---
title: "Telescopen, detectoren en fotometrie"
book: "Universitaire aard- en ruimtewetenschappen — jaar 1"
subject: earth
language: nl
chapter: 2
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/2-telescopen-detectoren-en-fotometrie
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# Hoofdstuk 2 — Telescopen, detectoren en fotometrie

Alles wat de sterrenkunde over de sterren weet, afgezien van een paar meteorieten en de monsters die van de maan en van planetoïden zijn teruggebracht, heeft zij uit het licht geleerd dat die sterren uitzenden. Dat licht gaat door de atmosfeer van de aarde, die hele golflengtegebieden absorbeert en de rest vervaagt; het wordt opgevangen door een spiegel wiens grootte beperkt hoe zwak en hoe fijn de details kunnen zijn; het wordt geteld door een detector die fotonen in elektronen omzet, en elke telling draagt een statistische onzekerheid. Voordat een helderheid een [lichtkracht](#def-b1-observing-the-sky-flux) of een afstand wordt, moet elk van deze stappen begrepen en gecorrigeerd zijn. Dit hoofdstuk volgt het licht van de ster tot het getal: de vensters van de atmosfeer en de extinctiewet, de telescoop en de [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing), de detector en zijn ruis, en daarna de magnitudes, parallaxen en kleuren die gemeten flux omzetten in eigenschappen van sterren. Dezelfde atmosfeer, van onderaf gezien, is het onderwerp van de klimaathoofdstukken ([Hoofdstuk 27](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/27-straling-en-warmtetransport#ch-b1-radiation-heat-transport)); dezelfde fotometrie, toegepast op planeten, opent het volgende hoofdstuk ([Hoofdstuk 3](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/3-vergelijkende-planetologie#ch-b1-comparative-planetology)).

**Wat je al weet.**

Het objectief van een telescoop, lens of spiegel, vangt licht op over zijn opening en vormt een beeld in zijn brandpunt; diffractie door een opening met diameter $D$ beperkt de kleinste hoek die hij nog scheidt tot ongeveer $1.22\,\lambda/D$, het criterium van Rayleigh (het eerste jaar van de natuurkundeboeken). Een tralie spreidt licht naar golflengte (tweede jaar), en een bron die langs de kijklijn beweegt verschuift haar spectraallijnen door het Doppler-effect (klas 12). Een lichaam in thermisch evenwicht zendt het zwarte-lichaamspectrum uit, waarvan de piek de wet van Wien volgt (tweede jaar). In de scheikunde groeit de absorbantie van een oplossing evenredig met de weglengte.

## 2.1 De vensters van de atmosfeer

De atmosfeer is voor sommige golflengten doorzichtig en voor andere ondoorzichtig. Straling wordt vooral geabsorbeerd door waterdamp, koolstofdioxide en ozon, en bij de kortste golflengten door de atomen en moleculen van de hoge atmosfeer zelf.

**Definitie 2.1 (Atmosferisch venster).**

Een *atmosferisch venster* is een golflengtegebied waarin de atmosfeer het meeste van de straling doorlaat die haar bovenkant bereikt tot aan de grond. Het *optische venster* loopt van het nabije ultraviolet tot het nabije infrarood; het *radiovenster* van golflengten van ongeveer een centimeter tot ongeveer tien meter.

De figuur hieronder schetst de ondoorzichtigheid van de atmosfeer van gammastraling tot lange radiogolven. Gammastraling, röntgenstraling en ultraviolet beneden ongeveer $0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ bereiken de grond nooit: men waarneemt ze vanuit de ruimte. Zichtbaar licht gaat erdoor, met enige vervaging. Het meeste infrarood wordt geabsorbeerd door waterdamp en koolstofdioxide, behalve in smalle vensters die grondobservatoria op hoge, droge plaatsen benutten; de [fotometrische banden](#def-b1-observing-the-sky-magnitude) van het nabije infrarood liggen erin, bij $1.24\,\text{µ}\mathrm{m}$, $1.65\,\text{µ}\mathrm{m}$ en $2.16\,\text{µ}\mathrm{m}$. Golflengten van ongeveer $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ tot een millimeter worden weer geblokkeerd; radiogolven van enkele centimeters tot ongeveer tien meter gaan erdoor, zelfs door wolken; langere worden door de ionosfeer teruggekaatst.

![De ondoorzichtigheid van de atmosfeer voor straling die uit de ruimte komt, van 0.1\, nm tot 1\, km (logaritmische schaal). Schematisch, naar een NASA-figuur in het publieke domein: alleen de vensters doen ertoe, niet de precieze vorm van elke absorptieband. J, H en K markeren de fotometrische banden van het nabije infrarood.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-observing-the-sky/fig-30203860522a.svg)

*De ondoorzichtigheid van de atmosfeer voor straling die uit de ruimte komt, van $0.1\,\mathrm{nm}$ tot $1\,\mathrm{km}$ (logaritmische schaal). Schematisch, naar een NASA-figuur in het publieke domein: alleen de vensters doen ertoe, niet de precieze vorm van elke absorptieband. J, H en K markeren de [fotometrische banden](#def-b1-observing-the-sky-magnitude) van het nabije infrarood.*

### Extinctie

Ook binnen het optische venster verwijdert de atmosfeer een deel van het licht, door absorptie en door verstrooiing aan moleculen en aerosolen. Een dunne laag met dikte $\mathrm ds$ langs de straal verwijdert een deel van de intensiteit dat evenredig is met $\mathrm ds$: $\mathrm dI = -\kappa I\,\mathrm ds$, waarin de [extinctiecoëfficiënt](#def-b1-observing-the-sky-extinction) $\kappa$ (per meter) afhangt van de golflengte en van de samenstelling van de lucht op die hoogte. Dit is de wet van de absorbantie van een oplossing, toegepast op een luchtkolom.

**Propositie 2.2 (De wet van Bouguer).**

Langs een straal door een absorberend medium neemt de intensiteit af als

$$
I = I_0\,e^{-\tau}, \qquad \tau = \int_0^s \kappa\,\mathrm ds' ,
$$

waarin $I_0$ de intensiteit is die het medium binnenkomt en $\tau$, de optische diepte van het pad, een zuiver getal is. Voor een vlakparallelle atmosfeer wordt een ster op zenithoek $z$ (de hoek tussen haar richting en de verticaal) gezien door de optische diepte $\tau(z) = \tau_0\sec z$, waarin $\tau_0$ de optische diepte in het [zenit](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/1-sferische-astronomie#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) is.

**Bewijs.** De vergelijking $\mathrm dI/I = -\kappa\,\mathrm ds$ splitst zich; integreren vanaf de bovenkant van de atmosfeer ($I = I_0$, $s = 0$) tot de waarnemer geeft $\ln(I/I_0) = -\int_0^s\kappa\,\mathrm ds'$. In een vlakparallelle atmosfeer hangt $\kappa$ alleen van de hoogte $y$ af, en een straal die onder $z$ ten opzichte van de verticaal loopt, legt $\mathrm ds = \mathrm dy/\cos z$ af om $\mathrm dy$ te stijgen. Dus $\tau(z) = \int \kappa(y)\,\mathrm dy/\cos z = \tau_0\sec z$. ∎

**Definitie 2.3 (Luchtmassa, extinctiecoëfficiënt).**

De *luchtmassa* $X$ van een waarneming is de optische diepte van de kijklijn gedeeld door de optische diepte in het [zenit](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/1-sferische-astronomie#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere): $X = \tau(z)/\tau_0$. Zij is 1 in het [zenit](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/1-sferische-astronomie#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) en, voor een vlakparallelle atmosfeer, $X = \sec z$. De *extinctiecoëfficiënt* $k$ in een gegeven band is de verzwakking, in magnitudes, die door één luchtmassa wordt veroorzaakt; zo wordt een ster met magnitude $m_0$ boven de atmosfeer waargenomen als

$$
m = m_0 + kX .
$$

De magnitudes worden gedefinieerd in [Sectie 2.4](#sec-2-4); hier volstaat dat een verzwakking met de factor $e^{-\tau}$ $2.5\log_{10}e\;\tau = 1.086\,\tau$ magnitudes toevoegt, zodat $k = 1.086\,\tau_0$. De vlakparallelle [luchtmassa](#def-b1-observing-the-sky-extinction) is uitstekend tot een hoogte van ongeveer $30{}^{\circ}$ ($X = 2$) en faalt nabij de horizon, waar $\sec z$ onbeperkt groeit terwijl het werkelijke pad door een gekromde atmosfeer eindig blijft; waarnemers vermijden daarom lage hoogten, ook vanwege de vervaging die met het pad toeneemt.

**Methode 2.4 (De extinctielijn).**

Om de magnitude $m_0$ te vinden die een ster boven de atmosfeer zou hebben:

1. meet de magnitude $m$ van de ster, of van een standaardster, bij verschillende [luchtmassa](#def-b1-observing-the-sky-extinction) ’s gedurende de nacht, terwijl zij opkomt of ondergaat;
2. bereken elke [luchtmassa](#def-b1-observing-the-sky-extinction) uit de zenithoek, $X = \sec z$ ;
3. zet $m$ uit tegen $X$ en pas met de kleinste kwadraten een rechte lijn door de punten;
4. de helling is de [extinctiecoëfficiënt](#def-b1-observing-the-sky-extinction) $k$ van die nacht in die band; het snijpunt bij $X = 0$ is $m_0$ .

Dezelfde $k$ corrigeert daarna elke andere ster die die nacht in dezelfde band is waargenomen: $m_0 = m - kX$.

**Voorbeeld 2.5.**

Op een nacht werd een ster zes keer gemeten in de V-band:

| $X$ | 1.05 | 1.18 | 1.36 | 1.62 | 1.95 | 2.31 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $m$ | 8.024 | 8.031 | 8.072 | 8.104 | 8.171 | 8.216 |

De kleinste-kwadratenlijn, in de figuur hieronder getekend, heeft helling $k = 0.160\,\mathrm{mag}$ per [luchtmassa](#def-b1-observing-the-sky-extinction) en snijpunt $m_0 = 7.851$. De punten verspreiden zich eromheen met $0.006$ magnitudes, de precisie van een goede nachtelijke fotometrie. In het [zenit](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/1-sferische-astronomie#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) wordt de ster met $0.16$ magnitudes verzwakt, een verlies van $1 - 10^{-0.4\times0.160} = 14\,\%$ van haar licht.

![Een extinctielijn: de magnitude van één ster bij zes luchtmassa’s (puntjes) en de kleinste-kwadratenlijn, geëxtrapoleerd tot X = 0, de magnitude boven de atmosfeer. Magnitudes nemen naar beneden toe: een zwakkere ster ligt lager.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-observing-the-sky/fig-e8106c299bc4.svg)

*Een extinctielijn: de magnitude van één ster bij zes [luchtmassa](#def-b1-observing-the-sky-extinction)’s (puntjes) en de kleinste-kwadratenlijn, geëxtrapoleerd tot $X = 0$, de magnitude boven de atmosfeer. Magnitudes nemen naar beneden toe: een zwakkere ster ligt lager.*

### Turbulentie in de atmosfeer

De lucht boven een telescoop is nooit stil. Cellen lucht met iets verschillende temperaturen, en dus met iets verschillende brekingsindices, drijven over de bundel en buigen die over kleine willekeurige hoeken, en dat verandert vele malen per seconde. Het oog ziet een ster fonkelen; een lange belichting legt een vervaagde vlek vast die veel groter is dan het diffractiepatroon van de telescoop.

**Definitie 2.6 (Atmosferische turbulentie).**

De *seeing* op een plaats is de hoekdiameter van het beeld van een puntbron, vervaagd door atmosferische turbulentie bij een lange belichting, gemeten als de volle breedte op halve hoogte van het beeld, in boogseconden.

De [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) verandert van nacht tot nacht en van uur tot uur. Plaatsen worden erop gekozen: op de top van Maunakea, op $4204\,\mathrm{m}$, is de mediane [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) van de vrije atmosfeer ongeveer $0.40{}^{\prime\prime}$, van ongeveer $0.45{}^{\prime\prime}$ in de winter tot $0.35{}^{\prime\prime}$ in de zomer, met de beste tien procent van de nachten beneden ongeveer $0.25{}^{\prime\prime}$; dezelfde plaats heeft een mediaan van slechts $0.9\,\mathrm{mm}$ neerslagbaar waterdamp erboven, wat haar infraroodvensters opent.

## 2.2 Telescopen en scheidend vermogen

Een telescoop doet twee dingen: hij vangt licht op over het oppervlak van zijn objectief, en hij vormt een beeld waarin details worden gescheiden. Het opvangoppervlak groeit als $D^2$: een spiegel die twee keer zo breed is, vangt in dezelfde tijd vier keer zoveel fotonen op en bereikt sterren die vier keer zo zwak zijn. Het scheidend vermogen wordt door diffractie begrensd tot ongeveer $1.22\,\lambda/D$, en door de [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing).

**Voorbeeld 2.7.**

De Canada–France–Hawaii-telescoop op Maunakea heeft een opening van $3.58\,\mathrm{m}$. Bij $550\,\mathrm{nm}$ is haar diffractiegrens

$$
1.22\times\frac{550 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}}{3.58\,\mathrm{m}} = 1.87 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}
  = 0.039{}^{\prime\prime},
$$

ongeveer tien keer fijner dan de mediane [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) van $0.40{}^{\prime\prime}$ op dezelfde plaats. De twee grenzen zijn gelijk voor een spiegel met diameter $D = 1.22\lambda/\theta =
1.22\times550 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}/(0.40/206\,265) = 0.35\,\mathrm{m}$: elke grondtelescoop die breder is dan ongeveer $35\,\mathrm{cm}$ wordt bij zichtbaar licht door de [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) begrensd, niet door haar eigen optica.

Een grote grondtelescoop wint dus opvangoppervlak, niet scherpte, tenzij hij de turbulentie corrigeert. *Adaptieve optica* doet dat: een sensor meet vele malen per seconde hoe het golffront van een heldere ster (of van een kunstmatige ster die door een laser in de hoge atmosfeer wordt opgewekt) vervormd is, en een dunne spiegel, door veel kleine stellers gebogen, heft de vervorming op. De correctie werkt het best in het infrarood, waar de turbulentie trager en zwakker is, en over een klein veld rond de geleidester. In de ruimte is er helemaal geen [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing).

## 2.3 Detectoren

Het oog integreert licht gedurende een fractie van een seconde en reageert op een klein deel van de fotonen die erin vallen. Fotografische platen integreerden uren lang, maar registreerden slechts een klein deel van het licht. De moderne sterrenkunde gebruikt fotondetectoren van halfgeleiders, waarin elk geabsorbeerd foton met genoeg energie een elektron vrijmaakt.

**Definitie 2.8 (Kwantumrendement, signaal-ruisverhouding).**

Het *kwantumrendement* $\eta$ van een detector bij een gegeven golflengte is de fractie van de inkomende fotonen die hij registreert, als fotoelektronen: $\eta = N_\mathrm{e}/N_\gamma$. De *signaal-ruisverhouding* van een meting is het gemeten signaal gedeeld door zijn standaardafwijking, de typische grootte van zijn toevallige fout.

De *ladingsgekoppelde inrichting* (CCD) is de standaarddetector van het optische venster. Het is een dunne plak silicium, verdeeld in een raster van pixels, elk een potentiaalput die de elektronen opslaat die tijdens de belichting door de daarin geabsorbeerde fotonen zijn vrijgemaakt. Aan het eind van de belichting schuiven spanningen die na elkaar op de elektroden worden gezet de ladingen van pixel tot pixel, rij na rij, naar één versterker die ze één voor één meet; het beeld is de tabel van de tellingen. Een CCD registreert een groot deel van de invallende fotonen over het grootste deel van het zichtbare licht, zijn respons is evenredig met het ontvangen licht tot een maximale lading per pixel (zijn *volle put*), en hij kan uren integreren. Infraroodmatrices werken volgens hetzelfde principe met andere halfgeleiders, pixel voor pixel uitgelezen.

Fotonen komen willekeurig aan. Als een bron gemiddeld $N$ fotoelektronen tijdens een belichting levert, fluctueert de werkelijk geregistreerde telling van de ene belichting tot de volgende met de standaardafwijking $\sqrt N$ (Poisson-statistiek, die uit de kansrekening wordt overgenomen: de tellingen van zeldzame onafhankelijke gebeurtenissen).

**Propositie 2.9 (Fotonruis).**

Wanneer het fotonruis van de bron alleen overheerst, wordt een bron die $R$ fotoelektronen per seconde levert, in een tijd $t$ gemeten met de [signaal-ruisverhouding](#def-b1-observing-the-sky-detector)

$$
\mathrm{SNR} = \frac{Rt}{\sqrt{Rt}} = \sqrt{Rt} ;
$$

zij groeit met de wortel uit de belichtingstijd, en met de diameter van de telescoop (omdat $R \propto D^2$). De fout op de magnitude is dan $\sigma_m \approx 1.086/\mathrm{SNR}$.

**Bewijs.** Het signaal is $N = Rt$ en de standaardafwijking $\sqrt N$. Voor de magnitude geldt $m = -2.5\log_{10}N + \text{constante}$, dus een kleine fout $\sigma_N$ geeft $\sigma_m = 2.5\log_{10}e\;\sigma_N/N = 1.086/\mathrm{SNR}$. ∎

Om een magnitude tot op $0.01$ te meten, is een SNR van ongeveer 109 nodig, dat wil zeggen ongeveer $12\,000$ fotoelektronen. Bij zwakke bronnen spelen twee andere termen mee. De hemel zelf gloeit, en elke pixel van het beeld van de ster verzamelt ook hemelfotonen, met een snelheid $B$; en de versterker voegt aan elke uitgelezen pixel een uitleesruis $\sigma_r$ toe. De volledige uitdrukking,

$$
\mathrm{SNR} = \frac{Rt}{\sqrt{Rt + Bt + n\sigma_r^2}}
$$

over de $n$ pixels van het beeld, wordt $\sqrt{Rt}$ voor een heldere ster en $R\sqrt t/\sqrt B$ voor een bron die zwakker is dan de hemel. Omdat $B$ groeit met de oppervlakte van de seeingschijf, loont goede [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) dubbel: een scherper beeld scheidt meer en verzamelt minder hemellicht ([Oefening 2.11](#exo-b1-observing-the-sky-11)).

**In het veld — Een nacht bij de telescoop.**

Fotometrie gebeurt met kalibraties evenzeer als met sterren. Voor de nacht neemt een waarnemer op een professioneel observatorium *bias*-opnamen (opnamen van nul seconden, die de elektronische offset van elke pixel vastleggen) en *flatfields* (beelden van het gelijkmatig verlichte binnenste van de koepel of van de schemering, die in kaart brengen hoe de gevoeligheid van pixel tot pixel en over het veld varieert); de wetenschappelijke beelden worden gecorrigeerd door de bias af te trekken en door de flat te delen. Gedurende de nacht worden standaardsterren met bekende magnitudes bij verschillende [luchtmassa](#def-b1-observing-the-sky-extinction)’s waargenomen, om de extinctielijn en het nulpunt vast te leggen dat tellingen in magnitudes omzet. Een nacht heet *fotometrisch* wanneer de extinctie stabiel genoeg blijft om deze correctie te laten gelden; op de top van Maunakea zijn $55\,\%$ van de nachten fotometrisch.

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-observing-the-sky/img-e239fdb66796.jpg)

## 2.4 Flux en magnitudes

**Definitie 2.10 (Flux, lichtkracht).**

De *flux* $F$ die van een bron wordt ontvangen, is het vermogen van haar straling dat een eenheidsoppervlak loodrecht op haar richting doorkruist, in watt per vierkante meter; beperkt tot een golflengteband is het de flux in die band. De *lichtkracht* $L$ van de bron is het totale vermogen dat zij uitstraalt, in watt.

**Propositie 2.11 (Kwadratenwet van de afstand).**

Een bron met [lichtkracht](#def-b1-observing-the-sky-flux) $L$ die in alle richtingen gelijk straalt, geeft, gezien op afstand $d$ door de lege ruimte, de flux

$$
F = \frac{L}{4\pi d^2} .
$$

**Bewijs.** In een stationaire toestand zonder absorptie is het vermogen dat elke bol rond de bron doorkruist hetzelfde, $L$, door behoud van energie. Uit symmetrie is het gelijkmatig verspreid over het oppervlak $4\pi d^2$ van de bol. ∎

**Voorbeeld 2.12.**

De [lichtkracht](#def-b1-observing-the-sky-flux) van de zon is $3.828 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$. Op één astronomische eenheid, $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, is haar flux $3.828 \times 10^{26}/(4\pi\times
(1.496 \times 10^{11})^2) = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$: de zonnestraling die de aarde aan de bovenkant van haar atmosfeer ontvangt.

Fluxen beslaan een enorm bereik, en sterrenkundigen vergelijken ze op een logaritmische schaal die is overgeërfd van de klassen waarin de met het blote oog zichtbare sterren ooit werden ingedeeld: de helderste van de eerste magnitude, de zwakste van de zesde.

**Definitie 2.13 (Schijnbare magnitude, fotometrische band).**

Een *fotometrische band* is een golflengtegebied dat door een standaardfilter wordt geselecteerd en met een letter wordt aangeduid: U (ultraviolet), B (blauw), V (visueel), R (rood), I (nabij infrarood), en J, H, K in de infraroodvensters. De *schijnbare magnitude* $m$ van een bron in een band wordt uit haar flux $F$ in die band gedefinieerd door

$$
m_1 - m_2 = -2.5\log_{10}\frac{F_1}{F_2} ,
$$

waarbij het nulpunt door standaardsterren wordt vastgelegd, dicht bij de magnitude van de ster Vega in elke band. Een verschil van 5 magnitudes is precies een factor 100 in flux; één magnitude is een factor $100^{1/5} = 2.512$. Helderdere bronnen hebben kleinere, en soms negatieve, magnitudes.

De pivotgolflengten van de standaardfilters U, B, V, R en I zijn $358.5\,\mathrm{nm}$, $437.1\,\mathrm{nm}$, $547.8\,\mathrm{nm}$, $650.4\,\mathrm{nm}$ en $802.0\,\mathrm{nm}$.

In de V-band heeft de zon de [schijnbare magnitude](#def-b1-observing-the-sky-magnitude) $-26.74$, Sirius, de helderste ster van de nachtelijke hemel, $-1.46$, en Vega $0.03$. De zon is dus $10^{0.4\times(26.74 - 1.46)} = 1.29 \times 10^{10}$ keer helderder dan Sirius aan onze hemel; dat zegt nog niets over welke van de twee het meest straalt, waarvoor de afstanden nodig zijn.

### Parallax en de parsec

Terwijl de aarde om de zon draait, lijkt een nabije ster te bewegen tegen de veel verder weg staande achtergrondsterren, en in een jaar beschrijft zij een kleine ellips. Die schijnbare beweging is de rechtstreekste meting van afstanden tussen sterren: zij gebruikt de baan van de aarde als meetbasis.

**Definitie 2.14 (Jaarlijkse parallax, parsec).**

De *jaarlijkse parallax* $p$ van een ster is de hoek die door de straal van de baan van de aarde, één astronomische eenheid, bij de ster wordt ingesloten, gezien loodrecht op de kijklijn; zij is de halve lange as van de jaarlijkse ellips die de ster lijkt te beschrijven. De *parsec* ($\mathrm{pc}$) is de afstand waarop één astronomische eenheid één boogseconde onder een hoek ziet:

$$
1\,\mathrm{pc} = \frac{1\,\mathrm{au}}{\tan1{}^{\prime\prime}} = 206\,265\,\mathrm{au}
  = 3.0857 \times 10^{16}\,\mathrm{m} = 3.2616\,\mathrm{ly} .
$$

Omdat $p$ klein is, geldt $\tan p \approx p$ in radialen, en volgt de afstand meteen:

$$
d = \frac{1\,\mathrm{au}}{\tan p} \quad\Longrightarrow\quad
  \frac{d}{\mathrm{pc}} = \frac{1}{p/\text{boogseconde}} .
$$

Sirius heeft een parallax van $0.379\,21{}^{\prime\prime}$, dus ligt zij op $1/0.37921 =
2.637\,\mathrm{pc}$, $8.60\,\mathrm{ly}$. Zelfs de dichtstbijzijnde sterren hebben parallaxen kleiner dan één boogseconde, kleiner dan de [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing): de parallax wordt gevonden uit de verschuiving van het middelpunt van het beeld van de ster, dat veel fotonen veel nauwkeuriger lokaliseren dan de breedte van het beeld. Een ruimtemissie die aan het eind van dit hoofdstuk wordt beschreven, heeft op deze manier de posities van bijna twee miljard objecten gemeten.

![Jaarlijkse parallax (niet op schaal): vanaf de ster gezien sluit de straal van de baan van de aarde de hoek p in. Zes maanden later verschilt de richting van de ster met 2p. De echte hoek voor de dichtstbijzijnde ster is kleiner dan één boogseconde.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-observing-the-sky/fig-66ad8f99f4e2.svg)

*[Jaarlijkse parallax](#def-b1-observing-the-sky-parallax) (niet op schaal): vanaf de ster gezien sluit de straal van de baan van de aarde de hoek $p$ in. Zes maanden later verschilt de richting van de ster met $2p$. De echte hoek voor de dichtstbijzijnde ster is kleiner dan één boogseconde.*

**Definitie 2.15 (Absolute magnitude, afstandsmodulus).**

De *absolute magnitude* $M$ van een ster in een band is de [schijnbare magnitude](#def-b1-observing-the-sky-magnitude) die zij zou hebben op de afstand van $10\,\mathrm{pc}$, gezien door de lege ruimte. Het verschil $m - M$ is haar *afstandsmodulus*.

**Propositie 2.16 (De afstandsmodulus).**

Voor een ster op afstand $d$, gezien door de lege ruimte,

$$
m - M = 5\log_{10}\frac{d}{10\,\mathrm{pc}} .
$$

Als het licht onderweg door $A$ magnitudes extinctie wordt verzwakt, geldt $m - M = 5\log_{10}(d/10\,\mathrm{pc}) + A$. In een band is de verhouding van de [lichtkrachten](#def-b1-observing-the-sky-flux) van twee sterren $L_1/L_2 = 10^{0.4(M_2 - M_1)}$.

**Bewijs.** Volgens de kwadratenwet van de afstand verhouden de flux op $d$ en de flux op $10\,\mathrm{pc}$ zich als $F(d)/F(10\,\mathrm{pc}) = (10\,\mathrm{pc}/d)^2$. De definitie van magnitudes geeft $m - M = -2.5\log_{10}(10\,\mathrm{pc}/d)^2
= 5\log_{10}(d/10\,\mathrm{pc})$. Extinctie vermenigvuldigt de flux met $10^{-0.4A}$, wat $A$ aan $m$ toevoegt. Op de gemeenschappelijke afstand van $10\,\mathrm{pc}$ zijn de fluxen in de verhouding van de [lichtkrachten](#def-b1-observing-the-sky-flux), en $M_1 - M_2 = -2.5\log_{10}(L_1/L_2)$. ∎

De zon heeft de [absolute magnitude](#def-b1-observing-the-sky-absolute) $M_\odot = 4.83$ en de [lichtkracht](#def-b1-observing-the-sky-flux) $3.828 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$. Door de [absolute magnitude](#def-b1-observing-the-sky-absolute) van een ster in V met die van de zon te vergelijken, krijgt men haar [lichtkracht](#def-b1-observing-the-sky-flux) in V in zonne-eenheden, $L/L_\odot = 10^{0.4(4.83 - M)}$ — een *V-band*-lichtkracht, want een ster die veel heter of kouder is dan de zon, zendt een ander deel van haar vermogen buiten de V-band uit.

### Kleur

**Definitie 2.17 (Kleurindex).**

De *kleurindex* van een ster is het verschil van haar magnitudes in twee banden, de blauwste eerst; de meest gebruikte is $B - V$. Een kleine of negatieve $B - V$ duidt op een blauwe ster, een grote op een rode ster.

De [kleurindex](#def-b1-observing-the-sky-colour-index) hangt niet af van de afstand, omdat de kwadratenwet beide banden even sterk verzwakt; zij meet de vorm van het spectrum, en dus de temperatuur van het oppervlak van de ster. Een ster straalt ruwweg als een zwart lichaam waarvan het spectrum zijn piek heeft bij $\lambda_\mathrm{max} = b/T$ (de wet van Wien, met $b = 2.898 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$, die uit het tweede jaar van de natuurkundeboeken wordt overgenomen). De figuur hieronder tekent drie zwartelichaamspectra: een koud lichaam van $3500\,\mathrm{K}$ heeft zijn piek in het nabije infrarood en geeft meer flux in V dan in B; de effectieve temperatuur van de zon, $5772\,\mathrm{K}$, legt haar piek op $502\,\mathrm{nm}$, tussen B en V; een lichaam van $10\,000\,\mathrm{K}$ heeft zijn piek in het ultraviolet en is in B helderder dan in V. De verhouding van de B- en V-stralingsintensiteiten stijgt gestaag met de temperatuur, van $0.46$ tot $0.97$ en $1.53$ voor de drie krommen, en dat is waarom $B - V$ daalt wanneer $T$ stijgt.

![Zwartelichaamspectra bij drie temperaturen, elk gedeeld door het eigen maximum, met de pivotgolflengten van de U-, B-, V-, R- en I-filters (gestreept). De piek verschuift naar kortere golflengten naarmate de temperatuur stijgt (de wet van Wien): 828\, nm, 502\, nm en 290\, nm.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-observing-the-sky/fig-7038c6b756cf.svg)

*Zwartelichaamspectra bij drie temperaturen, elk gedeeld door het eigen maximum, met de pivotgolflengten van de U-, B-, V-, R- en I-filters (gestreept). De piek verschuift naar kortere golflengten naarmate de temperatuur stijgt (de wet van Wien): $828\,\mathrm{nm}$, $502\,\mathrm{nm}$ en $290\,\mathrm{nm}$.*

Vier heldere sterren laten het bereik van kleuren zien:

| ster | $V$ | $B$ | $B - V$ | parallax ($\mathrm{mas}$) |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| Rigel | 0.13 | 0.10 | $-0.03$ | 3.78 |
| Altair | 0.76 | 0.98 | 0.22 | 194.95 |
| Polaris | 2.02 | 2.62 | 0.60 | 7.54 |
| Betelgeuse | 0.42 | 2.27 | 1.85 | 6.55 |

Rigel is blauwwit en Betelgeuse, in hetzelfde sterrenbeeld, oranjerood: een kleurverschil dat met het blote oog zichtbaar is. Hun spectraaltypen, B8 en M1–M2, zeggen hetzelfde in de taal van de spectra, het onderwerp van Boek 5.

## 2.5 Spectrografen

Fotometrie meet het licht in enkele brede banden; een spectrograaf spreidt het uit tot een spectrum. Licht uit het brandpunt van de telescoop gaat door een smalle spleet, wordt evenwijdig gemaakt door een collimator, wordt door een tralie (of een prisma) gespreid en door een camera op de detector gefocusseerd, waar elke golflengte op een andere kolom van pixels valt (zie de figuur hieronder). Een tralie met $N$ verlichte lijnen, in de orde $k$ gebruikt, scheidt twee golflengten die $\Delta\lambda$ uit elkaar liggen wanneer $\lambda/\Delta\lambda \le kN$, zijn scheidend vermogen (dat uit het tweede jaar van de natuurkundeboeken wordt herhaald).

![Het pad van het licht door een telescoop en een tralie-spectrograaf (schematisch, met het objectief van de telescoop en de optiek als lenzen getekend, en twee golflengten): de spleet isoleert het beeld van de ster, de collimator maakt de bundel evenwijdig, het tralie spreidt haar, en de camera focusseert elke golflengte op een eigen plaats op de detector.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-observing-the-sky/fig-3250c0395b6f.svg)

*Het pad van het licht door een telescoop en een tralie-spectrograaf (schematisch, met het objectief van de telescoop en de optiek als lenzen getekend, en twee golflengten): de spleet isoleert het beeld van de ster, de collimator maakt de bundel evenwijdig, het tralie spreidt haar, en de camera focusseert elke golflengte op een eigen plaats op de detector.*

Een spectrum draagt drie soorten informatie. Zijn *lijnen*, donker waar atomen en ionen van de atmosfeer van de ster absorberen, helder waar een heet dun gas uitstraalt, bepalen welke scheikundige elementen aanwezig zijn. De vorm van zijn continuüm en de relatieve sterkte van lijnen die bij verschillende temperaturen ontstaan, geven de temperatuur van het gas. En de Doppler-verschuiving van de lijnen geeft de snelheid langs de kijklijn: een lijn met rustgolflengte $\lambda$ verschuift met $\Delta\lambda = \lambda v_r/c$ voor een radiale snelheid $v_r$ die veel kleiner is dan $c$. Om $v_r$ tot op $1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ te meten, is een scheidend vermogen nodig van de orde van $c/v_r = 300\,000$, of een matig scheidend vermogen en veel lijnen samen gemeten. Hoe spectra de structuur, samenstelling en bewegingen van sterren en sterrenstelsels onthullen, is het onderwerp van Boek 5.

## 2.6 Waarnemen vanuit de ruimte

Boven de atmosfeer zijn er geen gesloten vensters, geen extinctie, geen [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing), en in het infrarood geen gloed van warme lucht. Ruimtetelescopen betalen daarvoor een prijs: de beperkte massa en grootte die een raket kan lanceren, en, voor de meeste, de onmogelijkheid van reparatie. Zij worden gebruikt waar de grond niet kan wedijveren: voor gammastraling, röntgenstraling en ultraviolet licht, dat de grond nooit bereikt; voor het infrarood voorbij de smalle vensters; voor beelden op de diffractiegrens over een groot veld; en voor metingen, zoals de parallaxen van zeer veel sterren, die een stabiel instrument buiten de turbulente lucht vereisen.

**Cijfers van 2026.**

Drie ruimteobservatoria laten het bereik zien. De Hubble-ruimtetelescoop, in 1990 gelanceerd, heeft een primaire spiegel van $2.4\,\mathrm{m}$ doorsnede. De James Webb-ruimtetelescoop, op 25 december 2021 gelanceerd, heeft een primaire spiegel van $6.5\,\mathrm{m}$ doorsnede, samengesteld uit 18 zeshoekige segmenten, met een opvangoppervlak van $25\,\mathrm{m}^{2}$; hij werkt van $0.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ tot $28.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ en draait om de zon nabij het tweede Lagrangepunt, L2, $1.5$ miljoen kilometer van de aarde, aan de kant die van de zon af ligt. Gaia, op 19 december 2013 gelanceerd naar hetzelfde Lagrangepunt, L2, gebruikte twee telescopen op een gemeenschappelijk brandvlak van CCD’s om de posities en bewegingen van bijna twee miljard objecten in drie dimensies in kaart te brengen; haar waarnemingen zijn afgerond en haar catalogi worden nu vrijgegeven.

![Zes van de 18 zeshoekige segmenten van de primaire spiegel van de James Webb-ruimtetelescoop, voorbereid op koude tests in 2011; samen, uitgevouwen in de ruimte, vormen de 18 een spiegel van 6.5\, m breed. Foto NASA/MSFC/David Higginbotham, publiek domein.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-observing-the-sky/img-51270ec2f6e4.jpg)

*Zes van de 18 zeshoekige segmenten van de primaire spiegel van de James Webb-ruimtetelescoop, voorbereid op koude tests in 2011; samen, uitgevouwen in de ruimte, vormen de 18 een spiegel van $6.5\,\mathrm{m}$ breed. Foto NASA/MSFC/David Higginbotham, publiek domein.*

## 2.7 Oefeningen

**Oefening 2.1 ★.**

Wat is de verhouding van de fluxen van twee sterren met magnitudes 1.0 en 6.0? Van Rigel ($V = 0.13$) en Polaris ($V = 2.02$)? Welke is aan de hemel het helderst?

**Oplossing van Oefening 2.1.**

Een verschil van 5 magnitudes is een factor 100: de ster van magnitude 1.0 zendt 100 keer zoveel flux uit. Rigel en Polaris: $10^{0.4\times(2.02 - 0.13)} =
10^{0.756} = 5.70$; Rigel, met de kleinere magnitude, is helderder.

**Oefening 2.2 ★.**

De parallax van Altair is $0.194\,95{}^{\prime\prime}$. Geef haar afstand in [parsecs](#def-b1-observing-the-sky-parallax), in astronomische eenheden en in lichtjaren.

**Oplossing van Oefening 2.2.**

$d = 1/0.19495 = 5.13\,\mathrm{pc}$, dat is $5.1295\times206265 =
1.058 \times 10^{6}\,\mathrm{au}$ en $5.1295\times3.2616 = 16.7\,\mathrm{ly}$.

**Oefening 2.3 ★.**

Bereken de diffractiegrens van een ruimtetelescoop van $2.4\,\mathrm{m}$ bij $550\,\mathrm{nm}$, in boogseconden, en vergelijk die met een [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) van $0.40{}^{\prime\prime}$. Doe hetzelfde voor een telescoop van $6.5\,\mathrm{m}$ bij $2.0\,\text{µ}\mathrm{m}$.

**Oplossing van Oefening 2.3.**

$1.22\times550 \times 10^{-9}/2.4 = 2.80 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad} = 0.058{}^{\prime\prime}$, ongeveer zeven keer fijner dan een [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) van $0.40{}^{\prime\prime}$: in de ruimte bereikt de telescoop zijn diffractiegrens. Voor $6.5\,\mathrm{m}$ bij $2.0\,\text{µ}\mathrm{m}$: $1.22\times2.0 \times 10^{-6}/6.5 = 3.75 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad} = 0.077{}^{\prime\prime}$.

**Oefening 2.4 ★.**

Rangschik uit de tabel van de vier heldere sterren Rigel, Altair, Polaris en Betelgeuse van het heetste oppervlak naar het koelste. Waarom kan de [kleurindex](#def-b1-observing-the-sky-colour-index) tussen sterren op zeer verschillende afstanden worden vergeleken?

**Oplossing van Oefening 2.4.**

$B - V$ stijgt van Rigel ($-0.03$) naar Altair (0.22), Polaris (0.60) en Betelgeuse (1.85): de heetste is Rigel, daarna Altair, Polaris en Betelgeuse. De afstand verzwakt beide banden met dezelfde factor, dus $B - V$ verandert er niet door (zolang geen stof het licht onderweg rood kleurt).

**Oefening 2.5 ★★.**

Een ster wordt op dezelfde nacht gemeten met magnitude 6.412 bij een zenithoek van $30{}^{\circ}$ en met 6.590 bij $60{}^{\circ}$. Reken, uitgaande van een vlakparallelle atmosfeer, de twee [luchtmassa](#def-b1-observing-the-sky-extinction)’s, de [extinctiecoëfficiënt](#def-b1-observing-the-sky-extinction) en de magnitude van de ster boven de atmosfeer uit.

**Oplossing van Oefening 2.5.**

$X_1 = \sec30{}^{\circ} = 1.1547$, $X_2 = \sec60{}^{\circ} = 2.0000$. $k = (6.590 - 6.412)/(2.0000 - 1.1547) = 0.178/0.8453 = 0.211$ per [luchtmassa](#def-b1-observing-the-sky-extinction), en $m_0 = 6.412 - 0.2106\times1.1547 = 6.169$.

**Oefening 2.6 ★★.**

Een ster levert 400 fotoelektronen in een belichting van $10\,\mathrm{s}$, en het fotonruis van de ster alleen overheerst. Wat is de [signaal-ruisverhouding](#def-b1-observing-the-sky-detector)? Hoe lang moet men belichten om een SNR van 100 te bereiken? Om de magnitude tot op $0.01$ te meten?

**Oplossing van Oefening 2.6.**

$\mathrm{SNR} = \sqrt{400} = 20$. De SNR groeit als $\sqrt t$: voor 100 geldt $t = 10\,\mathrm{s}\times(100/20)^2 = 250\,\mathrm{s}$. Een fout van $0.01$ magnitude vereist $\mathrm{SNR} = 1.086/0.01 = 108.6$, dus $t = 10\times(108.6/20)^2 = 295\,\mathrm{s}$.

**Oefening 2.7 ★★.**

Rigel heeft $V = 0.13$ en een parallax van $0.003\,78{}^{\prime\prime}$. Verwaarloos de extinctie tussen haar en ons, bereken haar afstand, haar [absolute magnitude](#def-b1-observing-the-sky-absolute) en haar [lichtkracht](#def-b1-observing-the-sky-flux) in V in zonne-eenheden ($M_\odot = 4.83$).

**Oplossing van Oefening 2.7.**

De afstand is $d = 1/0.00378 = 264.6\,\mathrm{pc}$, en de [absolute magnitude](#def-b1-observing-the-sky-absolute) $M = 0.13 - 5\log_{10}26.46 = 0.13 - 7.11 = -6.98$. $L/L_\odot = 10^{0.4\times(4.83 + 6.98)} =
10^{4.724} = 5.3 \times 10^{4}$ in V.

**Oefening 2.8 ★★.**

Vergelijk het opvangoppervlak van een spiegel van $2.4\,\mathrm{m}$ (negeer zijn centrale verduistering) met dat van de Webb-telescoop ($25\,\mathrm{m}^{2}$). Hoeveel korter is de belichting waarin de Webb-telescoop evenveel fotonen opvangt? Welk deel van een volledige schijf van $6.5\,\mathrm{m}$ doorsnede vertegenwoordigt zijn opvangoppervlak, en waarom is dat minder dan één?

**Oplossing van Oefening 2.8.**

$\pi\times1.2^2 = 4.52\,\mathrm{m}^{2}$, en $25/4.52 = 5.5$: de Webb-telescoop vangt in een belichting die 5.5 keer korter is evenveel fotonen op. Een volledige schijf van $6.5\,\mathrm{m}$ doorsnede zou $\pi\times3.25^2 = 33.2\,\mathrm{m}^{2}$ hebben; de werkelijke spiegel heeft daarvan $25/33.2 = 75\,\%$, omdat 18 zeshoeken de rand van die schijf niet bedekken en de spleten tussen de segmenten en de centrale opening niets opvangen.

**Oefening 2.9 ★★.**

(a) Bereken uit de [lichtkracht](#def-b1-observing-the-sky-flux) van de zon, $3.828 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$, haar flux op $10\,\mathrm{pc}$. (b) De schijnbare en [absolute magnitudes](#def-b1-observing-the-sky-absolute) van de zon zijn $-26.74$ en $4.83$. Gebruik de [afstandsmodulus](#def-b1-observing-the-sky-absolute) om de afstand tussen zon en aarde in astronomische eenheden terug te vinden.

**Oplossing van Oefening 2.9.**

(a) $10\,\mathrm{pc} = 3.0857 \times 10^{17}\,\mathrm{m}$, en $F = 3.828 \times 10^{26}/(4\pi
\times(3.0857 \times 10^{17})^2) = 3.828 \times 10^{26}/1.1965 \times 10^{36} =
3.20 \times 10^{-10}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $1361/3.20 \times 10^{-10} = 4.3 \times 10^{12}$ keer minder dan bij de aarde. (b) $5\log_{10}(d/10\,\mathrm{pc}) = -26.74 - 4.83 = -31.57$, dus $d = 10\,\mathrm{pc}\times10^{-6.314} = 4.853 \times 10^{-6}\,\mathrm{pc}$, dat is $4.853 \times 10^{-6}\times206265 = 1.001\,\mathrm{au}$.

**Oefening 2.10 ★★★.**

Toon uit [Propositie 2.2](#prop-b1-observing-the-sky-bouguer) aan dat $k =
2.5\log_{10}e\;\tau_0$. Bereken voor de nacht van de extinctielijn ($k =
0.160$) de optische diepte in het [zenit](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/1-sferische-astronomie#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) $\tau_0$ en de fractie van het licht dat de telescoop in het [zenit](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/1-sferische-astronomie#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) en bij $X = 2.31$ bereikt. Wat voorspelt een vlakparallelle atmosfeer voor de [luchtmassa](#def-b1-observing-the-sky-extinction) bij een zenithoek van $85{}^{\circ}$, en waarom mag die waarde niet worden vertrouwd?

**Oplossing van Oefening 2.10.**

Boven de atmosfeer is de flux $F_0$; daaronder $F = F_0e^{-\tau_0X}$. Dan geldt $m - m_0 = -2.5\log_{10}(F/F_0) = 2.5\log_{10}e\;\tau_0X$, dat is $kX$ met $k = 2.5\log_{10}e\;\tau_0 = 1.0857\,\tau_0$. Voor $k = 0.160$: $\tau_0 = 0.160/1.0857 = 0.147$. In het [zenit](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/1-sferische-astronomie#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) komt $e^{-0.147} = 0.863$ van het licht aan, $86\,\%$; bij $X = 2.31$ is dat $e^{-0.147\times2.31} =
e^{-0.340} = 0.712$, $71\,\%$. Bij $z = 85{}^{\circ}$ geldt $\sec z =
11.5$; maar het vlakparallelle model maakt het pad oneindig aan de horizon, terwijl het pad door een gekromde atmosfeer eindig blijft, en ook breking buigt de straal: nabij de horizon overschat de formule de [luchtmassa](#def-b1-observing-the-sky-extinction), en de fouten groeien snel.

**Oefening 2.11 ★★★.**

Een zwak melkwegstelsel levert $R = 50$ fotoelektronen per seconde in een telescoop, en de hemel in het oppervlak van zijn beeld levert $B = 2000$ per seconde bij een [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) van $0.80{}^{\prime\prime}$. De uitleesruis is verwaarloosbaar. (a) Hoe lang moet men belichten voor een SNR van 10? (b) De hemel in het beeld groeit met het oppervlak van de seeingschijf. Herhaal voor een [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) van $0.40{}^{\prime\prime}$. (c) Toon aan dat voor een bron die veel zwakker is dan de hemel, de belichtingstijd die voor een gegeven SNR nodig is, varieert als $\theta^2/D^2$, waarin $\theta$ de [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) is en $D$ de diameter van de telescoop.

**Oplossing van Oefening 2.11.**

(a) $\mathrm{SNR} = Rt/\sqrt{(R + B)t}$, dus $t = \mathrm{SNR}^2(R + B)/R^2
= 100\times2050/2500 = 82\,\mathrm{s}$. (b) Halvering van de [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) deelt het oppervlak van het beeld, en dus $B$, door 4: $B = 500$ en $t = 100\times550/2500 =
22\,\mathrm{s}$. (c) Voor $B \gg R$ geldt $t \approx \mathrm{SNR}^2B/R^2$. De bronsnelheid $R$ groeit als $D^2$; de hemelsnelheid $B$ groeit als het opvangoppervlak $D^2$ maal het hemeloppervlak van het beeld, $\theta^2$. Dus $t \propto
\theta^2D^2/D^4 = \theta^2/D^2$: de [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) halveren is even veel waard als de diameter verdubbelen.

**Oefening 2.12 ★★★.**

Een tralie met 1200 lijnen per millimeter wordt over $100\,\mathrm{mm}$ verlicht en in de eerste orde gebruikt. (a) Wat is zijn scheidend vermogen, en het kleinste scheidbare golflengteverschil bij $550\,\mathrm{nm}$? (b) Welke radiale snelheid komt overeen met dat verschil? (c) De aarde beweegt om de zon met $29.78\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Hoeveel kan die beweging een lijn bij $550\,\mathrm{nm}$ verschuiven, en hoeveel resolutie-elementen is dat? Wat moet een waarnemer die de snelheid van een ster meet daarom doen?

**Oplossing van Oefening 2.12.**

(a) $N = 1200\times100 = 120\,000$ lijnen; in de eerste orde is het scheidend vermogen $1.2 \times 10^{5}$, en $\Delta\lambda = 550/(1.2 \times 10^{5}) =
4.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm}$. (b) $v = c\,\Delta\lambda/\lambda = c/(1.2 \times 10^{5}) =
2.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) $\Delta\lambda = 550\times29.78/299\,792 =
0.055\,\mathrm{nm}$, ongeveer 12 resolutie-elementen. De waarnemer moet voor de datum en het tijdstip van de waarneming de component van de baansnelheid van de aarde naar de ster toe berekenen en aftrekken, om de snelheid van de ster ten opzichte van de zon te krijgen.

## 2.8 Probleem: Het licht van Sirius wegen

**Probleem 2.1.**

Weekendprobleem — hoe ver Sirius staat, hoe helder zij lijkt en hoeveel fotonen zij uitzendt, en hoeveel zonnen zij overstraalt

Sirius, de helderste ster van de nachtelijke hemel, heeft een zwakke begeleider, de witte dwerg Sirius B. Gebruik de gegevens:

| object | $V$ | parallax |
| --- | --- | --- |
| Sirius | $-1.46$ | $0.379\,21{}^{\prime\prime}$ |
| Sirius B | $8.44$ | — |
| Vega | $0.03$ | $0.130\,23{}^{\prime\prime}$ |
| de zon | $-26.74$ | — |

met $M_\odot = 4.83$ in V, $1\,\mathrm{pc} = 206\,265\,\mathrm{au} =
3.0857 \times 10^{16}\,\mathrm{m} = 3.2616\,\mathrm{ly}$, en een [extinctiecoëfficiënt](#def-b1-observing-the-sky-extinction) $k = 0.15$ per [luchtmassa](#def-b1-observing-the-sky-extinction) op het observatorium.

**Deel I — Hoe ver staat Sirius?**

1. Bereken de afstand van Sirius in [parsecs](#def-b1-observing-the-sky-parallax) .
2. Druk die uit in astronomische eenheden en in meters.
3. Druk die uit in lichtjaren. Hoelang geleden verliet het licht dat wij vanavond zien Sirius?
4. Welke totale hoek beschrijft de richting van Sirius in een jaar heen en weer? Vergelijk die met een [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) van $0.40{}^{\prime\prime}$ . Waarom kan de uitslag toch tot een kleine fractie van de [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing) worden gemeten?
5. Als de parallax met $0.001{}^{\prime\prime}$ verkeerd was, met welke fractie zou de afstand dan verkeerd zijn, en met hoeveel lichtjaren?

**Deel II — Hoe helder lijkt zij?**

6. Bereken de verhouding van de fluxen van Sirius en Vega in V.
7. Bereken de verhouding van de fluxen van de zon en Sirius.
8. Bereken de verhouding van de fluxen van Sirius en Sirius B.
9. Vanaf het Paranal-observatorium kruist Sirius de meridiaan op een hoogte van $82.09{}^{\circ}$ ( [Hoofdstuk 1](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/1-sferische-astronomie#ch-b1-spherical-astronomy) ). Bereken de [luchtmassa](#def-b1-observing-the-sky-extinction) , de extinctie en de magnitude die op dat moment wordt gemeten.
10. Herhaal bij een hoogte van $30{}^{\circ}$ . Welk deel van het licht gaat onderweg verloren?
11. Waarom zou de formule $X = \sec z$ een waarnemer die Sirius meet kort nadat zij is opgekomen, op een dwaalspoor brengen?

**Deel III — Fotonen tellen.** Een camera op een telescoop van $1\,\mathrm{m}$ registreert $3.0 \times 10^{4}$ fotoelektronen per seconde van een ster met magnitude $V = 10.0$, na correctie voor extinctie. Elke pixel houdt op zijn hoogst $1.0 \times 10^{5}$ elektronen vast (zijn volle put).

12. Hoeveel fotoelektronen per seconde registreert de camera van Sirius B?
13. Hoe lange belichting geeft Sirius B een SNR van 1000, met fotonruis van de ster alleen? Wat is dan de fout op haar magnitude?
14. Hoeveel fotoelektronen per seconde registreert de camera van Sirius?
15. Als $20\,\%$ van het licht van Sirius in haar helderste pixel valt, hoe lang duurt het dan voordat die pixel vol is?
16. Op het beeld leveren de zwakke vleugels van het beeld van Sirius bij de plaats van Sirius B $10^{-4}$ van het licht van Sirius per pixel, en de helderste pixel van Sirius B verzamelt $20\,\%$ van haar eigen licht. Vergelijk de twee snelheden in die pixel.
17. Wat is de langste belichting die die pixel niet verzadigt? Bereken de SNR van Sirius B in die pixel bij een belichting van $0.5\,\mathrm{s}$ , met het fotonruis van beide bronnen. Is Sirius B detecteerbaar, en wat maakt haar moeilijk?

**Deel IV — Hoeveel zonnen?**

18. Bereken de [afstandsmodulus](#def-b1-observing-the-sky-absolute) van Sirius.
19. Leid de [absolute magnitude](#def-b1-observing-the-sky-absolute) van Sirius in V af, op twee decimalen.
20. Bereken de afstand en de [absolute magnitude](#def-b1-observing-the-sky-absolute) van Vega.
21. Welke van Sirius en Vega is intrinsiek het helderst in V, en met welke factor?
22. Welke [schijnbare magnitude](#def-b1-observing-the-sky-magnitude) zou de zon hebben gezien vanaf de afstand van Sirius? Als men 6.0 neemt als de zwakste magnitude die op een donkere nacht met het blote oog zichtbaar is, zou zij dan zichtbaar zijn?
23. Tot welke afstand zou Sirius met het blote oog zichtbaar blijven?
24. Bereken de [lichtkracht](#def-b1-observing-the-sky-flux) van Sirius in V in zonne-eenheden: hoeveel zonnen overstraalt Sirius?

**Oplossing van Probleem 2.1.**

**1.** $d = 1/0.37921 = 2.637\,\mathrm{pc}$.

**2.** $2.637\times206265 = 5.44 \times 10^{5}\,\mathrm{au}$; $2.637\times3.0857 \times 10^{16} = 8.14 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$.

**3.** $2.637\times3.2616 = 8.60\,\mathrm{ly}$: het licht verliet Sirius 8.6 jaar geleden.

**4.** De richting beschrijft $2p = 0.758{}^{\prime\prime}$, ongeveer twee keer de [seeing](#def-b1-observing-the-sky-seeing). De uitslag wordt gemeten vanaf de plaats van het middelpunt van het beeld, niet vanaf de rand: gemiddeld over veel fotonen wordt het middelpunt tot op een kleine fractie van de breedte van het beeld bepaald, des te nauwkeuriger naarmate er meer fotonen zijn geteld.

**5.** $\Delta d/d = \Delta p/p = 0.001/0.37921 = 0.26\,\%$, dat is $8.60\times0.0026 = 0.023\,\mathrm{ly}$.

**6.** $10^{0.4\times(0.03 + 1.46)} = 10^{0.596} = 3.94$.

**7.** $10^{0.4\times(26.74 - 1.46)} = 10^{10.112} = 1.29 \times 10^{10}$.

**8.** $10^{0.4\times(8.44 + 1.46)} = 10^{3.96} = 9120$.

**9.** $z = 90{}^{\circ} - 82.09{}^{\circ} = 7.91{}^{\circ}$, $X = \sec7.91{}^{\circ} =
1.0096$; extinctie $0.15\times1.0096 = 0.151$ magnitude; gemeten $m = -1.46 + 0.151 = -1.31$.

**10.** $z = 60{}^{\circ}$, $X = 2.000$; extinctie 0.30 magnitude, $m = -1.16$. De doorgelaten fractie is $10^{-0.4\times0.30} = 0.759$: $24\,\%$ van het licht gaat verloren.

**11.** Bij de opkomst is $z = 90{}^{\circ}$ en is $\sec z$ oneindig, terwijl het werkelijke pad door de gekromde atmosfeer lang maar eindig is; ook breking buigt de straal. Nabij de horizon is de extinctie groot en verandert zij snel, en de vlakparallelle correctie is onjuist.

**12.** $3.0 \times 10^{4}\times10^{0.4\times(10.0 - 8.44)} = 3.0 \times 10^{4}
\times10^{0.624} = 3.0 \times 10^{4}\times4.21 = 1.26 \times 10^{5}$ fotoelektronen per seconde.

**13.** Een SNR van 1000 vereist $N = 1000^2 = 1.0 \times 10^{6}$ fotoelektronen: $t = 1.0 \times 10^{6}/1.26 \times 10^{5} = 7.9\,\mathrm{s}$. De fout op de magnitude is $1.086/1000 = 0.0011$.

**14.** $3.0 \times 10^{4}\times10^{0.4\times(10.0 + 1.46)} = 3.0 \times 10^{4}
\times10^{4.584} = 1.15 \times 10^{9}$ fotoelektronen per seconde.

**15.** $0.20\times1.15 \times 10^{9} = 2.30 \times 10^{8}$ per seconde in de helderste pixel, die in $1.0 \times 10^{5}/2.30 \times 10^{8} =
4.3 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ vol is, minder dan een halve milliseconde.

**16.** De vleugels van Sirius geven $1.15 \times 10^{9}\times10^{-4} =
1.15 \times 10^{5}$ per seconde; Sirius B geeft $0.20\times1.26 \times 10^{5} =
2.52 \times 10^{4}$ per seconde. De gloed van Sirius is 4.6 keer helderder dan de piek van Sirius B.

**17.** De pixel ontvangt $1.15 \times 10^{5} + 2.52 \times 10^{4} = 1.40 \times 10^{5}$ per seconde en is in $1.0 \times 10^{5}/1.40 \times 10^{5} = 0.71\,\mathrm{s}$ vol. In $0.5\,\mathrm{s}$: signaal $2.52 \times 10^{4}\times0.5 = 1.26 \times 10^{4}$, totaal $7.01 \times 10^{4}$, ruis $\sqrt{7.01 \times 10^{4}} = 265$, dus $\mathrm{SNR} =
1.26 \times 10^{4}/265 = 48$. Sirius B is detecteerbaar voor zover het fotonruis betreft; wat haar moeilijk maakt, is dat de gloed bekend moet zijn en moet worden afgetrokken tot veel beter dan een vijfde van haar waarde, terwijl de kern van Sirius in minder dan een milliseconde verzadigt.

**18.** $m - M = 5\log_{10}(2.637/10) = 5\times(-0.579) = -2.89$.

**19.** $M = -1.46 + 2.89 = 1.43$.

**20.** $d = 1/0.13023 = 7.679\,\mathrm{pc}$; $m - M = 5\log_{10}0.7679 = -0.57$, dus $M = 0.03 + 0.57 = 0.60$.

**21.** Vega, met de kleinere [absolute magnitude](#def-b1-observing-the-sky-absolute), is helderder met de factor $10^{0.4\times(1.43 - 0.60)} = 10^{0.332} = 2.15$. Sirius lijkt alleen helderder omdat zij dichterbij staat.

**22.** $m = M_\odot + (m - M) = 4.83 - 2.89 = 1.94$: de zon zou een tamelijk heldere ster met het blote oog zijn.

**23.** $5\log_{10}(d/10\,\mathrm{pc}) = 6.0 - 1.43 = 4.57$, dus $d = 10\times10^{0.914} = 82.0\,\mathrm{pc}$, ongeveer $267\,\mathrm{ly}$.

**24.** $L/L_\odot = 10^{0.4\times(4.83 - 1.43)} = 10^{1.36} = 22.9$: in de V-band overstraalt Sirius **ongeveer 23 zonnen**.