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title: "Planetologia comparada"
book: "Ciências da Terra e do espaço universitárias — 1.º ano"
subject: earth
language: pt
chapter: 3
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/3-planetologia-comparada
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 3 — Planetologia comparada

Vênus e a Terra são quase gêmeas: Vênus tem $95\,\%$ do raio da Terra e $81\,\%$ da sua massa. No entanto a Terra tem oceanos, uma atmosfera de nitrogênio e oxigênio e placas em movimento, enquanto Vênus esconde sob as nuvens uma superfície a $737\,\mathrm{K}$, mais quente que qualquer forno de cozinha, esmagada por uma atmosfera de dióxido de carbono a $92\,\mathrm{bar}$. Marte, com a metade do tamanho da Terra, tem uma atmosfera fina e fria, vulcões gigantes e cânions, mas não tem placas em movimento. Mais longe, Júpiter e Saturno são sobretudo hidrogênio e hélio; Urano e Netuno, sobretudo os gelos de água, metano e amônia. Comparar os planetas é a única maneira de testar o que julgamos saber sobre a Terra: por que o seu interior é estratificado, por que o seu clima é ameno, por que só ela tem tectônica de placas. Este capítulo pesa e mede os planetas, lê os seus interiores a partir das densidades e da maneira como a massa se distribui, compara suas temperaturas e atmosferas, e termina com as luas e os pequenos corpos que guardam o registro da juventude do Sistema Solar.

**O que você já sabe.**

Os planetas giram em torno do Sol em elipses, e o quadrado do período de um satélite é proporcional ao cubo do seu semieixo maior (terceira lei de Kepler, no volume de física do primeiro ano, onde também se define o momento de inércia de um sólido; uma esfera homogênea tem $I = \tfrac25MR^2$). Um corpo negro irradia $\sigma T^4$ por unidade de área (no segundo ano). O Sistema Solar e os seus planetas rochosos e gigantes foram descritos no Livro 1 (6º ano); o albedo e a [temperatura de equilíbrio](#def-b1-comparative-planetology-equilibrium-temperature) de um planeta foram vistos no Livro 2 (10º ano), e o efeito estufa, no Livro 1 (9º ano).

![Os quatro planetas rochosos em escala, da esquerda para a direita Mercúrio, Vênus, a Terra e Marte (distâncias fora de escala; Vênus vista na luz visível, com a superfície escondida sob as nuvens). NASA, domínio público.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-comparative-planetology/img-dcb26b92eaba.jpg)

*Os quatro planetas rochosos em escala, da esquerda para a direita Mercúrio, Vênus, a Terra e Marte (distâncias fora de escala; Vênus vista na luz visível, com a superfície escondida sob as nuvens). NASA, domínio público.*

## 3.1 Pesando e medindo os planetas

O raio de um planeta é medido a partir do seu diâmetro angular e da sua distância, ou, para um planeta visitado por sondas, por altimetria de radar e de laser. Sua massa é mais difícil: ela só se manifesta pela atração gravitacional que o planeta exerce sobre outro corpo.

**Método 3.1 (A massa de um planeta a partir da órbita de um satélite).**

Para um satélite de massa desprezível, em uma órbita quase circular de raio (semieixo maior) $a$ e período sideral $T$ em torno de um planeta de massa $M$:

1. converta $a$ para metros e $T$ para segundos;
2. a terceira lei de Kepler dá $GM = 4\pi^2a^3/T^2$ : esse produto é o que a órbita mede, e com precisão muito maior que a de $G$ em si;
3. divida por $G = 6.6743 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$ para obter $M$ .

Um planeta sem lua (Mercúrio, Vênus) é pesado do mesmo modo, a partir da órbita, ou do desvio, de uma sonda que passa por ele.

**Exemplo 3.2.**

Io, a maior lua interna de Júpiter, orbita a $a = 421.8 \times 10^{3}\,\mathrm{km}$ em $1.769\,138$ dias, isto é, $T = 152\,854\,\mathrm{s}$. Então

$$
GM = \frac{4\pi^2\times(4.218 \times 10^{8}\,\mathrm{m})^3}{(152\,854\,\mathrm{s})^2}
  = 1.268 \times 10^{17}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}, \qquad
  M = \frac{1.268 \times 10^{17}}{6.6743 \times 10^{-11}} = 1.900 \times 10^{27}\,\mathrm{kg},
$$

o que concorda com a massa tabelada de Júpiter, $1.898 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$, com $0.1\,\%$. A massa de Io, $4.7 \times 10^{-5}$ da de Júpiter, é desprezível; o pequeno excesso vem do abaulamento equatorial de Júpiter, que puxa uma lua próxima um pouco mais forte do que o faria uma esfera de mesma massa.

Com a massa e o raio vem a densidade média $\bar\rho =
3M/(4\pi R^3)$, a primeira pista do que é um planeta. As densidades dos planetas se dividem em dois grupos (veja a figura abaixo): Mercúrio, Vênus, a Terra e Marte situam-se entre cerca de $3900$ e $5500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, mais densos do que qualquer rocha comum; os quatro planetas externos situam-se entre $690$ e $1640\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, perto da densidade da água, e Saturno até abaixo dela.

![Densidade média em função do raio (escala logarítmica) dos oito planetas (cheios: rochosos, gigantes gasosos e gigantes de gelo), da Lua e de Plutão (círculos vazios). Dados da ficha planetária da NASA.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-comparative-planetology/fig-9d5526d7c22d.svg)

*Densidade média em função do raio (escala logarítmica) dos oito planetas (cheios: rochosos, [gigantes gasosos](#def-b1-comparative-planetology-planet-types) e [gigantes de gelo](#def-b1-comparative-planetology-planet-types)), da Lua e de Plutão (círculos vazios). Dados da ficha planetária da NASA.*

A densidade média, sozinha, não consegue dizer se um planeta é feito de um só material denso ou se tem um centro muito denso e um envelope mais leve. Um segundo número consegue: como a massa se distribui entre o centro e a superfície.

**Definição 3.3 (Fator de momento de inércia).**

O *fator de momento de inércia* de um planeta é o número

$$
C = \frac{I}{MR^2} ,
$$

onde $I$ é o seu momento de inércia em torno do eixo de rotação, $M$ a sua massa e $R$ o seu raio médio. Uma esfera homogênea tem $C = \tfrac25 = 0.4$; um planeta cuja densidade cresce em direção ao centro tem $C < 0.4$, tanto menor quanto mais a massa estiver concentrada.

O momento de inércia é medido a partir da lenta precessão do eixo de rotação sob a atração do Sol, junto com o achatamento do campo gravitacional do planeta. Os valores são reveladores: a Lua, com $C = 0.394$, é quase homogênea; Marte, com $0.366$, e a Terra, com $0.3308$, são claramente estratificados; Júpiter, com $0.254$, e Saturno, com $0.210$, têm a maior parte da massa concentrada em direção ao centro.

## 3.2 Do que são feitos os planetas

**Definição 3.4 (Planetas terrestres e gigantes).**

Um *planeta terrestre* é um planeta feito sobretudo de rocha silicatada e ferro, com superfície sólida: Mercúrio, Vênus, a Terra e Marte. Um *planeta gigante* é um planeta muitas vezes mais massivo que a Terra, feito sobretudo de elementos leves e seus compostos, e sem superfície sólida. Um *gigante gasoso* é um planeta gigante feito sobretudo de hidrogênio e hélio: Júpiter e Saturno. Um *gigante de gelo* é um planeta gigante feito sobretudo dos compostos que os astrônomos chamam de gelos — água, metano e amônia — sob um envelope de hidrogênio e hélio: Urano e Netuno.

As atmosferas que as sondas e os telescópios medem confirmam a divisão. A de Júpiter é de $89.8\,\%$ de hidrogênio e $10.2\,\%$ de hélio em volume, a de Saturno, $96.3\,\%$ e $3.25\,\%$; no caso de Urano, pelo menos $80\,\%$ da massa é um fluido denso e quente de água, metano e amônia sobre um pequeno núcleo rochoso. A densidade média de um [gigante gasoso](#def-b1-comparative-planetology-planet-types) permanece baixa, embora o seu centro seja fortemente comprimido, porque o hidrogênio é o elemento mais leve; um [gigante de gelo](#def-b1-comparative-planetology-planet-types) é mais denso que Saturno porque os seus gelos são mais pesados que o hidrogênio.

Os [planetas terrestres](#def-b1-comparative-planetology-planet-types) são estratificados como a Terra: um núcleo rico em ferro sob um manto silicatado e uma crosta fina. O modelo mais simples que usa os dois números medidos, a densidade média e o [fator de momento de inércia](#def-b1-comparative-planetology-moi), tem duas camadas.

**Proposição 3.5 (O planeta de duas camadas).**

Considere um planeta de raio $R$ como um núcleo de raio $xR$ e densidade uniforme $\rho_c$ dentro de um manto de densidade uniforme $\rho_m$. Sua densidade média e seu [fator de momento de inércia](#def-b1-comparative-planetology-moi) são

$$
\bar\rho = \rho_m + (\rho_c - \rho_m)\,x^3 , \qquad
  C = \frac25\,\frac{\rho_m + (\rho_c - \rho_m)\,x^5}{\bar\rho} .
$$

Dados $\bar\rho$, $C$ e uma densidade presumida para o manto, $\rho_m$, o raio relativo do núcleo segue:

$$
x^2 = \frac{\tfrac52C\bar\rho - \rho_m}{\bar\rho - \rho_m} ,
  \qquad \rho_c = \rho_m + \frac{\bar\rho - \rho_m}{x^3} .
$$

**Demonstração.** O planeta é uma esfera homogênea de densidade $\rho_m$ e raio $R$, mais uma esfera de raio $xR$ com o excesso de densidade $\rho_c - \rho_m$. As massas se somam: $M = \tfrac43\pi R^3[\rho_m + (\rho_c - \rho_m)x^3]$, e dividindo pelo volume obtém-se $\bar\rho$. Os momentos de inércia em torno do mesmo eixo também se somam; uma esfera homogênea de densidade $\rho$ e raio $r$ tem $I = \tfrac25\cdot\tfrac43\pi\rho r^3\cdot r^2 = \tfrac{8\pi}{15}\rho r^5$, logo $I = \tfrac{8\pi}{15}R^5[\rho_m + (\rho_c - \rho_m)x^5]$. Dividindo por $MR^2 = \tfrac43\pi\bar\rho R^5$ obtém-se $C$. Por fim, as duas equações ficam $(\rho_c - \rho_m)x^3 = \bar\rho - \rho_m$ e $(\rho_c - \rho_m)x^5 =
\tfrac52C\bar\rho - \rho_m$; dividindo a segunda pela primeira obtém-se $x^2$, e a primeira dá $\rho_c$. ∎

O modelo tem três incógnitas e dois dados, de modo que uma delas, a densidade do manto, deve ser presumida a partir do que rochas de composição adequada pesam sob pressão. A resposta é sensível a essa escolha quando $C$ está perto de $0.4$, porque $\tfrac52C\bar\rho - \rho_m$ é então uma pequena diferença de números grandes ([Exercício 3.10](#exo-b1-comparative-planetology-10) e o problema). O modelo também ignora a compressão do manto pelo próprio peso, que, num planeta do tamanho da Terra, eleva a densidade do manto profundo bem acima da das rochas da superfície; para a Terra, a sismologia faz muito melhor ([Capítulo 9](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada#ch-b1-layered-earth)). Sismômetros colocados em Marte fizeram agora o mesmo para esse planeta: onde a tabela planetária dá um raio de núcleo de $1830\,\mathrm{km}$, os resultados recentes indicam apenas $1650\,\mathrm{km}$ a $1675\,\mathrm{km}$.

![A Terra e Marte em escala, com os seus núcleos. Para Marte, a borda cheia é o raio do núcleo da tabela planetária, e o círculo tracejado é o raio menor indicado pelos resultados sísmicos recentes. Os dois núcleos são ricos em ferro; o da Terra tem uma parte interna sólida, que não está desenhada.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-comparative-planetology/fig-94ef1dbfa1f9.svg)

*A Terra e Marte em escala, com os seus núcleos. Para Marte, a borda cheia é o raio do núcleo da tabela planetária, e o círculo tracejado é o raio menor indicado pelos resultados sísmicos recentes. Os dois núcleos são ricos em ferro; o da Terra tem uma parte interna sólida, que não está desenhada.*

## 3.3 Atmosferas e superfícies

A temperatura de um planeta é fixada, em primeiro lugar, pela luz solar que ele absorve. A irradiância $S$ a uma distância $d$ do Sol cai como $1/d^2$ ([Proposição 2.11](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/2-telescopios-detectores-e-fotometria#prop-b1-observing-the-sky-inverse-square)): $1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ na Terra, $2601\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ em Vênus, $586\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ em Marte, $50\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ em Júpiter. Parte dela é refletida de volta, diretamente.

**Definição 3.6 (Albedo de Bond).**

O *albedo de Bond* $A$ de um planeta é a fração da potência total da luz solar que incide sobre ele e que ele reflete e espalha de volta ao espaço, em todos os comprimentos de onda e em todas as direções.

Neve fresca e nuvens brilhantes refletem muito; rocha escura e mar aberto, pouco. Vênus, envolto em nuvens brilhantes, tem $A = 0.77$; a Terra, $0.294$; Marte, $0.250$; a Lua, rocha cinzenta escura, $0.11$.

**Definição 3.7 (Temperatura de equilíbrio).**

A *temperatura de equilíbrio* $T_\mathrm{eq}$ de um planeta é a temperatura uniforme à qual um corpo negro do tamanho do planeta irradiaria para o espaço exatamente a potência que o planeta absorve do Sol.

**Proposição 3.8 (Temperatura de equilíbrio).**

Um planeta de [albedo de Bond](#def-b1-comparative-planetology-albedo) $A$ que recebe a irradiância $S$ tem

$$
T_\mathrm{eq} = \left(\frac{S(1 - A)}{4\sigma}\right)^{1/4},
  \qquad \sigma = 5.6704 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4} .
$$

**Demonstração.** O planeta intercepta a luz solar que incide sobre a sua seção transversal, um disco de área $\pi R^2$, e absorve a fração $1 - A$: absorve $S(1 - A)\pi
R^2$. Um corpo negro (lei de Stefan–Boltzmann, recordada do volume de física do segundo ano) à temperatura uniforme $T$ irradia $\sigma T^4$ de cada metro quadrado de toda a sua superfície, $4\pi R^2$. Igualando as duas potências, $4\pi R^2\sigma T^4 = S(1 - A)\pi R^2$, e o fator 4 é a razão entre a área da esfera e a sua seção transversal. ∎

Com os valores acima, $T_\mathrm{eq}$ é $255\,\mathrm{K}$ para a Terra, $227\,\mathrm{K}$ para Vênus, $210\,\mathrm{K}$ para Marte e $270\,\mathrm{K}$ para a Lua. Vênus, embora mais próxima do Sol, sai mais fria que a Terra: suas nuvens refletem três quartos da luz solar. A figura abaixo põe esses valores ao lado das temperaturas médias da superfície medidas. As diferenças são o efeito estufa, que os parágrafos seguintes e os capítulos sobre o clima ([Capítulo 27](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/27-radiacao-e-transporte-de-calor#ch-b1-radiation-heat-transport)) tornam quantitativo: cerca de $33\,\mathrm{K}$ para a Terra, cerca de $510\,\mathrm{K}$ para Vênus, apenas cerca de $4\,\mathrm{K}$ para Marte.

![Temperatura de equilíbrio (calculada a partir da irradiância e do albedo de Bond) e temperatura média medida na superfície de quatro corpos. A atmosfera aquece a Terra e, sobretudo, Vênus; a atmosfera fina de Marte pouco faz; a Lua, sem ar, é em média mais fria que a sua temperatura de equilíbrio.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-comparative-planetology/fig-1130beb2c8c5.svg)

*[Temperatura de equilíbrio](#def-b1-comparative-planetology-equilibrium-temperature) (calculada a partir da irradiância e do [albedo de Bond](#def-b1-comparative-planetology-albedo)) e temperatura média medida na superfície de quatro corpos. A atmosfera aquece a Terra e, sobretudo, Vênus; a atmosfera fina de Marte pouco faz; a Lua, sem ar, é em média mais fria que a sua [temperatura de equilíbrio](#def-b1-comparative-planetology-equilibrium-temperature).*

A temperatura média da Lua, de cerca de $253\,\mathrm{K}$, fica abaixo da sua [temperatura de equilíbrio](#def-b1-comparative-planetology-equilibrium-temperature). Isso não é um paradoxo: sem atmosfera nem oceano para transportar calor, o lado iluminado é muito quente e o lado noturno muito frio, e, como a emissão cresce com $T^4$, um corpo de temperaturas desiguais irradia a potência absorvida com uma temperatura média menor do que um corpo uniforme ([Exercício 3.11](#exo-b1-comparative-planetology-11)).

Uma atmosfera faz duas coisas: deixa passar a maior parte da luz solar e absorve parte do infravermelho que o solo emite, reirradiando uma parte dele para baixo. Quanto ela aquece a superfície depende de quanto gás absorvente há acima de cada metro quadrado. A pressão na superfície mede exatamente isso: $p = mg$ para uma coluna de massa $m$ por metro quadrado. A atmosfera de Vênus, a $92\,\mathrm{bar}$, é $96.5\,\%$ de dióxido de carbono; a de Marte, com apenas $6.36\,\mathrm{mbar}$ em média, é também $95.1\,\%$ de dióxido de carbono, mas tem cerca de sessenta vezes menos gás acima de cada metro quadrado do que a da Terra, e muito pouco vapor de água. Os dois planetas têm atmosferas de dióxido de carbono; só um deles tem uma atmosfera espessa.

![À esquerda: a superfície de Vênus vista através das nuvens pelo radar da sonda Magellan, mapeada sobre um globo simulado por computador (as cores são simuladas). À direita: Marte vista pela sonda Viking 1, um mosaico centrado no sistema de cânions de Valles Marineris. NASA/JPL e NASA/USGS, domínio público.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-comparative-planetology/img-32b18948ae9d.jpg)

![À esquerda: a superfície de Vênus vista através das nuvens pelo radar da sonda Magellan, mapeada sobre um globo simulado por computador (as cores são simuladas). À direita: Marte vista pela sonda Viking 1, um mosaico centrado no sistema de cânions de Valles Marineris. NASA/JPL e NASA/USGS, domínio público.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-comparative-planetology/img-65a5ea728d55.jpg)

*À esquerda: a superfície de Vênus vista através das nuvens pelo radar da sonda Magellan, mapeada sobre um globo simulado por computador (as cores são simuladas). À direita: Marte vista pela sonda Viking 1, um mosaico centrado no sistema de cânions de Valles Marineris. NASA/JPL e NASA/USGS, domínio público.*

As superfícies guardam o registro do que as moldou. Crateras de impacto se acumulam em qualquer superfície exposta ao espaço; uma superfície muito craterada, como a maior parte da Lua ou de Mercúrio, é antiga, e uma superfície com poucas crateras foi renovada: por fluxos de lava, pela erosão ou pelas placas que levam o assoalho oceânico da Terra de volta ao manto. Planícies vulcânicas e vulcões são encontrados em todos os [planetas terrestres](#def-b1-comparative-planetology-planet-types). Falhas, riftes e cinturões dobrados mostram que as litosferas de Vênus e de Marte foram deformadas; mas, de todos os planetas, só a Terra mostra hoje uma litosfera partida em placas que se movem como blocos rígidos, com dorsais onde se formam e fossas onde afundam. Por que só a Terra tem tectônica de placas ainda é discutido; a presença de água, que enfraquece as rochas, é uma das razões propostas.

## 3.4 Luas e pequenos corpos

A Lua, com um quarto do diâmetro da Terra, é grande para um satélite. Sua densidade, $3340\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, próxima à das rochas do manto terrestre, e seu [fator de momento de inércia](#def-b1-comparative-planetology-moi), próximo de $0.4$, mostram que ela tem no máximo um pequeno núcleo de ferro. Os [planetas gigantes](#def-b1-comparative-planetology-planet-types) têm sistemas de luas que são mundos em si mesmos (veja as fotografias abaixo). Io, a mais interna das quatro grandes luas de Júpiter, é o mundo mais ativo vulcanicamente do Sistema Solar, com centenas de vulcões, aquecida pelas marés que Júpiter nela provoca; o vulcanismo a renova mais depressa do que os impactos conseguem marcá-la com grandes crateras. Europa, de densidade $3010\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, é rocha sob uma crosta de gelo, e há forte indício de um oceano salgado sob essa crosta. Ganimedes e Calisto, de densidades $1940$ e $1830\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, são feitas de rocha e gelo em quantidades comparáveis. Titã, a maior lua de Saturno, é a única lua com uma atmosfera densa, sobretudo de nitrogênio com um pouco de metano, e o único mundo, além da Terra, com rios, lagos e mares na superfície — de metano e etano líquidos; ele também provavelmente esconde um oceano de água.

![Duas das grandes luas de Júpiter vistas pela sonda Galileo. À esquerda, Io, com a superfície pontilhada de centros vulcânicos e colorida por compostos de enxofre e lavas. À direita, Europa em cor natural aproximada; as longas linhas escuras são fraturas em sua crosta de gelo. NASA/JPL/University of Arizona e NASA/JPL/DLR, domínio público.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-comparative-planetology/img-f22b48036d21.jpg)

![Duas das grandes luas de Júpiter vistas pela sonda Galileo. À esquerda, Io, com a superfície pontilhada de centros vulcânicos e colorida por compostos de enxofre e lavas. À direita, Europa em cor natural aproximada; as longas linhas escuras são fraturas em sua crosta de gelo. NASA/JPL/University of Arizona e NASA/JPL/DLR, domínio público.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-comparative-planetology/img-12c31991fca4.jpg)

*Duas das grandes luas de Júpiter vistas pela sonda Galileo. À esquerda, Io, com a superfície pontilhada de centros vulcânicos e colorida por compostos de enxofre e lavas. À direita, Europa em cor natural aproximada; as longas linhas escuras são fraturas em sua crosta de gelo. NASA/JPL/University of Arizona e NASA/JPL/DLR, domínio público.*

**Definição 3.9 (Asteroide, cometa, objeto transnetuniano).**

Um *asteroide* é um pequeno corpo rochoso ou metálico que orbita o Sol, pequeno demais para ser um planeta e sem o envelope de gás e poeira de um cometa; a maioria orbita entre Marte e Júpiter. Um *cometa* é um pequeno corpo de gelo e poeira que, quando sua órbita o aproxima do Sol, libera gás e poeira que formam um envoltório luminoso em torno dele e caudas apontando para longe do Sol. Um *objeto transnetuniano* é um corpo do Sistema Solar cuja órbita fica, em média, além da de Netuno.

Os [objetos transnetunianos](#def-b1-comparative-planetology-small-bodies) do Cinturão de Kuiper, uma zona em forma de disco além de Netuno, são corpos de gelo e rocha restos da formação dos planetas; Plutão, classificado como planeta anão desde 2006, é um deles. Os [asteroides](#def-b1-comparative-planetology-small-bodies) são os destroços de uma região onde nenhum planeta se formou. Fragmentos de [asteroides](#def-b1-comparative-planetology-small-bodies), e alguns da Lua e de Marte, caem sobre a Terra como meteoritos. São as únicas amostras de outros mundos em nossas mãos, além das trazidas por sondas, e alguns deles mudaram pouco desde a formação do Sistema Solar; suas classes, e o que dizem sobre a composição da Terra e a idade do Sistema Solar, são o assunto do Livro 4.

## 3.5 Exercícios

**Exercício 3.1 ★.**

Júpiter tem massa de $1898.13 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ e raio médio de $69\,911\,\mathrm{km}$. Calcule sua densidade média e compare-a com a da água, $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

**Solução de Exercício 3.1.**

$V = \tfrac43\pi(6.9911 \times 10^{7}\,\mathrm{m})^3 = 1.4313 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{3}$ e $\bar\rho = 1898.13 \times 10^{24}/1.4313 \times 10^{24} = 1326\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, apenas 1.33 vezes a densidade da água, embora Júpiter tenha massa 318 vezes maior que a da Terra: ela é feita sobretudo dos elementos mais leves.

**Exercício 3.2 ★.**

Usando a figura das densidades e dos raios, classifique Mercúrio, Saturno, Urano e Vênus como [planetas terrestres](#def-b1-comparative-planetology-planet-types), [gigantes gasosos](#def-b1-comparative-planetology-planet-types) ou [gigantes de gelo](#def-b1-comparative-planetology-planet-types), e justifique cada escolha pelo seu raio e pela sua densidade.

**Solução de Exercício 3.2.**

Mercúrio (raio $2440\,\mathrm{km}$, $5429\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$) e Vênus ($6052\,\mathrm{km}$, $5243\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$) são pequenos e mais densos que a rocha: [planetas terrestres](#def-b1-comparative-planetology-planet-types), de rocha e ferro. Saturno ($60\,268\,\mathrm{km}$, $687\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$) é enorme e mais leve que a água: um [gigante gasoso](#def-b1-comparative-planetology-planet-types), sobretudo de hidrogênio e hélio. Urano ($25\,559\,\mathrm{km}$, $1270\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$) é um gigante, mas muito menor que Saturno e quase duas vezes mais denso: um [gigante de gelo](#def-b1-comparative-planetology-planet-types), cujos gelos de água, metano e amônia são mais pesados que o hidrogênio.

**Exercício 3.3 ★.**

Vênus recebe $2601.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ e tem [albedo de Bond](#def-b1-comparative-planetology-albedo) de 0.77. Calcule sua [temperatura de equilíbrio](#def-b1-comparative-planetology-equilibrium-temperature). Por que ela é mais baixa que a da Terra, embora Vênus esteja mais perto do Sol?

**Solução de Exercício 3.3.**

$T_\mathrm{eq} = (2601.3\times0.23/(4\times5.6704 \times 10^{-8}))^{1/4} =
(2.638 \times 10^{9})^{1/4} = 226.6\,\mathrm{K}$. Vênus recebe 1.9 vezes mais luz solar que a Terra, mas as suas nuvens refletem $77\,\%$ dela: absorve apenas $2601.3\times0.23 = 598\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ contra $1361\times0.706 = 961\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ da Terra.

**Exercício 3.4 ★.**

Ordene a Lua ($C = 0.394$), Marte (0.366), a Terra (0.3308), Júpiter (0.254) e Saturno (0.210) do mais homogêneo ao mais concentrado no centro. Qual seria $C$ para um planeta cuja massa inteira estivesse concentrada em um ponto no seu centro?

**Solução de Exercício 3.4.**

Do mais homogêneo ao mais concentrado: a Lua, Marte, a Terra, Júpiter, Saturno. Uma massa pontual no centro tem $I = 0$, logo $C = 0$.

**Exercício 3.5 ★★.**

Titã orbita Saturno a $a = 1221.87 \times 10^{3}\,\mathrm{km}$ em $15.945\,421$ dias. Calcule a massa de Saturno e compare-a com o valor tabelado de $568.32 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

**Solução de Exercício 3.5.**

$T = 15.945421\times86400 = 1\,377\,684\,\mathrm{s}$; $GM = 4\pi^2(1.221\,87 \times 10^{9})^3/1\,377\,684^2 = 3.794 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$; $M = 3.794 \times 10^{16}/6.6743 \times 10^{-11} = 5.685 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}$, dentro de $0.03\,\%$ de $568.32 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

**Exercício 3.6 ★★.**

A Terra recebe $1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ a $149.6 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ do Sol. Calcule a irradiância em Marte ($228.0 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$) e em Júpiter ($778.5 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$), e compare-as com os valores tabelados de $586.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ e $50.26\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

**Solução de Exercício 3.6.**

$S = 1361\times(149.6/228.0)^2 = 585.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ em Marte e $1361\times(149.6/778.5)^2 = 50.26\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ em Júpiter, de acordo com as tabelas (a pequena diferença em Marte vem do arredondamento das distâncias médias).

**Exercício 3.7 ★★.**

Mostre que, para um dado albedo, $T_\mathrm{eq}$ varia como $d^{-1/2}$. Calcule $T_\mathrm{eq}$ para Júpiter ($S = 50.26\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $A = 0.343$). Se fosse constatado que Júpiter irradia mais potência do que absorve do Sol, o que isso implicaria sobre o seu interior?

**Solução de Exercício 3.7.**

$S \propto d^{-2}$ e $T_\mathrm{eq} \propto S^{1/4}$, logo $T_\mathrm{eq}
\propto d^{-1/2}$. Para Júpiter, $T_\mathrm{eq} = (50.26\times0.657/(4\times
5.6704 \times 10^{-8}))^{1/4} = 109.8\,\mathrm{K}$. Um planeta que irradia mais do que absorve deve ter uma fonte interna de calor: Júpiter estaria liberando calor armazenado desde a sua formação, ou produzido à medida que se contrai lentamente.

**Exercício 3.8 ★★.**

Calcule o aquecimento por efeito estufa, $T_\mathrm{surf} - T_\mathrm{eq}$, de Vênus ($737\,\mathrm{K}$), da Terra ($288\,\mathrm{K}$, $A = 0.294$) e de Marte ($214\,\mathrm{K}$). Exprima cada um como fração de $T_\mathrm{eq}$.

**Solução de Exercício 3.8.**

Vênus: $737 - 226.6 = 510\,\mathrm{K}$, $225\,\%$ de $T_\mathrm{eq}$. A Terra: $T_\mathrm{eq} = (1361\times0.706/(4\sigma))^{1/4} = 255.1\,\mathrm{K}$, $288 - 255.1 = 33\,\mathrm{K}$, $13\,\%$. Marte: $214 - 209.8 =
4\,\mathrm{K}$, $2\,\%$.

**Exercício 3.9 ★★.**

Para uma esfera homogênea, mostre que $C = 0.4$ integrando os momentos de inércia de cascas esféricas finas (uma casca de raio $r$ e massa $\mathrm dm$ tem $\mathrm dI = \tfrac23 r^2\,\mathrm dm$). Que valor tem uma casca oca de raio $R$?

**Solução de Exercício 3.9.**

Com $\mathrm dm = 4\pi\rho r^2\,\mathrm dr$: $I = \int_0^R\tfrac23r^2\,4\pi
\rho r^2\,\mathrm dr = \tfrac{8\pi}{15}\rho R^5$, e $MR^2 = \tfrac43\pi\rho
R^5$, logo $C = \tfrac{8}{15}\cdot\tfrac34 = \tfrac25$. Uma casca oca tem toda a sua massa em $r = R$: $I = \tfrac23MR^2$, $C = \tfrac23$.

**Exercício 3.10 ★★★.**

Mercúrio tem $\bar\rho = 5429\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $C = 0.35$ e raio de $2439.7\,\mathrm{km}$. Com uma densidade de manto de $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, use o modelo de duas camadas para encontrar o raio do seu núcleo, a densidade do núcleo e a fração de sua massa no núcleo. O que há de notável em Mercúrio?

**Solução de Exercício 3.10.**

$\tfrac52C\bar\rho = 2.5\times0.35\times5429 = 4750.4$; $x^2 = (4750.4 - 3300)/(5429 - 3300) = 1450.4/2129 = 0.6812$, $x = 0.8254$, raio do núcleo $0.8254\times2439.7 = 2014\,\mathrm{km}$. $x^3 = 0.5623$ e $\rho_c = 3300 + 2129/0.5623 = 7086\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. O núcleo contém $0.5623\times7086/5429 = 73\,\%$ da massa. O núcleo de Mercúrio atinge $83\,\%$ do seu raio, contra $3485/6371 =
55\,\%$ na Terra: Mercúrio é sobretudo núcleo, com um manto rochoso fino.

**Exercício 3.11 ★★★.**

Modele um corpo sem ar cujo hemisfério diurno está à temperatura uniforme $T_1$ e o noturno a $T_2$, irradiando juntos a potência absorvida. (a) Mostre que, se $T_1^4 + T_2^4 = 2T_\mathrm{eq}^4$, a temperatura média $(T_1 + T_2)/2$ é no máximo $T_\mathrm{eq}$, com igualdade apenas quando $T_1 = T_2$. (b) Para a Lua, $T_\mathrm{eq} = 270\,\mathrm{K}$; tome $T_2 = 100\,\mathrm{K}$. Calcule $T_1$ e a temperatura média.

**Solução de Exercício 3.11.**

(a) A função $t\mapsto t^4$ é convexa, logo $\bigl(\tfrac{T_1 + T_2}{2}\bigr)^4 \le \tfrac{T_1^4 + T_2^4}{2} =
T_\mathrm{eq}^4$, com igualdade apenas se $T_1 = T_2$. (b) $T_1^4 =
2\times270^4 - 100^4 = 1.0529 \times 10^{10}$, $T_1 = 320\,\mathrm{K}$, e a temperatura média é $(320 + 100)/2 = 210\,\mathrm{K}$, $60\,\mathrm{K}$ abaixo de $T_\mathrm{eq}$.

**Exercício 3.12 ★★★.**

Vênus tem raio de $6051.8\,\mathrm{km}$, gravidade na superfície de $8.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ e pressão superficial de $92\,\mathrm{bar}$. Calcule a massa de sua atmosfera, compare-a com a da atmosfera terrestre, $5.1 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$, e com a massa de Vênus, $4.8673 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$. O que a comparação sugere sobre onde está guardado o dióxido de carbono da Terra?

**Solução de Exercício 3.12.**

$m = 4\pi R^2p/g = 4\pi\times(6.0518 \times 10^{6})^2\times9.2 \times 10^{6}/8.9 =
4.602 \times 10^{14}\times1.034 \times 10^{6} = 4.76 \times 10^{20}\,\mathrm{kg}$: 93 vezes a massa da atmosfera terrestre, e $9.8 \times 10^{-5}$ da massa de Vênus. A Terra guarda uma quantidade comparável de carbono, não no ar, mas em rochas carbonatadas (calcários) e no oceano, onde a água líquida permitiu armazená-lo.

## 3.6 Problema: pesando e sondando Marte

**Problema 3.1.**

Problema de fim de semana — a massa de Marte a partir da sua lua, da sua densidade e temperatura, e o tamanho do seu núcleo

Fobos, a maior lua de Marte, orbita a uma distância média de $9378\,\mathrm{km}$ do centro de Marte em $0.318\,91$ dias. Marte tem raio médio de $3389.5\,\mathrm{km}$, período de rotação de $24.6\,\mathrm{h}$, [fator de momento de inércia](#def-b1-comparative-planetology-moi) $C = 0.366$, [albedo de Bond](#def-b1-comparative-planetology-albedo) de 0.250 e pressão superficial média de $6.36\,\mathrm{mbar}$; recebe $586.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ do Sol, e sua temperatura média na superfície é de cerca de $214\,\mathrm{K}$. Fobos tem massa de $1.06 \times 10^{16}\,\mathrm{kg}$. Tome $G = 6.6743 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$ e $\sigma = 5.6704 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$.

**Parte I — Pesando Marte.**

1. Converta o período de Fobos para segundos.
2. Calcule $GM$ para Marte.
3. Deduza a massa de Marte.
4. É correto desprezar a massa de Fobos?
5. Calcule a velocidade orbital de Fobos.
6. Compare o período de Fobos com a rotação de Marte. Em que sentido Fobos cruza o céu de Marte?

**Parte II — Densidade e gravidade.**

7. Calcule o volume de Marte.
8. Calcule a sua densidade média, arredondada a $10\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ .
9. Compare-a com a da Terra, $5514\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ . Dê duas razões pelas quais a Terra é mais densa.
10. Calcule a gravidade na superfície de Marte.
11. Calcule a velocidade de escape a partir da superfície de Marte.

**Parte III — Temperatura e atmosfera.**

12. Calcule a [temperatura de equilíbrio](#def-b1-comparative-planetology-equilibrium-temperature) de Marte.
13. Compare-a com a temperatura média da superfície. Qual é a magnitude do aquecimento por efeito estufa?
14. Calcule a massa da atmosfera acima de cada metro quadrado de Marte e compare-a com a da Terra ( $p = 1014\,\mathrm{hPa}$ , $g = 9.82\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ ).
15. Calcule a massa total da atmosfera de Marte.
16. A atmosfera de Marte é de $95\,\%$ de dióxido de carbono, e no entanto seu aquecimento por efeito estufa é pequeno. Sugira por quê.

**Parte IV — O núcleo de Marte.**

17. Qual seria $C$ se Marte fosse homogêneo? O que o valor medido nos diz?
18. Escreva a densidade média de um Marte de duas camadas em função do raio relativo do núcleo $x$ , da densidade do manto $\rho_m$ e da densidade do núcleo $\rho_c$ .
19. Escreva o seu [fator de momento de inércia](#def-b1-comparative-planetology-moi) nos mesmos termos.
20. Mostre que $x^2 = (\tfrac52C\bar\rho - \rho_m)/(\bar\rho - \rho_m)$ .
21. Com a densidade média da questão 8 e $\rho_m =  3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ , calcule $x$ e a densidade do núcleo.
22. Qual fração da massa de Marte está no núcleo?
23. Repita a questão 21 com $\rho_m = 3450$ e $3550\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ . O que você conclui sobre a precisão do modelo?
24. Dê o raio do núcleo de Marte pelo modelo com $\rho_m = 3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ , e compare-o com o valor da tabela planetária, $1830\,\mathrm{km}$ , e com o resultado sísmico recente, $1650\,\mathrm{km}$ a $1675\,\mathrm{km}$ .

**Solução de Problema 3.1.**

**1.** $T = 0.31891\times86400 = 27\,553.8\,\mathrm{s}$.

**2.** $GM = 4\pi^2\times(9.378 \times 10^{6})^3/27\,553.8^2 =
4.289 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$.

**3.** $M = 4.289 \times 10^{13}/6.6743 \times 10^{-11} = 6.426 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$, dentro de $0.14\,\%$ do valor tabelado $6.4169 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$.

**4.** $1.06 \times 10^{16}/6.426 \times 10^{23} = 1.6 \times 10^{-8}$: Fobos é desprezível.

**5.** $v = 2\pi a/T = 2\pi\times9.378 \times 10^{6}/27553.8 =
2138\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, cerca de $2.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**6.** $T = 7.65\,\mathrm{h}$, 3.2 vezes menor que a rotação de Marte: Fobos dá a volta mais depressa do que o solo gira sob ele, de modo que ultrapassa a rotação. Visto de Marte, ele nasce a oeste e se põe a leste.

**7.** $V = \tfrac43\pi(3.3895 \times 10^{6})^3 = 1.6312 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$.

**8.** $\bar\rho = 6.426 \times 10^{23}/1.6312 \times 10^{20} = 3939$, isto é, $3940\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

**9.** $3940/5514 = 0.715$. A Terra, maior e mais massiva, comprime mais fortemente o seu próprio interior; e o seu núcleo de ferro é uma parcela maior do planeta.

**10.** $g = GM/R^2 = 4.289 \times 10^{13}/(3.3895 \times 10^{6})^2 =
3.73\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $38\,\%$ da gravidade terrestre.

**11.** $v_\mathrm{esc} = \sqrt{2GM/R} = \sqrt{2\times4.289 \times 10^{13}/
3.3895 \times 10^{6}} = 5.03\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**12.** $T_\mathrm{eq} = (586.2\times0.75/(4\times5.6704 \times 10^{-8}))^{1/4}
= 209.8\,\mathrm{K}$.

**13.** $214 - 209.8 = 4\,\mathrm{K}$: um aquecimento por efeito estufa fraco.

**14.** $m = p/g = 636/3.733 = 170\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$; para a Terra, $101400/9.82 = 10\,326\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, 61 vezes mais.

**15.** $4\pi R^2\times170.4 = 1.444 \times 10^{14}\times170.4 =
2.46 \times 10^{16}\,\mathrm{kg}$.

**16.** Sobre cada metro quadrado há sessenta vezes menos gás do que na Terra, de modo que a absorção no infravermelho, embora feita pelo dióxido de carbono, é fraca; e o ar de Marte contém muito pouco vapor de água, o outro grande absorvedor.

**17.** Um Marte homogêneo teria $C = 0.4$; o valor medido, 0.366, mostra que a sua densidade cresce em direção ao centro: Marte tem um núcleo denso.

**18.** $\bar\rho = \rho_m + (\rho_c - \rho_m)x^3$.

**19.** $C = \tfrac25[\rho_m + (\rho_c - \rho_m)x^5]/\bar\rho$.

**20.** De 18 e 19, $(\rho_c - \rho_m)x^3 = \bar\rho - \rho_m$ e $(\rho_c - \rho_m)x^5 = \tfrac52C\bar\rho - \rho_m$; dividindo, obtém-se $x^2$.

**21.** $\tfrac52C\bar\rho = 2.5\times0.366\times3940 = 3605.1$; $x^2 = (3605.1 - 3500)/(3940 - 3500) = 105.1/440 = 0.2389$, $x = 0.4887$. $x^3 = 0.1167$ e $\rho_c = 3500 + 440/0.1167 = 7269\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

**22.** $x^3\rho_c/\bar\rho = 0.1167\times7269/3940 = 0.215$, isto é, $21.5\,\%$ da massa.

**23.** Com $\rho_m = 3450$: $x^2 = 155.1/490 = 0.3165$, $x = 0.5626$, raio do núcleo $1907\,\mathrm{km}$, $\rho_c = 6202\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Com $\rho_m =
3550$: $x^2 = 55.1/390 = 0.1413$, $x = 0.3759$, $1274\,\mathrm{km}$, $\rho_c = 10\,894\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Uma variação de $1.4\,\%$ na densidade presumida do manto desloca o raio do núcleo em várias centenas de quilômetros: a densidade média e $C$ sozinhos não bastam para fixar com precisão o núcleo de Marte, e por isso sismômetros foram enviados para lá.

**24.** $0.4887\times3389.5 = 1657\,\mathrm{km}$: o raio do núcleo de Marte, segundo o modelo, é **cerca de $1660\,\mathrm{km}$**, dentro da faixa obtida pela sismologia recente, de $1650\,\mathrm{km}$ a $1675\,\mathrm{km}$, e bem abaixo dos $1830\,\mathrm{km}$ da tabela planetária — um acordo que a questão 23 mostra ser em parte fruto da sorte na escolha de $\rho_m$.