--- title: "الجيوكيمياء النظائرية" book: "علوم الأرض والفضاء الجامعية — السنة الثانية" subject: earth language: ar chapter: 4 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/earth/4/ar/chapter/4-isotope-geochemistry license: CC-BY-NC-SA-4.0 credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)" --- # الفصل 4 — الجيوكيمياء النظائرية مانغايا، في جنوب المحيط الهادئ، وتريستان دا كونا، في جنوب المحيط الأطلسي، جزيرتان بركانيتان مبنيتان من البازلت، وعيّنة يدوية من إحداهما تشبه كثيرًا عيّنة يدوية من الأخرى، أو من ظهرة وسط محيطية. لكن نظائرهما تميّز بينهما. فسترونشيوم بازلتات مانغايا يحمل نسبة السترونشيوم 87 نفسها التي في الظهرات، أي نحو $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.7028$، بينما رصاصها من أكثر الرصاص إشعاعيَّ المنشأ على الأرض، إذ تقارب فيه $^{206}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ القيمة 21.6 مقابل 18.4 في الظهرات. أمّا بازلتات تريستان فتحوي سترونشيوم 87 أكثر، من 0.7050 إلى 0.7054، ونيوديميوم 143 أقل من كلتيهما. والانصهار لا يفرز نظائر هذه العناصر الثقيلة، فتحمل كل حمم البصمة النظائرية للوشاح الذي انصهر ليصنعها: فوشاح الأرض ليس خزّانًا واحدًا بل عدة خزّانات، احتفظت بنسب مختلفة بين الأم والوليد مليارات السنين. يستعمل هذا الفصل التحلّل الإشعاعي للروبيديوم والساماريوم واليورانيوم والثوريوم مجموعةً من المقتفيات، ويتابع تطوّر الوشاح والقشرة القارية عبر نظائر النيوديميوم، ويقسم الوشاح إلى خزّانات ومزائج من الخزّانات، ويناقش سرعة نموّ القارات، وينتهي بالنظائر المستقرة الخفيفة للأكسجين والهيدروجين والكربون، التي تقتفي الماء والكربون عبر الأرض. **ما تعرفه من قبل.** تتحلّل الأم المشعّة بالمعدل $\lambda P$، وفي نظام مغلق تنمو نسبة الوليد وفق $(D/D_s)_{\text{الآن}} = (D/D_s)_0 + (P/D_s)_{\text{الآن}} (e^{\lambda t}-1)$، حيث $D_s$ نظير مستقر للوليد؛ والمعادن أو الصخور التي تكوّنت معًا تقع على خط تساوٍ زمني، يعطي ميلُه العمر ويعطي مقطعُه النسبةَ الابتدائية (مجلد المرحلة الثانوية، السنة الأخيرة؛ مجلد السنة الأولى، فصل التأريخ الإشعاعي). ويفصل مطياف الكتلة الأيونات حسب نسبة كتلتها إلى شحنتها (مجلد السنة الثانية من كتب الكيمياء). وقيمة $\delta$ لعيّنة هي $\delta = (R_{\text{العيّنة}}/R_{\text{المعيار}} - 1)\times 1000$، بالجزء في الألف، ومعامل التجزّؤ بين طورين A وB هو $\alpha_{\mathrm{A/B}} = R_{\mathrm A}/R_{\mathrm B}$، حيث $R$ نسبة النظير الثقيل إلى الخفيف؛ وقد قُدّم كلاهما، مع طاقات نقطة الصفر التي تسبّب التجزّؤ النظائري، في مجلد السنة الثالثة من كتب الكيمياء. وقد عُرّفت العناصر غير المتوافقة وبازلت MORB وبازلت OIB في [الفصل 3](https://one-course.com/books/earth/4/ar/chapter/3-elements-in-the-earth#ch-b2-elements-in-the-earth). ## 4.1 النظائر المشعّة المنشأ مقتفياتٍ تحمل ثلاثة أنظمة تحلّل معظم المعلومات عن الوشاح والقشرة. فالروبيديوم 87 يتحلّل إلى السترونشيوم 87، والساماريوم 147 إلى النيوديميوم 143، واليورانيوم والثوريوم، عبر سلاسل تحلّلهما، إلى ثلاثة نظائر للرصاص. وتختلف كل أم ووليدها في سلوكهما أثناء الانصهار، ولكل وليد نظير مستقر غير مشعّ المنشأ يُقاس بالنسبة إليه. | الأم | الوليد | النسبة المقيسة | ثابت التحلّل (لكل سنة) | عمر النصف (Ga) | | --- | --- | --- | --- | --- | | $^{87}$Rb | $^{87}$Sr | $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ | $1.3972 \times 10^{-11}$ | 49.6 | | $^{147}$Sm | $^{143}$Nd | $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ | $6.524 \times 10^{-12}$ | 106.25 | | $^{238}$U | $^{206}$Pb | $^{206}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ | $1.551\,25 \times 10^{-10}$ | 4.47 | ***Table 4.1.** ثلاثة أنظمة تحلّل طويلة العمر تُستعمل مقتفياتٍ. البيانات: توصيات IUPAC–IUGS (فيلا وآخرون، 2020 و2022).* **تعريف 4.1 (المقتفي النظائري المشعّ المنشأ).** *المقتفي النظائري المشعّ المنشأ* هو نسبة نظير وليد تنتجه أم مشعّة طويلة العمر إلى نظير مستقر من العنصر نفسه، مثل $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ أو $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$، تُستعمل لتعرّف مصدر الصخر لا لتأريخه. وتنمو نسبة الخزّان بمعدل يحدّده نسبة الأم إلى الوليد فيه، فتسجّل تاريخ تلك النسبة. ينفصل عنصرا زوج التحلّل كلما انصهر الوشاح. ففي [الفصل 3](https://one-course.com/books/earth/4/ar/chapter/3-elements-in-the-earth#ch-b2-elements-in-the-earth) تبيّن أن الروبيديوم أشدّ عدمَ توافق من السترونشيوم، وأن النيوديميوم أشدّ عدمَ توافق من الساماريوم. فالمصهور، والقشرة التي يبنيها، يغادران الوشاح إذن بنسبة Rb/Sr عالية ونسبة Sm/Nd منخفضة؛ ويحتفظ المتبقّي بنسبة Rb/Sr منخفضة ونسبة Sm/Nd عالية. ومع الزمن تكتسب القشرة السترونشيوم 87 أسرع من مصدرها والنيوديميوم 143 أبطأ منه؛ ويفعل [الوشاح المستنزَف](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) العكس. فتتحرّك نسب الزوجين في اتجاهين متعاكسين، وهي نقطة يوضّحها مخطّط Sr–Nd أدناه. **قضية 4.2 (النسب النظائرية تصمد أمام الانصهار).** حين ينصهر صخر وينفصل المصهور عن المتبقّي، تساوي نسبتا $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ و$^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ في المصهور نظيرتيهما في المصدر في حدود دقة القياسات؛ ولا تتغيّر إلا نسب الأم إلى الوليد، Rb/Sr وSm/Nd. **برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎ تقوم هذه المقولة على حقيقتين. فلنظائر العنصر الواحد البنية الإلكترونية نفسها، فتدخل البلّورة أو المصهور بالتساوي تقريبًا؛ والفرق النسبي في الكتلة بين السترونشيوم 87 والسترونشيوم 86، نحو واحد في المئة، أصغر بكثير منه للأكسجين أو الهيدروجين، وعند درجة الحرارة العالية يتناقص لوغاريتم معامل التجزّؤ التوازني تناسبًا مع مقلوب مربع درجة الحرارة، فيقترب المعامل من 1. ثم إن القياس نفسه يصحّح التجزّؤ الذي يحدث في مطياف الكتلة بتثبيت نسبة نظيرين غير مشعّي المنشأ (للنيوديميوم، $^{146}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.7219$)، وهذا يمحو أيضًا أي تجزّؤ طبيعي صغير. فالحمم إذن تأخذ عيّنة من النسب النظائرية لمصدرها، بينما تعكس نسب عناصرها النزرة الانصهار أيضًا. ## 4.2 تطوّر الوشاح والقشرة ### 4.2.1 الخزّان الكوندريتي الساماريوم والنيوديميوم كلاهما من [العناصر الأرضية النادرة](https://one-course.com/books/earth/4/ar/chapter/3-elements-in-the-earth#def-b2-elements-in-the-earth-ree) المحبّة للصخور العصيّة على التبخّر ([الفصل 3](https://one-course.com/books/earth/4/ar/chapter/3-elements-in-the-earth#ch-b2-elements-in-the-earth)): فينبغي أن تكون [الأرض السيليكاتية الكلية](https://one-course.com/books/earth/4/ar/chapter/3-elements-in-the-earth#def-b2-elements-in-the-earth-bse) قد احتفظت بنسبتهما الكوندريتية. وتعطي الكوندريتات إذن تاريخ Sm–Nd للأرض غير المتمايزة. **تعريف 4.3 (الخزّان الكوندريتي المنتظم).** *الخزّان الكوندريتي المنتظم* (CHUR) خزّان نموذجي له تركيب الساماريوم والنيوديميوم في الكوندريتات، مغلق منذ تكوّن المجموعة الشمسية. ونسبتاه الحاليتان $(^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd})_{\mathrm{CHUR}} = 0.512638$ و$(^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd})_{\mathrm{CHUR}} = 0.1966$. بتشغيل معادلة التساوي الزمني إلى الوراء، كانت للخزّان CHUR، حين تكاثفت أولى المواد الصلبة قبل $4567\,\mathrm{Myr}$ ([الفصل 2](https://one-course.com/books/earth/4/ar/chapter/2-planet-formation-and-meteorites#ch-b2-planet-formation-meteorites))، النسبة $$ ^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.512638 - 0.1966\,\bigl(e^{\lambda\cdot 4.567 \times 10^{9}\,\mathrm{yr}}-1\bigr) = 0.506692 . $$ ومنذ ذلك الحين ازدادت نسبته بمقدار 1.2 في المئة. والفروق بين صخور الأرض أصغر بألف مرة، وتُذكر بوحدة أنسب. **تعريف 4.4 (ترميز إبسيلون).** *ترميز إبسيلون* يعبّر عن نسبة $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ لعيّنة، في زمن $t$ قبل الحاضر، بانحرافها النسبي عن CHUR في الزمن نفسه، بالجزء من عشرة آلاف: $$ \varepsilon_{\mathrm{Nd}}(t) = \left( \frac{(^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd})_{\text{العيّنة}}(t)} {(^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd})_{\mathrm{CHUR}}(t)} - 1\right)\times 10^4 . $$ ومن دون ذكر الزمن، $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ هي القيمة الحالية. لبازلت MORB المتوسط، الذي فيه $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.513074$، $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = (0.513074/0.512638 - 1)\times10^4 = +8.5$؛ ومعظم الصخور يقع بين $-20$ و$+10$. والقيمة الموجبة تعني أن مصدر الصخر كانت له، في المتوسط على مدى تاريخ الأرض، نسبة Sm/Nd أعلى من الكوندريتات: فهو مستنزف في العنصر الأشدّ عدمَ توافق، أي النيوديميوم. والقيمة السالبة تعني العكس. ويُقاس الابتعاد عن نسبة Sm/Nd الكوندريتية بالانحراف الكسري $$ f_{\mathrm{Sm/Nd}} = \frac{(\mathrm{Sm}/\mathrm{Nd})_{\text{العيّنة}}} {(\mathrm{Sm}/\mathrm{Nd})_{\mathrm{CHUR}}} - 1, $$ وهو هو سواء أكانت النسب كتلية أم ذرّية. ومع قيم CI في [الفصل 3](https://one-course.com/books/earth/4/ar/chapter/3-elements-in-the-earth#ch-b2-elements-in-the-earth) (Sm 0.145، Nd $0.457\,\mathrm{ppm}$، $\mathrm{Sm}/\mathrm{Nd} = 0.317$)، يكون للقشرة القارية العلوية (4.7 و$27\,\mathrm{ppm}$، 0.174) $f_{\mathrm{Sm/Nd}} = -0.45$. **قضية 4.5 (النموّ الخطي للقيمة εNd\varepsilon_{\mathrm{Nd}}εNd​).** الخزّان الذي انفصل عن CHUR واحتفظ منذ ذلك الحين بالانحراف الكسري $f_{\mathrm{Sm/Nd}}$ تتغيّر قيمة $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ فيه، مع تقدّم الزمن، بالمعدل $$ \frac{\mathrm{d}\varepsilon_{\mathrm{Nd}}}{\mathrm{d}\tau} \approx Q\,f_{\mathrm{Sm/Nd}}, \qquad Q = 10^4\,\lambda_{147}\, \frac{(^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd})_{\mathrm{CHUR}}} {(^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd})_{\mathrm{CHUR}}} = 25.0\,/\mathrm{G}\mathrm{yr}, $$ حيث $\tau$ الزمن معدودًا إلى الأمام. فالخزّان الذي كانت له $\varepsilon_0$ عند انفصاله، قبل زمن $T$، تكون له اليوم $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} \approx \varepsilon_0 + Q f_{\mathrm{Sm/Nd}} T$. **برهان.** لنكتب $R$ بدل $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ و$p$ بدل $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd}$. في خزّان مغلق $\mathrm{d}R/\mathrm{d}\tau = \lambda p\,e^{\lambda t}$، حيث $t$ الزمن قبل الحاضر؛ وبما أن $\lambda t \le 0.03$، فإن العامل $e^{\lambda t}$ يختلف عن 1 بما لا يزيد على 3 في المئة، و$\mathrm{d}R/\mathrm{d}\tau \approx \lambda p$. ومنه $\mathrm{d}(R_s - R_c)/\mathrm{d}\tau \approx \lambda (p_s - p_c) = \lambda p_c f_{\mathrm{Sm/Nd}}$، لأن $p_s/p_c - 1 = f_{\mathrm{Sm/Nd}}$. والقسمة على $R_c$، الذي لا يتغيّر إلا بنسبة 1.2 في المئة على مدى عمر الأرض، تعطي $\mathrm{d}\varepsilon/\mathrm{d}\tau \approx 10^4\lambda p_c f/R_c$. ومع $\lambda = 6.524 \times 10^{-12}\,/\mathrm{yr}$ و$p_c = 0.1966$ و$R_c = 0.512638$، يكون $Q = 2.502 \times 10^{-8}$ لكل سنة، أي $25.0\,/\mathrm{G}\mathrm{yr}$. ∎ فالقشرة التي لها نسبة Sm/Nd القشرة العلوية ($f = -0.45$) تفقد إذن نحو 11 وحدة إبسيلون في كل مليار سنة نسبةً إلى CHUR، بينما لا يحتاج خزّان وشاحي إلا إلى $f = +0.07$ ليصعد من 0 إلى قيمة MORB البالغة $+8.5$ في $4.567\,\mathrm{Ga}$. ويتتبّع الشكل أدناه المعادلات الدقيقة لثلاثة خزّانات: CHUR، ووشاح مستنزَف مغلق منذ تكوّن الأرض بنسبة Sm/Nd التي توصله إلى قيمة MORB اليوم ($^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.211$)، وقشرة استُخلصت من ذلك الوشاح قبل 2.7 مليار سنة بنسبة Sm/Nd القشرة العلوية ($0.108$). وقد بدأت القشرة عند $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = +3.5$، وهي قيمة مصدرها في ذلك الحين، وهي الآن عند $-27$. **تعريف 4.6 (الوشاح المستنزَف، الوشاح المُثرى).** *الوشاح المستنزَف* جزء من الوشاح فقد عناصر غير متوافقة لصالح المصاهير، فصارت نسبة Sm/Nd فيه أعلى ونسبة Rb/Sr أدنى من الكوندريتية؛ ومع الزمن تصير $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ فيه موجبة و$^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ منخفضة. و*الوشاح المُثرى* جزء من الوشاح اكتسب عناصر غير متوافقة، من قشرة معاد تدويرها مثلًا أو من مصاهير صغيرة، وله $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ سالبة أو $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ عالية. ![تطوّر نظائر النيوديميوم، بدلالة _ Nd، في الخزّان الكوندريتي (صفر بالتعريف)، وفي وشاح مستنزَف مغلق منذ 4.567\, Ga توصله نسبة Sm/Nd فيه إلى بازلت MORB المتوسط اليوم، وفي قشرة استُخلصت منه قبل 2.7\, Ga بنسبة Sm/Nd القشرة القارية العلوية. كل خط مستقيم تقريبًا، كما تقول قضية النموّ الخطي. البيانات: CHUR، كتاب وايت؛ بازلت MORB المتوسط، غيل وآخرون (2013)؛ نسبة Sm/Nd للقشرة، رودنيك وغاو.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-isotope-geochemistry/fig-b588d69fa883.svg) *تطوّر نظائر النيوديميوم، بدلالة $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$، في الخزّان الكوندريتي (صفر بالتعريف)، وفي وشاح مستنزَف مغلق منذ $4.567\,\mathrm{Ga}$ توصله نسبة Sm/Nd فيه إلى بازلت MORB المتوسط اليوم، وفي قشرة استُخلصت منه قبل $2.7\,\mathrm{Ga}$ بنسبة Sm/Nd القشرة القارية العلوية. كل خط مستقيم تقريبًا، كما تقول قضية النموّ الخطي. البيانات: CHUR، كتاب وايت؛ بازلت MORB المتوسط، غيل وآخرون (2013)؛ نسبة Sm/Nd للقشرة، رودنيك وغاو.* ### 4.2.2 خزّانان متتامّان لو صُنعت القشرة القارية [والوشاح المستنزَف](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) من خزّان كوندريتي واحد، لوجب أن يعود مجموع نيوديميومهما إلى القيمة الكوندريتية. والنيوديميوم هو الحامل: فكل خزّان يُحسب تناسبًا مع النيوديميوم الذي يحويه. **قضية 4.7 (موازنة الكتلة النظائرية).** لتكن خزّانات $i$ كتلها $M_i$ وتراكيز النيوديميوم فيها $C_i$ ناتجة من انقسام خزّان أم واحد. عندئذ، بتقريب جيد جدًا، $$ \sum_i M_i C_i\, \varepsilon_i = \Bigl(\sum_i M_i C_i\Bigr) \varepsilon_{\text{الأم}}, $$ ويُحسب الطرفان في الزمن نفسه، ويُتابَع الخزّان الأم كما لو بقي كاملًا. **برهان.** عدد ذرّات $^{143}\mathrm{Nd}$ وعدد ذرّات $^{144}\mathrm{Nd}$ محفوظ كل منهما في الانقسام، ثم ينمو كل منهما (في حالة $^{143}\mathrm{Nd}$) أو يبقى (في حالة $^{144}\mathrm{Nd}$) في كل خزّان تمامًا كما في الكل. ومن ثمّ فإن المتوسط المرجّح بعدد ذرّات $^{144}\mathrm{Nd}$ للنسب $R_i$ يساوي نسبة الأم $R_p$. وحصّة $^{144}\mathrm{Nd}$ من النيوديميوم تختلف بين الخزّانات بأقل بكثير من جزء من ألف، فالترجيح بالجداء $M_iC_i$ هو نفسه الترجيح بعدد ذرّات $^{144}\mathrm{Nd}$. وأخيرًا فإن $\varepsilon$ دالة خطية في $R$ في زمن معلوم، $\varepsilon = 10^4(R/R_c - 1)$، والمتوسط المرجّح لدوال خطية هو الدالة الخطية للمتوسط المرجّح. ∎ إذا أُخذت قيمة القشرة العلوية، $27\,\mathrm{ppm}$ من النيوديميوم، للقشرة كلها، فإن قشرة قارية حجمها $7.2 \times 10^{9}\,\mathrm{km}^{3}$ وكثافتها $2830\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$، أي $2.0 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$ أو 0.51 في المئة من كتلة الأرض السيليكاتية، تحوي $0.0051\times27/1.25 = 11$ في المئة من نيوديميوم الأرض السيليكاتية ([الوشاح البدائي](https://one-course.com/books/earth/4/ar/chapter/3-elements-in-the-earth#def-b2-elements-in-the-earth-bse)، $1.25\,\mathrm{ppm}$). فإذا كان متوسط $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ للقشرة $-15$، فإن مساهمة سالبة قدرها $0.11\times15 = 1.65$ وحدة يجب أن يوازنها الوشاح: فخزّان عند قيمة MORB البالغة $+8.5$ يحتاج إلى أن يحوي نحو خُمس نيوديميوم الأرض السيليكاتية ([التمرين 4.9](#exo-b2-isotope-geochemistry-9)). وهذه إحدى الحجج على أن [الوشاح المستنزَف](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) الذي تأخذ منه الظهرات عيّناتها ليس الوشاح كله. ## 4.3 خزّانات الوشاح تأخذ النسب النظائرية للبازلتات المحيطية عيّنات من الوشاح دون المرور عبر القشرة القارية. فإذا رُسمت إحداها مقابل الأخرى أظهرت كلًّا من تتامّ القشرة [والوشاح المستنزَف](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) ووجود خزّانات أخرى. ترتبط نظائر السترونشيوم والنيوديميوم ارتباطًا عكسيًا في معظم البازلتات المحيطية: فالحمم ذات $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ العالية لها نسبة $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ منخفضة. وتسمّى هذه الحزمة مصفوفة الوشاح؛ وهي ناتجة عن السلوك المتعاكس للزوجين أثناء الانصهار (الروبيديوم أقل توافقًا من السترونشيوم، والساماريوم أكثر توافقًا من النيوديميوم). ويقع بازلت MORB المتوسط عند طرفها المستنزَف، مع $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.702819$ و$\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = +8.5$. وتنتشر بازلتات الجزر المحيطية من هناك نحو $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ أدنى و$^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ أعلى، لكن لا على خط واحد. **تعريف 4.8 (العضو الطرفي الوشاحي).** *العضو الطرفي الوشاحي* واحد من التراكيب النظائرية القصوى التي يمكن بمزجها بناء نسب نظائر Sr وNd وPb في البازلتات المحيطية. وتُسمّى أربعة منها عادةً: DMM، أي وشاح MORB المستنزَف ($^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ منخفضة، و$\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ عالية)؛ وHIMU، إشارةً إلى قيمة عالية للنسبة $\mu = {}^{238}\mathrm{U}/^{204}\mathrm{Pb}$ في مصدره (رصاص شديد الإشعاعية المنشأ، $^{206}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ فوق 20، مع $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ منخفضة)؛ وEM1، أي [الوشاح المُثرى](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) 1 ($^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ مرتفعة باعتدال، و$\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ سالبة، ورصاص ضعيف الإشعاعية المنشأ)؛ وEM2، أي [الوشاح المُثرى](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) 2 ($^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ عالية). ![نظائر السترونشيوم والنيوديميوم في 89 بازلتًا من خمس جزر محيطية وفي بازلت الظهرات وسط المحيطية المتوسط. تقع الجزر من نمط HIMU تحت المصفوفة الرئيسية، بنسبة السترونشيوم المنخفضة التي لبازلت MORB لكن بقيمة _ Nd أدنى؛ وتقع الجزر من نمط EM1 في الجانب المُثرى من CHUR. وتبلغ حمم ساموا من نمط EM2 قيمة 87 Sr/86 Sr = 0.7205، بعيدًا خارج هذا المقياس نحو اليمين. البيانات: ستراكه وآخرون (2022)، CC BY 4.0؛ غيل وآخرون (2013)؛ إدواردز وآخرون (2019).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-isotope-geochemistry/fig-aca53b6edcfc.svg) *نظائر السترونشيوم والنيوديميوم في 89 بازلتًا من خمس جزر محيطية وفي [بازلت الظهرات وسط المحيطية](https://one-course.com/books/earth/4/ar/chapter/3-elements-in-the-earth#def-b2-elements-in-the-earth-morb-oib) المتوسط. تقع الجزر من نمط HIMU تحت المصفوفة الرئيسية، بنسبة السترونشيوم المنخفضة التي لبازلت MORB لكن بقيمة $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ أدنى؛ وتقع الجزر من نمط EM1 في الجانب المُثرى من CHUR. وتبلغ حمم ساموا من نمط EM2 قيمة $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.7205$، بعيدًا خارج هذا المقياس نحو اليمين. البيانات: ستراكه وآخرون (2022)، CC BY 4.0؛ غيل وآخرون (2013)؛ إدواردز وآخرون (2019).* مجموعات الجزر في الشكل أعلاه ليست عشوائية. فمجموعة سانت هيلينا، التي تضمّ جزر أوسترال (ومنها مانغايا وتوبواي) وأسنسيون، تقع تحت المصفوفة الرئيسية ولها أكثر الرصاص إشعاعيَّ المنشأ ($^{206}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ فوق 20؛ وتبلغ في مانغايا من 21.5 إلى 22.0). ومجموعة كيرغولين، أي تريستان دا كونا وغوف وكيرغولين، تقع عند قيم مرتفعة باعتدال للنسبة $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ وقيم سالبة للمقدار $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$، دائمًا مع رصاص ضعيف الإشعاعية المنشأ. أمّا مجموعة الجزر الاجتماعية، مع ساموا وجزر الماركيز، فترسم منحى Sr–Nd أقل انحدارًا يبلغ نسب سترونشيوم عالية جدًا: فلحِمَمَين من ساموا نسبتا $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ تبلغان 0.7186 و0.7205، وهما أعلى من ماء البحر الحديث (0.7092). ومجموعات سانت هيلينا وكيرغولين والجزر الاجتماعية هي الأنماط HIMU وEM1 وEM2. النسبة التي تختلف بين جزأين من الوشاح لا بدّ أنها حُفظت بفرق في نسبة الأم إلى الوليد زمنًا طويلًا: ففرق 10 وحدات في $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ يستغرق، حسب قضية النموّ الخطي، مليار سنة عند $f = 0.4$ أو 4 مليارات سنة عند $f = 0.1$. فخزّانات الوشاح إذن قديمة. وماهيّتها تُقرأ من نسب الأم إلى الوليد التي تتطلّبها نظائرها. فالنمط HIMU يحتاج إلى نسبة U/Pb عالية ونسبة Rb/Sr منخفضة زمنًا طويلًا، وهذا يلائم قشرة محيطية فقدت الرصاص والروبيديوم في الموائع المتحرّرة فوق منطقة اندساس ثم خُزّنت في الوشاح مليار سنة أو مليارين. ويحتاج النمطان EM1 وEM2 إلى نسبة Sm/Nd منخفضة، ويحتاج EM2 أيضًا إلى نسبة Rb/Sr عالية: وهذه بصمة مادة مشتقة من القارات، مثل الرسوبيات المعاد تدويرها، أو بصمة وشاح أثرته مصاهير صغيرة. وهذه التفسيرات موضع نقاش؛ أمّا القياسات فلا. ![تفسير شائع الاستعمال لخزّانات الوشاح، ليس بمقياس رسم: تأخذ الظهرات عيّنات من الوشاح العلوي المستنزَف؛ وتعود القشرة المحيطية والرسوبيات إلى الوشاح عند مناطق الاندساس؛ وتأتي الأعمدة الصاعدة من الوشاح العميق بمادة اختلطت فيها مكوّنات قديمة معاد تدويرها، فتعطي الجزر طابعها HIMU أو EM1 أو EM2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-isotope-geochemistry/fig-55ba3e87000d.svg) *تفسير شائع الاستعمال لخزّانات الوشاح، ليس بمقياس رسم: تأخذ الظهرات عيّنات من الوشاح العلوي المستنزَف؛ وتعود القشرة المحيطية والرسوبيات إلى الوشاح عند مناطق الاندساس؛ وتأتي الأعمدة الصاعدة من الوشاح العميق بمادة اختلطت فيها مكوّنات قديمة معاد تدويرها، فتعطي الجزر طابعها HIMU أو EM1 أو EM2.* ## 4.4 المزج كثير من المصفوفات النظائرية مزائج. فقد تأتي الحمم من مصدر هو مزيج من خزّانين، وقد تتمثّل الصهارة بعض القشرة التي تعبرها. والحالتان تخضعان للجبر نفسه. **قضية 4.9 (قطع المزج الزائد).** ليحوِ مزيجٌ كسرًا كتليًا $f$ من المكوّن A و$1-f$ من المكوّن B. ومن أجل عنصر تركيزاه $C_{\mathrm A}$ و$C_{\mathrm B}$ ونسبتاه النظائريتان $R_{\mathrm A}$ و$R_{\mathrm B}$: 1. تحقّق تركيز المزيج، $C = fC_{\mathrm A} + (1-f)C_{\mathrm B}$ ، ونسبته النظائرية، $R = \bigl(fC_{\mathrm A}R_{\mathrm A} + (1-f)C_{\mathrm B}R_{\mathrm B}\bigr)/C$ ، العلاقة $R = a + b/C$ مع ثابتين $a$ و $b$ : فالمزائج تقع على مستقيم في رسم $R$ بدلالة $1/C$ ؛ 2. نسبتان من هذا النوع لعنصرين، $R$ و $R'$ ، تقعان على قطع زائد يسمّى *قطع المزج الزائد* ، ولا يكون مستقيمًا إلا إذا كانت نسبة العنصرين هي نفسها في A وB. ويحدّد تقعّره $K = (C'/C)_{\mathrm A}/(C'/C)_{\mathrm B}$ . **برهان.** (1) لنحذف $f$: $f = (C - C_{\mathrm B})/(C_{\mathrm A} - C_{\mathrm B})$. فيكون $RC = C_{\mathrm B}R_{\mathrm B} + f(C_{\mathrm A}R_{\mathrm A} - C_{\mathrm B}R_{\mathrm B})$ خطيًا في $C$، أي $RC = \alpha + \beta C$، و$R = \beta + \alpha/C$. (2) حصّة العنصر الآتية من A هي $s = fC_{\mathrm A}/C$، و$R = R_{\mathrm B} + s(R_{\mathrm A} - R_{\mathrm B})$ خطية في $s$؛ وبالمثل $R'$ خطية في $s' = fC'_{\mathrm A}/C'$. ومع $u = f/(1-f)$، $s = u C_{\mathrm A}/(uC_{\mathrm A} + C_{\mathrm B})$ و$s' = uC'_{\mathrm A}/(uC'_{\mathrm A} + C'_{\mathrm B})$. وحذف $u$ يعطي $s' = Ks/(1 + (K-1)s)$، أي قطعًا زائدًا في المستوي $(s, s')$، ومن ثمّ في المستوي $(R, R')$؛ وهو المستقيم $s' = s$ حين $K = 1$. ∎ ![منحنيات المزج بين مكوّنين A وB لثلاث قيم للمعامل K، أي نسبة العنصرين في A مقسومةً على نسبتهما في B. أُعيد تدريج كل نسبة نظائرية لتكون 0 عند B و1 عند A؛ والعنصر الثاني أغنى في A، نسبةً إلى الأول، بعامل K منه في B، فتتحرّك النسبة الثانية نحو A أسرع حين K > 1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-isotope-geochemistry/fig-6482d3d65c13.svg) *منحنيات المزج بين مكوّنين A وB لثلاث قيم للمعامل $K$، أي نسبة العنصرين في A مقسومةً على نسبتهما في B. أُعيد تدريج كل نسبة نظائرية لتكون 0 عند B و1 عند A؛ والعنصر الثاني أغنى في A، نسبةً إلى الأول، بعامل $K$ منه في B، فتتحرّك النسبة الثانية نحو A أسرع حين $K > 1$.* المكوّن الغني بعنصر يسود النسبة النظائرية لذلك العنصر في المزيج. فالرسوب المعاد تدويره يحوي من النيوديميوم عشرات أضعاف ما يحويه [الوشاح المستنزَف](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs)، وبضعة في المئة منه في مصدر وشاحي تجذب $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ المزيج معظم الطريق نحو قيمته (المسألة). والجزر من نمط HIMU في شكل Sr–Nd تقع خارج أي منحنى مزج بين MORB وجزر EM1: فلا مزيج من مكوّنين يفسّر كل البازلتات المحيطية، والأعضاء الطرفية أربعة على الأقل. والصهارة التي تتمثّل القشرة القارية تتحرّك على منحنى مزج نحو القشرة؛ وموضعها على المنحنى يعطي نسبة القشرة المتمثَّلة، وهو حساب يُستأنف مع التبلّر في [الفصل 8](https://one-course.com/books/earth/4/ar/chapter/8-magmatic-differentiation#ch-b2-magmatic-differentiation). ## 4.5 نموّ القشرة القارية القشرة القارية متمّمة للوشاح المستنزَف؛ وسرعة استخلاصها من أقدم أسئلة الجيوكيمياء النظائرية، ولا تزال مفتوحة. وتتعلّق بها عدة سجلّات. **تعريف 4.10 (منحنى نموّ القشرة).** *منحنى نموّ القشرة* يعطي حجم، أو كتلة، القشرة القارية الموجودة بدلالة الزمن، كسرًا من الحجم الحالي. ويعكس الموازنة بين توليد قشرة جديدة من الوشاح وهدمها بإعادة تدويرها في الوشاح. تعطي الصخور المحفوظة اليوم منحنى أول: فأقل من ربع حجم القشرة القارية الفتيّة المحفوظة اليوم أقدم من $3\,\mathrm{Ga}$، ولا يُعرف صخر عمر تبلّره أقدم من $4.02\,\mathrm{Ga}$. لكن القشرة المحفوظة هي ما بقي، لا ما صُنع. وتُبنى منحنيات أخرى من نظائر النيوديميوم في الطَّفَل، التي تعطي متوسط القشرة العلوية المعرّضة للتعرية وقت ترسّبه؛ ومن نظائر الهافنيوم في حبيبات الزركون، التي تسجّل ما إذا كانت الصهارة التي بلّرتها آتية من قشرة جديدة أو معاد تشكيلها؛ أو من نظائر الأرغون في الكوارتز الحرمائي، التي تتتبّع انطلاق الغازات من القشرة. وتضع عدة نماذج حديثة من هذا النوع ما لا يقل عن 60 إلى 80 في المئة من الحجم الحالي للقشرة القارية في مكانه بحلول $3\,\mathrm{Ga}$. ولا يمكن التوفيق بين الرأيين إلا إذا كان قدر كبير من القشرة المبكرة قد هُدم: ففي نموذج صناديق مُلائم للسجلّين، وُلّد منذ تكوّن الأرض من 2.3 إلى 2.6 ضعف الحجم الحالي للقشرة القارية، وأُعيد من 1.3 إلى 1.6 ضعف ذلك الحجم إلى الوشاح. تُظهر مناطق الاندساس الحالية إعادة التدوير وهي تعمل. فالنشاط الصهاري للأقواس يضيف نحو 2.5 كيلومتر مكعب من القشرة الجديدة في السنة، منها 1.5 في الأقواس داخل المحيطات و1.0 عند الحواف القارية (2.7 متوسطًا طويل الأمد)، بينما يعيد الاندساس نحو 3.2 كيلومتر مكعب في السنة؛ وفي حدود عدم اليقين، لم تنمُ القارات خلال دهر الحياة الظاهرة على الأقل. ونظائر الأعضاء [الطرفية للوشاح](#def-b2-isotope-geochemistry-end-members)، التي تستدعي قشرة ورسوبيات معاد تدويرها، هي الوجه الآخر للحساب نفسه. ## 4.6 النظائر المستقرة نظائر العناصر الخفيفة، الهيدروجين والكربون والنيتروجين والأكسجين والكبريت، لا يُنتجها التحلّل بكميات قابلة للقياس. بل تتجزّأ بعمليات فيزيائية وكيميائية وحيوية، بفروق نسبية في الكتلة تصل إلى الضعف بين الهيدروجين والديوتيريوم، وتُذكر تغيّراتها قيمًا للمقدار $\delta$ نسبةً إلى معايير متّفق عليها. **تعريف 4.11 (المعيار النظائري المرجعي).** *المعيار النظائري المرجعي* مادة تحدّد نسبتها النظائرية صفر مقياس $\delta$. ويُستعمل منها اثنان في علوم الأرض. فالمعيار *VSMOW* (Vienna Standard Mean Ocean Water) يحدّد $\delta\mathrm{D}$ و$\delta^{18}\mathrm{O}$ للمياه والسيليكات ومعظم المواد الأخرى؛ ونسبتاه المطلقتان $\mathrm{D}/\mathrm{H} = 1.5575 \times 10^{-4}$ و$^{18}\mathrm{O}/^{16}\mathrm{O} = 2.0052 \times 10^{-3}$. والمعيار *VPDB* (Vienna Pee Dee Belemnite) يحدّد $\delta^{13}\mathrm{C}$ و$\delta^{18}\mathrm{O}$ للكربونات المتكوّنة في درجات حرارة منخفضة؛ ونسبتاه المطلقتان $^{13}\mathrm{C}/^{12}\mathrm{C} = 1.1237 \times 10^{-2}$ و$^{18}\mathrm{O}/^{16}\mathrm{O} = 2.0672 \times 10^{-3}$. تذكّر الأسماء بالتاريخ: فقد كان SMOW متوسط ماء محيطي، وكان PDB كربونات أحفورة بلمنيت من تكوين بي دي؛ ثم نفدت المواد الأصلية واستُبدلت بها مواد مرجعية معايَرة عليها، توزّعها الوكالة الدولية للطاقة الذرية في فيينا ومعهد NIST. وعلى مقياس [VSMOW](#def-b2-isotope-geochemistry-standards) تكون قيمة المعيار [VPDB](#def-b2-isotope-geochemistry-standards) هي $\delta^{18}\mathrm{O} = +30.9$ بالجزء في الألف ([التمرين 4.2](#exo-b2-isotope-geochemistry-2)): فالكربونات البحرية أثقل بهذا المقدار من ماء المحيط الذي نمت فيه. ### 4.6.1 الماء يقع ماء المحيط قرب $\delta^{18}\mathrm{O} = \delta\mathrm{D} = 0$، بحكم تعريف [VSMOW](#def-b2-isotope-geochemistry-standards). ويفضّل التبخّر النظائر الخفيفة: فعند التوازن مع الماء السائل عند $20{}^{\circ}\mathrm{C}$، ومع معاملي تجزّؤ 1.0098 للأكسجين 18 و1.084 للديوتيريوم، يكون للبخار $\delta^{18}\mathrm{O} = 1000/1.0098 - 1000 = -9.7$ بالجزء في الألف و$\delta\mathrm{D} = -77$ بالجزء في الألف؛ والبخار فوق المحيطات أخفّ أيضًا، نحو $-13$ بالجزء في الألف في $\delta^{18}\mathrm{O}$، لأن التبخّر عملية حركية أيضًا. وكلما تحرّكت كتلة هوائية نحو الداخل ونحو القطبين وبردت، أمطرت، وأخذ كل مطر النظائر الثقيلة أولًا؛ فيصير البخار الباقي، والمطر والثلج اللذان يليانه، أخفّ فأخفّ. ولجليد غرينلاند عادةً $\delta^{18}\mathrm{O}$ من $-30$ إلى $-35$ بالجزء في الألف، ولجليد القارة القطبية الجنوبية حتى $-50$. **قضية 4.12 (خط الماء الجوي).** يقع المطر والثلج من كل أنحاء العالم، والمياه العذبة المشتقة منهما، قرب *خط الماء الجوي* $$ \delta\mathrm{D} = 8\,\delta^{18}\mathrm{O} + 10 \quad\text{(بالجزء في الألف، VSMOW)}, $$ الذي وضعه كريغ تجريبيًا عام 1961. ومقطعه، 10 بالجزء في الألف، يسمّى فائض الديوتيريوم؛ وتتراوح قيمه في المناطق المختلفة بين نحو 0 و20. **برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎ يمكن فهم الميل دون النظرية الكاملة للتكاثف، المتروكة لمجلد السنة الثالثة. ففي كل خطوة من التكاثف يختلف السائل والبخار بنحو $1000(\alpha - 1)$ بالجزء في الألف في كل نظير، والإزاحتان في النسبة $(\alpha_{\mathrm D}-1)/(\alpha_{18}-1)$، التي تبلغ 8.6 عند $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ و9.5 عند $0{}^{\circ}\mathrm{C}$: فبينما يُستنزف البخار خطوة خطوة، تنخفض $\delta\mathrm{D}$ أسرع بنحو ثماني مرات من $\delta^{18}\mathrm{O}$. والمقطع ليس صفرًا لأن البخار المغادر للمحيط يتكوّن خارج التوازن. ولذلك يقع ماء المحيط، عند نقطة الأصل، تحت الخط. ![خط الماء الجوي. يصير الهطول أخفّ كلما برد الهواء الذي يحمله وأمطر في طريقه إلى العروض العالية والارتفاعات العالية وأعماق القارات. يقع ماء المحيط (VSMOW) تحت الخط؛ والبخار المتوازن معه، المحسوب من معاملات التجزّؤ، يقع قريبًا منه. ويحدّد الشريطان الرماديان الجليد القطبي النموذجي على الخط. البيانات: كيندال وكالدويل (1998)؛ كتاب وايت.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-isotope-geochemistry/fig-fa3630f253b5.svg) *[خط الماء الجوي](#prop-b2-isotope-geochemistry-mwl). يصير الهطول أخفّ كلما برد الهواء الذي يحمله وأمطر في طريقه إلى العروض العالية والارتفاعات العالية وأعماق القارات. يقع ماء المحيط ([VSMOW](#def-b2-isotope-geochemistry-standards)) تحت الخط؛ والبخار المتوازن معه، المحسوب من معاملات التجزّؤ، يقع قريبًا منه. ويحدّد الشريطان الرماديان الجليد القطبي النموذجي على الخط. البيانات: كيندال وكالدويل (1998)؛ كتاب وايت.* ### 4.6.2 الصخور والكربون الوشاح متجانس على نحو لافت في الأكسجين: فللدخائل البيريدوتيتية $\delta^{18}\mathrm{O}$ كلية تبلغ نحو $+5.5$ بالجزء في الألف، ولبازلت MORB المتوسط $+5.7$؛ وتبقى الصهارات الآتية من الوشاح في حدود نحو جزء واحد في الألف من هذه القيم. أمّا الصخور التي توازنت مع الماء عند سطح الأرض فتختلف: فطين الكاولينيت، مثلًا، أغنى بالأكسجين 18 بنحو 27 بالجزء في الألف من الماء الجوي الذي تكوّن فيه. والصهارة التي تتمثّل مثل هذه الصخور تنزاح عن القيمة الوشاحية: وهذا اختبار ثانٍ للتلوّث القشري، مستقل عن النظائر المشعّة المنشأ. للكربون نظيران مستقران، والتجزّؤ الكبير في التمثيل الضوئي يفرز خزّاناته. فالنباتات التي تثبّت الكربون بالمسار C3 الشائع لها في المتوسط $\delta^{13}\mathrm{C} \approx -27$ بالجزء في الألف، ونباتات المسار C4، ومعظمها حشائش استوائية، نحو $-13$. وكربون الوشاح، الذي تأخذ منه عيّناتٍ بازلتاتُ MORB الأقل فقدًا للغازات والكربوناتيتات ومعظم الألماس، يقع قرب $-4$ إلى $-6$ بالجزء في الألف؛ وبيكربونات ماء البحر أثقل بنحو 8.5 بالجزء في الألف من ثاني أكسيد الكربون الجوي. فالكربون العضوي إذن أخفّ من الوشاح بنحو 20 بالجزء في الألف، ودفن المادة العضوية في الرسوبيات يجعل الكربون الباقي في المحيط والغلاف الجوي أثقل: فقيمة $\delta^{13}\mathrm{C}$ في الكربونات البحرية تسجّل حصّة الكربون المدفون مادةً عضوية عبر الزمن، وهي إحدى مؤشّرات [الفصل 24](https://one-course.com/books/earth/4/ar/chapter/24-climate-archives-and-proxies#ch-b2-climate-proxies). ![نظائر الكربون في كربون الوشاح وفي النباتات، نسبةً إلى VPDB: الوشاح قرب -4 إلى -6.5 بالجزء في الألف، والنباتات أخفّ بنحو 7 إلى 23 بالجزء في الألف. البيانات: كتاب وايت، نقلًا عن ماتي وآخرين.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-isotope-geochemistry/fig-90c0b4e62d32.svg) *نظائر الكربون في كربون الوشاح وفي النباتات، نسبةً إلى [VPDB](#def-b2-isotope-geochemistry-standards): الوشاح قرب $-4$ إلى $-6.5$ بالجزء في الألف، والنباتات أخفّ بنحو 7 إلى 23 بالجزء في الألف. البيانات: كتاب وايت، نقلًا عن ماتي وآخرين.* **في المختبر — قياس نسبة نظائرية إلى خمس منازل عشرية.** ![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-isotope-geochemistry/img-f79c21e1d5bd.jpg) *مطياف كتلة متعدد المجمّعات في مختبر للنظائر (رسم توضيحي مولَّد بالذكاء الاصطناعي).* لقياس $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ يذيب الجيوكيميائي غرامًا أو أقل من مسحوق الصخر في الأحماض في مختبر نظيف، حيث يُبقي الهواء المرشَّح الغبارَ بعيدًا. ويُفصل النيوديميوم عن العناصر الأخرى على أعمدة من راتنج التبادل الأيوني، لأن نظيرًا متساوي الكتلة، مثل الساماريوم 144، يضيف إلى إشارة النيوديميوم 144. ثم تُحمَّل بضع مئات من النانوغرامات من النيوديميوم المنقّى على فتيل فلزي وتؤيَّن بالتسخين في مطياف كتلة بالتأيين الحراري، أو تُرذَّذ في بلازما في جهاز متعدد المجمّعات؛ وتقيس المجمّعات عدة نظائر دفعة واحدة. وتُصحَّح النسب من التجزّؤ داخل الجهاز بتثبيت $^{146}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ عند 0.7219، وتُحلَّل مادة مرجعية مع كل دفعة: فالمختبر الذي ينحرف معياره ببضعة أجزاء في المليون عن قيمته المقبولة يصحّح عيّناته بالمقدار نفسه. ## 4.7 التمارين **تمرين 4.1 ★.** لبازلت من تريستان دا كونا $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.51249$ ولآخر من مانغايا 0.51285. احسب $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ لكل منهما ولبازلت MORB المتوسط (0.513074). أيّ المصادر كانت لها نسبة Sm/Nd أعلى من الكوندريتات؟ **حل التمرين 4.1.** تريستان: $(0.51249/0.512638 - 1)\times10^4 = -2.9$. مانغايا: $(0.51285/0.512638 - 1)\times10^4 = +4.1$. بازلت MORB: $+8.5$. فمصدرا مانغايا وMORB، وقيمة $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ فيهما موجبة، كانت لهما في المتوسط نسبة Sm/Nd أعلى من الكوندريتات؛ وكانت لمصدر تريستان نسبة أدنى. **تمرين 4.2 ★.** النسبة $^{18}\mathrm{O}/^{16}\mathrm{O}$ هي $2.0052 \times 10^{-3}$ في [VSMOW](#def-b2-isotope-geochemistry-standards) و$2.0672 \times 10^{-3}$ في [VPDB](#def-b2-isotope-geochemistry-standards). ما قيمة $\delta^{18}\mathrm{O}$ للمعيار [VPDB](#def-b2-isotope-geochemistry-standards) على مقياس [VSMOW](#def-b2-isotope-geochemistry-standards)؟ لكالسيت $\delta^{18}\mathrm{O} = -2.0$ بالجزء في الألف ([VPDB](#def-b2-isotope-geochemistry-standards))؛ احسب نسبته وقيمة $\delta^{18}\mathrm{O}$ له على مقياس [VSMOW](#def-b2-isotope-geochemistry-standards). **حل التمرين 4.2.** $\delta^{18}\mathrm{O}_{\mathrm{VPDB}} = (2.0672 \times 10^{-3}/2.0052 \times 10^{-3} - 1)\times1000 = +30.9$ بالجزء في الألف على مقياس [VSMOW](#def-b2-isotope-geochemistry-standards). وللكالسيت $^{18}\mathrm{O}/^{16}\mathrm{O} = 2.0672 \times 10^{-3}\times(1 - 0.0020) = 2.0631 \times 10^{-3}$، ومنه $\delta^{18}\mathrm{O} = (2.0631 \times 10^{-3}/2.0052 \times 10^{-3} - 1)\times1000 = +28.9$ بالجزء في الألف ([VSMOW](#def-b2-isotope-geochemistry-standards)). **تمرين 4.3 ★.** احسب $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ للخزّان CHUR قبل $1.0\,\mathrm{Ga}$ وقبل $4.567\,\mathrm{Ga}$ ($\lambda_{147} = 6.524 \times 10^{-12}\,/\mathrm{yr}$، $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.1966$، واليوم 0.512638). **حل التمرين 4.3.** عند $1.0\,\mathrm{Ga}$: $e^{\lambda t} - 1 = 0.006545$، و$0.512638 - 0.1966\times0.006545 = 0.511351$. وعند $4.567\,\mathrm{Ga}$: $e^{\lambda t}-1 = 0.030243$، و$0.512638 - 0.1966\times0.030243 = 0.506692$. **تمرين 4.4 ★.** لعيّنة ثلج من محطة جبلية $\delta^{18}\mathrm{O} = -18.0$ بالجزء في الألف. ما قيمة $\delta\mathrm{D}$ التي يتنبّأ بها [خط الماء الجوي](#prop-b2-isotope-geochemistry-mwl)؟ ولماء بحيرة $\delta^{18}\mathrm{O} = -4.0$ و$\delta\mathrm{D} = -42$ بالجزء في الألف: احسب فائض الديوتيريوم فيه $d = \delta\mathrm{D} - 8\delta^{18}\mathrm{O}$، واذكر هل يقع فوق الخط أم تحته. **حل التمرين 4.4.** $\delta\mathrm{D} = 8\times(-18.0) + 10 = -134$ بالجزء في الألف. وللبحيرة، $d = -42 - 8\times(-4.0) = -10$ بالجزء في الألف، أي أقل من قيمة الخط 10: فالماء يقع تحت [خط الماء الجوي](#prop-b2-isotope-geochemistry-mwl)، كما تقع المياه السطحية المتبخّرة (فقد غادرت النظائر الخفيفة أولًا). **تمرين 4.5 ★★.** احسب $Q$ في قضية النموّ الخطي. لغرانيت Sm $6.0\,\mathrm{ppm}$ وNd $30\,\mathrm{ppm}$ (CI: 0.145 و$0.457\,\mathrm{ppm}$). احسب $f_{\mathrm{Sm/Nd}}$ له، وتغيّر $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ فيه على مدى $500\,\mathrm{Myr}$. **حل التمرين 4.5.** $Q = 10^4\times6.524 \times 10^{-12}\times0.1966/0.512638 = 2.502 \times 10^{-8}$ لكل سنة، أي $25.0\,/\mathrm{G}\mathrm{yr}$. وللغرانيت $\mathrm{Sm}/\mathrm{Nd} = 6.0/30 = 0.200$، مقابل $0.145/0.457 = 0.317$ لكوندريتات CI: $f = 0.200/0.317 - 1 = -0.37$. وعلى مدى $0.5\,\mathrm{Gyr}$: $\Delta\varepsilon = 25.0\times(-0.37)\times0.5 = -4.6$ وحدة. **تمرين 4.6 ★★.** انفصلت قشرة قبل $2.7\,\mathrm{Ga}$ عن وشاح له $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = +3.5$، مع $f_{\mathrm{Sm/Nd}} = -0.45$. قدّر $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ لها اليوم بقضية النموّ الخطي. يعطي الحساب الدقيق $-27.3$؛ فبكم يختلف التقريب، ولماذا هو أعلى أو أدنى مما ينبغي؟ **حل التمرين 4.6.** $\varepsilon \approx 3.5 + 25.0\times(-0.45)\times2.7 = 3.5 - 30.4 = -26.9$، مقابل $-27.3$: فالتقريب أعلى مما ينبغي بمقدار 0.4 وحدة (أقل سلبيةً). ومعظم الفرق، نحو 0.3 وحدة، يأتي من $e^{\lambda t} > 1$: فالأم، ومن ثمّ العجز في النموّ نسبةً إلى CHUR، كانت أوفر في الماضي منها اليوم ([التمرين 4.10](#exo-b2-isotope-geochemistry-10))؛ والباقي يأتي من تقريب $f$ والقيمة الابتدائية. **تمرين 4.7 ★★.** تتمثّل صهارة بازلتية (Sr $130\,\mathrm{ppm}$، $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.7030$) غرانيتًا (Sr $320\,\mathrm{ppm}$، 0.7200). احسب $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ لمزائج فيها 5 و10 و20 في المئة من الغرانيت. بيّن أن $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ خط مستقيم بدلالة $1/\mathrm{Sr}$ وأعطِ ميله ومقطعه. **حل التمرين 4.7.** مع كسر كتلي $x$ من الغرانيت، $\mathrm{Sr} = 320x + 130(1-x)$ و$R = (320x\times0.7200 + 130(1-x)\times0.7030)/\mathrm{Sr}$. ومن أجل $x = 0.05$: Sr $139.5\,\mathrm{ppm}$، و$R = 0.70495$؛ و$x = 0.10$: 149.0 و0.70665؛ و$x = 0.20$: 168.0 و0.70948. ومن برهان قضية المزج، $R\,\mathrm{Sr}$ خطي في Sr: $R = 0.731632 - 3.7221/\mathrm{Sr}$، أي خط مستقيم ميله $-3.722$ (ppm) ومقطعه 0.7316 بدلالة $1/\mathrm{Sr}$. وللتحقّق عند $x = 0.05$: $0.731632 - 3.7221/139.5 = 0.70495$. **تمرين 4.8 ★★.** مع معاملي التجزّؤ بين السائل والبخار 1.0098 (للنظير $^{18}$O) و1.084 (للديوتيريوم D) عند $20{}^{\circ}\mathrm{C}$، احسب $\delta^{18}\mathrm{O}$ و$\delta\mathrm{D}$ لبخار متوازن مع ماء المحيط (0، 0)، وميل $\delta\mathrm{D}/\delta^{18}\mathrm{O}$ للخط من الماء إلى البخار. وأعد الحساب عند $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ (1.0117 و1.111). وقارن [بخط الماء الجوي](#prop-b2-isotope-geochemistry-mwl). **حل التمرين 4.8.** عند $20{}^{\circ}\mathrm{C}$: $\delta^{18}\mathrm{O} = 1000/1.0098 - 1000 = -9.70$ بالجزء في الألف، و$\delta\mathrm{D} = 1000/1.084 - 1000 = -77.5$ بالجزء في الألف، والميل $77.5/9.70 = 7.99$. وعند $0{}^{\circ}\mathrm{C}$: $-11.56$ و$-99.9$ بالجزء في الألف، والميل 8.64. وكلاهما قريب من الميل 8 [لخط الماء الجوي](#prop-b2-isotope-geochemistry-mwl): فالتجزّؤ التوازني للماء بين السائل والبخار وحده يجعل نسبة إزاحتي الديوتيريوم والأكسجين 18 قريبة من 8. **تمرين 4.9 ★★.** تمثّل القشرة القارية 0.51 في المئة من كتلة الأرض السيليكاتية وتحوي، في المتوسط، $27\,\mathrm{ppm}$ من Nd مقابل $1.25\,\mathrm{ppm}$ للأرض السيليكاتية. خذ $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ للقشرة $-15$ وللأرض السيليكاتية 0. ما حصّة القشرة من النيوديميوم؟ ولو كان بقية الوشاح متجانسًا، فكم تكون $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ له؟ وما حصّة النيوديميوم التي يجب أن يحويها خزّان مستنزَف عند $+8.5$ إذا كان باقي الوشاح كوندريتيًا؟ **حل التمرين 4.9.** تحوي القشرة $0.0051\times27/1.25 = 0.110$، أي 11 في المئة من النيوديميوم. وموازنة الكتلة: $0.110\times(-15) + 0.890\,\varepsilon_m = 0$، ومنه $\varepsilon_m = 1.65/0.890 = +1.9$. ومع خزّان مستنزَف يحوي حصّة $x$ عند $+8.5$ والباقي عند 0: $0.110\times(-15) + 8.5x = 0$، $x = 1.65/8.5 = 0.19$: أي نحو خُمس النيوديميوم. **تمرين 4.10 ★★★.** بيّن أن الحدود المهملة في قضية النموّ الخطي حجمها النسبي نحو $\lambda t/2$. فكم يبلغ ذلك على مدى عمر الأرض، وكم يسبّب من خطأ في $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ من أجل $f = -0.45$ على مدى $2.7\,\mathrm{Ga}$؟ **حل التمرين 4.10.** معدل النموّ هو $\lambda p\,e^{\lambda t}$، مع $e^{\lambda t} \approx 1 + \lambda t$؛ وبأخذ متوسطه على الفترة من الانفصال $T$ إلى الحاضر يكون العامل $1 + \lambda T/2$، فالحدود المهملة حجمها النسبي $\lambda T/2$. وعلى مدى عمر الأرض، $6.524 \times 10^{-12}\times4.567 \times 10^{9}/2 = 0.015$، أي 1.5 في المئة. ومن أجل قشرة [التمرين 4.6](#exo-b2-isotope-geochemistry-6)، $\lambda T/2 = 0.0088$، والخطأ $0.0088\times30.4 = 0.27$ وحدة. ويضيف التغيّر البطيء لنسبة CHUR التي تُقسم عليها $\varepsilon$ حدًّا آخر أصغر، من رتبة $(p/R)\lambda T \times \varepsilon_0$، أي هنا 0.02 وحدة. **تمرين 4.11 ★★★.** لمكوّنين نسبتا Sr/Nd تبلغان 13.3 (للمكوّن A) و5.0 (للمكوّن B). مستعينًا ببرهان [قطع المزج الزائد](#prop-b2-isotope-geochemistry-mixing)، أوجد الحصّة $s'$ من السترونشيوم الآتية من A في مزيج يقدّم فيه A حصّة $s = 0.5$ من النيوديميوم. ولأيّ قيمة للحصّة $s$ تختلف الحصّتان أكثر ما يمكن؟ **حل التمرين 4.11.** $K = 13.3/5.0 = 2.66$. ومع $s = 0.5$: $s' = 2.66\times0.5/(1 + 1.66\times0.5) = 1.33/1.83 = 0.73$. ويكون الفرق $s' - s$ أكبر ما يمكن حيث $\mathrm{d}s'/\mathrm{d}s = K/(1+(K-1)s)^2 = 1$، أي عند $s = (\sqrt K - 1)/(K-1) = 0.631/1.66 = 0.38$، حيث $s' = 0.62$: فالفرق 0.24. **تمرين 4.12 ★★★.** يعطي نموذج صناديق من 2.3 إلى 2.6 ضعف الحجم الحالي للقشرة القارية، $7.2 \times 10^{9}\,\mathrm{km}^{3}$، وُلّدت منذ تكوّن الأرض قبل $4.5\,\mathrm{Ga}$، ومن 1.3 إلى 1.6 ضعفه هُدم. احسب متوسطي معدلي التوليد والهدم بوحدة $\mathrm{km}^{3}$ في السنة. وقارنهما بالمعدلين الحاليين عند مناطق الاندساس، $2.7\,\mathrm{km}^{3}$ في السنة تُضاف و$3.2\,\mathrm{km}^{3}$ في السنة تُزال. **حل التمرين 4.12.** التوليد: من $2.3$ إلى $2.6\times7.2 \times 10^{9}\,\mathrm{km}^{3}/4.5 \times 10^{9}\,\mathrm{yr} = 3.7$ إلى $4.2\,\mathrm{km}^{3}$ في السنة. والهدم: من $1.3$ إلى $1.6\times7.2/4.5 = 2.1$ إلى $2.6\,\mathrm{km}^{3}$ في السنة. والمعدلان الحاليان مختلفان: فالإضافات (2.7) أدنى من متوسط التوليد في النموذج، والإزالة (3.2) أعلى من متوسط الهدم فيه. ففي النموذج نمت القشرة مبكرًا، حين كان التوليد أسرع، والحاضر زمن توازن أو فقد طفيف، كما تقول موازنة مناطق الاندساس. ## 4.8 مسألة: ثلاث جزر، ثلاثة أوشحة **مسألة 4.1.** مسألة نهاية الأسبوع — وضع حمم ثلاث جزر على مصفوفة الوشاح، وفصل مزيج عن مكوّن ثالث، وتأريخ الرسوب المعاد تدويره تنبثق من ثلاث جزر بركانية في محيط متخيَّل، كورا وفيل وآشا، بازلتات لها النسب النظائرية الواردة أدناه. ويمثّل جيوكيميائي مصادرها بمكوّنين: وشاح مستنزَف مثل مصدر MORB (Sr $10\,\mathrm{ppm}$، Nd $0.75\,\mathrm{ppm}$، $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.70282$، $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.51307$) ورسوب قديم أعاده الاندساس إلى الوشاح (Sr $200\,\mathrm{ppm}$، Nd $40\,\mathrm{ppm}$، $0.72000$، $0.51141$؛ $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.110$، $^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.50$). كورا: $0.70410$، $0.51278$؛ فيل: $0.70618$، $0.51242$؛ آشا: $0.70290$، $0.51288$ ($^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$، $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$). الخزّان CHUR اليوم: $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.512638$، $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.1966$؛ $\lambda_{147} = 6.524 \times 10^{-12}\,/\mathrm{yr}$، $\lambda_{87} = 1.3972 \times 10^{-11}\,/\mathrm{yr}$. **الجزء الأول — وضع الجزر.** 1. احسب $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ للمكوّنين. 2. احسب $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ للجزر الثلاث. 3. ضع التراكيب الخمسة على مخطّط نسبة Sr و $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ . أيّ الجزر تقع في الجانب المُثرى من CHUR؟ 4. لآشا تقريبًا نسبة السترونشيوم التي للوشاح المستنزَف لكن قيمة $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ أدنى بكثير. أين تقع بالنسبة إلى مصفوفة الوشاح، وأيّ مجموعة جزر في الفصل تشبه؟ 5. لماذا يمكن اعتبار النسب النظائرية للحمم نسبَ مصادرها، مع أن نسب Sm/Nd وRb/Sr في الحمم تختلف كثيرًا عنها في مصادرها؟ 6. حمم من كورا لها $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.12$ وعمرها $1\,\mathrm{Myr}$ . فبكم ازدادت نسبة $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ فيها منذ الانبثاق، بوحدات إبسيلون؟ وهل لذلك أهمية؟ **الجزء الثاني — مزج المكوّنين.** 7. اكتب تركيز Nd ونسبة $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ لمزيج فيه كسر كتلي $f$ من الرسوب. 8. احسب $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ لمزائج فيها $f = 0.5$ و1 و2 و5 في المئة. 9. احسب $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ للمزائج نفسها. 10. بيّن أن $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ للمزائج خط مستقيم بدلالة $1/\mathrm{Sr}$ ، وأعطِ ميله. 11. احسب $K = (\mathrm{Sr}/\mathrm{Nd})_{\text{الوشاح}}/(\mathrm{Sr}/\mathrm{Nd})_{\text{الرسوب}}$ . أيّ النسبتين، نسبة Sr أم نسبة Nd، تتحرّك نحو الرسوب أسرع كلما كبرت $f$ ؟ 12. كم مرة يفوق الرسوب الوشاح في محتوى Nd، وفي محتوى Sr؟ فسّر بهذه الأرقام لماذا يزيح واحد في المئة من الرسوب $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ بنحو 11 وحدة. 13. ما حصّة نيوديميوم مزيج فيه $f = 1$ في المئة الآتية من الرسوب؟ **الجزء الثالث — كم من الرسوب؟** 14. حلّ معادلة مزج Nd بالنسبة إلى $f$ ، إذا عُلمت النسبة $R$ للمزيج. 15. احسب $f$ لكورا من نيوديميومها. 16. احسب $f$ لكورا من سترونشيومها. هل يتّفق التقديران؟ 17. احسب $f$ لفيل من نيوديميومها ومن سترونشيومها. 18. احسب $f$ لآشا من نيوديميومها، ونسبة السترونشيوم التي تتنبّأ بها قيمة $f$ هذه. وقارن بالقيمة المقيسة: ماذا تستنتج عن مصدر آشا؟ 19. اقترح مكوّنًا ثالثًا لآشا، من الفصل، ونسب الأم إلى الوليد التي لا بدّ أنها كانت له. **الجزء الرابع — عمر الرسوب.** 20. اندسّ الرسوب قبل $2.0\,\mathrm{Ga}$ وبقي مغلقًا منذ ذلك الحين. احسب $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ له، وللخزّان CHUR، و $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ له في ذلك الوقت. 21. أعد الحساب بقضية النموّ الخطي. 22. احسب $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ للرسوب قبل $2.0\,\mathrm{Ga}$ . 23. قبل $2.0\,\mathrm{Ga}$ كانت لقشرة شكل $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ قيمة $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} \approx -4.7$ . هل تتّسق قيمة الرسوب عند الاندساس مع نشأته بتعرية قشرة قارية فتيّة كهذه؟ 24. اذكر الكسر الكتلي للرسوب المعاد تدويره في مصدر الجزيرة الأكثر إثراءً، وهو الرقم الأساسي في هذه المسألة. **حل المسألة 4.1.** **1.** الوشاح: $(0.51307/0.512638 - 1)\times10^4 = +8.4$. الرسوب: $(0.51141/0.512638 - 1)\times10^4 = -24.0$. **2.** كورا $+2.8$، فيل $-4.3$، آشا $+4.7$. **3.** مع $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ أفقيًا و$\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ رأسيًا: الوشاح (0.70282، $+8.4$)، وكورا (0.70410، $+2.8$)، وفيل (0.70618، $-4.3$)، والرسوب (0.72000، $-24.0$)، وآشا (0.70290، $+4.7$). وفيل وحدها، بقيمة $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ السالبة، تقع في الجانب المُثرى من CHUR. **4.** تحت المصفوفة: فعند نسبة السترونشيوم التي للوشاح المستنزَف تكون للمصفوفة $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ قرب $+8$؛ أمّا آشا فلها $+4.7$. وهي تشبه مجموعة سانت هيلينا من نمط HIMU (مانغايا، توبواي، سانت هيلينا). **5.** يغيّر الانصهار نسب الأم إلى الوليد لكنه لا يغيّر، على نحو قابل للقياس، النسب النظائرية للسترونشيوم والنيوديميوم (القضية الخاصة بالانصهار)؛ والحمم فتيّة، فلم تنمُ نسبها منذ الانبثاق (السؤال 6). **6.** $\Delta R = 0.12\,(e^{\lambda\cdot10^6} - 1) = 0.12\times6.52 \times 10^{-6} = 7.8 \times 10^{-7}$، أي $7.8 \times 10^{-7}/0.512638\times10^4 = 0.015$ وحدة إبسيلون: وهذا أدنى بكثير من الفروق بين الجزر، وأدنى من دقة القياس. **7.** $\mathrm{Nd} = 40f + 0.75(1-f)$، و$R = \bigl(40f\times0.51141 + 0.75(1-f)\times0.51307\bigr)/\mathrm{Nd}$. **8.** $f = 0.5$ في المئة: Nd $0.9463\,\mathrm{ppm}$، $\varepsilon = +1.6$؛ و1 في المئة: 1.1425، $-2.9$؛ و2 في المئة: 1.535، $-8.4$؛ و5 في المئة: 2.7125، $-15.4$. **9.** Sr هو 10.95 و11.90 و13.80 و$19.50\,\mathrm{ppm}$؛ و$^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.70439$ و0.70571 و0.70780 و0.71163. **10.** $R\,\mathrm{Sr} = 10\times0.70282 + f(200\times0.72000 - 10\times0.70282)$ و$\mathrm{Sr} = 10 + 190f$؛ وبحذف $f$، $R\,\mathrm{Sr} = 7.0282 + (\mathrm{Sr}-10)\times136.9718/190$، ومنه $R = 0.720904 - 0.18084/\mathrm{Sr}$: أي خط مستقيم ميله $-0.1808$ (ppm) بدلالة $1/\mathrm{Sr}$. وللتحقّق عند $f = 1$ في المئة: $0.720904 - 0.18084/11.90 = 0.70571$. **11.** $K = (10/0.75)/(200/40) = 13.33/5.0 = 2.67$. فالوشاح أغنى نسبيًا بالسترونشيوم، والرسوب أغنى بالنيوديميوم، فتتحرّك نسبة Nd نحو الرسوب أسرع: فقليل من الرسوب يزيح $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ مسافة طويلة قبل أن تتحرّك $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ كثيرًا. **12.** أغنى بالنيوديميوم 53 مرة ($40/0.75$)، وبالسترونشيوم 20 مرة. فعند $f = 1$ في المئة يقدّم الرسوب $0.40/1.1425 = 35$ في المئة من النيوديميوم، وهذا يزيح $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ بمقدار $0.35\times(8.4 + 24.0) = 11.3$ وحدة، لكنه لا يقدّم إلا $2.0/11.9 = 17$ في المئة من السترونشيوم. **13.** $0.01\times40/1.1425 = 0.350$: أي 35 في المئة. **14.** من $R\,(40f + 0.75(1-f)) = 40fR_S + 0.75(1-f)R_D$: $f = 0.75(R - R_D)/\bigl(40(R_S - R) + 0.75(R - R_D)\bigr)$، والشيء نفسه مع 200 و10 للسترونشيوم. **15.** $f = 0.75\times(-0.00029)/\bigl(40\times(-0.00137) + 0.75\times(-0.00029)\bigr) = -2.175 \times 10^{-4}/-5.502 \times 10^{-2} = 0.0040$: أي 0.40 في المئة. **16.** $f = 10\times0.00128/\bigl(200\times0.01590 + 10\times0.00128\bigr) = 0.0128/3.1928 = 0.0040$: أي 0.40 في المئة؛ والتقديران متّفقان. **17.** النيوديميوم: $0.75\times(-0.00065)/\bigl(40\times(-0.00101) + 0.75\times(-0.00065)\bigr) = -4.875 \times 10^{-4}/-4.089 \times 10^{-2} = 0.0119$؛ والسترونشيوم: $10\times0.00336/\bigl(200\times0.01382 + 10\times0.00336\bigr) = 0.0336/2.7976 = 0.0120$. وكلاهما يعطي 1.2 في المئة. **18.** $f = 0.75\times(-0.00019)/\bigl(40\times(-0.00147) + 0.75\times(-0.00019)\bigr) = 0.0024$، وهذا يتنبّأ بتركيز Sr قدره $10.46\,\mathrm{ppm}$ وبنسبة $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.70361$، مقابل 0.70290 مقيسة. فآشا ليست على منحنى المزج بين الوشاح والرسوب: فمصدرها يحوي مكوّنًا آخر. **19.** قشرة محيطية قديمة معاد تدويرها، من نمط HIMU: تحتاج نظائر Nd فيها إلى نسبة Sm/Nd أدنى قليلًا من نسبة [الوشاح المستنزَف](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs)، ونظائر Sr إلى نسبة Rb/Sr منخفضة، ورصاصها (غير المقيس هنا) إلى نسبة U/Pb عالية، كل ذلك على مدى مليار إلى ملياري سنة. **20.** $e^{\lambda_{147}\cdot2\times10^9} - 1 = 0.013133$. الرسوب: $0.51141 - 0.110\times0.013133 = 0.509965$؛ والخزّان CHUR: $0.512638 - 0.1966\times0.013133 = 0.510056$؛ $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}(2\,\mathrm{Ga}) = (0.509965/0.510056 - 1)\times10^4 = -1.8$. **21.** $f = 0.110/0.1966 - 1 = -0.440$؛ ومنذ الاندساس تغيّرت $\varepsilon$ بمقدار $25.0\times(-0.440)\times2.0 = -22.0$، ومنه $\varepsilon(2\,\mathrm{Ga}) \approx -24.0 + 22.0 = -2.0$، في حدود 0.2 وحدة من القيمة الدقيقة. **22.** $e^{\lambda_{87}\cdot2\times10^9} - 1 = 0.028338$؛ $0.72000 - 0.50\times0.028338 = 0.70583$. **23.** كانت للرسوب عند الاندساس $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = -1.8$، قريبة من قيمة $-4.7$ لقشرة لم يكن عمرها حينئذ إلا 0.7 مليار سنة، وأعلى بكثير من القيم الشديدة السلبية للقشرة القديمة: فهي تلائم تعرية قشرة فتيّة، ربما مختلطة ببعض المادة المشتقة من الوشاح. ونسبة $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ فيه البالغة 0.7058 في ذلك الوقت هي أيضًا نسبة صخر قشري فتيّ. **24.** يحوي مصدر فيل، الجزيرة الأكثر إثراءً، **$1.2\,\%$** من الرسوب المعاد تدويره.