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title: "Los magmas y su emplazamiento"
book: "Ciencias de la Tierra y del espacio universitarias — segundo año"
subject: earth
language: es
chapter: 5
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/5-los-magmas-y-su-emplazamiento
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 5 — Los magmas y su emplazamiento

Un fundido basáltico a $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ fluye con una viscosidad de unos $70\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$: espeso, pero se vierte. Un fundido riolítico seco a $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ tiene una viscosidad cercana a $10^{11}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, y un bloque de él tardaría horas en combarse de forma visible bajo su propio peso. Entre ambos hay diez órdenes de magnitud, más que entre el agua y el basalto, y la mayor parte de la diferencia se debe a dos cosas: la sílice, que enlaza el fundido en una red, y la temperatura, que es varios cientos de grados más baja en los [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) silícicos. Unos pocos por ciento de agua disuelta, que un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) riolítico puede contener en profundidad, reducen su viscosidad en un factor $10^{5}$, y el [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) vuelve a perderlos a medida que sube y el agua sale en forma de burbujas. Estos números deciden si un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) llega a la superficie con calma, explota o se congela a kilómetros de profundidad como [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies), [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies) o [plutón](#def-b2-magma-emplacement-bodies). Este capítulo trata el [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) como un material: su densidad, su viscosidad y sus volátiles, la física de su ascenso por grietas y en forma de masas, las formas que adopta cuando se detiene, y el calor que cede a las rocas que lo rodean.

**Lo que ya sabes.**

**Flujo viscoso** (volumen de segundo año de los libros de física): en un fluido newtoniano de viscosidad $\eta$ la tensión de cizalla es $\eta$ por el gradiente de velocidad; entre dos paredes paralelas un gradiente de presión impone un perfil parabólico (de Poiseuille plano); una esfera que se mueve despacio en un fluido viscoso sufre el arrastre de Stokes $6\pi\eta a v$. **Conducción del calor** (mismo volumen): la temperatura obedece a $\partial T/\partial t = \kappa\,\partial^2T/\partial x^2$, con difusividad $\kappa = k/(\rho
c)$, y un escalón de temperatura se extiende como una función error sobre una distancia del orden de $\sqrt{\kappa t}$. **Flotabilidad** (volumen de primer año de los libros de física): un cuerpo sumergido en un fluido más denso sufre una fuerza neta hacia arriba igual al peso del fluido desalojado menos el suyo propio. **Equilibrio químico** (libros de química): en el equilibrio las actividades de productos y reactivos cumplen la ley de acción de masas con una constante $K$ que depende de la temperatura. Del volumen de primer año de esta serie: la presión litostática $p = \rho g z$ y la geoterma; de los volúmenes escolares: rocas máficas y félsicas, fenocristales y texturas porfídicas.

## 5.1 Qué es un magma

**Definición 5.1 (Magma).**

Un *magma* es roca fundida o parcialmente fundida bajo la superficie: un *fundido silicatado*, el líquido formado sobre todo por silicio, oxígeno y cationes metálicos, junto con los cristales y las burbujas de gas que lleve. Una *papilla cristalina* es un magma tan rico en cristales que estos se tocan y forman un armazón: no puede fluir como un líquido, y su fundido solo puede moverse por los poros entre los cristales.

La composición del fundido se da, como la de las rocas, en porcentaje en masa de óxidos. Tres fundidos sirven de referencia a lo largo del capítulo, todos ellos estudiados en el laboratorio: un basalto toleítico dragado en una dorsal oceánica (cerca de un $51\,\%$ de SiO$_2$, un $12\,\%$ de óxido de hierro y un $7\,\%$ de MgO), una andesita ($63\,\%$ de SiO$_2$) y una riolita ($78\,\%$ de SiO$_2$, $8\,\%$ de Na$_2$O $+$ K$_2$O y casi nada de hierro ni de magnesio). Sus temperaturas de erupción difieren tanto como sus composiciones: los [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) basálticos entran en erupción de $1000\text{ a }1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (la lava que corre por un tubo del Kilauea se ha medido cerca de $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$), los andesíticos de $800\text{ a }1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y los riolíticos de $650\text{ a }800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) riolítico es más frío porque es el residuo de una larga cristalización o el primer fundido de rocas corticales, dos procesos que ocurren a baja temperatura ([Capítulo 8](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/8-la-diferenciacion-magmatica#ch-b2-magmatic-differentiation)).

El contenido en cristales decide si un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) fluye. Los estudios de campo y geocronológicos de grandes cuerpos graníticos concluyen que el flujo magmático en masa requiere una fracción de fundido de al menos un $30\text{ a }50\,\%$ en volumen; por debajo, los cristales quedan soldados a sus vecinos y el material se deforma como un sólido con poros llenos de fundido. Se cree que buena parte del [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) almacenado en la corteza está en ese estado, como una papilla que vuelve a ser móvil cuando se le añade [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) caliente desde abajo.

## 5.2 Densidad y viscosidad

### 5.2.1 La densidad de un fundido

Un [fundido silicatado](#def-b2-magma-emplacement-magma) no tiene red cristalina, pero su volumen puede construirse igualmente a partir de sus componentes. Los experimentos con muchos fundidos muestran que cada óxido aporta un volumen casi fijo por mol, su volumen molar parcial, que cambia lenta y linealmente con la temperatura y la presión; el volumen del fundido es la suma de estas contribuciones. La tabla siguiente da los valores usados en este capítulo.

| Óxido | $\bar V_i$ ($\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{mol}$) | $\partial\bar V_i/\partial T$ ($10^{-3}$ $\mathrm{cm}^{3}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$) | $\partial\bar V_i/\partial p$ ($10^{-4}$ $\mathrm{cm}^{3}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{bar})$) |
| --- | --- | --- | --- |
| SiO$_2$ | 26.86 | 0 | $-1.89$ |
| Al$_2$O$_3$ | 37.42 | 2.62 | $-2.26$ |
| FeO | 12.68 | 3.69 | $-0.45$ |
| MgO | 12.02 | 3.27 | $0.27$ |
| CaO | 16.90 | 3.74 | $0.34$ |
| Na$_2$O | 29.65 | 7.68 | $-2.40$ |
| K$_2$O | 47.28 | 12.08 | $-6.75$ |
| H$_2$O | 22.9 | 9.5 | $-3.20$ |

***Table 5.1.** Volúmenes molares parciales de los componentes óxidos en los [fundidos silicatados](#def-b2-magma-emplacement-magma) a $1\,\mathrm{bar}$, con sus derivadas respecto a la temperatura y la presión. Temperatura de referencia $1773\,\mathrm{K}$ (FeO $1723\,\mathrm{K}$, H$_2$O $1273\,\mathrm{K}$). Datos: compilación del programa DensityX (Iacovino y Till, 2019).*

**Proposición 5.2 (Densidad de un fundido silicatado).**

Contenga un fundido componentes óxidos $i$ con fracciones molares $X_i$, masas molares $M_i$ y volúmenes molares parciales $\bar V_i(T, p) = \bar V_i^{\circ} + (\partial\bar
V_i/\partial T)(T - T_{\mathrm{ref}}) + (\partial\bar V_i/\partial p)(p - p_{\mathrm{ref}})$. Si los componentes se mezclan idealmente en volumen,

$$
\rho = \frac{\sum_i X_i M_i}{\sum_i X_i \bar V_i(T,p)}.
$$

**Demostración.** Un mol de fundido contiene $X_i$ moles del componente $i$, de masa $X_iM_i$. La mezcla ideal en volumen significa que cada mol del componente $i$ añade el volumen $\bar V_i$ sean cuales sean los demás, de modo que el mol de fundido ocupa $\sum_i X_i\bar V_i$. La densidad es el cociente de ambos. ∎

El agua tiene una masa molar de solo $18\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ pero un volumen molar parcial de $22.9\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{mol}$, cercano al de la sílice: reduce mucho la densidad de un fundido. Aplicada a los tres fundidos de referencia, la proposición da $2730\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ para el basalto a $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $2480\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ para la andesita a $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $2340\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ para la riolita seca a $850\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; un uno por ciento de agua disuelta resta unos $70\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ al basalto, tanto como varios cientos de grados de calentamiento. Un fundido basáltico es por tanto más ligero que la peridotita del manto de la que procede (unos $3380\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ bajo la corteza en el modelo terrestre de referencia) y algo más ligero que la corteza inferior de ese modelo ($2900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$), mientras que un fundido riolítico es más ligero incluso que su corteza superior ($2600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$). Esta diferencia impulsa los [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) hacia arriba.

### 5.2.2 Viscosidad

La viscosidad de un [fundido silicatado](#def-b2-magma-emplacement-magma) la fija la red de tetraedros SiO$_4$ enlazados por oxígenos compartidos: para fluir, el fundido debe romper y rehacer enlaces silicio–oxígeno. La sílice y la alúmina construyen la red; los cationes de magnesio, hierro, calcio y los alcalinos la rompen, y también el agua, que convierte los oxígenos puente en grupos hidroxilo. Las medidas de laboratorio en fundidos naturales abarcan más de quince órdenes de magnitud, de $0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ a $10^{14}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, y no siguen una ley de Arrhenius sencilla: la viscosidad crece más deprisa que una exponencial en $1/T$ a medida que el fundido se enfría hacia su transición vítrea.

**Proposición 5.3 (Ley de Vogel–Fulcher–Tammann).**

La viscosidad de un [fundido silicatado](#def-b2-magma-emplacement-magma) de composición fija sigue, con un margen de unas pocas décimas de unidad logarítmica,

$$
\log_{10}\eta = A + \frac{B}{T - C},
$$

con $\eta$ en pascales segundo y $T$ en kelvin. Para los fundidos naturales $A$ es cercano a $-4.55$ sea cual sea la composición; $B$ y $C$ (en kelvin) son combinaciones lineales de los porcentajes molares de los óxidos, con algunos productos de ellos, ajustadas a unas $1800$ medidas.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

La figura siguiente muestra la ley para los tres fundidos de referencia y para la riolita con agua disuelta. A $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ el basalto tiene $\eta \approx 70\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; la andesita a $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ tiene unos $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; la riolita seca a $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, unos $10^{10.9}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Un cuatro por ciento de agua baja esa misma riolita a $10^{5.5}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, y un seis por ciento a $10^{4.6}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Una ecuación independiente ajustada solo a fundidos graníticos hidratados da los mismos valores con un margen de media unidad logarítmica ([Ejercicio 5.1](#exo-b2-magma-emplacement-1)). El efecto del agua es máximo a baja temperatura, donde unas pocas décimas de por ciento cambian la viscosidad en órdenes de magnitud.

![Viscosidad de los fundidos silicatados frente a la temperatura, según la ley de Vogel–Fulcher–Tammann con los parámetros dependientes de la composición de Giordano, Russell y Dingwell (2008). Basalto: una toleíta de dorsal oceánica; andesita y riolita: fundidos de referencia de laboratorio (Moore y colaboradores, 1998). Cada curva se traza en el intervalo de temperaturas en que un magma así puede estar fundido.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/fig-06d44b5f76c8.svg)

*Viscosidad de los [fundidos silicatados](#def-b2-magma-emplacement-magma) frente a la temperatura, según la ley de Vogel–Fulcher–Tammann con los parámetros dependientes de la composición de Giordano, Russell y Dingwell (2008). Basalto: una toleíta de dorsal oceánica; andesita y riolita: fundidos de referencia de laboratorio (Moore y colaboradores, 1998). Cada curva se traza en el intervalo de temperaturas en que un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) así puede estar fundido.*

Los cristales hacen el [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) aún más rígido. Una suspensión de partículas rígidas resiste la cizalla más que su líquido solo, porque el líquido debe fluir alrededor de las partículas, y cuando las partículas están tan apretadas que se tocan se traban en un armazón.

**Proposición 5.4 (Relación de Einstein–Roscoe).**

Una suspensión de una fracción de volumen $\phi$ de esferas rígidas en un líquido newtoniano de viscosidad $\eta_{\ell}$ tiene la viscosidad

$$
\eta = \eta_{\ell}\,(1 - R\phi)^{-2.5}, \qquad R = 1/\phi_m \approx 1.35,
$$

donde $\phi_m$ es la fracción de empaquetamiento máxima, a la que la suspensión se bloquea. Para $\phi$ pequeña se reduce a la de Einstein, $\eta = \eta_{\ell}(1 + 2.5\phi)$.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

Un veinte por ciento de cristales duplica la viscosidad, un cuarenta por ciento la multiplica por siete y un sesenta por ciento por más de sesenta ([Ejercicio 5.5](#exo-b2-magma-emplacement-5)); en los [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) reales, donde los cristales son alargados y de muchos tamaños, el bloqueo llega antes, hacia un $50\text{ a }70\,\%$ de cristales en que los datos de campo sitúan el final del flujo en masa.

## 5.3 Volátiles

**Definición 5.5 (Volátiles magmáticos).**

Un *volátil magmático* es un componente de un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) que está disuelto en el fundido en profundidad y forma una fase gaseosa separada a baja presión: sobre todo agua, luego dióxido de carbono, luego especies de azufre. La *exsolución de volátiles* es la separación de un volátil del fundido en burbujas de gas. La *presión de saturación en volátiles* de un fundido es la presión por debajo de la cual sus volátiles disueltos superan su solubilidad, de modo que debe formarse una fase gaseosa.

Los [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) máficos llevan típicamente un $1\text{ a }3\,\%$ de volátiles en masa, los intermedios un $3\text{ a }4\,\%$ y los félsicos un $4\text{ a }7\,\%$, y la exsolución de un $4\text{ a }6\,\%$ de agua impulsa la mayoría de las erupciones explosivas. Cuánta agua puede contener un fundido depende ante todo de la presión. La figura siguiente muestra medidas en fundidos basálticos y riolíticos mantenidos a una presión de agua conocida hasta la saturación, templados luego a vidrio y analizados: la solubilidad crece deprisa a baja presión y más despacio a alta presión.

**Proposición 5.6 (Ley de la raíz cuadrada para el agua).**

Supóngase que el agua se disuelve en un [fundido silicatado](#def-b2-magma-emplacement-magma) sobre todo como grupos hidroxilo, mediante la reacción $\mathrm{H_2O\,(gas)} + \mathrm{O^{2-}\,(melt)} \rightleftharpoons
2\,\mathrm{OH^-\,(melt)}$, con el oxígeno del fundido en gran exceso. Entonces, con contenidos de agua bajos, el agua disuelta es proporcional a la raíz cuadrada de la presión de agua: $w \approx s\sqrt{p}$, con $s$ una constante del fundido y de la temperatura.

**Demostración.** La ley de acción de masas da $x_{\mathrm{OH}}^2 = K\,x_{\mathrm{O}}\,f$, donde $f$ es la fugacidad del agua (cercana a su presión a presiones moderadas) y las $x$ son fracciones molares. El oxígeno del fundido está en gran exceso, de modo que $x_{\mathrm{O}}$ permanece casi constante, y $x_{\mathrm{OH}} = \sqrt{Kx_{\mathrm{O}}}\,
\sqrt f$. Cada molécula de agua disuelta forma dos hidroxilos, de modo que el agua disuelta es $x_{\mathrm{OH}}/2$, proporcional a $\sqrt f$. Con contenidos mayores parte del agua se disuelve como moléculas, en proporción a la propia $f$, y la solubilidad crece más deprisa que la raíz cuadrada ([Ejercicio 5.10](#exo-b2-magma-emplacement-10)). ∎

Ajustada por mínimos cuadrados a las medidas, $w = s\sqrt p$ da $s = 0.34$ por ciento en masa por $\sqrt{\mathrm{MPa}}$ para los basaltos y $s = 0.44$ para las riolitas; todas las medidas quedan a menos de un uno por ciento de agua de su curva. La presión de saturación de un fundido con un $w$ por ciento de agua es entonces $p_s = (w/s)^2$: $129\,\mathrm{MPa}$ para una riolita con un $5\,\%$ de agua, a unos $5\,\mathrm{km}$ de profundidad en la corteza, pero solo $2\,\mathrm{MPa}$ para un basalto con un $0.5\,\%$, a cien metros o menos.

![Solubilidad del agua en fundidos basálticos y riolíticos de 800 to 1200\, C frente a la presión de agua: medidas compiladas por Moore y colaboradores (1998), y leyes de raíz cuadrada ajustadas por mínimos cuadrados. A 100\, MPa, a unos 4\, km de profundidad en la corteza, una riolita puede contener un 4.4\,\% de agua, y un basalto un 3.4\,\%.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/fig-5acf7757c8c6.svg)

*Solubilidad del agua en fundidos basálticos y riolíticos de $800\text{ a }1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ frente a la presión de agua: medidas compiladas por Moore y colaboradores (1998), y leyes de raíz cuadrada ajustadas por mínimos cuadrados. A $100\,\mathrm{MPa}$, a unos $4\,\mathrm{km}$ de profundidad en la corteza, una riolita puede contener un $4.4\,\%$ de agua, y un basalto un $3.4\,\%$.*

El dióxido de carbono es mucho menos soluble que el agua. Se disuelve como moléculas en las riolitas y como grupos carbonato en los basaltos, más en los fundidos alcalinos que en las toleítas, y su solubilidad también crece con la presión. Un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) que lleva ambos gases empieza por tanto a exsolverlos en profundidad, con un gas muy rico en CO$_2$, y el gas se enriquece en agua a medida que el [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) sube. Los basaltos emitidos en el fondo oceánico profundo contienen vesículas de más de un $95\,\%$ de CO$_2$, lo que exigió la saturación en CO$_2$ incluso bajo $5\,\mathrm{km}$ de agua. Las estimaciones del contenido inicial en CO$_2$ de los basaltos parentales del Kilauea van de $0.2\text{ a }0.6\,\%$, y las inclusiones de fundido atrapadas en sus cristales de olivino registran presiones de saturación de hasta $500\,\mathrm{MPa}$.

El gas exsuelto ocupa un gran volumen. Un uno por ciento de agua en un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) a $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ocupa, como gas ideal, cerca del $12\,\%$ del volumen a $100\,\mathrm{MPa}$, el $57\,\%$ a $10\,\mathrm{MPa}$ y más del $99\,\%$ a la presión atmosférica ([Ejercicio 5.7](#exo-b2-magma-emplacement-7)). Las burbujas bajan aún más la densidad del [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) y lo impulsan hacia arriba más deprisa; en un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) viscoso no pueden escapar, y el [Capítulo 6](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/6-las-erupciones-volcanicas#ch-b2-eruptive-styles) muestra cómo lo fragmentan.

## 5.4 El ascenso

Un cuerpo de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) menos denso que su entorno sufre una fuerza de flotabilidad de $\Delta\rho\,g$ por unidad de volumen, donde $\Delta\rho$ es la diferencia de densidad. Puede subir de dos maneras: por una grieta que abre por delante de sí, o como una masa caliente y blanda que aparta la roca circundante.

### 5.4.1 Los diques

En profundidad la roca está sometida a una gran presión litostática, pero una grieta llena de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) a una presión algo mayor que el esfuerzo principal mínimo puede abrirse y alargarse por su extremo. El [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) llena la grieta a medida que crece, y el resultado es una lámina delgada de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma), de metros de anchura y kilómetros de longitud, que se abre camino hacia arriba: un [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) en formación. El [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) fluye entonces entre dos paredes casi paralelas.

**Proposición 5.7 (Flujo del magma en un dique).**

Un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) newtoniano de viscosidad $\eta$ impulsado hacia arriba por un gradiente de presión $G$ (en el flujo por flotabilidad, $G = \Delta\rho\,g$) entre dos paredes paralelas separadas una distancia $w$ fluye con la velocidad media

$$
\bar u = \frac{G w^2}{12\,\eta},
$$

y el caudal volumétrico por unidad de longitud de [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) es $q = \bar u w = G w^3/(12\eta)$.

**Demostración.** En un flujo laminar estacionario el perfil de velocidad a través del [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) es la parábola de Poiseuille plana $u(x) = \frac{G}{2\eta}\left(\frac{w^2}{4} - x^2\right)$, para $-w/2 \le x \le w/2$, que se anula en ambas paredes. Su media es $\bar u = \frac1w\int_{-w/2}^{w/2}u\,dx = \frac{G}{2\eta}\left(\frac{w^2}{4} -
\frac{w^2}{12}\right) = \frac{Gw^2}{12\eta}$. ∎

El cubo de la anchura hace los [diques](#def-b2-magma-emplacement-bodies) anchos mucho más eficaces que los estrechos. Un basalto de $100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ en un [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $1\,\mathrm{m}$ de anchura, con $\Delta\rho =
300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, sube a unos $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y atraviesa $10\,\mathrm{km}$ de corteza en una hora; una riolita de $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ en el mismo [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) tardaría más de un año, y se congelaría por el camino, de modo que los [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) silícicos necesitan [diques](#def-b2-magma-emplacement-bodies) mucho más anchos ([Ejercicio 5.6](#exo-b2-magma-emplacement-6)). El número de Reynolds $\rho\bar u w/\eta$ de estos flujos es lo bastante pequeño para que sigan siendo laminares. Las velocidades de ascenso estimadas para los [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) durante las erupciones separan las erupciones efusivas, por debajo de unos $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, de las explosivas, por encima, con un intervalo de transición de $0.005\text{ a }0.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el que se dan ambos estilos; las kimberlitas, que proceden de profundidades de más de $150\,\mathrm{km}$, se han estimado en $0.1\text{ a }30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, y un estudio de difusión de una de ellas da $0.02\text{ a }0.23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de media en los últimos $80\text{ a }110\,\mathrm{km}$, un viaje de $5\text{ a }74$ días.

### 5.4.2 Los diapiros

**Definición 5.8 (Diapiro, nivel de flotabilidad neutra, stoping).**

Un *diapiro* es un cuerpo de material flotante, [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) o roca parcialmente fundida, que sube a través de su entorno apartándolo al fluir. El *nivel de flotabilidad neutra* de un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) es la profundidad a la que su densidad es igual a la de la roca circundante: por debajo, el [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) flota; por encima, es más denso que su entorno. El *stoping magmático* es el desprendimiento de bloques de la roca de las paredes o del techo, que se hunden en el [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma); los bloques que quedan englobados en la roca solidificada son xenolitos.

**Proposición 5.9 (Ascenso de Stokes).**

Una esfera de radio $a$ y déficit de densidad $\Delta\rho$ que sube despacio a través de un medio newtoniano de viscosidad $\eta$ alcanza la velocidad terminal

$$
v = \frac{2\,\Delta\rho\,g\,a^2}{9\,\eta}
$$

si es rígida, y $1.5$ veces esta si es un fluido de viscosidad despreciable.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

La roca que rodea un [diapiro](#def-b2-magma-emplacement-ascent) no es un fluido de $100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ sino un sólido caliente, cuya viscosidad es muchos órdenes de magnitud mayor que la de cualquier fundido: en la corteza, una esfera de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) de un kilómetro de diámetro sube solo milímetros al año, y pierde su calor mucho antes de haber subido lejos ([Ejercicio 5.9](#exo-b2-magma-emplacement-9)). Los [diapiros](#def-b2-magma-emplacement-ascent) funcionan donde el entorno es caliente y blando, en el manto y en las raíces profundas de las cordilleras, y donde el material flotante es una masa parcialmente fundida de kilómetros de diámetro; la corteza somera la atraviesan los [diques](#def-b2-magma-emplacement-bodies).

## 5.5 El emplazamiento

La mayor parte del [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) nunca llega a la superficie. Se detiene donde deja de flotar, o donde lo bloquea una capa más resistente, y se extiende en un cuerpo cuya forma registra cómo se hizo sitio.

**Definición 5.10 (Cuerpos intrusivos).**

Un *plutón* es cualquier cuerpo de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) que se solidificó dentro de la corteza. Un *dique* es un plutón laminar que corta la estratificación de su roca encajante (o cualquier lámina si el encajante no está estratificado); un *filón capa* es un plutón laminar paralelo a la estratificación. Un *lacolito* es un filón capa que ha engrosado levantando las capas suprayacentes en forma de domo. Un *batolito* es un gran plutón, o un conjunto de plutones, con una superficie aflorante de más de $100\,\mathrm{km}^{2}$.

![Formas de los cuerpos intrusivos en un encajante estratificado (esquema, sin escala): un dique alimentador que corta las capas, un filón capa a lo largo de un plano de estratificación, un lacolito que abomba las capas que tiene encima, un dique que corta hasta la superficie, y un batolito con bloques desprendidos de su techo y una aureola de contacto.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/fig-899f9c92c436.svg)

*Formas de los cuerpos intrusivos en un encajante estratificado (esquema, sin escala): un [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) alimentador que corta las capas, un [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies) a lo largo de un plano de estratificación, un [lacolito](#def-b2-magma-emplacement-bodies) que abomba las capas que tiene encima, un [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) que corta hasta la superficie, y un [batolito](#def-b2-magma-emplacement-bodies) con bloques desprendidos de su techo y una [aureola de contacto](#def-b2-magma-emplacement-aureole).*

Dónde se detiene un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) depende en primer lugar de su densidad. En una corteza cuya densidad aumenta con la profundidad, un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) sube hasta su [nivel de flotabilidad neutra](#def-b2-magma-emplacement-ascent) y se extiende lateralmente allí, como [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies) o como lente; los sedimentos ligeros cercanos a la superficie son trampas especialmente eficaces para el [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) basáltico denso. Una capa resistente y rígida puede también detener un [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) y desviarlo a lo largo de su base. La figura siguiente muestra el principio.

![El nivel de flotabilidad neutra (esquema). La densidad de la corteza aumenta con la profundidad, por compactación de los sedimentos y por el paso a rocas más densas; un magma de densidad fija sube mientras es más ligero que su entorno (sombreado) y se extiende donde las dos densidades se igualan.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/fig-e2a038b75095.svg)

*El [nivel de flotabilidad neutra](#def-b2-magma-emplacement-ascent) (esquema). La densidad de la corteza aumenta con la profundidad, por compactación de los sedimentos y por el paso a rocas más densas; un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) de densidad fija sube mientras es más ligero que su entorno (sombreado) y se extiende donde las dos densidades se igualan.*

Un [plutón](#def-b2-magma-emplacement-bodies) debe hacerse sitio. Puede levantar su techo, como hace un [lacolito](#def-b2-magma-emplacement-bodies); puede apartar sus paredes donde son blandas; puede llenar el espacio abierto por fallas; y puede desprender su techo, bloque a bloque. Durante mucho tiempo se imaginaron los grandes plutones como enormes depósitos de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) emplazados de una sola vez. La datación ha cambiado esa imagen. Los circones de la Suite Intrusiva de Tuolumne, un [batolito](#def-b2-magma-emplacement-bodies) granítico de California, muestran que se emplazó entre $95$ y $85\,\mathrm{Ma}$, con lo más antiguo en los bordes y lo más joven en el centro, y una sola de sus unidades durante más de $3\,\mathrm{Myr}$, entre $92.8\,\mathrm{Ma}$ y $88.8\,\mathrm{Ma}$. Un único cuerpo de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) de $5\,\mathrm{km}$ de espesor y $20\,\mathrm{km}$ de anchura emplazado a $15\,\mathrm{km}$ de profundidad se habría enfriado por debajo de $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, donde está cristalizado a medias, en unos $500\,000$ años. Estos plutones deben de haberse ensamblado de forma incremental, a partir de muchas intrusiones menores, como láminas y [diques](#def-b2-magma-emplacement-bodies), a lo largo de millones de años ([Ejercicio 5.11](#exo-b2-magma-emplacement-11)).

![Un dique cerca de Shiprock, en el campo volcánico navajo (Nuevo México): la roca del dique resistió la erosión mejor que la arenisca y la lutita que cortaba, y hoy se alza como un muro; al fondo, el cuello volcánico del que irradian varios diques como este. Fotografía: Dexter Perkins (CC0).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/img-275f4c2b5c29.jpg)

*Un [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) cerca de Shiprock, en el campo volcánico navajo (Nuevo México): la roca del [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) resistió la erosión mejor que la arenisca y la lutita que cortaba, y hoy se alza como un muro; al fondo, el cuello volcánico del que irradian varios [diques](#def-b2-magma-emplacement-bodies) como este. Fotografía: Dexter Perkins (CC0).*

## 5.6 Enfriamiento y metamorfismo de contacto

Una intrusión pierde su calor por conducción hacia su roca encajante. El modelo más sencillo trata la intrusión y su encajante como un único medio conductor de difusividad uniforme $\kappa$: en el instante cero una lámina de espesor $b$ está a la temperatura de intrusión $T_m$ y el encajante a $T_0$. La solución de la ecuación del calor, con $x$ medida desde el centro de la lámina, es

$$
T(x,t) = T_0 + \frac{T_m - T_0}{2}\left[\operatorname{erf}\frac{b/2 - x}{2\sqrt{\kappa t}}
+ \operatorname{erf}\frac{b/2 + x}{2\sqrt{\kappa t}}\right].
$$

La figura siguiente la muestra para un [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $100\,\mathrm{m}$ de espesor.

**Proposición 5.11 (Temperatura de contacto).**

En este modelo, mientras $\sqrt{\kappa t}$ sea pequeño frente a $b$, la temperatura en el contacto de la intrusión se mantiene en la media $(T_m + T_0)/2$ de las temperaturas de la intrusión y del encajante.

**Demostración.** En el contacto $x = b/2$ la primera función error es $\operatorname{erf}0 = 0$ y la segunda es $\operatorname{erf}(b/(2\sqrt{\kappa t}))$, que es cercana a $1$ mientras $b \gg 2\sqrt{\kappa t}$. Entonces $T = T_0 + (T_m - T_0)/2$. ∎

Un [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) basáltico a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en rocas a $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ calienta así su contacto a $600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. El calor de cristalización, típicamente de $700\text{ a }1000\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$, mantiene el [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) caliente más tiempo y eleva este valor: con $900\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ liberados entre $1150$ y $950\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ el mismo modelo da $690\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, mientras que las conductividades dependientes de la temperatura y los encajantes húmedos rebajan ambas estimaciones entre 50 y $75\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

![Enfriamiento conductivo de un filón capa de 100\, m de espesor (sombreado), intruido a 1150\, C en una roca a 100\, C, con = 0.7 × 10-6\, m2/ s y sin calor latente. El contacto se mantiene cerca de 625\, C durante décadas mientras el calor se extiende por el encajante; al cabo de dos siglos el filón capa y su entorno forman una sola zona templada amplia.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/fig-c4909d6acc3e.svg)

*Enfriamiento conductivo de un [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $100\,\mathrm{m}$ de espesor (sombreado), intruido a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en una roca a $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, con $\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ y sin calor latente. El contacto se mantiene cerca de $625\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ durante décadas mientras el calor se extiende por el encajante; al cabo de dos siglos el [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies) y su entorno forman una sola zona templada amplia.*

La escala de tiempo del enfriamiento es el tiempo que el calor necesita para difundirse a través de la intrusión, del orden de $(b/2)^2/\kappa$: unos $16$ días para un [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $2\,\mathrm{m}$ de anchura, un siglo para un [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $100\,\mathrm{m}$ de espesor, cien mil años para un [plutón](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de unos pocos kilómetros. El calor latente la alarga, y también la necesidad de solidificar el [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) y no solo enfriarlo.

**Proposición 5.12 (Solidificación de una intrusión).**

Llene un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) a su temperatura de solidificación $T_m$, con calor latente $L$ por unidad de volumen, el espacio $y > 0$ junto a una roca encajante a $T_0$ que ocupa $y < 0$, ambos de capacidad calorífica $\rho c$ por unidad de volumen y difusividad $\kappa$. El frente de solidificación avanza como $y_s = 2\lambda\sqrt{\kappa t}$, donde $\lambda$ es la raíz de

$$
\frac{L\sqrt\pi}{\rho c\,(T_m - T_0)} = \frac{e^{-\lambda^2}}{\lambda\,(1 + \operatorname{erf}\lambda)},
$$

y el contacto se mantiene a $T_0 + (T_m - T_0)/(1 + \operatorname{erf}\lambda)$. Un [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de espesor $b$, que se solidifica desde ambas paredes, es sólido al cabo de $t = b^2/(16\lambda^2\kappa)$.

**Demostración.** El [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) por delante del frente permanece a $T_m$, de modo que el calor solo fluye en el sólido y en el encajante, donde se ensaya $T = T_0 + (T_m - T_0)(1 + \operatorname{erf}\xi)/(1 +
\operatorname{erf}\lambda)$ con $\xi = y/(2\sqrt{\kappa t})$. Toda función de $\xi$ de la forma $\alpha + \beta\operatorname{erf}\xi$ resuelve la ecuación del calor; esta tiende a $T_0$ lejos en el encajante ($\xi \to -\infty$) y vale $T_m$ en el frente $\xi = \lambda$. En $y = 0$ da la temperatura de contacto enunciada. En el frente, el calor latente liberado por el sólido que avanza, $L\,dy_s/dt = L\lambda\sqrt{\kappa/t}$ por unidad de área y de tiempo, debe evacuarse por conducción, $k\,\partial T/\partial y = k(T_m -
T_0)\,e^{-\lambda^2}/[(1 + \operatorname{erf}\lambda)\sqrt{\pi\kappa t}]$. Igualando ambos y usando $k = \rho c\kappa$ se obtiene la ecuación de $\lambda$. Cada pared del [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies) hace crecer su propio frente, de forma independiente mientras el núcleo permanece a $T_m$; los dos frentes se encuentran cuando $2\lambda\sqrt{\kappa t} = b/2$. ∎

Con el calor latente de un basalto y un encajante a unos $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\lambda$ vale cerca de $0.65$: un [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $100\,\mathrm{m}$ de espesor se solidifica en unos setenta años, y su contacto se mantiene cerca de $740\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en lugar de $625\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ mientras lo hace. El problema de fin de semana desarrolla este caso. Como el tiempo crece como el cuadrado del espesor, un [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies) diez veces más grueso tarda cien veces más.

**Definición 5.13 (La aureola de contacto y sus rocas).**

Un *borde de enfriamiento rápido* es el borde de grano fino o vítreo de una intrusión, donde el [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) se enfrió deprisa contra una roca encajante más fría. Una *aureola de contacto* es la zona de roca encajante que rodea una intrusión y que fue metamorfizada por su calor. La *corneana* es la roca dura, de grano fino y no foliada en que se convierten las lutitas y las rocas volcánicas en una aureola de contacto. El *skarn* es la roca que se forma donde los fluidos magmáticos calientes reaccionan con un encajante carbonatado y depositan silicatos de calcio, hierro y magnesio como el granate y el piroxeno, a menudo con magnetita y sulfuros metálicos.

Las [aureolas de contacto](#def-b2-magma-emplacement-aureole) van de unos pocos centímetros alrededor de los [diques](#def-b2-magma-emplacement-bodies) y filones capa pequeños a varias decenas de metros alrededor de un stock grande, y el metamorfismo de contacto abarca desde unos $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ hasta más de $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Una lutita se convierte en una [corneana](#def-b2-magma-emplacement-aureole), una caliza en un mármol, una arenisca en una cuarcita. Un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) emplazado a gran profundidad en rocas que ya están calientes apenas forma aureola: la anchura depende del tamaño y de la temperatura de la intrusión y de la temperatura de su encajante, como predice el modelo de enfriamiento ([Ejercicio 5.12](#exo-b2-magma-emplacement-12)). Los minerales que crecen en una aureola, y lo que dicen de la temperatura, corresponden al [Capítulo 10](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/10-reacciones-y-facies-metamorficas#ch-b2-metamorphic-facies); los metales que concentran los [skarns](#def-b2-magma-emplacement-aureole), al [Capítulo 29](https://one-course.com/books/earth/4/es/chapter/29-yacimientos-minerales#ch-b2-ore-deposits).

**Sobre el terreno — Leer los contactos de un dique.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/img-b11b8d5434ec.jpg)

*Un geólogo examina el contacto de un [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) oscuro con una roca encajante clara (ilustración generada por IA).*

Donde aflora un [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies), un geólogo sigue primero sus contactos con la roca encajante. Un borde de grano más fino o más vítreo que el centro del [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) indica que el [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) se enfrió bruscamente contra una roca fría; un [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $25\,\mathrm{cm}$ de anchura estudiado en la costa de la Columbia Británica tiene [bordes de enfriamiento rápido](#def-b2-magma-emplacement-aureole) de $2\,\mathrm{cm}$ de espesor. A continuación se examina la roca encajante junto al contacto en busca de cocción: un cambio de color, un endurecimiento, minerales nuevos que se desvanecen al alejarse del [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies). La anchura de la zona cocida y del [borde de enfriamiento rápido](#def-b2-magma-emplacement-aureole), medida frente a la anchura del [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies), indica lo caliente que estaba el encajante cuando llegó el [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies); un [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) sin [borde de enfriamiento rápido](#def-b2-magma-emplacement-aureole) ni aureola se intruyó en rocas que ya estaban calientes. Se toman muestras a través del [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies), del borde al centro, para la geoquímica de su fundido y para el tamaño de sus cristales.

## 5.7 Ejercicios

**Ejercicio 5.1 ★.**

Para los fundidos graníticos hidratados, una ecuación ajustada a medidas da $\log_{10}\eta = [-3.545 + 0.833\ln w] + [9601 - 2368\ln w]/\{T - [195.7 + 32.25\ln
w]\}$, con $\eta$ en $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $w$ el contenido en agua en porcentaje en masa y $T$ en kelvin. Calcúlese $\log_{10}\eta$ a $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ para $w = 1$ y $w = 4$, y el factor en que los tres por ciento de agua adicionales reducen la viscosidad.

**Solución de Ejercicio 5.1.**

$T = 1073\,\mathrm{K}$. Para $w = 1$, $\ln w = 0$: $\log_{10}\eta = -3.545 +
9601/(1073 - 195.7) = -3.545 + 10.94 = 7.40$. Para $w = 4$, $\ln 4 = 1.386$: $A = -3.545 + 1.155 = -2.390$, $B = 9601 - 3283 = 6318$, $C = 195.7 + 44.7 =
240.4$, y $\log_{10}\eta = -2.390 + 6318/832.6 = -2.390 + 7.588 = 5.20$. La viscosidad baja en un factor $10^{7.40 - 5.20} = 10^{2.20} \approx 160$.

**Ejercicio 5.2 ★.**

Con la ley de la raíz cuadrada, $s = 0.44$ para una riolita y $s = 0.34$ para un basalto (por ciento en masa por $\sqrt{\mathrm{MPa}}$), calcúlense la presión de saturación de una riolita con un $6\,\%$ de agua y de un basalto con un $0.5\,\%$, y las profundidades correspondientes en una corteza de densidad $2600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ($g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$).

**Solución de Ejercicio 5.2.**

Riolita: $p_s = (6/0.44)^2 = 186\,\mathrm{MPa}$, a una profundidad de $186 \times 10^{6}/(2600\times9.81)
= 7.3\,\mathrm{km}$. Basalto: $p_s = (0.5/0.34)^2 = 2.16\,\mathrm{MPa}$, a $2.16 \times 10^{6}/(2600\times9.81) = 85\,\mathrm{m}$. La riolita empieza a formar burbujas en lo profundo de la corteza, y el basalto solo cerca de la superficie (si no lleva CO$_2$).

**Ejercicio 5.3 ★.**

Calcúlese la temperatura de contacto de un [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) basáltico a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ intruido en rocas a $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, y luego en rocas a $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. ¿Cuál de los dos [diques](#def-b2-magma-emplacement-bodies) tendrá el [borde de enfriamiento rápido](#def-b2-magma-emplacement-aureole) más ancho?

**Solución de Ejercicio 5.3.**

$(1150 + 50)/2 = 600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $(1150 + 400)/2 = 775\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. El [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) en la roca fría se enfría más bruscamente en su contacto, y tiene el [borde de enfriamiento rápido](#def-b2-magma-emplacement-aureole) más ancho.

**Ejercicio 5.4 ★.**

Nómbrese cada cuerpo. (a) Una lámina de dolerita de $30\,\mathrm{m}$ de espesor situada entre dos capas de arenisca a lo largo de $20\,\mathrm{km}$. (b) Una lámina vertical de basalto de $2\,\mathrm{m}$ de anchura que corta calizas horizontales. (c) Un granito que aflora en $2000\,\mathrm{km}^{2}$, formado por una docena de unidades de edades distintas. (d) Una lente de pórfido de $1\,\mathrm{km}$ de diámetro, plana en su base, sobre la cual las capas están arqueadas. (e) Una lámina horizontal de basalto en un granito.

**Solución de Ejercicio 5.4.**

(a) Un [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies), paralelo a la estratificación. (b) Un [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies), que corta la estratificación. (c) Un [batolito](#def-b2-magma-emplacement-bodies), de más de $100\,\mathrm{km}^{2}$ y ensamblado a partir de muchas intrusiones. (d) Un [lacolito](#def-b2-magma-emplacement-bodies), que ha abombado su techo. (e) Un [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies): el granito no tiene estratificación, de modo que cualquier lámina en él es un [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies), sea cual sea su orientación.

**Ejercicio 5.5 ★★.**

Un fundido basáltico tiene $\eta_{\ell} = 100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Con la relación de Einstein–Roscoe ($R = 1.35$), calcúlese la viscosidad del [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) con un $5\,\%$, un $20\,\%$, un $40\,\%$ y un $60\,\%$ de cristales, y compárese la primera con la fórmula diluida de Einstein. ¿Con qué fracción de cristales predice la relación el bloqueo?

**Solución de Ejercicio 5.5.**

$(1 - 1.35\phi)^{-2.5}$: para $\phi = 0.05$, $0.9325^{-2.5} = 1.19$, es decir $119\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, frente a $1 + 2.5\times0.05 = 1.125$, $113\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, con la fórmula de Einstein (cercanos, como debe ser en el límite diluido). Para $0.20$: $0.73^{-2.5} =
2.20$, $220\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; para $0.40$: $0.46^{-2.5} = 6.97$, $697\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; para $0.60$: $0.19^{-2.5} = 63.6$, unos $6360\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Bloqueo para $\phi = 1/1.35 = 0.74$.

**Ejercicio 5.6 ★★.**

Un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) con una densidad $300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ menor que la de sus paredes sube por un [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies). (a) Para un basalto ($\eta = 100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\rho = 2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) en un [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $1\,\mathrm{m}$ de anchura, calcúlense la velocidad media, el caudal por metro de [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies), el número de Reynolds y el tiempo para subir $10\,\mathrm{km}$. (b) El mismo tiempo para una riolita de $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ en un [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $1\,\mathrm{m}$ de anchura, y luego de $10\,\mathrm{m}$. (c) Un [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $1\,\mathrm{m}$ de anchura pierde su calor en un tiempo del orden de $(w/2)^2/\kappa$, con $\kappa =
1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: ¿cuál de los tres ascensos puede tener éxito?

**Solución de Ejercicio 5.6.**

$G = 300\times9.81 = 2943\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$. (a) $\bar u = 2943\times1^2/(12\times100) =
2.45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $q = 2.45\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; $Re = 2700\times2.45\times1/100 = 66$, laminar; $t = 10000/2.45 = 4080\,\mathrm{s}$, cerca de $1.1\,\mathrm{h}$. (b) $\bar u =
2943/(12\times10^{6}) = 2.45 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $t = 4.08 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 472$ días; con $w = 10\,\mathrm{m}$, $\bar u$ es cien veces mayor, $0.0245\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, y $t =
4.08 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 4.7$ días. (c) El [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $1\,\mathrm{m}$ se enfría en unos $0.5^2/10^{-6} = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$, 2.9 días; el [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $10\,\mathrm{m}$, en $5^2/10^{-6} =
2.5 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, 289 días. El basalto ($1.1\,\mathrm{h}$) y la riolita en el [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) ancho (4.7 días) llegan antes de que sus [diques](#def-b2-magma-emplacement-bodies) se congelen; la riolita en el [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $1\,\mathrm{m}$ (472 días) no puede.

**Ejercicio 5.7 ★★.**

Un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) de densidad $2400\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ a $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ libera el $1\,\%$ de su masa como vapor de agua. Tratando el vapor como un gas ideal ($R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$, $18.015\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$), calcúlese la fracción de volumen de gas en el [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) a $100\,\mathrm{MPa}$, $10\,\mathrm{MPa}$ y $0.1\,\mathrm{MPa}$. ¿Cuál de los tres valores es el menos fiable, y por qué?

**Solución de Ejercicio 5.7.**

Por kilogramo de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma), $n = 10/18.015 = 0.555\,\mathrm{mol}$ de agua y $nRT =
0.555\times8.314\times1173 = 5414\,\mathrm{J}$; el fundido restante ocupa $0.99/2400 =
4.13 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$. A $100\,\mathrm{MPa}$: $V = 5.41 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$, fracción $5.41/(5.41 + 41.3) = 0.12$. A $10\,\mathrm{MPa}$: $V = 5.41 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$, fracción $0.57$. A $0.1\,\mathrm{MPa}$: $V = 0.0541\,\mathrm{m}^{3}$, fracción $0.992$. El valor a $100\,\mathrm{MPa}$ es el menos fiable: el vapor de agua a esa presión es denso y está lejos de ser ideal (y buena parte del agua seguiría de hecho disuelta).

**Ejercicio 5.8 ★★.**

En una cuenca, la densidad de las rocas aumenta con la profundidad $z$ según $\rho(z) =
2300 + 60\,z$ ($\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $z$ en $\mathrm{km}$) hasta $10\,\mathrm{km}$. (a) ¿Dónde está el [nivel de flotabilidad neutra](#def-b2-magma-emplacement-ascent) de un fundido basáltico de $2650\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$? (b) El modelo de densidad de este capítulo muestra que un uno por ciento de agua disuelta reduce la densidad de un fundido basáltico en unos $70\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. ¿Dónde se detiene un fundido con un uno por ciento más de agua? (c) ¿Cuál es la fuerza de flotabilidad por metro cúbico del fundido seco $2\,\mathrm{km}$ por debajo de su [nivel de flotabilidad neutra](#def-b2-magma-emplacement-ascent)?

**Solución de Ejercicio 5.8.**

(a) $2300 + 60z = 2650$ da $z = 5.8\,\mathrm{km}$. (b) El fundido tiene $2580\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$: $z = 280/60 = 4.7\,\mathrm{km}$, cerca de $1.2\,\mathrm{km}$ más arriba. (c) A $z = 7.8\,\mathrm{km}$ la roca tiene $2300 + 60\times7.8 = 2770\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; la fuerza es $(2770 - 2650)\times9.81 = 1.2\,\mathrm{kN}$ por metro cúbico, hacia arriba.

**Ejercicio 5.9 ★★.**

Supóngase que un [diapiro](#def-b2-magma-emplacement-ascent) granítico de radio $1\,\mathrm{km}$ y déficit de densidad $300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ sube a través de una corteza inferior de viscosidad $10^{19}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Calcúlense su velocidad de Stokes (esfera rígida) en milímetros por año y el tiempo para subir $10\,\mathrm{km}$. Compárese con la escala de tiempo $a^2/\kappa$ de su enfriamiento, con $\kappa
= 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. ¿Qué se concluye?

**Solución de Ejercicio 5.9.**

$v = 2\times300\times9.81\times(1000)^2/(9\times10^{19}) = 6.5 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, es decir $6.5 \times 10^{-11}\times3.156 \times 10^{7} = 2.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ al año, $2.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. Subir $10\,\mathrm{km}$ lleva $10^{4}/2.1 \times 10^{-3} = 4.8\,\mathrm{Myr}$. La escala de tiempo del enfriamiento es $(1000)^2/10^{-6} = 10^{12}\,\mathrm{s} = 32\,\mathrm{kyr}$: el cuerpo se solidifica tras subir unos $32000\times0.0021 \approx 70\,\mathrm{m}$. Un [diapiro](#def-b2-magma-emplacement-ascent) magmático no puede atravesar una corteza así; necesita un entorno más caliente y blando.

**Ejercicio 5.10 ★★★.**

El agua se disuelve en un fundido a la vez como moléculas, $x_m = K_1 f$, y como grupos hidroxilo, $x_{\mathrm{OH}}^2 = K_2 x_m$ (con el oxígeno del fundido en gran exceso), de modo que el agua disuelta total es $x = x_m + x_{\mathrm{OH}}/2$. (a) Exprésese $x$ en función de $f$ y demuéstrese que se comporta como $\sqrt f$ para $f$ baja y como $f$ para $f$ alta. (b) ¿A qué fugacidad son igual de abundantes las dos formas del agua? (c) Con $K_1 = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{MPa}^{-1}$ y $K_2 = 0.2$, calcúlense esa fugacidad y la proporción de agua disuelta como hidroxilo a $100\,\mathrm{MPa}$.

**Solución de Ejercicio 5.10.**

(a) $x_{\mathrm{OH}} = \sqrt{K_2x_m} = \sqrt{K_1K_2f}$, de modo que $x = K_1f + \frac12\sqrt{K_1K_2f}$. El cociente entre el primer término y el segundo es $2\sqrt{K_1f/K_2}$: tiende a cero cuando $f \to 0$ (domina la raíz cuadrada) y crece sin límite con $f$ (domina el término lineal). (b) $K_1 f = \frac12\sqrt{K_1K_2 f}$ da $K_1^2f^2 =
K_1K_2f/4$, de modo que $f = K_2/(4K_1)$. (c) $f = 0.2/(4 \times 10^{-4}) = 500\,\mathrm{MPa}$. A $100\,\mathrm{MPa}$: $x_m = 0.0100$, $\frac12\sqrt{10^{-4}\times0.2\times100} =
\frac12\times0.0447 = 0.0224$, de modo que $x = 0.0324$ y la proporción de hidroxilo es $0.0224/0.0324 = 69\,\%$.

**Ejercicio 5.11 ★★★.**

Un [plutón](#def-b2-magma-emplacement-bodies) granítico de $1000\,\mathrm{km}^{3}$ se ensambla a lo largo de $4\,\mathrm{Myr}$. (a) Calcúlese su aporte medio de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) en $\mathrm{km}^{3}$ por año y en $\mathrm{m}^{3}$ por segundo. (b) Lo alimenta un único [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $1\,\mathrm{km}$ de longitud y $2\,\mathrm{m}$ de anchura, con una velocidad media de $0.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: ¿cuánto tardaría el [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) en aportar todo el [plutón](#def-b2-magma-emplacement-bodies)? ¿Qué fracción de los $4\,\mathrm{Myr}$ es eso? (c) Si el [plutón](#def-b2-magma-emplacement-bodies) está formado por láminas de $20\,\mathrm{m}$ de espesor y $10\,\mathrm{km}$ por $10\,\mathrm{km}$ de extensión, ¿cuántas láminas hacen falta, y cuánto tiempo separa de media dos de ellas? (d) Con $\lambda = 0.65$ y $\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, ¿cuánto tarda una lámina en solidificarse? ¿Es el [plutón](#def-b2-magma-emplacement-bodies) alguna vez un único gran cuerpo de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma)?

**Solución de Ejercicio 5.11.**

(a) $1000/4 \times 10^{6} = 2.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{3}$ al año, es decir $2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{3}$ al año, o $2.5 \times 10^{5}/3.156 \times 10^{7} = 0.0079\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, unos ocho litros por segundo. (b) El [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) transporta $1000\times2\times0.8 = 1600\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, y aporta $10^{12}\,\mathrm{m}^{3}$ en $6.25 \times 10^{8}\,\mathrm{s}$, unos 20 años: $5 \times 10^{-6}$ de los $4\,\mathrm{Myr}$. (c) Cada lámina contiene $20\times10^{4}\times10^{4} = 2 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{3} =
2\,\mathrm{km}^{3}$, de modo que hacen falta 500 láminas, una cada $4 \times 10^{6}/500 = 8000$ años de media. (d) $t = (10)^2/(4\times0.65^2\times0.7 \times 10^{-6}) = 8.5 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, 2.7 años. Cada lámina se solidifica miles de años antes de que llegue la siguiente: salvo que el aporte llegue en pulsos rápidos, el [plutón](#def-b2-magma-emplacement-bodies) nunca es un único gran cuerpo de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma), como sugiere la datación de los grandes plutones.

**Ejercicio 5.12 ★★★.**

Lejos de un [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) delgado de anchura $b$ (a distancias $x \gg b$), su calor actúa como una fuente plana instantánea: $T - T_0 = (T_m - T_0)\,b\,e^{-x^2/(4\kappa
t)}/\sqrt{4\pi\kappa t}$. (a) Demuéstrese que a la distancia $x$ la temperatura es máxima en $t^* = x^2/(2\kappa)$, y que este aumento máximo es $\Delta T_{\max} = (T_m -
T_0)\,b/(x\sqrt{2\pi e})$. (b) Para un [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $2\,\mathrm{m}$ de anchura con $T_m - T_0 =
1100\,\mathrm{K}$, ¿a qué distancia se calienta la roca como mucho $100\,\mathrm{K}$, y cuándo ($\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$)? (c) ¿Por qué son tan estrechas las aureolas de los [diques](#def-b2-magma-emplacement-bodies) delgados?

**Solución de Ejercicio 5.12.**

(a) Para $x$ fija, $\ln(T - T_0) = \text{cte} - \frac12\ln t - x^2/(4\kappa t)$, cuya derivada $-1/(2t) + x^2/(4\kappa t^2)$ se anula en $t^* = x^2/(2\kappa)$. Entonces $e^{-x^2/(4\kappa t^*)} = e^{-1/2}$ y $\sqrt{4\pi\kappa t^*} = x\sqrt{2\pi}$, de modo que $\Delta
T_{\max} = (T_m - T_0)\,b\,e^{-1/2}/(x\sqrt{2\pi}) = (T_m - T_0)\,b/(x\sqrt{2\pi e})$. (b) $\sqrt{2\pi e} = 4.13$: $x = 1100\times2/(100\times4.13) = 5.3\,\mathrm{m}$, que se alcanza al cabo de $t^* = 5.3^2/(2\times0.7 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, unos 230 días (a solo 2.7 anchuras de [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies), la aproximación de fuente plana es tosca). (c) El calentamiento decrece como $b/x$: un [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) delgado lleva poco calor, y la roca solo se calienta de forma apreciable a unas pocas anchuras de [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies).

## 5.8 Problema: el filón capa bajo la meseta

**Problema 5.1.**

Problema de fin de semana — seguir un magma basáltico desde su dique alimentador hasta un filón capa, su agua, y el tiempo que el filón capa tarda en solidificarse

Bajo una meseta imaginaria, unos sedimentos (lutita y arenisca) de densidad media $2450\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ descansan a $3.0\,\mathrm{km}$ de profundidad sobre un basamento cristalino de densidad $2800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. Un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) basáltico subió desde $15\,\mathrm{km}$ por un [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $2.0\,\mathrm{m}$ de anchura y se extendió a lo largo de la base de los sedimentos como un [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de dolerita de $100\,\mathrm{m}$ de espesor. Datos: temperatura de intrusión $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; ley de viscosidad del fundido $\log_{10}\eta = -4.55 + 5510/(T - 611)$ ($T$ en kelvin); densidad del fundido con su agua $2710\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; un $20\,\%$ de cristales en volumen (Einstein–Roscoe, $R = 1.35$); agua disuelta $0.40\,\%$, solubilidad $s = 0.34$ por ciento por $\sqrt{\mathrm{MPa}}$; temperatura del encajante en el [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies) $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $\rho c = 2.5\,\mathrm{MJ}/(\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{K})$, calor latente $900\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$, considerándose que el [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) se solidifica a su temperatura de intrusión; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; un año son $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$.

**Parte I — El magma.**

1. Calcúlense $\log_{10}\eta$ y $\eta$ del fundido a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $1423\,\mathrm{K}$ ).
2. Lo mismo a $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . ¿En qué factor cambia la viscosidad en estos $50\,\mathrm{K}$ ?
3. Calcúlese la viscosidad del [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) con sus cristales a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
4. ¿Con qué fracción de cristales haría la relación de Einstein–Roscoe que el [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) se bloqueara? Compárese con la estimación de campo del final del flujo en masa.
5. Calcúlese la diferencia de densidad entre el [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) y el basamento, y entre el [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) y los sedimentos.
6. Calcúlese la presión litostática al nivel del [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies) .

**Parte II — Subiendo por el dique.**

7. Calcúlese el gradiente de presión por flotabilidad $\Delta\rho\,g$ que impulsa el [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) a través del basamento.
8. Calcúlese la velocidad media del [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) en el [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) .
9. Calcúlense el caudal por metro de [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) y el caudal total si el [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) tiene $1.0\,\mathrm{km}$ de longitud.
10. Calcúlese el número de Reynolds del flujo. ¿Es laminar?
11. ¿Cuánto tarda el [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) en subir de $15\,\mathrm{km}$ a $3.0\,\mathrm{km}$ ?
12. Compárese con la escala de tiempo $(w/2)^2/\kappa$ en la que el [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) pierde su calor. ¿Puede mantenerse abierto?
13. Explíquese por qué el [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) se detuvo a $3.0\,\mathrm{km}$ y se extendió lateralmente, usando el vocabulario del capítulo.

**Parte III — El agua.**

14. Calcúlese la presión de saturación del agua del fundido, y la profundidad en los sedimentos a la que se alcanza.
15. ¿Cuánta agua podría contener el fundido al nivel del [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies) ? ¿Exsuelve agua el [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) del [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies) ?
16. Las vesículas del [borde de enfriamiento rápido](#def-b2-magma-emplacement-aureole) del [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies) contienen sobre todo CO $_2$ . Explíquese.
17. Si todo el $0.40\,\%$ de agua saliera en la superficie, a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $0.1\,\mathrm{MPa}$ , ¿qué fracción de volumen del [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) ocuparía el vapor (gas ideal)?

**Parte IV — Enfriamiento y solidificación.**

18. Sin tener en cuenta el calor latente, calcúlese la temperatura de contacto del [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies) .
19. Sin tener en cuenta el calor latente, calcúlese la temperatura $10\,\mathrm{m}$ por encima del contacto superior $10$ años después de la intrusión.
20. Con el mismo modelo, calcúlese la temperatura en el centro del [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies) al cabo de $10$ años y de $50$ años.
21. Con el mismo modelo, $80\,\mathrm{m}$ por encima del contacto superior, calcúlese la temperatura al cabo de $300$ , $363$ y $420$ años. ¿Llega alguna vez la roca de ese punto a $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?
22. Calcúlese $L\sqrt\pi/(\rho c\,(T_m - T_0))$ para el [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies) .
23. Evalúese $e^{-\lambda^2}/(\lambda(1 + \operatorname{erf}\lambda))$ para $\lambda = 0.64$ , $0.65$ y $0.66$ ( $\operatorname{erf}0.64 = 0.6346$ , $\operatorname{erf}0.65 = 0.6420$ , $\operatorname{erf}0.66 = 0.6494$ ), y dese $\lambda$ con dos decimales.
24. Con calor latente, calcúlese la temperatura de contacto mientras el [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies) se solidifica. ¿Por qué es más alta que en la pregunta 18?
25. Calcúlese la escala de tiempo $(b/2)^2/\kappa$ en años.
26. Calcúlese el tiempo que tarda el [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies) en solidificarse, en años, el número clave de este problema, y explíquese por qué es más corto que la escala de tiempo de la pregunta anterior aunque haya que evacuar el calor latente.

**Solución de Problema 5.1.**

**1.** $\log_{10}\eta = -4.55 + 5510/(1423 - 611) = -4.55 + 6.786 = 2.24$; $\eta = 172\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

**2.** $-4.55 + 5510/762 = -4.55 + 7.231 = 2.68$, $\eta = 480\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$: un factor $480/172 = 2.8$ en $50\,\mathrm{K}$.

**3.** $172\times(1 - 1.35\times0.20)^{-2.5} = 172\times0.73^{-2.5} = 172\times2.20 =
378\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

**4.** $\phi = 1/1.35 = 0.74$. Los datos de campo sitúan el final del flujo en masa en una fracción de fundido de un $30\text{ a }50\,\%$, es decir, un $50\text{ a }70\,\%$ de cristales: antes, porque los cristales reales no son esferas de un solo tamaño.

**5.** Basamento: $2800 - 2710 = 90\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; el [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) es más ligero. Sedimentos: $2450 - 2710 = -260\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; el [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) es más denso.

**6.** $p = 2450\times9.81\times3000 = 72.1\,\mathrm{MPa}$.

**7.** $90\times9.81 = 883\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$.

**8.** $\bar u = 883\times2.0^2/(12\times378) = 3532/4536 = 0.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**9.** $q = 0.78\times2.0 = 1.56\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; en $1.0\,\mathrm{km}$, unos $1560\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

**10.** $Re = 2710\times0.78\times2.0/378 = 11$: laminar.

**11.** $12000/0.78 = 15\,400\,\mathrm{s}$, unas $4.3\,\mathrm{h}$.

**12.** $(1.0)^2/0.7 \times 10^{-6} = 1.43 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, 16.5 días, mucho más que $4.3\,\mathrm{h}$: el [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) se mantiene abierto mientras fluye el [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma).

**13.** A $3.0\,\mathrm{km}$ el [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) encuentra sedimentos más ligeros que él: la base de los sedimentos es su [nivel de flotabilidad neutra](#def-b2-magma-emplacement-ascent). Por encima, el [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) sería más denso que su entorno, de modo que se extiende lateralmente a lo largo del contacto como un [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies).

**14.** $p_s = (0.40/0.34)^2 = 1.38\,\mathrm{MPa}$, que se alcanza a $1.38 \times 10^{6}/(2450\times9.81) = 58\,\mathrm{m}$ bajo la superficie.

**15.** $0.34\times\sqrt{72.1} = 0.34\times8.49 = 2.9\,\%$, mucho más que el $0.40\,\%$ presente: el [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) del [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies) no exsuelve agua.

**16.** El CO$_2$ es mucho menos soluble que el agua: se satura y forma burbujas en lo profundo del ascenso, de modo que el primer gas de un basalto es sobre todo CO$_2$.

**17.** Por kilogramo, $n = 4.0/18.015 = 0.222\,\mathrm{mol}$, $V = 0.222\times8.314\times1423/
10^{5} = 0.0263\,\mathrm{m}^{3}$; el fundido ocupa $0.996/2710 = 3.68 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$; la fracción es $0.0263/(0.0263 + 0.000368) = 0.986$, un $98.6\,\%$.

**18.** $(1150 + 100)/2 = 625\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**19.** Al cabo de 10 años, $2\sqrt{\kappa t} = 2\sqrt{0.7 \times 10^{-6}\times3.156 \times 10^{8}} =
29.7\,\mathrm{m}$. El punto está a $x = 60\,\mathrm{m}$ del centro: $T = 100 +
525\,[\operatorname{erf}(-10/29.7) + \operatorname{erf}(110/29.7)] = 100 + 525\,(-0.365 +
1.000) = 433\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**20.** En el centro, $T = 100 + 1050\operatorname{erf}(50/2\sqrt{\kappa t})$: al cabo de 10 años $1050\operatorname{erf}(1.68) = 1050\times0.983$, $T = 1132\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; al cabo de 50 años, $2\sqrt{\kappa t} = 66.5\,\mathrm{m}$, $1050\operatorname{erf}(0.752) = 1050\times0.713$, $T = 848\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**21.** En $x = 130\,\mathrm{m}$: $294\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ al cabo de 300 años, $295\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ al cabo de 363 años (el máximo) y $295\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ al cabo de 420 años. Sin calor latente, la roca situada $80\,\mathrm{m}$ por encima del [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies) nunca llega del todo a $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**22.** $9 \times 10^{8}\times1.772/(2.5 \times 10^{6}\times1050) = 0.608$.

**23.** $\lambda = 0.64$: $e^{-0.4096}/(0.64\times1.6346) = 0.6639/1.0461 = 0.635$; $0.65$: $0.6554/1.0673 = 0.614$; $0.66$: $0.6469/1.0886 = 0.594$. El valor $0.608$ queda entre $0.65$ y $0.66$, cerca de $0.65$: $\lambda = 0.65$.

**24.** $100 + 1050/(1 + 0.642) = 100 + 640 = 740\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. El calor latente liberado en el frente de solidificación mantiene el lado del [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ más tiempo, de modo que el contacto recibe más calor.

**25.** $(50)^2/0.7 \times 10^{-6} = 3.57 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$, 113 años.

**26.** $t = (100)^2/(16\times0.65^2\times0.7 \times 10^{-6}) = 10^{4}/4.73 \times 10^{-6} =
2.11 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$, de modo que $2.11 \times 10^{9}/3.156 \times 10^{7}$: el [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies) es sólido al cabo de **$67\,$ años**. Es más corto que $(b/2)^2/\kappa$ en el factor $1/(4\lambda^2) = 0.59$: esa escala de tiempo solo fija el orden de magnitud, y las dos paredes del [filón capa](#def-b2-magma-emplacement-bodies) extraen calor hacia un encajante frío a la vez, lo bastante deprisa para evacuar también el calor latente.