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title: "Mapas geológicos"
book: "Ciências da Terra e do espaço universitárias — 1.º ano"
subject: earth
language: pt
chapter: 4
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 4 — Mapas geológicos

Um geólogo atravessa uma região de colinas baixas com uma prancheta, um caderno e uma bússola-clinômetro. A maior parte do terreno é de capim, mata ou campo arado; a rocha aparece apenas aqui e ali, na margem de um riacho, num corte de estrada, num paredão. A partir desses vislumbres dispersos, e da forma da topografia, o geólogo precisa dizer qual rocha está sob cada metro quadrado das colinas, como as camadas estão inclinadas, onde estão partidas e em que ordem tudo isso aconteceu. O resultado é um [mapa geológico](#def-b1-geological-maps-geological-map): um desenho plano que codifica um corpo tridimensional de rocha. Este capítulo explica como esse mapa é feito e como se lê — como a [atitude](#def-b1-geological-maps-attitude) de uma superfície é medida e calculada, por que o [afloramento](#def-b1-geological-maps-geological-map) de uma camada desenha os padrões que desenha e como um mapa conta uma história. Seus exemplos vêm de uma região imaginária, mas geologicamente consistente, as Colinas de Varden, que reaparece ao longo deste livro.

**O que você já sabe.**

Um mapa topográfico mostra a topografia com curvas de nível, linhas de igual altitude; sua escala relaciona distâncias no mapa a distâncias no terreno (Livro 1, 9º ano). As idades relativas seguem da superposição (uma camada é mais nova que as camadas abaixo dela, a menos que a sequência tenha sido invertida), do corte transversal (o que corta uma rocha é mais novo que ela) e da inclusão (Livro 1, 7º ano). Uma falha é uma fratura ao longo da qual os dois blocos se deslocaram (Livro 1, 7º ano); a geometria das [dobras](#def-b1-geological-maps-fold) e das falhas é o assunto de [Capítulo 17](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/17-falhas-dobras-e-fabricas#ch-b1-faults-folds-fabrics).

## 4.1 Um mapa é um corte através de três dimensões

**Definição 4.1 (Mapa geológico).**

Um *mapa geológico* mostra, em cada ponto da superfície do terreno, a unidade rochosa que ali se encontra sob o solo, com os *contatos* — as superfícies que separam duas unidades — e as estruturas (falhas, [eixos de dobras](#def-b1-geological-maps-fold), [atitudes](#def-b1-geological-maps-attitude) das camadas) que as afetam. Uma *unidade cartográfica* é um corpo de rocha que pode ser reconhecido e acompanhado no campo e é desenhado em uma cor; seu *afloramento* é a área onde ele se encontra na superfície.

**Definição 4.2 (Modelo digital de elevação).**

Um *modelo digital de elevação* é uma malha de altitudes do terreno, $z = g(x,y)$, em pontos igualmente espaçados. Um sistema de informação geográfica armazena essas malhas e as demais camadas do mapa ([contatos](#def-b1-geological-maps-geological-map), falhas, medidas, sondagens) em um referencial comum de coordenadas, e calcula com elas.

**Proposição 4.3 (O afloramento de um contato).**

Seja o terreno a superfície $z = g(x,y)$ e um contato a superfície $z = c(x,y)$. O traço do contato no mapa é a curva

$$
g(x,y) = c(x,y),
$$

a projeção sobre o plano horizontal da interseção das duas superfícies. A unidade situada acima do contato aflora onde $g > c$.

**Demonstração.** Um ponto do mapa pertence ao traço se e somente se a superfície do terreno nesse ponto pertence ao contato, isto é, $g(x,y) = c(x,y)$. Onde $g(x,y) > c(x,y)$, o terreno está acima do contato: a rocha na superfície pertence à unidade que está acima dele. ∎

**Observação 4.4 (Como os mapas deste livro são desenhados).**

É exatamente assim que um sistema de informação geográfica desenha um mapa a partir de um modelo tridimensional: ele avalia $g - c$ na malha de um [modelo digital de elevação](#def-b1-geological-maps-dem) e traça as curvas onde essa quantidade muda de sinal. Os mapas das Colinas de Varden deste livro foram desenhados dessa maneira, a partir de um modelo geológico em que cada superfície é conhecida.

![As Colinas de Varden como um modelo digital de elevação: o terreno iluminado a partir do noroeste, com curvas de nível a cada 50\, m (mais grossas em 250\, m e 500\, m) e o rio, que corre para leste.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-geological-maps/fig-1c0c039602f9.svg)

*As Colinas de Varden como um [modelo digital de elevação](#def-b1-geological-maps-dem): o terreno iluminado a partir do noroeste, com curvas de nível a cada $50\,\mathrm{m}$ (mais grossas em $250\,\mathrm{m}$ e $500\,\mathrm{m}$) e o rio, que corre para leste.*

![O mapa geológico das Colinas de Varden, com as curvas de nível, o rio, duas atitudes medidas (linha de direção e traço de mergulho, com o mergulho em graus) e a legenda. As idades são as das unidades da região; a falha está escondida sob o aluvião mais jovem do fundo do vale.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-geological-maps/fig-7e6d753f415f.svg)

![O mapa geológico das Colinas de Varden, com as curvas de nível, o rio, duas atitudes medidas (linha de direção e traço de mergulho, com o mergulho em graus) e a legenda. As idades são as das unidades da região; a falha está escondida sob o aluvião mais jovem do fundo do vale.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-geological-maps/fig-d78ffb414d43.svg)

*O [mapa geológico](#def-b1-geological-maps-geological-map) das Colinas de Varden, com as curvas de nível, o rio, duas [atitudes](#def-b1-geological-maps-attitude) medidas (linha de [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) e traço de [mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude), com o [mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude) em graus) e a legenda. As idades são as das unidades da região; a falha está escondida sob o aluvião mais jovem do fundo do vale.*

## 4.2 A atitude de um plano

**Definição 4.5 (Direção, mergulho e sentido de mergulho).**

Seja uma superfície geológica — um plano de estratificação, um contato, uma falha — localmente plana. Sua *direção* é a direção das linhas horizontais que ela contém, dada como um [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) (graus no sentido horário a partir do norte). Seu *mergulho* $\delta$ é o ângulo entre o plano e a horizontal, medido no plano vertical perpendicular à direção, $0 \le \delta \le 90{}^{\circ}$. Seu *sentido de mergulho* $\alpha$ é o [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) da linha mais inclinada para baixo do plano. Juntos eles formam a *atitude* do plano, escrita sentido de mergulho/mergulho, por exemplo $080/12$.

**Notação 4.6 (Direção pela regra da mão direita).**

Uma [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) pode ser lida em dois sentidos opostos. A *regra da mão direita* escolhe aquele em que o plano mergulha para a direita de um observador que olha ao longo da [direção](#def-b1-geological-maps-attitude): [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) $= \alpha - 90{}^{\circ}$ (módulo $360{}^{\circ}$). No mapa, o símbolo é uma linha de [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) com um pequeno traço apontando para baixo, na [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) do [mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude), rotulado com o [mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude).

![Um plano de direção norte e mergulho de 30 para leste (atitude 090/30), cortando um plano horizontal ao longo da sua linha de direção. Fora de escala.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-geological-maps/fig-2c7851542ce2.svg)

![Um plano de direção norte e mergulho de 30 para leste (atitude 090/30), cortando um plano horizontal ao longo da sua linha de direção. Fora de escala.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-geological-maps/fig-88516ba6b94f.svg)

*Um plano de [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) norte e [mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude) de $30{}^{\circ}$ para leste ([atitude](#def-b1-geological-maps-attitude) $090/30$), cortando um plano horizontal ao longo da sua linha de [direção](#def-b1-geological-maps-attitude). Fora de escala.*

**Proposição 4.7 (A equação de um plano inclinado).**

Com $x$ para leste, $y$ para norte e $z$ para cima, o plano de [sentido de mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude) $\alpha$ e [mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude) $\delta$ que passa pelo ponto $(x_0, y_0, z_0)$ é

$$
z = z_0 - \tan\delta\,\bigl[(x - x_0)\sin\alpha + (y - y_0)\cos\alpha\bigr].
$$

**Demonstração.** O vetor horizontal unitário que aponta no [sentido de mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude) é $\vec u = (\sin\alpha, \cos\alpha, 0)$ (um [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) é medido a partir do norte, o eixo $y$, em direção ao leste, o eixo $x$). Ao longo da [direção](#def-b1-geological-maps-attitude), perpendicularmente a $\vec u$, o plano é horizontal; ao longo de $\vec u$ ele desce de $\tan\delta$ por unidade de distância horizontal. A distância horizontal de um ponto à linha de [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) que passa por $(x_0, y_0)$, contada positivamente no sentido do [mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude), é $(x-x_0)\sin\alpha + (y-y_0)\cos\alpha$, de onde sai a fórmula. ∎

**Teorema 4.8 (Atitude a partir de três pontos).**

Sejam $P_1, P_2, P_3$ três pontos não colineares de um plano, e $\vec n = \overrightarrow{P_1P_2} \times \overrightarrow{P_1P_3} =
(n_x, n_y, n_z)$, escolhido com $n_z > 0$ (troque $\vec n$ por $-\vec n$ caso contrário). Então o [mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude) e o [sentido de mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude) do plano são

$$
\delta = \arccos\frac{n_z}{\|\vec n\|}, \qquad
  \alpha = \text{o azimute do vetor horizontal } (n_x, n_y),
$$

que é o ângulo $\alpha \in [0{}^{\circ}, 360{}^{\circ})$ com $\sin\alpha = n_x/\sqrt{n_x^2+n_y^2}$ e $\cos\alpha = n_y/\sqrt{n_x^2+n_y^2}$ (o plano é horizontal se $n_x = n_y = 0$).

**Demonstração.** $\vec n$ é perpendicular a dois vetores independentes do plano, logo normal a ele. O [mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude) é o ângulo entre o plano e a horizontal, igual ao ângulo entre as suas normais, $\vec n$ e a vertical $\vec k$: $\cos\delta = \vec n \cdot \vec k / \|\vec n\| = n_z/\|\vec n\|$. Pela [Proposição 4.7](#prop-b1-geological-maps-plane), o plano é $z = \text{constante} -
\tan\delta\,(x\sin\alpha + y\cos\alpha)$, isto é, $\tan\delta\sin\alpha\,x + \tan\delta\cos\alpha\,y + z = \text{constante}$; sua normal para cima é proporcional a $(\tan\delta\sin\alpha,
\tan\delta\cos\alpha, 1)$, cuja parte horizontal aponta no [sentido de mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude) $\alpha$. Como $\vec n$ é um múltiplo positivo dessa normal, $(n_x, n_y)$ também aponta no [sentido de mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude). ∎

**Método 4.9 (O problema dos três pontos).**

Para encontrar a [atitude](#def-b1-geological-maps-attitude) de um contato encontrado em três sondagens (ou visto em três [afloramentos](#def-b1-geological-maps-geological-map)):

1. para cada sondagem, tome a altitude do contato: a altitude do terreno menos a profundidade em que o contato foi encontrado;
2. escreva os três pontos $P_i = (x_i, y_i, z_i)$ em metros, $x$ para leste, $y$ para norte;
3. calcule $\vec n = \overrightarrow{P_1P_2} \times  \overrightarrow{P_1P_3}$ e torne $n_z$ positivo;
4. aplique o [Teorema 4.8](#thm-b1-geological-maps-three-point) ; dê a [atitude](#def-b1-geological-maps-attitude) como [sentido de mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude) / [mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude) e, se pedido, a [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) pela regra da mão direita.

No papel, o mesmo problema se resolve com curvas estruturais: na reta que une o ponto mais alto ao mais baixo, encontre por proporção o ponto na altitude do terceiro; a reta que passa por esses dois pontos de mesma altitude é uma linha de [direção](#def-b1-geological-maps-attitude); o [mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude) segue da diferença de altitude entre duas linhas de [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) paralelas e do seu espaçamento.

**Exemplo 4.10 (O flanco leste do anticlinal de Varden).**

Três sondagens, E1 em $(4000, 6000)$, E2 em $(4600, 7200)$ e E3 em $(5100, 6400)$ (metros a leste e ao norte do canto sudoeste do mapa), encontram a base do calcário nas altitudes $174$, $4$ e $-74\,\mathrm{m}$. Então $\overrightarrow{P_1P_2} = (600, 1200, -170)$, $\overrightarrow{P_1P_3} = (1100, 400, -248)$; seu produto vetorial é $(-229\,600, -38\,200, -1\,080\,000)$, que aponta para baixo, logo

$$
\vec n = (229\,600,\ 38\,200,\ 1\,080\,000).
$$

Daí, pela normal ao plano, $\cos\delta = 1\,080\,000/\|\vec n\| \approx
0.9776$, $\delta \approx 12.2{}^{\circ}$, e o [sentido de mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude) é o [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) de $(229\,600, 38\,200)$, $\alpha \approx 80.6{}^{\circ}$: a [atitude](#def-b1-geological-maps-attitude) é $081/12$, com [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) $351{}^{\circ}$ pela regra da mão direita. A base do calcário mergulha suavemente para leste-nordeste.

## 4.3 Padrões de afloramento

**Proposição 4.11 (Contatos horizontais e verticais).**

O traço de um contato horizontal segue a curva de nível de sua altitude. O traço de um contato vertical é uma reta no mapa, qualquer que seja a topografia.

**Demonstração.** Para $c(x,y) = z_0$, o traço $g(x,y) = z_0$ é a curva de nível $z_0$ ([Proposição 4.3](#prop-b1-geological-maps-intersection)). Um plano vertical é o conjunto de pontos cuja posição horizontal está sobre uma reta, em qualquer altitude; seu traço no mapa é essa reta. ∎

**Teorema 4.12 (A regra do V).**

Um contato plano atravessa um vale cujo fundo desce rio abaixo com declive $s > 0$. Seja $a$ a tangente do [mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude) aparente do contato na [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) rio abaixo ($a > 0$ se ele mergulha rio abaixo, $a < 0$ se mergulha rio acima, $a = 0$ se é horizontal). Então o traço do [afloramento](#def-b1-geological-maps-geological-map) faz um V cujo vértice fica no fundo do vale e

- aponta *rio abaixo* se $a > s$ : o contato mergulha rio abaixo mais acentuadamente do que o fundo do vale desce;
- aponta *rio acima* se $a < s$ : o contato é horizontal, mergulha rio acima, ou mergulha rio abaixo menos acentuadamente que o fundo.

Um contato vertical não faz V.

**Demonstração.** Seja $\xi$ a distância medida rio abaixo ao longo do fundo do vale. O fundo está na altitude $z_g(\xi) = z_0 - s\xi$; na seção vertical ao longo do vale, o contato está em $z_c(\xi) = c - a\xi$. No fundo, o traço está onde $z_g = z_c$:

$$
\xi_{\text{fundo}} = \frac{c - z_0}{a - s}.
$$

Num dos flancos do vale, em um ponto mais alto que o fundo em $h > 0$ e à mesma distância da nascente do vale, o terreno está em $z_0 - s\xi + h$, logo o traço está onde $c - a\xi = z_0 - s\xi + h$:

$$
\xi_{\text{flanco}} = \frac{c - z_0 - h}{a - s}, \qquad
  \xi_{\text{fundo}} - \xi_{\text{flanco}} = \frac{h}{a - s}.
$$

Se $a > s$, o traço fica mais longe rio abaixo no fundo do que nos flancos: o V aponta rio abaixo. Se $a < s$, o inverso. Um contato vertical cruza o fundo e os flancos no mesmo $\xi$. ∎

![A regra do V calculada. Em cada painel um rio (seta azul) desce para o norte por um vale, cujas curvas de nível (a cada 10\, m) apontam rio acima; um contato de direção leste–oeste é traçado em vermelho. Horizontal, ele segue as curvas de nível; mergulhando rio acima, ou rio abaixo menos acentuadamente que o fundo do vale, faz um V apontando rio acima; mergulhando rio abaixo mais acentuadamente (aqui 10), um V apontando rio abaixo. Um contato vertical atravessaria em linha reta.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-geological-maps/fig-e0f64eec7288.svg)

*A regra do V calculada. Em cada painel um rio (seta azul) desce para o norte por um vale, cujas curvas de nível (a cada $10\,\mathrm{m}$) apontam rio acima; um contato de [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) leste–oeste é traçado em vermelho. Horizontal, ele segue as curvas de nível; mergulhando rio acima, ou rio abaixo menos acentuadamente que o fundo do vale, faz um V apontando rio acima; mergulhando rio abaixo mais acentuadamente (aqui $10{}^{\circ}$), um V apontando rio abaixo. Um contato vertical atravessaria em linha reta.*

**Observação 4.13 (A largura de um afloramento).**

A largura do [afloramento](#def-b1-geological-maps-geological-map) de uma unidade depende da sua espessura, do seu [mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude) e da inclinação do terreno: uma camada fina que mergulha no mesmo sentido que o declive pode aflorar numa área ampla. A espessura é calculada a partir de um mapa e de um corte transversal em [Capítulo 5](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/5-secoes-geologicas#ch-b1-cross-sections).

## 4.4 Dobras, falhas, intrusões e discordâncias em um mapa

**Definição 4.14 (Anticlinal e sinclinal).**

Uma *dobra* é uma curvatura de camadas outrora planas. Um *anticlinal* é uma dobra cujas camadas são convexas para cima (uma antiforma); um *sinclinal* é uma dobra cujas camadas são côncavas para cima (uma sinforma). Os dois lados de uma dobra são os seus flancos; seu *eixo de dobra* é a linha ao longo da qual as camadas mais se curvam, e o eixo cai (mergulha) quando não é horizontal. Uma linha como o eixo de uma dobra é localizada pelo seu rumo, o [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) da sua projeção horizontal tomado no sentido da descida, e pelo seu caimento, o ângulo que ela faz com a horizontal ([Capítulo 6](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#ch-b1-field-lab-methods-1)). A geometria tridimensional das dobras é o assunto de [Capítulo 17](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/17-falhas-dobras-e-fabricas#ch-b1-faults-folds-fabrics).

**Proposição 4.15 (Padrões de dobras).**

Em um mapa de camadas dobradas e erodidas, um [anticlinal](#def-b1-geological-maps-fold) mostra as unidades mais antigas em seu núcleo e unidades mais novas para fora, dos dois lados; um [sinclinal](#def-b1-geological-maps-fold) mostra as mais novas no seu núcleo. Se o eixo da [dobra](#def-b1-geological-maps-fold) cai, os [afloramentos](#def-b1-geological-maps-geological-map) se fecham em torno da [dobra](#def-b1-geological-maps-fold): o fechamento de um [anticlinal](#def-b1-geological-maps-fold) aponta na [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) do caimento, e o de um [sinclinal](#def-b1-geological-maps-fold), no sentido oposto.

**Demonstração parcial.** Num [anticlinal](#def-b1-geological-maps-fold) as camadas sobem em direção ao eixo, de modo que uma superfície de erosão aproximadamente horizontal corta mais fundo a sequência ali e expõe suas unidades mais antigas e mais baixas; num [sinclinal](#def-b1-geological-maps-fold), as unidades mais novas se preservam mais baixas, no núcleo. Se o eixo cai, considere um contato de um [anticlinal](#def-b1-geological-maps-fold): é um arco cuja crista desce ao longo do caimento. Onde a crista está acima do terreno, o terreno corta o arco em dois flancos; onde a crista passa abaixo do terreno, o contato não alcança mais a superfície. Os dois flancos do traço se unem, portanto, em torno do ponto onde a crista encontra o terreno, e esse fechamento fica na [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) do caimento. Um [sinclinal](#def-b1-geological-maps-fold) é uma calha cujo fundo sobe no sentido oposto, de modo que o seu fechamento aponta contra o caimento. O argumento supõe uma topografia suave em comparação com a queda do eixo. ∎

**Proposição 4.16 (Falhas, intrusões e discordâncias).**

Em um mapa:

- uma falha interrompe e desloca os [contatos](#def-b1-geological-maps-geological-map) que cruza; no bloco que desceu, as unidades mais novas chegam à superfície em frente às mais antigas; o traço de uma falha inclinada obedece à regra do V como qualquer plano;
- um plutão ou um dique corta os [contatos](#def-b1-geological-maps-geological-map) das rochas que intrude, e é mais novo que elas;
- numa discordância, os [contatos](#def-b1-geological-maps-geological-map) das rochas mais antigas são cortados ao longo da base das mais novas, que podem repousar sobre várias unidades mais antigas, uma após outra.

**Método 4.17 (Como ler a história a partir de um mapa).**

1. Liste as unidades em ordem de idade, a partir da legenda e da superposição.
2. Encontre o que corta o quê: falhas, intrusões, discordâncias; cada uma é mais nova que tudo o que corta e mais antiga que tudo o que a sela.
3. Encontre as [dobras](#def-b1-geological-maps-fold) e os seus eixos; uma [dobra](#def-b1-geological-maps-fold) é mais nova que a unidade mais nova que ela [dobra](#def-b1-geological-maps-fold) .
4. Escreva os eventos em ordem, cada um com a evidência no mapa.

**Exemplo 4.18 (A história das Colinas de Varden).**

No mapa das Colinas de Varden: o xisto é a unidade mais antiga; o granito o corta, logo é mais novo; o arenito repousa sobre ambos, cortando o contorno do granito: uma discordância, após uma longa erosão. O arenito, o calcário, o folhelho e o giz se sucedem sem interrupção e são dobrados em conjunto em um [anticlinal](#def-b1-geological-maps-fold) (arenito e embasamento no núcleo, perto de $x = 3.5\,\mathrm{km}$) e em um [sinclinal](#def-b1-geological-maps-fold) (giz no núcleo, a leste do centro do mapa): o dobramento veio depois de o giz ser depositado. A falha desloca os [contatos](#def-b1-geological-maps-geological-map) dobrados: ela é mais nova que o dobramento. Por fim, o rio se encaixou e espalhou o seu aluvião, que nenhuma falha corta.

**No campo — Medindo uma atitude.**

Sobre uma superfície de estratificação limpa, o geólogo põe a borda de uma bússola-clinômetro na horizontal e lê a [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) na bússola; depois a coloca na encosta mais íngreme e lê o [mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude) no clinômetro. Cada medida é anotada no caderno com sua posição e marcada no mapa de imediato, de modo que uma leitura incoerente aparece enquanto o [afloramento](#def-b1-geological-maps-geological-map) ainda está à mão. Hoje as posições vêm de receptores de satélite, as medidas são lançadas em tablets que rodam um sistema de informação geográfica, e os [afloramentos](#def-b1-geological-maps-geological-map) são fotografados e colocados sobre modelos digitais de elevação.

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-geological-maps/img-e43a48f12c85.jpg)

**História — O primeiro mapa geológico de um país.**

O agrimensor William Smith, que escavou canais e drenou terras na Inglaterra, percebeu que cada camada de rocha trazia os seus próprios fósseis, numa ordem que era a mesma em toda parte. Usando os fósseis para reconhecer as camadas, ele as acompanhou pelo país durante mais de quinze anos. Seu mapa, *A Delineation of the Strata of England and Wales, with part of Scotland*, datado de 1 de agosto de 1815, é considerado o primeiro [mapa geológico](#def-b1-geological-maps-geological-map) de um país inteiro.

![Mapa de William Smith de 1815 (domínio público).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-geological-maps/img-a529e4760eee.jpg)

*Mapa de William Smith de 1815 (domínio público).*

## 4.5 Exercícios

**Exercício 4.1 ★.**

Defina a [direção](#def-b1-geological-maps-attitude), o [mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude) e o [sentido de mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude) de um plano. Um estrato tem [atitude](#def-b1-geological-maps-attitude) $135/40$: dê a sua [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) pela regra da mão direita e desenhe o seu símbolo no mapa.

**Solução de Exercício 4.1.**

[Direção](#def-b1-geological-maps-attitude): [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) das linhas horizontais do plano; [mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude): ângulo entre o plano e a horizontal, medido perpendicularmente à [direção](#def-b1-geological-maps-attitude); [sentido de mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude): [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) da linha mais inclinada para baixo. Para $135/40$, a [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) pela regra da mão direita é $135 - 90 = 045{}^{\circ}$. Símbolo: uma linha de [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) orientada em N 45 L, com um traço do lado sudeste (em direção a $135{}^{\circ}$) rotulado com 40.

**Exercício 4.2 ★.**

Escreva a equação do plano de [atitude](#def-b1-geological-maps-attitude) $090/30$ que passa pelo ponto $(0, 0, 500)$, coordenadas em metros. Em que altitude ele está em $(1000, 0)$ e em $(0, 1000)$?

**Solução de Exercício 4.2.**

$z = 500 - \tan30{}^{\circ}\,(x\sin90{}^{\circ} + y\cos90{}^{\circ}) = 500 - 0.577\,x$. Em $(1000, 0)$: $500 - 577 = -77\,\mathrm{m}$. Em $(0, 1000)$: $500\,\mathrm{m}$, pois o plano é horizontal ao longo da sua [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) norte–sul.

**Exercício 4.3 ★.**

Em um mapa, o traço de um contato segue exatamente a curva de nível de $350\,\mathrm{m}$ ao longo de vários quilômetros de colinas e vales. O que você pode dizer sobre o contato? E se o seu traço é uma reta que atravessa colinas e vales?

**Solução de Exercício 4.3.**

Um traço que segue uma curva de nível é um contato horizontal, a $350\,\mathrm{m}$. Um traço que corre em linha reta, atravessando colinas e vales, pertence a um contato vertical.

**Exercício 4.4 ★.**

No mapa das Colinas de Varden, que unidade aflora no núcleo do [anticlinal](#def-b1-geological-maps-fold) ao longo do rio, e qual unidade ocupa o núcleo do [sinclinal](#def-b1-geological-maps-fold)? Explique por que, com o princípio da superposição.

**Solução de Exercício 4.4.**

Ao longo do rio, o núcleo do [anticlinal](#def-b1-geological-maps-fold) mostra o xisto e o granito (sob o arenito); o núcleo do [sinclinal](#def-b1-geological-maps-fold) é ocupado pelo giz. As unidades mais antigas ficam mais baixas na sequência: onde as camadas se arqueiam para cima e a erosão corta mais fundo, aparecem as mais antigas; onde elas se encurvam para baixo, as mais novas se preservam no meio.

**Exercício 4.5 ★★.**

Um contato é encontrado nas altitudes $300\,\mathrm{m}$ em $(0, 0)$, $300\,\mathrm{m}$ em $(1000, 0)$ e $200\,\mathrm{m}$ em $(0, 500)$ (metros, $x$ para leste, $y$ para norte). Encontre a sua [direção](#def-b1-geological-maps-attitude), o [sentido de mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude) e o [mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude), primeiro raciocinando sobre as curvas estruturais, depois com o [Teorema 4.8](#thm-b1-geological-maps-three-point).

**Solução de Exercício 4.5.**

Os dois primeiros pontos estão na mesma altitude: a reta $y = 0$ é uma linha de [direção](#def-b1-geological-maps-attitude), logo a [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) é leste–oeste. O contato está $100\,\mathrm{m}$ mais baixo, $500\,\mathrm{m}$ ao norte: ele mergulha para o norte, $\tan\delta = 100/500 = 0.2$, $\delta \approx 11.3{}^{\circ}$; [sentido de mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude) $000{}^{\circ}$, [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) $270{}^{\circ}$ pela regra da mão direita. Com o teorema: $\overrightarrow{P_1P_2} = (1000, 0, 0)$, $\overrightarrow{P_1P_3} = (0, 500, -100)$, $\vec n = (0, 100\,000,
500\,000)$, $\cos\delta = 500\,000/509\,902 \approx 0.981$, $\delta \approx
11.3{}^{\circ}$, e $(n_x, n_y) = (0, 100\,000)$ aponta para o norte: o mesmo resultado.

**Exercício 4.6 ★★.**

Um fundo de vale desce para o norte a $30\,\mathrm{m}$ por km. Para que lado aponta o V do [afloramento](#def-b1-geological-maps-geological-map) de um contato se o contato é (a) horizontal; (b) mergulha $20{}^{\circ}$ para o sul; (c) mergulha $1{}^{\circ}$ para o norte; (d) mergulha $20{}^{\circ}$ para o norte? Justifique com o [Teorema 4.12](#thm-b1-geological-maps-v-rule).

**Solução de Exercício 4.6.**

A [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) rio abaixo é o norte, $s = 0.03$ ($1.72{}^{\circ}$). (a) $a = 0 < s$: V rio acima (sul), ao longo das curvas de nível. (b) $a = -\tan20{}^{\circ} < 0 < s$: V rio acima. (c) $a = \tan1{}^{\circ} \approx 0.017 < s$: V rio acima. (d) $a = \tan20{}^{\circ}
\approx 0.364 > s$: V rio abaixo (norte).

**Exercício 4.7 ★★.**

Na situação da regra do V, um contato mergulha rio abaixo com $a = 0.364$ ($20{}^{\circ}$) e o fundo do vale desce com $s = 0.03$. Um ponto no flanco do vale está $80\,\mathrm{m}$ acima do fundo. A que distância rio acima do vértice está o traço nesse ponto?

**Solução de Exercício 4.7.**

$\xi_{\text{fundo}} - \xi_{\text{flanco}} = h/(a - s) = 80/(0.364 - 0.03)
\approx 240\,\mathrm{m}$: o traço no flanco fica cerca de $240\,\mathrm{m}$ rio acima do vértice.

**Exercício 4.8 ★★.**

Os [afloramentos](#def-b1-geological-maps-geological-map) do [anticlinal](#def-b1-geological-maps-fold) de Varden se fecham em torno da extremidade norte do seu núcleo. Em que [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) cai o eixo da [dobra](#def-b1-geological-maps-fold)? Os [afloramentos](#def-b1-geological-maps-geological-map) do [sinclinal](#def-b1-geological-maps-fold) próximo se fecham para o norte ou para o sul?

**Solução de Exercício 4.8.**

O fechamento do [anticlinal](#def-b1-geological-maps-fold) aponta na [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) do caimento: o eixo cai para o norte. Com um eixo caindo para o norte, os [afloramentos](#def-b1-geological-maps-geological-map) de um [sinclinal](#def-b1-geological-maps-fold) se fecham para o sul.

**Exercício 4.9 ★★.**

No [mapa geológico](#def-b1-geological-maps-geological-map), ao longo da falha, de que lado as unidades mais novas aparecem na superfície? Qual bloco desceu? Confira com o símbolo do mapa.

**Solução de Exercício 4.9.**

O lado leste-sudeste mostra unidades mais novas (giz e folhelho, contra unidades mais antigas em frente a elas): esse bloco desceu. Os traços do símbolo da falha estão desse lado, o bloco abatido.

**Exercício 4.10 ★★★.**

Mostre que dois planos de [atitudes](#def-b1-geological-maps-attitude) $(\alpha_1, \delta_1)$ e $(\alpha_2, \delta_2)$ se interceptam segundo uma reta paralela a $\vec n_1 \times \vec n_2$, em que $\vec n_i = (\tan\delta_i\sin\alpha_i,
\tan\delta_i\cos\alpha_i, 1)$. Aplique-o aos planos $090/30$ e $270/30$: qual é a reta, e que tipo de [dobra](#def-b1-geological-maps-fold) os dois planos formam?

**Solução de Exercício 4.10.**

Uma reta comum aos dois planos é perpendicular às duas normais, logo paralela a $\vec n_1 \times \vec n_2$. Para $090/30$: $\vec n_1 = (0.577, 0,
1)$; para $270/30$: $\vec n_2 = (-0.577, 0, 1)$. Então $\vec n_1 \times \vec n_2
= (0\cdot 1 - 1\cdot 0,\ 1\cdot(-0.577) - 0.577\cdot 1,\ 0) = (0, -1.155,
0)$: uma reta horizontal norte–sul. O primeiro plano mergulha para leste, o segundo para oeste: eles mergulham afastando-se da reta, que é a crista de um [anticlinal](#def-b1-geological-maps-fold) de eixo horizontal.

**Exercício 4.11 ★★★.**

Um dique vertical tem [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) $045{}^{\circ}$ e aflora na origem, em um fundo de vale na altitude $0\,\mathrm{m}$. Onde pode estar o seu traço em uma colina a $300\,\mathrm{m}$? Um segundo dique tem a mesma [direção](#def-b1-geological-maps-attitude), mergulha $60{}^{\circ}$ para sudeste e também aflora na origem. A que distância da origem, e em que [direção](#def-b1-geological-maps-attitude), está o seu traço no terreno a $300\,\mathrm{m}$, medido perpendicularmente à [direção](#def-b1-geological-maps-attitude)?

**Solução de Exercício 4.11.**

O traço de um dique vertical é a reta que passa pela origem com [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) $045{}^{\circ}$, qualquer que seja a altitude: na colina ele está em algum ponto dessa mesma reta. O dique que mergulha é o plano $z = -\tan60{}^{\circ}\,d$, em que $d$ é a distância horizontal à reta de [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) que passa pela origem, contada positivamente para sudeste. Em $z = 300\,\mathrm{m}$: $d = -300/\tan60{}^{\circ}
\approx -173\,\mathrm{m}$: o traço fica $173\,\mathrm{m}$ a noroeste da reta de [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) que passa pela origem, do lado de cima do plano.

**Exercício 4.12 ★★★.**

Em um [modelo digital de elevação](#def-b1-geological-maps-dem) com malha de $100\,\mathrm{m}$, o terreno em $(x, y)$ e em $(x + 100, y)$ está a 420 e $405\,\mathrm{m}$, e em $(x, y + 100)$ a $412\,\mathrm{m}$. Tratando o terreno dessa célula como um plano, calcule a sua declividade (em graus) e o [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) para o qual ele está voltado (sentido da descida).

**Solução de Exercício 4.12.**

$$
\frac{\partial z}{\partial x} \approx \frac{405 - 420}{100} = -0.15, \qquad
  \frac{\partial z}{\partial y} \approx \frac{412 - 420}{100} = -0.08,
$$

logo a declividade é $\arctan\sqrt{0.15^2 + 0.08^2} = \arctan 0.17 \approx
9.6{}^{\circ}$. O terreno desce ao longo de $-\nabla z = (0.15, 0.08)$, cujo [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) é $\arctan(0.15/0.08) \approx 62{}^{\circ}$: a célula está voltada para o leste-nordeste.

## 4.6 Problema: resolvendo as Colinas de Varden

**Problema 4.1.**

Problema de fim de semana — das sondagens e de um mapa até o eixo da dobra, a falha e a história de uma região

Uma empresa que perfura poços de água nas Colinas de Varden registra onde as suas sondagens encontram a base do calcário; seus geólogos também localizam a falha onde ela cruza o terreno. As coordenadas estão em metros a leste e ao norte do canto sudoeste do mapa; as altitudes, em metros acima do nível do mar. A Parte I usa o [mapa geológico](#def-b1-geological-maps-geological-map) colorido de [Seção 4.1](#sec-4-1).

**Parte I — Lendo o mapa.**

1. Liste as unidades da região, da mais antiga para a mais nova.
2. Quais unidades o rio corta, de oeste para leste?
3. Qual unidade ocupa o núcleo da [dobra](#def-b1-geological-maps-fold) perto de $x = 3.5\,\mathrm{km}$ ? De que tipo é a [dobra](#def-b1-geological-maps-fold) ?
4. Qual unidade ocupa o núcleo da [dobra](#def-b1-geological-maps-fold) perto de $x = 7.5\,\mathrm{km}$ ? De que tipo é a [dobra](#def-b1-geological-maps-fold) ?
5. Por que o xisto e o granito só são visíveis perto do rio, no núcleo da primeira [dobra](#def-b1-geological-maps-fold) ?
6. Que tipo de contato separa o arenito do granito? Justifique a partir do mapa.

As sondagens (profundidade $d$ até a base do calcário, altitude do terreno $z_g$) e os três pontos F1–F3 onde a falha cruza o topo do embasamento (F2, no vale, está sob o aluvião fino, que a falha não corta):

|  | leste | norte | $z_g$ | $d$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| E1 | 4000 | 6000 | 435 | 261 |
| E2 | 4600 | 7200 | 432 | 428 |
| E3 | 5100 | 6400 | 512 | 586 |
| W1 | 1500 | 6000 | 524 | 669 |
| W2 | 2200 | 7200 | 421 | 459 |
| W3 | 2600 | 5400 | 319 | 209 |
|  | leste | norte | $z_g$ |  |
| F1 | 4197 | 1000 | 405 |  |
| F2 | 5824 | 3500 | 129 |  |
| F3 | 7321 | 6500 | 482 |  |

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-geological-maps/fig-a2c9f6e0ca88.svg)

**Parte II — O flanco leste.**

7. Calcule a altitude da base do calcário em E1, E2 e E3.
8. Escreva os vetores $\overrightarrow{E_1E_2}$ e $\overrightarrow{E_1E_3}$ .
9. Calcule o seu produto vetorial e oriente-o para cima.
10. Deduza o [mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude) da base do calcário no flanco leste.
11. Deduza o seu [sentido de mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude) e, depois, a sua [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) pela regra da mão direita.
12. O resultado é coerente com o símbolo de [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) e [mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude) do flanco leste no mapa?

**Parte III — A dobra.**

13. Calcule as altitudes da base do calcário em W1, W2 e W3.
14. Calcule uma normal para cima $\vec n_W$ à base do calcário no flanco oeste.
15. Deduza a [atitude](#def-b1-geological-maps-attitude) do flanco oeste.
16. Calcule uma [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) da interseção dos dois flancos, o eixo da [dobra](#def-b1-geological-maps-fold) , como $\vec n_E \times \vec n_W$ (com $\vec n_E$ da questão 9).
17. Dê o rumo (o [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) da projeção horizontal do eixo, tomado no sentido da descida) e o caimento (o seu ângulo abaixo da horizontal) do eixo da [dobra](#def-b1-geological-maps-fold) .
18. A base do arenito está sobre o eixo, a $230\,\mathrm{m}$ , onde o rio o cruza, perto de $y = 4\,\mathrm{km}$ . Quanto ela está mais baixa sobre o eixo a $8\,\mathrm{km}$ mais ao norte? Isso é coerente com a questão 3 da Parte I e com o fechamento dos [afloramentos](#def-b1-geological-maps-geological-map) ?

**Parte IV — A falha e a história.**

19. A partir de F1, F2 e F3, calcule a [atitude](#def-b1-geological-maps-attitude) da falha.
20. Ao longo da falha, as unidades na superfície do lado leste-sudeste são mais novas que as que lhes ficam em frente. Qual bloco desceu? A falha é normal ou reversa?
21. A reta de F1 a F3 passa a cerca de $200\,\mathrm{m}$ a oeste de F2. Por que o traço da falha se curva para leste-sudeste onde cruza o vale do rio, em F2?
22. Coloque em ordem: dobramento; deposição do giz; falhamento; intrusão do granito; erosão antes do arenito; deposição do aluvião.
23. O giz tem 90 milhões de anos e está dobrado; o aluvião foi depositado nos últimos 2.58 milhões de anos e não está falhado. Entre quais idades ocorreram o dobramento e o falhamento?
24. Para atingir a falha a $1000\,\mathrm{m}$ abaixo do nível do mar sob F1, a que distância de F1, e em que [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) , deve ser perfurado um poço vertical?

**Solução de Problema 4.1.**

**1.** Xisto, granito, arenito, calcário, folhelho, giz, aluvião.

**2.** De oeste para leste: giz e folhelho, calcário, arenito, depois xisto e granito perto de $x = 3.5\,\mathrm{km}$, arenito, calcário e folhelho de novo, depois giz; aluvião ao longo de todo o fundo do vale.

**3.** O arenito, com o xisto e o granito sob ele ao longo do rio: as unidades mais antigas no núcleo, um [anticlinal](#def-b1-geological-maps-fold).

**4.** O giz, a unidade mais nova: um [sinclinal](#def-b1-geological-maps-fold).

**5.** A base do arenito é mais alta sobre o eixo do [anticlinal](#def-b1-geological-maps-fold), e só ao longo do rio a erosão cortou abaixo dela.

**6.** Uma discordância: o arenito repousa sobre duas unidades mais antigas diferentes, xisto e granito, e corta o contorno do granito.

**7.** $435 - 261 = 174$, $432 - 428 = 4$, $512 - 586 = -74\,\mathrm{m}$.

**8.** $\overrightarrow{E_1E_2} = (600, 1200, -170)$, $\overrightarrow{E_1E_3} = (1100, 400, -248)$.

**9.** O produto vetorial é

$$
(-229\,600,\ -38\,200,\ -1\,080\,000);
$$

orientado para cima, $\vec n_E = (229\,600,\ 38\,200,\ 1\,080\,000)$.

**10.** $\|\vec n_E\| \approx 1\,104\,800$; $\cos\delta \approx 0.9776$, $\delta \approx 12.2{}^{\circ}$.

**11.** [Azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) de $(229\,600, 38\,200)$: $\arctan(229\,600/38\,200)
\approx 80.6{}^{\circ}$; [atitude](#def-b1-geological-maps-attitude) $081/12$, [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) $\approx 351{}^{\circ}$.

**12.** Sim: o símbolo do flanco leste tem uma linha de [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) quase norte–sul e um traço de [mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude) para leste, rotulado com 12.

**13.** $524 - 669 = -145$, $421 - 459 = -38$, $319 - 209 =
110\,\mathrm{m}$.

**14.** $\overrightarrow{W_1W_2} = (700, 1200, 107)$ e $\overrightarrow{W_1W_3} = (1100, -600, 255)$. Seu produto vetorial, orientado para cima, é

$$
(370\,200,\ -60\,800,\ -1\,740\,000) \quad\longrightarrow\quad
  \vec n_W = (-370\,200,\ 60\,800,\ 1\,740\,000).
$$

**15.** Daí $\cos\delta = 1\,740\,000/\|\vec n_W\| \approx 0.9776$, $\delta
\approx 12.2{}^{\circ}$; [sentido de mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude): [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) de $(-370\,200, 60\,800)$, $\approx 279.3{}^{\circ}$. [Atitude](#def-b1-geological-maps-attitude) $279/12$, [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) $\approx 189{}^{\circ}$: o flanco oeste mergulha para oeste-noroeste, o flanco leste para leste-nordeste.

**16.** $\vec n_E \times \vec n_W = (804 \times 10^6,\ -799\,320 \times
10^6,\ 28\,101 \times 10^6)$ (arredondado).

**17.** O sentido de descida é $(-804, 799\,320, -28\,101) \times
10^6$: rumo $\arctan(-804/799\,320) \approx 0{}^{\circ}$, isto é, norte; caimento $\arctan\bigl(28\,101/\sqrt{804^2 + 799\,320^2}\bigr) \approx 2.0{}^{\circ}$. O eixo cai $2{}^{\circ}$ para o norte.

**18.** $8000 \times \tan2.0{}^{\circ} \approx 280\,\mathrm{m}$ mais baixo, perto de $-50\,\mathrm{m}$. O núcleo do [anticlinal](#def-b1-geological-maps-fold) é mais alto perto do rio e afunda para o norte, de modo que o seu [afloramento](#def-b1-geological-maps-geological-map) se fecha para o norte, como mostra o mapa.

**19.** $\overrightarrow{F_1F_2} = (1627, 2500, -276)$ e $\overrightarrow{F_1F_3} = (3124, 5500, 77)$ dão a normal para cima

$$
(1\,710\,500,\ -987\,503,\ 1\,138\,500), \qquad
  \delta = \arccos\frac{1\,138\,500}{2\,279\,700} \approx 60{}^{\circ},
$$

e um [sentido de mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude) $\approx 120{}^{\circ}$. [Atitude](#def-b1-geological-maps-attitude) $120/60$, [direção](#def-b1-geological-maps-attitude) $030{}^{\circ}$.

**20.** O [mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude) da falha é para leste-sudeste, de modo que esse lado é o teto, o bloco que fica acima do plano de falha inclinado; ele desceu (unidades mais novas na superfície): uma falha normal.

**21.** O plano da falha mergulha para leste-sudeste, rio abaixo e muito mais acentuadamente do que desce o fundo do vale: terreno mais baixo encontra o plano mais longe no sentido do [mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude), de modo que o traço se desvia para leste-sudeste no vale — a regra do V aplicada ao plano da falha.

**22.** Intrusão do granito; erosão antes do arenito; deposição do giz; dobramento; falhamento; deposição do aluvião.

**23.** Depois de 90 milhões de anos atrás (o giz está dobrado) e antes de 2.58 milhões de anos atrás (o aluvião não está falhado); o dobramento veio primeiro, o falhamento depois dele.

**24.** A falha desce $1405\,\mathrm{m}$ de F1 ($405\,\mathrm{m}$) até $-1000\,\mathrm{m}$; com um [mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude) de $60{}^{\circ}$, isso corresponde a uma distância horizontal $1405/\tan60{}^{\circ} \approx 811\,\mathrm{m}$ no sentido do [mergulho](#def-b1-geological-maps-attitude). O poço deve ser perfurado cerca de **$810\,\mathrm{m}$ a leste-sudeste de F1** ([azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $120{}^{\circ}$).