---
title: "El forzamiento orbital y las glaciaciones"
book: "Ciencias de la Tierra y del espacio universitarias — segundo año"
subject: earth
language: es
chapter: 25
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/25-el-forzamiento-orbital-y-las-glaciaciones
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# Capítulo 25 — El forzamiento orbital y las glaciaciones

Durante el último millón de años, la forma de la órbita terrestre ha cambiado la luz solar recibida por el planeta entero en un año en menos de dos partes por mil: entre $340.00$ y $340.54\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ en el techo de la atmósfera. Durante ese mismo millón de años, la insolación media diaria de mediados de julio a $65{}^{\circ}$ N ha oscilado entre unos 388 y $500\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, en más de una cuarta parte. Las glaciaciones siguieron la segunda cifra, no la primera. Este capítulo calcula ambas a partir de los elementos de la órbita terrestre y se pregunta cómo la luz solar de una latitud en una estación puede marcar el ritmo del crecimiento y del retroceso de casquetes de hielo que cubren continentes.

**Lo que ya sabes.**

**De los libros de física**: la elipse, su semieje mayor $a$ y su excentricidad $e$, las leyes de Kepler. **Del volumen de primer año**: la eclíptica y la oblicuidad $\varepsilon$, la declinación del Sol $\delta$, con $\sin\delta = \sin\varepsilon\sin\lambda$ ($\lambda$ es la longitud verdadera del Sol, contada a lo largo de la eclíptica desde el equinoccio vernal), el año trópico, la insolación media diaria

$$
\bar Q = \frac{S_0}{\pi}\left(\frac{a}{r}\right)^{2}\bigl(h_0\sin\varphi\sin\delta +
  \cos\varphi\cos\delta\sin h_0\bigr),\qquad \cos h_0 = -\tan\varphi\tan\delta ,
$$

y su media global y anual, $S_0/(4\sqrt{1 - e^2})$. **De los volúmenes escolares**: el ciclo glaciar y el Último Máximo Glacial; el forzamiento radiativo. **De capítulos anteriores**: la [retroalimentación hielo–albedo](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/18-la-tierra-precambrica#def-b2-precambrian-earth-ice-albedo) ([Definición 18.8](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/18-la-tierra-precambrica#def-b2-precambrian-earth-ice-albedo)); el registro bentónico apilado, el registro de EPICA Dome C y los [modelos de edad](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/24-archivos-e-indicadores-climaticos#def-b2-climate-proxies-age-model) ([Capítulo 24](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/24-archivos-e-indicadores-climaticos#ch-b2-climate-proxies)).

## 25.1 La órbita y sus tres elementos

La órbita terrestre es una elipse con el Sol en uno de sus focos. Los planetas, sobre todo Júpiter y Saturno, la deforman lentamente y la hacen girar en su plano; la atracción del Sol y de la Luna sobre el abultamiento ecuatorial hace que el eje de rotación se balancee como una peonza. Tres magnitudes describen lo que importa para la luz solar: cuán alargada es la elipse, cuán inclinado está el eje y en qué punto de la órbita caen las estaciones.

**Definición 25.1 (Longitud del perihelio; precesión climática).**

La *longitud del perihelio* $\varpi$ es el ángulo, medido en el plano de la órbita a partir de la dirección del equinoccio vernal, entre esa dirección y la dirección del perihelio vista desde el Sol; se cuenta desde el equinoccio móvil, de modo que cambia tanto con el balanceo del eje como con el giro de la órbita. La *precesión climática* es la magnitud $e\sin\varpi$, llamada también índice de precesión.

![La órbita terrestre vista desde el norte, con la excentricidad exagerada hasta 0.3 y la longitud actual del perihelio, = 101.4. La Tierra se desplaza en sentido antihorario (flecha); los puntos marcan su posición en los equinoccios y los solsticios. El perihelio cae unos días después del solsticio de diciembre, el afelio unos días después del solsticio de junio. Esquema.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-orbital-forcing/fig-a191c72d0a1b.svg)

*La órbita terrestre vista desde el norte, con la excentricidad exagerada hasta 0.3 y la longitud actual del perihelio, $\varpi = 101.4{}^{\circ}$. La Tierra se desplaza en sentido antihorario (flecha); los puntos marcan su posición en los equinoccios y los solsticios. El perihelio cae unos días después del solsticio de diciembre, el afelio unos días después del solsticio de junio. Esquema.*

Visto desde la Tierra, el Sol se desplaza a lo largo de la eclíptica, y su longitud verdadera $\lambda$ es el ángulo contado desde el equinoccio vernal: $\lambda = 90{}^{\circ}$ en el solsticio de junio, $270{}^{\circ}$ en el solsticio de diciembre. La Tierra está en el perihelio cuando el Sol se halla en la dirección opuesta a la del perihelio, en $\lambda = \varpi + 180{}^{\circ}$; hoy $\varpi = 101.37{}^{\circ}$ y el perihelio cae en $\lambda = 281.37{}^{\circ}$, unos once días después del solsticio de diciembre, hacia el 3 de enero.

**Definición 25.2 (Parámetros de Milankovitch).**

Los *parámetros de Milankovitch* son las tres magnitudes orbitales que fijan el reparto de la luz solar sobre la Tierra a lo largo de las estaciones y las latitudes: la excentricidad $e$, la oblicuidad $\varepsilon$ y la [precesión climática](#def-b2-orbital-forcing-elements) $e\sin\varpi$. La *teoría de Milankovitch* afirma que sus lentas variaciones marcan el ritmo del crecimiento y del retroceso de los casquetes de hielo cuaternarios, a través de la insolación estival en las latitudes altas del norte.

Cada parámetro varía con sus propios ritmos. La excentricidad tiene periodos principales cercanos a $95\,000$, $99\,000$, $124\,000$ y $131\,000$ años, que se combinan en un ciclo de unos $100\,000$ años, y un periodo de $405\,000$ años, el más estable de todos; durante el último millón de años osciló entre $0.0046$ y $0.0565$, y hoy, con $0.0172$, disminuye lentamente. La oblicuidad varía con un periodo principal de $40\,978$ años, entre $22.1{}^{\circ}$ y $24.5{}^{\circ}$ durante el último millón de años; con $23.44{}^{\circ}$, está disminuyendo, pasado su último máximo hace unos $10\,000$ años. El eje completa su balanceo en unos $25\,770$ años, mientras que la órbita gira en unos $112\,000$; juntos desplazan el perihelio a través de las estaciones con periodos principales cercanos a $19\,000$, $22\,400$ y $23\,700$ años.

![Los tres parámetros de Milankovitch durante el último millón de años: (a) la excentricidad; (b) la oblicuidad; (c) la precesión climática, cuya envolvente es la excentricidad. Datos: Berger y Loutre (1991), NOAA NCEI Paleoclimatology, consultados el 23 de octubre de 2026.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-orbital-forcing/fig-7d7dcf2c3a8e.svg)

*Los tres [parámetros de Milankovitch](#def-b2-orbital-forcing-milankovitch) durante el último millón de años: (a) la excentricidad; (b) la oblicuidad; (c) la [precesión climática](#def-b2-orbital-forcing-elements), cuya envolvente es la excentricidad. Datos: Berger y Loutre (1991), NOAA NCEI Paleoclimatology, consultados el 23 de octubre de 2026.*

La [precesión climática](#def-b2-orbital-forcing-elements) oscila deprisa, pero solo tanto como se lo permite la excentricidad: cuando la órbita es casi circular, como hace $400\,000$ años, apenas importa dónde cae el perihelio. La figura lo muestra con claridad: la envolvente del panel (c) es el panel (a).

## 25.2 La luz solar a partir de la órbita

La insolación media diaria recordada más arriba necesita un ingrediente más: la distancia al Sol en un día dado.

**Proposición 25.3 (Distancia y longitud del Sol).**

Cuando la longitud verdadera del Sol es $\lambda$, la distancia Tierra–Sol es

$$
\frac{r}{a} = \frac{1 - e^2}{1 - e\cos(\lambda - \varpi)} .
$$

En el solsticio de junio ($\lambda = 90{}^{\circ}$), a primer orden en $e$, $(a/r)^2 \approx 1 - 2e\sin\varpi$; en el solsticio de diciembre, $(a/r)^2 \approx 1 + 2e\sin\varpi$.

**Demostración.** En una elipse con el Sol en un foco, $r/a = (1 - e^2)/(1 + e\cos v)$, donde la anomalía verdadera $v$ es el ángulo, en el Sol, desde el perihelio hasta la Tierra. La Tierra se ve desde el Sol en la dirección opuesta a aquella en la que el Sol se ve desde la Tierra, así que su longitud vista desde el Sol es $\lambda + 180{}^{\circ}$, y $v = \lambda + 180{}^{\circ} - \varpi$, $\cos v = -\cos(\lambda - \varpi)$. En $\lambda = 90{}^{\circ}$, $\cos(\lambda - \varpi) = \sin\varpi$ y $(a/r)^2 = (1 -
e\sin\varpi)^2/(1 - e^2)^2 = 1 - 2e\sin\varpi + O(e^2)$; en $\lambda = 270{}^{\circ}$ el signo cambia. ∎

La [precesión climática](#def-b2-orbital-forcing-elements) es, por tanto, el índice adecuado: mide cuánto más cerca del Sol, o más lejos, está la Tierra en el solsticio de junio. Cuando $e\sin\varpi$ es grande y positiva, como hoy y mucho más hace $116\,000$ años, el verano boreal cae cerca del afelio y es débil; cuando es grande y negativa, como hace unos $10\,000$ años, el verano boreal cae cerca del perihelio.

**Ejemplo 25.4 (El Sol de junio a 65∘65{}^{\circ}65∘ N, hoy).**

Hoy $e = 0.017236$, $\varpi = 101.37{}^{\circ}$, $\varepsilon = 23.446{}^{\circ}$, y las tablas usan $S_0 = 1360\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. En el solsticio de junio $\delta = \varepsilon$; en $\varphi =
65{}^{\circ}$, $\cos h_0 = -\tan65{}^{\circ}\tan23.446{}^{\circ} = -0.9301$, así que $h_0 = 158.44{}^{\circ} =
2.7654\,\mathrm{rad}$: el Sol está sobre el horizonte durante $2 \times 158.44/360 \times 24 = 21.1$ horas. El corchete de la fórmula de la insolación vale $2.7654 \times 0.9063 \times 0.3979 + 0.4226 \times 0.9174 \times 0.3674 =
1.1397$, y a la distancia media $\bar Q = 432.90 \times 1.1397 = 493.4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. El factor de distancia es $(a/r)^2 = 0.9671$, así que $\bar Q = 477.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

La segunda ley de Kepler añade un matiz. Cerca del afelio la Tierra se mueve más despacio: la estación que cae allí es más débil pero dura más. Los veranos boreales duran hoy unos 4.5 días más que los inviernos boreales, y las primaveras unos tres días más que los otoños.

**Proposición 25.5 (Las medias anuales no dependen de la precesión).**

La energía recibida por unidad de superficie en el techo de la atmósfera entre dos longitudes dadas del Sol no depende de $\varpi$, y la insolación media anual en cualquier latitud es la de una órbita circular de radio $a$ multiplicada por $1/\sqrt{1 - e^2}$. En un polo, la media anual es

$$
\bar Q_{\text{polo}} = \frac{S_0\sin\varepsilon}{\pi\sqrt{1 - e^2}} ,
$$

que crece con la oblicuidad.

**Demostración.** Por la segunda ley de Kepler, el radio barre área al ritmo constante $\pi ab/T$, y el área barrida mientras la Tierra gira un ángulo $\mathrm d\lambda$ es $\frac12 r^2\,\mathrm d\lambda$, así que $\mathrm dt =
T r^2\,\mathrm d\lambda/(2\pi ab)$, con $b = a\sqrt{1 - e^2}$. La insolación en una latitud y una longitud del Sol dadas es $(a/r)^2$ veces su valor $Q_a(\lambda)$ a la distancia $a$, de modo que la energía recibida es $\int Q_a(\lambda)(a/r)^2\,\mathrm dt = \frac{T}{2\pi\sqrt{1 - e^2}}\int
Q_a(\lambda)\,\mathrm d\lambda$: la distancia se ha simplificado, y con ella $\varpi$. A lo largo de todo el año, $\lambda$ recorre $360{}^{\circ}$ y la media es $\frac{1}{2\pi\sqrt{1-e^2}}\int_0^{2\pi}
Q_a\,\mathrm d\lambda$. En el Polo Norte $Q_a = S_0\sin\delta = S_0\sin\varepsilon\sin\lambda$ para $0 < \lambda < \pi$ y 0 en otro caso; la integral vale $2S_0\sin\varepsilon$. ∎

La precesión traslada luz solar de una estación a otra, nunca la añade ni la quita a un año; la excentricidad cambia el total anual en un factor $1/\sqrt{1 - e^2}$, como mucho un $0.16\,\%$ durante el último millón de años; la oblicuidad traslada luz solar entre latitudes: eleva la media anual en los polos y la reduce ligeramente en el ecuador. Solo el reparto estacional y latitudinal cambia mucho, y eso es lo que muestra la figura siguiente.

![(a) Insolación media diaria en el solsticio de junio, hoy y hace 10\,000 años, cuando el verano boreal caía cerca del perihelio y la oblicuidad era mayor: unos 50\, W\, m-2 más en las latitudes altas del norte. (b) Insolación media anual para las dos oblicuidades extremas del último millón de años, con la excentricidad actual: una inclinación mayor envía más luz solar a los polos y algo menos a los trópicos. Calculadas a partir de los elementos orbitales con S_0 = 1360\, W\, m-2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-orbital-forcing/fig-135572d38410.svg)

*(a) Insolación media diaria en el solsticio de junio, hoy y hace $10\,000$ años, cuando el verano boreal caía cerca del perihelio y la oblicuidad era mayor: unos $50\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ más en las latitudes altas del norte. (b) Insolación media anual para las dos oblicuidades extremas del último millón de años, con la excentricidad actual: una inclinación mayor envía más luz solar a los polos y algo menos a los trópicos. Calculadas a partir de los elementos orbitales con $S_0 = 1360\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.*

## 25.3 El cálculo de la curva de insolación

La curva de insolación que construyó Milankovitch es hoy un cálculo rutinario. Los elementos orbitales del pasado se calculan integrando los movimientos de los planetas; tabulados cada mil años, son los datos de partida. Para cada edad, el método siguiente da la insolación en cualquier latitud y estación.

**Método 25.6 (La insolación del pasado).**

1. Léanse $e$ , $\varpi$ y $\varepsilon$ para la edad buscada.
2. Elíjase la estación mediante la longitud verdadera del Sol $\lambda$ : $90{}^{\circ}$ para el solsticio de junio; la fecha de mediados de julio de las tablas corresponde a $\lambda = 120{}^{\circ}$ .
3. Calcúlese $\delta$ a partir de $\sin\delta = \sin\varepsilon\sin\lambda$ , y el ángulo horario de la puesta de sol $h_0$ en la latitud $\varphi$ (día o noche polar si $|\tan\varphi\tan\delta| > 1$ ).
4. Calcúlese el factor de distancia $(a/r)^2$ con la [Proposición 25.3](#prop-b2-orbital-forcing-distance) .
5. Multiplíquese: $\bar Q = (S_0/\pi)(a/r)^2(h_0\sin\varphi\sin\delta +  \cos\varphi\cos\delta\sin h_0)$ .

Aplicado a las 1001 edades del último millón de años, el método reproduce la insolación tabulada de mediados de julio a $65{}^{\circ}$ N con un margen de $0.012\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, el redondeo de las tablas, y los valores tabulados de junio en la actualidad con exactitud. Las tablas sitúan el origen del tiempo en 1950.

![Arriba: insolación media diaria a 65 N durante los últimos 400\,000 años, a mediados de julio, tabulada por Berger y Loutre (gris, ancha) y calculada con el método anterior (rojo), y en el solsticio de junio (azul, discontinua). Abajo: valores de mediados de julio calculados menos tabulados, en W\, m-2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-orbital-forcing/fig-106d64c01359.svg)

*Arriba: insolación media diaria a $65{}^{\circ}$ N durante los últimos $400\,000$ años, a mediados de julio, tabulada por Berger y Loutre (gris, ancha) y calculada con el método anterior (rojo), y en el solsticio de junio (azul, discontinua). Abajo: valores de mediados de julio calculados menos tabulados, en $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.*

Destacan dos rasgos. La curva está dominada por la [precesión climática](#def-b2-orbital-forcing-elements), con picos separados unos $20\,000$ años cuya altura crece y mengua con la excentricidad; la oblicuidad añade una modulación más lenta. Y las oscilaciones son grandes: durante los últimos $800\,000$ años, el valor de mediados de julio varió entre 388 y $497\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

## 25.4 La teoría de Milankovitch y los ciclos glaciares

**Historia — La insolación a sesenta y cinco grados norte.**

Milutin Milankovitch, nacido en 1879, construyó una teoría matemática del clima a partir de las variaciones estacionales y latitudinales de la luz solar. Combinando las tres variaciones orbitales, calculó la insolación de las latitudes y las temperaturas superficiales correspondientes para los $600\,000$ años anteriores a 1800. Por sugerencia del climatólogo Köppen eligió la insolación estival a $65{}^{\circ}$ N como magnitud decisiva: los grandes casquetes de hielo habían crecido cerca de esa latitud, y los veranos frescos funden menos nieve invernal, de modo que la nieve se acumula de un año a otro. Consideraba la oblicuidad el más importante de los tres parámetros. Durante unos cincuenta años la teoría fue en gran parte ignorada; Milankovitch murió en 1958. En 1976, Hays, Imbrie y Shackleton encontraron en sedimentos de mar profundo de los últimos $450\,000$ años picos espectrales de variabilidad climática en torno a $23\,000$, $42\,000$ y $100\,000$ años, los periodos de la precesión, la oblicuidad y la excentricidad, y concluyeron que los cambios de la órbita terrestre son la causa fundamental de las glaciaciones cuaternarias.

La figura siguiente repite su prueba con los registros del [Capítulo 24](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/24-archivos-e-indicadores-climaticos#ch-b2-climate-proxies). Compara los espectros de amplitud, es decir, la intensidad de cada periodo, de la insolación de julio a $65{}^{\circ}$ N y del registro bentónico apilado, en dos ventanas de $700\,000$ años.

![Espectros de amplitud, cada uno escalado a su propio máximo, de la insolación de mediados de julio a 65 N durante los últimos 700\,000 años y del registro bentónico apilado LR04 en la misma ventana y entre hace 1\,250\,000 y 1\,950\,000 años (sin tendencia, con ventana de suavizado). La insolación tiene su potencia en los periodos de la precesión, entre unos 19 y 24 mil años, y en el periodo de la oblicuidad; el volumen de hielo reciente tiene su pico cerca de 100\,000 años, donde la insolación casi no tiene nada; el volumen de hielo más antiguo tiene su pico en 41\,000 años.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-orbital-forcing/fig-a382bfaf78be.svg)

*Espectros de amplitud, cada uno escalado a su propio máximo, de la insolación de mediados de julio a $65{}^{\circ}$ N durante los últimos $700\,000$ años y del registro bentónico apilado LR04 en la misma ventana y entre hace $1\,250\,000$ y $1\,950\,000$ años (sin tendencia, con ventana de suavizado). La insolación tiene su potencia en los periodos de la precesión, entre unos 19 y 24 mil años, y en el periodo de la oblicuidad; el volumen de hielo reciente tiene su pico cerca de $100\,000$ años, donde la insolación casi no tiene nada; el volumen de hielo más antiguo tiene su pico en $41\,000$ años.*

### Periodos glaciares, interglaciares y terminaciones

**Definición 25.7 (Periodo glaciar; interglaciar; terminación glaciar).**

En el registro cuaternario, un *periodo glaciar* es un intervalo en el que grandes casquetes de hielo cubren los continentes del norte, registrado por un $\delta^{18}$O bentónico alto y un nivel del mar bajo; un *interglaciar* es un intervalo con poco hielo continental en el hemisferio norte fuera de Groenlandia, como el actual. Una *terminación glaciar* es una de las grandes transiciones que cierran un ciclo glaciar, de condiciones de pleno glaciar a condiciones interglaciares, mucho más rápida que el crecimiento que la precedió.

Durante el último medio millón de años, el periodo dominante del clima está cerca de $100\,000$ años, aunque el forzamiento en ese periodo, que procede solo de la excentricidad, es despreciable frente al de la oblicuidad y la precesión. Los ciclos son además asimétricos: el $\delta^{18}$O bentónico registra una acumulación escalonada de hielo durante unos $90\,000$ años, seguida de una desaparición en unos $10\,000$, un diente de sierra cuyos flancos descendentes son las terminaciones. El último [interglaciar](#def-b2-orbital-forcing-glacials), desde hace unos $129\,000$ hasta hace unos $116\,000$ años, terminó cuando la insolación estival a $65{}^{\circ}$ N cayó hasta uno de sus valores más bajos de los últimos $800\,000$ años: el valor del solsticio de junio alcanzó su mínimo, $438.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, hace $116\,000$ años, y el de mediados de julio su segundo mínimo más bajo, $392.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, hace $114\,000$ años. El Último Máximo Glacial llegó unos $95\,000$ años después.

¿Con qué rapidez puede un casquete de hielo seguir su forzamiento? El modelo más sencillo trata el volumen de hielo $V$ como si se relajara hacia el volumen $V_{\mathrm{eq}}$ que la insolación del momento sostendría, con un tiempo de respuesta $\tau$:

$$
\frac{\mathrm dV}{\mathrm dt} = \frac{V_{\mathrm{eq}}(t) - V}{\tau} .
$$

**Proposición 25.8 (Una respuesta con retraso).**

Para un forzamiento $V_{\mathrm{eq}} = A\sin\omega t$, la solución del modelo con retraso tiende a

$$
V = \frac{A}{\sqrt{1 + \omega^2\tau^2}}\,\sin\bigl(\omega(t - t_{\ell})\bigr),\qquad
  t_{\ell} = \frac{\arctan(\omega\tau)}{\omega} :
$$

el hielo sigue casi por completo un forzamiento lento y solo débilmente un forzamiento rápido, siempre con retraso. La respuesta a una suma de sinusoides es la suma de las respuestas: el modelo no crea ningún periodo que falte en su forzamiento.

**Demostración.** Ensáyese $V = B\sin\omega t + C\cos\omega t$: al sustituir, $\omega B\tau = -C$ y $-\omega C\tau = A -
B$, así que $B = A/(1 + \omega^2\tau^2)$, $C = -\omega\tau A/(1 + \omega^2\tau^2)$, una amplitud $\sqrt{B^2 + C^2} = A/\sqrt{1 + \omega^2\tau^2}$ y un desfase $\arctan(\omega\tau)$. Cualquier otra solución difiere de esta en un múltiplo de $\mathrm e^{-t/\tau}$, que se extingue. La ecuación es lineal, así que las soluciones se suman. ∎

![El modelo con retraso forzado por la insolación de mediados de julio a 65 N (menos sol, más hielo), frente al registro bentónico apilado, los tres estandarizados (media 0, desviación típica 1); los valores positivos significan más hielo. El modelo sigue las oscilaciones de precesión del registro apilado, pero no tiene ninguno de sus grandes ciclos en diente de sierra. El tiempo de respuesta de 10\, kyr es una elección del modelo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-orbital-forcing/fig-821cc287afde.svg)

*El modelo con retraso forzado por la insolación de mediados de julio a $65{}^{\circ}$ N (menos sol, más hielo), frente al registro bentónico apilado, los tres estandarizados (media 0, desviación típica 1); los valores positivos significan más hielo. El modelo sigue las oscilaciones de precesión del registro apilado, pero no tiene ninguno de sus grandes ciclos en diente de sierra. El tiempo de respuesta de $10\,\mathrm{kyr}$ es una elección del modelo.*

Durante los últimos $800\,000$ años, el modelo con retraso se correlaciona con el registro apilado con $r = 0.42$, y la insolación misma solo con $0.23$: el retraso ayuda, pero un casquete de hielo lineal no puede producir ciclos de $100\,000$ años a partir de un forzamiento que no los tiene. Las terminaciones deben implicar un comportamiento no lineal que amplifique un empuje modesto de la insolación. Los candidatos son retroalimentaciones que actúan sobre todo el clima: la [retroalimentación hielo–albedo](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/18-la-tierra-precambrica#def-b2-precambrian-earth-ice-albedo) de la [Definición 18.8](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/18-la-tierra-precambrica#def-b2-precambrian-earth-ice-albedo), ya que un planeta con más nieve y hielo refleja más luz solar; y el dióxido de carbono, que en los testigos de hielo antárticos sube en escalas de tiempo de milenios cada vez que se debilita la circulación de vuelco del Atlántico, como ocurre cuando el agua de fusión de los casquetes de hielo se vierte en el Atlántico Norte. Por encima de un umbral de dióxido de carbono, las condiciones [interglaciares](#def-b2-orbital-forcing-glacials) pueden estabilizarse.

**Definición 25.9 (Transición del Pleistoceno medio).**

La *transición del Pleistoceno medio* es el cambio, desde hace unos $1\,250\,000$ hasta hace unos $700\,000$ años, de ciclos glaciares de unos $41\,000$ años y pequeña amplitud a ciclos cuasiperiódicos de unos $100\,000$ años y gran amplitud, con casquetes de hielo más gruesos, sin ningún cambio correspondiente en el forzamiento orbital.

Antes de la transición, los casquetes de hielo seguían la oblicuidad, como muestra el espectro discontinuo de la figura anterior; un recuento halla una [terminación glaciar](#def-b2-orbital-forcing-glacials) en el 67, el 88 y el $52\,\%$ de los ciclos de oblicuidad del Cuaternario temprano, medio y tardío. La teoría orbital por sí sola no puede explicar el cambio; los candidatos son la dinámica de los propios casquetes de hielo, quizá tras la eliminación del regolito blando sobre el que se deslizaban, y un descenso gradual del dióxido de carbono durante los mínimos glaciares. Todavía no hay ninguna explicación aceptada de forma general.

## 25.5 El dióxido de carbono en los ciclos glaciares

Los testigos de hielo antárticos muestran que el dióxido de carbono sigue los ciclos glaciares: entre 188 y $194\,\mathrm{ppm}$ en el Último Máximo Glacial, entre 266 y $282\,\mathrm{ppm}$ en el último [interglaciar](#def-b2-orbital-forcing-glacials); el registro compuesto del [Capítulo 24](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/24-archivos-e-indicadores-climaticos#ch-b2-climate-proxies) da $189.7\,\mathrm{ppm}$ para el intervalo de 19 a $23\,\mathrm{ka}$ y $279.4\,\mathrm{ppm}$ para los dos mil años anteriores a la industria. Su forzamiento radiativo crece casi como el logaritmo de la concentración, $3.93\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ por cada duplicación.

**Ejemplo 25.10 (La órbita frente al dióxido de carbono).**

De $189.7\,\mathrm{ppm}$ a $279.4\,\mathrm{ppm}$, el forzamiento es $3.93\log_2(279.4/189.7) = 3.93 \times
0.559 = 2.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, sobre todo el globo y todo el año. La órbita, durante el último millón de años, cambió la media global y anual de la insolación como mucho en $340.54 - 340.00 =
0.54\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, pero la insolación de mediados de julio a $65{}^{\circ}$ N en unos $109\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

La órbita es un marcapasos, no un motor. Redistribuye la luz solar entre estaciones y latitudes y fija el calendario; los casquetes de hielo, por su albedo y su lentitud, y el dióxido de carbono, por su forzamiento global, convierten una señal regional en un cambio global del clima.

## Ejercicios

Datos de los ejercicios, salvo aviso contrario: $S_0 = 1360\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ (el valor de las tablas); un año trópico de $365.2422$ días; los elementos orbitales de las tablas, cuyos valores actuales son $e = 0.017236$, $\varpi = 101.37{}^{\circ}$, $\varepsilon = 23.446{}^{\circ}$.

**Ejercicio 25.1 ★.**

Tómese $e = 0.0167$. (a) Calcúlese la razón entre la distancia del afelio, $a(1 + e)$, y la distancia del perihelio, $a(1 - e)$. (b) Exprésese su diferencia como porcentaje de $a$. (c) ¿En qué factor es la luz solar en el perihelio más intensa que en el afelio?

**Solución de Ejercicio 25.1.**

(a) $1.0167/0.9833 = 1.0340$: el afelio está un $3.4\,\%$ más lejos que el perihelio. (b) $a(1 + e) - a(1 - e) = 2ea = 0.0334\,a$, un $3.34\,\%$ de $a$, cerca del 3.4 por ciento que se suele citar. (c) La luz solar disminuye como el inverso del cuadrado de la distancia: $1.0340^2 = 1.069$, alrededor de un $7\,\%$ más de luz solar en el perihelio.

**Ejercicio 25.2 ★.**

Las tablas dan $e = 0.017236$, $\varpi = 101.37{}^{\circ}$ hoy; $e = 0.019971$, $\varpi =
293.86{}^{\circ}$ hace $10\,000$ años; $e = 0.019249$, $\varpi = 359.99{}^{\circ}$ hace $6000$ años. (a) Calcúlese la [precesión climática](#def-b2-orbital-forcing-elements) para cada edad. (b) Para cada una, dese la longitud del Sol en el perihelio. (c) ¿En qué edad estaba el perihelio más cerca del solsticio de junio, y en cuál del equinoccio de septiembre?

**Solución de Ejercicio 25.2.**

(a) Hoy $0.017236 \times \sin101.37{}^{\circ} = 0.017236 \times 0.9804 = 0.01690$; hace $10\,000$ años $0.019971 \times \sin293.86{}^{\circ} = 0.019971 \times (-0.9145) = -0.01826$; hace $6000$ años $0.019249 \times \sin359.99{}^{\circ} \approx 0$, los valores de las tablas. (b) La longitud del Sol en el perihelio es $\varpi + 180{}^{\circ}$: $281.37{}^{\circ}$ hoy, $473.86{}^{\circ}$ $-$ $360{}^{\circ}$ $=$ $113.86{}^{\circ}$ hace $10\,000$ años, $179.99{}^{\circ}$ hace $6000$ años. (c) Hace $10\,000$ años el perihelio caía $24{}^{\circ}$ después del solsticio de junio, el más cercano a él de los tres, en el verano boreal; hace $6000$ años caía en el equinoccio de septiembre, donde la [precesión climática](#def-b2-orbital-forcing-elements) es nula.

**Ejercicio 25.3 ★.**

El eje de rotación precesa con un periodo de unos $25\,770$ años respecto de las estrellas, mientras que la órbita gira con un periodo de unos $112\,000$ años. Supóngase que ambos movimientos desplazan el perihelio respecto del equinoccio en el mismo sentido, de modo que sus frecuencias se suman. (a) Combínense las dos frecuencias para hallar el periodo con el que el perihelio recorre las estaciones. (b) Compárese con los periodos principales de la [precesión climática](#def-b2-orbital-forcing-elements), $19.0$, $22.4$ y $23.7$ mil años.

**Solución de Ejercicio 25.3.**

(a) Las frecuencias se suman: $1/25.77 + 1/112 = 0.03880 + 0.00893 = 0.047\,73\,\mathrm{kyr}^{-1}$, un periodo de $1/0.04773 = 21.0$ mil años. (b) El resultado cae dentro del intervalo de los periodos principales, de 19.0 a 23.7 mil años. Un solo número no puede reproducirlos: el giro de la órbita es a su vez la suma de varios movimientos de frecuencias distintas, cada uno de los cuales se combina con la precesión del eje para dar un periodo de la [precesión climática](#def-b2-orbital-forcing-elements); la media son los $23\,000$ años que se suelen citar.

**Ejercicio 25.4 ★.**

Con la [Proposición 25.5](#prop-b2-orbital-forcing-annual) y $e = 0.0167$, calcúlese la insolación media anual en el Polo Norte para oblicuidades de $22.1{}^{\circ}$ y $24.5{}^{\circ}$. ¿En qué porcentaje crece entre ambas?

**Solución de Ejercicio 25.4.**

$\sqrt{1 - 0.0167^2} = 0.99986$. Para $22.1{}^{\circ}$: $1360 \times 0.37622/(\pi \times 0.99986) =
162.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; para $24.5{}^{\circ}$: $1360 \times 0.41469/(\pi \times 0.99986) =
179.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. La razón es $\sin24.5{}^{\circ}/\sin22.1{}^{\circ} = 1.102$: la media anual en el polo crece un $10.2\,\%$, unos $16.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, entre los dos extremos.

**Ejercicio 25.5 ★★.**

(a) Calcúlese exactamente el factor de distancia $(a/r)^2$ en el solsticio de junio hoy y hace $116\,000$ años ($e = 0.043988$, $\varpi = 92.71{}^{\circ}$), y compárese con la aproximación $1 -
2e\sin\varpi$. (b) Calcúlense ambos en el solsticio de diciembre. (c) ¿Por qué es peor la aproximación hace $116\,000$ años?

**Solución de Ejercicio 25.5.**

(a) En el solsticio de junio, el factor de distancia vale $(a/r)^2 = \bigl((1 - e\sin\varpi)/(1 - e^2)\bigr)^2$. Hoy, $e\sin\varpi
= 0.016898$ y $(0.983102/0.999703)^2 = 0.9671$, frente a $1 - 0.033796 = 0.9662$; hace $116\,000$ años $e\sin\varpi = 0.043939$ y $(0.956061/0.998065)^2 = 0.9176$, frente a $1 -
0.087878 = 0.9121$. (b) En el solsticio de diciembre $(a/r)^2 = \bigl((1 + e\sin\varpi)/(1 -
e^2)\bigr)^2$: hoy $1.0347$ frente a $1.0338$, hace $116\,000$ años $1.0940$ frente a $1.0879$. (c) Los términos despreciados son de orden $e^2$: $(1 - x)^2/(1 - e^2)^2 \approx 1 - 2x + x^2 + 2e^2$ con $x = e\sin\varpi$, aquí unos $3e^2$. Valen $3 \times 0.0172^2 = 0.0009$ hoy y $3
\times 0.0440^2 = 0.0058$ hace $116\,000$ años, cerca de las diferencias halladas, $0.0009$ y $0.0055$: la aproximación es seis veces peor cuando la excentricidad es dos veces y media mayor.

**Ejercicio 25.6 ★★.**

Reprodúzcase el [Ejemplo 25.4](#ex-b2-orbital-forcing-today) paso a paso: el ángulo horario de la puesta de sol a $65{}^{\circ}$ N en el solsticio de junio, la duración del día, la insolación a la distancia media y la insolación actual.

**Solución de Ejercicio 25.6.**

En el solsticio de junio $\delta = \varepsilon = 23.446{}^{\circ}$. $\cos h_0 = -\tan65{}^{\circ}\tan23.446{}^{\circ}
= -2.14451 \times 0.43369 = -0.93006$, así que $h_0 = 158.44{}^{\circ} = 2.7654\,\mathrm{rad}$. El día dura $2 \times 158.44/15 = 21.13$ horas (la Tierra gira $15{}^{\circ}$ por hora). Con $\sin65{}^{\circ} = 0.90631$, $\cos65{}^{\circ} = 0.42262$, $\sin\delta = 0.39788$, $\cos\delta = 0.91744$ y $\sin h_0 = 0.36742$, el corchete vale $2.7654 \times 0.90631 \times 0.39788 + 0.42262 \times 0.91744 \times 0.36742 = 0.99720
+ 0.14246 = 1.13966$. A la distancia media $\bar Q = (1360/\pi) \times 1.13966 = 432.90 \times 1.13966
= 493.4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; con el factor de distancia del [Ejercicio 25.5](#exo-b2-orbital-forcing-5), $493.4 \times
0.9671 = 477.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Como comprobación, los mismos pasos a $60{}^{\circ}$ N dan $475.96\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, donde las tablas dan $475.95$.

**Ejercicio 25.7 ★★.**

(a) Usando $\mathrm dt = T(r/a)^2\,\mathrm d\lambda/(2\pi\sqrt{1 - e^2})$ y $(r/a)^2 \approx 1 +
2e\cos(\lambda - \varpi)$, demuéstrese que el semestre que va del equinoccio de marzo al de septiembre dura aproximadamente $T/2 + (2T/\pi)\,e\sin\varpi$. (b) Calcúlese en cuántos días supera hoy al otro semestre. (c) Compárese con los 4.5 días en que los veranos boreales superan a los inviernos y los tres días en que las primaveras superan a los otoños.

**Solución de Ejercicio 25.7.**

(a) El equinoccio de marzo es $\lambda = 0$, el de septiembre $\lambda = \pi$. Con $\sqrt{1 - e^2}
\approx 1$, la duración es $\frac{T}{2\pi}\int_0^{\pi}\bigl(1 + 2e\cos(\lambda -
\varpi)\bigr)\,\mathrm d\lambda = \frac{T}{2\pi}\bigl(\pi + 2e[\sin(\lambda - \varpi)]_0^{\pi}\bigr)
= \frac{T}{2\pi}(\pi + 4e\sin\varpi) = \frac T2 + \frac{2T}{\pi}e\sin\varpi$. (b) El otro semestre es más corto en la misma cantidad, así que la diferencia es $(4T/\pi)\,e\sin\varpi = (4 \times
365.2422/\pi) \times 0.016898 = 465.04 \times 0.016898 = 7.86$ días. (c) La primavera y el verano juntos superan al otoño y al invierno en $4.5 + 3 = 7.5$ días; las dos diferencias citadas están redondeadas, y la concordancia queda dentro de ese redondeo.

**Ejercicio 25.8 ★★.**

Durante el último millón de años, la excentricidad osciló entre $0.0046$ y $0.0565$. (a) Calcúlese la insolación media global y anual $S_0/(4\sqrt{1 - e^2})$ en ambos extremos. (b) ¿Cuánto la cambió la órbita, en $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ y en porcentaje? (c) Compárese con el intervalo de la insolación de mediados de julio a $65{}^{\circ}$ N, de 388 a $497\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

**Solución de Ejercicio 25.8.**

(a) Para $e = 0.0046$: $\sqrt{1 - e^2} = 0.999989$ y $340/0.999989 = 340.004\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Para $e = 0.0565$: $\sqrt{1 - 0.003192} = 0.998403$ y $340/0.998403 = 340.544\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) La diferencia es de $0.54\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, un $0.16\,\%$. (c) La insolación de mediados de julio a $65{}^{\circ}$ N osciló en $497 - 388 = 109\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, alrededor del $25\,\%$ de su media y doscientas veces el cambio de la media global anual: la órbita actúa sobre el clima trasladando luz solar entre estaciones y latitudes, no cambiando el total.

**Ejercicio 25.9 ★★.**

Con el modelo con retraso y $\tau = 10\,\mathrm{kyr}$, calcúlense la amplitud relativa y el retraso del volumen de hielo para un forzamiento sinusoidal de periodos 23, 41 y $100$ mil años. ¿Qué banda favorece el casquete de hielo, y por qué?

**Solución de Ejercicio 25.9.**

Con $\omega = 2\pi/P$ y $\tau = 10\,\mathrm{kyr}$: para $P = 23$, $\omega\tau = 2.732$, una amplitud relativa $1/\sqrt{1 + 7.464} = 0.344$ y un retraso $\arctan(2.732)/\omega = 1.2199/0.2732 = 4.47$ kyr; para $P = 41$, $\omega\tau = 1.532$, amplitud $0.546$, retraso $0.9926/0.1532 = 6.48$ kyr; para $P =
100$, $\omega\tau = 0.628$, amplitud $0.847$, retraso $0.5610/0.0628 = 8.93$ kyr. El casquete de hielo favorece el forzamiento lento: sigue el $85\,\%$ de un ciclo de $100\,000$ años, pero solo un tercio de un ciclo de precesión, porque no tiene tiempo de crecer o de menguar antes de que un forzamiento rápido se invierta. Actúa como un filtro de paso bajo.

**Ejercicio 25.10 ★★★.**

La insolación de mediados de julio a $65{}^{\circ}$ N casi no tiene potencia en $100\,000$ años, y sin embargo el volumen de hielo de los últimos $700\,000$ años tiene allí la mayor parte de la suya. (a) Demuéstrese que si el forzamiento es $A_1\sin
\omega_1 t + A_2\sin\omega_2 t$, el modelo con retraso responde solo en $\omega_1$ y $\omega_2$. (b) Demuéstrese que una respuesta que contiene el término $V^2$, por ejemplo $\mathrm dV/\mathrm dt = (V_{\mathrm{eq}} -
V)/\tau + kV^2$, puede crear las frecuencias $\omega_1 - \omega_2$ y $\omega_1 + \omega_2$, sustituyendo la solución lineal en $V^2$. (c) ¿Con qué periodo baten dos términos de precesión de periodos $23.7$ y $19.0$ mil años? ¿Qué se concluye sobre los ciclos de $100\,000$ años?

**Solución de Ejercicio 25.10.**

(a) La ecuación es lineal: si $V_1$ responde a $A_1\sin\omega_1t$ y $V_2$ responde a $A_2\sin\omega_2t$, $V_1 + V_2$ responde a su suma. Por la [Proposición 25.8](#prop-b2-orbital-forcing-lag), $V_1$ y $V_2$ son sinusoides de frecuencias $\omega_1$ y $\omega_2$ (una vez extinguido el transitorio), así que la respuesta no contiene ninguna otra frecuencia. (b) Con $V \approx B_1\sin(\omega_1t - \phi_1) +
B_2\sin(\omega_2t - \phi_2)$,

$$
\begin{aligned}
  V^2 &= \tfrac12(B_1^2 + B_2^2) - \tfrac12B_1^2\cos(2\omega_1t - 2\phi_1) -
  \tfrac12B_2^2\cos(2\omega_2t - 2\phi_2)\\
  &\quad + B_1B_2\bigl[\cos\bigl((\omega_1 - \omega_2)t - \phi_1 + \phi_2\bigr) -
  \cos\bigl((\omega_1 + \omega_2)t - \phi_1 - \phi_2\bigr)\bigr],
\end{aligned}
$$

de modo que el término $kV^2$ fuerza la ecuación en las frecuencias diferencia y suma, y en las frecuencias dobles. (c) $1/(1/19.0 - 1/23.7) = 1/(0.05263 - 0.04219) = 95.8$ mil años; el par 19.0 y 22.4 da 125 mil años. Las frecuencias diferencia de los términos de precesión caen en la banda de la excentricidad, como debe ser, ya que la [precesión climática](#def-b2-orbital-forcing-elements) es $e\sin\varpi$. Un casquete de hielo no lineal podría, por tanto, extraer un ritmo de $100\,000$ años de la precesión; uno lineal no puede. Los ciclos de $100\,000$ años son una prueba de comportamiento no lineal, aunque este cálculo por sí solo no muestra de cuál.

**Ejercicio 25.11 ★★★.**

En el Polo Norte, la energía recibida por metro cuadrado durante el día polar es $E = \int S_0(a/r)^2
\sin\delta\,\mathrm dt$ a lo largo del semestre en que $\delta > 0$. (a) Demuéstrese, con la demostración de la [Proposición 25.5](#prop-b2-orbital-forcing-annual), que $E = S_0T\sin\varepsilon/(\pi\sqrt{1 - e^2})$. (b) Calcúlese $E$ en $\mathrm{GJ}\,\mathrm{m}^{-2}$ para $\varepsilon = 22.1{}^{\circ}$ y $24.5{}^{\circ}$, con $e = 0.0167$ y $T$ = 365.25 días. (c) La precesión no aparece en $E$. ¿Por qué puede, aun así, cambiar la fusión de un casquete de hielo?

**Solución de Ejercicio 25.11.**

(a) Como en la demostración de la [Proposición 25.5](#prop-b2-orbital-forcing-annual), $(a/r)^2\,\mathrm dt =
T\,\mathrm d\lambda/(2\pi\sqrt{1 - e^2})$, y $\sin\delta = \sin\varepsilon\sin\lambda$ es positivo para $0 < \lambda < \pi$. Así, $E = \frac{S_0T\sin\varepsilon}{2\pi\sqrt{1 - e^2}}\int_0^{\pi}\sin\lambda
\,\mathrm d\lambda = S_0T\sin\varepsilon/(\pi\sqrt{1 - e^2})$. (b) $T = 365.25 \times 86400 =
3.1558 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, $S_0T/\pi = 1.3661 \times 10^{10}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-2}$; para $22.1{}^{\circ}$, $E = 1.3661 \times 10^{10}
\times 0.37622/0.99986 = 5.14\,\mathrm{GJ}\,\mathrm{m}^{-2}$; para $24.5{}^{\circ}$, $5.67\,\mathrm{GJ}\,\mathrm{m}^{-2}$, un $10\,\%$ más. (c) La precesión fija cómo se reparte en el tiempo la misma energía: un verano en el perihelio es más corto e intenso, un verano en el afelio más largo y débil. La fusión solo empieza por encima de $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, así que un verano corto e intenso puede fundir más que uno largo y fresco que reciba el mismo total.

**Ejercicio 25.12 ★★★.**

(a) Calcúlese el forzamiento radiativo de la subida del dióxido de carbono de $189.7\,\mathrm{ppm}$ a $279.4\,\mathrm{ppm}$, con $3.93\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ por duplicación y una ley logarítmica. (b) Los intervalos dados para el Último Máximo Glacial y el último [interglaciar](#def-b2-orbital-forcing-glacials) son de 188 a $194\,\mathrm{ppm}$ y de 266 a $282\,\mathrm{ppm}$: calcúlense el forzamiento más pequeño y el más grande que permiten. (c) Compárese con el cambio de la insolación global anual del [Ejercicio 25.8](#exo-b2-orbital-forcing-8) y con la oscilación de la insolación estival a $65{}^{\circ}$ N. ¿Cuál es el desencadenante y cuál el amplificador?

**Solución de Ejercicio 25.12.**

(a) $3.93\log_2(279.4/189.7) = 3.93\log_2 1.4729 = 3.93 \times 0.5586 = 2.20\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) La subida más pequeña es de 194 a $266\,\mathrm{ppm}$: $3.93\log_2 1.3711 = 3.93 \times 0.4554 =
1.79\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; la más grande, de 188 a $282\,\mathrm{ppm}$: $3.93\log_2 1.5 = 3.93 \times 0.5850 =
2.30\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (c) El forzamiento del dióxido de carbono es cuatro veces el mayor cambio de la insolación global anual, $0.54\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, y actúa en todas partes y todo el año; la insolación estival a $65{}^{\circ}$ N oscila unos $109\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, pero en una latitud y una estación. La órbita es el desencadenante, a través de los veranos de los casquetes de hielo del norte; el dióxido de carbono, con la [retroalimentación hielo–albedo](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/18-la-tierra-precambrica#def-b2-precambrian-earth-ice-albedo), es un amplificador que extiende el cambio a todo el globo.

**Problema 25.1.**

Problema de fin de semana — La insolación a $65{}^{\circ}$ N

El último [interglaciar](#def-b2-orbital-forcing-glacials) terminó hace unos $116\,000$ años. ¿Cuánta insolación recibía entonces el verano de la latitud de los grandes casquetes de hielo del norte, comparado con hoy? Úsense los datos de los ejercicios. Las tablas dan, hace $116\,000$ años, $e = 0.0440$, $\varpi = 92.7{}^{\circ}$, $\varepsilon = 22.52{}^{\circ}$; hoy, redondeados del mismo modo, $e = 0.0172$, $\varpi = 101.4{}^{\circ}$, $\varepsilon = 23.45{}^{\circ}$.

**Parte I — La órbita entonces y ahora.**

1. Calcúlese la [precesión climática](#def-b2-orbital-forcing-elements) entonces y ahora.
2. Calcúlense las distancias del perihelio y del afelio, en unidades de $a$ , entonces y ahora.
3. ¿En qué longitud del Sol estaba la Tierra en el perihelio entonces, y ahora? ¿Cerca de qué solsticio?
4. ¿En qué factor era la luz solar en el perihelio más intensa que en el afelio, entonces y ahora?
5. ¿Era la oblicuidad mayor o menor que hoy? ¿Qué significa eso para los veranos de las latitudes altas?
6. Calcúlese la insolación media global y anual entonces y ahora. ¿Es significativa la diferencia?

**Parte II — La distancia en el solsticio de junio.**

7. Demuéstrese a partir de la [Proposición 25.3](#prop-b2-orbital-forcing-distance) que en el solsticio de junio $r/a = (1 -  e^2)/(1 - e\sin\varpi)$ .
8. Calcúlese $r/a$ en el solsticio de junio entonces y ahora.
9. Calcúlese $(a/r)^2$ entonces y ahora.
10. Compárese con la aproximación $1 - 2e\sin\varpi$ .
11. ¿En qué porcentaje era la luz solar del solsticio más débil que a la distancia media, entonces y ahora?

**Parte III — La insolación a $65{}^{\circ}$ N.**

12. Dese la declinación del Sol en el solsticio de junio entonces y ahora.
13. Calcúlese el ángulo horario de la puesta de sol a $65{}^{\circ}$ N ese día, entonces y ahora.
14. Dedúzcase la duración del día.
15. Calcúlese la insolación media diaria a la distancia media.
16. Calcúlese la insolación media diaria, entonces y ahora.
17. Las tablas dan, para mediados de julio, 397.60 y $426.76\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ . ¿Por qué son más altos los valores del solsticio?
18. ¿Qué pesó más en la diferencia entre entonces y ahora, la oblicuidad o la distancia?

**Parte IV — La respuesta del casquete de hielo.**

19. En el modelo con retraso con $\tau = 10\,\mathrm{kyr}$ , ¿qué fracción de un cambio brusco de $V_{\mathrm{eq}}$ ha alcanzado el casquete de hielo al cabo de 5, 10 y $20\,\mathrm{kyr}$ ?
20. La insolación de junio a $65{}^{\circ}$ N cayó desde un máximo hace unos $128\,000$ años hasta el mínimo de hace $116\,000$ años, medio ciclo de precesión. Para una sinusoide de periodo $23\,\mathrm{kyr}$ , ¿qué fracción del forzamiento sigue el casquete de hielo, y con cuánto retraso?
21. ¿Por qué no puede un casquete de hielo alcanzar, en un solo ciclo de precesión, el tamaño que una insolación estival baja sostendría?
22. El hielo tardó unos $90\,000$ años en acumularse hasta el Último Máximo Glacial y unos $10\,000$ años en fundirse. ¿Por qué no puede el modelo con retraso producir esa asimetría?
23. El dióxido de carbono estaba entre 266 y $282\,\mathrm{ppm}$ en el último [interglaciar](#def-b2-orbital-forcing-glacials) y entre 188 y $194\,\mathrm{ppm}$ en el Último Máximo Glacial. ¿Cómo ayuda a que un cambio regional de la insolación se convierta en un cambio global del clima?
24. En resumen: ¿cuál era la insolación media diaria a $65{}^{\circ}$ N en el solsticio de junio cuando terminó el último [interglaciar](#def-b2-orbital-forcing-glacials) , hace $116\,000$ años?

**Solución de Problema 25.1.**

**1.** Entonces $0.0440 \times \sin92.7{}^{\circ} = 0.0440 \times 0.99889 = 0.04395$; ahora $0.0172 \times
\sin101.4{}^{\circ} = 0.0172 \times 0.98027 = 0.01686$, unas 2.6 veces menos. **2.** Entonces $1 - 0.0440 = 0.956$ y $1 + 0.0440 = 1.044$; ahora $0.9828$ y $1.0172$. **3.** En $\lambda = \varpi + 180{}^{\circ}$: entonces $272.7{}^{\circ}$, ahora $281.4{}^{\circ}$, ambas cerca del solsticio de diciembre ($\lambda = 270{}^{\circ}$); entonces la Tierra pasaba por el perihelio menos de tres días después de él, y por el afelio en el solsticio de junio. **4.** Entonces $(1.044/0.956)^2 = 1.0921^2 = 1.193$, ahora $(1.0172/0.9828)^2 = 1.0350^2 = 1.071$: un $19\,\%$ más de luz solar en el perihelio entonces, un $7\,\%$ ahora. **5.** Menor, $22.52{}^{\circ}$ frente a $23.45{}^{\circ}$: el Sol de verano estaba más bajo en las latitudes altas, y las latitudes altas recibían menos luz solar en verano y a lo largo del año. **6.** Entonces $340/\sqrt{1 - 0.001936} = 340/0.999032 = 340.33\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; ahora $340/0.999852
= 340.05\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. La diferencia, $0.28\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, menos de una parte por mil, es insignificante. **7.** En $\lambda = 90{}^{\circ}$, $\cos(90{}^{\circ} - \varpi) = \sin\varpi$ en la [Proposición 25.3](#prop-b2-orbital-forcing-distance). **8.** Entonces $(1 - 0.001936)/(1 - 0.04395) = 0.998064/0.956049 = 1.04395$; ahora $(1 -
0.000296)/(1 - 0.01686) = 0.999704/0.983139 = 1.01685$. **9.** Entonces $1/1.04395^2 = 0.91758$; ahora $1/1.01685^2 = 0.96714$. **10.** Entonces $1 - 2 \times 0.04395 = 0.91210$; ahora $1 - 2 \times 0.01686 = 0.96628$: la aproximación yerra en $0.0055$ entonces y en $0.0009$ ahora. **11.** Entonces $1 - 0.91758 = 8.2\,\%$ más débil, ahora un $3.3\,\%$. **12.** En el solsticio $\delta = \varepsilon$: $22.52{}^{\circ}$ entonces, $23.45{}^{\circ}$ ahora. **13.** Entonces $\cos h_0 = -2.14451 \times 0.41462 = -0.88916$, $h_0 = 152.77{}^{\circ} =
2.6663\,\mathrm{rad}$; ahora $\cos h_0 = -2.14451 \times 0.43378 = -0.93023$, $h_0 = 158.47{}^{\circ} =
2.7659\,\mathrm{rad}$. **14.** $2h_0/15{}^{\circ}$ por hora: entonces $20.37$ horas, ahora $21.13$ horas. **15.** Entonces $2.6663 \times 0.90631 \times 0.38301 + 0.42262 \times 0.92375 \times 0.45759 =
0.92554 + 0.17864 = 1.10418$ ($1.104\,17$ sin redondear), y $432.90 \times 1.10417 =
478.0\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; ahora $2.7659 \times 0.90631 \times 0.39795 + 0.42262 \times 0.91741 \times
0.36697 = 0.99757 + 0.14228 = 1.13985$ ($1.139\,82$ sin redondear), y $432.90 \times 1.13982 = 493.4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. **16.** Entonces $478.0 \times 0.91758 = 438.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; ahora $493.4 \times 0.96714 =
477.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $38.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ más que entonces. **17.** A mediados de julio la longitud del Sol es $120{}^{\circ}$: $\sin\delta = \sin\varepsilon\sin120{}^{\circ}$, una declinación de unos $20{}^{\circ}$ en lugar de $23{}^{\circ}$, de modo que el día es más corto y el Sol está más bajo: a $65{}^{\circ}$ N la insolación media diaria es máxima cerca del solsticio, cuando la declinación es mayor. **18.** Con la distancia actual, el cambio de oblicuidad por sí solo cuesta $(493.4 - 478.0) \times
0.96714 = 14.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; con la oblicuidad antigua, la distancia por sí sola cuesta $478.0 \times
(0.96714 - 0.91758) = 23.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Ambos suman $38.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; la distancia pesó unas tres quintas partes. **19.** Tras un cambio brusco, el casquete de hielo ha alcanzado una fracción $1 - \mathrm e^{-t/\tau}$ de él: $1 - \mathrm e^{-0.5} = 0.39$ al cabo de $5\,\mathrm{kyr}$, $1 - \mathrm e^{-1} = 0.63$ al cabo de $10\,\mathrm{kyr}$, $1 - \mathrm e^{-2} = 0.86$ al cabo de $20\,\mathrm{kyr}$. **20.** $\omega\tau = 2\pi \times 10/23 = 2.732$: el casquete de hielo sigue una fracción $1/\sqrt{1 + 2.732^2} =
0.34$ del forzamiento, con $\arctan(2.732)/\omega = 4.5$ kyr de retraso. **21.** Medio ciclo de precesión, unos 11 a $12\,\mathrm{kyr}$, es aproximadamente un tiempo de respuesta: antes de que el casquete de hielo haya recorrido dos tercios del camino, la insolación se invierte y lo hace retroceder. **22.** En el modelo lineal, el hielo crece y mengua al mismo ritmo para forzamientos del mismo tamaño: un forzamiento creciente y uno decreciente dan respuestas simétricas. Una acumulación lenta seguida de un colapso rápido requiere una respuesta que dependa del estado o del sentido del cambio, es decir, una respuesta no lineal. **23.** El dióxido de carbono subió entre $3.93\log_2(266/194) = 1.8$ y $3.93\log_2(282/188) =
2.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ del [periodo glaciar](#def-b2-orbital-forcing-glacials) al [interglaciar](#def-b2-orbital-forcing-glacials): un forzamiento sobre todo el globo y todo el año. Liberado cuando se debilita la circulación atlántica, transmite el cambio de los veranos del norte a todo el planeta y, con el albedo del hielo que retrocede, lo amplifica. **24.** Cuando terminó el último [interglaciar](#def-b2-orbital-forcing-glacials), la insolación media diaria del solsticio de junio a $65{}^{\circ}$ N era de unos **$439\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$**, $39\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ menos que hoy y su valor más bajo del ciclo.