---
title: "Veldwerk- en laboratoriummethoden I"
book: "Universitaire aard- en ruimtewetenschappen — jaar 1"
subject: earth
language: nl
chapter: 6
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/6-veldwerk-en-laboratoriummethoden-i
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# Hoofdstuk 6 — Veldwerk- en laboratoriummethoden I

Een geoloog die de Varden Hills in kaart brengt, draagt weinig mee: een notitieboekje, een potlood, een satellietontvanger, een kompas-kliseometer, een handlens en een paar monsterzakjes. Daarmee bepaalt zij waar zij staat, meet zij de oriëntatie van de lagen, benoemt zij de gesteenten en brengt zij de monsters terug die het laboratorium zal zagen, malen en onder een microscoop bekijken. Elk getal van de voorgaande hoofdstukken — een oriëntatie op een kaart, een helling in een doorsnede — begon als zo’n aflezing, met haar eigen fout. Dit hoofdstuk beschrijft hoe professionals deze waarnemingen doen, en hoe herhaalde aflezingen worden gemiddeld en hun spreiding in een onzekerheid wordt omgezet. Het eindigt met een veldseizoen van aflezingen op de oostflank van de [antiklinaal](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-fold) van Varden.

**Wat je al weet.**

De oriëntatie van een vlak wordt geschreven als [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude)/helling, bijvoorbeeld $081/12$, of als een [strijk](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) volgens de rechterhandregel met een helling ([Hoofdstuk 4](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#ch-b1-geological-maps)). De magnetische declinatie is de hoek tussen het geografische noorden en de [richting](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge) waarin een kompasnaald wijst (natuurkunde, klas 11). Mineralen worden in de hand herkend aan hun glans, splijting, hardheid en kleur (Boek 2, klas 11). Het gemiddelde en de standaardafwijking van een reeks getallen vatten hun midden en hun spreiding samen (wiskunde).

## 6.1 Het veldboek en de kaart

**Definitie 6.1 (Veldstation, veldboek).**

Een *veldstation* is een genummerde plaats waar een geoloog waarnemingen doet en registreert: haar positie, de gesteenten die zij ziet, hun oriëntatie en de genomen monsters. Het *veldboek* is het ingebonden verslag van de stations, in de volgorde waarin ze zijn bezocht, met hun nummers, schetsen en metingen, ter plaatse geschreven.

Het notitieboekje is de primaire registratie: wat niet op het station is opgeschreven, gaat verloren, en een kaart die ’s avonds is getekend, is niet beter dan de aantekeningen eronder. Elk station heeft een nummer dat op de veldkaart, in het notitieboekje en op elk monsterzakje dat er is genomen verschijnt. Een schets toont wat een lijst van getallen niet kan tonen — hoe twee eenheden samenkomen, welke kant de jongere lagen op liggen, waar een meting op een geplooid oppervlak is gedaan — en legt schaal en oriëntatie vast. Feiten en interpretaties worden uit elkaar gehouden: “kalksteen op schalie, scherp contact” is een waarneming; “[discordantie](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/5-geologische-doorsneden#def-b1-cross-sections-unconformity)” is een gevolgtrekking, en wordt als zodanig geschreven.

**In het veld — Een dag kaarteren.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-field-lab-methods-1/img-c0c4312b37ab.jpg)

Een kaarterende geoloog plant een traverse dwars op de [strijk](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude), zodat zij elke eenheid achtereenvolgens bereikt, en stopt waar een contact, een verandering van gesteente of een meetbaar oppervlak verschijnt. Op elk station schrijft zij het stationsnummer en de positie, schetst zij wat zij ziet, meet zij oriëntaties en noteert zij de monsters. De posities komen van een satellietontvanger: een gewone ontvanger, zoals die van een smartphone, is onder open hemel doorgaans nauwkeurig tot ongeveer $4.9\,\mathrm{m}$, slechter nabij rotswanden en bomen, terwijl meetontvangers die twee frequenties gebruiken of correctiediensten gebruiken, enkele centimeters halen. Op een kaartschaal van 1:10 000 is $4.9\,\mathrm{m}$ een half millimeter: een gewone ontvanger is goed genoeg voor de kartering, maar niet om de trage beweging van de grond te meten ([Hoofdstuk 12](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/12-plaatbeweging-op-een-bol#ch-b1-plate-kinematics)).

## 6.2 Oriëntaties meten

De oriëntatie van een vlak — een laag, een breuk, een spleet — wordt met een kompas-kliseometer gemeten: een magnetisch kompas om [azimuten](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/1-sferische-astronomie#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) af te lezen, en een slinger of waterpas om hoeken ten opzichte van de horizontale af te lezen. Haar rand wordt langs de [strijk](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) van het oppervlak gelegd om de [strijk](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) af te lezen, of het instrument wordt op het oppervlak gezet langs zijn steilste lijn om de helling af te lezen en, uit het [azimut](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/1-sferische-astronomie#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) van die lijn, de [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude).

![Het meten van een oriëntatie (schematisch). (a) De rand van het kompas, horizontaal op de laag gelegd, geeft de strijk; de hellingrichting staat er loodrecht op, de laag af. (b) Op zijn kant langs de steilste lijn gezet, geeft de kliseometer de helling .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-field-lab-methods-1/fig-49bfeedd3142.svg)

*Het meten van een oriëntatie (schematisch). (a) De rand van het kompas, horizontaal op de laag gelegd, geeft de [strijk](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude); de [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) staat er loodrecht op, de laag af. (b) Op zijn kant langs de steilste lijn gezet, geeft de kliseometer de helling $\delta$.*

Een lijn — een [plooias](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-fold), een kras op een breukvlak, de lange as van keien — heeft een oriëntatie van zichzelf.

**Definitie 6.2 (Richting en duik van een lijn).**

De *richting* van een lijn is het [azimut](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/1-sferische-astronomie#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) van haar horizontale projectie, gemeten naar het einde van de lijn dat naar beneden wijst. Haar *duik* is de hoek tussen de lijn en de horizontale, gemeten in het verticale vlak dat haar bevat. Een lijn die $20{}^{\circ}$ duikt naar $015{}^{\circ}$ wordt geschreven als $20\to015$.

Een lijn met [richting](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge) $t$ en [duik](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge) $p$ heeft de neerwaartse eenheidsvector $(\cos p\sin t, \cos p\cos t, -\sin p)$ in oost-, noord- en opwaartse componenten; een lijn die in een vlak met [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) $\alpha$ en helling $\delta$ ligt, duikt met de [schijnbare helling](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/5-geologische-doorsneden#def-b1-cross-sections-apparent-dip) van dat vlak in het verticale vlak met [azimut](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/1-sferische-astronomie#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $t$, dus $\tan p = \tan\delta\cos(\alpha - t)$ ([Stelling 5.4](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/5-geologische-doorsneden#thm-b1-cross-sections-apparent-dip)).

### 6.2.1 De magnetische declinatie

Een kompasnaald wijst naar het magnetische noorden, niet naar het geografische noorden; de hoek tussen beide is de magnetische declinatie, positief gerekend wanneer het magnetische noorden oostelijk van het geografische noorden ligt. Kaarten en de oriëntaties van dit boek gebruiken geografische [azimuten](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/1-sferische-astronomie#def-b1-spherical-astronomy-horizontal).

**Methode 6.3 (Een kompasazimut corrigeren).**

1. Zoek de magnetische declinatie $D$ voor de plaats en de datum op, uit een model van het aardmagnetisch veld (oost positief, west negatief).
2. Tel die bij elk [azimut](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/1-sferische-astronomie#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) dat op het kompas is afgelezen op: geografisch [azimut](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/1-sferische-astronomie#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $=$ magnetisch [azimut](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/1-sferische-astronomie#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $+ D$ , modulo $360{}^{\circ}$ genomen.
3. Laat hellingen en [duiken](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge) met rust: zij worden ten opzichte van de horizontale gemeten, met de zwaartekracht, niet met de naald.

De meeste veldkompassen kunnen mechanisch worden ingesteld om $D$ op te tellen; de instelling, en het jaar waarvoor zij is gemaakt, worden in het [veldboek](#def-b1-field-lab-methods-1-station) geschreven.

**Cijfers van 2026.**

Op 1 januari 2026 geeft het World Magnetic Model (versie 2025) de magnetische declinatie als $-0.47{}^{\circ}$ (west) in Edinburgh, met een verandering van $+0.20{}^{\circ}$ per jaar; $-11.28{}^{\circ}$ in Reykjavik, met een verandering van $+0.30{}^{\circ}$ per jaar; $+14.20{}^{\circ}$ (oost) in Anchorage, met een verandering van $-0.28{}^{\circ}$ per jaar; en $+23.23{}^{\circ}$ in Wellington. Een geoloog die de correctie in Wellington vergat, zou elk [azimut](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/1-sferische-astronomie#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) met meer dan $23{}^{\circ}$ verkeerd plaatsen; wie een instelling van Edinburgh van tien jaar eerder hergebruikte, zou een fout van ongeveer $2{}^{\circ}$ meedragen.

### 6.2.2 Herhaalde aflezingen

Een enkele aflezing van een gelaagdheidsvlak bevat fouten: het oppervlak is nooit een perfect vlak, het instrument is niet perfect ingesteld en de aflezing is afgerond op de graad. Een geoloog meet daarom hetzelfde oppervlak meerdere keren, of meerdere oppervlakken van dezelfde poot, en middelt. Het middelen van [azimuten](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/1-sferische-astronomie#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) vraagt zorg: de aflezingen $355{}^{\circ}$ en $005{}^{\circ}$ beschrijven [richtingen](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge) die $10{}^{\circ}$ uit elkaar liggen, maar hun rekenkundig gemiddelde, $180{}^{\circ}$, wijst de andere kant op. Het juiste gemiddelde werkt met vectoren.

**Definitie 6.4 (Gemiddelde oriëntatie (vectorgemiddelde)).**

Voor een vlak met [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) $\alpha$ en helling $\delta$ noemen we

$$
\vec n = (\sin\delta\sin\alpha,\ \sin\delta\cos\alpha,\ \cos\delta)
$$

de opwaartse eenheidsnormaal in oost-, noord- en opwaartse componenten. De *gemiddelde oriëntatie* (of *vectorgemiddelde*) van $N$ aflezingen van normalen $\vec n_1, \dots, \vec n_N$ is het vlak waarvan de normaal $\vec m = \vec S/\|\vec S\|$ is, waarin $\vec S = \sum_i \vec n_i$ hun resultante is; $\bar R = \|\vec S\|/N$ is de *gemiddelde resultantelengte*. De gemiddelde [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) en helling zijn $\bar\alpha = \operatorname{atan2}(S_E, S_N)$ en $\bar\delta = \arccos(S_U/\|\vec S\|)$.

Dat $\vec n$ de normaal is, volgt uit [Hoofdstuk 4](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#ch-b1-geological-maps): het vlak $z = -\tan\delta\,(x\sin\alpha + y\cos\alpha)$ heeft de opwaartse normaal $(\tan\delta\sin\alpha, \tan\delta\cos\alpha, 1)$, waarvan de lengte $1/\cos\delta$ is.

**Propositie 6.5 (Het vectorgemiddelde is de dichtstbijzijnde richting).**

Onder alle eenheidsvectoren $\vec u$ maximaliseert de gemiddelde normaal $\vec m$ $\sum_i \vec n_i\cdot\vec u = \sum_i \cos\theta_i(\vec u)$, waarin $\theta_i(\vec u)$ de hoek is tussen $\vec n_i$ en $\vec u$; equivalent: zij minimaliseert $\sum_i \|\vec n_i - \vec u\|^2$. Bovendien geldt

$$
\bar R = \frac1N\sum_i \cos\theta_i, \qquad \theta_i = \theta_i(\vec m),
$$

zodat $0 < \bar R \le 1$, met $\bar R = 1$ alleen als alle aflezingen overeenstemmen, en, wanneer de spreiding klein is, de kwadratisch gemiddelde hoek tussen de aflezingen en hun gemiddelde

$$
\theta_{\text{rms}} \approx \sqrt{2(1 - \bar R)} \quad\text{(radialen)}.
$$

**Bewijs.** $\sum_i \vec n_i\cdot\vec u = \vec S\cdot\vec u \le \|\vec S\|$ volgens de ongelijkheid van Cauchy–Schwarz, met gelijkheid precies wanneer $\vec u = \vec m$. Omdat $\|\vec n_i - \vec u\|^2 = 2 - 2\,\vec n_i\cdot\vec u$, zijn de twee problemen hetzelfde. Met $\vec u = \vec m$ wordt de grens bereikt: $\|\vec S\| = \sum_i\cos\theta_i$, wat de formule voor $\bar R$ is. Ten slotte geldt $\cos\theta \approx 1 - \theta^2/2$ voor kleine $\theta$, dus $1 - \bar R \approx
\frac1N\sum_i\theta_i^2/2 = \theta_{\text{rms}}^2/2$. ∎

Hoe bewegen fouten in de twee hoeken de normaal? Door $\vec n$ af te leiden,

$$
\frac{\partial\vec n}{\partial\delta} = (\cos\delta\sin\alpha,\ \cos\delta\cos\alpha,\ -\sin\delta),
  \qquad
  \frac{\partial\vec n}{\partial\alpha} = (\sin\delta\cos\alpha,\ -\sin\delta\sin\alpha,\ 0):
$$

de eerste heeft lengte 1, de tweede lengte $\sin\delta$, en de twee staan loodrecht op elkaar. Kleine fouten $\Delta\delta$ en $\Delta\alpha$ draaien de normaal daarom over de hoek

$$
\Delta\theta \approx \sqrt{\Delta\delta^2 + \sin^2\delta\,\Delta\alpha^2}.
$$

Bij een flauw hellende laag verandert een fout in de [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) het vlak nauwelijks: bij een laag van $12{}^{\circ}$ draait een fout van $3{}^{\circ}$ in de [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) het vlak slechts over $3\sin12{}^{\circ} = 0.6{}^{\circ}$. Het omgekeerde is de moeilijkheid van de veldgeoloog: de [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) van een flauwe laag wordt slecht door haar vlak bepaald, en kleine golvingen van het oppervlak spreiden haar ruim. De standaardfout van een gemiddelde van $N$ onafhankelijke aflezingen met standaardafwijking $s$ is $s/\sqrt N$ (wiskunde): om haar te halveren, zijn vier keer zoveel aflezingen nodig.

![Vijfentwintig gesimuleerde aflezingen van de gelaagdheid van de oostflank van Varden, waarvan het modelazimut 080.7/12.2 is, elk met fouten van 3 standaardafwijking op beide hoeken, afgerond op de graad. Volle lijn: het gemiddelde; gestreept: één standaardafwijking aan weerszijden (080.8 ± 2.9 en 12.4 ± 2.1). Het vectorgemiddelde van de 25 aflezingen is 080.9/12.3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-field-lab-methods-1/fig-22abea4dcca0.svg)

*Vijfentwintig gesimuleerde aflezingen van de gelaagdheid van de oostflank van Varden, waarvan het modelazimut $080.7/12.2$ is, elk met fouten van $3{}^{\circ}$ standaardafwijking op beide hoeken, afgerond op de graad. Volle lijn: het gemiddelde; gestreept: één standaardafwijking aan weerszijden ($080.8 \pm 2.9$ en $12.4 \pm 2.1$). Het vectorgemiddelde van de 25 aflezingen is $080.9/12.3$.*

## 6.3 De handlens en veldidentificatie

De meeste gesteenten worden in het veld benoemd, vóór enig laboratoriumwerk, uit de mineralen die een handlens toont en uit de manier waarop het gesteente breekt. De geoloog kijkt naar een vers oppervlak, omdat verwering de steen bedekt en verkleurt, en noteert de grootte van de korrels (of ze met het blote oog, met de lens of helemaal niet zichtbaar zijn), hun vormen, of ze als een mozaïek in elkaar grijpen of als zand gecementeerd zijn, en elke uitlijning. De mineralen worden herkend aan de eigenschappen die aan het begin van het hoofdstuk zijn herhaald: de glasachtige glans en het ontbreken van splijting van kwarts, de twee splijtingen en de matte witheid van veldspaat, de plaatjes van mica, de rhomboëdrische splijting van calciet. Hardheid wordt getoetst aan een stalen punt: kwarts is harder dan staal en calciet veel zachter.

Professionals dragen een klein druppelflesje met verdund zoutzuur: een carbonaatgesteente laat bellen koolstofdioxide vrij waar de druppel valt (scheikunde). Calciet reageert snel; dolomiet reageert zwak tenzij het is gepoederd. Het zuur wordt gehanteerd met handschoenen en oogbescherming, en nooit door een lezer van dit boek: de beschrijving gaat over professionele praktijk.

## 6.4 Monsters

**Definitie 6.6 (Georiënteerd monster).**

Een *georiënteerd monster* is een gesteentemonster waarop de geoloog, vóór het te verwijderen, de oriëntatie van een van zijn oppervlakken heeft gemarkeerd (een strijklijn en een hellingpijl, of de [richting](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge) van een lijn), zodat het monster in het laboratorium in zijn veldpositie kan worden teruggelegd.

Een monster is alleen nuttig als het representatief is voor de eenheid die het vertegenwoordigt — vers, niet verweerd, niet genomen uit een ader of een omgevallen blok — en als zijn herkomst zeker is. Elk krijgt het stationsnummer en een monsternummer, geschreven op het gesteente en op het zakje, en wordt in het [veldboek](#def-b1-field-lab-methods-1-station) vermeld met zijn positie, zijn eenheid en de reden waarom het is genomen. Monsters voor chemische of isotopische analyse, waarvan de resultaten decennia later gepubliceerd kunnen worden, worden van het veld tot het laboratorium gevolgd door een schriftelijke registratie van elke hand waar zij doorheen gaan — een bewijsketen — zodat er geen twijfel blijft over welk gesteente welk getal heeft opgeleverd. [Georiënteerde monsters](#def-b1-field-lab-methods-1-sample) zijn nodig wanneer de [richting](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge) van iets binnen het gesteente ertoe doet: een uitlijning van mineralen, een textuur die onder de microscoop zichtbaar is, of de [richting](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge) van de magnetisatie die het gesteente bij zijn vorming kreeg.

## 6.5 Dunne slijpplaten en de polariserende microscoop

**Definitie 6.7 (Dunne slijpplaat).**

Een *dunne slijpplaat* is een plakje gesteente, op een glazen plaatje gelijmd en geslepen tot een standaarddikte van $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, dun genoeg opdat de meeste mineralen licht doorlaten.

**In het laboratorium — Een slijpplaat maken.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-field-lab-methods-1/img-babe22c6b594.jpg)

In het preparatielaboratorium snijdt een technicus met een diamantzaag een klein blok uit het monster, slijpt één vlak volkomen vlak en lijmt het op een glazen plaatje met een epoxyhars waarvan de brekingsindex, 1.54 tot 1.55, bijna die van kwarts is. Het grootste deel van het blok wordt daarna weggezaagd, en het plakje wordt op een draaiende schijf met steeds fijnere schuurmiddelen geslepen tot het $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ dik is. De technicus controleert de dikte onder de microscoop aan de kleuren die kwartskorrels tonen ([Hoofdstuk 8](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/8-optische-mineralogie#ch-b1-optical-mineralogy)), en rondt af met een dun dekglaasje of een gepolijst oppervlak. Poreuze of brokkelige gesteenten worden eerst in hars gedrenkt, zodat zij bijeen blijven.

Het slijpplaatje wordt bestudeerd met een microscoop die twee polariserende filters heeft. Lineaire polarisatie is het onderwerp van de natuurkunde: hier volstaat het dat een polariserend filter alleen licht doorlaat dat in één [richting](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge) trilt, en dat twee filters onder rechte hoeken niets doorlaten.

**Definitie 6.8 (Polariserende microscoop, vlakgepolariseerd licht, gekruiste polarisatoren).**

Een *polariserende microscoop* is een doorlichtmicroscoop met een polariserend filter (de polarisator) onder een tafel die over $360{}^{\circ}$ draait langs een geijkte schaal, en een tweede polariserend filter (de analysator) tussen de objectieflens en het oculair, dat in of uit de lichtweg kan worden bewogen, met zijn trillingsrichting onder rechte hoeken op die van de polarisator. Met de analysator eruit wordt het preparaat gezien in *vlakgepolariseerd licht*; met de analysator erin wordt het gezien tussen *gekruiste polarisatoren*.

![De lichtweg van een polariserende microscoop (schematisch, van onder naar boven). De polarisator en de analysator trillen onder rechte hoeken (dubbele pijlen); met niets ertussen geven gekruiste polarisatoren een zwart veld.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-field-lab-methods-1/fig-8ab2d6e9e15b.svg)

*De lichtweg van een [polariserende microscoop](#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) (schematisch, van onder naar boven). De polarisator en de analysator trillen onder rechte hoeken (dubbele pijlen); met niets ertussen geven [gekruiste polarisatoren](#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) een zwart veld.*

Tussen [gekruiste polarisatoren](#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) blijven het glas van het plaatje, de epoxy en elk isotroop mineraal (een mineraal waarvan de optische eigenschappen in elke [richting](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge) gelijk zijn, zoals kubische kristallen) zwart, wat de draaiing van de tafel ook is. De meeste mineralen zijn niet isotroop: zij veranderen de polarisatie van het licht dat erdoorheen gaat, en verschijnen in interferentiekleuren die veranderen wanneer de tafel draait en die viermaal in een volledige omwenteling verdwijnen. Waarom zij dat doen, en hoe de kleuren en de hoeken een mineraal identificeren, is het onderwerp van [Hoofdstuk 8](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/8-optische-mineralogie#ch-b1-optical-mineralogy). Mineralen in een [slijpplaat](#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section) worden meestal onderzocht bij vergrotingen van ongeveer $16\times$ tot $400\times$.

![Een graniet in slijpplaat tussen gekruiste polarisatoren. Biotiet is bruin, muscoviet toont heldere roze en groene interferentiekleuren, plagioklaas is gestreept door zijn tweelingvorming, en kwarts is wit tot grijs. Foto Darla Sondrol, CC0 (Wikimedia Commons).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-field-lab-methods-1/img-013a3a40a7cc.jpg)

*Een graniet in [slijpplaat](#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section) tussen [gekruiste polarisatoren](#def-b1-field-lab-methods-1-microscope). Biotiet is bruin, muscoviet toont heldere roze en groene interferentiekleuren, plagioklaas is gestreept door zijn tweelingvorming, en kwarts is wit tot grijs. Foto Darla Sondrol, CC0 (Wikimedia Commons).*

**Veiligheid.**

Veld- en laboratoriumwerk worden veilig gemaakt door professionele regels, niet door toeval. In het veld werken geologen in paren of laten zij een schriftelijk plan van hun route en hun terugkeertijd achter; zij dragen weersvoorspellingen, kaarten en eerstehulp bij zich, blijven weg van de voet en de rand van rotswanden en steengroefwanden, en dragen een helm en oogbescherming waar gesteente kan vallen of splinteren; werk op actieve terreinen volgt de regels van de exploitant. In het laboratorium draaien zagen en schijven achter beschermkappen, met water om stof te beperken; harsen en zuren worden met handschoenen en veiligheidsbril onder afzuiging gehanteerd, en elke chemische stof heeft een veiligheidsinformatieblad. Geen van deze activiteiten is alleen voor een lezer van dit boek bedoeld: het hoofdstuk beschrijft professionele praktijk.

## 6.6 Oefeningen

**Oefening 6.1 ★.**

Een satellietontvanger geeft posities binnen ongeveer $4.9\,\mathrm{m}$. Hoe groot is dat op een kaart van 1:10 000? Op 1:25 000?

**Oplossing van Oefening 6.1.**

Op 1:10 000 wordt $4.9\,\mathrm{m}$ $4.9/10\,000 = 0.49\,\mathrm{mm}$; op 1:25 000, $4.9/25\,000 = 0.20\,\mathrm{mm}$, ongeveer de breedte van een potloodlijn.

**Oefening 6.2 ★.**

Een kompas zonder declinatie-instelling leest de [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) $052{}^{\circ}$ op een laag af. Geef de geografische [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) als de aflezing in Reykjavik op 1 januari 2026 is gedaan, en daarna in Wellington op dezelfde dag (gedateerd kader).

**Oplossing van Oefening 6.2.**

In Reykjavik is $D = -11.28{}^{\circ}$: $52 - 11.28 = 040.7{}^{\circ}$. In Wellington is $D = +23.23{}^{\circ}$: $52 + 23.23 = 075.2{}^{\circ}$. Eenzelfde kompasaflezing betekent [richtingen](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge) die $34.5{}^{\circ}$ uit elkaar liggen.

**Oefening 6.3 ★.**

Een [plooias](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-fold) duikt $20{}^{\circ}$ naar $015{}^{\circ}$. Schrijf zijn oriëntatie zoals in de tekst en geef zijn neerwaartse eenheidsvector in oost-, noord- en opwaartse componenten.

**Oplossing van Oefening 6.3.**

$20\to015$. Met $t = 15{}^{\circ}$ en $p = 20{}^{\circ}$ is de neerwaartse eenheidsvector

$$
(\cos20{}^{\circ}\sin15{}^{\circ},\ \cos20{}^{\circ}\cos15{}^{\circ},\ -\sin20{}^{\circ}) =
  (0.2432,\ 0.9077,\ -0.3420).
$$

**Oefening 6.4 ★.**

Drie aflezingen van een verticale spleet geven de [azimuten](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/1-sferische-astronomie#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) van haar normaal $350{}^{\circ}$, $358{}^{\circ}$ en $006{}^{\circ}$. Bereken hun rekenkundig gemiddelde, en daarna het [azimut](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/1-sferische-astronomie#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) van de som van de drie horizontale eenheidsvectoren. Welk gemiddelde is juist?

**Oplossing van Oefening 6.4.**

Het rekenkundig gemiddelde is $(350 + 358 + 6)/3 = 238{}^{\circ}$, bijna tegengesteld aan alle drie aflezingen. De horizontale eenheidsvectoren $(\sin a, \cos a)$ tellen op tot $(-0.1736 - 0.0349 + 0.1045,\ 0.9848 + 0.9994 + 0.9945) = (-0.1040, 2.9787)$, waarvan het [azimut](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/1-sferische-astronomie#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $\operatorname{atan2}(-0.1040, 2.9787) = -2.0{}^{\circ}$ is, dat is $358.0{}^{\circ}$: het juiste gemiddelde, in het midden van de aflezingen.

**Oefening 6.5 ★★.**

Vijf aflezingen van de helling van één laag zijn $34{}^{\circ}$, $37{}^{\circ}$, $35{}^{\circ}$, $33{}^{\circ}$ en $36{}^{\circ}$. Bereken hun gemiddelde, hun standaardafwijking en de standaardfout van het gemiddelde.

**Oplossing van Oefening 6.5.**

Gemiddelde $175/5 = 35.0{}^{\circ}$. Afwijkingen $-1, 2, 0, -2, 1$; som van de kwadraten 10; $s = \sqrt{10/4} = 1.58{}^{\circ}$. Standaardfout $1.58/\sqrt5 = 0.71{}^{\circ}$.

**Oefening 6.6 ★★.**

Een geoloog middelt één aflezing op elke poot van een symmetrische [plooi](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-fold): $090/30$ en $270/30$. Bereken het vectorgemiddelde en $\bar R$. Wat is er misgegaan?

**Oplossing van Oefening 6.6.**

De normalen zijn $(\sin30{}^{\circ}, 0, \cos30{}^{\circ}) = (0.5, 0, 0.866)$ en $(-0.5, 0, 0.866)$; $\vec S = (0, 0, 1.732)$ is verticaal: het gemiddelde is een horizontaal vlak, en $\bar R = 1.732/2 = 0.866$, elke aflezing $30{}^{\circ}$ van het gemiddelde. De twee aflezingen bemonsteren niet één oppervlak met fouten: zij behoren tot twee poten van een [plooi](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-fold), twee verschillende populaties, en hun gemiddelde beschrijft geen van beide. Elke poot wordt afzonderlijk gemiddeld; samen bepalen zij de [plooias](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-fold), de lijn die beide vlakken gemeen hebben, hier horizontaal en noord–zuid.

**Oefening 6.7 ★★.**

Krassen op een gelaagdheidsvlak met oriëntatie $080/12$ hebben de [richting](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge) $120{}^{\circ}$. Wat is hun [duik](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge)? Wat zou die zijn voor de [richting](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge) $170{}^{\circ}$?

**Oplossing van Oefening 6.7.**

$\tan p = \tan12{}^{\circ}\cos(80{}^{\circ} - 120{}^{\circ}) = 0.2126\times0.7660 =
0.1628$: $p = 9.2{}^{\circ}$, de krassen [duiken](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge) naar $120{}^{\circ}$. Voor de [richting](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge) $170{}^{\circ}$ is $\cos(-90{}^{\circ}) = 0$: de lijn is horizontaal, langs de [strijk](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude).

**Oefening 6.8 ★★.**

In Edinburgh is de magnetische declinatie op 1 januari 2026 $-0.47{}^{\circ}$ en verandert zij met $+0.20{}^{\circ}$ per jaar. Wanneer bereikt zij, als de verandering gelijkmatig blijft, nul, en hoe groot is zij op 1 januari 2030?

**Oplossing van Oefening 6.8.**

$0.47/0.20 = 2.35$ jaar na 1 januari 2026, dat is in het voorjaar van 2028. Op 1 januari 2030: $-0.47 + 4\times0.20 = +0.33{}^{\circ}$, oostelijk van het geografische noorden.

**Oefening 6.9 ★★.**

Drie aflezingen van één laag zijn $080/10$, $080/12$ en $080/14$. Toon aan dat hun vectorgemiddelde $080/12$ is, bereken $\bar R$ en de schatting $\sqrt{2(1 - \bar R)}$ van $\theta_{\text{rms}}$, en vergelijk met de exacte kwadratisch gemiddelde hoek.

**Oplossing van Oefening 6.9.**

De drie normalen liggen in het verticale vlak met [azimut](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/1-sferische-astronomie#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $080{}^{\circ}$, op $10{}^{\circ}$, $12{}^{\circ}$ en $14{}^{\circ}$ van de verticale; de buitenste twee zijn symmetrisch om de middelste, dus hun som ligt er langs: het gemiddelde is $080/12$, met $\theta = 2{}^{\circ}, 0, 2{}^{\circ}$. Dan is $\bar R = (1 +
2\cos2{}^{\circ})/3 = (1 + 1.998782)/3 = 0.999594$, en $\sqrt{2(1 - \bar R)} =
\sqrt{0.000812} = 0.028\,50\,\mathrm{rad} = 1.633{}^{\circ}$; exact, $\theta_{\text{rms}} = \sqrt{(4 + 0 + 4)/3} = 1.633{}^{\circ}$.

**Oefening 6.10 ★★★.**

Een [dunne slijpplaat](#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section) snijdt een bolvormige korrel met straal $r$ op een afstand $h$ van zijn middelpunt, met $h$ overal tussen 0 en $r$ even waarschijnlijk. Toon aan dat de gemiddelde straal van de cirkel die in de doorsnede wordt gezien $\pi r/4$ is. Kwartskorrels van $0.50\,\mathrm{mm}$ doorsnede lijken in een [slijpplaat](#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section) gemiddeld hoe groot?

**Oplossing van Oefening 6.10.**

De doorsnede is een cirkel met straal $\sqrt{r^2 - h^2}$. Haar gemiddelde is $\frac1r\int_0^r\sqrt{r^2 - h^2}\,\mathrm dh = \frac1r\cdot\frac{\pi r^2}{4}
= \frac{\pi r}{4}$, omdat de integraal de oppervlakte van een kwartcirkel is. Korrels van $0.50\,\mathrm{mm}$ in doorsnede lijken gemiddeld $0.50\times\pi/4 = 0.39\,\mathrm{mm}$ in doorsnede: een [dunne slijpplaat](#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section) onderschat de korrelgrootte.

**Oefening 6.11 ★★★.**

Toon aan dat als elke [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) van een reeks aflezingen met dezelfde hoek $D$ wordt verhoogd, de [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) van hun vectorgemiddelde met $D$ toeneemt en dat de helling niet verandert. Waarom is dat van belang voor de declinatiecorrectie?

**Oplossing van Oefening 6.11.**

De draaiing over $D$ om de verticale, $(x, y, z) \mapsto (x\cos D + y\sin D,\ -x\sin D + y\cos D,\ z)$, stuurt $(\sin\delta\sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$ naar $(\sin\delta\sin(\alpha + D), \sin\delta\cos(\alpha + D), \cos\delta)$: zij telt $D$ bij elke [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude). Omdat zij lineair is, stuurt zij de resultante $\vec S$ naar de resultante van de gedraaide normalen; zij behoudt lengten en de verticale component, dus de gemiddelde helling $\arccos(S_U/\|\vec S\|)$ verandert niet, en zij draait het horizontale deel van $\vec S$ over $D$, zodat de gemiddelde [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) met $D$ toeneemt. Elke aflezing corrigeren voor de declinatie, of alleen hun gemiddelde, geeft hetzelfde resultaat.

**Oefening 6.12 ★★★.**

Op een laag van $12{}^{\circ}$ varieert de normaal van één aflezing met een standaardafwijking van $2{}^{\circ}$ in elk van twee loodrechte [richtingen](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge): langs de lijn van de steilste helling, wat de helling verandert, en er dwars op, wat de [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) verandert. Hoeveel aflezingen zijn nodig voor een standaardfout van $0.5{}^{\circ}$ op de gemiddelde helling? Van $1{}^{\circ}$ op de gemiddelde [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude)?

**Oplossing van Oefening 6.12.**

De spreiding langs de lijn van de steilste helling is een spreiding van de helling: de standaardfout is $2/\sqrt N \le 0.5$ voor $N \ge 16$. Dwars erop verandert een draaiing van de normaal over $2{}^{\circ}$ de [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) met $2/\sin12{}^{\circ} = 9.62{}^{\circ}$; de standaardfout van de gemiddelde [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) is $9.62/\sqrt N \le 1$ voor $N \ge 92.5$, dat is 93 aflezingen. Een flauwe helling is snel bekend; haar [richting](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge) niet.

## 6.7 Probleem: Een veldseizoen op de oostflank van Varden

**Probleem 6.1.**

Weekendprobleem — twaalf kompasaflezingen middelen, hun spreiding meten, ze corrigeren en ze vergelijken met de boringen

Een geoloog mat de gelaagdheid van de oostflank van de [antiklinaal](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-fold) van Varden op twaalf standplaatsen, met een kompas dat voor de declinatie was ingesteld, afgerond op de graad. De tabel geeft elke aflezing ([hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude)/helling) en de componenten van haar opwaartse eenheidsnormaal $\vec n = (n_E, n_N, n_U)$, afgerond op vier decimalen.

|  | aflezing | $n_E$ | $n_N$ | $n_U$ |  | aflezing | $n_E$ | $n_N$ | $n_U$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | $076/11$ | 0.1851 | 0.0462 | 0.9816 | 7 | $083/11$ | 0.1894 | 0.0233 | 0.9816 |
| 2 | $081/13$ | 0.2222 | 0.0352 | 0.9744 | 8 | $083/12$ | 0.2064 | 0.0253 | 0.9781 |
| 3 | $078/16$ | 0.2696 | 0.0573 | 0.9613 | 9 | $085/12$ | 0.2071 | 0.0181 | 0.9781 |
| 4 | $081/11$ | 0.1885 | 0.0298 | 0.9816 | 10 | $078/11$ | 0.1866 | 0.0397 | 0.9816 |
| 5 | $076/10$ | 0.1685 | 0.0420 | 0.9848 | 11 | $081/13$ |  |  |  |
| 6 | $083/14$ | 0.2401 | 0.0295 | 0.9703 | 12 | $082/11$ |  |  |  |

**Deel I — Het gemiddelde van de oriëntatie.**

1. Bereken de rekenkundige gemiddelden van de twaalf [hellingrichtingen](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) en van de twaalf hellingen.
2. Geef een voorbeeld van twee aflezingen waarvoor het rekenkundig gemiddelde van de [hellingrichtingen](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) absurd is, en zeg waarom het hier veilig is.
3. Toon aan dat $\vec n = (\sin\delta\sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha,  \cos\delta)$ een eenheidsvector is die loodrecht staat op de hellingslijn en op de strijklijn van het vlak $\alpha/\delta$ .
4. Vul de tabel aan voor de aflezingen 11 en 12.
5. Bereken de resultante $\vec S$ van de twaalf normalen.
6. Bereken $\|\vec S\|$ en de gemiddelde resultantelengte $\bar R$ .
7. Leid het vectorgemiddelde af: zijn [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) en zijn helling.

**Deel II — De spreiding.**

8. Bereken de steekproefstandaardafwijkingen van de [hellingrichtingen](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) en van de hellingen.
9. Gebruik [Propositie 6.5](#prop-b1-field-lab-methods-1-vector-mean) om de kwadratisch gemiddelde hoek $\theta_{\text{rms}}$ tussen de aflezingen en hun gemiddelde te schatten, in graden.
10. Voorspel $\theta_{\text{rms}}$ uit de twee standaardafwijkingen van vraag 8 en de foutformule van het hoofdstuk, en vergelijk.
11. Welke van de twee standaardafwijkingen draagt het meest bij aan $\theta_{\text{rms}}$ , en waarom?
12. Bereken de standaardfouten van de gemiddelde helling en van de gemiddelde [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) .
13. Is de spreiding van de [hellingrichtingen](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) , $2.9{}^{\circ}$ , een teken van onzorgvuldig meten? Leg uit.

**Deel III — De declinatie.**

14. Een tweede geoloog vergat de declinatie in te stellen. Haar twaalf aflezingen hebben het vectorgemiddelde $083.1/12.1$ in magnetische [azimuten](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/1-sferische-astronomie#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) . Stel dat de magnetische declinatie in de Varden Hills dat jaar $2.5{}^{\circ}$ west is. Wat is haar gemiddelde in geografische [azimuten](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/1-sferische-astronomie#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) ?
15. Waarom is haar gemiddelde helling zonder correctie juist?
16. Had zij elke aflezing kunnen corrigeren vóór het middelen, in plaats van het gemiddelde? Verandert het antwoord ( [Oefening 6.11](#exo-b1-field-lab-methods-1-11) )?
17. Tien jaar later hergebruikt een student haar declinatie-instelling terwijl de declinatie met $0.2{}^{\circ}$ per jaar is veranderd. Hoe groot is de fout, vergeleken met de standaardfout van vraag 12?
18. Geef de [strijk](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) van het gemiddelde van de eerste geoloog volgens de rechterhandregel.

**Deel IV — Kompas en boringen.**

19. Uit drie boringen vond [Hoofdstuk 4](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#ch-b1-geological-maps) de oriëntatie $080.6/12.2$ voor de basis van de kalksteen. Vergelijk die hoek voor hoek met het vectorgemiddelde van vraag 7.
20. Bereken de hoek tussen de twee normalen.
21. De standaardfout van de gemiddelde [richting](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge) is ongeveer $\theta_{\text{rms}}/\sqrt N$ . Is het verschil van vraag 20 significant?
22. Hoeveel aflezingen zouden die standaardfout halveren?
23. Noem twee fouten die geen aantal aflezingen zou verkleinen.
24. Geef de [gemiddelde oriëntatie](#def-b1-field-lab-methods-1-mean-orientation) van de oostflank uit de twaalf aflezingen, in de vorm [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) /helling, afgerond op de graad.

**Oplossing van Probleem 6.1.**

**1.** [Hellingrichtingen](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude): $967/12 = 80.6{}^{\circ}$; hellingen: $145/12 =
12.1{}^{\circ}$.

**2.** $355{}^{\circ}$ en $005{}^{\circ}$ middelen tot $180{}^{\circ}$, de tegengestelde [richting](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge). Hier liggen alle [hellingrichtingen](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) tussen $076{}^{\circ}$ en $085{}^{\circ}$, ver weg van de sprong bij $000{}^{\circ}$, dus het rekenkundig gemiddelde werkt.

**3.** $\|\vec n\|^2 = \sin^2\delta(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) +
\cos^2\delta = 1$. De neerwaartse hellingslijn heeft de [richting](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge) $(\cos\delta\sin\alpha, \cos\delta\cos\alpha, -\sin\delta)$, en haar inproduct met $\vec n$ is $\sin\delta\cos\delta - \cos\delta\sin\delta = 0$; de strijklijn is horizontaal en loodrecht op de [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude), $(\cos\alpha, -\sin\alpha, 0)$, en haar inproduct met $\vec n$ is $\sin\delta\sin\alpha\cos\alpha - \sin\delta\cos\alpha\sin\alpha = 0$.

**4.** Aflezing 11 is dezelfde als aflezing 2: $(0.2222, 0.0352, 0.9744)$. Aflezing 12:

$$
(\sin11{}^{\circ}\sin82{}^{\circ},\ \sin11{}^{\circ}\cos82{}^{\circ},\ \cos11{}^{\circ}) =
  (0.1890,\ 0.0266,\ 0.9816).
$$

**5.** $\vec S = (2.4747,\ 0.4082,\ 11.7294)$.

**6.** $\|\vec S\| = \sqrt{6.1241 + 0.1666 + 137.5788} = 11.99457$, en $\bar R = 11.99457/12 = 0.999547$.

**7.** $\bar\alpha = \operatorname{atan2}(2.4747, 0.4082) = 80.6{}^{\circ}$ en $\bar\delta = \arccos(11.7294/11.99457) = \arccos 0.977893 = 12.1{}^{\circ}$: het vectorgemiddelde is $080.6/12.1$, hetzelfde als de rekenkundige gemiddelden hier.

**8.** [Hellingrichtingen](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude): $s = 2.94{}^{\circ}$; hellingen: $s = 1.68{}^{\circ}$.

**9.** $\theta_{\text{rms}} \approx \sqrt{2\times0.000453} =
0.0301\,\mathrm{rad} = 1.72{}^{\circ}$.

**10.** $\sqrt{1.68^2 + (\sin12.1{}^{\circ}\times2.94)^2} = \sqrt{2.82 +
0.38} = 1.79{}^{\circ}$, dicht bij $1.72{}^{\circ}$: de aflezingen gedragen zich zoals het foutenmodel zegt, binnen de effecten van de afronding op de graad en van een kleine steekproef.

**11.** De helling: zij draagt 2.82 van de 3.20 bij (in graden in het kwadraat). De [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) telt alleen mee via $\sin\delta = 0.21$, omdat een verandering van [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) op een flauwe laag het vlak zeer weinig draait.

**12.** Gemiddelde helling: $1.68/\sqrt{12} = 0.48{}^{\circ}$; gemiddelde [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude): $2.94/\sqrt{12} = 0.85{}^{\circ}$.

**13.** Nee: $2.9{}^{\circ}$ [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) op een laag van $12{}^{\circ}$ is slechts $2.9\sin12.1{}^{\circ} = 0.6{}^{\circ}$ draaiing van het vlak, minder dan de $1.7{}^{\circ}$ van de hellingen. Elke lichte golving van een flauw gelaagdheidsvlak spreidt de [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) ruim.

**14.** $D = -2.5{}^{\circ}$: $83.1 - 2.5 = 080.6{}^{\circ}$; haar gemiddelde is $080.6/12.1$, hetzelfde als dat van de eerste geoloog.

**15.** De helling wordt met de kliseometer afgelezen, tegen de verticale die door de zwaartekracht wordt gegeven; de naald speelt geen rol.

**16.** Ja: een draaiing om de verticale verplaatst elke aflezing en het gemiddelde met dezelfde hoek ([Oefening 6.11](#exo-b1-field-lab-methods-1-11)); het antwoord is hetzelfde.

**17.** $10\times0.2 = 2{}^{\circ}$ fout op elke [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude), meer dan twee keer de standaardfout van $0.85{}^{\circ}$: een systematische fout die het middelen niet kan opsporen.

**18.** $80.6 - 90 = 350.6{}^{\circ}$; de oriëntatie is [strijk](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) $351{}^{\circ}$, helling $12{}^{\circ}$ naar het oosten.

**19.** [Hellingrichtingen](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) $080.6$ en $080.6$: geen verschil op deze precisie; hellingen $12.1$ en $12.2$: $0.1{}^{\circ}$.

**20.** De normalen $(\sin12.2{}^{\circ}\sin80.6{}^{\circ},
\sin12.2{}^{\circ}\cos80.6{}^{\circ}, \cos12.2{}^{\circ})$ en $\vec S/\|\vec S\|$ maken een hoek van $0.13{}^{\circ}$.

**21.** $1.72/\sqrt{12} = 0.50{}^{\circ}$; het verschil, $0.13{}^{\circ}$, is een kwart daarvan: niet significant. Het kompas en de boringen komen overeen.

**22.** Vier keer zoveel: 48 aflezingen.

**23.** Bijvoorbeeld: een verkeerde of verouderde declinatie-instelling; een kompas dat door ijzer in de buurt wordt afgebogen (een voertuig, gereedschap, magnetische gesteenten); een kliseometer die niet meer gekalibreerd is; aflezingen die alleen op de best ontsloten vlakken zijn gedaan, die de poot niet hoeven te vertegenwoordigen. Middelen verkleint toevallige fouten, niet systematische.

**24.** De [gemiddelde oriëntatie](#def-b1-field-lab-methods-1-mean-orientation) van de oostflank is **081/12**: [hellingrichting](https://one-course.com/books/earth/3/nl/chapter/4-geologische-kaarten#def-b1-geological-maps-attitude) $081{}^{\circ}$, helling $12{}^{\circ}$.