---
title: "Sferische astronomie"
book: "Universitaire aard- en ruimtewetenschappen — jaar 1"
subject: earth
language: nl
chapter: 1
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/1-sferische-astronomie
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# Hoofdstuk 1 — Sferische astronomie

Op een heldere nacht ver van elke stad registreert een camera met een lange belichtingstijd, op de hemel gericht, de sterren als bogen van cirkels die allemaal om één punt staan dat niet beweegt. Een ster die vanavond om negen uur in het oosten opkwam, komt morgen om ongeveer vijf voor negen op, en elke nacht daarna iets eerder. De zon staat om twaalf uur ’s middags in juni hoger dan in december, en in het verre noorden gaat zij midden in de zomer helemaal niet onder. Dit alles is de draaiing van de aarde en haar baan om de zon, vanaf de grond gezien. Om het te beschrijven hebben de astronoom en de geowetenschapper coördinaten op een bol nodig, de trigonometrie van driehoeken op een bol en klokken die gelijke tred houden met de sterren of met de zon. Dit hoofdstuk bouwt die hulpmiddelen. Ze keren terug in de plaatkinematica ([Hoofdstuk 12](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/12-plaatbeweging-op-een-bol#ch-b1-plate-kinematics)), waar platen over de bol draaien, en in de klimaathoofdstukken ([Hoofdstuk 27](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/27-straling-en-warmtetransport#ch-b1-radiation-heat-transport)), waar het zonlicht dat een [breedtegraad](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) ontvangt de winden en de stromingen aandrijft.

**Wat je al weet.**

De aarde draait eenmaal per dag om haar as en beweegt in een jaar om de zon, op een baan die vrijwel een cirkel is. Haar as staat schuin ten opzichte van de baan, en dat veroorzaakt de seizoenen (de natuurkundeboeken, klassen 6 en 12; de wetten van Kepler komen aan bod in het eerste jaar van de natuurkundeboeken voor het hoger onderwijs). Een punt op aarde wordt bepaald door zijn [breedtegraad](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) en [lengtegraad](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) (Boek 1, klas 6). Een vector met lengte één wordt vastgelegd door twee hoeken, zoals in bolcoördinaten; het inproduct van twee eenheidsvectoren is de cosinus van de hoek ertussen, en het drievoudig product $\vec u\cdot(\vec v\times\vec w)$ blijft gelijk bij een cyclische verwisseling van de drie vectoren.

## 1.1 Driehoeken op een bol

**Definitie 1.1 (Grootcirkel, sferische driehoek).**

Een *grootcirkel* van een bol is de doorsnede met een vlak door het middelpunt; elke andere vlakdoorsnede is een *kleine cirkel*. Door twee punten die niet tegenover elkaar liggen gaat precies één grootcirkel, en de kortste van de twee bogen daarvan is de kortste weg over de bol tussen de punten. Een *sferische driehoek* is de figuur die gevormd wordt door drie punten van de bol, de hoekpunten $A$, $B$, $C$, verbonden door bogen van grootcirkels die kleiner zijn dan $180{}^{\circ}$. Zijn zijden $a$, $b$, $c$ (tegenover $A$, $B$, $C$) worden gemeten door de hoeken die zij opspannen in het middelpunt; zijn hoeken $A$, $B$, $C$ zijn de hoeken tussen de vlakken van de zijden die in elk hoekpunt samenkomen.

Op de bol met straal $R$ heeft een zijde van $a$ radialen de lengte $Ra$. Elke zijde en elke hoek ligt tussen $0$ en $\pi$.

![Een sferische driehoek ABC op een bol met middelpunt O. De zijden a, b, c zijn bogen van grootcirkels, gemeten door de hoeken BOC, COA, AOB; de hoek A (rood) is de hoek tussen de twee zijden die in A samenkomen. De getekende driehoek heeft a = 78.6, b = 62.6, c = 64.8 en hoeken van 89.9, 64.9 en 67.4, die samen meer dan 180 zijn.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-spherical-astronomy/fig-95a96042710a.svg)

*Een [sferische driehoek](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) $ABC$ op een bol met middelpunt $O$. De zijden $a$, $b$, $c$ zijn bogen van [grootcirkels](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle), gemeten door de hoeken $BOC$, $COA$, $AOB$; de hoek $A$ (rood) is de hoek tussen de twee zijden die in $A$ samenkomen. De getekende driehoek heeft $a = 78.6{}^{\circ}$, $b = 62.6{}^{\circ}$, $c = 64.8{}^{\circ}$ en hoeken van $89.9{}^{\circ}$, $64.9{}^{\circ}$ en $67.4{}^{\circ}$, die samen meer dan $180{}^{\circ}$ zijn.*

**Stelling 1.2 (De cosinusregel).**

In een [sferische driehoek](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) geldt

$$
\cos a = \cos b\cos c + \sin b\sin c\cos A .
$$

**Bewijs.** Werk op de eenheidsbol en kies de assen zo dat $A$ in de pool ligt: $\vec A = (0, 0, 1)$, en het vlak $xz$ dat $B$ bevat: $\vec B = (\sin c, 0, \cos c)$, want $B$ ligt op hoekafstand $c$ van $A$. Het punt $C$ ligt op hoekafstand $b$ van $A$, op een [grootcirkel](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) door $A$ die de hoek $A$ maakt met het vlak $xz$: $\vec C = (\sin b\cos A, \sin b\sin A, \cos b)$. De zijde $a$ is de hoek tussen $\vec B$ en $\vec C$, dus

$$
\cos a = \vec B\cdot\vec C = \sin c\sin b\cos A + \cos c\cos b. \qedhere
$$

∎

**Stelling 1.3 (De sinusregel).**

In een [sferische driehoek](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) geldt

$$
\frac{\sin A}{\sin a} = \frac{\sin B}{\sin b} = \frac{\sin C}{\sin c}.
$$

**Bewijs.** Met de vectoren van het vorige bewijs geldt $\vec B \times \vec C = (-\cos c\sin b\sin A,\ \cos c\sin b\cos A - \sin c\cos b,\
\sin c\sin b\sin A)$, dus het drievoudig product is $\vec A\cdot(\vec B\times\vec C) = \sin b\sin c\sin A$. Het drievoudig product blijft gelijk bij een cyclische verwisseling van $A$, $B$, $C$. Door $B$ en daarna $C$ in de pool te leggen volgt op dezelfde manier $\sin c\sin a\sin B$ en $\sin a\sin b\sin
C$. De drie uitdrukkingen zijn gelijk; delen door $\sin a\sin b\sin c$ geeft de regel. ∎

Als de zijden klein zijn ten opzichte van de straal, geldt $\cos a \approx 1 -
a^2/2$ en $\sin a \approx a$, en worden de twee regels de cosinus- en sinusregel van vlakke driehoeken: op een voldoende klein stuk is de bol vlak. Bij een grote driehoek gebeurt dat niet: de hoeken van een [sferische driehoek](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) tellen op tot meer dan $180{}^{\circ}$ ([Oefening 1.12](#exo-b1-spherical-astronomy-12)).

**Methode 1.4 (Afstand en koers op de bol).**

Om de kortste afstand te vinden tussen twee plaatsen met breedtegraden $\varphi_1$, $\varphi_2$ en lengtegraden $\lambda_1$, $\lambda_2$, en de richting waarin men moet vertrekken:

1. vorm de driehoek met als hoekpunten de Noordpool $P$ en de twee plaatsen; haar zijden vanaf de pool zijn de poolafstanden $90{}^{\circ} -  \varphi_1$ en $90{}^{\circ} - \varphi_2$ , en haar hoek bij de pool is het verschil in lengte $\Delta\lambda$ ;
2. de cosinusregel geeft de hoekafstand $\Delta$ : $\cos\Delta = \sin\varphi_1\sin\varphi_2 +  \cos\varphi_1\cos\varphi_2\cos\Delta\lambda$ ; de afstand is $R\Delta$ ( $\Delta$ in radialen);
3. de beginkoers is de hoek van de driehoek bij de eerste plaats, uit de cosinusregel toegepast op de zijde er tegenover, $\sin\varphi_2 = \sin\varphi_1\cos\Delta + \cos\varphi_1\sin\Delta\cos  \mathrm{Az}$ , en wordt gemeten vanaf het noorden naar de tweede plaats.

De koers verandert langs de [grootcirkel](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) (behalve langs een meridiaan of de evenaar): een schip of vliegtuig dat dezelfde kompaskoers aanhoudt, volgt een andere, langere kromme.

## 1.2 Coördinaten op de bol

**Definitie 1.5 (Breedtegraad en lengtegraad).**

Stel dat de aarde een bol is die om haar poolas draait. De *breedtegraad* $\varphi$ van een punt is de hoek tussen het evenaarsvlak en de straal door het punt, van $-90{}^{\circ}$ (Zuidpool) tot $+90{}^{\circ}$ (Noordpool); de *lengtegraad* $\lambda$ is de hoek, gemeten in het evenaarsvlak, tussen het meridiaanvlak van het punt en dat van een referentiemeridiaan, die door Greenwich gaat, positief naar het oosten, van $-180{}^{\circ}$ tot $180{}^{\circ}$.

De aarde is in feite iets afgeplat; de [breedtegraad](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) die voor kaarten en voor de hemel gebruikt wordt, is de hoek tussen de plaatselijke verticaal en het evenaarsvlak. Die wijkt van de geocentrische hoek af met hoogstens $0.2{}^{\circ}$ ([Hoofdstuk 11](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/11-isostasie-en-zwaartekrachtsanomalieen#ch-b1-isostasy-gravity)). Lijnen van gelijke breedte, de parallellen, zijn [kleine cirkels](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle); de meridianen zijn halve [grootcirkels](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle).

**Definitie 1.6 (De hemelbol).**

De *hemelbol* is een denkbeeldige bol met het middelpunt in de waarnemer, waarop elke ster in haar richting ligt; alleen richtingen tellen, niet afstanden. De verlengingen van de aardas snijden de bol in de noordelijke en zuidelijke *hemelpolen*; het vlak van de aardevenaar snijdt de bol langs de *hemelevenaar*. Het *zenit* is het punt recht boven de waarnemer, langs de plaatselijke verticaal; de horizon is de [grootcirkel](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) op $90{}^{\circ}$ ervan vandaan. De *plaatselijke meridiaan* is de [grootcirkel](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) door het zenit en de hemelpolen; hij snijdt de horizon in het noorden en het zuiden.

Terwijl de aarde van west naar oost draait, lijkt de [hemelbol](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) de andere kant op te draaien, van oost naar west, om de as van de [hemelpolen](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere), in iets minder dan een dag. De sterren behouden hun onderlinge plaatsen: ze staan zo ver weg dat een reis van een jaar om de zon hun richtingen minder dan een boogseconde verandert ([Hoofdstuk 2](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/2-telescopen-detectoren-en-fotometrie#ch-b1-observing-the-sky)).

**Definitie 1.7 (Horizontale coördinaten).**

De *hoogte* $h$ van een ster is haar hoek boven de horizon, van $-90{}^{\circ}$ tot $90{}^{\circ}$; haar zenithoek is $z = 90{}^{\circ} - h$. Haar *azimut* $\mathrm{A}$ is de hoek, langs de horizon, van het noorden tot de voet van de verticaalcirkel van de ster, gemeten van $0{}^{\circ}$ tot $360{}^{\circ}$ via het oosten.

Horizontale coördinaten zijn die van de waarnemer: ze veranderen met de plaats en het tijdstip. De coördinaten van de hemel zelf worden meegevoerd door haar draaiing.

**Definitie 1.8 (Equatoriale coördinaten).**

De *declinatie* $\delta$ van een ster is haar hoek ten opzichte van de [hemelevenaar](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere), positief naar het noorden, van $-90{}^{\circ}$ tot $90{}^{\circ}$. De [grootcirkel](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) door de ster en de [hemelpolen](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) is haar uurcirkel. De *uurhoek* $H$ van de ster is de hoek bij de [hemelpool](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) tussen de [plaatselijke meridiaan](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) en de uurcirkel van de ster, gemeten westwaarts, in uren van $15{}^{\circ}$. De *rechte klimming* $\alpha$ is de hoek langs de [hemelevenaar](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) van een vast punt aan de hemel, het [lentepunt](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) ([Definitie 1.12](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic)), tot de uurcirkel van de ster, gemeten oostwaarts, ook in uren.

[Declinatie](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) en [rechte klimming](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) liggen vast aan de hemel, zoals [breedtegraad](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) en [lengtegraad](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) op aarde: sterrencatalogi geven ze op. Het woord [declinatie](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) wordt hier alleen in deze astronomische betekenis gebruikt; de hoek tussen het geografische noorden en het noorden van een kompas heet altijd de magnetische declinatie ([Hoofdstuk 6](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/6-veldwerk-en-laboratoriummethoden-i#ch-b1-field-lab-methods-1)).

**Propositie 1.9 (Van equatoriale naar horizontale coördinaten).**

Op breedte $\varphi$ heeft een ster met [declinatie](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $\delta$ en [uurhoek](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $H$ de [hoogte](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) en het [azimut](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal)

$$
\sin h = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos H,
  \qquad
  \cos\mathrm{A} = \frac{\sin\delta - \sin\varphi\sin h}{\cos\varphi\cos h},
$$

met $\mathrm{A}$ tussen $0{}^{\circ}$ en $180{}^{\circ}$ wanneer de ster oost van de meridiaan staat ($\sin H < 0$), en $\mathrm{A} = 360{}^{\circ} - \arccos(\dots)$ wanneer zij west ervan staat. In het bijzonder is de [hoogte](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) van de noordelijke [hemelpool](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) gelijk aan de [breedtegraad](#def-b1-spherical-astronomy-geographic).

**Bewijs.** Beschouw de driehoek gevormd door de noordelijke [hemelpool](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) $P$, het [zenit](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) $Z$ en de ster $X$ (de astronomische of positiedriehoek). De plaatselijke verticaal maakt de hoek $\varphi$ met het evenaarsvlak, dus $PZ =
90{}^{\circ} - \varphi$; $PX = 90{}^{\circ} - \delta$; $ZX = 90{}^{\circ} - h$. De hoek bij $P$ is de [uurhoek](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $H$; de hoek bij $Z$ is het [azimut](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) van de ster, gemeten vanaf het noorden (oost of west van de meridiaan). De cosinusregel voor de zijde $ZX$, tegenover $P$, geeft $\cos(90{}^{\circ} - h) = \cos(90{}^{\circ} - \varphi)\cos(90{}^{\circ} - \delta) +
\sin(90{}^{\circ} - \varphi)\sin(90{}^{\circ} - \delta)\cos H$, de eerste formule. De cosinusregel voor de zijde $PX$, tegenover $Z$, geeft $\sin\delta = \sin\varphi\sin h + \cos\varphi\cos h\cos\mathrm{A}$, de tweede. Voor de [hemelpool](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) is $\delta = 90{}^{\circ}$, en de eerste formule luidt $\sin h = \sin\varphi$. ∎

![De hemel op breedte 45 N, gezien vanuit het westen, het noorden links. De noordelijke hemelpool P staat op een hoogte boven het noordpunt die gelijk is aan de breedtegraad (rood: de as van de hemelpolen); de hemelevenaar (blauw) snijdt de horizon in het oostpunt en het westpunt. Een ster X met declinatie 25, drie uur twintig minuten na haar passage over de meridiaan (uurhoek 50), staat op de hoogte h = 45.3 (groen: haar verticaalcirkel, van het zenit Z tot de horizon) en het azimut 261; haar uurcirkel (stip-streep) loopt van de pool via de ster naar de evenaar. Berekend met .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-spherical-astronomy/fig-1b6cac2b70ce.svg)

*De hemel op breedte $45{}^{\circ}$ N, gezien vanuit het westen, het noorden links. De noordelijke [hemelpool](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) $P$ staat op een [hoogte](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) boven het noordpunt die gelijk is aan de [breedtegraad](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) (rood: de as van de [hemelpolen](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere)); de [hemelevenaar](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) (blauw) snijdt de horizon in het oostpunt en het westpunt. Een ster $X$ met [declinatie](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $25{}^{\circ}$, drie uur twintig minuten na haar passage over de meridiaan ([uurhoek](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $50{}^{\circ}$), staat op de [hoogte](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $h = 45.3{}^{\circ}$ (groen: haar verticaalcirkel, van het [zenit](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) $Z$ tot de horizon) en het [azimut](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $261{}^{\circ}$; haar uurcirkel (stip-streep) loopt van de pool via de ster naar de evenaar. Berekend met [Propositie 1.9](#prop-b1-spherical-astronomy-transform).*

**Propositie 1.10 (Culminatie en circumpolaire sterren).**

Op breedte $\varphi$ kruist een ster met [declinatie](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $\delta$ de meridiaan ($H = 0$) op de [hoogte](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $90{}^{\circ} - |\varphi - \delta|$, ten zuiden van het [zenit](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) als $\delta < \varphi$, ten noorden ervan als $\delta > \varphi$. Op het noordelijk halfrond ($\varphi > 0$) gaat ze nooit onder als $\delta > 90{}^{\circ} - \varphi$ en komt ze nooit op als $\delta < -(90{}^{\circ} - \varphi)$.

**Bewijs.** Voor $H = 0$ geldt $\sin h = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta =
\cos(\varphi - \delta)$, dus $h = 90{}^{\circ} - |\varphi - \delta|$. De laagste [hoogte](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal), bij $H = 180{}^{\circ}$, voldoet aan $\sin h = -\cos(\varphi + \delta)$; zij is positief als $\varphi + \delta > 90{}^{\circ}$. De ster blijft onder de horizon als zelfs haar hoogste [hoogte](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) negatief is, $|\varphi - \delta| > 90{}^{\circ}$. ∎

**Definitie 1.11 (Circumpolaire ster).**

Een *circumpolaire ster* is een ster die op de breedte van de waarnemer nooit ondergaat: zij draait om de [hemelpool](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere), gaat over de meridiaan boven de pool en twaalf sterrenuren later eronder.

![Sterrensporen boven het observatorium van Paranal, in de Atacamawoestijn, op breedte 24.6 Z: een lange belichting legt de boog van elke ster rond de zuidelijke hemelpool vast, die 24.6 boven de zuidelijke horizon staat. Foto R. Wesson/ESO, CC BY 4.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-spherical-astronomy/img-0b8be350f621.jpg)

*Sterrensporen boven het observatorium van Paranal, in de Atacamawoestijn, op breedte $24.6{}^{\circ}$ Z: een lange belichting legt de boog van elke ster rond de zuidelijke [hemelpool](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) vast, die $24.6{}^{\circ}$ boven de zuidelijke horizon staat. Foto R. Wesson/ESO, CC BY 4.0.*

## 1.3 Sterrentijd en zonnetijd

**Definitie 1.12 (De ecliptica).**

De *ecliptica* is de [grootcirkel](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) van de [hemelbol](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) langs welke de zon in een jaar schijnbaar beweegt, het spoor van het vlak van de baan van de aarde. Zij helt over de [hemelevenaar](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) met de *schuinte van de ecliptica* $\varepsilon$, de kanteling van de aardas ten opzichte van haar baan. De ecliptica snijdt de evenaar in twee punten; het *lentepunt* $\gamma$ is het punt waar de zon in maart de evenaar noordwaarts kruist. De ecliptische lengte $\lambda_\odot$ van de zon is haar hoek langs de ecliptica, vanaf $\gamma$ gemeten, naar het oosten.

De schuinte is vandaag $\varepsilon = 23.44{}^{\circ}$.

**Definitie 1.13 (Sterrentijd).**

De plaatselijke *sterrentijd* is de [uurhoek](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) van het [lentepunt](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) $\gamma$. Een sterrendag is het tijdsinterval tussen twee passages van $\gamma$ over de meridiaan.

Omdat de [rechte klimming](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) vanaf $\gamma$ oostwaarts wordt geteld en de [uurhoek](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) vanaf de meridiaan westwaarts, geldt voor elke ster

$$
H = \mathrm{LST} - \alpha ,
$$

waarin LST de plaatselijke [sterrentijd](#def-b1-spherical-astronomy-sidereal-time) is: een ster kruist de meridiaan wanneer de [sterrentijd](#def-b1-spherical-astronomy-sidereal-time) gelijk is aan haar [rechte klimming](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial). Een sterrenklok van een observatorium laat in één oogopslag zien welk deel van de hemel boven het hoofd staat.

**Propositie 1.14 (Sterrendagen en zonnedagen).**

In één [tropisch jaar](#def-b1-spherical-astronomy-tropical-year) van $N$ gemiddelde zonnedagen draait de aarde $N + 1$ keer ten opzichte van de sterren. De sterrendag duurt dus

$$
\frac{N}{N + 1}\times24\,\mathrm{h},
$$

en met $N = 365.2422$ is dat $23\,\mathrm{h}$ $56\,\mathrm{min}$ $4.09\,\mathrm{s}$: een ster kruist de meridiaan elke dag $3\,\mathrm{min}$ $56\,\mathrm{s}$ [gemiddelde zonnetijd](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time) eerder.

**Bewijs.** Tel de omwentelingen ten opzichte van de zon en ten opzichte van de sterren over één jaar. De zon beweegt in een jaar één keer oostwaarts langs de [ecliptica](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic), in de richting van de draaiing van de aarde. Ten opzichte van de zon maakt de aarde dus één omwenteling minder dan ten opzichte van de sterren: $N$ zonnedagen en $N + 1$ sterrendagen vullen hetzelfde jaar. De sterrendag is $N/(N+1)$ van een zonnedag, dat wil zeggen $86\,400\,\mathrm{s}\times 365.2422/366.2422 = 86\,164.09\,\mathrm{s}$; het verschil is $235.9\,\mathrm{s}$. Dit stemt overeen met de gemeten draaiingstijd van de aarde ten opzichte van de sterren, $23.9345\,\mathrm{h}$. ∎

**Definitie 1.15 (Zonnetijd).**

De *ware zonnetijd* is de [uurhoek](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) van de zon plus twaalf uur: een zonnewijzer toont die, en het is middag wanneer de zon de meridiaan kruist. De *gemiddelde zonnetijd* is de [uurhoek](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial), plus twaalf uur, van een fictieve gemiddelde zon die langs de [hemelevenaar](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) met een constante snelheid beweegt en in een [tropisch jaar](#def-b1-spherical-astronomy-tropical-year) één omwenteling maakt. Hun verschil, ware minus gemiddeld, is de *tijdsvereffening*.

De ware zon loopt voor en achter op de gemiddelde zon, om twee redenen. De aarde beweegt nabij het perihelium, begin januari, sneller dan nabij het aphelium, zodat de voortgang van de zon langs de [ecliptica](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) ongelijkmatig is (de tweede wet van Kepler). En de zon beweegt langs de [ecliptica](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic), die schuin op de evenaar staat, zodat zelfs een gelijkmatige beweging langs de [ecliptica](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) op de evenaar een ongelijkmatige projectie geeft (de [uurhoek](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) meet dat) — sneller nabij de zonnewendes dan nabij de equinoxen. Burgerlijke klokken houden de [gemiddelde zonnetijd](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time) op een referentiemeridiaan van hun tijdzone; de plaatselijke gemiddelde tijd op [lengtegraad](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $\lambda$ loopt vóór op de tijd in Greenwich met $\lambda/15{}^{\circ}$ uur.

![De tijdsvereffening over het jaar (ware minus gemiddelde zonnetijd): een zonnewijzer loopt tot 16.4\, min voor begin november en tot 14.2\, min achter half februari. Berekend uit een Kepler-baan met de excentriciteit 0.0167, de schuinte 23.44, de lengte van het perihelium en de datum van de lentenachtevening van 2026.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-spherical-astronomy/fig-6f57000b5aeb.svg)

*De [tijdsvereffening](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time) over het jaar (ware minus [gemiddelde zonnetijd](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time)): een zonnewijzer loopt tot $16.4\,\mathrm{min}$ voor begin november en tot $14.2\,\mathrm{min}$ achter half februari. Berekend uit een Kepler-baan met de excentriciteit 0.0167, de schuinte $23.44{}^{\circ}$, de lengte van het perihelium en de datum van de lentenachtevening van 2026.*

## 1.4 Opkomst, ondergang en de zon

**Propositie 1.16 (Opkomst en ondergang).**

Op breedte $\varphi$ gaat een ster met [declinatie](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $\delta$ die op- en ondergaat door de horizon bij de [uurhoeken](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $\pm H_0$, met

$$
\cos H_0 = -\tan\varphi\tan\delta ,
$$

bij het [azimut](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $\mathrm{A}_0$ met $\cos\mathrm{A}_0 = \sin\delta/\cos\varphi$ (bij opkomst; bij ondergang is het [azimut](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $360{}^{\circ} - \mathrm{A}_0$). Zij blijft boven de horizon gedurende $2H_0$, omgerekend in uren van $15{}^{\circ}$ per uur.

**Bewijs.** Op de horizon geldt $h = 0$, en [Propositie 1.9](#prop-b1-spherical-astronomy-transform) geeft $0 = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos H_0$, en $\cos\mathrm{A}_0 = \sin\delta/\cos\varphi$. De [uurhoek](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) neemt gelijkmatig toe, met $15{}^{\circ}$ per uur, van $-H_0$ bij de opkomst tot $+H_0$ bij de ondergang. ∎

Voor de zon geeft dit de lengte van de dag, als de zon als een punt wordt beschouwd en de breking van het licht door de lucht wordt genegeerd (beide voegen enkele minuten daglicht toe). Op de equinoxen geldt $\delta = 0$, $H_0 = 90{}^{\circ}$: dag en nacht duren overal twaalf uur, en de zon komt recht in het oosten op.

![De baan van de zon over de hemel op breedte 45 N op de zomerzonnewende van juni (rood), de equinoxen (zwart) en de winterzonnewende van december (blauw), met de middaghoogten 90 - + _. Op de equinoxen komt de zon recht in het oosten op en gaat zij recht in het westen onder; in juni komt zij op in het noordoosten.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-spherical-astronomy/fig-6aa845589c5b.svg)

*De baan van de zon over de hemel op breedte $45{}^{\circ}$ N op de zomerzonnewende van juni (rood), de equinoxen (zwart) en de winterzonnewende van december (blauw), met de middaghoogten $90{}^{\circ} - \varphi + \delta_\odot$. Op de equinoxen komt de zon recht in het oosten op en gaat zij recht in het westen onder; in juni komt zij op in het noordoosten.*

**Propositie 1.17 (De declinatie van de zon).**

Wanneer de zon op de ecliptische lengte $\lambda_\odot$ staat, voldoen haar [declinatie](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) en [rechte klimming](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) aan

$$
\sin\delta_\odot = \sin\varepsilon\sin\lambda_\odot, \qquad
  \tan\alpha_\odot = \cos\varepsilon\tan\lambda_\odot .
$$

**Bewijs.** Neem assen met $x$ naar $\gamma$ en $z$ naar de noordelijke [hemelpool](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere). In assen $x$, $y'$, $z'$ die aan de [ecliptica](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) zijn verbonden, met $z'$ naar haar pool, is de richting van de zon $(\cos\lambda_\odot, \sin\lambda_\odot, 0)$. De assen van de [ecliptica](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) zijn die van de evenaar, gedraaid over de hoek $\varepsilon$ om $x$; in de evenaarsassen is de richting van de zon dus $(\cos\lambda_\odot,\ \sin\lambda_\odot\cos\varepsilon,\
\sin\lambda_\odot\sin\varepsilon)$. Haar $z$-component is $\sin\delta_\odot$; de verhouding van haar $y$- en $x$-componenten is $\tan\alpha_\odot$. ∎

![Lengte van de dag (middelpunt van de zon boven de geometrische horizon) gedurende het jaar op vijf noordelijke breedten, volgens . Op 70 N blijft de zon weken lang boven de horizon rond de zomerzonnewende van juni en blijft zij beneden de horizon rond de winterzonnewende van december. Op het zuidelijk halfrond zijn de krommen met een half jaar verschoven.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-spherical-astronomy/fig-4484f7a218f9.svg)

*Lengte van de dag (middelpunt van de zon boven de geometrische horizon) gedurende het jaar op vijf noordelijke breedten, volgens Proposities [1.16](#prop-b1-spherical-astronomy-rising) en [1.17](#prop-b1-spherical-astronomy-sun-declination). Op $70{}^{\circ}$ N blijft de zon weken lang boven de horizon rond de zomerzonnewende van juni en blijft zij beneden de horizon rond de winterzonnewende van december. Op het zuidelijk halfrond zijn de krommen met een half jaar verschoven.*

**Definitie 1.18 (Insolatie).**

De *insolatie* op een plaats en een tijdstip is het vermogen van het zonlicht dat per oppervlakte-eenheid van een horizontaal oppervlak aan de bovenkant van de atmosfeer ontvangen wordt. Met $S_0$ de zonnestraling op de gemiddelde afstand $a$ van de zon, $r$ de werkelijke afstand en $\theta_z$ de zenithoek van de zon,

$$
I = S_0\left(\frac{a}{r}\right)^{2}\cos\theta_z = S_0\left(\frac{a}{r}\right)^{2}\sin h_\odot
  \quad (h_\odot > 0), \qquad I = 0 \text{ 's nachts}.
$$

De factor $(a/r)^2$ is de kwadratenwet voor licht (de natuurkundeboeken); de factor $\cos\theta_z$ komt doordat een bundel met een dwarsdoorsnede van één vierkante meter zich uitspreidt over $1/\cos\theta_z$ vierkante meter horizontale grond. Met $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ en een afstand tussen zon en aarde van $147.1 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ in het perihelium en $152.1 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ in het aphelium, varieert de factor $(a/r)^2$ in het jaar met $\pm3.4\,\%$. De kanteling van de as doet veel meer: zij verandert zowel de middaghoogte als de lengte van de dag, en die twee samen maken de seizoenen. De dagelijkse en jaarlijkse sommen van de [insolatie](#def-b1-spherical-astronomy-insolation), die het klimaat aandrijven, worden berekend in [Hoofdstuk 27](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/27-straling-en-warmtetransport#ch-b1-radiation-heat-transport).

## 1.5 Kalenders

**Definitie 1.19 (Tropisch jaar).**

Het *tropisch jaar* is het gemiddelde tijdsinterval tussen twee passages van de zon door het [lentepunt](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic). Het bepaalt de seizoenen; het duurt 365.2422 gemiddelde zonnedagen.

Het [tropisch jaar](#def-b1-spherical-astronomy-tropical-year) is ongeveer twintig minuten korter dan het siderische jaar, de tijd die de aarde nodig heeft om terug te keren naar dezelfde plaats tussen de sterren (365.256 dagen), omdat de aardas langzaam draait — zij presedeert — en het [lentepunt](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) langs de [ecliptica](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) terugvoert (Boek 4). Een kalender moet een geheel aantal dagen passen op het [tropisch jaar](#def-b1-spherical-astronomy-tropical-year), zodat de seizoenen op dezelfde datums terugkomen.

**Propositie 1.20 (Het Gregoriaanse jaar).**

In de Gregoriaanse kalender is een jaar een schrikkeljaar van 366 dagen als zijn getal deelbaar is door 4, behalve de eeuwjaren, die alleen schrikkeljaar zijn als zij deelbaar zijn door 400. Het gemiddelde jaar is

$$
365 + \frac14 - \frac1{100} + \frac1{400} = 365.2425\text{ dagen},
$$

en het loopt met de seizoenen één dag achter in ongeveer 3300 jaar.

**Bewijs.** In 400 jaar zijn er 100 jaren die deelbaar zijn door 4; daarvan zijn er vier eeuwjaren, waarvan er drie niet deelbaar zijn door 400. Er zijn dus 97 schrikkeljaren en $400\times 365 + 97 = 146\,097$ dagen, dat wil zeggen 365.2425 dagen per jaar. Ten opzichte van een [tropisch jaar](#def-b1-spherical-astronomy-tropical-year) van 365.2422 dagen is het overschot 0.0003 dagen per jaar: één dag in $1/0.0003 \approx 3300$ jaar. ∎

**Geschiedenis — De kalenderhervorming van 1582.**

De Juliaanse kalender, van Romeinse oorsprong, voegde elk vierde jaar een schrikkeldag toe: haar jaar van 365.25 dagen is langer dan het [tropisch jaar](#def-b1-spherical-astronomy-tropical-year) met 0.0078 dagen, één dag in 128 jaar. Na verloop van tijd verschoof de datum van het [lentepunt](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) weg van 21 maart, de datum waarop de berekening van Pasen steunde. In 1582 voerde paus Gregorius XIII de kalender in die zijn naam draagt. Deze kalender schrapte de opgehoopte dagen in één keer en verving de Juliaanse regel door die van [Propositie 1.20](#prop-b1-spherical-astronomy-gregorian). Zij is intussen de internationaal aanvaarde burgerlijke kalender.

**In het veld — Een positie bepalen met de sterren.**

Vóór de satellietnavigatie bepaalden zeevaarders hun breedte- en [lengtegraad](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) met de hemel. Met een sextant mat men de [hoogte](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) van de zon om het middaguur, of van twee of drie sterren bij de schemering, en las men de tijd af op een chronometer die de tijd van de Greenwichmeridiaan bijhield. Elke [hoogte](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) geeft, samen met de [declinatie](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) van de ster en haar [uurhoek](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) te Greenwich uit een almanak, een [kleine cirkel](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) op de aarde waarop het schip ligt: de verzameling punten waar de ster op die [hoogte](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) staat. Twee of drie van zulke cirkels snijden elkaar in de positie van het schip — bolvormige trigonometrie die elke dag op zee werd opgelost. De middaghoogte van de zon alleen geeft de [breedtegraad](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) ([Propositie 1.10](#prop-b1-spherical-astronomy-culmination)); de kloktijd van het plaatselijke middaguur geeft de [lengtegraad](#def-b1-spherical-astronomy-geographic), tegen vier minuten tijd per graad.

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-spherical-astronomy/img-82c9297df0c6.jpg)

## 1.6 Oefeningen

**Oefening 1.1 ★.**

Een waarnemer bevindt zich op breedte $52{}^{\circ}$ N. Op welke [hoogte](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) staat de noordelijke [hemelpool](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere)? Welke sterren gaan er door hun [declinatie](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) nooit onder, en welke komen er nooit op?

**Oplossing van Oefening 1.1.**

De [hoogte](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) van de pool is gelijk aan de [breedtegraad](#def-b1-spherical-astronomy-geographic): $52{}^{\circ}$. Een ster gaat nooit onder als $\delta > 90{}^{\circ} - 52{}^{\circ} = 38{}^{\circ}$, en komt nooit op als $\delta < -38{}^{\circ}$.

**Oefening 1.2 ★.**

Reken een [rechte klimming](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) van $6\,\mathrm{h}$ $45\,\mathrm{min}$ om in graden. Wat is bij een plaatselijke [sterrentijd](#def-b1-spherical-astronomy-sidereal-time) van $10\,\mathrm{h}$ $0\,\mathrm{min}$ de [uurhoek](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) van een ster met die [rechte klimming](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial)? Staat de ster oost of west van de meridiaan?

**Oplossing van Oefening 1.2.**

$6.75\,\mathrm{h}\times15{}^{\circ} = 101.25{}^{\circ}$. $H = \mathrm{LST} - \alpha =
10\,\mathrm{h} - 6\,\mathrm{h}\,45\,\mathrm{min} = 3\,\mathrm{h}\,15\,\mathrm{min}$, dat is $48.75{}^{\circ}$. De [uurhoek](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) is positief: de ster staat west van de meridiaan, die zij drie en een kwart sterrenuur geleden passeerde.

**Oefening 1.3 ★.**

Bereken op breedte $40{}^{\circ}$ N de middaghoogte van de zon op de twee zonnewendes en op de equinoxen ($\varepsilon = 23.44{}^{\circ}$).

**Oplossing van Oefening 1.3.**

$h = 90{}^{\circ} - \varphi + \delta_\odot$: $73.44{}^{\circ}$ op de zomerzonnewende, $50{}^{\circ}$ op de equinoxen, $26.56{}^{\circ}$ op de winterzonnewende.

**Oefening 1.4 ★.**

Was 1900 een schrikkeljaar? Was 2000 dat? Wordt 2100 dat? Met hoeveel dagen per eeuw loopt de Juliaanse kalender achter op een [tropisch jaar](#def-b1-spherical-astronomy-tropical-year) van 365.2422 dagen, en met hoeveel de Gregoriaanse?

**Oplossing van Oefening 1.4.**

1900: deelbaar door 100 maar niet door 400, dus geen schrikkeljaar. 2000: deelbaar door 400, dus een schrikkeljaar. 2100: geen schrikkeljaar. Het Juliaanse jaar overschrijdt het [tropisch jaar](#def-b1-spherical-astronomy-tropical-year) met $365.25 - 365.2422 = 0.0078$ dagen, $0.78$ dagen per eeuw; het Gregoriaanse jaar met $0.0003$ dagen, $0.03$ dagen per eeuw.

**Oefening 1.5 ★★.**

Twee punten liggen op breedte $45{}^{\circ}$ N, op lengtegraden $0{}^{\circ}$ en $90{}^{\circ}$ O. Bereken de afstand over de [grootcirkel](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) tussen hen ($R = 6371\,\mathrm{km}$) en de afstand langs hun parallel. Welke is korter, en met hoeveel?

**Oplossing van Oefening 1.5.**

$\cos\Delta = \sin^245{}^{\circ} + \cos^245{}^{\circ}\cos90{}^{\circ} = 0.5$, dus $\Delta = 60{}^{\circ}$ en de afstand is $6371\times\pi/3 = 6672\,\mathrm{km}$. Langs de parallel, een [kleine cirkel](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) met straal $R\cos45{}^{\circ}$, is de afstand $6371\times\cos45{}^{\circ}\times\pi/2 = 7076\,\mathrm{km}$. De [grootcirkel](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) is ongeveer $404\,\mathrm{km}$ korter.

**Oefening 1.6 ★★.**

Op breedte $48{}^{\circ}$ N heeft een ster met [declinatie](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $20{}^{\circ}$ de [uurhoek](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $30{}^{\circ}$. Bereken haar [hoogte](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) en haar [azimut](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal). In welke richting moet de waarnemer kijken?

**Oplossing van Oefening 1.6.**

$\sin h = \sin48{}^{\circ}\sin20{}^{\circ} + \cos48{}^{\circ}\cos20{}^{\circ}\cos30{}^{\circ}
= 0.2542 + 0.5446 = 0.7987$, $h = 53.0{}^{\circ}$. $\cos\mathrm{A} = (\sin20{}^{\circ} - \sin48{}^{\circ}\sin53.0{}^{\circ})/(\cos48{}^{\circ}
\cos53.0{}^{\circ}) = (0.3420 - 0.5935)/0.4027 = -0.6246$, $\arccos = 128.7{}^{\circ}$; de ster staat west van de meridiaan ($H > 0$), dus $\mathrm{A} = 360{}^{\circ} -
128.7{}^{\circ} = 231.3{}^{\circ}$: naar het zuidwesten, $53{}^{\circ}$ boven de horizon.

**Oefening 1.7 ★★.**

Bereken de lengte van de dag op breedte $60{}^{\circ}$ N op de zomerzonnewende van juni, waarbij de zon als een punt op een geometrische horizon wordt beschouwd. Controleer het antwoord met de figuur van de dagslengte.

**Oplossing van Oefening 1.7.**

$\cos H_0 = -\tan60{}^{\circ}\tan23.44{}^{\circ} = -1.7321\times0.4335 = -0.7510$, $H_0 = 138.67{}^{\circ}$, daglengte $2\times138.67/15 = 18.49\,\mathrm{h}$, ongeveer $18\,\mathrm{h}$ $29\,\mathrm{min}$, zoals de kromme voor $60{}^{\circ}$ N op de zomerzonnewende laat zien.

**Oefening 1.8 ★★.**

Een ster kruist vanavond om 22:00 uur plaatselijke gemiddelde tijd de meridiaan. Wanneer kruist zij de meridiaan over dertig dagen? Na hoeveel dagen kruist zij de meridiaan op het middaguur, onzichtbaar in het daglicht?

**Oplossing van Oefening 1.8.**

De doorgang schuift elke dag $3.93\,\mathrm{min}$ vroeger, dus in 30 dagen $30\times3.93 =
118\,\mathrm{min}$: de ster kruist om ongeveer 20:02 uur. Om op het middaguur te kruisen moet zij $10\,\mathrm{h}$ = $600\,\mathrm{min}$ vroeger verschuiven, wat $600/3.93 \approx 153$ dagen kost.

**Oefening 1.9 ★★.**

Bereken de [insolatie](#def-b1-spherical-astronomy-insolation) aan de bovenkant van de atmosfeer om het middaguur op breedte $45{}^{\circ}$ N (a) op een equinox, met $r = a$; (b) op de zomerzonnewende van juni, met voor $r$ de afstand in het aphelium. Gegevens: $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $a = 149.598 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$, aphelium $152.100 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$.

**Oplossing van Oefening 1.9.**

(a) Op een equinox is de middaghoogte $45{}^{\circ}$: $I = 1361\times\sin45{}^{\circ}
= 962\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) Op de zomerzonnewende van juni is $h = 68.44{}^{\circ}$ en $(a/r)^2 = (149.598/152.100)^2 = 0.9674$: $I = 1361\times0.9674\times\sin68.44{}^{\circ} = 1224\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. De hogere zon compenseert ruimschoots de grotere afstand.

**Oefening 1.10 ★★★.**

Bereken met [Propositie 1.17](#prop-b1-spherical-astronomy-sun-declination) de [declinatie](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) en de [rechte klimming](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) van de zon wanneer haar ecliptische lengte $60{}^{\circ}$ is. Met hoeveel graden blijft de [rechte klimming](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) achter op de lengte? Leg met dit resultaat uit waarom de helling van de [ecliptica](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) bijdraagt aan de [tijdsvereffening](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time).

**Oplossing van Oefening 1.10.**

$\sin\delta_\odot = \sin23.44{}^{\circ}\sin60{}^{\circ} = 0.3445$, $\delta_\odot = 20.15{}^{\circ}$. $\tan\alpha_\odot = \cos23.44{}^{\circ}\tan60{}^{\circ}
= 1.5890$, $\alpha_\odot = 57.82{}^{\circ}$ (zelfde kwadrant als $\lambda_\odot$). De [rechte klimming](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) blijft achter met $2.18{}^{\circ}$, dat is $2.18\times4 \approx
8.7\,\mathrm{min}$ tijd. Een zon die gelijkmatig langs de [ecliptica](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) beweegt, zou toch ongelijkmatig bewegen in [rechte klimming](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial), de grootheid die de [uurhoek](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) en dus de zonnewijzer bepaalt: achter de gemiddelde zon tussen een equinox en de volgende zonnewende, voor haar tussen een zonnewende en de volgende equinox. Dit is de schuinte-term van de [tijdsvereffening](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time).

**Oefening 1.11 ★★★.**

Toon aan dat op de zomerzonnewende de zon opkomt op het [azimut](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $\mathrm{A}_0$ met $\cos\mathrm{A}_0 = \sin\varepsilon/\cos\varphi$. Op welke breedte komt zij precies in het noordoosten op? Wat gebeurt er met de formule op breedten boven $90{}^{\circ} - \varepsilon$?

**Oplossing van Oefening 1.11.**

Bij de opkomst geldt $h = 0$, dus [Propositie 1.9](#prop-b1-spherical-astronomy-transform) geeft $\sin\delta = \cos\varphi\cos\mathrm{A}_0$; op de zomerzonnewende geldt $\delta = \varepsilon$, dus $\cos\mathrm{A}_0 = \sin\varepsilon/\cos\varphi$. Voor $\mathrm{A}_0 = 45{}^{\circ}$: $\cos\varphi = \sin23.44{}^{\circ}/\cos45{}^{\circ} =
0.5626$, $\varphi = 55.8{}^{\circ}$ N. Boven $90{}^{\circ} - \varepsilon =
66.56{}^{\circ}$ is $\sin\varepsilon/\cos\varphi > 1$: er is dan geen [azimut](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) van opkomst, omdat de zon die dag niet ondergaat (middernachtzon).

**Oefening 1.12 ★★★.**

Een bolvormige tweehoek is het deel van een bol tussen twee halve [grootcirkels](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) die twee tegenoverliggende punten verbinden, onder de hoek $\theta$ ten opzichte van elkaar. (a) Toon aan dat haar oppervlakte $2\theta R^2$ is. (b) Elke zijde van een [sferische driehoek](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) $ABC$, tot een volledige [grootcirkel](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) doorgetrokken, geeft met de andere twee drie paren van tegenoverliggende tweehoeken met hoeken $A$, $B$, $C$ die de bol bedekken; de driehoek en haar tegenoverliggende worden drie keer bedekt. Leid hieruit de stelling van Girard af: de oppervlakte van de driehoek is $R^2(A + B + C - \pi)$. (c) Pas die toe op de driehoek met drie rechte hoeken en op de driehoek uit dit hoofdstuk (hoeken $89.9{}^{\circ}$, $64.9{}^{\circ}$, $67.4{}^{\circ}$).

**Oplossing van Oefening 1.12.**

(a) Een tweehoek met hoek $\theta$ is het deel $\theta/2\pi$ van de bol: $\frac{\theta}{2\pi}\times4\pi R^2 = 2\theta R^2$. (b) De drie paren tweehoeken hebben samen oppervlakte $2\times(2A + 2B + 2C)R^2$; zij bedekken de bol één keer, behalve de driehoek en haar tegenoverliggende, die elk drie keer worden bedekt, dus dubbel zoveel als nodig: $4(A + B + C)R^2 = 4\pi R^2 + 4S$, waarin $S$ de oppervlakte van de driehoek is. Daaruit volgt $S = R^2(A + B + C - \pi)$. (c) Drie rechte hoeken: $S = R^2(3\pi/2 - \pi) = \pi R^2/2$, een achtste van de bol (een octant). De driehoek uit de figuur: $89.9 + 64.9 + 67.4 - 180 = 42.2{}^{\circ}$, dat is $0.736$ radialen: $S = 0.736\,R^2$, $5.9\,\%$ van de bol.

## 1.7 Probleem: Een nacht op een bergobservatorium

**Probleem 1.1.**

Weekendprobleem — waar het Paranal-observatorium staat, wat de hemel er toont en hoe lang de langste nacht duurt

Het Paranal-observatorium staat in de Atacamawoestijn op breedte $24.63{}^{\circ}$ Z, [lengtegraad](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $70.40{}^{\circ}$ W. Het Royal Observatory te Greenwich, waarvandaan de lengtegraden worden geteld, ligt op $51.48{}^{\circ}$ N, $0.00{}^{\circ}$. Twee heldere sterren van de zuidelijke hemel hebben de coördinaten

| ster | [rechte klimming](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) | [declinatie](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) |
| --- | --- | --- |
| Sirius | $6\,\mathrm{h}$ $45\,\mathrm{min}$ $9\,\mathrm{s}$ | $-16.72{}^{\circ}$ |
| Canopus | $6\,\mathrm{h}$ $23\,\mathrm{min}$ $57\,\mathrm{s}$ | $-52.70{}^{\circ}$ |

Neem $R = 6371\,\mathrm{km}$, $\varepsilon = 23.44{}^{\circ}$, een [tropisch jaar](#def-b1-spherical-astronomy-tropical-year) van 365.2422 dagen, en beschouw de zon als een punt op een geometrische horizon.

**Deel I — Paranal op de bol.**

1. Geef de poolafstanden van Paranal en Greenwich, en hun verschil in [lengtegraad](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) .
2. Schrijf de cosinusregel op voor de driehoek noordpool–Paranal–Greenwich en bereken de cosinus van de hoekafstand $\Delta$ tussen de twee observatoria.
3. Leid hieruit $\Delta$ in graden af en de afstand over de [grootcirkel](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) in kilometers.
4. Bereken de beginkoers vanaf Paranal naar Greenwich ( [Methode 1.4](#met-b1-spherical-astronomy-great-circle) ).
5. Controleer de koers met de sinusregel.
6. Zou een vliegtuig dat deze koers de hele weg aanhoudt Greenwich bereiken? Leg uit.

**Deel II — De hemel van Paranal.**

7. Op welke [hoogte](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) staat de zuidelijke [hemelpool](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) boven de zuidelijke horizon van Paranal?
8. Op welke [hoogte](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) kruist Sirius de meridiaan, en aan welke kant van het [zenit](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) ?
9. Beneden welke [declinatie](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) is een ster op Paranal circumpolair? Is Canopus circumpolair?
10. Welke hoogste [hoogte](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) bereikt Canopus?
11. Bereken de [uurhoek](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) waarbij Sirius opkomt, en hoe lang zij boven de horizon blijft, in sterrenuren.
12. Op welk [azimut](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) komt Sirius op?

**Deel III — Klokken.**

13. Wat is de plaatselijke [sterrentijd](#def-b1-spherical-astronomy-sidereal-time) wanneer Sirius de meridiaan kruist?
14. Bereken de lengte van de sterrendag, en met hoeveel minuten de meridiaanpassage van een ster elke nacht vroeger komt.
15. Neem de plaatselijke [sterrentijd](#def-b1-spherical-astronomy-sidereal-time) om middernacht van de plaatselijke gemiddelde tijd op $12\,\mathrm{h}$ bij de lentenachtevening van maart (20 maart 2026), wanneer de zon nabij het [lentepunt](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) staat; zij neemt dan dagelijks $24/365.2422$ uur toe. Hoeveel dagen na de equinox kruist Sirius de meridiaan om middernacht van de plaatselijke gemiddelde tijd? Op welke datum?
16. Hoeveel verschilt de plaatselijke gemiddelde tijd van Paranal in die nacht van de tijd in Greenwich?
17. De [tijdsvereffening](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time) is dan ongeveer $-3\,\mathrm{min}$ . Welke tijd toont een zonnewijzer op het observatorium ( [ware zonnetijd](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time) ) wanneer Sirius de meridiaan kruist?
18. Hoeveel eerder kruist zij de meridiaan een week later?

**Deel IV — De langste nacht.**

19. Wat is de [declinatie](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) van de zon bij elke zonnewende?
20. Bereken de middaghoogte van de zon op Paranal bij de zonnewendes van juni en december. Aan welke kant van het [zenit](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) staat zij in december?
21. Bij de winterzonnewende van december is de afstand tussen zon en aarde 0.9837 keer de gemiddelde afstand. Bereken de [insolatie](#def-b1-spherical-astronomy-insolation) om het middaguur aan de bovenkant van de atmosfeer boven Paranal ( $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ ).
22. Bij welke zonnewende is de nacht op Paranal het langst? Bereken de [uurhoek](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) van de zonsondergang op die datum.
23. Op welk [azimut](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) komt de zon op die datum op?
24. Leid hieruit de lengte af van de langste nacht van het jaar op Paranal, in uren en minuten.

**Oplossing van Probleem 1.1.**

**1.** Poolafstanden $90{}^{\circ} - (-24.63{}^{\circ}) = 114.63{}^{\circ}$ en $90{}^{\circ} - 51.48{}^{\circ} = 38.52{}^{\circ}$; lengteverschil $70.40{}^{\circ}$.

**2.** $\cos\Delta = \cos114.63{}^{\circ}\cos38.52{}^{\circ} +
\sin114.63{}^{\circ}\sin38.52{}^{\circ}\cos70.40{}^{\circ} = -0.3260 + 0.1899 =
-0.1362$.

**3.** $\Delta = 97.83{}^{\circ}$; afstand $6371\times1.7074 =
10\,878\,\mathrm{km}$, ongeveer $10\,900\,\mathrm{km}$.

**4.**

$$
\cos\mathrm{Az} = \frac{\cos38.52{}^{\circ} - \cos114.63{}^{\circ}\cos97.83{}^{\circ}}
  {\sin114.63{}^{\circ}\sin97.83{}^{\circ}} = \frac{0.7823 - 0.0568}{0.9006} = 0.8056 ,
$$

$\mathrm{Az} = 36.3{}^{\circ}$, naar het noordoosten.

**5.** $\sin\mathrm{Az} = \sin70.40{}^{\circ}\sin38.52{}^{\circ}/\sin97.83{}^{\circ}
= 0.5922$, wat $36.3{}^{\circ}$ of $143.7{}^{\circ}$ oplevert; de positieve cosinus van vraag 4 kiest $36.3{}^{\circ}$.

**6.** Nee. Een constante koers snijdt elke meridiaan onder dezelfde hoek en spiraalt naar een pool; de koers langs de [grootcirkel](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) verandert voortdurend (zij is alleen aan het begin $36.3{}^{\circ}$). Het vliegtuig zou een langere weg afleggen en elders aankomen, tenzij het zijn koers corrigeert.

**7.** De [hoogte](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) van de zuidelijke [hemelpool](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) is gelijk aan de absolute waarde van de [breedtegraad](#def-b1-spherical-astronomy-geographic): $24.63{}^{\circ}$.

**8.** $h = 90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} - (-16.72{}^{\circ})| = 82.09{}^{\circ}$; $\delta > \varphi$, dus Sirius gaat $7.91{}^{\circ}$ ten noorden van het [zenit](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) door.

**9.** Een ster gaat nooit onder als $\delta < -(90{}^{\circ} - 24.63{}^{\circ}) =
-65.37{}^{\circ}$. Canopus, op $-52.70{}^{\circ}$, is niet circumpolair: zij gaat onder.

**10.** $90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} + 52.70{}^{\circ}| = 61.93{}^{\circ}$, ten zuiden van het [zenit](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere).

**11.** $\cos H_0 = -\tan(-24.63{}^{\circ})\tan(-16.72{}^{\circ}) =
-(0.4584)(0.3004) = -0.1377$; $H_0 = 97.92{}^{\circ}$. Sirius blijft $2\times97.92/15 = 13.06\,\mathrm{h}$ [sterrentijd](#def-b1-spherical-astronomy-sidereal-time) boven de horizon, ongeveer $13\,\mathrm{h}$.

**12.** $\cos\mathrm{A}_0 = \sin(-16.72{}^{\circ})/\cos24.63{}^{\circ} =
-0.3165$: Sirius komt op bij het [azimut](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $108.5{}^{\circ}$, ten zuiden van het oosten.

**13.** Wanneer $H = 0$, is $\mathrm{LST} = \alpha = 6\,\mathrm{h}~45\,\mathrm{min}~9\,\mathrm{s}$.

**14.** $86\,400\,\mathrm{s}\times365.2422/366.2422 = 86\,164.09\,\mathrm{s} =
23\,\mathrm{h}~56\,\mathrm{min}~4\,\mathrm{s}$; de passage schuift elke nacht $235.9\,\mathrm{s}$, dus $3\,\mathrm{min}$ $56\,\mathrm{s}$, vroeger.

**15.** Nodig is $12 + n\times24/365.2422 = 6.7525 + 24$, dus $n = 18.7525/0.065710 = 285.4$ dagen. 285 dagen na 20 maart is 30 december: Sirius kruist de meridiaan om middernacht van de plaatselijke gemiddelde tijd in de nacht van 30 op 31 december 2026.

**16.** Paranal ligt $70.40{}^{\circ}$ west van Greenwich: de plaatselijke gemiddelde tijd loopt $70.40/15 = 4.693\,\mathrm{h}$ achter, $4\,\mathrm{h}$ $41.6\,\mathrm{min}$.

**17.** [Ware zonnetijd](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time) = [gemiddelde zonnetijd](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time) + [tijdsvereffening](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time) = $0\,\mathrm{h} - 3\,\mathrm{min}$: de zonnewijzer wijst ongeveer 23:57.

**18.** $7\times3.93\,\mathrm{min} \approx 27.5\,\mathrm{min}$ eerder.

**19.** $+23.44{}^{\circ}$ op de zomerzonnewende van juni, $-23.44{}^{\circ}$ op de winterzonnewende van december.

**20.** Juni: $90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} - 23.44{}^{\circ}| = 41.93{}^{\circ}$. December: $90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} + 23.44{}^{\circ}| = 88.81{}^{\circ}$; omdat $\delta_\odot = -23.44{}^{\circ} > \varphi$, gaat de zon $1.19{}^{\circ}$ ten noorden van het [zenit](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) door.

**21.** $I = 1361\times(1/0.9837)^2\times\sin88.81{}^{\circ} = 1361\times
1.0334\times0.9998 = 1406\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

**22.** In juni, de zuidelijke winter. $\cos H_0 = -\tan(-24.63{}^{\circ})
\tan23.44{}^{\circ} = 0.4584\times0.4335 = 0.1988$: de zon gaat onder bij de [uurhoek](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $H_0 = 78.53{}^{\circ}$.

**23.** $\cos\mathrm{A}_0 = \sin23.44{}^{\circ}/\cos24.63{}^{\circ} = 0.4376$: $\mathrm{A}_0 = 64.0{}^{\circ}$, ten noorden van het oosten.

**24.** De daglengte is $2\times78.53/15 = 10.47\,\mathrm{h}$; de langste nacht van het jaar op Paranal duurt $24 - 10.47 = 13.53\,\mathrm{h}$, dat is **$13\,\mathrm{h}$ $32\,\mathrm{min}$**.