---
title: "Mineralogia óptica"
book: "Ciências da Terra e do espaço universitárias — 1.º ano"
subject: earth
language: pt
chapter: 8
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/8-mineralogia-optica
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# Capítulo 8 — Mineralogia óptica

Entre [polarizadores cruzados](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope), uma [lâmina delgada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section) de gabro acende como um vitral. Ripas longas, cinzentas e brancas, listradas como um código de barras, atravessam o campo; entre elas, grãos brilham em azul, amarelo e magenta; alguns poucos permanecem pretos, qualquer que seja o ângulo. Cada um desses efeitos tem uma causa que pode ser calculada, e cada um indica qual [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) está ali. Este capítulo explica como a luz atravessa um cristal, por que um [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) entre [polarizadores cruzados](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) é colorido, como a cor mede uma propriedade do [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) e como um petrólogo dá nome aos grãos de uma [lâmina delgada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section) usando apenas um microscópio. Ele termina com uma lâmina desconhecida cujos [minerais](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral), e cuja [espessura verdadeira](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/5-secoes-geologicas#def-b1-cross-sections-thickness), são encontrados a partir do que ela mostra.

**O que você já sabe.**

Uma [lâmina delgada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section) é uma fatia de rocha com cerca de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ de espessura sobre uma lâmina de vidro; o [microscópio de polarização](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) a observa em [luz plano-polarizada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) (um polarizador) e entre [polarizadores cruzados](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) ([Capítulo 6](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#ch-b1-field-lab-methods-1)). O índice de refração $n$ de um meio é a razão entre a velocidade da luz no vácuo e a sua velocidade no meio, e a refração em uma interface obedece à lei de Snell $n_1\sin i_1 = n_2\sin i_2$ (física, primeiro ano universitário). A luz é uma onda transversal; um polarizador deixa passar apenas a componente do campo elétrico ao longo da sua direção, de modo que um analisador a um ângulo $\alpha$ deixa passar a fração $\cos^2\alpha$ da intensidade (lei de Malus, física).

## 8.1 A luz nos cristais

Em um vidro, um líquido ou um cristal cúbico, a luz viaja com a mesma velocidade em todas as direções e qualquer que seja a sua direção de vibração. Na maioria dos [minerais](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) não é assim: o arranjo dos átomos difere segundo as diferentes direções, e assim também a resposta dos elétrons ao campo elétrico da onda.

**Definição 8.1 (Minerais isotrópicos e anisotrópicos).**

Um [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) é um *mineral isotrópico* quando o seu índice de refração é o mesmo para toda direção de propagação e de vibração da luz; [minerais](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) cúbicos ([granada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups), halita, espinélio) e vidros são isotrópicos. Ele é um *mineral anisotrópico* quando o seu índice de refração depende da direção de vibração; todos os [minerais](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) dos outros sistemas cristalinos são anisotrópicos.

Uma lâmina cortada de um cristal anisotrópico não deixa a luz passar como uma única onda. Admitimos o seguinte resultado da óptica cristalina (física, segundo ano universitário): para uma dada direção de propagação, uma lâmina de um [mineral anisotrópico](#def-b1-optical-mineralogy-anisotropic) transmite duas ondas que vibram em duas direções perpendiculares fixas na lâmina, as suas *direções de vibração*, e viajam com dois índices de refração diferentes, $n_1$ e $n_2$. A luz que vibra ao longo de uma dessas direções atravessa a lâmina sem mudar de polarização; a luz que vibra em qualquer outra direção é decomposta nas suas duas componentes ao longo delas. Os dois índices dependem da direção de propagação, e há direções particulares em que eles são iguais.

**Definição 8.2 (Eixo óptico, minerais uniaxiais e biaxiais).**

Um *eixo óptico* de um [mineral anisotrópico](#def-b1-optical-mineralogy-anisotropic) é uma direção de propagação ao longo da qual a luz viaja com um único índice de refração, qualquer que seja a sua direção de vibração, como em um meio isotrópico. Um [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) é *uniaxial* quando tem um eixo óptico ([minerais](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) dos sistemas trigonal, tetragonal e hexagonal, como o quartzo e a calcita), e *biaxial* quando tem dois ([minerais](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) ortorrômbicos, monoclínicos e triclínicos, como a [olivina](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups), os [piroxênios](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups), os [anfibólios](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups), as [micas](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) e os [feldspatos](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups)).

A geometria é resumida por uma superfície, a indicatriz: um elipsoide cujo raio em cada direção é o índice de refração da luz que vibra nessa direção. A seção do elipsoide perpendicular à direção de propagação é uma elipse cujos eixos são as duas direções de vibração e cujos semieixos são $n_1$ e $n_2$. Para um [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) [uniaxial](#def-b1-optical-mineralogy-optic-axis) o elipsoide é de revolução em torno do [eixo óptico](#def-b1-optical-mineralogy-optic-axis), com dois índices principais $n_\omega$ e $n_\varepsilon$: o quartzo tem $n_\omega = 1.544$ e $n_\varepsilon = 1.553$, a calcita $1.658$ e $1.486$.

Um [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) [biaxial](#def-b1-optical-mineralogy-optic-axis) tem três índices principais $n_\alpha < n_\beta < n_\gamma$ e duas seções circulares, perpendiculares aos seus dois [eixos ópticos](#def-b1-optical-mineralogy-optic-axis): a forsterita tem $1.635$, $1.651$ e $1.670$.

**Definição 8.3 (Birrefringência (de um mineral)).**

A *birrefringência* de um [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) é a diferença $\delta = n_{\max} - n_{\min}$ entre os seus maiores e menores índices de refração principais: $n_\varepsilon - n_\omega$ em valor absoluto para um [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) [uniaxial](#def-b1-optical-mineralogy-optic-axis), $n_\gamma - n_\alpha$ para um [biaxial](#def-b1-optical-mineralogy-optic-axis). Em um grão cortado em qualquer outra direção, a diferença $|n_1 - n_2|$ fica entre 0 (uma seção perpendicular a um [eixo óptico](#def-b1-optical-mineralogy-optic-axis)) e $\delta$ (uma seção que contém as direções de $n_{\max}$ e $n_{\min}$).

A [birrefringência](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence) é uma propriedade do [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral), como a sua densidade: quartzo $0.009$, calcita $0.172$, forsterita $0.035$, fayalita $0.052$. Uma [lâmina delgada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section) corta os grãos de um [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) em todas as orientações, de modo que os seus grãos mostram todos os valores de 0 a $\delta$; só o mais alto é característico.

## 8.2 Observações em luz plano-polarizada

Com apenas o polarizador inferior, o microscópio mostra a forma dos grãos, a sua cor, as suas clivagens e o seu [relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief).

**Definição 8.4 (Pleocroísmo).**

Um [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) é *pleocroico* quando a sua cor, vista em [luz plano-polarizada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope), muda à medida que a platina é girada; o *pleocroísmo* é essa mudança. Ele surge porque a absorção da luz depende da sua direção de vibração no cristal.

A biotita é o caso clássico: um grão cortado transversalmente à sua clivagem passa de marrom-amarelado pálido a marrom escuro à medida que gira, mais escuro quando os traços da clivagem ficam ao longo do polarizador. A hornblenda muda de amarelo para verde. A maioria dos outros silicatos formadores de rochas (quartzo, [feldspatos](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups), [olivina](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups), diopsídio, muscovita) é incolor em [lâmina delgada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section), e os seus grãos incolores são distinguidos por outros meios.

**Definição 8.5 (Relevo, linha de Becke).**

O *relevo* de um grão em [lâmina delgada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section) é o quanto o seu contorno, suas fissuras e sua superfície se destacam contra o meio de montagem; ele é alto quando os índices de refração do grão e do meio diferem muito, baixo quando estão próximos. A *linha de Becke* é a fina linha brilhante que borda um grão cujo índice difere do de seus arredores quando o microscópio está levemente fora de foco.

**Proposição 8.6 (Relevo e índice de refração).**

Um raio que atravessa com incidência $i$ uma fronteira entre um meio de montagem de índice $n_m$ e um grão de índice $n$ próximo de $n_m$ é desviado de

$$
\varepsilon \approx \frac{|n - n_m|}{n_m}\,\tan i
$$

(em radianos), até primeira [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) em $(n - n_m)/n_m$. Os desvios nas bordas inclinadas de um grão, e assim o seu [relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief), crescem em proporção a $|n - n_m|$.

**Demonstração.** A lei de Snell dá $n_m \sin i = n \sin r$. Escreva $n = n_m(1 + \eta)$ com $\eta$ pequeno e $r = i - \varepsilon$ com $\varepsilon$ pequeno. Então $\sin i = (1 + \eta)(\sin i - \varepsilon\cos i) + O(\eta^2, \varepsilon^2)$, logo $\eta \sin i = \varepsilon\cos i$ até primeira [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour), isto é, $\varepsilon = \eta\tan i$, com $|\eta| = |n - n_m|/n_m$. ∎

Uma [lâmina delgada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section) é montada em uma resina de índice de cerca de $1.54$.

O quartzo ($1.544$–$1.553$) e os [feldspatos](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) ($1.52$–$1.59$) são quase invisíveis contra ela: [relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief) baixo, bordas dos grãos difíceis de ver. A [olivina](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) ($1.64$–$1.88$), os [piroxênios](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) e os [anfibólios](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) se destacam com bordas escuras e uma superfície de aspecto áspero: [relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief) alto. A [granada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) ($1.83$) parece quase cercada de preto. A calcita, cujo índice vai de $1.486$ a $1.658$ conforme a direção de vibração, muda de [relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief) à medida que a platina gira, um efeito chamado cintilação.

O [relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief) indica apenas o quanto $n$ difere de $n_m$, e não de que lado; a [linha de Becke](#def-b1-optical-mineralogy-relief) indica o lado.

**Método 8.7 (O teste da linha de Becke).**

Focalize a borda de um grão em [luz plano-polarizada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope), feche um pouco o diafragma de abertura e eleve levemente o foco (afaste a objetiva da seção). A [linha de Becke](#def-b1-optical-mineralogy-relief) brilhante se desloca para o meio de maior índice de refração: se ela se desloca para dentro do grão, o grão tem o índice mais alto ([relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief) positivo); se ela se desloca para fora, para a montagem ou para o grão vizinho, o grão tem o índice mais baixo ([relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief) negativo).

O método funciona porque uma borda de grão nunca é exatamente vertical: em uma borda inclinada, a luz é refratada na direção do lado de maior índice, e além do ângulo crítico ela é totalmente refletida desse lado, de modo que a luz que atravessa a borda se concentra acima do meio de maior índice. Elevar o foco olha para um plano acima da seção, onde essa luz concentrada está dentro do material de maior índice.

## 8.3 Entre polarizadores cruzados

Com o analisador inserido, em ângulo reto com o polarizador, um grão isotrópico é preto em todas as posições: a luz o alcança vibrando ao longo do polarizador e sai dele vibrando do mesmo modo, e o analisador a barra inteiramente. Um grão anisotrópico é em geral brilhante e colorido. A razão é o atraso entre as suas duas ondas.

**Definição 8.8 (Retardo (em uma lâmina cristalina)).**

O *retardo* $\Delta$ de uma lâmina de um [mineral anisotrópico](#def-b1-optical-mineralogy-anisotropic) é a diferença entre os caminhos ópticos das suas duas ondas ao sair da lâmina, a onda mais lenta ficando atrás da mais rápida.

**Proposição 8.9 (Retardo e birrefringência).**

Uma lâmina de espessura $d$ cujas duas ondas têm índices $n_1 > n_2$ tem o [retardo](#def-b1-optical-mineralogy-retardation)

$$
\Delta = d\,(n_1 - n_2),
$$

e as suas duas ondas saem com uma diferença de fase $\varphi = 2\pi\Delta/\lambda$ para luz de comprimento de onda $\lambda$ no vácuo. Em uma [lâmina delgada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section), o maior [retardo](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) mostrado pelos grãos de um [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) é $d\,\delta$.

**Demonstração.** Uma onda que atravessa uma espessura $d$ com velocidade $c/n$ leva o tempo $nd/c$; seu caminho óptico, a distância que a luz percorreria no vácuo nesse tempo, é $nd$. As duas ondas entram juntas; ao sair, a mais lenta está atrás por $n_1 d - n_2 d = d(n_1 - n_2)$, um atraso que é a fração $\Delta/\lambda$ de um período, isto é, uma fase $2\pi\Delta/\lambda$. O maior valor de $n_1 - n_2$ entre todas as orientações é $\delta$ ([Definição 8.3](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence)). ∎

Um grão de quartzo da orientação mais favorável em uma seção de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ de espessura tem $\Delta = 30\,000\,\mathrm{nm}\times0.009 =
270\,\mathrm{nm}$; um grão de calcita, $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.172 = 5160\,\mathrm{nm}$.

![Luz através de uma lâmina cristalina entre polarizadores cruzados. O polarizador deixa passar a vibração leste–oeste (a); a lâmina a decompõe em duas ondas ao longo das suas direções de vibração, a e + 90 do polarizador (b); o analisador, norte–sul, deixa passar a componente norte–sul de cada uma (c). As duas componentes têm tamanhos iguais e sinais opostos: sem o retardo elas se anulam, e a lâmina parece escura; a onda 2 fica atrás da onda 1 pela fase = 2π /, e a soma já não se anula.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-optical-mineralogy/fig-f1072783b4c6.svg)

*Luz através de uma lâmina cristalina entre [polarizadores cruzados](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope). O polarizador deixa passar a vibração leste–oeste (a); a lâmina a decompõe em duas ondas ao longo das suas direções de vibração, a $\theta$ e $\theta + 90{}^{\circ}$ do polarizador (b); o analisador, norte–sul, deixa passar a componente norte–sul de cada uma (c). As duas componentes têm tamanhos iguais e sinais opostos: sem o [retardo](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) elas se anulam, e a lâmina parece escura; a onda 2 fica atrás da onda 1 pela fase $\varphi = 2\pi\Delta/\lambda$, e a soma já não se anula.*

**Teorema 8.10 (Intensidade entre polarizadores cruzados).**

Uma lâmina de [retardo](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) $\Delta$ cujas direções de vibração fazem o ângulo $\theta$ com o polarizador, entre [polarizadores cruzados](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope), transmite no comprimento de onda $\lambda$ a intensidade

$$
I = I_0\,\sin^2 2\theta\,\sin^2\frac{\pi\Delta}{\lambda},
$$

onde $I_0$ é a intensidade que sai do polarizador.

**Demonstração.** Tome o polarizador ao longo de $x$ e o analisador ao longo de $y$, e escreva o campo que sai do polarizador como a parte real de $E_0 e^{i\omega t}$ ao longo de $x$, com $I_0 = E_0^2$ a menos de uma constante. A direção de vibração 1 da lâmina é o vetor unitário $(\cos\theta, \sin\theta)$, a direção 2 é $(-\sin\theta, \cos\theta)$. O campo incidente tem as componentes $E_0\cos\theta$ ao longo de 1 e $-E_0\sin\theta$ ao longo de 2. A lâmina deixa a onda 1 inalterada, a menos de uma fase comum, e atrasa a onda 2 de $\varphi = 2\pi\Delta/\lambda$ ([Proposição 8.9](#prop-b1-optical-mineralogy-retardation)); em amplitudes complexas, as ondas que saem da lâmina são $E_0\cos\theta$ ao longo de 1 e $-E_0\sin\theta\,e^{-i\varphi}$ ao longo de 2. Suas componentes ao longo de $y$ são $E_0\cos\theta\sin\theta$ e $-E_0\sin\theta\cos\theta\,e^{-i\varphi}$; o analisador deixa passar a soma delas,

$$
A = E_0\sin\theta\cos\theta\,(1 - e^{-i\varphi}) .
$$

Como $|1 - e^{-i\varphi}|^2 = 2 - 2\cos\varphi = 4\sin^2(\varphi/2)$ e $\sin\theta\cos\theta = \frac12\sin2\theta$, a intensidade é $|A|^2 = E_0^2\,\sin^2 2\theta\,\sin^2(\varphi/2)$, isto é, $I = I_0\sin^2 2\theta\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$. Se a onda 1 é a mais lenta, $\varphi$ muda de sinal e $I$ não se altera. ∎

O teorema contém tudo o que o microscópio mostra entre [polarizadores cruzados](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope). Seu primeiro fator depende apenas da orientação do grão na platina; o segundo, apenas do [retardo](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) do grão e da cor da luz.

**Definição 8.11 (Posição de extinção, ângulo de extinção).**

Um grão anisotrópico entre [polarizadores cruzados](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) está em uma *posição de extinção* quando está escuro porque as suas direções de vibração são paralelas ao polarizador e ao analisador. O *ângulo de extinção* de um grão é o ângulo entre uma direção visível nele (um traço de clivagem, um alongamento, um plano de [macla](#def-b1-optical-mineralogy-twin)) e a posição de extinção mais próxima, lido na platina graduada.

O fator $\sin^2 2\theta$ se anula em $\theta = 0$, $90{}^{\circ}$, $180{}^{\circ}$ e $270{}^{\circ}$: um grão fica escuro quatro vezes em uma volta completa da platina, e é mais brilhante no meio do caminho, a $45{}^{\circ}$ da extinção (figura abaixo). Um grão com $\Delta = 0$ — um [mineral isotrópico](#def-b1-optical-mineralogy-anisotropic), ou uma seção perpendicular a um [eixo óptico](#def-b1-optical-mineralogy-optic-axis) — permanece escuro em toda a volta. O [ângulo de extinção](#def-b1-optical-mineralogy-extinction) depende da simetria do cristal: um [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) cujas direções de vibração estão ligadas às suas clivagens, como nos [minerais](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) ortorrômbicos, extingue paralelamente a elas (extinção reta); um monoclínico ou triclínico em geral não (extinção inclinada). O maior [ângulo de extinção](#def-b1-optical-mineralogy-extinction) entre os traços da clivagem e a direção de vibração lenta é cerca de $38{}^{\circ}$ no diopsídio e $15{}^{\circ}$–$19{}^{\circ}$ na hornblenda, em seções paralelas a $(010)$: uma das maneiras de distinguir um [piroxênio](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) de um [anfibólio](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) em [lâmina delgada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section).

![A intensidade transmitida por um grão à medida que a platina gira, no comprimento de onda 550\, nm, para três retardos (). Quatro extinções por volta, quatro máximos a 45 delas; o retardo fixa a altura dos máximos, que é quase nula quando está próximo de um número inteiro de comprimentos de onda.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-optical-mineralogy/fig-d4caddca7dbc.svg)

*A intensidade transmitida por um grão à medida que a platina gira, no comprimento de onda $550\,\mathrm{nm}$, para três [retardos](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) ([Teorema 8.10](#thm-b1-optical-mineralogy-intensity)). Quatro extinções por volta, quatro máximos a $45{}^{\circ}$ delas; o [retardo](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) fixa a altura dos máximos, que é quase nula quando $\Delta$ está próximo de um número inteiro de comprimentos de onda.*

### 8.3.1 Cores de interferência

Em luz branca, o segundo fator $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$ age como um filtro que depende do comprimento de onda. Um grão com $\Delta = 270\,\mathrm{nm}$ deixa passar quase todo o verde e o amarelo ($\lambda$ perto de $2\Delta = 540$ nm, onde o fator vale 1) e um pouco menos do violeta e do vermelho: parece branco. Um grão com $\Delta = 550\,\mathrm{nm}$ suprime o amarelo-verde ($\lambda = \Delta$) e deixa passar vermelho e azul: parece magenta. À medida que $\Delta$ cresce, os comprimentos de onda suprimidos percorrem o espectro e outros aparecem, e a cor percorre uma sequência fixa.

**Definição 8.12 (Cor de interferência, ordem, carta de Michel-Lévy).**

A *cor de interferência* de um grão anisotrópico é a sua cor entre [polarizadores cruzados](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) em luz branca, a $45{}^{\circ}$ da extinção; ela depende apenas do seu [retardo](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) $\Delta$. As cores se repetem em faixas de cerca de $550\,\mathrm{nm}$ de [retardo](#def-b1-optical-mineralogy-retardation), cada uma terminando com um matiz vermelho-violeta; cada faixa é uma *ordem* (primeira, segunda, terceira…). A *carta de Michel-Lévy* mostra as cores de interferência em função do [retardo](#def-b1-optical-mineralogy-retardation), com as retas $\Delta = d\,\delta$ que relacionam a espessura de uma seção, a [birrefringência](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence) de um [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) e a sua cor.

![Uma carta de Michel-Lévy calculada a partir de primeiros princípios: para cada retardo, a cor da luz branca (iluminante padrão CIE D65) através de polarizadores cruzados e de uma lâmina a 45 da extinção, a partir das funções de correspondência de cores CIE 1931 (dados © CIE, CC BY-SA 4.0) e da transformação sRGB, normalizada à luz transmitida por polarizadores paralelos. As linhas pretas dão = d\, para a birrefringência de cada mineral; a linha tracejada é a espessura padrão de 30\, µ m. Os matizes vermelho-violeta que encerram as ordens caem em 542, 1074 e 1605\, nm neste cálculo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-optical-mineralogy/fig-7491089965d8.svg)

*Uma [carta de Michel-Lévy](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) calculada a partir de primeiros princípios: para cada [retardo](#def-b1-optical-mineralogy-retardation), a cor da luz branca (iluminante padrão CIE D65) através de [polarizadores cruzados](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) e de uma lâmina a $45{}^{\circ}$ da extinção, a partir das funções de correspondência de cores CIE 1931 (dados © CIE, CC BY-SA 4.0) e da transformação sRGB, normalizada à luz transmitida por polarizadores paralelos. As linhas pretas dão $\Delta = d\,\delta$ para a [birrefringência](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence) de cada [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral); a linha tracejada é a espessura padrão de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$. Os matizes vermelho-violeta que encerram as ordens caem em 542, 1074 e $1605\,\mathrm{nm}$ neste cálculo.*

O gráfico é calculado exatamente como diz o teorema. Para cada [retardo](#def-b1-optical-mineralogy-retardation), cada comprimento de onda da luz é ponderado por $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$; o espectro transmitido é então convertido em uma cor como o olho a vê, pelas funções padrão de correspondência de cores da colorimetria, e no vermelho, verde e azul de uma tela ou impressora pela transformação sRGB. Três características são dignas de nota. A primeira [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) começa preta, passa pelo cinza e pelo branco (o único branco da carta fica perto de $270\,\mathrm{nm}$, onde o espectro é quase inteiramente transmitido), depois amarelo, laranja e vermelho. A segunda e a terceira ordens são as mais brilhantes, com azul, verde, amarelo e magenta vivos. Além da quarta [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) as cores se desbotam: quando $\Delta$ tem muitos comprimentos de onda, o filtro $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$ oscila várias vezes através do espectro visível, deixa passar cada cor por sua vez e, em média, metade da luz: o grão parece cinza rosado ou esverdeado pálido, o branco de [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) alta da calcita.

Ler a carta é o núcleo da mineralogia óptica. Em uma seção de espessura conhecida, a cor mais alta mostrada por um [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) dá a sua [birrefringência](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence): siga a espessura até a cor, depois a reta que passa por esse ponto até a [birrefringência](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence). Inversamente, um [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) de [birrefringência](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence) conhecida dá a espessura: em uma boa seção de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, o quartzo nunca mostra mais que um branco de primeira [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) ou o amarelo mais pálido, e uma seção em que o quartzo mostra amarelo ou laranja é espessa demais.

**História — Auguste Michel-Lévy.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-optical-mineralogy/img-da5c8106aa0c.jpg)

*Michel-Lévy como estudante, por volta de 1862. Domínio público.*

Auguste Michel-Lévy (1844–1911), que se tornou diretor do Serviço Geológico da França, esteve entre os primeiros a identificar [minerais](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) em rochas de modo sistemático com o [microscópio de polarização](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope). Antes dele, as cores dos [minerais](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) entre [polarizadores cruzados](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) eram usadas empiricamente; ele mostrou que o que importa é a [birrefringência](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence) máxima de cada [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral), que pode ser medida comparando as cores dos seus grãos com uma cunha de quartzo cujo [retardo](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) cresce de modo constante ao longo do comprimento. Com o seu aluno Alfred Lacroix publicou, em 1888, *Les minéraux des roches*, um manual das propriedades ópticas dos [minerais](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) formadores de rochas. A carta que leva o seu nome, com cores em função do [retardo](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) e retas de [birrefringência](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence) igual, ainda é a maneira de ler as [cores de interferência](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour).

Duas ondas que saem de um grão podem receber um [retardo](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) extra e conhecido por uma lâmina acessória inserida acima da seção, a $45{}^{\circ}$ dos polarizadores. A mais comum é cortada para mostrar o vermelho de primeira [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour), um [retardo](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) de cerca de $540\,\mathrm{nm}$. Se a direção de vibração lenta do grão é paralela à direção lenta da lâmina, os [retardos](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) se somam e a cor do grão sobe de cerca de uma [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour); se ela é paralela à direção rápida, eles se subtraem e a cor desce. Um grão cinza de primeira [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) de $100\,\mathrm{nm}$ torna-se azul de segunda [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) ($640\,\mathrm{nm}$) em uma orientação e laranja de primeira [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) ($440\,\mathrm{nm}$) na outra; o teste mostra qual das duas direções de vibração do grão é a lenta, uma propriedade usada para identificar [minerais](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) alongados.

## 8.4 Identificando minerais em lâmina delgada

**Definição 8.13 (Maclagem, maclagem polissintética).**

Uma *macla* é um crescimento conjunto de dois ou mais cristais do mesmo [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) cujas redes se relacionam por uma simetria que o próprio cristal não tem, como uma reflexão em um plano (o plano de macla). A *maclagem polissintética* é uma maclagem repetida em planos paralelos, que divide um cristal em lamelas finas e paralelas cujas orientações se alternam.

Entre [polarizadores cruzados](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope), as lamelas de uma [macla](#def-b1-optical-mineralogy-twin) polissintética se extinguem alternadamente: metade delas está escura quando a outra metade está clara, e o cristal parece listrado. O [plagioclásio](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) quase sempre mostra essas listras, que o distinguem de imediato do quartzo e do [feldspato alcalino](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups); a sua outra característica, o [relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief) baixo e as cores cinza a branco de primeira [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour), ele compartilha com eles. Os [ângulos de extinção](#def-b1-optical-mineralogy-extinction) dos dois conjuntos de lamelas, medidos de cada lado do plano de [macla](#def-b1-optical-mineralogy-twin), dependem da composição do [plagioclásio](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups), e cartas desses ângulos dão o seu teor de anortita.

**Método 8.14 (Identificando um mineral em lâmina delgada).**

1. Em [luz plano-polarizada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) : observe se o grão é opaco; sua cor e o [pleocroísmo](#def-b1-optical-mineralogy-pleochroism) (gire a platina); seu [relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief) , e de que lado de $1.54$ fica o seu índice ( [linha de Becke](#def-b1-optical-mineralogy-relief) ); sua forma e suas clivagens, e o ângulo entre duas clivagens.
2. Entre [polarizadores cruzados](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) : verifique se ele permanece escuro (isotrópico, ou uma seção perpendicular a um [eixo óptico](#def-b1-optical-mineralogy-optic-axis) ); entre os grãos do mesmo [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) , encontre a [cor de interferência](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) mais alta e leia a [birrefringência](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence) na [carta de Michel-Lévy](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) para a espessura da seção.
3. Meça o [ângulo de extinção](#def-b1-optical-mineralogy-extinction) nos grãos que mostram uma clivagem ou um alongamento; procure maclagem (listras polissintéticas, [maclas](#def-b1-optical-mineralogy-twin) simples).
4. Compare com uma tabela de propriedades ópticas ( [Table 8.1](#tab-b1-optical-mineralogy-key) ) e com os [minerais](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) que a rocha pode conter ( [Capítulo 7](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#ch-b1-rock-forming-minerals) ).

| [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) | cor (LPP) | índices | birrefringência | cor mais alta a $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ | outras características |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| quartzo | incolor | 1.544–1.553 | 0.009 | branco de primeira [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) | sem clivagem; sem [maclas](#def-b1-optical-mineralogy-twin) visíveis; [uniaxial](#def-b1-optical-mineralogy-optic-axis) |
| ortoclásio | incolor, muitas vezes turvo | 1.518–1.525 | 0.005 | cinza de primeira [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) | [relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief) negativo; [maclas](#def-b1-optical-mineralogy-twin) simples |
| [plagioclásio](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) | incolor | 1.526–1.590 | 0.008–0.013 | branco a amarelo pálido de primeira [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) | [maclagem polissintética](#def-b1-optical-mineralogy-twin) |
| muscovita | incolor | 1.552–1.618 | 0.035–0.042 | brilhante, de segunda a terceira [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) | uma clivagem perfeita; extinção reta |
| biotita | marrom, verde | 1.565–1.696 | 0.04–0.07 | mascarada pela própria cor | forte [pleocroísmo](#def-b1-optical-mineralogy-pleochroism); uma clivagem perfeita |
| hornblenda | verde, marrom | 1.675–1.695 | 0.020 | azul de segunda [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) | pleocroica; clivagens a $56{}^{\circ}$/$124{}^{\circ}$; extinção $15{}^{\circ}$–$19{}^{\circ}$ |
| diopsídio | incolor | 1.664–1.694 | 0.030 | amarelo de segunda [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) | clivagens a cerca de $87{}^{\circ}$/$93{}^{\circ}$; extinção de cerca de $38{}^{\circ}$ |
| [olivina](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) | incolor (Mg) a amarelo pálido (Fe) | 1.635–1.879 | 0.035–0.052 | do fim da segunda [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) à terceira | [relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief) alto; fissuras irregulares, sem boa clivagem |
| [granada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) | incolor a rosa pálido | 1.830 (almandina) | isotrópica | preta | [relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief) muito alto; contornos de seis ou oito lados |
| calcita | incolor | 1.486–1.658 | 0.172 | branco de [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) alta | o [relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief) muda na rotação; clivagem romboédrica |
| magnetita | opaca | — | — | — | preta nas duas luzes |

***Table 8.1.** Propriedades ópticas de [minerais](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) formadores de rochas comuns em [lâmina delgada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section). LPP: [luz plano-polarizada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope). A cor mais alta é lida na [carta de Michel-Lévy](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) em $\Delta = 30\,000\,\mathrm{nm}\times\delta$.*

![(a) luz plano-polarizada](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-optical-mineralogy/img-e88b8668f4d4.jpg)

![(b) polarizadores cruzados](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-optical-mineralogy/img-3e410af05130.jpg)

*(a) [luz plano-polarizada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope)*

*(b) [polarizadores cruzados](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope)*

*O mesmo campo de um gabro em [lâmina delgada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section). Em [luz plano-polarizada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) (a), o [plagioclásio](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) é incolor de [relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief) baixo, os grãos de [piroxênio](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) e [olivina](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) são cinza-marrom pálidos, de [relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief) alto e com fissuras densas, e o minério opaco é preto; a escala é um micrômetro na ocular. Entre [polarizadores cruzados](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) (b), as ripas de [plagioclásio](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) são listradas pela [maclagem polissintética](#def-b1-optical-mineralogy-twin), os grãos de [piroxênio](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) e [olivina](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) brilham em cores de segunda [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour), e o minério permanece preto. Fotografias Chmee2, CC BY-SA 3.0 (Wikimedia Commons).*

**No laboratório — Uma sessão ao microscópio.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-optical-mineralogy/img-7b74980cdd77.jpg)

*Um estudante em um [microscópio de polarização](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) em um laboratório de ensino (ilustração gerada por IA).*

Uma petróloga que descreve uma [lâmina delgada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section) nova a percorre primeiro com pouco aumento, para ver a textura e os [minerais](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) principais, e depois grão a grão. Para cada [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) ela registra as observações do método acima, estima a sua proporção no campo e anota como os grãos se tocam: qual cristalizou primeiro, quais preenchem os espaços deixados, quais substituem outros. As medidas de luz são feitas com a platina graduada em graus e uma lâmina acessória; as composições, quando importam, são medidas depois com uma microssonda na mesma seção. Um laboratório de ensino funciona do mesmo modo, com um microscópio por estudante e uma caixa de lâminas de referência de [minerais](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) conhecidos ao lado.

## 8.5 Exercícios

**Exercício 8.1 ★.**

Calcule o [retardo](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) máximo do quartzo ($\delta = 0.009$) e o da calcita ($\delta = 0.172$) em uma seção de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ de espessura. Usando a [carta de Michel-Lévy](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour), descreva a cor de cada um.

**Solução de Exercício 8.1.**

Quartzo: $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.009 = 270\,\mathrm{nm}$, um branco de primeira [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour). Calcita: $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.172 = 5160\,\mathrm{nm}$, bem além da carta: um branco pálido de [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) alta, levemente rosado ou verde.

**Exercício 8.2 ★.**

Um grão é girado na platina entre [polarizadores cruzados](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope). Calcule $I/I_0$, como fração do seu máximo, em $\theta = 0$, $22.5{}^{\circ}$, $45{}^{\circ}$, $67.5{}^{\circ}$ e $90{}^{\circ}$ de uma [posição de extinção](#def-b1-optical-mineralogy-extinction).

**Solução de Exercício 8.2.**

$I/I_{\max} = \sin^2 2\theta$: $0$ em $0{}^{\circ}$; $\sin^245{}^{\circ} = 0.5$ em $22.5{}^{\circ}$; $1$ em $45{}^{\circ}$; $0.5$ em $67.5{}^{\circ}$; $0$ em $90{}^{\circ}$.

**Exercício 8.3 ★.**

Explique por que uma [granada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) permanece preta entre [polarizadores cruzados](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) qualquer que seja a posição da platina, e por que um grão de quartzo pode fazer o mesmo. Como você os distinguiria em [luz plano-polarizada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope)?

**Solução de Exercício 8.3.**

A [granada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) é cúbica, logo isotrópica: a luz sai dela vibrando como entrou, ao longo do polarizador, e o analisador a detém; $\Delta = 0$ em toda posição. Um grão de quartzo cortado perpendicularmente ao seu [eixo óptico](#def-b1-optical-mineralogy-optic-axis) também tem $n_1 = n_2$ para a luz que viaja ao longo desse eixo, logo $\Delta = 0$: ele também permanece escuro. Em [luz plano-polarizada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) a [granada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) tem [relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief) muito alto ($1.83$ contra $1.54$), o quartzo quase nenhum.

**Exercício 8.4 ★.**

Ordene por [relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief), em um meio de índice $1.54$, ortoclásio ($n$ cerca de $1.52$), quartzo ($1.55$), forsterita ($1.65$) e almandina ($1.83$). Qual tem [relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief) negativo? Em que direção sua [linha de Becke](#def-b1-optical-mineralogy-relief) se desloca quando o foco é elevado?

**Solução de Exercício 8.4.**

$|n - 1.54|$: almandina $0.29$, forsterita $0.11$, ortoclásio $0.02$, quartzo $0.01$; [relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief) nessa [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour), do mais alto ao mais baixo. O ortoclásio tem índice menor: [relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief) negativo, e a sua [linha de Becke](#def-b1-optical-mineralogy-relief) sai do grão, para a montagem, quando o foco é elevado.

**Exercício 8.5 ★★.**

Em uma seção de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, os grãos de um [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) verde [pleocroico](#def-b1-optical-mineralogy-pleochroism) com duas clivagens a $56{}^{\circ}$ e $124{}^{\circ}$ mostram no máximo um azul de segunda [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour), lido na carta como $\Delta = 650\,\mathrm{nm}$. Calcule a sua [birrefringência](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence) e dê o nome do [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) com [Table 8.1](#tab-b1-optical-mineralogy-key).

**Solução de Exercício 8.5.**

$\delta = 650/30000 = 0.022$. Um [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) verde [pleocroico](#def-b1-optical-mineralogy-pleochroism) com clivagens a $56{}^{\circ}$ e $124{}^{\circ}$ e [birrefringência](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence) próxima de $0.020$: hornblenda.

**Exercício 8.6 ★★.**

Usando [Proposição 8.6](#prop-b1-optical-mineralogy-relief) com $n_m = 1.54$ e $i = 30{}^{\circ}$, calcule o desvio na borda de um grão de quartzo ($n = 1.553$) e de um grão de forsterita ($n = 1.651$), em graus, e a razão entre os dois. Confira a segunda com a lei de Snell exata.

**Solução de Exercício 8.6.**

$\tan30{}^{\circ} = 0.5774$. Quartzo: $(0.013/1.54)\times0.5774 = 0.004\,87\,\mathrm{rad}
= 0.28{}^{\circ}$. Forsterita: $(0.111/1.54)\times0.5774 = 0.0416\,\mathrm{rad} =
2.38{}^{\circ}$. Razão $0.111/0.013 = 8.5$. Exatamente: $\sin r = 1.54\sin30{}^{\circ}/1.651
= 0.4664$, $r = 27.80{}^{\circ}$, um desvio de $2.20{}^{\circ}$: a fórmula de primeira [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) superestima em $8\,\%$ para uma diferença de índice tão grande.

**Exercício 8.7 ★★.**

Uma lâmina vermelha de primeira [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) tem $\Delta = 540\,\mathrm{nm}$. Um grão de quartzo de $\Delta = 270\,\mathrm{nm}$ é posto a $45{}^{\circ}$ com a lâmina inserida. Quais são os dois [retardos](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) totais possíveis, e as cores que dão na carta? Qual orientação põe as duas direções lentas paralelas?

**Solução de Exercício 8.7.**

$270 + 540 = 810\,\mathrm{nm}$, um verde de segunda [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour), quando as direções lentas do grão e da lâmina são paralelas (os [retardos](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) se somam); $|270 - 540| =
270\,\mathrm{nm}$, branco de primeira [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) de novo, quando a direção lenta do grão é paralela à direção rápida da lâmina.

**Exercício 8.8 ★★.**

Na sua borda afilada, um grão de fayalita ($\delta = 0.052$) se afina de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ até zero. Quantos matizes vermelho-violeta, que encerram as ordens em 542, 1074 e $1605\,\mathrm{nm}$, aparecem como franjas coloridas entre a borda e a parte de espessura total do grão?

**Solução de Exercício 8.8.**

Na espessura total, $\Delta = 30\,000\,\mathrm{nm}\times0.052 = 1560\,\mathrm{nm}$. Da borda ($\Delta = 0$) para dentro, o [retardo](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) passa por 542 e $1074\,\mathrm{nm}$, mas não por $1605\,\mathrm{nm}$: duas franjas vermelho-violeta.

**Exercício 8.9 ★★.**

Em vários grãos alongados com uma boa clivagem, um geólogo mede [ângulos de extinção](#def-b1-optical-mineralogy-extinction) de $0{}^{\circ}$, $21{}^{\circ}$, $36{}^{\circ}$ e $37{}^{\circ}$ entre o traço da clivagem e a direção de vibração lenta. Por que os valores diferem? O [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) é mais provavelmente diopsídio ou hornblenda?

**Solução de Exercício 8.9.**

O [ângulo de extinção](#def-b1-optical-mineralogy-extinction) medido em um grão depende de como ele é cortado: só seções de uma orientação particular mostram o maior ângulo, e outras mostram menos, até zero. O maior valor, cerca de $37{}^{\circ}$, é o que deve ser comparado: ele coincide com o diopsídio (cerca de $38{}^{\circ}$), e não com a hornblenda (no máximo $19{}^{\circ}$).

**Exercício 8.10 ★★★.**

Refaça a demonstração de [Teorema 8.10](#thm-b1-optical-mineralogy-intensity) com o analisador paralelo ao polarizador, e mostre que $I_\parallel = I_0\bigl(1 - \sin^2 2\theta\sin^2(\pi\Delta/\lambda)\bigr)$. Que cor mostra um grão de $\Delta = 550\,\mathrm{nm}$ a $45{}^{\circ}$ entre polarizadores paralelos?

**Solução de Exercício 8.10.**

Com o analisador ao longo de $x$, as componentes em $x$ das duas ondas são $E_0\cos\theta\cdot\cos\theta$ e $-E_0\sin\theta\,e^{-i\varphi}\cdot(-\sin\theta)$, logo $A = E_0(\cos^2\theta + \sin^2\theta\,e^{-i\varphi})$ e

$$
|A|^2 = E_0^2\bigl(\cos^4\theta + \sin^4\theta + 2\sin^2\theta\cos^2\theta\cos\varphi\bigr)
  = E_0^2\bigl(1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta\,(1 - \cos\varphi)\bigr),
$$

usando $\cos^4\theta + \sin^4\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta$. Como $2\sin^2\theta\cos^2\theta = \frac12\sin^2 2\theta$ e $1 - \cos\varphi =
2\sin^2(\varphi/2)$, $I_\parallel = I_0(1 - \sin^2 2\theta\sin^2(\pi\Delta/\lambda))$. Em cada comprimento de onda, $I_\parallel + I_\perp = I_0$: as cores entre polarizadores paralelos são os complementos das que aparecem entre [polarizadores cruzados](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope). Um grão de $550\,\mathrm{nm}$, magenta entre [polarizadores cruzados](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope), é verde-amarelado pálido entre polarizadores paralelos.

**Exercício 8.11 ★★★.**

Para um grão de calcita com $\Delta = 5000\,\mathrm{nm}$, o fator $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$ se anula sempre que $\Delta/\lambda$ é um número inteiro. (a) Quantas vezes ele se anula entre $400$ e $700\,\mathrm{nm}$? (b) Mostre que, perto de $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$, dois zeros sucessivos distam cerca de $\lambda^2/\Delta$, e calcule. (c) Explique por que o grão parece quase branco.

**Solução de Exercício 8.11.**

(a) $\Delta/\lambda$ vai de $5000/700 = 7.14$ a $5000/400 = 12.5$; passa pelos inteiros 8 a 12: cinco zeros. (b) Os zeros estão em $\lambda_k = \Delta/k$; dois sucessivos distam $\Delta/k - \Delta/(k + 1) =
\Delta/(k(k + 1)) \approx \lambda^2/\Delta$, isto é, $550^2/5000 =
60.5\,\mathrm{nm}$ perto de $550\,\mathrm{nm}$. (c) Cinco faixas escuras e estreitas espalhadas pelo espectro retiram um pouco de cada cor, e o restante passa, em média, com metade da intensidade: o olho vê um tom pálido, quase neutro.

**Exercício 8.12 ★★★.**

Mostre que, em média sobre uma volta completa da platina, um grão entre [polarizadores cruzados](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-microscope) transmite $\frac12 I_0\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$. Um geólogo estima [birrefringências](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence) a partir da cor mais alta de cada [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral), supondo $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, em uma seção que na verdade tem $25\,\text{µ}\mathrm{m}$ de espessura. Por que fator todos os seus valores estão errados, e em que sentido?

**Solução de Exercício 8.12.**

A média de $\sin^2 2\theta$ em uma volta é $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin^2 2\theta\,
\mathrm d\theta = \frac12$, logo a intensidade média é $\frac12 I_0\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$. Ela calcula $\delta = \Delta/30000$ em vez de $\Delta/25000$ (em nm): todos os seus valores são $25/30 = 0.83$ dos verdadeiros, baixos em $17\,\%$.

## 8.6 Problema: identificando os minerais de uma lâmina desconhecida

**Problema 8.1.**

Problema de fim de semana — observando relevo, pleocroísmo e cores de interferência, medindo a espessura de uma seção com quartzo, e dando nome a seus minerais

Uma [lâmina delgada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/6-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-i#def-b1-field-lab-methods-1-thin-section) de uma rocha ígnea desconhecida, montada em uma resina de índice $1.540$, tem espessura de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, segundo se diz. Contém cinco [minerais](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral), rotulados de A a E. Use a tabela de propriedades ópticas do capítulo, a [carta de Michel-Lévy](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) e os seguintes valores: quartzo $n_\omega = 1.544$, $n_\varepsilon = 1.553$; diopsídio $n_\alpha = 1.664$, $n_\beta = 1.672$, $n_\gamma = 1.694$.

**Parte I — Luz plano-polarizada.**

1. O [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) A é incolor, com bordas de grãos difíceis de ver. O [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) B é incolor, com bordas escuras fortes e duas clivagens que se encontram a cerca de $87{}^{\circ}$ . Qual tem o [relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief) mais alto?
2. Para A, tomado como quartzo, e B, tomado como diopsídio, calcule $|n - n_m|$ usando a média dos índices principais de cada um.
3. Usando [Proposição 8.6](#prop-b1-optical-mineralogy-relief) , calcule a razão entre os desvios nas bordas dos dois, para a mesma inclinação da fronteira.
4. Ao elevar o foco, a [linha de Becke](#def-b1-optical-mineralogy-relief) de B se desloca para dentro do grão. O que isso mostra?
5. O [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) C vai de amarelo pálido a marrom escuro à medida que a platina gira, mais escuro quando sua única clivagem fica ao longo do polarizador. Dê o nome da propriedade e do [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) .
6. O [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) D é incolor, de [relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief) baixo, em ripas longas; E é verde a amarelo e [pleocroico](#def-b1-optical-mineralogy-pleochroism) , com duas clivagens a $124{}^{\circ}$ . O que o ângulo sugere para E?

**Parte II — A espessura da seção.**

7. Qual é o maior [retardo](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) do quartzo em uma seção de exatamente $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ ? Qual é a sua cor?
8. Por que o maior [retardo](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) deve ser procurado entre muitos grãos de A, em vez de medido em um só deles?
9. A cor mais alta mostrada pelos grãos de A é um amarelo pálido de primeira [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) ; um comparador de cunha de quartzo dá o seu [retardo](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) como $342\,\mathrm{nm}$ . Calcule a espessura real da seção.
10. De quantos por cento a seção é mais espessa do que deveria ser?
11. Em $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ e a $45{}^{\circ}$ da extinção, calcule $I/I_0$ para esse grão de quartzo, e para o mesmo grão em uma seção de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ .
12. Calcule a faixa de [retardos](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) de D, tomado como [plagioclásio](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) ( $\delta = 0.008$ a $0.013$ ), nesta seção, e diga se suas cores permanecem na primeira [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) .

**Parte III — A birrefringência de B.**

13. A cor mais alta de B é um azul lido como $\Delta = 1140\,\mathrm{nm}$ . Em qual [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) ela está?
14. Calcule a [birrefringência](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence) de B com a espessura encontrada na questão 9.
15. Que [birrefringência](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence) se teria encontrado supondo $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ ? Que [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) incolor de [relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief) alto isso teria sugerido, e por que ele está deslocado em uma rocha com quartzo (considere $\ce{Mg2SiO4 + SiO2 -> 2 MgSiO3}$ )?
16. Compare o resultado da questão 14 com a tabela, junto com o [relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief) e as clivagens de B, e conclua.
17. Que cor B mostraria no máximo em uma seção correta de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ ?
18. A seção é desbastada até $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Quanto deve ser afinada, e qual é então a cor mais alta do quartzo?

**Parte IV — Extinção e maclagem.**

19. As ripas de D são divididas em listras paralelas que se extinguem alternadamente. Dê o nome da feição e do [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) .
20. As listras de uma ripa se extinguem a $27{}^{\circ}$ e $28{}^{\circ}$ de cada lado do plano de [macla](#def-b1-optical-mineralogy-twin) . Que composição indicam esses ângulos, medidos em muitas ripas, quando comparados com cartas publicadas?
21. O maior [ângulo de extinção](#def-b1-optical-mineralogy-extinction) entre as clivagens de E e sua direção lenta é $17{}^{\circ}$ . Dê o nome de E.
22. Calcule o maior [retardo](#def-b1-optical-mineralogy-retardation) de E nesta seção e a cor que ele mostra.
23. Um grão de B permanece escuro durante uma volta completa. Explique como ele pode ser o mesmo [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) dos grãos brilhantes de B.
24. Liste os [minerais](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) A a E e diga que tipo de rocha eles formam.
25. Qual é a espessura real da seção, em micrômetros?

**Solução de Problema 8.1.**

**1.** B: as bordas escuras significam [relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief) alto; as fronteiras quase invisíveis de A significam [relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief) baixo.

**2.** A: $(1.544 + 1.553)/2 = 1.5485$, $|n - n_m| = 0.0085$. B: $(1.664 + 1.672 + 1.694)/3 = 1.6767$, $|n - n_m| = 0.1367$.

**3.** Os desvios são proporcionais a $|n - n_m|$: $0.1367/0.0085 =
16.1$.

**4.** B tem índice mais alto que a montagem: [relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief) positivo.

**5.** [Pleocroísmo](#def-b1-optical-mineralogy-pleochroism); biotita.

**6.** Duas clivagens a $56{}^{\circ}$ e $124{}^{\circ}$: um [anfibólio](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups).

**7.** $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.009 = 270\,\mathrm{nm}$: branco de primeira [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour).

**8.** Cada grão é cortado na sua própria orientação e mostra um valor de $|n_1 - n_2|$ entre 0 e $\delta$; só os grãos cortados paralelamente ao [eixo óptico](#def-b1-optical-mineralogy-optic-axis) mostram o próprio $\delta$. A cor mais alta entre muitos grãos é a que deve ser usada.

**9.** $d = 342/0.009 = 38\,000\,\mathrm{nm} = 38\,\text{µ}\mathrm{m}$.

**10.** $(38 - 30)/30 = 26.7\,\%$.

**11.** $\sin^2(\pi\times342/550) = 0.861$; em $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, $\sin^2(\pi\times270/550) = 0.999$.

**12.** $38\,000\,\mathrm{nm}\times0.008 = 304\,\mathrm{nm}$ até $38\,000\,\mathrm{nm}\times0.013 = 494\,\mathrm{nm}$: de branco a vermelho-laranja, tudo abaixo do fim da primeira [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour) em $542\,\mathrm{nm}$.

**13.** Entre 1074 e $1605\,\mathrm{nm}$: terceira [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour).

**14.** $\delta = 1140/38000 = 0.030$.

**15.** $1140/30000 = 0.038$, o que sugeriria uma [olivina](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups). Uma [olivina](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) magnesiana e o quartzo reagem para dar [piroxênio](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups), $\ce{Mg2SiO4 + SiO2 -> 2 MgSiO3}$; uma rocha que cristalizou com quartzo não deve manter ambos.

**16.** $0.030$ é a [birrefringência](#def-b1-optical-mineralogy-birefringence) do diopsídio; seu [relevo](#def-b1-optical-mineralogy-relief) alto, sua falta de cor e suas duas clivagens perto de $87{}^{\circ}$ concordam: B é um clinopiroxênio, diopsídio.

**17.** $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.030 = 900\,\mathrm{nm}$: amarelo de segunda [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour).

**18.** Por $8\,\text{µ}\mathrm{m}$; o quartzo então mostra no máximo $270\,\mathrm{nm}$, branco de primeira [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour).

**19.** [Maclagem polissintética](#def-b1-optical-mineralogy-twin): D é [plagioclásio](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups).

**20.** A composição do [plagioclásio](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) (o seu teor de anortita).

**21.** Um [anfibólio](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) com [ângulo de extinção](#def-b1-optical-mineralogy-extinction) de $17{}^{\circ}$: hornblenda ($15{}^{\circ}$–$19{}^{\circ}$), não um [piroxênio](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) ($38{}^{\circ}$ para o diopsídio).

**22.** $38\,000\,\mathrm{nm}\times0.020 = 760\,\mathrm{nm}$: um verde de segunda [ordem](#def-b1-optical-mineralogy-interference-colour).

**23.** Ele é cortado perpendicularmente a um [eixo óptico](#def-b1-optical-mineralogy-optic-axis): os seus dois índices são iguais para a luz que viaja ao longo do eixo, $\Delta = 0$, e ele permanece escuro como um grão isotrópico.

**24.** Quartzo A, diopsídio B, biotita C, [plagioclásio](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) D, hornblenda E: uma rocha ígnea intermediária com algum quartzo, como um quartzo diorito.

**25.** A seção tem **$38\,\text{µ}\mathrm{m}$** de espessura.