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title: "Geoquímica isotópica"
book: "Ciencias de la Tierra y del espacio universitarias — segundo año"
subject: earth
language: es
chapter: 4
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/4-geoquimica-isotopica
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 4 — Geoquímica isotópica

Mangaia, en el Pacífico sur, y Tristán de Acuña, en el Atlántico sur, son dos islas volcánicas de basalto, y una muestra de mano de una se parece mucho a una muestra de mano de la otra, o de una dorsal oceánica. Sus isótopos las distinguen. El estroncio de los basaltos de Mangaia lleva la misma proporción de estroncio-87 que el de las dorsales, cerca de $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.7028$, mientras que su plomo está entre los más radiogénicos de la Tierra, con $^{206}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ cerca de 21.6 frente a 18.4 en las dorsales. Los basaltos de Tristán contienen más estroncio-87, de 0.7050 a 0.7054, y menos neodimio-143 que ambos. La fusión no separa los isótopos de estos elementos pesados, de modo que cada lava lleva la firma isotópica del manto que se fundió para formarla: el manto terrestre no es un reservorio sino varios, que han conservado razones padre–hijo distintas durante miles de millones de años. Este capítulo usa la desintegración radiactiva del rubidio, el samario, el uranio y el torio como un conjunto de trazadores, sigue la evolución del manto y de la corteza continental a través de los isótopos del neodimio, separa el manto en reservorios y mezclas de reservorios, discute con qué rapidez crecieron los continentes, y termina con los isótopos estables ligeros del oxígeno, el hidrógeno y el carbono, que trazan el agua y el carbono a través de la Tierra.

**Lo que ya sabes.**

Un padre radiactivo se desintegra al ritmo $\lambda P$, y en un sistema cerrado la razón del hijo crece como $(D/D_s)_{\text{actual}} = (D/D_s)_0 + (P/D_s)_{\text{actual}}
(e^{\lambda t}-1)$, siendo $D_s$ un isótopo estable del hijo; los minerales o rocas formados a la vez se sitúan sobre una isócrona, cuya pendiente da la edad y cuya ordenada en el origen da la razón inicial (volumen de bachillerato, último año; volumen de primer año, capítulo sobre la datación radiométrica). Un espectrómetro de masas separa los iones por su relación masa/carga (volumen de segundo año de los libros de química). El valor $\delta$ de una muestra es $\delta = (R_{\text{muestra}}/R_{\text{patrón}} - 1)\times 1000$, en tanto por mil, y el factor de fraccionamiento entre dos fases A y B es $\alpha_{\mathrm{A/B}} = R_{\mathrm A}/R_{\mathrm B}$, siendo $R$ la razón del isótopo pesado al ligero; ambos se presentan, con las energías de punto cero que causan el fraccionamiento isotópico, en el volumen de tercer año de los libros de química. Los [elementos incompatibles](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/3-los-elementos-en-la-tierra#def-b2-elements-in-the-earth-partition), el MORB y el OIB se definieron en el [Capítulo 3](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/3-los-elementos-en-la-tierra#ch-b2-elements-in-the-earth).

## 4.1 Los isótopos radiogénicos como trazadores

Tres sistemas de desintegración llevan la mayor parte de la información sobre el manto y la corteza. El rubidio-87 se desintegra en estroncio-87, el samario-147 en neodimio-143, y el uranio y el torio, a través de sus cadenas de desintegración, en tres isótopos del plomo. Cada padre y su hijo difieren en su comportamiento durante la fusión, y cada hijo tiene un isótopo estable, no radiogénico, frente al que se mide.

| padre | hijo | razón medida | constante de desintegración (por año) | semivida (Ga) |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $^{87}$Rb | $^{87}$Sr | $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ | $1.3972 \times 10^{-11}$ | 49.6 |
| $^{147}$Sm | $^{143}$Nd | $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ | $6.524 \times 10^{-12}$ | 106.25 |
| $^{238}$U | $^{206}$Pb | $^{206}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ | $1.551\,25 \times 10^{-10}$ | 4.47 |

***Table 4.1.** Tres sistemas de desintegración de vida larga usados como trazadores. Datos: recomendaciones IUPAC–IUGS (Villa y colaboradores, 2020 y 2022).*

**Definición 4.1 (Trazador isotópico radiogénico).**

Un *trazador isotópico radiogénico* es la razón entre un isótopo hijo producido por un padre radiactivo de vida larga y un isótopo estable del mismo elemento, como $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ o $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$, que se usa para identificar la fuente de una roca más que para datarla. La razón de un reservorio crece a un ritmo fijado por su razón padre–hijo, y registra así la historia de esa razón.

Los dos elementos de un par de desintegración se separan siempre que el manto se funde. En el [Capítulo 3](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/3-los-elementos-en-la-tierra#ch-b2-elements-in-the-earth), el rubidio resultó más incompatible que el estroncio y el neodimio más incompatible que el samario. Un fundido, y la corteza que construye, abandonan por tanto el manto con una Rb/Sr alta y una Sm/Nd baja; el residuo conserva una Rb/Sr baja y una Sm/Nd alta. Con el tiempo la corteza gana estroncio-87 más deprisa que su fuente y neodimio-143 más despacio; el [manto empobrecido](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) hace lo contrario. Las razones de los dos pares se mueven en sentidos opuestos, algo que el diagrama Sr–Nd siguiente pone de manifiesto.

**Proposición 4.2 (Las razones isotópicas sobreviven a la fusión).**

Cuando una roca se funde y el fundido se separa del residuo, las razones $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ y $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ del fundido son iguales a las de la fuente dentro de la precisión de las medidas; solo cambian las razones padre–hijo, Rb/Sr y Sm/Nd.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

El enunciado descansa en dos hechos. Los isótopos de un elemento tienen la misma estructura electrónica, de modo que entran en un cristal o en un fundido casi por igual; la diferencia relativa de masa entre el estroncio-87 y el estroncio-86, cerca de un uno por ciento, es mucho menor que en el oxígeno o el hidrógeno, y a alta temperatura el logaritmo de un factor de fraccionamiento de equilibrio decrece como el inverso del cuadrado de la temperatura, hacia 1. Y la propia medida corrige el fraccionamiento que se produce en el espectrómetro de masas fijando una razón de dos isótopos no radiogénicos (para el neodimio, $^{146}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} =
0.7219$), lo que borraría también cualquier pequeño fraccionamiento natural. Una lava, por tanto, muestrea las razones isotópicas de su fuente, mientras que sus razones de [elementos en trazas](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/3-los-elementos-en-la-tierra#def-b2-elements-in-the-earth-trace) reflejan también la fusión.

## 4.2 La evolución del manto y de la corteza

### 4.2.1 El reservorio condrítico

El samario y el neodimio son ambos [tierras raras](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/3-los-elementos-en-la-tierra#def-b2-elements-in-the-earth-ree) litófilas refractarias ([Capítulo 3](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/3-los-elementos-en-la-tierra#ch-b2-elements-in-the-earth)): la [Tierra silicatada global](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/3-los-elementos-en-la-tierra#def-b2-elements-in-the-earth-bse) debería haber conservado su razón condrítica. Las [condritas](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/2-la-formacion-de-los-planetas-y-los-meteoritos#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) dan entonces la historia Sm–Nd de la Tierra no diferenciada.

**Definición 4.3 (Reservorio condrítico uniforme).**

El *reservorio condrítico uniforme* (CHUR) es un reservorio modelo con la composición en samario–neodimio de las [condritas](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/2-la-formacion-de-los-planetas-y-los-meteoritos#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule), cerrado desde la formación del sistema solar. Sus razones actuales son $(^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd})_{\mathrm{CHUR}} = 0.512638$ y $(^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd})_{\mathrm{CHUR}} = 0.1966$.

Remontando el tiempo con la ecuación de la isócrona, el CHUR tenía, cuando condensaron los primeros sólidos hace $4567\,\mathrm{Myr}$ ([Capítulo 2](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/2-la-formacion-de-los-planetas-y-los-meteoritos#ch-b2-planet-formation-meteorites)),

$$
^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.512638 - 0.1966\,\bigl(e^{\lambda\cdot
  4.567 \times 10^{9}\,\mathrm{yr}}-1\bigr) = 0.506692 .
$$

Desde entonces su razón ha crecido un 1.2 por ciento. Las diferencias entre las rocas terrestres son mil veces menores, y se expresan en una unidad más cómoda.

**Definición 4.4 (Notación épsilon).**

La *notación épsilon* expresa la razón $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ de una muestra, en un tiempo $t$ antes del presente, como su desviación relativa respecto al CHUR en el mismo tiempo, en partes por diez mil:

$$
\varepsilon_{\mathrm{Nd}}(t) = \left(
  \frac{(^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd})_{\text{muestra}}(t)}
       {(^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd})_{\mathrm{CHUR}}(t)} - 1\right)\times 10^4 .
$$

Sin tiempo, $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ es el valor actual.

El MORB medio, con $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.513074$, tiene $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = (0.513074/0.512638 - 1)\times10^4 = +8.5$; la mayoría de las rocas están entre $-20$ y $+10$. Un valor positivo significa que la fuente de la roca ha tenido, en promedio a lo largo de la historia de la Tierra, una Sm/Nd más alta que las [condritas](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/2-la-formacion-de-los-planetas-y-los-meteoritos#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule): está empobrecida en el elemento más incompatible, el neodimio. Un valor negativo significa lo contrario. El alejamiento de la Sm/Nd condrítica se mide por la desviación fraccional

$$
f_{\mathrm{Sm/Nd}} = \frac{(\mathrm{Sm}/\mathrm{Nd})_{\text{muestra}}}
  {(\mathrm{Sm}/\mathrm{Nd})_{\mathrm{CHUR}}} - 1,
$$

que es la misma tanto si las razones son másicas como atómicas. Con los valores CI del [Capítulo 3](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/3-los-elementos-en-la-tierra#ch-b2-elements-in-the-earth) (Sm 0.145, Nd $0.457\,\mathrm{ppm}$, $\mathrm{Sm}/\mathrm{Nd} = 0.317$), la corteza continental superior (4.7 y $27\,\mathrm{ppm}$, 0.174) tiene $f_{\mathrm{Sm/Nd}} = -0.45$.

**Proposición 4.5 (Crecimiento lineal de εNd\varepsilon_{\mathrm{Nd}}εNd​).**

Un reservorio que se separó del CHUR y ha conservado desde entonces la desviación fraccional $f_{\mathrm{Sm/Nd}}$ cambia su $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$, hacia adelante en el tiempo, al ritmo

$$
\frac{\mathrm{d}\varepsilon_{\mathrm{Nd}}}{\mathrm{d}\tau} \approx Q\,f_{\mathrm{Sm/Nd}},
  \qquad
  Q = 10^4\,\lambda_{147}\,
  \frac{(^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd})_{\mathrm{CHUR}}}
       {(^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd})_{\mathrm{CHUR}}}
  = 25.0\,/\mathrm{G}\mathrm{yr},
$$

donde $\tau$ es el tiempo contado hacia adelante. Un reservorio con $\varepsilon_0$ en su separación, hace un tiempo $T$, tiene hoy $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} \approx \varepsilon_0
+ Q f_{\mathrm{Sm/Nd}} T$.

**Demostración.** Escríbase $R$ por $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ y $p$ por $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd}$. En un reservorio cerrado $\mathrm{d}R/\mathrm{d}\tau = \lambda p\,e^{\lambda t}$, con $t$ el tiempo antes del presente; como $\lambda t \le 0.03$, el factor $e^{\lambda t}$ difiere de 1 como mucho en un 3 por ciento, y $\mathrm{d}R/\mathrm{d}\tau \approx \lambda p$. Entonces $\mathrm{d}(R_s - R_c)/\mathrm{d}\tau \approx \lambda (p_s - p_c) = \lambda p_c
f_{\mathrm{Sm/Nd}}$, ya que $p_s/p_c - 1 = f_{\mathrm{Sm/Nd}}$. Dividiendo por $R_c$, que solo cambia un 1.2 por ciento a lo largo de la edad de la Tierra, se obtiene $\mathrm{d}\varepsilon/\mathrm{d}\tau \approx 10^4\lambda p_c f/R_c$. Con $\lambda = 6.524 \times 10^{-12}\,/\mathrm{yr}$, $p_c = 0.1966$ y $R_c = 0.512638$, $Q =
2.502 \times 10^{-8}$ por año, $25.0\,/\mathrm{G}\mathrm{yr}$. ∎

Una corteza con la Sm/Nd de la corteza superior ($f = -0.45$) pierde por tanto unas 11 unidades épsilon por cada mil millones de años respecto al CHUR, mientras que a un reservorio del manto le basta $f = +0.07$ para subir de 0 al valor del MORB, $+8.5$, en $4.567\,\mathrm{Ga}$. La figura siguiente sigue las ecuaciones exactas de tres reservorios: el CHUR, un [manto empobrecido](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) cerrado desde la formación de la Tierra con la Sm/Nd que lo lleva hoy al valor del MORB ($^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} =
0.211$), y una corteza extraída de ese manto hace 2700 millones de años con la Sm/Nd de la corteza superior ($0.108$). La corteza partió de $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} =
+3.5$, el valor de su fuente en ese momento, y hoy está en $-27$.

**Definición 4.6 (Manto empobrecido, manto enriquecido).**

Un *manto empobrecido* es una parte del manto que ha perdido [elementos incompatibles](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/3-los-elementos-en-la-tierra#def-b2-elements-in-the-earth-partition) en favor de fundidos, de modo que su Sm/Nd es más alta y su Rb/Sr más baja que las condríticas; con el tiempo su $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ se vuelve positiva y su $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ baja. Un *manto enriquecido* es una parte del manto que ha ganado [elementos incompatibles](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/3-los-elementos-en-la-tierra#def-b2-elements-in-the-earth-partition), por ejemplo de corteza reciclada o de fundidos pequeños, con una $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ negativa o una $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ alta.

![Evolución isotópica del neodimio, como _ Nd, del reservorio condrítico (cero por definición), de un manto empobrecido cerrado desde 4.567\, Ga cuya Sm/Nd lo lleva hoy al MORB medio, y de una corteza extraída de él hace 2.7\, Ga con la Sm/Nd de la corteza continental superior. Cada línea es casi recta, como dice la proposición del crecimiento lineal. Datos: CHUR, el manual de White; MORB medio, Gale y colaboradores (2013); Sm/Nd de la corteza, Rudnick y Gao.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-isotope-geochemistry/fig-2718f82ebd85.svg)

*Evolución isotópica del neodimio, como $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$, del reservorio condrítico (cero por definición), de un [manto empobrecido](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) cerrado desde $4.567\,\mathrm{Ga}$ cuya Sm/Nd lo lleva hoy al MORB medio, y de una corteza extraída de él hace $2.7\,\mathrm{Ga}$ con la Sm/Nd de la corteza continental superior. Cada línea es casi recta, como dice la proposición del crecimiento lineal. Datos: CHUR, el manual de White; MORB medio, Gale y colaboradores (2013); Sm/Nd de la corteza, Rudnick y Gao.*

### 4.2.2 Dos reservorios complementarios

Si la corteza continental y el [manto empobrecido](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) se formaron a partir de un solo reservorio condrítico, su neodimio debe sumar de nuevo el valor condrítico. El neodimio es el portador: cada reservorio cuenta en proporción al neodimio que contiene.

**Proposición 4.7 (Balance de masas isotópico).**

Sean reservorios $i$ de masas $M_i$ y concentraciones de neodimio $C_i$ procedentes de la división de un reservorio padre. Entonces, con muy buena aproximación,

$$
\sum_i M_i C_i\, \varepsilon_i = \Bigl(\sum_i M_i C_i\Bigr) \varepsilon_{\text{padre}},
$$

evaluándose ambos miembros en el mismo tiempo, y siguiéndose al padre como si hubiera permanecido entero.

**Demostración.** El número de átomos de $^{143}\mathrm{Nd}$ y el número de átomos de $^{144}\mathrm{Nd}$ se conservan cada uno en la división, y después cada uno crece (en el caso del $^{143}\mathrm{Nd}$) o permanece (en el del $^{144}\mathrm{Nd}$) en cada reservorio exactamente como en el conjunto. Por tanto la media ponderada por el $^{144}\mathrm{Nd}$ de las razones $R_i$ es igual a la razón del padre, $R_p$. La proporción de $^{144}\mathrm{Nd}$ en el neodimio varía entre reservorios mucho menos de una parte por mil, de modo que ponderar por $M_iC_i$ equivale a ponderar por el $^{144}\mathrm{Nd}$. Por último, $\varepsilon$ es una función lineal de $R$ en un tiempo dado, $\varepsilon = 10^4(R/R_c - 1)$, y una media ponderada de funciones lineales es la función lineal de la media ponderada. ∎

Si se toma el valor de la corteza superior, $27\,\mathrm{ppm}$ de neodimio, para toda la corteza, una corteza continental de $7.2 \times 10^{9}\,\mathrm{km}^{3}$ a $2830\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, es decir $2.0 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$ o el 0.51 por ciento de la masa de la Tierra silicatada, contiene $0.0051\times27/1.25 = 11$ por ciento del neodimio de la Tierra silicatada ([manto primitivo](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/3-los-elementos-en-la-tierra#def-b2-elements-in-the-earth-bse), $1.25\,\mathrm{ppm}$). Si la corteza tiene una $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ media de $-15$, el manto debe compensar una contribución negativa de $0.11\times15 = 1.65$ unidades: un reservorio con el valor del MORB, $+8.5$, tendría que contener cerca de una quinta parte del neodimio de la Tierra silicatada ([Ejercicio 4.9](#exo-b2-isotope-geochemistry-9)). Es uno de los argumentos de que el [manto empobrecido](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) que muestrean las dorsales no es todo el manto.

## 4.3 Los reservorios del manto

Las razones isotópicas de los basaltos oceánicos muestrean el manto sin pasar por la corteza continental. Representadas unas frente a otras, muestran a la vez la complementariedad entre la corteza y el [manto empobrecido](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) y la existencia de otros reservorios.

Los isótopos del estroncio y del neodimio están anticorrelacionados en la mayoría de los basaltos oceánicos: una lava con una $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ alta tiene una $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ baja. Esta banda se llama la alineación del manto; se debe al comportamiento opuesto de los dos pares durante la fusión (el rubidio, menos compatible que el estroncio; el samario, más compatible que el neodimio). El MORB medio está en su extremo empobrecido, con $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.702819$ y $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = +8.5$. Los [basaltos de isla oceánica](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/3-los-elementos-en-la-tierra#def-b2-elements-in-the-earth-morb-oib) se extienden desde allí hacia $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ más bajas y $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ más altas, pero no a lo largo de una sola línea.

**Definición 4.8 (Miembro extremo del manto).**

Un *miembro extremo del manto* es una de las composiciones isotópicas extremas a partir de cuya mezcla pueden construirse las razones isotópicas de Sr, Nd y Pb de los basaltos oceánicos. Se nombran por lo común cuatro: DMM, el [manto empobrecido](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) de los MORB ($^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ baja, $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ alta); HIMU, por una $\mu = {}^{238}\mathrm{U}/^{204}\mathrm{Pb}$ alta en su fuente (plomo muy radiogénico, $^{206}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ por encima de 20, con $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ baja); EM1, el [manto enriquecido](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) 1 (con $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ moderadamente alta, $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ negativa y plomo poco radiogénico); y EM2, el [manto enriquecido](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) 2 ($^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ alta).

![Isótopos del estroncio y del neodimio de 89 basaltos de cinco islas oceánicas y del basalto medio de dorsal oceánica. Las islas de tipo HIMU se sitúan por debajo de la alineación principal, con la baja razón del estroncio del MORB pero con una _ Nd más baja; las islas de tipo EM1 están en el lado enriquecido del CHUR. Las lavas samoanas de tipo EM2 llegan a 87 Sr/86 Sr = 0.7205, muy fuera de esta escala, a la derecha. Datos: Stracke y colaboradores (2022), CC BY 4.0; Gale y colaboradores (2013); Edwards y colaboradores (2019).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-isotope-geochemistry/fig-048a5877f5db.svg)

*Isótopos del estroncio y del neodimio de 89 basaltos de cinco islas oceánicas y del basalto medio de dorsal oceánica. Las islas de tipo HIMU se sitúan por debajo de la alineación principal, con la baja razón del estroncio del MORB pero con una $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ más baja; las islas de tipo EM1 están en el lado enriquecido del CHUR. Las lavas samoanas de tipo EM2 llegan a $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.7205$, muy fuera de esta escala, a la derecha. Datos: Stracke y colaboradores (2022), CC BY 4.0; Gale y colaboradores (2013); Edwards y colaboradores (2019).*

Los grupos de islas de la figura anterior no son aleatorios. El grupo de Santa Elena, que incluye las islas Australes (entre ellas Mangaia y Tubuai) y Ascensión, se sitúa por debajo de la alineación principal y tiene el plomo más radiogénico ($^{206}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ por encima de 20; Mangaia llega a 21.5–22.0). El grupo de Kerguelen, con Tristán de Acuña, Gough y Kerguelen, está a una $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ moderadamente alta y una $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ negativa, siempre con plomo poco radiogénico. El grupo de la Sociedad, con Samoa y las Marquesas, define una tendencia Sr–Nd más tendida que llega a razones de estroncio muy altas: dos lavas samoanas tienen $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ de 0.7186 y 0.7205, más que el agua de mar actual (0.7092). Los grupos de Santa Elena, de Kerguelen y de la Sociedad son los tipos HIMU, EM1 y EM2.

Una razón que difiere entre dos partes del manto ha tenido que ser mantenida por una diferencia de razón padre–hijo durante mucho tiempo: una diferencia de 10 unidades de $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ requiere, según la proposición del crecimiento lineal, mil millones de años con $f = 0.4$ o cuatro mil millones de años con $f = 0.1$. Los reservorios del manto son por tanto antiguos. Lo que son se lee en las razones padre–hijo que exigen sus isótopos. HIMU necesita una U/Pb alta y una Rb/Sr baja durante mucho tiempo, lo que encaja con una corteza oceánica que perdió plomo y rubidio en los fluidos liberados sobre una zona de subducción y quedó luego almacenada en el manto durante uno o dos mil millones de años. EM1 y EM2 necesitan una Sm/Nd baja y, en el caso de EM2, una Rb/Sr alta: la firma de un material derivado de los continentes, como sedimento reciclado, o de un [manto enriquecido](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) por fundidos pequeños. Estas interpretaciones se debaten; las medidas no.

![Una interpretación muy extendida de los reservorios del manto, sin escala: las dorsales muestrean el manto superior empobrecido; la corteza oceánica y el sedimento vuelven al manto en las zonas de subducción; las plumas que suben del manto profundo llevan a la superficie material en el que se mezclan componentes reciclados antiguos, y dan a las islas su carácter HIMU, EM1 o EM2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-isotope-geochemistry/fig-19528a1ea228.svg)

*Una interpretación muy extendida de los reservorios del manto, sin escala: las dorsales muestrean el manto superior empobrecido; la corteza oceánica y el sedimento vuelven al manto en las zonas de subducción; las plumas que suben del manto profundo llevan a la superficie material en el que se mezclan componentes reciclados antiguos, y dan a las islas su carácter HIMU, EM1 o EM2.*

## 4.4 Mezcla

Muchas alineaciones isotópicas son mezclas. Una lava puede proceder de una fuente que es una mezcla de dos reservorios, o un magma puede incorporar parte de la corteza que atraviesa. Los dos casos obedecen a la misma álgebra.

**Proposición 4.9 (Hipérbola de mezcla).**

Contenga una mezcla una fracción másica $f$ del componente A y $1-f$ del componente B. Para un elemento de concentraciones $C_{\mathrm A}$, $C_{\mathrm B}$ y razones isotópicas $R_{\mathrm A}$, $R_{\mathrm B}$:

1. la concentración de la mezcla, $C = fC_{\mathrm A} + (1-f)C_{\mathrm B}$ , y su razón isotópica, $R = \bigl(fC_{\mathrm A}R_{\mathrm A} + (1-f)C_{\mathrm B}R_{\mathrm B}\bigr)/C$ , cumplen $R = a + b/C$ con constantes $a$ y $b$ : las mezclas están sobre una recta en un diagrama de $R$ frente a $1/C$ ;
2. dos razones de este tipo de dos elementos, $R$ y $R'$ , están sobre una hipérbola, llamada *hipérbola de mezcla* , que solo es una recta si la razón de los dos elementos es la misma en A y en B. Su curvatura la fija $K = (C'/C)_{\mathrm A}/(C'/C)_{\mathrm B}$ .

**Demostración.** (1) Elimínese $f$: $f = (C - C_{\mathrm B})/(C_{\mathrm A} - C_{\mathrm B})$. Entonces $RC = C_{\mathrm B}R_{\mathrm B} + f(C_{\mathrm A}R_{\mathrm A} - C_{\mathrm B}R_{\mathrm
B})$ es lineal en $C$, $RC = \alpha + \beta C$, y $R = \beta + \alpha/C$. (2) La proporción del elemento que procede de A es $s = fC_{\mathrm A}/C$, y $R =
R_{\mathrm B} + s(R_{\mathrm A} - R_{\mathrm B})$ es lineal en $s$; del mismo modo $R'$ es lineal en $s' = fC'_{\mathrm A}/C'$. Con $u = f/(1-f)$, $s = u C_{\mathrm
A}/(uC_{\mathrm A} + C_{\mathrm B})$ y $s' = uC'_{\mathrm A}/(uC'_{\mathrm A} +
C'_{\mathrm B})$. Eliminando $u$ se obtiene $s' = Ks/(1 + (K-1)s)$, una hipérbola en el plano $(s, s')$, y por tanto en el plano $(R, R')$; es la recta $s' = s$ cuando $K = 1$. ∎

![Curvas de mezcla entre dos componentes A y B para tres valores de K, la razón de los dos elementos en A dividida por la de B. Cada razón isotópica se reescala a 0 en B y a 1 en A; el segundo elemento es K veces más abundante en A, respecto al primero, que en B, de modo que la segunda razón se acerca a A más deprisa cuando K > 1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-isotope-geochemistry/fig-57f7127e70ac.svg)

*Curvas de mezcla entre dos componentes A y B para tres valores de $K$, la razón de los dos elementos en A dividida por la de B. Cada razón isotópica se reescala a 0 en B y a 1 en A; el segundo elemento es $K$ veces más abundante en A, respecto al primero, que en B, de modo que la segunda razón se acerca a A más deprisa cuando $K > 1$.*

Un componente rico en un elemento domina la razón isotópica de ese elemento en la mezcla. Un sedimento reciclado contiene decenas de veces más neodimio que el [manto empobrecido](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs), y unos pocos por ciento de él en una fuente del manto llevan la $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ de la mezcla la mayor parte del camino hacia la suya (problema). Las islas de tipo HIMU de la figura Sr–Nd quedan fuera de toda curva de mezcla entre el MORB y las islas EM1: ninguna mezcla de dos componentes explica todos los basaltos oceánicos, y los miembros extremos son al menos cuatro. Un magma que asimila corteza continental se desplaza a lo largo de una curva de mezcla hacia la corteza; su posición en la curva da la proporción de corteza incorporada, un cálculo que se retoma junto con la cristalización en el [Capítulo 8](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/8-la-diferenciacion-magmatica#ch-b2-magmatic-differentiation).

## 4.5 El crecimiento de la corteza continental

La corteza continental es el complemento del [manto empobrecido](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs); con qué rapidez se extrajo es una de las cuestiones más antiguas de la geoquímica isotópica, y sigue abierta. Varios registros aportan datos.

**Definición 4.10 (Curva de crecimiento cortical).**

Una *curva de crecimiento cortical* da el volumen, o la masa, de corteza continental existente en función del tiempo, como fracción del volumen actual. Refleja el balance entre la generación de corteza nueva a partir del manto y su destrucción por reciclaje en el manto.

Las rocas conservadas hoy dan una primera curva: menos de una cuarta parte del volumen de la corteza continental juvenil conservada hoy es más antigua que $3\,\mathrm{Ga}$, y ninguna roca conocida tiene una edad de cristalización superior a $4.02\,\mathrm{Ga}$. Pero la corteza conservada es lo que sobrevivió, no lo que se formó. Otras curvas se construyen a partir de los isótopos del neodimio de las lutitas, que promedian la corteza superior expuesta a la erosión en el momento de su depósito; de los isótopos del hafnio de los granos de circón, que registran si el magma que los cristalizó procedía de corteza nueva o retrabajada; o de los isótopos del argón del cuarzo hidrotermal, que siguen la desgasificación de la corteza. Varios modelos recientes de este tipo sitúan al menos entre el 60 y el 80 por ciento del volumen actual de corteza continental ya en su lugar hace $3\,\mathrm{Ga}$. Las dos visiones solo pueden conciliarse si se destruyó mucha corteza temprana: en un modelo de cajas ajustado a ambos registros, se han generado desde la formación de la Tierra de 2.3 a 2.6 veces el volumen actual de corteza continental, y de 1.3 a 1.6 veces ese volumen ha vuelto al manto.

Las zonas de subducción actuales muestran el reciclaje en acción. El magmatismo de arco añade unos 2.5 kilómetros cúbicos de corteza nueva al año, 1.5 en los arcos intraoceánicos y 1.0 en los márgenes continentales (2.7 como media a largo plazo), mientras que la subducción devuelve unos 3.2 kilómetros cúbicos al año; dentro de las incertidumbres, los continentes no han crecido al menos durante el Fanerozoico. Los isótopos de los [miembros extremos del manto](#def-b2-isotope-geochemistry-end-members), que exigen corteza y sedimento reciclados, son la otra cara de la misma cuenta.

## 4.6 Isótopos estables

Los isótopos de los elementos ligeros, hidrógeno, carbono, nitrógeno, oxígeno y azufre, no se producen por desintegración en cantidades medibles. Se fraccionan en cambio por procesos físicos, químicos y biológicos, con diferencias relativas de masa de hasta un factor dos entre el hidrógeno y el deuterio, y sus variaciones se expresan como valores $\delta$ respecto a patrones acordados.

**Definición 4.11 (Patrón isotópico de referencia).**

Un *patrón isotópico de referencia* es un material cuya razón isotópica define el cero de una escala $\delta$. En las ciencias de la Tierra se usan dos. El *VSMOW* (Vienna Standard Mean Ocean Water) define el $\delta\mathrm{D}$ y el $\delta^{18}\mathrm{O}$ de las aguas, los silicatos y la mayoría de los demás materiales; sus razones absolutas son $\mathrm{D}/\mathrm{H} =
1.5575 \times 10^{-4}$ y $^{18}\mathrm{O}/^{16}\mathrm{O} = 2.0052 \times 10^{-3}$. El *VPDB* (Vienna Pee Dee Belemnite) define el $\delta^{13}\mathrm{C}$ y el $\delta^{18}\mathrm{O}$ de los carbonatos de baja temperatura; sus razones absolutas son $^{13}\mathrm{C}/^{12}\mathrm{C} = 1.1237 \times 10^{-2}$ y $^{18}\mathrm{O}/^{16}\mathrm{O} = 2.0672 \times 10^{-3}$.

Los nombres recuerdan la historia: el SMOW era un agua oceánica media, y el PDB el carbonato de una belemnita fósil de la formación Pee Dee; los materiales originales se agotaron y se sustituyeron por materiales de referencia calibrados respecto a ellos, distribuidos por el Organismo Internacional de Energía Atómica en Viena y por el NIST. En la escala [VSMOW](#def-b2-isotope-geochemistry-standards), el oxígeno del [VPDB](#def-b2-isotope-geochemistry-standards) tiene $\delta^{18}\mathrm{O} = +30.9$ por mil ([Ejercicio 4.2](#exo-b2-isotope-geochemistry-2)): un carbonato marino es ese tanto más pesado que el agua oceánica en la que creció.

### 4.6.1 El agua

El agua oceánica está cerca de $\delta^{18}\mathrm{O} = \delta\mathrm{D} = 0$, por la definición del [VSMOW](#def-b2-isotope-geochemistry-standards). La evaporación favorece los isótopos ligeros: en equilibrio con agua líquida a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$, con factores de fraccionamiento de 1.0098 para el oxígeno-18 y 1.084 para el deuterio, el vapor tendría $\delta^{18}\mathrm{O} = 1000/1.0098 - 1000 = -9.7$ por mil y $\delta\mathrm{D} =
-77$ por mil; el vapor sobre los océanos es aún más ligero, cerca de $-13$ por mil en $\delta^{18}\mathrm{O}$, porque la evaporación es también un proceso cinético. A medida que una masa de aire avanza hacia el interior y hacia los polos y se enfría, pierde agua por la lluvia, y cada lluvia se lleva primero los isótopos pesados; el vapor restante, y la lluvia y la nieve que siguen, se vuelven cada vez más ligeros. El hielo de Groenlandia tiene típicamente un $\delta^{18}\mathrm{O}$ de $-30$ a $-35$ por mil, y el hielo antártico llega a $-50$.

**Proposición 4.12 (Recta de agua meteórica).**

La lluvia y la nieve de todo el mundo, y las aguas dulces derivadas de ellas, están cerca de la *recta de agua meteórica*

$$
\delta\mathrm{D} = 8\,\delta^{18}\mathrm{O} + 10 \quad\text{(por mil, VSMOW)},
$$

establecida empíricamente por Craig en 1961. Su ordenada en el origen, 10 por mil, se llama exceso de deuterio; cada región tiene valores entre 0 y 20, aproximadamente.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

La pendiente puede entenderse sin la teoría completa de la condensación, que se deja para el volumen de tercer año. En cada paso de la condensación, el líquido y el vapor difieren en unos $1000(\alpha - 1)$ por mil en cada isótopo, y los dos desplazamientos están en la razón $(\alpha_{\mathrm D}-1)/(\alpha_{18}-1)$, que vale 8.6 a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ y 9.5 a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$: a medida que el vapor se empobrece paso a paso, $\delta\mathrm{D}$ baja unas ocho veces más deprisa que $\delta^{18}\mathrm{O}$. La ordenada en el origen no es cero porque el vapor que sale del océano se forma fuera del equilibrio. El agua oceánica, en el origen, queda por tanto por debajo de la recta.

![La recta de agua meteórica. La precipitación se vuelve más ligera a medida que el aire que la aporta se enfría y pierde agua por la lluvia camino de las latitudes altas, las grandes altitudes y el interior de los continentes. El agua oceánica (VSMOW) queda por debajo de la recta; el vapor en equilibrio con ella, calculado a partir de los factores de fraccionamiento, queda cerca de ella. Las barras grises señalan el hielo polar típico sobre la recta. Datos: Kendall y Caldwell (1998); el manual de White.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-isotope-geochemistry/fig-fd114d09cac9.svg)

*La [recta de agua meteórica](#prop-b2-isotope-geochemistry-mwl). La precipitación se vuelve más ligera a medida que el aire que la aporta se enfría y pierde agua por la lluvia camino de las latitudes altas, las grandes altitudes y el interior de los continentes. El agua oceánica ([VSMOW](#def-b2-isotope-geochemistry-standards)) queda por debajo de la recta; el vapor en equilibrio con ella, calculado a partir de los factores de fraccionamiento, queda cerca de ella. Las barras grises señalan el hielo polar típico sobre la recta. Datos: Kendall y Caldwell (1998); el manual de White.*

### 4.6.2 Las rocas y el carbono

El manto es notablemente uniforme en oxígeno: los xenolitos de peridotita tienen un $\delta^{18}\mathrm{O}$ global de cerca de $+5.5$ por mil, y el MORB medio $+5.7$; los magmas procedentes del manto quedan a menos de un uno por mil de estos valores. Las rocas que se han equilibrado con el agua en la superficie de la Tierra difieren: las arcillas caoliníticas, por ejemplo, son unos 27 por mil más ricas en oxígeno-18 que el agua meteórica en la que se formaron. Un magma que asimila esas rocas se aleja del valor del manto: una segunda prueba de contaminación cortical, independiente de los isótopos radiogénicos.

El carbono tiene dos isótopos estables, y el gran fraccionamiento de la fotosíntesis clasifica sus reservorios. Las plantas que fijan el carbono por la vía común C3 tienen de media $\delta^{13}\mathrm{C} \approx -27$ por mil, y las de la vía C4, sobre todo gramíneas tropicales, cerca de $-13$. El carbono del manto, muestreado por los MORB menos desgasificados, por las carbonatitas y por la mayoría de los diamantes, está entre $-4$ y $-6$ por mil; el bicarbonato del agua de mar es unos 8.5 por mil más pesado que el dióxido de carbono atmosférico. El carbono orgánico es así unos 20 por mil más ligero que el del manto, y el enterramiento de materia orgánica en los sedimentos deja más pesado el carbono restante del océano y de la atmósfera: el $\delta^{13}\mathrm{C}$ de los carbonatos marinos registra la proporción de carbono enterrada como materia orgánica a lo largo del tiempo, uno de los indicadores indirectos del [Capítulo 24](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/24-archivos-e-indicadores-climaticos#ch-b2-climate-proxies).

![Composición isotópica del carbono del manto y de las plantas, respecto al VPDB: el manto entre -4 y -6.5 por mil, las plantas unos 7 a 23 por mil más ligeras. Datos: el manual de White, según Mattey y colaboradores.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-isotope-geochemistry/fig-f96f1002c3b3.svg)

*Composición isotópica del carbono del manto y de las plantas, respecto al [VPDB](#def-b2-isotope-geochemistry-standards): el manto entre $-4$ y $-6.5$ por mil, las plantas unos 7 a 23 por mil más ligeras. Datos: el manual de White, según Mattey y colaboradores.*

**En el laboratorio — Medir una razón isotópica con cinco decimales.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-isotope-geochemistry/img-f79c21e1d5bd.jpg)

*Un espectrómetro de masas multicolector en un laboratorio de isótopos (ilustración generada por IA).*

Para medir $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$, un geoquímico disuelve un gramo o menos de polvo de roca en ácidos en un laboratorio limpio, donde el aire filtrado mantiene fuera el polvo. El neodimio se separa de los demás elementos en columnas de resina de intercambio iónico, porque un isóbaro de la misma masa, como el samario-144, se sumaría a la señal del neodimio-144. Unos cientos de nanogramos del neodimio purificado se depositan en un filamento metálico y se ionizan calentándolos en un espectrómetro de masas de ionización térmica, o se nebulizan en un plasma en un instrumento multicolector; varios colectores miden varios isótopos a la vez. Las razones se corrigen del fraccionamiento dentro del instrumento fijando $^{146}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ en 0.7219, y con cada lote se analiza un material de referencia: un laboratorio cuyo patrón deriva unas pocas partes por millón de su valor aceptado corrige sus muestras en la misma cantidad.

## 4.7 Ejercicios

**Ejercicio 4.1 ★.**

Un basalto de Tristán de Acuña tiene $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.51249$ y uno de Mangaia 0.51285. Calcúlense sus $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ y la del MORB medio (0.513074). ¿Qué fuentes han tenido una Sm/Nd más alta que las [condritas](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/2-la-formacion-de-los-planetas-y-los-meteoritos#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule)?

**Solución de Ejercicio 4.1.**

Tristán: $(0.51249/0.512638 - 1)\times10^4 = -2.9$. Mangaia: $(0.51285/0.512638 -
1)\times10^4 = +4.1$. MORB: $+8.5$. Las fuentes de Mangaia y del MORB, con $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ positiva, han tenido de media una Sm/Nd más alta que las [condritas](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/2-la-formacion-de-los-planetas-y-los-meteoritos#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule); la fuente de Tristán, una más baja.

**Ejercicio 4.2 ★.**

La razón $^{18}\mathrm{O}/^{16}\mathrm{O}$ vale $2.0052 \times 10^{-3}$ en el [VSMOW](#def-b2-isotope-geochemistry-standards) y $2.0672 \times 10^{-3}$ en el [VPDB](#def-b2-isotope-geochemistry-standards). ¿Cuál es el $\delta^{18}\mathrm{O}$ del [VPDB](#def-b2-isotope-geochemistry-standards) en la escala [VSMOW](#def-b2-isotope-geochemistry-standards)? Una calcita tiene $\delta^{18}\mathrm{O} = -2.0$ por mil ([VPDB](#def-b2-isotope-geochemistry-standards)); calcúlense su razón y su $\delta^{18}\mathrm{O}$ en la escala [VSMOW](#def-b2-isotope-geochemistry-standards).

**Solución de Ejercicio 4.2.**

$\delta^{18}\mathrm{O}_{\mathrm{VPDB}} = (2.0672 \times 10^{-3}/2.0052 \times 10^{-3} - 1)\times1000 =
+30.9$ por mil en la escala [VSMOW](#def-b2-isotope-geochemistry-standards). La calcita tiene $^{18}\mathrm{O}/^{16}\mathrm{O} =
2.0672 \times 10^{-3}\times(1 - 0.0020) = 2.0631 \times 10^{-3}$, de donde $\delta^{18}\mathrm{O} =
(2.0631 \times 10^{-3}/2.0052 \times 10^{-3} - 1)\times1000 = +28.9$ por mil ([VSMOW](#def-b2-isotope-geochemistry-standards)).

**Ejercicio 4.3 ★.**

Calcúlese la razón $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ del CHUR hace $1.0\,\mathrm{Ga}$ y hace $4.567\,\mathrm{Ga}$ ($\lambda_{147} = 6.524 \times 10^{-12}\,/\mathrm{yr}$, $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.1966$, hoy 0.512638).

**Solución de Ejercicio 4.3.**

Hace $1.0\,\mathrm{Ga}$: $e^{\lambda t} - 1 = 0.006545$, y $0.512638 - 0.1966\times0.006545 =
0.511351$. Hace $4.567\,\mathrm{Ga}$: $e^{\lambda t}-1 = 0.030243$, y $0.512638 -
0.1966\times0.030243 = 0.506692$.

**Ejercicio 4.4 ★.**

Una muestra de nieve de una estación de montaña tiene $\delta^{18}\mathrm{O} = -18.0$ por mil. ¿Qué $\delta\mathrm{D}$ predice la [recta de agua meteórica](#prop-b2-isotope-geochemistry-mwl)? Un agua de lago tiene $\delta^{18}\mathrm{O} = -4.0$ y $\delta\mathrm{D} = -42$ por mil: calcúlese su exceso de deuterio $d = \delta\mathrm{D} - 8\delta^{18}\mathrm{O}$, y dígase si está por encima o por debajo de la recta.

**Solución de Ejercicio 4.4.**

$\delta\mathrm{D} = 8\times(-18.0) + 10 = -134$ por mil. Para el lago, $d = -42 -
8\times(-4.0) = -10$ por mil, por debajo del 10 de la recta: el agua queda por debajo de la [recta de agua meteórica](#prop-b2-isotope-geochemistry-mwl), como les ocurre a las aguas superficiales evaporadas (los isótopos ligeros se fueron primero).

**Ejercicio 4.5 ★★.**

Evalúese el $Q$ de la proposición del crecimiento lineal. Un granito tiene Sm $6.0\,\mathrm{ppm}$ y Nd $30\,\mathrm{ppm}$ (CI: 0.145 y $0.457\,\mathrm{ppm}$). Calcúlense su $f_{\mathrm{Sm/Nd}}$ y el cambio de su $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ en $500\,\mathrm{Myr}$.

**Solución de Ejercicio 4.5.**

$Q = 10^4\times6.524 \times 10^{-12}\times0.1966/0.512638 = 2.502 \times 10^{-8}$ por año, o $25.0\,/\mathrm{G}\mathrm{yr}$. El granito tiene $\mathrm{Sm}/\mathrm{Nd} = 6.0/30 = 0.200$, frente a $0.145/0.457 = 0.317$ en CI: $f = 0.200/0.317 - 1 = -0.37$. En $0.5\,\mathrm{Gyr}$: $\Delta\varepsilon = 25.0\times(-0.37)\times0.5 = -4.6$ unidades.

**Ejercicio 4.6 ★★.**

Una corteza se separó hace $2.7\,\mathrm{Ga}$ de un manto con $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = +3.5$, con $f_{\mathrm{Sm/Nd}} = -0.45$. Estímese su $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ actual con la proposición del crecimiento lineal. El cálculo exacto da $-27.3$; ¿en cuánto difiere la aproximación, y por qué es demasiado alta o demasiado baja?

**Solución de Ejercicio 4.6.**

$\varepsilon \approx 3.5 + 25.0\times(-0.45)\times2.7 = 3.5 - 30.4 = -26.9$, frente a $-27.3$: la aproximación es 0.4 unidades demasiado alta (no lo bastante negativa). La mayor parte de la diferencia, unas 0.3 unidades, procede de $e^{\lambda t} > 1$: el padre, y por tanto el déficit de crecimiento respecto al CHUR, era más abundante en el pasado que hoy ([Ejercicio 4.10](#exo-b2-isotope-geochemistry-10)); el resto procede del redondeo de $f$ y del valor inicial.

**Ejercicio 4.7 ★★.**

Un magma basáltico (Sr $130\,\mathrm{ppm}$, $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.7030$) asimila un granito (Sr $320\,\mathrm{ppm}$, 0.7200). Calcúlese la razón $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ de mezclas con un 5, un 10 y un 20 por ciento de granito. Demuéstrese que $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ es una recta frente a $1/\mathrm{Sr}$ y dense su pendiente y su ordenada en el origen.

**Solución de Ejercicio 4.7.**

Con una fracción másica $x$ de granito, $\mathrm{Sr} = 320x + 130(1-x)$ y $R = (320x\times0.7200 + 130(1-x)\times0.7030)/\mathrm{Sr}$. Para $x = 0.05$: Sr $139.5\,\mathrm{ppm}$, $R = 0.70495$; $x = 0.10$: 149.0, 0.70665; $x = 0.20$: 168.0, 0.70948. Por la demostración de la proposición de mezcla, $R\,\mathrm{Sr}$ es lineal en Sr: $R = 0.731632 - 3.7221/\mathrm{Sr}$, una recta de pendiente $-3.722$ (ppm) y ordenada en el origen 0.7316 frente a $1/\mathrm{Sr}$. Comprobación en $x = 0.05$: $0.731632 - 3.7221/139.5
= 0.70495$.

**Ejercicio 4.8 ★★.**

Con los factores de fraccionamiento líquido–vapor 1.0098 ($^{18}$O) y 1.084 (D) a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$, calcúlense el $\delta^{18}\mathrm{O}$ y el $\delta\mathrm{D}$ de un vapor en equilibrio con el agua oceánica (0, 0), y la pendiente $\delta\mathrm{D}/\delta^{18}\mathrm{O}$ de la recta que va del agua al vapor. Repítase a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ (1.0117 y 1.111). Compárese con la [recta de agua meteórica](#prop-b2-isotope-geochemistry-mwl).

**Solución de Ejercicio 4.8.**

A $20{}^{\circ}\mathrm{C}$: $\delta^{18}\mathrm{O} = 1000/1.0098 - 1000 = -9.70$ por mil, $\delta\mathrm{D} = 1000/1.084 - 1000 = -77.5$ por mil, pendiente $77.5/9.70 = 7.99$. A $0{}^{\circ}\mathrm{C}$: $-11.56$ y $-99.9$ por mil, pendiente 8.64. Ambas están cerca de la pendiente 8 de la [recta de agua meteórica](#prop-b2-isotope-geochemistry-mwl): el fraccionamiento de equilibrio del agua entre líquido y vapor basta por sí solo para fijar cerca de 8 la razón entre los desplazamientos del deuterio y del oxígeno-18.

**Ejercicio 4.9 ★★.**

La corteza continental es el 0.51 por ciento de la masa de la Tierra silicatada y contiene, de media, $27\,\mathrm{ppm}$ de Nd frente a $1.25\,\mathrm{ppm}$ en la Tierra silicatada. Tómese la $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ de la corteza como $-15$ y la de la Tierra silicatada como 0. ¿Qué proporción del neodimio contiene la corteza? Si el resto del manto fuera uniforme, ¿cuál sería su $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$? ¿Qué proporción del neodimio debe contener un reservorio empobrecido a $+8.5$ si el resto del manto es condrítico?

**Solución de Ejercicio 4.9.**

La corteza contiene $0.0051\times27/1.25 = 0.110$, el 11 por ciento del neodimio. Balance de masas: $0.110\times(-15) + 0.890\,\varepsilon_m = 0$, de modo que $\varepsilon_m = 1.65/0.890 =
+1.9$. Con un reservorio empobrecido que contiene una proporción $x$ a $+8.5$ y el resto a 0: $0.110\times(-15) + 8.5x = 0$, $x = 1.65/8.5 = 0.19$: cerca de una quinta parte del neodimio.

**Ejercicio 4.10 ★★★.**

Demuéstrese que en la proposición del crecimiento lineal los términos despreciados tienen un tamaño relativo de cerca de $\lambda t/2$. A lo largo de la edad de la Tierra, ¿cuánto vale, y qué error causa en $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ para $f = -0.45$ a lo largo de $2.7\,\mathrm{Ga}$?

**Solución de Ejercicio 4.10.**

El ritmo de crecimiento es $\lambda p\,e^{\lambda t}$, con $e^{\lambda t} \approx 1 + \lambda t$; promediado sobre el intervalo que va de la separación $T$ al presente, el factor es $1 + \lambda T/2$, de modo que los términos despreciados tienen un tamaño relativo $\lambda T/2$. A lo largo de la edad de la Tierra, $6.524 \times 10^{-12}\times4.567 \times 10^{9}/2 = 0.015$, un 1.5 por ciento. Para la corteza del [Ejercicio 4.6](#exo-b2-isotope-geochemistry-6), $\lambda T/2 = 0.0088$, y el error es $0.0088\times30.4 = 0.27$ unidades. El lento cambio de la razón del CHUR por la que se divide $\varepsilon$ añade otro término, menor, del orden de $(p/R)\lambda T \times \varepsilon_0$, aquí 0.02 unidades.

**Ejercicio 4.11 ★★★.**

Dos componentes tienen razones Sr/Nd de 13.3 (A) y 5.0 (B). Con la demostración de la [hipérbola de mezcla](#prop-b2-isotope-geochemistry-mixing), hállese la proporción $s'$ del estroncio procedente de A en una mezcla en la que A aporta una proporción $s = 0.5$ del neodimio. ¿Para qué valor de $s$ difieren más las dos proporciones?

**Solución de Ejercicio 4.11.**

$K = 13.3/5.0 = 2.66$. Con $s = 0.5$: $s' = 2.66\times0.5/(1 + 1.66\times0.5) =
1.33/1.83 = 0.73$. La diferencia $s' - s$ es máxima donde $\mathrm{d}s'/\mathrm{d}s = K/(1+(K-1)s)^2 = 1$, en $s = (\sqrt K - 1)/(K-1) =
0.631/1.66 = 0.38$, donde $s' = 0.62$: una diferencia de 0.24.

**Ejercicio 4.12 ★★★.**

Un modelo de cajas da de 2.3 a 2.6 veces el volumen actual de corteza continental, $7.2 \times 10^{9}\,\mathrm{km}^{3}$, generado desde la formación de la Tierra hace $4.5\,\mathrm{Ga}$, y de 1.3 a 1.6 veces destruido. Calcúlense los ritmos medios de generación y de destrucción en $\mathrm{km}^{3}$ por año. Compárense con los ritmos actuales en las zonas de subducción, $2.7\,\mathrm{km}^{3}$ al año añadidos y $3.2\,\mathrm{km}^{3}$ al año retirados.

**Solución de Ejercicio 4.12.**

Generación: $2.3$ a $2.6\times7.2 \times 10^{9}\,\mathrm{km}^{3}/4.5 \times 10^{9}\,\mathrm{yr} = 3.7$ a $4.2\,\mathrm{km}^{3}$ al año. Destrucción: $1.3$ a $1.6\times7.2/4.5 = 2.1$ a $2.6\,\mathrm{km}^{3}$ al año. Los ritmos actuales difieren: las adiciones (2.7) están por debajo de la generación media del modelo, y la retirada (3.2) por encima de su destrucción media. En el modelo la corteza creció pronto, cuando la generación era más rápida, y el presente es una época de equilibrio o de ligera pérdida, como dice el balance de las zonas de subducción.

## 4.8 Problema: tres islas, tres mantos

**Problema 4.1.**

Problema de fin de semana — situar las lavas de tres islas en la alineación del manto, separar una mezcla de un tercer componente y datar el sedimento reciclado

Tres islas volcánicas de un océano imaginario, Kora, Vel y Asha, emiten basaltos con las razones isotópicas siguientes. Una geoquímica modeliza sus fuentes con dos componentes: un [manto empobrecido](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) como la fuente del MORB (Sr $10\,\mathrm{ppm}$, Nd $0.75\,\mathrm{ppm}$, $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.70282$, $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.51307$) y un sedimento antiguo devuelto al manto por subducción (Sr $200\,\mathrm{ppm}$, Nd $40\,\mathrm{ppm}$, $0.72000$, $0.51141$; $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.110$, $^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.50$). Kora: $0.70410$, $0.51278$; Vel: $0.70618$, $0.51242$; Asha: $0.70290$, $0.51288$ ($^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$, $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$). CHUR actual: $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.512638$, $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} =
0.1966$; $\lambda_{147} = 6.524 \times 10^{-12}\,/\mathrm{yr}$, $\lambda_{87} =
1.3972 \times 10^{-11}\,/\mathrm{yr}$.

**Parte I — Situar las islas.**

1. Calcúlese la $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ de los dos componentes.
2. Calcúlese la $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ de las tres islas.
3. Sitúense las cinco composiciones en un diagrama Sr– $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ . ¿Qué islas están en el lado enriquecido del CHUR?
4. Asha tiene casi la razón del estroncio del [manto empobrecido](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) pero una $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ mucho más baja. ¿Dónde se sitúa respecto a la alineación del manto, y a qué grupo de islas del capítulo se parece?
5. ¿Por qué pueden tomarse las razones isotópicas de las lavas como las de sus fuentes, aunque las lavas tengan Sm/Nd y Rb/Sr muy distintas de las de sus fuentes?
6. Una lava de Kora con $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.12$ tiene $1\,\mathrm{Myr}$ . ¿Cuánto ha crecido su $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ desde la erupción, en unidades épsilon? ¿Importa?

**Parte II — Mezclar los dos componentes.**

7. Escríbanse la concentración de Nd y la razón $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ de una mezcla con una fracción másica $f$ de sedimento.
8. Calcúlese la $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ de mezclas con $f = 0.5$ , 1, 2 y 5 por ciento.
9. Calcúlese la razón $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ de las mismas mezclas.
10. Demuéstrese que la razón $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ de las mezclas es una recta frente a $1/\mathrm{Sr}$ , y dese su pendiente.
11. Calcúlese $K = (\mathrm{Sr}/\mathrm{Nd})_{\text{manto}}/(\mathrm{Sr}/\mathrm{Nd})_{\text{sedimento}}$ . ¿Qué razón, la del Sr o la del Nd, se acerca más deprisa al sedimento al crecer $f$ ?
12. ¿Cuántas veces es el sedimento más rico que el manto en Nd, y en Sr? Explíquese con estos números por qué un uno por ciento de sedimento desplaza $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ en unas 11 unidades.
13. ¿Qué proporción del neodimio de una mezcla con $f = 1$ por ciento procede del sedimento?

**Parte III — ¿Cuánto sedimento?**

14. Despéjese $f$ de la ecuación de mezcla del Nd, dada la razón $R$ de la mezcla.
15. Calcúlese $f$ para Kora a partir de su neodimio.
16. Calcúlese $f$ para Kora a partir de su estroncio. ¿Coinciden ambos?
17. Calcúlese $f$ para Vel a partir de su neodimio y de su estroncio.
18. Calcúlese $f$ para Asha a partir de su neodimio, y la razón del estroncio que predice este $f$ . Compárese con el valor medido: ¿qué se concluye sobre la fuente de Asha?
19. Propóngase un tercer componente para Asha, a partir del capítulo, y las razones padre–hijo que debió de tener.

**Parte IV — La edad del sedimento.**

20. El sedimento se subdujo hace $2.0\,\mathrm{Ga}$ y ha permanecido cerrado desde entonces. Calcúlense su $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ , la del CHUR y su $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ en ese momento.
21. Rehágase el cálculo con la proposición del crecimiento lineal.
22. Calcúlese la razón $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ del sedimento hace $2.0\,\mathrm{Ga}$ .
23. Hace $2.0\,\mathrm{Ga}$ , la corteza de la figura de $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ tenía $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} \approx -4.7$ . ¿Es coherente el valor del sedimento en la subducción con un origen por erosión de una corteza continental tan joven?
24. Dese la fracción másica de sedimento reciclado en la fuente de la isla más enriquecida, el número clave de este problema.

**Solución de Problema 4.1.**

**1.** Manto: $(0.51307/0.512638 - 1)\times10^4 = +8.4$. Sedimento: $(0.51141/0.512638 - 1)\times10^4 = -24.0$.

**2.** Kora $+2.8$, Vel $-4.3$, Asha $+4.7$.

**3.** Con $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ en abscisas y $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ en ordenadas: manto (0.70282, $+8.4$), Kora (0.70410, $+2.8$), Vel (0.70618, $-4.3$), sedimento (0.72000, $-24.0$), Asha (0.70290, $+4.7$). Solo Vel, con una $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ negativa, está en el lado enriquecido del CHUR.

**4.** Por debajo de la alineación: a la razón del estroncio del [manto empobrecido](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs), la alineación tendría una $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ cercana a $+8$; Asha tiene $+4.7$. Se parece al grupo de Santa Elena, de tipo HIMU (Mangaia, Tubuai, Santa Elena).

**5.** La fusión cambia las razones padre–hijo pero no, de forma medible, las razones isotópicas del estroncio y del neodimio (proposición sobre la fusión); las lavas son jóvenes, de modo que sus razones no han crecido desde la erupción (pregunta 6).

**6.** $\Delta R = 0.12\,(e^{\lambda\cdot10^6} - 1) = 0.12\times6.52 \times 10^{-6} =
7.8 \times 10^{-7}$, es decir $7.8 \times 10^{-7}/0.512638\times10^4 = 0.015$ unidades épsilon: muy por debajo de las diferencias entre las islas, y por debajo de la precisión de una medida.

**7.** $\mathrm{Nd} = 40f + 0.75(1-f)$, y $R = \bigl(40f\times0.51141 + 0.75(1-f)\times0.51307\bigr)/\mathrm{Nd}$.

**8.** $f = 0.5$ por ciento: Nd $0.9463\,\mathrm{ppm}$, $\varepsilon = +1.6$; 1 por ciento: 1.1425, $-2.9$; 2 por ciento: 1.535, $-8.4$; 5 por ciento: 2.7125, $-15.4$.

**9.** Sr 10.95, 11.90, 13.80 y $19.50\,\mathrm{ppm}$; $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} =
0.70439$, 0.70571, 0.70780 y 0.71163.

**10.** $R\,\mathrm{Sr} = 10\times0.70282 + f(200\times0.72000 - 10\times0.70282)$ y $\mathrm{Sr} = 10 + 190f$; eliminando $f$, $R\,\mathrm{Sr} = 7.0282 +
(\mathrm{Sr}-10)\times136.9718/190$, de modo que $R = 0.720904 - 0.18084/\mathrm{Sr}$: una recta de pendiente $-0.1808$ (ppm) frente a $1/\mathrm{Sr}$. Comprobación en $f = 1$ por ciento: $0.720904 - 0.18084/11.90 = 0.70571$.

**11.** $K = (10/0.75)/(200/40) = 13.33/5.0 = 2.67$. El manto es relativamente más rico en estroncio, y el sedimento en neodimio, de modo que la razón del Nd se acerca más deprisa al sedimento: un poco de sedimento desplaza mucho $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ antes de que $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ se mueva apreciablemente.

**12.** 53 veces más rico en Nd ($40/0.75$), 20 veces en Sr. Con $f = 1$ por ciento el sedimento aporta $0.40/1.1425 = 35$ por ciento del neodimio, lo que desplaza $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ en $0.35\times(8.4 + 24.0) = 11.3$ unidades, pero solo $2.0/11.9 =
17$ por ciento del estroncio.

**13.** $0.01\times40/1.1425 = 0.350$: un 35 por ciento.

**14.** A partir de $R\,(40f + 0.75(1-f)) = 40fR_S + 0.75(1-f)R_D$: $f = 0.75(R - R_D)/\bigl(40(R_S - R) + 0.75(R - R_D)\bigr)$, y lo mismo con 200 y 10 para el estroncio.

**15.** $f = 0.75\times(-0.00029)/\bigl(40\times(-0.00137) + 0.75\times(-0.00029)\bigr)
= -2.175 \times 10^{-4}/-5.502 \times 10^{-2} = 0.0040$: un 0.40 por ciento.

**16.** $f = 10\times0.00128/\bigl(200\times0.01590 + 10\times0.00128\bigr) =
0.0128/3.1928 = 0.0040$: un 0.40 por ciento; los dos coinciden.

**17.** Neodimio: $0.75\times(-0.00065)/\bigl(40\times(-0.00101) +
0.75\times(-0.00065)\bigr) = -4.875 \times 10^{-4}/-4.089 \times 10^{-2} = 0.0119$; estroncio: $10\times0.00336/\bigl(200\times0.01382 + 10\times0.00336\bigr) = 0.0336/2.7976 = 0.0120$. Ambos dan un 1.2 por ciento.

**18.** $f = 0.75\times(-0.00019)/\bigl(40\times(-0.00147) + 0.75\times(-0.00019)\bigr)
= 0.0024$, que predice Sr $10.46\,\mathrm{ppm}$ y $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} =
0.70361$, frente a 0.70290 medido. Asha no está sobre la curva de mezcla manto–sedimento: su fuente contiene otro componente.

**19.** Corteza oceánica reciclada antigua, el tipo HIMU: sus isótopos del Nd exigen una Sm/Nd algo inferior a la del [manto empobrecido](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs), sus isótopos del Sr una Rb/Sr baja, y su plomo (no medido aquí) una U/Pb alta, todo ello durante uno o dos mil millones de años.

**20.** $e^{\lambda_{147}\cdot2\times10^9} - 1 = 0.013133$. Sedimento: $0.51141 -
0.110\times0.013133 = 0.509965$; CHUR: $0.512638 - 0.1966\times0.013133 = 0.510056$; $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}(2\,\mathrm{Ga}) = (0.509965/0.510056 - 1)\times10^4 = -1.8$.

**21.** $f = 0.110/0.1966 - 1 = -0.440$; desde la subducción $\varepsilon$ ha cambiado en $25.0\times(-0.440)\times2.0 = -22.0$, de modo que $\varepsilon(2\,\mathrm{Ga}) \approx -24.0 + 22.0
= -2.0$, a 0.2 unidades del valor exacto.

**22.** $e^{\lambda_{87}\cdot2\times10^9} - 1 = 0.028338$; $0.72000 - 0.50\times0.028338 = 0.70583$.

**23.** En la subducción el sedimento tenía $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = -1.8$, cerca del $-4.7$ de una corteza que entonces tenía solo 700 millones de años, y muy por encima de los valores muy negativos de una corteza antigua: encaja con la erosión de una corteza joven, quizá mezclada con algo de material derivado del manto. Su $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ de 0.7058 en ese momento es también la de una roca cortical joven.

**24.** La fuente de Vel, la isla más enriquecida, contiene **$1.2\,\%$** de sedimento reciclado.