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title: "Seções geológicas"
book: "Ciências da Terra e do espaço universitárias — 1.º ano"
subject: earth
language: pt
chapter: 5
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/5-secoes-geologicas
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 5 — Seções geológicas

Uma empresa de engenharia planeja um túnel sob as Colinas de Varden, em linha reta de oeste para leste, em uma altitude constante de $200\,\mathrm{m}$. Antes que se perfure um único metro, os geólogos precisam dizer quais rochas a máquina vai cortar, onde ela cruzará a falha e quanto tempo passará no calcário, uma rocha que pode conter cavidades abertas e água. Ninguém consegue ver o interior das colinas; mas o [mapa geológico](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-geological-map) de [Capítulo 4](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#ch-b1-geological-maps), algumas sondagens e a geometria dos planos bastam para desenhar uma fatia vertical do terreno — uma [seção geológica](#def-b1-cross-sections-section) — e para ler as respostas nela. Este capítulo ensina como uma seção é construída a partir de um mapa, como [mergulhos](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) e espessuras mudam quando a fatia é cortada obliquamente, como as sondagens são correlacionadas e como uma seção conta a história das rochas que corta. Ele termina com o túnel.

**O que você já sabe.**

A [atitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) de um plano é dada pelo seu [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) $\alpha$ e pelo seu [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) $\delta$, e o plano que passa por um ponto de altitude $z_0$ na origem é $z = z_0 - \tan\delta\,(x\sin\alpha + y\cos\alpha)$; três pontos de um contato fixam a sua [atitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude); a regra do V lê o [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) a partir do padrão dos [afloramentos](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-geological-map) em vales ([Capítulo 4](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#ch-b1-geological-maps)). Uma curva de nível une pontos de mesma altitude em um mapa topográfico (Livro 1, 9º ano). Rochas mais novas repousam sobre as mais antigas, e o que corta uma rocha é mais novo que ela (Livro 1, 7º ano).

## 5.1 Do mapa à seção

**Definição 5.1 (Seção geológica, perfil topográfico, exagero vertical).**

Uma *seção geológica* é um desenho das unidades rochosas e das estruturas em um plano vertical através do terreno, ao longo de uma linha traçada no mapa. Sua borda superior é o *perfil topográfico*, a curva da altitude do terreno ao longo da linha. O *exagero vertical* $e$ de uma seção é a razão entre a sua escala vertical e a sua escala horizontal; a seção está em *escala verdadeira* quando $e = 1$.

**Método 5.2 (Construção de uma seção geológica a partir de um mapa).**

1. Trace a linha de seção no mapa e apoie a borda de uma tira de papel sobre ela; marque onde cada curva de nível a cruza, com a sua altitude, e onde cada contato e cada falha a cruzam.
2. Trace uma linha de base horizontal do mesmo comprimento e uma escala vertical de altitudes (escolha $e$ e escreva-o na seção).
3. Transfira cada marca de curva de nível para a sua altitude e una os pontos com suavidade: esse é o [perfil topográfico](#def-b1-cross-sections-section) .
4. Transfira cada contato e cada falha para o perfil, no ponto em que cruzam a linha.
5. A partir de cada um desses pontos, desenhe o contato para dentro do terreno com o seu [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) *no plano da seção* — o seu [mergulho aparente](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) ( [Seção 5.2](#sec-5-2) ) — exagerado por $e$ se $e \ne 1$ ; use sondagens e [curvas estruturais](#def-b1-cross-sections-structure-contour) onde houver.
6. Complete as unidades entre os [contatos](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-geological-map) , respeitando a ordem da superposição e dos cortes, e acrescente a legenda, as escalas, a orientação da linha e $e$ .

![Construção de uma seção (esquemática): os cruzamentos das curvas de nível com a linha X–Y são levados para baixo até as suas altitudes, para dar o perfil topográfico; um contato que cruza a linha é levado para o perfil e desenhado no terreno com o seu mergulho aparente.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-cross-sections/fig-5423c81884c1.svg)

*Construção de uma seção (esquemática): os cruzamentos das curvas de nível com a linha X–Y são levados para baixo até as suas altitudes, para dar o [perfil topográfico](#def-b1-cross-sections-section); um contato que cruza a linha é levado para o perfil e desenhado no terreno com o seu [mergulho aparente](#def-b1-cross-sections-apparent-dip).*

A seção abaixo foi construída por computador a partir do modelo das Colinas de Varden ao longo da linha C–D, que corre exatamente para leste pelo mapa, em $y = 6\,\mathrm{km}$. Ela mostra o [anticlinal](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-fold) cujo núcleo de arenito e embasamento aparece em $x \approx 3.5\,\mathrm{km}$, o calcário e o folhelho nos seus flancos, o giz no [sinclinal](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-fold) a leste e a falha normal. A linha do túnel, a $200\,\mathrm{m}$, e as sondagens B1, B2, B3 de [Seção 5.4](#sec-5-4) estão desenhadas nela.

![Seção C–D através das Colinas de Varden, a partir do modelo da região. Em cima: exagero vertical e = 3; embaixo: a mesma seção em escala verdadeira (e = 1), em que os flancos de 12 parecem tão suaves quanto são. As cores são as do mapa geológico de ; a falha (linha grossa) é a falha normal, com o bloco leste abatido. A linha vermelha é o túnel do problema; B1–B3 são sondagens.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-cross-sections/fig-5bf5567d0aff.svg)

![Seção C–D através das Colinas de Varden, a partir do modelo da região. Em cima: exagero vertical e = 3; embaixo: a mesma seção em escala verdadeira (e = 1), em que os flancos de 12 parecem tão suaves quanto são. As cores são as do mapa geológico de ; a falha (linha grossa) é a falha normal, com o bloco leste abatido. A linha vermelha é o túnel do problema; B1–B3 são sondagens.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-cross-sections/fig-fe482a8f62fd.svg)

*Seção C–D através das Colinas de Varden, a partir do modelo da região. Em cima: [exagero vertical](#def-b1-cross-sections-section) $e = 3$; embaixo: a mesma seção em escala verdadeira ($e = 1$), em que os flancos de $12{}^{\circ}$ parecem tão suaves quanto são. As cores são as do [mapa geológico](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-geological-map) de [Capítulo 4](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#ch-b1-geological-maps); a falha (linha grossa) é a falha normal, com o bloco leste abatido. A linha vermelha é o túnel do problema; B1–B3 são sondagens.*

O [exagero vertical](#def-b1-cross-sections-section) torna legíveis as unidades finas e a topografia suave, mas distorce todos os ângulos: os flancos de $12{}^{\circ}$ da [dobra](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-fold) aparecem com cerca de $32{}^{\circ}$ na seção superior. A seção seguinte diz exatamente como.

## 5.2 Mergulho aparente

**Definição 5.3 (Mergulho aparente).**

O *mergulho aparente* $\beta$ de um plano em uma dada seção vertical é o ângulo entre a horizontal e o traço do plano nessa seção. Ele é igual ao [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) verdadeiro $\delta$ quando a seção corre na [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) do [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude), e é nulo quando corre na [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) da linha de [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude).

**Teorema 5.4 (Mergulho aparente).**

Um plano de [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) $\delta$ e [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) $\alpha$, cortado por uma seção vertical de [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $\theta$, mostra o [mergulho aparente](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) $\beta$ com

$$
\tan\beta = \tan\delta\,\cos\gamma, \qquad \gamma = \alpha - \theta ,
$$

o plano descendo na [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) $\theta$ quando $\cos\gamma > 0$. Em particular $|\beta| \le \delta$, com igualdade apenas na [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) do [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude).

**Demonstração.** Tome o plano $z = z_0 - \tan\delta\,(x\sin\alpha + y\cos\alpha)$ de [Capítulo 4](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#ch-b1-geological-maps). Ao longo da seção, um passo horizontal de comprimento $s$ na [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) $\theta$ é $(x, y) = s(\sin\theta, \cos\theta)$, logo $z = z_0 - s\tan\delta\,(\sin\theta\sin\alpha + \cos\theta\cos\alpha) =
z_0 - s\tan\delta\cos(\alpha - \theta)$. O traço é uma reta que desce $\tan\delta\cos\gamma$ por unidade de distância horizontal: isso é $\tan\beta$. Como $|\cos\gamma| \le 1$, $|\tan\beta| \le \tan\delta$. ∎

![Mergulho aparente (bloco esquemático). Um plano que mergulha para leste (azul) mostra o seu mergulho verdadeiro na face frontal, uma face vertical cortada na direção do mergulho; na seção vertical cinza, cortada obliquamente, o seu traço (vermelho) desce mais suavemente, com o mergulho aparente ; numa seção ao longo da direção, norte–sul, ele seria horizontal.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-cross-sections/fig-add2e3502fa5.svg)

*[Mergulho aparente](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) (bloco esquemático). Um plano que mergulha para leste (azul) mostra o seu [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) verdadeiro $\delta$ na face frontal, uma face vertical cortada na [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) do [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude); na seção vertical cinza, cortada obliquamente, o seu traço (vermelho) desce mais suavemente, com o [mergulho aparente](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) $\beta$; numa seção ao longo da [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude), norte–sul, ele seria horizontal.*

**Proposição 5.5 (Ângulos em uma seção exagerada).**

Em uma seção desenhada com [exagero vertical](#def-b1-cross-sections-section) $e$, uma linha de [mergulho aparente](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) $\beta$ é desenhada no ângulo $\beta'$, com $\tan\beta' = e\tan\beta$.

**Demonstração.** Num trecho horizontal $s$ a linha desce $s\tan\beta$; desenhada com escala vertical $e$ vezes a escala horizontal, a descida aparece como $es\tan\beta$ no mesmo comprimento desenhado $s$. ∎

**Exemplo 5.6.**

O flanco leste do [anticlinal](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-fold) de Varden mergulha $12.16{}^{\circ}$ para $080.7{}^{\circ}$ ([Capítulo 4](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#ch-b1-geological-maps)). Na seção leste–oeste C–D, $\gamma = 80.7{}^{\circ} - 90{}^{\circ} = -9.3{}^{\circ}$, e $\tan\beta =
\tan12.16{}^{\circ}\cos9.3{}^{\circ} = 0.2154\times0.9868 = 0.2126$: $\beta =
12.0{}^{\circ}$. Desenhado com $e = 3$, aparece em $\arctan(3\times0.2126) =
32.5{}^{\circ}$. Na seção A–B de [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $071.6{}^{\circ}$, $\gamma = 9.1{}^{\circ}$ e $\beta = 12.0{}^{\circ}$ também: ambas as seções correm perto da [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) do [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude). A falha, que mergulha $60{}^{\circ}$ para $120{}^{\circ}$, tem em C–D o [mergulho aparente](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) $\arctan(\tan60{}^{\circ}\cos30{}^{\circ}) = \arctan 1.5 = 56.3{}^{\circ}$.

## 5.3 Espessura

**Definição 5.7 (Espessura verdadeira, espessura vertical).**

A *espessura verdadeira* $t$ de uma camada é a distância entre a sua base e o seu topo, medida perpendicularmente ao acamamento. Sua *espessura vertical* $h$ é a mesma distância medida na vertical, como a encontra um furo de sondagem vertical.

**Proposição 5.8 (Espessura de uma camada inclinada).**

Para uma camada de [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) $\delta$:

1. $t = h\cos\delta$ ;
2. sobre terreno horizontal, se o [afloramento](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-geological-map) da camada tem a largura $w$ medida perpendicularmente à [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) , $t = w\sin\delta$ ;
3. sobre um terreno inclinado de um ângulo $\sigma$ na [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) perpendicular à [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) , com $w$ medida ao longo do terreno, $t = w\sin(\delta + \sigma)$ se o terreno inclina no sentido oposto ao do [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) , e $t = w\sin(\delta - \sigma)$ se ele inclina no mesmo sentido, menos acentuadamente que as camadas.

**Demonstração.** No plano vertical perpendicular à [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude), a base e o topo da camada são duas retas paralelas inclinadas de $\delta$, a uma distância $t$ uma da outra. (1) Um segmento vertical que as une faz com a normal comum o ângulo $\delta$, logo $t = h\cos\delta$. (2)–(3) Um segmento de comprimento $w$ que as une ao longo do terreno faz com o acamamento o ângulo $\delta$ quando o terreno é plano, $\delta + \sigma$ quando o terreno sobe na direção oposta ao [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) (as duas inclinações se somam), e $\delta - \sigma$ quando desce no mesmo sentido; a distância entre as retas paralelas é o comprimento do segmento vezes o seno desse ângulo. ∎

![Espessuras de uma camada inclinada no plano vertical perpendicular à direção: a espessura verdadeira t, perpendicular ao acamamento; a espessura vertical h = t/; a largura do afloramento w = t/ em terreno plano (esquemático, com = 25).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-cross-sections/fig-55682ba9aff6.svg)

*Espessuras de uma camada inclinada no plano vertical perpendicular à [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude): a [espessura verdadeira](#def-b1-cross-sections-thickness) $t$, perpendicular ao acamamento; a [espessura vertical](#def-b1-cross-sections-thickness) $h = t/\cos\delta$; a largura do [afloramento](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-geological-map) $w = t/\sin\delta$ em terreno plano (esquemático, com $\delta = 25{}^{\circ}$).*

Nas Colinas de Varden, uma sondagem que entra no calcário por cima atravessa-o em $180\,\mathrm{m}$ de testemunho: essa é a sua [espessura vertical](#def-b1-cross-sections-thickness). Sua [espessura verdadeira](#def-b1-cross-sections-thickness) é $180\cos12.16{}^{\circ} = 176.0\,\mathrm{m}$. Uma unidade fina e uma unidade espessa podem mostrar o mesmo [afloramento](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-geological-map) se os seus [mergulhos](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) diferirem, e uma camada íngreme pode mostrar um [afloramento](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-geological-map) largo numa encosta que corre no mesmo sentido: a espessura nunca se lê diretamente em um mapa.

## 5.4 Sondagens e curvas estruturais

**Definição 5.9 (Perfil de sondagem, correlação).**

Um *perfil de sondagem* é o registro, em função da profundidade, das rochas encontradas por uma sondagem: as unidades, as profundidades de seus [contatos](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-geological-map) e qualquer propriedade medida. A *correlação* é o pareamento das mesmas unidades e dos mesmos [contatos](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-geological-map) de um perfil para outro.

Três sondagens perfuradas na linha C–D dão as seguintes profundidades, abaixo do terreno, da base de cada unidade (um traço indica que o contato está acima do terreno, erodido):

| sondagem | $x$ (km) | terreno (m) | giz | folhelho | calcário | arenito |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| B1 | 1.5 | 524.02 | 388.98 | 488.98 | 668.98 | 788.98 |
| B2 | 3.5 | 380.64 | — | — | 100.48 | 220.48 |
| B3 | 5.5 | 529.98 | 394.93 | 494.93 | 674.93 | 794.93 |

B2 começa no calcário, sobre a crista do [anticlinal](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-fold); B1 e B3 começam no giz, sobre os seus flancos. Subtraindo as profundidades da altitude do terreno obtêm-se as altitudes dos [contatos](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-geological-map): a base do calcário está em $380.64 - 100.48 = 280.16\,\mathrm{m}$ em B2 e em $529.98 - 674.93 =
-144.95\,\mathrm{m}$ em B3, $425.11\,\mathrm{m}$ mais baixa em $2\,\mathrm{km}$, uma inclinação de $0.2126$: o [mergulho aparente](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) de $12.0{}^{\circ}$ encontrado acima. B1 e B3 dão as mesmas espessuras, $100\,\mathrm{m}$ de folhelho, $180\,\mathrm{m}$ de calcário e $120\,\mathrm{m}$ de arenito: as unidades têm a mesma [espessura vertical](#def-b1-cross-sections-thickness) nos dois flancos.

![Os perfis das sondagens B1, B2 e B3 na linha C–D, suspensos em suas altitudes verdadeiras (sem escala horizontal real), e a sua correlação: a base do calcário (vermelho) e a do arenito (azul) sobem dos dois flancos até a crista do anticlinal em B2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-cross-sections/fig-8c07221279be.svg)

*Os perfis das sondagens B1, B2 e B3 na linha C–D, suspensos em suas altitudes verdadeiras (sem escala horizontal real), e a sua [correlação](#def-b1-cross-sections-log): a base do calcário (vermelho) e a do arenito (azul) sobem dos dois flancos até a crista do [anticlinal](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-fold) em B2.*

Onde há muitas sondagens, a forma de um contato enterrado é mapeada com [curvas estruturais](#def-b1-cross-sections-structure-contour).

**Definição 5.10 (Curva estrutural, mapa de curvas estruturais).**

Uma *curva estrutural* de uma superfície geológica é uma linha que une pontos da superfície à mesma altitude. Um *mapa de curvas estruturais* desenha as curvas estruturais de uma superfície em um intervalo regular, esteja ela enterrada ou erodida.

Para um plano, as [curvas estruturais](#def-b1-cross-sections-structure-contour) são retas, paralelas à [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) e igualmente espaçadas: um intervalo $\Delta z$ entre curvas corresponde ao espaçamento horizontal $\Delta z/\tan\delta$. Onde uma superfície se [dobra](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-fold), suas curvas se encurvam em torno da [dobra](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-fold); onde uma falha a corta, elas param e recomeçam deslocadas, com uma lacuna ou uma sobreposição.

**Método 5.11 (Desenho de um mapa de curvas estruturais).**

1. Para cada sondagem, e para cada ponto em que a superfície aflora, calcule a altitude da superfície (altitude do terreno menos a profundidade; num [afloramento](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-geological-map) , a própria altitude do terreno).
2. Onde a superfície está próxima de um plano, tome três pontos e encontre a sua [atitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) pelo método dos três pontos de [Capítulo 4](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#ch-b1-geological-maps) ; trace as curvas paralelas à [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) , espaçadas de $\Delta z/\tan\delta$ .
3. Onde não está, interpole linearmente entre pontos vizinhos (triângulos de pontos) e una as altitudes iguais.
4. Desenhe primeiro as falhas, e trace as curvas de cada bloco de falha separadamente.

![Curvas estruturais da base do calcário das Colinas de Varden, a cada 100\, m (vermelho, com rótulo a cada 200\, m), sobre as curvas topográficas (cinza). Nos flancos elas correm quase norte–sul, paralelas à direção; em torno das charneiras das dobras caídas formam formas de V; na falha (traços no bloco abatido) param nas duas linhas de corte da superfície, que estão separadas pelo afastamento horizontal, e recomeçam deslocadas no teto. A seção C–D está tracejada.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-cross-sections/fig-c078f6599e9b.svg)

*[Curvas estruturais](#def-b1-cross-sections-structure-contour) da base do calcário das Colinas de Varden, a cada $100\,\mathrm{m}$ (vermelho, com rótulo a cada $200\,\mathrm{m}$), sobre as curvas topográficas (cinza). Nos flancos elas correm quase norte–sul, paralelas à [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude); em torno das charneiras das [dobras](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-fold) caídas formam formas de V; na falha (traços no bloco abatido) param nas duas linhas de corte da superfície, que estão separadas pelo [afastamento horizontal](#def-b1-cross-sections-throw), e recomeçam deslocadas no teto. A seção C–D está tracejada.*

## 5.5 Da seção à história

Uma seção mostra não apenas onde estão as rochas, mas como elas chegaram ali. Os [contatos](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-geological-map) entre as unidades registram uma deposição contínua, ou uma lacuna.

**Definição 5.12 (Discordância, discordância angular, discordância paralela).**

Uma *discordância* é uma superfície de erosão ou de não deposição que separa rochas mais novas de rochas mais antigas, e assim marca uma lacuna no registro. Em uma *discordância angular* as camadas mais antigas foram inclinadas ou dobradas antes de as mais novas serem depositadas sobre as suas bordas erodidas, de modo que os dois conjuntos de camadas se encontram em ângulo. Em uma *discordância paralela* as camadas acima e abaixo são paralelas, e a lacuna aparece apenas como uma superfície de erosão ou como fósseis ou idades ausentes.

**Definição 5.13 (Rejeito, afastamento horizontal).**

O *rejeito* de uma falha é a componente vertical do deslocamento de uma superfície-marcador através dela; seu *afastamento horizontal* é a componente horizontal, medida no sentido do [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) da falha. Para uma falha de deslizamento no [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude), com [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) $\varphi$, $\text{afastamento horizontal} = \text{rejeito}/\tan\varphi$.

A falha normal das Colinas de Varden mergulha $60{}^{\circ}$ e tem [rejeito](#def-b1-cross-sections-throw) de $200\,\mathrm{m}$: seu [afastamento horizontal](#def-b1-cross-sections-throw) é $200/\tan60{}^{\circ} = 115.5\,\mathrm{m}$. Na seção C–D, oblíqua ao [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) da falha, a falha aparece a $56.3{}^{\circ}$, e o mesmo [rejeito](#def-b1-cross-sections-throw) de $200\,\mathrm{m}$ separa os dois cortes de um contato por $200/1.5 = 133.3\,\mathrm{m}$ ao longo da seção. Para *restaurar* a seção — para ver as rochas como eram antes de a falha se mover —, o bloco do teto é deslizado para cima pelo plano da falha, pelo valor do deslizamento; restaurar também o dobramento, desfazendo a curvatura das camadas, traria de volta a cobertura horizontal sobre o embasamento erodido. Lendo a seção de baixo para cima, segue-se a história das Colinas de Varden: o xisto, o granito que o intrude, a erosão, a [discordância angular](#def-b1-cross-sections-unconformity), a cobertura depositada na horizontal, o dobramento, o falhamento e a erosão que fez as colinas de hoje.

**História — Hutton em Siccar Point.**

Em Siccar Point, na costa sudeste da Escócia, camadas quase verticais de arenito e lamito cinzentos, de idade siluriana inicial, são cortadas por uma superfície de erosão e cobertas por brecha, conglomerado e arenito vermelhos, de idade devoniana tardia, inclinados suavemente. James Hutton descreveu essa [discordância angular](#def-b1-cross-sections-unconformity) em sua *Teoria da Terra*, lida na Sociedade Real de Edimburgo e publicada em suas *Transactions* em 1788, depois ampliada em um livro em 1795; um esboço de Sir James Hall registra o que Hutton viu. As camadas inferiores tinham sido depositadas horizontalmente no fundo do mar, levantadas em posição vertical, elevadas e desgastadas; só então as camadas superiores foram depositadas sobre elas, e o conjunto foi elevado de novo. Cada etapa exigia um intervalo de tempo muito mais longo do que alguém imaginara, e a leitura que Hutton fez desse [afloramento](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-geological-map) é frequentemente citada como o momento em que a geologia descobriu a idade da Terra.

![A discordância de Hutton em Siccar Point: camadas cinzentas, siluriana, quase verticais embaixo; camadas vermelhas devonianas inclinadas suavemente em cima. Fotografia PawełS, CC BY-SA 4.0 (Wikimedia Commons).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-cross-sections/img-386991539ad5.jpg)

*A [discordância](#def-b1-cross-sections-unconformity) de Hutton em Siccar Point: camadas cinzentas, siluriana, quase verticais embaixo; camadas vermelhas devonianas inclinadas suavemente em cima. Fotografia PawełS, CC BY-SA 4.0 (Wikimedia Commons).*

**No campo — Geologia para um túnel.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-cross-sections/img-fba1e96e0423.jpg)

Antes de um túnel ser projetado, os geólogos de engenharia traçam seções ao longo da sua linha a partir do [mapa geológico](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-geological-map), de sondagens perfuradas em intervalos ao longo do traçado e de levantamentos geofísicos. Eles preveem cada unidade que o túnel vai cortar, as falhas que ele vai cruzar e onde a água pode entrar. Durante a perfuração, os geólogos da empreiteira registram a rocha exposta na frente a cada avanço, comparam-na com a previsão e atualizam a seção; sondagens de avanço perfuradas à frente da máquina testam o terreno antes que ela o alcance, sobretudo perto de uma falha prevista ou em calcário que pode conter cavidades. Uma zona de falha de rocha triturada é um perigo clássico, tanto mais quando a mesma rocha ocorre dos dois lados e nada na frente avisa dela.

## 5.6 Exercícios

**Exercício 5.1 ★.**

Uma seção é desenhada a partir de um mapa na escala 1:25 000, com escala vertical de $1\,\mathrm{cm}$ para $100\,\mathrm{m}$. Qual é o seu [exagero vertical](#def-b1-cross-sections-section)?

**Solução de Exercício 5.1.**

Na escala 1:25 000, $1\,\mathrm{cm}$ no mapa correspondem a $250\,\mathrm{m}$ no terreno. A escala vertical é de $1\,\mathrm{cm}$ para $100\,\mathrm{m}$, logo a escala vertical é $250/100 = 2.5$ vezes a horizontal: $e = 2.5$.

**Exercício 5.2 ★.**

Uma camada mergulha $40{}^{\circ}$ para $090{}^{\circ}$. Qual é o seu [mergulho aparente](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) em uma seção vertical de [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $060{}^{\circ}$? E de [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $000{}^{\circ}$?

**Solução de Exercício 5.2.**

$\gamma = 90{}^{\circ} - 60{}^{\circ} = 30{}^{\circ}$, e $\tan\beta = \tan40{}^{\circ}
\cos30{}^{\circ} = 0.8391\times0.8660 = 0.7267$: $\beta = 36.0{}^{\circ}$, a camada descendo em direção à extremidade leste da seção. Na seção de [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $000{}^{\circ}$, $\gamma = 90{}^{\circ}$ e $\beta = 0$: a seção corre ao longo da [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) e a camada aparece horizontal.

**Exercício 5.3 ★.**

Um furo de sondagem vertical atravessa $120\,\mathrm{m}$ de arenito cujas camadas mergulham $12.16{}^{\circ}$. Qual é a [espessura verdadeira](#def-b1-cross-sections-thickness) do arenito?

**Solução de Exercício 5.3.**

$t = h\cos\delta = 120\times\cos12.16{}^{\circ} = 120\times0.9776 =
117.3\,\mathrm{m}$.

**Exercício 5.4 ★.**

Um contato que mergulha $12{}^{\circ}$ no plano de uma seção é desenhado com exageros verticais de 2, 3 e 5. Em que ângulos ele aparece?

**Solução de Exercício 5.4.**

$\tan12{}^{\circ} = 0.2126$. Com $e = 2$: $\arctan 0.4251 = 23.0{}^{\circ}$; com $e = 3$: $\arctan 0.6377 = 32.5{}^{\circ}$; com $e = 5$: $\arctan 1.0628 =
46.7{}^{\circ}$. O ângulo cresce bem menos que o próprio $e$, e nunca chega a $90{}^{\circ}$.

**Exercício 5.5 ★★.**

Uma camada mergulha $25{}^{\circ}$. Seu [afloramento](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-geological-map) tem $300\,\mathrm{m}$ de largura, medida perpendicularmente à [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude). Calcule a sua [espessura verdadeira](#def-b1-cross-sections-thickness) (a) em terreno plano; (b) em terreno inclinado de $10{}^{\circ}$ no sentido oposto ao do [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude), sendo a largura medida ao longo do terreno; (c) em terreno inclinado de $10{}^{\circ}$ no mesmo sentido do [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude).

**Solução de Exercício 5.5.**

(a) $t = 300\sin25{}^{\circ} = 126.8\,\mathrm{m}$. (b) $t = 300\sin35{}^{\circ} =
172.1\,\mathrm{m}$. (c) $t = 300\sin15{}^{\circ} = 77.6\,\mathrm{m}$. A mesma largura de [afloramento](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-geological-map) pode significar espessuras que diferem em mais de duas vezes: a inclinação do terreno deve sempre ser levada em conta.

**Exercício 5.6 ★★.**

Uma camada mostra um [mergulho aparente](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) de $20{}^{\circ}$ para o norte em uma seção norte–sul, e de $30{}^{\circ}$ para leste em uma seção leste–oeste. Encontre o seu [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) e o seu [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) verdadeiro.

**Solução de Exercício 5.6.**

Com [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) $\alpha$ e [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) $\delta$, o teorema dá, na seção norte–sul ($\theta = 0$), $\tan20{}^{\circ} = \tan\delta\cos\alpha$, e na seção leste–oeste ($\theta = 90{}^{\circ}$) $\tan30{}^{\circ} =
\tan\delta\cos(\alpha - 90{}^{\circ}) = \tan\delta\sin\alpha$. Dividindo, $\tan\alpha = 0.5774/0.3640 = 1.586$, $\alpha = 057.8{}^{\circ}$; somando os quadrados, $\tan\delta = \sqrt{0.3640^2 + 0.5774^2} = 0.6825$, $\delta =
34.3{}^{\circ}$. Os dois [mergulhos aparentes](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) são menores que o [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) verdadeiro, como devem ser.

**Exercício 5.7 ★★.**

A base do calcário no flanco leste mergulha $12.16{}^{\circ}$. Qual é o espaçamento horizontal das suas [curvas estruturais](#def-b1-cross-sections-structure-contour) traçadas a cada $100\,\mathrm{m}$? Confira no [mapa de curvas estruturais](#def-b1-cross-sections-structure-contour).

**Solução de Exercício 5.7.**

$100/\tan12.16{}^{\circ} = 100/0.2155 = 464.1\,\mathrm{m}$. No mapa, as [curvas estruturais](#def-b1-cross-sections-structure-contour) do flanco leste estão de fato um pouco menos de meio quilômetro afastadas, igualmente espaçadas e paralelas: o flanco é um plano.

**Exercício 5.8 ★★.**

A partir da tabela das sondagens, calcule a altitude da base do folhelho em B1 e em B3. Sobre B2 o folhelho foi erodido: a partir da [espessura vertical](#def-b1-cross-sections-thickness) do calcário, encontre a altitude que a sua base teria ali, e o [mergulho aparente](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) desse contato entre B1 e B2 na seção C–D. O que a comparação entre B1 e B3 diz sobre a [dobra](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-fold)?

**Solução de Exercício 5.8.**

B1: $524.02 - 488.98 = 35.04\,\mathrm{m}$; B3: $529.98 - 494.93 =
35.05\,\mathrm{m}$. Acima de B2, a base do folhelho é o topo do calcário, $180\,\mathrm{m}$ acima da sua base: $280.16 + 180 = 460.16\,\mathrm{m}$, mais alto que o terreno ($380.64\,\mathrm{m}$), por isso ele foi erodido ali. Entre B1 e B2 o contato sobe $460.16 - 35.04 = 425.12\,\mathrm{m}$ em $2000\,\mathrm{m}$: uma inclinação de $0.2126$, um [mergulho aparente](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) de $12.0{}^{\circ}$. B1 e B3, à mesma distância de cada lado de B2, encontram todos os [contatos](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-geological-map) na mesma altitude com uma precisão de $1\,\mathrm{cm}$: a [dobra](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-fold) é simétrica em torno de um plano axial vertical em $x = 3.5\,\mathrm{km}$, com os dois flancos mergulhando igualmente, e nenhuma falha corta a seção entre eles.

**Exercício 5.9 ★★.**

Uma falha normal que mergulha $50{}^{\circ}$ para $180{}^{\circ}$ tem um [rejeito](#def-b1-cross-sections-throw) de $150\,\mathrm{m}$. Calcule o seu [afastamento horizontal](#def-b1-cross-sections-throw). Em uma seção vertical de [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $150{}^{\circ}$, quais são o [mergulho aparente](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) da falha e a separação dos dois cortes de uma camada horizontal ao longo da seção?

**Solução de Exercício 5.9.**

[Afastamento horizontal](#def-b1-cross-sections-throw) $= 150/\tan50{}^{\circ} = 150/1.1918 = 125.9\,\mathrm{m}$. Na seção de [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $150{}^{\circ}$, $\gamma = 30{}^{\circ}$ e $\tan\beta = 1.1918\times0.8660 =
1.0321$: a falha aparece com o [mergulho aparente](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) $45.9{}^{\circ}$. Os cortes de uma camada horizontal estão separados por $150\,\mathrm{m}$ na vertical sobre esse traço, logo $150/1.0321 = 145.3\,\mathrm{m}$ de separação ao longo da seção, mais que o [afastamento horizontal](#def-b1-cross-sections-throw), já que a seção cruza a falha obliquamente.

**Exercício 5.10 ★★★.**

Para uma camada que mergulha $40{}^{\circ}$, em quais direções de seção o [mergulho aparente](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) é a metade do [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) verdadeiro, isto é, $20{}^{\circ}$? Mostre que o [mergulho aparente](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) varia pouco perto da [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) do [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) e depressa perto da [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) da linha de [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude).

**Solução de Exercício 5.10.**

$\cos\gamma = \tan20{}^{\circ}/\tan40{}^{\circ} = 0.3640/0.8391 = 0.4338$, logo $\gamma = 64.3{}^{\circ}$: as seções de [azimutes](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $\alpha \pm 64.3{}^{\circ}$ (e as direções opostas, onde a camada sobe). O [mergulho aparente](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) é $40.0{}^{\circ}$, $39.6{}^{\circ}$, $38.3{}^{\circ}$ e $36.0{}^{\circ}$ para $\gamma = 0$, $10{}^{\circ}$, $20{}^{\circ}$, $30{}^{\circ}$, mas $22.8{}^{\circ}$, $16.0{}^{\circ}$, $8.3{}^{\circ}$ e $0$ para $\gamma = 60{}^{\circ}$, $70{}^{\circ}$, $80{}^{\circ}$, $90{}^{\circ}$. De fato, derivando $\tan\beta = \tan\delta\cos\gamma$, $\dfrac{\mathrm d\beta}{\mathrm d\gamma} =
-\dfrac{\tan\delta\sin\gamma}{1 + \tan^2\delta\cos^2\gamma}$, que é nula em $\gamma = 0$ e vale $-\tan\delta$ em $\gamma = 90{}^{\circ}$: uma seção um pouco afastada da [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) do [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) mostra quase o [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) verdadeiro, enquanto perto da [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude), cada grau de [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) muda o [mergulho aparente](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) em quase um grau.

**Exercício 5.11 ★★★.**

Um furo de sondagem atravessa o calcário do flanco leste ([espessura verdadeira](#def-b1-cross-sections-thickness) $176.0\,\mathrm{m}$, [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) $12.16{}^{\circ}$ para $080.7{}^{\circ}$). Que comprimento de testemunho ele recupera (a) se for vertical; (b) se for inclinado de $60{}^{\circ}$ abaixo da horizontal para $260.7{}^{\circ}$; (c) inclinado de $60{}^{\circ}$ para $080.7{}^{\circ}$? (Sugestão: o comprimento é $t/\cos\psi$, em que $\psi$ é o ângulo entre o furo e a normal ao acamamento.)

**Solução de Exercício 5.11.**

As camadas mergulham para leste, logo a normal ao acamamento, seguida para baixo, está inclinada $12.16{}^{\circ}$ da vertical para oeste, em direção a $260.7{}^{\circ}$. (a) Um furo vertical faz com ela o ângulo $\psi = 12.16{}^{\circ}$: $176.0/\cos12.16{}^{\circ} = 180.0\,\mathrm{m}$, a [espessura vertical](#def-b1-cross-sections-thickness). (b) Um furo que cai $60{}^{\circ}$ em direção a $260.7{}^{\circ}$ está inclinado $30{}^{\circ}$ da vertical do mesmo lado da normal: $\psi = 30{}^{\circ} - 12.16{}^{\circ} =
17.84{}^{\circ}$, $\cos\psi = 0.9519$, e o testemunho tem $176.0/0.9519 =
184.9\,\mathrm{m}$ de comprimento. (c) Em [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) a $080.7{}^{\circ}$ ele está inclinado do outro lado: $\psi = 30{}^{\circ} + 12.16{}^{\circ} = 42.16{}^{\circ}$, $\cos\psi = 0.7413$, e o testemunho tem $176.0/0.7413 = 237.4\,\mathrm{m}$ de comprimento. O testemunho é o mais curto, igual a $t$, quando o furo corre ao longo da normal, caindo $77.84{}^{\circ}$ em direção a $260.7{}^{\circ}$.

**Exercício 5.12 ★★★.**

Em uma [discordância angular](#def-b1-cross-sections-unconformity), as camadas inferiores mergulham $70{}^{\circ}$ para $090{}^{\circ}$ e as superiores mergulham $20{}^{\circ}$ para $270{}^{\circ}$, com a mesma [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude). Gire todo o [afloramento](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-geological-map) em torno da [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) para trazer as camadas superiores de volta à horizontal: qual era o [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) das camadas inferiores quando as superiores foram depositadas? Escreva a história do [afloramento](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-geological-map) em ordem.

**Solução de Exercício 5.12.**

No plano vertical leste–oeste, medindo os ângulos a partir do leste, as camadas superiores sobem para leste com $20{}^{\circ}$ e as inferiores descem para leste com $70{}^{\circ}$. Girando o [afloramento](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-geological-map) em torno da [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) de $20{}^{\circ}$, com o lado leste para baixo, as camadas superiores ficam horizontais e as inferiores passam a $70{}^{\circ} + 20{}^{\circ} = 90{}^{\circ}$: estavam verticais quando as camadas superiores foram depositadas. História, a partir do evento mais antigo: as camadas inferiores são depositadas na horizontal; são inclinadas até a vertical e soerguidas; suas bordas são erodidas até formar uma superfície; as camadas superiores são depositadas sobre essa superfície; o conjunto é inclinado $20{}^{\circ}$ para oeste; a erosão corta a superfície do terreno de hoje. É a história do [afloramento](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-geological-map) de Hutton em Siccar Point.

## 5.7 Problema: um túnel sob as Colinas de Varden

**Problema 5.1.**

Problema de fim de semana — quais rochas um túnel vai cortar, onde ele encontrará a falha e quanto calcário ele vai perfurar

O túnel corre exatamente para leste ao longo da linha C–D ($y = 6\,\mathrm{km}$), em altitude constante de $200\,\mathrm{m}$, de $x = 1\,\mathrm{km}$ até $x =
9\,\mathrm{km}$. A altitude do terreno ao longo de C–D, a cada quilômetro a partir de $x = 0$, é:

| $x$ (km) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $z$ (m) | 509 | 556 | 467 | 370 | 435 | 534 | 501 | 455 | 406 | 339 | 405 |

Use a tabela de sondagens do capítulo, a seção C–D desenhada com $e = 3$, a [atitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) do flanco leste ([mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) $12.16{}^{\circ}$ para $080.7{}^{\circ}$; o flanco oeste é a sua imagem especular, mergulhando para $279.3{}^{\circ}$), e a falha normal, que mergulha $60{}^{\circ}$ para $120{}^{\circ}$, tem [rejeito](#def-b1-cross-sections-throw) de $200\,\mathrm{m}$ e passa pelo ponto $x = 4.30\,\mathrm{km}$, $y = 1.00\,\mathrm{km}$, $z = 250\,\mathrm{m}$.

**Parte I — O perfil e as unidades.**

1. Quais são as maiores e as menores espessuras de rocha acima do túnel nos pontos quilométricos entre $x = 1$ e $x = 9$ ?
2. Na seção impressa, $1\,\mathrm{km}$ de distância horizontal mede $1.4\,\mathrm{cm}$ e $1\,\mathrm{km}$ de altitude mede $4.2\,\mathrm{cm}$ . Confira que $e = 3$ .
3. A partir do perfil de B2, encontre a altitude da base do arenito na crista do [anticlinal](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-fold) .
4. Em qual unidade está o túnel em $x = 3.5\,\mathrm{km}$ ?
5. Calcule a altitude da base do calcário em B1 e em B3.
6. A partir da seção, liste em ordem as unidades que o túnel atravessa de $x = 1$ até $x = 9\,\mathrm{km}$ .

**Parte II — Mergulhos na seção.**

7. Calcule o [mergulho aparente](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) do flanco leste em C–D a partir da sua [atitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) .
8. Confira-o a partir das altitudes da base do calcário em B2 e B3.
9. Em que ângulo o flanco leste é desenhado na seção com $e = 3$ ?
10. Calcule o [mergulho aparente](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) da falha em C–D.
11. Por que o [mergulho aparente](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) dos flancos em C–D fica tão próximo do seu [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) verdadeiro, e o da falha, menos?

**Parte III — A falha.**

12. Mostre que, no plano $y = 6\,\mathrm{km}$, a falha está em $$x = 4300 + \frac{2500 - (z - 250)\tan30{}^{\circ}}{\sin120{}^{\circ}}  \quad\text{(metros)}.$$
13. Onde o túnel encontra a falha?
14. Calcule o [afastamento horizontal](#def-b1-cross-sections-throw) da falha e a separação dos dois cortes de um contato ao longo de C–D.
15. Qual bloco está abatido, e qual unidade está no nível do túnel de cada lado da falha?
16. Por que a falha é um perigo que a equipe de perfuração não poderia ver chegando a partir da rocha na frente? Como os engenheiros se protegem contra ela?

**Parte IV — O calcário.**

17. Qual é a [espessura vertical](#def-b1-cross-sections-thickness) do calcário em B1?
18. Qual é a sua [espessura verdadeira](#def-b1-cross-sections-thickness) ?
19. Mostre que, a oeste da falha em C–D, a base do arenito está em $$z_b = 160.16 - |x - 3500|\tan12.0{}^{\circ} \quad\text{(metros)}.$$
20. O túnel está no calcário quando a sua base fica abaixo de $200\,\mathrm{m}$ e o seu topo, acima. Mostre que isso acontece para $377.1 < |x - 3500|  < 1224.0$ .
21. Dê os quatro pontos em que o túnel entra e sai do calcário.
22. Mostre que o comprimento perfurado em cada flanco é $h/\tan\beta$ , em que $h$ é a [espessura vertical](#def-b1-cross-sections-thickness) e $\beta$ o [mergulho aparente](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) , e calcule-o.
23. Qual é o comprimento total de calcário que o túnel perfura?

**Solução de Problema 5.1.**

**1.** A espessura acima do túnel é $z - 200$: a maior em $x = 1\,\mathrm{km}$, $556 - 200 = 356\,\mathrm{m}$; a menor em $x =
9\,\mathrm{km}$, $339 - 200 = 139\,\mathrm{m}$.

**2.** $1\,\mathrm{km}$ de altitude mede $4.2\,\mathrm{cm}$ e $1\,\mathrm{km}$ de distância mede $1.4\,\mathrm{cm}$: $e = 4.2/1.4 = 3$.

**3.** $380.64 - 220.48 = 160.16\,\mathrm{m}$.

**4.** Em B2 a base do calcário está em $380.64 - 100.48 =
280.16\,\mathrm{m}$ e a base do arenito em $160.16\,\mathrm{m}$: o túnel, a $200\,\mathrm{m}$, está no arenito.

**5.** B1: $524.02 - 668.98 = -144.96\,\mathrm{m}$; B3: $529.98 - 674.93 =
-144.95\,\mathrm{m}$.

**6.** De oeste para leste: giz, folhelho, calcário, arenito (no núcleo do [anticlinal](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-fold)), calcário, folhelho e de novo giz até $x = 9\,\mathrm{km}$, passando pelo [sinclinal](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-fold) e atravessando a falha.

**7.** $\gamma = 80.7{}^{\circ} - 90{}^{\circ} = -9.3{}^{\circ}$; $\tan\beta =
\tan12.16{}^{\circ}\cos9.3{}^{\circ} = 0.2155\times0.9869 = 0.2126$: $\beta =
12.0{}^{\circ}$, descendo para leste.

**8.** $(280.16 + 144.95)/2000 = 425.11/2000 = 0.2126$: $12.0{}^{\circ}$.

**9.** $\arctan(3\times0.2126) = \arctan 0.6377 = 32.5{}^{\circ}$.

**10.** $\gamma = 120{}^{\circ} - 90{}^{\circ} = 30{}^{\circ}$; $\tan\beta =
\tan60{}^{\circ}\cos30{}^{\circ} = 1.732\times0.866 = 1.500$: $\beta = 56.3{}^{\circ}$.

**11.** Os flancos mergulham para $080.7{}^{\circ}$ ou $279.3{}^{\circ}$, apenas $9.3{}^{\circ}$ da linha da seção, e $\cos9.3{}^{\circ} = 0.987$; a falha mergulha para $120{}^{\circ}$, $30{}^{\circ}$ dela, e $\cos30{}^{\circ} = 0.866$.

**12.** O plano da falha é $z = 250 - \tan60{}^{\circ}\,[(x - 4300)
\sin120{}^{\circ} + (y - 1000)\cos120{}^{\circ}]$. Com $y = 6000$, $(y - 1000)
\cos120{}^{\circ} = -2500$, logo $(x - 4300)\sin120{}^{\circ} = 2500 - (z - 250)/
\tan60{}^{\circ}$, e $1/\tan60{}^{\circ} = \tan30{}^{\circ}$.

**13.** Em $z = 200$: $x = 4300 + (2500 + 50\times0.5774)/0.8660 =
4300 + 2528.9/0.8660 = 7220\,\mathrm{m}$, isto é, $7.22\,\mathrm{km}$ de C.

**14.** [Afastamento horizontal](#def-b1-cross-sections-throw) $= 200/\tan60{}^{\circ} = 115.5\,\mathrm{m}$; separação ao longo de C–D $= 200/1.500 = 133.3\,\mathrm{m}$.

**15.** A falha mergulha para leste-sudeste e é normal: o teto, a leste, está abatido. No nível do túnel o giz está dos dois lados da falha: a oeste dela, o giz do [sinclinal](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-fold); a leste, giz rebaixado em $200\,\mathrm{m}$.

**16.** O túnel permanece no giz através da falha, de modo que nenhuma mudança de rocha na frente a anuncia; apenas uma zona de rocha triturada, e talvez água, o faz. Os engenheiros preveem a sua posição a partir da seção (aqui $7.22\,\mathrm{km}$), perfuram sondagens de avanço à frente da máquina conforme ela se aproxima e preparam o suporte para a zona triturada.

**17.** $668.98 - 488.98 = 180.00\,\mathrm{m}$.

**18.** $t = 180\cos12.16{}^{\circ} = 176.0\,\mathrm{m}$.

**19.** Na crista ($x = 3500$) a base do arenito está em $160.16\,\mathrm{m}$ (questão 3); ela desce dos dois flancos com o [mergulho aparente](#def-b1-cross-sections-apparent-dip) $12.0{}^{\circ}$ da questão 7, isto é, de $\tan12.0{}^{\circ}$ por metro de distância horizontal a partir do eixo.

**20.** A base do calcário está $120\,\mathrm{m}$ acima da base do arenito, em $280.16 - u\tan12.0{}^{\circ}$ com $u = |x - 3500|$, e o seu topo, $180\,\mathrm{m}$ mais alto, em $460.16 - u\tan12.0{}^{\circ}$. Com $\tan12.0{}^{\circ} =
0.21256$: a base está abaixo de $200\,\mathrm{m}$ quando $u > 80.16/0.21256 = 377.1$, e o topo acima dela quando $u < 260.16/0.21256 = 1224.0$.

**21.** $x = 3500 \pm 377.1$ e $3500 \pm 1224.0$: o túnel está no calcário de $2276\,\mathrm{m}$ a $3123\,\mathrm{m}$ e de $3877\,\mathrm{m}$ a $4724\,\mathrm{m}$.

**22.** Ao longo de uma linha horizontal, a base e o topo do calcário, $180\,\mathrm{m}$ afastados na vertical e ambos inclinados de $\tan\beta$, são cruzados a uma distância horizontal de $h/\tan\beta$: $180/0.21256 = 846.8\,\mathrm{m}$ em cada flanco, o mesmo, a menos do arredondamento, que $1224.0 - 377.1 = 846.9$.

**23.** $2\times846.8 = 1693.7\,\mathrm{m}$: o túnel perfura **cerca de $1694\,\mathrm{m}$ de calcário**, mais de um quinto de seus $8\,\mathrm{km}$ de comprimento, em dois trechos de $847\,\mathrm{m}$ de cada lado do núcleo de arenito do [anticlinal](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-fold).