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title: "O balanço térmico da Terra"
book: "Ciências da Terra e do espaço universitárias — 1.º ano"
subject: earth
language: pt
chapter: 10
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/10-o-balanco-termico-da-terra
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 10 — O balanço térmico da Terra

Sob uma montanha nos Alpes japoneses, em uma antiga cavidade de mina, um tanque com mil toneladas de cintilador líquido observa lampejos fracos de luz. A maioria vem de antineutrinos produzidos nos reatores nucleares do país em torno, mas alguns vêm de baixo: o urânio e o tório no interior da Terra emitem antineutrinos ao decair, e estes atravessam o planeta inteiro como se ele estivesse vazio. Em 2135 dias de contagem, o detector registrou 841 eventos candidatos, dos quais 106 foram atribuídos à própria Terra. A partir desse punhado de lampejos, sua equipe estimou em 2011 que o decaimento do urânio e do tório aquece a Terra em cerca de 20 terawatts. O planeta como um todo perde cerca de 47. Este capítulo explica a diferença: de onde vem o calor da Terra, como se mede o calor que sai dela, como a temperatura cresce com a profundidade quando o calor é transportado por condução, por que o [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) precisa convectar, e por que as placas são o limite superior frio dessa convecção.

**O que você já sabe.**

Calor flui do quente para o frio; a condutividade térmica $k$ de uma rocha mede a facilidade com que o calor a atravessa, e sua difusividade térmica $\kappa = k/(\rho c)$ mede a rapidez com que uma variação de temperatura se propaga (física, segundo ano universitário). Núcleos radioativos decaem com meia-vida fixa (física). A temperatura cresce com a profundidade ao longo do [geotermo](#def-b1-heat-budget-geotherm), e o [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) convecta (Livro 2, 11º e 12º anos). A [litosfera](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-lithosphere) é a casca externa resistente da Terra ([Capítulo 9](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#ch-b1-layered-earth)).

## 10.1 De onde vem o calor

**Definição 10.1 (Fluxo de calor).**

O *fluxo de calor* $q$ em um ponto da superfície da Terra, ou densidade de fluxo térmico superficial, é a potência de origem interna que atravessa a superfície ali, por unidade de área, contada positivamente para fora. Mede-se em $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, na prática em $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. Integrado sobre toda a superfície, dá a perda de calor da Terra $Q = \oint q\,\mathrm dS$.

O [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) foi medido em dezenas de milhares de locais. Uma compilação de $38\,347$ medidas, publicada em 2010, dá os valores médios abaixo, com os oceanos e os continentes contados separadamente:

|  | área ($\mathrm{m}^{2}$) | perda de calor ($\mathrm{TW}$) | fluxo médio de calor ($\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$) |
| --- | --- | --- | --- |
| continentes | $2.073 \times 10^{14}$ | 14.7 | 70.9 |
| oceanos | $3.028 \times 10^{14}$ | 31.9 | 105.4 |
| Terra inteira | $5.101 \times 10^{14}$ | 46.7 | 91.6 |

O total, arredondado à sua incerteza, é $Q = (47 \pm 2)\,\mathrm{TW}$. Dois terços dele saem pelo fundo oceânico, que é mais jovem e mais fino que os continentes. É um fluxo pequeno: o Sol entrega cerca de $173\,000\,\mathrm{TW}$ à Terra, e o calor interno corresponde a $0.03\,\%$ do orçamento de energia na superfície. Mas é esse fluxo que move vulcões, placas e a formação de montanhas, e ele tem duas fontes.

**Definição 10.2 (Produção de calor radiogênico).**

A *produção de calor radiogênico* $A$ de uma rocha é o calor liberado por unidade de volume e por unidade de tempo pelo decaimento dos núcleos radioativos que ela contém, em $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$, na prática em $\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$. Uma rocha de densidade $\rho$ contendo frações mássicas $C_i$ dos elementos produtores de calor, cada um liberando $H_i$ watts por quilograma de elemento, tem

$$
A = \rho \sum_i C_i H_i .
$$

Quatro isótopos produzem quase todo esse calor, porque são de vida longa, suficientemente abundantes e energéticos: $\ce{^{238}U}$, $\ce{^{235}U}$, $\ce{^{232}Th}$ e $\ce{^{40}K}$. O calor por quilograma de cada elemento é o calor por quilograma de seu isótopo radioativo vezes a parcela desse isótopo no elemento ([Exercício 10.3](#exo-b1-heat-budget-3)):

| isótopo | meia-vida | calor por kg de isótopo | parcela do | calor por kg de elemento |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  | ($\mathrm{Gyr}$) | ($\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$) | elemento (átomos) | ($\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$) |
| $\ce{^{238}U}$ | 4.468 | $9.513 \times 10^{-5}$ | $99.274\,\%$ | U: $9.85 \times 10^{-5}$ |
| $\ce{^{235}U}$ | 0.704 | $5.685 \times 10^{-4}$ | $0.720\,\%$ |  |
| $\ce{^{232}Th}$ | 14.0 | $2.628 \times 10^{-5}$ | quase todo | Th: $2.63 \times 10^{-5}$ |
| $\ce{^{40}K}$ | 1.248 | $2.847 \times 10^{-5}$ | $0.0117\,\%$ | K: $3.40 \times 10^{-9}$ |

O potássio libera trinta mil vezes menos calor por quilograma que o urânio, mas é um elemento importante de muitas rochas, contado em porcentagem onde urânio e tório são contados em partes por milhão. As rochas ricas nos três são os granitos e rochas afins; as mais pobres são os peridotitos do [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers). Uma compilação de $2188$ análises dá estas medianas, em $\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$:

| riolito | 2.55 | lamitos | 1.44 | gabro | 0.35 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| granito | 2.43 | arenitos | 0.82 | basalto | 0.21 |
| granodiorito | 1.88 | rochas carbonáticas | 0.42 | rochas ultramáficas | 0.11 |

A dispersão dentro de cada grupo é grande: um quarto dos granitos produz menos que $1.74\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$, e um quarto mais que $3.23\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$. A [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) continental é enriquecida nesses elementos; a [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) oceânica e o [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) são empobrecidos; mas o [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) é tão grande que ainda guarda uma parcela grande das fontes de calor do planeta.

**Definição 10.3 (Resfriamento secular).**

O *resfriamento secular* é a parte da perda de calor da Terra fornecida pela lenta diminuição da temperatura de seu interior, [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) e núcleo: a liberação do calor armazenado desde a formação do planeta, a uma taxa $-\sum_j M_j c_j\,\mathrm dT_j/\mathrm dt$ para reservatórios de massa $M_j$, calor específico $c_j$ e temperatura média $T_j$.

A conservação da energia dá o balanço de toda a Terra: o calor perdido na superfície é a produção radiogênica mais o [resfriamento secular](#def-b1-heat-budget-secular-cooling),

$$
Q = H_{\text{rad}} + Q_{\text{sc}} .
$$

Os geoneutrinos medem parte do primeiro termo: o resultado de 2011, que combinou dois detectores, atribui $20\,\mathrm{TW}$ ao urânio e ao tório, e $\ce{^{40}K}$, cujos antineutrinos são fracos demais para serem detectados dessa forma, é conhecido por acrescentar cerca de $4\,\mathrm{TW}$.

Cerca da metade da perda de calor é, portanto, radiogênica, e a outra metade, cerca de $23\,\mathrm{TW}$, é [resfriamento secular](#def-b1-heat-budget-secular-cooling). Parte desse resfriamento é do núcleo: o calor que atravessa a fronteira manto–núcleo é estimado em $5\text{ a }15\,\mathrm{TW}$. Esses números são incertos: a própria medida tem uma incerteza de cerca de $9\,\mathrm{TW}$, os resultados dos geoneutrinos até agora só restringem a parte radiogênica a $15\text{ a }41\,\mathrm{TW}$, e modelos da Terra de tipos diferentes variam de $14\text{ a }46\,\mathrm{TW}$. O total, medido na superfície, é o termo mais bem conhecido do balanço (figura abaixo).

![O balanço térmico da Terra. Em cima: o calor perdido pelo fundo oceânico e pelos continentes, (47 ± 2)\, TW ao todo. Embaixo: suas fontes, com a parte radiogênica do urânio e do tório medida pelos geoneutrinos e a do potássio estimada; o restante, por diferença, é resfriamento secular, do qual o núcleo fornece uma parte mal conhecida. A barra laranja mostra a faixa da parte radiogênica permitida pelas medidas dos geoneutrinos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-heat-budget/fig-28db14fbe2cd.svg)

*O balanço térmico da Terra. Em cima: o calor perdido pelo fundo oceânico e pelos continentes, $(47 \pm 2)\,\mathrm{TW}$ ao todo. Embaixo: suas fontes, com a parte radiogênica do urânio e do tório medida pelos geoneutrinos e a do potássio estimada; o restante, por diferença, é [resfriamento secular](#def-b1-heat-budget-secular-cooling), do qual o núcleo fornece uma parte mal conhecida. A barra laranja mostra a faixa da parte radiogênica permitida pelas medidas dos geoneutrinos.*

O calor radiogênico foi maior no passado, porque os isótopos eram mais abundantes: $\ce{^{235}U}$ e $\ce{^{40}K}$, os de vida curta, contribuíam então muito mais (Livro 2, 12º ano). O motor térmico da Terra está se esgotando devagar, pelas duas razões.

## 10.2 Medindo o fluxo de calor

O [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) não é medido diretamente: ele é calculado a partir de um gradiente de temperatura e de uma condutividade.

**Proposição 10.4 (Lei de Fourier).**

Em um meio de condutividade térmica $k$, o calor é conduzido descendo o gradiente de temperatura, a uma taxa por unidade de área proporcional a ele. Com $z$ a profundidade, contada positivamente para baixo, e $q$ contado positivamente para cima,

$$
q = k\,\frac{\mathrm dT}{\mathrm dz} .
$$

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

A lei é estabelecida no volume de física do segundo ano universitário. A maioria das rochas conduz calor a $1.5\text{ a }3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ abaixo de $200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, menos quando quente; modelos do fluxo continental dão à [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) superior granítica cerca de $2.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$;

um gradiente de $25\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ nela significa um [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) de cerca de $70\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

Quando as rochas atravessadas por um furo de sondagem têm condutividades diferentes, o gradiente muda de uma para outra, mas o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) não muda, desde que nenhum calor seja produzido ou armazenado entre elas. A proposição seguinte transforma isso em um teste.

**Proposição 10.5 (Gráfico de Bullard).**

Seja $R(z) = \int_0^z \mathrm d\zeta/k(\zeta)$ a resistência térmica, por unidade de área, das rochas entre a superfície e a profundidade $z$, em $\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}\,\mathrm{W}^{-1}$. Se o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) $q$ é o mesmo em cada profundidade de um furo, a temperatura é uma função linear da resistência térmica: $T(z) = T_0 + q\,R(z)$.

**Demonstração.** Pela lei de Fourier, $\mathrm dT/\mathrm dz = q/k(z)$. Integrando de $0$ a $z$, com $q$ constante, $T(z) - T_0 = q\int_0^z \mathrm d\zeta/k(\zeta) = q\,R(z)$. ∎

**Método 10.6 (O fluxo de calor a partir de um furo).**

1. Registre a temperatura ao longo do furo bem depois da perfuração, quando o distúrbio causado pelo fluido de perfuração já se dissipou, e descarte as dezenas de metros mais superficiais, que acompanham as estações do ano.
2. Meça a condutividade de amostras de testemunho de cada rocha atravessada, em laboratório, e calcule a resistência térmica $R(z)$ em cada profundidade registrada.
3. Trace $T$ contra $R$ : a inclinação da reta é o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) . Uma inflexão revela água circulando pelas rochas, uma mudança passada da temperatura da superfície ou um erro em uma condutividade.
4. Corrija, quando necessário, a topografia, que curva as isotermas sob colinas e vales, e o lento aquecimento desde a última glaciação, que ainda perturba o quilômetro superior ou pouco mais.

No mar, não é preciso um furo. A temperatura no fundo do oceano profundo é muito estável, de modo que alguns metros de sedimento mole já carregam o gradiente de equilíbrio. Uma lança de aço com uma fileira de sensores de temperatura é lançada de um navio e cravada no sedimento por um peso pesado (figura abaixo); os sensores registram o gradiente, e um pulso de calor enviado ao longo da lança dá a condutividade do sedimento no próprio local. O fundo oceânico tem uma armadilha. Sobre [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) jovem, a água do mar circula pelo basalto fraturado e leva embora grande parte do calor por advecção, de modo que o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) condutivo medido fica bem aquém da perda real. A perda através do fundo oceânico mais jovem é, portanto, calculada a partir do modelo de resfriamento de [Seção 10.5](#sec-10-5), calibrado em [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) antiga, onde a circulação cessou: esta parte calculada, $23.1\,\mathrm{TW}$, é cerca de metade do total global.

![Medição do fluxo de calor (esquemática, fora de escala). (a) Em terra, a temperatura é registrada ao longo de um furo quando ele voltou ao equilíbrio, e a condutividade de cada rocha é medida em amostras de testemunho: o gradiente é mais íngreme onde a condutividade é menor, e o fluxo de calor, seu produto, é o mesmo. (b) No mar, uma lança com sensores é cravada alguns metros no sedimento do fundo oceânico.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-heat-budget/fig-2764c314a3d9.svg)

*Medição do [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) (esquemática, fora de escala). (a) Em terra, a temperatura é registrada ao longo de um furo quando ele voltou ao equilíbrio, e a condutividade de cada rocha é medida em amostras de testemunho: o gradiente é mais íngreme onde a condutividade é menor, e o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow), seu produto, é o mesmo. (b) No mar, uma lança com sensores é cravada alguns metros no sedimento do fundo oceânico.*

**No campo — Fluxo de calor no mar.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-heat-budget/img-b102c35907cc.jpg)

*Uma sonda de [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) suspensa do guindaste de popa de um navio de pesquisa (ilustração gerada por IA).*

Em um navio de pesquisa, a sonda de [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) é uma lança pesada suspensa do guindaste de popa. Ela é baixada pelo cabo do navio até logo acima do fundo do mar, e então solta: o peso a crava no sedimento, e a tripulação espera no convés enquanto os sensores se acomodam à temperatura da lama, depois a recolhe e vai para a próxima estação, a uma curta distância. Uma linha dessas estações através do flanco de uma dorsal mostra a diminuição do [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) com a idade do fundo, e a dispersão entre estações vizinhas mostra onde a água circula pela [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) abaixo.

## 10.3 O geotermo condutivo estacionário

**Definição 10.7 (Geotermo).**

O *geotermo* sob um ponto da superfície é a temperatura em função da profundidade ali, $T(z)$. É um geotermo condutivo estacionário quando não muda com o tempo e o calor é transportado ao longo dele apenas por condução.

Dentro da [litosfera](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-lithosphere), longe de vulcões ativos e da circulação de água, o calor é transportado por condução, e em escala de milhões de anos o [geotermo](#def-b1-heat-budget-geotherm) é estacionário. Sua forma decorre então de um balanço de energia.

**Teorema 10.8 (Condução estacionária com produção de calor).**

Ao longo de um [geotermo](#def-b1-heat-budget-geotherm) condutivo estacionário, em um meio de condutividade uniforme $k$ com produção de calor $A(z)$ e sem fluxo horizontal de calor,

$$
\frac{\mathrm dq}{\mathrm dz} = -A(z), \qquad\text{isto é}\qquad
  k\,\frac{\mathrm d^2T}{\mathrm dz^2} = -A(z).
$$

**Demonstração.** Considere uma placa horizontal de área $S$ entre as profundidades $z$ e $z +
\mathrm dz$. O calor entra pela sua base à taxa $q(z + \mathrm dz)\,S$, sai pelo seu topo à taxa $q(z)\,S$, e é produzido em seu interior à taxa $A(z)\,S\,\mathrm dz$. Em regime estacionário nenhum calor é armazenado, logo $q(z)\,S = q(z + \mathrm dz)\,S + A(z)\,S\,\mathrm dz$, o que dá $\mathrm dq/\mathrm dz = -A$. Pela lei de Fourier $q = k\,\mathrm dT/\mathrm dz$, e com $k$ uniforme, $k\,T'' = -A$. ∎

Lido da superfície para baixo, o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) diminui com a profundidade pelo calor produzido acima de cada nível: o que atravessa a superfície é o calor vindo de baixo mais todo o calor produzido no caminho. Duas distribuições de $A$ dão formas fechadas.

**Proposição 10.9 (Uma camada radiogênica uniforme).**

Seja a produção de calor igual a $A$ da superfície até a profundidade $h$, e zero abaixo, a superfície esteja à temperatura $T_0$, e o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) na superfície seja $q_0$. Então, para $0 \le z \le h$

$$
q(z) = q_0 - A z, \qquad T(z) = T_0 + \frac{q_0 z}{k} - \frac{A z^2}{2k},
$$

e abaixo de $h$ o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) é uniforme, $q_m = q_0 - A h$, e o [geotermo](#def-b1-heat-budget-geotherm) é uma reta de inclinação $q_m/k$.

**Demonstração.** Integre $\mathrm dq/\mathrm dz = -A$ a partir de $0$ com $q(0) = q_0$: $q = q_0 -
Az$. Então $\mathrm dT/\mathrm dz = (q_0 - Az)/k$; integrando com $T(0) = T_0$ dá a parábola. Abaixo de $h$, $\mathrm dq/\mathrm dz = 0$ e $q$ mantém seu valor em $h$. ∎

**Teorema 10.10 (Produção exponencial de calor e a relação linear do fluxo de calor).**

Seja a produção de calor diminuindo com a profundidade como $A(z) = A_0 e^{-z/D}$, o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) tendendo a $q_m$ em grande profundidade, e a superfície à temperatura $T_0$. Então

$$
q(z) = q_m + A_0 D\,e^{-z/D}, \qquad
  T(z) = T_0 + \frac{q_m z}{k} + \frac{A_0 D^2}{k}\bigl(1 - e^{-z/D}\bigr),
$$

e o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) na superfície é

$$
q_0 = q_m + A_0 D .
$$

**Demonstração.** A partir de [Teorema 10.8](#thm-b1-heat-budget-balance), $\mathrm dq/\mathrm dz =
-A_0e^{-z/D}$, logo $q(z) = A_0 D e^{-z/D} + C$; quando $z \to \infty$, $q \to C$, logo $C = q_m$. Em $z = 0$, $q_0 = q_m + A_0 D$. Então $\mathrm dT/\mathrm dz =
q/k = q_m/k + (A_0D/k)\,e^{-z/D}$, e integrando desde $0$ com $T(0) = T_0$, $T = T_0 + q_m z/k + (A_0 D^2/k)(1 - e^{-z/D})$. ∎

A última linha é uma previsão que pode ser testada na superfície. Plútons graníticos de uma região compartilham o mesmo [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) profundo $q_m$ e, se diferem apenas pela riqueza em urânio, tório e potássio, a mesma escala $D$; então o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) medido sobre cada plúton deve ser uma função linear da produção de calor medida em suas rochas, com inclinação $D$, um comprimento, e intercepto $q_m$, o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) reduzido, vindo de baixo da camada radiogênica. Francis Birch observou primeiro uma reta assim, relatada em 1968, e no mesmo ano três províncias foram definidas por suas retas:

| província | intercepto $q_m$ ($\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$) | inclinação $D$ ($\mathrm{km}$) |
| --- | --- | --- |
| leste dos Estados Unidos | 33 | 7.5 |
| província Basin and Range | 59 | 9.4 |
| província Sierra Nevada | 17 | 10 |

Os interceptos, publicados nas unidades antigas como 0.8, 1.4 e $0.4\times10^{-6}\,\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, são convertidos com $1\,\text{µ}\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1} = 41.84\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ ([Exercício 10.4](#exo-b1-heat-budget-4)). As inclinações variam pouco, de 7 a $10\,\mathrm{km}$; o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) reduzido varia muito, e mapas dele mostram onde o [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) abaixo está quente, como sob a [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) estirada da Basin and Range. A camada uniforme de [Proposição 10.9](#prop-b1-heat-budget-uniform) também dá uma reta, de inclinação $h$: os dois modelos ajustam os dados, mas só o exponencial permanece uma reta de mesma inclinação quando os plútons são erodidos a profundidades diferentes ([Exercício 10.10](#exo-b1-heat-budget-10)), e por isso é o preferido.

![Geotermos condutivos estacionários de um continente com produção de calor A_0 = 2.5\, µ W\, m-3 decrescendo ao longo de D = 10\, km, k = 2.5\, W\, m-1\, K-1, para três fluxos de calor na superfície (fluxo reduzido 15, 30 e 45\, mW\, m-2). Cada um segue sua curva condutiva (tracejada além) até a adiabática do manto, que encontra no ponto: a base da litosfera térmica. O geotermo do fundo oceânico é o de um semiespaço resfriado por 60\, Myr. A condutividade uniforme é uma simplificação.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-heat-budget/fig-7267e15d1c51.svg)

*[Geotermos](#def-b1-heat-budget-geotherm) condutivos estacionários de um continente com produção de calor $A_0 = 2.5\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$ decrescendo ao longo de $D = 10\,\mathrm{km}$, $k = 2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, para três [fluxos de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) na superfície (fluxo reduzido 15, 30 e $45\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$). Cada um segue sua curva condutiva (tracejada além) até a [adiabática do manto](#def-b1-heat-budget-adiabat), que encontra no ponto: a base da [litosfera térmica](#def-b1-heat-budget-boundary-layer). O [geotermo](#def-b1-heat-budget-geotherm) do fundo oceânico é o de um semiespaço resfriado por $60\,\mathrm{Myr}$. A condutividade uniforme é uma simplificação.*

**Método 10.11 (A temperatura em profundidade sob um plúton).**

1. Meça o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) na superfície $q_0$ sobre o plúton (método do furo) e sua produção de calor $A_0$ a partir de seus teores de U, Th e K.
2. A partir da reta da província, ou com um valor de $D$ de cerca de $10\,\mathrm{km}$ , calcule $q_m = q_0 - A_0 D$ .
3. Aplique [Teorema 10.10](#thm-b1-heat-budget-exponential) . Abaixo de algumas vezes $D$ , $e^{-z/D}$ é desprezível e o [geotermo](#def-b1-heat-budget-geotherm) é a reta $T_0 + A_0D^2/k + q_m z/k$ : a camada radiogênica elevou toda temperatura profunda de $A_0D^2/k$ .

Na figura, a temperatura na [Moho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-discontinuity) vai de cerca de $320{}^{\circ}\mathrm{C}$ para o menor [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) a mais de $700{}^{\circ}\mathrm{C}$ para o maior: o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) na superfície traz uma leitura direta da temperatura da [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) profunda, que governa sua resistência ([Capítulo 16](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/16-tensao-deformacao-e-reologia#ch-b1-stress-strain-rheology)).

## 10.4 Condução contra convecção

A condução é lenta. Quão lenta decorre da equação do calor, que os livros de física deduzem da lei de Fourier e do balanço de [Teorema 10.8](#thm-b1-heat-budget-balance) com armazenamento incluído: em uma dimensão, sem produção de calor, $\partial T/\partial t = \kappa\,\partial^2 T/\partial z^2$.

**Proposição 10.12 (A escala de tempo condutiva).**

Uma variação de temperatura imposta em uma fronteira de um corpo condutor se espalha por uma distância $L$ em um tempo da ordem de

$$
\tau = \frac{L^2}{\kappa} .
$$

**Demonstração.** Escreva $z = L z^*$, $t = \tau t^*$, com $z^*$ e $t^*$ adimensionais. A equação do calor torna-se $\partial T/\partial t^* = (\kappa\tau/L^2)\,\partial^2
T/\partial z^{*2}$. Suas soluções variam na escala $z^* \sim 1$ quando $t^* \sim 1$ só se o coeficiente for de ordem um, isto é, se $\tau \sim L^2/\kappa$. ∎

As rochas têm $\kappa \approx 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$. O ciclo diário de temperatura atinge algumas dezenas de centímetros no solo, o anual alguns metros, e o aquecimento desde a última glaciação cerca de um quilômetro. Através de uma [litosfera](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-lithosphere) de $100\,\mathrm{km}$ de espessura, $\tau = 10^{16}\,\mathrm{s}$, cerca de $300\,\mathrm{Myr}$. Através do [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers), de $2900\,\mathrm{km}$ de espessura, $\tau = 8.4 \times 10^{18}\,\mathrm{s}$, ou $270\,\mathrm{Gyr}$: sessenta vezes a idade da Terra, $4.54\,\mathrm{Gyr}$. Só a condução não poderia ter trazido o calor do [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) profundo para perto da superfície. O [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) convecta, e em seu interior o calor é transportado pelo próprio movimento da rocha, nas velocidades das placas, centímetros por ano.

**Definição 10.13 (Adiabática do manto).**

A *adiabática do manto* é o [geotermo](#def-b1-heat-budget-geotherm) do interior bem misturado do [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) em convecção: a temperatura que a rocha do [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) assume ao subir ou afundar rápido o bastante para não trocar calor com seu entorno, resfriando por expansão ao subir e aquecendo por compressão ao afundar.

A termodinâmica dá seu gradiente, $\mathrm dT/\mathrm dz = \alpha g T/c_p$, com $\alpha$ a expansividade térmica e $c_p$ o calor específico (física, admitido aqui). Ele é pequeno. Uma avaliação recente da física mineral dá $0.54\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ a $50\,\mathrm{km}$ de profundidade, diminuindo para $0.36\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ a $410\,\mathrm{km}$, depois 0.41 até $0.23\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ através do [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) inferior, com $1646\,\mathrm{K}$ a $50\,\mathrm{km}$ e $2587\,\mathrm{K}$ a $2800\,\mathrm{km}$.

Extrapolada até a superfície, a adiabática dá a temperatura potencial do [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers), $1619\,\mathrm{K}$ ou cerca de $1350{}^{\circ}\mathrm{C}$: a temperatura que o [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) teria se fosse trazido à superfície sem trocar calor. A noção de temperatura potencial é definida, para a atmosfera e o oceano, em [Capítulo 26](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/26-estrutura-da-atmosfera-e-do-oceano#ch-b1-fluid-envelopes-structure). Uma temperatura que aumenta apenas $0.5\,\mathrm{K}$ por quilômetro enquanto o [geotermo](#def-b1-heat-budget-geotherm) condutivo perto de a superfície sobe $25\,\mathrm{K}$ é a assinatura da convecção.

**História — John Perry e a Terra que esfria.**

Em 1862–1863 William Thomson, depois Lorde Kelvin, calculou a idade da Terra a partir de seu resfriamento. Ele a tratou como um sólido que resfriara por condução a partir de uma temperatura uniforme de cerca de $3900{}^{\circ}\mathrm{C}$; com o gradiente médio então que escolheu entre as medidas de sua época, de cerca de $36\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, e uma difusividade de $1.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, o tempo necessário para atingir o gradiente de hoje foi de cerca de $96\,\mathrm{Myr}$, entre limites de 24 e $400\,\mathrm{Myr}$ ([Exercício 10.9](#exo-b1-heat-budget-9)). Geólogos acharam isso curto demais. Em 1895, um ano antes de a radioatividade ser descoberta, seu antigo assistente John Perry apontou uma hipótese em seu lugar: se o interior fosse em parte fluido e convectasse, ele transportaria calor como se tivesse uma condutividade enorme, e todo o interior, e não uma casca externa fina, alimentaria o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) na superfície. Seu argumento foi negligenciado e esquecido; a convecção do [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers), estabelecida muito depois, lhe deu razão: o [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) profundo esfria por convecção, e isso é o [resfriamento secular](#def-b1-heat-budget-secular-cooling) do balanço.

**Proposição 10.14 (A Terra bem misturada de Perry).**

Seja uma esfera de raio $R$ com interior bem misturado, na temperatura uniforme $T_i(t)$, com capacidade térmica $\rho c$ por unidade de volume, sob uma tampa condutora de espessura $L \ll R$ e condutividade $k$ cuja superfície está a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$, e seja nula a produção de calor. Então

$$
T_i(t) = T_i(0)\,e^{-t/\tau_P}, \qquad \tau_P = \frac{RL}{3\kappa},
$$

e o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) na superfície $kT_i/L$ decai com a mesma constante de tempo.

**Demonstração.** Sendo a tampa fina, ela está em regime estacionário e transporta o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) $q = kT_i/L$. O interior perde seu calor pela área $4\pi R^2$: $\tfrac43\pi R^3\rho c\,\mathrm dT_i/\mathrm dt = -4\pi R^2 kT_i/L$, isto é $\mathrm dT_i/\mathrm dt = -3\kappa T_i/(RL)$ com $\kappa = k/(\rho c)$, cuja solução é a exponencial de $\tau_P = RL/(3\kappa)$. ∎

Para $R = 6400\,\mathrm{km}$, $L = 100\,\mathrm{km}$ e $\kappa =
10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\tau_P = 6.8\,\mathrm{Gyr}$: uma Terra em convecção mantém um [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) alto por bilhões de anos, enquanto a Terra condutiva de Kelvin o perdeu em dezenas de milhões ([Exercício 10.11](#exo-b1-heat-budget-11)).

## 10.5 A litosfera como camada limite térmica

**Definição 10.15 (Camada limite térmica, litosfera térmica).**

Em um fluido em convecção, uma *camada limite térmica* é uma camada ao longo de uma fronteira através da qual o calor passa por condução, e a temperatura muda da que tem a fronteira para a do interior bem misturado. A *litosfera térmica* é a camada limite térmica superior do [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers): a casca externa da Terra, da superfície para baixo até a profundidade em que o [geotermo](#def-b1-heat-budget-geotherm) condutivo encontra a [adiabática do manto](#def-b1-heat-budget-adiabat).

As placas são o topo frio da convecção do [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers), sua camada limite superior. Sua base, onde o [geotermo](#def-b1-heat-budget-geotherm) condutivo íngreme se curva para a adiabática suave, fica a $70\text{ a }230\,\mathrm{km}$ na figura dos [geotermos](#def-b1-heat-budget-geotherm) para [fluxos de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) continentais de 70 a $40\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, na faixa medida pela sismologia ([Capítulo 9](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#ch-b1-layered-earth)): a [litosfera](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-lithosphere) definida por sua resistência e a [litosfera](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-lithosphere) definida por sua temperatura são aproximadamente a mesma casca, porque a resistência depende da temperatura. Na base do [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers), a camada D$''$ é a camada limite inferior, aquecida de baixo pelo núcleo.

Sob os oceanos, a camada limite nasce na dorsal, onde o [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) quente sobe até a superfície, e engrossa à medida que a placa se afasta e esfria. O resfriamento de um semiespaço a partir de uma temperatura uniforme, resolvido por Fourier e usado por Kelvin para a Terra inteira, descreve-o bem ([Capítulo 13](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/13-riftes-dorsais-e-margens-passivas#ch-b1-rifts-ridges-margins) e o Livro 5 o deduz): as isotermas se aprofundam como a raiz quadrada da idade do fundo (figura abaixo), e o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) diminui como

$$
q(t) = \frac{C}{\sqrt t}, \qquad C \approx 490\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Myr}^{1/2},
$$

o valor usado no balanço global. Aos $100\,\mathrm{Myr}$ o semiespaço resfriou até cerca de $130\,\mathrm{km}$ ([Exercício 10.12](#exo-b1-heat-budget-12)). A placa real deixa de engrossar mais cedo: ondas sísmicas que atravessam o Pacífico são melhor ajustadas por uma placa em resfriamento que tende a uma espessura de $85\text{ a }95\,\mathrm{km}$, o achatamento do fundo oceânico antigo, encontrado de novo em [Capítulo 13](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/13-riftes-dorsais-e-margens-passivas#ch-b1-rifts-ridges-margins).

O balanço de calor, o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) e a estrutura térmica das placas se reúnem nos próximos capítulos: a placa que esfria afunda ([Capítulo 13](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/13-riftes-dorsais-e-margens-passivas#ch-b1-rifts-ridges-margins)), e a [litosfera](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-lithosphere) fria que afunda nas zonas de subducção é a descida da convecção à qual pertence.

![Isotermas em uma placa oceânica em resfriamento: um semiespaço inicialmente a 1350 C, resfriado a partir da superfície, com = 10-6\, m2\, s-1. Cada isoterma se aprofunda como a raiz quadrada da idade; a camada sombreada acima da isoterma de 1200 C é a litosfera térmica. As setas são esquemáticas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-heat-budget/fig-51718961df68.svg)

*Isotermas em uma placa oceânica em resfriamento: um semiespaço inicialmente a $1350{}^{\circ}\mathrm{C}$, resfriado a partir da superfície, com $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$. Cada isoterma se aprofunda como a raiz quadrada da idade; a camada sombreada acima da isoterma de $1200{}^{\circ}\mathrm{C}$ é a [litosfera térmica](#def-b1-heat-budget-boundary-layer). As setas são esquemáticas.*

## 10.6 Exercícios

**Exercício 10.1 ★.**

Um furo em granito de condutividade $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ mostra um gradiente estacionário de $22\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$. Calcule o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) e a potência que atravessa um quilômetro quadrado da superfície ali.

**Solução de Exercício 10.1.**

$q = k\,\mathrm dT/\mathrm dz = 2.5\times0.022\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}^{-1} =
0.055\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2} = 55\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. Através de $1\,\mathrm{km}^{2}$ $=
10^{6}\,\mathrm{m}^{2}$: $5.5 \times 10^{4}\,\mathrm{W}$, isto é, $55\,\mathrm{kW}$.

**Exercício 10.2 ★.**

A partir das áreas e dos fluxos médios de calor dos continentes ($2.073 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, $70.9\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$) e dos oceanos ($3.028 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, $105.4\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$), calcule a perda de calor de cada um, o total e o fluxo médio de calor sobre a superfície da Terra ($5.101 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$). Que fração do $173\,000\,\mathrm{TW}$ recebidos do Sol ela representa?

**Solução de Exercício 10.2.**

Continentes $2.073 \times 10^{14}\times0.0709 = 1.470 \times 10^{13}\,\mathrm{W} = 14.70\,\mathrm{TW}$; oceanos $3.028 \times 10^{14}\times0.1054 = 31.92\,\mathrm{TW}$; total $46.61\,\mathrm{TW}$, e o fluxo médio de calor $4.661 \times 10^{13}/5.101 \times 10^{14} = 91.4\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ (o valor publicado, 46.7 e 91.6, difere apenas pelo arredondamento das duas médias). A fração da entrada solar é $46.6/173000 = 2.7 \times 10^{-4}$, ou $0.027\,\%$.

**Exercício 10.3 ★.**

Pela tabela dos quatro isótopos, calcule o calor liberado por quilograma de urânio natural ($99.274\,\%$ $\ce{^{238}U}$ e $0.720\,\%$ $\ce{^{235}U}$ dos átomos; suas massas diferem em cerca de $1\,\%$, então tome-os como frações mássicas) e por quilograma de potássio natural, cujo $\ce{^{40}K}$ é $0.0117\,\%$ dos átomos (tome a massa de um átomo de $\ce{^{40}K}$ como $39.96/39.10$ vezes a massa média de um átomo de potássio).

**Solução de Exercício 10.3.**

Urânio: $0.99274\times9.513 \times 10^{-5} + 0.00720\times5.685 \times 10^{-4} =
9.444 \times 10^{-5} + 4.09 \times 10^{-6} = 9.85 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$; o raro $\ce{^{235}U}$ fornece $4\,\%$ dele. Potássio: a fração mássica de $\ce{^{40}K}$ é $1.17 \times 10^{-4}\times39.96/39.10 = 1.196 \times 10^{-4}$, logo $1.196 \times 10^{-4}\times2.847 \times 10^{-5} = 3.40 \times 10^{-9}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$.

**Exercício 10.4 ★.**

Converta os interceptos das três províncias, 0.8, 1.4 e $0.4\times10^{-6}\,\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, em $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ ($1\,\mathrm{cal} = 4.184\,\mathrm{J}$). Preveja o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) na superfície sobre um granito de produção de calor $3.0\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$ em cada província.

**Solução de Exercício 10.4.**

A conversão é $1\,\text{µ}\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1} = 4.184 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}^{-1}/10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}
= 41.84\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$: leste dos Estados Unidos $33.5\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, Basin and Range $58.6\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, Sierra Nevada $16.7\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. Com $A_0D$ em $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ quando $A_0$ está em $\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$ e $D$ em $\mathrm{km}$: $33.5 + 3.0\times7.5 = 56.0\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, $58.6 + 3.0\times9.4 =
86.8\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, $16.7 + 3.0\times10 = 46.7\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. O mesmo granito dá [fluxos de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) quase duas vezes maiores na Basin and Range do que na Sierra Nevada: a diferença está no [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) abaixo.

**Exercício 10.5 ★★.**

Uma [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) tem produção de calor uniforme de $2.0\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$ em seus $10\,\mathrm{km}$ superiores e nenhuma abaixo, condutividade de $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, um [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) na superfície de $60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ e uma temperatura na superfície de $10{}^{\circ}\mathrm{C}$. Calcule a temperatura a $10\,\mathrm{km}$, o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) abaixo da camada radiogênica e a temperatura na [Moho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-discontinuity), $35\,\mathrm{km}$ abaixo.

**Solução de Exercício 10.5.**

$T(10\,\text{km}) = 10 + \frac{0.060\times10^4}{2.5} - \frac{2 \times 10^{-6}\times10^8}{2\times2.5}
= 10 + 240 - 40 = 210{}^{\circ}\mathrm{C}$. Abaixo, $q_m = 60 - 2.0\times10 =
40\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, um gradiente de $16\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, e $T(35\,\text{km}) = 210 + 16\times25 = 610{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Exercício 10.6 ★★.**

Um furo atravessa $300\,\mathrm{m}$ de folhelho ($k = 1.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$), depois granito ($k = 3.0\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$). As [temperaturas de equilíbrio](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/3-planetologia-comparada#def-b1-comparative-planetology-equilibrium-temperature) são $12.0{}^{\circ}\mathrm{C}$ na superfície, $24.0{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $300\,\mathrm{m}$ e $34.0{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $800\,\mathrm{m}$. Calcule o gradiente e o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) em cada rocha, a resistência térmica a $300\,\mathrm{m}$ e a $800\,\mathrm{m}$, e a inclinação do gráfico de Bullard. O [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) é constante?

**Solução de Exercício 10.6.**

Folhelho: gradiente $12.0/0.300 = 40\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, $q = 1.5\times0.040 =
60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. Granito: $10.0/0.500 = 20\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, $q = 3.0\times0.020 = 60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. $R(300) = 300/1.5 =
200\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}\,\mathrm{W}^{-1}$, $R(800) = 200 + 500/3.0 = 366.7\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}\,\mathrm{W}^{-1}$. Os três pontos $(0, 12.0)$, $(200, 24.0)$, $(366.7, 34.0)$ estão alinhados, com inclinação $22.0/366.7 = 0.0600\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$: o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) é o mesmo, $60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, nas duas rochas; só o gradiente muda, em proporção inversa à condutividade.

**Exercício 10.7 ★★.**

Com $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, calcule a escala de tempo condutiva para $L = 1\,\mathrm{m}$, $10\,\mathrm{m}$, $100\,\mathrm{km}$ e $2900\,\mathrm{km}$, cada uma em uma unidade adequada. Quais ciclos de temperatura da superfície ainda são sentidos a $10\,\mathrm{m}$ abaixo do solo? Compare o último tempo com a idade da Terra.

**Solução de Exercício 10.7.**

$\tau = L^2/\kappa$: $1\,\mathrm{m}$, $10^{6}\,\mathrm{s}$ ou $12$ dias; $10\,\mathrm{m}$, $10^{8}\,\mathrm{s}$ ou $3.2$ anos; $100\,\mathrm{km}$, $10^{16}\,\mathrm{s}$ ou $317\,\mathrm{Myr}$; $2900\,\mathrm{km}$, $8.4 \times 10^{18}\,\mathrm{s}$ ou $267\,\mathrm{Gyr}$. A $10\,\mathrm{m}$ o ciclo diário não é sentido de forma alguma, e o ciclo anual, mais curto que os três anos necessários para atravessar $10\,\mathrm{m}$, só muito fracamente: passam apenas as mudanças que duram anos ou mais. O último caso dá $267/4.54 = 59$ vezes a idade da Terra.

**Exercício 10.8 ★★.**

A [adiabática do manto](#def-b1-heat-budget-adiabat) está a $1646\,\mathrm{K}$ a $50\,\mathrm{km}$ de profundidade, com um gradiente de $0.54\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ ali, diminuindo para $0.36\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ a $410\,\mathrm{km}$. (a) Extrapole-a até a superfície com o gradiente a $50\,\mathrm{km}$, e dê a temperatura potencial em kelvins e em graus Celsius. (b) Estime a temperatura a $410\,\mathrm{km}$ com a média dos dois gradientes, e compare com os $1799\,\mathrm{K}$ publicados logo acima da descontinuidade.

**Solução de Exercício 10.8.**

(a) $1646 - 0.54\times50 = 1619\,\mathrm{K}$, isto é $1346{}^{\circ}\mathrm{C}$, o valor publicado de $1350{}^{\circ}\mathrm{C}$ arredondado. (b) Gradiente médio $(0.54 + 0.36)/2 = 0.45\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, logo $1646 + 0.45\times360 =
1808\,\mathrm{K}$, $9\,\mathrm{K}$ ($0.5\,\%$) acima de $1799\,\mathrm{K}$: o gradiente não diminui linearmente, mas a estimativa está próxima.

**Exercício 10.9 ★★.**

Um semiespaço resfriado a partir da temperatura uniforme $T_0$, com sua superfície mantida em $0{}^{\circ}\mathrm{C}$, tem, após um tempo $t$, o gradiente superficial $G =
T_0/\sqrt{\pi\kappa t}$ (admitido). (a) Exprima $t$ em termos de $G$. (b) Com os valores de Kelvin, $T_0 = 3900{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\kappa =
1.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $G = 1/50$ de grau Fahrenheit por pé, calcule $G$ em $\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ e a idade. (c) Refaça com $T_0 =
1300{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $G =
36\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$.

**Solução de Exercício 10.9.**

(a) $G^2 = T_0^2/(\pi\kappa t)$ dá $t = T_0^2/(\pi\kappa G^2)$. (b) $G = 0.02\times\tfrac59\,\mathrm{K}/0.3048\,\mathrm{m} = 0.036\,45\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}^{-1} =
36.45\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$; $t = 3900^2/(\pi\times1.2 \times 10^{-6}\times0.03645^2) =
1.521 \times 10^{7}/5.009 \times 10^{-9} = 3.04 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$, isto é $96\,\mathrm{Myr}$, a figura de Kelvin. (c) $t = 1300^2/(\pi\times10^{-6}\times0.036^2) =
4.15 \times 10^{14}\,\mathrm{s} = 13\,\mathrm{Myr}$: uma temperatura inicial mais realista torna a Terra condutiva ainda mais jovem.

**Exercício 10.10 ★★★.**

Uma província sofre erosão: uma espessura $e$ é removida do topo de cada plúton, permanecendo inalterado o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) profundo $q_m$. (a) No modelo exponencial, mostre que a nova produção de calor e o novo [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) na superfície, $A_0'$ e $q_0'$, ainda satisfazem $q_0' = q_m + A_0'D$. (b) No modelo de camada uniforme de espessura $h$, mostre que um plúton erodido de $e$ está sobre uma reta de inclinação $h - e$. (c) Plútons de uma província foram erodidos em quantidades diferentes. Qual modelo prevê que eles ainda caiam sobre uma única reta?

**Solução de Exercício 10.10.**

(a) Depois da erosão, a nova superfície é a antiga profundidade $e$, onde a produção de calor era $A_0' = A_0e^{-e/D}$ e o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) $q(e) = q_m +
A_0De^{-e/D} = q_m + A_0'D$; medida a partir da nova superfície, a produção ainda decresce como $A_0'e^{-z'/D}$. O plúton desce ao longo da mesma reta. (b) A camada agora tem espessura $h - e$ com o mesmo $A$, logo $q_0' = q_m + A(h - e)$: sobre uma reta de inclinação $h - e$ passando por $q_m$. (c) Só o modelo exponencial: no modelo de camada uniforme, plútons erodidos a profundidades diferentes estariam sobre retas de inclinações diferentes, e os pontos de uma província se espalhariam. Que uma única reta seja observada favorece uma produção que decresce aproximadamente exponencialmente com a profundidade.

**Exercício 10.11 ★★★.**

No modelo de Perry ([Proposição 10.14](#prop-b1-heat-budget-perry)) tome $R = 6400\,\mathrm{km}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $k = 3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ e uma temperatura inicial do interior de $1300{}^{\circ}\mathrm{C}$. (a) Calcule $\tau_P$ para tampas de 50 e $100\,\mathrm{km}$. (b) Para a tampa de $50\,\mathrm{km}$, calcule o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) na superfície no início e após $2\,\mathrm{Gyr}$. (c) O semiespaço condutivo de Kelvin, com o mesmo $k$ e $T_0$, tem um [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) na superfície $kT_0/\sqrt{\pi\kappa t}$: calcule-o após $2\,\mathrm{Gyr}$, e compare.

**Solução de Exercício 10.11.**

(a) $\tau_P = RL/(3\kappa)$: para $50\,\mathrm{km}$, $6.4 \times 10^{6}\times5 \times 10^{4}/3 \times 10^{-6}
= 1.07 \times 10^{17}\,\mathrm{s} = 3.4\,\mathrm{Gyr}$; para $100\,\mathrm{km}$, $6.8\,\mathrm{Gyr}$. (b) $q = kT_i/L = 3\times1300/5 \times 10^{4} = 78\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ no início, e $78\,e^{-2/3.38} = 43\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ após $2\,\mathrm{Gyr}$. (c) $3\times1300/\sqrt{\pi\times10^{-6}\times6.31 \times 10^{16}} = 3900/4.45 \times 10^{5} =
8.8\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$: a Terra bem misturada ainda perde cinco vezes mais calor após dois bilhões de anos. Todo o seu interior alimenta a superfície, onde numa Terra condutiva só uma casca externa o faz.

**Exercício 10.12 ★★★.**

O [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) na superfície de um semiespaço em resfriamento é $q = k\,\Delta T/\sqrt{\pi\kappa t}$ ([Exercício 10.9](#exo-b1-heat-budget-9)). (a) Com $k = 3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\kappa =
10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $\Delta T = 1336\,\mathrm{K}$ (da temperatura potencial até um fundo oceânico de cerca de $10{}^{\circ}\mathrm{C}$), calcule a constante $C$ de $q = C/\sqrt t$, com $t$ em milhões de anos, e compare-a com os $490\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Myr}^{1/2}$ ajustados aos dados. (b) Com $C = 490$, dê o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) a 1, 10 e $100\,\mathrm{Myr}$. (c) A isoterma de $1200{}^{\circ}\mathrm{C}$ da figura das isotermas em resfriamento está onde $z = 2\times1.163\sqrt{\kappa t}$; calcule sua profundidade a $100\,\mathrm{Myr}$.

**Solução de Exercício 10.12.**

(a) $\sqrt{\pi\kappa\times1\,\mathrm{Myr}} = \sqrt{\pi\times10^{-6}\times3.156 \times 10^{13}}
= 9957\,\mathrm{m}$, logo $C = 3\times1336/9957 = 0.403\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ para $t$ em Myr, $403\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Myr}^{1/2}$: $82\,\%$ do valor ajustado de 490. O modelo precisa de um $k\,\Delta T$ maior (cerca de $4900\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}$): uma condutividade mais alta do [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers), ou um interior mais quente, como ao longo da adiabática. (b) $490/\sqrt1 = 490$, $490/\sqrt{10} = 155$ e $490/\sqrt{100} =
49\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. (c) $z = 2.326\sqrt{10^{-6}\times3.156 \times 10^{15}} =
2.326\times56\,180\,\mathrm{m} = 131\,\mathrm{km}$.

## 10.7 Problema: rochas quentes sob os plútons

**Problema 10.1.**

Problema de fim de semana — fluxo de calor e produção de calor de cinco plútons graníticos, a relação linear e a temperatura da crosta profunda

Cinco plútons graníticos de uma província foram perfurados. Em cada furo a [temperatura de equilíbrio](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/3-planetologia-comparada#def-b1-comparative-planetology-equilibrium-temperature) foi registrada a $100\,\mathrm{m}$ e a $500\,\mathrm{m}$, e a condutividade do granito foi medida em testemunhos; seus teores de urânio, tório e potássio foram analisados em amostras de superfície. Os cinco granitos têm uma densidade de $2650\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

| plúton | $T$ a $100\,\mathrm{m}$ (${}^{\circ}\mathrm{C}$) | $T$ a $500\,\mathrm{m}$ (${}^{\circ}\mathrm{C}$) | $k$ ($\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$) | U, Th (ppm) | K ($\%$) |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| A | 13.1 | 19.2 | 2.9 | 2.0, 8 | 3.0 |
| B | 12.4 | 20.2 | 2.6 | 3.5, 14 | 3.5 |
| C | 13.6 | 21.4 | 3.1 | 5.0, 18 | 4.0 |
| D | 12.9 | 23.1 | 2.7 | 7.0, 25 | 4.2 |
| E | 14.2 | 25.5 | 3.0 | 10.0, 35 | 4.5 |

Use os calores por quilograma de elemento $9.85 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$ (U), $2.63 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$ (Th) e $3.40 \times 10^{-9}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$ (K). Abaixo dos plútons, tome $k = 2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ para toda a [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) e uma temperatura na superfície de $10{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Parte I — Fluxo de calor.**

1. Calcule o gradiente de temperatura em cada furo.
2. Por que as temperaturas devem ser registradas semanas ou meses depois da perfuração, e por que os primeiros $100\,\mathrm{m}$ são deixados de fora?
3. Calcule o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) em cada plúton.
4. Compare-os com o fluxo médio continental de calor, $70.9\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ .
5. Os gradientes de B e C são iguais. Por que seus [fluxos de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) não são?
6. Os plútons estão sob colinas. A topografia elevaria ou reduziria o gradiente medido sob um cume? (Pense na forma das isotermas.)

**Parte II — Produção de calor e a reta.**

7. Calcule a produção de calor devida ao urânio em cada plúton.
8. O mesmo para o tório.
9. O mesmo para o potássio.
10. Some essas parcelas para obter $A_0$ em cada plúton. Qual elemento contribui menos?
11. Marque $q_0$ contra $A_0$ . Os pontos ficam perto de uma reta?
12. Calcule as médias de $A_0$ e $q_0$ , e as somas $\sum (A_0 - \bar A_0)^2$ e $\sum (A_0 - \bar A_0)(q_0 - \bar q_0)$ .
13. Deduza a reta de mínimos quadrados $q_0 = q_m + D A_0$ : sua inclinação $D$ (em $\mathrm{km}$ ) e o intercepto $q_m$ .
14. Compare $D$ e $q_m$ com as três províncias do capítulo. A qual delas esta província se parece?

**Parte III — O geotermo sob o plúton E.** Arredonde $D$ para $10\,\mathrm{km}$ e $q_m$ para $30\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, e tome para o plúton E o valor arredondado $A_0 = 5.46\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$.

15. Escreva o [geotermo](#def-b1-heat-budget-geotherm) $T(z)$ de [Teorema 10.10](#thm-b1-heat-budget-exponential) com esses valores.
16. Calcule o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) a 10, 20 e $35\,\mathrm{km}$ .
17. Que fração do [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) na superfície sobre E vem de baixo da camada radiogênica?
18. Calcule a temperatura a $10\,\mathrm{km}$ .
19. Calcule a temperatura a $20\,\mathrm{km}$ .

**Parte IV — A crosta profunda.**

20. Calcule a temperatura na [Moho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-discontinuity) , $35\,\mathrm{km}$ abaixo, sob o plúton A ( $A_0 = 1.35\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$ ).
21. Em quanto as camadas radiogênicas de A e E elevam as temperaturas profundas? Explique a diferença entre os dois plútons.
22. Abaixo de $50\,\mathrm{km}$ , $e^{-z/D}$ é desprezível. Encontre a profundidade da isoterma de $1300{}^{\circ}\mathrm{C}$ sob o plúton E e sob o plúton A.
23. Compare essas profundidades com a espessura da [litosfera](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-lithosphere) continental encontrada em [Capítulo 9](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#ch-b1-layered-earth) .
24. Qual é a temperatura na [Moho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-discontinuity) sob o plúton E?

**Solução de Problema 10.1.**

**1.** Gradiente $= (T_{500} - T_{100})/0.4\,\mathrm{km}$: A $15.25\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, B $19.50$, C $19.50$, D $25.50$, E $28.25\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$.

**2.** A perfuração perturba a temperatura da rocha (o fluido de perfuração esfria ou aquece as paredes), e a perturbação leva semanas a meses para se dissipar. As dezenas de metros superiores seguem o ciclo sazonal e as mudanças recentes da temperatura da superfície.

**3.** $q_0 = k\times$gradiente: A $2.9\times15.25 = 44.225\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, B $50.70\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, C $60.45\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, D $68.85\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, E $84.75\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

**4.** A a D ficam abaixo da média continental, E acima dela em $13.9\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, ou $20\,\%$.

**5.** O [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) é condutividade vezes gradiente: C conduz melhor (3.1 contra 2.6), então o mesmo gradiente carrega $19\,\%$ mais calor.

**6.** As isotermas seguem a topografia só em parte: sob um cume elas sobem menos que a superfície, logo ficam mais afastadas embaixo dele, e o gradiente medido diminui (aumenta sob um vale). É preciso uma correção para a topografia antes de comparar os plútons.

**7.** $\rho C_U H_U$: A $2650\times2.0 \times 10^{-6}\times9.85 \times 10^{-5} =
0.522\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$, B 0.914, C 1.305, D 1.827, E 2.610.

**8.** Tório: A 0.558, B 0.976, C 1.255, D 1.742, E 2.439.

**9.** Potássio: A $2650\times0.030\times3.40 \times 10^{-9} = 0.270$, B 0.315, C 0.360, D 0.378, E 0.405.

**10.** $A_0$ = 1.35, 2.20, 2.92, 3.95 e $5.46\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$. O potássio contribui menos, de $20\,\%$ do total em A a $7\,\%$ em E; urânio e tório dividem o resto quase igualmente.

**11.** Sim: os cinco pontos sobem regularmente, a cerca de $1.5\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ de uma reta.

**12.** $\bar A_0 = 15.88/5 = 3.176$, $\bar q_0 = 308.975/5 = 61.795$; $\sum(A_0 - \bar A_0)^2 = 10.1681$; $\sum(A_0 - \bar A_0)(q_0 - \bar q_0) =
101.146$.

**13.** $D = 101.146/10.1681 = 9.95$ (em $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ por $\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$, isto é, em km): $D = 9.95\,\mathrm{km}$, e $q_m = 61.795 -
9.95\times3.176 = 30.20\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

**14.** A inclinação, cerca de $10\,\mathrm{km}$, é a das três províncias; o [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) reduzido, $30\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, está perto dos $33\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ do leste dos Estados Unidos: uma província calma, com um [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) frio embaixo, ao contrário da Basin and Range.

**15.** $q_m/k = 12\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ e $A_0D^2/k = 5.46 \times 10^{-6}\times10^{8}/2.5
= 218.4\,\mathrm{K}$: $T(z) = 10 + 12z + 218.4\,(1 - e^{-z/10})$, $z$ em km, $T$ em ${}^{\circ}\mathrm{C}$.

**16.** $q(z) = 30 + 54.6\,e^{-z/10}$: $50.1\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ a $10\,\mathrm{km}$, $37.4$ a $20\,\mathrm{km}$ e $31.7\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ a $35\,\mathrm{km}$.

**17.** $30/84.6 = 35\,\%$: quase dois terços do [fluxo de calor](#def-b1-heat-budget-heat-flow) sobre E são produzidos em sua camada radiogênica.

**18.** $T(10) = 10 + 120 + 218.4\times0.632 = 268{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**19.** $T(20) = 10 + 240 + 218.4\times0.865 = 439{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**20.** Sob A, $A_0D^2/k = 1.35\times100/2.5 = 54.0\,\mathrm{K}$: $T(35) = 10 + 420 + 54.0\times0.970 = 482{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**21.** Pelo $A_0D^2/k$: $54\,\mathrm{K}$ sob A e $218\,\mathrm{K}$ sob E. O fluxo profundo de calor é o mesmo; a [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) de E é quatro vezes mais rica em fontes de calor, e o calor que elas produzem precisa ser conduzido para cima pela mesma rocha, o que exige um gradiente mais íngreme em todo o trajeto.

**22.** $1300 = 10 + 218.4 + 12z$ dá $z = 89.3\,\mathrm{km}$ sob E; $1300 = 10 + 54.0 + 12z$ dá $103.0\,\mathrm{km}$ sob A.

**23.** Ambas estão dentro da faixa da [litosfera](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-lithosphere) continental, de cem quilômetros ou menos sob regiões jovens até cerca de $250\,\mathrm{km}$ sob crátons, do lado fino dessa faixa: com um fluxo reduzido de $30\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ e esta condutividade, o [geotermo](#def-b1-heat-budget-geotherm) condutivo atinge temperaturas do [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) a cerca de $100\,\mathrm{km}$; sob o plúton mais radioativo, $14\,\mathrm{km}$ antes.

**24.** $T(35) = 10 + 420 + 218.4\times(1 - e^{-3.5}) = 430 + 211.8$: a [Moho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-discontinuity) sob o plúton E está a **$642{}^{\circ}\mathrm{C}$**.