--- title: "Géochimie isotopique" book: "Sciences de la Terre et de l’Univers à l’université — 2e année" subject: earth language: fr chapter: 4 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/4-geochimie-isotopique license: CC-BY-NC-SA-4.0 credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)" --- # Chapitre 4 — Géochimie isotopique Mangaia, dans le Pacifique sud, et Tristan da Cunha, dans l’Atlantique sud, sont deux îles volcaniques bâties de basalte, et un échantillon de roche de l’une ressemble beaucoup à un échantillon de l’autre, ou d’une dorsale médio-océanique. Leurs isotopes les distinguent. Le strontium des basaltes de Mangaia porte la même proportion de strontium-87 que celui des dorsales, soit environ $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.7028$, tandis que leur plomb compte parmi les plus radiogéniques de la Terre, avec $^{206}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ voisin de 21.6, contre 18.4 pour les dorsales. Les basaltes de Tristan contiennent davantage de strontium-87, de 0.7050 à 0.7054, et moins de néodyme-143 que l’un ou l’autre. La fusion ne trie pas les isotopes de ces éléments lourds : chaque lave porte donc la signature isotopique du manteau qui l’a fondu. Le manteau terrestre n’est pas un réservoir unique mais plusieurs, qui ont conservé pendant des milliards d’années des rapports parent–fils différents. Ce chapitre utilise la désintégration radioactive du rubidium, du samarium, de l’uranium et du thorium comme série de traceurs, suit l’évolution du manteau et de la croûte continentale grâce aux isotopes du néodyme, sépare le manteau en réservoirs et en mélanges de réservoirs, examine la vitesse de croissance des continents, et se termine par les isotopes stables légers de l’oxygène, de l’hydrogène et du carbone, qui tracent l’eau et le carbone à travers la Terre. **Tu sais déjà.** Un parent radioactif se désintègre au taux $\lambda P$, et dans un système fermé le rapport du fils croît selon $(D/D_s)_{\text{actuel}} = (D/D_s)_0 + (P/D_s)_{\text{actuel}} (e^{\lambda t}-1)$, $D_s$ étant un isotope stable du fils ; des minéraux ou des roches formés ensemble se placent sur une isochrone, dont la pente donne l’âge et dont l’ordonnée à l’origine donne le rapport initial (volume de lycée, dernière année ; volume de première année, chapitre sur la datation radiométrique). Un spectromètre de masse sépare les ions selon leur rapport masse sur charge (volume de chimie de deuxième année). La valeur $\delta$ d’un échantillon est $\delta = (R_{\text{échantillon}}/R_{\text{étalon}} - 1)\times 1000$, en pour mille, et le facteur de fractionnement entre deux phases A et B est $\alpha_{\mathrm{A/B}} = R_{\mathrm A}/R_{\mathrm B}$, $R$ étant le rapport de l’isotope lourd à l’isotope léger ; ces deux grandeurs sont introduites, avec les énergies de point zéro qui causent le fractionnement isotopique, dans le volume de chimie de troisième année. Les [éléments incompatibles](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-partition), le MORB et l’OIB ont été définis au [Chapitre 3](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#ch-b2-elements-in-the-earth). ## 4.1 Traceurs isotopiques radiogéniques Trois systèmes de désintégration portent l’essentiel de l’information sur le manteau et la croûte. Le rubidium-87 se désintègre en strontium-87, le samarium-147 en néodyme-143, et l’uranium et le thorium, par leurs chaînes de désintégration, en trois isotopes du plomb. Chaque parent et chaque fils se comportent différemment lors de la fusion, et chaque fils possède un isotope stable non radiogénique par rapport auquel il est mesuré. | parent | fils | rapport mesuré | constante de désintégration (par an) | demi-vie (Ga) | | --- | --- | --- | --- | --- | | $^{87}$Rb | $^{87}$Sr | $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ | $1.3972 \times 10^{-11}$ | 49.6 | | $^{147}$Sm | $^{143}$Nd | $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ | $6.524 \times 10^{-12}$ | 106.25 | | $^{238}$U | $^{206}$Pb | $^{206}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ | $1.551\,25 \times 10^{-10}$ | 4.47 | ***Table 4.1.** Trois systèmes de désintégration à longue durée de vie utilisés comme traceurs. Données : recommandations IUPAC–IUGS (Villa et al., 2020 et 2022).* **Définition 4.1 (Traceur isotopique radiogénique).** Un *traceur isotopique radiogénique* est le rapport d’un isotope fils produit par un parent radioactif à longue durée de vie à un isotope stable du même élément, tel que $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ ou $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$, utilisé pour identifier la source d’une roche plutôt que pour la dater. Le rapport d’un réservoir croît à une vitesse fixée par son rapport parent–fils, et enregistre ainsi l’histoire de ce rapport. Les deux éléments d’un couple de désintégration sont séparés dès que le manteau fond. Au [Chapitre 3](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#ch-b2-elements-in-the-earth), le rubidium s’est révélé plus incompatible que le strontium, et le néodyme plus incompatible que le samarium. Une fusion, et la croûte qu’elle construit, laisse donc le manteau avec un Rb/Sr élevé et un Sm/Nd faible ; le résidu conserve un Rb/Sr faible et un Sm/Nd élevé. Au fil du temps, la croûte accumule du strontium-87 plus vite que sa source et du néodyme-143 plus lentement ; le [manteau appauvri](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) fait l’inverse. Les rapports des deux couples évoluent en sens opposés, un point que le diagramme Sr–Nd ci-dessous rend évident. **Proposition 4.2 (Les rapports isotopiques survivent à la fusion).** Lorsqu’une roche fond et que le liquide se sépare du résidu, les rapports $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ et $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ du liquide égalent ceux de la source à la précision des mesures près ; seuls les rapports parent–fils, Rb/Sr et Sm/Nd, sont modifiés. **Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎ L’énoncé repose sur deux faits. Les isotopes d’un même élément ont la même structure électronique : ils entrent donc presque également dans un cristal ou dans un liquide ; la différence de masse relative entre le strontium-87 et le strontium-86, environ un pour cent, est bien plus faible que pour l’oxygène ou l’hydrogène, et à haute température le logarithme d’un facteur de fractionnement à l’équilibre décroît comme l’inverse du carré de la température, vers 1. Par ailleurs la mesure elle-même corrige le fractionnement qui se produit dans le spectromètre de masse, en fixant le rapport de deux isotopes non radiogéniques (pour le néodyme, $^{146}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.7219$), ce qui effacerait aussi tout fractionnement naturel faible. Une lave échantillonne donc les rapports isotopiques de sa source, tandis que ses rapports d’[éléments en traces](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-trace) reflètent aussi la fusion. ## 4.2 L’évolution du manteau et de la croûte ### 4.2.1 Le réservoir chondritique Le samarium et le néodyme sont tous deux des [terres rares](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-ree) lithophiles réfractaires ([Chapitre 3](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#ch-b2-elements-in-the-earth)) : la [Terre silicatée globale](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-bse) devrait avoir conservé leur rapport chondritique. Les [chondrites](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/2-formation-des-planetes-et-meteorites#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) donnent alors l’histoire Sm–Nd de la Terre non différenciée. **Définition 4.3 (Réservoir uniforme chondritique).** Le *réservoir uniforme chondritique* (CHUR) est un réservoir modèle ayant la composition samarium–néodyme des [chondrites](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/2-formation-des-planetes-et-meteorites#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule), fermé depuis la formation du Système solaire. Ses rapports actuels sont $(^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd})_{\mathrm{CHUR}} = 0.512638$ et $(^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd})_{\mathrm{CHUR}} = 0.1966$. En remontant le temps avec l’équation de l’isochrone, le CHUR avait, lorsque les premiers solides se sont condensés il y a $4567\,\mathrm{Ma}$ ([Chapitre 2](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/2-formation-des-planetes-et-meteorites#ch-b2-planet-formation-meteorites)), $$ ^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.512638 - 0.1966\,\bigl(e^{\lambda\cdot 4.567 \times 10^{9}\,\mathrm{an}}-1\bigr) = 0.506692 . $$ Depuis, son rapport a augmenté de 1.2 pour cent. Les différences entre roches terrestres sont mille fois plus petites, et s’expriment dans une unité plus commode. **Définition 4.4 (Notation epsilon).** La *notation epsilon* exprime le rapport $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ d’un échantillon, à un instant $t$ avant le présent, comme son écart relatif au CHUR à la même date, en parties pour dix mille : $$ \varepsilon_{\mathrm{Nd}}(t) = \left( \frac{(^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd})_{\text{échantillon}}(t)} {(^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd})_{\mathrm{CHUR}}(t)} - 1\right)\times 10^4 . $$ Sans date, $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ est la valeur actuelle. Le MORB moyen, avec $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.513074$, a $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = (0.513074/0.512638 - 1)\times10^4 = +8.5$ ; la plupart des roches se situent entre $-20$ et $+10$. Une valeur positive signifie que la source de la roche a eu, en moyenne au cours de l’histoire de la Terre, un Sm/Nd plus élevé que celui des [chondrites](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/2-formation-des-planetes-et-meteorites#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) : elle est appauvrie en l’élément le plus incompatible, le néodyme. Une valeur négative signifie l’inverse. L’écart au Sm/Nd chondritique se mesure par la déviation fractionnaire $$ f_{\mathrm{Sm/Nd}} = \frac{(\mathrm{Sm}/\mathrm{Nd})_{\text{échantillon}}} {(\mathrm{Sm}/\mathrm{Nd})_{\mathrm{CHUR}}} - 1, $$ qui ne dépend pas de savoir si les rapports sont massiques ou atomiques. Avec les valeurs CI du [Chapitre 3](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#ch-b2-elements-in-the-earth) (Sm 0.145, Nd $0.457\,\mathrm{ppm}$, $\mathrm{Sm}/\mathrm{Nd} = 0.317$), la croûte continentale supérieure (4.7 et $27\,\mathrm{ppm}$, 0.174) a $f_{\mathrm{Sm/Nd}} = -0.45$. **Proposition 4.5 (Croissance linéaire de εNd\varepsilon_{\mathrm{Nd}}εNd​).** Un réservoir séparé du CHUR et ayant conservé depuis lors la déviation fractionnaire $f_{\mathrm{Sm/Nd}}$ voit son $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ évoluer vers l’avant dans le temps, au taux $$ \frac{\mathrm{d}\varepsilon_{\mathrm{Nd}}}{\mathrm{d}\tau} \approx Q\,f_{\mathrm{Sm/Nd}}, \qquad Q = 10^4\,\lambda_{147}\, \frac{(^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd})_{\mathrm{CHUR}}} {(^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd})_{\mathrm{CHUR}}} = 25.0\,/\mathrm{Ga}, $$ où $\tau$ est le temps compté vers l’avant. Un réservoir ayant $\varepsilon_0$ au moment de sa séparation, il y a un temps $T$, a aujourd’hui $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} \approx \varepsilon_0 + Q f_{\mathrm{Sm/Nd}} T$. **Démonstration.** Notons $R$ le rapport $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ et $p$ le rapport $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd}$. Dans un réservoir fermé $\mathrm{d}R/\mathrm{d}\tau = \lambda p\,e^{\lambda t}$, avec $t$ le temps avant le présent ; car $\lambda t \le 0.03$, le facteur $e^{\lambda t}$ diffère de 1 d’au plus 3 pour cent, et $\mathrm{d}R/\mathrm{d}\tau \approx \lambda p$. Alors $\mathrm{d}(R_s - R_c)/\mathrm{d}\tau \approx \lambda (p_s - p_c) = \lambda p_c f_{\mathrm{Sm/Nd}}$, car $p_s/p_c - 1 = f_{\mathrm{Sm/Nd}}$. Divisant par $R_c$, qui ne change que de 1.2 pour cent sur l’âge de la Terre, on obtient $\mathrm{d}\varepsilon/\mathrm{d}\tau \approx 10^4\lambda p_c f/R_c$. Avec $\lambda = 6.524 \times 10^{-12}\,/\mathrm{an}$, $p_c = 0.1966$ et $R_c = 0.512638$, $Q = 2.502 \times 10^{-8}$ par an, soit $25.0\,/\mathrm{Ga}$. ∎ Une croûte ayant le Sm/Nd de la croûte supérieure ($f = -0.45$) perd donc environ 11 unités epsilon par milliard d’années par rapport au CHUR, tandis qu’un réservoir mantellique n’a besoin que de $f = +0.07$ pour passer de 0 à la valeur MORB de $+8.5$ en $4.567\,\mathrm{Ga}$. La figure ci-dessous suit les équations exactes pour trois réservoirs : le CHUR, un [manteau appauvri](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) fermé depuis la formation de la Terre avec le Sm/Nd qui l’amène à la valeur MORB aujourd’hui ($^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.211$), et une croûte extraite de ce manteau il y a 2.7 milliards d’années avec le Sm/Nd de la croûte continentale supérieure ($0.108$). La croûte partait de $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = +3.5$, valeur de sa source à cette époque, et se situe aujourd’hui à $-27$. **Définition 4.6 (Manteau appauvri, manteau enrichi).** Un *manteau appauvri* est une partie du manteau ayant cédé des [éléments incompatibles](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-partition) à des liquides, de sorte que son Sm/Nd est plus élevé et son Rb/Sr plus bas que celui des [chondrites](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/2-formation-des-planetes-et-meteorites#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) ; avec le temps son $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ devient positif et son $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ faible. Un *manteau enrichi* est une partie du manteau qui a gagné des [éléments incompatibles](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-partition), par exemple à partir de croûte recyclée ou de petits liquides de fusion, avec un $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ négatif ou un $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ élevé. ![Évolution isotopique du néodyme, en _ Nd, du réservoir chondritique (nul par définition), d’un manteau appauvri fermé depuis 4.567\, Ga dont le Sm/Nd amène le MORB moyen actuel, et d’une croûte extraite de celui-ci il y a 2.7\, Ga avec le Sm/Nd de la croûte continentale supérieure. Chaque droite est presque rectiligne, comme l’affirme la proposition de croissance linéaire. Données : CHUR, texte de White ; MORB moyen, Gale et al. (2013) ; Sm/Nd de la croûte, Rudnick et Gao.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-isotope-geochemistry/fig-5dbe9406dcb0.svg) *Évolution isotopique du néodyme, en $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$, du réservoir chondritique (nul par définition), d’un [manteau appauvri](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) fermé depuis $4.567\,\mathrm{Ga}$ dont le Sm/Nd amène le MORB moyen actuel, et d’une croûte extraite de celui-ci il y a $2.7\,\mathrm{Ga}$ avec le Sm/Nd de la croûte continentale supérieure. Chaque droite est presque rectiligne, comme l’affirme la proposition de croissance linéaire. Données : CHUR, texte de White ; MORB moyen, Gale et al. (2013) ; Sm/Nd de la croûte, Rudnick et Gao.* ### 4.2.2 Deux réservoirs complémentaires Si la croûte continentale et le [manteau appauvri](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) provenaient d’un même réservoir chondritique, leur néodyme doit se recomposer en la valeur chondritique. Le néodyme est le vecteur : chaque réservoir compte en proportion du néodyme qu’il contient. **Proposition 4.7 (Bilan de masse isotopique).** Soient des réservoirs $i$ de masses $M_i$ et de concentrations en néodyme $C_i$ issus de la division d’un même réservoir parent. Alors, à très bonne approximation, $$ \sum_i M_i C_i\, \varepsilon_i = \Bigl(\sum_i M_i C_i\Bigr) \varepsilon_{\text{parent}}, $$ les deux membres étant évalués au même instant, et le parent étant suivi comme s’il était resté entier. **Démonstration.** Le nombre d’atomes de $^{143}\mathrm{Nd}$ et celui des atomes de $^{144}\mathrm{Nd}$ se conservent chacun lors de la division, et chacun croît (pour $^{143}\mathrm{Nd}$) ou reste constant (pour $^{144}\mathrm{Nd}$) dans chaque réservoir exactement comme dans le tout. D’où la moyenne, pondérée par le $^{144}\mathrm{Nd}$, des rapports $R_i$ égale le rapport du parent, $R_p$. La part du $^{144}\mathrm{Nd}$ dans le néodyme varie entre réservoirs de bien moins d’un millième, de sorte que pondérer par $M_iC_i$ revient à pondérer par le $^{144}\mathrm{Nd}$. Enfin $\varepsilon$ est une fonction linéaire de $R$ à un instant donné, $\varepsilon = 10^4(R/R_c - 1)$, et une moyenne pondérée de fonctions linéaires est la fonction linéaire de la moyenne pondérée. ∎ Avec la valeur de la croûte supérieure, $27\,\mathrm{ppm}$ de néodyme, prise pour toute la croûte, une croûte continentale de $7.2 \times 10^{9}\,\mathrm{km}^{3}$ à $2830\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, soit $2.0 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$ ou 0.51 pour cent de la masse de la Terre silicatée, contient $0.0051\times27/1.25 = 11$ pour cent du néodyme de la Terre silicatée ([manteau primitif](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-bse), $1.25\,\mathrm{ppm}$). Si la croûte a un $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ moyen de $-15$, une contribution négative de $0.11\times15 = 1.65$ unité doit être compensée par le manteau : un réservoir à la valeur MORB de $+8.5$ devrait contenir environ un cinquième du néodyme de la Terre silicatée (voir l’[Exercice 4.9](#exo-b2-isotope-geochemistry-9)). C’est l’un des arguments selon lesquels le [manteau appauvri](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) échantillonné par les dorsales n’est pas l’ensemble du manteau. ## 4.3 Les réservoirs du manteau Les rapports isotopiques des basaltes océaniques échantillonnent le manteau sans traverser la croûte continentale. Tracés l’un contre l’autre, ils montrent à la fois la complémentarité de la croûte et du [manteau appauvri](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs), ainsi que l’existence d’autres réservoirs. Les isotopes du strontium et du néodyme sont anticorrélés dans la plupart des basaltes océaniques : une lave à $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ élevé a un faible $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$. Cette bande est appelée bande mantellique ; elle découle du comportement opposé des deux couples lors de la fusion (le rubidium moins compatible que le strontium, le samarium plus compatible que le néodyme). Le MORB moyen se situe à son extrémité appauvrie, avec $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.702819$ et $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = +8.5$. Les [basaltes d’île océanique](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-morb-oib) s’étalent à partir de là vers des $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ plus bas et des $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ plus élevés, mais pas le long d’une seule droite. **Définition 4.8 (Pôle mantellique).** Un *pôle mantellique* est l’une des compositions isotopiques extrêmes à partir desquelles les rapports isotopiques du Sr, du Nd et du Pb des basaltes océaniques peuvent être construits par mélange. Quatre sont couramment nommés : DMM, le manteau MORB appauvri (faible $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$, $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ élevé) ; HIMU, pour un $\mu = {}^{238}\mathrm{U}/^{204}\mathrm{Pb}$ élevé dans sa source (plomb très radiogénique, $^{206}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ supérieur à 20, avec un faible $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$) ; EM1, [manteau enrichi](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) 1 (assez fort $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$, $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ négatif, plomb peu radiogénique) ; et EM2, [manteau enrichi](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) 2 (fort $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$). ![Isotopes du strontium et du néodyme de 89 basaltes de cinq îles océaniques et du basalte moyen de dorsale médio-océanique. Les îles de type HIMU se placent sous la bande principale, avec le faible rapport du strontium du MORB mais un _ Nd plus bas ; les îles de type EM1 se situent du côté enrichi du CHUR. Les laves samoanes de type EM2 atteignent 87 Sr/86 Sr = 0.7205, bien au-delà de cette échelle, vers la droite. Données : Stracke et al. (2022), CC BY 4.0 ; Gale et al. (2013) ; Edwards et al. (2019).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-isotope-geochemistry/fig-f9e81bc2efdc.svg) *Isotopes du strontium et du néodyme de 89 basaltes de cinq îles océaniques et du basalte moyen de dorsale médio-océanique. Les îles de type HIMU se placent sous la bande principale, avec le faible rapport du strontium du MORB mais un $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ plus bas ; les îles de type EM1 se situent du côté enrichi du CHUR. Les laves samoanes de type EM2 atteignent $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.7205$, bien au-delà de cette échelle, vers la droite. Données : Stracke et al. (2022), CC BY 4.0 ; Gale et al. (2013) ; Edwards et al. (2019).* Les groupes d’îles de la figure ci-dessus ne sont pas quelconques. Le groupe de Sainte-Hélène, qui comprend les îles Australes (Mangaia et Tubuai parmi elles) et l’Ascension, se place sous la bande principale et possède le plomb le plus radiogénique ($^{206}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ supérieur à 20 ; Mangaia atteint 21.5 à 22.0). Le groupe des Kerguelen, Tristan da Cunha, Gough et Kerguelen, se situe à un $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ assez élevé et à un $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ négatif, toujours avec un plomb peu radiogénique. Le groupe de la Société, avec Samoa et les Marquises, dessine une tendance Sr–Nd moins pentue, atteignant des rapports du strontium très élevés : deux laves samoanes ont des $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ de 0.7186 et 0.7205, supérieurs à celui de l’eau de mer actuelle (0.7092). Les groupes de Sainte-Hélène, des Kerguelen et de la Société sont les types HIMU, EM1 et EM2. Un rapport qui diffère entre deux parties du manteau a dû être maintenu par une différence de rapport parent–fils pendant très longtemps : un écart de 10 unités d’$\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ exige, selon la proposition de croissance linéaire, 1 milliard d’années à $f = 0.4$ ou 4 milliards d’années à $f = 0.1$. Les réservoirs du manteau sont donc anciens. Ce qu’ils sont se lit dans les rapports parent–fils que réclament leurs isotopes. HIMU exige un U/Pb élevé et un Rb/Sr faible pendant longtemps, ce qui correspond à une croûte océanique ayant perdu du plomb et du rubidium dans les fluides libérés au-dessus d’une zone de subduction, puis stockée dans le manteau pendant un ou deux milliards d’années. EM1 et EM2 exigent un Sm/Nd faible et, pour EM2, un Rb/Sr élevé : la signature d’un matériau issu des continents, tel qu’un sédiment recyclé, ou d’un [manteau enrichi](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) par de petits liquides de fusion. Ces interprétations sont discutées ; les mesures, elles, ne le sont pas. ![Une interprétation largement utilisée des réservoirs du manteau, non à l’échelle : les dorsales échantillonnent le manteau supérieur appauvri ; la croûte océanique et les sédiments retournent au manteau aux zones de subduction ; des panaches remontant du manteau profond ramènent des matériaux où se mêlent d’anciennes composantes recyclées, et donnent aux îles leur caractère HIMU, EM1 ou EM2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-isotope-geochemistry/fig-54096f2f844c.svg) *Une interprétation largement utilisée des réservoirs du manteau, non à l’échelle : les dorsales échantillonnent le manteau supérieur appauvri ; la croûte océanique et les sédiments retournent au manteau aux zones de subduction ; des panaches remontant du manteau profond ramènent des matériaux où se mêlent d’anciennes composantes recyclées, et donnent aux îles leur caractère HIMU, EM1 ou EM2.* ## 4.4 Mélange De nombreux ensembles isotopiques sont des mélanges. Une lave peut provenir d’une source qui est un mélange de deux réservoirs, ou un magma peut incorporer une partie de la croûte qu’il traverse. Les deux cas obéissent à la même algèbre. **Proposition 4.9 (Hyperbole de mélange).** Soit un mélange contenant une fraction massique $f$ du constituant A et $1-f$ du constituant B. Pour un élément de concentrations $C_{\mathrm A}$, $C_{\mathrm B}$ et de rapports isotopiques $R_{\mathrm A}$, $R_{\mathrm B}$ : 1. la concentration du mélange, $C = fC_{\mathrm A} + (1-f)C_{\mathrm B}$ , et son rapport isotopique, $R = \bigl(fC_{\mathrm A}R_{\mathrm A} + (1-f)C_{\mathrm B}R_{\mathrm B}\bigr)/C$ , satisfont $R = a + b/C$ avec des constantes $a$ et $b$ : les mélanges se placent sur une droite dans un tracé de $R$ en fonction de $1/C$ ; 2. deux tels rapports de deux éléments, $R$ et $R'$ , se placent sur une hyperbole, appelée *hyperbole de mélange* , qui n’est une droite que si le rapport des deux éléments est le même dans A et dans B. Sa courbure est fixée par $K = (C'/C)_{\mathrm A}/(C'/C)_{\mathrm B}$ . **Démonstration.** (1) Éliminons $f$ : $f = (C - C_{\mathrm B})/(C_{\mathrm A} - C_{\mathrm B})$. Alors $RC = C_{\mathrm B}R_{\mathrm B} + f(C_{\mathrm A}R_{\mathrm A} - C_{\mathrm B}R_{\mathrm B})$ est linéaire en $C$, $RC = \alpha + \beta C$, et $R = \beta + \alpha/C$. (2) La part de l’élément qui provient de A est $s = fC_{\mathrm A}/C$, et $R = R_{\mathrm B} + s(R_{\mathrm A} - R_{\mathrm B})$ est linéaire en $s$ ; de même $R'$ est linéaire en $s' = fC'_{\mathrm A}/C'$. Avec $u = f/(1-f)$, $s = u C_{\mathrm A}/(uC_{\mathrm A} + C_{\mathrm B})$ et $s' = uC'_{\mathrm A}/(uC'_{\mathrm A} + C'_{\mathrm B})$. Éliminer $u$ donne $s' = Ks/(1 + (K-1)s)$, une hyperbole dans le plan $(s, s')$, donc dans le plan $(R, R')$ ; c’est la droite $s' = s$ lorsque $K = 1$. ∎ ![Courbes de mélange entre deux constituants A et B pour trois valeurs de K, rapport des deux éléments dans A divisé par celui de B. Chaque rapport isotopique est réduit à 0 en B et à 1 en A ; le second élément est K fois plus riche en A, par rapport au premier, qu’en B, si bien que le second rapport se déplace vers A plus vite lorsque K > 1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-isotope-geochemistry/fig-e158037f8120.svg) *Courbes de mélange entre deux constituants A et B pour trois valeurs de $K$, rapport des deux éléments dans A divisé par celui de B. Chaque rapport isotopique est réduit à 0 en B et à 1 en A ; le second élément est $K$ fois plus riche en A, par rapport au premier, qu’en B, si bien que le second rapport se déplace vers A plus vite lorsque $K > 1$.* Un constituant riche en un élément domine le rapport isotopique de cet élément dans le mélange. Un sédiment recyclé contient des dizaines de fois plus de néodyme que le [manteau appauvri](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs), et quelques pour cent de ce sédiment dans une source mantellique suffisent à tirer en grande partie le $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ du mélange vers le sien (problème). Les îles de type HIMU du diagramme Sr–Nd se situent hors de toute courbe de mélange entre MORB et les îles EM1 : aucun mélange de deux constituants n’explique tous les basaltes océaniques, et les [pôles mantelliques](#def-b2-isotope-geochemistry-end-members) sont au moins quatre. Un magma qui assimile de la croûte continentale se déplace le long d’une courbe de mélange vers la croûte ; sa position sur la courbe donne la proportion de croûte incorporée, un calcul repris avec la cristallisation au [Chapitre 8](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/8-differenciation-magmatique#ch-b2-magmatic-differentiation). ## 4.5 Croissance de la croûte continentale La croûte continentale est le complément du [manteau appauvri](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) ; la vitesse de son extraction est l’une des plus anciennes questions de la géochimie isotopique, et reste ouverte. Plusieurs archives s’y rapportent. **Définition 4.10 (Courbe de croissance crustale).** Une *courbe de croissance crustale* donne le volume, ou la masse, de croûte continentale existant en fonction du temps, en fraction du volume actuel. Elle reflète l’équilibre entre la production de croûte nouvelle à partir du manteau et sa destruction par recyclage dans le manteau. Les roches conservées aujourd’hui donnent une première courbe : moins d’un quart du volume de la croûte continentale juvénile conservée aujourd’hui est âgé de plus de $3\,\mathrm{Ga}$, et aucune roche connue n’a un âge de cristallisation supérieur à $4.02\,\mathrm{Ga}$. Mais la croûte conservée est ce qui a survécu, et non ce qui a été produit. D’autres courbes sont construites à partir des isotopes du néodyme des argilites, qui moyennent la croûte supérieure exposée à l’érosion au moment de leur dépôt ; à partir des isotopes de l’hafnium de grains de zircon, qui enregistrent si le magma qui les a cristallisés provenait de croûte nouvelle ou remaniée ; ou à partir des isotopes de l’argon du quartz hydrothermal, qui suivent le dégazage de la croûte. Plusieurs modèles récents de ce type placent au moins 60 à 80 pour cent du volume actuel de croûte continentale mis en place avant $3\,\mathrm{Ga}$. Les deux points de vue ne peuvent se concilier que si une grande partie de la croûte ancienne a été détruite : dans un modèle en boîtes ajusté aux deux archives, 2.3 à 2.6 fois le volume actuel de croûte continentale a été générée depuis la formation de la Terre, et 1.3 à 1.6 fois ce volume a été renvoyé dans le manteau. Les zones de subduction actuelles montrent le recyclage à l’œuvre. Le magmatisme d’arc ajoute environ 2.5 kilomètres cubes de croûte neuve par an, 1.5 dans les arcs intra-océaniques et 1.0 aux marges continentales (2.7 en moyenne à long terme), tandis que la subduction rapporte environ 3.2 kilomètres cubes par an ; aux incertitudes près, les continents n’ont pas grandi pendant au moins le Phanérozoïque. Les isotopes des [pôles mantelliques](#def-b2-isotope-geochemistry-end-members), qui réclament de la croûte et des sédiments recyclés, sont l’autre face du même bilan. ## 4.6 Isotopes stables Les isotopes des éléments légers, hydrogène, carbone, azote, oxygène et soufre, ne sont pas produits par désintégration en quantités mesurables. Ils sont fractionnés plutôt par des processus physiques, chimiques et biologiques, avec des différences de masse relatives allant jusqu’à un facteur deux pour l’hydrogène et le deutérium, et leurs variations sont exprimées en valeurs $\delta$ par rapport à des étalons convenus. **Définition 4.11 (Étalon isotopique de référence).** Un *étalon isotopique de référence* est un matériau dont le rapport isotopique définit le zéro d’une échelle $\delta$. Deux sont utilisés en sciences de la Terre. *VSMOW* (Vienna Standard Mean Ocean Water) définit $\delta\mathrm{D}$ et $\delta^{18}\mathrm{O}$ des eaux, des silicates et de la plupart des autres matériaux ; ses rapports absolus sont $\mathrm{D}/\mathrm{H} = 1.5575 \times 10^{-4}$ et $^{18}\mathrm{O}/^{16}\mathrm{O} = 2.0052 \times 10^{-3}$. *VPDB* (Vienna Pee Dee Belemnite) définit $\delta^{13}\mathrm{C}$ et le $\delta^{18}\mathrm{O}$ des carbonates de basse température ; ses rapports absolus sont $^{13}\mathrm{C}/^{12}\mathrm{C} = 1.1237 \times 10^{-2}$ et $^{18}\mathrm{O}/^{16}\mathrm{O} = 2.0672 \times 10^{-3}$. Les noms rappellent l’histoire : le SMOW était une eau océanique moyenne, et le PDB le carbonate d’un fossile de bélemnite de la formation de Pee Dee ; les matériaux d’origine s’épuisèrent et furent remplacés par des matériaux de référence étalonnés sur eux, distribués par l’Agence internationale de l’énergie atomique, à Vienne, et par le NIST. Sur l’échelle [VSMOW](#def-b2-isotope-geochemistry-standards), l’oxygène du [VPDB](#def-b2-isotope-geochemistry-standards) a $\delta^{18}\mathrm{O} = +30.9$ pour mille (voir l’[Exercice 4.2](#exo-b2-isotope-geochemistry-2)) : un carbonate marin est lourd de cette valeur par rapport à l’eau de mer dont il s’est formé. ### 4.6.1 L’eau L’eau de mer se situe près de $\delta^{18}\mathrm{O} = \delta\mathrm{D} = 0$, par définition du [VSMOW](#def-b2-isotope-geochemistry-standards). L’évaporation favorise les isotopes légers : à l’équilibre avec l’eau liquide à $20{}^{\circ}\mathrm{C}$, avec des facteurs de fractionnement de 1.0098 pour l’oxygène 18 et 1.084 pour le deutérium, la vapeur aurait $\delta^{18}\mathrm{O} = 1000/1.0098 - 1000 = -9.7$ pour mille et $\delta\mathrm{D} = -77$ pour mille ; la vapeur au-dessus des océans est encore plus légère, environ $-13$ pour mille en $\delta^{18}\mathrm{O}$, car l’évaporation est aussi un processus cinétique. Quand une masse d’air se déplace vers l’intérieur des terres et vers les pôles et se refroidit, elle perd ses précipitations, et chaque pluie emporte d’abord les isotopes lourds ; la vapeur restante, puis la pluie et la neige qui suivent, deviennent de plus en plus légères. La glace du Groenland a typiquement un $\delta^{18}\mathrm{O}$ de $-30$ à $-35$ pour mille, la glace antarctique descendant jusqu’à $-50$. **Proposition 4.12 (Droite des eaux météoriques).** Pluies et neiges du monde entier, et les eaux douces qui en dérivent, se placent près de la *droite des eaux météoriques* $$ \delta\mathrm{D} = 8\,\delta^{18}\mathrm{O} + 10 \quad\text{(pour mille, VSMOW)}, $$ établie empiriquement par Craig en 1961. Son ordonnée à l’origine, 10 pour mille, est appelée l’excès en deutérium ; les régions ont des valeurs comprises entre environ 0 et 20. **Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎ La pente se comprend sans la théorie complète de la condensation, qui est reportée au volume de chimie de troisième année. À chaque étape de condensation, le liquide et la vapeur diffèrent d’environ $1000(\alpha - 1)$ pour mille pour chaque isotope, et les deux décalages sont dans le rapport $(\alpha_{\mathrm D}-1)/(\alpha_{18}-1)$, qui vaut 8.6 à $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ et 9.5 à $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ : à mesure que la vapeur s’appauvrit pas à pas, $\delta\mathrm{D}$ décroît environ huit fois plus vite que $\delta^{18}\mathrm{O}$. L’ordonnée à l’origine n’est pas nulle parce que la vapeur qui quitte l’océan se forme hors d’équilibre. L’eau de mer, à l’origine, se situe donc sous la droite. ![La droite des eaux météoriques. Les précipitations deviennent plus légères à mesure que l’air qui les apporte se refroidit et perd ses pluies en allant vers les hautes latitudes, les hautes altitudes et l’intérieur des continents. L’eau de mer (VSMOW) se situe sous la droite ; la vapeur en équilibre avec elle, calculée à partir des facteurs de fractionnement, se situe près de celle-ci. Les barres grises marquent la glace polaire typique sur la droite. Données : Kendall et Caldwell (1998) ; texte de White.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-isotope-geochemistry/fig-2327aee49472.svg) *La [droite des eaux météoriques](#prop-b2-isotope-geochemistry-mwl). Les précipitations deviennent plus légères à mesure que l’air qui les apporte se refroidit et perd ses pluies en allant vers les hautes latitudes, les hautes altitudes et l’intérieur des continents. L’eau de mer ([VSMOW](#def-b2-isotope-geochemistry-standards)) se situe sous la droite ; la vapeur en équilibre avec elle, calculée à partir des facteurs de fractionnement, se situe près de celle-ci. Les barres grises marquent la glace polaire typique sur la droite. Données : Kendall et Caldwell (1998) ; texte de White.* ### 4.6.2 Roches et carbone Le manteau est remarquablement uniforme en oxygène : les xénolites de péridotite ont un $\delta^{18}\mathrm{O}$ global d’environ $+5.5$ pour mille, et le MORB moyen $+5.7$ ; les magmas issus du manteau restent à moins d’environ un pour mille de ces valeurs. Les roches qui ont atteint l’équilibre avec l’eau de la surface terrestre diffèrent : les argiles de kaolinite, par exemple, sont enrichies d’environ 27 pour mille en oxygène 18 par rapport à l’eau météorique dans laquelle elles se sont formées. Un magma qui assimile de telles roches s’écarte de la valeur du manteau : c’est un second test de la contamination crustale, indépendant des isotopes radiogéniques. Le carbone possède deux isotopes stables, et le fort fractionnement de la photosynthèse trie ses réservoirs. Les plantes qui fixent le carbone par la voie commune C3 ont en moyenne $\delta^{13}\mathrm{C} \approx -27$ pour mille, celles de la voie C4, surtout les graminées tropicales, environ $-13$. Le carbone du manteau, échantillonné par le MORB le moins dégazé, par les carbonatites et par la plupart des diamants, se situe vers $-4$ à $-6$ pour mille ; le bicarbonate de l’eau de mer est d’environ 8.5 pour mille plus lourd que le dioxyde de carbone atmosphérique. Le carbone organique est donc environ 20 pour mille plus léger que le manteau, et l’enfouissement de la matière organique dans les sédiments rend le reste du carbone de l’océan et de l’atmosphère plus lourd : le $\delta^{13}\mathrm{C}$ des carbonates marins enregistre la part du carbone enfoui sous forme organique au cours du temps, l’un des indicateurs indirects étudiés au [Chapitre 24](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/24-archives-climatiques-et-indicateurs#ch-b2-climate-proxies). ![Isotopes du carbone du manteau et des plantes, par rapport au VPDB : le manteau vers -4 à -6.5 pour mille, les plantes environ 7 à 23 pour mille plus légères. Données : texte de White, d’après Mattey et al.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-isotope-geochemistry/fig-e74e321bf43f.svg) *Isotopes du carbone du manteau et des plantes, par rapport au [VPDB](#def-b2-isotope-geochemistry-standards) : le manteau vers $-4$ à $-6.5$ pour mille, les plantes environ 7 à 23 pour mille plus légères. Données : texte de White, d’après Mattey et al.* **Au laboratoire — Mesurer un rapport isotopique à cinq décimales.** ![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-isotope-geochemistry/img-f79c21e1d5bd.jpg) *Spectromètre de masse multicollecteur dans un laboratoire d’isotopes. Illustration générée par IA.* Pour mesurer $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$, un géochimiste dissout un gramme ou moins de poudre de roche dans des acides, dans un laboratoire propre où de l’air filtré tient la poussière à distance. Le néodyme est séparé des autres éléments sur des colonnes de résine échangeuse d’ions, car un isobare de même masse, tel que le samarium-144, s’ajouterait au signal du néodyme-144. Quelques centaines de nanogrammes de néodyme purifié sont déposés sur un filament métallique et ionisés par chauffage dans un spectromètre de masse à ionisation thermique, ou nébulisés dans un plasma, dans un instrument multicollecteur ; les collecteurs mesurent plusieurs isotopes à la fois. Les rapports sont corrigés du fractionnement interne à l’instrument en fixant $^{146}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ à 0.7219, et un matériau de référence est analysé à chaque série : un laboratoire dont l’étalon dérive de quelques parties par million par rapport à sa valeur admise corrige ses échantillons de la même quantité. ## 4.7 Exercices **Exercice 4.1 ★.** Un basalte de Tristan da Cunha a $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.51249$ et un de Mangaia, 0.51285. Calculer leurs $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ et celui du MORB moyen (0.513074). Quelles sources ont eu un Sm/Nd plus élevé que les [chondrites](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/2-formation-des-planetes-et-meteorites#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) ? **Solution de Exercice 4.1.** Tristan : $(0.51249/0.512638 - 1)\times10^4 = -2.9$. Mangaia : $(0.51285/0.512638 - 1)\times10^4 = +4.1$. MORB : $+8.5$. Les sources de Mangaia et du MORB, à $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ positif, ont eu en moyenne un Sm/Nd plus élevé que les [chondrites](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/2-formation-des-planetes-et-meteorites#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) ; celle de Tristan en a eu un plus bas. **Exercice 4.2 ★.** Le rapport $^{18}\mathrm{O}/^{16}\mathrm{O}$ vaut $2.0052 \times 10^{-3}$ dans le [VSMOW](#def-b2-isotope-geochemistry-standards) et $2.0672 \times 10^{-3}$ dans le [VPDB](#def-b2-isotope-geochemistry-standards). Quel est le $\delta^{18}\mathrm{O}$ du [VPDB](#def-b2-isotope-geochemistry-standards) sur l’échelle [VSMOW](#def-b2-isotope-geochemistry-standards) ? Une calcite a $\delta^{18}\mathrm{O} = -2.0$ pour mille ([VPDB](#def-b2-isotope-geochemistry-standards)) ; calculer son rapport et son $\delta^{18}\mathrm{O}$ sur l’échelle [VSMOW](#def-b2-isotope-geochemistry-standards). **Solution de Exercice 4.2.** $\delta^{18}\mathrm{O}_{\mathrm{VPDB}} = (2.0672 \times 10^{-3}/2.0052 \times 10^{-3} - 1)\times1000 = +30.9$ pour mille sur l’échelle [VSMOW](#def-b2-isotope-geochemistry-standards). La calcite a $^{18}\mathrm{O}/^{16}\mathrm{O} = 2.0672 \times 10^{-3}\times(1 - 0.0020) = 2.0631 \times 10^{-3}$, d’où $\delta^{18}\mathrm{O} = (2.0631 \times 10^{-3}/2.0052 \times 10^{-3} - 1)\times1000 = +28.9$ pour mille ([VSMOW](#def-b2-isotope-geochemistry-standards)). **Exercice 4.3 ★.** Calculer le $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ du CHUR il y a $1.0\,\mathrm{Ga}$ et il y a $4.567\,\mathrm{Ga}$ ($\lambda_{147} = 6.524 \times 10^{-12}\,/\mathrm{an}$, $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.1966$, aujourd’hui 0.512638). **Solution de Exercice 4.3.** À $1.0\,\mathrm{Ga}$ : $e^{\lambda t} - 1 = 0.006545$, et $0.512638 - 0.1966\times0.006545 = 0.511351$. À $4.567\,\mathrm{Ga}$ : $e^{\lambda t}-1 = 0.030243$, et $0.512638 - 0.1966\times0.030243 = 0.506692$. **Exercice 4.4 ★.** Un échantillon de neige d’une station de montagne a $\delta^{18}\mathrm{O} = -18.0$ pour mille. Quel $\delta\mathrm{D}$ prédit la [droite des eaux météoriques](#prop-b2-isotope-geochemistry-mwl) ? Une eau de lac a $\delta^{18}\mathrm{O} = -4.0$ et $\delta\mathrm{D} = -42$ pour mille : calculer son excès en deutérium $d = \delta\mathrm{D} - 8\delta^{18}\mathrm{O}$, et dire si elle se situe au-dessus ou au-dessous de la droite. **Solution de Exercice 4.4.** $\delta\mathrm{D} = 8\times(-18.0) + 10 = -134$ pour mille. Pour le lac, $d = -42 - 8\times(-4.0) = -10$ pour mille, en dessous des 10 de la droite : l’eau se situe sous la [droite des eaux météoriques](#prop-b2-isotope-geochemistry-mwl), comme le font les eaux de surface évaporées (les isotopes légers sont partis en premier). **Exercice 4.5 ★★.** Évaluer $Q$ de la proposition de croissance linéaire. Un granite a Sm $6.0\,\mathrm{ppm}$ et Nd $30\,\mathrm{ppm}$ (CI : 0.145 et $0.457\,\mathrm{ppm}$). Calculer son $f_{\mathrm{Sm/Nd}}$, ainsi que la variation de son $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ sur $500\,\mathrm{Ma}$. **Solution de Exercice 4.5.** $Q = 10^4\times6.524 \times 10^{-12}\times0.1966/0.512638 = 2.502 \times 10^{-8}$ par an, soit $25.0\,/\mathrm{Ga}$. Le granite a $\mathrm{Sm}/\mathrm{Nd} = 6.0/30 = 0.200$, contre $0.145/0.457 = 0.317$ pour le CI : $f = 0.200/0.317 - 1 = -0.37$. Sur $0.5\,\mathrm{Ga}$ : $\Delta\varepsilon = 25.0\times(-0.37)\times0.5 = -4.6$ unités. **Exercice 4.6 ★★.** Une croûte séparée il y a $2.7\,\mathrm{Ga}$ d’un manteau dont $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = +3.5$, avec $f_{\mathrm{Sm/Nd}} = -0.45$. Estimer son $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ actuel à l’aide de la proposition de croissance linéaire. Le calcul exact donne $-27.3$ ; de combien l’approximation diffère-t-elle, et pourquoi est-elle trop élevée ou trop basse ? **Solution de Exercice 4.6.** $\varepsilon \approx 3.5 + 25.0\times(-0.45)\times2.7 = 3.5 - 30.4 = -26.9$, contre $-27.3$ : l’approximation est trop élevée de 0.4 unité (elle n’est pas assez négative). L’essentiel de l’écart, environ 0.3 unité, provient de $e^{\lambda t} > 1$ : le parent, donc le déficit de croissance relatif au CHUR, était plus abondant dans le passé qu’aujourd’hui (voir l’[Exercice 4.10](#exo-b2-isotope-geochemistry-10)) ; le reste vient de l’arrondi de $f$ et de la valeur initiale. **Exercice 4.7 ★★.** Un magma basaltique (Sr $130\,\mathrm{ppm}$, $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.7030$) assimile un granite (Sr $320\,\mathrm{ppm}$, 0.7200). Calculer le $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ de mélanges à 5, 10 et 20 pour cent de granite. Montrer que $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ est une droite en fonction de $1/\mathrm{Sr}$ et donner sa pente et son ordonnée à l’origine. **Solution de Exercice 4.7.** Avec une fraction massique $x$ de granite, $\mathrm{Sr} = 320x + 130(1-x)$ et $R = (320x\times0.7200 + 130(1-x)\times0.7030)/\mathrm{Sr}$. Pour $x = 0.05$ : Sr $139.5\,\mathrm{ppm}$, $R = 0.70495$ ; $x = 0.10$ : 149.0, 0.70665 ; $x = 0.20$ : 168.0, 0.70948. D’après la démonstration de la proposition de mélange, $R\,\mathrm{Sr}$ est linéaire en Sr : $R = 0.731632 - 3.7221/\mathrm{Sr}$, une droite de pente $-3.722$ (ppm) et d’ordonnée à l’origine 0.7316 en fonction de $1/\mathrm{Sr}$. Vérification pour $x = 0.05$ : $0.731632 - 3.7221/139.5 = 0.70495$. **Exercice 4.8 ★★.** Avec les facteurs de fractionnement liquide–vapeur 1.0098 ($^{18}$O) et 1.084 (D) à $20{}^{\circ}\mathrm{C}$, calculer le $\delta^{18}\mathrm{O}$ et le $\delta\mathrm{D}$ d’une vapeur en équilibre avec de l’eau de mer (0, 0), ainsi que la pente $\delta\mathrm{D}/\delta^{18}\mathrm{O}$ de la droite joignant l’eau à la vapeur. Refaire le calcul à $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ (1.0117 et 1.111). Comparer avec la [droite des eaux météoriques](#prop-b2-isotope-geochemistry-mwl). **Solution de Exercice 4.8.** À $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $\delta^{18}\mathrm{O} = 1000/1.0098 - 1000 = -9.70$ pour mille, $\delta\mathrm{D} = 1000/1.084 - 1000 = -77.5$ pour mille, pente $77.5/9.70 = 7.99$. À $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $-11.56$ et $-99.9$ pour mille, pente 8.64. Les deux sont proches de la pente 8 de la [droite des eaux météoriques](#prop-b2-isotope-geochemistry-mwl) : le seul fractionnement d’équilibre de l’eau entre liquide et vapeur fixe le rapport des décalages du deutérium et de l’oxygène 18 voisin de 8. **Exercice 4.9 ★★.** La croûte continentale représente 0.51 pour cent de la masse de la Terre silicatée et contient, en moyenne, $27\,\mathrm{ppm}$ de Nd contre $1.25\,\mathrm{ppm}$ pour la Terre silicatée. Prendre l’$\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ de la croûte égal à $-15$ et celui de la Terre silicatée à 0. Quelle part du néodyme la croûte détient-elle ? Si le reste du manteau était uniforme, quelle serait son $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ ? Quelle part du néodyme doit détenir un réservoir appauvri à $+8.5$ si le reste du manteau est chondritique ? **Solution de Exercice 4.9.** La croûte contient $0.0051\times27/1.25 = 0.110$, soit 11 pour cent du néodyme. Bilan de masse : $0.110\times(-15) + 0.890\,\varepsilon_m = 0$, donc $\varepsilon_m = 1.65/0.890 = +1.9$. Avec un réservoir appauvri détenant une part $x$ à $+8.5$ et le reste à 0 : $0.110\times(-15) + 8.5x = 0$, $x = 1.65/8.5 = 0.19$ : environ un cinquième du néodyme. **Exercice 4.10 ★★★.** Montrer que, dans la proposition de croissance linéaire, les termes négligés sont de taille relative d’environ $\lambda t/2$. Sur l’âge de la Terre, quelle est cette valeur, et quelle erreur cela introduit-il dans $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ pour $f = -0.45$ sur $2.7\,\mathrm{Ga}$ ? **Solution de Exercice 4.10.** Le taux de croissance vaut $\lambda p\,e^{\lambda t}$, avec $e^{\lambda t} \approx 1 + \lambda t$ ; moyenné sur l’intervalle allant de la séparation $T$ au présent, le facteur vaut $1 + \lambda T/2$, donc les termes négligés sont de taille relative $\lambda T/2$. Sur l’âge de la Terre, $6.524 \times 10^{-12}\times4.567 \times 10^{9}/2 = 0.015$, soit 1.5 pour cent. Pour la croûte de l’[Exercice 4.6](#exo-b2-isotope-geochemistry-6), $\lambda T/2 = 0.0088$, et l’erreur vaut $0.0088\times30.4 = 0.27$ unité. La lente variation du rapport CHUR, par laquelle $\varepsilon$ est divisé, ajoute un autre terme, plus petit, d’ordre $(p/R)\lambda T \times \varepsilon_0$, soit ici 0.02 unité. **Exercice 4.11 ★★★.** Deux constituants ont des rapports Sr/Nd de 13.3 (A) et 5.0 (B). En utilisant la démonstration de l’[hyperbole de mélange](#prop-b2-isotope-geochemistry-mixing), trouver la part $s'$ du strontium provenant de A dans un mélange où A fournit une part $s = 0.5$ du néodyme. Pour quelle valeur de $s$ les deux parts diffèrent-elles le plus ? **Solution de Exercice 4.11.** $K = 13.3/5.0 = 2.66$. Avec $s = 0.5$ : $s' = 2.66\times0.5/(1 + 1.66\times0.5) = 1.33/1.83 = 0.73$. L’écart $s' - s$ est maximal là où $\mathrm{d}s'/\mathrm{d}s = K/(1+(K-1)s)^2 = 1$, soit en $s = (\sqrt K - 1)/(K-1) = 0.631/1.66 = 0.38$, où $s' = 0.62$ : écart de 0.24. **Exercice 4.12 ★★★.** Un modèle en boîtes donne 2.3 à 2.6 fois le volume actuel de croûte continentale, $7.2 \times 10^{9}\,\mathrm{km}^{3}$, généré depuis la formation de la Terre il y a $4.5\,\mathrm{Ga}$, et 1.3 à 1.6 fois détruit. Calculer les taux moyens de production et de destruction en $\mathrm{km}^{3}$ par an. Comparer-les aux taux actuels des zones de subduction, $2.7\,\mathrm{km}^{3}$ par an ajoutés et $3.2\,\mathrm{km}^{3}$ par an retirés. **Solution de Exercice 4.12.** Production : $2.3$ à $2.6\times7.2 \times 10^{9}\,\mathrm{km}^{3}/4.5 \times 10^{9}\,\mathrm{an} = 3.7$ à $4.2\,\mathrm{km}^{3}$ par an. Destruction : $1.3$ à $1.6\times7.2/4.5 = 2.1$ à $2.6\,\mathrm{km}^{3}$ par an. Les taux actuels diffèrent : les apports (2.7) sont inférieurs à la production moyenne du modèle, le retrait (3.2) supérieur à sa destruction moyenne. Dans le modèle, la croûte a grandi tôt, quand la production était la plus rapide, et le présent est une époque d’équilibre ou de légère perte, comme le dit le bilan des zones de subduction. ## 4.8 Problème : trois îles, trois manteaux **Problème 4.1.** Problème du week-end — placer les laves de trois îles sur la bande mantellique, séparer un mélange d’un troisième constituant, et dater le sédiment recyclé Trois îles volcaniques d’un océan imaginaire, Kora, Vel et Asha, émettent des basaltes aux rapports isotopiques ci-dessous. Un géochimiste modélise leurs sources avec deux constituants : un [manteau appauvri](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) semblable à la source du MORB (Sr $10\,\mathrm{ppm}$, Nd $0.75\,\mathrm{ppm}$, $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.70282$, $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.51307$) et un vieux sédiment renvoyé dans le manteau par subduction (Sr $200\,\mathrm{ppm}$, Nd $40\,\mathrm{ppm}$, $0.72000$, $0.51141$ ; $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.110$, $^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.50$). Kora : $0.70410$, $0.51278$ ; Vel : $0.70618$, $0.51242$ ; Asha : $0.70290$, $0.51288$ ($^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$, $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$). CHUR aujourd’hui : $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.512638$, $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.1966$ ; $\lambda_{147} = 6.524 \times 10^{-12}\,/\mathrm{an}$, $\lambda_{87} = 1.3972 \times 10^{-11}\,/\mathrm{an}$. **Partie I — Placer les îles.** 1. Calculer $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ des deux constituants. 2. Calculer $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ des trois îles. 3. Placer les cinq compositions sur un diagramme Sr– $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ . Quelles îles se situent du côté enrichi du CHUR ? 4. Asha a presque le rapport du strontium du [manteau appauvri](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) , mais un $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ beaucoup plus bas. Où se place-t-il par rapport à la bande mantellique, et à quel groupe d’îles du chapitre ressemble-t-il ? 5. Pourquoi peut-on prendre les rapports isotopiques des laves pour ceux de leurs sources, bien que les laves aient des rapports Sm/Nd et Rb/Sr très différents de ceux de leurs sources ? 6. Une lave de Kora de $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.12$ est âgée de $1\,\mathrm{Ma}$ . De combien son $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ a-t-il augmenté depuis l’éruption, en unités epsilon ? Cela a-t-il de l’importance ? **Partie II — Le mélange des deux constituants.** 7. Écrire la concentration en néodyme et le $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ d’un mélange de fraction massique $f$ de sédiment. 8. Calculer $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ de mélanges avec $f = 0.5$ , 1, 2 et 5 pour cent. 9. Calculer le $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ des mêmes mélanges. 10. Montrer que le $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ des mélanges est une droite en fonction de $1/\mathrm{Sr}$ , et en donner la pente. 11. Calculer $K = (\mathrm{Sr}/\mathrm{Nd})_{\text{manteau}}/(\mathrm{Sr}/\mathrm{Nd})_{\text{sédiment}}$ . Quel rapport, Sr ou Nd, se rapproche du sédiment le plus vite quand $f$ augmente ? 12. De combien de fois le sédiment est-il plus riche que le manteau en Nd, et en Sr ? Expliquer avec ces nombres pourquoi un pour cent de sédiment déplace $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ d’environ 11 unités. 13. Quelle part du néodyme d’un mélange à $f = 1$ pour cent provient du sédiment ? **Partie III — Quelle quantité de sédiment ?** 14. Résoudre l’équation de mélange du néodyme pour $f$ , connaissant le rapport $R$ du mélange. 15. Calculer $f$ pour Kora à partir de son néodyme. 16. Calculer $f$ pour Kora à partir de son strontium. Les deux résultats concordent-ils ? 17. Calculer $f$ pour Vel à partir de son néodyme et à partir de son strontium. 18. Calculer $f$ pour Asha à partir de son néodyme, puis le rapport du strontium que ce $f$ prédit. Comparer à la valeur mesurée : que conclure sur la source d’Asha ? 19. Suggérer une troisième composante pour Asha, parmi celles du chapitre, et les rapports parent–fils qu’elle doit avoir eus. **Partie IV — L’âge du sédiment.** 20. Le sédiment a été subduit il y a $2.0\,\mathrm{Ga}$ et est resté fermé depuis. Calculer son $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ , celui du CHUR et son $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ à cette époque. 21. Refaire le calcul avec la proposition de croissance linéaire. 22. Calculer le $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ du sédiment il y a $2.0\,\mathrm{Ga}$ . 23. Il y a $2.0\,\mathrm{Ga}$ , la croûte de la figure en $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ avait $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} \approx -4.7$ . La valeur du sédiment au moment de la subduction est-elle compatible avec une origine par érosion d’une croûte continentale aussi jeune ? 24. Donner la fraction massique de sédiment recyclé dans la source de l’île la plus enrichie, nombre clé de ce problème. **Solution de Problème 4.1.** **1.** Manteau : $(0.51307/0.512638 - 1)\times10^4 = +8.4$. Sédiment : $(0.51141/0.512638 - 1)\times10^4 = -24.0$. **2.** Kora $+2.8$, Vel $-4.3$, Asha $+4.7$. **3.** Avec $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ en abscisse et $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ en ordonnée : manteau (0.70282, $+8.4$), Kora (0.70410, $+2.8$), Vel (0.70618, $-4.3$), sédiment (0.72000, $-24.0$), Asha (0.70290, $+4.7$). Seule Vel, avec un $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ négatif, se situe du côté enrichi du CHUR. **4.** Sous la bande mantellique : au rapport du strontium du [manteau appauvri](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs), la bande aurait un $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ voisin de $+8$ ; Asha a $+4.7$. Il ressemble au groupe de Sainte-Hélène de type HIMU (Mangaia, Tubuai, Sainte-Hélène). **5.** La fusion modifie les rapports parent–fils, mais pas, de façon mesurable, les rapports isotopiques du strontium et du néodyme (proposition sur la fusion) ; les laves sont jeunes, de sorte que leurs rapports n’ont pas augmenté depuis l’éruption (question 6). **6.** $\Delta R = 0.12\,(e^{\lambda\cdot10^6} - 1) = 0.12\times6.52 \times 10^{-6} = 7.8 \times 10^{-7}$, soit $7.8 \times 10^{-7}/0.512638\times10^4 = 0.015$ unité epsilon : bien en dessous des différences entre les îles, et en dessous de la précision d’une mesure. **7.** $\mathrm{Nd} = 40f + 0.75(1-f)$, et $R = \bigl(40f\times0.51141 + 0.75(1-f)\times0.51307\bigr)/\mathrm{Nd}$. **8.** $f = 0.5$ pour cent : Nd $0.9463\,\mathrm{ppm}$, $\varepsilon = +1.6$ ; 1 pour cent : 1.1425, $-2.9$ ; 2 pour cent : 1.535, $-8.4$ ; 5 pour cent : 2.7125, $-15.4$. **9.** Sr 10.95, 11.90, 13.80 et $19.50\,\mathrm{ppm}$ ; $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.70439$, 0.70571, 0.70780 et 0.71163. **10.** $R\,\mathrm{Sr} = 10\times0.70282 + f(200\times0.72000 - 10\times0.70282)$ et $\mathrm{Sr} = 10 + 190f$ ; en éliminant $f$, $R\,\mathrm{Sr} = 7.0282 + (\mathrm{Sr}-10)\times136.9718/190$, donc $R = 0.720904 - 0.18084/\mathrm{Sr}$ : une droite de pente $-0.1808$ (ppm) en fonction de $1/\mathrm{Sr}$. Vérification pour $f = 1$ pour cent : $0.720904 - 0.18084/11.90 = 0.70571$. **11.** $K = (10/0.75)/(200/40) = 13.33/5.0 = 2.67$. Le manteau est relativement plus riche en strontium, le sédiment en néodyme, si bien que le rapport du néodyme se déplace vers celui du sédiment plus vite : un peu de sédiment déplace $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ bien avant que $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ ne bouge beaucoup. **12.** 53 fois plus riche en Nd ($40/0.75$), 20 fois en Sr. À $f = 1$ pour cent le sédiment fournit $0.40/1.1425 = 35$ pour cent du néodyme, ce qui déplace $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ de $0.35\times(8.4 + 24.0) = 11.3$ unités, mais seulement $2.0/11.9 = 17$ pour cent du strontium. **13.** $0.01\times40/1.1425 = 0.350$ : 35 pour cent. **14.** À partir de $R\,(40f + 0.75(1-f)) = 40fR_S + 0.75(1-f)R_D$ : $f = 0.75(R - R_D)/\bigl(40(R_S - R) + 0.75(R - R_D)\bigr)$, et de même avec 200 et 10 pour le strontium. **15.** $f = 0.75\times(-0.00029)/\bigl(40\times(-0.00137) + 0.75\times(-0.00029)\bigr) = -2.175 \times 10^{-4}/-5.502 \times 10^{-2} = 0.0040$ : 0.40 pour cent. **16.** $f = 10\times0.00128/\bigl(200\times0.01590 + 10\times0.00128\bigr) = 0.0128/3.1928 = 0.0040$ : 0.40 pour cent ; les deux concordent. **17.** Néodyme : $0.75\times(-0.00065)/\bigl(40\times(-0.00101) + 0.75\times(-0.00065)\bigr) = -4.875 \times 10^{-4}/-4.089 \times 10^{-2} = 0.0119$ ; strontium : $10\times0.00336/\bigl(200\times0.01382 + 10\times0.00336\bigr) = 0.0336/2.7976 = 0.0120$. Les deux donnent 1.2 pour cent. **18.** $f = 0.75\times(-0.00019)/\bigl(40\times(-0.00147) + 0.75\times(-0.00019)\bigr) = 0.0024$, ce qui prédit Sr $10.46\,\mathrm{ppm}$ et $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.70361$, contre 0.70290 mesuré. Asha ne se situe pas sur la courbe de mélange manteau–sédiment : sa source contient un autre constituant. **19.** Vieille croûte océanique recyclée, de type HIMU : ses isotopes du néodyme demandent un Sm/Nd un peu inférieur à celui du [manteau appauvri](#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs), ses isotopes du strontium un Rb/Sr faible, et son plomb (non mesuré ici) un U/Pb élevé, le tout sur un à deux milliards d’années. **20.** $e^{\lambda_{147}\cdot2\times10^9} - 1 = 0.013133$. Sédiment : $0.51141 - 0.110\times0.013133 = 0.509965$ ; CHUR : $0.512638 - 0.1966\times0.013133 = 0.510056$ ; $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}(2\,\mathrm{Ga}) = (0.509965/0.510056 - 1)\times10^4 = -1.8$. **21.** $f = 0.110/0.1966 - 1 = -0.440$ ; depuis la subduction, $\varepsilon$ a varié de $25.0\times(-0.440)\times2.0 = -22.0$, donc $\varepsilon(2\,\mathrm{Ga}) \approx -24.0 + 22.0 = -2.0$, à 0.2 unité près de la valeur exacte. **22.** $e^{\lambda_{87}\cdot2\times10^9} - 1 = 0.028338$ ; $0.72000 - 0.50\times0.028338 = 0.70583$. **23.** Au moment de la subduction, le sédiment avait $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = -1.8$, proche de la valeur $-4.7$ d’une croûte âgée de 0.7 milliard d’années seulement à cette époque, et nettement au-dessus des valeurs fortement négatives de la vieille croûte : cela s’accorde avec l’érosion d’une croûte jeune, peut-être mêlée d’un peu de matériau issu du manteau. Son $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ de 0.7058 à cette époque est aussi celui d’une roche crustale jeune. **24.** La source de Vel, l’île la plus enrichie, contient **$1.2\,\%$** de sédiment recyclé.