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title: "Métodos de campo e de laboratório I"
book: "Ciências da Terra e do espaço universitárias — 1.º ano"
subject: earth
language: pt
chapter: 6
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 6 — Métodos de campo e de laboratório I

Uma geóloga que mapeia as Colinas de Varden leva pouca coisa: um caderno, um lápis, um receptor de satélite, uma bússola-clinômetro, uma lupa e alguns sacos de amostras. Com eles ela fixa onde está, mede a [atitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) dos estratos, dá nome às rochas e traz as amostras que o laboratório vai cortar, desbastar e observar ao microscópio. Cada número dos capítulos anteriores — uma [atitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) num mapa, um [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) numa seção — começou como uma leitura desse tipo, com seu próprio erro. Este capítulo descreve como os profissionais fazem essas observações e como leituras repetidas são calculadas em média e sua dispersão transformada em incerteza. Ele termina com uma temporada de leituras no flanco leste do [anticlinal](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-fold) de Varden.

**O que você já sabe.**

A [atitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) de um plano se escreve [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude)/[mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude), como $081/12$, ou como uma [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) pela regra da mão direita com um [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) ([Capítulo 4](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#ch-b1-geological-maps)). A declinação magnética é o ângulo entre o norte geográfico e a [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) para a qual aponta a agulha de uma bússola (física, 11º ano). Os minerais são reconhecidos na mão pelo brilho, pela clivagem, pela dureza e pela cor (Livro 2, 11º ano). A média e o desvio padrão de um conjunto de números resumem o seu centro e a sua dispersão (matemática).

## 6.1 O caderno e o mapa

**Definição 6.1 (Estação de campo, caderneta de campo).**

Uma *estação de campo* é um lugar numerado onde um geólogo faz e registra observações: sua posição, as rochas vistas, a sua [atitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) e as amostras colhidas. A *caderneta de campo* é o registro encadernado das estações, na ordem em que foram visitadas, com seus números, esboços e medidas, anotados no local.

A caderneta é o registro primário: o que não é anotado na estação se perde, e um mapa desenhado à noite só vale tanto quanto as anotações que o sustentam. Cada estação tem um número que aparece no mapa de campo, na caderneta e em cada saco de amostra recolhido ali. Um esboço mostra o que uma lista de números não consegue — como duas unidades se encontram, para que lado estão as camadas mais novas, onde uma leitura foi feita numa superfície dobrada — e registra a sua escala e orientação. Fatos e interpretações são mantidos separados: “calcário sobre folhelho, contato nítido” é uma observação; “[discordância](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/5-secoes-geologicas#def-b1-cross-sections-unconformity)” é uma inferência, escrita como tal.

**No campo — Um dia de mapeamento.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-field-lab-methods-1/img-c0c4312b37ab.jpg)

Um geólogo que mapeia planeja um caminhamento transversal à [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude), de modo a encontrar cada unidade em sequência, e para em cada contato, mudança de rocha ou superfície mensurável que aparece. Em cada estação ela anota o número e a posição, esboça o que vê, mede [atitudes](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) e registra as amostras. As posições vêm de um receptor de satélite: um receptor comum, como o de um smartphone, tem precisão típica de cerca de $4.9\,\mathrm{m}$ a céu aberto, pior perto de paredões e árvores, enquanto receptores de levantamento de dupla frequência ou com serviços de correção chegam a poucos centímetros. Na escala 1:10 000, $4.9\,\mathrm{m}$ são meio milímetro: um receptor comum basta para o mapeamento, mas não para medir o movimento lento do terreno ([Capítulo 12](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/12-cinematica-de-placas-sobre-uma-esfera#ch-b1-plate-kinematics)).

## 6.2 Medindo orientações

A [atitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) de um plano — um estrato, uma falha, uma junta — é medida com uma bússola-clinômetro: uma bússola magnética para ler [azimutes](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal), e um pêndulo ou um nível para ler ângulos a partir da horizontal. Sua borda é apoiada ao longo da [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) da superfície para ler a [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude), ou o instrumento é posto sobre a superfície ao longo da sua linha de maior declive para ler o [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) e, a partir do [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) dessa linha, o [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude).

![Medindo uma atitude (esquemático). (a) A borda da bússola apoiada horizontalmente sobre o estrato dá a direção; o sentido de mergulho é perpendicular a ela, descendo pelo estrato. (b) Posto sobre a borda, ao longo da linha mais íngreme, o clinômetro dá o mergulho .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-field-lab-methods-1/fig-2619eda15a10.svg)

*Medindo uma [atitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) (esquemático). (a) A borda da bússola apoiada horizontalmente sobre o estrato dá a [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude); o [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) é perpendicular a ela, descendo pelo estrato. (b) Posto sobre a borda, ao longo da linha mais íngreme, o clinômetro dá o [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) $\delta$.*

Uma linha — o eixo de uma [dobra](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-fold), um risco numa superfície de falha, o eixo longo de seixos — tem uma orientação própria.

**Definição 6.2 (Rumo e caimento).**

O *rumo* de uma linha é o [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) da sua projeção horizontal, medido em direção à extremidade da linha que aponta para baixo. Seu *caimento* é o ângulo entre a linha e a horizontal, medido no plano vertical que a contém. Uma linha que cai $20{}^{\circ}$ em direção a $015{}^{\circ}$ escreve-se $20\to015$.

Uma linha de [rumo](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge) $t$ e [caimento](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge) $p$ tem o vetor unitário para baixo $(\cos p\sin t, \cos p\cos t, -\sin p)$, em componentes leste, norte e cima; uma linha situada em um plano de [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) $\alpha$ e [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) $\delta$ cai pelo [mergulho aparente](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/5-secoes-geologicas#def-b1-cross-sections-apparent-dip) desse plano no plano vertical de [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $t$, de modo que $\tan p = \tan\delta\cos(\alpha - t)$ ([Teorema 5.4](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/5-secoes-geologicas#thm-b1-cross-sections-apparent-dip)).

### 6.2.1 A declinação magnética

Uma agulha de bússola aponta para o norte magnético, não para o norte geográfico; o ângulo entre os dois é a declinação magnética, contada como positiva quando o norte magnético está a leste do norte geográfico. Mapas e as [atitudes](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) deste livro usam [azimutes](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) geográficos.

**Método 6.3 (Correção de um azimute da bússola).**

1. Encontre a declinação magnética $D$ para o lugar e a data, a partir de um modelo do campo terrestre (leste positivo, oeste negativo).
2. Some a ela cada [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) lido na bússola: [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) geográfico $=$ [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) magnético $+ D$ , módulo $360{}^{\circ}$ .
3. Não altere [mergulhos](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) nem [caimentos](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge) : eles são medidos a partir da horizontal, pela gravidade, e não pela agulha.

A maioria das bússolas de campo pode ser ajustada para somar $D$ mecanicamente; o ajuste, e o ano para o qual foi feito, são anotados na caderneta.

**Dados de 2026.**

Em 1º de janeiro de 2026, o World Magnetic Model (versão 2025) dá a declinação magnética como $-0.47{}^{\circ}$ (oeste) em Edimburgo, variando $+0.20{}^{\circ}$ por ano; $-11.28{}^{\circ}$ em Reykjavik, variando $+0.30{}^{\circ}$ por ano; $+14.20{}^{\circ}$ (leste) em Anchorage, variando $-0.28{}^{\circ}$ por ano; e $+23.23{}^{\circ}$ em Wellington. Um geólogo que esquecesse a correção em Wellington deslocaria todo [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) em mais de $23{}^{\circ}$; quem reutilizasse um ajuste de Edimburgo de dez anos antes carregaria um erro de cerca de $2{}^{\circ}$.

### 6.2.2 Leituras repetidas

Uma única leitura de um plano de acamamento carrega erros: a superfície nunca é um plano perfeito, o instrumento não está perfeitamente ajustado, e a leitura é arredondada ao grau. Por isso o geólogo mede a mesma superfície várias vezes, ou várias superfícies de um mesmo flanco, e faz a média. Calcular a média de [azimutes](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) exige cuidado: as leituras de $355{}^{\circ}$ e $005{}^{\circ}$ descrevem direções separadas por $10{}^{\circ}$, mas a média aritmética delas, $180{}^{\circ}$, aponta para o sentido oposto. A média correta trabalha com vetores.

**Definição 6.4 (Orientação média (média vetorial)).**

Para um plano de [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) $\alpha$ e [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) $\delta$, seja

$$
\vec n = (\sin\delta\sin\alpha,\ \sin\delta\cos\alpha,\ \cos\delta)
$$

sua normal unitária para cima, em componentes leste, norte e cima. A *orientação média* (ou *média vetorial*) de $N$ leituras de normais $\vec n_1, \dots, \vec n_N$ é o plano cuja normal é $\vec m = \vec S/\|\vec S\|$, em que $\vec S = \sum_i \vec n_i$ é a sua resultante; $\bar R = \|\vec S\|/N$ é o *comprimento médio da resultante*. O [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) médio e o [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) médio são $\bar\alpha = \operatorname{atan2}(S_E, S_N)$ e $\bar\delta = \arccos(S_U/\|\vec S\|)$.

Que $\vec n$ é a normal decorre de [Capítulo 4](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#ch-b1-geological-maps): o plano $z = -\tan\delta\,(x\sin\alpha + y\cos\alpha)$ tem a normal para cima $(\tan\delta\sin\alpha, \tan\delta\cos\alpha, 1)$, cujo comprimento é $1/\cos\delta$.

**Proposição 6.5 (A média vetorial é a direção mais próxima).**

Entre todos os vetores unitários $\vec u$, a normal média $\vec m$ maximiza $\sum_i \vec n_i\cdot\vec u = \sum_i \cos\theta_i(\vec u)$, em que $\theta_i(\vec u)$ é o ângulo entre $\vec n_i$ e $\vec u$; equivalentemente, ela minimiza $\sum_i \|\vec n_i - \vec u\|^2$. Além disso

$$
\bar R = \frac1N\sum_i \cos\theta_i, \qquad \theta_i = \theta_i(\vec m),
$$

de modo que $0 < \bar R \le 1$, com $\bar R = 1$ apenas se todas as leituras concordam; e, quando a dispersão é pequena, o ângulo quadrático médio entre as leituras e a sua média é

$$
\theta_{\text{rms}} \approx \sqrt{2(1 - \bar R)} \quad\text{(radianos)}.
$$

**Demonstração.** $\sum_i \vec n_i\cdot\vec u = \vec S\cdot\vec u \le \|\vec S\|$ pela desigualdade de Cauchy–Schwarz, com igualdade exatamente quando $\vec u = \vec m$. Como $\|\vec n_i - \vec u\|^2 = 2 - 2\,\vec n_i\cdot\vec u$, os dois problemas são o mesmo. Com $\vec u = \vec m$ o limite é atingido: $\|\vec S\| = \sum_i\cos\theta_i$, que é a fórmula de $\bar R$. Por fim, $\cos\theta \approx 1 - \theta^2/2$ para $\theta$ pequeno, logo $1 - \bar R \approx
\frac1N\sum_i\theta_i^2/2 = \theta_{\text{rms}}^2/2$. ∎

De que modo erros nos dois ângulos deslocam a normal? Derivando $\vec n$,

$$
\frac{\partial\vec n}{\partial\delta} = (\cos\delta\sin\alpha,\ \cos\delta\cos\alpha,\ -\sin\delta),
  \qquad
  \frac{\partial\vec n}{\partial\alpha} = (\sin\delta\cos\alpha,\ -\sin\delta\sin\alpha,\ 0):
$$

o primeiro tem comprimento 1, o segundo comprimento $\sin\delta$, e os dois são perpendiculares. Pequenos erros $\Delta\delta$ e $\Delta\alpha$ portanto deslocam a normal do ângulo

$$
\Delta\theta \approx \sqrt{\Delta\delta^2 + \sin^2\delta\,\Delta\alpha^2}.
$$

Num estrato suavemente inclinado, um erro no [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) quase não muda o plano: num estrato que mergulha $12{}^{\circ}$, um erro de $3{}^{\circ}$ no [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) desloca o plano em apenas $3\sin12{}^{\circ} = 0.6{}^{\circ}$. O inverso é a dificuldade do geólogo de campo: o [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) de um estrato suave é mal fixado pelo seu plano, e pequenas ondulações da superfície o espalham amplamente. O erro padrão de uma média de $N$ leituras independentes de desvio padrão $s$ é $s/\sqrt N$ (matemática): para reduzi-lo à metade, são necessárias quatro vezes mais leituras.

![Vinte e cinco leituras simuladas da estratificação do flanco leste de Varden, cuja atitude do modelo é 080.7/12.2, cada uma com erros de desvio padrão de 3 nos dois ângulos, arredondados ao grau. Linha cheia: a média; tracejada: um desvio padrão para cada lado (080.8 ± 2.9 e 12.4 ± 2.1). A média vetorial das 25 leituras é 080.9/12.3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-field-lab-methods-1/fig-02329a60300f.svg)

*Vinte e cinco leituras simuladas da estratificação do flanco leste de Varden, cuja [atitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) do modelo é $080.7/12.2$, cada uma com erros de desvio padrão de $3{}^{\circ}$ nos dois ângulos, arredondados ao grau. Linha cheia: a média; tracejada: um desvio padrão para cada lado ($080.8 \pm 2.9$ e $12.4 \pm 2.1$). A média vetorial das 25 leituras é $080.9/12.3$.*

## 6.3 A lupa e a identificação de campo

A maioria das rochas recebe o seu nome no campo, antes de qualquer trabalho de laboratório, a partir dos minerais que uma lupa mostra e da maneira como a rocha se quebra. O geólogo observa uma superfície fresca, pois o intemperismo recobre e descolore a rocha, e anota o tamanho dos grãos (se se veem a olho nu, com a lupa ou não se veem), suas formas, se se encaixam como um mosaico ou se estão cimentados como areia, e qualquer alinhamento. Os minerais são reconhecidos pelas propriedades relembradas no início do capítulo: o brilho vítreo e a ausência de clivagem do quartzo, as duas clivagens e a brancura opaca do feldspato, as lamelas da mica, a clivagem romboédrica da calcita. A dureza é testada com uma ponta de aço: o quartzo é mais duro que o aço e a calcita muito mais mole.

Os profissionais levam um pequeno frasco conta-gotas de ácido clorídrico diluído: uma rocha carbonática libera bolhas de dióxido de carbono onde a gota cai (química). A calcita reage vigorosamente; a dolomita reage fracamente, a menos que esteja pulverizada. O ácido é manipulado com luvas e proteção para os olhos, e nunca por um leitor deste livro: a descrição é da prática profissional.

## 6.4 Amostras

**Definição 6.6 (Amostra orientada).**

Uma *amostra orientada* é uma amostra de rocha na qual o geólogo marcou, antes de retirá-la, a [atitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) de uma de suas superfícies (uma linha de [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) e uma seta de [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude), ou o [rumo](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge) de uma linha), de modo que a amostra possa ser recolocada na sua posição de campo no laboratório.

Uma amostra só é útil se for representativa da unidade que ela representa — fresca, não intemperizada, não colhida de um veio ou de um bloco caído — e se a sua origem for certa. Cada uma recebe o número da estação e um número de amostra, escritos na rocha e no saco, e é listada na caderneta com a sua posição, a sua unidade e a razão pela qual foi colhida. As amostras destinadas a análises químicas ou isotópicas, cujos resultados podem ser publicados décadas depois, são acompanhadas do campo ao laboratório por um registro escrito de cada mão pela qual passam — uma cadeia de custódia — para que não reste dúvida sobre qual rocha deu qual número. [Amostras orientadas](#def-b1-field-lab-methods-1-sample) são necessárias sempre que importa a [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) de algo dentro da rocha: um alinhamento de minerais, uma textura vista ao microscópio, ou a [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) da magnetização que a rocha adquiriu ao se formar.

## 6.5 Lâminas delgadas e o microscópio de polarização

**Definição 6.7 (Lâmina delgada).**

Uma *lâmina delgada* é uma fatia de rocha, colada a uma lâmina de vidro e desbastada até uma espessura padrão de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, fina o suficiente para que a maioria dos minerais deixe passar a luz.

**No laboratório — Fazendo uma lâmina delgada.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-field-lab-methods-1/img-babe22c6b594.jpg)

No laboratório de preparação, um técnico corta um pequeno bloco da amostra com uma serra de diamante, desbasta uma face com perfeição plana e cola-o a uma lâmina de vidro com uma resina epóxi cujo índice de refração, de 1.54 a 1.55, é quase o do quartzo. Depois, a maior parte do bloco é serrada e a fatia é desbastada numa politriz rotativa com abrasivos cada vez mais finos, até ficar com $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ de espessura. O técnico verifica a espessura ao microscópio pelas cores mostradas pelos grãos de quartzo ([Capítulo 8](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/8-mineralogia-optica#ch-b1-optical-mineralogy)), e termina com uma lamínula fina ou com uma superfície polida. Rochas porosas ou friáveis são primeiro embebidas em resina para se manterem coesas.

O estudo da lâmina é feito com um microscópio equipado com dois filtros polarizadores. A polarização linear é assunto da física: aqui basta que um filtro polarizador deixe passar apenas a luz que vibra em uma [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude), e que dois filtros colocados em ângulo reto não deixem passar nada.

**Definição 6.8 (Microscópio de polarização, luz plano-polarizada, polarizadores cruzados).**

Um *microscópio de polarização* é um microscópio de luz transmitida com um filtro polarizador (o polarizador) abaixo de uma platina que gira através de $360{}^{\circ}$ sobre uma escala graduada, e um segundo filtro polarizador (o analisador) entre a objetiva e a ocular, que pode ser movido para dentro ou para fora do caminho da luz, com a sua direção de vibração em ângulo reto com a do polarizador. Com o analisador para fora, a amostra é vista em *luz plano-polarizada*; com o analisador para dentro, ela é vista entre *polarizadores cruzados*.

![O caminho da luz de um microscópio de polarização (esquemático, de baixo para cima). O polarizador e o analisador vibram em ângulo reto (setas duplas); com nada entre eles, os polarizadores cruzados dão um campo preto.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-field-lab-methods-1/fig-f364a0164774.svg)

*O caminho da luz de um [microscópio de polarização](#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) (esquemático, de baixo para cima). O polarizador e o analisador vibram em ângulo reto (setas duplas); com nada entre eles, os [polarizadores cruzados](#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) dão um campo preto.*

Entre [polarizadores cruzados](#def-b1-field-lab-methods-1-microscope), o vidro da lâmina, a resina e qualquer mineral isotrópico (cujas propriedades ópticas são as mesmas em todas as direções, como nos cristais cúbicos) permanecem pretos, qualquer que seja a rotação da platina. A maioria dos minerais não é isotrópica: eles alteram a polarização da luz que os atravessa e aparecem em cores de interferência que mudam quando a platina gira, e se extinguem quatro vezes em uma volta completa. Por que o fazem, e como as cores e os ângulos identificam um mineral, é o assunto de [Capítulo 8](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/8-mineralogia-optica#ch-b1-optical-mineralogy). Os minerais em [lâmina delgada](#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section) costumam ser examinados em aumentos de cerca de $16\times$ a $400\times$.

![Um granito em lâmina delgada entre polarizadores cruzados. A biotita é marrom, a muscovita mostra cores de interferência rosa e verdes vivas, o plagioclásio é listrado pelas suas maclas, e o quartzo é branco a cinza. Fotografia de Darla Sondrol, CC0 (Wikimedia Commons).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-field-lab-methods-1/img-013a3a40a7cc.jpg)

*Um granito em [lâmina delgada](#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section) entre [polarizadores cruzados](#def-b1-field-lab-methods-1-microscope). A biotita é marrom, a muscovita mostra cores de interferência rosa e verdes vivas, o plagioclásio é listrado pelas suas maclas, e o quartzo é branco a cinza. Fotografia de Darla Sondrol, CC0 (Wikimedia Commons).*

**Segurança.**

O trabalho de campo e de laboratório é tornado seguro por regras profissionais, não pela sorte. No campo, os geólogos trabalham em duplas ou deixam um plano escrito do seu percurso e da hora de retorno; levam previsões do tempo, mapas e primeiros socorros, mantêm-se afastados do pé e da borda de falésias e de frentes de pedreira, e usam capacete e proteção para os olhos onde a rocha pode cair ou se estilhaçar; o trabalho em sítios ativos segue as regras do operador. No laboratório, serras e politrizes funcionam protegidas por guardas, com água para conter a poeira; resinas e ácidos são manipulados com luvas e óculos sob exaustão, e cada produto químico tem a sua ficha de segurança. Nenhuma dessas atividades é para um leitor deste livro somente: o capítulo descreve a prática profissional.

## 6.6 Exercícios

**Exercício 6.1 ★.**

Um receptor de satélite dá posições com cerca de $4.9\,\mathrm{m}$ de erro. Quanto isso representa num mapa na escala 1:10 000? E na escala 1:25 000?

**Solução de Exercício 6.1.**

Na escala 1:10 000, $4.9\,\mathrm{m}$ tornam-se $4.9/10\,000 = 0.49\,\mathrm{mm}$; na escala 1:25 000, $4.9/25\,000 = 0.20\,\mathrm{mm}$, cerca da largura de um traço de lápis.

**Exercício 6.2 ★.**

Uma bússola sem ajuste de declinação lê no estrato o [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) $052{}^{\circ}$. Dê o [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) geográfico se a leitura foi feita em Reykjavik em 1º de janeiro de 2026, e depois em Wellington no mesmo dia (caixa datada).

**Solução de Exercício 6.2.**

Em Reykjavik $D = -11.28{}^{\circ}$: $52 - 11.28 = 040.7{}^{\circ}$. Em Wellington $D = +23.23{}^{\circ}$: $52 + 23.23 = 075.2{}^{\circ}$. A mesma leitura de bússola significa direções separadas por $34.5{}^{\circ}$.

**Exercício 6.3 ★.**

Um [eixo de dobra](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-fold) cai $20{}^{\circ}$ em direção a $015{}^{\circ}$. Escreva a sua orientação como no texto e dê o seu vetor unitário para baixo em componentes leste, norte e cima.

**Solução de Exercício 6.3.**

$20\to015$. Com $t = 15{}^{\circ}$ e $p = 20{}^{\circ}$, o vetor unitário para baixo é

$$
(\cos20{}^{\circ}\sin15{}^{\circ},\ \cos20{}^{\circ}\cos15{}^{\circ},\ -\sin20{}^{\circ}) =
  (0.2432,\ 0.9077,\ -0.3420).
$$

**Exercício 6.4 ★.**

Três leituras de uma junta vertical dão os [azimutes](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) da sua normal $350{}^{\circ}$, $358{}^{\circ}$ e $006{}^{\circ}$. Calcule a sua média aritmética e, depois, o [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) da soma dos três vetores unitários horizontais. Qual média é a correta?

**Solução de Exercício 6.4.**

A média aritmética é $(350 + 358 + 6)/3 = 238{}^{\circ}$, quase oposta às três leituras. Os vetores unitários horizontais $(\sin a, \cos a)$ somam-se em $(-0.1736 - 0.0349 + 0.1045,\ 0.9848 + 0.9994 + 0.9945) = (-0.1040, 2.9787)$, cujo [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) é $\operatorname{atan2}(-0.1040, 2.9787) = -2.0{}^{\circ}$, isto é, $358.0{}^{\circ}$: a média correta, no meio das leituras.

**Exercício 6.5 ★★.**

Cinco leituras do [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) de um mesmo estrato são $34{}^{\circ}$, $37{}^{\circ}$, $35{}^{\circ}$, $33{}^{\circ}$ e $36{}^{\circ}$. Calcule a sua média, o seu desvio padrão e o erro padrão da média.

**Solução de Exercício 6.5.**

Média $175/5 = 35.0{}^{\circ}$. Desvios $-1, 2, 0, -2, 1$; soma dos quadrados 10; $s = \sqrt{10/4} = 1.58{}^{\circ}$. Erro padrão $1.58/\sqrt5 = 0.71{}^{\circ}$.

**Exercício 6.6 ★★.**

Um geólogo faz a média de uma leitura em cada flanco de uma [dobra](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-fold) simétrica: $090/30$ e $270/30$. Calcule a média vetorial e $\bar R$. O que deu errado?

**Solução de Exercício 6.6.**

As normais são $(\sin30{}^{\circ}, 0, \cos30{}^{\circ}) = (0.5, 0, 0.866)$ e $(-0.5, 0, 0.866)$; $\vec S = (0, 0, 1.732)$ é vertical: a média é um plano horizontal, e $\bar R = 1.732/2 = 0.866$, cada leitura a $30{}^{\circ}$ da média. As duas leituras não amostram uma superfície com erros: pertencem a dois flancos de uma [dobra](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-fold), duas populações diferentes, e a sua média não descreve nenhuma delas. Cada flanco é calculado em média separadamente; juntos eles definem o eixo da [dobra](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-fold), a reta comum aos dois planos, aqui horizontal e norte–sul.

**Exercício 6.7 ★★.**

Estrias em uma superfície de acamamento de [atitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) $080/12$ têm [rumo](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge) $120{}^{\circ}$. Qual é o seu [caimento](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge)? Qual seria para o [rumo](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge) $170{}^{\circ}$?

**Solução de Exercício 6.7.**

$\tan p = \tan12{}^{\circ}\cos(80{}^{\circ} - 120{}^{\circ}) = 0.2126\times0.7660 =
0.1628$: $p = 9.2{}^{\circ}$, com as estrias caindo em direção a $120{}^{\circ}$. Para o [rumo](#def-b1-field-lab-methods-1-trend-plunge) $170{}^{\circ}$, $\cos(-90{}^{\circ}) = 0$: a linha é horizontal, ao longo da [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude).

**Exercício 6.8 ★★.**

Em Edimburgo a declinação magnética é $-0.47{}^{\circ}$ em 1º de janeiro de 2026 e varia $+0.20{}^{\circ}$ por ano. Supondo que a variação se mantenha constante, quando ela se anula, e qual é o seu valor em 1º de janeiro de 2030?

**Solução de Exercício 6.8.**

$0.47/0.20 = 2.35$ anos depois de 1º de janeiro de 2026, isto é, na primavera de 2028. Em 1º de janeiro de 2030: $-0.47 + 4\times0.20 = +0.33{}^{\circ}$, a leste do norte geográfico.

**Exercício 6.9 ★★.**

Três leituras de um mesmo estrato são $080/10$, $080/12$ e $080/14$. Mostre que a sua média vetorial é $080/12$, calcule $\bar R$ e a estimativa $\sqrt{2(1 - \bar R)}$ de $\theta_{\text{rms}}$, e compare-a com o ângulo quadrático médio exato.

**Solução de Exercício 6.9.**

As três normais estão no plano vertical de [azimute](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) $080{}^{\circ}$, a $10{}^{\circ}$, $12{}^{\circ}$ e $14{}^{\circ}$ da vertical; as duas externas são simétricas em torno da do meio, de modo que a sua soma fica sobre ela: a média é $080/12$, com $\theta = 2{}^{\circ}, 0, 2{}^{\circ}$. Então $\bar R = (1 +
2\cos2{}^{\circ})/3 = (1 + 1.998782)/3 = 0.999594$, e $\sqrt{2(1 - \bar R)} =
\sqrt{0.000812} = 0.028\,50\,\mathrm{rad} = 1.633{}^{\circ}$; exatamente, $\theta_{\text{rms}} = \sqrt{(4 + 0 + 4)/3} = 1.633{}^{\circ}$.

**Exercício 6.10 ★★★.**

Uma [lâmina delgada](#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section) corta um grão esférico de raio $r$ a uma distância $h$ do seu centro, com $h$ igualmente provável em qualquer ponto entre 0 e $r$. Mostre que o raio médio do círculo visto na seção é $\pi r/4$. Grãos de quartzo com $0.50\,\mathrm{mm}$ de diâmetro aparecem, em média, com que tamanho em [lâmina delgada](#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section)?

**Solução de Exercício 6.10.**

A seção é um círculo de raio $\sqrt{r^2 - h^2}$. Sua média é $\frac1r\int_0^r\sqrt{r^2 - h^2}\,\mathrm dh = \frac1r\cdot\frac{\pi r^2}{4}
= \frac{\pi r}{4}$, pois a integral é a área de um quarto de disco. Grãos de $0.50\,\mathrm{mm}$ de diâmetro aparecem, em média, com $0.50\times\pi/4 = 0.39\,\mathrm{mm}$ de diâmetro: a [lâmina delgada](#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section) subestima os tamanhos de grão.

**Exercício 6.11 ★★★.**

Mostre que, se cada [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) de um conjunto de leituras é aumentado do mesmo ângulo $D$, o [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) da sua média vetorial aumenta de $D$, e o seu [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) não muda. Por que isso importa para a correção da declinação?

**Solução de Exercício 6.11.**

A rotação de $D$ em torno da vertical, $(x, y, z) \mapsto (x\cos D + y\sin D,\ -x\sin D + y\cos D,\ z)$, leva $(\sin\delta\sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$ a $(\sin\delta\sin(\alpha + D), \sin\delta\cos(\alpha + D), \cos\delta)$: ela soma $D$ a cada [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude). Sendo linear, leva a resultante $\vec S$ à resultante das normais giradas; ela conserva os comprimentos e a componente vertical, de modo que o [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) médio $\arccos(S_U/\|\vec S\|)$ não muda, e gira a parte horizontal de $\vec S$ de $D$, de modo que o [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) médio aumenta de $D$. Corrigir cada leitura pela declinação, ou apenas a sua média, dá o mesmo resultado.

**Exercício 6.12 ★★★.**

Em um estrato que mergulha $12{}^{\circ}$, a normal de uma leitura única se dispersa com desvio padrão de $2{}^{\circ}$ em cada uma de duas direções perpendiculares: ao longo da linha de maior [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude), o que muda o [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude), e através dela, o que muda o [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude). Quantas leituras são necessárias para um erro padrão de $0.5{}^{\circ}$ no [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) médio? E de $1{}^{\circ}$ no [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) médio?

**Solução de Exercício 6.12.**

A dispersão ao longo da linha de maior [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) é uma dispersão do [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude): o erro padrão é $2/\sqrt N \le 0.5$ para $N \ge 16$. Transversalmente, uma rotação da normal de $2{}^{\circ}$ muda o [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) de $2/\sin12{}^{\circ} = 9.62{}^{\circ}$; o erro padrão do [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) médio é $9.62/\sqrt N \le 1$ para $N \ge 92.5$, isto é, 93 leituras. Um [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) suave se conhece depressa; a sua [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude), não.

## 6.7 Problema: uma temporada de campo no flanco leste de Varden

**Problema 6.1.**

Problema de fim de semana — média de doze leituras de bússola, medida da sua dispersão, correção delas e comparação com as sondagens

Um geólogo mediu a estratificação do flanco leste do [anticlinal](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-fold) de Varden em doze estações, com a bússola ajustada para a declinação, arredondando ao grau. A tabela dá cada leitura ([sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude)/[mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude)) e as componentes de sua normal unitária para cima $\vec n = (n_E, n_N, n_U)$, arredondadas a quatro casas decimais.

|  | leitura | $n_E$ | $n_N$ | $n_U$ |  | leitura | $n_E$ | $n_N$ | $n_U$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | $076/11$ | 0.1851 | 0.0462 | 0.9816 | 7 | $083/11$ | 0.1894 | 0.0233 | 0.9816 |
| 2 | $081/13$ | 0.2222 | 0.0352 | 0.9744 | 8 | $083/12$ | 0.2064 | 0.0253 | 0.9781 |
| 3 | $078/16$ | 0.2696 | 0.0573 | 0.9613 | 9 | $085/12$ | 0.2071 | 0.0181 | 0.9781 |
| 4 | $081/11$ | 0.1885 | 0.0298 | 0.9816 | 10 | $078/11$ | 0.1866 | 0.0397 | 0.9816 |
| 5 | $076/10$ | 0.1685 | 0.0420 | 0.9848 | 11 | $081/13$ |  |  |  |
| 6 | $083/14$ | 0.2401 | 0.0295 | 0.9703 | 12 | $082/11$ |  |  |  |

**Parte I — A atitude média.**

1. Calcule as médias aritméticas dos doze [sentidos de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) e dos doze [mergulhos](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) .
2. Dê um exemplo de duas leituras para as quais a média aritmética dos [sentidos de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) é absurda, e diga por que ela é segura aqui.
3. Mostre que $\vec n = (\sin\delta\sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha,  \cos\delta)$ é um vetor unitário perpendicular à linha de [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) e à linha de [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) do plano $\alpha/\delta$ .
4. Complete a tabela para as leituras 11 e 12.
5. Calcule a resultante $\vec S$ das doze normais.
6. Calcule $\|\vec S\|$ e o comprimento médio da resultante $\bar R$ .
7. Deduza a média vetorial: o seu [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) e o seu [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) .

**Parte II — A dispersão.**

8. Calcule os desvios padrão amostrais dos [sentidos de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) e dos [mergulhos](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) .
9. Usando [Proposição 6.5](#prop-b1-field-lab-methods-1-vector-mean) , estime o ângulo quadrático médio $\theta_{\text{rms}}$ entre as leituras e a sua média, em graus.
10. Preveja $\theta_{\text{rms}}$ a partir dos dois desvios padrão da questão 8 e da fórmula de erro do capítulo, e compare.
11. Qual dos dois desvios padrão contribui mais para $\theta_{\text{rms}}$ , e por quê?
12. Calcule os erros padrão do [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) médio e do [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) médio.
13. A dispersão dos [sentidos de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) , de $2.9{}^{\circ}$ , é sinal de medição descuidada? Explique.

**Parte III — A declinação.**

14. Uma segunda geóloga esqueceu de ajustar a declinação. As suas doze leituras têm a média vetorial $083.1/12.1$ em [azimutes](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) magnéticos. Suponha que a declinação magnética nas Colinas de Varden naquele ano seja de $2.5{}^{\circ}$ para oeste. Qual é a sua média em [azimutes](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/1-astronomia-esferica#def-b1-spherical-astronomy-horizontal) geográficos?
15. Por que o seu [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) médio está certo sem correção?
16. Ela poderia ter corrigido cada leitura antes de fazer a média, em vez da média? Isso muda a resposta ( [Exercício 6.11](#exo-b1-field-lab-methods-1-11) )?
17. Dez anos depois, um estudante reutiliza o ajuste de declinação dela enquanto a declinação mudou $0.2{}^{\circ}$ por ano. Qual é o tamanho do erro, comparado com o erro padrão da questão 12?
18. Dê a [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) da [atitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) média do primeiro geólogo pela regra da mão direita.

**Parte IV — Bússola e sondagens.**

19. A partir de três sondagens, [Capítulo 4](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#ch-b1-geological-maps) encontrou para a base do calcário a [atitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) $080.6/12.2$ . Compare-a com a média vetorial da questão 7, ângulo a ângulo.
20. Calcule o ângulo entre as duas normais.
21. O erro padrão da [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) média é cerca de $\theta_{\text{rms}}/\sqrt N$ . A diferença da questão 20 é significativa?
22. Quantas leituras reduziriam esse erro padrão à metade?
23. Cite dois erros que nenhum número de leituras reduziria.
24. Dê a [atitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) média do flanco leste a partir das doze leituras, na forma [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) / [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) arredondada ao grau.

**Solução de Problema 6.1.**

**1.** [Sentidos de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude): $967/12 = 80.6{}^{\circ}$; [mergulhos](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude): $145/12 =
12.1{}^{\circ}$.

**2.** $355{}^{\circ}$ e $005{}^{\circ}$ têm média $180{}^{\circ}$, a direção oposta. Aqui todos os [sentidos de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) estão entre $076{}^{\circ}$ e $085{}^{\circ}$, longe do salto em $000{}^{\circ}$, de modo que a média aritmética funciona.

**3.** $\|\vec n\|^2 = \sin^2\delta(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) +
\cos^2\delta = 1$. A linha de [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) para baixo tem a [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) $(\cos\delta\sin\alpha, \cos\delta\cos\alpha, -\sin\delta)$, e o seu produto escalar com $\vec n$ é $\sin\delta\cos\delta - \cos\delta\sin\delta = 0$; a linha de [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) é horizontal e perpendicular ao [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude), $(\cos\alpha, -\sin\alpha, 0)$, e o seu produto escalar com $\vec n$ é $\sin\delta\sin\alpha\cos\alpha - \sin\delta\cos\alpha\sin\alpha = 0$.

**4.** A leitura 11 é a mesma que a 2: $(0.2222, 0.0352, 0.9744)$. A leitura 12:

$$
(\sin11{}^{\circ}\sin82{}^{\circ},\ \sin11{}^{\circ}\cos82{}^{\circ},\ \cos11{}^{\circ}) =
  (0.1890,\ 0.0266,\ 0.9816).
$$

**5.** $\vec S = (2.4747,\ 0.4082,\ 11.7294)$.

**6.** $\|\vec S\| = \sqrt{6.1241 + 0.1666 + 137.5788} = 11.99457$, e $\bar R = 11.99457/12 = 0.999547$.

**7.** $\bar\alpha = \operatorname{atan2}(2.4747, 0.4082) = 80.6{}^{\circ}$ e $\bar\delta = \arccos(11.7294/11.99457) = \arccos 0.977893 = 12.1{}^{\circ}$: a média vetorial é $080.6/12.1$, a mesma das médias aritméticas aqui.

**8.** [Sentidos de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude): $s = 2.94{}^{\circ}$; [mergulhos](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude): $s = 1.68{}^{\circ}$.

**9.** $\theta_{\text{rms}} \approx \sqrt{2\times0.000453} =
0.0301\,\mathrm{rad} = 1.72{}^{\circ}$.

**10.** $\sqrt{1.68^2 + (\sin12.1{}^{\circ}\times2.94)^2} = \sqrt{2.82 +
0.38} = 1.79{}^{\circ}$, próximo de $1.72{}^{\circ}$: as leituras se comportam como o modelo de erro prevê, dentro dos efeitos do arredondamento ao grau e de uma pequena amostra.

**11.** O [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude): ele contribui com 2.82 dos 3.20 (em graus quadrados). O [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) conta apenas por meio de $\sin\delta = 0.21$, porque num estrato suave uma mudança do [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) gira o plano muito pouco.

**12.** [Mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) médio: $1.68/\sqrt{12} = 0.48{}^{\circ}$; [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) médio: $2.94/\sqrt{12} = 0.85{}^{\circ}$.

**13.** Não: $2.9{}^{\circ}$ de [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) num estrato que mergulha $12{}^{\circ}$ são apenas $2.9\sin12.1{}^{\circ} = 0.6{}^{\circ}$ de giro do plano, menos que os $1.7{}^{\circ}$ dos [mergulhos](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude). Qualquer leve ondulação de uma superfície de acamamento suave espalha amplamente o seu [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude).

**14.** $D = -2.5{}^{\circ}$: $83.1 - 2.5 = 080.6{}^{\circ}$; a sua média é $080.6/12.1$, a mesma do primeiro geólogo.

**15.** O [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) é lido com o clinômetro, em relação à vertical dada pela gravidade; a agulha não tem papel nisso.

**16.** Sim: uma rotação em torno da vertical desloca toda leitura e a média do mesmo ângulo ([Exercício 6.11](#exo-b1-field-lab-methods-1-11)); a resposta é a mesma.

**17.** $10\times0.2 = 2{}^{\circ}$ de erro em cada [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude), mais que o dobro do erro padrão de $0.85{}^{\circ}$: um erro sistemático que a média não consegue detectar.

**18.** $80.6 - 90 = 350.6{}^{\circ}$; a [atitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) é [direção](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) $351{}^{\circ}$, [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) $12{}^{\circ}$ para leste.

**19.** [Sentidos de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) $080.6$ e $080.6$: nenhuma diferença com esta precisão; [mergulhos](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) $12.1$ e $12.2$: $0.1{}^{\circ}$.

**20.** As normais $(\sin12.2{}^{\circ}\sin80.6{}^{\circ},
\sin12.2{}^{\circ}\cos80.6{}^{\circ}, \cos12.2{}^{\circ})$ e $\vec S/\|\vec S\|$ fazem um ângulo de $0.13{}^{\circ}$.

**21.** $1.72/\sqrt{12} = 0.50{}^{\circ}$; a diferença, $0.13{}^{\circ}$, é um quarto disso: não significativa. A bússola e as sondagens concordam.

**22.** Quatro vezes mais: 48 leituras.

**23.** Por exemplo: um ajuste de declinação errado ou desatualizado; uma bússola desviada por ferro próximo (um veículo, ferramentas, rochas magnéticas); um clinômetro desajustado; leituras feitas só nas superfícies mais expostas, que podem não representar o flanco. A média reduz os erros aleatórios, e não os sistemáticos.

**24.** A [atitude](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) média do flanco leste é **081/12**: [sentido de mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) $081{}^{\circ}$, [mergulho](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/4-mapas-geologicos#def-b1-geological-maps-attitude) $12{}^{\circ}$.