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title: "Isostasia e anomalias da gravidade"
book: "Ciências da Terra e do espaço universitárias — 1.º ano"
subject: earth
language: pt
chapter: 11
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/11-isostasia-e-anomalias-da-gravidade
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 11 — Isostasia e anomalias da gravidade

Nos anos 1840 os topógrafos que mediam um arco de meridiano pelo norte da Índia encontraram uma discrepância que não podiam atribuir aos instrumentos. Entre duas estações a cerca de 370 milhas, Kaliana, ao pé do Himalaia, e Kalianpur, muito mais ao sul, a diferença de [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-geographic) obtida por triangulação excedeu a obtida pelas estrelas em 5.236 segundos de arco. O culpado óbvio eram as montanhas: sua atração puxa um fio de prumo para o norte, e os astrônomos ajustavam seus instrumentos pelo fio de prumo. Em 1855 John Henry Pratt calculou a atração do Himalaia e dos planaltos além dele e encontrou que ela deveria ter feito a discrepância ser de 15.885 segundos, mais de três vezes o que foi observado. As montanhas puxavam muito menos do que sua massa visível exigia. No mesmo ano George Airy respondeu que a [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) flutua sobre uma camada mais densa como uma jangada de toras sobre a água, de modo que terrenos altos têm uma raiz profunda de rocha leve; Pratt propôs depois outra resposta, uma rocha tornada mais leve pela expansão sob as montanhas. As duas ainda são ensinadas: as montanhas têm embaixo rocha leve que compensa sua massa. Este capítulo transforma essa ideia em números, e mostra como a gravidade, medida a um milionésimo de seu valor, revela as massas escondidas sob a topografia.

**O que você já sabe.**

A lei de gravitação de Newton dá o campo $g = GM/r^2$ fora de uma massa esférica $M$; o campo deriva de um potencial gravitacional, e uma superfície equipotencial é em todo ponto perpendicular ao campo (física). Em um fluido em repouso a pressão cresce com a profundidade como $\mathrm dp/\mathrm dz = \rho g$, e um corpo flutuante desloca seu próprio peso de fluido (física, primeiro ano universitário). Abaixo da [litosfera](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-lithosphere) a [astenosfera](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-lithosphere) flui ao longo de tempos longos; a [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) é mais leve que o [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) embaixo dela ([Capítulo 9](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#ch-b1-layered-earth); Livro 2, 11º ano).

## 11.1 A gravidade e sua medida

A aceleração da gravidade na superfície da Terra é próxima de $9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, e as variações que interessam aos geólogos são um milhão de vezes menores. Elas são contadas em uma unidade do antigo sistema centímetro–grama, o gal: $1\,\mathrm{Gal} = 1\,\mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-2} = 0.01\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, de modo que

$$
1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal} = 10^{-5}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} \approx 10^{-6}\,g .
$$

Um gravímetro de campo resolve alguns milésimos de miligal; as anomalias estudadas neste capítulo vão de uma fração de miligal sobre um corpo de minério enterrado a algumas centenas de miligals sobre uma cadeia de montanhas.

Mesmo em uma Terra sem topografia, a gravidade não seria a mesma em toda parte. A Terra gira, de modo que o que um fio de prumo ou um gravímetro sente é a soma da atração gravitacional e do efeito centrífugo da rotação; e a Terra é achatada, de modo que os polos ficam mais perto de seu centro que o equador. Os dois efeitos tornam a gravidade mais fraca no equador do que nos polos. Um geólogo compara cada medida com uma referência suave que as contém.

**Definição 11.1 (Gravidade normal).**

A *gravidade normal* $\gamma$ é a gravidade de um modelo da Terra: um elipsoide de revolução com a massa e a rotação da Terra, escolhido de modo que sua superfície seja uma equipotencial de sua própria gravidade (gravitação mais o efeito centrífugo). Nessa superfície, a gravidade normal depende apenas da [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-geographic).

O elipsoide em si, seu achatamento e a maneira como seus parâmetros são ajustados à Terra real são estudados no Livro 5. Aqui precisamos apenas de sua gravidade.

**Proposição 11.2 (A fórmula da gravidade normal).**

No elipsoide de referência adotado em 1980, a [gravidade normal](#def-b1-isostasy-gravity-normal-gravity) na [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-geographic) geográfica $\varphi$ é, em sua forma usual em série,

$$
\gamma(\varphi) = 9.780\,327\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}\,\bigl(1 + 0.0053024\sin^2\varphi
  - 0.0000058\sin^2 2\varphi\bigr).
$$

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

Ela dá $9.780\,327\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ no equador, $9.806\,200\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ a $45{}^{\circ}$ e $9.832\,186\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ nos polos: uma diferença de $5186\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ do equador ao polo. A rotação sozinha explica a maior parte. Com o dia sideral de $23.9345\,\mathrm{h}$, a velocidade angular é $\omega = 2\pi/86\,164\,\mathrm{s} = 7.292 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, e a aceleração centrífuga no equador, $\omega^2 a$ com $a = 6378.137\,\mathrm{km}$, é $0.0339\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, ou $3392\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; o achatamento fornece o resto ([Exercício 11.2](#exo-b1-isostasy-gravity-2)).

A gravidade é medida de duas maneiras. Um gravímetro *absoluto* deixa cair uma massa de teste em uma câmara de vácuo e acompanha sua queda livre com um interferômetro a laser, cronometrado por um relógio atômico: a aceleração sai diretamente da distância e do tempo. Um gravímetro *relativo* é uma massa pendurada em uma mola, cujo alongamento muda com a gravidade; é leve e rápido, mas só dá diferenças entre lugares, e deriva, de modo que um levantamento retorna a uma estação-base cuja gravidade é conhecida. Os melhores instrumentos absolutos têm precisão de cerca de um microgal, uma parte em um bilhão de $g$.

**No campo — Um levantamento gravimétrico em terra.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-isostasy-gravity/img-a37751529b93.jpg)

*Um gravímetro de campo sobre seu tripé, com uma antena de posicionamento por satélite ao lado (ilustração gerada por IA).*

Um levantamento gravimétrico é uma caminhada lenta de estação em estação. Em cada uma, o geofísico instala o gravímetro relativo no seu tripé, nivela-o, espera a mola se acomodar e faz várias leituras; um receptor de posicionamento por satélite ao lado registra a posição e a altura da estação. A cada poucas horas a equipe volta à estação-base, para que a deriva da mola possa ser medida e removida. A altura importa tanto quanto a gravidade: como mostra a próxima seção, a gravidade cai $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ para cada metro de altura, de modo que uma altura errada em $1\,\mathrm{cm}$ estraga a leitura em $3\,\text{µ}\mathrm{Gal}$.

## 11.2 Isostasia

A compensação imaginada por Airy e Pratt para o Himalaia é um caso de um estado geral das camadas externas da Terra.

**Definição 11.3 (Isostasia; profundidade de compensação).**

Uma região está em *isostasia*, ou equilíbrio isostático, quando existe uma profundidade, a *profundidade de compensação*, na qual a pressão é a mesma em todo ponto da superfície horizontal, qualquer que seja a topografia acima dela. Abaixo da profundidade de compensação as rochas se comportam como um fluido em repouso; acima dela, as colunas de [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) e [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) flutuam sobre elas.

**Proposição 11.4 (Massas iguais acima da profundidade de compensação).**

Se a gravidade $g$ é a mesma ao longo de todas as colunas, uma região está em [isostasia](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy) com [profundidade de compensação](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy) $z_c$ se, e somente se, toda coluna vertical de seção unitária, da superfície até $z_c$, contém a mesma massa.

**Demonstração.** Em cada coluna as rochas estão em equilíbrio hidrostático, de modo que $\mathrm dp/\mathrm dz = \rho(z)\,g$, com a profundidade $z$ contada para baixo. A pressão na superfície é atmosférica, a mesma em toda parte (e desprezível). Integrando desde a superfície $z_s$ da coluna até $z_c$ obtém-se

$$
p(z_c) = p_0 + g\int_{z_s}^{z_c}\rho(z)\,\mathrm dz ,
$$

em que a integral é a massa da coluna por unidade de área. As pressões em $z_c$ são iguais se, e somente se, essas massas o forem. ∎

Duas maneiras simples de distribuir as massas dão os dois modelos clássicos (figura abaixo).

**Proposição 11.5 (Isostasia de Airy).**

Seja a [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) de densidade uniforme $\rho_c$ e espessura $H$ onde sua superfície está ao nível do mar, sobre um [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) de densidade $\rho_m > \rho_c$. Em equilíbrio isostático:

1. onde a superfície está a uma altura $h$ acima do nível do mar, a [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) tem uma raiz de profundidade $r = h\,\rho_c/(\rho_m - \rho_c)$ abaixo da [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) normal, e uma espessura $H + h + r$ ;
2. onde a superfície está a uma profundidade $d$ abaixo do nível do mar, sob água de densidade $\rho_w$ , a [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) tem uma anti-raiz: sua base é elevada em $r' = d\,(\rho_c - \rho_w)/(\rho_m - \rho_c)$ , e sua espessura é $H - d - r'$ .

Isto é a *isostasia de Airy*: compensação por variações de espessura, com densidade constante.

**Demonstração.** Tome a [profundidade de compensação](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy) logo abaixo da raiz mais profunda, e compare cada coluna com a normal. (1) A coluna alta tem [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) no lugar do [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) ao longo da profundidade $r$, e [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) ao longo da altura $h$ onde a coluna normal não tem nada: massas iguais exigem $\rho_c(h + r) = \rho_m r$, isto é $r(\rho_m - \rho_c) = \rho_c h$. (2) A coluna baixa tem água no lugar da [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) ao longo da profundidade $d$, e [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) no lugar da [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) ao longo de $r'$: massas iguais exigem $\rho_w d + \rho_m r' = \rho_c(d + r')$, isto é $r'(\rho_m - \rho_c) =
d(\rho_c - \rho_w)$. ∎

**Proposição 11.6 (Isostasia de Pratt).**

Seja cada coluna terminando na mesma [profundidade de compensação](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy) $D$ abaixo do nível do mar, com uma densidade uniforme em cada coluna, $\rho_0$ onde a superfície está ao nível do mar. Em equilíbrio isostático, uma coluna cuja superfície está a uma altura $h$ tem a densidade

$$
\rho(h) = \rho_0\,\frac{D}{D + h},
$$

e uma coluna sob uma profundidade $d$ de água tem a densidade $\rho = (\rho_0 D - \rho_w d)/(D - d)$. Isto é a *isostasia de Pratt*: compensação por variações de densidade a profundidade constante.

**Demonstração.** Massas iguais acima de $D$: $\rho(h)(D + h) = \rho_0 D$ para a coluna alta, e $\rho_w d + \rho(D - d) = \rho_0 D$ para a baixa. ∎

Com $\rho_c = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ e $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, a raiz de Airy é $h\times2700/600 = 4.5\,h$: uma cordilheira de $2\,\mathrm{km}$ de altura tem uma raiz de $9\,\mathrm{km}$, um planalto de $4\,\mathrm{km}$ de altura uma de $18\,\mathrm{km}$. No modelo de Pratt com $D = 100\,\mathrm{km}$ e $\rho_0 = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, as mesmas duas colunas têm as densidades 2647 e $2596\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, duas e quatro por cento mais leves. Os dois modelos equilibram as mesmas massas; diferem no lugar da rocha leve, e isso é algo que a sismologia pode ver: Airy prevê um [Moho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-discontinuity) que se aprofunda sob as montanhas, Pratt um [Moho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-discontinuity) plano.

![Os dois modelos clássicos de isostasia, para três colunas de altura 0, 2 e 4\, km acima do nível do mar (alturas exageradas cinco vezes em relação às profundidades; densidades em kg\, m-3). (a) Airy: uma densidade crustal, uma raiz 4.5 vezes a altura. (b) Pratt: uma profundidade de compensação, colunas mais leves sob terrenos mais altos. Cada coluna carrega a mesma massa por unidade de área acima da profundidade de compensação tracejada.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-isostasy-gravity/fig-1a71f350116a.svg)

*Os dois modelos clássicos de [isostasia](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy), para três colunas de altura 0, 2 e $4\,\mathrm{km}$ acima do nível do mar (alturas exageradas cinco vezes em relação às profundidades; densidades em $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$). (a) Airy: uma densidade crustal, uma raiz 4.5 vezes a altura. (b) Pratt: uma [profundidade de compensação](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy), colunas mais leves sob terrenos mais altos. Cada coluna carrega a mesma massa por unidade de área acima da [profundidade de compensação](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy) tracejada.*

A [isostasia](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy) é uma afirmação sobre regiões amplas em tempos longos. A [astenosfera](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-lithosphere) cede apenas a cargas que persistem por milhares de anos, e a [litosfera](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-lithosphere) acima dela é rígida o bastante para espalhar uma carga estreita por uma região ampla, por flexão, como uma tábua que sustenta um peso: um único vulcão não precisa ser compensado embaixo de si mesmo; essa flexão da [litosfera](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-lithosphere) é estudada no Livro 5. Sob grandes cadeias de montanhas a [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) é muito mais espessa que sua média continental, de cerca de $30\,\mathrm{km}$: a imagem de Airy, raízes de [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) leve, é a mais próxima para cadeias de montanhas. A de Pratt, rocha mais leve a profundidade constante, explica as dorsais meso-oceânicas, que ficam altas sobre um [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) superior tornado mais leve pela sua temperatura mais alta.

### Os dois níveis da Terra

A [isostasia](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy) organiza a topografia do planeta inteiro. Sua distribuição é resumida por uma curva.

**Definição 11.7 (Curva hipsométrica).**

A *curva hipsométrica* de um planeta dá, para cada fração $f$ de sua superfície, a altitude $z(f)$ ultrapassada exatamente por essa fração. É a distribuição acumulada das altitudes, lida de cima.

Para desenhá-la a partir de um modelo de elevação em grade, cada célula da grade deve ser ponderada por sua área. Em uma grade de um grau em [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-geographic) e [longitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-geographic), a célula entre as [latitudes](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $\varphi_1$ e $\varphi_2$ tem a área $R^2\,\Delta\lambda\,(\sin\varphi_2 - \sin\varphi_1)$, que diminui em direção aos polos; somadas todas as células, as áreas dão $4\pi R^2$ exatamente. Ordenando as células por altitude e acumulando suas áreas obtém-se a curva da figura abaixo. Ela mostra que $70.9\,\%$ da superfície fica abaixo do nível do mar; que a altitude média das terras é cerca de $0.8\,\mathrm{km}$ e a profundidade média do oceano cerca de $3.7\,\mathrm{km}$; e que a maior parte da superfície pertence a um de dois degraus planos, as plataformas continentais perto do nível do mar e o fundo abissal entre cerca de 3.5 e $6\,\mathrm{km}$ de profundidade, unidos por uma queda abrupta.

Um planeta com um único tipo de [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers), com sua topografia erguida e desgastada ao acaso, teria um só nível, com altitudes espalhadas em torno dele. A Terra tem dois, porque tem dois tipos de [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) em equilíbrio isostático: a [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) continental, espessa e leve, flutua alta; a [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) oceânica, fina e densa, fica baixa (Livro 2, 11º ano). [Exercício 11.8](#exo-b1-isostasy-gravity-8) mostra que o modelo de Airy, com uma só densidade crustal, não consegue produzir os dois níveis com as espessuras crustais observadas.

![A curva hipsométrica da Terra, a partir do modelo global de topografia ETOPO1 a um grau, com cada célula ponderada por sua área (sobre a Antártida e a Groenlândia, o topo do gelo). Os dois trechos quase planos da curva são as plataformas continentais perto do nível do mar e o fundo oceânico profundo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-isostasy-gravity/fig-dd7d9becc1ba.svg)

*A [curva hipsométrica](#def-b1-isostasy-gravity-hypsometry) da Terra, a partir do modelo global de topografia ETOPO1 a um grau, com cada célula ponderada por sua área (sobre a Antártida e a Groenlândia, o topo do gelo). Os dois trechos quase planos da curva são as plataformas continentais perto do nível do mar e o fundo oceânico profundo.*

## 11.3 Anomalias da gravidade

### Duas correções

Um gravímetro numa colina está mais longe do centro da Terra que um ao nível do mar, e fica sobre uma camada de rocha que o outro não tem. Os dois efeitos são calculados antes de a medida ser comparada com a [gravidade normal](#def-b1-isostasy-gravity-normal-gravity).

**Proposição 11.8 (Gradiente do ar livre).**

Fora de uma Terra esférica de raio $R$, a gravidade diminui com a altura $h$ à taxa

$$
\frac{\mathrm dg}{\mathrm dh} = -\frac{2g}{R}\,;
$$

na superfície, $2g/R \approx 3.08 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-2}$, cerca de $0.308\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ por metro.

**Demonstração.** $g(r) = GM/r^2$, logo $\mathrm dg/\mathrm dr = -2GM/r^3 = -2g(r)/r$; em $r = R$, com $g = 9.820\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ e $R = 6371\,\mathrm{km}$, $2g/R =
3.083 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-2}$. ∎

O achatamento e a rotação alteram um pouco o gradiente; o valor normalmente usado na prática é $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$.

**Proposição 11.9 (Placa de Bouguer).**

Uma placa horizontal infinita de espessura $h$ e densidade uniforme $\rho$ atrai um ponto fora dela com a aceleração vertical

$$
g_B = 2\pi G\rho h ,
$$

qualquer que seja a distância do ponto à placa. Numericamente $2\pi G =
0.0419\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ por metro de espessura por $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ de densidade.

**Demonstração.** Coloque o ponto na origem e corte a placa em anéis finos coaxiais com a vertical que passa por ele. Um anel à distância $z$ abaixo do ponto, de raio $s$, largura $\mathrm ds$ e espessura $\mathrm dz$, tem a massa $\rho\,2\pi s\,\mathrm ds\,\mathrm dz$, toda à distância $\sqrt{s^2 + z^2}$; por simetria sua atração é vertical, igual à atração de cada elemento vezes o cosseno $z/\sqrt{s^2+z^2}$ de seu ângulo com a vertical:

$$
\mathrm dg = G\,\frac{\rho\,2\pi s\,\mathrm ds\,\mathrm dz}{s^2 + z^2}\,
  \frac{z}{\sqrt{s^2 + z^2}} .
$$

Para uma camada, $\int_0^\infty s\,(s^2 + z^2)^{-3/2}\,\mathrm ds =
\bigl[-(s^2 + z^2)^{-1/2}\bigr]_0^\infty = 1/z$, logo a camada atrai com $2\pi G\rho\,\mathrm dz$, independentemente de $z$. Somando as camadas ao longo da espessura $h$ dá $2\pi G\rho h$. Com $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$, $2\pi G\times1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}\times1\,\mathrm{m} = 4.19 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} =
0.0419\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. ∎

**Definição 11.10 (Anomalias da gravidade).**

Seja $g$ a gravidade medida em uma estação de [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $\varphi$ e altura $h$ acima do nível do mar.

- Uma *anomalia da gravidade* é a diferença entre a gravidade medida, corrigida a um nível comum, e a [gravidade normal](#def-b1-isostasy-gravity-normal-gravity) na mesma [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-geographic) .
- A *correção do ar livre* é $+0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}\times h$ : ela devolve a diminuição da gravidade com a altura. A *anomalia do ar livre* é $\Delta g_{\mathrm{FA}} = g + 0.3086\,h - \gamma(\varphi)$ .
- A *correção de Bouguer* é $-2\pi G\rho h$ : ela remove a atração da rocha entre a estação e o nível do mar, tratada como uma placa de densidade $\rho$ , convencionalmente $2670\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ , o que dá $0.112\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ por metro. A *anomalia de Bouguer* é $\Delta g_{\mathrm B} = \Delta g_{\mathrm{FA}} - 2\pi G\rho h$ .

A placa é um modelo grosseiro do terreno em torno de uma estação em região acidentada: vales abaixo da estação são contados como rocha que não está lá, e colinas acima dela puxam para cima e não são contadas de modo algum. Uma terceira redução, a correção de terreno, calculada a partir de um [modelo digital de elevação](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-dem), remove os dois erros. No mar a [correção do ar livre](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) se anula, e a redução de Bouguer substitui a água por rocha.

**Método 11.11 (Redução de uma leitura gravimétrica).**

1. Calcule a [gravidade normal](#def-b1-isostasy-gravity-normal-gravity) $\gamma(\varphi)$ na [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-geographic) da estação.
2. Some a [correção do ar livre](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) $0.3086\,h$ (em $\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ , com $h$ em metros) à gravidade medida e subtraia $\gamma$ : esta é a [anomalia do ar livre](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) .
3. Subtraia a [correção de Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) $0.0419\times(\rho/1000)\times h$ , isto é $0.112\,h$ para a densidade padrão: esta é a [anomalia de Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) .
4. Trabalhe em miligals do início ao fim, e mantenha a gravidade medida e a normal com sete algarismos significativos: a anomalia é uma pequena diferença de dois números grandes.

**Exemplo 11.12 (Uma estação nas colinas).**

Em uma estação a [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $45{}^{\circ}$ e $1200\,\mathrm{m}$ acima do nível do mar, o gravímetro dá $9.802\,597\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. A [gravidade normal](#def-b1-isostasy-gravity-normal-gravity) ali é $9.806\,200\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$; o valor medido é menor em $360.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. A [correção do ar livre](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) é $0.3086\times1200 = 370.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, logo $\Delta g_{\mathrm{FA}} = -360.3 + 370.3 = +10.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. A [correção de Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) é $0.112\times1200 = 134.4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, logo $\Delta g_{\mathrm B}
= -124.4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$: há menos massa sob esta estação do que sob uma estação ao nível do mar, depois que a rocha acima do nível do mar é retirada.

### O que as anomalias dizem sobre a compensação

**Proposição 11.13 (Anomalias sobre uma topografia ampla).**

Considere um planalto de altura $h$ e densidade $\rho_c$, muito mais largo que sua [profundidade de compensação](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy), e uma estação perto de seu centro. Tome a densidade de Bouguer igual a $\rho_c$.

1. Se o planalto não está compensado, $\Delta g_{\mathrm{FA}} \approx  2\pi G\rho_c h$ e $\Delta g_{\mathrm B} \approx 0$ .
2. Se ele está em equilíbrio isostático, qualquer que seja a distribuição das massas de compensação, $\Delta g_{\mathrm{FA}} \approx 0$ e $\Delta g_{\mathrm B} \approx -2\pi G\rho_c h$ .

**Demonstração.** A [gravidade normal](#def-b1-isostasy-gravity-normal-gravity) à altura da estação é $\gamma - 0.3086\,h$, logo a [anomalia do ar livre](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) é a atração das massas que diferem das de uma coluna normal. Perto do centro de um planalto amplo, cada camada dessas massas anômalas atua como uma placa infinita, e, pela [Proposição 11.9](#prop-b1-isostasy-gravity-slab), uma placa de contraste de densidade $\Delta\rho$ e espessura $t$ atrai com $2\pi G\Delta\rho
t$ onde quer que esteja. O total é $2\pi G$ vezes a massa anômala por unidade de área. (1) Sem compensação essa massa é $\rho_c h$. (2) Em [isostasia](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy) ela é nula, pela [Proposição 11.4](#prop-b1-isostasy-gravity-equal-mass). Nos dois casos a [correção de Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) subtrai $2\pi G\rho_c h$. ∎

Para a compensação de Airy, a [anomalia de Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) do segundo caso é também $-2\pi G(\rho_m - \rho_c)r$, a atração da massa ausente da raiz, pois $(\rho_m - \rho_c)r = \rho_c h$. [Anomalias do ar livre](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) próximas de zero sobre regiões amplas são portanto a assinatura da [isostasia](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy), e [anomalias de Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) que seguem a topografia como imagem especular medem as massas de compensação: as [anomalias de Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) são regionalmente negativas ao longo dos Alpes, e sobre as dorsais meso-oceânicas, por mais altas que sejam, a [anomalia do ar livre](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) é pequena. Sobre os oceanos a [anomalia de Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) é positiva: substituir a água por rocha acrescenta massa acima de uma coluna que não tem massa ausente.

Perto das bordas da topografia a aproximação de placa falha, porque a topografia está próxima da estação e a raiz muito abaixo dela. A figura abaixo dá a atração exata de uma cadeia-modelo de $200\,\mathrm{km}$ de largura e $2\,\mathrm{km}$ de altura. Sem compensação, a [anomalia do ar livre](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) é $+225\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ no centro, próxima do valor da placa de $226\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; com uma raiz de Airy de $9\,\mathrm{km}$, a [anomalia do ar livre](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) no centro cai para $+55\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, e não zero, porque uma cadeia com apenas $200\,\mathrm{km}$ de largura não parece infinita a $40\,\mathrm{km}$ acima de sua raiz, e a [anomalia do ar livre](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) torna-se fortemente negativa logo além de cada borda, onde a estação vê a raiz, mas não a montanha.

![Acima: anomalias do ar livre e de Bouguer através de uma cadeia-modelo de 200\, km de largura e 2\, km de altura, calculadas exatamente para corpos bidimensionais, com estações sobre a superfície do terreno (sem correção de terreno). Abaixo: o modelo (escala vertical exagerada menos de duas vezes); a raiz existe apenas no caso compensado. Sem compensação, a anomalia do ar livre segue a topografia e a anomalia de Bouguer é quase nula; compensada, a anomalia do ar livre é pequena no centro, com efeitos de borda agudos, e a anomalia de Bouguer é um vale amplo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-isostasy-gravity/fig-9f8c3943002c.svg)

*Acima: [anomalias do ar livre](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) e de Bouguer através de uma cadeia-modelo de $200\,\mathrm{km}$ de largura e $2\,\mathrm{km}$ de altura, calculadas exatamente para corpos bidimensionais, com estações sobre a superfície do terreno (sem correção de terreno). Abaixo: o modelo (escala vertical exagerada menos de duas vezes); a raiz existe apenas no caso compensado. Sem compensação, a [anomalia do ar livre](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) segue a topografia e a [anomalia de Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) é quase nula; compensada, a [anomalia do ar livre](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) é pequena no centro, com efeitos de borda agudos, e a [anomalia de Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) é um vale amplo.*

**Método 11.14 (Teste de isostasia para uma região).**

1. Calcule a média da [anomalia do ar livre](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) sobre uma área várias vezes mais larga que a espessura da [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) , longe das bordas da topografia.
2. Se estiver perto de zero, a região está compensada; se se aproximar de $2\pi G\rho_c$ vezes a altura média, não está.
3. A razão $-\Delta g_{\mathrm B}/(2\pi G\rho_c h)$ dá a fração da topografia que está compensada.
4. Evidências sísmicas ou de outro tipo sobre a profundidade do [Moho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-discontinuity) distinguem a compensação de Airy da de Pratt: a gravidade em grande escala sozinha não consegue, pois as duas colocam o mesmo déficit de massa sob a topografia.

**História — A gravidade no mar.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-isostasy-gravity/img-0bdbf3074dce.jpg)

*Um aparelho de pêndulo de Vening Meinesz (à direita) e sua caixa com a unidade de registro (Broodt, CC BY-SA 4.0).*

Um pêndulo mede a gravidade pelo seu período, mas em um navio as ondas o sacodem muito mais do que qualquer anomalia. Nos anos 1920 o geodesista holandês Felix Vening Meinesz achou o caminho: dois pêndulos oscilando em fase oposta no mesmo quadro sentem as mesmas acelerações horizontais do navio, e sua diferença as cancela. A partir de 1923 ele levou seu aparelho em submarinos da marinha holandesa, onde, submersos, era poupado do pior das ondas, primeiro em uma viagem às Índias Orientais e depois em levantamentos de seus mares. Ao longo das fossas oceânicas profundas do arquipélago encontrou longas faixas de anomalias isostáticas fortemente negativas, e depois as encontrou ao longo de outras fossas: só podia explicá-las por uma [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) mantida para baixo ali por forças externas, fora do equilíbrio isostático.

## 11.4 O geoide

A superfície do mar em repouso é uma superfície de potencial gravitacional constante: se não fosse, a água fluiria ao longo dela. É a referência natural para as alturas, e a superfície à qual os antigos fios de prumo eram perpendiculares.

**Definição 11.15 (Geoide; altura do geoide).**

O *geoide* é a superfície equipotencial da gravidade da Terra (gravitação mais o efeito centrífugo da rotação) que coincide com a superfície média do mar sobre os oceanos abertos, em repouso, e se prolonga sob os continentes. A *altura do geoide* $N$ em um ponto é a altura do geoide acima do elipsoide de referência, contada negativa onde o geoide fica abaixo dele.

As alturas acima do nível do mar nos mapas são alturas acima do [geoide](#def-b1-isostasy-gravity-geoid); as alturas dadas pelo posicionamento por satélite são alturas acima do elipsoide; as duas diferem por $N$. O [geoide](#def-b1-isostasy-gravity-geoid) se afasta do elipsoide em $+85\,\mathrm{m}$ perto da Islândia e $-106\,\mathrm{m}$ ao largo do sul da Índia, menos de $200\,\mathrm{m}$ no total, enquanto a topografia da superfície sólida abrange cerca de $20\,\mathrm{km}$: o [geoide](#def-b1-isostasy-gravity-geoid) é uma superfície muito mais suave que o terreno.

**Proposição 11.16 (Altura do geoide e anomalia do potencial).**

Seja $\Phi$ o potencial gravitacional da Terra e $\Phi_n$ o potencial normal, o da Terra-modelo cuja superfície, o elipsoide de referência, tem o mesmo potencial $\Phi_0$ que o [geoide](#def-b1-isostasy-gravity-geoid), ambos contados com o sinal da física (o potencial cresce para cima e $g = -\nabla\Phi$). Seja $T = \Phi - \Phi_n$ a anomalia do potencial no [geoide](#def-b1-isostasy-gravity-geoid). Em primeira ordem,

$$
N = -\frac{T}{\gamma} .
$$

Os geodesistas, que contam o potencial com o sinal oposto, escrevem o mesmo resultado $N = T/\gamma$, a fórmula de Bruns.

**Demonstração.** Seja $Q$ um ponto do elipsoide e $P$ o ponto do [geoide](#def-b1-isostasy-gravity-geoid) sobre a normal por $Q$, à altura $N$. O potencial normal cresce para cima à taxa $\gamma$, logo $\Phi_n(P) \approx \Phi_n(Q) + \gamma N = \Phi_0 +
\gamma N$. Como $P$ está no [geoide](#def-b1-isostasy-gravity-geoid), $\Phi(P) = \Phi_0$, isto é $\Phi_n(P) + T = \Phi_0$. Logo $\Phi_0 + \gamma N + T = \Phi_0$ e $N =
-T/\gamma$. ∎

Um excesso de massa abaixo de um ponto torna ali o potencial mais negativo, logo $T < 0$ e $N > 0$: o [geoide](#def-b1-isostasy-gravity-geoid) se eleva sobre um excesso de massa e afunda sobre um déficit. Os $85\,\mathrm{m}$ da elevação perto da Islândia correspondem a uma anomalia de potencial de $-85\,\mathrm{m}\times9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} \approx -830\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$. Como o potencial decai como $1/r$ enquanto a atração decai como $1/r^2$, o [geoide](#def-b1-isostasy-gravity-geoid) é dominado por massas grandes e profundas, e as [anomalias da gravidade](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) por massas rasas. Uma cadeia de montanhas compensada eleva o [geoide](#def-b1-isostasy-gravity-geoid) apenas pouco, pois seu excesso de massa e o déficit de sua raiz quase se cancelam; uma carga não compensada o eleva muito mais.

![O geoide (azul), o elipsoide de referência (tracejado) e o terreno (esquemático; desvios enormemente exagerados). Sobre o oceano o geoide é a superfície do mar em repouso; sob a terra ele se prolonga como uma equipotencial. A altura H em um mapa é medida a partir do geoide, a altura h_e dada pelo posicionamento por satélite a partir do elipsoide, e h_e = H + N. Um fio de prumo é perpendicular ao geoide, não ao elipsoide: o ângulo entre eles (exagerado aqui) é o desvio da vertical que preocupou os topógrafos da Índia.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-isostasy-gravity/fig-5316fbc245ec.svg)

*O [geoide](#def-b1-isostasy-gravity-geoid) (azul), o elipsoide de referência (tracejado) e o terreno (esquemático; desvios enormemente exagerados). Sobre o oceano o [geoide](#def-b1-isostasy-gravity-geoid) é a superfície do mar em repouso; sob a terra ele se prolonga como uma equipotencial. A altura $H$ em um mapa é medida a partir do [geoide](#def-b1-isostasy-gravity-geoid), a altura $h_e$ dada pelo posicionamento por satélite a partir do elipsoide, e $h_e = H + N$. Um fio de prumo é perpendicular ao [geoide](#def-b1-isostasy-gravity-geoid), não ao elipsoide: o ângulo entre eles (exagerado aqui) é o desvio da vertical que preocupou os topógrafos da Índia.*

Os desvios são pequenos: toda a discrepância que preocupou os topógrafos da Índia foi de cerca de cinco segundos de arco. Sobre os oceanos o [geoide](#def-b1-isostasy-gravity-geoid) é visível. Desde 1978, altímetros de radar em satélites cronometram pulsos de micro-ondas refletidos pela superfície do mar para medir sua altura. Uma vez eliminadas marés, ondas e correntes por média, a superfície do mar fica mais alta sobre montes submarinos e dorsais e mais baixa sobre fossas e planícies abissais, e essas ondulações ([Exercício 11.11](#exo-b1-isostasy-gravity-11) estima uma delas) mapeiam a topografia do fundo oceânico profundo onde nenhum navio sondou. O satélite GOCE, de 2009 a 2013, voou a cerca de $260\,\mathrm{km}$ e mediu o campo gravitacional a partir da órbita, visando o [geoide](#def-b1-isostasy-gravity-geoid) com precisão de 1 a $2\,\mathrm{cm}$ e as [anomalias da gravidade](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) a cerca de $1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, com uma resolução melhor que $100\,\mathrm{km}$.

### A isostasia em movimento

A [isostasia](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy) é alcançada pelo escoamento, e o escoamento leva tempo. No auge da última glaciação, cerca de $20\,000$ anos atrás, uma calota de gelo com cerca de $3\,\mathrm{km}$ de espessura cobria a Escandinávia. O gelo tem cerca de nove décimos da densidade da água, logo, com um [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) de $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, a depressão isostática total sob uma calota dessas é $3000\,\mathrm{m}\times900/3300 \approx 820\,\mathrm{m}$. O gelo foi embora, e a terra ainda está subindo: o posicionamento por satélite mede até cerca de $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ de soerguimento no norte da Suécia, a oeste do Golfo de Bótnia, hoje. A taxa com que uma depressão relaxa mede a viscosidade do [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) embaixo, tema do Livro 5; [Exercício 11.12](#exo-b1-isostasy-gravity-12) mostra como.

## 11.5 Exercícios

**Exercício 11.1 ★.**

(a) Converta uma [anomalia de Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) de $-150\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ para $\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, e exprima-a como fração de $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. (b) O mesmo para $1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, a precisão visada para as [anomalias da gravidade](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) pelo GOCE, e para $1\,\text{µ}\mathrm{Gal}$.

**Solução de Exercício 11.1.**

(a) $-150\,\mathrm{m}\mathrm{Gal} = -150\times10^{-5}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = -1.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, e $1.5 \times 10^{-3}/9.81 = 1.53 \times 10^{-4}$ de $g$. (b) $1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal} =
10^{-5}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $1.02 \times 10^{-6}$ de $g$; $1\,\text{µ}\mathrm{Gal} =
10^{-8}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $1.02 \times 10^{-9}$ de $g$: um gravímetro que resolve um microgal mede a gravidade com cerca de uma parte em um bilhão.

**Exercício 11.2 ★.**

(a) Calcule a [gravidade normal](#def-b1-isostasy-gravity-normal-gravity) no equador, a $45{}^{\circ}$ e nos polos com a fórmula do capítulo. (b) Dê a diferença entre equador e polo em miligals. (c) A aceleração centrífuga no equador é $3392\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Que fração da diferença a rotação explica diretamente?

**Solução de Exercício 11.2.**

(a) No equador ambos os senos se anulam: $\gamma = 9.780\,327\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. A $45{}^{\circ}$, $\sin^2\varphi = 0.5$ e $\sin^2 2\varphi = 1$: $\gamma = 9.780327\times(1 + 0.0026512 - 0.0000058) = 9.806\,200\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Nos polos, $\sin^2\varphi = 1$ e $\sin 2\varphi = 0$: $\gamma = 9.780327\times1.0053024 = 9.832\,186\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. (b) $9.832186 - 9.780327 = 0.051\,859\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, isto é $5186\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (c) $3392/5186 = 0.65$: o efeito centrífugo explica cerca de dois terços da diferença; o achatamento, que aproxima os polos do centro, o resto.

**Exercício 11.3 ★.**

Um planalto se ergue $3\,\mathrm{km}$ acima do nível do mar. Com uma [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) de densidade $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ e um [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) de $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, calcule sua raiz de Airy e o espessamento de sua [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers).

**Solução de Exercício 11.3.**

$r = h\rho_c/(\rho_m - \rho_c) = 3\times2800/500 = 16.8\,\mathrm{km}$. A [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) é mais espessa em $h + r = 19.8\,\mathrm{km}$ (isto é $h\rho_m/(\rho_m - \rho_c) =
3\times3300/500$).

**Exercício 11.4 ★.**

(a) De quanto um gravímetro deve ser elevado para que sua leitura caia $1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$? Use $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$. (b) Um levantamento visa anomalias com precisão de $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Com que precisão as alturas das estações devem ser conhecidas?

**Solução de Exercício 11.4.**

(a) $1/0.3086 = 3.24\,\mathrm{m}$. (b) $0.01/0.3086 = 0.032\,\mathrm{m}$: as alturas devem ser conhecidas a cerca de $3\,\mathrm{cm}$, por isso um levantamento registra a altura de cada estação com posicionamento por satélite ou nivelamento.

**Exercício 11.5 ★★.**

No modelo de Pratt com $D = 100\,\mathrm{km}$ e $\rho_0 = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, (a) calcule a densidade das colunas que ficam 1, 3 e $5\,\mathrm{km}$ de altura; (b) calcule a densidade de uma coluna sob $4\,\mathrm{km}$ de água do mar de densidade $1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (c) Por que o modelo de Pratt se adapta melhor ao fundo oceânico do que aos continentes?

**Solução de Exercício 11.5.**

(a) $\rho = 2700\times100/(100 + h)$: $2673\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ para $1\,\mathrm{km}$, $2621\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ para $3\,\mathrm{km}$, $2571\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ para $5\,\mathrm{km}$. (b) $\rho = (2700\times100 - 1030\times4)/96 = 265\,880/96 =
2770\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$: a coluna sob o mar é mais densa. (c) O modelo de Pratt pede variações laterais de densidade a profundidade constante. Sob o fundo oceânico essas variações existem: [litosfera](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-lithosphere) jovem e quente perto de uma dorsal é mais leve que [litosfera](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-lithosphere) velha e fria longe dela ([Capítulo 10](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/10-o-balanco-termico-da-terra#ch-b1-heat-budget)). Sob os continentes, ao contrário, a espessura da [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) se mostra variar com a topografia.

**Exercício 11.6 ★★.**

Duas estações estão a [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $48{}^{\circ}$, onde a [gravidade normal](#def-b1-isostasy-gravity-normal-gravity) é $9.808\,911\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. A estação 1, a $350\,\mathrm{m}$ acima do nível do mar, lê $9.807\,751\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$; a estação 2, a $1850\,\mathrm{m}$, lê $9.803\,552\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. (a) Calcule as [anomalias do ar livre](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) e de Bouguer das duas, com a densidade de Bouguer padrão. (b) O que as anomalias da estação 2 sugerem sobre as montanhas ao redor dela?

**Solução de Exercício 11.6.**

(a) Estação 1: $g - \gamma = 9.807751 - 9.808911 = -0.001\,160\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} =
-116.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; [correção do ar livre](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) $0.3086\times350 =
108.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, logo $\Delta g_{\mathrm{FA}} = -8.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; [correção de Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) $0.112\times350 = 39.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, logo $\Delta g_{\mathrm B} = -47.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Estação 2: $g - \gamma = -535.9\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; [correção do ar livre](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) $0.3086\times1850 = 570.9\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, logo $\Delta g_{\mathrm{FA}} =
+35.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; [correção de Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) $0.112\times1850 =
207.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, logo $\Delta g_{\mathrm B} = -172.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (b) Na estação 2 a [anomalia de Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) é fortemente negativa: sob as montanhas há um déficit de massa, uma raiz de [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) leve. A [anomalia do ar livre](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies), pequena em comparação com a [correção de Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies), mostra que o déficit quase equilibra as montanhas: elas estão em grande parte compensadas (cerca de $172/207$, ou $83\,\%$, se o modelo de placa valer para toda a cadeia).

**Exercício 11.7 ★★.**

(a) Seguindo a demonstração de [Proposição 11.9](#prop-b1-isostasy-gravity-slab), mostre que um disco horizontal de raio $a$, espessura $h$ e densidade $\rho$ atrai um ponto sobre seu eixo, a uma distância $z \gg h$ acima dele, com $2\pi G\rho h\,\bigl(1 -
z/\sqrt{z^2 + a^2}\bigr)$. (b) Qual raio dá $90\,\%$ do valor da placa em $z = 1\,\mathrm{km}$? (c) O que isso diz sobre a área do terreno que importa para a [correção de Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies)?

**Solução de Exercício 11.7.**

(a) Como na demonstração da proposição, uma camada fina à distância $z$ contribui com a atração $G\rho\,2\pi z\,h\int_0^a s\,(s^2 + z^2)^{-3/2}\,\mathrm ds$, agora com a integral parada em $s = a$: $\int_0^a s\,(s^2 + z^2)^{-3/2}\,\mathrm ds = 1/z - 1/\sqrt{z^2 + a^2}$. Logo $g = 2\pi G\rho h\,\bigl(1 - z/\sqrt{z^2 + a^2}\bigr)$, que tende ao valor da placa quando $a \to \infty$. (b) $z/\sqrt{z^2 + a^2} = 0.1$ dá $\sqrt{z^2 + a^2} = 10z$, $a = \sqrt{99}\,z = 9.95\,\mathrm{km}$ para $z = 1\,\mathrm{km}$. (c) A rocha dentro de cerca de dez vezes sua profundidade abaixo da estação fornece $90\,\%$ da atração: a correção de terreno precisa da topografia em um raio de vários quilômetros a dezenas de quilômetros em torno de cada estação, não apenas embaixo dela.

**Exercício 11.8 ★★.**

No modelo de Airy, com uma [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) de $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, de $35\,\mathrm{km}$ de espessura ao nível do mar, sobre um [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) de $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, (a) calcule o antirraiz e a espessura crustal sob $4\,\mathrm{km}$ de água do mar de densidade $1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (b) A [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) oceânica tem, de fato, cerca de $5\,\mathrm{km}$ de espessura. O que a diferença mostra?

**Solução de Exercício 11.8.**

(a) $r' = d(\rho_c - \rho_w)/(\rho_m - \rho_c) = 4\times1770/500 =
14.16\,\mathrm{km}$, e a [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) tem $35 - 4 - 14.16 = 16.84\,\mathrm{km}$ de espessura. (b) O modelo de Airy com uma só densidade crustal prevê uma [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) oceânica espessa demais em mais de três vezes espessa demais. A [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) oceânica não é uma [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) continental afinada: é uma rocha diferente, mais densa, e os dois níveis da Terra são dois tipos de [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers), como sugere a [curva hipsométrica](#def-b1-isostasy-gravity-hypsometry).

**Exercício 11.9 ★★.**

No relato da abertura, a discrepância na diferença de [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-geographic) entre Kaliana e Kalianpur foi $5.236''$, enquanto a atração do Himalaia calculada por Pratt deveria ter produzido $15.885''$. (a) Converta ambos os ângulos em radianos. (b) Uma aceleração horizontal $a_h$ inclina um fio de prumo pelo o ângulo $a_h/g$. Qual diferença de atração horizontal entre as duas estações cada ângulo corresponde, em miligals, com $g = 9.79\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$? (c) Que fração da atração das montanhas visíveis a compensação cancelou?

**Solução de Exercício 11.9.**

(a) Um segundo de arco é $\pi/(180\times3600) = 1/206\,265$ de radiano: $5.236''$ $= 2.538 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ e $15.885''$ $=
7.701 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$. (b) $a_h = g\theta$: $9.79\times2.538 \times 10^{-5} =
2.485 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = 24.9\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ observados, e $9.79\times7.701 \times 10^{-5} = 75.4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ calculados a partir das montanhas visíveis. (c) $1 - 5.236/15.885 = 0.670$: a compensação cancelou cerca de dois terços da atração das montanhas visíveis.

**Exercício 11.10 ★★★.**

Um domo de sal é modelado como uma esfera de raio $2\,\mathrm{km}$, com centro a $4\,\mathrm{km}$ de profundidade, com densidade $200\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ menor que as rochas ao redor. (a) Mostre que uma esfera enterrada de massa anômala $M$ a profundidade $z$ dá, à distância horizontal $x$, a anomalia $GMz/(x^2 + z^2)^{3/2}$. (b) Calcule a anomalia acima de seu centro. (c) A que distância ela caiu para metade de seu valor máximo? (d) Como a profundidade de uma esfera poderia ser lida em um perfil medido?

**Solução de Exercício 11.10.**

(a) Fora dela, uma esfera atrai como uma massa pontual em seu centro, com $GM/(x^2 + z^2)$ ao longo da linha até o centro; a componente vertical é isso vezes o cosseno $z/\sqrt{x^2 + z^2}$, o que dá $GMz/(x^2 + z^2)^{3/2}$. (b) $M = \tfrac43\pi(2000\,\mathrm{m})^3\times(-200\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}) =
-6.70 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$, e acima do centro $GM/z^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times
(-6.70 \times 10^{12})/(4000)^2 = -2.80 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = -2.80\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (c) $(1 + x^2/z^2)^{-3/2} = 1/2$ dá $x = z\sqrt{2^{2/3} - 1} = 0.766\,z =
3.07\,\mathrm{km}$. (d) A semilargura à meia altura do perfil dá a profundidade: $z = 1.305\,x_{1/2}$. Um corpo mais profundo dá uma anomalia mais larga e mais suave.

**Exercício 11.11 ★★★.**

Um monte submarino é um cone de $3\,\mathrm{km}$ de altura com base de raio $15\,\mathrm{km}$ repousando sobre um fundo oceânico de $5\,\mathrm{km}$ de profundidade. Sua rocha tem densidade de $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, a água do mar $1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (a) Calcule seu excesso de massa sobre a água que desloca. (b) Trate-o como uma massa pontual em seu centro de massa, a um quarto de sua altura acima da base, e use [Proposição 11.16](#prop-b1-isostasy-gravity-bruns) com $\gamma = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ para estimar a altura da elevação da superfície do mar acima dele. (c) A massa pontual superestima ou subestima a elevação? (d) Se o monte submarino fosse totalmente compensado por uma raiz, como mudaria a elevação?

**Solução de Exercício 11.11.**

(a) $V = \tfrac13\pi R^2 H = \tfrac13\pi(15 \times 10^{3}\,\mathrm{m})^2(3 \times 10^{3}\,\mathrm{m}) =
7.07 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{3}$, e $\Delta m = (2800 - 1030)V = 1.25 \times 10^{15}\,\mathrm{kg}$. (b) O centro de massa fica $0.75\,\mathrm{km}$ acima do fundo, a $d = 5 - 0.75 = 4.25\,\mathrm{km}$ abaixo da superfície do mar. Ali a anomalia de potencial é $T = -G\Delta m/d$, logo $N = G\Delta m/(\gamma d) =
6.674 \times 10^{-11}\times1.25 \times 10^{15}/(9.81\times4250) = 2.0\,\mathrm{m}$. (c) A maior parte da massa do cone está em sua parte inferior larga, a 5 a $16\,\mathrm{km}$ do ponto acima do cume: a média de $1/r$ sobre a massa é menor que $1/4.25\,\mathrm{km}$, e a massa pontual superestima o potencial. Somando discos finos obtém-se cerca de $1.1\,\mathrm{m}$. (d) Uma raiz de [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) leve embaixo poria um déficit da mesma massa mais fundo; os dois potenciais quase se cancelam, e a elevação seria muito menor, mas não nula, já que o déficit fica mais longe da superfície que o excesso.

**Exercício 11.12 ★★★.**

Modele a recuperação da Escandinávia depois do gelo: suponha que o gelo desapareceu de repente há $10\,000$ anos, deixando uma depressão de $818\,\mathrm{m}$ que desde então diminuiu como $w(t) = w_0\,e^{-t/\tau}$. (a) Mostre que a taxa de soerguimento é $w/\tau$. (b) Com $\tau = 4000$ anos, calcule a depressão remanescente e a taxa de soerguimento hoje, e compare a taxa com os $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ medidos. (c) Mostre que $\tau = 3100$ anos e $\tau = 68\,000$ anos dão ambos cerca de $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ hoje. Que depressão remanescente cada um implica, e como um levantamento gravimétrico poderia decidir entre eles? (d) Que propriedade do [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) $\tau$ mede?

**Solução de Exercício 11.12.**

(a) A taxa de soerguimento é $-\mathrm dw/\mathrm dt = w_0\,e^{-t/\tau}/\tau = w/\tau$. (b) $w = 818\,e^{-10000/4000} = 818\times0.0821 = 67.1\,\mathrm{m}$, e a taxa é $67.1\,\mathrm{m}/4000\,\mathrm{yr} = 16.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, mais de uma vez e meia o valor medido. (c) Com $\tau = 3100$ anos, $w =
818\,e^{-3.226} = 32.5\,\mathrm{m}$ e a taxa é $10.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; com $\tau = 68\,000$ anos, $w = 818\,e^{-0.147} = 706\,\mathrm{m}$ e a taxa é $10.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. As duas implicam depressões remanescentes muito diferentes. Uma depressão não compensada é um déficit de massa de rocha do [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers): sobre uma região ampla ela dá uma [anomalia do ar livre](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) de cerca de $-2\pi G\rho_m w$, isto é $-0.0419\times3.3\times706 \approx -98\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ para o caso lento, contra $-4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ para o rápido. Um levantamento gravimétrico (ou a altura de antigas praias) as distingue. (d) A constante de tempo mede a rapidez com que o [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) volta a fluir sob a depressão: sua viscosidade.

## 11.6 Problema: a raiz de uma cadeia de montanhas

**Problema 11.1.**

Problema de fim de semana — a raiz de um planalto, Airy contra Pratt, a gravidade sobre ele, e o que a erosão faz com ele

Um planalto amplo, de várias centenas de quilômetros de largura, se ergue $4\,\mathrm{km}$ acima de uma planície ao nível do mar cuja [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) tem $35\,\mathrm{km}$ de espessura. Tome $\rho_c = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ para a [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers), $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ para o [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers), $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, e $2\pi G = 0.0419\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ por metro por $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

**Parte I — O planalto de Airy.**

1. Calcule a raiz de Airy do planalto.
2. Deduza a espessura de sua [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) e a profundidade de seu [Moho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-discontinuity) abaixo do nível do mar.
3. Tome a [profundidade de compensação](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy) a $60\,\mathrm{km}$ abaixo do nível do mar. Calcule a massa por metro quadrado acima dela na coluna do planalto e na coluna da planície.
4. Calcule a pressão a $60\,\mathrm{km}$ de profundidade.
5. Por que a raiz é 4.5 vezes a altura? Qual seria a razão com uma [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) de $2900\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ ?
6. O que um levantamento de refração sísmica através da borda do planalto mostraria se o modelo de Airy valesse?

**Parte II — O planalto de Pratt.** Suponha agora, em vez disso, uma [profundidade de compensação](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy) $D = 100\,\mathrm{km}$ abaixo do nível do mar e uma coluna da planície de densidade uniforme $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

7. Calcule a densidade da coluna do planalto.
8. Verifique que as duas colunas têm a mesma massa por metro quadrado acima de $D$ .
9. Em quantos por cento a coluna do planalto deve ser mais leve?
10. Se essa diferença de densidade se devesse só ao calor, com um coeficiente de expansão térmica de $3 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ , quanto mais quente a coluna do planalto teria de estar, em média? Isso é plausível?
11. Onde está o [Moho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-discontinuity) sob o planalto no modelo de Pratt?
12. Um levantamento de refração encontra o [Moho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-discontinuity) a $52\,\mathrm{km}$ sob o planalto. Qual modelo se ajusta?

**Parte III — A gravidade sobre o centro.**

13. Calcule a [correção de Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) para uma estação no planalto.
14. Preveja as [anomalias do ar livre](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) e de Bouguer no centro, se o planalto não fosse compensado.
15. Preveja-as para o planalto de Airy, e confira a [anomalia de Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) com a massa ausente da raiz.
16. Uma estação no centro do planalto, a [latitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-geographic) $30{}^{\circ}$ e $4000\,\mathrm{m}$ , lê $9.781\,085\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ . Calcule a [gravidade normal](#def-b1-isostasy-gravity-normal-gravity) a $30{}^{\circ}$ , e então as [anomalias do ar livre](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) e de Bouguer.
17. Que fração do planalto está compensada?
18. A [anomalia de Bouguer](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) no centro seria diferente se o planalto fosse compensado à maneira de Pratt? Explique.
19. Esboce a [anomalia do ar livre](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) ao longo de um perfil atravessando uma borda do planalto, e explique sua forma.

**Parte IV — A erosão.** Os rios removem uma camada de $1\,\mathrm{km}$ de espessura de toda a superfície do planalto, lentamente o bastante para que a [isostasia](#def-b1-isostasy-gravity-isostasy) acompanhe.

20. Qual é a nova espessura da [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) , e sua nova raiz de Airy?
21. Qual é a nova altitude do planalto?
22. De quanto subiu a rocha que agora está na superfície?
23. Quanta rocha deve ser erodida ao todo para levar o planalto ao nível do mar? O que isso diz sobre as rochas vistas em antigos cinturões de montanhas?
24. De quanto desce a superfície do planalto para cada quilômetro de rocha erodida?

**Solução de Problema 11.1.**

**1.** $r = h\rho_c/(\rho_m - \rho_c) = 4\times2700/600 = 18\,\mathrm{km}$.

**2.** A [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) tem $35 + 4 + 18 = 57\,\mathrm{km}$ de espessura; sua base, o [Moho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-discontinuity), fica a $35 + 18 = 53\,\mathrm{km}$ abaixo do nível do mar.

**3.** Planalto: $57\,\mathrm{km}$ de [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) e $60 - 53 = 7\,\mathrm{km}$ de [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers), $57\,000\times2700 + 7000\times3300 = 1.539 \times 10^{8} + 2.31 \times 10^{7} =
1.770 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$. Planície: $35\,000\times2700 + 25\,000\times3300
= 9.45 \times 10^{7} + 8.25 \times 10^{7} = 1.770 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$. Elas são iguais, como [Proposição 11.4](#prop-b1-isostasy-gravity-equal-mass) exige.

**4.** $p = g\times\text{massa por unidade de área} = 9.81\times1.770 \times 10^{8} =
1.74 \times 10^{9}\,\mathrm{Pa}$, cerca de $1.7\,\mathrm{GPa}$, sob as duas colunas.

**5.** A raiz deve compensar, por sua densidade menor, a massa do planalto: cada metro de raiz retira $\rho_m - \rho_c = 600\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ de massa, e cada metro de planalto acrescenta $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, logo $2700/600 = 4.5$ metros de raiz são necessários. Com uma [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) de $2900\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, a razão seria $2900/400 = 7.25$: quanto menor o contraste, mais funda a raiz.

**6.** O [Moho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-discontinuity), o forte aumento da velocidade sísmica, seria encontrado aprofundando-se sob a borda do planalto, de $35\,\mathrm{km}$ sob a planície para cerca de $53\,\mathrm{km}$ sob o planalto.

**7.** $\rho = 2700\times100/104 = 2596\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

**8.** $104\,000\times2596.2 = 2.700 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$ e $100\,000\times2700 = 2.700 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$.

**9.** $2700 - 2596 = 104\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, ou $104/2700 =
3.85\,\%$.

**10.** $\Delta\rho/\rho = \alpha\,\Delta T$ dá $\Delta T =
0.0385/3 \times 10^{-5} = 1280\,\mathrm{K}$, em média sobre toda a coluna de $104\,\mathrm{km}$. Isso derreteria boa parte da coluna: o calor sozinho não torna este planalto leve o bastante, e o mecanismo de Pratt não pode ser o principal aqui.

**11.** As colunas de Pratt não têm raiz: o [Moho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-discontinuity) permanece em cerca de $35\,\mathrm{km}$ sob o planalto, como sob a planície.

**12.** $52\,\mathrm{km}$ está próximo dos $53\,\mathrm{km}$ de Airy e longe dos $35\,\mathrm{km}$ de Pratt: o planalto está compensado principalmente por uma raiz crustal.

**13.** $0.0419\times2.7\times4000 = 452.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

**14.** Sem compensação ([Proposição 11.13](#prop-b1-isostasy-gravity-broad)): $\Delta g_{\mathrm{FA}} \approx +452.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, $\Delta g_{\mathrm B} \approx 0$.

**15.** Compensado: $\Delta g_{\mathrm{FA}} \approx 0$ e $\Delta g_{\mathrm B} \approx -452.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. A massa ausente da raiz dá $-0.0419\times0.6\times18\,000 = -452.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, a mesma, pois $\Delta\rho\,r = \rho_c h$.

**16.** $\sin^230{}^{\circ} = 0.25$ e $\sin^260{}^{\circ} = 0.75$: $\gamma = 9.780327\times(1 + 0.0013256 - 0.0000044) = 9.793\,249\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Então $g - \gamma = 9.781085 - 9.793249 = -1216.4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; a [correção do ar livre](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) é $0.3086\times4000 = 1234.4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, logo $\Delta g_{\mathrm{FA}} = +18.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, e $\Delta g_{\mathrm B} = 18.0 - 452.5 = -434.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

**17.** $434.5/452.5 = 0.96$: o planalto está cerca de $96\,\%$ compensado (a pequena anomalia positiva do ar livre é a parcela não compensada, $4\,\%$).

**18.** Não. Perto do centro de um planalto amplo, cada camada anômala atua como uma placa, cuja atração não depende de sua profundidade: só importa o déficit de massa por unidade de área, e ele é o mesmo, $\rho_c h$, nos dois modelos. Os dois diferem apenas perto das bordas, onde a profundidade das massas de compensação muda a forma da anomalia.

**19.** Longe da borda, dos dois lados, a [anomalia do ar livre](#def-b1-isostasy-gravity-anomalies) é quase nula. A alguns quilômetros para dentro da borda, o planalto sob a estação está perto e estende-se muito para um lado apenas: ele ainda puxa com quase todo o seu valor de placa. A raiz, a $35\,\mathrm{km}$ ou mais abaixo, é vista de lá como um corpo que termina quase em linha reta embaixo: ela puxa com pouco mais da metade de seu efeito. A diferença é um pico positivo. A alguns quilômetros para fora, o planalto puxa muito pouco, enquanto a raiz ainda puxa com quase metade de seu efeito: um vale negativo. O perfil é um par positivo–negativo através de cada borda, como na figura do capítulo.

**20.** A [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) agora tem $57 - 1 = 56\,\mathrm{km}$ de espessura, $21\,\mathrm{km}$ a mais que a da planície. Em equilíbrio esse excesso se divide em $h' + r'$, com $r' = 4.5\,h'$: $h' = 21/5.5 = 3.818\,\mathrm{km}$ e $r' = 17.18\,\mathrm{km}$.

**21.** O planalto agora se ergue a $3818\,\mathrm{m}$.

**22.** A rocha agora na superfície estava $1\,\mathrm{km}$ abaixo da antiga superfície, a $3000\,\mathrm{m}$; agora está a $3818\,\mathrm{m}$: subiu $818\,\mathrm{m}$, isto é $1000\times\rho_c/\rho_m$.

**23.** Cada quilômetro erodido abaixa a superfície em $1 - 2700/3300 =
0.182$ de quilômetro, logo baixar a superfície em $4\,\mathrm{km}$ exige $4/0.182 = 22\,\mathrm{km}$ de erosão, toda a espessura excedente $h + r$. Em um cinturão de montanhas antigo e desgastado, as rochas da superfície estavam, portanto, outrora a cerca de vinte quilômetros de profundidade: as raízes profundas do cinturão estão expostas.

**24.** A superfície desce $1000 - 818$: para cada quilômetro de rocha erodido, o abaixamento líquido da superfície é **$182\,\mathrm{m}$**.