---
title: "Isostasi dan anomali gravitasi"
book: "Ilmu Kebumian dan Antariksa Universitas — Tahun 1"
subject: earth
language: id
chapter: 11
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/11-isostasi-dan-anomali-gravitasi
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# Bab 11 — Isostasi dan anomali gravitasi

Pada 1840-an para juru ukur yang mengukur busur meridian di India utara menjumpai selisih yang tidak dapat mereka salahkan pada instrumen mereka. Di antara dua stasiun yang berjarak sekitar 370 mil, Kaliana di kaki Himalaya dan Kalianpur jauh di selatan, selisih [lintang](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/1-astronomi-bola#def-b1-spherical-astronomy-geographic) yang diperoleh dari triangulasi melampaui selisih yang diperoleh dari bintang sebesar 5.236 detik busur. Tersangka yang jelas adalah pegunungan: tarikannya menarik tali unting ke utara, dan para astronom mengatur instrumen mereka menurut tali unting itu. Pada 1855 John Henry Pratt menghitung tarikan Himalaya dan dataran tinggi di belakangnya, dan mendapatinya seharusnya membuat selisih itu 15.885 detik, lebih dari tiga kali yang teramati. Pegunungan menarik jauh lebih sedikit daripada yang diperlukan massa tampaknya. Pada tahun yang sama George Airy menjawab bahwa [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) mengapung di atas lapisan yang lebih padat seperti rakit kayu di atas air, sehingga tanah tinggi memiliki akar dalam dari batuan ringan; Pratt kemudian mengusulkan jawaban lain, yaitu batuan yang dibuat lebih ringan oleh pemuaian di bawah pegunungan. Keduanya masih diajarkan: pegunungan didasari oleh batuan ringan yang mengimbangi massanya. Bab ini mengubah gagasan itu menjadi angka, dan menunjukkan bagaimana gravitasi, yang diukur hingga sepersejuta nilainya, mengungkapkan massa yang tersembunyi di bawah relief.

**Yang sudah kamu ketahui.**

Hukum gravitasi Newton memberikan medan $g = GM/r^2$ di luar massa bola $M$; medan itu berasal dari potensial gravitasi, dan permukaan ekuipotensial selalu tegak lurus terhadap medan (fisika). Dalam fluida diam tekanan bertambah dengan kedalaman sebagai $\mathrm dp/\mathrm dz = \rho g$, dan benda yang mengapung memindahkan fluida seberat dirinya (fisika, Sarjana Tahun ke-1). Di bawah [litosfer](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-lithosphere) [astenosfer](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-lithosphere) mengalir dalam waktu yang panjang; [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) lebih ringan daripada [mantel](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) di bawahnya ([Bab 9](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#ch-b1-layered-earth); Buku 2, kelas 11).

## 11.1 Gravitasi dan pengukurannya

Percepatan gravitasi di permukaan Bumi kira-kira $9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, dan variasi yang menarik bagi ahli geologi sejuta kali lebih kecil. Variasi itu dihitung dalam satuan sistem sentimeter-gram lama, yaitu gal: $1\,\mathrm{Gal} = 1\,\mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-2} = 0.01\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, sehingga

$$
1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal} = 10^{-5}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} \approx 10^{-6}\,g .
$$

Instrumen lapangan mengukur beberapa perseribu miligal; anomali yang dipelajari dalam bab ini berkisar dari sebagian kecil miligal di atas tubuh bijih yang terkubur hingga beberapa ratus miligal di atas pegunungan.

Bahkan di Bumi yang tanpa relief, gravitasi tidak sama di mana-mana. Bumi berputar, sehingga yang dirasakan tali unting atau gravimeter adalah jumlah tarikan gravitasi dan efek sentrifugal rotasi; dan Bumi gepeng, sehingga kutubnya lebih dekat ke pusatnya daripada ekuatornya. Kedua efek itu membuat gravitasi lebih lemah di ekuator daripada di kutub. Seorang ahli geologi membandingkan setiap pengukuran dengan acuan yang halus yang memuatnya.

**Definisi 11.1 (Gravitasi normal).**

*Gravitasi normal* $\gamma$ adalah gravitasi dari model Bumi: elipsoid putar dengan massa dan rotasi Bumi, dipilih sehingga permukaannya adalah ekuipotensial dari gravitasinya sendiri (gravitasi ditambah efek sentrifugal). Pada permukaan itu gravitasi normal hanya bergantung pada [lintang](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/1-astronomi-bola#def-b1-spherical-astronomy-geographic).

Elipsoid itu sendiri, kegepengannya, dan cara parameternya dicocokkan dengan Bumi nyata dipelajari dalam volume Sarjana Tahun ke-3. Di sini kita hanya memerlukan gravitasinya.

**Proposisi 11.2 (Rumus gravitasi normal).**

Pada elipsoid acuan yang diadopsi pada 1980, [gravitasi normal](#def-b1-isostasy-gravity-normal-gravity) pada [lintang](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/1-astronomi-bola#def-b1-spherical-astronomy-geographic) geografis $\varphi$ adalah, dalam bentuk deret yang lazim,

$$
\gamma(\varphi) = 9.780\,327\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}\,\bigl(1 + 0.0053024\sin^2\varphi
  - 0.0000058\sin^2 2\varphi\bigr).
$$

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

Rumus ini memberikan $9.780\,327\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ di ekuator, $9.806\,200\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ pada $45{}^{\circ}$ dan $9.832\,186\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ di kutub: selisih $5186\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ dari ekuator ke kutub. Rotasi saja menyumbang sebagian besar darinya. Dengan hari sideris $23.9345\,\mathrm{h}$, kecepatan sudutnya adalah $\omega = 2\pi/86\,164\,\mathrm{s} = 7.292 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, dan percepatan sentrifugal di ekuator, $\omega^2 a$ dengan $a = 6378.137\,\mathrm{km}$, adalah $0.0339\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, atau $3392\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; kegepengan memasok sisanya ([Latihan 11.2](#exo-b1-isostasy-gravity-2)).

Gravitasi diukur dengan dua cara. Gravimeter *absolut* menjatuhkan massa uji dalam ruang vakum dan mengikuti jatuh bebasnya dengan interferometer laser, diukur waktunya oleh jam atom: percepatan langsung diperoleh dari jarak dan waktu. Gravimeter *relatif* adalah massa yang digantung pada pegas, yang peregangannya berubah mengikuti gravitasi; ia ringan dan cepat, tetapi hanya memberi selisih antara tempat-tempat, dan ia melayang, sehingga survei kembali ke stasiun dasar yang gravitasinya diketahui. Instrumen absolut terbaik akurat hingga sekitar satu mikrogal, yaitu satu per miliar dari $g$.

**Di lapangan — Survei gravitasi di darat.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-isostasy-gravity/img-a37751529b93.jpg)

*Gravimeter lapangan di atas tripodnya, dengan antena penentuan posisi satelit di sampingnya (ilustrasi buatan AI).*

Survei gravitasi adalah perjalanan pelan dari stasiun ke stasiun. Di setiap stasiun ahli geofisika memasang gravimeter relatif di atas tripodnya, meratakannya, menunggu pegas tenang dan mengambil beberapa pembacaan; penerima penentuan posisi satelit di sampingnya mencatat posisi dan ketinggian stasiun itu. Setiap beberapa jam tim kembali ke stasiun dasar, sehingga penyimpangan pegas dapat diukur dan dihilangkan. Ketinggian sama pentingnya dengan gravitasi: seperti dijelaskan bagian berikutnya, gravitasi turun $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ untuk setiap meter ketinggian, sehingga ketinggian yang keliru sebesar $1\,\mathrm{cm}$ merusak pembacaan sebesar $3\,\text{µ}\mathrm{Gal}$.

## 11.2 Isostasi

Kompensasi yang dibayangkan Airy dan Pratt untuk Himalaya adalah contoh dari keadaan umum lapisan terluar Bumi.

**Definisi 11.3 (Isostasi; kedalaman kompensasi).**

Suatu wilayah berada dalam *isostasi*, atau kesetimbangan isostatik, ketika ada suatu kedalaman, *kedalaman kompensasi*, tempat tekanannya sama di setiap titik permukaan horizontal, apa pun relief di atasnya. Di bawah kedalaman kompensasi batuan berperilaku sebagai fluida diam; di atasnya, kolom-kolom [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) dan [mantel](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) mengapung di atasnya.

**Proposisi 11.4 (Massa yang sama di atas kedalaman kompensasi).**

Jika gravitasi $g$ sama di sepanjang semua kolom, suatu wilayah berada dalam [isostasi](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy) dengan [kedalaman kompensasi](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy) $z_c$ jika dan hanya jika setiap kolom vertikal dengan penampang satuan, dari permukaan hingga $z_c$, memuat massa yang sama.

**Bukti.** Di setiap kolom batuan berada dalam kesetimbangan hidrostatik, sehingga $\mathrm dp/\mathrm dz = \rho(z)\,g$, dengan kedalaman $z$ dihitung ke bawah. Tekanan di permukaan adalah atmosfer, sama di mana-mana (dan dapat diabaikan). Mengintegralkan dari permukaan $z_s$ kolom ke bawah hingga $z_c$ memberikan

$$
p(z_c) = p_0 + g\int_{z_s}^{z_c}\rho(z)\,\mathrm dz ,
$$

dengan integral adalah massa kolom per satuan luas. Tekanan di $z_c$ sama jika dan hanya jika massa-massa ini sama. ∎

Dua cara sederhana untuk membagi massa ini menghasilkan dua model klasik (gambar di bawah).

**Proposisi 11.5 (Isostasi Airy).**

Misalkan [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) memiliki massa jenis seragam $\rho_c$ dan ketebalan $H$ tempat permukaannya berada di permukaan laut, di atas [mantel](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) dengan massa jenis $\rho_m > \rho_c$. Dalam kesetimbangan isostatik:

1. di tempat permukaan berada pada ketinggian $h$ di atas permukaan laut, [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) memiliki akar dengan kedalaman $r = h\,\rho_c/(\rho_m - \rho_c)$ di bawah [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) normal, dan ketebalan $H + h + r$ ;
2. di tempat permukaan berada pada kedalaman $d$ di bawah permukaan laut, di bawah air dengan massa jenis $\rho_w$ , [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) memiliki anti-akar: dasarnya terangkat sebesar $r' = d\,(\rho_c - \rho_w)/(\rho_m - \rho_c)$ , dan ketebalannya adalah $H - d - r'$ .

Inilah *isostasi Airy*: kompensasi oleh perubahan ketebalan pada massa jenis tetap.

**Bukti.** Ambil [kedalaman kompensasi](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy) tepat di bawah akar terdalam, dan bandingkan setiap kolom dengan kolom normal. (1) Kolom tinggi memiliki [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) di tempat [mantel](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) sepanjang kedalaman $r$, dan [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) sepanjang ketinggian $h$ tempat kolom normal tidak memiliki apa-apa: massa yang sama mensyaratkan $\rho_c(h + r) = \rho_m r$, yaitu $r(\rho_m - \rho_c) = \rho_c h$. (2) Kolom rendah memiliki air di tempat [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) sepanjang kedalaman $d$, dan [mantel](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) di tempat [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) sepanjang $r'$: massa yang sama mensyaratkan $\rho_w d + \rho_m r' = \rho_c(d + r')$, yaitu $r'(\rho_m - \rho_c) =
d(\rho_c - \rho_w)$. ∎

**Proposisi 11.6 (Isostasi Pratt).**

Misalkan setiap kolom berakhir pada [kedalaman kompensasi](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy) yang sama $D$ di bawah permukaan laut, dengan massa jenis seragam di setiap kolom, $\rho_0$ tempat permukaannya berada di permukaan laut. Dalam kesetimbangan isostatik sebuah kolom yang permukaannya berada pada ketinggian $h$ memiliki massa jenis

$$
\rho(h) = \rho_0\,\frac{D}{D + h},
$$

dan kolom di bawah kedalaman air $d$ memiliki massa jenis $\rho = (\rho_0 D - \rho_w d)/(D - d)$. Inilah *isostasi Pratt*: kompensasi oleh perubahan massa jenis pada kedalaman tetap.

**Bukti.** Massa yang sama di atas $D$: $\rho(h)(D + h) = \rho_0 D$ untuk kolom tinggi, dan $\rho_w d + \rho(D - d) = \rho_0 D$ untuk kolom rendah. ∎

Dengan $\rho_c = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ dan $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, akar Airy adalah $h\times2700/600 = 4.5\,h$: pegunungan setinggi $2\,\mathrm{km}$ memiliki akar sebesar $9\,\mathrm{km}$, dataran tinggi setinggi $4\,\mathrm{km}$ berakar $18\,\mathrm{km}$. Dalam model Pratt dengan $D = 100\,\mathrm{km}$ dan $\rho_0 = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, kedua kolom yang sama memiliki massa jenis 2647 dan $2596\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, dua dan empat persen lebih ringan. Kedua model menyeimbangkan massa yang sama; keduanya berbeda dalam tempat batuan ringan itu berada, dan itu sesuatu yang dapat dilihat oleh seismologi: Airy memprediksi [Moho](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-discontinuity) yang menjadi lebih dalam di bawah pegunungan, Pratt memprediksi [Moho](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-discontinuity) yang datar.

![Dua model klasik isostasi, untuk tiga kolom yang berdiri 0, 2 dan 4\, km di atas permukaan laut (ketinggian dilebih-lebihkan lima kali dibanding kedalaman; massa jenis dalam kg\, m-3). (a) Airy: satu massa jenis kerak, akar 4.5 kali ketinggian. (b) Pratt: satu kedalaman kompensasi, kolom yang lebih ringan di bawah tanah yang lebih tinggi. Setiap kolom membawa massa per satuan luas yang sama di atas kedalaman kompensasi yang putus-putus.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-isostasy-gravity/fig-b00876d67c92.svg)

*Dua model klasik [isostasi](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy), untuk tiga kolom yang berdiri 0, 2 dan $4\,\mathrm{km}$ di atas permukaan laut (ketinggian dilebih-lebihkan lima kali dibanding kedalaman; massa jenis dalam $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$). (a) Airy: satu massa jenis [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers), akar 4.5 kali ketinggian. (b) Pratt: satu [kedalaman kompensasi](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy), kolom yang lebih ringan di bawah tanah yang lebih tinggi. Setiap kolom membawa massa per satuan luas yang sama di atas [kedalaman kompensasi](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy) yang putus-putus.*

[Isostasi](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy) adalah pernyataan tentang wilayah luas dalam waktu yang panjang. [Astenosfer](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-lithosphere) hanya mengalah pada beban yang bertahan selama ribuan tahun, dan [litosfer](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-lithosphere) di atasnya cukup kaku untuk menyebarkan beban sempit ke wilayah yang luas dengan melentur, seperti papan membawa beban: sebuah gunung api tunggal tidak perlu dikompensasi di bawahnya sendiri; lenturan [litosfer](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-lithosphere) ini dipelajari dalam volume Sarjana Tahun ke-3. Di bawah pegunungan besar [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) jauh lebih tebal daripada rata-rata benua, sekitar $30\,\mathrm{km}$: gambaran Airy, akar dari [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) ringan, adalah yang lebih dekat untuk pegunungan. Gambaran Pratt, batuan yang lebih ringan pada kedalaman tetap, menjelaskan punggungan tengah samudra, yang menjulang tinggi di atas [mantel](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) atas yang dibuat lebih ringan oleh suhunya yang lebih tinggi.

### Dua tingkat Bumi

[Isostasi](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy) mengatur relief seluruh planet. Distribusinya diringkas oleh satu kurva.

**Definisi 11.7 (Kurva hipsometrik).**

Kurva *hipsometrik* suatu planet memberikan, untuk setiap fraksi $f$ dari permukaannya, ketinggian $z(f)$ yang dilampaui tepat oleh fraksi itu. Ini adalah distribusi kumulatif ketinggian, dibaca dari atas.

Untuk menggambarnya dari model elevasi berkisi, setiap sel kisi harus diberi bobot menurut luasnya. Pada kisi satu derajat [lintang](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/1-astronomi-bola#def-b1-spherical-astronomy-geographic) dan [bujur](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/1-astronomi-bola#def-b1-spherical-astronomy-geographic), sel di antara [lintang](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/1-astronomi-bola#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $\varphi_1$ dan $\varphi_2$ memiliki luas $R^2\,\Delta\lambda\,(\sin\varphi_2 - \sin\varphi_1)$, yang menyusut ke arah kutub; dijumlahkan atas semua sel, luasnya memberikan tepat $4\pi R^2$. Mengurutkan sel menurut ketinggian dan mengakumulasikan luasnya memberikan kurva pada gambar di bawah. Kurva itu menunjukkan bahwa $70.9\,\%$ permukaan berada di bawah permukaan laut; bahwa ketinggian rata-rata daratan sekitar $0.8\,\mathrm{km}$ dan kedalaman rata-rata samudra sekitar $3.7\,\mathrm{km}$; dan bahwa sebagian besar permukaan termasuk salah satu dari dua tangga datar, paparan benua dekat permukaan laut dan dasar abisal antara sekitar 3.5 dan $6\,\mathrm{km}$ di bawah, yang dihubungkan oleh penurunan curam.

Sebuah planet dengan satu jenis [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers), yang reliefnya terangkat dan aus secara acak, akan memiliki satu tingkat, dengan ketinggian yang tersebar di sekitarnya. Bumi memiliki dua, karena ia memiliki dua jenis [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) dalam kesetimbangan isostatik: [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) benua yang tebal dan ringan mengapung tinggi, [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) samudra yang tipis dan padat rendah (Buku 2, kelas 11). [Latihan 11.8](#exo-b1-isostasy-gravity-8) menunjukkan bahwa model Airy dengan satu massa jenis [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) tidak dapat menghasilkan kedua tingkat itu dengan ketebalan [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) yang teramati.

![Kurva hipsometrik Bumi, dari model relief global ETOPO1 pada satu derajat, setiap sel diberi bobot menurut luasnya (di atas Antartika dan Greenland, puncak es). Dua bentangan hampir datar pada kurva adalah paparan benua dekat permukaan laut dan dasar laut dalam.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-isostasy-gravity/fig-85337baf8180.svg)

*[Kurva hipsometrik](#def-b1-isostasy-gravity-hypsometry) Bumi, dari model relief global ETOPO1 pada satu derajat, setiap sel diberi bobot menurut luasnya (di atas Antartika dan Greenland, puncak es). Dua bentangan hampir datar pada kurva adalah paparan benua dekat permukaan laut dan dasar laut dalam.*

## 11.3 Anomali gravitasi

### Dua koreksi

Gravimeter di atas bukit berada lebih jauh dari pusat Bumi daripada yang di permukaan laut, dan berdiri di atas lapisan batuan yang tidak dimiliki yang lain. Kedua efek itu dihitung sebelum pengukuran dibandingkan dengan [gravitasi normal](#def-b1-isostasy-gravity-normal-gravity).

**Proposisi 11.8 (Gradien udara-bebas).**

Di luar Bumi bola dengan jari-jari $R$, gravitasi berkurang terhadap ketinggian $h$ dengan laju

$$
\frac{\mathrm dg}{\mathrm dh} = -\frac{2g}{R}\,;
$$

pada permukaan, $2g/R \approx 3.08 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-2}$, kira-kira $0.308\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ per meter.

**Bukti.** $g(r) = GM/r^2$, sehingga $\mathrm dg/\mathrm dr = -2GM/r^3 = -2g(r)/r$; pada $r = R$, dengan $g = 9.820\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ dan $R = 6371\,\mathrm{km}$, $2g/R =
3.083 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-2}$. ∎

Perataan dan rotasi mengubah gradien sedikit; nilai yang dipakai dalam praktik ialah sekitar $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$.

**Proposisi 11.9 (Lempeng Bouguer).**

Lempeng horizontal tak hingga dengan ketebalan $h$ dan massa jenis seragam $\rho$ menarik titik di luarnya dengan percepatan vertikal

$$
g_B = 2\pi G\rho h ,
$$

apa pun jarak dari titik ke lempeng. Secara numerik $2\pi G =
0.0419\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ per meter ketebalan per $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ massa jenis.

**Bukti.** Letakkan titik di titik asal dan potong lempeng menjadi cincin tipis yang koaksial dengan vertikal melaluinya. Sebuah cincin pada jarak $z$ di bawah titik, dengan jari-jari $s$, lebar $\mathrm ds$ dan tebal $\mathrm dz$, memiliki massa $\rho\,2\pi s\,\mathrm ds\,\mathrm dz$, semuanya pada jarak $\sqrt{s^2 + z^2}$; oleh simetri tarikannya vertikal, sama dengan tarikan setiap elemen dikali kosinus $z/\sqrt{s^2+z^2}$ dari sudutnya terhadap vertikal:

$$
\mathrm dg = G\,\frac{\rho\,2\pi s\,\mathrm ds\,\mathrm dz}{s^2 + z^2}\,
  \frac{z}{\sqrt{s^2 + z^2}} .
$$

Untuk satu lapisan, $\int_0^\infty s\,(s^2 + z^2)^{-3/2}\,\mathrm ds =
\bigl[-(s^2 + z^2)^{-1/2}\bigr]_0^\infty = 1/z$, sehingga lapisan menarik dengan $2\pi G\rho\,\mathrm dz$, tidak bergantung pada $z$. Menjumlahkan lapisan-lapisan sepanjang ketebalan $h$ memberikan $2\pi G\rho h$. Dengan $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$, $2\pi G\times1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}\times1\,\mathrm{m} = 4.19 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} =
0.0419\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. ∎

**Definisi 11.10 (Anomali gravitasi).**

Misalkan $g$ gravitasi yang diukur di sebuah stasiun dengan [lintang](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/1-astronomi-bola#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $\varphi$ dan ketinggian $h$ di atas permukaan laut.

- *Anomali gravitasi* adalah selisih antara gravitasi yang diukur, yang dikoreksi ke tingkat bersama, dan [gravitasi normal](#def-b1-isostasy-gravity-normal-gravity) pada [lintang](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/1-astronomi-bola#def-b1-spherical-astronomy-geographic) yang sama.
- *Koreksi udara-bebas* adalah $+0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}\times h$ : ia menambahkan kembali penurunan gravitasi terhadap ketinggian. *Anomali udara-bebas* adalah $\Delta g_{\mathrm{FA}} = g + 0.3086\,h - \gamma(\varphi)$ .
- *Koreksi Bouguer* adalah $-2\pi G\rho h$ : ia menghilangkan tarikan batuan antara stasiun dan permukaan laut, diperlakukan sebagai lempeng dengan massa jenis $\rho$ , secara konvensional $2670\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ , yang memberikan $0.112\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ per meter. *Anomali Bouguer* adalah $\Delta g_{\mathrm B} = \Delta g_{\mathrm{FA}} - 2\pi G\rho h$ .

Lempeng itu adalah model kasar tanah di sekitar sebuah stasiun di medan kasar: lembah di bawah stasiun dihitung sebagai batuan yang sebenarnya tidak ada, dan bukit di atasnya menarik ke atas dan sama sekali tidak dihitung. Koreksi ketiga, koreksi medan, yang dihitung dari [model elevasi digital](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/4-peta-geologi#def-b1-geological-maps-dem), menghilangkan kedua kesalahan itu. Di laut, [koreksi udara-bebas](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) lenyap, dan reduksi Bouguer mengganti air dengan batuan.

**Metode 11.11 (Mereduksi pembacaan gravitasi).**

1. Hitung [gravitasi normal](#def-b1-isostasy-gravity-normal-gravity) $\gamma(\varphi)$ pada [lintang](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/1-astronomi-bola#def-b1-spherical-astronomy-geographic) stasiun.
2. Tambahkan [koreksi udara-bebas](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) $0.3086\,h$ (dalam $\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ , dengan $h$ dalam meter) pada gravitasi yang diukur dan kurangi $\gamma$ : ini adalah [anomali udara-bebas](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) .
3. Kurangi [koreksi Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) $0.0419\times(\rho/1000)\times h$ , yaitu $0.112\,h$ untuk massa jenis standar: ini adalah [anomali Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) .
4. Kerjakan dalam miligal sepanjang proses, dan simpan gravitasi yang diukur dan normal hingga tujuh angka penting: anomali adalah selisih kecil dari dua bilangan besar.

**Contoh 11.12 (Sebuah stasiun di perbukitan).**

Pada stasiun di [lintang](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/1-astronomi-bola#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $45{}^{\circ}$ dan $1200\,\mathrm{m}$ di atas permukaan laut, gravimeter memberikan $9.802\,597\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. [Gravitasi normal](#def-b1-isostasy-gravity-normal-gravity) di sana adalah $9.806\,200\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$; nilai terukur lebih rendah sebesar $360.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. [Koreksi udara-bebas](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) adalah $0.3086\times1200 = 370.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, sehingga $\Delta g_{\mathrm{FA}} = -360.3 + 370.3 = +10.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. [Koreksi Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) adalah $0.112\times1200 = 134.4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, sehingga $\Delta g_{\mathrm B}
= -124.4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$: ada lebih sedikit massa di bawah stasiun ini daripada di bawah stasiun di permukaan laut, setelah batuan di atas permukaan laut dihilangkan.

### Apa yang dikatakan anomali tentang kompensasi

**Proposisi 11.13 (Anomali di atas relief luas).**

Pertimbangkan dataran tinggi setinggi $h$ dan massa jenis $\rho_c$, jauh lebih lebar daripada [kedalaman kompensasinya](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy), dan sebuah stasiun dekat pusatnya. Ambil massa jenis Bouguer sama dengan $\rho_c$.

1. Jika dataran tinggi tidak dikompensasi, $\Delta g_{\mathrm{FA}} \approx  2\pi G\rho_c h$ dan $\Delta g_{\mathrm B} \approx 0$ .
2. Jika berada dalam kesetimbangan isostatik, apa pun distribusi massa kompensasinya, $\Delta g_{\mathrm{FA}} \approx 0$ dan $\Delta g_{\mathrm B} \approx -2\pi G\rho_c h$ .

**Bukti.** [Gravitasi normal](#def-b1-isostasy-gravity-normal-gravity) pada ketinggian stasiun adalah $\gamma - 0.3086\,h$, sehingga [anomali udara-bebas](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) adalah tarikan massa yang berbeda dari massa-massa kolom normal. Dekat pusat dataran tinggi yang lebar, setiap lapisan massa anomali ini bertindak seperti lempeng tak hingga, dan menurut [Proposisi 11.9](#prop-b1-isostasy-gravity-slab) lempeng dengan kontras massa jenis $\Delta\rho$ dan ketebalan $t$ menarik dengan $2\pi G\Delta\rho
t$ di mana pun ia berada. Totalnya adalah $2\pi G$ kali massa anomali per satuan luas. (1) Tanpa kompensasi massa itu adalah $\rho_c h$. (2) Dalam [isostasi](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy) massa itu nol menurut [Proposisi 11.4](#prop-b1-isostasy-gravity-equal-mass). Dalam kedua kasus [koreksi Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) mengurangi $2\pi G\rho_c h$. ∎

Untuk kompensasi Airy, [anomali Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) pada kasus kedua juga adalah $-2\pi G(\rho_m - \rho_c)r$, tarikan massa akar yang hilang, karena $(\rho_m - \rho_c)r = \rho_c h$. [Anomali udara-bebas](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) yang mendekati nol di atas wilayah luas dengan demikian adalah tanda [isostasi](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy), dan [anomali Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) yang mengikuti relief dalam bayangan cermin mengukur massa kompensasi: [anomali Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) secara regional negatif di sepanjang Alpen, dan di atas punggungan tengah samudra, setinggi apa pun, [anomali udara-bebasnya](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) kecil. Di atas samudra [anomali Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) positif: penggantian air dengan batuan menambah massa di atas kolom yang tidak memiliki massa yang hilang.

Di dekat tepi relief, pendekatan lempeng gagal, karena topografi dekat dengan stasiun dan akar jauh di bawahnya. Gambar di bawah memberikan tarikan eksak dari sebuah pegunungan model yang lebar $200\,\mathrm{km}$ dan tinggi $2\,\mathrm{km}$. Tanpa kompensasi, [anomali udara-bebas](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) adalah $+225\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ di pusat, mendekati nilai lempeng $226\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; dengan akar Airy $9\,\mathrm{km}$, [anomali udara-bebas](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) pusat turun menjadi $+55\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, bukan nol, karena pegunungan yang hanya $200\,\mathrm{km}$ lebarnya tidak tampak tak hingga dari $40\,\mathrm{km}$ di atas akarnya, dan [anomali udara-bebas](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) berbalik tajam menjadi negatif tepat di luar setiap tepi, tempat stasiun melihat akar tetapi tidak melihat gunungnya.

![Atas: anomali udara-bebas dan Bouguer melintasi pegunungan model yang lebar 200\, km dan tinggi 2\, km, dihitung secara eksak untuk benda dua dimensi, dengan stasiun di permukaan tanah (tanpa koreksi medan). Bawah: model itu (skala vertikal dilebih-lebihkan kurang dari dua kali); akar hanya ada pada kasus terkompensasi. Tanpa kompensasi, anomali udara-bebas mengikuti relief dan anomali Bouguer hampir nol; dengan kompensasi, anomali udara-bebas kecil di pusat dengan efek tepi yang tajam, dan anomali Bouguer berupa palung lebar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-isostasy-gravity/fig-3e9ffdaa529a.svg)

*Atas: [anomali udara-bebas](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) dan Bouguer melintasi pegunungan model yang lebar $200\,\mathrm{km}$ dan tinggi $2\,\mathrm{km}$, dihitung secara eksak untuk benda dua dimensi, dengan stasiun di permukaan tanah (tanpa koreksi medan). Bawah: model itu (skala vertikal dilebih-lebihkan kurang dari dua kali); akar hanya ada pada kasus terkompensasi. Tanpa kompensasi, [anomali udara-bebas](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) mengikuti relief dan [anomali Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) hampir nol; dengan kompensasi, [anomali udara-bebas](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) kecil di pusat dengan efek tepi yang tajam, dan [anomali Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) berupa palung lebar.*

**Metode 11.14 (Menguji suatu wilayah untuk isostasi).**

1. Rata-ratakan [anomali udara-bebas](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) di atas area yang beberapa kali lebih lebar daripada ketebalan [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) , jauh dari tepi relief.
2. Jika anomali itu dekat nol, wilayah itu terkompensasi; jika mendekati $2\pi G\rho_c$ dikali tinggi rata-rata, wilayah itu tidak.
3. Rasio $-\Delta g_{\mathrm B}/(2\pi G\rho_c h)$ memberikan fraksi relief yang terkompensasi.
4. Bukti seismik atau bukti lain tentang kedalaman [Moho](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-discontinuity) membedakan kompensasi Airy dari kompensasi Pratt: gravitasi lebar saja tidak dapat, karena keduanya menempatkan defisit massa yang sama di bawah relief.

**Sejarah — Gravitasi di laut.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-isostasy-gravity/img-0bdbf3074dce.jpg)

*Sebuah peralatan bandul Vening Meinesz (kanan) dan kotaknya dengan unit perekam (Broodt, CC BY-SA 4.0).*

Bandul mengukur gravitasi melalui periodenya, tetapi di atas kapal gelombang mengguncangnya jauh lebih kuat daripada anomali apa pun. Pada 1920-an ahli geodesi Belanda Felix Vening Meinesz menemukan jalan keluarnya: dua bandul yang berayun berlawanan fase dalam rangka yang sama merasakan percepatan horizontal kapal yang sama, dan selisihnya meniadakannya. Sejak 1923 ia membawa peralatannya di kapal selam Angkatan Laut Belanda, tempat, ketika terendam, ia terhindar dari gelombang terburuk; pertama dalam pelayaran ke Hindia Timur, lalu dalam survei laut-laut mereka. Di sepanjang palung laut dalam di gugusan pulau itu ia menemukan sabuk panjang anomali isostatik yang sangat negatif, dan kemudian menemukannya di palung-palung lain: ia hanya dapat menjelaskannya dengan [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) yang ditahan ke bawah di sana oleh gaya dari luar, di luar kesetimbangan isostatik.

## 11.4 Geoid

Permukaan laut dalam keadaan diam adalah permukaan potensial gravitasi yang konstan: jika tidak, air akan mengalir di sepanjangnya. Ia adalah acuan alami untuk ketinggian, dan permukaan tempat tali unting lama tegak lurus.

**Definisi 11.15 (Geoid; tinggi geoid).**

*Geoid* adalah permukaan ekuipotensial gravitasi Bumi (gravitasi ditambah efek sentrifugal rotasi) yang berimpit dengan permukaan laut rata-rata di samudra terbuka, dalam keadaan diam, dan dilanjutkan di bawah benua. *Tinggi geoid* $N$ di suatu titik adalah tinggi geoid di atas elipsoid acuan, dihitung negatif di tempat geoid berada di bawahnya.

Ketinggian di atas permukaan laut pada peta adalah ketinggian di atas [geoid](#def-b1-isostasy-gravity-geoid); ketinggian yang diberikan oleh penentuan posisi satelit adalah ketinggian di atas elipsoid; keduanya berbeda sebesar $N$. [Geoid](#def-b1-isostasy-gravity-geoid) menyimpang dari elipsoid sebesar $+85\,\mathrm{m}$ di dekat Islandia dan $-106\,\mathrm{m}$ di lepas India selatan, kurang dari $200\,\mathrm{m}$ seluruhnya, sedangkan relief permukaan padat membentang sekitar $20\,\mathrm{km}$: [geoid](#def-b1-isostasy-gravity-geoid) adalah permukaan yang jauh lebih halus daripada tanah.

**Proposisi 11.16 (Tinggi geoid dan anomali potensial).**

Misalkan $\Phi$ potensial gravitasi Bumi dan $\Phi_n$ potensial normal, yaitu milik model Bumi yang permukaannya, elipsoid acuan, memiliki potensial yang sama $\Phi_0$ dengan [geoid](#def-b1-isostasy-gravity-geoid), keduanya dihitung dengan tanda fisika (potensial naik ke atas dan $g = -\nabla\Phi$). Misalkan $T = \Phi - \Phi_n$ adalah anomali potensial di [geoid](#def-b1-isostasy-gravity-geoid). Hingga orde pertama,

$$
N = -\frac{T}{\gamma} .
$$

Ahli geodesi, yang menghitung potensial dengan tanda sebaliknya, menulis hasil yang sama $N = T/\gamma$, rumus Bruns.

**Bukti.** Misalkan $Q$ titik pada elipsoid dan $P$ titik pada [geoid](#def-b1-isostasy-gravity-geoid) di sepanjang normal melalui $Q$, pada ketinggian $N$. Potensial normal naik ke atas dengan laju $\gamma$, sehingga $\Phi_n(P) \approx \Phi_n(Q) + \gamma N = \Phi_0 +
\gamma N$. Karena $P$ berada pada [geoid](#def-b1-isostasy-gravity-geoid), $\Phi(P) = \Phi_0$, yaitu $\Phi_n(P) + T = \Phi_0$. Maka $\Phi_0 + \gamma N + T = \Phi_0$ dan $N =
-T/\gamma$. ∎

Kelebihan massa di bawah suatu titik membuat potensial di sana lebih negatif, sehingga $T < 0$ dan $N > 0$: [geoid](#def-b1-isostasy-gravity-geoid) menggembung ke atas di atas kelebihan massa dan tenggelam di atas defisit. Tinggi $85\,\mathrm{m}$ di dekat Islandia berkorespondensi dengan anomali potensial sebesar $-85\,\mathrm{m}\times9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} \approx -830\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$. Karena potensial meluruh sebagai $1/r$ sedangkan tarikan meluruh sebagai $1/r^2$, [geoid](#def-b1-isostasy-gravity-geoid) didominasi oleh massa besar dan dalam, dan [anomali gravitasi](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) oleh massa yang dangkal. Pegunungan yang terkompensasi hanya sedikit menaikkan [geoid](#def-b1-isostasy-gravity-geoid), karena kelebihan massanya dan defisit akarnya hampir saling meniadakan; beban yang tidak terkompensasi menaikkannya jauh lebih banyak.

![Geoid (biru), elipsoid acuan (putus-putus) dan tanah (skematis; penyimpangan sangat dibesar-besarkan). Di atas samudra geoid adalah permukaan laut dalam keadaan diam; di bawah daratan ia dilanjutkan sebagai ekuipotensial. Tinggi H pada peta diukur dari geoid, tinggi h_e yang diberikan oleh penentuan posisi satelit dari elipsoid, dan h_e = H + N. Tali unting tegak lurus terhadap geoid, bukan terhadap elipsoid: sudut di antara keduanya (dibesar-besarkan di sini) adalah defleksi vertikal yang mengganggu para juru ukur India.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-isostasy-gravity/fig-f804b872f92a.svg)

*[Geoid](#def-b1-isostasy-gravity-geoid) (biru), elipsoid acuan (putus-putus) dan tanah (skematis; penyimpangan sangat dibesar-besarkan). Di atas samudra [geoid](#def-b1-isostasy-gravity-geoid) adalah permukaan laut dalam keadaan diam; di bawah daratan ia dilanjutkan sebagai ekuipotensial. Tinggi $H$ pada peta diukur dari [geoid](#def-b1-isostasy-gravity-geoid), tinggi $h_e$ yang diberikan oleh penentuan posisi satelit dari elipsoid, dan $h_e = H + N$. Tali unting tegak lurus terhadap [geoid](#def-b1-isostasy-gravity-geoid), bukan terhadap elipsoid: sudut di antara keduanya (dibesar-besarkan di sini) adalah defleksi vertikal yang mengganggu para juru ukur India.*

Defleksinya kecil: seluruh selisih yang mengganggu para juru ukur India hanya sekitar lima detik busur. Di atas samudra [geoid](#def-b1-isostasy-gravity-geoid) dapat terlihat. Sejak 1978, altimeter radar pada satelit telah mengukur waktu denyut gelombang mikro yang dipantulkan dari permukaan laut untuk mengukur tingginya. Setelah pasang surut, gelombang dan arus dirata-ratakan, permukaan laut berdiri lebih tinggi di atas gunung laut dan punggungan, dan lebih rendah di atas palung dan dataran abisal, dan tonjolan-tonjolan ini ([Latihan 11.11](#exo-b1-isostasy-gravity-11) memperkirakan satu) memetakan topografi dasar laut dalam di tempat tidak ada kapal yang menyelam. Satelit GOCE, dari 2009 hingga 2013, terbang pada sekitar $260\,\mathrm{km}$ dan mengukur medan gravitasi dari orbit, dengan sasaran [geoid](#def-b1-isostasy-gravity-geoid) hingga 1 hingga $2\,\mathrm{cm}$ dan [anomali gravitasi](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) hingga sekitar $1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, dengan resolusi lebih baik daripada $100\,\mathrm{km}$.

### Isostasi yang bergerak

[Isostasi](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy) dicapai dengan aliran, dan aliran membutuhkan waktu. Pada puncak glasiasi terakhir, sekitar $20\,000$ tahun yang lalu, lapisan es setebal sekitar $3\,\mathrm{km}$ menutupi Skandinavia. Es memiliki massa jenis sekitar sembilan persepuluh air, sehingga dengan [mantel](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, depresi isostatik penuh di bawah lapisan es seperti itu adalah $3000\,\mathrm{m}\times900/3300 \approx 820\,\mathrm{m}$. Es telah hilang, dan daratan masih naik: penentuan posisi satelit mengukur hingga sekitar $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ pengangkatan di Swedia utara, di sebelah barat Teluk Bothnia, hari ini. Laju tempat depresi itu mengendur mengukur viskositas [mantel](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) di bawahnya, pokok bahasan volume Sarjana Tahun ke-3; [Latihan 11.12](#exo-b1-isostasy-gravity-12) menunjukkan caranya.

## 11.5 Latihan

**Latihan 11.1 ★.**

(a) Ubah [anomali Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) $-150\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ ke $\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, dan nyatakan sebagai fraksi dari $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. (b) Sama untuk $1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, presisi yang ditargetkan untuk [anomali gravitasi](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) dari GOCE, dan untuk $1\,\text{µ}\mathrm{Gal}$.

**Solusi Latihan 11.1.**

(a) $-150\,\mathrm{m}\mathrm{Gal} = -150\times10^{-5}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = -1.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, dan $1.5 \times 10^{-3}/9.81 = 1.53 \times 10^{-4}$ dari $g$. (b) $1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal} =
10^{-5}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $1.02 \times 10^{-6}$ dari $g$; $1\,\text{µ}\mathrm{Gal} =
10^{-8}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $1.02 \times 10^{-9}$ dari $g$: gravimeter yang membedakan satu mikrogal mengukur gravitasi hingga sekitar satu per miliar.

**Latihan 11.2 ★.**

(a) Hitung [gravitasi normal](#def-b1-isostasy-gravity-normal-gravity) di ekuator, pada $45{}^{\circ}$ dan di kutub dengan rumus dalam bab ini. (b) Berikan selisih ekuator-kutub dalam miligal. (c) Percepatan sentrifugal di ekuator adalah $3392\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Berapa fraksi selisih itu yang dijelaskan rotasi secara langsung?

**Solusi Latihan 11.2.**

(a) Di ekuator kedua sinus lenyap: $\gamma = 9.780\,327\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Pada $45{}^{\circ}$, $\sin^2\varphi = 0.5$ dan $\sin^2 2\varphi = 1$: $\gamma = 9.780327\times(1 + 0.0026512 - 0.0000058) = 9.806\,200\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Di kutub, $\sin^2\varphi = 1$ dan $\sin 2\varphi = 0$: $\gamma = 9.780327\times1.0053024 = 9.832\,186\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. (b) $9.832186 - 9.780327 = 0.051\,859\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, yaitu $5186\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (c) $3392/5186 = 0.65$: efek sentrifugal menjelaskan sekitar dua pertiga selisih itu; kegepengan, yang menempatkan kutub lebih dekat ke pusat, sisanya.

**Latihan 11.3 ★.**

Sebuah dataran tinggi berdiri $3\,\mathrm{km}$ di atas permukaan laut. Dengan [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) bermassa jenis $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ dan [mantel](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, hitung akar Airy-nya dan penebalan [keraknya](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers).

**Solusi Latihan 11.3.**

$r = h\rho_c/(\rho_m - \rho_c) = 3\times2800/500 = 16.8\,\mathrm{km}$. [Kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) menjadi lebih tebal sebesar $h + r = 19.8\,\mathrm{km}$ (yaitu $h\rho_m/(\rho_m - \rho_c) =
3\times3300/500$).

**Latihan 11.4 ★.**

(a) Sebesar apa gravimeter harus dinaikkan agar pembacaannya turun sebesar $1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$? Gunakan $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$. (b) Sebuah survei menargetkan anomali hingga $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Sampai ketelitian berapa ketinggian stasiun harus diketahui?

**Solusi Latihan 11.4.**

(a) $1/0.3086 = 3.24\,\mathrm{m}$. (b) $0.01/0.3086 = 0.032\,\mathrm{m}$: ketinggian harus diketahui hingga sekitar $3\,\mathrm{cm}$, yang menjelaskan mengapa setiap stasiun dicatat ketinggiannya dengan penentuan posisi satelit atau sipat datar.

**Latihan 11.5 ★★.**

Dalam model Pratt dengan $D = 100\,\mathrm{km}$ dan $\rho_0 = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, (a) hitung massa jenis kolom-kolom yang berdiri setinggi 1, 3 dan $5\,\mathrm{km}$; (b) hitung massa jenis kolom di bawah $4\,\mathrm{km}$ air laut bermassa jenis $1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (c) Mengapa model Pratt lebih cocok untuk dasar laut daripada untuk benua?

**Solusi Latihan 11.5.**

(a) $\rho = 2700\times100/(100 + h)$: $2673\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ untuk $1\,\mathrm{km}$, $2621\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ untuk $3\,\mathrm{km}$, $2571\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ untuk $5\,\mathrm{km}$. (b) $\rho = (2700\times100 - 1030\times4)/96 = 265\,880/96 =
2770\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$: kolom di bawah laut lebih padat. (c) Model Pratt menuntut perubahan lateral massa jenis pada kedalaman tetap. Di bawah dasar laut perubahan semacam itu memang ada: [litosfer](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-lithosphere) muda dan panas dekat punggungan lebih ringan daripada [litosfer](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-lithosphere) tua dan dingin yang jauh darinya ([Bab 10](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/10-anggaran-panas-bumi#ch-b1-heat-budget)). Di bawah benua, sebaliknya, ketebalan [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) terlihat berubah mengikuti relief.

**Latihan 11.6 ★★.**

Dua stasiun berada pada [lintang](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/1-astronomi-bola#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $48{}^{\circ}$, tempat [gravitasi normal](#def-b1-isostasy-gravity-normal-gravity) adalah $9.808\,911\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Stasiun 1, $350\,\mathrm{m}$ di atas permukaan laut, membaca $9.807\,751\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$; stasiun 2, pada $1850\,\mathrm{m}$, membaca $9.803\,552\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. (a) Hitung [anomali udara-bebas](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) dan Bouguer keduanya, dengan massa jenis Bouguer standar. (b) Apa yang disarankan anomali stasiun 2 tentang pegunungan di sekitarnya?

**Solusi Latihan 11.6.**

(a) Stasiun 1: $g - \gamma = 9.807751 - 9.808911 = -0.001\,160\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} =
-116.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; [koreksi udara-bebas](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) $0.3086\times350 =
108.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, sehingga $\Delta g_{\mathrm{FA}} = -8.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; [koreksi Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) $0.112\times350 = 39.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, sehingga $\Delta g_{\mathrm B} = -47.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Stasiun 2: $g - \gamma = -535.9\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; [koreksi udara-bebas](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) $0.3086\times1850 = 570.9\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, sehingga $\Delta g_{\mathrm{FA}} =
+35.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; [koreksi Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) $0.112\times1850 =
207.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, sehingga $\Delta g_{\mathrm B} = -172.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (b) Di stasiun 2 [anomali Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) sangat negatif: di bawah pegunungan ada defisit massa, akar dari [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) ringan. [Anomali udara-bebas](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies), kecil dibanding [koreksi Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies), menunjukkan bahwa defisit itu hampir menyeimbangkan pegunungan: pegunungan itu sebagian besar terkompensasi (sampai sekitar $172/207$, atau $83\,\%$, bila model lempeng berlaku untuk seluruh rentang).

**Latihan 11.7 ★★.**

(a) Dengan mengikuti pembuktian [Proposisi 11.9](#prop-b1-isostasy-gravity-slab), tunjukkan bahwa cakram horizontal berjari-jari $a$, tebal $h$ dan massa jenis $\rho$ menarik titik pada sumbunya, pada jarak $z \gg h$ di atasnya, dengan $2\pi G\rho h\,\bigl(1 -
z/\sqrt{z^2 + a^2}\bigr)$. (b) Jari-jari berapa yang memberikan $90\,\%$ dari nilai lempeng pada $z = 1\,\mathrm{km}$? (c) Apa yang dikatakan ini tentang luas medan yang berpengaruh pada [koreksi Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies)?

**Solusi Latihan 11.7.**

(a) Seperti dalam pembuktian proposisi, lapisan tipis pada jarak $z$ menyumbang $G\rho\,2\pi z\,h\int_0^a s\,(s^2 + z^2)^{-3/2}\,\mathrm ds$, kini dengan integral dihentikan pada $s = a$: $\int_0^a s\,(s^2 + z^2)^{-3/2}\,\mathrm ds = 1/z - 1/\sqrt{z^2 + a^2}$. Maka $g = 2\pi G\rho h\,\bigl(1 - z/\sqrt{z^2 + a^2}\bigr)$, yang menuju nilai lempeng bila $a \to \infty$. (b) $z/\sqrt{z^2 + a^2} = 0.1$ memberikan $\sqrt{z^2 + a^2} = 10z$, $a = \sqrt{99}\,z = 9.95\,\mathrm{km}$ untuk $z = 1\,\mathrm{km}$. (c) Batuan dalam kira-kira sepuluh kali kedalamannya di bawah stasiun memberikan $90\,\%$ dari tarikan itu: koreksi medan memerlukan relief dalam radius beberapa kilometer hingga puluhan kilometer di sekitar setiap stasiun, bukan hanya di bawahnya.

**Latihan 11.8 ★★.**

Dalam model Airy dengan [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, setebal $35\,\mathrm{km}$ di permukaan laut, di atas [mantel](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, (a) hitung anti-akar dan ketebalan [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) di bawah $4\,\mathrm{km}$ air laut dengan massa jenis $1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (b) [Kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) samudra sebenarnya sekitar $5\,\mathrm{km}$ tebalnya. Apa yang ditunjukkan oleh selisih itu?

**Solusi Latihan 11.8.**

(a) $r' = d(\rho_c - \rho_w)/(\rho_m - \rho_c) = 4\times1770/500 =
14.16\,\mathrm{km}$, dan [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) menjadi $35 - 4 - 14.16 = 16.84\,\mathrm{km}$ tebalnya. (b) Model Airy dengan satu massa jenis [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) memprediksi [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) samudra yang lebih tebal lebih dari tiga kali lipat. [Kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) samudra bukanlah [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) benua yang menipis: ia adalah batuan lain yang lebih padat, dan kedua tingkat Bumi adalah dua jenis [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers), seperti disarankan oleh [kurva hipsometrik](#def-b1-isostasy-gravity-hypsometry).

**Latihan 11.9 ★★.**

Dalam uraian pembukaan, selisih [lintang](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/1-astronomi-bola#def-b1-spherical-astronomy-geographic) antara Kaliana dan Kalianpur adalah $5.236''$, sedangkan tarikan Himalaya yang dihitung Pratt seharusnya menghasilkan $15.885''$. (a) Ubah kedua sudut menjadi radian. (b) Percepatan horizontal $a_h$ memiringkan tali unting sebesar sudut $a_h/g$. Selisih tarikan horizontal antara kedua stasiun yang sesuai dengan masing-masing sudut itu, dalam miligal, dengan $g = 9.79\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$? (c) Berapa fraksi tarikan pegunungan yang terlihat yang dibatalkan oleh kompensasi?

**Solusi Latihan 11.9.**

(a) Satu detik busur adalah $\pi/(180\times3600) = 1/206\,265$ radian: $5.236''$ $= 2.538 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ dan $15.885''$ $=
7.701 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$. (b) $a_h = g\theta$: $9.79\times2.538 \times 10^{-5} =
2.485 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = 24.9\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ teramati, dan $9.79\times7.701 \times 10^{-5} = 75.4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ dihitung dari gunung yang terlihat. (c) $1 - 5.236/15.885 = 0.670$: kompensasi membatalkan sekitar dua pertiga tarikan gunung yang terlihat.

**Latihan 11.10 ★★★.**

Sebuah kubah garam dimodelkan sebagai bola berjari-jari $2\,\mathrm{km}$, dengan pusatnya pada kedalaman $4\,\mathrm{km}$ dan massa jenis $200\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ lebih rendah daripada batuan di sekitarnya. (a) Tunjukkan bahwa bola terpendam dengan massa anomali $M$ pada kedalaman $z$ memberikan, pada jarak horizontal $x$, anomali $GMz/(x^2 + z^2)^{3/2}$. (b) Hitung anomali di atas pusatnya. (c) Pada jarak berapa anomali itu turun menjadi setengah nilai puncaknya? (d) Bagaimana kedalaman sebuah bola dapat dibaca dari profil terukur?

**Solusi Latihan 11.10.**

(a) Di luarnya, bola menarik seperti massa titik di pusatnya, dengan $GM/(x^2 + z^2)$ sepanjang garis ke pusat; komponen vertikalnya adalah itu dikali kosinus $z/\sqrt{x^2 + z^2}$, yang memberikan $GMz/(x^2 + z^2)^{3/2}$. (b) $M = \tfrac43\pi(2000\,\mathrm{m})^3\times(-200\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}) =
-6.70 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$, dan di atas pusat $GM/z^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times
(-6.70 \times 10^{12})/(4000)^2 = -2.80 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = -2.80\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (c) $(1 + x^2/z^2)^{-3/2} = 1/2$ memberikan $x = z\sqrt{2^{2/3} - 1} = 0.766\,z =
3.07\,\mathrm{km}$. (d) Lebar setengah-maksimum profil memberikan kedalaman: $z = 1.305\,x_{1/2}$. Benda yang lebih dalam memberikan anomali yang lebih lebar dan lebih datar.

**Latihan 11.11 ★★★.**

Sebuah gunung laut adalah kerucut setinggi $3\,\mathrm{km}$ dengan alas berjari-jari $15\,\mathrm{km}$ yang berdiri di atas dasar laut sedalam $5\,\mathrm{km}$. Batuannya bermassa jenis $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, air laut $1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (a) Hitung kelebihan massanya atas air yang dipindahkannya. (b) Anggap ia sebagai massa titik di pusat massanya, seperempat tingginya di atas alas, dan gunakan [Proposisi 11.16](#prop-b1-isostasy-gravity-bruns) dengan $\gamma = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ untuk memperkirakan tinggi tonjolan permukaan laut di atasnya. (c) Apakah massa titik melebih-lebihkan atau meremehkan tonjolan itu? (d) Jika gunung laut itu sepenuhnya dikompensasi oleh akar, bagaimana tonjolan itu berubah?

**Solusi Latihan 11.11.**

(a) $V = \tfrac13\pi R^2 H = \tfrac13\pi(15 \times 10^{3}\,\mathrm{m})^2(3 \times 10^{3}\,\mathrm{m}) =
7.07 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{3}$, dan $\Delta m = (2800 - 1030)V = 1.25 \times 10^{15}\,\mathrm{kg}$. (b) Pusat massa berada $0.75\,\mathrm{km}$ di atas dasar, pada $d = 5 - 0.75 = 4.25\,\mathrm{km}$ di bawah permukaan laut. Di sana anomali potensial adalah $T = -G\Delta m/d$, sehingga $N = G\Delta m/(\gamma d) =
6.674 \times 10^{-11}\times1.25 \times 10^{15}/(9.81\times4250) = 2.0\,\mathrm{m}$. (c) Sebagian besar massa kerucut berada di bagian bawahnya yang lebar, pada 5 hingga $16\,\mathrm{km}$ dari titik di atas puncak: rata-rata $1/r$ atas massa lebih kecil daripada $1/4.25\,\mathrm{km}$, dan massa titik melebih-lebihkan potensialnya. Menjumlahkan cakram tipis memberikan sekitar $1.1\,\mathrm{m}$. (d) Akar [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) ringan di bawahnya akan menempatkan defisit dengan massa yang sama lebih dalam; kedua potensial hampir saling meniadakan, dan tonjolannya akan jauh lebih kecil, tetapi tidak nol, karena defisit terletak lebih jauh dari permukaan daripada kelebihan massa.

**Latihan 11.12 ★★★.**

Modelkan pemulihan Skandinavia setelah es mencair: anggap es lenyap mendadak $10\,000$ tahun yang lalu, meninggalkan depresi sebesar $818\,\mathrm{m}$ yang sejak itu berkurang sebagai $w(t) = w_0\,e^{-t/\tau}$. (a) Tunjukkan bahwa laju pengangkatannya adalah $w/\tau$. (b) Dengan $\tau = 4000$ tahun, hitung depresi yang tersisa dan laju pengangkatan hari ini, dan bandingkan laju itu dengan $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ yang terukur. (c) Tunjukkan bahwa $\tau = 3100$ tahun dan $\tau = 68\,000$ tahun keduanya memberikan sekitar $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ hari ini. Depresi tersisa apa yang disiratkan masing-masing, dan bagaimana survei gravitasi dapat memutuskan di antara keduanya? (d) Sifat [mantel](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) apa yang diukur oleh $\tau$?

**Solusi Latihan 11.12.**

(a) Laju pengangkatannya adalah $-\mathrm dw/\mathrm dt = w_0\,e^{-t/\tau}/\tau = w/\tau$. (b) $w = 818\,e^{-10000/4000} = 818\times0.0821 = 67.1\,\mathrm{m}$, dan laju $67.1\,\mathrm{m}/4000\,\mathrm{yr} = 16.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, lebih dari satu setengah kali nilai terukur. (c) Dengan $\tau = 3100$ tahun, $w =
818\,e^{-3.226} = 32.5\,\mathrm{m}$ dan lajunya $10.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; dengan $\tau = 68\,000$ tahun, $w = 818\,e^{-0.147} = 706\,\mathrm{m}$ dan lajunya $10.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Keduanya menyiratkan depresi tersisa yang sangat berbeda. Depresi yang tidak dikompensasi adalah defisit massa batuan [mantel](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers): pada wilayah luas ia memberikan [anomali udara-bebas](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) sekitar $-2\pi G\rho_m w$, yaitu $-0.0419\times3.3\times706 \approx -98\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ untuk kasus lambat, dibanding $-4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ untuk yang cepat. Survei gravitasi (atau ketinggian garis pantai lama) membedakan keduanya. (d) Konstanta waktu mengukur seberapa cepat [mantel](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) mengalir kembali di bawah depresi: viskositasnya.

## 11.6 Soal: akar suatu pegunungan

**Soal 11.1.**

Soal akhir pekan — akar suatu dataran tinggi, Airy melawan Pratt, gravitasi di atasnya, dan apa yang dilakukan erosi kepadanya

Sebuah dataran tinggi yang luas, beberapa ratus kilometer lebarnya, berdiri $4\,\mathrm{km}$ di atas dataran rendah di permukaan laut yang [keraknya](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) setebal $35\,\mathrm{km}$. Ambil $\rho_c = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ untuk [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers), $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ untuk [mantel](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers), $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, dan $2\pi G = 0.0419\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ per meter per $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

**Bagian I — Dataran tinggi Airy.**

1. Hitung akar Airy dari dataran tinggi itu.
2. Turunkan ketebalan [keraknya](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) dan kedalaman [Moho-nya](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-discontinuity) di bawah permukaan laut.
3. Ambil [kedalaman kompensasi](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy) pada $60\,\mathrm{km}$ di bawah permukaan laut. Hitung massa per meter persegi di atasnya pada kolom dataran tinggi dan pada kolom dataran rendah.
4. Hitung tekanan pada kedalaman $60\,\mathrm{km}$ .
5. Mengapa akar itu 4.5 kali ketinggiannya? Berapa rasionya dengan [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) bermassa jenis $2900\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ ?
6. Apa yang akan ditunjukkan oleh survei refraksi seismik melintasi tepi dataran tinggi jika model Airy berlaku?

**Bagian II — Dataran tinggi Pratt.** Sekarang misalkan sebaliknya [kedalaman kompensasi](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy) $D = 100\,\mathrm{km}$ di bawah permukaan laut dan sebuah kolom dataran rendah dengan massa jenis seragam $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

7. Hitung massa jenis kolom dataran tinggi.
8. Periksa bahwa kedua kolom memiliki massa per meter persegi yang sama di atas $D$ .
9. Berapa persen kolom dataran tinggi harus lebih ringan?
10. Jika selisih massa jenis ini hanya disebabkan oleh panas, dengan koefisien ekspansi termal $3 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ , berapa banyak lebih panaskah kolom dataran tinggi rata-rata? Apakah itu masuk akal?
11. Di mana [Moho](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-discontinuity) di bawah dataran tinggi dalam model Pratt?
12. Survei refraksi mendapati [Moho](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-discontinuity) pada $52\,\mathrm{km}$ di bawah dataran tinggi. Model mana yang cocok?

**Bagian III — Gravitasi di atas pusat.**

13. Hitung [koreksi Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) untuk stasiun di atas dataran tinggi.
14. Prediksikan [anomali udara-bebas](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) dan Bouguer di pusat jika dataran tinggi itu tidak dikompensasi.
15. Prediksikan keduanya untuk dataran tinggi Airy, dan periksa [anomali Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) dengan massa yang hilang dari akar itu.
16. Sebuah stasiun di pusat dataran tinggi, pada [lintang](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/1-astronomi-bola#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $30{}^{\circ}$ dan $4000\,\mathrm{m}$ , membaca $9.781\,085\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ . Hitung [gravitasi normal](#def-b1-isostasy-gravity-normal-gravity) pada $30{}^{\circ}$ , lalu [anomali udara-bebas](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) dan Bouguer.
17. Berapa fraksi dataran tinggi yang terkompensasi?
18. Apakah [anomali Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) di pusat akan berbeda jika dataran tinggi itu dikompensasi dengan cara Pratt? Jelaskan.
19. Sketsakan [anomali udara-bebas](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) sepanjang profil melintasi salah satu tepi dataran tinggi, dan jelaskan bentuknya.

**Bagian IV — Erosi.** Sungai mengangkut lapisan setebal $1\,\mathrm{km}$ dari seluruh permukaan dataran tinggi, cukup lambat agar [isostasi](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy) dapat mengikuti.

20. Berapa ketebalan [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) yang baru, dan berapa akar Airy barunya?
21. Berapa ketinggian baru dataran tinggi itu?
22. Berapa banyak batuan yang kini berada di permukaan telah naik?
23. Berapa banyak batuan yang harus dierosi seluruhnya untuk menurunkan dataran tinggi ke permukaan laut? Apa yang ini katakan tentang batuan yang terlihat di sabuk gunung tua?
24. Berapa banyak permukaan dataran tinggi turun untuk setiap kilometer batuan yang dierosi?

**Solusi Soal 11.1.**

**1.** $r = h\rho_c/(\rho_m - \rho_c) = 4\times2700/600 = 18\,\mathrm{km}$.

**2.** [Kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) setebal $35 + 4 + 18 = 57\,\mathrm{km}$; dasarnya, [Moho](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-discontinuity), berada $35 + 18 = 53\,\mathrm{km}$ di bawah permukaan laut.

**3.** Dataran tinggi: $57\,\mathrm{km}$ [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) dan $60 - 53 = 7\,\mathrm{km}$ [mantel](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers), $57\,000\times2700 + 7000\times3300 = 1.539 \times 10^{8} + 2.31 \times 10^{7} =
1.770 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$. Dataran rendah: $35\,000\times2700 + 25\,000\times3300
= 9.45 \times 10^{7} + 8.25 \times 10^{7} = 1.770 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$. Keduanya sama, seperti [Proposisi 11.4](#prop-b1-isostasy-gravity-equal-mass) mensyaratkannya.

**4.** $p = g\times\text{massa per satuan luas} = 9.81\times1.770 \times 10^{8} =
1.74 \times 10^{9}\,\mathrm{Pa}$, sekitar $1.7\,\mathrm{GPa}$, di bawah kedua kolom.

**5.** Akar harus mengimbangi, dengan massa jenisnya yang lebih kecil, massa dataran tinggi: setiap meter akar menghilangkan $\rho_m - \rho_c = 600\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ massa, dan setiap meter dataran tinggi menambahkan $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, sehingga $2700/600 = 4.5$ meter akar diperlukan. Dengan [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) $2900\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, rasionya akan menjadi $2900/400 = 7.25$: semakin kecil kontrasnya, semakin dalam akarnya.

**6.** [Moho](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-discontinuity), lompatan kecepatan seismik yang kuat, akan ditemukan semakin dalam di bawah tepi dataran tinggi, dari $35\,\mathrm{km}$ di bawah dataran rendah hingga sekitar $53\,\mathrm{km}$ di bawah dataran tinggi.

**7.** $\rho = 2700\times100/104 = 2596\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

**8.** $104\,000\times2596.2 = 2.700 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$ dan $100\,000\times2700 = 2.700 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$.

**9.** $2700 - 2596 = 104\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, atau $104/2700 =
3.85\,\%$.

**10.** $\Delta\rho/\rho = \alpha\,\Delta T$ memberikan $\Delta T =
0.0385/3 \times 10^{-5} = 1280\,\mathrm{K}$ rata-rata di seluruh kolom $104\,\mathrm{km}$. Itu akan melelehkan sebagian besar kolom: panas saja tidak dapat membuat dataran tinggi ini cukup ringan, dan mekanisme Pratt tidak dapat menjadi yang utama di sini.

**11.** Kolom Pratt tidak memiliki akar: [Moho](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-discontinuity) tetap sekitar $35\,\mathrm{km}$ di bawah dataran tinggi, seperti di bawah dataran rendah.

**12.** $52\,\mathrm{km}$ dekat dengan $53\,\mathrm{km}$ milik Airy dan jauh dari $35\,\mathrm{km}$ milik Pratt: dataran tinggi terkompensasi terutama oleh akar [kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers).

**13.** $0.0419\times2.7\times4000 = 452.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

**14.** Tidak terkompensasi ([Proposisi 11.13](#prop-b1-isostasy-gravity-broad)): $\Delta g_{\mathrm{FA}} \approx +452.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, $\Delta g_{\mathrm B} \approx 0$.

**15.** Terkompensasi: $\Delta g_{\mathrm{FA}} \approx 0$ dan $\Delta g_{\mathrm B} \approx -452.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Massa akar yang hilang memberikan $-0.0419\times0.6\times18\,000 = -452.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, sama, karena $\Delta\rho\,r = \rho_c h$.

**16.** $\sin^230{}^{\circ} = 0.25$ dan $\sin^260{}^{\circ} = 0.75$: $\gamma = 9.780327\times(1 + 0.0013256 - 0.0000044) = 9.793\,249\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Lalu $g - \gamma = 9.781085 - 9.793249 = -1216.4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; [koreksi udara-bebas](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) adalah $0.3086\times4000 = 1234.4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, sehingga $\Delta g_{\mathrm{FA}} = +18.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, dan $\Delta g_{\mathrm B} = 18.0 - 452.5 = -434.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

**17.** $434.5/452.5 = 0.96$: dataran tinggi sekitar $96\,\%$ terkompensasi ([anomali udara-bebas](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) positif yang kecil adalah bagian yang tidak terkompensasi, $4\,\%$).

**18.** Tidak. Dekat pusat dataran tinggi yang lebar setiap lapisan anomali bertindak sebagai lempeng, yang tarikannya tidak bergantung pada kedalamannya: hanya defisit massa per satuan luas yang berpengaruh, dan itu sama, $\rho_c h$, di kedua model. Keduanya berbeda hanya di dekat tepi, tempat kedalaman massa kompensasi mengubah bentuk anomali.

**19.** Jauh dari tepi di kedua sisi, [anomali udara-bebas](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) mendekati nol. Beberapa kilometer di dalam tepi, dataran tinggi di bawah stasiun dekat dan meluas jauh hanya di satu sisi: ia tetap menarik dengan hampir seluruh nilai lempengnya. Akar, $35\,\mathrm{km}$ atau lebih di bawah, dari situ tampak sebagai benda yang berakhir hampir lurus di bawah: ia menarik dengan sedikit lebih dari separuh pengaruhnya. Selisihnya adalah puncak positif. Beberapa kilometer di luar, dataran tinggi menarik sangat sedikit, sementara akar tetap menarik dengan hampir separuh pengaruhnya: palung negatif. Profilnya adalah pasangan positif–negatif melintasi setiap tepi, seperti dalam gambar bab ini.

**20.** [Kerak](https://one-course.com/books/earth/3/id/chapter/9-bumi-berlapis#def-b1-layered-earth-layers) kini $57 - 1 = 56\,\mathrm{km}$ tebalnya, $21\,\mathrm{km}$ lebih daripada dataran rendah. Dalam kesetimbangan kelebihan ini terbagi menjadi $h' + r'$ dengan $r' = 4.5\,h'$: $h' = 21/5.5 = 3.818\,\mathrm{km}$ dan $r' = 17.18\,\mathrm{km}$.

**21.** Dataran tinggi kini berdiri pada $3818\,\mathrm{m}$.

**22.** Batuan yang kini di permukaan berada $1\,\mathrm{km}$ di bawah permukaan lama, pada $3000\,\mathrm{m}$; kini berada pada $3818\,\mathrm{m}$: ia telah naik sebesar $818\,\mathrm{m}$, yaitu $1000\times\rho_c/\rho_m$.

**23.** Setiap kilometer yang dierosi menurunkan permukaan sebesar $1 - 2700/3300 =
0.182$ kilometer, sehingga menurunkannya $4\,\mathrm{km}$ memerlukan $4/0.182 = 22\,\mathrm{km}$ erosi, seluruh kelebihan ketebalan $h + r$. Pada sabuk gunung tua yang telah aus, batuan di permukaan karena itu pernah berada kira-kira dua puluh kilometer dalamnya: akar dalam sabuk itu tersingkap.

**24.** Permukaan turun sebesar $1000 - 818$: untuk setiap kilometer batuan yang dierosi, penurunan bersih permukaan adalah **$182\,\mathrm{m}$**.