---
title: "A Terra estratificada"
book: "Ciências da Terra e do espaço universitárias — 1.º ano"
subject: earth
language: pt
chapter: 9
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/9-a-terra-estratificada
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# Capítulo 9 — A Terra estratificada

Em 8 de outubro de 1909 um terremoto sacudiu o vale do Kupa, a sudeste de Zagreb.

Andrija Mohorovičić, que dirigia o observatório ali, reuniu os sismogramas registrados por toda a Europa e notou algo estranho: até algumas centenas de quilômetros do epicentro a primeira vibração chegava de um modo, mais longe um segundo tipo de primeira chegada tomava o lugar, como se parte da energia tivesse encontrado uma via mais rápida em profundidade. Ele explicou o fenômeno por uma fronteira a uns cinquenta quilômetros de profundidade, abaixo da qual as ondas viajam mais depressa: a base da [crosta](#def-b1-layered-earth-layers). Um século de registros desse tipo, milhões deles, transformou essa primeira fronteira em um [modelo de referência](#def-b1-layered-earth-reference-model) de toda a Terra, camada por camada, com as suas velocidades, a sua densidade, a sua gravidade e a sua pressão até o centro. Este capítulo mostra como uma fronteira é encontrada a partir dos tempos de percurso, o que diz o [modelo de referência](#def-b1-layered-earth-reference-model), como um perfil de densidade é traçado só a partir das velocidades sísmicas e conferido com a massa e o momento de inércia da Terra, quais [minerais](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) formam o [manto](#def-b1-layered-earth-layers) em cada profundidade, do que é feito o núcleo, e onde termina a casca rígida externa do planeta.

**O que você já sabe.**

Uma onda P é uma onda de compressão, uma onda S é uma onda de cisalhamento; as ondas S não atravessam líquidos, e as zonas de sombra P e S do núcleo dão o raio do [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) líquido (Livro 2, 11º ano). As ondas são refratadas em uma fronteira segundo a lei de Snell, $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$ (física). Em um fluido em repouso a pressão cresce com a profundidade como $\mathrm dP = \rho g\,\mathrm dz$ (física, primeiro ano universitário). A [crosta](#def-b1-layered-earth-layers), o [manto](#def-b1-layered-earth-layers) e o núcleo foram introduzidos no Livro 1 (6º ano).

## 9.1 Ondas sísmicas em uma Terra estratificada

As velocidades das ondas sísmicas dependem dos módulos elásticos da rocha e da sua densidade. Os livros de física as deduzem das equações da elasticidade dos meios contínuos; aqui elas são tomadas como conhecidas.

**Proposição 9.1 (Velocidades sísmicas).**

Em um sólido elástico isotrópico de densidade $\rho$, módulo de compressão $K$ e módulo de cisalhamento $\mu$, as ondas P e S viajam com

$$
v_P = \sqrt{\frac{K + \tfrac43\mu}{\rho}}, \qquad v_S = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}.
$$

Em um líquido $\mu = 0$: $v_S = 0$ e nenhuma onda S se propaga.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

Como $K$ e $\mu$ são positivos, $v_P > v_S$ sempre: na [crosta](#def-b1-layered-earth-layers) e no [manto](#def-b1-layered-earth-layers) do PREM, $v_P$ é cerca de $1.8$ a $1.9$ vezes $v_S$, e as ondas P chegam primeiro. Ambas as velocidades em geral crescem com a profundidade, porque a pressão enrijece a rocha mais do que a comprime, de modo que os raios se curvam de volta para a superfície; e em algumas profundidades elas dão saltos.

**Definição 9.2 (Descontinuidade sísmica, Moho, limites manto–núcleo e núcleo interno).**

Uma *descontinuidade sísmica* é uma superfície no interior da Terra através da qual as velocidades sísmicas, a densidade ou ambas mudam bruscamente, em uma espessura pequena comparada com um comprimento de onda sísmico. A *descontinuidade de Mohorovičić* (ou *Moho*) é a base da [crosta](#def-b1-layered-earth-layers), onde $v_P$ salta para cerca de $8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. O *limite manto–núcleo* é a superfície entre o [manto](#def-b1-layered-earth-layers) silicático sólido e o [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) líquido; o *limite do núcleo interno* é a superfície entre o [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) líquido e o [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) sólido.

### 9.1.1 Refração em um limite de camada

Tome uma camada de espessura $h$ e velocidade $v_1$, a [crosta](#def-b1-layered-earth-layers), sobre um semiespaço de velocidade $v_2 > v_1$, o [manto](#def-b1-layered-earth-layers), e uma fonte na superfície. Três ondas chegam a um receptor à distância $x$. A onda direta viaja na camada, a $v_1$. A onda refletida rebate na fronteira. E um raio que atinge a fronteira no ângulo crítico $i_c$, com $\sin i_c = v_1/v_2$, é refratado ao longo dela, viaja no meio mais rápido logo abaixo dela à velocidade $v_2$, e envia energia de volta para cima, à camada, no mesmo ângulo $i_c$ em todo o seu percurso.

**Definição 9.3 (Onda de cabeça, distância de cruzamento).**

Uma *onda de cabeça* é a onda que viaja ao longo de uma fronteira à velocidade do meio mais rápido abaixo dela e sai para cima no ângulo crítico. A *distância de cruzamento* é a distância à fonte além da qual a onda de cabeça chega antes da onda direta.

**Teorema 9.4 (Tempos de percurso sobre uma Terra de duas camadas).**

Sobre uma camada de espessura $h$ e velocidade $v_1$ repousando sobre um semiespaço de velocidade $v_2 > v_1$, uma fonte e um receptor na superfície, à distância $x$, dão

$$
t_{\text{direto}} = \frac{x}{v_1}, \qquad
  t_{\text{cabeça}} = \frac{x}{v_2} + \frac{2h\cos i_c}{v_1}
  \quad (x \ge 2h\tan i_c), \qquad \sin i_c = \frac{v_1}{v_2},
$$

e a [onda de cabeça](#def-b1-layered-earth-head-wave) chega primeiro além da [distância de cruzamento](#def-b1-layered-earth-head-wave)

$$
x_c = 2h\sqrt{\frac{v_2 + v_1}{v_2 - v_1}}.
$$

**Demonstração.** A [onda de cabeça](#def-b1-layered-earth-head-wave) desce no ângulo $i_c$ através da camada, um percurso de comprimento $h/\cos i_c$, corre ao longo da fronteira por uma distância $x - 2h\tan i_c$, e sobe ao longo de um percurso de comprimento $h/\cos i_c$. Seu tempo de percurso é

$$
t_{\text{cabeça}} = \frac{2h}{v_1\cos i_c} + \frac{x - 2h\tan i_c}{v_2}
  = \frac{x}{v_2} + \frac{2h}{v_1\cos i_c}\Bigl(1 - \frac{v_1\sin i_c}{v_2}\Bigr)
  = \frac{x}{v_2} + \frac{2h}{v_1\cos i_c}\,(1 - \sin^2 i_c),
$$

isto é, $x/v_2 + 2h\cos i_c/v_1$. O percurso existe apenas se o trajeto horizontal é positivo, $x \ge 2h\tan i_c$. Os dois tempos são iguais quando $x(1/v_1 - 1/v_2) = 2h\cos i_c/v_1$; com $\cos i_c = \sqrt{v_2^2 - v_1^2}/v_2$,

$$
x\,\frac{v_2 - v_1}{v_1 v_2} = \frac{2h\sqrt{(v_2 - v_1)(v_2 + v_1)}}{v_1 v_2},
$$

que dá $x_c$. Além dele, a reta da [onda de cabeça](#def-b1-layered-earth-head-wave), de inclinação menor, $1/v_2$, fica abaixo da reta da onda direta. ∎

No gráfico do tempo de percurso contra a distância, as ondas direta e de cabeça são duas retas. Suas inclinações são os inversos das velocidades, $1/v_1$ e $1/v_2$; a reta da [onda de cabeça](#def-b1-layered-earth-head-wave), prolongada até $x = 0$, corta o eixo dos tempos no *tempo de interseção* $t_i = 2h\cos i_c/v_1$. A onda refletida, $t = \sqrt{x^2 + 4h^2}/v_1$, é uma hipérbole que toca a reta da [onda de cabeça](#def-b1-layered-earth-head-wave) na distância crítica $2h\tan i_c$, onde a [onda de cabeça](#def-b1-layered-earth-head-wave) nasce ([Exercício 9.10](#exo-b1-layered-earth-10)).

![Refração sobre uma crosta de 35\, km de espessura, a 6.0\, km\, s-1, sobre um manto a 8.0\, km\, s-1 ((a) em escala verdadeira). (a) A onda direta corre na superfície; a onda refletida desenhada é a que atinge a Moho no ângulo crítico, 48.6; a onda de cabeça corre ao longo da Moho e volta nesse ângulo. (b) Tempos de chegada: a onda de cabeça aparece à distância crítica, 79\, km, tangente à reflexão, e ultrapassa a onda direta na distância de cruzamento, 185\, km. A extensão pontilhada dá o tempo de interseção t_i = 7.7\, s.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-layered-earth/fig-4fd4435b4eb6.svg)

*Refração sobre uma [crosta](#def-b1-layered-earth-layers) de $35\,\mathrm{km}$ de espessura, a $6.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, sobre um [manto](#def-b1-layered-earth-layers) a $8.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ ((a) em escala verdadeira). (a) A onda direta corre na superfície; a onda refletida desenhada é a que atinge a [Moho](#def-b1-layered-earth-discontinuity) no ângulo crítico, $48.6{}^{\circ}$; a [onda de cabeça](#def-b1-layered-earth-head-wave) corre ao longo da [Moho](#def-b1-layered-earth-discontinuity) e volta nesse ângulo. (b) Tempos de chegada: a [onda de cabeça](#def-b1-layered-earth-head-wave) aparece à distância crítica, $79\,\mathrm{km}$, tangente à reflexão, e ultrapassa a onda direta na [distância de cruzamento](#def-b1-layered-earth-head-wave), $185\,\mathrm{km}$. A extensão pontilhada dá o tempo de interseção $t_i = 7.7\,\mathrm{s}$.*

**Método 9.5 (A profundidade de uma fronteira a partir de um perfil de refração).**

1. Marque os tempos das primeiras chegadas contra a distância, e ajuste uma reta pelas chegadas próximas da fonte e outra pelas distantes.
2. Os inversos das inclinações dão $v_1$ e $v_2$ ; depois $\sin i_c = v_1/v_2$ .
3. Leia o tempo de interseção $t_i$ da reta distante em $x = 0$ , e calcule $h = t_i v_1/(2\cos i_c)$ ; confira com a [distância de cruzamento](#def-b1-layered-earth-head-wave) , $h = \tfrac12 x_c\sqrt{(v_2 - v_1)/(v_2 + v_1)}$ .
4. Uma fronteira só é encontrada se $v_2 > v_1$ : uma camada mais lenta sob outra mais rápida não produz [onda de cabeça](#def-b1-layered-earth-head-wave) e permanece oculta.

As duas espécies de primeira chegada de Mohorovičić eram exatamente estas duas retas: a onda direta na [crosta](#def-b1-layered-earth-layers) perto da fonte, a [onda de cabeça](#def-b1-layered-earth-head-wave) ao longo do topo do [manto](#def-b1-layered-earth-layers) mais longe. Sua figura para a espessura da [crosta](#def-b1-layered-earth-layers) naquela região, $54\,\mathrm{km}$, foi confirmada na sua ordem de grandeza, mas a profundidade da [Moho](#def-b1-layered-earth-discontinuity) varia de um lugar para outro. Sob os oceanos a [crosta](#def-b1-layered-earth-layers) tem apenas cerca de $5\,\mathrm{km}$ de espessura; sob os continentes ela tem em média cerca de $30\,\mathrm{km}$, e é muito mais espessa sob grandes cadeias de montanhas. Para o seu [modelo de referência](#def-b1-layered-earth-reference-model), o PREM tomou a [Moho](#def-b1-layered-earth-discontinuity) a $11\,\mathrm{km}$ abaixo do nível do mar sob os oceanos e a $35\,\mathrm{km}$ sob os continentes.

**História — Andrija Mohorovičić.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-layered-earth/img-32c3dbb82a2e.jpg)

*Andrija Mohorovičić. Domínio público.*

Andrija Mohorovičić (1857–1936) chegou à sismologia pela meteorologia: professor, depois, de 1891 a 1921, diretor do observatório meteorológico de Zagreb, publicou seu último estudo meteorológico em 1901. Nos sismogramas do terremoto do vale do Kupa, em 8 de outubro de 1909, ele encontrou dois pares distintos de fases P e S: perto da fonte, um tipo de primeira vibração chegava primeiro; mais longe, outro, que tinha viajado mais depressa em profundidade. Sua leitura dessas duas chegadas como uma onda direta e uma onda refratada abaixo de uma fronteira deu a fronteira que hoje leva o seu nome, e a primeira medida da espessura da [crosta](#def-b1-layered-earth-layers).

## 9.2 Um modelo de referência da Terra

O mesmo raciocínio, aplicado a milhões de tempos de percurso em todas as distâncias e aos períodos das oscilações livres da Terra (o planeta inteiro soa como um sino depois de um grande terremoto), dá as velocidades em cada profundidade.

**Definição 9.6 (Modelo de referência da Terra).**

Um *modelo de referência da Terra* é uma Terra com simetria esférica, dada pelas velocidades sísmicas $v_P(r)$, $v_S(r)$, pela densidade $\rho(r)$ e, nos modelos mais completos, pela atenuação, como funções só do raio $r$, que se ajustam aos tempos de percurso observados, aos períodos das oscilações livres, à massa da Terra e ao seu momento de inércia. O mais usado é o PREM, o Preliminary Reference Earth Model (1981).

PREM foi ajustado ao raio $6371\,\mathrm{km}$, à massa $5.974 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ e ao [fator de momento de inércia](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/3-planetologia-comparada#def-b1-comparative-planetology-moi) $0.3308$ da Terra. Ele divide o planeta em algumas regiões unidas por descontinuidades, e seus perfis (figura abaixo) mostram de imediato as principais camadas.

**Definição 9.7 (Crosta, manto, núcleo externo, núcleo interno).**

A *crosta* é a camada silicática externa acima da [Moho](#def-b1-layered-earth-discontinuity). O *manto* é a casca silicática sólida entre a [Moho](#def-b1-layered-earth-discontinuity) e o [limite manto–núcleo](#def-b1-layered-earth-discontinuity), a uma profundidade de cerca de $2891\,\mathrm{km}$. O *núcleo externo* é a casca metálica líquida entre o [limite manto–núcleo](#def-b1-layered-earth-discontinuity) e o [limite do núcleo interno](#def-b1-layered-earth-discontinuity), a cerca de $5150\,\mathrm{km}$ de profundidade. O *núcleo interno* é a esfera metálica sólida abaixo dele, de raio de cerca de $1220\,\mathrm{km}$.

![PREM: as velocidades das ondas P e S e a densidade em função da profundidade. A velocidade S cai a zero no núcleo externo líquido e reaparece, pequena, no núcleo interno sólido; no limite manto–núcleo a densidade quase dobra enquanto v_P cai de 13.7 para 8.1\, km\, s-1; os saltos perto de 400\, km e 670\, km delimitam a zona de transição.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-layered-earth/fig-17c3d103e588.svg)

*PREM: as velocidades das ondas P e S e a densidade em função da profundidade. A velocidade S cai a zero no [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) líquido e reaparece, pequena, no [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) sólido; no [limite manto–núcleo](#def-b1-layered-earth-discontinuity) a densidade quase dobra enquanto $v_P$ cai de 13.7 para $8.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$; os saltos perto de $400\,\mathrm{km}$ e $670\,\mathrm{km}$ delimitam a zona de transição.*

| limite no PREM | profundidade (km) | raio (km) | o que muda |
| --- | --- | --- | --- |
| [Moho](#def-b1-layered-earth-discontinuity) | 24.4 | 6346.6 | [crosta](#def-b1-layered-earth-layers) acima, peridotito abaixo; $v_P$ de 6.8 a 8.1 |
| descontinuidade de 220 km | 220 | 6151 | base da [zona de baixa velocidade](#def-b1-layered-earth-lithosphere) no PREM |
| descontinuidade de 400 km | 400 | 5971 | [olivina](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) para wadsleíta ($410\,\mathrm{km}$ na maioria dos estudos) |
| descontinuidade de 670 km | 670 | 5701 | ringwoodita para bridgmanita e ferropericlásio ($660\,\mathrm{km}$ na maioria dos estudos) |
| [limite manto–núcleo](#def-b1-layered-earth-discontinuity) | 2891 | 3480 | silicato para ferro líquido; $v_S$ de 7.3 a 0; $\rho$ de 5.57 a 9.90 |
| [limite do núcleo interno](#def-b1-layered-earth-discontinuity) | 5149.5 | 1221.5 | ferro líquido para sólido; $v_S$ de 0 a 3.5; $\rho$ de 12.17 a 12.76 |

***Table 9.1.** As principais descontinuidades do PREM (velocidades em $\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, densidades em $\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$). O PREM faz a média da [crosta](#def-b1-layered-earth-layers) em $24.4\,\mathrm{km}$; as [crostas](#def-b1-layered-earth-layers) reais variam de cerca de $5\,\mathrm{km}$ sob os oceanos a muitas dezenas de quilômetros sob as cadeias de montanhas.*

Dois fatos desses perfis são observados diretamente. A anulação de $v_S$ no [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) é a sombra das ondas S lembrada acima: as ondas S entram no núcleo apenas como ondas P, o núcleo não transmite cisalhamento, logo é líquido. E o [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) transmite ondas S, lentamente: é sólido. Esse segundo fato veio de chegadas P fracas onde nenhuma onda P deveria chegar.

**História — Inge Lehmann e o núcleo interno.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-layered-earth/img-aaf65ddebd5b.jpg)

*Inge Lehmann em 1932, por Even Neuhaus. Domínio público.*

Inge Lehmann (1888–1993), chefe do departamento de sismologia do instituto geodésico dinamarquês, estudou os registros do terremoto de Buller de 1929, na Nova Zelândia, e encontrou ondas P chegando dentro da zona de sombra, onde o núcleo deveria tê-las desviado. Em um artigo de 1936 com o mais curto dos títulos, *P$'$*, mostrou que elas podiam ser explicadas se o núcleo tivesse um [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) menor, com velocidade P mais alta, que devolve parte da energia para a superfície. Sabe-se hoje que o seu [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) é sólido e cresce lentamente à medida que a Terra esfria. Ela descobriu também a descontinuidade perto de $220\,\mathrm{km}$ que leva o seu nome.

## 9.3 Densidade, gravidade e pressão a partir de dados sísmicos

As velocidades sísmicas dão duas combinações dos módulos e da densidade, não a própria densidade. Uma terceira relação vem da suposição de que, no interior de uma camada de composição uniforme, a rocha é simplesmente comprimida pelo peso da rocha acima.

**Definição 9.8 (Parâmetro sísmico).**

O *parâmetro sísmico* em uma profundidade é

$$
\Phi = v_P^2 - \tfrac43 v_S^2 = \frac{K}{\rho},
$$

o módulo de compressão dividido pela densidade, calculado só a partir das duas velocidades sísmicas ([Proposição 9.1](#prop-b1-layered-earth-speeds)).

**Teorema 9.9 (Equação de Adams–Williamson).**

Em uma região de composição uniforme, em equilíbrio hidrostático, comprimida adiabaticamente, a densidade varia com o raio como

$$
\frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dr} = -\frac{\rho(r)\,g(r)}{\Phi(r)},
$$

onde $g(r)$ é a gravidade no raio $r$.

**Demonstração.** O equilíbrio hidrostático dá $\mathrm dP/\mathrm dr = -\rho g$ (lembrando que $\mathrm dz = -\mathrm dr$). O módulo de compressão é definido por $K = \rho\,\mathrm dP/\mathrm d\rho$ para a compressão em questão; para uma rocha de composição fixa comprimida sem troca de calor, é o módulo adiabático que as ondas sísmicas medem, de modo que $\mathrm d\rho/\mathrm dP = \rho/K$. Pela regra da cadeia,

$$
\frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dr} = \frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dP}\,
  \frac{\mathrm dP}{\mathrm dr} = \frac{\rho}{K}\,(-\rho g) = -\frac{\rho g}{K/\rho}
  = -\frac{\rho g}{\Phi}. \qedhere
$$

∎

A equação falha em uma descontinuidade, onde a composição ou a estrutura cristalina muda, e onde quer que a temperatura se afaste do adiabático; mas entre as descontinuidades ela explica muito bem o aumento observado da densidade com a profundidade (painel (c) da figura abaixo). Partindo de uma densidade no topo de cada região, integrando-a para baixo e ajustando os valores iniciais até que a massa e o momento de inércia saiam corretos, foi assim que os primeiros modelos de densidade foram construídos. Os dois números globais são integrais da densidade.

**Proposição 9.10 (Massa, gravidade, pressão e momento de inércia).**

Para uma Terra de simetria esférica de raio $R$ e densidade $\rho(r)$, a massa dentro do raio $r$, a gravidade, a pressão e o momento de inércia em torno de um eixo pelo centro são

$$
m(r) = \int_0^r 4\pi s^2\rho(s)\,\mathrm ds, \quad
  g(r) = \frac{G\,m(r)}{r^2}, \quad
  P(r) = \int_r^R \rho(s)\,g(s)\,\mathrm ds, \quad
  I = \frac{8\pi}{3}\int_0^R \rho(r)\,r^4\,\mathrm dr.
$$

**Demonstração.** Uma casca fina de raio $s$ e espessura $\mathrm ds$ tem o volume $4\pi s^2\,\mathrm ds$, daí a primeira integral. A gravidade de um corpo de simetria esférica fora de um raio é a de sua massa interior, concentrada no centro, e as cascas exteriores a $r$ puxam sem força resultante (o teorema da casca, que os livros de física demonstram); daí $g(r)$. Integrando a equação hidrostática a partir da superfície, onde $P = 0$, obtém-se $P(r)$. Para o momento de inércia, uma casca esférica fina de massa $\mathrm dm$ e raio $r$ tem, em torno dos três eixos $x$, $y$, $z$, momentos cuja soma é $\int (y^2 + z^2) + (z^2 + x^2) + (x^2 + y^2)\,\mathrm dm = 2r^2\,\mathrm dm$; por simetria os três são iguais, logo cada um é $\tfrac23 r^2\,\mathrm dm$. Com $\mathrm dm = 4\pi r^2\rho\,\mathrm dr$, somando as cascas obtém-se $I$. ∎

Para uma esfera de densidade uniforme, $I = \tfrac{8\pi}{15}\rho R^5 = 0.4\,MR^2$. O fator $I/MR^2 = 0.3308$ da Terra é menor: sua massa se concentra em direção ao centro, que é o primeiro argumento para um núcleo denso. Calculadas só a partir da densidade do PREM, as integrais dão uma massa de $5.976 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ($0.06\,\%$ acima da medida $5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$), um fator $0.3309$, e uma pressão central de $364\,\mathrm{GPa}$, o valor tabelado com o PREM a $0.1\,\%$.

![No interior da Terra, a partir do PREM. (a) e (b) Gravidade e pressão calculadas a partir da densidade do PREM com : a gravidade se mantém perto de 10\, m\, s-2 através do manto, atinge um máximo de 10.7\, m\, s-2 no limite manto–núcleo (CMB) e cai a zero no centro; a pressão chega a 136\, GPa no CMB, 329\, GPa no limite do núcleo interno (ICB) e 364\, GPa no centro. (c) A equação de Adams–Williamson, integrada para baixo a partir da densidade do PREM a 771\, km e no topo do núcleo externo com as velocidades e a gravidade do PREM (círculos), segue o PREM com 0.2\,\%: ali o aumento da densidade é a compressão de um material uniforme; os saltos, não.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-layered-earth/fig-cff7b17c43bc.svg)

*No interior da Terra, a partir do PREM. (a) e (b) Gravidade e pressão calculadas a partir da densidade do PREM com [Proposição 9.10](#prop-b1-layered-earth-integrals): a gravidade se mantém perto de $10\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ através do [manto](#def-b1-layered-earth-layers), atinge um máximo de $10.7\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ no [limite manto–núcleo](#def-b1-layered-earth-discontinuity) (CMB) e cai a zero no centro; a pressão chega a $136\,\mathrm{GPa}$ no CMB, $329\,\mathrm{GPa}$ no [limite do núcleo interno](#def-b1-layered-earth-discontinuity) (ICB) e $364\,\mathrm{GPa}$ no centro. (c) A equação de Adams–Williamson, integrada para baixo a partir da densidade do PREM a $771\,\mathrm{km}$ e no topo do [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) com as velocidades e a gravidade do PREM (círculos), segue o PREM com $0.2\,\%$: ali o aumento da densidade é a compressão de um material uniforme; os saltos, não.*

Que a gravidade cresça na descida pelo [manto](#def-b1-layered-earth-layers) é consequência direta do núcleo denso: a massa deixada dentro do raio cai mais devagar que $r^2$. Através do [manto](#def-b1-layered-earth-layers) $g$ quase não muda, e a pressão cresce quase linearmente com a profundidade, cerca de $4.7\,\mathrm{GPa}$ por cem quilômetros.

## 9.4 O manto: uma rocha, várias associações minerais

O [manto](#def-b1-layered-earth-layers) superior é peridotito, conhecido pelos fragmentos que os vulcões trazem à superfície e por fatias do [manto](#def-b1-layered-earth-layers) empurradas sobre os continentes: cerca de metade a três quintos de [olivina](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) em volume ($49\text{ a }62\,\%$ nas composições propostas), o resto [piroxênios](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) e um [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) alumínico ([plagioclásio](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups), espinélio ou [granada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups), conforme a profundidade). A pressão que cresce com a profundidade não muda essa composição, mas força os seus átomos em arranjos mais densos: [polimorfos](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-polymorph) ([Capítulo 7](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#ch-b1-rock-forming-minerals)) aparecem um após o outro.

**Definição 9.11 (Zona de transição do manto).**

A *zona de transição do manto* é a parte do [manto](#def-b1-layered-earth-layers) entre as [descontinuidades sísmicas](#def-b1-layered-earth-discontinuity) perto de $410\,\mathrm{km}$ e $660\,\mathrm{km}$ de profundidade, em que a [olivina](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) do [manto](#def-b1-layered-earth-layers) superior é substituída pelos seus [polimorfos](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-polymorph) mais densos, a wadsleíta e depois a ringwoodita. Acima dela fica o [manto](#def-b1-layered-earth-layers) superior; abaixo, o [manto](#def-b1-layered-earth-layers) inferior, até o [limite manto–núcleo](#def-b1-layered-earth-discontinuity).

Em cerca de $410\,\mathrm{km}$ ($14\,\mathrm{GPa}$) a [olivina](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) $\ce{(Mg,Fe)2SiO4}$ se torna wadsleíta, de mesma fórmula; perto de $520\,\mathrm{km}$ ($17.5\,\mathrm{GPa}$) a wadsleíta se torna ringwoodita; os [piroxênios](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) se dissolvem em uma [granada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) rica em silício, a majorita, até que, no meio da zona de transição, a [granada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) contém todos eles, de modo que a zona é um pouco mais que metade de [polimorfos](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-polymorph) da [olivina](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups) e o resto [granada](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-groups). Em cerca de $660\,\mathrm{km}$, a uma pressão perto de $24\,\mathrm{GPa}$, a ringwoodita se decompõe em dois [minerais](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral), escritos para o [membro-final](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-solid-solution) magnesiano

$$
\ce{Mg2SiO4 -> MgSiO3 + MgO}:
$$

bridgmanita, $\ce{(Mg,Fe)SiO3}$ com a estrutura da perovskita, e ferropericlásio, $\ce{(Mg,Fe)O}$. Um [manto](#def-b1-layered-earth-layers) inferior de mesma composição que o [manto](#def-b1-layered-earth-layers) superior é cerca de $75\,\%$ bridgmanita, $17\,\%$ ferropericlásio e $8\,\%$ de uma perovskita silicática de cálcio, em volume, e se ajusta às densidades e velocidades do [modelo de referência](#def-b1-layered-earth-reference-model). A bridgmanita é, portanto, o [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) mais abundante da Terra; ela recebeu o seu nome só em 2014, depois que grãos naturais foram descritos em um meteorito fortemente chocado.

Cada mudança produz [minerais](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) mais densos, de modo que aumenta a densidade e as velocidades sísmicas: as transições são as descontinuidades dos perfis (figura abaixo). Suas profundidades não são fixas. Uma mudança de fase ocorre a uma pressão que depende da temperatura, e a inclinação dessa dependência (a inclinação de Clapeyron, tratada no Livro 4) faz a descontinuidade de $410\,\mathrm{km}$ subir e a de $660\,\mathrm{km}$ descer na rocha fria de uma placa que afunda. Mapear a topografia das descontinuidades é uma maneira de encontrar regiões frias e quentes no [manto](#def-b1-layered-earth-layers).

![Os minerais de um manto de peridotito com a profundidade, como frações de volume (esquemático: as fronteiras são traçadas nítidas, e as frações são valores redondos dentro das faixas citadas no texto). A composição não muda; os minerais mudam, a cerca de 410, 520 e 660\, km.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-layered-earth/fig-f59997e230ff.svg)

*Os [minerais](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) de um [manto](#def-b1-layered-earth-layers) de peridotito com a profundidade, como frações de volume (esquemático: as fronteiras são traçadas nítidas, e as frações são valores redondos dentro das faixas citadas no texto). A composição não muda; os [minerais](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) mudam, a cerca de 410, 520 e $660\,\mathrm{km}$.*

Na base do [manto](#def-b1-layered-earth-layers), a camada chamada D$''$ (D duas linhas, nome mantido de um modelo antigo da Terra) tem um gradiente de velocidade diferente do resto do [manto](#def-b1-layered-earth-layers) inferior; o PREM lhe atribui os $150\,\mathrm{km}$ mais baixos do [manto](#def-b1-layered-earth-layers). É heterogênea sismicamente: manchas de velocidade muito baixa, gradientes íngremes, refletores. Pensa-se que seja uma camada limite entre o núcleo quente e o [manto](#def-b1-layered-earth-layers), e talvez um cemitério de placas antigas.

## 9.5 O núcleo

O núcleo é sobretudo ferro. Sua densidade, suas velocidades e sua capacidade de gerar um campo magnético apontam para um metal, e o ferro é de longe o elemento mais abundante entre os suficientemente densos que os meteoritos e o Sol mostram ser comuns. O níquel, abundante nos meteoritos de ferro, o acompanha. Mas o núcleo não é ferro–níquel puro.

- O núcleo é $5\text{ a }10\,\%$ menos denso do que o ferro puro seria nas mesmas pressão e temperatura: deve conter elementos leves, entre os quais silício, enxofre, carbono, oxigênio e hidrogênio são os candidatos.
- A densidade salta cerca de $4.5\,\%$ no [limite do núcleo interno](#def-b1-layered-earth-discontinuity) , muito para o congelamento de um só e mesmo metal: o [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) também contém elementos leves, mas menos, alguns por cento, contra $5\text{ a }10\,\%$ no líquido.

A diferença tem uma consequência. À medida que a Terra esfria — seu [manto](#def-b1-layered-earth-layers) cerca de $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ por bilhão de anos atualmente —, o líquido do núcleo congela sobre o [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers), que cresce, e

o congelamento deixa a maior parte dos elementos leves no líquido. O líquido leve liberado na base do [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) sobe, e acredita-se que essa flutuabilidade ajude a agitar o [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) e a acionar o dínamo que gera o campo magnético da Terra.

## 9.6 Camadas mecânicas: litosfera e astenosfera

As camadas acima são definidas pela composição e pela fase: [crosta](#def-b1-layered-earth-layers) e [manto](#def-b1-layered-earth-layers) são rochas diferentes, [núcleos externo](#def-b1-layered-earth-layers) e interno são estados diferentes. A tectônica de placas precisa de outra divisão, pela resistência, que corta a primeira.

**Definição 9.12 (Litosfera, astenosfera, zona de baixa velocidade).**

A *litosfera* é a casca externa rígida da Terra, a [crosta](#def-b1-layered-earth-layers) e o [manto](#def-b1-layered-earth-layers) mais superior, que se comporta como uma camada forte ao longo dos tempos geológicos e é dividida em placas. A *astenosfera* é a camada mais fraca do [manto](#def-b1-layered-earth-layers) superior abaixo dela, que se deforma por um fluxo lento e deixa as placas se moverem. A *zona de baixa velocidade* é a faixa de profundidade abaixo da litosfera em que as velocidades sísmicas, sobretudo as das ondas S, são mais baixas do que logo acima e abaixo.

A [litosfera](#def-b1-layered-earth-lithosphere) não é uma rocha, e sim uma faixa de temperatura: o peridotito do [manto](#def-b1-layered-earth-layers) é forte onde está frio e flui onde está quente, e a sua base é aproximadamente uma isoterma. Ela é fina sob as cristas, onde o [manto](#def-b1-layered-earth-layers) quente sobe, cerca de $140\,\mathrm{km}$ de espessura sob o assoalho oceânico mais antigo, e $40\text{ a }280\,\mathrm{km}$ de espessura sob os continentes, mais espessa sob os crátons antigos; o topo da [astenosfera](#def-b1-layered-earth-lithosphere) fica a cerca de $80\text{ a }200\,\mathrm{km}$. Sismicamente, a [astenosfera](#def-b1-layered-earth-lithosphere) aparece como a [zona de baixa velocidade](#def-b1-layered-earth-lithosphere), perto das suas condições de fusão: no PREM a velocidade S diminui levemente desde a [Moho](#def-b1-layered-earth-discontinuity) até $220\,\mathrm{km}$, onde volta a saltar. Como a resistência depende da temperatura, e por que isso acontece, é o assunto de [Capítulo 16](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/16-tensao-deformacao-e-reologia#ch-b1-stress-strain-rheology).

**No campo — Uma estação sísmica.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-3/b1-layered-earth/img-c787a9689c94.jpg)

*Um sismômetro de banda larga sobre o seu pilar em uma cúpula subterrânea, com o registrador de dados na parede (ilustração gerada por IA).*

Os tempos de percurso em que se apoiam os [modelos de referência](#def-b1-layered-earth-reference-model) vêm de estações permanentes. Um sismômetro de banda larga, que registra movimentos do solo de centésimos de segundo a horas de período, fica sobre um pilar de concreto assentado em rocha nua e isolado do piso da cúpula, sob uma cobertura que mantém a sua temperatura estável: uma variação de uma fração de grau, uma corrente de ar ou um caminhão passando apareceria no registro. O registrador de dados marca cada amostra com a hora dada por satélites, e os registros fluem para centros de dados que os compartilham abertamente. Redes dessas estações localizam e datam todos os grandes terremotos; os tempos de chegada lidos em seus registros foram invertidos para obter as velocidades em cada profundidade.

## 9.7 Exercícios

**Exercício 9.1 ★.**

Com os raios do PREM $R = 6371\,\mathrm{km}$, $r_{\text{CMB}} = 3480\,\mathrm{km}$ e $r_{\text{ICB}} = 1221.5\,\mathrm{km}$, calcule as frações do volume da Terra ocupadas pelo núcleo e pelo [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers).

**Solução de Exercício 9.1.**

Os fatores de volume são os cubos das razões dos raios: núcleo $(3480/6371)^3 = 0.1630$, isto é, $16.3\,\%$; [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) $(1221.5/6371)^3 = 0.00705$, $0.70\,\%$.

**Exercício 9.2 ★.**

Logo acima do [limite manto–núcleo](#def-b1-layered-earth-discontinuity) o PREM dá $v_P = 13.7166\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $v_S = 7.264\,66\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho = 5.566\,45\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; logo abaixo, $v_P = 8.064\,82\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $v_S = 0$, $\rho = 9.903\,49\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Calcule o [parâmetro sísmico](#def-b1-layered-earth-seismic-parameter) e o módulo de compressão de cada lado (em GPa). O que muda mais através do limite?

**Solução de Exercício 9.2.**

Acima: $\Phi = 13.7166^2 - \tfrac43\times7.26466^2 = 188.145 - 70.367 =
117.78\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$, $K = \rho\Phi = 5566.45\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}\times
117.78 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2} = 655.6\,\mathrm{GPa}$. Abaixo: $\Phi = 8.06482^2 =
65.04\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$, $K = 9903.49\times65.04 \times 10^{6} = 644.1\,\mathrm{GPa}$. O módulo de compressão quase não muda ($-1.7\,\%$). O que muda é o módulo de cisalhamento, $\mu = \rho v_S^2 = 293.8\,\mathrm{GPa}$ acima e $0$ abaixo (um líquido), e a densidade, que sobe $78\,\%$: daí a queda de $v_P$ apesar de um $K$ quase igual.

**Exercício 9.3 ★.**

Uma [crosta](#def-b1-layered-earth-layers) de $30\,\mathrm{km}$ de espessura, a $6.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, repousa sobre um [manto](#def-b1-layered-earth-layers) a $8.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calcule o ângulo crítico, a distância crítica e a [distância de cruzamento](#def-b1-layered-earth-head-wave).

**Solução de Exercício 9.3.**

$\sin i_c = 6.2/8.1 = 0.7654$, $i_c = 49.95{}^{\circ}$. Distância crítica $2\times30\times\tan49.95{}^{\circ} = 60\times1.1906 = 71.4\,\mathrm{km}$. [Distância de cruzamento](#def-b1-layered-earth-head-wave) $60\sqrt{14.3/1.9} = 60\times2.743 = 164.6\,\mathrm{km}$.

**Exercício 9.4 ★.**

A massa do núcleo é $1.94 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ e o seu raio $3480\,\mathrm{km}$. Calcule a gravidade no [limite manto–núcleo](#def-b1-layered-earth-discontinuity) e compare-a com a gravidade na superfície, $9.82\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Por que ela é maior?

**Solução de Exercício 9.4.**

$g = Gm/r^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times1.94 \times 10^{24}/(3.48 \times 10^{6})^2 =
10.69\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $9\,\%$ a mais que na superfície. Descendo até o núcleo, o raio ao quadrado cai para $(3480/6371)^2 = 0.298$ de seu valor na superfície, enquanto a massa atrativa cai apenas para $1.94/5.972 = 0.325$ do total, porque o núcleo contém um terço da massa: $0.325/0.298 = 1.09$.

**Exercício 9.5 ★★.**

Em um perfil de refração as primeiras chegadas estão em $10.0\,\mathrm{s}$ a $60\,\mathrm{km}$, em $33.3\,\mathrm{s}$ a $200\,\mathrm{km}$ e em $45.8\,\mathrm{s}$ a $300\,\mathrm{km}$; a reta pelo primeiro ponto passa pela origem. Encontre $v_1$, $v_2$, o tempo de interseção e a profundidade da fronteira, e confira o resultado com a [distância de cruzamento](#def-b1-layered-earth-head-wave).

**Solução de Exercício 9.5.**

Perto da fonte $v_1 = 60/10.0 = 6.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Longe $v_2 = (300 - 200)/(45.8 - 33.3) = 100/12.5 = 8.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$; o tempo de interseção é $t_i = 33.3 - 200/8.0 = 8.3\,\mathrm{s}$. Então $\sin i_c =
0.75$, $\cos i_c = 0.6614$, e $h = t_i v_1/(2\cos i_c) = 8.3\times6.0/1.3229
= 37.6\,\mathrm{km}$. Confere: $x_c = 2\times37.6\times\sqrt{14/2} = 199\,\mathrm{km}$, em que as duas ondas chegam em $199/6.0 = 199/8.0 + 8.3 = 33.2\,\mathrm{s}$.

**Exercício 9.6 ★★.**

Mostre que uma esfera homogênea tem $I = 0.4\,MR^2$. Depois calcule a massa e o fator $I/MR^2$ de uma Terra de duas camadas: um núcleo de raio $3480\,\mathrm{km}$ e densidade $11.0\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ em um [manto](#def-b1-layered-earth-layers) de densidade $4.45\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, com $R = 6371\,\mathrm{km}$. Compare com $5.972 \times 10^{24}$ kg e $0.3308$.

**Solução de Exercício 9.6.**

Para $\rho$ uniforme, $I = \tfrac{8\pi}{3}\rho\int_0^R r^4\,\mathrm dr =
\tfrac{8\pi}{15}\rho R^5$ e $M = \tfrac43\pi\rho R^3$, logo $I/MR^2 = (8/15)/(4/3) = 0.4$. Duas camadas ($r_c = 3.48 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, $R = 6.371 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$): $M = \tfrac43\pi\bigl(11000\,r_c^3 + 4450\,(R^3 -
r_c^3)\bigr) = 5.977 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $0.08\,\%$ acima da massa medida; $I = \tfrac{8\pi}{15}\bigl(11000\,r_c^5 + 4450\,(R^5 - r_c^5)\bigr)$ dá $I/MR^2 = 0.3457$. A massa está certa, mas o fator fica $4.5\,\%$ alto demais: o [manto](#def-b1-layered-earth-layers) real não é uniforme, sua densidade cresce com a profundidade, o que desloca massa para dentro.

**Exercício 9.7 ★★.**

Em $1471\,\mathrm{km}$ de profundidade o PREM dá $v_P = 12.16\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $v_S = 6.673\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho = 4.86\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, e a gravidade é $9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Calcule o gradiente de densidade dado pela equação de Adams–Williamson, em $\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ por $1000\,\mathrm{km}$, e compare com as densidades do PREM, $4.844$ a $1471\,\mathrm{km}$ e $5.357$ a $2471\,\mathrm{km}$.

**Solução de Exercício 9.7.**

$\Phi = 12.16^2 - \tfrac43\times6.673^2 = 147.87 - 59.37 =
88.49\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$. Com a profundidade $z$, $\mathrm d\rho/\mathrm dz = \rho g/\Phi = 4860\times9.9/88.49 \times 10^{6} =
5.44 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-4}$, isto é, $0.544\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ por quilômetro, ou $0.54\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ por $1000\,\mathrm{km}$. O PREM sobe $5.357 - 4.844 =
0.513$ nesses $1000\,\mathrm{km}$, $6\,\%$ a menos: o gradiente calculado no topo é aplicado a todo o intervalo, enquanto $\Phi$ cresce com a profundidade e o gradiente diminui.

**Exercício 9.8 ★★.**

Estime a pressão a $670\,\mathrm{km}$ de profundidade a partir de uma densidade média de $3.57\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ e uma gravidade de $9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Que mudança [mineral](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/7-minerais-formadores-de-rochas#def-b1-rock-forming-minerals-mineral) é esperada ali?

**Solução de Exercício 9.8.**

$P \approx \bar\rho g z = 3570\times9.9\times670 \times 10^{3} = 23.7\,\mathrm{GPa}$ (PREM: $23.9\,\mathrm{GPa}$). É a pressão, cerca de $24\,\mathrm{GPa}$, na qual a ringwoodita se decompõe em bridgmanita e ferropericlásio: a descontinuidade de $660\,\mathrm{km}$.

**Exercício 9.9 ★★.**

A densidade média do [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) do PREM é $10.90\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; no [limite do núcleo interno](#def-b1-layered-earth-discontinuity) sua densidade é $12.166\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ acima e $12.764\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ abaixo. (a) Se o ferro nas mesmas condições é $5\text{ a }10\,\%$ mais denso que o [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers), que faixa de densidades isso dá para o ferro líquido ali? (b) Calcule o salto de densidade no [limite do núcleo interno](#def-b1-layered-earth-discontinuity) em porcentagem, e compare-o com os $4.5\,\%$ de estudos recentes. (c) O que um salto maior do que o da solidificação sozinha daria a dizer sobre os elementos leves?

**Solução de Exercício 9.9.**

(a) Ferro líquido: $10.90\times1.05 = 11.4$ a $10.90\times1.10 =
12.0\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. (b) $12.764/12.166 = 1.049$: um salto de $4.9\,\%$ no PREM, um pouco mais que os $4.5\,\%$ de estudos recentes. (c) A solidificação sozinha tornaria o sólido apenas um pouco mais denso que o líquido; o salto maior significa que o sólido contém menos elementos leves que o líquido: eles preferem o líquido, e a solidificação na fronteira do [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) deixa a maior parte deles para trás.

**Exercício 9.10 ★★★.**

Mostre que o tempo da onda refletida $t_r(x) = \sqrt{x^2 + 4h^2}/v_1$ e o tempo da [onda de cabeça](#def-b1-layered-earth-head-wave) de [Teorema 9.4](#thm-b1-layered-earth-two-layer) são iguais, e têm inclinações iguais, em $x = 2h\tan i_c$, e que $t_r > t_{\text{cabeça}}$ além dela. Interprete.

**Solução de Exercício 9.10.**

Seja $x_* = 2h\tan i_c$. Então $\sqrt{x_*^2 + 4h^2} = 2h/\cos i_c$ e $t_r(x_*) = 2h/(v_1\cos i_c)$. A [onda de cabeça](#def-b1-layered-earth-head-wave) dá $t(x_*) = 2h\tan i_c/v_2 + 2h\cos i_c/v_1 = \frac{2h}{v_1}\bigl(\sin^2 i_c/\cos
i_c + \cos i_c\bigr) = 2h/(v_1\cos i_c)$, usando $\sin i_c = v_1/v_2$: o mesmo. A inclinação da hipérbole é $t_r'(x) = x/(v_1\sqrt{x^2 + 4h^2})$; em $x_*$ ela é $\sin i_c/v_1 = 1/v_2$, a inclinação da reta da [onda de cabeça](#def-b1-layered-earth-head-wave). Como $t_r'' > 0$, a hipérbole é convexa e fica acima de cada uma de suas tangentes: para $x > x_*$, $t_r > t_{\text{cabeça}}$. Na distância crítica a reflexão atinge a fronteira exatamente em $i_c$ e é o nascimento da [onda de cabeça](#def-b1-layered-earth-head-wave); além, a [onda de cabeça](#def-b1-layered-earth-head-wave), que ganha por correr no meio rápido, chega primeiro.

**Exercício 9.11 ★★★.**

Para uma Terra de densidade uniforme $\rho$, mostre que $g(r) = \tfrac43\pi G\rho r$ e $P(r) = \tfrac23\pi G\rho^2(R^2 - r^2)$. Calcule a pressão central com $\rho = 5513\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ e $R = 6371\,\mathrm{km}$, e compare com os $363.85\,\mathrm{GPa}$ do PREM.

**Solução de Exercício 9.11.**

$m(r) = \tfrac43\pi\rho r^3$, logo $g = Gm/r^2 = \tfrac43\pi G\rho r$. Então $P(r) = \int_r^R \rho\,\tfrac43\pi G\rho s\,\mathrm ds = \tfrac23\pi G\rho^2(R^2
- r^2)$. No centro $P = \tfrac23\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times5513^2\times
(6.371 \times 10^{6})^2 = 172\,\mathrm{GPa}$, $47\,\%$ do PREM $363.85\,\mathrm{GPa}$: concentrar a massa em direção ao centro quase dobra a pressão central.

**Exercício 9.12 ★★★.**

Mostre que, se $g/\Phi$ é constante através de uma camada, a equação de Adams–Williamson dá $\rho = \rho_0\exp\bigl(g(z - z_0)/\Phi\bigr)$ com a profundidade $z$. Aplique-a ao [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers), de $2891\,\mathrm{km}$ ($\rho_0 =
9.90\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) a $5149.5\,\mathrm{km}$, com valores médios $g = 7.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ e $\Phi = 87\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$; compare com os $12.17\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ do PREM no [limite do núcleo interno](#def-b1-layered-earth-discontinuity).

**Solução de Exercício 9.12.**

Com $z$ a profundidade, $\mathrm d\rho/\mathrm dz = \rho g/\Phi$; se $g/\Phi$ é uma constante $a$, $\mathrm d(\ln\rho)/\mathrm dz = a$ e $\rho = \rho_0
e^{a(z - z_0)}$. Aqui $a(z - z_0) = 7.9\times2258.5 \times 10^{3}/87 \times 10^{6} =
0.2051$ e $\rho = 9.90\times e^{0.2051} = 9.90\times1.2276 =
12.15\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, $0.2\,\%$ abaixo do $12.17$ do PREM: todo o aumento de densidade através do [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) é autocompressão.

## 9.8 Problema: pesando as cascas da Terra

**Problema 9.1.**

Problema de fim de semana — volumes, massas e momento de inércia de uma Terra de quatro cascas construída a partir do PREM, comparados com a massa e o momento de inércia medidos; gravidade e pressão no fundo do interior

A Terra é cortada em quatro cascas nos raios do PREM, e cada uma recebe a sua densidade média no PREM, arredondada:

| casca | de (km) | até (km) | densidade média ($\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) |
| --- | --- | --- | --- |
| [crosta](#def-b1-layered-earth-layers), [manto](#def-b1-layered-earth-layers) superior e zona de transição | 5701 | 6371 | 3.57 |
| [manto](#def-b1-layered-earth-layers) inferior | 3480 | 5701 | 4.90 |
| [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) | 1221.5 | 3480 | 10.90 |
| [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) | 0 | 1221.5 | 12.89 |

Use $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$. A massa medida da Terra é $5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ e o seu [fator de momento de inércia](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/3-planetologia-comparada#def-b1-comparative-planetology-moi) $I/MR^2 = 0.3308$.

**Parte I — Volumes.**

1. Calcule o volume da Terra.
2. Calcule o volume de cada casca.
3. Que fração do volume ocupa cada casca? Qual é a maior?
4. Que fração do volume é núcleo?

**Parte II — Massas.**

5. Calcule a massa de cada casca.
6. Some-as, e compare o total com a massa medida.
7. Deduza a densidade média da Terra modelo.
8. Que fração da massa está no [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) ?
9. Que fração da massa está no [manto](#def-b1-layered-earth-layers) e na [crosta](#def-b1-layered-earth-layers) juntos?
10. Compare a parcela do núcleo no volume e na massa, e explique.

**Parte III — Momento de inércia.**

11. Mostre a partir de [Proposição 9.10](#prop-b1-layered-earth-integrals) que uma casca homogênea entre $r_1$ e $r_2$ tem $I = \tfrac{8\pi}{15}\rho\,(r_2^5 - r_1^5)$ .
12. Calcule o momento de inércia de cada casca.
13. Qual casca contribui mais, e por que o [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) contribui quase nada?
14. Some-os e calcule $I/MR^2$ para o modelo.
15. Compare com $0.3308$ e com os $0.4$ de uma esfera homogênea.
16. Dentro de cada casca real a densidade cresce com a profundidade. Isso explica por que o fator do modelo é alto demais? Explique.

**Parte IV — Gravidade e pressão.**

17. Calcule a gravidade na superfície do modelo.
18. Calcule a gravidade no [limite manto–núcleo](#def-b1-layered-earth-discontinuity) .
19. Calcule a densidade média do [manto](#def-b1-layered-earth-layers) e da [crosta](#def-b1-layered-earth-layers) juntos.
20. A gravidade no [manto](#def-b1-layered-earth-layers) se mantém perto de $10\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ . Estime a pressão no [limite manto–núcleo](#def-b1-layered-earth-discontinuity) , e compare com os $135.75\,\mathrm{GPa}$ do PREM.
21. Calcule a densidade média do núcleo, e o aumento de pressão do [limite manto–núcleo](#def-b1-layered-earth-discontinuity) até o centro em um núcleo homogêneo, $\tfrac23\pi G\rho_c^2 r_c^2$ ( [Exercício 9.11](#exo-b1-layered-earth-11) aplicado só ao núcleo).
22. Some as duas para estimar a pressão central, e compare com os $363.85\,\mathrm{GPa}$ do PREM. Por que a estimativa é baixa demais?
23. Quais números do modelo são conferidos com uma medida, e quais só com o próprio PREM?
24. Que fração da massa da Terra está no núcleo?

**Solução de Problema 9.1.**

**1.** $V = \tfrac43\pi(6.371 \times 10^{6})^3 = 1.0832 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{3}$.

**2.** $\tfrac43\pi(r_2^3 - r_1^3)$: [crosta](#def-b1-layered-earth-layers), [manto](#def-b1-layered-earth-layers) superior e zona de transição $3.0706 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$; [manto](#def-b1-layered-earth-layers) inferior $5.9961 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$; [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) $1.6890 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$; [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) $7.634 \times 10^{18}\,\mathrm{m}^{3}$.

**3.** $28.35\,\%$, $55.36\,\%$, $15.59\,\%$ e $0.70\,\%$: o [manto](#def-b1-layered-earth-layers) inferior é a maior casca, mais da metade do volume da Terra.

**4.** $15.59 + 0.70 = 16.3\,\%$.

**5.** [Crosta](#def-b1-layered-earth-layers), [manto](#def-b1-layered-earth-layers) superior e zona de transição $3.0706 \times 10^{20}\times3570 =
1.0962 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$; [manto](#def-b1-layered-earth-layers) inferior $2.9381 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$; [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) $1.8410 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$; [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) $9.841 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$.

**6.** $5.9737 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $0.03\,\%$ acima da massa $5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

**7.** $5.9737 \times 10^{24}/1.0832 \times 10^{21} = 5515\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

**8.** $9.841 \times 10^{22}/5.9737 \times 10^{24} = 1.65\,\%$.

**9.** $(1.0962 + 2.9381)/5.9737 = 67.5\,\%$.

**10.** O núcleo tem $16.3\,\%$ do volume e $32.5\,\%$ da massa, o dobro: sua densidade média, $10\,986\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, é cerca de $2.5$ vezes a do [manto](#def-b1-layered-earth-layers).

**11.** Uma casca de densidade uniforme dá $I = \tfrac{8\pi}{3}\rho\int_{r_1}^{r_2} r^4\,\mathrm dr = \tfrac{8\pi}{15}\rho
(r_2^5 - r_1^5)$.

**12.** [Crosta](#def-b1-layered-earth-layers), [manto](#def-b1-layered-earth-layers) superior e zona de transição $2.676 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; [manto](#def-b1-layered-earth-layers) inferior $4.525 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; [núcleo externo](#def-b1-layered-earth-layers) $9.27 \times 10^{36}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) $5.87 \times 10^{34}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$.

**13.** O [manto](#def-b1-layered-earth-layers) inferior: tem metade da massa, em grandes raios. O [núcleo interno](#def-b1-layered-earth-layers) tem $1.6\,\%$ da massa, toda ela perto do eixo: sua parcela é $0.07\,\%$.

**14.** $I = 8.1345 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ e $I/MR^2 = 8.1345 \times 10^{37}/
(5.9737 \times 10^{24}\times(6.371 \times 10^{6})^2) = 0.3355$.

**15.** $1.4\,\%$ acima de $0.3308$, e bem abaixo de $0.4$: o modelo tem a concentração de massa em direção ao centro aproximadamente certa.

**16.** Sim. Dentro de cada casca a densidade real é maior embaixo do que em cima; uma casca homogênea da mesma massa põe massa demais perto do seu raio externo, onde ela conta com $r^2$, e assim superestima $I$.

**17.** $g = GM/R^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times5.9737 \times 10^{24}/
(6.371 \times 10^{6})^2 = 9.822\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$.

**18.** A massa do núcleo é $1.8410 \times 10^{24} + 9.841 \times 10^{22} =
1.9394 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, e $g = G m/r_c^2 = 10.69\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$.

**19.** $(1.0962 \times 10^{24} + 2.9381 \times 10^{24})/(3.0706 \times 10^{20} +
5.9961 \times 10^{20}) = 4.0343 \times 10^{24}/9.0667 \times 10^{20} = 4450\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

**20.** $P \approx 4450\times10\times2.891 \times 10^{6} = 128.6\,\mathrm{GPa}$, $5\,\%$ abaixo dos $135.75\,\mathrm{GPa}$ do PREM.

**21.** $\rho_c = 1.9394 \times 10^{24}/1.7653 \times 10^{20} = 10\,986\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, e $\Delta P = \tfrac23\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times10986^2\times
(3.48 \times 10^{6})^2 = 204.3\,\mathrm{GPa}$.

**22.** $128.6 + 204.3 = 332.9\,\mathrm{GPa}$, $8.5\,\%$ abaixo dos $363.85\,\mathrm{GPa}$ do PREM. Ambas as estimativas ignoram o aumento da densidade com a profundidade dentro de cada região, que coloca mais massa mais fundo, mantém a gravidade mais alta na descida e eleva $\rho g$, o gradiente de pressão.

**23.** A massa total (questão 6), o [fator de momento de inércia](https://one-course.com/books/earth/3/pt/chapter/3-planetologia-comparada#def-b1-comparative-planetology-moi) (questão 15) e a gravidade na superfície (questão 17, contra a média medida $9.82\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$) são conferidos com medidas da Terra; a gravidade no núcleo e as pressões só podem ser comparadas com o PREM, ele próprio um modelo.

**24.** O núcleo tem **$32.5\,\%$** da massa da Terra.