---
title: "Structuur van de atmosfeer en de oceaan"
book: "Universitaire aard- en ruimtewetenschappen — jaar 1"
subject: earth
language: nl
chapter: 26
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/26-structuur-van-de-atmosfeer-en-de-oceaan
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# Hoofdstuk 26 — Structuur van de atmosfeer en de oceaan

Twee keer per dag wordt op weerstations over de hele wereld een ballon opgelaten die een radiosonde draagt, een klein instrument dat de druk, de temperatuur en de vochtigheid van de lucht terugzendt terwijl zij stijgt; zij klimt ongeveer $300\,\mathrm{m}$ per minuut en kan $35\,\mathrm{km}$ bereiken voordat de ballon barst. Ver op zee laat een onderzoeksschip een frame met instrumenten en watersleutels aan een kabel naar de diepzee zakken en meet de geleidbaarheid, de temperatuur en de diepte helemaal naar beneden. De twee profielen, één van de lucht en één van het water, zijn het ruwe materiaal van dit hoofdstuk. Beide omhulsels zijn gelaagd, en in beide wordt de laagvorming bepaald door de dichtheid: licht fluïdum boven zwaar fluïdum. Wat een laag licht of zwaar maakt, is minder vanzelfsprekend dan het lijkt. Lucht die kouder is dan de lucht eronder kan toch de lichtere zijn; water dat warmer is dan het water erboven kan toch het zwaardere zijn. Het hoofdstuk bouwt de twee hulpmiddelen die dit ordenen, de [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature) en de [toestandsvergelijking van zeewater](#def-b1-fluid-envelopes-structure-eos).

![Een CTD en een rozet worden in juni 2011 aan boord teruggehaald in de Beringstraat. De grijze flessen rond het frame worden op gekozen dieptes gesloten tijdens het opwaarts halen om het water te bemonsteren; de instrumenten onderaan het frame meten voortdurend de geleidbaarheid (waaruit het zoutgehalte wordt berekend), de temperatuur en de diepte (in feite de druk) terwijl het frame wordt neergelaten. (NASA Goddard Space Flight Center, publiek domein, via Wikimedia Commons.)](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-fluid-envelopes-structure/img-cba626a1d80a.jpg)

*Een CTD en een rozet worden in juni 2011 aan boord teruggehaald in de Beringstraat. De grijze flessen rond het frame worden op gekozen dieptes gesloten tijdens het opwaarts halen om het water te bemonsteren; de instrumenten onderaan het frame meten voortdurend de geleidbaarheid (waaruit het zoutgehalte wordt berekend), de temperatuur en de diepte (in feite de druk) terwijl het frame wordt neergelaten. (NASA Goddard Space Flight Center, publiek domein, via Wikimedia Commons.)*

**Wat je al weet.**

De natuurkundeboeken geven de hydrostatische betrekking, $\mathrm dp/\mathrm dz =
-\rho g$, voor een fluïdum in rust; voor een ideaal gas van molaire massa $M$ geldt $p = \rho R
T/M$, en in een isotherme atmosfeer daalt de druk als $e^{-z/H}$ met de schaalhoogte $H = RT/(Mg)$. Zij formuleren de eerste hoofdwet voor een gesloten systeem en, voor een ideaal gas, de relatie van Laplace langs een omkeerbare adiabatische transformatie, $pV^{\gamma} =$ constant, met $\gamma = c_p/c_v$ en $c_p - c_v
= R/M$ per eenheid van massa. Een lichaam dat in een fluïdum wordt ondergedompeld, ontvangt een opwaartse stuwkracht gelijk aan het gewicht van het verplaatste fluïdum (Archimedes). Boek 1 noemde de lagen van de atmosfeer en de [omgevingsgradiënt](#def-b1-fluid-envelopes-structure-lapse-rate) van de [standaardatmosfeer](#def-b1-fluid-envelopes-structure-standard-atmosphere), $6.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per kilometer in de troposfeer; Boek 2 aanvaardde de [droogadiabatische gradiënt](#def-b1-fluid-envelopes-structure-lapse-rate), $9.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per kilometer, noemde lucht stabiel of labiel naargelang het lot van een pakketje dat omhoog wordt geduwd, en beschreef de [gemengde laag](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ocean-layers), de [thermoklien](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ocean-layers), de [haloklien](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ocean-layers) en de [pyklien](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ocean-layers) van de oceaan. Het zoutgehalte van zeewater is dicht bij $35$ gram opgeloste zouten per kilogram.

## 26.1 De verticale structuur van de atmosfeer

Geen enkele werkelijke sondering is gelijk aan de volgende. Om ze te vergelijken wordt bij conventie een referentieprofiel vastgelegd.

**Definitie 26.1 (Standaardatmosfeer).**

Een *standaardatmosfeer* is een profiel van temperatuur, druk en dichtheid tegen de hoogte, bij conventie vastgelegd: droge lucht van constante molaire massa, een ideaal gas in hydrostatisch evenwicht, met gegeven waarden aan zeeniveau en een temperatuur die lineair met de hoogte varieert in opeenvolgende lagen. De standaardatmosfeer van 1976 neemt $288.15\,\mathrm{K}$ en $101\,325\,\mathrm{Pa}$ aan zeeniveau, $M_0 = 28.9644\,\mathrm{kg}\,\mathrm{kmol}^{-1}$, $R^* = 8314.32\,\mathrm{J}\,\mathrm{kmol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ en $g_0 = 9.806\,65\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$.

Beneden $47\,\mathrm{km}$ heeft de standaard van 1976 vier lagen ([Table 26.1](#tab-b1-fluid-envelopes-structure-layers)). De laagste, de troposfeer, koelt af met $6.5\,\mathrm{K}$ per kilometer; vanaf haar top, de tropopauze, blijft de temperatuur negen kilometer lang op $216.65\,\mathrm{K}$, en stijgt dan. De hoogten van de standaard zijn geopotentiële hoogten, de hoogten die een constante zwaartekracht $g_0$ dezelfde potentiële energie zou geven; beneden $32\,\mathrm{km}$ verschillen zij minder dan $0.6\,\%$ van geometrische hoogten ($11\,\mathrm{km}$ van de standaard ligt op $11.02\,\mathrm{km}$).

| Laag | Basis (km) | $\mathrm dT/\mathrm dz$ (K/km) | $T$ aan de basis (K) | $p$ aan de basis (hPa) |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 (troposfeer) | 0 | $-6.5$ | 288.15 | 1013.25 |
| 2 (stratosfeer) | 11 | 0.0 | 216.65 | 226.32 |
| 3 (stratosfeer) | 20 | $+1.0$ | 216.65 | 54.75 |
| 4 (stratosfeer) | 32 | $+2.8$ | 228.65 | 8.68 |

***Table 26.1.** De vier laagste lagen van de [standaardatmosfeer](#def-b1-fluid-envelopes-structure-standard-atmosphere) van 1976. De gradiënten en de waarden aan zeeniveau zijn vastleggende waarden; de temperaturen en drukken aan de basis worden daaruit berekend met [Propositie 26.2](#prop-b1-fluid-envelopes-structure-layer-pressure).*

In elke laag is de temperatuur een lineaire functie van de hoogte, zodat de hydrostatische betrekking in gesloten vorm kan worden geïntegreerd.

**Propositie 26.2 (Druk in een laag met constante gradiënt).**

In een laag droge lucht waar $T = T_b - L\,(z - z_b)$ met een constante $L \neq 0$, is de druk

$$
p = p_b \left(\frac{T}{T_b}\right)^{gM/(RL)},
$$

waarin $T_b$ en $p_b$ de waarden zijn aan de basis $z_b$. Wanneer $L = 0$ daalt de druk exponentieel met de schaalhoogte $H = RT_b/(Mg)$.

**Bewijs.** De hydrostatische betrekking en het ideale gas geven $\mathrm dp/p = -(gM/R)\,\mathrm
dz/T$. Aangezien $\mathrm dT = -L\,\mathrm dz$, is dit $\mathrm dp/p =
(gM/(RL))\,\mathrm dT/T$, wat integreert tot $\ln(p/p_b) = (gM/(RL))
\ln(T/T_b)$. Voor $L = 0$ is $T = T_b$ en $\ln(p/p_b) = -(z - z_b)/H$: de isotherme atmosfeer van de natuurkundeboeken. ∎

In de troposfeer van de standaard is $gM/(RL) = 9.80665 \times 28.9644 /
(8314.32 \times 0.0065) = 5.256$, en op $11\,\mathrm{km}$ is $T = 216.65$ K: $p = 101\,325 \times (216.65/288.15)^{5.256} = 22\,632\,\mathrm{Pa}$, iets minder dan een kwart van de waarde aan zeeniveau. In de isotherme laag erboven is $H =
8314.32 \times 216.65/(28.9644 \times 9.80665) = 6.34\,\mathrm{km}$, en negen kilometer hoger is de druk met een verdere factor $e^{9/6.34} =
4.13$ gedaald, tot $5475\,\mathrm{Pa}$. Aangezien de druk op een niveau het gewicht is, per oppervlakte-eenheid, van de lucht erboven, ligt de helft van de massa van de [standaardatmosfeer](#def-b1-fluid-envelopes-structure-standard-atmosphere) beneden $5.5\,\mathrm{km}$ en negen tiende beneden $16\,\mathrm{km}$.

## 26.2 Verticale gradiënten en potentiële temperatuur

**Definitie 26.3 (Omgevingsgradiënt en droogadiabatische gradiënt).**

De *omgevingsgradiënt* is $\Gamma =
-\mathrm dT/\mathrm dz$, de snelheid waarmee de temperatuur van de lucht in rust met de hoogte daalt, zoals een sondering haar meet. De *droogadiabatische gradiënt* $\Gamma_d$ is de snelheid waarmee de temperatuur van een pakketje onverzadigde lucht daalt wanneer het pakketje wordt opgetild.

Een gradiënt is positief wanneer de temperatuur met de hoogte daalt. De twee gradiënten zijn van verschillende aard: de eerste beschrijft de toestand van de atmosfeer op één moment; de tweede de transformatie van een stuk lucht dat beweegt.

**Definitie 26.4 (Luchtpakketje).**

Een *luchtpakketje* is een volume lucht dat in zijn beweging wordt gevolgd, klein genoeg om één temperatuur en één druk te hebben en de lucht eromheen niet te verstoren, groot genoeg om zijn identiteit te behouden: het wisselt geen massa uit en, tijdens een snelle verplaatsing, geen warmte met zijn omgeving, en zijn druk is op elk moment die van de omringende lucht.

Het pakketje is een idealisatie, zoals het gesloten systeem van de thermodynamica: de onderstaande resultaten gelden voor werkelijke lucht voor zover een bewegend stuk ervan weinig warmte en weinig massa met zijn omgeving uitwisselt.

**Stelling 26.5 (De droogadiabatische gradiënt).**

Een pakketje droge lucht, adiabatisch en omkeerbaar opgetild door lucht in rust van bijna dezelfde temperatuur, koelt af met de snelheid

$$
\Gamma_d = \frac{g}{c_p},
$$

waarin $c_p$ de soortelijke warmte van lucht bij constante druk is. Met $c_p =
1004.7\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ is $\Gamma_d = 9.76\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$.

**Bewijs.** Voor een kilogram van het pakketje, met temperatuur $T_p$ en dichtheid $\rho_p$, is de eerste hoofdwet van een omkeerbare transformatie zonder warmte-uitwisseling, geschreven met de enthalpie, $c_p\,\mathrm dT_p - \mathrm dp/\rho_p = 0$. De druk van het pakketje is die van de lucht eromheen, die hydrostatisch is: $\mathrm dp = -\rho_e
g\,\mathrm dz$, met $\rho_e$ de dichtheid van de omringende lucht. Dus

$$
\frac{\mathrm dT_p}{\mathrm dz} = -\frac{g}{c_p}\,\frac{\rho_e}{\rho_p}
  = -\frac{g}{c_p}\,\frac{T_p}{T_e},
$$

aangezien bij gelijke druk de dichtheden van twee ideale gassen van dezelfde molaire massa omgekeerd evenredig zijn met hun temperaturen. Wanneer het pakketje nagenoeg de temperatuur van zijn omgeving heeft, $T_p/T_e \approx 1$ en $-\mathrm dT_p/\mathrm dz
= g/c_p$. Voor droge lucht, een ideaal tweeatomig gas, $\gamma = 1.4$, dus $c_p =
\gamma/(\gamma - 1) \times R/M = 3.5 \times 8314.32/28.9644 =
1004.7\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, en $\Gamma_d = 9.80665/1004.7 =
0.009\,76\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}^{-1}$. ∎

Een pakketje $10\,\mathrm{K}$ warmer dan zijn omgeving, nabij $280\,\mathrm{K}$, koelt af met $\Gamma_d \times 290/280$, $3.6\,\%$ sneller; de correctie wordt in wat volgt verwaarloosd. De snelheid hangt niet af van de druk of de temperatuur van het pakketje, en een pakketje dat zinkt warmt op met dezelfde snelheid, zoals Boek 2 lucht over een berg volgde.

Het integreren van dezelfde vergelijking zonder de hydrostatische stap geeft een grootheid die het pakketje met zich meedraagt.

**Propositie 26.6 (Potentiële temperatuur).**

Langs een omkeerbare adiabatische transformatie van droge lucht,

$$
\theta = T\left(\frac{p_0}{p}\right)^{\kappa},\qquad \kappa = \frac{R}{Mc_p} =
  \frac{\gamma - 1}{\gamma} = \frac{2}{7},
$$

blijft constant, wat de referentiedruk $p_0$ ook is.

**Bewijs.** Uit $c_p\,\mathrm dT = \mathrm dp/\rho$ en $\rho = pM/(RT)$ volgt $c_p\,\mathrm dT/T
= (R/M)\,\mathrm dp/p$, dus is $\ln T - \kappa \ln p$ constant, en dus ook $T
p^{-\kappa}$; vermenigvuldigen met de constante $p_0^{\kappa}$ geeft $\theta$. Dit is de relatie van Laplace, geschreven met $T$ en $p$. ∎

**Definitie 26.7 (Potentiële temperatuur).**

De *potentiële temperatuur* $\theta$ van een pakketje droge lucht is de temperatuur die het zou hebben wanneer het adiabatisch naar de referentiedruk $p_0 = 1000\,\mathrm{hPa}$ wordt gebracht: $\theta = T\,(1000/p)^{2/7}$ met $p$ in hectopascal en $T$ in kelvin.

De [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature) is een label dat een droog pakketje behoudt wanneer het stijgt of zinkt zonder warmte uit te wisselen, zoals het zoutgehalte van een waterpakketje dat doet. Verwarming door straling, door condensatie van water of door menging verandert het; de rest niet.

**Voorbeeld 26.8 (De tropopauze van de standaardatmosfeer).**

Aan het oppervlak van de standaard is $\theta = 288.15 \times (1000/1013.25)^{2/7} =
287.07\,\mathrm{K}$. Aan de tropopauze is $T = 216.65\,\mathrm{K}$ en $p =
226.32\,\mathrm{hPa}$: $\theta = 216.65 \times (1000/226.32)^{2/7} = 216.65 \times
1.529 = 331.2\,\mathrm{K}$. Lucht van de tropopauze die adiabatisch naar $1000\,\mathrm{hPa}$ wordt gebracht, zou $331.2\,\mathrm{K}$ bereiken, $44\,\mathrm{K}$ warmer dan oppervlaktelucht die naar dezelfde druk is gebracht. De temperatuur daalt met $71.5\,\mathrm{K}$ van de grond tot de tropopauze, en toch stijgt de [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature) met $44\,\mathrm{K}$.

## 26.3 Statische stabiliteit

**Definitie 26.9 (Statische stabiliteit; temperatuurinversie).**

De *statische stabiliteit* van een laag in rust is haar reactie op een kleine verticale uitwijking van een pakketje. De laag heeft een *stabiele gelaagdheid* als het verplaatste pakketje terug wordt geduwd naar zijn niveau, een *labiele gelaagdheid* als het verder wordt weggeduwd, en een *neutrale gelaagdheid* als geen kracht erop werkt. Een *temperatuurinversie* is een laag waarin de temperatuur met de hoogte stijgt.

**Stelling 26.10 (Het criterium van statische stabiliteit).**

Een laag droge lucht in rust, van temperatuur $T$ en [omgevingsgradiënt](#def-b1-fluid-envelopes-structure-lapse-rate) $\Gamma$, is stabiel als $\Gamma < \Gamma_d$, neutraal als $\Gamma = \Gamma_d$ en labiel als $\Gamma > \Gamma_d$; equivalent, zij is stabiel dan en slechts dan wanneer haar [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature) met de hoogte toeneemt. Een pakketje dat in een stabiele laag over een kleine $\delta z$ wordt verplaatst, oscilleert rond zijn niveau met de hoekfrequentie $N$, waarbij

$$
N^2 = \frac{g}{T}\,(\Gamma_d - \Gamma) = \frac{g}{\theta}\,\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dz}.
$$

**Bewijs.** Een pakketje op de temperatuur $T$ van zijn niveau wordt over $\delta z$ opgetild. Het komt aan op $T - \Gamma_d\,\delta z$, terwijl de lucht eromheen op $T - \Gamma\,\delta z$ is. Per eenheid van massa voelt het pakketje zijn gewicht en de stuwkracht van Archimedes, een netto opwaartse versnelling $g\,(\rho_e - \rho_p)/\rho_p = g\,(T_p - T_e)/T_e$, de drukken zijn gelijk. In de eerste orde in $\delta z$ is dit

$$
\frac{\mathrm d^2 \delta z}{\mathrm dt^2} = -\frac{g}{T}\,(\Gamma_d - \Gamma)\,\delta z = -N^2\,\delta z .
$$

Als $\Gamma < \Gamma_d$, is $N^2 > 0$ en oscilleert het pakketje met de hoekfrequentie $N$; als $\Gamma > \Gamma_d$ groeit de verplaatsing exponentieel; als $\Gamma = \Gamma_d$ werkt geen kracht. Voor de tweede vorm neemt men de logaritmische afgeleide van $\theta = T (p_0/p)^{\kappa}$ en gebruikt men de hydrostatische betrekking:

$$
\frac{1}{\theta}\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dz} = \frac{1}{T}\frac{\mathrm dT}{\mathrm dz}
  - \frac{\kappa}{p}\frac{\mathrm dp}{\mathrm dz} = -\frac{\Gamma}{T} + \frac{\kappa\,\rho g}{p}
  = -\frac{\Gamma}{T} + \frac{\kappa g M}{RT} = \frac{\Gamma_d - \Gamma}{T},
$$

aangezien $\kappa M/R = 1/c_p$. ∎

De hoekfrequentie $N$ heet de drijffrequentie. In de troposfeer van de standaard, nabij de grond, is $N^2 = (9.80665/288.15) \times (9.761 -
6.5)\times10^{-3} = 1.11 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-2}$, $N = 0.0105\,\mathrm{s}^{-1}$, en de periode $2\pi/N$ van de oscillatie is ongeveer $10\,\mathrm{min}$. In de isotherme lagere stratosfeer is $\Gamma = 0$: $N = 0.0210\,\mathrm{s}^{-1}$, tweemaal zo groot, een periode van vijf minuten. De stratosfeer is een deksel: zij weerstaat verticale beweging veel sterker dan de troposfeer eronder.

![De standaardatmosfeer van 1976 tot 32\, km. Links: temperatuur, met de droge adiabaat die een pakketje dat vanaf het oppervlak wordt opgetild zou volgen (gestreept). De standaard koelt langzamer af dan de adiabaat, en is dus overal stabiel. Rechts: potentiële temperatuur, die overal met de hoogte stijgt, zacht in de troposfeer en steil boven de tropopauze (stip).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-fluid-envelopes-structure/fig-b5278d9c4f3a.svg)

*De [standaardatmosfeer](#def-b1-fluid-envelopes-structure-standard-atmosphere) van 1976 tot $32\,\mathrm{km}$. Links: temperatuur, met de droge adiabaat die een pakketje dat vanaf het oppervlak wordt opgetild zou volgen (gestreept). De standaard koelt langzamer af dan de adiabaat, en is dus overal stabiel. Rechts: [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature), die overal met de hoogte stijgt, zacht in de troposfeer en steil boven de tropopauze (stip).*

Op een diagram van temperatuur tegen hoogte vergelijkt het criterium twee hellingen (figuur hieronder): het pakketje volgt de droge adiabaat door zijn startpunt, en de vraag is aan welke kant van de sondering het zich na een kleine verplaatsing bevindt.

![De pakketmethode. Volle blauwe lijn: de sondering; gestreepte rode lijn: de droge adiabaat door P. Een pakketje begint in P op de temperatuur van de lucht eromheen en wordt langs de droge adiabaat opgetild naar z + z (rode stip); de sondering geeft de temperatuur van de lucht daar (blauwe stip). Links: de sondering koelt langzamer af dan de adiabaat; het pakketje komt kouder, dus dichter, aan dan zijn omgeving en zakt terug. Rechts: de sondering koelt sneller af dan de adiabaat; het pakketje komt warmer aan en blijft stijgen.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-fluid-envelopes-structure/fig-c3f2eccff69c.svg)

*De pakketmethode. Volle blauwe lijn: de sondering; gestreepte rode lijn: de droge adiabaat door $P$. Een pakketje begint in $P$ op de temperatuur van de lucht eromheen en wordt langs de droge adiabaat opgetild naar $z + \delta z$ (rode stip); de sondering geeft de temperatuur van de lucht daar (blauwe stip). Links: de sondering koelt langzamer af dan de adiabaat; het pakketje komt kouder, dus dichter, aan dan zijn omgeving en zakt terug. Rechts: de sondering koelt sneller af dan de adiabaat; het pakketje komt warmer aan en blijft stijgen.*

**Methode 26.11 (De stabiliteit van een sondering lezen).**

1. Verdeel de sondering in lagen tussen niveaus waar de helling verandert.
2. Bereken in elke laag $\Gamma = -(T_2 - T_1)/(z_2 - z_1)$ , in kelvin per kilometer.
3. Vergelijk met $\Gamma_d = 9.8\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ : $\Gamma > \Gamma_d$ labiel, $\Gamma$ dicht bij $\Gamma_d$ neutraal, $\Gamma < \Gamma_d$ stabiel; een negatieve $\Gamma$ is een inversie, het meest stabiele geval.
4. Waar drukken gegeven zijn in plaats van hoogten, bereken $\theta =  T(1000/p)^{2/7}$ op elk niveau: $\theta$ die naar boven daalt markeert een labiele laag, constant een neutrale, stijgend een stabiele.

Een labiele laag houdt niet lang stand: een verplaatsing erin groeit exponentieel, met de snelheid $\sqrt{-N^2}$, en de pakketten die zij vrijmaakt keren haar om, en mengen haar tot haar [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature) uniform is en haar gradiënt $\Gamma_d$ is. Een laag die van onderen wordt verwarmd, door warme grond of een warme zee, wordt naar labiliteit geduwd; een die van onderen wordt afgekoeld, naar stabiliteit. Een inversie bedekt alles wat eronder ligt: een pakketje dat van onderen opstijgt, komt kouder dan zijn omgeving te zitten zodra het erin binnengaat. Boven $20\,\mathrm{km}$ is de hele stratosfeer van de standaard een inversie.

Dit alles veronderstelt droge lucht. Een opstijgend pakketje dat verzadigd raakt, komt vrij met latente warmte terwijl zijn water condenseert, en koelt langzamer af dan $\Gamma_d$; de verzadigde adiabaat en de voorwaardelijke labiliteit die zij meebrengt, zijn het onderwerp van Boek 4.

## 26.4 De gelaagde oceaan

De oceaan wisselt warmte en water met de atmosfeer alleen aan haar oppervlak, door verwarming en afkoeling, verdamping en regen. Haar verticale structuur heeft drie ingrediënten: temperatuur, zoutgehalte en dichtheid.

**Definitie 26.12 (Gemengde laag, thermoklien, haloklien, pyklien).**

De *gemengde laag* is de oppervlaktelaag van de oceaan waarvan temperatuur, zoutgehalte en dichtheid nagenoeg uniform zijn met de diepte; haar diepte wordt op een profiel afgelezen als de diepte waar de temperatuur voor het eerst met een gekozen drempel, vaak $0.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, van haar oppervlaktewaarde afwijkt. De *thermoklien*, de *haloklien* en de *pyklien* zijn de lagen eronder waarin de temperatuur, het zoutgehalte en de dichtheid respectievelijk het snelst met de diepte veranderen.

De druk in de oceaan wordt opgegeven in decibar, want één decibar, $10^{4}\,\mathrm{Pa}$, is bijna de druk van één meter zeewater: op $30{}^{\circ}$ [breedtegraad](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/1-sferische-astronomie#def-b1-spherical-astronomy-geographic) liggen $1000\,\mathrm{dbar}$ op $990.8\,\mathrm{m}$ en $10\,000\,\mathrm{dbar}$ op $9712.7\,\mathrm{m}$.

Water is bijna onsamendrukbaar, maar niet helemaal, en een waterpakketje dat van diep water wordt opgetild zet uit en koelt een beetje af, zoals een [luchtpakketje](#def-b1-fluid-envelopes-structure-parcel) doet. De adiabatische gradiënt van zeewater is klein, ongeveer $0.04\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per $1000\,\mathrm{dbar}$ aan het oppervlak bij $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $0.09\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per $1000\,\mathrm{dbar}$ op $3000\,\mathrm{dbar}$, tegen $9.8$ per kilometer in lucht; maar over vijf kilometer telt het op tot enkele tienden van een graad, meer dan de verschillen tussen diepe wateren. Oceanografen vergelijken wateren daarom ook naar hun *potentiële* temperatuur: de temperatuur die een pakketje zou hebben wanneer het adiabatisch, zonder verandering van zoutgehalte, naar het oppervlak wordt gebracht. Een water van $2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op $4000\,\mathrm{dbar}$ en zoutgehalte 35 heeft een [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature) van $1.66\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. In de diepste niveaus van de Zuid-Atlantische Oceaan op $10.5{}^{\circ}\mathrm{S}$ stijgt de gemeten temperatuur van $0.730\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op $5400\,\mathrm{m}$ tot $0.731\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op $5500\,\mathrm{m}$, terwijl de [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature) daalt van $0.261\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ tot $0.250\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: de opwarming is compressie, geen warmte.

![Potentiële temperatuur, zoutgehalte en potentiële dichtheidsanomalie () in de bovenste 2000\, m, in het jaargemiddelde, op drie plaatsen: de tropische Zuid-Atlantische Oceaan (10.5 S, 25.5 W), de subtropische Zuid-Atlantische Oceaan (30.5 S, 25.5 W) en het Canadabekken van de Noordelijke IJszee (75.5 N, 150.5 W). Gegevens: World Ocean Atlas 2023.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-fluid-envelopes-structure/fig-5da5ba55d553.svg)

*[Potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature), zoutgehalte en potentiële [dichtheidsanomalie](#def-b1-fluid-envelopes-structure-eos) ([Definitie 26.13](#def-b1-fluid-envelopes-structure-eos)) in de bovenste $2000\,\mathrm{m}$, in het jaargemiddelde, op drie plaatsen: de tropische Zuid-Atlantische Oceaan ($10.5{}^{\circ}\mathrm{S}$, $25.5{}^{\circ}\mathrm{W}$), de subtropische Zuid-Atlantische Oceaan ($30.5{}^{\circ}\mathrm{S}$, $25.5{}^{\circ}\mathrm{W}$) en het Canadabekken van de Noordelijke IJszee ($75.5{}^{\circ}\mathrm{N}$, $150.5{}^{\circ}\mathrm{W}$). Gegevens: World Ocean Atlas 2023.*

De drie kolommen van de figuur hierboven tonen de drie soorten bovenste oceaan. In de tropen zit een warme [gemengde laag](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ocean-layers) nabij $26.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op een scherpe [thermoklien](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ocean-layers): tussen $100\,\mathrm{m}$ en $200\,\mathrm{m}$ daalt de [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature) van $24.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ tot $14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, en de dichtheid volgt haar, zodat de [thermoklien](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ocean-layers) ook de [pyklien](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ocean-layers) is. Op $30.5{}^{\circ}\mathrm{S}$ is het oppervlak koeler, $21.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, en de daling geleidelijker, verspreid over de bovenste $800\,\mathrm{m}$. In beide is het zoutgehalte het hoogst nabij het oppervlak en neemt het naar beneden af; het werkt tegen de gelaagdheid in, die de temperatuur ruimschoots compenseert. De Arctische kolom is het tegenovergestelde geval. Haar oppervlaktewater, op $-1.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, is het koudste van de drie, en toch het lichtste, $\sigma_\theta = 22.5$, omdat haar zoutgehalte slechts $28.1$ is; het zoutgehalte stijgt tot $34.5$ op $300\,\mathrm{m}$. De [haloklien](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ocean-layers) is hier de [pyklien](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ocean-layers). Daaronder ligt een laag warmer dan het water erboven, nabij $0.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op $475\,\mathrm{m}$: een [temperatuurinversie](#def-b1-fluid-envelopes-structure-stability) die volkomen stabiel is, neergedrukt door zijn zout.

## 26.5 Dichtheid van zeewater en T–S-diagrammen

**Definitie 26.13 (Toestandsvergelijking van zeewater; haline contractiecoëfficiënt; dichtheidsanomalie).**

De *toestandsvergelijking van zeewater* geeft zijn dichtheid $\rho(S, T, p)$ als functie van zoutgehalte, temperatuur en druk. De *haline contractiecoëfficiënt* is $\beta = (1/\rho)\,\partial\rho/\partial S$ bij constante temperatuur en druk. De *dichtheidsanomalie* $\sigma$ is een dichtheid min $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$: $\sigma_t = \rho(S, T, 0) -
1000$ gebruikt de gemeten temperatuur bij nul zeedruk, en de potentiële dichtheidsanomalie $\sigma_\theta = \rho(S, \theta, 0) - 1000$ de [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature).

De toestandsvergelijking is niet uit eerste beginselen afgeleid, maar aan laboratoriummetingen gepast. De internationale vergelijking van 1980 bij de druk van het oppervlak is een polynoom met vijftien coëfficiënten, $\rho = \rho_w(T) +
A(T)\,S + B(T)\,S^{3/2} + C\,S^2$, waarin $\rho_w$ de dichtheid van zuiver water is; zij geeft $\rho(35, 0\,{}^{\circ}\mathrm{C}) = 1028.1063\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Een thermodynamische beschrijving van zeewater, TEOS-10, werd in 2009 aangenomen om haar als de officiële te vervangen; de vergelijking van 1980 wordt hier gebruikt omdat haar polynoom op een pagina past. Haar thermische uitzettingscoëfficiënt $\alpha = -(1/\rho)\,\partial\rho/\partial T$ is de coëfficiënt uit de natuurkundeboeken.

| $T$ (${}^{\circ}\mathrm{C}$) | $\rho(35, T, 0)$ ($\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$) | $\alpha$ ($\mathrm{K}^{-1}$) | $\beta$ |
| --- | --- | --- | --- |
| 0 | 1028.106 | $0.53 \times 10^{-4}$ | $7.85 \times 10^{-4}$ |
| 10 | 1026.952 | $1.67 \times 10^{-4}$ | $7.61 \times 10^{-4}$ |
| 25 | 1023.343 | $2.97 \times 10^{-4}$ | $7.39 \times 10^{-4}$ |

***Table 26.2.** Dichtheid en uitzettingscoëfficiënten van zeewater met zoutgehalte 35 bij de oppervlaktedruk, uit de internationale toestandsvergelijking van 1980.*

De uitzettingscoëfficiënt is zes keer groter in warm water dan in water nabij het vriespunt, terwijl $\beta$ nauwelijks verandert ([Table 26.2](#tab-b1-fluid-envelopes-structure-density)). Eén eenheid zoutgehalte weegt even veel als ongeveer $4.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ bij $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, maar even veel als $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ nabij $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: in koud poolwater wordt de dichtheid door het zoutgehalte bepaald, zoals de Arctische kolom liet zien.

**Propositie 26.14 (Lineaire toestandsvergelijking).**

Nabij een referentietoestand $(S_0, T_0)$ met dichtheid $\rho_0$, bij vaste druk,

$$
\rho \approx \rho_0\bigl[1 - \alpha\,(T - T_0) + \beta\,(S - S_0)\bigr],
$$

waarin $\alpha$ en $\beta$ zijn berekend bij de referentietoestand; de fout is van de tweede orde in $T - T_0$ en $S - S_0$.

**Bewijs.** Dit is de Taylorontwikkeling van de eerste orde van $\rho(S, T)$ bij $(S_0, T_0)$, aangezien $\partial\rho/\partial T = -\rho_0\alpha$ en $\partial\rho/\partial S =
\rho_0\beta$ daar. ∎

Bij $(35, 10\,{}^{\circ}\mathrm{C})$ geeft de lineaire vorm de dichtheid van water bij $(35.2, 11\,{}^{\circ}\mathrm{C})$ binnen $0.01\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, maar die van een oppervlaktewater bij $(35.8, 22.4\,{}^{\circ}\mathrm{C})$ $0.74\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ te hoog: de toestandsvergelijking is gekromd, en haar kromming heeft gevolgen.

**Definitie 26.15 (T–S-diagram; watermassa).**

Een *T–S-diagram* is een uitzetting van de [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature) van de monsters van een profiel tegen hun zoutgehalte, met de dieptes langs de kromme geschreven en de lijnen van gelijke $\sigma_\theta$ eronder getekend. Een *watermassa* is een waterlichaam met een gemeenschappelijke vormingsgeschiedenis, herkend aan zijn bereik van [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature) en zoutgehalte.

Een [watermassa](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ts-diagram) krijgt haar temperatuur en zoutgehalte aan het oppervlak, door verwarming en afkoeling, verdamping en regen, in het gebied waar zij wordt gevormd; zodra zij onder de [gemengde laag](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ocean-layers) zinkt, buiten contact met de atmosfeer, kan zij die alleen nog veranderen door menging met haar buren. [Potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature) en zoutgehalte zijn dan tracers.

**Propositie 26.16 (Mengingslijnen zijn recht).**

Wanneer massa’s $m_1$ en $m_2$ van twee wateren $(S_1, \theta_1)$ en $(S_2, \theta_2)$ volledig mengen, heeft het mengsel

$$
S = \frac{m_1 S_1 + m_2 S_2}{m_1 + m_2},\qquad
  \theta \approx \frac{m_1 \theta_1 + m_2 \theta_2}{m_1 + m_2}:
$$

op een [T–S-diagram](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ts-diagram) ligt het op het lijnstuk dat de twee wateren verbindt, op afstanden van hen in de omgekeerde verhouding van hun massa’s. Mengsels van drie wateren vullen de driehoek die zij vormen.

**Bewijs.** Het zoutgehalte is een massafractie van zout, en zout blijft behouden: de massa zout in het mengsel, $m_1 S_1 + m_2 S_2$, gedeeld door zijn massa, geeft $S$. Menging bij constante druk behoudt de enthalpie; met een soortelijke warmte die weinig varieert, is dit een gewogen gemiddelde van de potentiële temperaturen, binnen een relatieve fout van ongeveer $3.4\times10^{-4}$ per eenheid van zoutgehalteverschil. Het punt $(S, \theta)$ is dan het zwaartepunt van de twee punten met de gewichten $m_1$ en $m_2$. ∎

![T–S-diagram van de twee Zuid-Atlantische kolommen van de profielenfiguur, van het oppervlak tot de zeebodem, over lijnen van gelijke potentiële dichtheidsanomalie _ (grijs, aan hun bovenste uiteinden in kg\, m-3 benoemd). Stippen: de kernen van de watermassa’s, afgelezen op de kolom op 30.5 S. Blauw: twee wateren van gelijke dichtheid, _ = 27.0, op 2\, C en 14\, C, en hun mengsel in gelijke delen, op de rechte lijn ertussen en dichter dan beide. Gegevens: World Ocean Atlas 2023.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-fluid-envelopes-structure/fig-874dad211aee.svg)

*[T–S-diagram](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ts-diagram) van de twee Zuid-Atlantische kolommen van de profielenfiguur, van het oppervlak tot de zeebodem, over lijnen van gelijke potentiële [dichtheidsanomalie](#def-b1-fluid-envelopes-structure-eos) $\sigma_\theta$ (grijs, aan hun bovenste uiteinden in $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ benoemd). Stippen: de kernen van de [watermassa](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ts-diagram)’s, afgelezen op de kolom op $30.5{}^{\circ}\mathrm{S}$. Blauw: twee wateren van gelijke dichtheid, $\sigma_\theta = 27.0$, op $2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $14\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, en hun mengsel in gelijke delen, op de rechte lijn ertussen en dichter dan beide. Gegevens: World Ocean Atlas 2023.*

De twee Zuid-Atlantische kolommen tekenen dezelfde figuur op het [T–S-diagram](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ts-diagram): de gelijkenis van krommen van verre plaatsen is wat [watermassa](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ts-diagram)’s onthult. Van het oppervlak tot ongeveer $500\,\mathrm{m}$ volgen de krommen een bijna rechte lijn, steil in temperatuur: dit is Centraal Water, dat de bovenste kilometer van de subtropische oceaan vult. Daaronder draaien beide krommen naar een zoutgehalteminimum, $34.30$ op $900\,\mathrm{m}$ en $4.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op $30.5{}^{\circ}\mathrm{S}$: Antarctisch Tussenwater (AAIW), gevormd onder de regenrijke westenwinden van de Zuidelijke Oceaan, zakt tot ongeveer $1000\,\mathrm{m}$ en verspreidt zich naar het noorden. Dieper ligt een zoutgehaltemaximum, $34.90$ op $2900\,\mathrm{m}$: Noord-Atlantisch Diepwater (NADW), gevormd in de Groenland- en Labradorzee, zakt tot ongeveer $3000\,\mathrm{m}$ en beweegt zuidwaarts door de hele Atlantische Oceaan. Onderaan convergeren de krommen op het koudste water, $0.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op $4900\,\mathrm{m}$: Antarctisch Bodemwater (AABW), gevormd langs het Antarctische continent, dat de oceanen onder ongeveer $4000\,\mathrm{m}$ vult. Op $10.5{}^{\circ}\mathrm{S}$ ligt het zoutgehalteminimum op $750\,\mathrm{m}$ en het maximum op $1800\,\mathrm{m}$, met een hoger maximum, $34.95$: het NADW is daar dichter bij zijn bron.

De uitersten zijn zelf menguitkomsten. AAIW mengt bij het noordwaartse bewegen met het zoutere water erboven en eronder; volgens [Propositie 26.16](#prop-b1-fluid-envelopes-structure-mixing) beweegt haar kern op het diagram naar hen toe en slijt het minimum af. Een zoutgehalteminimum of -maximum op een profiel is altijd het spoor van een water dat van elders kwam, zijdelings meegevoerd op het niveau van zijn eigen dichtheid.

**Methode 26.17 (De watermassa’s op een T–S-diagram lezen).**

1. Reken de gemeten temperaturen om in potentiële temperaturen (in de bovenste kilometer is het verschil kleiner dan $0.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en mag het worden verwaarloosd).
2. Zet $\theta$ tegen $S$ uit, met de dieptes langs de kromme geschreven.
3. Lees de rechte stukken als mengsels van de twee wateren aan hun uiteinden, de uitersten van zoutgehalte of temperatuur als kernen van [watermassa](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ts-diagram) ’s, en het einde van de kromme nabij de bodem als het dichtste aanwezige water.
4. Lees de dichtheid af op de isopycnen: langs een stabiel profiel neemt $\sigma_\theta$ met de diepte toe.

Omdat de isopycnen gekromd zijn, mengen twee wateren van dezelfde dichtheid niet tot een water van die dichtheid. Water bij $(33.79, 2\,{}^{\circ}\mathrm{C})$ en water bij $(36.05, 14\,{}^{\circ}\mathrm{C})$ hebben beide $\sigma_\theta = 27.00$; in gelijke delen gemengd geven zij $(34.92, 8\,{}^{\circ}\mathrm{C})$, met $\sigma_\theta = 27.21$ (figuur hierboven). Het mengsel is dichter dan beide ouders en zinkt er onder. Deze verdichting bij menging, cabbeling genoemd, is de prijs van de kromming van de toestandsvergelijking: met de lineaire vorm van [Propositie 26.14](#prop-b1-fluid-envelopes-structure-linear-eos) zou de dichtheid van een mengsel het gemiddelde van de dichtheden zijn. Langs de isopycnale vlakken van de oceaan, waar wervels wateren van verschillende temperatuur en zoutgehalte roeren, drijft cabbeling een langzaam zinken erdoorheen.

Een laatste voorbehoud. Naar het oppervlak teruggebracht, komt het AABW op $30.5{}^{\circ}\mathrm{S}$ uit op $\sigma_\theta = 27.854$, iets lichter dan het NADW erboven, $27.857$; onderaan de kolom op $10.5{}^{\circ}\mathrm{S}$ neemt $\sigma_\theta$ zelfs met de diepte af. De verhouding $\alpha/\beta$ van de toestandsvergelijking verandert met de druk, zodat de volgorde van twee wateren van verschillende temperatuur kan afhangen van de druk waarbij hun dichtheden worden vergeleken. Wateren die duizenden meters diep liggen, worden vergeleken met een dichtheid die naar een druk dichter bij hun eigen wordt gerefereerd, zoals $\sigma_2$, gerefereerd op $2000\,\mathrm{dbar}$; de methode is die van Boek 4.

## 26.6 Oefeningen

**Oefening 26.1 ★.**

(a) Bereken de schaalhoogte van lucht bij $250\,\mathrm{K}$ met de constanten van de [standaardatmosfeer](#def-b1-fluid-envelopes-structure-standard-atmosphere). (b) Met welke factor daalt de druk over $10\,\mathrm{km}$ in een isotherme laag op die temperatuur? (c) Waarom is de schaalhoogte kleiner aan de tropopauze dan aan de grond?

**Oplossing van Oefening 26.1.**

(a) $H = R^*T/(M_0 g_0) = 8314.32 \times 250/(28.9644 \times 9.80665) =
7.32\,\mathrm{km}$. (b) $e^{10/7.32} = 3.92$: de druk daalt tot ongeveer een kwart. (c) $H$ is evenredig met de temperatuur: bij $216.65\,\mathrm{K}$ is het $6.34\,\mathrm{km}$, tegen $8.43\,\mathrm{km}$ bij $288.15\,\mathrm{K}$. Koude lucht is bij een gegeven druk dichter, dus daalt de druk sneller met de hoogte.

**Oefening 26.2 ★.**

Een sondering geeft, in kelvin per kilometer, de [omgevingsgradiënten](#def-b1-fluid-envelopes-structure-lapse-rate) $\Gamma = 11.0$ ($0\text{ tot }0.3\,\mathrm{km}$), $9.7$ ($0.3\text{ tot }1.2\,\mathrm{km}$), $-4.0$ ($1.2\text{ tot }1.5\,\mathrm{km}$), $6.0$ ($1.5\text{ tot }8\,\mathrm{km}$) en $0.0$ (boven $8\,\mathrm{km}$). Classificeer elke laag als labiel, neutraal, stabiel of een inversie, en zeg welke het meest stabiel is.

**Oplossing van Oefening 26.2.**

Met $\Gamma_d = 9.76\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$: $0\text{ tot }0.3\,\mathrm{km}$, $11.0 > 9.76$, labiel; $0.3\text{ tot }1.2\,\mathrm{km}$, $9.7$, neutraal binnen de precisie van de gegevens; $1.2\text{ tot }1.5\,\mathrm{km}$, een inversie; $1.5\text{ tot }8\,\mathrm{km}$, stabiel; boven $8\,\mathrm{km}$, isotherm, stabiel. De inversie is het meest stabiel, aangezien $\Gamma_d - \Gamma = 13.8$ daar het grootst is.

**Oefening 26.3 ★.**

(a) Zeewater heeft een dichtheid van $1026.95\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Wat is haar [dichtheidsanomalie](#def-b1-fluid-envelopes-structure-eos)? (b) Van twee wateren, A met $\sigma_\theta = 27.12$ en B met $\sigma_\theta = 26.78$, welke ligt boven de andere wanneer beide in rust zijn in dezelfde kolom? (c) Waarom schrijven oceanografen $\sigma$ in plaats van $\rho$?

**Oplossing van Oefening 26.3.**

(a) $\sigma = 1026.95 - 1000 = 26.95\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (b) B, het lichtere, ligt boven A. (c) Alle dichtheden van zeewater beginnen met dezelfde cijfers, 10; $\sigma$ houdt alleen de cijfers over die van het ene water naar het andere veranderen.

**Oefening 26.4 ★.**

Water P $(S = 35.40, \theta = 15.0\,{}^{\circ}\mathrm{C})$ mengt met water Q $(S =
34.30, \theta = 4.0\,{}^{\circ}\mathrm{C})$. (a) Bereken het zoutgehalte en de [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature) van een mengsel van één deel P met drie delen Q. (b) Waar ligt het op het [T–S-diagram](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ts-diagram)? (c) Een derde water R $(34.90,
2.5\,{}^{\circ}\mathrm{C})$ wordt toegevoegd. Kan het mengsel van de drie $(34.60, 8.0\,{}^{\circ}\mathrm{C})$ hebben?

**Oplossing van Oefening 26.4.**

(a) $S = 0.25 \times 35.40 + 0.75 \times 34.30 = 34.575$; $\theta = 0.25 \times
15.0 + 0.75 \times 4.0 = 6.75\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) Op het lijnstuk PQ, een kwart van de weg van Q naar P ([Propositie 26.16](#prop-b1-fluid-envelopes-structure-mixing)). (c) De mengsels van P, Q en R vullen de driehoek PQR. Schrijven we $(34.60, 8.0) = a\,\mathrm P + b\,\mathrm Q + c\,\mathrm R$ met $a + b + c = 1$, dan volgt $a = 0.345$, $b = 0.788$, $c = -0.133$: een negatief aandeel van R, dus ligt het punt buiten de driehoek en kan geen mengsel van de drie het voortbrengen.

**Oefening 26.5 ★★.**

(a) Op $500\,\mathrm{hPa}$ is de lucht op $-20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Bereken haar [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature). (b) Aan de grond, op $1000\,\mathrm{hPa}$, is de lucht op $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Is de laag tussen beide stabiel voor droge lucht? (c) Welke temperatuur zou de lucht van $500\,\mathrm{hPa}$ hebben die adiabatisch naar de grond wordt gebracht?

**Oplossing van Oefening 26.5.**

(a) $\theta = 253.15 \times 2^{2/7} = 308.6\,\mathrm{K}$. (b) Op $1000\,\mathrm{hPa}$, $\theta = T = 298.15\,\mathrm{K}$. De [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature) neemt naar boven toe, van 298.2 tot $308.6\,\mathrm{K}$: de laag is stabiel voor droge lucht. (c) Zij zou aankomen met haar [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature), $308.6\,\mathrm{K}$, dat is $35.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, tien graden warmer dan de lucht die er al is.

**Oefening 26.6 ★★.**

(a) Bereken met [Propositie 26.2](#prop-b1-fluid-envelopes-structure-layer-pressure) de druk op $5\,\mathrm{km}$ in de [standaardatmosfeer](#def-b1-fluid-envelopes-structure-standard-atmosphere). (b) Bereken haar opnieuw uitgaande van een isotherme atmosfeer op $288.15\,\mathrm{K}$. Welke is lager, en waarom? (c) Bereken de druk op $20\,\mathrm{km}$ uit de waarden op $11\,\mathrm{km}$ van [Table 26.1](#tab-b1-fluid-envelopes-structure-layers).

**Oplossing van Oefening 26.6.**

(a) $T = 288.15 - 6.5 \times 5 = 255.65\,\mathrm{K}$ en $p = 101\,325 \times
(255.65/288.15)^{5.256} = 54\,020\,\mathrm{Pa}$, $540.2\,\mathrm{hPa}$. (b) $H =
8.43\,\mathrm{km}$ en $p = 101\,325\,e^{-5/8.43} = 56\,010\,\mathrm{Pa}$. De echte (standaard-)druk is lager: de lucht daar is kouder dan $288.15\,\mathrm{K}$, dus dichter, en de druk daalt sneller met de hoogte. (c) $p = 22\,632\,
e^{-9/6.34} = 5475\,\mathrm{Pa}$, de waarde van [Table 26.1](#tab-b1-fluid-envelopes-structure-layers).

**Oefening 26.7 ★★.**

Gebruik de lineaire toestandsvergelijking rond $(35, 10\,{}^{\circ}\mathrm{C})$ met de coëfficiënten van [Table 26.2](#tab-b1-fluid-envelopes-structure-density). (a) Welke verandering van zoutgehalte compenseert, voor de dichtheid, een opwarming van $1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$? (b) Een water van $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ wordt met $2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ opgewarmd en met $0.3$ zouter gemaakt. Wordt het dichter of lichter, en met hoeveel? (c) Beantwoord dezelfde vraag voor een water van $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, met de coëfficiënten van die temperatuur.

**Oplossing van Oefening 26.7.**

(a) $\beta\,\Delta S = \alpha\,\Delta T$ geeft $\Delta S = 1.67/7.61 = 0.22$. (b) $\Delta\rho = 1026.95 \times (-1.67\times10^{-4} \times 2 + 7.61\times10^{-4}
\times 0.3) = -0.11\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$: het water wordt lichter. (c) $\Delta\rho = 1028.11 \times (-0.53\times10^{-4} \times 2 + 7.85\times10^{-4}
\times 0.3) = +0.13\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$: dezelfde veranderingen maken het nu dichter, omdat opwarming de dichtheid van water nabij het vriespunt nauwelijks verandert.

**Oefening 26.8 ★★.**

Een laag op $260\,\mathrm{K}$ heeft een gradiënt van $4\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. (a) Bereken haar drijffrequentie en de periode van de oscillatie van een pakketje dat erin wordt verplaatst. (b) Bereken dezelfde grootheden voor een inversie op $270\,\mathrm{K}$ waar $\Gamma = -5\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. (c) Wat gebeurt er met de periode wanneer $\Gamma$ naar $\Gamma_d$ nadert?

**Oplossing van Oefening 26.8.**

(a) $N^2 = (9.81/260) \times (9.76 - 4)\times10^{-3} = 2.17 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-2}$, $N = 0.0147\,\mathrm{s}^{-1}$, periode $2\pi/N = 426\,\mathrm{s}$, ongeveer zeven minuten. (b) $N^2 = (9.81/270) \times 14.76\times10^{-3} = 5.36 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-2}$, $N = 0.0232\,\mathrm{s}^{-1}$, periode $271\,\mathrm{s}$. (c) $N$ gaat naar nul en de periode groeit zonder grens: de herstellende kracht verdwijnt in een neutrale laag.

**Oefening 26.9 ★★.**

Op het profiel op $30.5{}^{\circ}\mathrm{S}$ heeft de AAIW-kern $\theta =
4.31\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $S = 34.30$, $\sigma_\theta = 27.20$, en het Centraal Water op $200\,\mathrm{m}$ heeft $\theta = 15.43\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $S = 35.54$, $\sigma_\theta = 26.30$. (a) Waarom ligt het AAIW onder het Centraal Water, hoewel het zoeter is? (b) Schat met de lineaire toestandsvergelijking rond $(35, 10\,{}^{\circ}\mathrm{C})$ het verschil van $\sigma_\theta$ tussen beide, en vergelijk met het exacte verschil. (c) Welk van de twee effecten, temperatuur of zoutgehalte, wint?

**Oplossing van Oefening 26.9.**

(a) Zij is dichter, $\sigma_\theta = 27.20$ tegen 26.30: het AAIW is zoeter maar veel kouder. (b) $\Delta\sigma = 1026.95 \times [-1.67\times10^{-4} \times
(4.31 - 15.43) + 7.61\times10^{-4} \times (34.30 - 35.54)] = 1.907 - 0.969 =
0.94$, tegen $0.90$ exact. (c) Temperatuur: de afkoeling voegt $1.91\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ toe, het zoeter worden haalt $0.97\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ weg.

**Oefening 26.10 ★★★.**

Een laag droge lucht heeft een uniforme [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature) $\theta$. (a) Toon aan dat haar temperatuur met de hoogte afneemt met de snelheid $\Gamma_d$. (b) Toon aan dat de druk erin $p = p_s\,(1 - \Gamma_d z/T_s)^{c_pM/R}$ is, waarin $T_s$ en $p_s$ de waarden bij $z = 0$ zijn. (c) Zo’n laag heeft een top: op welke hoogte zou de druk nul worden, voor $T_s = 300\,\mathrm{K}$? Waarom wordt die hoogte nooit bereikt?

**Oplossing van Oefening 26.10.**

(a) Volgens [Stelling 26.10](#thm-b1-fluid-envelopes-structure-stability), $(g/\theta)\,\mathrm
d\theta/\mathrm dz = (g/T)(\Gamma_d - \Gamma)$; $\mathrm d\theta/\mathrm dz = 0$ geeft $\Gamma = \Gamma_d$. (b) $T = T_s - \Gamma_d z$, een laag van constante gradiënt $L = \Gamma_d$: volgens [Propositie 26.2](#prop-b1-fluid-envelopes-structure-layer-pressure), $p =
p_s (T/T_s)^{gM/(R\Gamma_d)}$, en $gM/(R\Gamma_d) = gMc_p/(Rg) = c_pM/R$ ($= 3.5$ voor droge lucht). (c) $p$ wordt nul waar $T = 0$, bij $z = T_s/\Gamma_d =
300/9.76 = 30.7\,\mathrm{km}$. Werkelijke lagen van uniforme [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature) zijn hooguit een paar kilometer diep: zij worden bedekt door stabiele lucht, zoals de troposfeer door de stratosfeer.

**Oefening 26.11 ★★★.**

Twee wateren liggen op de isopycnale $\sigma_\theta = 27.00$: A bij $2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $S = 33.787$, en B bij $14\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $S = 36.050$. (a) Bereken het zoutgehalte en de [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature) van een mengsel in gelijke delen. (b) Toon aan dat het mengsel, met een lineaire toestandsvergelijking, $\sigma_\theta = 27.00$ zou hebben. (c) Met de exacte vergelijking heeft het mengsel $\sigma_\theta = 27.21$. Verklaar met de coëfficiënten $\alpha$ en $\beta$ bij $2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $14\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ waarom het dichter is. (d) Waarom is het effect het grootst voor wateren van zeer verschillende temperatuur?

**Oplossing van Oefening 26.11.**

(a) $S = (33.787 + 36.050)/2 = 34.919$, $\theta = 8.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) Met een lineaire toestandsvergelijking is $\sigma$ een affiene functie van $S$ en $\theta$, dus is de $\sigma$ van het mengsel het gemiddelde van de twee, 27.00. (c) $\alpha$ is $0.75 \times 10^{-4}\,\mathrm{K}^{-1}$ bij $2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $2.07 \times 10^{-4}\,\mathrm{K}^{-1}$ bij $14\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, terwijl $\beta$ weinig verandert ($7.80 \times 10^{-4}$ en $7.53 \times 10^{-4}$). De dichtheid daalt steeds sneller naarmate de temperatuur stijgt: zij is een concave functie van de temperatuur. Langs de mengingslijn ligt het mengsel op de gemiddelde temperatuur, waar de dichtheid boven de koorde ligt die de twee ouders verbindt, dus boven 27.00. (d) De overmaat komt van de kromming, een term van de tweede orde: zij groeit met het kwadraat van het temperatuurverschil van de ouders.

**Oefening 26.12 ★★★.**

Op de bodem van de Zuid-Atlantische Oceaan op $10.5{}^{\circ}\mathrm{S}$ is de gemeten temperatuur $0.7299\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op $5400\,\mathrm{m}$ en $0.7313\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op $5500\,\mathrm{m}$. De drukken daar zijn $5500\,\mathrm{dbar}$ en $5604\,\mathrm{dbar}$. (a) Met een adiabatische gradiënt van $0.129\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per $1000\,\mathrm{dbar}$, hoeveel zou een pakketje dat van $5500\,\mathrm{m}$ naar $5400\,\mathrm{m}$ wordt gebracht, afkoelen? (b) Is de laag statisch stabiel? (c) Over de hele kolom gemiddeld de adiabatische gradiënt $0.086\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per $1000\,\mathrm{dbar}$: schat de [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature) van het bodemwater en vergelijk met de $0.250\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ die het exacte algoritme berekent.

**Oplossing van Oefening 26.12.**

(a) Het drukverschil is $5604 - 5500 = 104\,\mathrm{dbar}$: het pakketje koelt af met $0.129 \times 0.104 = 0.013\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, tot $0.718\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) Het water eromheen op $5400\,\mathrm{m}$ is op $0.730\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, warmer: het pakketje, met bijna dezelfde zoutgehalte, is dichter dan zijn omgeving en zakt terug. De laag is stabiel, hoewel de gemeten temperatuur naar beneden toeneemt; haar [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature) daalt naar beneden. (c) $\theta \approx
0.7313 - 0.086 \times 5.604 = 0.249\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, binnen een duizendste van een graad van de exacte waarde.

## 26.7 Probleem: een radiosonde en een CTD op dezelfde dag

**Probleem 26.1.**

Weekendprobleem — de gelaagdheid van de oceaan en van de lucht erboven, op één dag gemeten

Een onderzoeksschip in de subtropische Zuid-Atlantische Oceaan laat in de ochtend een CTD zakken en lanceert in de vroege middag een radiosonde. Gebruik $\Gamma_d =
9.76\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$, $\kappa = 2/7$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $R/M =
287\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ voor droge lucht, en de lineaire [toestandsvergelijking van zeewater](#def-b1-fluid-envelopes-structure-eos) rond $(35, 10\,{}^{\circ}\mathrm{C})$: $\rho_0 = 1026.95\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\alpha = 1.67 \times 10^{-4}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\beta = 7.61 \times 10^{-4}$. Alle gegevens zijn oefengegevens.

**Deel I — De CTD-worp.** De worp geeft (temperatuur in ${}^{\circ}\mathrm{C}$):

| Diepte (m) | 0 | 10 | 25 | 50 | 75 | 100 | 150 | 200 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $T$ | 22.40 | 22.38 | 22.35 | 22.10 | 19.20 | 17.60 | 16.00 | 14.90 |
| $S$ | 35.80 | 35.80 | 35.80 | 35.79 | 35.70 | 35.62 | 35.55 | 35.45 |
| Diepte (m) | 300 | 500 | 800 | 1000 | 1500 | 2500 | 3000 |  |
| $T$ | 13.00 | 9.60 | 4.80 | 3.80 | 3.00 | 2.60 | 2.50 |  |
| $S$ | 35.22 | 34.82 | 34.32 | 34.36 | 34.60 | 34.89 | 34.90 |  |

1. Schets de profielen van temperatuur en zoutgehalte.
2. Bepaal de diepte van de [gemengde laag](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ocean-layers) met een drempel van $0.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
3. Bereken de gemiddelde temperatuurgradiënt tussen $50\,\mathrm{m}$ en $300\,\mathrm{m}$ , in ${}^{\circ}\mathrm{C}$ per $100\,\mathrm{m}$ . Waar is de [thermoklien](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ocean-layers) ?
4. Bereken $\sigma$ aan het oppervlak met de lineaire toestandsvergelijking. De exacte vergelijking geeft $\sigma_\theta = 24.71$ : verklaar het verschil.
5. Identificeer het zoutgehalteminimum en het zoutgehaltemaximum. Welke [watermassa](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ts-diagram) ’s onthullen zij, en waar vormden die zich?
6. Het exacte algoritme geeft een [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature) van $2.26\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op $3000\,\mathrm{m}$ . Wat is de gemiddelde adiabatische gradiënt over de kolom, in ${}^{\circ}\mathrm{C}$ per $1000\,\mathrm{dbar}$ , met $3042\,\mathrm{dbar}$ op die diepte?
7. De exacte $\sigma_\theta$ zijn $26.35$ op $200\,\mathrm{m}$ , $27.17$ op $800\,\mathrm{m}$ en $27.87$ op $3000\,\mathrm{m}$ . Is de kolom stabiel? Waar is de [pyklien](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ocean-layers) ?

**Deel II — Twee watermassa’s ontmoeten elkaar.** Neem het water op $200\,\mathrm{m}$ (noem het C) en het water op $800\,\mathrm{m}$ (noem het I).

8. Bereken het zoutgehalte en de [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature) van een mengsel van gelijke delen van C en I, met $\theta \approx T$ voor beide.
9. Bereken $\sigma$ van C, van I en van het mengsel met de lineaire toestandsvergelijking. Hoe verhoudt de waarde van het mengsel zich tot het gemiddelde van de twee ouders?
10. De exacte $\sigma_\theta$ van het mengsel is $26.888$ , die van C $26.342$ en van I $27.159$ . Met hoeveel is het mengsel dichter dan het gemiddelde van zijn ouders? Noem het effect.
11. Nabij welke diepte van de worp ligt een water van de dichtheid van het mengsel? Vergelijk zijn temperatuur en zoutgehalte met die van het mengsel.
12. Wat zou een mengsel van één deel C en drie delen I zijn? Ligt het op de worp?

**Deel III — De radiosonde.** De sondering geeft (hoogten boven de zee, temperaturen in ${}^{\circ}\mathrm{C}$):

| Niveau | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $z$ (km) | 0.0 | 0.5 | 1.5 | 1.9 | 5.0 | 9.0 | 12.5 | 14.0 | 18.0 | 24.0 |
| $p$ (hPa) | 1012 | 955 | 847 | 807 | 547 | 317 | 186 | 147 | 78 | 30 |
| $T$ | 22.0 | 17.0 | 7.3 | 9.5 | $-10.0$ | $-36.0$ | $-59.0$ | $-59.5$ | $-57.5$ | $-52.5$ |

13. Bereken de gradiënt van elk van de negen lagen.
14. Classificeer elke laag met [Methode 26.11](#met-b1-fluid-envelopes-structure-sounding) . Waar is de tropopauze?
15. Neem de laag H–I als isotherm op haar gemiddelde temperatuur, bereken haar schaalhoogte en controleer dat de drukken op H en I consistent zijn.
16. Het zeeoppervlak is op $22.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (Deel I). Wat zeggen de temperatuur op A en de laag A–B over de [warmtestroom](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/10-de-warmtebalans-van-de-aarde#def-b1-heat-budget-heat-flow) tussen zee en lucht?
17. Een pakketje verlaat A op $22.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en stijgt droog op. Bereken zijn temperatuur op B, op C en op D, en vergelijk met de sondering.
18. Op welke hoogte houdt het pakketje op warmer te zijn dan de omringende lucht? Wat stopt het?
19. Waarom heeft de laag B–C een gradiënt zo dicht bij $\Gamma_d$ ?

**Deel IV — Potentiële temperatuur en stabiliteit.**

20. Bereken de [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature) op elk niveau.
21. Welke lagen hebben $\theta$ dalend, constant en stijgend met de hoogte? Vergelijk met vraag 14.
22. Bereken $\mathrm d\theta/\mathrm dz$ in de lagen E–F en H–I.
23. Bereken de drijffrequentie en de periode van de oscillatie in de laag H–I, met haar gemiddelde [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature) .
24. Vergelijk de stabiliteit van de laag H–I met die van de [thermoklien](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ocean-layers) van Deel I, waar $N^2 = (g/\rho)\,\mathrm d\rho/\mathrm dz$ met $z$ de diepte; gebruik de exacte $\sigma_\theta$ van $24.79$ op $50\,\mathrm{m}$ en $26.35$ op $200\,\mathrm{m}$ .
25. Wat is de [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature) aan de tropopauze?

**Oplossing van Probleem 26.1.**

1. De temperatuur is bijna uniform tot $50\,\mathrm{m}$ , daalt snel tot $300\,\mathrm{m}$ , langzamer tot $1000\,\mathrm{m}$ , en is onder die diepte bijna uniform. Het zoutgehalte daalt van 35.80 aan het oppervlak tot een minimum van 34.32 op $800\,\mathrm{m}$ , en stijgt dan tot 34.90 op $3000\,\mathrm{m}$ .
2. $22.40 - 0.5 = 21.90\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ wordt bereikt tussen $50\,\mathrm{m}$ (22.10) en $75\,\mathrm{m}$ (19.20): $50 + 25 \times 0.20/2.90 = 52\,\mathrm{m}$ .
3. $(22.10 - 13.00)/250 = 0.0364\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{m}$ , $3.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per $100\,\mathrm{m}$ . De [thermoklien](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ocean-layers) strekt zich uit van de basis van de [gemengde laag](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ocean-layers) , nabij $50\,\mathrm{m}$ , tot ongeveer $800\,\mathrm{m}$ ; zij is het scherpst tussen $50\,\mathrm{m}$ en $75\,\mathrm{m}$ ( $11.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per $100\,\mathrm{m}$ ).
4. $\sigma = 1026.95 \times [1 - 1.67\times10^{-4} \times 12.4 +  7.61\times10^{-4} \times 0.80] - 1000 = 25.45$ , $0.74\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ te hoog. Het oppervlaktewater ligt ver van de referentietoestand, en $\alpha$ is veel groter bij $22\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dan bij $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : de lineaire vorm onderschat de daling van de dichtheid door de warmte.
5. Het zoutgehalteminimum op $800\,\mathrm{m}$ , 34.32 bij $4.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , is Antarctisch Tussenwater, gevormd onder de regenrijke westenwinden van de Zuidelijke Oceaan. Het maximum op $3000\,\mathrm{m}$ , 34.90 bij $2.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , is Noord-Atlantisch Diepwater, gevormd in de Groenland- en Labradorzee.
6. $(2.50 - 2.26)/3.042 = 0.079\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per $1000\,\mathrm{dbar}$ .
7. $\sigma_\theta$ neemt met de diepte toe: de kolom is stabiel. De [pyklien](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ocean-layers) is waar $\sigma_\theta$ het snelst toeneemt, in de bovenste paar honderd meter, samen met de [thermoklien](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ocean-layers) : $0.82$ tussen $200\,\mathrm{m}$ en $800\,\mathrm{m}$ , slechts $0.70$ over de $2200\,\mathrm{m}$ eronder.
8. $S = (35.45 + 34.32)/2 = 34.885$ ; $\theta = (14.90 + 4.80)/2 =  9.85\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
9. C: 26.461; I: 27.310; mengsel: 26.886, precies het gemiddelde van de twee (26.886), aangezien de lineaire vorm affien is.
10. Het gemiddelde van de ouders is $(26.342 + 27.159)/2 = 26.751$ ; het mengsel, bij 26.888, is $0.14\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ dichter. Dit is cabbeling.
11. Met de lineaire vorm geeft de worp 26.61 op $300\,\mathrm{m}$ , 26.88 op $500\,\mathrm{m}$ en 27.31 op $800\,\mathrm{m}$ : de dichtheid van het mengsel ligt nabij $500\,\mathrm{m}$ . Het water daar, $(34.82, 9.6\,{}^{\circ}\mathrm{C})$ , is zeer dicht bij het mengsel $(34.885, 9.85\,{}^{\circ}\mathrm{C})$ : de worp tussen het Central Water en het AAIW is zelf bijna een mengingslijn tussen hen.
12. $S = 0.25 \times 35.45 + 0.75 \times 34.32 = 34.60$ , $\theta = 0.25  \times 14.90 + 0.75 \times 4.80 = 7.33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Geïnterpoleerd tussen $500\,\mathrm{m}$ en $800\,\mathrm{m}$ geeft de worp $(34.57, 7.2\,{}^{\circ}\mathrm{C})$ nabij $650\,\mathrm{m}$ : bijna erop.
13. In $\mathrm{K}/\mathrm{km}$ : A–B 10.0; B–C 9.7; C–D $-5.5$ ; D–E 6.29; E–F 6.50; F–G 6.57; G–H 0.33; H–I $-0.50$ ; I–J $-0.83$ .
14. A–B labiel; B–C neutraal; C–D een inversie; D–E, E–F, F–G stabiel; G–H bijna isotherm, stabiel; H–I en I–J inversies. De tropopauze ligt bij G, $12.5\,\mathrm{km}$ en $-59.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , waar de temperatuur ophoudt te dalen.
15. De gemiddelde temperatuur is $214.65\,\mathrm{K}$ : $H = 287 \times 214.65/9.81 =  6.28\,\mathrm{km}$ , en $147\,e^{-4/6.28} = 77.7\,\mathrm{hPa}$ , in overeenstemming met de 78 gemeten.
16. De lucht bij A, $22.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , is koeler dan de zee: warmte stroomt van de zee naar de lucht, die van onderen wordt verwarmd. De laag A–B, met een gradiënt die groter is dan $\Gamma_d$ , is hiervan het resultaat.
17. Bij B: $22.0 - 9.76 \times 0.5 = 17.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , tegen 17.0; bij C: $7.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , tegen 7.3; bij D: $3.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , tegen 9.5. Het pakketje is tot C iets warmer dan de lucht, en veel kouder bij D.
18. Aan de basis van de inversie, nabij $1.5\,\mathrm{km}$ : bij het binnengaan van de inversie wordt het pakketje kouder, dus dichter, dan de lucht eromheen, wat zijn stijging stopt.
19. Pakketten die door de labiele oppervlaktelaag worden vrijgemaakt, stijgen erdoor en mengen haar tot haar [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature) uniform is, zodat haar gradiënt $\Gamma_d$ wordt; de inversie erboven stopt de menging.
20. In K: A 294.15; B 293.99; C 294.08; D 300.51; E 312.65; F 329.29; G 346.28; H 369.50; I 446.99; J 600.91.
21. $\theta$ daalt van A naar B (labiel), is bijna constant van B naar C (neutraal) en stijgt daarboven (stabiel), het snelst van C naar D en boven G: dezelfde classificatie als in vraag 14.
22. E–F: $(329.29 - 312.65)/4 = 4.2\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ ; H–I: $(446.99 -  369.50)/4 = 19.4\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ , bijna vijf keer zoveel.
23. Met het gemiddelde $\theta = 408.2\,\mathrm{K}$ : $N^2 = (9.81/408.2) \times  0.01937 = 4.66 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-2}$ , $N = 0.0216\,\mathrm{s}^{-1}$ , een periode van $291\,\mathrm{s}$ , ongeveer vijf minuten.
24. $N^2 = (9.81/1027) \times (26.35 - 24.79)/150 = 9.9 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-2}$ , $N = 0.0100\,\mathrm{s}^{-1}$ , een periode van $630\,\mathrm{s}$ . De onderste stratosfeer is de stabielere, met $N^2$ bijna vijf keer groter dan in de [thermoklien](#def-b1-fluid-envelopes-structure-ocean-layers) .
25. Bij G, $\theta = 214.15 \times (1000/186)^{2/7} = 346\,\mathrm{K}$ : de [potentiële temperatuur](#def-b1-fluid-envelopes-structure-potential-temperature) aan de tropopauze is ongeveer $346\,\mathrm{K}$ .