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title: "Termodinámica atmosférica"
book: "Ciencias de la Tierra y del espacio universitarias — segundo año"
subject: earth
language: es
chapter: 21
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/21-termodinamica-atmosferica
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 21 — Termodinámica atmosférica

El 16 de abril de 2026, a las 12 UTC, un globo se elevó desde la estación meteorológica de Norman (Oklahoma), como se elevan a esa hora, cada día, globos desde más de ochocientas estaciones. El instrumento que llevaba transmitió por radio un perfil vertical que un predictor lee de un vistazo: aire casi saturado cerca del suelo, una delgada tapa cálida a seiscientos metros de altura y, por encima, una temperatura que caía deprisa a lo largo de diez kilómetros. Elevado a través de la tapa, el aire de superficie se habría encontrado más cálido que su entorno en la mayor parte de la troposfera, con unos dos mil julios por kilogramo para gastar en subir. En este capítulo se aprende a leer esa energía en un sondeo: cuánta agua contiene el aire, cómo se enfría una porción que asciende antes y después de condensarse, cómo los diagramas de los meteorólogos convierten áreas en energías y cómo llegan a formarse las gotitas de las nubes.

**Lo que ya sabes.**

**De los libros de física**: la [presión de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturación, la humedad relativa, el punto de rocío, el calor latente, la relación de Clausius–Clapeyron y su forma integrada; la nucleación y la sobrefusión; el primer principio, las transformaciones adiabáticas y las capacidades caloríficas de un gas ideal. **De los libros de química**: las presiones parciales, la ley de Raoult, la tensión superficial y la ecuación de Kelvin. **De los volúmenes escolares**: el [nivel de condensación](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-lcl) y su regla de $125\,\mathrm{m}$ por grado, el aire estable e inestable, el [núcleo de condensación](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics), los procesos de lluvia cálida y de cristales de hielo. **Del volumen de primer año**: la atmósfera estándar, el gradiente ambiental y el gradiente adiabático seco ($\Gamma_d = 9.8\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$), la porción de aire, la temperatura potencial, la estabilidad estática, las inversiones térmicas y la ecuación hipsométrica.

En todo el capítulo: $R_d = R/M_d = 287.0\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ para el aire seco, de masa molar $28.97\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$; $R_v = R/M_w = 461.5\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ para el vapor de agua, de masa molar $18.0153\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$; $\varepsilon = M_w/M_d = 0.622$; $c_p = \tfrac72 R_d =
1004.5\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ (el volumen de primer año, con el cociente de capacidades caloríficas 1.4); $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$; y el calor latente de vaporización en el punto triple, $L = 2.501 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$.

## 21.1 El aire húmedo

El aire es una mezcla de aire seco y vapor de agua, ambos próximos a gases ideales. Los libros de física miden su agua por la humedad relativa y el punto de rocío; una porción que asciende necesita medidas que no cambien cuando se expande.

**Definición 21.1 (Presión de vapor; razón de mezcla; humedad específica).**

La *presión de vapor* $e$ del aire húmedo es la presión parcial de su vapor de agua. Su *razón de mezcla* es $r = m_v/m_d$, la masa de vapor de agua por unidad de masa de aire seco en el mismo volumen, y su *humedad específica* es $q = m_v/(m_d + m_v)$, la masa de vapor por unidad de masa de aire húmedo. Ambas se dan habitualmente en gramos por kilogramo.

**Proposición 21.2 (Variables de humedad).**

En aire húmedo a la presión total $p$ y con la [presión de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) $e$,

$$
r = \frac{\varepsilon e}{p - e}, \qquad q = \frac{r}{1 + r} = \frac{\varepsilon e}{p - (1 -
  \varepsilon)e} .
$$

En la saturación, $e = e_s(T)$ y $r = r_s(T, p)$, la [razón de mezcla](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturación. Ni $r$ ni $q$ cambian cuando una porción se expande o se comprime sin ganar ni perder agua.

**Demostración.** En el mismo volumen $V$ a la temperatura $T$, cada gas obedece su propia ley de los gases ideales con su presión parcial: $m_v = eV/(R_vT)$ y $m_d = (p - e)V/(R_dT)$, así que $r = (R_d/R_v)\,e/(p - e)$, y $R_d/R_v = M_w/M_d = \varepsilon$. Dividiendo $m_v$ por $m_d + m_v$ se obtiene $q = r/(1 + r)$. La expansión cambia $V$, $p$ y $e$, pero no las dos masas. ∎

**Definición 21.3 (Temperatura virtual).**

La *temperatura virtual* $T_v$ del aire húmedo es la temperatura que necesitaría el aire seco, a la misma presión, para tener la misma densidad:

$$
T_v = T\,\frac{1 + r/\varepsilon}{1 + r} \approx T\,(1 + 0.61\,r) .
$$

La demostración de que esta temperatura hace lo que dice cabe en una línea: la densidad del aire húmedo es $(m_d + m_v)/V = \bigl(p - e\bigr)/(R_dT) + e/(R_vT)$, que, con $e = pr/(\varepsilon + r)$, es igual a $p/(R_dT_v)$. El vapor de agua es más ligero que el aire seco, así que el aire húmedo es menos denso que el aire seco a la misma temperatura y presión, como si fuera un poco más cálido.

**Ejemplo 21.4 (El aire de Norman).**

En el suelo, el sondeo da $p = 971.1\,\mathrm{hPa}$, $T = 19.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y un punto de rocío de $18.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. La [presión de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) es la [presión de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturación en el punto de rocío, $e = e_s(18.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}) = 21.5\,\mathrm{hPa}$ ([Proposición 21.5](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-es) más abajo). Entonces $r = 0.622 \times 21.5/(971.1 - 21.5) = 14.1\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$, $q = 13.9\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$, y $T_v - T = 0.61 \times 0.0141 \times 292.15\,\mathrm{K} = 2.5\,\mathrm{K}$: este aire es tan ligero como aire seco dos grados y medio más cálido.

## 21.2 La presión de vapor de saturación

Sobre una superficie plana de agua pura, la [presión de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) en equilibrio solo depende de la temperatura. Los libros de física deducen su ley, la relación de Clausius–Clapeyron, y la integran con un calor latente constante; para el vapor de agua, $M L/R = L/R_v$.

**Proposición 21.5 (Presión de vapor de saturación).**

Con el calor latente $L$ constante, la [presión de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturación sobre el agua es

$$
e_s(T) = e_t \exp\!\Bigl[\frac{L}{R_v}\Bigl(\frac{1}{T_t} - \frac{1}{T}\Bigr)\Bigr],
  \qquad e_t = 6.117\,\mathrm{hPa}, \quad T_t = 273.16\,\mathrm{K}, \quad \frac{L}{R_v} =
  5419\,\mathrm{K},
$$

donde $(T_t, e_t)$ es el punto triple del agua.

**Corolario 21.6 (Siete por ciento por kelvin).**

La tasa relativa de aumento de la [presión de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturación es $\mathrm{d}\ln e_s/\mathrm{d}T = L/(R_v T^2)$: un $7.3\,\%$ por kelvin a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, un $6.3\,\%$ a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y un $5.9\,\%$ a $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

El calor latente constante es el único defecto de la fórmula: el calor latente baja de $2500.9\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ en el punto triple a $2453.5\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, de modo que la fórmula se adelanta a los valores medidos a medida que sube la temperatura, en un $1.2\,\%$ a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y un $2.5\,\%$ a $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (figura de abajo). Una fórmula empírica ajustada a las medidas, $e_s = 6.112\,\mathrm{hPa} \times \exp[17.67\,t/(t + 243.5)]$ con $t$ en grados Celsius, se mantiene a unas pocas milésimas; los productos de datos la usan, pero la proposición es la que puede derivarse y entenderse, y este capítulo se queda con ella.

Por debajo de $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, el agua puede seguir líquida en las nubes, en sobrefusión, y existen dos presiones de vapor de saturación: sobre el agua líquida y sobre el hielo. La segunda es menor, porque el calor latente de sublimación supera al de vaporización en el calor latente de fusión. El aire saturado respecto de las gotitas sobrefundidas está sobresaturado respecto del hielo, en un $10\,\%$ a $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y un $22\,\%$ a $-20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: la última sección vuelve sobre esa diferencia.

![Izquierda: la presión de vapor de saturación sobre el agua según la , según la fórmula empírica y medida. Derecha: el cociente de las presiones de vapor de saturación sobre el agua sobrefundida (fórmula empírica) y sobre el hielo (ecuación de sublimación de la IAPWS).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-atmospheric-thermodynamics/fig-ef4566f7666f.svg)

*Izquierda: la [presión de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturación sobre el agua según la [Proposición 21.5](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-es), según la fórmula empírica y medida. Derecha: el cociente de las presiones de vapor de saturación sobre el agua sobrefundida (fórmula empírica) y sobre el hielo (ecuación de sublimación de la IAPWS).*

## 21.3 El aire húmedo que asciende

Una porción que asciende sin intercambiar calor se enfría según el gradiente adiabático seco, conserva su temperatura potencial y, si no se condensa, conserva su [razón de mezcla](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air). Su [presión de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) $e = pr/(\varepsilon + r)$ disminuye con la presión, pero su [presión de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturación disminuye más deprisa, con su temperatura. Las dos se encuentran en un nivel que los volúmenes escolares hallaban con una regla.

**Definición 21.7 (Nivel de condensación por ascenso).**

El *nivel de condensación por ascenso* (NCA) de una porción es el nivel en el que se satura cuando se eleva adiabáticamente en seco. Es el *nivel de condensación* de los volúmenes escolares, la altura de las bases planas de las nubes que se forman por ascenso.

**Proposición 21.8 (Altura del nivel de condensación por ascenso).**

Una porción a la temperatura $T$ con el punto de rocío $T_d$ alcanza la saturación aproximadamente a

$$
z_{\text{NCA}} \approx \frac{T - T_d}{\Gamma_d - \Gamma_{\text{roc}}}, \qquad
  \Gamma_{\text{roc}} = \frac{g R_v T_d^2}{L R_d T} \approx 1.8\,\mathrm{K}/\mathrm{km},
$$

por encima de su nivel de partida: unos $125\,\mathrm{m}$ por cada grado de depresión del punto de rocío.

**Demostración.** La temperatura de la porción baja según $\Gamma_d$. Su punto de rocío es la temperatura a la que su [presión de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) $e$ sería de saturación; con $r$ constante, $e$ es proporcional a $p$, así que $\mathrm{d}\ln e = \mathrm{d}\ln p = -g\,\mathrm{d}z/(R_dT)$ por el equilibrio hidrostático. Por la [Proposición 21.5](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-es), $\mathrm{d}\ln e = L\,\mathrm{d}T_d/(R_vT_d^2)$. Por tanto $\mathrm{d}T_d/\mathrm{d}z = -gR_vT_d^2/(LR_dT) = -\Gamma_{\text{roc}}$: el punto de rocío también baja, pero más despacio. La diferencia $T - T_d$ se cierra al ritmo $\Gamma_d - \Gamma_{\text{roc}}$. Con $T \approx T_d \approx 288\,\mathrm{K}$, $\Gamma_{\text{roc}} = 1.8\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$, y $1/(9.8 - 1.8)$ kilómetros por kelvin son $125\,\mathrm{m}$. ∎

En Norman la depresión del punto de rocío era de $0.5\,\mathrm{K}$: el aire de superficie se habría condensado tras $63\,\mathrm{m}$ de ascenso, a $964\,\mathrm{hPa}$. El cálculo completo, que sigue la adiabática seca y la [razón de mezcla](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturación sin linealizar, da $64\,\mathrm{m}$.

Por encima del NCA la porción se condensa a medida que sube. La condensación libera calor latente, y la porción se enfría más despacio.

**Definición 21.9 (Gradiente adiabático saturado; adiabática húmeda).**

El *gradiente adiabático saturado* $\Gamma_s$ es el ritmo al que baja la temperatura de una porción saturada cuando asciende, mientras su vapor se condensa para mantenerla saturada. La curva que sigue en un diagrama de temperatura frente a presión es una *adiabática húmeda*. Cuando se supone que el agua condensada cae de inmediato, el ascenso se llama pseudoadiabático.

**Proposición 21.10 (Gradiente adiabático saturado).**

Para un ascenso pseudoadiabático, con $r_s = r_s(T, p)$,

$$
\Gamma_s = g\,\frac{1 + \dfrac{L r_s}{R_d T}}{c_p + \dfrac{L^2 r_s}{R_v T^2}} .
$$

Tiende a $\Gamma_d = g/c_p$ cuando $r_s$ tiende a cero, y es menor en los demás casos.

**Demostración.** Por unidad de masa de aire seco, el primer principio para una porción que recibe el calor latente del vapor que condensa, $-L\,\mathrm{d}r_s$, se escribe $c_p\,\mathrm{d}T - (R_dT/p)\,\mathrm{d}p = -L\,
\mathrm{d}r_s$; con el equilibrio hidrostático $(R_dT/p)\,\mathrm{d}p = -g\,\mathrm{d}z$, queda $c_p\,\mathrm{d}T + g\,\mathrm{d}z + L\,\mathrm{d}r_s = 0$. Con $r_s \approx \varepsilon e_s/p$, $\mathrm{d}r_s = r_s\,(\mathrm{d}\ln e_s - \mathrm{d}\ln p) = r_s\bigl(L\,\mathrm{d}T/(R_vT^2) +
g\,\mathrm{d}z/(R_dT)\bigr)$. Sustituyendo y agrupando los términos en $\mathrm{d}T$ y en $\mathrm{d}z$ se obtiene $-\mathrm{d}T/\mathrm{d}z = \Gamma_s$. ∎

El gradiente depende de cuánta agua haya para condensar. A $1000\,\mathrm{hPa}$ vale $6.5\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $5.2\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ a $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $4.2\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $3.4\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ a $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; en lo alto de la troposfera, a $200\,\mathrm{hPa}$ y $-60\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, vuelve a $9.6\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$, casi el gradiente seco. Una [adiabática húmeda](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-adiabat) es, pues, empinada cerca del suelo cálido y se curva hacia las adiabáticas secas en altura.

**Definición 21.11 (Temperatura potencial equivalente).**

La *temperatura potencial equivalente* $\theta_e$ de una porción es la temperatura que tendría si se elevara hasta que todo su vapor se hubiera condensado y precipitado, y después se bajara adiabáticamente en seco hasta $1000\,\mathrm{hPa}$. Una buena aproximación es

$$
\theta_e \approx \theta \exp\!\Bigl(\frac{L r}{c_p T_{\text{NCA}}}\Bigr),
$$

con $\theta$ la temperatura potencial y $T_{\text{NCA}}$ la temperatura en el [nivel de condensación por ascenso](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-lcl) de la porción.

La temperatura potencial solo se conserva en el ascenso seco; $\theta_e$ se conserva, con esta aproximación, tanto en el ascenso seco como en el saturado, porque el calor que cuenta como ya liberado es exactamente el calor que libera la condensación. Etiqueta una [adiabática húmeda](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-adiabat) como $\theta$ etiqueta una seca. El aire de superficie de Norman tiene $\theta = 292.15 \times (1000/971.1)^{2/7} = 294.6\,\mathrm{K}$ y $\theta_e = 294.6 \exp[2.501 \times 10^6 \times 0.0141/(1004.5 \times 291.5)] = 332\,\mathrm{K}$.

## 21.4 Diagramas termodinámicos

**Definición 21.12 (Sondeo atmosférico).**

Un *sondeo atmosférico* es un perfil vertical de la presión, la temperatura, la humedad y el viento de la atmósfera sobre un lugar, medido por un instrumento llevado hacia arriba, normalmente una radiosonda colgada de un globo.

Un sondeo no es del todo vertical, porque el globo deriva con el viento, ni del todo instantáneo, porque tarda varios minutos en llegar a la troposfera alta; y la red principal solo lanza dos veces al día. Sus cifras se vuelven útiles una vez dibujadas en un gráfico donde una porción que asciende puede seguirse con una regla.

**Definición 21.13 (Diagrama termodinámico; diagrama skew-T log-p; tefigrama).**

Un *diagrama termodinámico* es un gráfico cuyas coordenadas son funciones de la presión y la temperatura, en el que van impresas isobaras, isotermas, adiabáticas secas, [adiabáticas húmedas](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-adiabat) y líneas de [razón de mezcla](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturación constante, y en el que un sondeo se representa con dos curvas, su temperatura y su punto de rocío. En un *diagrama skew-T log-p* la coordenada vertical es $-\ln p$ y la horizontal es $T + k\ln(p_0/p)$, de modo que las isobaras son horizontales y las isotermas son rectas inclinadas hacia arriba a la derecha. Un *tefigrama* usa como coordenadas la temperatura y la entropía por unidad de masa $c_p\ln\theta$, de modo que las isotermas y las adiabáticas secas son rectas perpendiculares.

**Proposición 21.14 (Las áreas son energías).**

En un [diagrama skew-T log-p](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-diagram), el área encerrada entre dos curvas $T_1(p)$ y $T_2(p)$ sobre las presiones $p_b > p_a$ es proporcional a $\int_{p_a}^{p_b} R_d\,(T_1 - T_2)\,\mathrm{d}\ln p$, la energía por unidad de masa que la [Proposición 21.19](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-buoyancy) de más abajo da a una porción que sigue $T_1$ a través de un entorno $T_2$.

**Demostración.** Tómese $Y = \ln(p_0/p)$ y $X = T + kY$. El jacobiano de $(T, Y) \mapsto (X, Y)$ vale 1, así que las áreas en el plano $(X, Y)$ son iguales a las áreas en el plano $(T, Y)$, donde el área entre dos curvas es $\int (T_1 - T_2)\,\mathrm{d}Y = \int (T_1 - T_2)\,\mathrm{d}\ln p$ tomada de $p_a$ a $p_b$ con el signo fijado. Multiplicando por $R_d$ y por la escala del gráfico se obtiene la energía. ∎

**Método 21.15 (Elevar una porción en un diagrama).**

1. Represéntense la temperatura y el punto de rocío del sondeo frente a la presión.
2. Desde la temperatura de la porción, sígase la adiabática seca hacia arriba; desde su punto de rocío, sígase la línea de [razón de mezcla](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturación. Donde se cortan está el NCA.
3. Desde el NCA, sígase la [adiabática húmeda](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-adiabat) hacia arriba.
4. Donde la curva de la porción queda a la derecha de la temperatura del sondeo, la porción es más cálida que su entorno; los niveles donde se cruzan las dos curvas son los niveles de la [Definición 21.17](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-parcel-levels) de más abajo.

## 21.5 Estabilidad y energía convectiva

El volumen de primer año comparaba el gradiente $\Gamma$ de una capa con $\Gamma_d$. Una porción saturada se enfría en cambio según $\Gamma_s$, y aparece un tercer caso entre los dos gradientes.

**Definición 21.16 (Inestabilidad condicional).**

Una capa cuyo gradiente está comprendido entre el [gradiente adiabático saturado](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-adiabat) y el seco, $\Gamma_s < \Gamma < \Gamma_d$, está en *inestabilidad condicional*: es estable para las porciones no saturadas e inestable para las saturadas.

En Norman la temperatura bajó $37.0\,\mathrm{K}$ entre $850\,\mathrm{hPa}$ ($1489\,\mathrm{m}$) y $500\,\mathrm{hPa}$ ($5725\,\mathrm{m}$), a $8.7\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$: [inestabilidad condicional](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-instability) a lo largo de cuatro kilómetros. Que la inestabilidad se libere depende de dónde una porción procedente de abajo se satura y luego se vuelve más cálida que su entorno.

**Definición 21.17 (Nivel de convección libre; nivel de equilibrio).**

El *nivel de convección libre* (NCL) de una porción elevada es el nivel por encima del cual, saturada, se vuelve más cálida que su entorno y asciende libremente. El *nivel de equilibrio* (NE) es el nivel por encima del NCL en el que su temperatura vuelve a igualar la de su entorno.

![El sondeo de las 12 UTC de Norman (Oklahoma) del 16 de abril de 2026, en un diagrama skew-T log-p, con la porción de superficie elevada a lo largo de su adiabática seca hasta el NCA y de su adiabática húmeda por encima. En rojo, el área positiva (CAPE); en azul, el área negativa por debajo del NCL (CIN), ambas calculadas con la temperatura. Razones de mezcla de saturación en gramos por kilogramo, rotuladas a 600\, hPa.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-atmospheric-thermodynamics/fig-91019c75d629.svg)

*El sondeo de las 12 UTC de Norman (Oklahoma) del 16 de abril de 2026, en un [diagrama skew-T log-p](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-diagram), con la porción de superficie elevada a lo largo de su adiabática seca hasta el NCA y de su [adiabática húmeda](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-adiabat) por encima. En rojo, el área positiva (CAPE); en azul, el área negativa por debajo del NCL (CIN), ambas calculadas con la temperatura. Razones de mezcla de saturación en gramos por kilogramo, rotuladas a $600\,\mathrm{hPa}$.*

**Definición 21.18 (Energía potencial convectiva disponible; inhibición convectiva).**

La *energía potencial convectiva disponible* (CAPE) de una porción es el trabajo de la fuerza de flotación sobre la unidad de masa de esta entre su NCL y su NE,

$$
\text{CAPE} = \int_{z_{\text{NCL}}}^{z_{\text{NE}}} g\,\frac{T_{v,\text{porción}} -
  T_{v,\text{ent}}}{T_{v,\text{ent}}}\,\mathrm{d}z ,
$$

y su *inhibición convectiva* (CIN) es la misma integral, negativa, desde su nivel de partida hasta su NCL.

**Proposición 21.19 (La flotación en un diagrama; la velocidad de la porción).**

1. En términos de presión, $\text{CAPE} = R_d \int_{p_{\text{NE}}}^{p_{\text{NCL}}}  (T_{v,\text{porción}} - T_{v,\text{ent}})\,\mathrm{d}\ln p$ : en un [diagrama skew-T log-p](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-diagram) es proporcional al área entre la curva de la porción y el sondeo.
2. Una porción que sale del NCL en reposo y conserva todo el trabajo de su flotación llega al NE con la velocidad vertical $w_{\max} = \sqrt{2\,\text{CAPE}}$ .

**Demostración.** 1. La porción y su entorno comparten la presión, así que el cociente de densidades es el cociente de las [temperaturas virtuales](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-virtual) y la fuerza de flotación por unidad de masa es $g(T_{v,\text{porción}} - T_{v,\text{ent}})/T_{v,\text{ent}}$. El entorno es hidrostático: $\mathrm{d}z = -R_dT_{v,\text{ent}}\,\mathrm{d}\ln p/g$. Al sustituir se simplifican $g$ y $T_{v,\text{ent}}$; el área se sigue de la [Proposición 21.14](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-areas). 2. Con $b$ la fuerza de flotación por unidad de masa, $\mathrm{d}w/\mathrm{d}t = b$ y $w = \mathrm{d}z/
\mathrm{d}t$ dan $w\,\mathrm{d}w = b\,\mathrm{d}z$; integrando desde el NCL, donde $w = 0$, hasta el NE se obtiene $w^2/2 = \text{CAPE}$. ∎

**Ejemplo 21.20 (La energía del sondeo de Norman).**

Elévese el aire de superficie del [Ejemplo 21.4](#ex-b2-atmospheric-thermodynamics-norman). Se satura a $964\,\mathrm{hPa}$, $64\,\mathrm{m}$ más arriba, y sigue una [adiabática húmeda](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-adiabat). Por debajo de $900\,\mathrm{hPa}$ el sondeo está él mismo casi saturado y la porción se mantiene unas décimas de grado más fría que su entorno; luego llega la inversión entre $908\,\mathrm{hPa}$ y $889\,\mathrm{hPa}$, donde la temperatura sube $4.1\,\mathrm{K}$ en $178\,\mathrm{m}$ y la porción se encuentra $5\,\mathrm{K}$ demasiado fría. Solo se vuelve más cálida que su entorno a $732\,\mathrm{hPa}$, $2.4\,\mathrm{km}$ sobre el suelo, su NCL, y sigue más cálida hasta su NE a $236\,\mathrm{hPa}$, $10.9\,\mathrm{km}$ sobre el nivel del mar, justo por debajo de la tropopausa que el sondeo señala a $235\,\mathrm{hPa}$. Sobre una malla fina de presiones, las áreas de la figura skew-T dan CAPE $= 2100\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ y CIN $= -200\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ con la temperatura, y $2230\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ y $-130\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ con la [temperatura virtual](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-virtual): la humedad de la porción añade su propia flotación. La teoría de la porción da $w_{\max} = \sqrt{2 \times 2100} =
65\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Las tablas de los predictores llaman positiva a una CAPE de hasta $1500\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$, grande a una de entre 1500 y $2500\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ y extrema a una de más de $2500\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$; los valores de más de $1000\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ son frecuentes en los entornos de tormenta, y unos pocos superan $5000\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$. La CAPE es máxima en la estación cálida, sobre todo a finales de la primavera. El índice de levantamiento, la temperatura del sondeo a $500\,\mathrm{hPa}$ menos la de la porción elevada, resume la misma información en un solo número: en Norman, $-18.4 - (-8.9) = -9.5\,\mathrm{K}$, en la clase de $-8$ a $-10$ que las tablas de los predictores llaman inestabilidad extrema. Ninguno de estos valores es un umbral por encima del cual las tormentas deban formarse.

La CIN es el precio de la entrada. La tapa cálida impedía que el aire de superficie subiera por sí solo: una porción tendría que ser empujada a través de ella, por un frente o por el lento ascenso del aire que precede a una perturbación en altura, o calentada desde abajo por el sol de la tarde hasta ser flotante en todo el recorrido. Y la velocidad $w_{\max}$ es una cota superior: una corriente ascendente real transporta su agua condensada, que la lastra, y se mezcla con el aire más seco que la rodea, que la enfría por evaporación. El [nivel de equilibrio](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-parcel-levels) sigue siendo una buena guía de dónde las cimas de la tormenta se extienden en un yunque.

![Una tormenta sobre Nebraska, el 20 de abril de 1985: su corriente ascendente se extiende en un yunque donde alcanza su nivel de equilibrio, cerca de la tropopausa. (Stephen Corfidi, NOAA/NWS, dominio público, a través de Wikimedia Commons.)](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-atmospheric-thermodynamics/img-b38e76dafbad.jpg)

*Una tormenta sobre Nebraska, el 20 de abril de 1985: su corriente ascendente se extiende en un yunque donde alcanza su [nivel de equilibrio](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-parcel-levels), cerca de la tropopausa. (Stephen Corfidi, NOAA/NWS, dominio público, a través de Wikimedia Commons.)*

## 21.6 Microfísica de nubes

Una porción en su NCA está saturada respecto de una superficie de agua plana. Una gotita no es plana: los libros de física muestran que una fase nueva no aparece en el equilibrio, sino solo por nucleación, y los libros de química que la [presión de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) sobre una superficie curva supera a la de una superficie plana (la ecuación de Kelvin). Con la constante $A$ de la [Proposición 21.22](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-kohler) de más abajo, una gotita de agua pura de $2\,\mathrm{nm}$ de diámetro solo está en equilibrio con la razón de saturación $\exp(2.1/2) = 2.9$, una [sobresaturación](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics) del $190\,\%$, muy por encima de las fracciones de uno por ciento a las que se activan las partículas: las gotitas se forman sobre partículas.

**Definición 21.21 (Sobresaturación; núcleo de condensación de nubes).**

La *sobresaturación* del aire es $s = e/e_s - 1$, el exceso de su [presión de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) sobre la [presión de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturación sobre una superficie plana de agua pura, dada habitualmente en tanto por ciento. Un *núcleo de condensación de nubes* (CCN) es una partícula de aerosol sobre la que se forma una gotita de nube a las pequeñas sobresaturaciones de las nubes. Es el *núcleo de condensación* de los volúmenes escolares.

**Proposición 21.22 (Curva de Köhler).**

Una gotita de disolución de diámetro $D$ crecida sobre una partícula seca de diámetro $D_d$ e higroscopicidad $\kappa$ está en equilibrio con la razón de saturación

$$
S(D) = \frac{D^3 - D_d^3}{D^3 - D_d^3(1 - \kappa)}\,\exp\Bigl(\frac{A}{D}\Bigr), \qquad
  A = \frac{4\sigma M_w}{R T\rho_w},
$$

con $\sigma$ la tensión superficial y $\rho_w$ la densidad del agua (se admite). La curva $S(D)$ es la *[curva de Köhler](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-kohler)*. Para $D \gg D_d$,

$$
s = S - 1 \approx \frac{A}{D} - \frac{\kappa D_d^3}{D^3},
$$

que es máxima en el diámetro y la [sobresaturación](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics) críticos

$$
D_c = \sqrt{\frac{3\kappa D_d^3}{A}}, \qquad s_c = \sqrt{\frac{4A^3}{27\,\kappa D_d^3}} .
$$

**Demostración de la aproximación.** La exponencial es el factor de Kelvin; la fracción es la actividad del agua, una versión de la ley de Raoult en la que $\kappa$ mide cuánta agua fija la materia disuelta. Para $D \gg D_d$ y $A \ll D$, $\exp(A/D) \approx 1 + A/D$ y la fracción es $1 - \kappa D_d^3/D^3$ a primer orden; el producto, a primer orden, es $1 + A/D - \kappa D_d^3/D^3$. Anulando la derivada $-A/D^2 + 3\kappa D_d^3/D^4$ se obtiene $D_c^2 = 3\kappa D_d^3/A$, y entonces $s_c = A/D_c -
A/(3D_c) = 2A/(3D_c)$, que es la fórmula. ∎

Con $\sigma = 0.072\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$ a $298.15\,\mathrm{K}$, $A = 2.1\,\mathrm{nm}$. El sulfato de amonio tiene $\kappa = 0.61$; el cloruro de sodio es aún más higroscópico ($\kappa = 1.28$), y las partículas atmosféricas están en su mayoría entre 0.1 y 0.9. Una partícula seca de $50\,\mathrm{nm}$ de sulfato de amonio tiene $D_c = 0.33\,\text{µ}\mathrm{m}$ y $s_c =
0.42\,\%$; una de $100\,\mathrm{nm}$, $0.93\,\text{µ}\mathrm{m}$ y $0.15\,\%$. La aproximación difiere del máximo exacto en menos de un $1\,\%$.

![Curvas de Köhler de partículas de sulfato de amonio (= 0.61) de tres diámetros secos a 298.15\, K, con sus puntos críticos (puntos). En aire con una sobresaturación del 0.5\,\%, las partículas de 50\, nm y 100\, nm crecen sin límite; la partícula de 30\, nm sigue siendo una gotita de bruma.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-atmospheric-thermodynamics/fig-351d429b936e.svg)

*[Curvas de Köhler](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-kohler) de partículas de sulfato de amonio ($\kappa = 0.61$) de tres diámetros secos a $298.15\,\mathrm{K}$, con sus puntos críticos (puntos). En aire con una [sobresaturación](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics) del $0.5\,\%$, las partículas de $50\,\mathrm{nm}$ y $100\,\mathrm{nm}$ crecen sin límite; la partícula de $30\,\mathrm{nm}$ sigue siendo una gotita de bruma.*

La curva divide las partículas. Por debajo de su máximo una gotita está en equilibrio estable: si crece, el aire ya no está lo bastante sobresaturado para ella y vuelve a encogerse; esas gotitas de bruma se hinchan y se encogen con la humedad. En cuanto la [sobresaturación](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics) del aire supera $s_c$, la gotita queda *activada*: pasado el máximo, necesita cada vez menos [sobresaturación](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics) a medida que crece, y crece mientras haya vapor. Una porción que asciende se enfría, su [sobresaturación](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics) aumenta, y las partículas más grandes y más solubles se activan primero; las gotitas que forman captan entonces el vapor y limitan la [sobresaturación](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics). Sobre los océanos remotos hay unos 110 CCN por centímetro cúbico activos a $0.4\,\%$, sobre los continentes remotos casi el doble, y en el aire contaminado unas diez veces más. La misma agua repartida entre más gotitas las hace más pequeñas.

**Observación 21.23 (Por qué la condensación sola no produce lluvia).**

Una gotita crece por la difusión del vapor hacia ella. El flujo a través de una esfera alrededor de una gotita de radio $r$ es $4\pi r D_v\,\Delta\rho_v$, con $D_v$ la difusividad del vapor y $\Delta\rho_v$ el exceso de densidad de vapor lejos de ella, así que su masa $\tfrac43\pi r^3\rho_w$ crece a un ritmo proporcional a $r$: $r\,\mathrm{d}r/\mathrm{d}t$ es constante y $r^2$ crece linealmente con el tiempo. Las gotitas grandes crecen más despacio que las pequeñas, y una población que crece solo por condensación se estrecha en lugar de ensancharse. Las gotas de lluvia se forman cuando gotitas de distintos tamaños, que caen a distintas velocidades, chocan y se fusionan.

Por encima del nivel de $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ una nube está formada por gotitas sobrefundidas hasta que unas partículas nucleantes de hielo inician cristales de hielo. Entonces actúa la diferencia del panel derecho de la figura de la saturación: el aire saturado respecto de las gotitas está sobresaturado un $10\,\%$ respecto del hielo a $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, decenas de veces las sobresaturaciones a las que se activaron las gotitas. Los cristales crecen por deposición a costa de las gotitas, que se evaporan (el proceso de Bergeron, el proceso de cristales de hielo de los volúmenes escolares), y capturan gotitas que se congelan sobre ellos (la acreción).

![Los dos caminos del vapor a la precipitación: activación y crecimiento de gotitas, y luego colisión y coalescencia (arriba); cristales de hielo que crecen a costa de gotitas sobrefundidas, capturan gotitas que se congelan y se funden al caer en aire más cálido (abajo).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-atmospheric-thermodynamics/fig-67adc341575e.svg)

*Los dos caminos del vapor a la precipitación: activación y crecimiento de gotitas, y luego colisión y coalescencia (arriba); cristales de hielo que crecen a costa de gotitas sobrefundidas, capturan gotitas que se congelan y se funden al caer en aire más cálido (abajo).*

**Sobre el terreno — Un lanzamiento matinal.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-atmospheric-thermodynamics/img-4d198de31f8a.jpg)

*Una radiosonda lanzada al amanecer desde una estación meteorológica (ilustración generada por IA).*

En cada estación de altura, el técnico prepara el globo y la radiosonda en la hora anterior a las 00 y las 12 UTC, las horas en que más de ochocientas estaciones del mundo observan a la vez. El instrumento, de 60 a $80\,\mathrm{g}$, cuelga bajo el globo y transmite la presión, la temperatura, la humedad y su posición por satélite cada segundo. El globo sube unos $300\,\mathrm{m}$ por minuto, durante dos horas o más, más allá de $35\,\mathrm{km}$ antes de estallar, y puede derivar más de $300\,\mathrm{km}$. Los predictores representan el perfil en un diagrama skew-T y, los días en que se esperan fenómenos severos, algunas estaciones lanzan globos adicionales.

## Ejercicios

Datos de los ejercicios, salvo aviso contrario: $e_s(T) = 6.117\,\mathrm{hPa} \times
\exp[5419\,\mathrm{K} \times (1/273.16\,\mathrm{K} - 1/T)]$; $\varepsilon = 0.622$, $R_d =
287.0\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $R_v = 461.5\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $c_p =
1004.5\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $L = 2.501 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $\Gamma_d = 9.8\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$.

**Ejercicio 21.1 ★.**

A $850\,\mathrm{hPa}$ la temperatura es de $10.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y el punto de rocío de $5.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (a) Hállense la [presión de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) y la [presión de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturación. (b) Hállese la humedad relativa. (c) Hállense la [razón de mezcla](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) y la [humedad específica](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air), en gramos por kilogramo.

**Solución de Ejercicio 21.1.**

(a) $e = e_s(278.15\,\mathrm{K}) = 8.73\,\mathrm{hPa}$ y $e_s(283.15\,\mathrm{K}) = 12.32\,\mathrm{hPa}$. (b) $8.73/12.32 = 70.9\,\%$. (c) $r = 0.622 \times 8.73/(850 - 8.73) =
6.45\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$ y $q = r/(1 + r) = 6.41\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$.

**Ejercicio 21.2 ★.**

(a) ¿En qué tanto por ciento por kelvin aumenta $e_s$ a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$? (b) Calcúlese $e_s$ a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y a $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, y su cociente; compárese con $1.063^5$. (c) El valor medido a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ es de $23.39\,\mathrm{hPa}$. ¿Cuánto se equivoca la fórmula, y en qué sentido? ¿Por qué?

**Solución de Ejercicio 21.2.**

(a) $\mathrm{d}\ln e_s/\mathrm{d}T = 5419/T^2$: un $7.26\,\%$ por kelvin a $273.15\,\mathrm{K}$, un $6.31\,\%$ a $293.15\,\mathrm{K}$ y un $5.90\,\%$ a $303.15\,\mathrm{K}$. (b) $e_s(20\,{}^{\circ}\mathrm{C}) = 23.66\,\mathrm{hPa}$ y $e_s(25\,{}^{\circ}\mathrm{C})
= 32.26\,\mathrm{hPa}$; cociente 1.363, frente a $1.063^5 = 1.357$. La tasa es una derivada de $\ln e_s$, así que en $5\,\mathrm{K}$ el factor es $\exp(5 \times 0.0620) = 1.363$, con 0.0620 la tasa en el punto medio, $22.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; componer un $6.3\,\%$ cinco veces se acerca pero no es exacto. (c) $23.66/23.39 = 1.012$: la fórmula da un $1.2\,\%$ de más, porque conserva el calor latente del punto triple, mientras que el calor latente disminuye cuando la temperatura sube; la pendiente de la fórmula es demasiado fuerte, y su error crece con la distancia a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Ejercicio 21.3 ★.**

A mediodía el aire de superficie está a $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ con un punto de rocío de $14\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (a) ¿A qué altura sobre el suelo se forman las bases de los cúmulos? (b) ¿Cuál es allí la temperatura de una porción, según la adiabática seca? (c) ¿Cuál es allí su punto de rocío, con $\Gamma_{\text{roc}} =
1.8\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$? Coméntese. (d) Más tarde el aire se calienta hasta $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, con el punto de rocío sin cambios. ¿Dónde están ahora las bases de las nubes?

**Solución de Ejercicio 21.3.**

(a) $125 \times (30 - 14) = 2000\,\mathrm{m}$. (b) $30 - 9.8 \times 2.0 = 10.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) $14 - 1.8 \times 2.0 = 10.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: la temperatura y el punto de rocío se encuentran, como deben hacerlo en el nivel de saturación; la regla es este cálculo. (d) $125 \times (33 - 14) = 2375\,\mathrm{m}$: las bases suben a medida que la tarde calienta el aire próximo al suelo.

**Ejercicio 21.4 ★.**

Léase el diagrama skew-T del sondeo de Norman. (a) ¿Hasta qué presión está saturado, o casi, el aire próximo al suelo? (b) ¿Dónde está la inversión y cómo se manifiesta? (c) Léanse el NCA, el NCL y el NE de la porción de superficie. (d) ¿Cómo se comparan el punto de rocío y la temperatura justo por encima de la inversión, y qué dice eso de este aire?

**Solución de Ejercicio 21.4.**

(a) La curva del punto de rocío coincide con la de la temperatura desde el suelo hasta unos $908\,\mathrm{hPa}$: el medio kilómetro inferior está saturado, o casi. (b) Entre unos 908 y $889\,\mathrm{hPa}$ la curva de la temperatura gira hacia la derecha, hacia valores más cálidos, cuando la presión disminuye: la temperatura aumenta con la altura. (c) El NCA, hacia $964\,\mathrm{hPa}$, unas decenas de metros más arriba; el NCL, hacia $730\,\mathrm{hPa}$; el NE, hacia $235\,\mathrm{hPa}$. (d) En la cima de la inversión el punto de rocío está $11\,\mathrm{K}$ por debajo de la temperatura, y $20\,\mathrm{K}$ por debajo a $850\,\mathrm{hPa}$: un aire cálido y muy seco descansa sobre un aire fresco y húmedo. Su humedad relativa es baja, así que no adquirió su calor por condensación; el aire que desciende se calienta por compresión según el gradiente adiabático seco conservando su [razón de mezcla](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air), lo que daría una capa así.

**Ejercicio 21.5 ★★.**

Un aire tropical a $1000\,\mathrm{hPa}$ tiene $T = 30.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $r = 20\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$. (a) Hállese su [temperatura virtual](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-virtual) de forma exacta y con la aproximación $T(1 + 0.61\,r)$. (b) Hállense las densidades de este aire y del aire seco a la misma temperatura y presión. (c) ¿Cuánto habría que calentar el aire seco para que fuera igual de ligero? (d) ¿Por qué importa esto para la convección sobre mares cálidos?

**Solución de Ejercicio 21.5.**

(a) $T_v = 303.15 \times (1 + 0.020/0.622)/1.020 = 306.76\,\mathrm{K}$; la aproximación da $303.15 \times (1 + 0.61 \times 0.020) = 306.85\,\mathrm{K}$. (b) $\rho = p/(R_dT_v) = 10^5/(287.0
\times 306.76) = 1.1358\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, frente a $10^5/(287.0 \times 303.15) =
1.1494\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ para el aire seco: un $1.2\,\%$ más ligero. (c) En $T_v - T =
3.6\,\mathrm{K}$. (d) Una porción que asciende solo necesita ser más ligera que su entorno: sobre mares cálidos la humedad del aire añade una flotación equivalente a varios kelvin, tanto como un exceso de temperatura considerable.

**Ejercicio 21.6 ★★.**

Úsese la [Proposición 21.10](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-gamma-s) a $1000\,\mathrm{hPa}$, con $r_s$ según la [Proposición 21.2](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-humidity). (a) Calcúlense $r_s$ y $\Gamma_s$ a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) ¿Cuánto más cálida que una porción seca es una porción saturada a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ tras subir $1\,\mathrm{km}$, si su gradiente no cambia? (c) ¿Por qué se reduce la diferencia más arriba?

**Solución de Ejercicio 21.6.**

(a) $e_s$ = 6.11, 23.66 y $43.54\,\mathrm{hPa}$; $r_s = 0.622\,e_s/(1000 - e_s)$ = 3.82, 15.07 y $28.31\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$; $\Gamma_s$ = 6.48, 4.20 y $3.44\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. (b) La porción seca se enfría $9.8\,\mathrm{K}$, la saturada $4.2\,\mathrm{K}$: la porción saturada está $5.6\,\mathrm{K}$ más cálida. (c) Más arriba el aire es más frío, $r_s$ es menor, queda poco vapor por condensar y $\Gamma_s$ vuelve hacia $\Gamma_d$.

**Ejercicio 21.7 ★★.**

La porción de superficie de Norman ($p = 971.1\,\mathrm{hPa}$, $T = 19.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $T_d =
18.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$) tiene su NCA a $18.35\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (a) Calcúlense su [razón de mezcla](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air), su temperatura potencial y su [temperatura potencial equivalente](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-theta-e). (b) Elevada, está a $-8.9\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $500\,\mathrm{hPa}$, saturada. Calcúlense allí su $\theta$ y su $\theta_e$. (c) ¿Cuál de las dos se conserva?

**Solución de Ejercicio 21.7.**

(a) $e = e_s(291.65\,\mathrm{K}) = 21.52\,\mathrm{hPa}$, $r = 0.622 \times 21.52/(971.1 - 21.52) =
14.1\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$; $\theta = 292.15 \times (1000/971.1)^{0.2857} = 294.6\,\mathrm{K}$; $\theta_e =
294.6 \exp[2.501 \times 10^6 \times 0.0141/(1004.5 \times 291.5)] = 294.6 \times 1.128 =
332.3\,\mathrm{K}$. (b) $e_s(264.25\,\mathrm{K}) = 3.13\,\mathrm{hPa}$, $r_s = 0.622 \times 3.13/(500 -
3.13) = 3.92\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$; $\theta = 264.25 \times 2^{0.2857} = 322.1\,\mathrm{K}$; la porción está saturada, así que $T_{\text{NCA}} = T$ y $\theta_e = 322.1 \exp[2.501 \times 10^6 \times
0.00392/(1004.5 \times 264.25)] = 334.3\,\mathrm{K}$. (c) $\theta$ aumentó $27.5\,\mathrm{K}$, calentada por el calor latente de los $10.2\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$ de vapor que se condensaron; $\theta_e$ cambió un $0.6\,\%$, dentro de la precisión de su fórmula aproximada: se conserva.

**Ejercicio 21.8 ★★.**

Una porción está $4\,\mathrm{K}$ más cálida que su entorno entre $700\,\mathrm{hPa}$, su NCL, y $300\,\mathrm{hPa}$, su NE; despréciese la corrección de [temperatura virtual](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-virtual). (a) Calcúlese su CAPE. (b) Calcúlese $w_{\max}$. (c) ¿En qué clase cae la CAPE? (d) En un diagrama skew-T, ¿qué forma tiene el área positiva, y por qué su área es la calculada?

**Solución de Ejercicio 21.8.**

(a) $\text{CAPE} = 287.0 \times 4 \times \ln(700/300) = 287.0 \times 4 \times 0.847 =
973\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$. (b) $\sqrt{2 \times 973} = 44.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) Entre 1 y $1500\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$: positiva, pero no grande. (d) Una banda de anchura horizontal constante entre dos curvas; por la [Proposición 21.14](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-areas), su área es proporcional a $\int
\Delta T\,\mathrm{d}\ln p = 4 \ln(700/300)$, sea cual sea la inclinación de las isotermas.

**Ejercicio 21.9 ★★.**

Tómense $A = 2.1\,\mathrm{nm}$ y el sulfato de amonio, $\kappa = 0.61$. (a) Hállense el diámetro crítico y la [sobresaturación](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics) crítica de una partícula seca de $80\,\mathrm{nm}$. (b) ¿Cuál es la menor partícula seca activada en aire con una [sobresaturación](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics) del $0.3\,\%$? ¿Y del $0.1\,\%$? (c) Una corriente ascendente eleva la [sobresaturación](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics) del $0.1\,\%$ al $0.3\,\%$: ¿qué ocurre con el número de gotitas, y con su tamaño para la misma agua líquida?

**Solución de Ejercicio 21.9.**

(a) $D_c = \sqrt{3 \times 0.61 \times 80^3/2.1}\,\mathrm{nm} = 668\,\mathrm{nm} =
0.668\,\text{µ}\mathrm{m}$; $s_c = 2A/(3D_c) = 2 \times 2.1/(3 \times 668) = 0.00210 =
0.210\,\%$. (b) Al resolver $s_c = \sqrt{4A^3/(27\kappa D_d^3)}$ respecto de $D_d$: $D_d =
\bigl(4A^3/(27\kappa s_c^2)\bigr)^{1/3}$, $63\,\mathrm{nm}$ al $0.3\,\%$ y $131\,\mathrm{nm}$ al $0.1\,\%$. (c) Todas las partículas de entre 63 y $131\,\mathrm{nm}$ se activan también: más gotitas y, para la misma agua líquida, más pequeñas.

**Ejercicio 21.10 ★★★.**

La porción de superficie de Norman tenía una CIN de unos $-130\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ con la [temperatura virtual](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-virtual). (a) ¿Con qué velocidad vertical tendría que salir del suelo para alcanzar su NCL por su propio impulso? (b) La cima de la inversión está a $889.1\,\mathrm{hPa}$ y $20.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. ¿Hasta qué temperatura debe calentarse el aire de superficie a $971.1\,\mathrm{hPa}$ para que una porción elevada adiabáticamente en seco no sea más fría que la cima de la inversión? (c) Si su punto de rocío siguiera en $18.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, ¿dónde estaría la base de su nube? (d) Nómbrense dos maneras en que la atmósfera elimina una tapa así sin el sol.

**Solución de Ejercicio 21.10.**

(a) $w = \sqrt{2 \times 130} = 16.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, imposible para un aire en reposo cerca del suelo. (b) La temperatura potencial de la cima de la inversión es $293.65 \times (1000/889.1)^{0.2857} =
303.7\,\mathrm{K}$; una porción de superficie con esta $\theta$ tiene $T = 303.7 \times (971.1/1000)^{0.2857}
= 301.2\,\mathrm{K}$, $28.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) $125 \times (28.0 - 18.5) = 1190\,\mathrm{m}$ sobre el suelo, por encima de la antigua cima de la inversión. (d) Un frente, que eleva el aire sobre su pendiente; el lento ascenso del aire que precede a una perturbación en altura, que enfría la propia tapa.

**Ejercicio 21.11 ★★★.**

(a) Demuéstrese a partir de la [Proposición 21.10](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-gamma-s) que $\Gamma_s \to \Gamma_d$ cuando $r_s \to 0$. (b) Demuéstrese que cuando $Lr_s/(R_dT) \gg 1$, $\Gamma_s \to gR_vT/(LR_d)$, y evalúese a $303\,\mathrm{K}$. (c) Compárese con el $\Gamma_{\text{roc}}$ de la [Proposición 21.8](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-lcl) cuando $T_d = T$, y explíquese por qué coinciden los dos límites. (d) ¿Se alcanza el límite de (b) en la atmósfera? Úsese el valor $\Gamma_s =
3.4\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ a $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $1000\,\mathrm{hPa}$.

**Solución de Ejercicio 21.11.**

(a) Cuando $r_s \to 0$, el numerador tiende a $g$ y el denominador a $c_p$. (b) Escríbase $L^2r_s/(R_vT^2) = c_p \times \bigl(Lr_s/(R_dT)\bigr) \times LR_d/(R_vTc_p)$, con $LR_d/(R_vTc_p) = 5.1$ a $303\,\mathrm{K}$: cuando $Lr_s/(R_dT) \gg 1$, también $L^2r_s/(R_vT^2) \gg c_p$, y $\Gamma_s \to g\,(Lr_s/(R_dT))/(L^2r_s/(R_vT^2)) = gR_vT/(LR_d) = 9.81 \times 461.5 \times
303/(2.501 \times 10^6 \times 287.0) = 1.91\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. (c) Con $T_d = T$, $\Gamma_{\text{roc}} = gR_vT/(LR_d)$, el mismo. En ese límite el calor latente es tan grande que la porción apenas puede condensar nada de su vapor sin calentarse muy por encima de su punto de saturación: conserva su [razón de mezcla](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) y sigue la línea de [razón de mezcla](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) constante, a lo largo de la cual la temperatura baja según $\Gamma_{\text{roc}}$. (d) A $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $1000\,\mathrm{hPa}$, $Lr_s/(R_dT) = 0.81$, no mucho mayor que 1, y $L^2r_s/(R_vT^2) = 4180$, cuatro veces $c_p$: $\Gamma_s = 3.4\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$, aún lejos de $1.9\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. El límite no se alcanza.

**Ejercicio 21.12 ★★★.**

Sobre el agua sobrefundida y sobre el hielo, las presiones de vapor de saturación son 2.868 y $2.599\,\mathrm{hPa}$ a $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, y 1.257 y $1.032\,\mathrm{hPa}$ a $-20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (a) Hállese la [sobresaturación](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics) respecto del hielo del aire saturado respecto del agua a ambas temperaturas. (b) Compárese con las sobresaturaciones a las que se activan las gotitas. (c) Explíquese por qué una nube de gotitas sobrefundidas que recibe unos pocos cristales de hielo se convierte en hielo. (d) ¿Por qué el efecto es más débil cerca de $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$?

**Solución de Ejercicio 21.12.**

(a) $2.868/2.599 = 1.104$ y $1.257/1.032 = 1.218$: un $10.4\,\%$ y un $21.8\,\%$. (b) Las gotitas se activan con unas décimas de uno por ciento de [sobresaturación](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics), decenas de veces menos. (c) Los cristales crecen deprisa por deposición; toman vapor del aire, que queda por debajo de la saturación respecto de las gotitas; las gotitas se evaporan y su vapor pasa al hielo (el proceso de Bergeron), hasta que la nube se glacia. (d) A $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ las dos presiones de vapor de saturación son iguales: se encuentran en el punto triple, y el cociente tiende a uno cerca de él.

**Problema 21.1.**

Problema de fin de semana — Leer el sondeo de la mañana

La tabla da el sondeo de las 12 UTC de Norman (Oklahoma) del 16 de abril de 2026, en los niveles usados aquí: presión, altura sobre el nivel del mar, temperatura, punto de rocío y temperatura de la porción de superficie elevada como en el [Método 21.15](#met-b2-atmospheric-thermodynamics-lift), calculada integrando la [Proposición 21.10](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-gamma-s) a pequeños pasos. El sondeo señala la tropopausa a $235.3\,\mathrm{hPa}$ y $10\,954\,\mathrm{m}$. Úsense los datos de los ejercicios y las temperaturas (no las [temperaturas virtuales](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-virtual)) salvo indicación contraria.

| $p$ ($\mathrm{hPa}$) | $z$ ($\mathrm{m}$) | $T$ (${}^{\circ}\mathrm{C}$) | $T_d$ (${}^{\circ}\mathrm{C}$) | $T_{\text{porción}}$ (${}^{\circ}\mathrm{C}$) |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 971.1 | 345 | 19.0 | 18.5 | 19.0 |
| 925.0 | 763 | 17.3 | 17.3 | 16.9 |
| 907.7 | 924 | 16.4 | 16.4 | 16.2 |
| 889.1 | 1102 | 20.5 | 9.5 | 15.4 |
| 850.0 | 1489 | 18.6 | $-1.8$ | 13.7 |
| 700.0 | 3110 | 4.5 | $-12.2$ | 6.1 |
| 500.0 | 5725 | $-18.4$ | $-36.6$ | $-8.9$ |
| 400.0 | 7357 | $-30.4$ | $-55.6$ | $-20.4$ |
| 300.0 | 9349 | $-42.7$ | $-66.3$ | $-37.1$ |
| 250.0 | 10560 | $-49.8$ | $-69.8$ | $-48.3$ |
| 200.0 | 12006 | $-52.3$ | $-78.3$ | $-61.8$ |

**Parte I — El aire próximo al suelo.**

1. Hállese la [presión de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) del aire de superficie, con un decimal.
2. Hállese su [razón de mezcla](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) , con un decimal.
3. Hállese su [humedad específica](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) .
4. Hállese su humedad relativa.
5. ¿Cuánto supera su [temperatura virtual](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-virtual) a su temperatura?
6. Hállense la altura de su NCA sobre el suelo con la regla de los $125\,\mathrm{m}$ , y la presión allí (tómese una [temperatura virtual](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-virtual) media de $294.7\,\mathrm{K}$ para la capa).
7. Hállese su temperatura potencial.

**Parte II — La tapa y las capas superiores.**

8. A $925\,\mathrm{hPa}$ , ¿está la porción más cálida o más fría que su entorno, y en cuánto?
9. Hállese el gradiente entre 907.7 y $889.1\,\mathrm{hPa}$ . ¿Qué clase de capa es esta?
10. ¿En cuánto está la porción más fría que su entorno a $889.1\,\mathrm{hPa}$ ?
11. Hállese la humedad relativa a $850\,\mathrm{hPa}$ . ¿De dónde podría proceder un aire así?
12. Hállese el gradiente medio entre 850 y $500\,\mathrm{hPa}$ y clasifíquese la capa.
13. Hállense el índice de levantamiento y su clase.

**Parte III — La energía.**

14. Calcúlese el exceso $\Delta T = T_{\text{porción}} - T$ en cada nivel de la tabla.
15. Hállese el NCL interpolando $\Delta T$ linealmente en $\ln p$ , al hectopascal más próximo, y su altura interpolando $z$ del mismo modo.
16. Hállense el NE y su altura del mismo modo. Compárese con la tropopausa.
17. Calcúlese la CAPE por la regla de los trapecios en $\ln p$ , desde el NCL hasta el NE pasando por los niveles de la tabla.
18. ¿En qué clase cae?
19. Calcúlese la CIN del mismo modo, desde el suelo hasta el NCL.
20. Un cálculo sobre una malla de $1\,\mathrm{hPa}$ da una CAPE de $2100\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ con las temperaturas y de $2230\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ con las [temperaturas virtuales](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-virtual) . ¿Por qué difieren los tres valores?

**Parte IV — La tormenta que el aire podría alimentar.**

21. ¿Qué velocidad vertical da la teoría de la porción con la CAPE de la pregunta 17?
22. A la mitad de esa velocidad en todo el recorrido, ¿cuánto tardaría el aire en subir del NCL al NE?
23. Nómbrense dos efectos que hacen más lenta una corriente ascendente real.
24. En resumen: ¿qué velocidad de corriente ascendente predice la teoría de la porción para una tormenta alimentada por el aire de superficie de esta mañana?

**Solución de Problema 21.1.**

**1.** $e = e_s(291.65\,\mathrm{K}) = 21.5\,\mathrm{hPa}$. **2.** $r = 0.622 \times 21.5/(971.1 - 21.5) = 14.1\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$. **3.** $q = 14.1/1.0141 = 13.9\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$. **4.** $e_s(292.15\,\mathrm{K}) = 22.2\,\mathrm{hPa}$; $21.5/22.2 = 97\,\%$. **5.** $0.61 \times 0.0141 \times 292.15 = 2.5\,\mathrm{K}$. **6.** $125 \times 0.5 = 63\,\mathrm{m}$; $p = 971.1 \exp[-9.81 \times 62.5/(287.0 \times 294.7)]
= 964\,\mathrm{hPa}$. **7.** $\theta = 292.15 \times (1000/971.1)^{0.2857} = 294.6\,\mathrm{K}$. **8.** $16.9 - 17.3 = -0.4\,\mathrm{K}$: más fría. **9.** $(20.5 - 16.4)/(1102 - 924) = 4.1/178$: la temperatura sube $23\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$, un gradiente de $-23\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. Una inversión: absolutamente estable, una tapa. **10.** $15.4 - 20.5 = -5.1\,\mathrm{K}$. **11.** $e_s(-1.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}) = 5.4\,\mathrm{hPa}$ y $e_s(18.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}) =
21.7\,\mathrm{hPa}$: un $25\,\%$. Cálido y seco, puede ser aire que descendió y se calentó por compresión, o aire calentado sobre suelo seco a barlovento; no es el aire húmedo de debajo. **12.** $18.6 + 18.4 = 37.0\,\mathrm{K}$ en $5725 - 1489 = 4236\,\mathrm{m}$, $8.73\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$: entre $\Gamma_s$ y $\Gamma_d$, condicionalmente inestable. **13.** $-18.4 - (-8.9) = -9.5\,\mathrm{K}$: inestabilidad extrema (de $-8$ a $-10$). **14.** Desde el suelo hacia arriba: 0, $-0.4$, $-0.2$, $-5.1$, $-4.9$, $+1.6$, $+9.5$, $+10.0$, $+5.6$, $+1.5$, $-9.5$ $\mathrm{K}$. **15.** Entre 850 ($-4.9$) y $700\,\mathrm{hPa}$ ($+1.6$), en la fracción $4.9/6.5 = 0.754$: $\ln p = \ln 850 + 0.754 \ln(700/850)$, $p = 734\,\mathrm{hPa}$; $z = 1489 + 0.754 \times 1621 =
2711\,\mathrm{m}$, $2.37\,\mathrm{km}$ sobre el suelo. **16.** Entre 250 ($+1.5$) y $200\,\mathrm{hPa}$ ($-9.5$), en la fracción $1.5/11.0 =
0.136$: $p = 242.5\,\mathrm{hPa}$ y $z = 10560 + 0.136 \times 1446 = 10\,757\,\mathrm{m}$, unos $200\,\mathrm{m}$ por debajo de la tropopausa señalada ($10\,954\,\mathrm{m}$). **17.** Los tramos ($\Delta T$ medio por el $\ln$ del cociente de presiones): $0.80 \times 0.0474
= 0.038$; $5.55 \times 0.3365 = 1.867$; $9.75 \times 0.2231 = 2.176$; $7.80 \times 0.2877 =
2.244$; $3.55 \times 0.1823 = 0.647$; $0.75 \times 0.0305 = 0.023$; suma $6.995\,\mathrm{K}$. $\text{CAPE} = 287.0 \times 6.995 = 2010\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$, con tres cifras. **18.** Entre 1500 y $2500\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$: grande. **19.** $-0.2 \times 0.0486 - 0.3 \times 0.0189 - 2.65 \times 0.0207 - 5.0 \times 0.0450 -
2.45 \times 0.1467 = -0.655$ $\mathrm{K}$; $\text{CIN} = 287.0 \times (-0.655) = -188\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$. **20.** La tabla solo conserva once niveles: entre ellos, la regla de los trapecios sustituye las curvas por segmentos rectos en $\ln p$ y pierde sus inflexiones. La malla de $1\,\mathrm{hPa}$ sigue las curvas. La [temperatura virtual](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-virtual) añade la flotación del vapor de agua de la porción, más abundante en la porción saturada que en el aire seco que la rodea: una CAPE mayor, una CIN menor. **21.** $\sqrt{2 \times 2010} = 63\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. **22.** $10757 - 2711 = 8046\,\mathrm{m}$ a $63.4/2 = 31.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $254\,\mathrm{s}$, unos cuatro minutos. **23.** El peso del agua condensada que transporta la corriente ascendente; la mezcla con el aire más seco que la rodea (el arrastre), que la enfría al evaporarse las gotitas. **24.** La teoría de la porción da a la corriente ascendente de una tormenta alimentada por este aire una velocidad de unos **$63\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$**, una cota superior.