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title: "Magmas et mise en place"
book: "Sciences de la Terre et de l’Univers à l’université — 2e année"
subject: earth
language: fr
chapter: 5
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Chapitre 5 — Magmas et mise en place

Un liquide basaltique à $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a une viscosité d’environ $70\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ : épais, mais il coule. Un liquide rhyolitique sec à $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a une viscosité voisine de $10^{11}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, et un bloc de celui-ci mettrait des heures à s’affaisser visiblement sous son propre poids. Entre les deux s’étendent dix ordres de grandeur, plus qu’entre l’eau et le basalte, et l’essentiel de la différence vient de deux choses : la silice qui relie le liquide en réseau, et la température, qui est inférieure de plusieurs centaines de degrés dans les [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) siliceux. Quelques pour cent d’eau dissoute, qu’un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) rhyolitique peut contenir en profondeur, fait baisser sa viscosité d’un facteur $10^{5}$, et la perd à nouveau lorsque le [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) remonte et que l’eau sort en bulles. Ces nombres décident si un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) atteint la surface en silence, explose, ou gèle à quelques kilomètres de profondeur en [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies), en [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) ou en [pluton](#def-b2-magma-emplacement-bodies). Ce chapitre traite un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) comme un matériau : sa densité, sa viscosité et ses volatils, la physique de sa remontée par fissures et sous forme de masses chaudes, les formes qu’il prend quand il s’arrête, et la chaleur qu’il cède aux roches environnantes.

**Tu sais déjà.**

**Écoulement visqueux** (les volumes de physique, deuxième année) : dans un fluide newtonien de viscosité $\eta$, la contrainte de cisaillement vaut $\eta$ fois le gradient de vitesse ; entre deux parois parallèles, un gradient de pression produit un profil parabolique (Poiseuille plan) ; une sphère qui se déplace lentement dans un fluide visqueux subit la traînée de Stokes $6\pi\eta a v$. **Conduction thermique** (même volume) : la température obéit à $\partial T/\partial t = \kappa\,\partial^2T/\partial x^2$, avec une diffusivité $\kappa = k/(\rho
c)$, et un saut de température se répartit selon une fonction d’erreur sur une distance d’ordre $\sqrt{\kappa t}$. **Flottabilité** (les volumes de physique, première année) : un corps immergé dans un fluide plus dense subit une force verticale vers le haut égale au poids du fluide déplacé diminué de son propre poids. **Équilibre chimique** (les volumes de chimie) : à l’équilibre, les activités des produits et des réactifs vérifient la loi d’action de masse, avec une constante $K$ qui ne dépend que de la température. Du volume de première année de cette série : la pression lithostatique $p = \rho g z$ et le géotherme ; des volumes scolaires : roches mafiques et felsiques, phénocristaux et textures porphyriques.

## 5.1 Qu’est-ce qu’un magma

**Définition 5.1 (Magma).**

Un *magma* est une roche fondue ou partiellement fondue sous la surface : un *liquide silicaté*, le liquide constitué surtout de silicium, d’oxygène et de cations métalliques, accompagné de tous les cristaux et bulles de gaz qu’il transporte. Une *bouillie cristalline* est un magma si riche en cristaux qu’ils se touchent et forment une armature : il ne peut pas s’écouler comme un liquide, et son liquide ne peut migrer qu’à travers les pores entre les cristaux.

La composition du liquide est donnée, comme pour les roches, en pourcentage massique d’oxydes. Trois liquides servent de référence tout au long du chapitre, tous étudiés en laboratoire : un basalte tholéiitique dragué sur une dorsale médio-océanique (environ $51\,\%$ de SiO$_2$, $12\,\%$ d’oxyde de fer, $7\,\%$ de MgO), une andésite ($63\,\%$ de SiO$_2$) et une rhyolite ($78\,\%$ de SiO$_2$, $8\,\%$ de Na$_2$O $+$ K$_2$O et presque pas de fer ni de magnésium). Leurs températures d’éruption diffèrent autant que leurs compositions : les [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) basaltiques entrent en éruption à $1000\text{ à }1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (la lave qui coule dans un tube au Kilauea a été mesurée vers $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$), les [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) andésitiques à $800\text{ à }1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, les [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) rhyolitiques à $650\text{ à }800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) rhyolitique est plus froid parce qu’il est le résidu d’une longue cristallisation ou la première fusion des roches crustales, deux processus qui ont lieu à basse température (voir au [Chapitre 8](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/8-differenciation-magmatique#ch-b2-magmatic-differentiation)).

La teneur en cristaux décide si un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) s’écoule. Les études de terrain et de géochronologie sur les grands corps granitiques concluent qu’un écoulement magmatique d’ensemble exige un taux de fusion d’au moins $30\text{ à }50\,\%$ en volume ; en dessous, les cristaux sont soudés à leurs voisins et le matériau se déforme comme un solide dont les pores contiennent du liquide. Une grande part du [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) stocké dans la croûte semble être dans cet état, en bouillie qui redevient mobile lorsque du [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) chaud arrive par le bas.

## 5.2 Masse volumique et viscosité

### 5.2.1 Masse volumique d’un liquide

Un [liquide silicaté](#def-b2-magma-emplacement-magma) n’a pas de réseau cristallin, mais son volume peut tout de même se calculer à partir de ses constituants. Des expériences sur de nombreux liquides montrent que chaque oxyde apporte un volume presque fixe par mole, son volume molaire partiel, qui varie lentement et linéairement avec la température et la pression ; le volume du liquide est la somme de ces contributions. Le tableau ci-dessous donne les valeurs utilisées dans ce chapitre.

| Oxyde | $\bar V_i$ ($\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{mol}$) | $\partial\bar V_i/\partial T$ ($10^{-3}$ $\mathrm{cm}^{3}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$) | $\partial\bar V_i/\partial p$ ($10^{-4}$ $\mathrm{cm}^{3}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{bar})$) |
| --- | --- | --- | --- |
| SiO$_2$ | 26.86 | 0 | $-1.89$ |
| Al$_2$O$_3$ | 37.42 | 2.62 | $-2.26$ |
| FeO | 12.68 | 3.69 | $-0.45$ |
| MgO | 12.02 | 3.27 | $0.27$ |
| CaO | 16.90 | 3.74 | $0.34$ |
| Na$_2$O | 29.65 | 7.68 | $-2.40$ |
| K$_2$O | 47.28 | 12.08 | $-6.75$ |
| H$_2$O | 22.9 | 9.5 | $-3.20$ |

***Table 5.1.** Volumes molaires partiels des composants oxydes dans les [liquides silicatés](#def-b2-magma-emplacement-magma) à $1\,\mathrm{bar}$, avec leurs dérivées par rapport à la température et à la pression. Température de référence $1773\,\mathrm{K}$ (FeO $1723\,\mathrm{K}$, H$_2$O $1273\,\mathrm{K}$). Données : compilation du programme DensityX (Iacovino et Till, 2019).*

**Proposition 5.2 (Masse volumique d’un liquide silicaté).**

Soit un liquide contenant des composants oxydes $i$ de fractions molaires $X_i$, de masses molaires $M_i$ et de volumes molaires partiels $\bar V_i(T, p) = \bar V_i^{\circ} + (\partial\bar
V_i/\partial T)(T - T_{\mathrm{ref}}) + (\partial\bar V_i/\partial p)(p - p_{\mathrm{ref}})$. Si les composants se mélangent idéalement en volume,

$$
\rho = \frac{\sum_i X_i M_i}{\sum_i X_i \bar V_i(T,p)}.
$$

**Démonstration.** Une mole de liquide contient $X_i$ moles du composant $i$, de masse $X_iM_i$. Un mélange idéal en volume signifie que chaque mole du composant $i$ ajoute le volume $\bar V_i$ quels que soient les autres ; la mole de liquide occupe donc $\sum_i X_i\bar V_i$. La masse volumique est le rapport des deux. ∎

L’eau a une masse molaire de seulement $18\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ mais un volume molaire partiel de $22.9\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{mol}$, proche de celui de la silice : elle abaisse fortement la masse volumique d’un liquide fortement. Appliquée aux trois liquides de référence, la proposition donne $2730\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ pour le basalte à $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $2480\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ pour l’andésite à $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et $2340\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ pour la rhyolite sèche à $850\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; un pour cent d’eau dissoute retire environ $70\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ au basalte, autant que plusieurs centaines de degrés de chauffage. Un liquide basaltique est donc plus léger que la péridotite mantellique dont il provient (environ $3380\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ sous la croûte dans le modèle de référence de la Terre) et un peu plus léger que la croûte inférieure de ce modèle ($2900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$), tandis qu’un liquide rhyolitique est plus léger encore que la croûte supérieure ($2600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$). Cette différence entraîne les [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) vers le haut.

### 5.2.2 Viscosité

La viscosité d’un [liquide silicaté](#def-b2-magma-emplacement-magma) est fixée par le réseau de tétraèdres SiO$_4$ reliés par des oxygènes communs : pour s’écouler, le liquide doit rompre puis refaire des liaisons silicium–oxygène. La silice et l’alumine construisent le réseau ; les cations de magnésium, de fer, de calcium et des alcalins le brisent, et l’eau aussi, qui transforme les oxygènes pontants en groupes hydroxyles. Les mesures de laboratoire sur des liquides naturels couvrent plus de quinze ordres de grandeur, de $0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ à $10^{14}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, et elles ne suivent pas une loi d’Arrhenius simple : la viscosité croît plus vite qu’exponentiellement en $1/T$ lorsque le liquide se refroidit vers sa transition vitreuse.

**Proposition 5.3 (Loi de Vogel–Fulcher–Tammann).**

La viscosité d’un [liquide silicaté](#def-b2-magma-emplacement-magma) de composition fixée suit, à quelques dixièmes d’unité logarithmique près,

$$
\log_{10}\eta = A + \frac{B}{T - C},
$$

avec $\eta$ en pascal-seconde et $T$ en kelvins. Pour les liquides naturels $A$ est proche de $-4.55$ quelle que soit la composition ; $B$ et $C$ (en kelvins) sont des combinaisons linéaires des pourcentages molaires des oxydes, avec quelques produits de ceux-ci, ajustées sur environ $1800$ mesures.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

La figure ci-dessous montre la loi pour les trois liquides de référence et pour la rhyolite contenant de l’eau dissoute. À $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, le basalte a $\eta \approx 70\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ; l’andésite à $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ vaut environ $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ; la rhyolite sèche à $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ environ $10^{10.9}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Quatre pour cent d’eau ramènent cette même rhyolite à $10^{5.5}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, six pour cent à $10^{4.6}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Une équation indépendante, ajustée seulement sur des liquides granitiques hydratés, donne les mêmes valeurs à une demi-unité logarithmique près (voir l’[Exercice 5.1](#exo-b2-magma-emplacement-1)). L’effet de l’eau est maximal à basse température, où quelques dixièmes de pour cent modifient la viscosité de plusieurs ordres de grandeur.

![Viscosité des liquides silicatés en fonction de la température, d’après la loi de Vogel–Fulcher–Tammann avec les paramètres dépendant de la composition de Giordano, Russell et Dingwell (2008). Basalte : une tholéiite de dorsale médio-océanique ; andésite et rhyolite : liquides de référence de laboratoire (Moore et al., 1998). Chaque courbe est tracée sur les températures auxquelles un tel magma peut être fondu.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/fig-6789faed6914.svg)

*Viscosité des [liquides silicatés](#def-b2-magma-emplacement-magma) en fonction de la température, d’après la loi de Vogel–Fulcher–Tammann avec les paramètres dépendant de la composition de Giordano, Russell et Dingwell (2008). Basalte : une tholéiite de dorsale médio-océanique ; andésite et rhyolite : liquides de référence de laboratoire (Moore et al., 1998). Chaque courbe est tracée sur les températures auxquelles un tel [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) peut être fondu.*

Les cristaux rendent un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) encore plus rigide. Une suspension de particules rigides résiste au cisaillement davantage que son seul liquide, parce que le liquide doit contourner les particules, et lorsque celles-ci sont assez serrées pour se toucher, elles se bloquent en une armature.

**Proposition 5.4 (Relation d’Einstein–Roscoe).**

Une suspension d’une fraction volumique $\phi$ de sphères rigides dans un liquide newtonien de viscosité $\eta_{\ell}$ a pour viscosité

$$
\eta = \eta_{\ell}\,(1 - R\phi)^{-2.5}, \qquad R = 1/\phi_m \approx 1.35,
$$

où $\phi_m$ est la fraction d’empilement maximale, à laquelle la suspension se bloque. Pour $\phi$ petit, on retrouve la formule d’Einstein $\eta = \eta_{\ell}(1 + 2.5\phi)$.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

Vingt pour cent de cristaux double la viscosité, quarante pour cent la multiplient par sept, soixante pour cent par plus de soixante (voir l’[Exercice 5.5](#exo-b2-magma-emplacement-5)) ; dans les [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) réels, où les cristaux sont allongés et de tailles variées, le blocage intervient plus tôt, vers les $50\text{ à }70\,\%$ de cristaux auxquels les observations de terrain placent la fin de l’écoulement d’ensemble.

## 5.3 Volatils

**Définition 5.5 (Volatils magmatiques).**

Un *volatil magmatique* est un constituant d’un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) qui est dissous dans le liquide en profondeur et forme une phase gazeuse distincte à basse pression : surtout l’eau, puis le dioxyde de carbone, puis les espèces soufrées. *Exsolution des volatils* est la séparation d’un volatil du liquide en bulles de gaz. La *pression de saturation en volatils* d’un liquide est la pression au-dessous de laquelle ses volatils dissous dépassent leur solubilité, de sorte qu’une phase gazeuse doit se former.

Les [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) mafiques portent en général $1\text{ à }3\,\%$ de volatils en masse, les [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) intermédiaires $3\text{ à }4\,\%$, les [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) felsiques $4\text{ à }7\,\%$, et l’exsolution de $4\text{ à }6\,\%$ d’eau est à l’origine de la plupart des éruptions explosives. La quantité d’eau qu’un liquide peut contenir dépend surtout de la pression. La figure ci-dessous montre des mesures sur des liquides basaltiques et rhyolitiques maintenus à une pression d’eau connue jusqu’à saturation, puis trempés en verre et analysés : la solubilité croît fortement à basse pression, puis plus lentement à haute pression.

**Proposition 5.6 (Loi de la racine carrée pour l’eau).**

Supposons que l’eau se dissolve dans un [liquide silicaté](#def-b2-magma-emplacement-magma) surtout sous forme de groupes hydroxyles, par la réaction $\mathrm{H_2O\,(gas)} + \mathrm{O^{2-}\,(melt)} \rightleftharpoons
2\,\mathrm{OH^-\,(melt)}$, l’oxygène du liquide étant en large excès. Alors, à faible teneur en eau, l’eau dissoute est proportionnelle à la racine carrée de la pression d’eau : $w \approx s\sqrt{p}$, avec $s$ une constante du liquide et de la température.

**Démonstration.** La loi d’action de masse donne $x_{\mathrm{OH}}^2 = K\,x_{\mathrm{O}}\,f$, où $f$ est la fugacité de l’eau (proche de sa pression aux pressions modérées) et les $x$ sont des fractions molaires. L’oxygène du liquide est en large excès, de sorte que $x_{\mathrm{O}}$ reste presque constant, et $x_{\mathrm{OH}} = \sqrt{Kx_{\mathrm{O}}}\,
\sqrt f$. Chaque molécule d’eau dissoute donne deux hydroxyles, donc l’eau dissoute vaut $x_{\mathrm{OH}}/2$, proportionnelle à $\sqrt f$. À plus haute teneur, une partie de l’eau se dissout sous forme de molécules, proportionnellement à $f$ lui-même, et la solubilité croît plus vite que la racine carrée (voir l’[Exercice 5.10](#exo-b2-magma-emplacement-10)). ∎

Ajustée par moindres carrés aux mesures, $w = s\sqrt p$ donne $s = 0.34$ pour cent massique par $\sqrt{\mathrm{MPa}}$ pour les basaltes et $s = 0.44$ pour les rhyolites ; chaque mesure se situe à moins d’un pour cent d’eau près de sa courbe. La pression de saturation d’un liquide contenant $w$ pour cent d’eau vaut alors $p_s = (w/s)^2$ : $129\,\mathrm{MPa}$ pour une rhyolite à $5\,\%$ d’eau, soit environ $5\,\mathrm{km}$ de profondeur dans la croûte, mais seulement $2\,\mathrm{MPa}$ pour un basalte à $0.5\,\%$, soit une centaine de mètres ou moins.

![Solubilité de l’eau dans les liquides basaltiques et rhyolitiques à 800 to 1200\, C en fonction de la pression d’eau : mesures compilées par Moore et al. (1998), et lois en racine carrée ajustées par moindres carrés. À 100\, MPa, soit environ 4\, km de profondeur dans la croûte, une rhyolite peut contenir 4.4\,\% d’eau, un basalte 3.4\,\%.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/fig-69f1a620d437.svg)

*Solubilité de l’eau dans les liquides basaltiques et rhyolitiques à $800\text{ à }1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en fonction de la pression d’eau : mesures compilées par Moore et al. (1998), et lois en racine carrée ajustées par moindres carrés. À $100\,\mathrm{MPa}$, soit environ $4\,\mathrm{km}$ de profondeur dans la croûte, une rhyolite peut contenir $4.4\,\%$ d’eau, un basalte $3.4\,\%$.*

Le dioxyde de carbone est bien moins soluble que l’eau. Il se dissout sous forme de molécules dans les rhyolites et sous forme de groupes carbonates dans les basaltes, davantage dans les liquides alcalins que dans les tholéiites, et sa solubilité croît aussi avec la pression. Un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) qui porte les deux gaz commence donc à exsolver en profondeur, avec un gaz très riche en CO$_2$, et le gaz s’enrichit en eau à mesure que le [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) remonte. Les basaltes émis sur le fond marin profond contiennent des vésicules à plus de $95\,\%$ de CO$_2$, ce qui supposait une saturation en CO$_2$ même sous $5\,\mathrm{km}$ d’eau. Les estimations de la teneur initiale en CO$_2$ des basaltes parentaux du Kilauea vont de $0.2\text{ à }0.6\,\%$, et les inclusions magmatiques piégées dans leurs cristaux d’olivine enregistrent des pressions de saturation allant jusqu’à $500\,\mathrm{MPa}$.

Le gaz exsolvé occupe un grand volume. Un pour cent d’eau dans un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) à $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ occupe, en gaz parfait, environ $12\,\%$ du volume à $100\,\mathrm{MPa}$, $57\,\%$ à $10\,\mathrm{MPa}$ et plus de $99\,\%$ à la pression atmosphérique (voir l’[Exercice 5.7](#exo-b2-magma-emplacement-7)). Les bulles abaissent la densité du [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) et l’entraînent plus vite vers le haut ; dans un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) visqueux elles ne peuvent pas s’échapper, et le [Chapitre 6](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/6-eruptions-volcaniques#ch-b2-eruptive-styles) montre comment elles le fragmentent.

## 5.4 Remontée

Un corps de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) moins dense que son environnement subit une force de flottabilité de $\Delta\rho\,g$ par unité de volume, où $\Delta\rho$ est la différence de masse volumique. Il peut monter de deux façons : par une fissure qu’il ouvre devant lui, ou sous forme d’un bloc chaud et mou qui écarte la roche environnante.

### 5.4.1 Dykes

En profondeur, la roche est soumise à une forte pression lithostatique, mais une fissure remplie de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) à une pression légèrement supérieure à la contrainte principale minimale peut s’ouvrir et s’allonger à son extrémité. Le [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) remplit la fissure au fur et à mesure de sa croissance, et le résultat est une fine nappe de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma), large de quelques mètres et longue de plusieurs kilomètres, qui se fraye un chemin vers le haut : un [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) en formation. Le [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) s’écoule alors entre deux parois presque parallèles.

**Proposition 5.7 (Écoulement du magma dans un dyke).**

Un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) newtonien de viscosité $\eta$ poussé vers le haut par un gradient de pression $G$ (pour un écoulement par flottabilité, $G = \Delta\rho\,g$) entre deux parois parallèles distantes de $w$ s’écoule avec la vitesse moyenne

$$
\bar u = \frac{G w^2}{12\,\eta},
$$

et le débit volumique par unité de longueur de [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) vaut $q = \bar u w = G w^3/(12\eta)$.

**Démonstration.** En écoulement laminaire stationnaire, le profil de vitesse dans le [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) est la parabole de Poiseuille plane $u(x) = \frac{G}{2\eta}\left(\frac{w^2}{4} - x^2\right)$, pour $-w/2 \le x \le w/2$, qui s’annule sur les deux parois. Sa moyenne vaut $\bar u = \frac1w\int_{-w/2}^{w/2}u\,dx = \frac{G}{2\eta}\left(\frac{w^2}{4} -
\frac{w^2}{12}\right) = \frac{Gw^2}{12\eta}$. ∎

Le cube de la largeur rend les [dykes](#def-b2-magma-emplacement-bodies) larges bien plus efficaces que les étroits. Un basalte de $100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ dans un [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) large de $1\,\mathrm{m}$, avec $\Delta\rho =
300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, monte à environ $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et traverse $10\,\mathrm{km}$ de croûte en une heure ; une rhyolite de $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ dans le même [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) mettrait plus d’un an, et gèlerait en chemin ; les [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) siliceux ont besoin de [dykes](#def-b2-magma-emplacement-bodies) beaucoup plus larges (voir l’[Exercice 5.6](#exo-b2-magma-emplacement-6)). Le nombre de Reynolds $\rho\bar u w/\eta$ de ces écoulements est assez faible pour qu’ils restent laminaires. Les vitesses de remontée estimées pour les [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) pendant les éruptions séparent les éruptions effusives, en dessous d’environ $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, des explosives au-dessus, avec une gamme de transition de $0.005\text{ à }0.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ où les deux styles coexistent ; les kimberlites, qui proviennent de profondeurs supérieures à $150\,\mathrm{km}$, ont été estimées entre $0.1\text{ à }30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, et une étude par diffusion de l’une d’elles donne $0.02\text{ à }0.23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en moyenne sur les derniers $80\text{ à }110\,\mathrm{km}$, soit un trajet de $5\text{ à }74$ jours.

### 5.4.2 Diapirs

**Définition 5.8 (Diapir, niveau de flottabilité neutre, stoping).**

Un *diapir* est un corps de matériau flottant, [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) ou roche partiellement fondue, qui monte à travers son environnement en l’écartant par écoulement. Le *niveau de flottabilité neutre* d’un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) est la profondeur à laquelle sa masse volumique égale celle de la roche environnante : au-dessous, le [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) est flottant, au-dessus il est plus dense que son environnement. *Stoping magmatique* est le détachement de blocs de la paroi ou du toit rocheux, qui s’enfoncent dans le [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) ; les blocs qui restent enclavés dans la roche solidifiée sont des xénolithes.

**Proposition 5.9 (Remontée de Stokes).**

Une sphère de rayon $a$ et de déficit de masse volumique $\Delta\rho$ qui monte lentement dans un milieu newtonien de viscosité $\eta$ atteint la vitesse limite

$$
v = \frac{2\,\Delta\rho\,g\,a^2}{9\,\eta}
$$

si elle est rigide, et $1.5$ fois cette valeur si c’est un fluide de viscosité négligeable.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

La roche qui entoure un [diapir](#def-b2-magma-emplacement-ascent) n’est pas un fluide de $100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, mais un solide chaud, dont la viscosité est supérieure de plusieurs ordres de grandeur à celle de tout liquide : dans la croûte, une sphère de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) d’un kilomètre de large ne monte que de quelques millimètres par an, et perd sa chaleur bien avant d’avoir beaucoup monté (voir l’[Exercice 5.9](#exo-b2-magma-emplacement-9)). Les [diapirs](#def-b2-magma-emplacement-ascent) fonctionnent là où l’environnement est chaud et mou, dans le manteau et dans les racines profondes des chaînes de montagnes, et là où le matériau flottant est une masse partiellement fondue de plusieurs kilomètres de large ; la croûte superficielle est traversée par des [dykes](#def-b2-magma-emplacement-bodies).

## 5.5 Mise en place

La plupart du [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) n’atteint jamais la surface. Il s’arrête là où il n’est plus flottant, ou là où une couche plus résistante le bloque, et s’étale en un corps dont la forme garde la trace de la façon dont il s’est fait de la place.

**Définition 5.10 (Corps intrusifs).**

Un *pluton* est tout corps de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) qui s’est solidifié dans la croûte. Un *dyke* est un pluton en nappe qui recoupe la stratification de sa roche encaissante (ou toute nappe si l’encaissant n’est pas stratifié) ; un *sill* est un pluton en nappe parallèle à la stratification. Un *laccolite* est un sill qui s’est épaissi en soulevant les couches sus-jacentes en dôme. Un *batholite* est un grand pluton, ou un ensemble de plutons, dont la surface affleurante dépasse $100\,\mathrm{km}^{2}$.

![Formes de corps intrusifs dans une roche encaissante stratifiée (schéma, non à l’échelle) : un dyke d’alimentation recoupant les couches, un sill le long d’un plan de stratification, un laccolite soulevant en dôme les couches au-dessus, un dyke remontant jusqu’à la surface, et un batholite avec des blocs arrachés à son toit par stoping et une auréole de contact.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/fig-26f889da11dd.svg)

*Formes de corps intrusifs dans une roche encaissante stratifiée (schéma, non à l’échelle) : un [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) d’alimentation recoupant les couches, un [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) le long d’un plan de stratification, un [laccolite](#def-b2-magma-emplacement-bodies) soulevant en dôme les couches au-dessus, un [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) remontant jusqu’à la surface, et un [batholite](#def-b2-magma-emplacement-bodies) avec des blocs arrachés à son toit par stoping et une [auréole de contact](#def-b2-magma-emplacement-aureole).*

L’endroit où un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) s’arrête dépend d’abord de sa masse volumique. Dans une croûte dont la masse volumique augmente avec la profondeur, un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) monte jusqu’à son [niveau de flottabilité neutre](#def-b2-magma-emplacement-ascent) et s’étale latéralement à ce niveau, en [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) ou en lentille ; les sédiments légers proches de la surface sont des pièges particulièrement efficaces pour le [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) basaltique dense. Une couche résistante et rigide peut aussi arrêter un [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) et le détourner le long de sa base. La figure ci-dessous montre le principe.

![Le niveau de flottabilité neutre (schéma). La masse volumique de la croûte augmente avec la profondeur, par compaction des sédiments et par le passage à des roches plus denses ; un magma de masse volumique fixée monte tant qu’il est plus léger que son environnement (grisé) et s’étale là où les deux masses volumiques se rejoignent.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/fig-fd4bc0ce3535.svg)

*Le [niveau de flottabilité neutre](#def-b2-magma-emplacement-ascent) (schéma). La masse volumique de la croûte augmente avec la profondeur, par compaction des sédiments et par le passage à des roches plus denses ; un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) de masse volumique fixée monte tant qu’il est plus léger que son environnement (grisé) et s’étale là où les deux masses volumiques se rejoignent.*

Un [pluton](#def-b2-magma-emplacement-bodies) doit se faire de la place. Il peut soulever son toit, comme le fait une [laccolite](#def-b2-magma-emplacement-bodies) ; il peut écarter ses parois là où elles sont molles ; il peut remplir un espace ouvert par une faille ; et il peut arracher son toit, bloc par bloc. Les grands [plutons](#def-b2-magma-emplacement-bodies) ont longtemps été imaginés comme d’énormes réservoirs de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) mis en place d’un seul coup. La datation a changé cette image. Les zircons de la suite intrusive de Tuolumne, un [batholite](#def-b2-magma-emplacement-bodies) granitique en Californie, montrent qu’elle a été mise en place entre $95$ et $85\,\mathrm{Ma}$, les plus anciens en bordure et les plus jeunes au centre, et l’une de ses unités seule sur plus de $3\,\mathrm{Ma}$, entre $92.8\,\mathrm{Ma}$ et $88.8\,\mathrm{Ma}$. Un seul corps de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) de $5\,\mathrm{km}$ d’épaisseur et de $20\,\mathrm{km}$ de large, mis en place à $15\,\mathrm{km}$ de profondeur, aurait refroidi sous $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, température à laquelle il est cristallisé à moitié, en environ $500\,000$ ans. De tels [plutons](#def-b2-magma-emplacement-bodies) ont dû être édifiés par étapes à partir de nombreuses intrusions plus petites, comme des nappes et des [dykes](#def-b2-magma-emplacement-bodies), sur des millions d’années (voir l’[Exercice 5.11](#exo-b2-magma-emplacement-11)).

![Un dyke près de Shiprock, dans le Navajo Volcanic Field (Nouveau-Mexique) : la roche du dyke a mieux résisté à l’érosion que le grès et le schiste qu’il recoupait, et se dresse aujourd’hui en muraille ; au loin, le culot volcanique d’où rayonnent plusieurs dykes semblables. Photographie : Dexter Perkins (CC0).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/img-275f4c2b5c29.jpg)

*Un [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) près de Shiprock, dans le Navajo Volcanic Field (Nouveau-Mexique) : la roche du [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) a mieux résisté à l’érosion que le grès et le schiste qu’il recoupait, et se dresse aujourd’hui en muraille ; au loin, le culot volcanique d’où rayonnent plusieurs [dykes](#def-b2-magma-emplacement-bodies) semblables. Photographie : Dexter Perkins (CC0).*

## 5.6 Refroidissement et métamorphisme de contact

Une intrusion perd sa chaleur par conduction vers les roches encaissantes. Le modèle le plus simple traite l’intrusion et son encaissant comme un milieu conducteur unique de diffusivité uniforme $\kappa$ : à l’instant zéro, une nappe d’épaisseur $b$ est à la température d’intrusion $T_m$ et l’encaissant à $T_0$. La solution de l’équation de la chaleur, avec $x$ compté depuis le milieu de la nappe, est

$$
T(x,t) = T_0 + \frac{T_m - T_0}{2}\left[\operatorname{erf}\frac{b/2 - x}{2\sqrt{\kappa t}}
+ \operatorname{erf}\frac{b/2 + x}{2\sqrt{\kappa t}}\right].
$$

La figure ci-dessous la représente pour un [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) d’épaisseur $100\,\mathrm{m}$.

**Proposition 5.11 (Température de contact).**

Dans ce modèle, tant que $\sqrt{\kappa t}$ est petit devant $b$, la température au contact de l’intrusion reste égale à la moyenne $(T_m + T_0)/2$ des températures de l’intrusion et de l’encaissant.

**Démonstration.** Au contact, $x = b/2$, la première fonction d’erreur vaut $\operatorname{erf}0 = 0$ et la seconde vaut $\operatorname{erf}(b/(2\sqrt{\kappa t}))$, proche de $1$ tant que $b \gg 2\sqrt{\kappa t}$. Alors $T = T_0 + (T_m - T_0)/2$. ∎

Un [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) basaltique à $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dans des roches à $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ porte donc son contact à $600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. La chaleur de cristallisation, typiquement $700\text{ à }1000\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$, maintient le [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) chaud plus longtemps et élève cette valeur : avec $900\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ libérés entre $1150$ et $950\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, le même modèle donne $690\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, tandis que des conductivités dépendant de la température et des roches encaissantes humides abaissent les deux estimations de 50 à $75\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

![Refroidissement conductif d’un sill de 100\, m d’épaisseur (grisé), mis en place à 1150\, C dans une roche à 100\, C, avec = 0.7 × 10-6\, m2/ s et sans chaleur latente. Le contact reste voisin de 625\, C pendant des décennies, tandis que la chaleur se diffuse dans l’encaissant ; après deux siècles, le sill et son environnement forment une large zone chaude.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/fig-2592e880ef2e.svg)

*Refroidissement conductif d’un [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $100\,\mathrm{m}$ d’épaisseur (grisé), mis en place à $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dans une roche à $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, avec $\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ et sans chaleur latente. Le contact reste voisin de $625\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ pendant des décennies, tandis que la chaleur se diffuse dans l’encaissant ; après deux siècles, le [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) et son environnement forment une large zone chaude.*

L’échelle de temps du refroidissement est le temps que met la chaleur à diffuser à travers l’intrusion, de l’ordre de $(b/2)^2/\kappa$ : environ $16$ jours pour un [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $2\,\mathrm{m}$ de large, un siècle pour un [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $100\,\mathrm{m}$ d’épaisseur, cent mille ans pour un [pluton](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de quelques kilomètres. La chaleur latente l’allonge, et il en est de même de la nécessité de solidifier le [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) plutôt que de simplement le refroidir.

**Proposition 5.12 (Solidification d’une intrusion).**

Soit du [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) à sa température de solidification $T_m$, de chaleur latente $L$ par unité de volume, remplissant l’espace $y > 0$ à côté d’une roche encaissante à $T_0$ occupant $y < 0$, toutes deux de capacité thermique $\rho c$ par unité de volume et de diffusivité $\kappa$. Le front de solidification avance selon $y_s = 2\lambda\sqrt{\kappa t}$, où $\lambda$ est la racine de

$$
\frac{L\sqrt\pi}{\rho c\,(T_m - T_0)} = \frac{e^{-\lambda^2}}{\lambda\,(1 + \operatorname{erf}\lambda)},
$$

et le contact reste à $T_0 + (T_m - T_0)/(1 + \operatorname{erf}\lambda)$. Un [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) d’épaisseur $b$, qui se solidifie à partir de ses deux parois, est solide après $t = b^2/(16\lambda^2\kappa)$.

**Démonstration.** Le [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) en avant du front reste à $T_m$, si bien que la chaleur ne circule que dans le solide et dans l’encaissant, où l’on essaie $T = T_0 + (T_m - T_0)(1 + \operatorname{erf}\xi)/(1 +
\operatorname{erf}\lambda)$ avec $\xi = y/(2\sqrt{\kappa t})$. Toute fonction de $\xi$ de la forme $\alpha + \beta\operatorname{erf}\xi$ est solution de l’équation de la chaleur ; celle-ci tend vers $T_0$ loin dans l’encaissant ($\xi \to -\infty$) et vaut $T_m$ sur le front $\xi = \lambda$. En $y = 0$, elle donne la température de contact énoncée. Sur le front, la chaleur latente libérée par le solide qui progresse, $L\,dy_s/dt = L\lambda\sqrt{\kappa/t}$ par unité d’aire et de temps, doit être évacuée par conduction, $k\,\partial T/\partial y = k(T_m -
T_0)\,e^{-\lambda^2}/[(1 + \operatorname{erf}\lambda)\sqrt{\pi\kappa t}]$. En égalant les deux et en utilisant $k = \rho c\kappa$, on obtient l’équation de $\lambda$. Chaque paroi du [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) fait avancer son propre front, indépendamment tant que le cœur reste à $T_m$ ; les deux fronts se rejoignent lorsque $2\lambda\sqrt{\kappa t} = b/2$. ∎

Avec la chaleur latente d’un basalte et un encaissant à environ $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\lambda$ vaut environ $0.65$ : un [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) d’épaisseur $100\,\mathrm{m}$ se solidifie en environ soixante-dix ans, et son contact reste voisin de $740\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ au lieu de $625\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ pendant ce temps. Le problème du week-end traite ce cas. Comme le temps croît comme le carré de l’épaisseur, un [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) dix fois plus épais met cent fois plus de temps.

**Définition 5.13 (Auréole de contact et roches qui la composent).**

Une *bordure figée* est la bordure à grain fin ou vitreuse d’une intrusion, là où le [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) s’est refroidi vite contre une roche encaissante plus froide. Une *auréole de contact* est la zone de roche encaissante autour d’une intrusion qui a été métamorphisée par sa chaleur. La *cornéenne* est la roche dure, à grain fin et non foliée, que deviennent les argilites et les roches volcaniques dans une auréole de contact. Le *skarn* est la roche formée là où des fluides magmatiques chauds réagissent avec la roche encaissante carbonatée, en déposant des silicates de calcium–fer–magnésium tels que grenat et pyroxène, souvent avec de la magnétite et des sulfures métalliques.

Les [auréoles de contact](#def-b2-magma-emplacement-aureole) vont de quelques centimètres autour de petits [dykes](#def-b2-magma-emplacement-bodies) et [sills](#def-b2-magma-emplacement-bodies) à plusieurs dizaines de mètres autour d’un grand stock, et le métamorphisme de contact couvre environ $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ à plus de $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Une argilite devient une [cornéenne](#def-b2-magma-emplacement-aureole), un calcaire un marbre, un grès un quartzite. Un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) mis en place en profondeur dans des roches déjà chaudes ne produit presque aucune auréole : la largeur dépend de la taille et de la température de l’intrusion ainsi que de la température de son encaissant, comme le prévoit le modèle de refroidissement (voir l’[Exercice 5.12](#exo-b2-magma-emplacement-12)). Les minéraux qui croissent dans une auréole, et ce qu’ils disent de la température, appartiennent au [Chapitre 10](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/10-reactions-metamorphiques-et-facies#ch-b2-metamorphic-facies) ; les métaux que concentrent les [skarns](#def-b2-magma-emplacement-aureole) sont traités au [Chapitre 29](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/29-gisements-de-minerai#ch-b2-ore-deposits).

**Sur le terrain — Lire les contacts d’un dyke.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/img-b11b8d5434ec.jpg)

*Un géologue examinant le contact d’un [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) sombre avec une roche encaissante claire (Illustration générée par IA.)*

Lorsqu’un [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) affleure, un géologue suit d’abord ses contacts avec la roche encaissante. Une bordure à grain plus fin ou plus vitreux que le centre du [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) indique que le [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) a été refroidi contre une roche froide ; un [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) large de $25\,\mathrm{cm}$, étudié sur la côte de Colombie-Britannique, présente des [bordures figées](#def-b2-magma-emplacement-aureole) de $2\,\mathrm{cm}$ d’épaisseur. La roche encaissante est examinée au contact pour y repérer une cuisson : un changement de couleur, un durcissement, de nouveaux minéraux qui s’estompent à mesure qu’on s’éloigne du [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies). La largeur de la zone cuite et de la [bordure figée](#def-b2-magma-emplacement-aureole), rapportée à la largeur du [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies), indique à quelle température se trouvait l’encaissant à l’arrivée du [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) ; un [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) sans [bordure figée](#def-b2-magma-emplacement-aureole) ni auréole s’est mis en place dans des roches déjà chaudes. Des échantillons sont prélevés en travers du [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies), de la bordure au centre, pour la géochimie de son liquide et pour la taille de ses cristaux.

## 5.7 Exercices

**Exercice 5.1 ★.**

Pour les liquides granitiques hydratés, une équation ajustée sur des mesures donne $\log_{10}\eta = [-3.545 + 0.833\ln w] + [9601 - 2368\ln w]/\{T - [195.7 + 32.25\ln
w]\}$, avec $\eta$ en $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $w$ la teneur en eau en pour cent massique et $T$ en kelvins. Calculer $\log_{10}\eta$ à $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ pour $w = 1$ et $w = 4$, et le facteur par lequel les trois pour cent d’eau supplémentaires réduisent la viscosité.

**Solution de Exercice 5.1.**

$T = 1073\,\mathrm{K}$. Pour $w = 1$, $\ln w = 0$ : $\log_{10}\eta = -3.545 +
9601/(1073 - 195.7) = -3.545 + 10.94 = 7.40$. Pour $w = 4$, $\ln 4 = 1.386$ : $A = -3.545 + 1.155 = -2.390$, $B = 9601 - 3283 = 6318$, $C = 195.7 + 44.7 =
240.4$, et $\log_{10}\eta = -2.390 + 6318/832.6 = -2.390 + 7.588 = 5.20$. La viscosité diminue d’un facteur $10^{7.40 - 5.20} = 10^{2.20} \approx 160$.

**Exercice 5.2 ★.**

Avec la loi en racine carrée, $s = 0.44$ pour une rhyolite et $s = 0.34$ pour un basalte (pour cent en masse par $\sqrt{\mathrm{MPa}}$), calculer la pression de saturation d’une rhyolite à $6\,\%$ d’eau et d’un basalte à $0.5\,\%$, ainsi que les profondeurs correspondantes dans une croûte de masse volumique $2600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ($g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$).

**Solution de Exercice 5.2.**

Rhyolite : $p_s = (6/0.44)^2 = 186\,\mathrm{MPa}$, à une profondeur de $186 \times 10^{6}/(2600\times9.81)
= 7.3\,\mathrm{km}$. Basalte : $p_s = (0.5/0.34)^2 = 2.16\,\mathrm{MPa}$, à $2.16 \times 10^{6}/(2600\times9.81) = 85\,\mathrm{m}$. La rhyolite commence à former des bulles en profondeur dans la croûte, le basalte seulement près de la surface (s’il ne contient pas de CO$_2$).

**Exercice 5.3 ★.**

Calculer la température de contact d’un [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) basaltique à $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ mis en place dans des roches à $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, puis dans des roches à $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Lequel des deux [dykes](#def-b2-magma-emplacement-bodies) aura la [bordure figée](#def-b2-magma-emplacement-aureole) la plus large ?

**Solution de Exercice 5.3.**

$(1150 + 50)/2 = 600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et $(1150 + 400)/2 = 775\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Le [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) dans la roche froide est refroidi plus fortement à son contact, et a la [bordure figée](#def-b2-magma-emplacement-aureole) la plus large.

**Exercice 5.4 ★.**

Nommer chaque corps. (a) Une nappe de dolérite de $30\,\mathrm{m}$ d’épaisseur placée entre deux couches de grès sur $20\,\mathrm{km}$. (b) Une nappe verticale de basalte large de $2\,\mathrm{m}$ recoupant des calcaires horizontaux. (c) Un granite affleurant sur $2000\,\mathrm{km}^{2}$, formé d’une douzaine d’unités d’âges différents. (d) Une lentille de porphyre large de $1\,\mathrm{km}$, plane à sa base, au-dessus de laquelle les couches sont arquées vers le haut. (e) Une nappe horizontale de basalte dans un granite.

**Solution de Exercice 5.4.**

(a) Un [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies), parallèle à la stratification. (b) Un [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies), recoupant la stratification. (c) Un [batholite](#def-b2-magma-emplacement-bodies), de plus de $100\,\mathrm{km}^{2}$, assemblé à partir de nombreuses intrusions. (d) Une [laccolite](#def-b2-magma-emplacement-bodies), qui a soulevé son toit en dôme. (e) Un [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) : le granite n’a pas de stratification, de sorte que toute nappe qui le traverse est un [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies), quelle que soit son orientation.

**Exercice 5.5 ★★.**

Un liquide basaltique a $\eta_{\ell} = 100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Avec la relation d’Einstein–Roscoe ($R = 1.35$), calculer la viscosité du [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) contenant $5\,\%$, $20\,\%$, $40\,\%$ et $60\,\%$ de cristaux, et comparer la première avec la formule diluée d’Einstein. À quelle fraction de cristaux la relation prévoit-elle le blocage ?

**Solution de Exercice 5.5.**

$(1 - 1.35\phi)^{-2.5}$ : pour $\phi = 0.05$, $0.9325^{-2.5} = 1.19$, soit $119\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, contre $1 + 2.5\times0.05 = 1.125$, $113\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, avec la formule d’Einstein (proche, comme il se doit à la limite diluée). Pour $0.20$ : $0.73^{-2.5} =
2.20$, $220\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ; pour $0.40$ : $0.46^{-2.5} = 6.97$, $697\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ; pour $0.60$ : $0.19^{-2.5} = 63.6$, soit environ $6360\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Blocage à $\phi = 1/1.35 = 0.74$.

**Exercice 5.6 ★★.**

Un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) de masse volumique inférieure de $300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ à celle de ses parois monte dans un [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies). (a) Pour un basalte ($\eta = 100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\rho = 2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) dans un [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) large de $1\,\mathrm{m}$, calculer la vitesse moyenne, le débit par mètre de [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies), le nombre de Reynolds et le temps pour monter $10\,\mathrm{km}$. (b) Même calcul de temps pour une rhyolite de $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ dans un [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) large de $1\,\mathrm{m}$, puis de $10\,\mathrm{m}$. (c) Un [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) large de $1\,\mathrm{m}$ perd sa chaleur en un temps de l’ordre de $(w/2)^2/\kappa$, avec $\kappa =
1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : laquelle des trois remontées peut réussir ?

**Solution de Exercice 5.6.**

$G = 300\times9.81 = 2943\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$. (a) $\bar u = 2943\times1^2/(12\times100) =
2.45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $q = 2.45\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; $Re = 2700\times2.45\times1/100 = 66$, laminaire ; $t = 10000/2.45 = 4080\,\mathrm{s}$, soit environ $1.1\,\mathrm{h}$. (b) $\bar u =
2943/(12\times10^{6}) = 2.45 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $t = 4.08 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 472$ jours ; avec $w = 10\,\mathrm{m}$, $\bar u$ est cent fois plus grande, $0.0245\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, et $t =
4.08 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 4.7$ jours. (c) Le [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $1\,\mathrm{m}$ se refroidit en environ $0.5^2/10^{-6} = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$, soit 2.9 jours ; le [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $10\,\mathrm{m}$ en $5^2/10^{-6} =
2.5 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, soit 289 jours. Le basalte ($1.1\,\mathrm{h}$) et la rhyolite dans le [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) large (4.7 jours) arrivent avant que leur [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) ne gèle ; la rhyolite dans le [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $1\,\mathrm{m}$ (472 jours) ne le peut pas.

**Exercice 5.7 ★★.**

Un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) de masse volumique $2400\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ à $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ libère $1\,\%$ de sa masse en vapeur d’eau. En assimilant la vapeur à un gaz parfait ($R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$, $18.015\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$), calculer la fraction volumique de gaz dans le [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) à $100\,\mathrm{MPa}$, $10\,\mathrm{MPa}$ et $0.1\,\mathrm{MPa}$. Laquelle des trois valeurs est la moins fiable, et pourquoi ?

**Solution de Exercice 5.7.**

Par kilogramme de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma), $n = 10/18.015 = 0.555\,\mathrm{mol}$ d’eau et $nRT =
0.555\times8.314\times1173 = 5414\,\mathrm{J}$ ; le liquide restant occupe $0.99/2400 =
4.13 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$. À $100\,\mathrm{MPa}$ : $V = 5.41 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$, fraction $5.41/(5.41 + 41.3) = 0.12$. À $10\,\mathrm{MPa}$ : $V = 5.41 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$, fraction $0.57$. À $0.1\,\mathrm{MPa}$ : $V = 0.0541\,\mathrm{m}^{3}$, fraction $0.992$. La valeur à $100\,\mathrm{MPa}$ est la moins fiable : la vapeur d’eau à une telle pression est dense et loin d’un gaz parfait (et une grande partie de l’eau resterait en fait dissoute).

**Exercice 5.8 ★★.**

Dans un bassin, la masse volumique des roches croît avec la profondeur $z$ selon $\rho(z) =
2300 + 60\,z$ ($\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $z$ en $\mathrm{km}$) jusqu’à $10\,\mathrm{km}$. (a) Où se trouve le [niveau de flottabilité neutre](#def-b2-magma-emplacement-ascent) d’un liquide basaltique de $2650\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ? (b) Le modèle de masse volumique de ce chapitre montre qu’un pour cent d’eau dissoute abaisse la masse volumique d’un liquide basaltique d’environ $70\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. Où s’arrête un liquide contenant un pour cent d’eau de plus ? (c) Quelle est la force de flottabilité par mètre cube du liquide sec situé $2\,\mathrm{km}$ sous son [niveau de flottabilité neutre](#def-b2-magma-emplacement-ascent) ?

**Solution de Exercice 5.8.**

(a) $2300 + 60z = 2650$ donne $z = 5.8\,\mathrm{km}$. (b) Le liquide a $2580\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : $z = 280/60 = 4.7\,\mathrm{km}$, soit environ $1.2\,\mathrm{km}$ plus haut. (c) À $z = 7.8\,\mathrm{km}$, la roche a $2300 + 60\times7.8 = 2770\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; la force vaut $(2770 - 2650)\times9.81 = 1.2\,\mathrm{kN}$ par mètre cube, dirigée vers le haut.

**Exercice 5.9 ★★.**

Supposons un [diapir](#def-b2-magma-emplacement-ascent) granitique de rayon $1\,\mathrm{km}$ et de déficit de masse volumique $300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ qui monte à travers une croûte inférieure de viscosité $10^{19}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Calculer sa vitesse de Stokes (sphère rigide) en millimètres par an et le temps pour monter $10\,\mathrm{km}$. Comparer avec l’échelle de temps $a^2/\kappa$ de son refroidissement, avec $\kappa
= 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. Que conclure ?

**Solution de Exercice 5.9.**

$v = 2\times300\times9.81\times(1000)^2/(9\times10^{19}) = 6.5 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, soit $6.5 \times 10^{-11}\times3.156 \times 10^{7} = 2.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ par an, $2.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{an}$. La remontée de $10\,\mathrm{km}$ prend $10^{4}/2.1 \times 10^{-3} = 4.8\,\mathrm{Ma}$. L’échelle de temps du refroidissement est $(1000)^2/10^{-6} = 10^{12}\,\mathrm{s} = 32\,\mathrm{ka}$ : le corps se solidifie après avoir monté d’environ $32000\times0.0021 \approx 70\,\mathrm{m}$. Un [diapir](#def-b2-magma-emplacement-ascent) magmatique ne peut pas traverser une telle croûte ; il lui faut un environnement plus chaud et plus mou.

**Exercice 5.10 ★★★.**

L’eau se dissout dans un liquide à la fois sous forme de molécules, $x_m = K_1 f$, et sous forme de groupes hydroxyles, $x_{\mathrm{OH}}^2 = K_2 x_m$ (l’oxygène du liquide étant en large excès), de sorte que l’eau dissoute totale vaut $x = x_m + x_{\mathrm{OH}}/2$. (a) Exprimer $x$ en fonction de $f$ et montrer qu’elle se comporte comme $\sqrt f$ à faible $f$ et comme $f$ à fort $f$. (b) À quelle fugacité les deux formes d’eau sont-elles également abondantes ? (c) Avec $K_1 = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{MPa}^{-1}$ et $K_2 = 0.2$, calculer cette fugacité, ainsi que la part de l’eau dissoute sous forme d’hydroxyle à $100\,\mathrm{MPa}$.

**Solution de Exercice 5.10.**

(a) $x_{\mathrm{OH}} = \sqrt{K_2x_m} = \sqrt{K_1K_2f}$, donc $x = K_1f + \frac12\sqrt{K_1K_2f}$. Le rapport du premier terme au second vaut $2\sqrt{K_1f/K_2}$ : il tend vers zéro lorsque $f \to 0$ (la racine carrée domine) et croît sans borne avec $f$ (le terme linéaire domine). (b) $K_1 f = \frac12\sqrt{K_1K_2 f}$ donne $K_1^2f^2 =
K_1K_2f/4$, donc $f = K_2/(4K_1)$. (c) $f = 0.2/(4 \times 10^{-4}) = 500\,\mathrm{MPa}$. À $100\,\mathrm{MPa}$ : $x_m = 0.0100$, $\frac12\sqrt{10^{-4}\times0.2\times100} =
\frac12\times0.0447 = 0.0224$, donc $x = 0.0324$ et la part hydroxyle vaut $0.0224/0.0324 = 69\,\%$.

**Exercice 5.11 ★★★.**

Un [pluton](#def-b2-magma-emplacement-bodies) granitique de $1000\,\mathrm{km}^{3}$ est édifié en $4\,\mathrm{Ma}$. (a) Calculer son apport moyen de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) en $\mathrm{km}^{3}$ par an et en $\mathrm{m}^{3}$ par seconde. (b) Un seul [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) long de $1\,\mathrm{km}$ et large de $2\,\mathrm{m}$, avec une vitesse moyenne de $0.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, l’alimente : combien de temps ce [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) mettrait-il pour apporter tout le [pluton](#def-b2-magma-emplacement-bodies) ? Quelle fraction des $4\,\mathrm{Ma}$ cela représente-t-il ? (c) Si le [pluton](#def-b2-magma-emplacement-bodies) est formé de nappes d’épaisseur $20\,\mathrm{m}$ et de $10\,\mathrm{km}$ sur $10\,\mathrm{km}$, combien de nappes faut-il, et quel délai sépare en moyenne deux d’entre elles ? (d) Avec $\lambda = 0.65$ et $\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, combien de temps une nappe met-elle pour se solidifier ? Le [pluton](#def-b2-magma-emplacement-bodies) est-il jamais un seul grand corps de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) ?

**Solution de Exercice 5.11.**

(a) $1000/4 \times 10^{6} = 2.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{3}$ par an, soit $2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{3}$ par an, ou $2.5 \times 10^{5}/3.156 \times 10^{7} = 0.0079\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, soit environ huit litres par seconde. (b) Le [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) transporte $1000\times2\times0.8 = 1600\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ et apporte $10^{12}\,\mathrm{m}^{3}$ en $6.25 \times 10^{8}\,\mathrm{s}$, soit environ 20 ans : $5 \times 10^{-6}$ de la $4\,\mathrm{Ma}$. (c) Chaque nappe contient $20\times10^{4}\times10^{4} = 2 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{3} =
2\,\mathrm{km}^{3}$, soit 500 nappes, une toutes les $4 \times 10^{6}/500 = 8000$ ans en moyenne. (d) $t = (10)^2/(4\times0.65^2\times0.7 \times 10^{-6}) = 8.5 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, soit 2.7 ans. Chaque nappe se solidifie des milliers d’années avant l’arrivée de la suivante : sauf si l’apport arrive par à-coups rapides, le [pluton](#def-b2-magma-emplacement-bodies) n’est jamais un seul grand corps de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma), comme le suggère la datation des grands [plutons](#def-b2-magma-emplacement-bodies).

**Exercice 5.12 ★★★.**

Loin d’un [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) mince de largeur $b$ (à des distances $x \gg b$), sa chaleur agit comme une source plane instantanée : $T - T_0 = (T_m - T_0)\,b\,e^{-x^2/(4\kappa
t)}/\sqrt{4\pi\kappa t}$. (a) Montrer qu’à la distance $x$ la température est maximale à $t^* = x^2/(2\kappa)$, et que cette élévation maximale vaut $\Delta T_{\max} = (T_m -
T_0)\,b/(x\sqrt{2\pi e})$. (b) Pour un [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) large de $2\,\mathrm{m}$ avec $T_m - T_0 =
1100\,\mathrm{K}$, à quelle distance la roche se réchauffe-t-elle d’au plus $100\,\mathrm{K}$, et quand ($\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$) ? (c) Pourquoi les auréoles des [dykes](#def-b2-magma-emplacement-bodies) minces sont-elles si étroites ?

**Solution de Exercice 5.12.**

(a) À $x$ fixé, $\ln(T - T_0) = \text{cste} - \frac12\ln t - x^2/(4\kappa t)$, dont dérivée $-1/(2t) + x^2/(4\kappa t^2)$ s’annule en $t^* = x^2/(2\kappa)$. Alors $e^{-x^2/(4\kappa t^*)} = e^{-1/2}$ et $\sqrt{4\pi\kappa t^*} = x\sqrt{2\pi}$, donc $\Delta
T_{\max} = (T_m - T_0)\,b\,e^{-1/2}/(x\sqrt{2\pi}) = (T_m - T_0)\,b/(x\sqrt{2\pi e})$. (b) $\sqrt{2\pi e} = 4.13$ : $x = 1100\times2/(100\times4.13) = 5.3\,\mathrm{m}$, atteint après $t^* = 5.3^2/(2\times0.7 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, soit environ 230 jours (à seulement 2.7 largeurs de [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies), l’approximation de source plane est grossière). (c) Le réchauffement décroît comme $b/x$ : un [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) mince transporte peu de chaleur, et la roche ne se réchauffe sensiblement que dans un rayon de quelques largeurs de [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies).

## 5.8 Problème : le sill sous le plateau

**Problème 5.1.**

Problème du week-end — suivre un magma basaltique depuis son dyke d’alimentation jusqu’à un sill, son eau et le temps que met le sill à se solidifier

Sous un plateau imaginaire, des sédiments (schiste et grès) de masse volumique moyenne $2450\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ reposent à $3.0\,\mathrm{km}$ de profondeur sur un socle cristallin de masse volumique $2800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. Un [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) basaltique est monté depuis $15\,\mathrm{km}$ par un [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) large de $2.0\,\mathrm{m}$ et s’est étalé à la base des sédiments en un [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de dolérite d’épaisseur $100\,\mathrm{m}$. Données : température d’intrusion $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; loi de viscosité du liquide $\log_{10}\eta = -4.55 + 5510/(T - 611)$ ($T$ en kelvins) ; masse volumique du liquide avec son eau $2710\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; $20\,\%$ de cristaux en volume (Einstein–Roscoe, $R = 1.35$) ; eau dissoute $0.40\,\%$, solubilité $s = 0.34$ pour cent par $\sqrt{\mathrm{MPa}}$ ; température de l’encaissant au niveau du [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; $\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $\rho c = 2.5\,\mathrm{MJ}/(\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{K})$, chaleur latente $900\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$, le [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) étant considéré comme se solidifiant à sa température d’intrusion ; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; une année vaut $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$.

**Partie I — Le magma.**

1. Calculer $\log_{10}\eta$ et $\eta$ du liquide à $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $1423\,\mathrm{K}$ ).
2. Même question à $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . De quel facteur la viscosité change-t-elle sur ces $50\,\mathrm{K}$ ?
3. Calculer la viscosité du [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) avec ses cristaux à $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
4. À quelle fraction de cristaux la relation d’Einstein–Roscoe ferait-elle bloquer le [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) ? Comparer avec l’estimation de terrain de la fin de l’écoulement d’ensemble.
5. Calculer la différence de masse volumique entre le [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) et le socle, et entre le [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) et les sédiments.
6. Calculer la pression lithostatique au niveau du [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) .

**Partie II — Remontée dans le dyke.**

7. Calculer le gradient de pression de flottabilité $\Delta\rho\,g$ qui entraîne le [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) à travers le socle.
8. Calculer la vitesse moyenne du [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) dans le [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) .
9. Calculer le débit par mètre de [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) , et le débit total si le [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) est long de $1.0\,\mathrm{km}$ .
10. Calculer le nombre de Reynolds de l’écoulement. Est-il laminaire ?
11. Combien de temps le [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) met-il pour monter de $15\,\mathrm{km}$ à $3.0\,\mathrm{km}$ ?
12. Comparer avec l’échelle de temps $(w/2)^2/\kappa$ sur laquelle le [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) perd sa chaleur. Peut-il rester ouvert ?
13. Expliquer pourquoi le [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) s’est arrêté à $3.0\,\mathrm{km}$ et s’est étalé latéralement, en utilisant le vocabulaire du chapitre.

**Partie III — L’eau.**

14. Calculer la pression de saturation de l’eau du liquide, et la profondeur, dans les sédiments, où elle est atteinte.
15. Quelle quantité d’eau le liquide peut-il contenir au niveau du [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) ? Le [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) du [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) exsolve-t-il de l’eau ?
16. Les vésicules de la [bordure figée](#def-b2-magma-emplacement-aureole) du [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) contiennent surtout du CO $_2$ . Expliquer.
17. Si la totalité des $0.40\,\%$ d’eau sortait en surface, à $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et $0.1\,\mathrm{MPa}$ , quelle fraction volumique du [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) occuperait la vapeur (gaz parfait) ?

**Partie IV — Refroidissement et solidification.**

18. En négligeant la chaleur latente, calculer la température de contact du [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) .
19. En négligeant la chaleur latente, calculer la température $10\,\mathrm{m}$ au-dessus du contact supérieur $10$ ans après l’intrusion.
20. Même modèle : calculer la température au milieu du [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) après $10$ ans et $50$ ans.
21. Même modèle : à $80\,\mathrm{m}$ au-dessus du contact supérieur, calculer la température après $300$ , $363$ et $420$ ans. La roche atteint-elle jamais $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?
22. Calculer $L\sqrt\pi/(\rho c\,(T_m - T_0))$ pour le [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) .
23. Évaluer $e^{-\lambda^2}/(\lambda(1 + \operatorname{erf}\lambda))$ pour $\lambda = 0.64$ , $0.65$ et $0.66$ ( $\operatorname{erf}0.64 = 0.6346$ , $\operatorname{erf}0.65 = 0.6420$ , $\operatorname{erf}0.66 = 0.6494$ ), et donner $\lambda$ à deux décimales.
24. En tenant compte de la chaleur latente, calculer la température de contact pendant que le [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) se solidifie. Pourquoi est-elle plus élevée qu’à la question 18 ?
25. Calculer l’échelle de temps $(b/2)^2/\kappa$ en années.
26. Calculer le temps que met le [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) à se solidifier, en années, le nombre clé de ce problème, et expliquer pourquoi il est plus court que l’échelle de temps de la dernière question, bien qu’il faille évacuer la chaleur latente.

**Solution de Problème 5.1.**

**1.** $\log_{10}\eta = -4.55 + 5510/(1423 - 611) = -4.55 + 6.786 = 2.24$ ; $\eta = 172\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

**2.** $-4.55 + 5510/762 = -4.55 + 7.231 = 2.68$, $\eta = 480\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ : un facteur de $480/172 = 2.8$ pour $50\,\mathrm{K}$.

**3.** $172\times(1 - 1.35\times0.20)^{-2.5} = 172\times0.73^{-2.5} = 172\times2.20 =
378\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

**4.** $\phi = 1/1.35 = 0.74$. Les observations de terrain placent la fin de l’écoulement d’ensemble à un taux de fusion de $30\text{ à }50\,\%$, soit $50\text{ à }70\,\%$ de cristaux : plus tôt, parce que les cristaux réels ne sont pas des sphères d’une seule taille.

**5.** Socle : $2800 - 2710 = 90\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, le [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) est plus léger. Sédiments : $2450 - 2710 = -260\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, le [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) est plus dense.

**6.** $p = 2450\times9.81\times3000 = 72.1\,\mathrm{MPa}$.

**7.** $90\times9.81 = 883\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$.

**8.** $\bar u = 883\times2.0^2/(12\times378) = 3532/4536 = 0.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**9.** $q = 0.78\times2.0 = 1.56\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; sur $1.0\,\mathrm{km}$, soit environ $1560\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

**10.** $Re = 2710\times0.78\times2.0/378 = 11$ : laminaire.

**11.** $12000/0.78 = 15\,400\,\mathrm{s}$, soit environ $4.3\,\mathrm{h}$.

**12.** $(1.0)^2/0.7 \times 10^{-6} = 1.43 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, soit 16.5 jours, bien plus long que $4.3\,\mathrm{h}$ : le [dyke](#def-b2-magma-emplacement-bodies) reste ouvert pendant que le [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) s’écoule.

**13.** À $3.0\,\mathrm{km}$, le [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) rencontre des sédiments plus légers que lui : la base des sédiments est son [niveau de flottabilité neutre](#def-b2-magma-emplacement-ascent). Au-dessus, le [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) serait plus dense que son environnement, il s’étale donc latéralement le long du contact, en [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies).

**14.** $p_s = (0.40/0.34)^2 = 1.38\,\mathrm{MPa}$, atteinte à $1.38 \times 10^{6}/(2450\times9.81) = 58\,\mathrm{m}$ sous la surface.

**15.** $0.34\times\sqrt{72.1} = 0.34\times8.49 = 2.9\,\%$, bien plus que les $0.40\,\%$ présents : le [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) du [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) n’exsolve pas d’eau.

**16.** Le CO$_2$ est beaucoup moins soluble que l’eau : il sature et forme des bulles en profondeur pendant la remontée, si bien que le premier gaz d’un basalte est surtout du CO$_2$.

**17.** Par kilogramme, $n = 4.0/18.015 = 0.222\,\mathrm{mol}$, $V = 0.222\times8.314\times1423/
10^{5} = 0.0263\,\mathrm{m}^{3}$ ; le liquide occupe $0.996/2710 = 3.68 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$ ; la fraction vaut $0.0263/(0.0263 + 0.000368) = 0.986$, soit $98.6\,\%$.

**18.** $(1150 + 100)/2 = 625\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**19.** Après 10 ans, $2\sqrt{\kappa t} = 2\sqrt{0.7 \times 10^{-6}\times3.156 \times 10^{8}} =
29.7\,\mathrm{m}$. Le point est à $x = 60\,\mathrm{m}$ du milieu : $T = 100 +
525\,[\operatorname{erf}(-10/29.7) + \operatorname{erf}(110/29.7)] = 100 + 525\,(-0.365 +
1.000) = 433\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**20.** Au milieu, $T = 100 + 1050\operatorname{erf}(50/2\sqrt{\kappa t})$ : après 10 ans $1050\operatorname{erf}(1.68) = 1050\times0.983$, $T = 1132\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; après 50 ans, $2\sqrt{\kappa t} = 66.5\,\mathrm{m}$, $1050\operatorname{erf}(0.752) = 1050\times0.713$, $T = 848\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**21.** À $x = 130\,\mathrm{m}$ : $294\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ après 300 ans, $295\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ après 363 ans (le maximum), $295\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ après 420 ans. Sans chaleur latente, la roche située à $80\,\mathrm{m}$ au-dessus du [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) n’atteint jamais tout à fait $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**22.** $9 \times 10^{8}\times1.772/(2.5 \times 10^{6}\times1050) = 0.608$.

**23.** $\lambda = 0.64$ : $e^{-0.4096}/(0.64\times1.6346) = 0.6639/1.0461 = 0.635$ ; $0.65$ : $0.6554/1.0673 = 0.614$ ; $0.66$ : $0.6469/1.0886 = 0.594$. La valeur $0.608$ se situe entre $0.65$ et $0.66$, proche de $0.65$ : $\lambda = 0.65$.

**24.** $100 + 1050/(1 + 0.642) = 100 + 640 = 740\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. La chaleur latente libérée au front de solidification maintient le côté [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) à $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ plus longtemps, si bien que le contact reçoit davantage de chaleur.

**25.** $(50)^2/0.7 \times 10^{-6} = 3.57 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$, soit 113 ans.

**26.** $t = (100)^2/(16\times0.65^2\times0.7 \times 10^{-6}) = 10^{4}/4.73 \times 10^{-6} =
2.11 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$, soit $2.11 \times 10^{9}/3.156 \times 10^{7}$ : le [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) est solide après **$67\,$ ans**. Il est plus court que $(b/2)^2/\kappa$, d’un facteur $1/(4\lambda^2) = 0.59$ : cette échelle de temps ne fixe que l’ordre de grandeur, et les deux parois du [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) extraient la chaleur d’un encaissant froid à la fois, assez vite pour évacuer aussi la chaleur latente.