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title: "Tensão, deformação e reologia"
book: "Ciências da Terra e do espaço universitárias — 1.º ano"
subject: earth
language: pt
chapter: 16
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/16-tensao-deformacao-e-reologia
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 16 — Tensão, deformação e reologia

Nos anos 1960, fluido residual bombeado por um poço de descarte na Rocky Mountain Arsenal, perto de Denver, espalhou-se pelo embasamento cristalino fraturado entre $3.7\,\mathrm{km}$ e $7.0\,\mathrm{km}$ abaixo da superfície, e terremotos se seguiram. Eles ficaram dentro da parte da rocha onde a pressão do fluido havia subido em mais de cerca de $3.2\,\mathrm{MPa}$.

Meio século depois, a mesma coisa aconteceu em escala maior em Oklahoma, onde a água salgada trazida à superfície com o petróleo e o gás é bombeada de volta ao subsolo. Em todo o estado e em seus arredores, os terremotos de magnitude 3 ou mais somavam de um a cinco por ano entre 2005 e 2008, depois $20$ em 2009, $585$ em 2014 e $888$ em 2015, mais de dois por dia; abalos de magnitude 5.7 e 5.8 sacudiram Prague, em 2011, e Pawnee, em 2016. Apenas quatro poços de descarte de grande volume poderiam explicar um quinto dos terremotos do centro dos Estados Unidos, e provocar alguns a mais de $30\,\mathrm{km}$ de distância.

A água não empurrou nada para o lado; apenas elevou a [pressão do fluido nos poros](#def-b1-stress-strain-rheology-lithostatic) da rocha. Por que isso faria uma falha deslizar? A resposta exige três ideias, que são o assunto deste capítulo: a tensão sobre um plano dentro de uma rocha, a condição sob a qual o plano cede, e o fato de que a [pressão do fluido nos poros](#def-b1-stress-strain-rheology-lithostatic) atua contra a força que comprime os dois lados um contra o outro. Com elas, e com uma lei de fluência para rocha quente, podemos traçar a resistência de toda a [litosfera](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-lithosphere) em função da profundidade.

**O que você já sabe.**

Uma força distribuída sobre uma superfície atua por sua força por unidade de área, em pascals; a pressão em um fluido em repouso cresce com a profundidade como $\rho g z$ (livros de física). Uma mola, e um sólido em pequenas deformações, obedecem à lei de Hooke: a deformação é proporcional à tensão, com o módulo de Young como constante; um fluido viscoso resiste em proporção à sua taxa de cisalhamento, com a viscosidade como constante. O volume do Livro 5 dos livros de física descreve tensão e deformação em três dimensões com tensores; este capítulo precisa apenas de dois. Uma matriz simétrica $2\times2$ tem dois autovalores reais e dois autovetores perpendiculares (matemática, primeiro ano). As geotermas de [Capítulo 10](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/10-o-balanco-termico-da-terra#ch-b1-heat-budget) dão a temperatura em profundidade; falhas foram estudadas no Livro 1, 7º ano.

## 16.1 Tensão em duas dimensões

Corte uma rocha, em pensamento, ao longo de uma pequena superfície plana. A rocha de um lado pressiona a rocha do outro com uma força, e a força por unidade de área é a tração sobre essa superfície, na palavra dos livros de física. Sua direção não é, em geral, a direção da normal à superfície.

**Definição 16.1 (Tensão normal).**

Sobre um plano através de um ponto de uma rocha, a força por unidade de área que a rocha de um lado exerce sobre a do outro tem uma componente ao longo da normal ao plano, a *tensão normal* $\sigma_n$, e uma componente ao longo do plano, a tensão de cisalhamento $\tau$. Nas ciências da Terra, a tensão normal é contada como positiva quando comprime.

A convenção de sinal é a oposta à do engenheiro. Ela foi escolhida porque quase toda tensão no sólido terrestre é uma compressão: o peso da rocha acima pressiona tudo o que está abaixo dela.

Trabalhamos em um plano vertical, com um eixo $x$ horizontal e um eixo $y$. Sobre um plano perpendicular a $x$, a [tensão normal](#def-b1-stress-strain-rheology-stress) é $\sigma_{xx}$ e a de cisalhamento $\sigma_{xy}$; sobre um plano perpendicular a $y$, são $\sigma_{yy}$ e $\sigma_{yx}$. As duas tensões de cisalhamento são iguais: em um pequeno quadrado, as forças de cisalhamento nos lados verticais formam um binário de momento $\sigma_{xy}a\cdot a$ para um lado $a$, e as dos lados horizontais, um binário $\sigma_{yx}a\cdot a$ girando no sentido oposto, e o quadrado giraria se elas fossem diferentes. Assim, três números descrevem a tensão em um ponto, e bastam para dá-la em todo plano.

**Proposição 16.2 (Tensão sobre um plano inclinado).**

Seja um plano de normal unitária $\vec n = (\cos\theta, \sin\theta)$, formando o ângulo $\theta$ com o eixo $x$, e seja $\vec m = (-\sin\theta, \cos\theta)$ o vetor unitário ao longo do plano. As tensões normal e de cisalhamento sobre ele são

$$
\begin{align*}
  \sigma_n &= \sigma_{xx}\cos^2\theta + 2\sigma_{xy}\sin\theta\cos\theta + \sigma_{yy}\sin^2\theta
           = \frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}}{2} + \frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\cos2\theta + \sigma_{xy}\sin2\theta, \\
  \tau     &= (\sigma_{yy}-\sigma_{xx})\sin\theta\cos\theta + \sigma_{xy}(\cos^2\theta - \sin^2\theta)
           = -\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\sin2\theta + \sigma_{xy}\cos2\theta ,
\end{align*}
$$

com $\tau$ contada positiva ao longo de $\vec m$.

**Demonstração.** Recorte um pequeno prisma, como na figura abaixo: uma face inclinada de área $A$ com a normal externa $\vec n$, uma face vertical de área $A\cos\theta$ e uma face horizontal de área $A\sin\theta$, por unidade de comprimento na terceira direção. Seu peso e sua inércia crescem como seu volume, que diminui mais depressa que suas faces; para um prisma pequeno o bastante, as forças sobre as faces devem se equilibrar por si mesmas. Sendo a compressão positiva, a rocha de fora empurra a face vertical com a força $A\cos\theta\,(\sigma_{xx}, \sigma_{xy})$ e a face horizontal com $A\sin\theta\,(\sigma_{xy}, \sigma_{yy})$; sobre a face inclinada ela empurra com $-A(\sigma_n\vec n + \tau\vec m)$. A soma é zero:

$$
\sigma_n\vec n + \tau\vec m = \cos\theta\,(\sigma_{xx}, \sigma_{xy}) + \sin\theta\,(\sigma_{xy}, \sigma_{yy}) .
$$

O produto escalar com $\vec n$ dá $\sigma_n$, com $\vec m$ dá $\tau$, pois $\vec n\cdot\vec m = 0$. As segundas formas seguem de $\cos^2\theta = (1+\cos2\theta)/2$, $\sin^2\theta = (1-\cos2\theta)/2$ e $2\sin\theta\cos\theta = \sin2\theta$. ∎

![O equilíbrio de forças sobre um pequeno prisma triangular de rocha. A face inclinada tem área A e normal unitária n; as faces vertical e horizontal têm áreas A e A. Azul: as forças normais sobre as duas pequenas faces; laranja: as forças de cisalhamento sobre elas; vermelho: as forças normal e de cisalhamento sobre a face inclinada. A compressão é contada como positiva, de modo que toda força normal aponta para dentro do prisma.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-stress-strain-rheology/fig-22f084094e3b.svg)

*O equilíbrio de forças sobre um pequeno prisma triangular de rocha. A face inclinada tem área $A$ e normal unitária $\vec n$; as faces vertical e horizontal têm áreas $A\cos\theta$ e $A\sin\theta$. Azul: as forças normais sobre as duas pequenas faces; laranja: as forças de cisalhamento sobre elas; vermelho: as forças normal e de cisalhamento sobre a face inclinada. A compressão é contada como positiva, de modo que toda força normal aponta para dentro do prisma.*

**Teorema 16.3 (Tensões principais).**

Em todo ponto de uma rocha há dois planos perpendiculares nos quais a tensão de cisalhamento é nula. As tensões normais sobre eles são a maior e a menor [tensão normal](#def-b1-stress-strain-rheology-stress) entre todos os planos que passam pelo ponto,

$$
\sigma_{1,3} = \frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}}{2} \pm
  \sqrt{\Bigl(\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\Bigr)^2 + \sigma_{xy}^2},
  \qquad \tan2\theta_p = \frac{2\sigma_{xy}}{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}},
$$

onde $\theta_p$ é o ângulo do eixo $x$ à normal do plano que carrega $\sigma_1$.

**Demonstração.** Escreva $c = (\sigma_{xx}+\sigma_{yy})/2$, e escolha $R \ge 0$ e $\theta_p$ com $(\sigma_{xx}-\sigma_{yy})/2 = R\cos2\theta_p$ e $\sigma_{xy} = R\sin2\theta_p$; então $R = \sqrt{((\sigma_{xx}-\sigma_{yy})/2)^2 + \sigma_{xy}^2}$ e $\tan2\theta_p$ é como enunciado. As segundas formas da [Proposição 16.2](#prop-b1-stress-strain-rheology-transformation) tornam-se

$$
\sigma_n = c + R\cos(2\theta - 2\theta_p), \qquad \tau = -R\sin(2\theta - 2\theta_p).
$$

A [tensão normal](#def-b1-stress-strain-rheology-stress) é maior, $c + R$, para $\theta = \theta_p$, e menor, $c - R$, para $\theta = \theta_p + 90{}^{\circ}$; em ambos, $\tau = 0$. Note também que $\mathrm d\sigma_n/\mathrm d\theta = 2\tau$: a [tensão normal](#def-b1-stress-strain-rheology-stress) é estacionária exatamente onde a tensão de cisalhamento se anula. ∎

**Definição 16.4 (Tensões principais; tensão diferencial).**

As *tensões principais* em um ponto são as tensões normais $\sigma_1 \ge \sigma_3$ sobre os dois planos livres de tensão de cisalhamento, e suas direções são as direções principais. Em três dimensões há três, $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$, sobre três planos perpendiculares. A *tensão diferencial* é $\sigma_1 - \sigma_3$, e a tensão média no plano é $(\sigma_1+\sigma_3)/2$.

Um estado de tensão é mais fácil de ler em suas direções principais. Se medirmos o ângulo $\theta$ a partir da direção de $\sigma_1$ em vez de a partir do eixo $x$, as fórmulas perdem seus últimos termos.

**Proposição 16.5 (Círculo de Mohr).**

Sobre um plano cuja normal faz o ângulo $\theta$ com a direção de $\sigma_1$,

$$
\sigma_n = \frac{\sigma_1+\sigma_3}{2} + \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\cos2\theta,
  \qquad
  |\tau| = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\,|\sin2\theta| .
$$

À medida que $\theta$ gira, o ponto $(\sigma_n, |\tau|)$ percorre a metade superior do círculo de centro $((\sigma_1+\sigma_3)/2,\, 0)$ e raio $(\sigma_1-\sigma_3)/2$, no ângulo $2\theta$ a partir de sua extremidade $\sigma_1$. A maior tensão de cisalhamento, $(\sigma_1-\sigma_3)/2$, atua nos planos a $45{}^{\circ}$ das direções principais.

**Demonstração.** Nos eixos principais $\sigma_{xx} = \sigma_1$, $\sigma_{yy} = \sigma_3$ e $\sigma_{xy} = 0$, e a [Proposição 16.2](#prop-b1-stress-strain-rheology-transformation) dá as duas fórmulas. Então $(\sigma_n - (\sigma_1+\sigma_3)/2)^2 + \tau^2 = ((\sigma_1-\sigma_3)/2)^2$, a equação do círculo; $|\sin2\theta|$ é máximo para $\theta = 45{}^{\circ}$. ∎

O sinal de $\tau$ diz apenas em que sentido os dois lados deslizariam, por isso a metade superior do círculo costuma ser desenhada sozinha. A construção leva o nome do engenheiro Christian Otto Mohr, que também construiu sobre ela um critério de ruptura, que é para onde vamos ([Seção 16.3](#sec-16-3)).

### Tensão em profundidade

**Definição 16.6 (Pressão litostática, pressão do fluido nos poros, tensão efetiva).**

À profundidade $z$, o peso da rocha acima, por unidade de área horizontal, é a tensão vertical $\sigma_v = \int_0^z\rho g\,\mathrm dz'$, que é $\rho g z$ em uma camada de densidade uniforme $\rho$. Quando a tensão é a mesma em todas as direções, igual à vertical, a rocha está sob a *pressão litostática*. A pressão da água, do óleo ou do gás nos poros e fissuras da rocha é a *pressão do fluido nos poros* $P$; ela é hidrostática, $P = \rho_w g z$, quando os poros se conectam à superfície. A *tensão efetiva* é a tensão menos a pressão nos poros, $\sigma' = \sigma - P$, em todo plano; $\lambda = P/\sigma_v$ é a razão de pressão nos poros.

Em uma [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) de densidade $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, a tensão vertical cresce $2700\times9.81\times1000 = 26.5\,\mathrm{MPa}$ por quilômetro, e a pressão hidrostática nos poros cresce $9.81\,\mathrm{MPa}$ por quilômetro: $\lambda = 1000/2700 = 0.37$. O fluido dos poros empurra os grãos para longe com a mesma pressão em todas as direções; ele não retira nada da tensão de cisalhamento, mas retira $P$ de toda [tensão normal](#def-b1-stress-strain-rheology-stress). Onde os poros são selados, por argila ou sal, por exemplo, o fluido pode carregar parte do peso da rocha acima, e $\lambda$ sobe em direção a 1.

A tensão na [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) não é litostática. Placas empurram e puxam, a [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) se curva, montanhas pesam sobre suas raízes, e as tensões horizontais diferem da vertical. Perto da superfície, que não suporta tensão de cisalhamento, uma direção principal é vertical, como mostra o [Capítulo 17](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/17-falhas-dobras-e-fabricas#ch-b1-faults-folds-fabrics): $\sigma_v$ é $\sigma_1$, $\sigma_2$ ou $\sigma_3$, e os três casos são as três maneiras como as falhas se movem.

## 16.2 Deformação

A tensão é uma causa; a deformação é o que a rocha registra. Um fóssil alongado, um seixo achatado, uma camada encurtada em [dobras](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-fold) medem todos uma mudança de forma.

**Definição 16.7 (Extensão, alongamento, deformação de cisalhamento).**

Uma linha de material de comprimento $\ell_0$, deformada até o comprimento $\ell$, tem a *extensão* $e = (\ell - \ell_0)/\ell_0$ e o *alongamento* $S = \ell/\ell_0 = 1 + e$; um encurtamento é uma extensão negativa, um alongamento abaixo de 1. Duas linhas de material que eram perpendiculares e agora formam o ângulo $90{}^{\circ} - \psi$ foram cisalhadas pelo ângulo $\psi$, e a *deformação de cisalhamento* é $\gamma = \tan\psi$.

Uma deformação é homogênea quando cada pequena região da rocha se deforma do mesmo modo. A nova posição $\vec x'$ do ponto $\vec x$ é então uma função linear, $\vec x' = F\vec x$, com uma matriz constante $2\times2$ $F$ (e $\det F > 0$, pois a rocha não se vira pelo avesso). Retas continuam retas e retas paralelas continuam paralelas; um quadrado torna-se um paralelogramo, e um círculo torna-se uma elipse.

**Proposição 16.8 (A elipse de deformação).**

Sob a deformação homogênea $\vec x' = F\vec x$, o círculo de raio 1 torna-se uma elipse cujos semieixos são as raízes quadradas $S_1 \ge S_2$ dos autovalores de $FF^{\mathsf T}$, ao longo de seus autovetores perpendiculares. $S_1$ e $S_2$ são os maiores e menores [alongamentos](#def-b1-stress-strain-rheology-strain) de todas as linhas de material, e a área é multiplicada por $\det F = S_1S_2$.

**Demonstração.** O ponto $\vec x = F\vec u$ provém de um ponto $\vec u$ do círculo, $|\vec u| = 1$, logo $|F^{-1}\vec x|^2 = 1$, isto é, $\vec x^{\mathsf T}(FF^{\mathsf T})^{-1}\vec x = 1$. A matriz $B = FF^{\mathsf T}$ é simétrica com autovalores positivos $\lambda_1 \ge
\lambda_2$ ($\vec v^{\mathsf T}B\vec v = |F^{\mathsf T}\vec v|^2 > 0$); em seus autovetores perpendiculares a equação se lê $x_1^2/\lambda_1 + x_2^2/\lambda_2 = 1$, uma elipse de semieixos $\sqrt{\lambda_1}$ e $\sqrt{\lambda_2}$. Uma linha de material ao longo do vetor unitário $\vec u$ tem o [alongamento](#def-b1-stress-strain-rheology-strain) $|F\vec u|$, e $|F\vec u|^2 = \vec u^{\mathsf T}F^{\mathsf T}F\vec u$ fica entre os autovalores de $F^{\mathsf T}F$, que são os de $FF^{\mathsf T}$. Por fim, $\lambda_1\lambda_2 = \det B = (\det F)^2$. ∎

**Definição 16.9 (Elipse de deformação).**

A *elipse de deformação* é a elipse na qual uma deformação homogênea transforma um círculo de raio 1; seus semieixos são os [alongamentos](#def-b1-stress-strain-rheology-strain) principais $S_1 \ge S_2$, e seus eixos, as direções principais da deformação.

Duas deformações que alteram a forma de um corpo igualmente podem ser muito diferentes.

**Definição 16.10 (Cisalhamento puro, cisalhamento simples).**

Um *cisalhamento puro* é uma deformação homogênea que conserva a área e mantém fixas suas direções principais na rocha: $F = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & 1/k\end{pmatrix}$ nesses eixos, com $k > 1$. Um *cisalhamento simples* move cada ponto paralelamente a uma direção, a direção de cisalhamento, de $\gamma$ vezes sua distância a um plano fixo paralelo a ela: $F = \begin{pmatrix} 1 & \gamma \\ 0 & 1\end{pmatrix}$.

Ambos conservam a área, já que os dois determinantes valem 1. No [cisalhamento puro](#def-b1-stress-strain-rheology-shear-types), as linhas de material ao longo dos eixos da [elipse de deformação](#def-b1-stress-strain-rheology-strain-ellipse) são as mesmas linhas em todas as etapas: a deformação é coaxial. No [cisalhamento simples](#def-b1-stress-strain-rheology-shear-types), elas não são, como mostram a próxima proposição e a figura depois dela.

**Proposição 16.11 (A elipse do cisalhamento simples).**

Um [cisalhamento simples](#def-b1-stress-strain-rheology-shear-types) $\gamma$ tem os [alongamentos](#def-b1-stress-strain-rheology-strain) principais

$$
S_{1,2} = \sqrt{1 + \gamma^2/4} \pm \gamma/2 ,
$$

e o eixo longo de sua [elipse de deformação](#def-b1-stress-strain-rheology-strain-ellipse) forma com a direção de cisalhamento o ângulo $\theta'$ dado por $\tan2\theta' = 2/\gamma$.

**Demonstração.** $FF^{\mathsf T} = \begin{pmatrix} 1+\gamma^2 & \gamma \\ \gamma & 1\end{pmatrix}$ tem o traço $2+\gamma^2$ e o determinante 1. Logo $S_1S_2 = 1$ e $S_1^2 + S_2^2 = 2 + \gamma^2$, daí $(S_1 - S_2)^2 = \gamma^2$, $S_1 - S_2 = \gamma$, e $S_1 = \gamma/2 + \sqrt{1+\gamma^2/4}$. O autovetor do maior autovalor de uma matriz simétrica $\begin{pmatrix} a & b \\ b & d\end{pmatrix}$ forma com o primeiro eixo o ângulo dado por $\tan2\theta' = 2b/(a-d)$ (o [Teorema 16.3](#thm-b1-stress-strain-rheology-principal) é o mesmo cálculo): aqui $2\gamma/\gamma^2 = 2/\gamma$. ∎

![Um quadrado de rocha com seu círculo inscrito (a), deformado por um cisalhamento puro com k = 1.618 (b) e por um cisalhamento simples com = 1 (c), que tem os mesmos alongamentos principais, 1.618 e 0.618. Tracejado azul: os eixos da elipse de deformação; tracejado cinza: o quadrado antes. No cisalhamento puro, os eixos permanecem sobre as mesmas linhas de material; no cisalhamento simples, o eixo longo forma 31.7 com a direção de cisalhamento, e a diagonal que era a direção do alongamento mais rápido no início (vermelha) já girou para além dele, até 26.6. As formas são imagens exatas do quadrado e do círculo sob as duas matrizes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-stress-strain-rheology/fig-583b60b5e6ff.svg)

*Um quadrado de rocha com seu círculo inscrito (a), deformado por um [cisalhamento puro](#def-b1-stress-strain-rheology-shear-types) com $k = 1.618$ (b) e por um [cisalhamento simples](#def-b1-stress-strain-rheology-shear-types) com $\gamma = 1$ (c), que tem os mesmos [alongamentos](#def-b1-stress-strain-rheology-strain) principais, 1.618 e 0.618. Tracejado azul: os eixos da [elipse de deformação](#def-b1-stress-strain-rheology-strain-ellipse); tracejado cinza: o quadrado antes. No [cisalhamento puro](#def-b1-stress-strain-rheology-shear-types), os eixos permanecem sobre as mesmas linhas de material; no [cisalhamento simples](#def-b1-stress-strain-rheology-shear-types), o eixo longo forma $31.7{}^{\circ}$ com a direção de cisalhamento, e a diagonal que era a direção do [alongamento](#def-b1-stress-strain-rheology-strain) mais rápido no início (vermelha) já girou para além dele, até $26.6{}^{\circ}$. As formas são imagens exatas do quadrado e do círculo sob as duas matrizes.*

A [elipse de deformação](#def-b1-stress-strain-rheology-strain-ellipse) registra a deformação total, ou *finita*. Uma deformação que prossegue por milhões de anos é a soma de muitos pequenos incrementos, cada um uma deformação infinitesimal; para um $\gamma$ pequeno, a proposição dá $S_{1,2} \approx 1 \pm \gamma/2$ e $\theta' \approx 45{}^{\circ}$. No [cisalhamento simples](#def-b1-stress-strain-rheology-shear-types), os incrementos sempre alongam mais depressa a $45{}^{\circ}$ da direção de cisalhamento, enquanto a elipse finita gira em direção a ela, $31.7{}^{\circ}$ para $\gamma = 1$, $22.5{}^{\circ}$ para $\gamma = 2$, cada vez mais perto à medida que $\gamma$ cresce. É por isso que seixos achatados e [minerais](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) alongados em uma zona de cisalhamento intenso jazem quase em seu plano, e por que o ângulo que eles formam com a zona mede o quanto ela se deslocou.

## 16.3 Reologia

**Definição 16.12 (Reologia, comportamento frágil e dúctil).**

A *reologia* de um material é a maneira como ele se deforma e flui sob tensão: a relação entre tensão, deformação e taxa de deformação. Uma rocha mostra *comportamento frágil* quando se deforma por fratura ou por deslizamento sobre fraturas, em superfícies discretas, com uma perda súbita de resistência; mostra *comportamento dúctil* quando se deforma de modo permanente e contínuo em todo o seu volume, sem perder a [coesão](#def-b1-stress-strain-rheology-coulomb).

As rochas exibem todos os comportamentos dos livros de física. Sob tensões pequenas e breves, são elásticas: a deformação é proporcional à tensão, como na lei de Hooke, e desaparece com ela; ondas sísmicas ([Capítulo 9](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#ch-b1-layered-earth)) atravessam rocha elástica. Em tempos longos, o [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) quente flui como um fluido muito viscoso, com a taxa de deformação crescendo com a tensão. Entre esses extremos, a rocha fria se rompe e desliza, e a rocha morna sofre fluência. Qual comportamento prevalece depende da tensão, da temperatura, da pressão, do fluido nos poros e do tempo disponível.

### Ruptura frágil

**Definição 16.13 (Critério de ruptura de Coulomb).**

Uma rocha obedece ao *critério de ruptura de Coulomb* se um plano através dela se rompe, ou uma fratura existente desliza, assim que, sobre esse plano

$$
\tau = C + \mu\,\sigma_n' , \qquad \sigma_n' = \sigma_n - P ,
$$

onde $C \ge 0$ é a *coesão* da rocha, $\mu$ seu *coeficiente de atrito interno* e $\phi = \arctan\mu$ seu *ângulo de atrito interno*.

O critério leva os nomes de Coulomb e Mohr. Suas constantes são medidas em amostras no laboratório, e diferem de rocha para rocha. Uma fratura existente perdeu sua [coesão](#def-b1-stress-strain-rheology-coulomb): para ela, $C = 0$, e o atrito sobre ela quase não depende da rocha ([Proposição 16.15](#prop-b1-stress-strain-rheology-byerlee)), com $\mu$ entre 0.6 e 0.85, e um ângulo de atrito entre $31{}^{\circ}$ e $40{}^{\circ}$.

**Teorema 16.14 (O ângulo de ruptura).**

Uma rocha que obedece ao critério de Coulomb rompe-se primeiro nos planos que formam o ângulo $45{}^{\circ} - \phi/2$ com a direção de $\sigma_1$, de um lado e do outro dela, e rompe-se quando

$$
\frac{\sigma_1' - \sigma_3'}{2} = C\cos\phi + \frac{\sigma_1' + \sigma_3'}{2}\,\sin\phi .
$$

**Demonstração.** Desenhe o círculo de Mohr em tensões efetivas, de centro $c' =
(\sigma_1'+\sigma_3')/2$ e raio $r = (\sigma_1'-\sigma_3')/2$ (figura abaixo); a pressão nos poros o deslocou de $P$, pois ela retira $P$ de toda [tensão normal](#def-b1-stress-strain-rheology-stress) e nada da tensão de cisalhamento. Enquanto todo o círculo fica abaixo da reta $\tau = C + \mu\sigma_n'$, nenhum plano se rompe. À medida que as tensões mudam, o primeiro plano a romper é o ponto em que o círculo toca a reta. Lá o raio é perpendicular à reta; a reta sobe com o ângulo $\phi$ acima da horizontal, de modo que o raio até o ponto de contato forma o ângulo $90{}^{\circ} + \phi$ com a direção da extremidade $\sigma_1$. Pela [Proposição 16.5](#prop-b1-stress-strain-rheology-mohr) este ponto é o plano cuja normal faz o ângulo $\theta$ com $\sigma_1$, onde $2\theta = 90{}^{\circ} + \phi$; o próprio plano faz $90{}^{\circ} - \theta = 45{}^{\circ} - \phi/2$ com $\sigma_1$, e a metade inferior do círculo dá o plano simétrico. O contato significa que a distância do centro à reta é igual ao raio: $r = (C + \mu c')/\sqrt{1+\mu^2} = C\cos\phi + c'\sin\phi$, pois $\cos\phi = 1/\sqrt{1+\mu^2}$ e $\sin\phi = \mu/\sqrt{1+\mu^2}$. ∎

![Círculo de Mohr em tensões efetivas e uma envoltória de Coulomb. Um plano cuja normal faz o ângulo com _1 é o ponto no ângulo 2 a partir da extremidade _1 (laranja). O círculo desenhado apenas toca a envoltória: o plano no ponto de contato rompe-se, com sua normal a = 45 + /2 de _1, e o raio ali é perpendicular à envoltória. Desenhado em escala para C = 10\, MPa, = 0.6 e _3' = 20\, MPa, que dão _1' = 97.7\, MPa.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-stress-strain-rheology/fig-3cc400b797f0.svg)

*Círculo de Mohr em tensões efetivas e uma envoltória de Coulomb. Um plano cuja normal faz o ângulo $\theta$ com $\sigma_1$ é o ponto no ângulo $2\theta$ a partir da extremidade $\sigma_1$ (laranja). O círculo desenhado apenas toca a envoltória: o plano no ponto de contato rompe-se, com sua normal a $\theta = 45{}^{\circ} + \phi/2$ de $\sigma_1$, e o raio ali é perpendicular à envoltória. Desenhado em escala para $C = 10\,\mathrm{MPa}$, $\mu = 0.6$ e $\sigma_3' = 20\,\mathrm{MPa}$, que dão $\sigma_1' = 97.7\,\mathrm{MPa}$.*

Com $\phi = 30{}^{\circ}$, uma rocha se rompe em planos a $30{}^{\circ}$ de $\sigma_1$, e os dois planos possíveis formam $60{}^{\circ}$ entre si, com $\sigma_1$ cortando o ângulo entre eles ao meio. Este é o ângulo entre as falhas conjugadas vistas no campo, e a razão, como mostra o [Capítulo 17](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/17-falhas-dobras-e-fabricas#ch-b1-faults-folds-fabrics), pela qual falhas normais mergulham de forma acentuada e empurrões, suavemente.

Para o deslizamento sobre fraturas que já existem, o próprio atrito é dado pelo experimento, e o experimento o dá com uma surpreendente simplicidade.

**Proposição 16.15 (Lei de Byerlee).**

Para a maioria das rochas, o deslizamento sobre uma fratura ou falha existente começa quando a tensão de cisalhamento atinge

$$
\tau = 0.85\,\sigma_n' \quad (\sigma_n' < 200\,\mathrm{MPa}), \qquad
  \tau = 50\,\mathrm{MPa} + 0.6\,\sigma_n' \quad (\sigma_n' > 200\,\mathrm{MPa}),
$$

qualquer que seja o tipo de rocha: esta é a *lei de Byerlee*.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

A lei é resultado do experimento, não da teoria. James Byerlee mediu, em 1975, a resistência à fratura e a resistência ao atrito de um arenito sob pressões de confinamento e de poros, e constatou que ambas são governadas apenas pela [tensão efetiva](#def-b1-stress-strain-rheology-lithostatic), a diferença entre as duas pressões; a resistência à fratura variou até $20\,\%$ com o cimento entre os grãos, mas o atrito não dependia da rocha, e a mesma lei valeu para gabro, dunito, serpentinito, granito e calcário. As duas retas se encontram em $\sigma_n' = 200\,\mathrm{MPa}$, onde ambas dão $170\,\mathrm{MPa}$.

A lei da [tensão efetiva](#def-b1-stress-strain-rheology-lithostatic) é a chave da abertura deste capítulo. Elevar a pressão nos poros em $\Delta P$ reduz toda [tensão normal](#def-b1-stress-strain-rheology-stress) efetiva em $\Delta P$ e deixa cada tensão de cisalhamento como estava: o círculo de Mohr desliza para a esquerda, sem mudar de tamanho, em direção à reta de ruptura. Uma falha que estava segura pode ser levada a deslizar sem qualquer mudança na tensão tectônica. A tensão de cisalhamento crítica sobre uma falha é $\tau_c = \tau_0 + \mu(\sigma_n - P)$, e a injeção atua sobre seu último termo. Em Denver, os terremotos se mantiveram na rocha onde a pressão nos poros havia subido em mais de cerca de $3.2\,\mathrm{MPa}$, como se essa elevação fosse o que as falhas ali precisavam.

**Método 16.16 (Teste de uma falha quanto ao deslizamento).**

Para decidir se uma falha à profundidade $z$ vai deslizar, e o que a faria deslizar:

1. Encontre as [tensões principais](#def-b1-stress-strain-rheology-principal) no plano perpendicular à [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) da falha: $\sigma_v = \rho g z$ , e a tensão horizontal, medida ou suposta; tome a pressão nos poros $P$ (hidrostática, $\rho_w g z$ , se nada mais for conhecido).
2. Meça o ângulo $\theta$ entre a normal à falha e a direção de $\sigma_1$ .
3. Calcule $\sigma_n$ e $\tau$ na falha com [Proposição 16.5](#prop-b1-stress-strain-rheology-mohr) , depois $\sigma_n' = \sigma_n - P$ .
4. Compare $\tau$ com o atrito da [Proposição 16.15](#prop-b1-stress-strain-rheology-byerlee) : abaixo dele, a falha se mantém; $\tau/\sigma_n'$ comparado com 0.85 mede a margem.
5. A elevação da pressão nos poros que a leva a deslizar é $\Delta P = \sigma_n' - \tau/0.85$ no ramo inferior da lei ( $\sigma_n' - (\tau - 50)/0.6$ , em megapascals, no superior).

### Fluência dúctil

A rocha quente não espera para se romper. Acima de algumas centenas de graus em rocha rica em quartzo, e em temperaturas mais altas na [olivina](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups), os cristais se deformam pelo lento movimento de defeitos através de sua rede, e a rocha sofre fluência a uma taxa que cresce acentuadamente com a tensão e com a temperatura.

**Proposição 16.17 (Fluência em lei de potência).**

Em alta temperatura, uma rocha que se deforma por fluência por deslocamentos flui à taxa

$$
\dot\varepsilon = A\,(\sigma_1 - \sigma_3)^n \exp\Bigl(-\frac{E + PV}{RT}\Bigr),
$$

onde $T$ é a temperatura absoluta, $P$ a pressão, $R$ a constante dos gases, e $A$, $n$, $E$ (a energia de ativação) e $V$ (o volume de ativação) são constantes do material, medidas em laboratório. Para fluir à taxa $\dot\varepsilon$, ela precisa da [tensão diferencial](#def-b1-stress-strain-rheology-principal)

$$
\sigma_1 - \sigma_3 = \Bigl(\frac{\dot\varepsilon}{A}\Bigr)^{1/n}
  \exp\Bigl(\frac{E + PV}{nRT}\Bigr).
$$

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

Os mecanismos por trás da lei são o assunto do Livro 5. Suas constantes vêm de experimentos; para quartzito úmido, $n = 4$, $E = 223\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$ e $A = 1.1 \times 10^{-4}$ (tensão em megapascals, tempo em segundos), segundo Gleason e Tullis (1995); para [olivina](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) seca, $n = 3.5$, $E = 530\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $V = 18\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$ e $A = 10^{5}$, segundo Hirth e Kohlstedt (2003); $R =
8.314\,462\,618\,\mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$.

Dois traços da lei moldam a [litosfera](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-lithosphere). A tensão depende apenas fracamente da taxa: dez vezes mais rápido exige apenas $10^{1/4} = 1.78$ vez mais tensão no quartzito. E depende enormemente da temperatura: a exponencial divide a resistência do quartzito por vários a cada cem graus. As taxas de deformação naturais são lentas. Um cinturão de [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) de $300\,\mathrm{km}$ de largura que absorve $1\,\mathrm{cm}$ de movimento de placa por ano se deforma a $0.01/(3.16 \times 10^{7}\times3 \times 10^{5}) \approx 1 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$, a taxa que usaremos.

**No laboratório — Medindo a resistência da rocha.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-stress-strain-rheology/img-3a6e08711ff8.jpg)

*Uma célula triaxial de alta pressão para medir a resistência da rocha (Darryl Peroni, CSIRO, CC BY 3.0).*

Os laboratórios de mecânica das rochas medem a resistência em uma célula triaxial. Um cilindro de rocha, extraído com sonda e retificado plano nas extremidades, é selado em uma capa de borracha ou de metal mole que impede o fluido de confinamento de entrar em seus poros. Ele fica dentro de um vaso de pressão de paredes grossas: óleo em volta dele fixa a pressão de confinamento, que faz o papel de $\sigma_2 = \sigma_3$; um pistão atua sobre suas extremidades e acrescenta a carga axial, $\sigma_1$. Uma linha separada enche os poros com água a uma pressão própria, de modo que a [tensão efetiva](#def-b1-stress-strain-rheology-lithostatic) pode variar com a tensão total fixa. A máquina registra a força axial e o encurtamento da amostra à medida que ela é carregada a uma taxa constante, até romper-se ou, em uma amostra serrada de antemão, até o corte começar a deslizar. Um forno dentro do vaso aquece as amostras para experimentos de fluência, que são feitos com taxas de deformação muitas ordens de grandeza mais rápidas que quaisquer taxas na Terra e precisam ser extrapoladas para ela.

## 16.4 A resistência da litosfera

A cada profundidade a [litosfera](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-lithosphere) pode romper-se de duas maneiras: por deslizamento sobre falhas, com uma resistência que cresce com a pressão efetiva, ou por fluência, com uma resistência que cai à medida que ela esquenta. Ela se deforma do modo que exige a menor tensão.

**Definição 16.18 (Envoltória de resistência, transição frágil–dúctil, camada sismogênica).**

A *envoltória de resistência* da [litosfera](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-lithosphere) é a curva, em função da profundidade, da maior [tensão diferencial](#def-b1-stress-strain-rheology-principal) que ela suporta a uma dada taxa de deformação: a cada profundidade, a menor entre a resistência por atrito e a resistência à fluência. A *transição frágil–dúctil* é a profundidade em que as duas são iguais: acima dela a rocha se deforma por falhamento, abaixo por fluência. A *camada sismogênica* é a faixa de profundidades em que a maioria dos terremotos começa.

**Proposição 16.19 (Resistência por atrito com a profundidade).**

Em uma camada de densidade $\rho$ com pressão hidrostática nos poros, uma tensão principal vertical, falhas de toda orientação e nenhuma [coesão](#def-b1-stress-strain-rheology-coulomb), com deslizamento por atrito $\mu$ começa à [tensão diferencial](#def-b1-stress-strain-rheology-principal)

$$
\begin{align*}
  \sigma_1 - \sigma_3 &= \frac{2\mu}{\sqrt{1+\mu^2} + \mu}\,\rho g z(1-\lambda)
  && \text{se $\sigma_v = \sigma_1$}, \\
  \sigma_1 - \sigma_3 &= \frac{2\mu}{\sqrt{1+\mu^2} - \mu}\,\rho g z(1-\lambda)
  && \text{se $\sigma_v = \sigma_3$},
\end{align*}
$$

com $\lambda = \rho_w/\rho$: o primeiro caso dá falhas normais, o segundo, empurrões.

**Demonstração.** A [tensão efetiva](#def-b1-stress-strain-rheology-lithostatic) vertical é $S = \rho g z - \rho_w g z = \rho g z(1-\lambda)$. Com $C = 0$ e $k = \sqrt{1+\mu^2}$, o [Teorema 16.14](#thm-b1-stress-strain-rheology-failure-angle) diz que uma falha desliza quando $r = \mu c'/k$, com $r$ o raio e $c'$ o centro do círculo de Mohr efetivo. Se $\sigma_v = \sigma_1$, então $\sigma_1' = S$ e $c' = S - r$, logo $rk = \mu S - \mu r$ e $r = \mu S/(k+\mu)$. Se $\sigma_v = \sigma_3$, então $c' = S + r$ e $r = \mu S/(k-\mu)$. A [tensão diferencial](#def-b1-stress-strain-rheology-principal) é $2r$. ∎

Com $\mu = 0.85$ e $\rho = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $S$ cresce $16.7\,\mathrm{MPa}$ por quilômetro, e a resistência por atrito $13.1\,\mathrm{MPa}$ por quilômetro sob [extensão](#def-b1-stress-strain-rheology-strain) e $61.3\,\mathrm{MPa}$ por quilômetro sob compressão, quase cinco vezes mais: uma [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) é muito mais fácil de separar do que de empurrar uma contra a outra. Acima de uma [tensão normal](#def-b1-stress-strain-rheology-stress) efetiva de $200\,\mathrm{MPa}$, o ramo superior da [lei de Byerlee](#prop-b1-stress-strain-rheology-byerlee) assume, e a inclinação cai, em compressão, para cerca de $35\,\mathrm{MPa}$ por quilômetro.

![Envoltórias de resistência à taxa de deformação 10-15\, s-1. Vermelho: resistência por atrito pela lei de Byerlee, com pressão hidrostática nos poros, para compressão (falhamento por empurrão, à direita) e extensão (falhamento normal, à esquerda, desenhado como negativo); azul: a resistência à fluência do quartzito úmido na crosta continental e da olivina seca no manto; contorno preto e sombreado: a resistência, a menor das duas em cada profundidade. (a) Um continente com fluxo de calor superficial de 55\, mW\, m-2 e uma crosta de 35\, km de espessura: crosta superior forte, crosta inferior fraca, manto superior forte. (b) Fundo oceânico de 60\, Myr: uma única camada forte, de 38\, km de espessura em compressão.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-stress-strain-rheology/fig-edb94defe925.svg)

*[Envoltórias de resistência](#def-b1-stress-strain-rheology-strength-envelope) à taxa de deformação $10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$. Vermelho: resistência por atrito pela [lei de Byerlee](#prop-b1-stress-strain-rheology-byerlee), com pressão hidrostática nos poros, para compressão (falhamento por empurrão, à direita) e [extensão](#def-b1-stress-strain-rheology-strain) (falhamento normal, à esquerda, desenhado como negativo); azul: a resistência à fluência do quartzito úmido na [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) continental e da [olivina](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) seca no [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers); contorno preto e sombreado: a resistência, a menor das duas em cada profundidade. (a) Um continente com [fluxo de calor](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/10-o-balanco-termico-da-terra#def-b1-heat-budget-heat-flow) superficial de $55\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ e uma [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) de $35\,\mathrm{km}$ de espessura: [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) superior forte, [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) inferior fraca, [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) superior forte. (b) Fundo oceânico de $60\,\mathrm{Myr}$: uma única camada forte, de $38\,\mathrm{km}$ de espessura em compressão.*

A figura acima reúne as duas resistências para duas [litosferas](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-lithosphere). O continente tem a geoterma do [Capítulo 10](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/10-o-balanco-termico-da-terra#ch-b1-heat-budget) com um [fluxo de calor](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/10-o-balanco-termico-da-terra#def-b1-heat-budget-heat-flow) superficial de $55\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, uma [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) de quartzito úmido com $35\,\mathrm{km}$ de espessura e [olivina](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) seca abaixo; o fundo oceânico tem $60\,\mathrm{Myr}$, com a geoterma de semiespaço do mesmo capítulo, e [olivina](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) desde o fundo do mar para baixo. A taxa de deformação é $10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$. Os $35\,\mathrm{km}$ são a profundidade média do [Moho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-discontinuity) sob os continentes no modelo de Terra de referência do [Capítulo 9](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#ch-b1-layered-earth).

Sob o continente, a [transição frágil–dúctil](#def-b1-stress-strain-rheology-strength-envelope) cai a $13.7\,\mathrm{km}$ em compressão, a $249{}^{\circ}\mathrm{C}$, e a $17.1\,\mathrm{km}$ em [extensão](#def-b1-stress-strain-rheology-strain). Uma [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) mais quente a faria subir, e uma mais fria a empurraria para baixo, pois a lei de fluência depende apenas da temperatura, para uma dada tensão. A transição é o nível mais forte da [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers). Abaixo dela, a resistência desaba: no [Moho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-discontinuity), a $527{}^{\circ}\mathrm{C}$, o quartzito flui sob $7.6\,\mathrm{MPa}$, enquanto a [olivina](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups), à mesma temperatura, precisaria de cerca de $30\,000\,\mathrm{MPa}$, tão além da resistência por atrito que o topo do [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) volta a ser frágil. Uma segunda transição segue a $44.6\,\mathrm{km}$ em compressão. A [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) inferior deste modelo é uma camada mole entre duas fortes: o “sanduíche de geleia”. Sob o oceano, a [litosfera](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-lithosphere) inteira é [olivina](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups), e a resistência cresce até uma única transição a $38.2\,\mathrm{km}$, a $641{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Os terremotos concordam com a envoltória oceânica: dentro das placas oceânicas, eles atingem profundidades onde a temperatura é $600\text{ a }800{}^{\circ}\mathrm{C}$, perto dos $641{}^{\circ}\mathrm{C}$ da transição única do modelo. Terremotos mais profundos ocorrem apenas onde uma placa afunda sob outra, até mais de $700\,\mathrm{km}$ ([Capítulo 14](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/14-margens-ativas#ch-b1-active-margins)).

O [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) continental é onde o quadro é disputado. Por cerca de vinte anos, o sanduíche de geleia foi a visão predominante, construída sobre medidas de laboratório de [olivina](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) seca e sobre alguns terremotos que se pensava estarem abaixo do [Moho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-discontinuity). Em 2002, James Jackson argumentou que ela deveria ser abandonada: profundidades melhores mostraram que os terremotos dos continentes se confinam a uma única camada, em geral a [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) superior, às vezes a [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) inteira, sem terremotos convincentes no [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) abaixo, mesmo onde o [Moho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-discontinuity) está a apenas $300\text{ a }500{}^{\circ}\mathrm{C}$. Pequenas quantidades de água, algumas partes por milhão em [olivina](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups), bastam para enfraquecê-la dramaticamente, e o [manto](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) continental pode muito bem conter tanto; a resistência dos continentes estaria então sobretudo em sua [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers). As duas visões desenham envoltórias diferentes a partir das mesmas leis, com [olivina](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) seca ou úmida abaixo do [Moho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-discontinuity).

Qualquer que seja a visão certa, uma envoltória é um limite e não uma medida: as leis de laboratório são extrapoladas por muitas ordens de grandeza da taxa de deformação, e os picos de tensão que ela mostra, acima de um gigapascal, estão muito acima dos $1\text{ a }10\,\mathrm{MPa}$ que os terremotos são vistos liberando.

## 16.5 Exercícios

**Exercício 16.1 ★.**

Tome uma [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) de densidade $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ e $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. À profundidade de $10\,\mathrm{km}$, calcule (a) a tensão vertical, (b) a pressão hidrostática nos poros, (c) a [tensão efetiva](#def-b1-stress-strain-rheology-lithostatic) vertical e a razão de pressão nos poros $\lambda$.

**Solução de Exercício 16.1.**

(a) $\sigma_v = 2700\times9.81\times10\,000 = 2.65 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa} = 264.9\,\mathrm{MPa}$. (b) $P = 1000\times9.81\times10\,000 = 98.1\,\mathrm{MPa}$. (c) $\sigma_v' =
264.9 - 98.1 = 166.8\,\mathrm{MPa}$, e $\lambda = 98.1/264.9 = 0.370$, que é $1000/2700$.

**Exercício 16.2 ★.**

(a) Uma camada de $10\,\mathrm{km}$ de comprimento é esticada até $13\,\mathrm{km}$: dê sua [extensão](#def-b1-stress-strain-rheology-strain) e seu [alongamento](#def-b1-stress-strain-rheology-strain). (b) Outra, de $10\,\mathrm{km}$ de comprimento, é encurtada até $7\,\mathrm{km}$. (c) Duas linhas de uma rocha que eram perpendiculares agora formam um ângulo de $60{}^{\circ}$: quais são o cisalhamento angular e a [deformação de cisalhamento](#def-b1-stress-strain-rheology-strain)?

**Solução de Exercício 16.2.**

(a) $e = (13-10)/10 = 0.30$ e $S = 1.30$. (b) $e = (7-10)/10 = -0.30$, um encurtamento de $30\,\%$, e $S = 0.70$. (c) O ângulo se fechou de $\psi = 30{}^{\circ}$, e $\gamma = \tan30{}^{\circ} = 0.577$.

**Exercício 16.3 ★.**

Em um ponto, $\sigma_1 = 100\,\mathrm{MPa}$ e $\sigma_3 = 40\,\mathrm{MPa}$. (a) Desenhe o círculo de Mohr. (b) Qual é a maior tensão de cisalhamento, em quais planos ela atua, e que [tensão normal](#def-b1-stress-strain-rheology-stress) atua sobre eles? (c) Calcule $\sigma_n$ e $\tau$ sobre o plano cuja normal faz $30{}^{\circ}$ com $\sigma_1$.

**Solução de Exercício 16.3.**

(a) Centro $70\,\mathrm{MPa}$, raio $30\,\mathrm{MPa}$. (b) A maior tensão de cisalhamento é o raio, $30\,\mathrm{MPa}$, nos planos a $45{}^{\circ}$ de $\sigma_1$ e $\sigma_3$, que carregam a [tensão normal](#def-b1-stress-strain-rheology-stress) do centro, $70\,\mathrm{MPa}$. (c) $2\theta = 60{}^{\circ}$: $\sigma_n = 70 + 30\cos60{}^{\circ} = 85\,\mathrm{MPa}$ e $\tau = 30\sin60{}^{\circ} = 26.0\,\mathrm{MPa}$.

**Exercício 16.4 ★.**

Uma rocha tem [coesão](#def-b1-stress-strain-rheology-coulomb) $10\,\mathrm{MPa}$ e [ângulo de atrito interno](#def-b1-stress-strain-rheology-coulomb) $30{}^{\circ}$. (a) Em que ângulo com $\sigma_1$ ela se rompe, e que ângulo formam entre si os dois planos de fratura possíveis? (b) Com $\sigma_3' = 20\,\mathrm{MPa}$, qual $\sigma_1'$ efetivo a rompe?

**Solução de Exercício 16.4.**

(a) $45{}^{\circ} - 30{}^{\circ}/2 = 30{}^{\circ}$ com $\sigma_1$, de um lado e do outro dele, logo os dois planos formam $60{}^{\circ}$ entre si. (b) Com $c' = 20 + r$, a condição do [Teorema 16.14](#thm-b1-stress-strain-rheology-failure-angle) lê-se $r = C\cos\phi + (20 + r)\sin\phi$, logo

$$
r = \frac{C\cos\phi + 20\sin\phi}{1 - \sin\phi} = \frac{8.66 + 10}{0.5}
    = 37.3\,\mathrm{MPa},
$$

e $\sigma_1' = 20 + 2r = 94.6\,\mathrm{MPa}$.

**Exercício 16.5 ★★.**

Nos eixos $x$ (horizontal) e $y$ (vertical), $\sigma_{xx} = 60\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_{yy} = 20\,\mathrm{MPa}$ e $\sigma_{xy} = 15\,\mathrm{MPa}$. (a) Calcule as [tensões principais](#def-b1-stress-strain-rheology-principal) e o ângulo $\theta_p$. (b) Verifique com a [Proposição 16.2](#prop-b1-stress-strain-rheology-transformation) que o plano de normal $\theta_p$ não carrega tensão de cisalhamento e que tem a [tensão normal](#def-b1-stress-strain-rheology-stress) $\sigma_1$. (c) Qual é a maior tensão de cisalhamento neste ponto?

**Solução de Exercício 16.5.**

(a) $c = 40$ e $R = \sqrt{20^2 + 15^2} = 25\,\mathrm{MPa}$: $\sigma_1 =
65\,\mathrm{MPa}$ e $\sigma_3 = 15\,\mathrm{MPa}$; $\tan2\theta_p = 30/40 = 0.75$, $2\theta_p = 36.87{}^{\circ}$, $\theta_p = 18.43{}^{\circ}$. (b) Nesse ângulo $\cos^2\theta = 0.9$, $\sin^2\theta = 0.1$ e $\sin\theta\cos\theta = 0.3$: $\sigma_n = 60\times0.9 + 2\times15\times0.3 + 20\times0.1 = 54 + 9 + 2 =
65\,\mathrm{MPa}$, e $\tau = (20-60)\times0.3 + 15\times(0.9-0.1) = -12 + 12 =
0$. (c) $R = 25\,\mathrm{MPa}$, nos planos a $45{}^{\circ}$ das direções principais.

**Exercício 16.6 ★★.**

Uma zona de cisalhamento deformou sua rocha por um [cisalhamento simples](#def-b1-stress-strain-rheology-shear-types) $\gamma = 2$. (a) Calcule os [alongamentos](#def-b1-stress-strain-rheology-strain) principais e o ângulo do eixo longo da [elipse de deformação](#def-b1-stress-strain-rheology-strain-ellipse) com a direção de cisalhamento. (b) Verifique que a área não mudou. (c) Uma linha de material estava a $45{}^{\circ}$ da direção de cisalhamento, subindo no sentido do cisalhamento: onde ela está agora, e qual é seu [alongamento](#def-b1-stress-strain-rheology-strain)? Compare com (a).

**Solução de Exercício 16.6.**

(a) $S_{1,2} = \sqrt{1 + 1} \pm 1$: $S_1 = 2.414$ e $S_2 = 0.414$; $\tan2\theta' = 2/2 = 1$, $\theta' = 22.5{}^{\circ}$. (b) $S_1S_2 =
(\sqrt2 + 1)(\sqrt2 - 1) = 1$, que é $\det F$: nenhuma mudança de área. (c) A reta ao longo de $(1, 1)$ vai a $F(1, 1) = (1 + 2, 1) = (3, 1)$, a $\arctan(1/3) = 18.4{}^{\circ}$ da direção de cisalhamento, com o [alongamento](#def-b1-stress-strain-rheology-strain) $\sqrt{10}/\sqrt2 = 2.24$. Ela girou para além do eixo longo da elipse, a $22.5{}^{\circ}$, em direção ao plano de cisalhamento; seu [alongamento](#def-b1-stress-strain-rheology-strain) é um pouco menor que $S_1$, como deve ser, pois nenhuma linha se alonga mais que $S_1$.

**Exercício 16.7 ★★.**

Numa zona de cisalhamento de $200\,\mathrm{m}$ de espessura, pequenas manchas arredondadas em uma ardósia tornaram-se elipses com eixos na razão 4 para 1. Suponha um [cisalhamento simples](#def-b1-stress-strain-rheology-shear-types), sem mudança de área. (a) Encontre $S_1$, $S_2$ e $\gamma$. (b) Em que ângulo com as paredes da zona devem jazer os eixos longos? (c) Quanto uma parede se deslocou além da outra?

**Solução de Exercício 16.7.**

(a) $S_1/S_2 = 4$ e $S_1S_2 = 1$ dão $S_1 = 2$ e $S_2 = 0.5$; pela [Proposição 16.11](#prop-b1-stress-strain-rheology-simple-shear), $\gamma = S_1 - S_2 =
1.5$. (b) $\tan2\theta' = 2/1.5 = 1.333$, $2\theta' = 53.1{}^{\circ}$: os eixos longos devem jazer a $26.6{}^{\circ}$ das paredes. (c) $1.5\times200 = 300\,\mathrm{m}$.

**Exercício 16.8 ★★.**

Uma falha a $3\,\mathrm{km}$ de profundidade, em [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) de densidade $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, suporta a [tensão normal](#def-b1-stress-strain-rheology-stress) de $70\,\mathrm{MPa}$ e a tensão de cisalhamento de $30\,\mathrm{MPa}$. (a) Com pressão hidrostática nos poros, ela desliza segundo a [lei de Byerlee](#prop-b1-stress-strain-rheology-byerlee)? (b) E se os poros forem selados e $\lambda = 0.6$? (c) Encontre o valor de $\lambda$ a partir do qual ela começa a deslizar.

**Solução de Exercício 16.8.**

$\sigma_v = 2700\times9.81\times3000 = 79.46\,\mathrm{MPa}$. (a) $P = 29.43\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_n' = 70 - 29.43 = 40.57\,\mathrm{MPa}$, e Byerlee permite $0.85\times40.57 = 34.5\,\mathrm{MPa}$, mais que os $30\,\mathrm{MPa}$ aplicados: a falha se mantém. (b) $P = 0.6\times79.46 = 47.68\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_n' =
22.32\,\mathrm{MPa}$, e o atrito dá apenas $19.0\,\mathrm{MPa}$: a falha desliza. (c) $30 = 0.85\,(70 - 79.46\,\lambda)$ dá $\lambda = (70 -
35.29)/79.46 = 0.437$.

**Exercício 16.9 ★★.**

Use a lei de fluência do quartzito úmido ([Proposição 16.17](#prop-b1-stress-strain-rheology-creep)). (a) De que fator a tensão deve subir para que ele flua dez vezes mais depressa? (b) De que fator sua resistência cai entre $400{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $500{}^{\circ}\mathrm{C}$, à mesma taxa e com $V = 0$? (c) Explique com esses dois resultados por que a profundidade da [transição frágil–dúctil](#def-b1-stress-strain-rheology-strength-envelope) depende muito mais do [geotermo](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/10-o-balanco-termico-da-terra#def-b1-heat-budget-geotherm) do que da taxa de deformação.

**Solução de Exercício 16.9.**

(a) A tensão varia como $\dot\varepsilon^{1/4}$: $10^{1/4} = 1.78$. (b) A razão das resistências é

$$
\exp\Bigl[\frac{E}{nR}\Bigl(\frac{1}{673.15} - \frac{1}{773.15}\Bigr)\Bigr]
  = \exp\bigl(6705\times1.921 \times 10^{-4}\bigr) = \exp(1.288) = 3.63 .
$$

(c) Uma variação de dez vezes na taxa muda a resistência à fluência por um fator 1.78, o que a temperatura faz em apenas $100\times\ln1.78/\ln3.63 \approx
45{}^{\circ}\mathrm{C}$; com uma geoterma de cerca de $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ por quilômetro, isso desloca a transição em cerca de $2\,\mathrm{km}$. Uma mudança na geoterma desloca as isotermas, e com elas a transição, muito mais.

**Exercício 16.10 ★★★.**

Onde a tensão vertical é $\sigma_2$, as falhas são transcorrentes. Suponha que a [tensão efetiva](#def-b1-stress-strain-rheology-lithostatic) vertical seja então a média $(\sigma_1' + \sigma_3')/2$. (a) Mostre que o deslizamento com atrito $\mu$ e sem [coesão](#def-b1-stress-strain-rheology-coulomb) começa em $\sigma_1 - \sigma_3 = 2\mu\,\rho g z(1-\lambda)/\sqrt{1+\mu^2}$. (b) Calcule a inclinação em megapascals por quilômetro para $\mu = 0.85$ e $\rho = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, e situe-a entre as inclinações das falhas normais e dos empurrões. (c) Exprima cada uma das três inclinações como múltiplo da [tensão efetiva](#def-b1-stress-strain-rheology-lithostatic) vertical.

**Solução de Exercício 16.10.**

(a) Com $C = 0$, uma falha desliza quando $r = \mu c'/\sqrt{1+\mu^2}$ ([Teorema 16.14](#thm-b1-stress-strain-rheology-failure-angle)). Aqui $c' = S =
\rho g z(1-\lambda)$, logo $\sigma_1 - \sigma_3 = 2r = 2\mu S/\sqrt{1+\mu^2}$. (b) $S$ cresce em $2700\times9.81\times1000\times(1 - 1000/2700) =
16.68\,\mathrm{MPa}$ por quilômetro, e $2\times0.85/1.3124 = 1.295$: a inclinação é $21.6\,\mathrm{MPa}$ por quilômetro, entre $13.1$ (falhas normais) e $61.3\,\mathrm{MPa}$ por quilômetro (empurrões). (c) $2\mu/(k+\mu) = 0.786$, $2\mu/k = 1.295$ e $2\mu/(k-\mu) = 3.68$, com $k = 1.3124$: a [tensão diferencial](#def-b1-stress-strain-rheology-principal) no deslizamento é 0.79, 1.30 e 3.68 vezes a [tensão efetiva](#def-b1-stress-strain-rheology-lithostatic) vertical.

**Exercício 16.11 ★★★.**

Modele a [litosfera](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-lithosphere) oceânica de $60\,\mathrm{Myr}$ como um semiespaço resfriado a partir de $1350{}^{\circ}\mathrm{C}$, com a superfície a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$: $T = 1350\operatorname{erf}\bigl(z/(2\sqrt{\kappa t})\bigr)$. (a) Calcule $2\sqrt{\kappa t}$. (b) Encontre as profundidades das isotermas de $600{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $800{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) Os terremotos dentro das placas oceânicas atingem as profundidades onde a temperatura está entre $600\text{ a }800{}^{\circ}\mathrm{C}$. Compare com a [transição frágil–dúctil](#def-b1-stress-strain-rheology-strength-envelope) da [envoltória de resistência](#def-b1-stress-strain-rheology-strength-envelope) oceânica deste capítulo, a $38.2\,\mathrm{km}$ e $641{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Solução de Exercício 16.11.**

(a) $t = 60\times10^{6}\times3.156 \times 10^{7} = 1.89 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$ e $2\sqrt{\kappa t} = 2\sqrt{1.89 \times 10^{9}} = 87.0\,\mathrm{km}$. (b) $\operatorname{erf}x = 600/1350 = 0.444$ para $x = 0.417$: $z = 0.417\times87.0
= 36.3\,\mathrm{km}$; $\operatorname{erf}x = 800/1350 = 0.593$ para $x = 0.586$: $z = 51.0\,\mathrm{km}$. (c) Os terremotos deveriam atingir $36\text{ a }51\,\mathrm{km}$; a envoltória põe a base da camada frágil a $38.2\,\mathrm{km}$, dentro dessa faixa e perto de seu topo, a uma temperatura, $641{}^{\circ}\mathrm{C}$, na faixa observada.

**Exercício 16.12 ★★★.**

Uma rocha é cortada por fraturas de toda orientação, todas contendo a direção de $\sigma_2$, com [coesão](#def-b1-stress-strain-rheology-coulomb) nula e atrito 0.85. As [tensões principais](#def-b1-stress-strain-rheology-principal) efetivas são $\sigma_1' = 110\,\mathrm{MPa}$ e $\sigma_3' = 20\,\mathrm{MPa}$. (a) Mostre que algumas fraturas deslizam. (b) Encontre a faixa do ângulo entre as fraturas que deslizam e $\sigma_1$. Qual delas está no meio da faixa? (c) Até que valor de $\sigma_1'$, com $\sigma_3'$ fixo, ao menos uma fratura ainda desliza?

**Solução de Exercício 16.12.**

(a) $r = 45$ e $c' = 65\,\mathrm{MPa}$; a distância do centro à reta $\tau = 0.85\sigma_n'$ é $0.85\times65/1.3124 = 42.1\,\mathrm{MPa}$, menor que o raio: o círculo cruza a reta, e os planos no arco acima dela deslizam. (b) Com $2\theta$ o ângulo a partir da extremidade $\sigma_1$, o deslizamento exige $45\sin2\theta \ge 0.85\,(65 + 45\cos2\theta)$, isto é $45\sin2\theta - 38.25\cos2\theta \ge 55.25$, ou $59.06\sin(2\theta - 40.36{}^{\circ}) \ge 55.25$, onde $40.36{}^{\circ} = \phi$. Logo $\sin(2\theta - \phi) \ge 0.9355$, $2\theta - \phi$ entre $69.31{}^{\circ}$ e $110.69{}^{\circ}$, $2\theta$ entre $109.67{}^{\circ}$ e $151.06{}^{\circ}$: as normais jazem a $54.8{}^{\circ}$ a $75.5{}^{\circ}$ de $\sigma_1$, e as fraturas que deslizam a $14.5{}^{\circ}$ a $35.2{}^{\circ}$ de $\sigma_1$. O meio da faixa, $24.8{}^{\circ}$, é $45{}^{\circ} - \phi/2$, o plano do [Teorema 16.14](#thm-b1-stress-strain-rheology-failure-angle). (c) Apenas esse plano desliza quando o círculo apenas toca a reta: $r = \mu(20 + r)/k$, $r = 20\mu/(k -
\mu) = 17/0.4624 = 36.8\,\mathrm{MPa}$, e $\sigma_1' = 20 + 2r =
93.5\,\mathrm{MPa}$.

## 16.6 Problema: a falha desliza?

**Problema 16.1.**

Problema de fim de semana — a tensão sobre uma falha normal a cinco quilômetros de profundidade, sua margem de segurança e a elevação da pressão nos poros que a faria deslizar

Uma falha tem [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) norte–sul e mergulha $60{}^{\circ}$ para leste. Um poço de descarte atinge a falha a uma profundidade de $5.00\,\mathrm{km}$, em [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) de densidade $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ cujos poros se conectam à superfície. Uma medida no poço dá a tensão horizontal perpendicular à falha, $75.0\,\mathrm{MPa}$; a tensão horizontal ao longo da [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) fica entre ela e a tensão vertical, de modo que o problema é bidimensional no plano vertical leste–oeste. Tome $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, água de densidade $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ e a [lei de Byerlee](#prop-b1-stress-strain-rheology-byerlee). Dê as tensões com $0.01\,\mathrm{MPa}$.

**Parte I — O estado de tensão.**

1. Calcule a tensão vertical na profundidade da falha.
2. Calcule a pressão hidrostática nos poros ali, e a razão $\lambda$ .
3. Qual das duas tensões é $\sigma_1$ e qual é $\sigma_3$ ? Que tipo de falha esse estado de tensão impulsiona?
4. Calcule a [tensão diferencial](#def-b1-stress-strain-rheology-principal) , o centro e o raio do círculo de Mohr.
5. Calcule as [tensões principais](#def-b1-stress-strain-rheology-principal) efetivas e o centro do círculo efetivo.
6. Com $x$ horizontal para leste e $y$ vertical, escreva as três componentes $\sigma_{xx}$ , $\sigma_{yy}$ , $\sigma_{xy}$ . Por que $\sigma_{xy}$ é nula?

**Parte II — As tensões na falha.**

7. Dê o vetor unitário normal à falha nos eixos da questão 6, e o ângulo $\theta$ entre ele e $\sigma_1$ .
8. Calcule $\sigma_n$ e $\tau$ na falha com [Proposição 16.2](#prop-b1-stress-strain-rheology-transformation) .
9. Verifique os dois valores com o círculo de Mohr: a partir da extremidade $\sigma_1$ , em que ângulo jaz a falha?
10. Calcule a [tensão normal](#def-b1-stress-strain-rheology-stress) efetiva sobre a falha.
11. Calcule a razão $\tau/\sigma_n'$ e compare-a com 0.85.
12. Que tensão de cisalhamento faria a falha deslizar sob a [tensão normal](#def-b1-stress-strain-rheology-stress) efetiva atual? Em quantos megapascals ela fica aquém disso?

**Parte III — O círculo de Mohr e a lei de Byerlee.**

13. Desenhe o círculo de Mohr efetivo e a reta de Byerlee em escala.
14. Calcule a distância do centro do círculo à reta e compare-a com o raio. Algum plano que passe pela rocha pode deslizar?
15. Qual plano deslizaria primeiro? Dê seu ângulo com $\sigma_1$ e seu [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) .
16. Com a [Proposição 16.19](#prop-b1-stress-strain-rheology-brittle-gradient) , calcule a [tensão diferencial](#def-b1-stress-strain-rheology-principal) na qual falhas normais deslizam a esta profundidade, e confira-a com a inclinação de $13.1\,\mathrm{MPa}$ por quilômetro.
17. Quão baixa teria de cair a tensão horizontal para que o plano mais bem orientado deslizasse?
18. Quão baixa teria de cair a tensão horizontal para que a falha do problema deslizasse? Explique por que ela é mais baixa.

**Parte IV — Injeção.**

19. Explique por que uma elevação $\Delta P$ da pressão nos poros desloca o círculo efetivo de $\Delta P$ para a esquerda sem mudar seu raio.
20. Calcule a elevação da pressão nos poros que leva o plano mais bem orientado a deslizar.
21. O poço está cheio de água. Que pressão extra a bomba deve aplicar na boca do poço para elevar a pressão nos poros na falha por essa quantidade? A que altura de coluna de água ela equivale?
22. Se o atrito na falha fosse 0.6 em vez de 0.85, ela já estaria deslizando? O que o silêncio da falha diz sobre seu atrito?
23. Em que razão $\lambda$ o plano mais bem orientado desliza?
24. Com uma casa decimal, em megapascals, que elevação da pressão nos poros leva esta falha a deslizar?

**Solução de Problema 16.1.**

**1.** $\sigma_v = 2700\times9.81\times5000 = 132.44\,\mathrm{MPa}$.

**2.** $P = 1000\times9.81\times5000 = 49.05\,\mathrm{MPa}$, e $\lambda = 49.05/132.44 = 0.370$.

**3.** $\sigma_1 = \sigma_v = 132.44\,\mathrm{MPa}$, vertical, e $\sigma_3 = 75.00\,\mathrm{MPa}$, horizontal leste–oeste: a [crosta](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#def-b1-layered-earth-layers) é distendida leste–oeste sob o próprio peso, o estado que impulsiona falhas normais, como esta.

**4.** $\sigma_1 - \sigma_3 = 57.44\,\mathrm{MPa}$; centro $(132.44 + 75.00)/2 = 103.72\,\mathrm{MPa}$; raio $28.72\,\mathrm{MPa}$.

**5.** $\sigma_1' = 132.44 - 49.05 = 83.39\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_3' =
75.00 - 49.05 = 25.95\,\mathrm{MPa}$, centro $103.72 - 49.05 = 54.67\,\mathrm{MPa}$.

**6.** $\sigma_{xx} = 75.00\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_{yy} = 132.44\,\mathrm{MPa}$ e $\sigma_{xy} = 0$: os eixos são as direções principais, uma delas vertical, de modo que os planos perpendiculares a eles não carregam tensão de cisalhamento.

**7.** Ao longo do [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude), a falha segue o vetor unitário $(\cos60{}^{\circ}, -\sin60{}^{\circ})$, para leste e para baixo; sua normal ascendente é $\vec n = (\sin60{}^{\circ}, \cos60{}^{\circ}) = (0.866, 0.500)$, a $30{}^{\circ}$ de $x$. Seu ângulo com $\sigma_1$, ao longo de $y$, tem cosseno 0.500: $\theta = 60{}^{\circ}$.

**8.** Com $30{}^{\circ}$ de $x$: $\sigma_n = 75.00\times0.75 + 132.44\times0.25
= 56.25 + 33.11 = 89.36\,\mathrm{MPa}$, e $\tau = (132.44 - 75.00)\times
\sin30{}^{\circ}\cos30{}^{\circ} = 57.44\times0.4330 = 24.87\,\mathrm{MPa}$.

**9.** Em $2\theta = 120{}^{\circ}$ a partir da extremidade $\sigma_1$: $\sigma_n = 103.72 + 28.72\cos120{}^{\circ} = 103.72 - 14.36 = 89.36\,\mathrm{MPa}$ e $\tau = 28.72\sin120{}^{\circ} = 24.87\,\mathrm{MPa}$.

**10.** $\sigma_n' = 89.36 - 49.05 = 40.31\,\mathrm{MPa}$.

**11.** $24.87/40.31 = 0.617$, abaixo de 0.85: a falha se mantém.

**12.** $0.85\times40.31 = 34.26\,\mathrm{MPa}$; a tensão de cisalhamento fica aquém dela em $9.39\,\mathrm{MPa}$.

**13.** O círculo tem centro em $54.67\,\mathrm{MPa}$ e raio $28.72\,\mathrm{MPa}$, de $25.95$ a $83.39\,\mathrm{MPa}$; a reta de Byerlee é $\tau = 0.85\,\sigma_n'$ (todas as tensões normais aqui estão abaixo de $200\,\mathrm{MPa}$); a falha é o ponto $(40.31, 24.87)$, a $120{}^{\circ}$ da extremidade $\sigma_1$.

**14.** $0.85\times54.67/\sqrt{1 + 0.85^2} = 46.47/1.3124 =
35.41\,\mathrm{MPa}$, mais que o raio, $28.72\,\mathrm{MPa}$: o círculo inteiro fica abaixo da reta, e nenhum plano através da rocha pode deslizar.

**15.** $\phi = \arctan0.85 = 40.36{}^{\circ}$: o plano a $45{}^{\circ} - \phi/2 = 24.8{}^{\circ}$ do $\sigma_1$ vertical, mergulhando $65.2{}^{\circ}$.

**16.** $S = \sigma_v' = 83.39\,\mathrm{MPa}$ e $\sigma_1 - \sigma_3 = 2\times0.85\times83.39/(1.3124 + 0.85) =
65.55\,\mathrm{MPa}$; a inclinação dá $13.11\times5 = 65.55\,\mathrm{MPa}$.

**17.** $\sigma_3 = 132.44 - 65.55 = 66.88\,\mathrm{MPa}$.

**18.** A falha desliza quando $r\sin120{}^{\circ} = 0.85\,(c' + r\cos120{}^{\circ})$ com $c' = (83.39 + \sigma_3')/2$ e $r = (83.39 - \sigma_3')/2$; resolvendo obtemos $\sigma_3' = 17.18\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_3 = 66.23\,\mathrm{MPa}$. Ela é menor do que para o melhor plano: a falha não jaz no ponto em que o círculo toca a reta pela primeira vez, de modo que o círculo deve crescer mais antes de atingir o próprio ponto da falha.

**19.** Toda [tensão normal](#def-b1-stress-strain-rheology-stress) efetiva, $\sigma_1'$ e $\sigma_3'$ incluídas, cai de $\Delta P$, e sua diferença não muda; as tensões de cisalhamento não dependem da pressão nos poros de modo algum.

**20.** O melhor plano desliza quando a distância é igual ao raio: $0.85\,(54.67 - \Delta P)/1.3124 = 28.72$, logo $\Delta P = 54.67 - 28.72\times1.3124/0.85 = 54.67 - 44.34 = 10.33\,\mathrm{MPa}$.

**21.** A coluna de água no poço pesa o mesmo de antes, de modo que a bomba deve acrescentar toda a $10.33\,\mathrm{MPa}$ na boca do poço, cerca de 103 vezes a pressão atmosférica: o peso de uma coluna de água $10.33 \times 10^{6}/(1000\times9.81) = 1053\,\mathrm{m}$ de altura.

**22.** Com $\mu = 0.6$ a falha poderia suportar apenas $0.6\times40.31 = 24.19\,\mathrm{MPa}$, menos que os $24.87\,\mathrm{MPa}$ que ela carrega: ela já estaria deslizando. Como está quieta, seu atrito é pelo menos $0.617$, ou ela tem alguma [coesão](#def-b1-stress-strain-rheology-coulomb).

**23.** O plano mais bem orientado desliza quando a pressão nos poros atinge $49.05 + 10.33 = 59.38\,\mathrm{MPa}$, isto é, $\lambda = 59.38/132.44 = 0.448$, bem abaixo do valor litostático, 1.

**24.** $\Delta P = \sigma_n' - \tau/0.85 = 40.309 - 24.870/0.85 = 40.309 -
29.259 = 11.049\,\mathrm{MPa}$, mais que os $10.33\,\mathrm{MPa}$ que moveriam um plano da melhor orientação. Com uma casa decimal, a elevação da pressão nos poros que leva a falha a deslizar é **$11.0\,\mathrm{MPa}$**.