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title: "Fusion du manteau"
book: "Sciences de la Terre et de l’Univers à l’université — 2e année"
subject: earth
language: fr
chapter: 7
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/7-fusion-du-manteau
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Chapitre 7 — Fusion du manteau

Le manteau est solide. Les ondes sismiques de cisaillement le traversent de haut en bas, et la [péridotite](#def-b2-mantle-melting-peridotites) qu’on en remonte est une roche cristalline. Pourtant, le long des seules dorsales océaniques, il fournit chaque année une vingtaine de kilomètres cubes de croûte océanique neuve, chaque mètre cube étant fait d’un liquide de fusion. Le paradoxe se dissout quand on sait que le manteau ne fond pas parce qu’il est chauffé : il fond parce que la pression qui s’exerce sur lui baisse, ou parce qu’on y ajoute de l’eau. Sous une dorsale, le manteau remonte, sa pression chute plus vite que sa température, et il croise sa courbe de fusion ; au-dessus d’une plaque plongeante, l’eau libérée par la plaque abaisse cette courbe sous le coin de manteau. Dans les deux cas, seule une petite fraction de la roche fond, et cette fraction, séparée de son résidu, devient le basalte du plancher océanique et des arcs volcaniques. Ce chapitre décrit d’abord la roche du manteau et les diagrammes de phases qui disent comment de telles roches fondent, puis suit le manteau qui remonte sous une dorsale jusqu’à l’épaisseur de la croûte qu’il forme.

**Tu sais déjà.**

**Du volume de chimie de deuxième année** : diagrammes de phases binaires, le solidus et le liquidus, le point eutectique, la fusion congruente, les solutions solides et la règle des segments inverses, selon laquelle les proportions de deux phases coexistantes sont inversement proportionnelles à leurs distances à la composition globale. **Des volumes de physique** : la chaleur massique, la chaleur latente, l’entropie et le second principe, selon lequel une transformation adiabatique réversible conserve l’entropie. **Du volume de première année** : les principaux minéraux formateurs de roches, l’olivine, les pyroxènes, le grenat et le spinelle, leurs solutions solides et le nombre de Mg ; l’adiabate du manteau, $\mathrm dT/\mathrm dz = \alpha gT/c_p$ ; la croûte océanique, $(7.1 \pm 0.8)\,\mathrm{km}$ d’épaisseur loin des points chauds et d’environ $20\,\mathrm{km}$ au-dessus du cœur d’un panache ; les plaques plongeantes et l’eau qu’elles transportent. **Du [Chapitre 3](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#ch-b2-elements-in-the-earth)** : [basalte de dorsale](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-morb-oib) (MORB), coefficients de partage et [éléments incompatibles](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-partition).

## 7.1 La roche du manteau

La roche du manteau atteint la surface sous forme de fragments remontés par les [magmas](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma), les xénolites, et sous forme de base de tranches de lithosphère océanique poussées sur les continents, les ophiolites. Presque tout en est de la [péridotite](#def-b2-mantle-melting-peridotites).

**Définition 7.1 (Péridotites et leurs variétés).**

Une *péridotite* est une roche ultramafique à grains grossiers contenant plus de $40\,\%$ d’olivine, le reste étant des pyroxènes et un peu d’un minéral alumineux (spinelle ou grenat). Une *dunite* contient plus de $90\,\%$ d’olivine. Au-dessous de ce seuil, une *lherzolite* contient à la fois de l’orthopyroxène et du clinopyroxène ; une *harzburgite* contient de l’orthopyroxène mais presque pas de clinopyroxène ; une wehrlite contient du clinopyroxène mais presque pas d’orthopyroxène. Les roches contenant moins de $40\,\%$ d’olivine sont des pyroxénites.

La classification se lit sur un triangle dont les sommets sont l’olivine, l’orthopyroxène et le clinopyroxène (figure ci-dessous) : chaque point représente une roche, et ses distances aux trois côtés donnent les proportions des trois minéraux. Une composition modèle du manteau supérieur appauvri, qui fond sous les dorsales, contient $57\,\%$ d’olivine, $28\,\%$ d’orthopyroxène, $13\,\%$ de clinopyroxène et $2\,\%$ de spinelle : c’est une [lherzolite](#def-b2-mantle-melting-peridotites).

![Classification des péridotites et des pyroxénites selon leurs proportions d’olivine, d’orthopyroxène et de clinopyroxène (d’après le schéma de la British Geological Survey). Les bandes étroites le long des deux côtés supérieurs portent les roches presque dépourvues de clinopyroxène (harzburgite) ou dépourvues d’orthopyroxène (wehrlite). Le point rouge figure le manteau supérieur modèle sous les dorsales (57, 28 et 13\,\%, renormalisés sans leurs 2\,\% de spinelle).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-mantle-melting/fig-d0af8afc9b35.svg)

*Classification des [péridotites](#def-b2-mantle-melting-peridotites) et des pyroxénites selon leurs proportions d’olivine, d’orthopyroxène et de clinopyroxène (d’après le schéma de la British Geological Survey). Les bandes étroites le long des deux côtés supérieurs portent les roches presque dépourvues de clinopyroxène ([harzburgite](#def-b2-mantle-melting-peridotites)) ou dépourvues d’orthopyroxène (wehrlite). Le point rouge figure le manteau supérieur modèle sous les dorsales (57, 28 et $13\,\%$, renormalisés sans leurs $2\,\%$ de spinelle).*

Les trois [péridotites](#def-b2-mantle-melting-peridotites) ne sont pas trois types de roches indépendants : ce sont des étapes d’un même processus. Le clinopyroxène et le minéral alumineux sont consommés en premier lorsqu’une [péridotite](#def-b2-mantle-melting-peridotites) fond ([Section 7.4](#sec-7-4)), si bien qu’une [lherzolite](#def-b2-mantle-melting-peridotites) ayant perdu un liquide s’appauvrit en eux ; après une fusion assez poussée, elle devient une [harzburgite](#def-b2-mantle-melting-peridotites), et une roche ayant perdu presque tout son pyroxène est une [dunite](#def-b2-mantle-melting-peridotites).

**Définition 7.2 (Manteau fertile et manteau résiduel).**

Un *manteau fertile* est une [péridotite](#def-b2-mantle-melting-peridotites), typiquement une [lherzolite](#def-b2-mantle-melting-peridotites), qui contient encore le clinopyroxène et le minéral alumineux dont se forme le basalte. Un *manteau résiduel* est la [péridotite](#def-b2-mantle-melting-peridotites) qui reste une fois qu’un liquide en a été extrait : plus pauvre en clinopyroxène, en aluminium, en calcium et en [éléments incompatibles](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-partition), plus riche en olivine et à nombre de Mg plus élevé.

Le [manteau appauvri](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/4-geochimie-isotopique#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) isotopique du [Chapitre 4](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/4-geochimie-isotopique#ch-b2-isotope-geochemistry) est un réservoir, défini par ses rapports isotopiques ; un [manteau résiduel](#def-b2-mantle-melting-fertility) est une roche définie par ce qu’elle a perdu. Les deux sont liés, puisque le [manteau appauvri](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/4-geochimie-isotopique#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) l’est parce qu’un liquide en a été extrait il y a longtemps, mais l’un se lit au spectromètre de masse et l’autre au microscope.

## 7.2 Diagrammes de phases des roches

Une roche est un mélange de minéraux, et elle fond sur un intervalle de températures, et non en un point. Les diagrammes qui décrivent cela ont d’abord été mesurés sur des mélanges de minéraux synthétiques purs, en maintenant une petite charge à une température connue jusqu’à ce qu’elle atteigne l’équilibre, puis en la trempant et en observant au microscope le verre, qui était du liquide, et les cristaux.

### Un eutectique binaire : diopside et anorthite

Un basalte est constitué essentiellement d’un plagioclase calcique et d’un clinopyroxène, et Bowen choisit l’anorthite et le diopside purs comme modèle le plus simple. Mélangés et chauffés, ils forment un système eutectique ordinaire (figure ci-dessous) : le diopside fond à $1391.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et l’anorthite à $1550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, mais un mélange de $58\,\%$ de diopside et de $42\,\%$ d’anorthite en masse fond complètement à $1270\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

![Le système diopside–anorthite à la pression atmosphérique, d’après les expériences de trempe de Bowen (1915) : températures du liquidus (points, milieux des encadrements de trempe) et l’eutectique E. En rouge, le refroidissement d’un liquide à 20\,\% d’anorthite : le diopside cristallise à partir de 1350\, C, le liquide suit le liquidus jusqu’à E, et le reste cristallise là sous forme d’un mélange des deux minéraux.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-mantle-melting/fig-0de12648ce5f.svg)

*Le système diopside–anorthite à la pression atmosphérique, d’après les expériences de trempe de Bowen (1915) : températures du liquidus (points, milieux des encadrements de trempe) et l’eutectique E. En rouge, le refroidissement d’un liquide à $20\,\%$ d’anorthite : le diopside cristallise à partir de $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, le liquide suit le liquidus jusqu’à E, et le reste cristallise là sous forme d’un mélange des deux minéraux.*

Lu de haut en bas, le diagramme indique l’ordre de cristallisation. Un liquide à $20\,\%$ d’anorthite commence à cristalliser du diopside à $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; le liquide, en perdant du diopside, s’enrichit en anorthite et descend le liquidus jusqu’à l’eutectique, où l’anorthite cristallise avec le diopside, et la température reste à $1270\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ jusqu’à ce que tout le liquide ait disparu. Lu de bas en haut, il indique comment la roche fond : quelles que soient les proportions des deux minéraux, le premier liquide apparaît à $1270\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et a la composition eutectique. C’est la première leçon pour le manteau. Le premier liquide d’une roche n’a pas la composition de la roche : il a celle que fixent les minéraux dont il provient, et il apparaît à une température bien inférieure aux points de fusion de tous les minéraux.

### Fusion incongruente : forstérite et silice

Certains minéraux ne fondent pas en un liquide de leur propre composition.

**Définition 7.3 (Fusion incongruente et point péritectique).**

Un minéral présente une *fusion incongruente* lorsque, à la chauffe, il se décompose en un autre solide et un liquide de composition différente, au lieu de fondre en un liquide de sa propre composition. Sur un diagramme binaire, le point où ce liquide coexiste avec les deux solides est un *point péritectique* : à la différence d’un eutectique, il ne se situe pas entre les compositions des deux solides.

L’enstatite, l’orthopyroxène magnésien $\ce{MgSiO3}$, fond de façon incongruente. À pression atmosphérique, elle se décompose à $1557\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en forstérite, $\ce{Mg2SiO4}$, et en un liquide un peu plus riche en silice qu’elle ; ce n’est qu’à $1577\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ que toute la forstérite est dissoute (figure ci-dessous). Bowen et Andersen ont établi en 1914 que la décomposition donne $5.5\,\%$ de forstérite et $94.5\,\%$ de liquide, comme le prévoit la règle des segments inverses à partir des trois compositions ([Exercice 7.6](#exo-b2-mantle-melting-6)). Plus loin vers la silice, l’enstatite et la cristobalite fondent ensemble à un eutectique, à $1543\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

![Partie du système MgO–SiO2 à la pression atmosphérique, d’après Bowen et Andersen (1914). L’enstatite (MgSiO3) fond de façon incongruente au péritectique P, à 1557\, C, en forstérite et en un liquide à 60.9\,\% de SiO2 ; E est l’eutectique enstatite–cristobalite, à 1543\, C. Le liquidus de la forstérite n’est mesuré qu’au voisinage de l’enstatite : la partie en tirets est tracée en ligne droite jusqu’au point de fusion de la forstérite.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-mantle-melting/fig-ec5b0ade968c.svg)

*Partie du système $\ce{MgO}$–$\ce{SiO2}$ à la pression atmosphérique, d’après Bowen et Andersen (1914). L’enstatite ($\ce{MgSiO3}$) fond de façon incongruente au péritectique P, à $1557\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, en forstérite et en un liquide à $60.9\,\%$ de $\ce{SiO2}$ ; E est l’eutectique enstatite–cristobalite, à $1543\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Le liquidus de la forstérite n’est mesuré qu’au voisinage de l’enstatite : la partie en tirets est tracée en ligne droite jusqu’au point de fusion de la forstérite.*

Le péritectique est la deuxième leçon pour le manteau. Quand une [péridotite](#def-b2-mantle-melting-peridotites) fond, son orthopyroxène ne se dissout pas simplement : il cède de l’olivine au résidu et de la silice au liquide. Le liquide est donc plus riche en silice que les pyroxènes, et le résidu plus riche en olivine que la roche : le chemin de la [lherzolite](#def-b2-mantle-melting-peridotites) à la [harzburgite](#def-b2-mantle-melting-peridotites) puis à la [dunite](#def-b2-mantle-melting-peridotites).

### Trois composants : le diagramme ternaire

Les roches réelles comportent plus de deux minéraux. Avec trois, la composition demande un triangle, et la température devient une troisième dimension.

**Définition 7.4 (Diagramme de phases ternaire, ligne cotectique, eutectique ternaire).**

Un *diagramme de phases ternaire* représente les équilibres d’un système à trois composants à une pression donnée : chaque point d’un triangle représente une composition, les sommets les composants purs, et la surface du liquidus est tracée par des courbes d’égale température ou par les domaines des minéraux qui cristallisent en premier. Une *ligne cotectique* est la ligne le long de laquelle le liquide est saturé en deux minéraux à la fois, et qui cristallise les deux en se refroidissant. Les lignes cotectiques descendent des eutectiques binaires situés sur les côtés du triangle et se rejoignent à l’*eutectique ternaire*, la température la plus basse où existe un liquide, où les trois minéraux cristallisent ensemble.

**Méthode 7.5 (Lire un chemin de cristallisation sur un diagramme ternaire).**

Repérer la composition globale $X$ dans le triangle et le domaine où elle se situe : le minéral de ce domaine cristallise en premier. Tant que ce seul minéral cristallise, le liquide s’éloigne en ligne droite du sommet de ce minéral, en passant par $X$, car retirer un composant pur ne modifie que sa proportion ; d’après la règle des segments inverses, la fraction massique de cristaux est la distance de $X$ au liquide divisée par la distance du sommet au liquide. Quand le liquide atteint une [ligne cotectique](#def-b2-mantle-melting-ternary), le second minéral se joint à la cristallisation et le liquide suit la cotectique en descendant jusqu’à l’[eutectique ternaire](#def-b2-mantle-melting-ternary), où cristallise le dernier liquide. Un composant qui n’entre dans aucun cristal reste dans le liquide, si bien que sa concentration donne la fraction de liquide restante : $f_{\text{liquide}} = c_X/c_{\text{liquide}}$.

![Un système eutectique ternaire (schéma). Chaque domaine contient les liquides à partir desquels son minéral cristallise en premier ; les lignes cotectiques (flèches vers les températures décroissantes) partent des eutectiques binaires e jusqu’à l’eutectique ternaire E. Un liquide X dans le domaine A cristallise A, et s’éloigne du sommet A jusqu’à rencontrer la cotectique A–B en L_1 ; A et B cristallisent alors ensemble jusqu’à E, où C les rejoint ().](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-mantle-melting/fig-aaffaa467b04.svg)

*Un système [eutectique ternaire](#def-b2-mantle-melting-ternary) (schéma). Chaque domaine contient les liquides à partir desquels son minéral cristallise en premier ; les [lignes cotectiques](#def-b2-mantle-melting-ternary) (flèches vers les températures décroissantes) partent des eutectiques binaires $e$ jusqu’à l’[eutectique ternaire](#def-b2-mantle-melting-ternary) E. Un liquide $X$ dans le domaine A cristallise A, et s’éloigne du sommet A jusqu’à rencontrer la cotectique A–B en $L_1$ ; A et B cristallisent alors ensemble jusqu’à E, où C les rejoint ([Exercice 7.11](#exo-b2-mantle-melting-11)).*

Les systèmes de trois minéraux formateurs de roches se lisent de la même manière. Les règles qui fixent le nombre de phases pouvant coexister, et les surfaces d’énergie libre à partir desquelles de tels diagrammes sont calculés, relèvent du volume de troisième année de cette série.

## 7.3 Solidus, adiabate et trois façons de fondre

La [péridotite](#def-b2-mantle-melting-peridotites) du manteau possède un solidus, température à laquelle apparaît son premier liquide, et un liquidus bien au-dessus. Les deux augmentent avec la pression. Les expériences sur des [péridotites](#def-b2-mantle-melting-peridotites) naturelles, compilées et ajustées par Katz, Spiegelman et Langmuir en 2003, donnent pour le solidus sec

$$
T_{\mathrm{s}}(P) = 1085.7 + 132.9\,P - 5.1\,P^2
$$

(en degrés Celsius, $P$ en gigapascals) : $1086\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en surface, $1331\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ à $2\,\mathrm{GPa}$. À profondeur égale, le manteau est plus chaud ou plus froid que cela selon l’endroit où il se trouve, et pour comparer les manteaux on retire l’effet de la profondeur.

**Définition 7.6 (Température potentielle du manteau).**

La *température potentielle du manteau* $T_p$ est la température qu’aurait une parcelle de manteau en convection si on la ramenait à la surface le long de l’adiabate du manteau, sans échange de chaleur et sans fusion.

Le long de l’adiabate $\mathrm dT/\mathrm dP = \alpha T/(\rho c_p)$, la forme en pression du gradient $\alpha gT/c_p$ rappelé plus haut, puisque $\mathrm dP = \rho
g\,\mathrm dz$. Avec $\alpha = 4 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\rho = 3300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ et $c_p = 1000\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$, il vaut environ $20\,\mathrm{K}$ par gigapascal, un gigapascal représentant $30.9\,\mathrm{km}$ de manteau ([Exercice 7.3](#exo-b2-mantle-melting-3)). Le volume de première année attribuait au manteau une température potentielle d’environ $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, d’après la physique des minéraux ; les estimations pétrologiques pour le manteau sous les dorsales vont de 1280 à $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Proposition 7.7 (Début de la fusion par décompression).**

Un manteau de température potentielle $T_p$ qui remonte le long de l’adiabate $T = T_p + GP$ ($G$ constante) commence à fondre à la pression $P_0$ où l’adiabate rencontre le solidus $T_{\mathrm s}(P) = a_1 + a_2P + a_3P^2$, la plus petite racine de

$$
-a_3P^2 + (G - a_2)P + (T_p - a_1) = 0 .
$$

Un manteau plus chaud de $\Delta T_p$ commence à fondre plus profondément, de $\Delta P_0 \approx
\Delta T_p/(T_{\mathrm s}'(P_0) - G)$.

**Démonstration.** En profondeur, l’adiabate est plus froide que le solidus, car le solidus monte plus rapidement ($T_{\mathrm
s}' \approx 110\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$ contre $G \approx 20$). Les deux courbes se croisent là où $T_p + GP = a_1 + a_2P + a_3P^2$, ce qui se ramène au trinôme. En dérivant $T_p + GP_0 = T_{\mathrm s}(P_0)$ on obtient $\mathrm dT_p = (T_{\mathrm s}'(P_0) -
G)\,\mathrm dP_0$. ∎

Pour $T_p = 1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, le début de la fusion se situe à $2.66\,\mathrm{GPa}$, soit environ $82\,\mathrm{km}$ de profondeur, à $1403\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; chaque $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ de température potentielle la déplace d’environ $0.12\,\mathrm{GPa}$, soit $3.6\,\mathrm{km}$. La figure ci-dessous montre le solidus et les adiabates.

![Courbes de fusion de la péridotite sèche et solidus saturé en eau d’après la paramétrisation de Katz et ses collaborateurs (2003), avec des adiabates pleines pour trois températures potentielles ; les points marquent le début de la fusion, 2.08\, GPa pour 1300\, C, 2.66\, GPa pour 1350\, C et 4.00\, GPa pour 1450\, C. Entre le solidus et le liquidus de la lherzolite, la roche fond tout en conservant son clinopyroxène. Échelle de profondeur pour un manteau de 3300\, kg/ m3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-mantle-melting/fig-3a7523023ba7.svg)

*Courbes de fusion de la [péridotite](#def-b2-mantle-melting-peridotites) sèche et solidus saturé en eau d’après la paramétrisation de Katz et ses collaborateurs (2003), avec des adiabates pleines pour trois températures potentielles ; les points marquent le début de la fusion, $2.08\,\mathrm{GPa}$ pour $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $2.66\,\mathrm{GPa}$ pour $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et $4.00\,\mathrm{GPa}$ pour $1450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Entre le solidus et le liquidus de la [lherzolite](#def-b2-mantle-melting-peridotites), la roche fond tout en conservant son clinopyroxène. Échelle de profondeur pour un manteau de $3300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$.*

Le diagramme montre les trois façons de porter une roche au-dessus de son solidus.

**Définition 7.8 (Fusion partielle, fusion par décompression et fusion hydratée).**

*Fusion partielle* est la fusion d’une fraction d’une roche, entre son solidus et son liquidus. *Fusion par décompression* est la fusion partielle d’une roche qui monte, et donc perd de la pression, plus vite qu’elle ne se refroidit, jusqu’à croiser son solidus. *Fusion hydratée*, ou fusion par apport d’eau, est la fusion partielle provoquée par l’ajout d’un volatil, principalement de l’eau, qui abaisse le solidus sous la température de la roche. Le troisième mode, chauffer une roche au-dessus de son solidus à pression constante, exige une source de chaleur extérieure, comme un [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) chaud.

Le chauffage est le mode le moins efficace dans le manteau, qui conduit lentement la chaleur ; dans la croûte, la chaleur d’un [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) basaltique peut fondre les roches qui l’entourent ([Chapitre 12](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/12-fusion-de-la-croute-migmatites-et-granites#ch-b2-crustal-melting)). La décompression alimente les dorsales et les points chauds ; la [fusion hydratée](#def-b2-mantle-melting-melting) alimente les arcs volcaniques.

## 7.4 Fusion par décompression sous une dorsale

Une fois que le manteau qui monte a franchi son solidus, il continue de monter, et la question devient celle de la quantité de liquide qu’il produit.

**Définition 7.9 (Taux de fusion).**

Le *taux de fusion* $F$ d’une roche partiellement fondue est la masse de liquide qu’elle a produite divisée par sa masse initiale. Entre le solidus ($F = 0$) et le liquidus ($F = 1$), la température à la surface de fusion est une fonction $T(P, F)$.

La fusion consomme de la chaleur : la chaleur latente, $T\Delta S$ par kilogramme de liquide, où $\Delta S$ est l’entropie de fusion. Une parcelle qui monte n’échange pas de chaleur avec son environnement, si bien que la chaleur latente est prélevée sur sa propre température, et elle suit un chemin d’entropie constante situé entre le solidus et le liquidus.

**Proposition 7.10 (Productivité de fusion isentropique).**

Pour un manteau qui monte sans échange de chaleur, de chaleur massique $c_p$, de dilatation thermique $\alpha$, de masse volumique $\rho$ et d’entropie de fusion $\Delta S$, la *productivité de fusion*, c’est-à-dire le liquide produit par unité de baisse de pression, vaut

$$
-\frac{\mathrm dF}{\mathrm dP} =
  \frac{\dfrac{c_p}{T}\Big(\dfrac{\partial T}{\partial P}\Big)_F - \dfrac{\alpha}{\rho}}
       {\Delta S + \dfrac{c_p}{T}\Big(\dfrac{\partial T}{\partial F}\Big)_P}\,,
$$

avec $T$ en kelvins.

**Démonstration.** L’entropie spécifique de la roche partiellement fondue varie de $\mathrm ds = c_p\,
\mathrm dT/T - (\alpha/\rho)\,\mathrm dP + \Delta S\,\mathrm dF$ : les deux premiers termes sont ceux d’un solide (le second est une relation de Maxwell, rappelée des volumes de physique), le troisième est l’entropie gagnée par la masse $\mathrm dF$ qui fond. Une montée adiabatique réversible conserve $\mathrm ds = 0$. Sur la surface de fusion $\mathrm dT = (\partial T/\partial P)_F\,\mathrm dP + (\partial
T/\partial F)_P\,\mathrm dF$. En substituant,

$$
\Big[\frac{c_p}{T}\Big(\frac{\partial T}{\partial P}\Big)_F - \frac{\alpha}{\rho}\Big]\mathrm dP
  + \Big[\Delta S + \frac{c_p}{T}\Big(\frac{\partial T}{\partial F}\Big)_P\Big]\mathrm dF = 0,
$$

qui est le résultat. ∎

Le numérateur est l’excès de la pente des courbes de fusion sur celle de l’adiabate, le moteur ; le dénominateur regroupe la chaleur latente et la chaleur nécessaire pour élever la température de la roche qui fond le long de l’intervalle de fusion, les freins. Avec les paramètres de Katz et ses collaborateurs, $\Delta S = 300\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$, et un [taux de fusion](#def-b2-mantle-melting-fraction) qui croît linéairement entre le solidus et le liquidus de la [lherzolite](#def-b2-mantle-melting-peridotites), la productivité à $2\,\mathrm{GPa}$ vaut environ $11\,\%$ par gigapascal ([Exercice 7.8](#exo-b2-mantle-melting-8)) : chaque kilomètre de montée fond environ un tiers de pour cent de la roche. Leur fonction de fusion ajustée, qui fait que le premier pour cent de liquide apparaît lentement, donne un peu moins en moyenne, environ $9\,\%$ par gigapascal depuis le début de la fusion jusqu’à la surface, pour $T_p = 1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. La productivité chute lorsque le clinopyroxène est épuisé, après des [taux de fusion](#def-b2-mantle-melting-fraction) de $M_{\mathrm{cpx}}/(0.50 + 0.08P)$ dans leur modèle, soit environ 25 à $30\,\%$ pour un manteau à 13 à $15\,\%$ de clinopyroxène : un résidu de [harzburgite](#def-b2-mantle-melting-peridotites) fond à contrecœur.

![Taux de fusion d’une colonne de péridotite sèche qui monte sans échange de chaleur, depuis le début de la fusion jusqu’à la surface, calculé en conservant l’entropie avec la fonction de fusion de Katz et ses collaborateurs (2003), pour une roche à 15\,\% de clinopyroxène. À 1450\, C, le clinopyroxène est épuisé vers 25\, km, et la courbe se raidit.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-mantle-melting/fig-9fc4be37f848.svg)

*[Taux de fusion](#def-b2-mantle-melting-fraction) d’une colonne de [péridotite](#def-b2-mantle-melting-peridotites) sèche qui monte sans échange de chaleur, depuis le début de la fusion jusqu’à la surface, calculé en conservant l’entropie avec la fonction de fusion de Katz et ses collaborateurs (2003), pour une roche à $15\,\%$ de clinopyroxène. À $1450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, le clinopyroxène est épuisé vers $25\,\mathrm{km}$, et la courbe se raidit.*

Le liquide ne reste pas là où il se forme. À environ $2900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ il est plus léger que la [péridotite](#def-b2-mantle-melting-peridotites) solide, $3300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, si bien qu’il se sépare de son résidu et monte à travers celui-ci ; sous une dorsale, il est rassemblé vers l’axe. La croûte se construit à partir des liquides d’une région entière du manteau.

**Proposition 7.11 (Croûte d’une région de fusion triangulaire).**

Sous une dorsale qui s’écarte à la demi-vitesse $U$, le manteau monte verticalement à la vitesse $U$ à travers une région de fusion triangulaire de hauteur $H$, dont le sommet est sous l’axe et les côtés à $45{}^{\circ}$, puis en sort horizontalement à la vitesse $U$ par ses côtés ; le [taux de fusion](#def-b2-mantle-melting-fraction) croît linéairement de $0$ à la base jusqu’à $F_{\max}$ au sommet, tout le liquide est extrait vers la croûte, et manteau et croûte ont la même masse volumique. Alors la croûte est

$$
h_c = \int_0^H F(z)\,\mathrm dz = \tfrac12 F_{\max}H
$$

épaisse, et le liquide agrégé a pour [taux de fusion](#def-b2-mantle-melting-fraction) moyen $F_{\max}/2$.

**Démonstration.** Mesurons $x$ depuis l’axe et la hauteur $y$ au-dessus de la base. Le manteau entre par la base en $|x| \le H$ et monte jusqu’à rencontrer un côté, en $y = H - |x|$, en ayant fondu jusqu’à $F = F_{\max}(H - |x|)/H$. Par unité de longueur de dorsale et par unité de temps, le liquide produit vaut $\int_{-H}^{H} U F\,\mathrm dx = 2UF_{\max}\int_0^H (1 - x/H)\,\mathrm dx =
UF_{\max}H$. La croûte sort des deux côtés à la vitesse $U$ : $2Uh_c = UF_{\max}H$. Le manteau traité vaut $2UH$, donc le [taux de fusion](#def-b2-mantle-melting-fraction) moyen est $UF_{\max}H/(2UH) =
F_{\max}/2$. Enfin $\int_0^H F_{\max}\,y/H\,\mathrm dy = F_{\max}H/2$. ∎

Le résultat ne dépend pas de la vitesse d’écartement, comme on l’observe (le volume de première année). Pour $T_p = 1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, la colonne de la figure ci-dessus, avec son départ lent, donne $\int F\,\mathrm dz = 9.0\,\mathrm{km}$ de croûte, un peu plus que les $7.1\,\mathrm{km}$ mesurés ; un manteau $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ plus froid donne $5.5\,\mathrm{km}$, et un manteau $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ plus chaud $19\,\mathrm{km}$, proche des $20\,\mathrm{km}$ sous le cœur d’un panache (figure ci-dessous). L’épaisseur de la croûte est un thermomètre, et un thermomètre sensible : puisque $h_c \propto P_0^2$ lorsque la productivité est constante, dix degrés la modifient d’environ un dixième (problème du week-end).

![Région de fusion triangulaire sous une dorsale (schéma, non à l’échelle ; en réalité z_0 vaut dix fois l’épaisseur de la croûte). Le manteau qui monte sous l’axe franchit son solidus en z_0, fond en montant, et cesse de fondre lorsque son écoulement devient horizontal sous les plaques en mouvement ; le liquide remonte vers l’axe et construit la croûte.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-mantle-melting/fig-78a1c57d5bd6.svg)

*Région de fusion triangulaire sous une dorsale (schéma, non à l’échelle ; en réalité $z_0$ vaut dix fois l’épaisseur de la croûte). Le manteau qui monte sous l’axe franchit son solidus en $z_0$, fond en montant, et cesse de fondre lorsque son écoulement devient horizontal sous les plaques en mouvement ; le liquide remonte vers l’axe et construit la croûte.*

![Épaisseur de la croûte formée par une région de fusion triangulaire, ∈t F\, dz le long de l’axe, en fonction de la température potentielle du manteau (colonnes comme dans la figure ci-dessus), comparée à l’épaisseur sismique de la croûte océanique normale et de la croûte au-dessus du cœur d’un panache (bandes).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-mantle-melting/fig-8a8e80e898d2.svg)

*Épaisseur de la croûte formée par une région de fusion triangulaire, $\int F\,\mathrm dz$ le long de l’axe, en fonction de la [température potentielle du manteau](#def-b2-mantle-melting-tp) (colonnes comme dans la figure ci-dessus), comparée à l’épaisseur sismique de la croûte océanique normale et de la croûte au-dessus du cœur d’un panache (bandes).*

## 7.5 Fusion hydratée au-dessus d’une plaque plongeante

À une zone de subduction, le coin de manteau ne monte pas ; il est entraîné vers le bas le long de la plaque plongeante. C’est l’eau qui le fait fondre. La plaque transporte l’eau vers le bas dans ses minéraux et la libère à mesure qu’ils se décomposent sous l’effet de la pression et de la température (le volume de première année) ; l’eau monte dans le coin chaud au-dessus. L’eau se dissout dans le [liquide silicaté](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma), et un liquide qui en contient est stable à plus basse température. Dans la paramétrisation de Katz et ses collaborateurs, $X$ pour cent d’eau dissoute dans le liquide abaisse le solidus de

$$
\Delta T = 43\,X^{0.75} \quad ({}^{\circ}\mathrm{C}),
$$

$43\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ pour $1\,\%$, $144\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ pour $5\,\%$, jusqu’à la quantité qui sature le liquide, nulle à pression atmosphérique, environ $13\,\%$ à $1\,\mathrm{GPa}$, et qui croît avec la pression. Le solidus saturé en eau est la courbe bleue de la figure du solidus : voisin de $920\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ entre 1 et $2\,\mathrm{GPa}$, environ $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ à $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ sous le solidus sec ([Exercice 7.12](#exo-b2-mantle-melting-12)).

L’eau est incompatible : elle entre dans le liquide bien plus facilement que dans les minéraux, avec un coefficient de partage d’environ 0.01. Même un manteau contenant une centaine de parties par million d’eau produit donc un premier liquide contenant environ un pour cent d’eau, qui abaisse son solidus d’environ $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, si bien que la fusion commence plus profondément que dans un manteau sec, et qu’il se forme une longue traîne de petites fractions fondues ([Exercice 7.9](#exo-b2-mantle-melting-9)). Au-dessus d’une plaque, l’apport d’eau est bien plus grand, et le coin fond là où sa température dépasse le solidus hydraté : les [magmas](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) des arcs naissent hydratés.

## 7.6 Degré de fusion et magmas primaires

**Définition 7.12 (Magma primaire).**

Un *magma primaire* est un liquide dont la composition n’a pas changé depuis qu’il a quitté sa source : il est en équilibre avec le [manteau résiduel](#def-b2-mantle-melting-fertility), et n’a ni cristallisé de minéraux ni réagi avec les roches sur son chemin vers la surface.

Un [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) qui cristallise des minéraux en remontant, ou qui se mélange à d’autres, n’est plus primaire ; la manière dont il évolue ensuite fait l’objet du [Chapitre 8](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/8-differenciation-magmatique#ch-b2-magmatic-differentiation). Un [magma primaire](#def-b2-mantle-melting-primary) garde la trace de sa source : son [taux de fusion](#def-b2-mantle-melting-fraction), car un faible degré de fusion concentre les [éléments incompatibles](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-partition) dans le liquide ([Chapitre 3](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#ch-b2-elements-in-the-earth)), et la pression à laquelle il s’est équilibré pour la dernière fois avec le résidu. La répartition des [éléments en traces](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-trace) entre liquide et résidu, lors de la fusion à l’équilibre ou de la fusion fractionnée, est modélisée dans le volume de troisième année. Le résidu, quant à lui, est la [harzburgite](#def-b2-mantle-melting-peridotites) et la [péridotite](#def-b2-mantle-melting-peridotites) que l’on trouve à la base des ophiolites.

**Sur le terrain — Lire le manteau à la surface.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-mantle-melting/img-5ab88fd44d8f.jpg)

*Une [dunite](#def-b2-mantle-melting-peridotites), presque entièrement faite d’olivine, avec de petits grains noirs de chromite ; l’échantillon mesure $8.5\,\mathrm{cm}$ de large (Mike Davis, CC0).*

Les géologues rencontrent le manteau sous deux formes. Les xénolites du manteau, nodules de [péridotite](#def-b2-mantle-melting-peridotites) verte dans les basaltes et les kimberlites, ont été arrachés aux parois du conduit et remontés en quelques jours ou semaines, trop vite pour perdre les minéraux qu’ils avaient en profondeur. Les ophiolites exposent le manteau sous une section de croûte océanique, sa [harzburgite](#def-b2-mantle-melting-peridotites) et d’autres [péridotites](#def-b2-mantle-melting-peridotites) à la base de la séquence. Là, les géologues cartographient les [péridotites](#def-b2-mantle-melting-peridotites) et la [dunite](#def-b2-mantle-melting-peridotites) parmi elles, les échantillonnent le long de traverses, et mesurent au laboratoire les proportions des minéraux, leurs compositions et les [éléments en traces](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-trace) des résidus ; chaque échantillon est placé sur le triangle de classification et sur les chemins de fusion de ce chapitre.

## 7.7 Exercices

**Exercice 7.1 ★.**

Nommer chaque roche d’après ses proportions d’olivine, d’orthopyroxène et de clinopyroxène (en pour cent) : (a) 93, 5, 2 ; (b) 75, 25, 0 ; (c) 60, 27, 13 ; (d) 30, 45, 25. (e) Donner le nom du manteau supérieur modèle (57, 28, 13 et $2\,\%$ de spinelle) après renormalisation de ses trois silicates à $100\,\%$.

**Solution de Exercice 7.1.**

(a) Plus de $90\,\%$ d’olivine : [dunite](#def-b2-mantle-melting-peridotites). (b) De l’olivine et de l’orthopyroxène sans clinopyroxène : [harzburgite](#def-b2-mantle-melting-peridotites). (c) Plus de $40\,\%$ d’olivine avec les deux pyroxènes : [lherzolite](#def-b2-mantle-melting-peridotites). (d) Moins de $40\,\%$ d’olivine : une pyroxénite (une olivine-websterite, avec les deux pyroxènes). (e) $57/98 = 58.2\,\%$, $28/98 = 28.6\,\%$, $13/98 = 13.3\,\%$ : une [lherzolite](#def-b2-mantle-melting-peridotites).

**Exercice 7.2 ★.**

Sur le diagramme diopside–anorthite, un liquide à $60\,\%$ d’anorthite se refroidit. (a) À quelle température commence-t-il à cristalliser, et quel minéral se forme ? (b) À quelle température apparaît le second minéral, et quelle est alors la composition du liquide ? (c) Quelle est la composition du premier liquide lorsqu’une roche à $80\,\%$ de diopside et $20\,\%$ d’anorthite est chauffée, et à quelle température apparaît-il ?

**Solution de Exercice 7.2.**

(a) Le liquidus à $60\,\%$ d’anorthite est à $1390\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, dans le domaine de l’anorthite : l’anorthite cristallise en premier. (b) Le diopside apparaît à l’eutectique, $1270\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, lorsque le liquide a $42\,\%$ d’anorthite. (c) Le premier liquide de tout mélange des deux minéraux est le liquide eutectique, à $42\,\%$ d’anorthite, à $1270\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Exercice 7.3 ★.**

(a) Calculer le gradient adiabatique $\alpha T/(\rho c_p)$ en kelvins par gigapascal pour $T_p = 1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\alpha = 4.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\rho =
3300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $c_p = 1000\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$. (b) Combien de kilomètres de manteau correspondent à un gigapascal ($g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$) ? Convertir le gradient en kelvins par kilomètre et le comparer à un gradient géothermique typique près de la surface, d’environ $30\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$.

**Solution de Exercice 7.3.**

(a) $4.0 \times 10^{-5}\times1623/(3300\times1000) = 1.97 \times 10^{-8}\,\mathrm{K}/\mathrm{Pa} =
19.7\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$. (b) $10^{9}/(3300\times9.81) = 3.09 \times 10^{4}\,\mathrm{m}$, soit $30.9\,\mathrm{km}$ par gigapascal ; $19.7/30.9 = 0.64\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$, environ cinquante fois moins que les $30\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ près de la surface, où la chaleur est conduite et non transportée.

**Exercice 7.4 ★.**

(a) Calculer le solidus sec de la [péridotite](#def-b2-mantle-melting-peridotites) à 0, 1, 2 et $3\,\mathrm{GPa}$. (b) De combien de degrés monte-t-il par gigapascal au voisinage de $2\,\mathrm{GPa}$ ? (c) Expliquer en une phrase pourquoi un manteau à $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ à $3\,\mathrm{GPa}$ est solide, et le même manteau porté à $2\,\mathrm{GPa}$ sans échange de chaleur est partiellement fondu.

**Solution de Exercice 7.4.**

(a) $T_{\mathrm s}(0) = 1085.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; $T_{\mathrm s}(1) = 1085.7 +
132.9 - 5.1 = 1213.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; $T_{\mathrm s}(2) = 1085.7 + 265.8 - 20.4 =
1331.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; $T_{\mathrm s}(3) = 1085.7 + 398.7 - 45.9 =
1438.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) $132.9 - 2\times5.1\times2 = 112.5\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$. (c) À $3\,\mathrm{GPa}$, $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ est sous le solidus, $1438.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; en remontant à $2\,\mathrm{GPa}$ le long de l’adiabate, elle se refroidit de seulement environ $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, jusqu’à $1380\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ environ, tandis que le solidus descend à $1331.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : la roche est maintenant au-dessus de son solidus et une partie fond.

**Exercice 7.5 ★★.**

Un liquide à $70\,\%$ de diopside et $30\,\%$ d’anorthite se refroidit. (a) Estimer sa température de liquidus par interpolation entre le liquidus à $20\,\%$ d’anorthite ($1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$) et à $40\,\%$ ($1277.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$). (b) Quel minéral cristallise en premier ? (c) Quelle fraction massique du système a cristallisé lorsque le liquide atteint l’eutectique ? (d) Quelles sont les proportions de diopside et d’anorthite dans la roche finale ?

**Solution de Exercice 7.5.**

(a) $1350 + (1277.5 - 1350)\times(30 - 20)/(40 - 20) = 1314\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) La composition se situe du côté diopside de l’eutectique : diopside. (c) Le liquide atteint l’eutectique avec $42\,\%$ d’anorthite ; l’anorthite reste dans le liquide, donc la fraction liquide vaut $30/42 = 0.714$ et $1 - 0.714 =
29\,\%$ du système a cristallisé en diopside. (d) Tout cristallise : $70\,\%$ de diopside et $30\,\%$ d’anorthite, la composition globale.

**Exercice 7.6 ★★.**

(a) Calculer le pourcentage massique de $\ce{SiO2}$ dans la forstérite $\ce{Mg2SiO4}$ et dans l’enstatite $\ce{MgSiO3}$ ($M_{\ce{MgO}} = 40.30\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$, $M_{\ce{SiO2}} =
60.08\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$). (b) Bowen et Andersen ont trouvé que le liquide péritectique contient $97.5\,\%$ de $\ce{MgSiO3}$ et $2.5\,\%$ de $\ce{SiO2}$ : quelle est sa teneur en silice ? (c) Utiliser la règle des segments inverses pour calculer la fraction massique de forstérite formée lorsque l’enstatite fond au péritectique, et la comparer à leur $5.5\,\%$. (d) Qu’implique cela pour la teneur en silice d’un liquide de [péridotite](#def-b2-mantle-melting-peridotites), comparée à celle de son orthopyroxène ?

**Solution de Exercice 7.6.**

(a) Forstérite : $60.08/(2\times40.30 + 60.08) = 60.08/140.68 =
42.71\,\%$ $\ce{SiO2}$ ; enstatite : $60.08/100.38 = 59.85\,\%$. (b) $0.975\times59.85 + 2.5 = 60.85\,\%$. (c) L’enstatite se situe entre la forstérite et le liquide : la fraction de forstérite vaut $(60.85 - 59.85)/(60.85 -
42.71) = 1.00/18.14 = 5.5\,\%$, valeur de Bowen et Andersen. (d) Le liquide est plus riche en silice que l’orthopyroxène dont il provient, et le résidu gagne de l’olivine.

**Exercice 7.7 ★★.**

Avec l’adiabate $T = T_p + 20P$ et le solidus sec du texte, calculer la pression et la profondeur ($30.9\,\mathrm{km}$ par gigapascal) auxquelles la fusion commence pour (a) $T_p = 1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et (b) $T_p = 1450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) De combien de kilomètres par $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ le début de la fusion s’approfondit-il au voisinage de $T_p = 1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ? Utiliser la [Proposition 7.7](#prop-b2-mantle-melting-onset).

**Solution de Exercice 7.7.**

(a) $5.1P^2 - 112.9P + 214.3 = 0$ : $P_0 = (112.9 - \sqrt{12746.4 -
4371.7})/10.2 = (112.9 - 91.51)/10.2 = 2.10\,\mathrm{GPa}$, soit $2.097\times30.9 =
64.8\,\mathrm{km}$. (b) $5.1P^2 - 112.9P + 364.3 = 0$ : $P_0 = (112.9 -
72.90)/10.2 = 3.92\,\mathrm{GPa}$, soit $121\,\mathrm{km}$. (c) $T_{\mathrm s}'(2.10) = 132.9
- 21.4 = 111.5\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$, donc $\Delta P_0 = 10/(111.5 - 20) = 0.109\,\mathrm{GPa}$ par $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, soit $3.4\,\mathrm{km}$.

**Exercice 7.8 ★★.**

À $2.0\,\mathrm{GPa}$, supposer que le [taux de fusion](#def-b2-mantle-melting-fraction) croît linéairement depuis le solidus sec jusqu’au liquidus de la [lherzolite](#def-b2-mantle-melting-peridotites) $T_{\mathrm l} = 1475.0 + 80.0P - 3.2P^2$. Pour $F = 0.10$ : (a) calculer la température de la roche en fusion ; (b) calculer $(\partial
T/\partial P)_F$ et $(\partial T/\partial F)_P$ ; (c) calculer la productivité avec $c_p = 1000\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$, $\alpha/\rho = 1.21 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{3}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ et $\Delta S = 300\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$. (d) Que vaudrait-elle sans chaleur latente ?

**Solution de Exercice 7.8.**

(a) $T_{\mathrm s} = 1331.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $T_{\mathrm l} = 1475.0 + 160.0 -
12.8 = 1622.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; $T = 1331.1 + 0.10\times291.1 =
1360.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, soit $1633\,\mathrm{K}$. (b) $(\partial T/\partial P)_F = 112.5
+ 0.10\times(67.2 - 112.5) = 108.0\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$ ; $(\partial T/\partial F)_P =
T_{\mathrm l} - T_{\mathrm s} = 291.1\,\mathrm{K}$. (c) $c_p/T = 0.612$ ; avec $\alpha/\rho
= 12.1\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ par gigapascal, le numérateur vaut $0.612\times108.0 - 12.1
= 54.0$ et le dénominateur $300 + 0.612\times291.1 = 478.2$ : $-\mathrm dF/\mathrm
dP = 0.113$, $11.3\,\%$ par gigapascal. (d) $54.0/178.2 = 0.303$, $30\,\%$ par gigapascal : la chaleur latente divise la productivité par un facteur 2.7.

**Exercice 7.9 ★★.**

(a) De combien abaissent le solidus 1, 5 et $13\,\%$ d’eau dissoute dans le liquide ? (b) Quel est le solidus saturé en eau à $1\,\mathrm{GPa}$ ? (c) Un manteau contient $125\,\mathrm{ppm}$ d’eau en masse, et le coefficient de partage de l’eau entre les minéraux et le liquide vaut 0.01. À la toute première fusion, le liquide contient $X =
X_{\text{globale}}/D$ : le calculer, ainsi que l’abaissement du solidus qu’il provoque.

**Solution de Exercice 7.9.**

(a) $43\times1 = 43\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; $43\times5^{0.75} = 43\times3.34 =
144\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; $43\times13^{0.75} = 43\times6.85 = 294\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) $1213.5 - 294 = 919\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) $125\,\mathrm{ppm}$ correspondent à $0.0125\,\%$, donc $X = 0.0125/0.01 = 1.25\,\%$ et $\Delta T =
43\times1.25^{0.75} = 43\times1.18 = 51\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Exercice 7.10 ★★★.**

(a) Dans la [Proposition 7.11](#prop-b2-mantle-melting-triangle), vérifier que le manteau qui entre à la base du triangle chaque année est égal à celui qui sort par ses côtés. Pourquoi les côtés doivent-ils faire $45{}^{\circ}$ pour un manteau qui monte à $U$ et sort à $U$ ? (b) Montrer que, avec une productivité constante $\Pi$ par gigapascal, $h_c = \Pi\,\rho
g\,z_0^2/2$ (avec $P_0 = \rho g z_0$), de sorte que la croûte croît comme le carré de la profondeur de début de fusion. (c) Une dorsale s’écarte à un taux total de $50\,\mathrm{mm}/\mathrm{an}$ et produit $7.1\,\mathrm{km}$ de croûte : quel volume de croûte produit chaque kilomètre de dorsale par an, et quel volume de manteau fond-il si le [taux de fusion](#def-b2-mantle-melting-fraction) moyen est de $12\,\%$ ?

**Solution de Exercice 7.10.**

(a) La base a une largeur de $2H$ et le manteau la traverse à $U$ : $2UH$ par unité de longueur de dorsale et de temps. Chaque côté couvre la hauteur $H$ et est traversé horizontalement à $U$ : $UH$ chacun, $2UH$ au total. Avec des côtés à $\theta$, la base serait de largeur $2H/\tan\theta$ et l’apport $2UH/\tan\theta$, égal à la sortie seulement si $\tan\theta = 1$ : dans ce modèle, l’angle est fixé par la conservation de la masse. (b) Avec une productivité constante, le [taux de fusion](#def-b2-mantle-melting-fraction) au sommet vaut $F_{\max} = \Pi P_0 = \Pi\rho
g z_0$, et $H = z_0$ : $h_c = F_{\max}z_0/2 = \Pi\rho g z_0^2/2$. (c) Chaque année, $50\,\mathrm{mm}$ de nouvelle plaque, $0.05\,\mathrm{m}\times1000\,\mathrm{m}\times7100\,\mathrm{m} =
3.6 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{3}$ de croûte par kilomètre de dorsale ; avec un [taux de fusion](#def-b2-mantle-melting-fraction) moyen de $12\,\%$, elle provient de $3.6 \times 10^{5}/0.12 = 3.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ de manteau.

**Exercice 7.11 ★★★.**

Dans le système ternaire de la figure schématique, le liquide $X$ contient $60\,\%$ de A, $20\,\%$ de B et $20\,\%$ de C ; l’eutectique binaire $e_{AB}$ est à A 40, B 60 (pour cent), et l’[eutectique ternaire](#def-b2-mantle-melting-ternary) E à A 25, B 30, C 45. (a) Écrire la composition du liquide lorsqu’une fraction massique $t$ de A pur a cristallisé, et montrer que le rapport de B à C reste égal à 1. (b) La cotectique de $e_{AB}$ à E est la ligne des points $e_{AB} + s(E - e_{AB})$ : trouver où le liquide la rencontre, et la fraction de A cristallisée à ce moment. (c) Lorsque le liquide atteint E, quelle fraction du système est encore liquide ? (C n’entre dans aucun cristal avant E.) (d) Quelle quantité de A et de B a cristallisé à ce moment ?

**Solution de Exercice 7.11.**

(a) Après qu’une masse $t$ de A a quitté une masse unitaire de liquide, le liquide contient $0.6 -
t$ de A, 0.2 de B et 0.2 de C dans une masse $1 - t$ : $\big((0.6 - t), 0.2,
0.2\big)/(1 - t)$, et B/C reste égal à 1. (b) Sur la cotectique, $(0.40 - 0.15s, 0.60 -
0.30s, 0.45s)$ ; B = C donne $0.60 - 0.30s = 0.45s$, $s = 0.8$ : $L_1$ contient A 28, B 36, C 36. Alors $0.2/(1 - t) = 0.36$, $t = 0.44$ : $44\,\%$ du système a cristallisé en A. (c) Le C est tout entier dans le liquide : $f = 20/45 = 0.44$, $44\,\%$ encore liquide. (d) A : $0.60 - 0.444\times0.25 = 0.49$ ; B : $0.20 -
0.444\times0.30 = 0.07$ ; avec le liquide, $49 + 7 + 44 = 100\,\%$.

**Exercice 7.12 ★★★.**

La teneur en eau d’un liquide saturé est $X_{\mathrm{sat}} = 12P^{0.6} + P$ (pour cent, $P$ en gigapascals). (a) Calculer-la à 1 et $2\,\mathrm{GPa}$, l’abaissement du solidus qu’elle produit, et le solidus saturé en eau aux deux pressions. (b) Pourquoi le solidus saturé varie-t-il à peine entre 1 et $2\,\mathrm{GPa}$, alors que le solidus sec monte de plus de $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ? (c) Dans un coin de manteau à $2\,\mathrm{GPa}$ et $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, quelle quantité d’eau le liquide doit-il contenir pour que la roche fonde ?

**Solution de Exercice 7.12.**

(a) $X_{\mathrm{sat}}(1) = 12 + 1 = 13\,\%$, $\Delta T =
294\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, solidus saturé $1213.5 - 294 = 919\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; $X_{\mathrm{sat}}(2) = 12\times1.516 + 2 = 20.2\,\%$, $\Delta T =
43\times20.2^{0.75} = 43\times9.53 = 410\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, solidus saturé $1331.1
- 410 = 921\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) Le liquide dissout davantage d’eau à plus haute pression, et l’abaissement plus grand annule la hausse de $118\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ du solidus sec. (c) Le solidus doit baisser de $1331.1 - 1100 = 231\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $X =
(231/43)^{1/0.75} = 5.37^{1.333} = 9.4\,\%$ d’eau, inférieur aux $20.2\,\%$ à saturation, si bien que le coin peut fondre.

## 7.8 Problème : sous la dorsale

**Problème 7.1.**

Problème du week-end — de l’adiabate du manteau à l’épaisseur de la croûte océanique, puis retour à la température du manteau

Le manteau monte sous une dorsale le long de l’adiabate et fond. Données : dilatation thermique $\alpha = 4.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ ; masse volumique $\rho = 3300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; chaleur massique $c_p = 1000\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ; entropie de fusion $\Delta S =
300\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; solidus sec $T_{\mathrm s} =
1085.7 + 132.9P - 5.1P^2$ et liquidus de la [lherzolite](#def-b2-mantle-melting-peridotites) $T_{\mathrm l} = 1475.0 +
80.0P - 3.2P^2$ (${}^{\circ}\mathrm{C}$, $P$ en $\mathrm{GPa}$) ; productivité moyenne du modèle de fusion ajusté, $\Pi = 9\,\%$ par gigapascal ; coefficient de réaction du clinopyroxène près de la surface 0.50 ; croûte observée $(7.1 \pm 0.8)\,\mathrm{km}$ sous les dorsales normales et $20\,\mathrm{km}$ au-dessus du cœur du panache d’Islande. Prendre le manteau et la croûte de même masse volumique.

**Partie I — Où la fusion commence.**

1. Convertir $T_p = 1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en kelvins.
2. Calculer le gradient adiabatique $\alpha T_p/(\rho c_p)$ en kelvins par gigapascal, et l’arrondir à la dizaine la plus proche.
3. Combien de kilomètres de manteau correspondent à un gigapascal ? Donner le gradient en kelvins par kilomètre.
4. Avec l’adiabate $T = 1350 + 20P$ , écrire le trinôme pour la pression de début de fusion $P_0$ et le résoudre.
5. Donner la profondeur et la température auxquelles la fusion commence.
6. Vérifier que le solidus à $P_0$ donne la même température.

**Partie II — Quelle quantité de liquide.**

7. À $1.5\,\mathrm{GPa}$ , calculer le solidus, le liquidus de la [lherzolite](#def-b2-mantle-melting-peridotites) et leur différence.
8. Avec un [taux de fusion](#def-b2-mantle-melting-fraction) croissant linéairement entre eux, donner la température de la roche à $F = 0.10$ , en degrés Celsius et en kelvins.
9. Calculer $(\partial T/\partial P)_F$ et $(\partial T/\partial F)_P$ à cet endroit.
10. Calculer la productivité de la [Proposition 7.10](#prop-b2-mantle-melting-productivity) , en pour cent par gigapascal.
11. Le modèle ajusté donne $\Pi = 9\,\%$ par gigapascal en moyenne. Pourquoi est-elle plus faible ? Avec $\Pi$ , quel est le [taux de fusion](#def-b2-mantle-melting-fraction) $F_{\max}$ atteint à la surface ?
12. Le manteau modèle contient $13\,\%$ de clinopyroxène. À quel [taux de fusion](#def-b2-mantle-melting-fraction) est-il épuisé près de la surface ? Le résidu sous l’axe est-il une [lherzolite](#def-b2-mantle-melting-peridotites) ou une [harzburgite](#def-b2-mantle-melting-peridotites) ?

**Partie III — La croûte.**

13. Utiliser la [Proposition 7.11](#prop-b2-mantle-melting-triangle) avec $H = z_0$ pour calculer l’épaisseur de la croûte.
14. Quel est le [taux de fusion](#def-b2-mantle-melting-fraction) moyen du liquide agrégé ?
15. Comparer à l’épaisseur observée.
16. La figure complète donne $9.0\,\mathrm{km}$ . Pourquoi est-elle plus faible que votre estimation ?
17. Montrer que $h_c = k P_0^2$ et calculer $k$ en kilomètres par gigapascal au carré.

**Partie IV — La température du manteau.**

18. Calculer la pression de début de fusion $P_0$ qui produit $7.1\,\mathrm{km}$ de croûte.
19. Donner la profondeur correspondante du début de fusion.
20. Avec l’adiabate $T = T_p + 20P$ , calculer la température potentielle qui place le début de fusion à cette pression.
21. Refaire le calcul pour 6.3 et $7.9\,\mathrm{km}$ : quelle plage de $T_p$ la dispersion de la croûte autorise-t-elle ?
22. La croûte fait $20\,\mathrm{km}$ d’épaisseur au-dessus du cœur du panache d’Islande. Calculer la température potentielle là, et son excès sur celle de la question 20.
23. Les laves des îles océaniques suggèrent des panaches de 200 à $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ plus chauds que le manteau ambiant. Suggérer pourquoi la croûte donne un excès plus faible.
24. De combien de pour cent la croûte s’épaissit-elle pour un manteau $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ plus chaud, près d’une dorsale normale ?
25. Les dorsales très lentes produisent une croûte plus mince. Expliquer pourquoi, à l’aide du triangle.
26. Énoncer la [température potentielle du manteau](#def-b2-mantle-melting-tp) sous une dorsale normale que donne l’épaisseur de la croûte, le nombre clé de ce problème, et la comparer à $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ issus de la physique des minéraux et à l’intervalle de 1280 à $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ issu des laves.

**Solution de Problème 7.1.**

**1.** $1350 + 273 = 1623\,\mathrm{K}$. **2.** $4.0 \times 10^{-5}\times1623/(3300\times1000) = 1.97 \times 10^{-8}\,\mathrm{K}/\mathrm{Pa} =
19.7\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$, arrondi à $20\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$. **3.** $10^{9}/(3300\times9.81) = 30.9\,\mathrm{km}$ ; $20/30.9 =
0.65\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. **4.** $1350 + 20P = 1085.7 + 132.9P - 5.1P^2$, soit $5.1P^2 - 112.9P +
264.3 = 0$: $P_0 = (112.9 - \sqrt{12746.4 - 5391.7})/10.2 = (112.9 - 85.76)/10.2 =
2.66\,\mathrm{GPa}$. **5.** $2.66\times30.9 = 82\,\mathrm{km}$ ; $T = 1350 + 20\times2.66 =
1403\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. **6.** $1085.7 + 132.9\times2.66 - 5.1\times2.66^2 = 1085.7 + 353.5 - 36.1 =
1403\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. **7.** $T_{\mathrm s} = 1085.7 + 199.4 - 11.5 = 1273.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; $T_{\mathrm l} = 1475.0 + 120.0 - 7.2 = 1587.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; différence $314.2\,\mathrm{K}$. **8.** $1273.6 + 0.10\times314.2 = 1305.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $1578\,\mathrm{K}$. **9.** $T_{\mathrm s}' = 132.9 - 15.3 = 117.6\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$, $T_{\mathrm l}' =
80.0 - 9.6 = 70.4\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$ : $(\partial T/\partial P)_F = 117.6 +
0.10\times(70.4 - 117.6) = 112.9\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$ ; $(\partial T/\partial F)_P =
314.2\,\mathrm{K}$. **10.** $c_p/T = 1000/1578 = 0.634$ ; numérateur $0.634\times112.9 - 12.1 = 71.6
- 12.1 = 59.5$ ; dénominateur $300 + 0.634\times314.2 = 499.2$ : $0.119$, soit $11.9\,\%$ par gigapascal. **11.** Avec la fonction ajustée $F = T'^{1.5}$, où $T'$ est la fraction du chemin parcouru du solidus au liquidus, la température doit monter fortement avec $F$ pour produire le premier pour cent de liquide, donc $(\partial T/\partial F)_P$ est grand près du solidus et la fusion démarre lentement. $F_{\max} = 0.09\times2.66 = 0.24$, $24\,\%$. **12.** $0.13/0.50 = 0.26$ : le clinopyroxène est épuisé à $26\,\%$ de fusion. À $24\,\%$, le résidu sous l’axe en garde encore un peu : une [lherzolite](#def-b2-mantle-melting-peridotites) pauvre en clinopyroxène, à la limite de la [harzburgite](#def-b2-mantle-melting-peridotites). **13.** $h_c = 0.24\times82/2 = 9.8\,\mathrm{km}$. **14.** $F_{\max}/2 = 12\,\%$. **15.** $9.8\,\mathrm{km}$ dépassent de $38\,\%$ les $7.1\,\mathrm{km}$ mesurés, au-dessus de la fourchette de la croûte océanique normale. **16.** Une productivité constante donne au manteau le plus profond trop de liquide ; le modèle ajusté fait apparaître le premier liquide lentement, $F(z)$ reste plus faible près du début de fusion, et $\int F\,\mathrm dz$ est plus petite. **17.** $F_{\max} = \Pi P_0$ et $H = 30.9P_0$ (km) : $h_c = \Pi P_0\times30.9P_0/2
= kP_0^2$ avec $k = 0.09\times30.9/2 = 1.39\,\mathrm{km}/\mathrm{GPa}^{2}$. **18.** $P_0 = \sqrt{7.1/1.39} = \sqrt{5.11} = 2.26\,\mathrm{GPa}$. **19.** $2.26\times30.9 = 70\,\mathrm{km}$. **20.** $T_{\mathrm s}(2.26) = 1085.7 + 300.4 - 26.0 = 1360.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, et $T_p = 1360.0 - 20\times2.26 = 1360.0 - 45.2 = 1315\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. **21.** Pour $6.3\,\mathrm{km}$ : $P_0 = \sqrt{4.53} = 2.13\,\mathrm{GPa}$, $T_{\mathrm s}
= 1345.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $T_p = 1303\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Pour $7.9\,\mathrm{km}$ : $P_0 =
\sqrt{5.68} = 2.38\,\mathrm{GPa}$, $T_{\mathrm s} = 1373.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $T_p =
1326\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. La dispersion de la croûte autorise $1315 \pm
12\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. **22.** $P_0 = \sqrt{20/1.39} = \sqrt{14.39} = 3.79\,\mathrm{GPa}$ ; $T_{\mathrm s} =
1085.7 + 503.7 - 73.3 = 1516.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; $T_p = 1516.1 - 75.8 =
1440\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, soit un excès de $1440 - 1315 = 125\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. **23.** Les deux utilisent des indices différents. Les laves enregistrent le manteau le plus chaud, au centre du panache ; la croûte moyenne les liquides de tout le manteau qui traverse la région de fusion, dont une grande partie est plus froide. Le modèle simple garde aussi la productivité constante, alors que le clinopyroxène est épuisé à $26\,\%$ tandis que $\Pi P_0 = 0.09\times3.79 = 0.34$ ici : un manteau chaud réel fond moins, et il lui faut une température plus élevée pour produire la même croûte. **24.** $T_{\mathrm s}'(2.26) = 132.9 - 23.1 = 109.8\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$ ; $\Delta P_0 =
10/(109.8 - 20) = 0.111\,\mathrm{GPa}$ ; puisque $h_c \propto P_0^2$, $\Delta h_c/h_c =
2\times0.111/2.26 = 9.8\,\%$, soit environ un dixième par $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. **25.** Sous une dorsale très lente, le manteau monte si lentement qu’il perd de la chaleur par conduction vers la surface froide ; il quitte l’adiabate, sa fusion s’arrête plus profondément, et le sommet du triangle, où $F$ est le plus grand, est tronqué : la croûte est plus mince. **26.** La croûte des dorsales normales donne une [température potentielle du manteau](#def-b2-mantle-melting-tp) de **$1315\,{}^{\circ}\mathrm{C}$**, à environ $12\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ près : $35\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ sous les $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ de la physique des minéraux, qui est incertaine d’environ autant, et bien à l’intérieur de l’intervalle de 1280 à $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ issu des laves. Trois thermomètres indépendants concordent sur un manteau voisin de $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ à $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.