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title: "अनुप्रस्थ काट"
book: "विश्वविद्यालय पृथ्वी और अंतरिक्ष विज्ञान — वर्ष 1"
subject: earth
language: hi
chapter: 5
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/5-cross-sections
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# अध्याय 5 — अनुप्रस्थ काट

एक इंजीनियरिंग कंपनी वार्डन पहाड़ियों के नीचे एक सुरंग की योजना बनाती है, जो $200\,\mathrm{m}$ की स्थिर ऊँचाई पर पश्चिम से पूर्व की ओर सीधी जाती है। एक भी मीटर खोदने से पहले भूवैज्ञानिकों को बताना होगा कि मशीन कौन-सी चट्टानें काटेगी, वह भ्रंश को कहाँ पार करेगी, और चूना-पत्थर में, जो खुली खोखली जगहों और पानी को रख सकता है, वह कितना समय बिताएगी। पहाड़ियों के भीतर कोई नहीं देख सकता; पर [अध्याय 4](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#ch-b1-geological-maps) का [भूवैज्ञानिक मानचित्र](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map), कुछ बोरहोल और समतलों की ज्यामिति इतनी पर्याप्त हैं कि ज़मीन के आरपार एक ऊर्ध्वाधर टुकड़ा खींचा जा सके — एक अनुप्रस्थ काट — और उससे उत्तर पढ़े जा सकें। यह अध्याय सिखाता है कि मानचित्र से काट कैसे बनती है, तिरछी काट से नतियाँ और मोटाइयाँ कैसे बदलती हैं, बोरहोलों का [सहसंबंध](#def-b1-cross-sections-log) कैसे होता है, और काट उन चट्टानों का इतिहास कैसे बताती है जिन्हें वह काटती है। यह सुरंग के साथ समाप्त होता है।

**पहले से ज्ञात.**

किसी समतल का [अभिविन्यास](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) उसकी [नति-दिशा](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) $\alpha$ और उसकी [नति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) $\delta$ से दिया जाता है, और $z_0$ उन्नयन वाले एक बिंदु से होकर, मूल-बिंदु पर, जाने वाला समतल है $z = z_0 - \tan\delta\,(x\sin\alpha + y\cos\alpha)$; किसी [संपर्क](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) के तीन बिंदु उसका [अभिविन्यास](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) तय करते हैं; V-नियम घाटियों में [बहिर्भाग](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) के प्रारूप से [नति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) पढ़ता है ([अध्याय 4](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#ch-b1-geological-maps))। एक समोच्च रेखा स्थलाकृतिक मानचित्र पर समान ऊँचाई के बिंदुओं को जोड़ती है (पुस्तक 1, कक्षा 9)। नई चट्टानें पुरानी चट्टानों पर पड़ती हैं, और जो चट्टान को काटता है वह उससे नया है (पुस्तक 1, कक्षा 7)।

## 5.1 मानचित्र से काट तक

**परिभाषा 5.1 (भूवैज्ञानिक अनुप्रस्थ काट, स्थलाकृतिक रूपरेखा, ऊर्ध्वाधर अतिरंजन).**

एक *भूवैज्ञानिक अनुप्रस्थ काट* ज़मीन के आरपार एक ऊर्ध्वाधर समतल में चट्टान इकाइयों और संरचनाओं का चित्र है, जो मानचित्र पर खींची गई एक रेखा के अनुदिश है। उसका ऊपरी किनारा *स्थलाकृतिक रूपरेखा* है, यानी उस रेखा के अनुदिश ज़मीनी उन्नयन का वक्र। किसी काट का *ऊर्ध्वाधर अतिरंजन* $e$ उसके ऊर्ध्वाधर पैमाने और क्षैतिज पैमाने का अनुपात है; एक काट *पैमाने के सत्य* होती है जब $e = 1$ हो।

**विधि 5.2 (मानचित्र से अनुप्रस्थ काट बनाना).**

1. काट की रेखा मानचित्र पर खींचिए और कागज़ की एक पट्टी का किनारा उस पर रखिए; हर समोच्च रेखा कहाँ उसे पार करती है, उसका उन्नयन लिखकर अंकित कीजिए, और हर [संपर्क](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) और भ्रंश कहाँ पार करता है।
2. उतनी ही लंबाई की एक क्षैतिज आधार रेखा और उन्नयन का एक ऊर्ध्वाधर पैमाना खींचिए ( $e$ चुनिए, और उसे काट पर लिखिए)।
3. हर समोच्च-चिह्न को उसके उन्नयन पर स्थानांतरित कीजिए और बिंदुओं को सहजता से जोड़िए: यही [स्थलाकृतिक रूपरेखा](#def-b1-cross-sections-section) है।
4. हर [संपर्क](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) और भ्रंश को रूपरेखा पर स्थानांतरित कीजिए, उस बिंदु पर जहाँ वह रेखा को पार करता है।
5. ऐसे हर बिंदु से [संपर्क](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) को ज़मीन में उसकी [नति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) के साथ खींचिए — *काट के तल में* उसकी [नति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) , यानी [आभासी नति](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) ( [अनुभाग 5.2](#sec-5-2) ) — जिसे $e$ से बढ़ाया गया हो, यदि $e \ne 1$ हो; जहाँ बोरहोल और [संरचना समोच्च](#def-b1-cross-sections-structure-contour) हों, वहाँ उनका उपयोग कीजिए।
6. संपर्कों के बीच की इकाइयाँ पूरी कीजिए, अध्यारोपण और काटों के क्रम का सम्मान करते हुए, और संकेत-सूची, पैमाने, रेखा की दिशा और $e$ जोड़िए।

![काट बनाना (योजनाबद्ध): रेखा X–Y के साथ समोच्च रेखाओं के प्रतिच्छेदों को उनके उन्नयनों तक नीचे लाया जाता है, ताकि स्थलाकृतिक रूपरेखा बने; रेखा को पार करने वाला एक संपर्क रूपरेखा तक नीचे लाया जाता है और अपनी आभासी नति के साथ ज़मीन में खींचा जाता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-cross-sections/fig-53b2bddbfe37.svg)

*काट बनाना (योजनाबद्ध): रेखा X–Y के साथ समोच्च रेखाओं के प्रतिच्छेदों को उनके उन्नयनों तक नीचे लाया जाता है, ताकि [स्थलाकृतिक रूपरेखा](#def-b1-cross-sections-section) बने; रेखा को पार करने वाला एक [संपर्क](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) रूपरेखा तक नीचे लाया जाता है और अपनी [आभासी नति](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) के साथ ज़मीन में खींचा जाता है।*

काट, जो मॉडल से कंप्यूटर द्वारा बनी है, C–D रेखा के अनुदिश है, जो मानचित्र को $y = 6\,\mathrm{km}$ पर ठीक पूर्व की ओर पार करती है। इसमें वह [अपनति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-fold) दिखती है जिसका बलुआ पत्थर और आधार का क्रोड $x \approx 3.5\,\mathrm{km}$ पर दिखता है, उसकी भुजाओं पर चूना-पत्थर और शेल, पूर्व की [अभिनति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-fold) में खड़िया, और सामान्य भ्रंश। $200\,\mathrm{m}$ पर सुरंग रेखा, और [अनुभाग 5.4](#sec-5-4) के बोरहोल B1, B2, B3 उस पर खींचे गए हैं।

![वार्डन पहाड़ियों की काट C–D, क्षेत्र के मॉडल से। ऊपर: ऊर्ध्वाधर अतिरंजन e = 3; नीचे: वही काट पैमाने के सत्य (e = 1), जहाँ 12 की भुजाएँ उतनी ही मंद दिखती हैं जितनी वे हैं। रंग भूवैज्ञानिक मानचित्र के अनुसार हैं; भ्रंश (मोटी रेखा) सामान्य भ्रंश है, जिसका पूर्वी खंड नीचे खिसका है। लाल रेखा समस्या की सुरंग है; B1–B3 बोरहोल हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-cross-sections/fig-6e586455061b.svg)

![वार्डन पहाड़ियों की काट C–D, क्षेत्र के मॉडल से। ऊपर: ऊर्ध्वाधर अतिरंजन e = 3; नीचे: वही काट पैमाने के सत्य (e = 1), जहाँ 12 की भुजाएँ उतनी ही मंद दिखती हैं जितनी वे हैं। रंग भूवैज्ञानिक मानचित्र के अनुसार हैं; भ्रंश (मोटी रेखा) सामान्य भ्रंश है, जिसका पूर्वी खंड नीचे खिसका है। लाल रेखा समस्या की सुरंग है; B1–B3 बोरहोल हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-cross-sections/fig-fe482a8f62fd.svg)

*वार्डन पहाड़ियों की काट C–D, क्षेत्र के मॉडल से। ऊपर: [ऊर्ध्वाधर अतिरंजन](#def-b1-cross-sections-section) $e = 3$; नीचे: वही काट पैमाने के सत्य ($e = 1$), जहाँ $12{}^{\circ}$ की भुजाएँ उतनी ही मंद दिखती हैं जितनी वे हैं। रंग [भूवैज्ञानिक मानचित्र](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) [अध्याय 4](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#ch-b1-geological-maps) के अनुसार हैं; भ्रंश (मोटी रेखा) सामान्य भ्रंश है, जिसका पूर्वी खंड नीचे खिसका है। लाल रेखा समस्या की सुरंग है; B1–B3 बोरहोल हैं।*

[ऊर्ध्वाधर अतिरंजन](#def-b1-cross-sections-section) पतली इकाइयों और मंद उच्चावच को पढ़ने योग्य बनाता है, पर वह हर कोण को विकृत करता है: [वलन](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-fold) की $12{}^{\circ}$ भुजाएँ ऊपरी काट में लगभग $32{}^{\circ}$ पर दिखती हैं। अगला अनुच्छेद ठीक बताता है कि ऐसा कैसे होता है।

## 5.2 आभासी नति

**परिभाषा 5.3 (आभासी नति).**

किसी दिए गए ऊर्ध्वाधर काट में एक समतल की *आभासी नति* $\beta$ क्षैतिज और उस काट में समतल के अनुरेख के बीच का कोण है। वह वास्तविक [नति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) $\delta$ के बराबर होती है जब काट [नति-दिशा](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) के अनुदिश चलती है, और शून्य होती है जब वह [स्ट्राइक](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) के अनुदिश चलती है।

**प्रमेय 5.4 (आभासी नति).**

[नति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) $\delta$ और [नति-दिशा](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) $\alpha$ वाला एक समतल, जिसे दिगंश $\theta$ की एक ऊर्ध्वाधर काट काटती है, [आभासी नति](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) $\beta$ इस प्रकार दिखाता है

$$
\tan\beta = \tan\delta\,\cos\gamma, \qquad \gamma = \alpha - \theta ,
$$

समतल दिशा $\theta$ में नीचे जाता है, जब $\cos\gamma > 0$ हो। विशेष रूप से $|\beta| \le \delta$ है, समता केवल [नति-दिशा](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) के अनुदिश।

**उपपत्ति.** [अध्याय 4](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#ch-b1-geological-maps) के समतल $z = z_0 - \tan\delta\,(x\sin\alpha + y\cos\alpha)$ को लीजिए। काट के अनुदिश लंबाई $s$ का एक क्षैतिज पग, दिशा $\theta$ में, $(x, y) = s(\sin\theta, \cos\theta)$ है, अतः $z = z_0 - s\tan\delta\,(\sin\theta\sin\alpha + \cos\theta\cos\alpha) =
z_0 - s\tan\delta\cos(\alpha - \theta)$। अनुरेख एक सीधी रेखा है जो क्षैतिज दूरी की प्रति इकाई $\tan\delta\cos\gamma$ नीचे उतरती है: यही $\tan\beta$ है। चूँकि $|\cos\gamma| \le 1$, $|\tan\beta| \le \tan\delta$। ∎

![आभासी नति (योजनाबद्ध खंड)। पूर्व की ओर झुकता एक समतल (नीला) अपने सामने के फलक पर, जो नति-दिशा के अनुदिश काटा गया ऊर्ध्वाधर फलक है, अपनी वास्तविक नति दिखाता है; धूसर ऊर्ध्वाधर काट पर, जो तिरछी काटी गई है, उसका अनुरेख (लाल) अधिक मंद उतरता है, आभासी नति के साथ; उत्तर-दक्षिण स्ट्राइक के अनुदिश काट पर वह क्षैतिज होता।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-cross-sections/fig-eaa9c38eea43.svg)

*[आभासी नति](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) (योजनाबद्ध खंड)। पूर्व की ओर झुकता एक समतल (नीला) अपने सामने के फलक पर, जो [नति-दिशा](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) के अनुदिश काटा गया ऊर्ध्वाधर फलक है, अपनी वास्तविक [नति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) $\delta$ दिखाता है; धूसर ऊर्ध्वाधर काट पर, जो तिरछी काटी गई है, उसका अनुरेख (लाल) अधिक मंद उतरता है, [आभासी नति](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) $\beta$ के साथ; उत्तर-दक्षिण [स्ट्राइक](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) के अनुदिश काट पर वह क्षैतिज होता।*

**प्रतिज्ञप्ति 5.5 (अतिरंजित काट में कोण).**

[ऊर्ध्वाधर अतिरंजन](#def-b1-cross-sections-section) $e$ के साथ बनाई गई काट में [आभासी नति](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) $\beta$ वाली एक रेखा, कोण $\beta'$ पर खींची जाती है जिसके लिए $\tan\beta' = e\tan\beta$।

**उपपत्ति.** क्षैतिज दूरी $s$ पर रेखा $s\tan\beta$ नीचे उतरती है; ऊर्ध्वाधर पैमाने को क्षैतिज पैमाने का $e$ गुना लेकर, वही उतार $es\tan\beta$ के रूप में, उसी खींची गई लंबाई $s$ पर दिखता है। ∎

**उदाहरण 5.6.**

वार्डन [अपनति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-fold) की पूर्वी भुजा $12.16{}^{\circ}$ से $080.7{}^{\circ}$ की ओर झुकती है ([अध्याय 4](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#ch-b1-geological-maps))। पूर्व-पश्चिम काट C–D में, $\gamma = 80.7{}^{\circ} - 90{}^{\circ} = -9.3{}^{\circ}$, और $\tan\beta =
\tan12.16{}^{\circ}\cos9.3{}^{\circ} = 0.2154\times0.9868 = 0.2126$: $\beta =
12.0{}^{\circ}$। $e = 3$ के साथ खींची गई वह $\arctan(3\times0.2126) =
32.5{}^{\circ}$ पर दिखती है। दिगंश $071.6{}^{\circ}$ की काट A–B में $\gamma = 9.1{}^{\circ}$ और $\beta = 12.0{}^{\circ}$ भी है: दोनों काटें [नति-दिशा](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) के निकट चलती हैं। भ्रंश, जो $120{}^{\circ}$ की ओर $60{}^{\circ}$ झुकता है, C–D में [आभासी नति](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) $\arctan(\tan60{}^{\circ}\cos30{}^{\circ}) = \arctan 1.5 = 56.3{}^{\circ}$ रखता है।

## 5.3 मोटाई

**परिभाषा 5.7 (वास्तविक मोटाई, ऊर्ध्वाधर मोटाई).**

किसी परत की *वास्तविक मोटाई* $t$ उसके आधार और ऊपरी सिरे के बीच की वह दूरी है जो परत-तल के लंबवत मापी जाती है। उसकी *ऊर्ध्वाधर मोटाई* $h$ वही दूरी है जो ऊर्ध्वाधर के अनुदिश मापी जाती है, जैसे एक ऊर्ध्वाधर बोरहोल उसे काटता है।

**प्रतिज्ञप्ति 5.8 (नत परत की मोटाई).**

[नति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) $\delta$ वाली परत के लिए:

1. $t = h\cos\delta$ ;
2. क्षैतिज ज़मीन पर, यदि परत के [बहिर्भाग](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) की चौड़ाई [स्ट्राइक](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) के लंबवत मापी गई $w$ है, तो $t = w\sin\delta$ ;
3. [स्ट्राइक](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) के लंबवत दिशा में $\sigma$ कोण पर ढलती ज़मीन पर, जिसमें $w$ ज़मीन के अनुदिश मापा गया है, $t = w\sin(\delta + \sigma)$ यदि ज़मीन [नति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) से विपरीत ढलती है, और $t = w\sin(\delta - \sigma)$ यदि वह [नति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) की ही दिशा में परतों से कम तीखी ढलती है।

**उपपत्ति.** [स्ट्राइक](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) के लंबवत ऊर्ध्वाधर समतल में परत का आधार और ऊपरी सिरा $\delta$ पर झुकी दो समांतर रेखाएँ हैं, जो $t$ दूरी पर हैं। (1) उन्हें जोड़ने वाला एक ऊर्ध्वाधर खंड उनके सामान्य अभिलंब के साथ $\delta$ कोण बनाता है, अतः $t = h\cos\delta$। (2)–(3) उन्हें ज़मीन के अनुदिश जोड़ने वाला लंबाई $w$ का एक खंड परत-तल के साथ, जब ज़मीन समतल हो तब $\delta$, जब ज़मीन [नति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) की विपरीत दिशा में ऊपर उठे तब $\delta + \sigma$ (दोनों झुकाव जुड़ते हैं), और जब वह उसी दिशा में गिरे तब $\delta - \sigma$ कोण बनाता है; समांतर रेखाओं के बीच की दूरी खंड की लंबाई और उस कोण की ज्या का गुणनफल है। ∎

![स्ट्राइक के लंबवत ऊर्ध्वाधर समतल में एक नत परत की मोटाइयाँ: वास्तविक मोटाई t, परत-तल के लंबवत; ऊर्ध्वाधर मोटाई h = t/; समतल ज़मीन पर बहिर्भाग की चौड़ाई w = t/ (योजनाबद्ध, = 25 के साथ)।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-cross-sections/fig-5fc41ecd4078.svg)

*[स्ट्राइक](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) के लंबवत ऊर्ध्वाधर समतल में एक नत परत की मोटाइयाँ: [वास्तविक मोटाई](#def-b1-cross-sections-thickness) $t$, परत-तल के लंबवत; [ऊर्ध्वाधर मोटाई](#def-b1-cross-sections-thickness) $h = t/\cos\delta$; समतल ज़मीन पर [बहिर्भाग](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) की चौड़ाई $w = t/\sin\delta$ (योजनाबद्ध, $\delta = 25{}^{\circ}$ के साथ)।*

वार्डन पहाड़ियों में ऊपर से चूना-पत्थर में प्रवेश करने वाला हर बोरहोल $180\,\mathrm{m}$ कोर के आर-पार उसे काटता है: यही उसकी [ऊर्ध्वाधर मोटाई](#def-b1-cross-sections-thickness) है। उसकी [वास्तविक मोटाई](#def-b1-cross-sections-thickness) $180\cos12.16{}^{\circ} = 176.0\,\mathrm{m}$ है। दो इकाइयाँ, जिनकी नतियाँ अलग हैं, एक ही [बहिर्भाग](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) चौड़ाई दिखा सकती हैं, और एक तीखी परत उस ढलान पर चौड़ा [बहिर्भाग](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) दिखा सकती है जो उसके साथ चलती है: मोटाई मानचित्र से कभी सीधे नहीं पढ़ी जाती।

## 5.4 बोरहोल और संरचना समोच्च

**परिभाषा 5.9 (बोरहोल लॉग, सहसंबंध).**

एक *बोरहोल लॉग* गहराई के विरुद्ध उन चट्टानों का अभिलेख है जिन्हें एक बोरहोल ने पाया: इकाइयाँ, उनके संपर्कों की गहराइयाँ, और कोई मापा गया गुण। *सहसंबंध* एक लॉग से दूसरे लॉग तक उन्हीं इकाइयों और संपर्कों का मिलान है।

C–D रेखा पर खोदे गए तीन बोरहोल हर इकाई के आधार की ज़मीन के नीचे ये गहराइयाँ देते हैं (डैश: [संपर्क](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) ज़मीन के ऊपर है, अपरदित):

| बोरहोल | $x$ (km) | भू-सतह (m) | खड़िया | शेल | चूना-पत्थर | बलुआ पत्थर |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| B1 | 1.5 | 524.02 | 388.98 | 488.98 | 668.98 | 788.98 |
| B2 | 3.5 | 380.64 | — | — | 100.48 | 220.48 |
| B3 | 5.5 | 529.98 | 394.93 | 494.93 | 674.93 | 794.93 |

B2 चूना-पत्थर में शुरू होता है, [अपनति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-fold) के शिखर पर; B1 और B3 खड़िया में शुरू होते हैं, उसकी भुजाओं पर। भू-सतह के उन्नयन से गहराइयाँ घटाने पर संपर्कों के उन्नयन मिलते हैं: चूना-पत्थर का आधार B2 में $380.64 - 100.48 = 280.16\,\mathrm{m}$ और B3 में $529.98 - 674.93 =
-144.95\,\mathrm{m}$ पर है, $2\,\mathrm{km}$ पर $425.11\,\mathrm{m}$ नीचे, $0.2126$ की ढलान: ऊपर पाई गई $12.0{}^{\circ}$ की [आभासी नति](#def-b1-cross-sections-apparent-dip)। B1 और B3 वही मोटाइयाँ देते हैं, $100\,\mathrm{m}$ शेल, $180\,\mathrm{m}$ चूना-पत्थर और $120\,\mathrm{m}$ बलुआ पत्थर: इकाइयों की दोनों भुजाओं पर एक ही [ऊर्ध्वाधर मोटाई](#def-b1-cross-sections-thickness) है।

![B1, B2 और B3 के लॉग, रेखा C–D पर, उनके वास्तविक उन्नयनों पर लटकाए गए (क्षैतिज पैमाने पर नहीं), और उनका सहसंबंध: चूना-पत्थर (लाल) और बलुआ पत्थर (नीला) का आधार दोनों भुजाओं से B2 पर अपनति के शिखर तक उठता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-cross-sections/fig-cc218076a470.svg)

*B1, B2 और B3 के लॉग, रेखा C–D पर, उनके वास्तविक उन्नयनों पर लटकाए गए (क्षैतिज पैमाने पर नहीं), और उनका [सहसंबंध](#def-b1-cross-sections-log): चूना-पत्थर (लाल) और बलुआ पत्थर (नीला) का आधार दोनों भुजाओं से B2 पर [अपनति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-fold) के शिखर तक उठता है।*

जहाँ बोरहोल बहुत हों, वहाँ एक दबे [संपर्क](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) का आकार संरचना समोच्चों से मानचित्रित होता है।

**परिभाषा 5.10 (संरचना समोच्च, संरचना-समोच्च मानचित्र).**

किसी भूवैज्ञानिक सतह का *संरचना समोच्च* उस सतह के समान उन्नयन वाले बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा है। एक *संरचना-समोच्च मानचित्र* एक सतह के संरचना समोच्च नियमित अंतराल पर खींचता है, चाहे वह सतह भूमिगत हो या अपरदन से मिट गई हो।

किसी समतल के लिए [संरचना समोच्च](#def-b1-cross-sections-structure-contour) सीधे, [स्ट्राइक](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) के समांतर, और समान अंतर पर होते हैं: समोच्चों के बीच उन्नयन-अंतराल $\Delta z$ क्षैतिज अंतर $\Delta z/\tan\delta$ के अनुरूप है। जहाँ कोई सतह मुड़ती है, वहाँ उसके समोच्च [वलन](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-fold) के चारों ओर मुड़ जाते हैं; जहाँ कोई भ्रंश उसे काटता है, वहाँ वे रुककर विस्थापित होकर फिर शुरू होते हैं, एक अंतराल या एक अतिव्याप्ति के साथ।

**विधि 5.11 (संरचना-समोच्च मानचित्र बनाना).**

1. हर बोरहोल के लिए, और हर बिंदु के लिए जहाँ सतह का [बहिर्भाग](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) है, सतह का उन्नयन परिकलित कीजिए (भू-उन्नयन घटा गहराई; [बहिर्भाग](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) पर स्वयं भू-उन्नयन)।
2. जहाँ सतह एक समतल के निकट है, वहाँ तीन बिंदु लेकर [अध्याय 4](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#ch-b1-geological-maps) की तीन-बिंदु विधि से उसका [अभिविन्यास](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) ज्ञात कीजिए; [स्ट्राइक](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) के समांतर समोच्च खींचिए, $\Delta z/\tan\delta$ दूरी पर।
3. जहाँ नहीं है, वहाँ पड़ोसी बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन कीजिए (बिंदुओं के त्रिभुज), और समान उन्नयन जोड़िए।
4. पहले भ्रंश खींचिए, और हर भ्रंश-खंड को अलग से समोच्चित कीजिए।

![वार्डन पहाड़ियों में चूना-पत्थर के आधार के संरचना समोच्च, हर 100\, m पर (लाल, हर 200\, m पर अंकित), स्थलाकृतिक समोच्चों (धूसर) के ऊपर। भुजाओं पर वे लगभग उत्तर-दक्षिण चलते हैं, स्ट्राइक के समांतर; नमन करते वलनों के मोड़ों के चारों ओर वे V आकृतियाँ बनाते हैं; भ्रंश पर (निशान अवनत ओर) वे दो कटाव-रेखाओं पर रुकते हैं, जो क्षैतिज विस्थापन से अलग हैं, और लटकती दीवार में विस्थापित होकर फिर शुरू होते हैं। काट C–D बिंदुरेखा है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-cross-sections/fig-c323bbc510c8.svg)

*वार्डन पहाड़ियों में चूना-पत्थर के आधार के [संरचना समोच्च](#def-b1-cross-sections-structure-contour), हर $100\,\mathrm{m}$ पर (लाल, हर $200\,\mathrm{m}$ पर अंकित), स्थलाकृतिक समोच्चों (धूसर) के ऊपर। भुजाओं पर वे लगभग उत्तर-दक्षिण चलते हैं, [स्ट्राइक](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) के समांतर; नमन करते वलनों के मोड़ों के चारों ओर वे V आकृतियाँ बनाते हैं; भ्रंश पर (निशान अवनत ओर) वे दो कटाव-रेखाओं पर रुकते हैं, जो [क्षैतिज विस्थापन](#def-b1-cross-sections-throw) से अलग हैं, और लटकती दीवार में विस्थापित होकर फिर शुरू होते हैं। काट C–D बिंदुरेखा है।*

## 5.5 काट से इतिहास तक

काट केवल यह नहीं दिखाती कि चट्टानें कहाँ हैं, बल्कि यह भी कि वे वहाँ कैसे आईं। इकाइयों के बीच के [संपर्क](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) या तो निरंतर निक्षेपण, या एक अंतराल दर्ज करते हैं।

**परिभाषा 5.12 (असंगति, कोणीय असंगति, अ-संगति).**

एक *असंगति* अपरदन या अनिक्षेपण की एक सतह है जो नई चट्टानों को पुरानी से अलग करती है, और इस प्रकार अभिलेख में एक अंतराल दर्शाती है। एक *कोणीय असंगति* में पुरानी शय्याएँ नई शय्याओं के उनकी अपरदित कोरों पर बिछने से पहले झुकाई या मोड़ी गई थीं, अतः शय्याओं के दोनों समूह एक कोण पर मिलते हैं। एक *अ-संगति* में ऊपर और नीचे की शय्याएँ समांतर होती हैं, और अंतराल केवल एक अपरदन-सतह या लुप्त जीवाश्मों या आयु के रूप में दिखता है।

**परिभाषा 5.13 (भ्रंश का विस्थापन, क्षैतिज विस्थापन).**

एक भ्रंश का *विस्थापन* उसके आरपार एक चिह्न-सतह के विस्थापन का ऊर्ध्वाधर घटक है; उसका *क्षैतिज विस्थापन* क्षैतिज घटक है, जो भ्रंश की [नति-दिशा](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) में मापा जाता है। [नति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) $\varphi$ वाले एक नति-सरक भ्रंश के लिए, $\text{क्षैतिज विस्थापन} = \text{विस्थापन}/\tan\varphi$।

सामान्य भ्रंश, जो वार्डन पहाड़ियों का है, $60{}^{\circ}$ झुकता है और उसका [विस्थापन](#def-b1-cross-sections-throw) $200\,\mathrm{m}$ है: उसका [क्षैतिज विस्थापन](#def-b1-cross-sections-throw) $200/\tan60{}^{\circ} = 115.5\,\mathrm{m}$ है। काट C–D में, जो भ्रंश की [नति-दिशा](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) से तिरछी है, भ्रंश $56.3{}^{\circ}$ पर दिखता है, और वही $200\,\mathrm{m}$ का [विस्थापन](#def-b1-cross-sections-throw) एक [संपर्क](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) के दो कटाव-सिरों को काट के अनुदिश $200/1.5 = 133.3\,\mathrm{m}$ अलग करता है। काट को *पुनःस्थापित* करने के लिए — यह देखने के लिए कि भ्रंश के चलने से पहले चट्टानें कैसी थीं — लटकती दीवार वाले खंड को भ्रंश-तल पर सरकन जितना ऊपर खिसकाया जाता है; [वलन](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-fold) को भी पुनःस्थापित करने के लिए, परतों को सीधा करके, बची हुई परतें अपरदित आधार के ऊपर फिर से समतल रखी जाएँगी। एक काट को नीचे से ऊपर पढ़ने पर वार्डन पहाड़ियों का इतिहास इस प्रकार चलता है: शिस्ट, वह ग्रेनाइट जो उसे भेदता है, अपरदन, [कोणीय असंगति](#def-b1-cross-sections-unconformity), समतल बिछी ऊपरी परत, [वलन](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-fold), भ्रंशन, और वह अपरदन जिसने आज की पहाड़ियाँ बनाईं।

**इतिहास — सिकार पॉइंट पर हटन.**

स्कॉटलैंड के दक्षिण-पूर्वी तट पर सिकार पॉइंट में, प्रारंभिक सिलूरियन आयु के लगभग ऊर्ध्वाधर धूसर बलुआ पत्थर और मडस्टोन की परतें एक अपरदन-सतह से कटी हैं और लेट डिवोनियन आयु के हल्के झुके लाल ब्रेशिया, कॉन्ग्लोमरेट और बलुआ पत्थर से ढकी हैं। जेम्स हटन ने इस [कोणीय असंगति](#def-b1-cross-sections-unconformity) का वर्णन अपनी *Theory of the Earth* में किया, जो 1788 में रॉयल सोसाइटी ऑफ़ एडिनबरा के सामने पढ़ी गई और उसकी *Transactions* में छपी, फिर 1795 में एक पुस्तक में विस्तारित हुई; सर जेम्स हॉल का एक रेखाचित्र रिकॉर्ड करता है कि हटन ने क्या देखा। निचली शय्याएँ एक समुद्र-तल पर समतल बिछी थीं, किनारे पर खड़ी कर दी गईं, ऊपर उठाई गईं और घिसी गईं; तभी उनके आरपार ऊपरी शय्याएँ जमा हुईं, और पूरी चीज़ फिर उठी। हर चरण के लिए उस समय से कहीं अधिक लंबी अवधि चाहिए थी जितनी किसी ने सोची थी, और इस [बहिर्भाग](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) पर हटन का पाठ अक्सर उस क्षण के रूप में उद्धृत होता है जब भूविज्ञान ने जाना कि पृथ्वी कितनी पुरानी है।

![सिकार पॉइंट पर हटन की असंगति: नीचे लगभग ऊर्ध्वाधर धूसर सिलूरियन शय्याएँ, ऊपर हल्के झुकी लाल डिवोनियन शय्याएँ। फ़ोटो: पावेल एस, CC BY-SA 4.0 (विकिमीडिया कॉमन्स)।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-cross-sections/img-386991539ad5.jpg)

*सिकार पॉइंट पर हटन की [असंगति](#def-b1-cross-sections-unconformity): नीचे लगभग ऊर्ध्वाधर धूसर सिलूरियन शय्याएँ, ऊपर हल्के झुकी लाल डिवोनियन शय्याएँ। फ़ोटो: पावेल एस, CC BY-SA 4.0 (विकिमीडिया कॉमन्स)।*

**क्षेत्र-कार्य — सुरंग के लिए भूविज्ञान.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-cross-sections/img-fba1e96e0423.jpg)

सुरंग डिज़ाइन होने से पहले इंजीनियरिंग भूवैज्ञानिक मार्ग के साथ मानचित्र से, मार्ग के अंतरालों पर खोदे गए बोरहोलों से, और भू-भौतिकीय सर्वेक्षणों से उसकी रेखा के अनुदिश काट बनाते हैं। वे अनुमान लगाते हैं कि सुरंग हर इकाई कहाँ काटेगी, कौन-से भ्रंश पार करेगी, और पानी कहाँ प्रवेश कर सकता है। खुदाई के दौरान ठेकेदार के भूवैज्ञानिक हर प्रगति पर मुख पर खुली चट्टान का लॉग रखते हैं, उसकी तुलना अनुमान से करते हैं, और काट को अद्यतन करते हैं; मशीन से आगे खोदे गए जाँच-छेद मशीन के पहुँचने से पहले ज़मीन की परीक्षा करते हैं, विशेषकर अनुमानित भ्रंश के निकट या उस चूना-पत्थर में जो खोखली जगहें रख सकता है। पिसी चट्टान का एक भ्रंश-क्षेत्र एक क्लासिक खतरा है, और इससे भी अधिक तब जब दोनों ओर एक ही चट्टान हो और मुख में कुछ उसकी चेतावनी न दे।

## 5.6 अभ्यास

**अभ्यास 5.1 ★.**

एक काट मानचित्र से 1:25 000 पैमाने पर खींची गई है, जिसका ऊर्ध्वाधर पैमाना $100\,\mathrm{m}$ के लिए $1\,\mathrm{cm}$ है। उसका [ऊर्ध्वाधर अतिरंजन](#def-b1-cross-sections-section) क्या है?

**हल — अभ्यास 5.1.**

1:25 000 पर मानचित्र का $1\,\mathrm{cm}$ ज़मीन पर $250\,\mathrm{m}$ है। ऊर्ध्वाधर पैमाना $100\,\mathrm{m}$ के लिए $1\,\mathrm{cm}$ है, अतः ऊर्ध्वाधर पैमाना क्षैतिज का $250/100 = 2.5$ गुना है: $e = 2.5$।

**अभ्यास 5.2 ★.**

एक परत $090{}^{\circ}$ की ओर $40{}^{\circ}$ झुकती है। $060{}^{\circ}$ दिगंश की एक ऊर्ध्वाधर काट में उसकी [आभासी नति](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) क्या है? $000{}^{\circ}$ दिगंश की काट में?

**हल — अभ्यास 5.2.**

$\gamma = 90{}^{\circ} - 60{}^{\circ} = 30{}^{\circ}$, और $\tan\beta = \tan40{}^{\circ}
\cos30{}^{\circ} = 0.8391\times0.8660 = 0.7267$: $\beta = 36.0{}^{\circ}$, परत काट के पूर्वी सिरे की ओर नीचे जाती है। दिगंश $000{}^{\circ}$ की काट में $\gamma = 90{}^{\circ}$ और $\beta = 0$ है: काट [स्ट्राइक](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) के अनुदिश चलती है और परत क्षैतिज दिखती है।

**अभ्यास 5.3 ★.**

एक ऊर्ध्वाधर बोरहोल $120\,\mathrm{m}$ बलुआ पत्थर को काटता है जिसकी परतें $12.16{}^{\circ}$ झुकती हैं। बलुआ पत्थर की [वास्तविक मोटाई](#def-b1-cross-sections-thickness) क्या है?

**हल — अभ्यास 5.3.**

$t = h\cos\delta = 120\times\cos12.16{}^{\circ} = 120\times0.9776 =
117.3\,\mathrm{m}$।

**अभ्यास 5.4 ★.**

काट के तल में $12{}^{\circ}$ झुकता एक [संपर्क](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) 2, 3 और 5 के ऊर्ध्वाधर अतिरंजनों के साथ खींचा गया है। वह किन कोणों पर दिखता है?

**हल — अभ्यास 5.4.**

$\tan12{}^{\circ} = 0.2126$। $e = 2$ के साथ: $\arctan 0.4251 = 23.0{}^{\circ}$; $e = 3$ के साथ: $\arctan 0.6377 = 32.5{}^{\circ}$; $e = 5$ के साथ: $\arctan 1.0628 =
46.7{}^{\circ}$। कोण $e$ से कहीं कम बढ़ता है, और कभी $90{}^{\circ}$ तक नहीं पहुँचता।

**अभ्यास 5.5 ★★.**

एक परत $25{}^{\circ}$ झुकती है। उसका [बहिर्भाग](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) $300\,\mathrm{m}$ चौड़ा है, जो [स्ट्राइक](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) के लंबवत मापा गया है। उसकी [वास्तविक मोटाई](#def-b1-cross-sections-thickness) परिकलित कीजिए (क) समतल ज़मीन पर; (ख) ऐसी ज़मीन पर जो [नति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) की विपरीत दिशा में $10{}^{\circ}$ ढलती है, चौड़ाई ज़मीन के अनुदिश मापी गई हो; (ग) ऐसी ज़मीन पर जो [नति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) की ही दिशा में $10{}^{\circ}$ ढलती है।

**हल — अभ्यास 5.5.**

(क) $t = 300\sin25{}^{\circ} = 126.8\,\mathrm{m}$। (ख) $t = 300\sin35{}^{\circ} =
172.1\,\mathrm{m}$। (ग) $t = 300\sin15{}^{\circ} = 77.6\,\mathrm{m}$। एक ही [बहिर्भाग](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) चौड़ाई का अर्थ दो गुने से अधिक भिन्न मोटाइयाँ हो सकता है: ज़मीन की ढलान को सदा ध्यान में रखना होगा।

**अभ्यास 5.6 ★★.**

एक परत उत्तर-दक्षिण काट में उत्तर की ओर $20{}^{\circ}$ की [आभासी नति](#def-b1-cross-sections-apparent-dip), और पूर्व-पश्चिम काट में पूर्व की ओर $30{}^{\circ}$ की [आभासी नति](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) दिखाती है। उसकी [नति-दिशा](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) और उसकी वास्तविक [नति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) ज्ञात कीजिए।

**हल — अभ्यास 5.6.**

[नति-दिशा](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) $\alpha$ और [नति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) $\delta$ के साथ, प्रमेय उत्तर-दक्षिण काट ($\theta = 0$) में $\tan20{}^{\circ} = \tan\delta\cos\alpha$ देता है, और पूर्व-पश्चिम काट ($\theta = 90{}^{\circ}$) में $\tan30{}^{\circ} =
\tan\delta\cos(\alpha - 90{}^{\circ}) = \tan\delta\sin\alpha$। भाग देने पर $\tan\alpha = 0.5774/0.3640 = 1.586$, $\alpha = 057.8{}^{\circ}$; वर्गों को जोड़ने पर, $\tan\delta = \sqrt{0.3640^2 + 0.5774^2} = 0.6825$, $\delta =
34.3{}^{\circ}$। दोनों आभासी नतियाँ वास्तविक [नति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) से छोटी हैं, जैसा होना ही चाहिए।

**अभ्यास 5.7 ★★.**

पूर्वी भुजा पर चूना-पत्थर का आधार $12.16{}^{\circ}$ झुकता है। $100\,\mathrm{m}$ पर खींचे गए उसके संरचना समोच्चों का क्षैतिज अंतराल क्या है? [संरचना-समोच्च मानचित्र](#def-b1-cross-sections-structure-contour) पर उसकी जाँच कीजिए।

**हल — अभ्यास 5.7.**

$100/\tan12.16{}^{\circ} = 100/0.2155 = 464.1\,\mathrm{m}$। मानचित्र पर पूर्वी भुजा के [संरचना समोच्च](#def-b1-cross-sections-structure-contour) सचमुच आधे किलोमीटर से थोड़े कम दूर हैं, समान अंतराल पर और समांतर: भुजा एक समतल है।

**अभ्यास 5.8 ★★.**

बोरहोल सारणी से B1 और B3 में शेल के आधार का उन्नयन परिकलित कीजिए। B2 के ऊपर शेल अपरदित हो गया है: चूना-पत्थर की [ऊर्ध्वाधर मोटाई](#def-b1-cross-sections-thickness) से ज्ञात कीजिए कि वहाँ उसके आधार का उन्नयन क्या होता, और काट C–D में B1 और B2 के बीच उस [संपर्क](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) की [आभासी नति](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) क्या है। B1 और B3 की तुलना [वलन](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-fold) के बारे में क्या बताती है?

**हल — अभ्यास 5.8.**

B1: $524.02 - 488.98 = 35.04\,\mathrm{m}$; B3: $529.98 - 494.93 =
35.05\,\mathrm{m}$। B2 के ऊपर शेल का आधार चूना-पत्थर का ऊपरी सिरा है, जो उसके आधार से $180\,\mathrm{m}$ ऊपर है: $280.16 + 180 = 460.16\,\mathrm{m}$, जो ज़मीन ($380.64\,\mathrm{m}$) से ऊपर है, इसीलिए वहाँ वह अपरदित है। B1 और B2 के बीच [संपर्क](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) $2000\,\mathrm{m}$ पर $460.16 - 35.04 = 425.12\,\mathrm{m}$ ऊपर चढ़ता है: $0.2126$ की ढलान, $12.0{}^{\circ}$ की [आभासी नति](#def-b1-cross-sections-apparent-dip)। B1 और B3, B2 के दोनों ओर समान दूरी पर, हर [संपर्क](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) को $1\,\mathrm{cm}$ के भीतर एक ही उन्नयन पर पाते हैं: [वलन](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-fold) $x = 3.5\,\mathrm{km}$ पर एक ऊर्ध्वाधर अक्षीय तल के सापेक्ष सममित है, उसकी दोनों भुजाएँ समान रूप से झुकती हैं, और उनके बीच कोई भ्रंश काट को नहीं काटता।

**अभ्यास 5.9 ★★.**

$180{}^{\circ}$ की ओर $50{}^{\circ}$ झुकने वाला एक सामान्य भ्रंश $150\,\mathrm{m}$ का [विस्थापन](#def-b1-cross-sections-throw) रखता है। उसका [क्षैतिज विस्थापन](#def-b1-cross-sections-throw) परिकलित कीजिए। $150{}^{\circ}$ दिगंश की ऊर्ध्वाधर काट में भ्रंश की [आभासी नति](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) और काट के अनुदिश एक क्षैतिज परत के दो कटाव-सिरों का अलगाव क्या है?

**हल — अभ्यास 5.9.**

[विस्थापन](#def-b1-cross-sections-throw) $= 150/\tan50{}^{\circ} = 150/1.1918 = 125.9\,\mathrm{m}$। $150{}^{\circ}$ दिगंश की काट में $\gamma = 30{}^{\circ}$ और $\tan\beta = 1.1918\times0.8660 =
1.0321$: भ्रंश $45.9{}^{\circ}$ की [आभासी नति](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) के साथ दिखता है। क्षैतिज परत के दो कटाव-सिरे उस रेखा पर ऊर्ध्वाधर रूप से $150\,\mathrm{m}$ अलग हैं, अतः काट के अनुदिश $150/1.0321 = 145.3\,\mathrm{m}$ अलग हैं, जो [क्षैतिज विस्थापन](#def-b1-cross-sections-throw) से अधिक है, क्योंकि काट भ्रंश को तिरछा पार करती है।

**अभ्यास 5.10 ★★★.**

$40{}^{\circ}$ झुकती एक परत के लिए, किन काट-दिशाओं में [आभासी नति](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) वास्तविक [नति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) की आधी, यानी $20{}^{\circ}$, है? दिखाइए कि [आभासी नति](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) [नति-दिशा](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) के निकट कम और [स्ट्राइक](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) के निकट तेज़ी से बदलती है।

**हल — अभ्यास 5.10.**

$\cos\gamma = \tan20{}^{\circ}/\tan40{}^{\circ} = 0.3640/0.8391 = 0.4338$, इसलिए $\gamma = 64.3{}^{\circ}$: दिगंशों $\alpha \pm 64.3{}^{\circ}$ की काटें (और विपरीत दिशाएँ, जहाँ परत ऊपर उठती है)। [आभासी नति](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) $\gamma = 0$, $10{}^{\circ}$, $20{}^{\circ}$, $30{}^{\circ}$ के लिए $40.0{}^{\circ}$, $39.6{}^{\circ}$, $38.3{}^{\circ}$ और $36.0{}^{\circ}$ है, परंतु $22.8{}^{\circ}$, $16.0{}^{\circ}$, $8.3{}^{\circ}$ और $0$ क्रमशः $\gamma = 60{}^{\circ}$, $70{}^{\circ}$, $80{}^{\circ}$, $90{}^{\circ}$ के लिए। सचमुच, $\tan\beta = \tan\delta\cos\gamma$ का अवकलन करने पर, $\dfrac{\mathrm d\beta}{\mathrm d\gamma} =
-\dfrac{\tan\delta\sin\gamma}{1 + \tan^2\delta\cos^2\gamma}$, जो $\gamma = 0$ पर शून्य है और $-\tan\delta$ के बराबर होता है जब $\gamma = 90{}^{\circ}$: [नति-दिशा](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) से थोड़ी हटी काट लगभग वास्तविक [नति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) दिखाती है, जबकि [स्ट्राइक](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) के निकट दिगंश का हर अंश [आभासी नति](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) को लगभग एक अंश बदल देता है।

**अभ्यास 5.11 ★★★.**

एक बोरहोल पूर्वी भुजा के चूना-पत्थर को काटता है ([वास्तविक मोटाई](#def-b1-cross-sections-thickness) $176.0\,\mathrm{m}$, $080.7{}^{\circ}$ की ओर $12.16{}^{\circ}$ [नति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude))। वह कितनी लंबाई का कोर लौटाता है (क) यदि ऊर्ध्वाधर हो; (ख) यदि क्षैतिज से नीचे $60{}^{\circ}$ पर $260.7{}^{\circ}$ की ओर झुका हो; (ग) $60{}^{\circ}$ पर $080.7{}^{\circ}$ की ओर झुका हो? (संकेत: लंबाई $t/\cos\psi$ है, जहाँ $\psi$ बोरहोल और परत-तल के अभिलंब के बीच का कोण है।)

**हल — अभ्यास 5.11.**

परतें पूर्व की ओर झुकती हैं, अतः परत-तल का अभिलंब, नीचे की ओर अनुसरित, ऊर्ध्वाधर से $12.16{}^{\circ}$ पश्चिम की ओर, $260.7{}^{\circ}$ की ओर झुका है। (क) एक ऊर्ध्वाधर बोरहोल उसके साथ $\psi = 12.16{}^{\circ}$ कोण बनाता है: $176.0/\cos12.16{}^{\circ} = 180.0\,\mathrm{m}$, [ऊर्ध्वाधर मोटाई](#def-b1-cross-sections-thickness)। (ख) $260.7{}^{\circ}$ की ओर $60{}^{\circ}$ नमन करता बोरहोल, अभिलंब की उसी ओर, ऊर्ध्वाधर से $30{}^{\circ}$ झुका है: $\psi = 30{}^{\circ} - 12.16{}^{\circ} =
17.84{}^{\circ}$, $\cos\psi = 0.9519$, और कोर $176.0/0.9519 =
184.9\,\mathrm{m}$ लंबा है। (ग) $080.7{}^{\circ}$ की ओर यह दूसरी ओर झुका है: $\psi = 30{}^{\circ} + 12.16{}^{\circ} = 42.16{}^{\circ}$, $\cos\psi = 0.7413$, और कोर $176.0/0.7413 = 237.4\,\mathrm{m}$ लंबा है। कोर सबसे छोटा, $t$ के बराबर, तब होता है जब बोरहोल अभिलंब के अनुदिश चलता है, यानी $260.7{}^{\circ}$ की ओर $77.84{}^{\circ}$ नमन करता हुआ।

**अभ्यास 5.12 ★★★.**

एक [कोणीय असंगति](#def-b1-cross-sections-unconformity) पर, नीचे की शय्याएँ $090{}^{\circ}$ की ओर $70{}^{\circ}$ झुकती हैं और ऊपर की शय्याएँ $270{}^{\circ}$ की ओर $20{}^{\circ}$, समान [स्ट्राइक](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) के साथ। पूरे [बहिर्भाग](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) को [स्ट्राइक](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) के परितः घुमाकर ऊपरी शय्याओं को क्षैतिज कीजिए: जब ऊपरी शय्याएँ जमा हुईं, तब निचली शय्याओं की [नति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) क्या थी? [बहिर्भाग](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) का इतिहास क्रम से लिखिए।

**हल — अभ्यास 5.12.**

पूर्व-पश्चिम ऊर्ध्वाधर समतल में, कोण पूर्व से मापे गए हैं: ऊपरी परतें पूर्व की ओर $20{}^{\circ}$ उठती हैं और निचली परतें पूर्व की ओर $70{}^{\circ}$ नीचे जाती हैं। [बहिर्भाग](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) को [स्ट्राइक](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) के परितः $20{}^{\circ}$ घुमाने पर, पूर्वी ओर नीचे, ऊपरी परतें क्षैतिज हो जाती हैं और निचली परतें $70{}^{\circ} + 20{}^{\circ} = 90{}^{\circ}$ पर आ जाती हैं: जब ऊपरी परतें जमा हुईं, तब वे ऊर्ध्वाधर थीं। इतिहास, सबसे पुरानी घटना से: निचली परतें समतल जमा हुईं; वे किनारे पर, ऊर्ध्वाधर तक, मोड़ी गईं और उठाई गईं; उनके किनारे एक सतह तक अपरदित हुए; ऊपरी परतें उस सतह के आरपार जमा हुईं; पूरा पश्चिम की ओर $20{}^{\circ}$ नीचे झुक गया; अपरदन ने आज की ज़मीन की सतह काटी। यह हटन के सिकार पॉइंट के [बहिर्भाग](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) का इतिहास है।

## 5.7 समस्या: वार्डन पहाड़ियों के नीचे एक सुरंग

**समस्या 5.1.**

सप्ताहांत समस्या — कौन-सी चट्टानें सुरंग काटेगी, वह भ्रंश से कहाँ मिलेगी, और वह कितना चूना-पत्थर खोदेगी

सुरंग रेखा C–D ($y = 6\,\mathrm{km}$) के साथ ठीक पूर्व की ओर चलती है, $200\,\mathrm{m}$ की स्थिर ऊँचाई पर, $x = 1\,\mathrm{km}$ से $x =
9\,\mathrm{km}$ तक। C–D के साथ भू-उन्नयन, $x = 0$ से हर किलोमीटर पर, है:

| $x$ (km) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $z$ (m) | 509 | 556 | 467 | 370 | 435 | 534 | 501 | 455 | 406 | 339 | 405 |

अध्याय की बोरहोल सारणी, $e = 3$ के साथ खींची गई काट C–D, पूर्वी भुजा का [अभिविन्यास](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) ($12.16{}^{\circ}$ [नति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude), $080.7{}^{\circ}$ की ओर; पश्चिमी भुजा उसका दर्पण-प्रतिबिंब है, $279.3{}^{\circ}$ की ओर झुकती हुई), और सामान्य भ्रंश का उपयोग कीजिए, जो $120{}^{\circ}$ की ओर $60{}^{\circ}$ झुकता है, $200\,\mathrm{m}$ का [विस्थापन](#def-b1-cross-sections-throw) रखता है, और बिंदु $x = 4.30\,\mathrm{km}$, $y = 1.00\,\mathrm{km}$, $z = 250\,\mathrm{m}$ से होकर जाता है।

**भाग I — स्थलाकृति और इकाइयाँ।**

1. $x = 1$ और $x = 9$ के बीच के किलोमीटर बिंदुओं पर सुरंग के ऊपर चट्टान की सबसे बड़ी और सबसे छोटी मोटाइयाँ क्या हैं?
2. मुद्रित काट पर $1\,\mathrm{km}$ क्षैतिज दूरी $1.4\,\mathrm{cm}$ और $1\,\mathrm{km}$ उन्नयन $4.2\,\mathrm{cm}$ मापता है। जाँचिए कि $e = 3$ है।
3. B2 के लॉग से, [अपनति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-fold) के शिखर पर बलुआ पत्थर के आधार का उन्नयन ज्ञात कीजिए।
4. $x = 3.5\,\mathrm{km}$ पर सुरंग किस इकाई में है?
5. B1 और B3 में चूना-पत्थर के आधार का उन्नयन परिकलित कीजिए।
6. काट से, $x = 1$ से $x = 9\,\mathrm{km}$ तक सुरंग जिन इकाइयों को पार करती है, उन्हें क्रम में सूचीबद्ध कीजिए।

**भाग II — काट में नतियाँ।**

7. उसके [अभिविन्यास](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) से C–D में पूर्वी भुजा की [आभासी नति](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) परिकलित कीजिए।
8. B2 और B3 में चूना-पत्थर के आधार के उन्नयनों से उसकी जाँच कीजिए।
9. $e = 3$ के साथ काट में पूर्वी भुजा किस कोण पर खींची गई है?
10. C–D में भ्रंश की [आभासी नति](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) परिकलित कीजिए।
11. C–D में भुजाओं की [आभासी नति](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) उनकी वास्तविक [नति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-attitude) के इतनी निकट क्यों है, और भ्रंश की कम निकट क्यों?

**भाग III — भ्रंश।**

12. दिखाइए कि समतल $y = 6\,\mathrm{km}$ पर भ्रंश $$x = 4300 + \frac{2500 - (z - 250)\tan30{}^{\circ}}{\sin120{}^{\circ}}  \quad\text{(मीटर में)}.$$ पर स्थित है।
13. सुरंग भ्रंश से कहाँ मिलती है?
14. भ्रंश का [क्षैतिज विस्थापन](#def-b1-cross-sections-throw) , और C–D के किसी [संपर्क](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-geological-map) के कटाव-सिरों का अलगाव परिकलित कीजिए।
15. कौन-सा खंड नीचे खिसका है, और भ्रंश के हर ओर सुरंग के स्तर पर कौन-सी इकाई है?
16. भ्रंश एक ऐसा खतरा क्यों है जिसे सुरंग-दल मुख की चट्टान से आते नहीं देख सकता था? इंजीनियर इससे कैसे बचते हैं?

**भाग IV — चूना-पत्थर।**

17. B1 में चूना-पत्थर की [ऊर्ध्वाधर मोटाई](#def-b1-cross-sections-thickness) क्या है?
18. उसकी [वास्तविक मोटाई](#def-b1-cross-sections-thickness) क्या है?
19. दिखाइए कि C–D पर भ्रंश के पश्चिम में बलुआ पत्थर का आधार $$z_b = 160.16 - |x - 3500|\tan12.0{}^{\circ} \quad\text{(मीटर में)}.$$ पर है।
20. सुरंग चूना-पत्थर में तब है जब उसका आधार $200\,\mathrm{m}$ से नीचे और ऊपरी सिरा ऊपर हो। दिखाइए कि यह $377.1 < |x - 3500|  < 1224.0$ के लिए होता है।
21. वे चार बिंदु दीजिए जहाँ सुरंग चूना-पत्थर में प्रवेश करती है और उससे निकलती है।
22. दिखाइए कि हर भुजा पर खोदी गई लंबाई $h/\tan\beta$ है, जहाँ $h$ [ऊर्ध्वाधर मोटाई](#def-b1-cross-sections-thickness) और $\beta$ [आभासी नति](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) है, और उसे परिकलित कीजिए।
23. सुरंग कुल कितनी लंबाई का चूना-पत्थर खोदती है?

**हल — समस्या 5.1.**

**1.** कर से ऊपर की चट्टान की मोटाई $z - 200$ है: $x = 1\,\mathrm{km}$ पर सबसे बड़ी, $556 - 200 = 356\,\mathrm{m}$; $x =
9\,\mathrm{km}$ पर सबसे छोटी, $339 - 200 = 139\,\mathrm{m}$।

**2.** $1\,\mathrm{km}$ उन्नयन $4.2\,\mathrm{cm}$ मापता है और $1\,\mathrm{km}$ दूरी $1.4\,\mathrm{cm}$: $e = 4.2/1.4 = 3$।

**3.** $380.64 - 220.48 = 160.16\,\mathrm{m}$।

**4.** B2 में चूना-पत्थर का आधार $380.64 - 100.48 =
280.16\,\mathrm{m}$ पर है और बलुआ पत्थर का आधार $160.16\,\mathrm{m}$ पर: $200\,\mathrm{m}$ पर सुरंग बलुआ पत्थर में है।

**5.** B1: $524.02 - 668.98 = -144.96\,\mathrm{m}$; B3: $529.98 - 674.93 =
-144.95\,\mathrm{m}$।

**6.** पश्चिम से पूर्व: खड़िया, शेल, चूना-पत्थर, बलुआ पत्थर ([अपनति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-fold) के क्रोड में), चूना-पत्थर, शेल, और फिर खड़िया $x = 9\,\mathrm{km}$ तक, [अभिनति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-fold) से होकर और भ्रंश के आरपार।

**7.** $\gamma = 80.7{}^{\circ} - 90{}^{\circ} = -9.3{}^{\circ}$; $\tan\beta =
\tan12.16{}^{\circ}\cos9.3{}^{\circ} = 0.2155\times0.9869 = 0.2126$: $\beta =
12.0{}^{\circ}$, पूर्व की ओर नीचे।

**8.** $(280.16 + 144.95)/2000 = 425.11/2000 = 0.2126$: $12.0{}^{\circ}$।

**9.** $\arctan(3\times0.2126) = \arctan 0.6377 = 32.5{}^{\circ}$।

**10.** $\gamma = 120{}^{\circ} - 90{}^{\circ} = 30{}^{\circ}$; $\tan\beta =
\tan60{}^{\circ}\cos30{}^{\circ} = 1.732\times0.866 = 1.500$: $\beta = 56.3{}^{\circ}$।

**11.** भुजाएँ $080.7{}^{\circ}$ या $279.3{}^{\circ}$ की ओर झुकती हैं, काट की रेखा से केवल $9.3{}^{\circ}$ दूर, और $\cos9.3{}^{\circ} = 0.987$; भ्रंश $120{}^{\circ}$ की ओर झुकता है, उससे $30{}^{\circ}$ दूर, और $\cos30{}^{\circ} = 0.866$।

**12.** भ्रंश-तल $z = 250 - \tan60{}^{\circ}\,[(x - 4300)
\sin120{}^{\circ} + (y - 1000)\cos120{}^{\circ}]$ है। $y = 6000$ के साथ $(y - 1000)
\cos120{}^{\circ} = -2500$, अतः $(x - 4300)\sin120{}^{\circ} = 2500 - (z - 250)/
\tan60{}^{\circ}$, और $1/\tan60{}^{\circ} = \tan30{}^{\circ}$।

**13.** $z = 200$ पर: $x = 4300 + (2500 + 50\times0.5774)/0.8660 =
4300 + 2528.9/0.8660 = 7220\,\mathrm{m}$, यानी C से $7.22\,\mathrm{km}$।

**14.** [क्षैतिज विस्थापन](#def-b1-cross-sections-throw) $= 200/\tan60{}^{\circ} = 115.5\,\mathrm{m}$; C–D के अनुदिश अलगाव $= 200/1.500 = 133.3\,\mathrm{m}$।

**15.** भ्रंश पूर्व-दक्षिण-पूर्व की ओर झुकता है और सामान्य है: लटकती दीवार, पूर्व में, नीचे खिसकी है। सुरंग के स्तर पर खड़िया भ्रंश के दोनों ओर है: पश्चिम में [अभिनति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-fold) की खड़िया; पूर्व में वह खड़िया जो $200\,\mathrm{m}$ नीचे लाई गई है।

**16.** सुरंग भ्रंश के आरपार खड़िया में रहती है, इसलिए मुख पर चट्टान का कोई परिवर्तन उसकी घोषणा नहीं करता; केवल पिसी चट्टान का एक क्षेत्र, और शायद पानी, करता है। इंजीनियर उसकी स्थिति काट से अनुमानित करते हैं (यहाँ $7.22\,\mathrm{km}$), मशीन के पास आने पर उसके आगे जाँच-छेद खोदते हैं, और पिसी चट्टान के क्षेत्र के लिए सहारा तैयार करते हैं।

**17.** $668.98 - 488.98 = 180.00\,\mathrm{m}$।

**18.** $t = 180\cos12.16{}^{\circ} = 176.0\,\mathrm{m}$।

**19.** कटक ($x = 3500$) पर बलुआ पत्थर का आधार $160.16\,\mathrm{m}$ पर है (प्रश्न 3); वह दोनों भुजाओं पर प्रश्न 7 की $12.0{}^{\circ}$ की [आभासी नति](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) के साथ नीचे जाता है, यानी अक्ष से क्षैतिज दूरी के प्रति मीटर $\tan12.0{}^{\circ}$ से।

**20.** चूना-पत्थर का आधार बलुआ पत्थर के आधार से $120\,\mathrm{m}$ ऊपर है, $280.16 - u\tan12.0{}^{\circ}$ पर, जहाँ $u = |x - 3500|$, और उसका ऊपरी सिरा $180\,\mathrm{m}$ और ऊपर, $460.16 - u\tan12.0{}^{\circ}$ पर। $\tan12.0{}^{\circ} =
0.21256$ के साथ: आधार $200\,\mathrm{m}$ से नीचे है जब $u > 80.16/0.21256 = 377.1$, और ऊपरी सिरा उससे ऊपर है जब $u < 260.16/0.21256 = 1224.0$।

**21.** $x = 3500 \pm 377.1$ और $3500 \pm 1224.0$: सुरंग $2276\,\mathrm{m}$ से $3123\,\mathrm{m}$ तक और $3877\,\mathrm{m}$ से $4724\,\mathrm{m}$ तक चूना-पत्थर में है।

**22.** एक क्षैतिज रेखा के अनुदिश, चूना-पत्थर का आधार और ऊपरी सिरा, ऊर्ध्वाधर रूप से $180\,\mathrm{m}$ अलग और दोनों $\tan\beta$ पर ढलते हुए, क्षैतिज दूरी $h/\tan\beta$ पर पार किए जाते हैं: $180/0.21256 = 846.8\,\mathrm{m}$ हर भुजा पर, पूर्णांकन तक $1224.0 - 377.1 = 846.9$ के बराबर।

**23.** $2\times846.8 = 1693.7\,\mathrm{m}$: सुरंग **लगभग $1694\,\mathrm{m}$ चूना-पत्थर** खोदती है, जो उसकी $8\,\mathrm{km}$ लंबाई के पाँचवें भाग से अधिक है, [अपनति](https://one-course.com/books/earth/3/hi/chapter/4-geological-maps#def-b1-geological-maps-fold) के बलुआ पत्थर क्रोड के दोनों ओर $847\,\mathrm{m}$ के दो हिस्सों में।