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title: "Astronomia esférica"
book: "Ciências da Terra e do espaço universitárias — 1.º ano"
subject: earth
language: pt
chapter: 1
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 1 — Astronomia esférica

Numa noite limpa, longe de qualquer cidade, uma câmera de longa exposição apontada para o céu registra as estrelas como arcos de círculos, todos centrados em um mesmo ponto que não se move. Uma estrela que nasceu no leste às 21 h desta noite nascerá por volta das 20 h 55 min de amanhã, e um pouco antes a cada noite seguinte. O Sol ao meio-dia está mais alto em junho do que em dezembro, e no extremo norte ele não se põe nem mesmo em pleno verão. Tudo isso é consequência da rotação da Terra e de sua órbita em torno do Sol, vistas da superfície. Para descrevê-los, o astrônomo e o geocientista precisam de coordenadas sobre uma esfera, da trigonometria de triângulos traçados sobre uma esfera e de relógios que acompanhem as estrelas ou o Sol. Este capítulo constrói essas ferramentas. Elas voltam na cinemática das placas ([Capítulo 12](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/12-cinematica-de-placas-sobre-uma-esfera#ch-b1-plate-kinematics)), em que as placas giram sobre a esfera, e nos capítulos sobre o clima ([Capítulo 27](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/27-radiacao-e-transporte-de-calor#ch-b1-radiation-heat-transport)), em que a luz solar recebida por cada [latitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) move os ventos e as correntes.

**O que você já sabe.**

A Terra gira em torno do próprio eixo uma vez por dia e percorre uma órbita quase circular em torno do Sol uma vez por ano; seu eixo é inclinado em relação ao plano dessa órbita, o que produz as estações (nos livros de física, 6º e 12º anos; as leis de Kepler são relembradas do volume de física do primeiro ano). Um ponto da Terra fica localizado pela [latitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) e pela [longitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) (Livro 1, 6º ano). Um vetor de comprimento um fica fixado por dois ângulos, como em coordenadas esféricas; o produto escalar de dois vetores unitários é o cosseno do ângulo entre eles, e o produto misto $\vec u\cdot(\vec v\times\vec w)$ não muda por uma permutação cíclica dos três vetores.

## 1.1 Triângulos sobre a esfera

**Definição 1.1 (Círculo máximo, triângulo esférico).**

Um *círculo máximo* de uma esfera é a interseção dela com um plano que passa pelo centro; qualquer outra seção plana é um *círculo menor*. Por dois pontos que não são diametralmente opostos passa exatamente um círculo máximo, e o menor dos seus dois arcos é o caminho mais curto sobre a esfera entre os pontos. Um *triângulo esférico* é a figura formada por três pontos da esfera, seus vértices $A$, $B$, $C$, unidos por arcos de círculos máximos de menos de $180{}^{\circ}$. Seus lados $a$, $b$, $c$ (opostos a $A$, $B$, $C$) são medidos pelos ângulos que subtendem no centro; seus ângulos $A$, $B$, $C$ são os ângulos entre os planos dos lados que se encontram em cada vértice.

Sobre a esfera de raio $R$, um lado de $a$ radianos tem o comprimento $Ra$. Todo lado e todo ângulo está entre $0$ e $\pi$.

![Um triângulo esférico ABC sobre uma esfera de centro O. Os lados a, b, c são arcos de círculos máximos, medidos pelos ângulos BOC, COA, AOB; o ângulo A (em vermelho) é o ângulo entre os dois lados que se encontram em A. O triângulo desenhado tem a = 78.6, b = 62.6, c = 64.8 e ângulos de 89.9, 64.9 e 67.4, cuja soma supera 180.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-spherical-astronomy/fig-95a96042710a.svg)

*Um [triângulo esférico](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) $ABC$ sobre uma esfera de centro $O$. Os lados $a$, $b$, $c$ são arcos de [círculos máximos](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle), medidos pelos ângulos $BOC$, $COA$, $AOB$; o ângulo $A$ (em vermelho) é o ângulo entre os dois lados que se encontram em $A$. O triângulo desenhado tem $a = 78.6{}^{\circ}$, $b = 62.6{}^{\circ}$, $c = 64.8{}^{\circ}$ e ângulos de $89.9{}^{\circ}$, $64.9{}^{\circ}$ e $67.4{}^{\circ}$, cuja soma supera $180{}^{\circ}$.*

**Teorema 1.2 (A lei dos cossenos).**

Em um [triângulo esférico](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle),

$$
\cos a = \cos b\cos c + \sin b\sin c\cos A .
$$

**Demonstração.** Trabalhe sobre a esfera unitária e escolha eixos com $A$ no polo: $\vec A = (0, 0, 1)$, e o plano $xz$ contendo $B$: $\vec B = (\sin c, 0, \cos c)$, pois $B$ está à distância angular $c$ de $A$. O ponto $C$ está à distância angular $b$ de $A$, sobre um [círculo máximo](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) que passa por $A$ e faz o ângulo $A$ com o plano $xz$: $\vec C = (\sin b\cos A, \sin b\sin A, \cos b)$. O lado $a$ é o ângulo entre $\vec B$ e $\vec C$, logo

$$
\cos a = \vec B\cdot\vec C = \sin c\sin b\cos A + \cos c\cos b. \qedhere
$$

∎

**Teorema 1.3 (A lei dos senos).**

Em um [triângulo esférico](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle),

$$
\frac{\sin A}{\sin a} = \frac{\sin B}{\sin b} = \frac{\sin C}{\sin c}.
$$

**Demonstração.** Com os vetores da demonstração anterior, escritos em coordenadas, $\vec B \times \vec C = (-\cos c\sin b\sin A,\ \cos c\sin b\cos A - \sin c\cos b,\
\sin c\sin b\sin A)$, de modo que o produto misto é $\vec A\cdot(\vec B\times\vec C) = \sin b\sin c\sin A$. O produto misto não muda quando $A$, $B$, $C$ são permutados ciclicamente; colocando $B$, depois $C$, no polo obtém-se do mesmo modo $\sin c\sin a\sin B$ e $\sin a\sin b\sin
C$. As três expressões são iguais; dividindo por $\sin a\sin b\sin c$ obtém-se a lei. ∎

Quando os lados são pequenos em relação ao raio, $\cos a \approx 1 -
a^2/2$ e $\sin a \approx a$, e as duas leis se tornam as leis dos cossenos e dos senos dos triângulos planos: num pedaço pequeno o suficiente, a esfera é plana. Em um triângulo grande isso não vale: os ângulos de um [triângulo esférico](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) somam mais de $180{}^{\circ}$ ([Exercício 1.12](#exo-b1-spherical-astronomy-12)).

**Método 1.4 (Distância e rumo sobre a esfera).**

Para encontrar a menor distância entre dois lugares de [latitudes](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $\varphi_1$, $\varphi_2$ e [longitudes](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $\lambda_1$, $\lambda_2$, e a direção em que se deve partir:

1. forme o triângulo cujos vértices são o Polo Norte $P$ e os dois lugares; seus lados a partir do polo são as colatitudes $90{}^{\circ} -  \varphi_1$ e $90{}^{\circ} - \varphi_2$ , e seu ângulo no polo é a diferença de [longitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $\Delta\lambda$ ;
2. a lei dos cossenos dá a distância angular $\Delta$ : $\cos\Delta = \sin\varphi_1\sin\varphi_2 +  \cos\varphi_1\cos\varphi_2\cos\Delta\lambda$ ; a distância é $R\Delta$ ( $\Delta$ em radianos);
3. o rumo inicial é o ângulo do triângulo no primeiro lugar, dado pela lei dos cossenos aplicada ao lado oposto a ele, $\sin\varphi_2 = \sin\varphi_1\cos\Delta + \cos\varphi_1\sin\Delta\cos  \mathrm{Az}$ , e é medido a partir do norte em direção ao segundo lugar.

O rumo muda ao longo do [círculo máximo](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) (exceto ao longo de um meridiano ou do equador): um navio ou um avião que mantém o mesmo rumo de bússola percorre outra curva, mais longa.

## 1.2 Coordenadas sobre a esfera

**Definição 1.5 (Latitude e longitude).**

A *latitude* $\varphi$ de um ponto é o ângulo entre o plano equatorial e o raio que passa pelo ponto, indo de $-90{}^{\circ}$ (Polo Sul) a $+90{}^{\circ}$ (Polo Norte); sua *longitude* $\lambda$ é o ângulo, medido no plano equatorial, entre o semiplano meridiano do ponto e o de um meridiano de referência, o que passa por Greenwich, contado positivamente para leste, de $-180{}^{\circ}$ a $180{}^{\circ}$.

A Terra é, na verdade, levemente achatada; a [latitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) usada nos mapas e no céu é o ângulo entre a vertical local e o plano equatorial, que difere do ângulo geocêntrico em no máximo $0.2{}^{\circ}$ ([Capítulo 11](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/11-isostasia-e-anomalias-da-gravidade#ch-b1-isostasy-gravity)). As linhas de igual [latitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic), os paralelos, são [círculos menores](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle); os meridianos são metades de [círculos máximos](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle).

**Definição 1.6 (A esfera celeste).**

A *esfera celeste* é uma esfera imaginária centrada no observador, na qual cada estrela é colocada na sua direção; só importam as direções, não as distâncias. Os prolongamentos do eixo da Terra encontram-na nos *polos celestes* norte e sul; o plano do equador terrestre a corta ao longo do *equador celeste*. O *zênite* é o ponto que está diretamente acima, sobre a vertical local; o horizonte é o [círculo máximo](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) a $90{}^{\circ}$ dele. O *meridiano local* é o [círculo máximo](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) que passa pelo zênite e pelos polos celestes; ele encontra o horizonte nos pontos norte e sul.

Quando a Terra gira de oeste para leste, a [esfera celeste](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) parece girar no sentido contrário, de leste para oeste, em torno do eixo dos [polos celestes](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere), uma volta em um pouco menos de um dia. As estrelas mantêm suas posições relativas: estão tão distantes que uma viagem de um ano em torno do Sol altera suas direções em menos de um segundo de arco ([Capítulo 2](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/2-telescopios-detectores-e-fotometria#ch-b1-observing-the-sky)).

**Definição 1.7 (Coordenadas horizontais).**

A *altura angular* $h$ de uma estrela é o seu ângulo acima do horizonte, de $-90{}^{\circ}$ a $90{}^{\circ}$; sua distância zenital é $z = 90{}^{\circ} - h$. Seu *azimute* $\mathrm{A}$ é o ângulo, ao longo do horizonte, entre o ponto norte e o pé do círculo vertical da estrela, contado de $0{}^{\circ}$ a $360{}^{\circ}$ passando pelo leste.

As coordenadas horizontais são as do observador: mudam com o lugar e com o tempo. As coordenadas do próprio céu são arrastadas pela sua rotação.

**Definição 1.8 (Coordenadas equatoriais).**

A *declinação* $\delta$ de uma estrela é o seu ângulo em relação ao [equador celeste](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere), positivo para o norte, de $-90{}^{\circ}$ a $90{}^{\circ}$. O [círculo máximo](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) que passa pela estrela e pelos [polos celestes](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) é o seu círculo horário. O *ângulo horário* $H$ da estrela é o ângulo, no [polo celeste](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere), entre o [meridiano local](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) e o círculo horário da estrela, contado para oeste, em horas de $15{}^{\circ}$. A *ascensão reta* $\alpha$ é o ângulo, ao longo do [equador celeste](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere), entre um ponto fixo do céu, o [ponto vernal](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) ([Definição 1.12](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic)), e o círculo horário da estrela, contado para leste, também em horas.

A [declinação](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) e a [ascensão reta](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) são fixas no céu, como a [latitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) e a [longitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) na Terra: os catálogos as listam. A palavra [declinação](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) é usada aqui apenas nesse sentido astronômico; o ângulo entre o norte geográfico e o norte de uma bússola chama-se sempre declinação magnética ([Capítulo 6](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#ch-b1-field-lab-methods-1)).

**Proposição 1.9 (De coordenadas equatoriais a horizontais).**

Na [latitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $\varphi$, uma estrela de [declinação](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $\delta$ e [ângulo horário](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $H$ tem a [altura angular](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) e o [azimute](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) dados por

$$
\sin h = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos H,
  \qquad
  \cos\mathrm{A} = \frac{\sin\delta - \sin\varphi\sin h}{\cos\varphi\cos h},
$$

com $\mathrm{A}$ entre $0{}^{\circ}$ e $180{}^{\circ}$ quando a estrela está a leste do meridiano ($\sin H < 0$) e $\mathrm{A} = 360{}^{\circ} - \arccos(\dots)$ quando está a oeste. Em particular, a [altura angular](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) do [polo celeste](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) norte é igual à [latitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic).

**Demonstração.** Considere o triângulo formado pelo [polo celeste](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) norte $P$, pelo [zênite](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) $Z$ e pela estrela $X$ (o triângulo astronômico, ou triângulo de posição). A vertical local faz o ângulo $\varphi$ com o plano equatorial, logo $PZ =
90{}^{\circ} - \varphi$; $PX = 90{}^{\circ} - \delta$; $ZX = 90{}^{\circ} - h$. O ângulo em $P$ é o [ângulo horário](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $H$; o ângulo em $Z$ é o [azimute](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) da estrela medido a partir do norte (a leste ou a oeste do meridiano). A lei dos cossenos para o lado $ZX$, oposto a $P$, dá $\cos(90{}^{\circ} - h) = \cos(90{}^{\circ} - \varphi)\cos(90{}^{\circ} - \delta) +
\sin(90{}^{\circ} - \varphi)\sin(90{}^{\circ} - \delta)\cos H$, a primeira fórmula. A lei dos cossenos para o lado $PX$, oposto a $Z$, dá $\sin\delta = \sin\varphi\sin h + \cos\varphi\cos h\cos\mathrm{A}$, a segunda. Para o polo, $\delta = 90{}^{\circ}$ e a primeira fórmula se reduz a $\sin h = \sin\varphi$. ∎

![O céu na latitude 45 N, visto de oeste, com o norte à esquerda. O polo celeste norte P está a uma altura angular acima do ponto norte igual à latitude (em vermelho: o eixo dos polos celestes); o equador celeste (em azul) cruza o horizonte nos pontos leste e oeste. Uma estrela X de declinação 25, três horas e vinte minutos depois de sua passagem pelo meridiano (ângulo horário 50), está na altura angular h = 45.3 (em verde: seu círculo vertical, do zênite Z ao horizonte) e no azimute 261; seu círculo horário (traço e ponto) vai do polo, passando pela estrela, até o equador. Calculado com .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-spherical-astronomy/fig-3bc8bfd54071.svg)

*O céu na [latitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $45{}^{\circ}$ N, visto de oeste, com o norte à esquerda. O [polo celeste](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) norte $P$ está a uma [altura angular](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) acima do ponto norte igual à [latitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) (em vermelho: o eixo dos [polos celestes](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere)); o [equador celeste](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) (em azul) cruza o horizonte nos pontos leste e oeste. Uma estrela $X$ de [declinação](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $25{}^{\circ}$, três horas e vinte minutos depois de sua passagem pelo meridiano ([ângulo horário](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $50{}^{\circ}$), está na [altura angular](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $h = 45.3{}^{\circ}$ (em verde: seu círculo vertical, do [zênite](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) $Z$ ao horizonte) e no [azimute](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $261{}^{\circ}$; seu círculo horário (traço e ponto) vai do polo, passando pela estrela, até o equador. Calculado com [Proposição 1.9](#prop-b1-spherical-astronomy-transform).*

**Proposição 1.10 (Culminação e estrelas circumpolares).**

Na [latitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $\varphi$, uma estrela de [declinação](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $\delta$ culmina no meridiano ($H = 0$) à [altura angular](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $90{}^{\circ} - |\varphi - \delta|$, ao sul do [zênite](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) se $\delta < \varphi$, e ao norte dele se $\delta > \varphi$. No hemisfério norte ($\varphi > 0$) ela nunca se põe se $\delta > 90{}^{\circ} - \varphi$, e nunca nasce se $\delta < -(90{}^{\circ} - \varphi)$.

**Demonstração.** Para $H = 0$, $\sin h = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta =
\cos(\varphi - \delta)$, logo $h = 90{}^{\circ} - |\varphi - \delta|$. A menor [altura angular](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal), em $H = 180{}^{\circ}$, satisfaz $\sin h = -\cos(\varphi + \delta)$; ela é positiva quando $\varphi + \delta > 90{}^{\circ}$. A estrela permanece abaixo do horizonte quando até a sua maior [altura angular](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) é negativa, $|\varphi - \delta| > 90{}^{\circ}$. ∎

**Definição 1.11 (Estrela circumpolar).**

Uma *estrela circumpolar* é uma estrela que nunca se põe na [latitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) do observador: ela gira em torno do [polo celeste](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere), cruzando o meridiano acima do polo e, doze horas sideais depois, abaixo dele.

![Rastros de estrelas sobre o Observatório do Paranal, no deserto do Atacama, na latitude 24.6 S: uma longa exposição registra o arco de cada estrela em torno do polo celeste sul, que fica 24.6 acima do horizonte sul. Fotografia de R. Wesson/ESO, CC BY 4.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-spherical-astronomy/img-0b8be350f621.jpg)

*Rastros de estrelas sobre o Observatório do Paranal, no deserto do Atacama, na [latitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $24.6{}^{\circ}$ S: uma longa exposição registra o arco de cada estrela em torno do [polo celeste](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) sul, que fica $24.6{}^{\circ}$ acima do horizonte sul. Fotografia de R. Wesson/ESO, CC BY 4.0.*

## 1.3 Tempo sideral e tempo solar

**Definição 1.12 (A eclíptica).**

A *eclíptica* é o [círculo máximo](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) da [esfera celeste](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) ao longo do qual o Sol parece se mover em um ano, o traço do plano da órbita da Terra. Ela é inclinada em relação ao [equador celeste](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) pela *obliquidade da eclíptica* $\varepsilon$, a inclinação do eixo da Terra em relação à sua órbita. A eclíptica cruza o equador em dois pontos; o *ponto vernal* $\gamma$ é aquele em que o Sol cruza o equador rumo ao norte, em março. A [longitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) eclíptica $\lambda_\odot$ do Sol é o seu ângulo ao longo da eclíptica, a partir de $\gamma$, contado para leste.

A obliquidade atual é $\varepsilon = 23.44{}^{\circ}$.

**Definição 1.13 (Tempo sideral).**

O *tempo sideral* local é o [ângulo horário](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) do [ponto vernal](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) $\gamma$. Um dia sideral é o intervalo entre duas passagens de $\gamma$ pelo meridiano.

Como a [ascensão reta](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) é contada para leste a partir de $\gamma$ e o [ângulo horário](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) para oeste a partir do meridiano, para qualquer estrela

$$
H = \mathrm{LST} - \alpha ,
$$

em que LST é o [tempo sideral](#def-b1-spherical-astronomy-sidereal-time) local: uma estrela cruza o meridiano quando o [tempo sideral](#def-b1-spherical-astronomy-sidereal-time) é igual à sua [ascensão reta](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial). Um relógio de observatório que indica o [tempo sideral](#def-b1-spherical-astronomy-sidereal-time) mostra de relance qual parte do céu está acima da cabeça.

**Proposição 1.14 (Dias sideral e solar).**

Em um [ano tropical](#def-b1-spherical-astronomy-tropical-year) de $N$ dias solares médios, a Terra gira $N + 1$ vezes em relação às estrelas. Logo o dia sideral dura

$$
\frac{N}{N + 1}\times24\,\mathrm{h},
$$

e com $N = 365.2422$ isso dá $23\,\mathrm{h}$ $56\,\mathrm{min}$ $4.09\,\mathrm{s}$: uma estrela cruza o meridiano $3\,\mathrm{min}$ $56\,\mathrm{s}$ de [tempo solar médio](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time) mais cedo a cada dia.

**Demonstração.** Conte as voltas em relação ao Sol e em relação às estrelas ao longo de um ano. O Sol percorre uma vez a [eclíptica](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) para leste em um ano, no sentido da rotação da Terra. Em relação ao Sol, a Terra dá portanto uma volta a menos do que em relação às estrelas: $N$ dias solares e $N + 1$ dias siderais preenchem o mesmo ano. O dia sideral é $N/(N+1)$ do dia solar, ou seja, $86\,400\,\mathrm{s}\times 365.2422/366.2422 = 86\,164.09\,\mathrm{s}$; a diferença é $235.9\,\mathrm{s}$. Isso concorda com o período de rotação da Terra medido em relação às estrelas, $23.9345\,\mathrm{h}$. ∎

**Definição 1.15 (Tempo solar).**

O *tempo solar aparente* é o [ângulo horário](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) do Sol mais 12 horas: um relógio de sol o indica, e é meio-dia quando o Sol cruza o meridiano. O *tempo solar médio* é o [ângulo horário](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial), mais 12 horas, de um Sol médio fictício que percorre o [equador celeste](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) com velocidade uniforme, completando uma volta em um [ano tropical](#def-b1-spherical-astronomy-tropical-year). Sua diferença, aparente menos médio, é a *equação do tempo*.

O Sol verdadeiro adianta-se e atrasa-se em relação ao Sol médio por dois motivos. A Terra se move mais depressa perto do periélio, em início de janeiro, do que perto do afélio, de modo que o avanço do Sol ao longo da [eclíptica](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) é irregular (segunda lei de Kepler); e o Sol se move ao longo da [eclíptica](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic), que é inclinada em relação ao equador, de modo que até um movimento uniforme ao longo da [eclíptica](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) se projeta sobre o equador (que é o que o [ângulo horário](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) mede) de maneira irregular, mais rápido perto dos solstícios do que perto dos equinócios. Os relógios civis marcam o [tempo solar médio](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time) de um meridiano de referência de seu fuso horário; a hora média local na [longitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $\lambda$ está adiantada em relação à hora de Greenwich em $\lambda/15{}^{\circ}$ horas.

![A equação do tempo ao longo do ano (tempo solar aparente menos médio): um relógio de sol adianta-se até 16.4\, min em início de novembro e atrasa-se 14.2\, min em meados de fevereiro. Calculada a partir de uma órbita de Kepler com excentricidade 0,0167, obliquidade 23.44, a longitude do periélio e a data do equinócio de março de 2026.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-spherical-astronomy/fig-886931fba2b4.svg)

*A [equação do tempo](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time) ao longo do ano ([tempo solar aparente](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time) menos médio): um relógio de sol adianta-se até $16.4\,\mathrm{min}$ em início de novembro e atrasa-se $14.2\,\mathrm{min}$ em meados de fevereiro. Calculada a partir de uma órbita de Kepler com excentricidade 0,0167, obliquidade $23.44{}^{\circ}$, a [longitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) do periélio e a data do equinócio de março de 2026.*

## 1.4 Nascer e pôr do Sol

**Proposição 1.16 (Nascer e pôr).**

Na [latitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $\varphi$, uma estrela de [declinação](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $\delta$ que nasce e se põe cruza o horizonte nos [ângulos horários](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $\pm H_0$, dados por

$$
\cos H_0 = -\tan\varphi\tan\delta ,
$$

no [azimute](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $\mathrm{A}_0$, com $\cos\mathrm{A}_0 = \sin\delta/\cos\varphi$ (no nascer; ela se põe em $360{}^{\circ} - \mathrm{A}_0$). Ela permanece acima do horizonte durante $2H_0$, convertido em horas à razão de $15{}^{\circ}$ por hora.

**Demonstração.** No horizonte $h = 0$, e a [Proposição 1.9](#prop-b1-spherical-astronomy-transform) dá $0 = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos H_0$, e $\cos\mathrm{A}_0 = \sin\delta/\cos\varphi$. O [ângulo horário](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) cresce uniformemente, de $15{}^{\circ}$ por hora, de $-H_0$ no nascer até $+H_0$ no pôr. ∎

Para o Sol, isso dá a duração do dia, se o Sol for tratado como um ponto e se a refração da luz pela atmosfera for ignorada (ambas as simplificações acrescentam alguns minutos de luz do dia). Nos equinócios $\delta = 0$, $H_0 = 90{}^{\circ}$: dia e noite duram doze horas em toda parte, e o Sol nasce exatamente a leste.

![O caminho do Sol pelo céu na latitude 45 N no solstício de junho (em vermelho), nos equinócios (em preto) e no solstício de dezembro (em azul), com as alturas angulares ao meio-dia 90 - + _. Nos equinócios o Sol nasce exatamente a leste e se põe exatamente a oeste; em junho ele nasce a nordeste.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-spherical-astronomy/fig-993339f815b6.svg)

*O caminho do Sol pelo céu na [latitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $45{}^{\circ}$ N no solstício de junho (em vermelho), nos equinócios (em preto) e no solstício de dezembro (em azul), com as [alturas angulares](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) ao meio-dia $90{}^{\circ} - \varphi + \delta_\odot$. Nos equinócios o Sol nasce exatamente a leste e se põe exatamente a oeste; em junho ele nasce a nordeste.*

**Proposição 1.17 (Declinação do Sol).**

Quando o Sol está na [longitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) [eclíptica](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) $\lambda_\odot$, sua [declinação](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) e sua [ascensão reta](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) satisfazem

$$
\sin\delta_\odot = \sin\varepsilon\sin\lambda_\odot, \qquad
  \tan\alpha_\odot = \cos\varepsilon\tan\lambda_\odot .
$$

**Demonstração.** Tome eixos com $x$ apontando para $\gamma$ e $z$ para o [polo celeste](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) norte. Nos eixos $x$, $y'$, $z'$ ligados à [eclíptica](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic), com $z'$ apontando para o seu polo, a direção do Sol é $(\cos\lambda_\odot, \sin\lambda_\odot, 0)$. Os eixos da [eclíptica](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) são os do equador girados pelo ângulo $\varepsilon$ em torno de $x$, de modo que, nos eixos equatoriais, a direção do Sol é $(\cos\lambda_\odot,\ \sin\lambda_\odot\cos\varepsilon,\
\sin\lambda_\odot\sin\varepsilon)$. Sua componente $z$ é $\sin\delta_\odot$; a razão entre suas componentes $y$ e $x$ é $\tan\alpha_\odot$. ∎

![Duração do dia (com o centro do Sol acima do horizonte geométrico) ao longo do ano em cinco latitudes do hemisfério norte, com base nas . 70 N o Sol permanece acima do horizonte durante semanas em torno do solstício de junho e fica abaixo dele em torno do solstício de dezembro. No hemisfério sul as curvas estão deslocadas de meio ano.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-spherical-astronomy/fig-5afb2062a5d6.svg)

*Duração do dia (com o centro do Sol acima do horizonte geométrico) ao longo do ano em cinco [latitudes](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) do hemisfério norte, com base nas Proposições [1.16](#prop-b1-spherical-astronomy-rising) e [1.17](#prop-b1-spherical-astronomy-sun-declination). $70{}^{\circ}$ N o Sol permanece acima do horizonte durante semanas em torno do solstício de junho e fica abaixo dele em torno do solstício de dezembro. No hemisfério sul as curvas estão deslocadas de meio ano.*

**Definição 1.18 (Insolação).**

A *insolação* em um lugar e em um instante é a potência da luz solar recebida por unidade de área de uma superfície horizontal no topo da atmosfera. Sendo $S_0$ a irradiância solar à distância média $a$ do Sol, $r$ a distância real e $\theta_z$ a distância zenital do Sol,

$$
I = S_0\left(\frac{a}{r}\right)^{2}\cos\theta_z = S_0\left(\frac{a}{r}\right)^{2}\sin h_\odot
  \quad (h_\odot > 0), \qquad I = 0 \text{ à noite}.
$$

O fator $(a/r)^2$ é a lei do inverso do quadrado para a luz (nos livros de física); o fator $\cos\theta_z$ aparece porque um feixe de seção transversal de um metro quadrado se espalha por $1/\cos\theta_z$ metros quadrados de solo horizontal. Com $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ e uma distância Sol–Terra entre $147.1 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ no periélio e $152.1 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ no afélio, o fator $(a/r)^2$ varia $\pm3.4\,\%$ ao longo do ano. A inclinação do eixo faz bem mais: altera tanto a [altura angular](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) do Sol ao meio-dia quanto a duração do dia, e esses dois efeitos juntos produzem as estações. As somas diárias e anuais da [insolação](#def-b1-spherical-astronomy-insolation), que movem o clima, são calculadas em [Capítulo 27](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/27-radiacao-e-transporte-de-calor#ch-b1-radiation-heat-transport).

## 1.5 Calendários

**Definição 1.19 (Ano tropical).**

O *ano tropical* é o intervalo médio entre duas passagens do Sol pelo [ponto vernal](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic). Ele governa as estações; dura 365.2422 dias solares médios.

O [ano tropical](#def-b1-spherical-astronomy-tropical-year) é cerca de vinte minutos mais curto que o ano sideral, o tempo que a Terra leva para voltar ao mesmo lugar entre as estrelas (365.256 dias), porque o eixo da Terra gira lentamente — ele precessiona — e leva o [ponto vernal](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) para trás ao longo da [eclíptica](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) (no Livro 4). Um calendário precisa ajustar um número inteiro de dias ao [ano tropical](#def-b1-spherical-astronomy-tropical-year), para que as estações voltem nas mesmas datas.

**Proposição 1.20 (O ano gregoriano).**

No calendário gregoriano, um ano é bissexto, com 366 dias, se seu número é divisível por 4, exceto os anos-século, que são bissextos apenas se forem divisíveis por 400. Seu ano médio é

$$
365 + \frac14 - \frac1{100} + \frac1{400} = 365.2425\text{ dias},
$$

e ele se desloca em relação às estações um dia a cada cerca de 3300 anos.

**Demonstração.** Em 400 anos há 100 anos divisíveis por 4; entre eles há quatro anos-século, dos quais três não são divisíveis por 400. Há portanto 97 anos bissextos e $400\times 365 + 97 = 146\,097$ dias, ou seja, 365.2425 dias por ano. Frente a um [ano tropical](#def-b1-spherical-astronomy-tropical-year) de 365.2422 dias, o excesso é de 0.0003 dia por ano: um dia em $1/0.0003 \approx 3300$ anos. ∎

**História — A reforma de 1582.**

O calendário juliano, herdado de Roma, acrescentava um dia bissexto a cada quatro anos: seu ano de 365.25 dias é mais longo que o [ano tropical](#def-b1-spherical-astronomy-tropical-year) em 0.0078 dia, ou seja, um dia a cada 128 anos. Ao longo dos séculos a data do equinócio de março afastou-se de 21 de março, data em que se baseava o cálculo da Páscoa. Em 1582 o papa Gregório XIII introduziu o calendário que leva seu nome, que eliminou de uma vez os dias acumulados e substituiu a regra juliana pela regra de [Proposição 1.20](#prop-b1-spherical-astronomy-gregorian). Ele se tornou o calendário civil aceito internacionalmente.

**No campo — Localizar uma posição pelas estrelas.**

Antes da localização por satélite, os navegadores no mar encontravam sua [latitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) e [longitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) pelo céu. Com um sextante mediam a [altura angular](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) do Sol ao meio-dia, ou a de duas ou três estrelas ao entardecer, e liam a hora num cronômetro ajustado à hora do meridiano de Greenwich. Cada [altura angular](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal), junto com a [declinação](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) da estrela e seu [ângulo horário](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) em Greenwich, tirados de um almanaque, dá um pequeno círculo sobre a Terra no qual está o navio: o círculo dos pontos em que a estrela tem aquela [altura angular](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal). Dois ou três desses círculos se cruzam na posição do navio — trigonometria esférica resolvida no mar todos os dias. A [altura angular](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) do Sol ao meio-dia sozinha dá a [latitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) ([Proposição 1.10](#prop-b1-spherical-astronomy-culmination)); a hora do meio-dia local no relógio dá a [longitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic), à razão de quatro minutos de tempo por grau.

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-spherical-astronomy/img-82c9297df0c6.jpg)

## 1.6 Exercícios

**Exercício 1.1 ★.**

Um observador está na [latitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $52{}^{\circ}$ N. Calcule a [altura angular](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) do [polo celeste](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) norte acima do horizonte. Quais estrelas, pela sua [declinação](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial), nunca se põem ali, e quais nunca nascem?

**Solução de Exercício 1.1.**

A [altura angular](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) do polo é igual à [latitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic): $52{}^{\circ}$. Uma estrela nunca se põe se $\delta > 90{}^{\circ} - 52{}^{\circ} = 38{}^{\circ}$, e nunca nasce se $\delta < -38{}^{\circ}$.

**Exercício 1.2 ★.**

Converta uma [ascensão reta](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) de $6\,\mathrm{h}$ $45\,\mathrm{min}$ em graus. Com um [tempo sideral](#def-b1-spherical-astronomy-sidereal-time) local de $10\,\mathrm{h}$ $0\,\mathrm{min}$, calcule o [ângulo horário](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) de uma estrela com essa [ascensão reta](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial). Ela está a leste ou a oeste do meridiano?

**Solução de Exercício 1.2.**

$6.75\,\mathrm{h}\times15{}^{\circ} = 101.25{}^{\circ}$. $H = \mathrm{LST} - \alpha =
10\,\mathrm{h} - 6\,\mathrm{h}\,45\,\mathrm{min} = 3\,\mathrm{h}\,15\,\mathrm{min}$, ou seja $48.75{}^{\circ}$. O [ângulo horário](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) é positivo: a estrela está a oeste do meridiano, que ela cruzou há três horas e um quarto siderais.

**Exercício 1.3 ★.**

Na [latitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $40{}^{\circ}$ N, calcule a [altura angular](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) do Sol ao meio-dia nos dois solstícios e nos equinócios ($\varepsilon = 23.44{}^{\circ}$).

**Solução de Exercício 1.3.**

$h = 90{}^{\circ} - \varphi + \delta_\odot$: $73.44{}^{\circ}$ no solstício de junho, $50{}^{\circ}$ nos equinócios, $26.56{}^{\circ}$ no solstício de dezembro.

**Exercício 1.4 ★.**

1900 foi um ano bissexto? E 2000? Será 2100? Calcule de quantos dias por século o calendário juliano se desloca em relação a um [ano tropical](#def-b1-spherical-astronomy-tropical-year) de 365.2422 dias, e de quantos o calendário gregoriano se desloca.

**Solução de Exercício 1.4.**

1900: divisível por 100, mas não por 400, não é bissexto. 2000: divisível por 400, é bissexto. 2100: não é bissexto. O ano juliano excede o [ano tropical](#def-b1-spherical-astronomy-tropical-year) em $365.25 - 365.2422 = 0.0078$ dia, $0.78$ dia por século; o ano gregoriano em $0.0003$ dia, $0.03$ dia por século.

**Exercício 1.5 ★★.**

Dois pontos estão na [latitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $45{}^{\circ}$ N, nas [longitudes](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $0{}^{\circ}$ e $90{}^{\circ}$ L. Calcule a distância sobre o [círculo máximo](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) entre eles ($R = 6371\,\mathrm{km}$) e a distância ao longo de seu paralelo. Qual é a menor, e por quanto?

**Solução de Exercício 1.5.**

$\cos\Delta = \sin^245{}^{\circ} + \cos^245{}^{\circ}\cos90{}^{\circ} = 0.5$, logo $\Delta = 60{}^{\circ}$ e a distância é $6371\times\pi/3 = 6672\,\mathrm{km}$. Ao longo do paralelo, um [círculo menor](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) de raio $R\cos45{}^{\circ}$, a distância é $6371\times\cos45{}^{\circ}\times\pi/2 = 7076\,\mathrm{km}$. O [círculo máximo](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) é mais curto por cerca de $404\,\mathrm{km}$.

**Exercício 1.6 ★★.**

Na [latitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $48{}^{\circ}$ N, uma estrela de [declinação](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $20{}^{\circ}$ tem [ângulo horário](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $30{}^{\circ}$. Calcule sua [altura angular](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) e seu [azimute](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal). Em que direção o observador deve olhar?

**Solução de Exercício 1.6.**

$\sin h = \sin48{}^{\circ}\sin20{}^{\circ} + \cos48{}^{\circ}\cos20{}^{\circ}\cos30{}^{\circ}
= 0.2542 + 0.5446 = 0.7987$, $h = 53.0{}^{\circ}$. $\cos\mathrm{A} = (\sin20{}^{\circ} - \sin48{}^{\circ}\sin53.0{}^{\circ})/(\cos48{}^{\circ}
\cos53.0{}^{\circ}) = (0.3420 - 0.5935)/0.4027 = -0.6246$, $\arccos = 128.7{}^{\circ}$; a estrela está a oeste do meridiano ($H > 0$), logo $\mathrm{A} = 360{}^{\circ} -
128.7{}^{\circ} = 231.3{}^{\circ}$: para o sudoeste, $53{}^{\circ}$ acima do horizonte.

**Exercício 1.7 ★★.**

Calcule a duração do dia na [latitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $60{}^{\circ}$ N no solstício de junho, tratando o Sol como um ponto sobre um horizonte geométrico. Confira sua resposta na figura da duração do dia.

**Solução de Exercício 1.7.**

$\cos H_0 = -\tan60{}^{\circ}\tan23.44{}^{\circ} = -1.7321\times0.4335 = -0.7510$, $H_0 = 138.67{}^{\circ}$, duração do dia $2\times138.67/15 = 18.49\,\mathrm{h}$, cerca de $18\,\mathrm{h}$ $29\,\mathrm{min}$, como mostra a curva de $60{}^{\circ}$ N no solstício de junho.

**Exercício 1.8 ★★.**

Uma estrela cruza o meridiano nesta noite às 22 h, no [tempo solar médio](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time) local. Calcule em que hora ela cruzará o meridiano daqui a 30 dias. Em quantos dias ela cruzará ao meio-dia, invisível na luz do dia?

**Solução de Exercício 1.8.**

A passagem se adianta $3.93\,\mathrm{min}$ por dia, logo $30\times3.93 =
118\,\mathrm{min}$ em 30 dias: a estrela cruza o meridiano por volta das 20 h 02 min. Para cruzar ao meio-dia ela precisa adiantar-se $10\,\mathrm{h}$ = $600\,\mathrm{min}$, o que leva $600/3.93 \approx 153$ dias.

**Exercício 1.9 ★★.**

Calcule a [insolação](#def-b1-spherical-astronomy-insolation) no topo da atmosfera ao meio-dia na [latitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $45{}^{\circ}$ N (a) em um equinócio, tomando $r = a$; (b) no solstício de junho, tomando para $r$ a distância do afélio. Dados: $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $a = 149.598 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$, afélio $152.100 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$.

**Solução de Exercício 1.9.**

(a) Em um equinócio a [altura angular](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) ao meio-dia é $45{}^{\circ}$: $I = 1361\times\sin45{}^{\circ}
= 962\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) No solstício de junho $h = 68.44{}^{\circ}$ e $(a/r)^2 = (149.598/152.100)^2 = 0.9674$: $I = 1361\times0.9674\times\sin68.44{}^{\circ} = 1224\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. O Sol mais alto compensa de sobra a maior distância.

**Exercício 1.10 ★★★.**

Usando [Proposição 1.17](#prop-b1-spherical-astronomy-sun-declination), calcule a [declinação](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) e a [ascensão reta](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) do Sol quando sua [longitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) [eclíptica](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) é $60{}^{\circ}$. De quantos graus a [ascensão reta](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) fica atrás da [longitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic)? Explique, com esse resultado, por que a inclinação da [eclíptica](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) contribui para a [equação do tempo](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time).

**Solução de Exercício 1.10.**

$\sin\delta_\odot = \sin23.44{}^{\circ}\sin60{}^{\circ} = 0.3445$, $\delta_\odot = 20.15{}^{\circ}$. $\tan\alpha_\odot = \cos23.44{}^{\circ}\tan60{}^{\circ}
= 1.5890$, $\alpha_\odot = 57.82{}^{\circ}$ (no mesmo quadrante que $\lambda_\odot$). A [ascensão reta](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) fica atrás por $2.18{}^{\circ}$, ou seja, $2.18\times4 \approx
8.7\,\mathrm{min}$ de tempo. Um Sol que se movesse uniformemente ao longo da [eclíptica](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) ainda se moveria de forma irregular em [ascensão reta](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial), a grandeza que fixa o [ângulo horário](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) e, portanto, o relógio de sol: atrás do Sol médio entre um equinócio e o solstício seguinte, à frente entre um solstício e o equinócio seguinte. Esse é o termo de obliquidade da [equação do tempo](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time).

**Exercício 1.11 ★★★.**

Mostre que no solstício de junho o Sol nasce no [azimute](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $\mathrm{A}_0$, com $\cos\mathrm{A}_0 = \sin\varepsilon/\cos\varphi$. Em que [latitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) ele nasce exatamente a nordeste? O que acontece com a fórmula nas [latitudes](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) acima de $90{}^{\circ} - \varepsilon$?

**Solução de Exercício 1.11.**

Ao nascer $h = 0$, logo a [Proposição 1.9](#prop-b1-spherical-astronomy-transform) dá $\sin\delta = \cos\varphi\cos\mathrm{A}_0$; no solstício de junho $\delta = \varepsilon$, logo $\cos\mathrm{A}_0 = \sin\varepsilon/\cos\varphi$. Para $\mathrm{A}_0 = 45{}^{\circ}$: $\cos\varphi = \sin23.44{}^{\circ}/\cos45{}^{\circ} =
0.5626$, $\varphi = 55.8{}^{\circ}$ N. Acima de $90{}^{\circ} - \varepsilon =
66.56{}^{\circ}$, $\sin\varepsilon/\cos\varphi > 1$: não há [azimute](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) de nascer, porque o Sol não se põe naquele dia (sol da meia-noite).

**Exercício 1.12 ★★★.**

Um fuso esférico é a parte de uma esfera entre dois semicírculos máximos que unem dois pontos opostos, formando entre si o ângulo $\theta$. (a) Mostre que sua área é $2\theta R^2$. (b) Cada lado de um [triângulo esférico](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) $ABC$, prolongado até um [círculo máximo](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) completo, determina com os outros dois lados três pares de fusos opostos, de ângulos $A$, $B$, $C$, que cobrem a esfera; o triângulo e o seu oposto são cobertos três vezes. Deduza o teorema de Girard: a área do triângulo é $R^2(A + B + C - \pi)$. (c) Aplique-o ao triângulo com três ângulos retos e ao triângulo desenhado neste capítulo (ângulos $89.9{}^{\circ}$, $64.9{}^{\circ}$, $67.4{}^{\circ}$).

**Solução de Exercício 1.12.**

(a) Um fuso esférico de ângulo $\theta$ é a fração $\theta/2\pi$ da esfera: $\frac{\theta}{2\pi}\times4\pi R^2 = 2\theta R^2$. (b) Os três pares de fusos têm área total $2\times(2A + 2B + 2C)R^2$; eles cobrem a esfera uma vez, exceto o triângulo e o seu oposto, cobertos três vezes cada um, ou seja, duas vezes mais do que o necessário: $4(A + B + C)R^2 = 4\pi R^2 + 4S$, em que $S$ é a área do triângulo. Daí $S = R^2(A + B + C - \pi)$. (c) Três ângulos retos: $S = R^2(3\pi/2 - \pi) = \pi R^2/2$, um oitavo da esfera (um octante). O triângulo da figura: $89.9 + 64.9 + 67.4 - 180 = 42.2{}^{\circ}$, isto é, $0.736$ radiano: $S = 0.736\,R^2$, $5.9\,\%$ da esfera.

## 1.7 Problema: uma noite em um observatório de montanha

**Problema 1.1.**

Problema de fim de semana — onde se situa o Observatório do Paranal, o que mostra o seu céu e quanto dura a sua noite mais longa

O Observatório do Paranal fica no deserto do Atacama, na [latitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $24.63{}^{\circ}$ S, [longitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $70.40{}^{\circ}$ O. O Observatório Real de Greenwich, a partir do qual se contam as [longitudes](#def-b1-spherical-astronomy-geographic), fica em $51.48{}^{\circ}$ N, $0.00{}^{\circ}$. Duas estrelas brilhantes do céu do sul têm as coordenadas

| estrela | [ascensão reta](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) | [declinação](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) |
| --- | --- | --- |
| Sirius | $6\,\mathrm{h}$ $45\,\mathrm{min}$ $9\,\mathrm{s}$ | $-16.72{}^{\circ}$ |
| Canopus | $6\,\mathrm{h}$ $23\,\mathrm{min}$ $57\,\mathrm{s}$ | $-52.70{}^{\circ}$ |

Use $R = 6371\,\mathrm{km}$, $\varepsilon = 23.44{}^{\circ}$, um [ano tropical](#def-b1-spherical-astronomy-tropical-year) de 365.2422 dias, e trate o Sol como um ponto sobre um horizonte geométrico.

**Parte I — O Paranal no globo.**

1. Dê as colatitudes do Paranal e de Greenwich, e a diferença de [longitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) entre eles.
2. Escreva a lei dos cossenos para o triângulo Polo Norte–Paranal–Greenwich e calcule o cosseno da distância angular $\Delta$ entre os dois observatórios.
3. Deduza $\Delta$ em graus e a distância sobre o [círculo máximo](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) , em quilômetros.
4. Calcule o rumo inicial do Paranal em direção a Greenwich ( [Método 1.4](#met-b1-spherical-astronomy-great-circle) ).
5. Confira o rumo pela lei dos senos.
6. Uma aeronave que mantivesse esse rumo durante todo o trajeto chegaria a Greenwich? Explique.

**Parte II — O céu do Paranal.**

7. Calcule a [altura angular](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) do [polo celeste](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) sul acima do horizonte sul do Paranal.
8. Calcule a [altura angular](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) em que Sirius cruza o meridiano e de que lado do [zênite](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) ela fica.
9. Determine a declinação-limite abaixo da qual uma estrela é circumpolar no Paranal. Canopus é circumpolar?
10. Calcule a maior [altura angular](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) que Canopus atinge.
11. Calcule o [ângulo horário](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) em que Sirius nasce e por quanto tempo ela permanece acima do horizonte, em horas siderais.
12. Calcule o [azimute](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) em que Sirius nasce.

**Parte III — Relógios.**

13. Qual é o [tempo sideral](#def-b1-spherical-astronomy-sidereal-time) local quando Sirius cruza o meridiano?
14. Calcule a duração do dia sideral e de quantos minutos a passagem de uma estrela pelo meridiano se adianta a cada noite.
15. Tome o [tempo sideral](#def-b1-spherical-astronomy-sidereal-time) local à meia-noite média local como sendo $12\,\mathrm{h}$ no equinócio de março (20 de março de 2026), quando o Sol está perto do [ponto vernal](#def-b1-spherical-astronomy-ecliptic) ; ele então ganha $24/365.2422$ horas por dia. Quantos dias depois do equinócio Sirius cruza o meridiano à meia-noite média local? Em que data?
16. Nessa noite, em quanto o tempo médio local do Paranal difere do tempo de Greenwich?
17. A [equação do tempo](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time) é então de cerca de $-3\,\mathrm{min}$ . Que horas marca um relógio de sol no observatório ( [tempo solar aparente](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time) ) quando Sirius cruza o meridiano?
18. Calcule quanto antes ela cruza o meridiano uma semana depois.

**Parte IV — A noite mais longa.**

19. Calcule a [declinação](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) do Sol em cada solstício.
20. Calcule a [altura angular](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) do Sol ao meio-dia no Paranal nos solstícios de junho e de dezembro. De que lado do [zênite](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) ele fica em dezembro?
21. No solstício de dezembro, a distância Sol–Terra é 0.9837 vez a distância média. Calcule a [insolação](#def-b1-spherical-astronomy-insolation) ao meio-dia no topo da atmosfera acima do Paranal ( $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ ).
22. Em qual solstício a noite é mais longa no Paranal? Calcule o [ângulo horário](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) do pôr do Sol nessa data.
23. Em que [azimute](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) o Sol nasce nessa data?
24. Deduza a duração da noite mais longa do ano no Paranal, em horas e minutos.

**Solução de Problema 1.1.**

**1.** Colatitudes $90{}^{\circ} - (-24.63{}^{\circ}) = 114.63{}^{\circ}$ e $90{}^{\circ} - 51.48{}^{\circ} = 38.52{}^{\circ}$; diferença de [longitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $70.40{}^{\circ}$.

**2.** $\cos\Delta = \cos114.63{}^{\circ}\cos38.52{}^{\circ} +
\sin114.63{}^{\circ}\sin38.52{}^{\circ}\cos70.40{}^{\circ} = -0.3260 + 0.1899 =
-0.1362$.

**3.** $\Delta = 97.83{}^{\circ}$; distância $6371\times1.7074 =
10\,878\,\mathrm{km}$, cerca de $10\,900\,\mathrm{km}$.

**4.**

$$
\cos\mathrm{Az} = \frac{\cos38.52{}^{\circ} - \cos114.63{}^{\circ}\cos97.83{}^{\circ}}
  {\sin114.63{}^{\circ}\sin97.83{}^{\circ}} = \frac{0.7823 - 0.0568}{0.9006} = 0.8056 ,
$$

$\mathrm{Az} = 36.3{}^{\circ}$, para nordeste.

**5.** $\sin\mathrm{Az} = \sin70.40{}^{\circ}\sin38.52{}^{\circ}/\sin97.83{}^{\circ}
= 0.5922$, o que dá $36.3{}^{\circ}$ ou $143.7{}^{\circ}$; o cosseno positivo da questão 4 seleciona $36.3{}^{\circ}$.

**6.** Não. Um rumo constante cruza todos os meridianos sob o mesmo ângulo e se enrola em direção a um polo; o rumo do [círculo máximo](#def-b1-spherical-astronomy-spherical-triangle) muda continuamente (é $36.3{}^{\circ}$ só no início). A aeronave voaria um caminho mais longo e chegaria a outro lugar, a menos que corrigisse o rumo.

**7.** A [altura angular](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) do [polo celeste](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere) sul é igual ao módulo da [latitude](#def-b1-spherical-astronomy-geographic): $24.63{}^{\circ}$.

**8.** $h = 90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} - (-16.72{}^{\circ})| = 82.09{}^{\circ}$; $\delta > \varphi$, logo Sirius passa $7.91{}^{\circ}$ ao norte do [zênite](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere).

**9.** Uma estrela nunca se põe se $\delta < -(90{}^{\circ} - 24.63{}^{\circ}) =
-65.37{}^{\circ}$. Canopus, em $-52.70{}^{\circ}$, não é circumpolar: ela se põe.

**10.** $90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} + 52.70{}^{\circ}| = 61.93{}^{\circ}$, ao sul do [zênite](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere).

**11.** $\cos H_0 = -\tan(-24.63{}^{\circ})\tan(-16.72{}^{\circ}) =
-(0.4584)(0.3004) = -0.1377$; $H_0 = 97.92{}^{\circ}$. Sirius fica acima do horizonte $2\times97.92/15 = 13.06\,\mathrm{h}$ de [tempo sideral](#def-b1-spherical-astronomy-sidereal-time), cerca de $13\,\mathrm{h}$.

**12.** $\cos\mathrm{A}_0 = \sin(-16.72{}^{\circ})/\cos24.63{}^{\circ} =
-0.3165$: Sirius nasce no [azimute](#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $108.5{}^{\circ}$, ao sul do leste.

**13.** Quando $H = 0$, $\mathrm{LST} = \alpha = 6\,\mathrm{h}~45\,\mathrm{min}~9\,\mathrm{s}$.

**14.** $86\,400\,\mathrm{s}\times365.2422/366.2422 = 86\,164.09\,\mathrm{s} =
23\,\mathrm{h}~56\,\mathrm{min}~4\,\mathrm{s}$; a passagem se adianta $235.9\,\mathrm{s}$, $3\,\mathrm{min}$ $56\,\mathrm{s}$, a cada noite.

**15.** Precisamos de $12 + n\times24/365.2422 = 6.7525 + 24$, logo $n = 18.7525/0.065710 = 285.4$ dias. 285 dias depois de 20 de março é 30 de dezembro: Sirius cruza o meridiano à meia-noite média local na noite de 30 para 31 de dezembro de 2026.

**16.** Paranal está $70.40{}^{\circ}$ a oeste de Greenwich: o tempo médio local está atrasado em $70.40/15 = 4.693\,\mathrm{h}$, $4\,\mathrm{h}$ $41.6\,\mathrm{min}$.

**17.** [Tempo solar aparente](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time) = [tempo solar médio](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time) + [equação do tempo](#def-b1-spherical-astronomy-solar-time) = $0\,\mathrm{h} - 3\,\mathrm{min}$: o relógio de sol marca cerca de 23 h 57 min.

**18.** $7\times3.93\,\mathrm{min} \approx 27.5\,\mathrm{min}$ mais cedo.

**19.** $+23.44{}^{\circ}$ no solstício de junho, $-23.44{}^{\circ}$ no solstício de dezembro.

**20.** Junho: $90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} - 23.44{}^{\circ}| = 41.93{}^{\circ}$. Dezembro: $90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} + 23.44{}^{\circ}| = 88.81{}^{\circ}$; como $\delta_\odot = -23.44{}^{\circ} > \varphi$, o Sol passa $1.19{}^{\circ}$ ao norte do [zênite](#def-b1-spherical-astronomy-celestial-sphere).

**21.** $I = 1361\times(1/0.9837)^2\times\sin88.81{}^{\circ} = 1361\times
1.0334\times0.9998 = 1406\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

**22.** Em junho, o inverno austral. $\cos H_0 = -\tan(-24.63{}^{\circ})
\tan23.44{}^{\circ} = 0.4584\times0.4335 = 0.1988$: o Sol se põe no [ângulo horário](#def-b1-spherical-astronomy-equatorial) $H_0 = 78.53{}^{\circ}$.

**23.** $\cos\mathrm{A}_0 = \sin23.44{}^{\circ}/\cos24.63{}^{\circ} = 0.4376$: $\mathrm{A}_0 = 64.0{}^{\circ}$, ao norte do leste.

**24.** Duração do dia $2\times78.53/15 = 10.47\,\mathrm{h}$; a noite mais longa do ano no Paranal dura $24 - 10.47 = 13.53\,\mathrm{h}$, isto é, **$13\,\mathrm{h}$ $32\,\mathrm{min}$**.