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title: "Différenciation magmatique"
book: "Sciences de la Terre et de l’Univers à l’université — 2e année"
subject: earth
language: fr
chapter: 8
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/8-differenciation-magmatique
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Chapitre 8 — Différenciation magmatique

Le 20 février 1943, un volcan commença à entrer en éruption dans l’ouest du Mexique, et l’éruption dura neuf ans. Ses premières laves étaient des andésites basaltiques à $55\,\%$ de silice ; les dernières, de février 1952, étaient des andésites à un peu plus de $60\,\%$. Le volcan, Parícutin, ne changea pas de source entre-temps, et ses laves furent analysées une à une à mesure qu’elles sortaient. Le [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) situé sous lui se transforma lui-même : il fit croître des cristaux qu’il laissa sur place, et il dévora une partie de la roche granitique environnante. Un [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) qui quitte le manteau sous forme de basalte peut finir en rhyolite, et les roches qu’il laisse derrière lui sur son chemin gardent la trace de la manière dont il s’y est pris. Ce chapitre suit un [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) pendant son refroidissement : l’ordre dans lequel les minéraux cristallisent, les lois qui décrivent comment les éléments majeurs et en traces changent lorsque des cristaux sont retirés, les roches formées de ces cristaux, et ce qui se passe quand le [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) absorbe un autre [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) ou la croûte.

**Tu sais déjà.**

**Du volume des classes 10 à 12** : les roches magmatiques et leurs textures ; l’ordre dans lequel les minéraux cristallisent à partir d’un [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) basaltique, l’olivine en premier et le quartz en dernier, établi par les expériences de Bowen. **Du volume de chimie de deuxième année** : diagrammes de phases binaires, solutions solides et règle des leviers. **Du volume de première année** : le plagioclase, solution solide entre l’anorthite $\ce{CaAl2Si2O8}$ et l’albite $\ce{NaAlSi3O8}$, et les autres silicates des roches ; lames minces entre polariseurs croisés. **Du [Chapitre 3](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#ch-b2-elements-in-the-earth)** : les [coefficients de partage minéral–liquide](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-partition) et global, $\bar D = \sum_i x_i D_i$, les [éléments compatibles](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-partition) et incompatibles, les [diagrammes normalisés](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-normalised) et l’[anomalie en europium](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#prop-b2-elements-in-the-earth-normalised). **Du [Chapitre 4](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/4-geochimie-isotopique#ch-b2-isotope-geochemistry)** : les rapports isotopiques comme traceurs et l’[hyperbole de mélange](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/4-geochimie-isotopique#prop-b2-isotope-geochemistry-mixing). **Du [Chapitre 7](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/7-fusion-du-manteau#ch-b2-mantle-melting)** : l’eutectique diopside–anorthite, la [fusion incongruente](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/7-fusion-du-manteau#def-b2-mantle-melting-peritectic), les diagrammes ternaires et les [magmas primaires](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/7-fusion-du-manteau#def-b2-mantle-melting-primary).

## 8.1 Séquences de cristallisation

Un [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) basaltique ne cristallise pas tous ses minéraux à la fois. Bowen a établi par l’expérience que l’olivine cristallise normalement en premier, entre 1200 et $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; que le plagioclase riche en calcium commence à peu près en même temps que le pyroxène ; et que le dernier liquide, riche en silice, donne du feldspath potassique, du quartz et peut-être de la muscovite vers 750 à $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Entre les deux, les minéraux mafiques ne s’accumulent pas simplement : chacun réagit avec le liquide pour donner le suivant.

**Définition 8.1 (Suite réactionnelle de Bowen).**

*suite réactionnelle de Bowen* est l’ordre dans lequel les silicates courants cristallisent à partir d’un [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) basaltique en refroidissement, en deux branches qui se rejoignent à la fin. Dans la *branche discontinue*, chaque minéral mafique réagit avec le liquide pour former un nouveau minéral d’une autre structure : olivine, pyroxène, amphibole, biotite. Dans la *branche continue*, le plagioclase cristallise tout au long, sa composition passant continûment du riche en calcium au riche en sodium. Le dernier liquide cristallise du feldspath potassique, de la muscovite et du quartz.

![Suite réactionnelle de Bowen. L’olivine et le plagioclase riche en calcium cristallisent en premier à partir d’un magma basaltique ; à gauche, chaque minéral mafique réagit avec le liquide pour donner le suivant ; à droite, le plagioclase s’enrichit sans cesse en sodium ; le dernier liquide, riche en silice, donne du feldspath potassique, de la muscovite et du quartz. Les températures sont des valeurs typiques d’un magma basaltique à basse pression.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/fig-2113eb14b362.svg)

*[Suite réactionnelle de Bowen](#def-b2-magmatic-differentiation-bowen). L’olivine et le plagioclase riche en calcium cristallisent en premier à partir d’un [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) basaltique ; à gauche, chaque minéral mafique réagit avec le liquide pour donner le suivant ; à droite, le plagioclase s’enrichit sans cesse en sodium ; le dernier liquide, riche en silice, donne du feldspath potassique, de la muscovite et du quartz. Les températures sont des valeurs typiques d’un [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) basaltique à basse pression.*

Les deux branches correspondent aux deux types de diagramme de phases du [Chapitre 7](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/7-fusion-du-manteau#ch-b2-mantle-melting). Une réaction discontinue est la [fusion incongruente](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/7-fusion-du-manteau#def-b2-mantle-melting-peritectic) de l’enstatite parcourue à l’envers : des cristaux de forstérite réagissent avec un liquide plus riche en silice pour donner de l’enstatite. La branche continue est une solution solide. Bowen l’a mesurée en 1913 sur des plagioclases de synthèse, en maintenant chaque composition à une température connue et en cherchant le verre et les cristaux : l’anorthite fond à $1550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, l’albite vers $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, et chaque plagioclase intermédiaire fond sur un intervalle compris entre une courbe inférieure, le solidus, et une courbe supérieure, le liquidus (la figure ci-dessous).

![Les feldspaths plagioclases à la pression atmosphérique, d’après les expériences de trempe de Bowen (1913) : début (cercles) et fin (points) de la fusion, avec des courbes tracées à travers les mesures. En rouge, la cristallisation à l’équilibre d’un liquide à 50\,\% d’anorthite : le premier cristal, à 1450\, C, contient 81\,\% d’anorthite ; à 1394\, C, des cristaux à 71\,\% coexistent avec un liquide à 33\,\% ; le dernier liquide, à 1287\, C, en contient 14\,\% ().](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/fig-00c832251be6.svg)

*Les feldspaths plagioclases à la pression atmosphérique, d’après les expériences de trempe de Bowen (1913) : début (cercles) et fin (points) de la fusion, avec des courbes tracées à travers les mesures. En rouge, la [cristallisation à l’équilibre](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) d’un liquide à $50\,\%$ d’anorthite : le premier cristal, à $1450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, contient $81\,\%$ d’anorthite ; à $1394\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, des cristaux à $71\,\%$ coexistent avec un liquide à $33\,\%$ ; le dernier liquide, à $1287\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, en contient $14\,\%$ ([Exercice 8.1](#exo-b2-magmatic-differentiation-1)).*

Un liquide qui cristallise une solution solide s’enrichit du composant qui fond à la plus basse température : le premier plagioclase d’un liquide à $50\,\%$ d’anorthite contient $81\,\%$ d’anorthite, et le liquide évolue vers l’albite. La suite dépend de savoir si les cristaux continuent à échanger avec le liquide.

**Définition 8.2 (Cristallisation à l’équilibre et fractionnée).**

Dans la *cristallisation à l’équilibre* les cristaux restent en équilibre chimique avec la totalité du liquide jusqu’à la fin, en se rééquilibrant à mesure que le liquide change ; le système finit avec la composition qu’il avait au départ. Dans la *cristallisation fractionnée* chaque cristal, une fois formé, est retiré de la réaction avec le liquide, par décantation, en étant plaqué sur les parois de la chambre, ou en étant recouvert par une croissance ultérieure ; le liquide évolue alors comme si les cristaux avaient été retirés du système.

En [cristallisation à l’équilibre](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation), le plagioclase de la figure ci-dessus passe de $81\,\%$ à $50\,\%$ d’anorthite en croissant, chaque cristal se rééquilibrant par diffusion avec le liquide, et le dernier liquide disparaît au solidus, à $1287\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. La diffusion dans les feldspaths est lente, et les cristaux naturels la suivent rarement : l’intérieur de chaque cristal est coupé du liquide, qui se comporte alors comme dans la [cristallisation fractionnée](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) et peut atteindre des compositions proches de l’albite. La figure de la dernière section de ce chapitre calcule les deux trajets.

**Définition 8.3 (Lignée de différenciation du liquide).**

La *lignée de différenciation du liquide* d’un [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) est la suite des compositions prises par son liquide au fur et à mesure qu’il cristallise, tracée sur un diagramme de variation ou un diagramme de phases.

Une [lignée de différenciation du liquide](#def-b2-magmatic-differentiation-lld) ne caractérise que le liquide. Les laves émises avec des cristaux en suspension ne s’y trouvent pas exactement, et Wilcox, en étudiant les laves du Parícutin, utilisa à la fois leurs analyses sur roche totale et les compositions de leur pâte, la partie liquide, calculée en retirant les cristaux.

## 8.2 Fractionnement par cristallisation des éléments majeurs

Retirer des cristaux modifie la composition du liquide d’une façon simple et linéaire, et l’outil le plus ancien pour la lire est le tracé de chaque oxyde en fonction de la silice.

**Définition 8.4 (Diagramme de Harker).**

Un *diagramme de Harker* (diagramme de variation en silice) porte le pourcentage massique de chaque oxyde d’une suite de roches apparentées en fonction de leur pourcentage massique de $\ce{SiO2}$, un panneau par oxyde.

Les laves du Parícutin présentent de telles tendances (les [diagrammes de Harker](#def-b2-magmatic-differentiation-harker) de la proposition suivante) : quand la silice augmente, la magnésie, la chaux et l’alumine diminuent, et la potasse augmente. C’est ce que produirait le retrait d’olivine et de plagioclase : l’olivine retire la magnésie et le fer, le plagioclase la chaux et l’alumine, et tous deux laissent le liquide plus riche en silice et en alcalins. Savoir si le retrait de minéraux connus peut rendre compte quantitativement de ces tendances est une question de bilan de masse.

**Proposition 8.5 (Bilan de masse du retrait de cristaux).**

Soit un [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) parent de composition $\mathbf p$ (un vecteur de fractions massiques d’oxydes) qui cristallise des minéraux de compositions $\mathbf m_1, \dots, \mathbf m_k$ en masses $x_1, \dots, x_k$ par unité de masse de parent, et soit $\mathbf d$ la composition du liquide restant. Alors

$$
\mathbf p = \Big(1 - \sum_i x_i\Big)\mathbf d + \sum_i x_i \mathbf m_i .
$$

Pour un seul minéral, le parent se situe sur le segment droit joignant le liquide et le minéral, sur tout diagramme de variation, et la fraction massique retirée vaut $x = (p_j - d_j)/(m_j - d_j)$ pour tout oxyde $j$ : c’est la règle des leviers.

**Démonstration.** Chaque oxyde est conservé : la masse $p_j$ de l’oxyde $j$ dans une unité de masse de parent finit soit dans le liquide, de masse $1 - \sum_i x_i$ et de concentration $d_j$, soit dans les minéraux. Écrire cela pour chaque $j$ donne l’équation vectorielle. Avec un seul minéral, elle s’écrit $\mathbf p = (1-x)\mathbf d + x\mathbf m$, un point du segment joignant $\mathbf d$ à $\mathbf m$ qui le divise dans le rapport $x : (1-x)$, sur n’importe quel couple d’axes ; résoudre une composante donne $x$. ∎

![Diagrammes de Harker des 22 laves du Parícutin analysées par Wilcox (1954), émises de février 1943 (silice la plus faible) à février 1952. Quand la silice augmente de cinq pour cent, la magnésie, la chaux et l’alumine diminuent, et la potasse presque double.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/fig-3294ed274760.svg)

*[Diagrammes de Harker](#def-b2-magmatic-differentiation-harker) des 22 laves du Parícutin analysées par Wilcox (1954), émises de février 1943 (silice la plus faible) à février 1952. Quand la silice augmente de cinq pour cent, la magnésie, la chaux et l’alumine diminuent, et la potasse presque double.*

Avec plusieurs minéraux, les masses se trouvent en résolvant les équations de conservation d’autant d’oxydes. Wilcox le fit graphiquement en 1954 ; aujourd’hui c’est un petit système linéaire.

**Méthode 8.6 (Bilan de masse par moindres carrés).**

Pour vérifier si un liquide fils $\mathbf d$ dérive d’un parent $\mathbf p$ par le retrait de minéraux $\mathbf m_1, \dots, \mathbf m_k$ (et, si besoin, par l’ajout d’une roche assimilée, comptée avec une masse négative) : (1) pour chaque oxyde $j$, écrire la conservation de la proposition réarrangée en une équation linéaire dans les masses retirées pour $100\,\mathrm{g}$ de parent,

$$
\sum_i x_i\,(m_{ij} - d_j) = 100\,(p_j - d_j);
$$

(2) avec exactement $k$ oxydes, choisis parmi ceux que les minéraux modifient le plus, résoudre le système $k \times k$ ; avec davantage d’oxydes, le résoudre par moindres carrés (minimiser la somme des carrés des écarts entre les deux membres) ; (3) recalculer le fils à partir des masses trouvées et le comparer à l’analyse, oxyde par oxyde : des résidus plus grands que les erreurs analytiques, ou une masse négative pour un minéral, rejettent le modèle.

Wilcox retint la silice, l’alumine et la magnésie comme trois variables de contrôle, et trois matériaux : l’olivine de composition Fo$_{80}$, le plagioclase An$_{70}$, et la moyenne de quatre xénolites granitiques ($72.5\,\%$ $\ce{SiO2}$, $3.6\,\%$ $\ce{K2O}$) trouvés dans les laves. Il montra qu’aucune combinaison d’olivine et de plagioclase seule ne rend compte de la série, et qu’ajouter $25.4\,\mathrm{g}$ de xénolite et retirer $2.9\,\mathrm{g}$ d’olivine et $9.6\,\mathrm{g}$ de plagioclase à $100\,\mathrm{g}$ de pâte de la première lave donne $112.9\,\mathrm{g}$ d’un matériau proche de la pâte de la lave de 1950. En résolvant exactement ses trois équations, il obtient $24.6\,\mathrm{g}$, $3.1\,\mathrm{g}$ et $9.9\,\mathrm{g}$ ; les moindres carrés sur sept oxydes donnent une autre réponse, $28.7\,\mathrm{g}$, $2.4\,\mathrm{g}$ et $5.7\,\mathrm{g}$, ce qui rappelle que de tels résultats dépendent des variables choisies. Dans tous les cas, le [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) a absorbé plus de granite qu’il n’en a cristallisé. Les laves du Parícutin enregistrent un système ouvert, objet de la dernière section.

## 8.3 Éléments en traces

Un [élément en traces](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-trace) ne modifie pas les minéraux qui cristallisent ; il les suit, avec son coefficient de partage global $\bar D$ ([Chapitre 3](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#ch-b2-elements-in-the-earth)), noté ici $D$, entre les cristaux qui se forment à chaque instant et le liquide.

**Théorème 8.7 (Loi de fractionnement de Rayleigh).**

En [cristallisation fractionnée](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) parfaite, à coefficient de partage global constant $D$, la concentration d’un [élément en traces](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-trace) dans le liquide est

$$
\frac{C_L}{C_0} = F^{\,D-1},
$$

où $C_0$ est sa concentration dans le liquide initial et $F$ la fraction massique de liquide restant. C’est la *loi de fractionnement de Rayleigh* .

**Démonstration.** Soit $M$ la masse de liquide. Quand une petite masse $-\mathrm dM > 0$ de cristaux se forme, en équilibre avec le liquide à cet instant seulement, elle emporte l’élément à la concentration $DC_L$. La masse d’élément dans le liquide, $MC_L$, varie donc de $\mathrm d(MC_L) = DC_L\,\mathrm dM$. En développant, $M\,\mathrm dC_L = (D-1)C_L\,
\mathrm dM$, donc $\mathrm dC_L/C_L = (D-1)\,\mathrm dM/M$. En intégrant depuis $M_0$, où $C_L = C_0$, on obtient $\ln(C_L/C_0) = (D-1)\ln(M/M_0)$, et $F = M/M_0$. ∎

**Proposition 8.8 (Cristallisation à l’équilibre d’un élément en traces).**

Si les cristaux restent en équilibre avec le liquide, $C_L/C_0 = 1/(D + F(1-D))$.

**Démonstration.** La masse cristalline totale $1-F$ (par unité de masse initiale) contient $DC_L$, donc la conservation de la masse de l’élément s’écrit $C_0 = FC_L + (1-F)DC_L$. ∎

**Corollaire 8.9 (Rapports d’éléments incompatibles).**

Pour deux éléments de coefficients de partage $D_1$ et $D_2$, le rapport de leurs concentrations dans le liquide varie du facteur $F^{\,D_1-D_2}$ en [cristallisation fractionnée](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation). Si les deux sont fortement incompatibles ($D_1, D_2 \ll 1$), le rapport change à peine : il garde la valeur du [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) parent, donc celle de sa source.

**Démonstration.** Diviser les deux lois de Rayleigh : $(C_1/C_2)/(C_{1,0}/C_{2,0}) = F^{D_1-1}/F^{D_2-1}$ ; pour $F = 0.5$ et $D_1 - D_2 = 0.05$, le facteur vaut $0.5^{0.05} = 0.97$. ∎

![Concentration d’un élément en traces dans le liquide en fonction de la fraction de liquide restant, pour des coefficients de partage globaux de 0.01 à 10 : cristallisation fractionnée (trait plein, loi de Rayleigh) et cristallisation à l’équilibre (tirets, pour D = 0.01, 0.1, 2 et 10). Les éléments incompatibles montent d’au plus 1/F ; les éléments compatibles chutent, d’autant plus vite que D est grand, et la cristallisation fractionnée les épuise presque complètement.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/fig-4d0360e8a35f.svg)

*Concentration d’un [élément en traces](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-trace) dans le liquide en fonction de la fraction de liquide restant, pour des coefficients de partage globaux de 0.01 à 10 : [cristallisation fractionnée](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) (trait plein, loi de Rayleigh) et [cristallisation à l’équilibre](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) (tirets, pour $D = 0.01$, 0.1, 2 et 10). Les [éléments incompatibles](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-partition) montent d’au plus $1/F$ ; les [éléments compatibles](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-partition) chutent, d’autant plus vite que $D$ est grand, et la [cristallisation fractionnée](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) les épuise presque complètement.*

La figure ci-dessus se lit dans deux sens. Les [éléments incompatibles](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-partition) ($D \ll 1$) se comportent presque de la même façon : leur concentration croît presque comme $1/F$, si bien qu’un liquide enrichi dix fois en zirconium a cristallisé environ neuf dixièmes de sa masse. Les [éléments compatibles](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-partition) sont bien plus sensibles. Le nickel entre dans l’olivine avec un coefficient de partage d’environ 5 dans les liquides magnésiens chauds : mesuré à 3.8 à $1550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et à 5.0 à $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, il augmente d’environ 0.8 pour chaque $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ de refroidissement ; le strontium entre dans le plagioclase avec environ 2.7 ; un basalte qui cristallise un cinquième de sa masse en olivine perd plus de la moitié de son nickel ([Exercice 8.5](#exo-b2-magmatic-differentiation-5)). Le nickel est donc l’indicateur le plus sensible du fractionnement de l’olivine, et un basalte riche en nickel est proche d’un [magma primaire](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/7-fusion-du-manteau#def-b2-mantle-melting-primary) ([Chapitre 7](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/7-fusion-du-manteau#ch-b2-mantle-melting)).

Deux remarques fixent la portée de ces lois. D’abord, $D$ n’est pas une constante : il change quand un nouveau minéral rejoint l’assemblage qui cristallise, et la loi s’applique alors par étapes ([Exercice 8.12](#exo-b2-magmatic-differentiation-12)). Ensuite, les mêmes équations, les rôles du solide et du liquide étant échangés, décrivent la fusion d’une source ; la manière dont la fusion par lots et la fusion fractionnée fractionnent les [éléments en traces](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-trace) est traitée dans le volume de troisième année.

## 8.4 Cumulats et intrusions litées

Où vont les cristaux retirés d’un [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) ? Dans une chambre magmatique qui se refroidit lentement, ils se déposent sur son plancher, croissent sur ses parois et son toit, et forment des roches d’un genre particulier.

**Définition 8.10 (Cumulat ; intrusion litée).**

Un *cumulat* est une roche magmatique formée par l’accumulation de cristaux (les cristaux cumulus) issus d’un [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma), auxquels s’ajoutent les minéraux développés ensuite à partir du liquide piégé entre eux (le matériel intercumulus) ; sa composition est celle de cristaux plus un peu de liquide, et non celle d’un [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma). Une *intrusion litée* est un grand corps à refroidissement lent, formé de cumulats mafiques ou ultramafiques disposés en couches, qui enregistrent la [cristallisation fractionnée](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) du [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) qui l’a rempli.

L’intrusion de Skaergaard, dans l’est du Groenland, âgée d’environ $56\,\mathrm{Ma}$, sert de référence. Ses gabbros lités affleurent sur environ 11 par $8\,\mathrm{km}$ et enregistrent la différenciation ininterrompue d’un basalte tholéiitique : une série litée s’est formée sur le plancher, une série de bordure sur les parois et le toit, et les deux se rencontrent à l’horizon de Sandwich, où le dernier liquide, le plus évolué, a cristallisé à l’intérieur (figure ci-dessous). Les [cumulats](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) du plancher se divisent, de la base vers le haut, en une zone cachée, non affleurante, et les zones inférieure, moyenne et supérieure, affleurantes. Ses chercheurs ont estimé la fraction massique $F$ de liquide restant au moment où chaque niveau a cristallisé, ajustée le long de la coupe de référence de la série litée par

$$
F = 1.091 \times 10^{-7}\,H^2 - 5.9064 \times 10^{-4}\,H + 0.7678
$$

($H$ en mètres au-dessus de la base de la zone inférieure). Un quart du [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) avait déjà cristallisé, dans les parois, le toit et une zone cachée, lorsque la séquence du plancher affleurante a commencé ; l’horizon de Sandwich, $F = 0$, se trouve environ $2.2\,\mathrm{km}$ plus haut ([Exercice 8.7](#exo-b2-magmatic-differentiation-7)).

![Intrusion litée de type Skaergaard (schéma, non à l’échelle). Des cumulats ont poussé vers l’intérieur depuis tous les côtés de la chambre en même temps : la série litée du plancher (orange, avec litage), la série de bordure marginale sur les parois et la série de bordure supérieure sous le toit (bleu), chacune avec la même succession de zones. Elles se rejoignirent à l’horizon de Sandwich, où le dernier liquide cristallisa.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/fig-e7ee53dd7c91.svg)

*[Intrusion litée](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) de type Skaergaard (schéma, non à l’échelle). Des [cumulats](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) ont poussé vers l’intérieur depuis tous les côtés de la chambre en même temps : la série litée du plancher (orange, avec litage), la série de bordure marginale sur les parois et la série de bordure supérieure sous le toit (bleu), chacune avec la même succession de zones. Elles se rejoignirent à l’horizon de Sandwich, où le dernier liquide cristallisa.*

Les analyses sur roche totale de 134 échantillons le long de cette coupe montrent à l’œuvre les lois de la section précédente (figure ci-dessous). Le nickel, compatible, passe d’environ $180\,\mathrm{ppm}$ dans les [cumulats](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) de la zone inférieure à $54\,\mathrm{ppm}$ dans la zone moyenne et $6\,\mathrm{ppm}$ dans la zone supérieure. Un [cumulat](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) contient $D$ fois le nickel du liquide dont il est issu, si bien que sur des axes logarithmiques $\ln \mathrm{Ni} = \text{constante} +
(D-1)\ln F$ : la pente sur les zones inférieure et moyenne, 1.38, donne un apparent $D \approx 2.4$. Le zirconium, incompatible, varie à peine dans les [cumulats](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) : il reste dans le liquide, et n’entre dans un [cumulat](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) que par le liquide piégé, jusqu’aux dernières roches de la zone supérieure, cristallisées à partir d’un liquide où il s’était accumulé.

![Nickel et zirconium dans 134 cumulats de la coupe de référence de la série litée de Skaergaard, en fonction de la fraction de magma restant (données de Tegner et al., 2023, CC BY 4.0). Le nickel, compatible, baisse d’un facteur trente ; le zirconium, incompatible, reste bas jusqu’aux tout derniers cumulats. La droite est l’ajustement par moindres carrés de Ni sur F pour les zones inférieure et moyenne.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/fig-5419cbee0322.svg)

*Nickel et zirconium dans 134 [cumulats](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) de la coupe de référence de la série litée de Skaergaard, en fonction de la fraction de [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) restant (données de Tegner et al., 2023, CC BY 4.0). Le nickel, compatible, baisse d’un facteur trente ; le zirconium, incompatible, reste bas jusqu’aux tout derniers [cumulats](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate). La droite est l’ajustement par moindres carrés de $\ln \mathrm{Ni}$ sur $\ln F$ pour les zones inférieure et moyenne.*

Les intrusions les plus épaisses renferment du minerai : les [intrusions litées](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) qui hébergent de la chromitite font en moyenne au moins $2\,\mathrm{km}$ d’épaisseur. Le complexe du Bushveld, en Afrique du Sud, âgé de $(2043 \pm 11)\,\mathrm{Ma}$, couvre $60\,000\text{ à }65\,000\,\mathrm{km}^{2}$, et sa suite litée mesure environ $5\,\mathrm{km}$ d’épaisseur, jusqu’à $9\,\mathrm{km}$ par endroits. Sa zone critique, épaisse de 1500 à $1700\,\mathrm{m}$, répète des cycles de pyroxénite, de norite et d’anorthosite et renferme des couches de chromitite, une roche à plus de $90\,\%$ de chromite ; l’une d’elles, la couche LG6, a une épaisseur de 0.5 à $1.05\,\mathrm{m}$. Des modèles thermiques donnent pour la mise en place de ses [magmas](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) environ $75\,000$ ans, et pour leur cristallisation $200\,000$ ans. Comment se forment des couches si minces et si régulières, par décantation des cristaux, par cristallisation sur place sur le plancher, ou par afflux de [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) neuf, reste une question débattue.

![À gauche : couches de chromitite noire et d’anorthosite grise de la zone critique du complexe du Bushveld, Afrique du Sud (Kevin Walsh, CC BY 2.0). À droite : les gabbros lités de la zone moyenne de l’intrusion de Skaergaard, est du Groenland, inclinés du haut à gauche vers le bas à droite (C. Tegner, CC BY 4.0).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/img-9d0da1c99548.jpg)

![À gauche : couches de chromitite noire et d’anorthosite grise de la zone critique du complexe du Bushveld, Afrique du Sud (Kevin Walsh, CC BY 2.0). À droite : les gabbros lités de la zone moyenne de l’intrusion de Skaergaard, est du Groenland, inclinés du haut à gauche vers le bas à droite (C. Tegner, CC BY 4.0).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/img-078c243ccfe0.jpg)

*À gauche : couches de chromitite noire et d’anorthosite grise de la zone critique du complexe du Bushveld, Afrique du Sud (Kevin Walsh, CC BY 2.0). À droite : les gabbros lités de la zone moyenne de l’intrusion de Skaergaard, est du Groenland, inclinés du haut à gauche vers le bas à droite (C. Tegner, CC BY 4.0).*

## 8.5 Systèmes ouverts

Une chambre magmatique est rarement fermée. Du [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) neuf arrive par le bas, et les parois de la chambre sont des roches que le [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) peut chauffer, fondre et dissoudre.

**Définition 8.11 (Mélange de magmas ; assimilation crustale ; AFC).**

Le *mélange de magmas* est l’homogénéisation de deux [magmas](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) de compositions différentes en un seul. L’*assimilation crustale* est l’incorporation de roche crustale dans un [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma), par fusion et dissolution de la roche des parois ou de blocs tombés dans celui-ci. L’*assimilation–cristallisation fractionnée* (AFC) est leur combinaison dans une même chambre : le [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) cristallise, et la chaleur latente libérée fond et assimile la roche des parois.

**Proposition 8.12 (Le mélange est linéaire en concentrations).**

Un mélange d’une fraction massique $s$ de [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) A et de $1-s$ de [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) B a pour concentration $C = sC_A + (1-s)C_B$ : sur tout diagramme d’une concentration en fonction d’une autre, les mélanges se placent sur le segment droit de A à B, et la règle des leviers donne $s$.

**Démonstration.** Chaque élément se conserve : $C(m_A + m_B) = m_AC_A + m_BC_B$ ; diviser par $m_A + m_B$. ∎

Le mélange et le retrait de cristaux tracent tous deux des droites sur les [diagrammes de Harker](#def-b2-magmatic-differentiation-harker) ; les rapports isotopiques permettent de les distinguer. La cristallisation ne modifie pas un rapport isotopique, alors que le mélange avec une roche de rapport différent le modifie, le long de l’hyperbole de [Chapitre 4](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/4-geochimie-isotopique#ch-b2-isotope-geochemistry). Une hausse de $^{87}$Sr/$^{86}$Sr avec la silice dans une suite volcanique est donc la marque d’une assimilation.

**Proposition 8.13 (Assimilation avec cristallisation fractionnée).**

Un [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) cristallise des cristaux de coefficient de partage global $D$ pour un élément et assimile une roche de paroi de concentration $C_a$ à un taux $r$ fois le taux de cristallisation ($r \ne 1$). Avec $F$ la masse de [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) rapportée à sa masse initiale et $z = (r + D - 1)/(r - 1)$,

$$
\frac{C}{C_0} = F^{-z} + \frac{r}{r - 1 + D}\,\frac{C_a}{C_0}\,\bigl(1 - F^{-z}\bigr).
$$

Pour $r = 0$, on retrouve la loi de Rayleigh. Le rapport isotopique de l’élément dans le [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) est la moyenne de celui du [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) initial et de celui de la roche de paroi, pondérée par les deux termes de cette somme.

**Démonstration.** Par unité de masse initiale, quand une masse $\mathrm dm_c$ cristallise, une masse $r\,\mathrm dm_c$ est assimilée et la masse de [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) varie de $\mathrm dM =
-(1-r)\,\mathrm dm_c$. Le bilan de l’élément s’écrit $\mathrm d(MC) = rC_a\,\mathrm dm_c -
DC\,\mathrm dm_c$. En développant le membre de gauche et en remplaçant $\mathrm dm_c$ par $-\mathrm dM/(1-r)$,

$$
M\frac{\mathrm dC}{\mathrm dM} = -C - \frac{rC_a - DC}{1-r}
= \frac{(r - 1 + D)\,C - rC_a}{1 - r} = -z\,\bigl(C - C^*\bigr),
\qquad C^* = \frac{rC_a}{r - 1 + D}.
$$

Donc $\mathrm d(C - C^*)/(C - C^*) = -z\,\mathrm dM/M$, et $C - C^*$ est proportionnel à $M^{-z}$ ; avec $C = C_0$ pour $M = 1$, on obtient $C = C^* + (C_0 - C^*)F^{-z}$, qui est la formule. Pour $r = 0$, $z = 1 - D$ et $C^* = 0$. Les atomes issus du [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) initial obéissent à la même équation avec $C_a = 0$, donc leur concentration vaut $C_0F^{-z}$ ; les autres proviennent de la paroi, d’où la pondération des rapports isotopiques. ∎

DePaolo a donné ces équations en 1981 ; elles constituent le modèle standard d’un [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) contaminé sur son trajet à travers la croûte. Elles cachent une contrainte thermique. La chaleur nécessaire pour assimiler la roche vient de la chaleur latente des cristaux : chauffer la croûte de 150 à $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ demande environ $1\,\mathrm{kJ}/\mathrm{g}$, la fondre $300\,\mathrm{J}/\mathrm{g}$, alors que cristalliser le [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) en libère environ $400\,\mathrm{J}/\mathrm{g}$ ; il faut donc qu’environ $3.25\,\mathrm{g}$ de [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) cristallisent pour chaque gramme de roche assimilée, et $r$ est bien inférieur à 1. Wilcox a fait le même calcul pour le Parícutin : ses $25.4\,\mathrm{g}$ de monzonite quartzique, pris vers $200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, demandaient environ $31\,350\,\mathrm{J}$ pour être chauffés à $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et fondus, la chaleur de cristallisation d’environ $85\,\mathrm{g}$ de plagioclase, bien plus que les $12.5\,\mathrm{g}$ de cristaux que son bilan de masse retirait. Le [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) éruptif ne pouvait pas payer lui-même son assimilation : la chaleur a dû provenir d’un volume de [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) plus grand que celui qui est entré en éruption, cristallisant hors de vue ([Exercice 8.11](#exo-b2-magmatic-differentiation-11)).

![Assimilation avec cristallisation fractionnée pour le strontium (D = 1.5, roche de paroi ayant la moitié du strontium du magma et 87Sr/86Sr = 0.7200, magma 0.7035 ; valeurs illustratives). À gauche : la concentration baisse d’autant plus vite que le taux d’assimilation r augmente, car la roche de paroi apporte moins de strontium et davantage de cristaux se forment pour un même F. À droite : le rapport isotopique, inchangé par la seule cristallisation (r = 0), monte vers celui de la paroi.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/fig-be9607568855.svg)

*Assimilation avec [cristallisation fractionnée](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) pour le strontium ($D = 1.5$, roche de paroi ayant la moitié du strontium du [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) et $^{87}$Sr/$^{86}$Sr = 0.7200, [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) 0.7035 ; valeurs illustratives). À gauche : la concentration baisse d’autant plus vite que le taux d’assimilation $r$ augmente, car la roche de paroi apporte moins de strontium et davantage de cristaux se forment pour un même $F$. À droite : le rapport isotopique, inchangé par la seule cristallisation ($r = 0$), monte vers celui de la paroi.*

## 8.6 Lire les cristaux zonés

**Définition 8.14 (Zonation chimique).**

Un cristal d’une solution solide présente une *zonation chimique* lorsque sa composition varie du cœur à la bordure, enregistrant le liquide changeant dont sont issues les couches successives. La zonation est *normale* lorsque la bordure est plus riche en composant de basse température (le sodium dans le plagioclase), *inverse* lorsqu’elle est plus riche en celui de haute température, et *oscillatoire* lorsqu’elle alterne.

Un cristal zoné est une [cristallisation fractionnée](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) surprise en flagrant délit : son cœur ne s’est pas rééquilibré avec le liquide ultérieur. La figure ci-dessous calcule, sur la courbe de Bowen, le plagioclase qui croît à partir d’un liquide à $50\,\%$ d’anorthite. À l’équilibre, les cristaux restent homogènes et finissent à $50\,\%$ ; en [cristallisation fractionnée](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) parfaite, chaque nouvelle couche est en équilibre avec un liquide toujours plus sodique, et la bordure des derniers cristaux est presque de l’albite pure. La zonation normale, du cœur calcique à la bordure sodique, est ce que prédit la série de Bowen pour un [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) en refroidissement. Une zone inverse, une bande calcique à l’extérieur d’une zone sodique, indique que le cristal a été brusquement baigné dans un liquide plus chaud ou plus calcique : souvent l’arrivée d’un [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) neuf, qui se mélange dans la chambre.

![Plagioclase cristallisant à partir d’un liquide à 50\,\% d’anorthite, calculé sur la courbe de Bowen (1913). En cristallisation fractionnée, les couches successives des cristaux, du cœur (à gauche) à la bordure (à droite), deviennent de plus en plus sodiques, et le liquide atteint l’albite lorsque environ 82\,\% a cristallisé ; à l’équilibre, les cristaux restent uniformes et finissent avec la composition du liquide dont ils sont issus.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/fig-314b35ced750.svg)

*Plagioclase cristallisant à partir d’un liquide à $50\,\%$ d’anorthite, calculé sur la courbe de Bowen (1913). En [cristallisation fractionnée](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation), les couches successives des cristaux, du cœur (à gauche) à la bordure (à droite), deviennent de plus en plus sodiques, et le liquide atteint l’albite lorsque environ $82\,\%$ a cristallisé ; à l’équilibre, les cristaux restent uniformes et finissent avec la composition du liquide dont ils sont issus.*

**Au laboratoire — Lire les cristaux zonés.**

Les pétrologues lisent d’abord la zonation entre polariseurs croisés, où les zones d’un plagioclase s’éteignent sous des angles légèrement différents et apparaissent en bandes concentriques. Ils la mesurent ensuite : une microsonde électronique ([Chapitre 31](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/31-methodes-de-terrain-et-de-laboratoire-ii#ch-b2-field-lab-methods-2)) analyse des points de quelques micromètres de large le long d’un profil du cœur à la bordure, et des cartes du calcium et du sodium montrent directement les zones. À partir d’un tel profil, ils calculent la composition du liquide dont chaque zone est issue, avec la courbe de la figure ci-dessus ou avec des coefficients de partage, et ils comptent les zones inverses comme autant de recharges de la chambre. Les [éléments en traces](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-trace) mesurés le long du même profil par ablation laser, et les rapports isotopiques mesurés zone par zone, distinguent la cristallisation, le mélange et l’assimilation dans l’histoire d’un seul cristal.

## 8.7 Exercices

**Exercice 8.1 ★.**

Utiliser les mesures de Bowen sur les plagioclases (solidus / liquidus, ${}^{\circ}\mathrm{C}$) : An$_{100}$ 1550 / 1550 ; An$_{83.3}$ 1465 / 1521 ; An$_{66.7}$ 1372 / 1490 ; An$_{50}$ 1287 / 1450 ; An$_{33.3}$ 1205 / 1394 ; An$_{20}$ liquidus 1334 ; An$_{11.1}$ liquidus 1265, et interpoler linéairement entre les points voisins. Un liquide à $50\,\%$ d’anorthite se refroidit à l’équilibre. (a) À quelle température commence-t-il à cristalliser, et quelle est la composition du premier cristal ? (b) À $1394\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, quelles sont les compositions du liquide et des cristaux, et quelle fraction massique a cristallisé (utiliser les fractions molaires comme si c’étaient des fractions massiques) ? (c) Quelle est la composition de la dernière goutte de liquide ?

**Solution de Exercice 8.1.**

(a) Le liquidus de An$_{50}$ est $1450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Le premier cristal se place sur le solidus à cette température, entre An$_{66.7}$ (1372) et An$_{83.3}$ (1465) : $66.7 + 16.6\times(1450 - 1372)/(1465 - 1372) = 66.7 + 13.9 = 80.6\,\%$ d’anorthite. (b) À $1394\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, le liquide est sur le liquidus, en An$_{33.3}$ ; les cristaux sur le solidus, $66.7 + 16.6\times22/93 =
70.6\,\%$. Par la règle des leviers, la fraction cristallisée vaut $(50 -
33.3)/(70.6 - 33.3) = 16.7/37.3 = 0.448$. (c) Le dernier liquide disparaît quand les cristaux atteignent An$_{50}$, à la température du solidus $1287\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; le liquidus à cette température se situe entre An$_{11.1}$ (1265) et An$_{20}$ (1334) : $11.1 +
8.9\times22/69 = 13.9\,\%$ d’anorthite.

**Exercice 8.2 ★.**

Un [cumulat](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) gabbroïque contient $50\,\%$ de plagioclase, $35\,\%$ de clinopyroxène et $15\,\%$ d’olivine. Avec les coefficients de partage (olivine / clinopyroxène / plagioclase) Sr 0.000063 / 0.157 / 2.7, Zr 0.00068 / 0.195 / 0.001 et Rb 0.000044 / 0.0033 / 0.025, calculer le coefficient de partage global de chaque élément, et dire lequel est compatible.

**Solution de Exercice 8.2.**

$\bar D_{\ce{Sr}} = 0.15\times0.000063 + 0.35\times0.157 + 0.50\times2.7 = 0.00001 +
0.0550 + 1.35 = 1.40$ ; $\bar D_{\ce{Zr}} = 0.0001 + 0.0683 + 0.0005 = 0.069$ ; $\bar D_{\ce{Rb}} = 0.00001 + 0.0012 + 0.0125 = 0.014$. Seul le strontium, retenu par le plagioclase, est compatible ($\bar D > 1$) ; le zirconium et le rubidium sont incompatibles, le rubidium davantage.

**Exercice 8.3 ★.**

Le [cumulat](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) de l’[Exercice 8.2](#exo-b2-magmatic-differentiation-2) cristallise à partir d’un basalte, par [cristallisation fractionnée](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation), jusqu’à ce qu’il reste la moitié du liquide. (a) De quel facteur chacun de Sr, Zr et Rb a-t-il changé dans le liquide (prendre les coefficients globaux 1.40, 0.069 et 0.014) ? (b) De quel facteur le rapport Zr/Rb a-t-il changé ? Commenter à l’aide du corollaire sur les rapports.

**Solution de Exercice 8.3.**

(a) $C_L/C_0 = 0.5^{D-1}$ : Sr $0.5^{0.40} = 0.758$ (il diminue) ; Zr $0.5^{-0.931} =
1.907$ ; Rb $0.5^{-0.986} = 1.981$, proche de la limite 2. (b) Zr/Rb varie de $0.5^{0.069 - 0.014} = 0.5^{0.055} = 0.963$, moins de $4\,\%$ alors que chaque élément a presque doublé : comme l’indique le corollaire, le rapport de deux [éléments incompatibles](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-partition) garde la valeur du [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) parent, et renseigne donc sur la source plutôt que sur la cristallisation.

**Exercice 8.4 ★.**

La première lave du Parícutin (février 1943) contenait $55.04\,\%$ $\ce{SiO2}$, $5.68\,\%$ $\ce{MgO}$ et $0.85\,\%$ $\ce{K2O}$ ; la dernière (février 1952), 60.07, 3.73 et $1.67\,\%$. (a) Calculer la variation de chaque oxyde. (b) La potasse n’entre dans aucun des minéraux qui cristallisent. Si elle s’était concentrée par [cristallisation fractionnée](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) seule, quelle fraction du liquide serait restée ? (c) Le bilan de masse de Wilcox ne retire qu’environ $12.5\,\mathrm{g}$ de cristaux pour $100\,\mathrm{g}$ de [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma). Qu’est-ce que la comparaison suggère ?

**Solution de Exercice 8.4.**

(a) $\ce{SiO2}$ $+5.03$, $\ce{MgO}$ $-1.95$, $\ce{K2O}$ $+0.82$ (en pour cent), la potasse multipliée par $1.67/0.85 = 1.96$. (b) Pour un élément parfaitement incompatible, $C_L/C_0 = 1/F$, donc $F = 0.85/1.67 = 0.509$ : la moitié du [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) aurait dû cristalliser. (c) Retirer $12.5\,\mathrm{g}$ pour $100\,\mathrm{g}$ laisse $F \approx 0.88$ et n’élèverait la potasse que d’environ $1/0.88 = 1.14$ : la cristallisation seule ne peut pas expliquer la hausse. La potasse est venue de l’extérieur, des xénolites granitiques, riches en potasse ($3.6\,\%$), que le [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) a assimilés.

**Exercice 8.5 ★★.**

Comparer [cristallisation fractionnée](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) et [cristallisation à l’équilibre](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) : calculer $C_L/C_0$ par les deux lois (a) pour le nickel, $D = 5$, lorsque $20\,\%$ du liquide a cristallisé ; (b) pour un [élément incompatible](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-partition), $D = 0.01$, lorsque $90\,\%$ a cristallisé. (c) Quelles sont les limites des deux lois lorsque $F \to 0$ ? Quelle loi peut épuiser complètement un liquide en [élément compatible](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-partition) ?

**Solution de Exercice 8.5.**

(a) $F = 0.8$, $D = 5$. Fractionnée : $0.8^{4} = 0.410$ ; à l’équilibre : $1/(5 + 0.8\times(1 - 5)) = 1/1.8 = 0.556$. (b) $F = 0.1$, $D = 0.01$. Fractionnée : $0.1^{-0.99} = 9.77$ ; à l’équilibre : $1/(0.01 + 0.1\times0.99) = 1/0.109 = 9.17$. (c) Quand $F \to 0$, la loi de Rayleigh tend vers $0$ pour $D > 1$ et vers l’infini pour $D < 1$, tandis que la loi d’équilibre tend vers $1/D$ (le dernier liquide en équilibre avec des cristaux de composition globale). Seule la [cristallisation fractionnée](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) peut épuiser un liquide en [élément compatible](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-partition).

**Exercice 8.6 ★★.**

(a) Calculer les pourcentages massiques de $\ce{MgO}$, $\ce{FeO}$ et $\ce{SiO2}$ dans l’olivine Fo$_{80}$, $(\ce{Mg}_{0.8}\ce{Fe}_{0.2})_2\ce{SiO4}$ ($M$ = 40.30, 71.84 et $60.08\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$). (b) Un basalte à $10.0\,\%$ de $\ce{MgO}$ et $49.0\,\%$ de $\ce{SiO2}$ ne cristallise que cette olivine jusqu’à ce que son liquide ait $8.0\,\%$ de $\ce{MgO}$. Quelle fraction massique d’olivine a été retirée ? (c) Quelle est alors la teneur en silice du liquide ?

**Solution de Exercice 8.6.**

(a) Une formule unitaire contient 1.6 $\ce{MgO}$, 0.4 $\ce{FeO}$ et un $\ce{SiO2}$ : $1.6\times
40.30 = 64.48$, $0.4\times71.84 = 28.74$, 60.08, soit au total $153.30\,\mathrm{g}$. Pourcentages massiques $\ce{MgO}$ $42.06\,\%$, $\ce{FeO}$ $18.75\,\%$, $\ce{SiO2}$ $39.19\,\%$. (b) Règle des leviers sur $\ce{MgO}$ : $x = (10.0 - 8.0)/(42.06
- 8.0) = 2.0/34.06 = 0.0587$, soit environ $6\,\%$ d’olivine. (c) Silice du liquide : $(49.0 - 0.0587\times39.19)/(1 - 0.0587) = 46.70/0.9413 =
49.61\,\%$. Retirer de l’olivine, moins riche en silice que le basalte, élève la silice du liquide, mais lentement.

**Exercice 8.7 ★★.**

Pour l’intrusion de Skaergaard, $F = 1.091 \times 10^{-7}H^2 - 5.9064 \times 10^{-4}H + 0.7678$. (a) Calculer $F$ pour $H = 0$, 1000 et $2000\,\mathrm{m}$. (b) À quelle hauteur $F = 0$ ? (c) Quelle fraction du [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) avait cristallisé avant la formation de la base de la séquence du plancher affleurante, et où pouvait-elle se trouver ?

**Solution de Exercice 8.7.**

(a) $F(0) = 0.768$ ; $F(1000) = 0.1091 - 0.5906 + 0.7678 = 0.286$ ; $F(2000) = 0.4364
- 1.1813 + 0.7678 = 0.023$. (b) Le discriminant vaut $(5.9064\times10^{-4})^2 -
4\times1.091\times10^{-7}\times0.7678 = 3.4885\times10^{-7} - 3.3507\times10^{-7} =
1.379\times10^{-8}$, de racine carrée $1.174\times10^{-4}$ ; la plus petite racine est $H = (5.9064 - 1.174)\times10^{-4}/(2.182\times10^{-7}) = 2169\,\mathrm{m}$, l’horizon de Sandwich. (c) $1 - 0.768 = 0.232$ : près d’un quart du [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) avait cristallisé avant la formation de la base de la zone inférieure affleurante, dans la zone cachée en dessous et dans la série de bordure le long des parois et du toit.

**Exercice 8.8 ★★.**

Le long de la coupe de Skaergaard, le [cumulat](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) médian contient $177\,\mathrm{ppm}$ de Ni à $F = 0.70$ (zone inférieure a), $54\,\mathrm{ppm}$ à $F = 0.29$ (zone moyenne) et $6.2\,\mathrm{ppm}$ à $F = 0.17$ (zone supérieure a). (a) En supposant que les [cumulats](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) contiennent $D$ fois le nickel de leur liquide et que le liquide suit la loi de Rayleigh, calculer le $D$ apparent entre les deux premiers niveaux. (b) Faire de même entre les deux derniers. (c) Qu’est-ce qui peut faire varier le $D$ apparent ?

**Solution de Exercice 8.8.**

Le [cumulat](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) contient $D\,C_L = D\,C_0F^{D-1}$, donc entre deux niveaux $\ln(\mathrm{Ni}_2/\mathrm{Ni}_1) = (D - 1)\ln(F_2/F_1)$. (a) $D - 1 = \ln(54/177)/
\ln(0.29/0.70) = (-1.187)/(-0.881) = 1.35$, donc $D \approx 2.35$ (la régression sur les 66 [cumulats](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) avec $F \ge 0.23$ donne 2.38). (b) $D - 1 = \ln(6.2/54)/\ln(0.17/0.29) = (-2.164)/(-0.534)
= 4.05$, donc $D \approx 5.05$. (c) Le $D$ global change quand l’assemblage cristallisant change (un nouveau minéral qui fixe le nickel, ou un minéral qui disparaît), et les coefficients minéral–liquide eux-mêmes augmentent quand le liquide se refroidit et change de composition, comme cela a été mesuré pour l’olivine ; le liquide piégé dans les [cumulats](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) brouille l’estimation.

**Exercice 8.9 ★★.**

Vérifier la réponse de Wilcox : $100\,\mathrm{g}$ de pâte de la première lave ($\ce{SiO2}$ 55.53, $\ce{MgO}$ 4.66, $\ce{K2O}$ $0.88\,\%$) plus $25.4\,\mathrm{g}$ de xénolite moyen (72.48, 0.77, 3.64) moins $2.9\,\mathrm{g}$ d’olivine Fo$_{80}$ (39.19, 42.06, 0) moins $9.6\,\mathrm{g}$ de plagioclase An$_{70}$ (50.54, 0, 0). (a) Quelle masse reste-t-il ? (b) Calculer son $\ce{SiO2}$, son $\ce{MgO}$ et son $\ce{K2O}$, et comparer avec la pâte de la lave 19 (60.16, 3.19 et $1.75\,\%$). (c) Quel oxyde s’accorde le moins bien ?

**Solution de Exercice 8.9.**

(a) $100 + 25.4 - 2.9 - 9.6 = 112.9\,\mathrm{g}$. (b) En grammes de $\ce{SiO2}$ : $55.53 +
25.4\times0.7248 - 2.9\times0.3919 - 9.6\times0.5054 = 55.53 + 18.41 - 1.14 - 4.85 =
67.95\,\mathrm{g}$, donc $67.95/112.9 = 60.19\,\%$ contre 60.16. $\ce{MgO}$ : $4.66 + 0.20 - 1.22 = 3.64\,\mathrm{g}$, soit $3.22\,\%$ contre 3.19. $\ce{K2O}$ : $0.88 + 0.92 = 1.80\,\mathrm{g}$, soit $1.60\,\%$ contre 1.75. (c) La silice et la magnésie, deux des trois témoins, s’accordent à 0.03 près ; la potasse, non utilisée comme témoin, est trop basse de 0.15, soit près d’un dixième de sa valeur : le matériau assimilé avait plus de potasse que la xénolite moyenne, ou un liquide riche en potasse issu de celle-ci a été prélevé de préférence.

**Exercice 8.10 ★★★.**

Un [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) assimile de la roche de paroi à $r = 0.2$ en cristallisant, avec $D_{\ce{Sr}} =
1.5$, $C_a/C_0 = 0.5$, $^{87}$Sr/$^{86}$Sr initial = 0.7035 et roche de paroi 0.7200. (a) Calculer $z$, $F^{-z}$ et $C/C_0$ à $F = 0.7$. (b) Comparer avec la [cristallisation fractionnée](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) pure au même $F$, et expliquer la différence par la masse de cristaux formés dans chaque cas. (c) Calculer le $^{87}$Sr/$^{86}$Sr du [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma).

**Solution de Exercice 8.10.**

(a) $z = (0.2 + 1.5 - 1)/(0.2 - 1) = 0.7/(-0.8) = -0.875$ ; $F^{-z} = 0.7^{0.875} =
0.7319$ ; $C^*/C_0 = 0.2\times0.5/(0.2 - 1 + 1.5) = 0.1/0.7 = 0.1429$, donc $C/C_0 =
0.7319 + 0.1429\times(1 - 0.7319) = 0.7319 + 0.0383 = 0.770$. (b) Rayleigh : $0.7^{0.5} = 0.837$. Le [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) en AFC a moins de strontium pour deux raisons : pour perdre $30\,\%$ de sa masse tout en gagnant $r$ fois ce qu’il cristallise, il doit cristalliser $(1 - 0.7)/(1 - 0.2) = 0.375$ au lieu de 0.30, et le strontium qu’il gagne provient d’une roche deux fois moins riche. (c) $(0.7319\times0.7035 + 0.0383\times0.7200)/0.7702
= (0.5149 + 0.0276)/0.7702 = 0.70432$ : le rapport a monté de 0.0008 alors que la seule cristallisation l’aurait laissé à 0.7035.

**Exercice 8.11 ★★★.**

Suivre le bilan thermique de Wilcox pour le Parícutin. (a) Quelle quantité de chaleur un gramme de monzonite quartzique doit-il recevoir pour passer de 200 à $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (capacité thermique $1.1\,\mathrm{J}/(\mathrm{g}\,\mathrm{K})$), puis pour fondre ($250\,\mathrm{J}/\mathrm{g}$) ? (b) Quelle quantité pour $25.4\,\mathrm{g}$ ? (c) Quelle masse de plagioclase An$_{70}$ (chaleur latente $370\,\mathrm{J}/\mathrm{g}$) doit cristalliser pour la fournir ? (d) Comparer aux $12.5\,\mathrm{g}$ de cristaux du bilan de masse, calculer le rapport $r$ de l’assimilation à la cristallisation, et dire ce que cela implique.

**Solution de Exercice 8.11.**

(a) $1.1\times(1100 - 200) + 250 = 990 + 250 = 1240\,\mathrm{J}$ par gramme. (b) $25.4\times1240 = 31\,496\,\mathrm{J}$, proche des $31\,350\,\mathrm{J}$ de Wilcox. (c) $31496/370 = 85.1\,\mathrm{g}$ de plagioclase. (d) Le bilan de masse n’a retiré que $2.9 +
9.6 = 12.5\,\mathrm{g}$ de cristaux, dont la chaleur latente (environ $4600\,\mathrm{J}$) couvre moins d’un sixième du besoin ; $r = 25.4/12.5 = 2.03$, soit deux fois plus de roche assimilée que de cristaux formés, alors que le bilan thermique admet un $r$ bien inférieur à 1. Le [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) éruptif ne peut pas avoir fourni lui-même la chaleur : un volume de [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) plus grand que celui qui a été émis a dû cristalliser et se refroidir en profondeur, hors de vue.

**Exercice 8.12 ★★★.**

Un basalte à $250\,\mathrm{ppm}$ de Ni cristallise d’abord de l’olivine seule ($D = 5$) jusqu’à $F = 0.8$, puis de l’olivine avec du plagioclase et du clinopyroxène (coefficient de partage global $D = 1.5$). (a) Calculer le facteur de variation du nickel dans chaque étape, et la teneur en nickel du liquide à $F = 0.5$. (b) Qu’aurait prédit une loi unique avec $D = 5$ ? (c) Expliquer pourquoi la loi de Rayleigh doit être appliquée par étapes.

**Solution de Exercice 8.12.**

(a) Étape 1, $F$ de 1 à 0.8 avec $D = 5$ : facteur $0.8^{4} = 0.4096$. Étape 2, de 0.8 à 0.5 avec $D = 1.5$ : la loi s’applique au liquide restant, donc le facteur vaut $(0.5/0.8)^{0.5} = 0.7906$. Nickel : $250\times0.4096\times0.7906 =
81.0\,\mathrm{ppm}$. (b) $250\times0.5^{4} = 15.6\,\mathrm{ppm}$, cinq fois trop bas. (c) La loi de Rayleigh suppose un $D$ constant ; quand l’assemblage cristallisant change, $D$ saute, et la loi doit être repartie de la composition du liquide atteinte au changement, avec $F$ mesuré par rapport à ce liquide.

## 8.8 Problème : l’intrusion qui a écrit sa propre histoire

**Problème 8.1.**

Problème du week-end — des couches d’un gabbro à la fraction de son magma encore liquide à la fin

Un [sill](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-bodies) gabbroïque lité (fictif) a cristallisé à partir d’un basalte dont la marge figée donne la composition du parent : $\ce{SiO2}$ 49.5, $\ce{Al2O3}$ 16.0, $\ce{FeO}$ 10.0, $\ce{MgO}$ 9.0, $\ce{CaO}$ 11.5, $\ce{Na2O}$ 2.5, $\ce{K2O}$ $0.30\,\%$ ; $150\,\mathrm{ppm}$ de Ni et $80\,\mathrm{ppm}$ de Zr. Les [cumulats](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) de la zone inférieure sont formés de $20\,\%$ d’olivine, $50\,\%$ de plagioclase et $30\,\%$ de clinopyroxène ; au-dessus du niveau où l’olivine disparaît, de $55\,\%$ de plagioclase et $45\,\%$ de clinopyroxène. Prendre les coefficients de partage (olivine / plagioclase / clinopyroxène) Ni 5.0 / 0 / 2.0 et Zr 0.0007 / 0.001 / 0.195. Compositions des minéraux ($\%$) : olivine $\ce{MgO}$ 42.06, $\ce{CaO}$ 0, $\ce{Al2O3}$ 0, $\ce{SiO2}$ 39.19 ; plagioclase 0, 14.36, 31.70, 50.54 ; clinopyroxène 16.0, 20.5, 3.0, 51.5. Un [dyke](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-bodies) à grain fin, alimenté par la chambre lorsque la couche la plus haute a cristallisé, a pour composition $\ce{SiO2}$ 50.0, $\ce{Al2O3}$ 14.1, $\ce{FeO}$ 16.7, $\ce{MgO}$ 4.9, $\ce{CaO}$ 7.3, $\ce{Na2O}$ 3.4, $\ce{K2O}$ $0.75\,\%$ et $188\,\mathrm{ppm}$ de Zr.

**Partie I — Les coefficients de partage des couches.**

1. Calculer le coefficient de partage global du nickel dans la zone inférieure.
2. Calculer celui du zirconium dans la zone inférieure.
3. Calculer les deux dans la zone supérieure.
4. Quel élément est compatible dans chaque zone ? Le nickel reste-t-il compatible quand l’olivine disparaît ?
5. Quel minéral porte l’essentiel du zirconium des [cumulats](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) , et pourquoi ?
6. De quel facteur le rapport Ni/Zr du liquide change-t-il à chaque division par deux de $F$ dans la zone inférieure ?

**Partie II — Courbes de Rayleigh le long de la coupe.**

7. Quelle teneur en nickel attendez-vous dans le [cumulat](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) le plus bas, cristallisé à $F = 1$ ?
8. Un [cumulat](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) de la zone inférieure, plus haut, contient $190\,\mathrm{ppm}$ de Ni. À quel $F$ s’est-il formé ?
9. Quelle était alors la teneur en zirconium du liquide ?
10. À ce $F$ , comparer le nickel du liquide donné par les lois fractionnée et à l’équilibre.
11. L’olivine disparaît à $F = 0.55$ . Calculer la teneur en nickel du liquide à ce niveau.
12. Calculer le nickel des [cumulats](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) formés juste au-dessous et juste au-dessus de ce niveau. Quel trait un géologue verrait-il dans le profil ?
13. Calculer le nickel du liquide et du [cumulat](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) à $F = 0.40$ . Expliquer la tendance.

**Partie III — Le bilan de masse du dernier liquide.**

14. Écrire l’équation de conservation de la méthode pour un oxyde, avec les masses $x_{\mathrm{ol}}, x_{\mathrm{pl}}, x_{\mathrm{cpx}}$ retirées pour $100\,\mathrm{g}$ de parent et le [dyke](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-bodies) comme fils.
15. L’écrire pour $\ce{MgO}$ , $\ce{CaO}$ et $\ce{Al2O3}$ .
16. Résoudre le système $3 \times 3$ .
17. Quelle fraction du parent reste à l’état de liquide ?
18. Vérifier la réponse avec $\ce{SiO2}$ : recalculer la silice du liquide à partir des masses trouvées.
19. Comparer les proportions des minéraux retirés aux modes des deux zones.
20. La potasse n’entre dans aucun des minéraux : quelle fraction de liquide donne-t-elle ?

**Partie IV — La fraction de liquide au sommet.**

21. De quel facteur le zirconium avait-il augmenté dans le liquide lorsque l’olivine disparut à $F = 0.55$ ? Donner alors la teneur en zirconium.
22. À partir du zirconium du [dyke](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-bodies) , calculer la fraction de liquide restant au moment de sa formation, en appliquant la loi de la zone supérieure à partir de $F = 0.55$ .
23. Refaire le calcul avec un seul $D = 0.07$ depuis le début. La réponse est-elle sensible aux détails de $D$ ?
24. Le fer est passé de 10.0 à $16.7\,\%$ dans le liquide, alors que la silice a à peine changé. Quels minéraux en sont responsables, et quel type de série magmatique cela annonce-t-il ( [Chapitre 9](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/9-series-magmatiques-et-contextes-tectoniques#ch-b2-magmatic-series) ) ?
25. Les [cumulats](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) les plus hauts contiennent $47\,\mathrm{ppm}$ de Zr. Les seuls cristaux cumulus contiendraient $\bar D$ fois le zirconium du liquide ; quelle fraction massique de liquide piégé (de composition du [dyke](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-bodies) ) explique l’analyse ?
26. Donner la fraction du [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) d’origine encore liquide lorsque la couche la plus haute a cristallisé, le nombre clé de ce problème, et comparer les trois estimations (éléments majeurs, potasse, zirconium).

**Solution de Problème 8.1.**

**Partie I.**

**1.** $\bar D_{\ce{Ni}} = 0.20\times5.0 + 0.50\times0 + 0.30\times2.0 = 1.60$.

**2.** $\bar D_{\ce{Zr}} = 0.20\times0.0007 + 0.50\times0.001 + 0.30\times0.195 =
0.00014 + 0.0005 + 0.0585 = 0.059$.

**3.** Zone supérieure : $\bar D_{\ce{Ni}} = 0.45\times2.0 = 0.90$ ; $\bar D_{\ce{Zr}} =
0.55\times0.001 + 0.45\times0.195 = 0.088$.

**4.** Le nickel est compatible dans la zone inférieure (1.60) et devient légèrement incompatible (0.90) quand l’olivine disparaît ; le zirconium est incompatible dans les deux.

**5.** Le clinopyroxène : il fournit $0.0585$ des $0.059$ de la zone inférieure, presque tout, car c’est le seul minéral dont le coefficient s’éloigne nettement de zéro.

**6.** $(C_{\ce{Ni}}/C_{\ce{Zr}})$ varie de $F^{D_{\ce{Ni}} - D_{\ce{Zr}}}$ ; par division par deux, $0.5^{1.60 - 0.059} = 0.5^{1.541} = 0.344$.

**Partie II.**

**7.** $1.60\times150 = 240\,\mathrm{ppm}$.

**8.** Le liquide contenait $190/1.60 = 118.75\,\mathrm{ppm}$ ; $F = (118.75/150)^{1/0.6} =
0.7917^{1.667} = 0.68$.

**9.** $80\times0.68^{-0.941} = 80\times1.438 = 115\,\mathrm{ppm}$.

**10.** Fractionnée : $150\times0.68^{0.6} = 150\times0.793 = 119.0\,\mathrm{ppm}$ ; à l’équilibre : $150/(1.6 + 0.68\times(1 - 1.6)) = 150\times0.839 = 125.8\,\mathrm{ppm}$. La différence n’est que de $6\,\%$ lorsqu’un tiers du [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) a cristallisé : pour un élément modérément compatible, les deux lois restent proches au début.

**11.** $150\times0.55^{0.6} = 104.8\,\mathrm{ppm}$.

**12.** Juste en dessous : $1.60\times104.8 = 167.7\,\mathrm{ppm}$ ; juste au-dessus : $0.90\times104.8 = 94.3\,\mathrm{ppm}$. Le profil de nickel des [cumulats](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) chute brutalement de $44\,\%$ au niveau où l’olivine disparaît des couches : une marche, et non une courbe régulière.

**13.** Liquide : $104.8\times(0.40/0.55)^{0.90 - 1} = 104.8\times1.032 =
108.2\,\mathrm{ppm}$ ; [cumulat](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) $0.90\times108.2 = 97.4\,\mathrm{ppm}$. Avec $\bar D < 1$ le nickel augmente désormais lentement dans le liquide et dans les [cumulats](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) : le profil, après sa marche, remonte doucement.

**Partie III.**

**14.** $x_{\mathrm{ol}}(m_{\mathrm{ol},j} - d_j) + x_{\mathrm{pl}}
(m_{\mathrm{pl},j} - d_j) + x_{\mathrm{cpx}}(m_{\mathrm{cpx},j} - d_j) = 100\,(p_j -
d_j)$.

**15.** $\ce{MgO}$ : $37.16\,x_{\mathrm{ol}} - 4.9\,x_{\mathrm{pl}} +
11.1\,x_{\mathrm{cpx}} = 410$ ; $\ce{CaO}$ : $-7.3\,x_{\mathrm{ol}} +
7.06\,x_{\mathrm{pl}} + 13.2\,x_{\mathrm{cpx}} = 420$ ; $\ce{Al2O3}$ : $-14.1\,x_{\mathrm{ol}} + 17.6\,x_{\mathrm{pl}} - 11.1\,x_{\mathrm{cpx}} = 190$.

**16.** En résolvant (par élimination ou par la règle de Cramer) : $x_{\mathrm{ol}} = 9.03$, $x_{\mathrm{pl}} = 30.84$, $x_{\mathrm{cpx}} = 20.32$ grammes pour $100\,\mathrm{g}$.

**17.** Cristaux $9.03 + 30.84 + 20.32 = 60.19\,\mathrm{g}$ ; liquide $39.81\,\mathrm{g}$ : $F = 0.398$.

**18.** $(4950 - 9.03\times39.19 - 30.84\times50.54 - 20.32\times51.5)/39.81 =
(4950 - 353.9 - 1558.7 - 1046.5)/39.81 = 1990.9/39.81 = 50.0\,\%$, comme dans le [dyke](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-bodies) : l’oxyde non utilisé comme témoin est reproduit.

**19.** Les cristaux retirés sont $9.03/60.19 = 15\,\%$ d’olivine, $51\,\%$ de plagioclase et $34\,\%$ de clinopyroxène, entre les proportions des deux zones. Ils correspondent à l’assemblage inférieur qui cristallise de $F = 1$ à 0.55 ($0.45\times20 = 9.0$, $0.45\times50 = 22.5$, $0.45\times30 = 13.5$), suivi de l’assemblage supérieur de 0.55 à 0.40 ($0.15\times55 = 8.25$, $0.15\times45 = 6.75$) : 9.0, 30.75 et 20.25 grammes.

**20.** $0.30/0.75 = 0.40$.

**Partie IV.**

**21.** $0.55^{0.059 - 1} = 0.55^{-0.941} = 1.755$; $80\times1.755 =
140.4\,\mathrm{ppm}$.

**22.** $188/140.4 = 1.339 = (F/0.55)^{0.088 - 1}$, donc $F = 0.55\times1.339^{-1/
0.912} = 0.55\times0.726 = 0.399$.

**23.** $(188/80)^{1/(0.07 - 1)} = 2.35^{-1.075} = 0.399$. Pour les [éléments incompatibles](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-partition) $C_L/C_0 \approx 1/F$ quelle que soit la petite valeur de $D$ : la réponse dépend à peine des détails de $D$, ce qui fait des [éléments incompatibles](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/3-les-elements-de-la-terre#def-b2-elements-in-the-earth-partition) les meilleures jauges de $F$.

**24.** Le plagioclase, qui ne contient pas de fer, forme la moitié des cristaux, et le pyroxène et l’olivine réunis contiennent moins de fer qu’ils ne contiennent de magnésie : le liquide s’enrichit en fer et s’appauvrit en magnésie sans gagner de silice. Cet enrichissement en fer à silice presque constante est la marque de la série tholéiitique du chapitre suivant.

**25.** Des cristaux cumulus purs contiendraient $0.088\times188 = 16.5\,\mathrm{ppm}$. Avec une fraction massique $t$ de liquide piégé, $16.5(1 - t) + 188\,t = 47$, donc $t = (47 -
16.5)/(188 - 16.5) = 30.5/171.5 = 0.18$ : environ $18\,\%$ de liquide piégé.

**26.** Les trois estimations, par les éléments majeurs (0.398), par la potasse (0.40) et par le zirconium (0.399), concordent : quand la couche la plus haute a cristallisé, il restait encore liquide **$40\,\%$** du [magma](https://one-course.com/books/earth/4/fr/chapter/5-magmas-et-mise-en-place#def-b2-magma-emplacement-magma) d’origine.