v_2 > v_1$, le [manteau](#def-b1-layered-earth-layers), et une source à la surface. Trois ondes parviennent à un récepteur à la distance $x$. L’onde directe se propage dans la couche, à $v_1$. L’onde réfléchie rebondit sur la limite. Et un rayon qui frappe la limite à l’angle critique $i_c$, avec $\sin i_c = v_1/v_2$, est réfracté le long d’elle, se propage dans le milieu plus rapide juste au-dessous à la vitesse $v_2$, et renvoie de l’énergie vers le haut dans la couche sous le même angle $i_c$ tout le long de son trajet.

**Définition 9.3 (Onde conique, distance de croisement).**

Une *onde conique* est l’onde qui se propage le long d’une limite à la vitesse du milieu le plus rapide situé au-dessous et la quitte vers le haut sous l’angle critique. La *distance de croisement* est la distance à la source au-delà de laquelle l’onde conique arrive avant l’onde directe.

**Théorème 9.4 (Temps de trajet au-dessus d’une Terre à deux couches).**

Au-dessus d’une couche d’épaisseur $h$ et de vitesse $v_1$ reposant sur un demi-espace de vitesse $v_2 > v_1$, une source en surface et un récepteur en surface à la distance $x$ donnent

$$
t_{\text{direct}} = \frac{x}{v_1}, \qquad
  t_{\text{conique}} = \frac{x}{v_2} + \frac{2h\cos i_c}{v_1}
  \quad (x \ge 2h\tan i_c), \qquad \sin i_c = \frac{v_1}{v_2},
$$

et l’[onde conique](#def-b1-layered-earth-head-wave) arrive la première au-delà de la [distance de croisement](#def-b1-layered-earth-head-wave)

$$
x_c = 2h\sqrt{\frac{v_2 + v_1}{v_2 - v_1}}.
$$

**Démonstration.** L’[onde conique](#def-b1-layered-earth-head-wave) descend sous l’angle $i_c$ à travers la couche, sur un trajet de longueur $h/\cos i_c$, court le long de la limite sur la distance $x - 2h\tan i_c$, et remonte sur un trajet de longueur $h/\cos i_c$. Son temps de trajet est

$$
t_{\text{conique}} = \frac{2h}{v_1\cos i_c} + \frac{x - 2h\tan i_c}{v_2}
  = \frac{x}{v_2} + \frac{2h}{v_1\cos i_c}\Bigl(1 - \frac{v_1\sin i_c}{v_2}\Bigr)
  = \frac{x}{v_2} + \frac{2h}{v_1\cos i_c}\,(1 - \sin^2 i_c),
$$

c’est-à-dire $x/v_2 + 2h\cos i_c/v_1$. Le trajet n’existe que si le parcours horizontal est positif, $x \ge 2h\tan i_c$. Les deux temps sont égaux lorsque $x(1/v_1 - 1/v_2) = 2h\cos i_c/v_1$ ; avec $\cos i_c = \sqrt{v_2^2 - v_1^2}/v_2$,

$$
x\,\frac{v_2 - v_1}{v_1 v_2} = \frac{2h\sqrt{(v_2 - v_1)(v_2 + v_1)}}{v_1 v_2},
$$

ce qui donne $x_c$. Au-delà, la droite de l’[onde conique](#def-b1-layered-earth-head-wave), de plus petite pente $1/v_2$, passe sous la droite de l’onde directe. ∎

Sur un graphique du temps de trajet en fonction de la distance, les ondes directe et conique sont deux droites. Leurs pentes sont les inverses des vitesses $1/v_1$ et $1/v_2$ ; la droite de l’[onde conique](#def-b1-layered-earth-head-wave), prolongée jusqu’à $x = 0$, coupe l’axe des temps au *temps d’interception* $t_i = 2h\cos i_c/v_1$. L’onde réfléchie, $t = \sqrt{x^2 + 4h^2}/v_1$, est une hyperbole qui touche la droite de l’[onde conique](#def-b1-layered-earth-head-wave) à la distance critique $2h\tan i_c$, où naît l’[onde conique](#def-b1-layered-earth-head-wave) ([Exercice 9.10](#exo-b1-layered-earth-10)).

![Réfraction au-dessus d’une croûte de 35\, km d’épaisseur, à 6.0\, km\, s-1, sur un manteau à 8.0\, km\, s-1 ((a) à l’échelle vraie). (a) L’onde directe court le long de la surface ; l’onde réfléchie dessinée est celle qui frappe le Moho à l’angle critique, 48.6 ; l’onde conique court le long du Moho et revient sous cet angle. (b) Temps d’arrivée : l’onde conique apparaît à la distance critique, 79\, km, tangente à la réflexion, et dépasse l’onde directe à la distance de croisement, 185\, km. Le prolongement en pointillés donne le temps d’interception t_i = 7.7\, s.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-layered-earth/fig-39d9eecd61c5.svg)

*Réfraction au-dessus d’une [croûte](#def-b1-layered-earth-layers) de $35\,\mathrm{km}$ d’épaisseur, à $6.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, sur un [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) à $8.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ ((a) à l’échelle vraie). (a) L’onde directe court le long de la surface ; l’onde réfléchie dessinée est celle qui frappe le [Moho](#def-b1-layered-earth-discontinuity) à l’angle critique, $48.6{}^{\circ}$ ; l’[onde conique](#def-b1-layered-earth-head-wave) court le long du [Moho](#def-b1-layered-earth-discontinuity) et revient sous cet angle. (b) Temps d’arrivée : l’[onde conique](#def-b1-layered-earth-head-wave) apparaît à la distance critique, $79\,\mathrm{km}$, tangente à la réflexion, et dépasse l’onde directe à la [distance de croisement](#def-b1-layered-earth-head-wave), $185\,\mathrm{km}$. Le prolongement en pointillés donne le temps d’interception $t_i = 7.7\,\mathrm{s}$.*

**Méthode 9.5 (La profondeur d’une limite d’après un profil de réfraction).**

1. Tracer les temps de première arrivée en fonction de la distance, et ajuster une droite sur les arrivées proches de la source et une autre sur les arrivées lointaines.
2. Les pentes inverses donnent $v_1$ et $v_2$ ; alors $\sin i_c = v_1/v_2$ .
3. Lire le temps d’interception $t_i$ de la droite lointaine en $x = 0$ , et calculer $h = t_i v_1/(2\cos i_c)$ ; le vérifier avec la [distance de croisement](#def-b1-layered-earth-head-wave) , $h = \tfrac12 x_c\sqrt{(v_2 - v_1)/(v_2 + v_1)}$ .
4. Une limite n’est trouvée que si $v_2 > v_1$ : une couche plus lente sous une couche plus rapide ne produit pas d’ [onde conique](#def-b1-layered-earth-head-wave) et reste cachée.

Les deux sortes de première arrivée de Mohorovičić étaient exactement ces deux droites : l’onde directe dans la [croûte](#def-b1-layered-earth-layers) près de la source, l’[onde conique](#def-b1-layered-earth-head-wave) le long du toit du [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) plus loin. Son chiffre pour l’épaisseur de la [croûte](#def-b1-layered-earth-layers) dans cette région, $54\,\mathrm{km}$, a été confirmé dans son ordre de grandeur, mais la profondeur du [Moho](#def-b1-layered-earth-discontinuity) varie d’un endroit à l’autre. Sous les océans, la [croûte](#def-b1-layered-earth-layers) n’a qu’environ $5\,\mathrm{km}$ d’épaisseur ; sous les continents, elle en a en moyenne environ $30\,\mathrm{km}$, et elle est bien plus épaisse sous les grandes chaînes de montagnes. Pour son modèle de référence, PREM a placé le [Moho](#def-b1-layered-earth-discontinuity) à $11\,\mathrm{km}$ sous le niveau de la mer sous les océans et à $35\,\mathrm{km}$ sous les continents.

**Histoire des sciences — Andrija Mohorovičić.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-layered-earth/img-32c3dbb82a2e.jpg)

*Andrija Mohorovičić. Domaine public.*

Andrija Mohorovičić (1857–1936) vint à la sismologie par la météorologie : enseignant, puis de 1891 à 1921 directeur de l’observatoire météorologique de Zagreb, il publia sa dernière étude météorologique en 1901. Sur les sismogrammes du séisme de la vallée de la Kupa du 8 octobre 1909, il trouva deux paires distinctes de phases P et S : près de la source un type de première secousse arrivait en premier, plus loin un autre, qui avait voyagé plus vite en profondeur. Sa lecture de ces deux arrivées comme une onde directe et une onde réfractée sous une limite donna la limite qui porte aujourd’hui son nom, et la première mesure de l’épaisseur de la [croûte](#def-b1-layered-earth-layers).

## 9.2 Un modèle de Terre de référence

Le même raisonnement, appliqué à des millions de temps de trajet à toutes les distances et aux périodes des oscillations libres de la Terre (la planète entière résonne comme une cloche après un grand séisme), donne les vitesses à chaque profondeur.

**Définition 9.6 (Modèle de Terre de référence).**

Un *modèle de Terre de référence* est une Terre à symétrie sphérique, donnée par les vitesses sismiques $v_P(r)$, $v_S(r)$, la masse volumique $\rho(r)$ et, dans les modèles les plus complets, l’atténuation, comme fonctions du seul rayon $r$, qui s’accorde avec les temps de trajet observés, les périodes d’oscillations libres, la masse de la Terre et son moment d’inertie. Le plus employé est PREM, le modèle de Terre de référence préliminaire (1981).

PREM a été ajusté au rayon $6371\,\mathrm{km}$, à la masse $5.974 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ et au [facteur de moment d’inertie](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/3-planetologie-comparee#def-b1-comparative-planetology-moi) $0.3308$ de la Terre. Il divise la planète en quelques régions jointes par des discontinuités, et ses profils (figure ci-dessous) montrent d’emblée les couches principales.

**Définition 9.7 (Croûte, manteau, noyau externe, noyau interne).**

La *croûte* est la couche silicatée externe au-dessus du [Moho](#def-b1-layered-earth-discontinuity). Le *manteau* est l’enveloppe silicatée solide entre le [Moho](#def-b1-layered-earth-discontinuity) et la [limite noyau–manteau](#def-b1-layered-earth-discontinuity), à une profondeur d’environ $2891\,\mathrm{km}$. Le *noyau externe* est l’enveloppe métallique liquide entre la [limite noyau–manteau](#def-b1-layered-earth-discontinuity) et la [limite du noyau interne](#def-b1-layered-earth-discontinuity), à environ $5150\,\mathrm{km}$ de profondeur. Le *noyau interne* est la sphère métallique solide située au-dessous, de rayon d’environ $1220\,\mathrm{km}$.

![PREM : les vitesses des ondes P et S et la masse volumique en fonction de la profondeur. La vitesse S tombe à zéro dans le noyau externe liquide et réapparaît, faible, dans le noyau interne solide ; à la limite noyau–manteau, la masse volumique double presque tandis que v_P chute de 13.7 à 8.1\, km\, s-1 ; les sauts près de 400\, km et 670\, km bornent la zone de transition.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-layered-earth/fig-465a9d8b5abf.svg)

*PREM : les vitesses des ondes P et S et la masse volumique en fonction de la profondeur. La vitesse S tombe à zéro dans le [noyau externe](#def-b1-layered-earth-layers) liquide et réapparaît, faible, dans le [noyau interne](#def-b1-layered-earth-layers) solide ; à la [limite noyau–manteau](#def-b1-layered-earth-discontinuity), la masse volumique double presque tandis que $v_P$ chute de 13.7 à $8.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; les sauts près de $400\,\mathrm{km}$ et $670\,\mathrm{km}$ bornent la zone de transition.*

| limite dans PREM | profondeur (km) | rayon (km) | ce qui change |
| --- | --- | --- | --- |
| [Moho](#def-b1-layered-earth-discontinuity) | 24.4 | 6346.6 | [croûte](#def-b1-layered-earth-layers) au-dessus, péridotite au-dessous ; $v_P$ de 6.8 à 8.1 |
| discontinuité de 220 km | 220 | 6151 | base de la [zone à faible vitesse](#def-b1-layered-earth-lithosphere) dans PREM |
| discontinuité de 400 km | 400 | 5971 | [olivine](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) en wadsleyite ($410\,\mathrm{km}$ dans la plupart des études) |
| discontinuité de 670 km | 670 | 5701 | ringwoodite en bridgmanite et ferropériclase ($660\,\mathrm{km}$ dans la plupart des études) |
| [limite noyau–manteau](#def-b1-layered-earth-discontinuity) | 2891 | 3480 | silicate en fer liquide ; $v_S$ de 7.3 à 0 ; $\rho$ de 5.57 à 9.90 |
| [limite du noyau interne](#def-b1-layered-earth-discontinuity) | 5149.5 | 1221.5 | fer liquide en fer solide ; $v_S$ de 0 à 3.5 ; $\rho$ de 12.17 à 12.76 |

***Table 9.1.** Les principales discontinuités de PREM (vitesses en $\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, masses volumiques en $\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$). PREM moyenne la [croûte](#def-b1-layered-earth-layers) à $24.4\,\mathrm{km}$ ; les [croûtes](#def-b1-layered-earth-layers) réelles vont d’environ $5\,\mathrm{km}$ sous les océans à plusieurs dizaines de kilomètres sous les chaînes de montagnes.*

Deux faits de ces profils sont directement observés. L’annulation de $v_S$ dans le [noyau externe](#def-b1-layered-earth-layers) est l’ombre des ondes S rappelée plus haut : les ondes S n’entrent dans le noyau que sous forme d’ondes P, le noyau ne peut pas transmettre le cisaillement, il est donc liquide. Et le [noyau interne](#def-b1-layered-earth-layers) transmet les ondes S, lentement : il est solide. Ce second fait est venu de faibles arrivées P là où aucune onde P ne devrait se trouver.

**Histoire des sciences — Inge Lehmann et le noyau interne.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-layered-earth/img-aaf65ddebd5b.jpg)

*Inge Lehmann en 1932, par Even Neuhaus. Domaine public.*

Inge Lehmann (1888–1993), directrice du département de sismologie de l’institut géodésique danois, étudia les enregistrements du séisme de Buller de 1929 en Nouvelle-Zélande et trouva des ondes P arrivant à l’intérieur de la zone d’ombre, là où le noyau aurait dû les dévier. Dans un article de 1936 au titre le plus court qui soit, *P$'$*, elle montra qu’elles pouvaient s’expliquer si le noyau contenait un [noyau interne](#def-b1-layered-earth-layers) plus petit de vitesse P plus élevée, qui renvoie une partie de l’énergie vers la surface. On sait aujourd’hui que son [noyau interne](#def-b1-layered-earth-layers) est solide, et qu’il croît lentement à mesure que la Terre se refroidit. Elle découvrit aussi la discontinuité située près de $220\,\mathrm{km}$ qui porte son nom.

## 9.3 Masse volumique, pesanteur et pression d’après les données sismiques

Les vitesses sismiques donnent deux combinaisons des modules et de la masse volumique, non la masse volumique elle-même. Une troisième relation vient de l’hypothèse que, à l’intérieur d’une couche de composition uniforme, la roche est simplement comprimée par le poids de la roche située au-dessus.

**Définition 9.8 (Paramètre sismique).**

Le *paramètre sismique* à une profondeur est

$$
\Phi = v_P^2 - \tfrac43 v_S^2 = \frac{K}{\rho},
$$

le module d’incompressibilité divisé par la masse volumique, calculé à partir des deux seules vitesses sismiques ([Proposition 9.1](#prop-b1-layered-earth-speeds)).

**Théorème 9.9 (Équation d’Adams–Williamson).**

Dans une région de composition uniforme, en équilibre hydrostatique, comprimée de façon adiabatique, la masse volumique varie avec le rayon selon

$$
\frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dr} = -\frac{\rho(r)\,g(r)}{\Phi(r)},
$$

où $g(r)$ est la pesanteur au rayon $r$.

**Démonstration.** L’équilibre hydrostatique donne $\mathrm dP/\mathrm dr = -\rho g$ (le rappel, avec $\mathrm dz = -\mathrm dr$). Le module d’incompressibilité est défini par $K = \rho\,\mathrm dP/\mathrm d\rho$ pour la compression considérée ; pour une roche de composition fixe comprimée sans échange de chaleur, c’est le module adiabatique que mesurent les ondes sismiques, donc $\mathrm d\rho/\mathrm dP = \rho/K$. Par la règle de dérivation en chaîne,

$$
\frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dr} = \frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dP}\,
  \frac{\mathrm dP}{\mathrm dr} = \frac{\rho}{K}\,(-\rho g) = -\frac{\rho g}{K/\rho}
  = -\frac{\rho g}{\Phi}. \qedhere
$$

∎

L’équation tombe en défaut à une discontinuité, où la composition ou la structure cristalline change, et partout où la température s’écarte de l’adiabate ; mais entre les discontinuités elle rend très bien compte de l’augmentation observée de la masse volumique avec la profondeur (panneau (c) de la figure ci-dessous). Partir d’une masse volumique au sommet de chaque région, l’intégrer vers le bas, et ajuster les valeurs de départ jusqu’à ce que la masse et le moment d’inertie sortent justes, c’est ainsi que furent construits les premiers modèles de masse volumique. Les deux nombres globaux sont des intégrales de la masse volumique.

**Proposition 9.10 (Masse, pesanteur, pression et moment d’inertie).**

Pour une Terre à symétrie sphérique de rayon $R$ et de masse volumique $\rho(r)$, la masse à l’intérieur du rayon $r$, la pesanteur, la pression et le moment d’inertie par rapport à un axe passant par le centre sont

$$
m(r) = \int_0^r 4\pi s^2\rho(s)\,\mathrm ds, \quad
  g(r) = \frac{G\,m(r)}{r^2}, \quad
  P(r) = \int_r^R \rho(s)\,g(s)\,\mathrm ds, \quad
  I = \frac{8\pi}{3}\int_0^R \rho(r)\,r^4\,\mathrm dr.
$$

**Démonstration.** Une mince coquille de rayon $s$ et d’épaisseur $\mathrm ds$ a pour volume $4\pi s^2\,\mathrm ds$, d’où la première intégrale. La pesanteur d’un corps à symétrie sphérique au-delà d’un rayon est celle de sa masse intérieure, concentrée au centre, et les coquilles extérieures à $r$ attirent sans force résultante (le théorème des coquilles, admis des livres de physique) ; d’où $g(r)$. L’intégration de l’équation hydrostatique à partir de la surface, où $P = 0$, donne $P(r)$. Pour le moment d’inertie, une mince coquille sphérique de masse $\mathrm dm$ et de rayon $r$ a, par rapport aux trois axes $x$, $y$, $z$, des moments dont la somme est $\int (y^2 + z^2) + (z^2 + x^2) + (x^2 + y^2)\,\mathrm dm = 2r^2\,\mathrm dm$ ; par symétrie les trois sont égaux, donc chacun vaut $\tfrac23 r^2\,\mathrm dm$. Avec $\mathrm dm = 4\pi r^2\rho\,\mathrm dr$, la sommation des coquilles donne $I$. ∎

Pour une sphère de masse volumique uniforme, $I = \tfrac{8\pi}{15}\rho R^5 = 0.4\,MR^2$. Le facteur de la Terre $I/MR^2 = 0.3308$ est plus petit : sa masse est concentrée vers le centre, ce qui est le premier argument en faveur d’un noyau dense. Calculées à partir de la seule masse volumique de PREM, les intégrales donnent une masse de $5.976 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ($0.06\,\%$ au-dessus de la valeur mesurée $5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$), un facteur $0.3309$, et une pression centrale de $364\,\mathrm{GPa}$, la valeur tabulée avec PREM à $0.1\,\%$ près.

![À l’intérieur de la Terre, d’après PREM. (a) et (b) Pesanteur et pression calculées à partir de la masse volumique de PREM avec la : la pesanteur reste voisine de 10\, m\, s-2 dans le manteau, culmine à 10.7\, m\, s-2 à la limite noyau–manteau (CMB) et tombe à zéro au centre ; la pression atteint 136\, GPa à la CMB, 329\, GPa à la limite du noyau interne (ICB) et 364\, GPa au centre. (c) L’équation d’Adams–Williamson, intégrée vers le bas à partir de la masse volumique de PREM à 771\, km et au sommet du noyau externe avec les vitesses et la pesanteur de PREM (cercles), suit PREM à 0.2\,\% près : là, l’augmentation de la masse volumique est la compression d’un matériau uniforme ; les sauts ne le sont pas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-layered-earth/fig-8f2a89544765.svg)

*À l’intérieur de la Terre, d’après PREM. (a) et (b) Pesanteur et pression calculées à partir de la masse volumique de PREM avec la [Proposition 9.10](#prop-b1-layered-earth-integrals) : la pesanteur reste voisine de $10\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ dans le [manteau](#def-b1-layered-earth-layers), culmine à $10.7\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ à la [limite noyau–manteau](#def-b1-layered-earth-discontinuity) (CMB) et tombe à zéro au centre ; la pression atteint $136\,\mathrm{GPa}$ à la CMB, $329\,\mathrm{GPa}$ à la [limite du noyau interne](#def-b1-layered-earth-discontinuity) (ICB) et $364\,\mathrm{GPa}$ au centre. (c) L’équation d’Adams–Williamson, intégrée vers le bas à partir de la masse volumique de PREM à $771\,\mathrm{km}$ et au sommet du [noyau externe](#def-b1-layered-earth-layers) avec les vitesses et la pesanteur de PREM (cercles), suit PREM à $0.2\,\%$ près : là, l’augmentation de la masse volumique est la compression d’un matériau uniforme ; les sauts ne le sont pas.*

Que la pesanteur croisse en descendant dans le [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) est une conséquence directe du noyau dense : la masse qui reste à l’intérieur du rayon diminue plus lentement que $r^2$. À travers le [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) $g$ ne change guère, et la pression croît presque linéairement avec la profondeur, d’environ $4.7\,\mathrm{GPa}$ par cent kilomètres.

## 9.4 Le manteau : une roche, plusieurs assemblages minéralogiques

Le [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) supérieur est de la péridotite, connue par les fragments que les volcans ramènent et par des tranches de [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) charriées sur les continents : d’environ la moitié aux trois cinquièmes d’[olivine](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) en volume ($49\text{ à }62\,\%$ dans les compositions proposées), le reste de [pyroxènes](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) et d’un [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) alumineux ([plagioclase](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups), spinelle ou [grenat](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups), selon la profondeur). La pression qui croît avec la profondeur ne change pas cette composition, mais contraint ses atomes à des arrangements plus denses : des [polymorphes](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-polymorph) ([Chapitre 7](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#ch-b1-rock-forming-minerals)) apparaissent les uns après les autres.

**Définition 9.11 (Zone de transition du manteau).**

La *zone de transition du manteau* est la partie du [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) comprise entre les [discontinuités sismiques](#def-b1-layered-earth-discontinuity) voisines de $410\,\mathrm{km}$ et $660\,\mathrm{km}$ de profondeur, dans laquelle l’[olivine](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) du [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) supérieur est remplacée par ses [polymorphes](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-polymorph) plus denses, la wadsleyite puis la ringwoodite. Au-dessus se trouve le [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) supérieur ; au-dessous, le [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) inférieur, jusqu’à la [limite noyau–manteau](#def-b1-layered-earth-discontinuity).

Vers $410\,\mathrm{km}$ ($14\,\mathrm{GPa}$), l’[olivine](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) $\ce{(Mg,Fe)2SiO4}$ devient wadsleyite, de même formule ; vers $520\,\mathrm{km}$ ($17.5\,\mathrm{GPa}$), la wadsleyite devient ringwoodite ; les [pyroxènes](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) se dissolvent dans un [grenat](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) riche en silicium, la majorite, si bien qu’au milieu de la zone de transition le [grenat](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups) les contient tous, et que la zone est un peu plus qu’à moitié faite de [polymorphes](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-polymorph) de l’[olivine](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups), le reste étant du [grenat](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-groups). Vers $660\,\mathrm{km}$, à une pression voisine de $24\,\mathrm{GPa}$, la ringwoodite se décompose en deux minéraux, écrits pour le pôle magnésien

$$
\ce{Mg2SiO4 -> MgSiO3 + MgO}:
$$

bridgmanite, $\ce{(Mg,Fe)SiO3}$ de structure pérovskite, et ferropériclase, $\ce{(Mg,Fe)O}$. Un [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) inférieur de même composition que le [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) supérieur est constitué d’environ $75\,\%$ de bridgmanite, $17\,\%$ de ferropériclase et $8\,\%$ d’une pérovskite calcique en volume, et s’accorde avec les masses volumiques et les vitesses du modèle de référence. La bridgmanite est donc le [minéral](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/7-les-mineraux-des-roches#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) le plus abondant de la Terre ; elle n’a reçu son nom qu’en 2014, après la description de grains naturels dans une météorite fortement choquée.

Chaque changement produit des minéraux plus denses, donc il élève la masse volumique et les vitesses sismiques : les transitions sont les discontinuités des profils (figure ci-dessous). Leurs profondeurs ne sont pas fixes. Un changement de phase se produit à une pression qui dépend de la température, et la pente de cette dépendance (la pente de Clapeyron, traitée dans le volume de deuxième année) fait remonter la discontinuité de $410\,\mathrm{km}$ et descendre celle de $660\,\mathrm{km}$ dans la roche froide d’un panneau plongeant. Cartographier la topographie des discontinuités est l’une des façons de repérer les régions froides et chaudes du [manteau](#def-b1-layered-earth-layers).

![Les minéraux d’un manteau de péridotite en fonction de la profondeur, en fractions volumiques (schématique : les limites sont dessinées nettes, et les fractions sont des valeurs rondes dans les intervalles cités dans le texte). La composition ne change pas ; les minéraux, si, vers 410, 520 et 660\, km.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-layered-earth/fig-850d3973d9d7.svg)

*Les minéraux d’un [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) de péridotite en fonction de la profondeur, en fractions volumiques (schématique : les limites sont dessinées nettes, et les fractions sont des valeurs rondes dans les intervalles cités dans le texte). La composition ne change pas ; les minéraux, si, vers 410, 520 et $660\,\mathrm{km}$.*

À la base du [manteau](#def-b1-layered-earth-layers), la couche appelée D$''$ (D seconde, nom conservé d’un des premiers modèles de la Terre) a un gradient de vitesse différent du reste du [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) inférieur ; PREM lui attribue les $150\,\mathrm{km}$ les plus bas du [manteau](#def-b1-layered-earth-layers). Elle est hétérogène du point de vue sismique : plages de très faible vitesse, forts gradients, réflecteurs. On pense que c’est une couche limite entre le noyau chaud et le [manteau](#def-b1-layered-earth-layers), et peut-être un cimetière de vieux panneaux plongeants.

## 9.5 Le noyau

Le noyau est surtout du fer. Sa masse volumique, ses vitesses et son aptitude à engendrer un champ magnétique indiquent tous un métal, et le fer est de loin l’élément le plus abondant qui soit assez dense parmi ceux que les météorites et le Soleil montrent être courants. Le nickel, abondant dans les météorites de fer, l’accompagne. Mais le noyau n’est pas du fer–nickel pur.

- Le noyau est de $5\text{ à }10\,\%$ moins dense que ne le serait du fer pur à la même pression et à la même température : il doit contenir des éléments légers, parmi lesquels le silicium, le soufre, le carbone, l’oxygène et l’hydrogène sont les candidats.
- La masse volumique saute d’environ $4.5\,\%$ à la [limite du noyau interne](#def-b1-layered-earth-discontinuity) , trop pour la congélation d’un seul et même métal : le [noyau interne](#def-b1-layered-earth-layers) contient lui aussi des éléments légers, mais moins, quelques pour cent contre $5\text{ à }10\,\%$ dans le liquide.

La différence a une conséquence. À mesure que la Terre se refroidit — son [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) d’environ $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ par milliard d’années actuellement — le liquide du noyau gèle sur le [noyau interne](#def-b1-layered-earth-layers), qui croît, et

la congélation laisse la plupart des éléments légers dans le liquide. Le liquide léger libéré à la base du [noyau externe](#def-b1-layered-earth-layers) remonte, et l’on pense que cette flottabilité contribue à brasser le [noyau externe](#def-b1-layered-earth-layers) et à entretenir la dynamo qui produit le champ magnétique de la Terre.

## 9.6 Couches mécaniques : lithosphère et asthénosphère

Les couches ci-dessus sont définies par la composition et la phase : la [croûte](#def-b1-layered-earth-layers) et le [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) sont des roches différentes, le [noyau externe](#def-b1-layered-earth-layers) et le [noyau interne](#def-b1-layered-earth-layers) des états différents. La tectonique des plaques demande une autre division, selon la résistance, qui recoupe la première.

**Définition 9.12 (Lithosphère, asthénosphère, zone à faible vitesse).**

La *lithosphère* est l’enveloppe rigide externe de la Terre, la [croûte](#def-b1-layered-earth-layers) et le [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) le plus supérieur, qui se comporte comme une couche résistante sur les durées géologiques et est divisée en plaques. L’*asthénosphère* est la couche plus faible du [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) supérieur située au-dessous, qui se déforme par écoulement lent et laisse les plaques se déplacer. La *zone à faible vitesse* est l’intervalle de profondeur sous la lithosphère où les vitesses sismiques, surtout celles des ondes S, sont plus faibles qu’immédiatement au-dessus et au-dessous.

La [lithosphère](#def-b1-layered-earth-lithosphere) n’est pas une roche mais un intervalle de température : la péridotite du [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) est résistante là où elle est froide et flue là où elle est chaude, et sa base est à peu près une isotherme. Elle est mince sous les dorsales, où le [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) chaud monte, d’environ $140\,\mathrm{km}$ d’épaisseur sous le plus vieux fond océanique, et de $40\text{ à }280\,\mathrm{km}$ sous les continents, la plus épaisse sous les vieux cratons ; le sommet de l’[asthénosphère](#def-b1-layered-earth-lithosphere) se trouve à environ $80\text{ à }200\,\mathrm{km}$. Du point de vue sismique, l’[asthénosphère](#def-b1-layered-earth-lithosphere) se manifeste comme la [zone à faible vitesse](#def-b1-layered-earth-lithosphere), proche de ses conditions de fusion : dans PREM, la vitesse S diminue légèrement depuis le [Moho](#def-b1-layered-earth-discontinuity) jusqu’à $220\,\mathrm{km}$, où elle remonte d’un saut. La façon dont la résistance dépend de la température, et pourquoi, fait l’objet du [Chapitre 16](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/16-contrainte-deformation-et-rheologie#ch-b1-stress-strain-rheology).

**Sur le terrain — Une station sismique.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-layered-earth/img-c787a9689c94.jpg)

*Un sismomètre large bande sur son pilier dans une chambre souterraine, avec l’enregistreur sur le mur (illustration générée par IA).*

Les temps de trajet sur lesquels reposent les modèles de référence viennent de stations permanentes. Un sismomètre large bande, qui enregistre les mouvements du sol sur des périodes allant du centième de seconde à des heures, repose sur un pilier de béton posé sur la roche nue et isolé du sol de la chambre, sous un couvercle qui garde sa température stable : une variation d’une fraction de degré, un courant d’air ou le passage d’un camion se verrait sur l’enregistrement. L’enregistreur date chaque échantillon avec l’heure fournie par des satellites, et les enregistrements sont transmis en continu à des centres de données qui les partagent librement. Des réseaux de telles stations localisent et datent chaque grand séisme ; les temps d’arrivée pointés sur leurs enregistrements ont été inversés pour obtenir les vitesses à chaque profondeur.

## 9.7 Exercices

**Exercice 9.1 ★.**

Avec les rayons de PREM $R = 6371\,\mathrm{km}$, $r_{\text{CMB}} = 3480\,\mathrm{km}$ et $r_{\text{ICB}} = 1221.5\,\mathrm{km}$, calculer les fractions du volume de la Terre occupées par le noyau et par le [noyau interne](#def-b1-layered-earth-layers).

**Solution de Exercice 9.1.**

Les fractions volumiques sont les cubes des rapports des rayons : noyau $(3480/6371)^3 = 0.1630$, soit $16.3\,\%$ ; [noyau interne](#def-b1-layered-earth-layers) $(1221.5/6371)^3 = 0.00705$, $0.70\,\%$.

**Exercice 9.2 ★.**

Juste au-dessus de la [limite noyau–manteau](#def-b1-layered-earth-discontinuity), PREM donne $v_P = 13.7166\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $v_S = 7.264\,66\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho = 5.566\,45\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ ; juste au-dessous, $v_P = 8.064\,82\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $v_S = 0$, $\rho = 9.903\,49\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Calculer le [paramètre sismique](#def-b1-layered-earth-seismic-parameter) et le module d’incompressibilité de chaque côté (en GPa). Qu’est-ce qui change le plus à travers la limite ?

**Solution de Exercice 9.2.**

Au-dessus : $\Phi = 13.7166^2 - \tfrac43\times7.26466^2 = 188.145 - 70.367 =
117.78\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$, $K = \rho\Phi = 5566.45\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}\times
117.78 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2} = 655.6\,\mathrm{GPa}$. Au-dessous : $\Phi = 8.06482^2 =
65.04\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$, $K = 9903.49\times65.04 \times 10^{6} = 644.1\,\mathrm{GPa}$. Le module d’incompressibilité ne change guère ($-1.7\,\%$). Ce qui change, c’est le module de cisaillement, $\mu = \rho v_S^2 = 293.8\,\mathrm{GPa}$ au-dessus et $0$ au-dessous (un liquide), et la masse volumique, qui augmente de $78\,\%$ : d’où la chute de $v_P$ malgré un $K$ presque égal.

**Exercice 9.3 ★.**

Une [croûte](#def-b1-layered-earth-layers) de $30\,\mathrm{km}$ d’épaisseur, à $6.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, repose sur un [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) à $8.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calculer l’angle critique, la distance critique et la [distance de croisement](#def-b1-layered-earth-head-wave).

**Solution de Exercice 9.3.**

$\sin i_c = 6.2/8.1 = 0.7654$, $i_c = 49.95{}^{\circ}$. Distance critique $2\times30\times\tan49.95{}^{\circ} = 60\times1.1906 = 71.4\,\mathrm{km}$. [Distance de croisement](#def-b1-layered-earth-head-wave) $60\sqrt{14.3/1.9} = 60\times2.743 = 164.6\,\mathrm{km}$.

**Exercice 9.4 ★.**

La masse du noyau est de $1.94 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ et son rayon de $3480\,\mathrm{km}$. Calculer la pesanteur à la [limite noyau–manteau](#def-b1-layered-earth-discontinuity) et la comparer à la pesanteur de surface, $9.82\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Pourquoi est-elle plus grande ?

**Solution de Exercice 9.4.**

$g = Gm/r^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times1.94 \times 10^{24}/(3.48 \times 10^{6})^2 =
10.69\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, soit $9\,\%$ de plus qu’à la surface. En descendant jusqu’au noyau, le rayon au carré tombe à $(3480/6371)^2 = 0.298$ de sa valeur en surface, tandis que la masse attirante ne tombe qu’à $1.94/5.972 = 0.325$ du total, parce que le noyau contient le tiers de la masse : $0.325/0.298 = 1.09$.

**Exercice 9.5 ★★.**

Sur un profil de réfraction, les premières arrivées sont à $10.0\,\mathrm{s}$ pour $60\,\mathrm{km}$, à $33.3\,\mathrm{s}$ pour $200\,\mathrm{km}$ et à $45.8\,\mathrm{s}$ pour $300\,\mathrm{km}$ ; la droite passant par le premier point passe par l’origine. Trouver $v_1$, $v_2$, le temps d’interception et la profondeur de la limite, et vérifier le résultat avec la [distance de croisement](#def-b1-layered-earth-head-wave).

**Solution de Exercice 9.5.**

Près de la source, $v_1 = 60/10.0 = 6.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Au loin, $v_2 = (300 - 200)/(45.8 - 33.3) = 100/12.5 = 8.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; le temps d’interception est $t_i = 33.3 - 200/8.0 = 8.3\,\mathrm{s}$. Alors $\sin i_c =
0.75$, $\cos i_c = 0.6614$, et $h = t_i v_1/(2\cos i_c) = 8.3\times6.0/1.3229
= 37.6\,\mathrm{km}$. Vérification : $x_c = 2\times37.6\times\sqrt{14/2} = 199\,\mathrm{km}$, où les deux ondes arrivent à $199/6.0 = 199/8.0 + 8.3 = 33.2\,\mathrm{s}$.

**Exercice 9.6 ★★.**

Montrer qu’une sphère homogène a $I = 0.4\,MR^2$. Calculer ensuite la masse et le facteur $I/MR^2$ d’une Terre à deux couches : un noyau de rayon $3480\,\mathrm{km}$ et de masse volumique $11.0\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ dans un [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) de masse volumique $4.45\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, avec $R = 6371\,\mathrm{km}$. Comparer à $5.972 \times 10^{24}$ kg et $0.3308$.

**Solution de Exercice 9.6.**

Pour $\rho$ uniforme, $I = \tfrac{8\pi}{3}\rho\int_0^R r^4\,\mathrm dr =
\tfrac{8\pi}{15}\rho R^5$ et $M = \tfrac43\pi\rho R^3$, donc $I/MR^2 = (8/15)/(4/3) = 0.4$. Deux couches ($r_c = 3.48 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, $R = 6.371 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$) : $M = \tfrac43\pi\bigl(11000\,r_c^3 + 4450\,(R^3 -
r_c^3)\bigr) = 5.977 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $0.08\,\%$ au-dessus de la masse mesurée ; $I = \tfrac{8\pi}{15}\bigl(11000\,r_c^5 + 4450\,(R^5 - r_c^5)\bigr)$ donne $I/MR^2 = 0.3457$. La masse est juste, mais le facteur est trop élevé de $4.5\,\%$ : le [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) réel n’est pas uniforme, sa masse volumique croît avec la profondeur, ce qui déplace de la masse vers l’intérieur.

**Exercice 9.7 ★★.**

À $1471\,\mathrm{km}$ de profondeur, PREM donne $v_P = 12.16\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $v_S = 6.673\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho = 4.86\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, et la pesanteur est de $9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Calculer le gradient de masse volumique donné par l’équation d’Adams–Williamson, en $\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ par $1000\,\mathrm{km}$, et le comparer aux masses volumiques de PREM, $4.844$ à $1471\,\mathrm{km}$ et $5.357$ à $2471\,\mathrm{km}$.

**Solution de Exercice 9.7.**

$\Phi = 12.16^2 - \tfrac43\times6.673^2 = 147.87 - 59.37 =
88.49\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$. Avec la profondeur $z$, $\mathrm d\rho/\mathrm dz = \rho g/\Phi = 4860\times9.9/88.49 \times 10^{6} =
5.44 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-4}$, soit $0.544\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ par kilomètre, ou $0.54\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ par $1000\,\mathrm{km}$. PREM augmente de $5.357 - 4.844 =
0.513$ sur ces $1000\,\mathrm{km}$, soit $6\,\%$ de moins : le gradient calculé au sommet est appliqué à tout l’intervalle, alors que $\Phi$ croît avec la profondeur et que le gradient diminue.

**Exercice 9.8 ★★.**

Estimer la pression à $670\,\mathrm{km}$ de profondeur à partir d’une masse volumique moyenne de $3.57\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ et d’une pesanteur de $9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Quel changement minéralogique y est attendu ?

**Solution de Exercice 9.8.**

$P \approx \bar\rho g z = 3570\times9.9\times670 \times 10^{3} = 23.7\,\mathrm{GPa}$ (PREM : $23.9\,\mathrm{GPa}$). C’est la pression, environ $24\,\mathrm{GPa}$, à laquelle la ringwoodite se décompose en bridgmanite et ferropériclase : la discontinuité de $660\,\mathrm{km}$.

**Exercice 9.9 ★★.**

La masse volumique moyenne du [noyau externe](#def-b1-layered-earth-layers) dans PREM est de $10.90\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ ; à la [limite du noyau interne](#def-b1-layered-earth-discontinuity), sa masse volumique est de $12.166\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ au-dessus et de $12.764\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ au-dessous. (a) Si le fer dans les mêmes conditions est de $5\text{ à }10\,\%$ plus dense que le [noyau externe](#def-b1-layered-earth-layers), quel intervalle de masses volumiques cela donne-t-il pour le fer liquide à cet endroit ? (b) Calculer le saut de masse volumique à la [limite du noyau interne](#def-b1-layered-earth-discontinuity) en pour cent, et le comparer aux $4.5\,\%$ des études récentes. (c) Que dit, sur les éléments légers, un saut plus grand que ce que donnerait la congélation seule ?

**Solution de Exercice 9.9.**

(a) Fer liquide : $10.90\times1.05 = 11.4$ à $10.90\times1.10 =
12.0\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. (b) $12.764/12.166 = 1.049$ : un saut de $4.9\,\%$ dans PREM, un peu plus que les $4.5\,\%$ des études récentes. (c) La congélation seule ne rendrait le solide que légèrement plus dense que le liquide ; le saut plus grand signifie que le solide contient moins d’éléments légers que le liquide : ils préfèrent le liquide, et la congélation à la [limite du noyau interne](#def-b1-layered-earth-discontinuity) en laisse la plupart derrière elle.

**Exercice 9.10 ★★★.**

Montrer que le temps de l’onde réfléchie $t_r(x) = \sqrt{x^2 + 4h^2}/v_1$ et le temps de l’[onde conique](#def-b1-layered-earth-head-wave) du [Théorème 9.4](#thm-b1-layered-earth-two-layer) sont égaux, et ont des pentes égales, en $x = 2h\tan i_c$, et que $t_r > t_{\text{conique}}$ au-delà. Interpréter.

**Solution de Exercice 9.10.**

Posons $x_* = 2h\tan i_c$. Alors $\sqrt{x_*^2 + 4h^2} = 2h/\cos i_c$ et $t_r(x_*) = 2h/(v_1\cos i_c)$. L’[onde conique](#def-b1-layered-earth-head-wave) donne $t(x_*) = 2h\tan i_c/v_2 + 2h\cos i_c/v_1 = \frac{2h}{v_1}\bigl(\sin^2 i_c/\cos
i_c + \cos i_c\bigr) = 2h/(v_1\cos i_c)$, en utilisant $\sin i_c = v_1/v_2$ : la même. La pente de l’hyperbole est $t_r'(x) = x/(v_1\sqrt{x^2 + 4h^2})$ ; en $x_*$, elle vaut $\sin i_c/v_1 = 1/v_2$, la pente de la droite de l’[onde conique](#def-b1-layered-earth-head-wave). Comme $t_r'' > 0$, l’hyperbole est convexe et située au-dessus de chacune de ses tangentes : pour $x > x_*$, $t_r > t_{\text{conique}}$. À la distance critique, la réflexion frappe la limite exactement sous $i_c$ et c’est la naissance de l’[onde conique](#def-b1-layered-earth-head-wave) ; au-delà, l’[onde conique](#def-b1-layered-earth-head-wave), qui gagne en courant dans le milieu rapide, arrive la première.

**Exercice 9.11 ★★★.**

Pour une Terre de masse volumique uniforme $\rho$, montrer que $g(r) = \tfrac43\pi G\rho r$ et $P(r) = \tfrac23\pi G\rho^2(R^2 - r^2)$. Calculer la pression centrale avec $\rho = 5513\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ et $R = 6371\,\mathrm{km}$, et la comparer à la valeur de PREM, $363.85\,\mathrm{GPa}$.

**Solution de Exercice 9.11.**

$m(r) = \tfrac43\pi\rho r^3$, donc $g = Gm/r^2 = \tfrac43\pi G\rho r$. Alors $P(r) = \int_r^R \rho\,\tfrac43\pi G\rho s\,\mathrm ds = \tfrac23\pi G\rho^2(R^2
- r^2)$. Au centre, $P = \tfrac23\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times5513^2\times
(6.371 \times 10^{6})^2 = 172\,\mathrm{GPa}$, soit $47\,\%$ des $363.85\,\mathrm{GPa}$ de PREM : concentrer la masse vers le centre double à peu près la pression centrale.

**Exercice 9.12 ★★★.**

Montrer que si $g/\Phi$ est constant dans une couche, l’équation d’Adams–Williamson donne $\rho = \rho_0\exp\bigl(g(z - z_0)/\Phi\bigr)$ avec la profondeur $z$. L’appliquer au [noyau externe](#def-b1-layered-earth-layers), de $2891\,\mathrm{km}$ ($\rho_0 =
9.90\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) à $5149.5\,\mathrm{km}$, avec les valeurs moyennes $g = 7.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ et $\Phi = 87\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$ ; comparer à la valeur de PREM, $12.17\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, à la [limite du noyau interne](#def-b1-layered-earth-discontinuity).

**Solution de Exercice 9.12.**

Avec $z$ la profondeur, $\mathrm d\rho/\mathrm dz = \rho g/\Phi$ ; si $g/\Phi$ est une constante $a$, $\mathrm d(\ln\rho)/\mathrm dz = a$ et $\rho = \rho_0
e^{a(z - z_0)}$. Ici $a(z - z_0) = 7.9\times2258.5 \times 10^{3}/87 \times 10^{6} =
0.2051$ et $\rho = 9.90\times e^{0.2051} = 9.90\times1.2276 =
12.15\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, soit $0.2\,\%$ sous les $12.17$ de PREM : toute l’augmentation de masse volumique à travers le [noyau externe](#def-b1-layered-earth-layers) est de l’autocompression.

## 9.8 Problème : Peser les enveloppes de la Terre

**Problème 9.1.**

Problème du week-end — volumes, masses et moment d’inertie d’une Terre à quatre enveloppes construite à partir de PREM, comparés à la masse et au moment d’inertie mesurés ; pesanteur et pression en profondeur

La Terre est découpée en quatre enveloppes aux rayons de PREM, et chacune reçoit sa masse volumique moyenne dans PREM, arrondie :

| enveloppe | de (km) | à (km) | masse vol. moyenne ($\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) |
| --- | --- | --- | --- |
| [croûte](#def-b1-layered-earth-layers), [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) supérieur et zone de transition | 5701 | 6371 | 3.57 |
| [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) inférieur | 3480 | 5701 | 4.90 |
| [noyau externe](#def-b1-layered-earth-layers) | 1221.5 | 3480 | 10.90 |
| [noyau interne](#def-b1-layered-earth-layers) | 0 | 1221.5 | 12.89 |

On prend $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$. La masse mesurée de la Terre est $5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ et son [facteur de moment d’inertie](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/3-planetologie-comparee#def-b1-comparative-planetology-moi) $I/MR^2 = 0.3308$.

**Partie I — Volumes.**

1. Calculer le volume de la Terre.
2. Calculer le volume de chaque enveloppe.
3. Quelle fraction du volume chaque enveloppe occupe-t-elle ? Quelle enveloppe est la plus grande ?
4. Quelle fraction du volume est du noyau ?

**Partie II — Masses.**

5. Calculer la masse de chaque enveloppe.
6. Les additionner, et comparer le total à la masse mesurée.
7. En déduire la masse volumique moyenne de la Terre modèle.
8. Quelle fraction de la masse est dans le [noyau interne](#def-b1-layered-earth-layers) ?
9. Quelle fraction de la masse est dans le [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) et la [croûte](#def-b1-layered-earth-layers) ensemble ?
10. Comparer la part du noyau dans le volume et dans la masse, et expliquer.

**Partie III — Moment d’inertie.**

11. Montrer, à partir de la [Proposition 9.10](#prop-b1-layered-earth-integrals) , qu’une enveloppe uniforme comprise entre $r_1$ et $r_2$ a $I = \tfrac{8\pi}{15}\rho\,(r_2^5 - r_1^5)$ .
12. Calculer le moment d’inertie de chaque enveloppe.
13. Quelle enveloppe contribue le plus, et pourquoi le [noyau interne](#def-b1-layered-earth-layers) ne contribue-t-il presque pas ?
14. Les additionner et calculer $I/MR^2$ pour le modèle.
15. Comparer à $0.3308$ et au $0.4$ d’une sphère homogène.
16. Dans chaque enveloppe réelle, la masse volumique croît avec la profondeur. Cela explique-t-il que le facteur du modèle soit trop élevé ? Expliquer.

**Partie IV — Pesanteur et pression.**

17. Calculer la pesanteur à la surface du modèle.
18. Calculer la pesanteur à la [limite noyau–manteau](#def-b1-layered-earth-discontinuity) .
19. Calculer la masse volumique moyenne du [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) et de la [croûte](#def-b1-layered-earth-layers) ensemble.
20. La pesanteur dans le [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) reste voisine de $10\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ . Estimer la pression à la [limite noyau–manteau](#def-b1-layered-earth-discontinuity) , et la comparer à la valeur de PREM, $135.75\,\mathrm{GPa}$ .
21. Calculer la masse volumique moyenne du noyau, et l’augmentation de pression de la [limite noyau–manteau](#def-b1-layered-earth-discontinuity) au centre dans un noyau uniforme, $\tfrac23\pi G\rho_c^2 r_c^2$ ( [Exercice 9.11](#exo-b1-layered-earth-11) appliqué au noyau seul).
22. Les additionner pour estimer la pression centrale, et la comparer à la valeur de PREM, $363.85\,\mathrm{GPa}$ . Pourquoi l’estimation est-elle trop basse ?
23. Lesquels des nombres du modèle sont vérifiés par une mesure, et lesquels seulement par PREM lui-même ?
24. Quelle fraction de la masse de la Terre se trouve dans le noyau ?

**Solution de Problème 9.1.**

**1.** $V = \tfrac43\pi(6.371 \times 10^{6})^3 = 1.0832 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{3}$.

**2.** $\tfrac43\pi(r_2^3 - r_1^3)$ : [croûte](#def-b1-layered-earth-layers), [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) supérieur et zone de transition $3.0706 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$ ; [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) inférieur $5.9961 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$ ; [noyau externe](#def-b1-layered-earth-layers) $1.6890 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$ ; [noyau interne](#def-b1-layered-earth-layers) $7.634 \times 10^{18}\,\mathrm{m}^{3}$.

**3.** $28.35\,\%$, $55.36\,\%$, $15.59\,\%$ et $0.70\,\%$ : le [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) inférieur est l’enveloppe la plus grande, plus de la moitié du volume de la Terre.

**4.** $15.59 + 0.70 = 16.3\,\%$.

**5.** [Croûte](#def-b1-layered-earth-layers), [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) supérieur et zone de transition $3.0706 \times 10^{20}\times3570 =
1.0962 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ; [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) inférieur $2.9381 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ; [noyau externe](#def-b1-layered-earth-layers) $1.8410 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ; [noyau interne](#def-b1-layered-earth-layers) $9.841 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$.

**6.** $5.9737 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $0.03\,\%$ au-dessus de la valeur mesurée $5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

**7.** $5.9737 \times 10^{24}/1.0832 \times 10^{21} = 5515\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

**8.** $9.841 \times 10^{22}/5.9737 \times 10^{24} = 1.65\,\%$.

**9.** $(1.0962 + 2.9381)/5.9737 = 67.5\,\%$.

**10.** Le noyau représente $16.3\,\%$ du volume et $32.5\,\%$ de la masse, le double : sa masse volumique moyenne, $10\,986\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, est environ $2.5$ fois celle du [manteau](#def-b1-layered-earth-layers).

**11.** Une enveloppe de masse volumique uniforme donne $I = \tfrac{8\pi}{3}\rho\int_{r_1}^{r_2} r^4\,\mathrm dr = \tfrac{8\pi}{15}\rho
(r_2^5 - r_1^5)$.

**12.** [Croûte](#def-b1-layered-earth-layers), [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) supérieur et zone de transition $2.676 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) inférieur $4.525 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; [noyau externe](#def-b1-layered-earth-layers) $9.27 \times 10^{36}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; [noyau interne](#def-b1-layered-earth-layers) $5.87 \times 10^{34}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$.

**13.** Le [manteau](#def-b1-layered-earth-layers) inférieur : il a la moitié de la masse, à de grands rayons. Le [noyau interne](#def-b1-layered-earth-layers) contient $1.6\,\%$ de la masse, tout entière près de l’axe : sa part est de $0.07\,\%$.

**14.** $I = 8.1345 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ et $I/MR^2 = 8.1345 \times 10^{37}/
(5.9737 \times 10^{24}\times(6.371 \times 10^{6})^2) = 0.3355$.

**15.** $1.4\,\%$ au-dessus de $0.3308$, et bien au-dessous de $0.4$ : le modèle a la bonne concentration de masse vers le centre, à peu près.

**16.** Oui. Dans chaque enveloppe, la masse volumique réelle est plus élevée en bas qu’en haut ; une enveloppe uniforme de même masse met trop de cette masse près de son rayon externe, où elle compte avec $r^2$, et surestime donc $I$.

**17.** $g = GM/R^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times5.9737 \times 10^{24}/
(6.371 \times 10^{6})^2 = 9.822\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$.

**18.** La masse du noyau est $1.8410 \times 10^{24} + 9.841 \times 10^{22} =
1.9394 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, et $g = G m/r_c^2 = 10.69\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$.

**19.** $(1.0962 \times 10^{24} + 2.9381 \times 10^{24})/(3.0706 \times 10^{20} +
5.9961 \times 10^{20}) = 4.0343 \times 10^{24}/9.0667 \times 10^{20} = 4450\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

**20.** $P \approx 4450\times10\times2.891 \times 10^{6} = 128.6\,\mathrm{GPa}$, $5\,\%$ au-dessous des $135.75\,\mathrm{GPa}$ de PREM.

**21.** $\rho_c = 1.9394 \times 10^{24}/1.7653 \times 10^{20} = 10\,986\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, et $\Delta P = \tfrac23\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times10986^2\times
(3.48 \times 10^{6})^2 = 204.3\,\mathrm{GPa}$.

**22.** $128.6 + 204.3 = 332.9\,\mathrm{GPa}$, $8.5\,\%$ au-dessous des $363.85\,\mathrm{GPa}$ de PREM. Les deux estimations ignorent l’augmentation de la masse volumique avec la profondeur à l’intérieur de chaque région, qui place davantage de masse plus bas, maintient la pesanteur plus élevée en descendant et relève $\rho g$, le gradient de pression.

**23.** La masse totale (question 6), le [facteur de moment d’inertie](https://one-course.com/books/earth/3/fr/chapter/3-planetologie-comparee#def-b1-comparative-planetology-moi) (question 15) et la pesanteur de surface (question 17, contre la moyenne mesurée $9.82\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$) sont vérifiés par des mesures de la Terre ; la pesanteur au noyau et les pressions ne peuvent être comparées qu’à PREM, lui-même un modèle.

**24.** Le noyau contient **$32.5\,\%$** de la masse de la Terre.