---
title: "Gaya Paksa Orbital dan Zaman Es"
book: "Ilmu Kebumian dan Antariksa Universitas — Tahun 2"
subject: earth
language: id
chapter: 25
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/4/id/chapter/25-gaya-paksa-orbital-dan-zaman-es
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# Bab 25 — Gaya Paksa Orbital dan Zaman Es

Selama sejuta tahun terakhir bentuk orbit Bumi telah mengubah sinar Matahari yang diterima seluruh planet dalam setahun kurang dari dua per seribu: antara $340.00$ dan $340.54\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ di puncak atmosfer. Selama sejuta tahun yang sama, penyinaran harian rata-rata pertengahan Juli pada $65{}^{\circ}$ LU telah berayun antara sekitar 388 dan $500\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, lebih dari seperempatnya. Zaman es mengikuti angka kedua, bukan angka pertama. Bab ini menghitung keduanya dari unsur-unsur orbit Bumi, dan bertanya bagaimana sinar Matahari pada satu lintang dalam satu musim dapat mengatur laju pertumbuhan dan peluruhan lembaran es yang menutupi benua.

**Yang sudah kamu ketahui.**

**Dari buku-buku fisika**: elips, sumbu semi-mayor $a$ dan eksentrisitasnya $e$, hukum-hukum Kepler. **Dari volume Tahun 1**: ekliptika dan kemiringan ekliptika $\varepsilon$, deklinasi Matahari $\delta$ dengan $\sin\delta = \sin\varepsilon\sin\lambda$ ($\lambda$ bujur sejati Matahari, yang dihitung di sepanjang ekliptika dari titik ekuinoks musim semi), tahun tropis, dan insolasi harian rata-rata

$$
\bar Q = \frac{S_0}{\pi}\left(\frac{a}{r}\right)^{2}\bigl(h_0\sin\varphi\sin\delta +
  \cos\varphi\cos\delta\sin h_0\bigr),\qquad \cos h_0 = -\tan\varphi\tan\delta ,
$$

serta rata-rata global dan tahunannya, $S_0/(4\sqrt{1 - e^2})$. **Dari volume-volume sekolah**: siklus glasial dan Maksimum Glasial Terakhir; gaya radiatif. **Dari bab-bab sebelumnya**: [umpan balik es–albedo](https://one-course.com/books/earth/4/id/chapter/18-bumi-prakambrium#def-b2-precambrian-earth-ice-albedo) ([Definisi 18.8](https://one-course.com/books/earth/4/id/chapter/18-bumi-prakambrium#def-b2-precambrian-earth-ice-albedo)); tumpukan bentik, rekaman EPICA Dome C, dan [model umur](https://one-course.com/books/earth/4/id/chapter/24-arsip-dan-proksi-iklim#def-b2-climate-proxies-age-model) ([Bab 24](https://one-course.com/books/earth/4/id/chapter/24-arsip-dan-proksi-iklim#ch-b2-climate-proxies)).

## 25.1 Orbit dan ketiga unsurnya

Orbit Bumi adalah elips dengan Matahari di salah satu fokusnya. Planet-planet, terutama Jupiter dan Saturnus, perlahan-lahan mengubah bentuknya dan memutarnya di dalam bidangnya; tarikan Matahari dan Bulan pada tonjolan khatulistiwa membuat sumbu rotasi bergoyang seperti gasing. Tiga besaran menggambarkan apa yang penting bagi sinar Matahari: seberapa lonjong elips itu, seberapa miring sumbunya, dan di mana di sepanjang orbit musim-musim jatuh.

**Definisi 25.1 (Bujur perihelion; presesi iklim).**

Yang disebut *bujur perihelion* $\varpi$ adalah sudut, yang diukur di bidang orbit dari arah titik ekuinoks musim semi, antara arah itu dan arah perihelion dilihat dari Matahari; sudut ini dihitung dari ekuinoks yang bergerak, sehingga berubah karena goyangan sumbu maupun perputaran orbit. Yang disebut *presesi iklim* adalah besaran $e\sin\varpi$, yang juga disebut indeks presesi.

![Orbit Bumi dilihat dari sisi utara, dengan eksentrisitas yang dilebih-lebihkan menjadi 0.3 dan bujur perihelion masa kini, = 101.4. Bumi bergerak berlawanan arah jarum jam (panah); titik-titik menandai kedudukannya pada ekuinoks dan solstis. Perihelion jatuh beberapa hari setelah solstis Desember, aphelion beberapa hari setelah solstis Juni. Skematis.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-orbital-forcing/fig-a2021797dd4c.svg)

*Orbit Bumi dilihat dari sisi utara, dengan eksentrisitas yang dilebih-lebihkan menjadi 0.3 dan [bujur perihelion](#def-b2-orbital-forcing-elements) masa kini, $\varpi = 101.4{}^{\circ}$. Bumi bergerak berlawanan arah jarum jam (panah); titik-titik menandai kedudukannya pada ekuinoks dan solstis. Perihelion jatuh beberapa hari setelah solstis Desember, aphelion beberapa hari setelah solstis Juni. Skematis.*

Dilihat dari Bumi, Matahari bergerak di sepanjang ekliptika, dan bujur sejatinya $\lambda$ adalah sudut dari titik ekuinoks musim semi: $\lambda = 90{}^{\circ}$ pada solstis Juni, $270{}^{\circ}$ pada solstis Desember. Bumi berada di perihelion ketika Matahari berada pada arah yang berlawanan dengan perihelion, pada $\lambda = \varpi + 180{}^{\circ}$; kini $\varpi = 101.37{}^{\circ}$ dan perihelion jatuh pada $\lambda = 281.37{}^{\circ}$, sekitar sebelas hari setelah solstis Desember, pada atau sekitar 3 Januari.

**Definisi 25.2 (Parameter Milankovitch).**

Yang disebut *parameter Milankovitch* adalah ketiga besaran orbital yang menentukan sebaran sinar Matahari di Bumi menurut musim dan lintang: eksentrisitas $e$, kemiringan ekliptika $\varepsilon$, dan [presesi iklim](#def-b2-orbital-forcing-elements) $e\sin\varpi$. Yang disebut *teori Milankovitch* menyatakan bahwa variasi lambat ketiga parameter itu mengatur laju pertumbuhan dan peluruhan lembaran es Kuarter, melalui insolasi musim panas di lintang tinggi utara.

Setiap parameter bervariasi dengan iramanya sendiri. Eksentrisitas memiliki periode utama dekat $95\,000$, $99\,000$, $124\,000$, dan $131\,000$ tahun, yang bergabung menjadi siklus sekitar $100\,000$ tahun, serta periode $405\,000$ tahun, yang paling stabil di antara semuanya; selama sejuta tahun terakhir eksentrisitas berkisar dari $0.0046$ sampai $0.0565$, dan kini, pada $0.0172$, perlahan menurun. Kemiringan sumbu bervariasi dengan periode utama $40\,978$ tahun, antara $22.1{}^{\circ}$ dan $24.5{}^{\circ}$ selama sejuta tahun terakhir; pada $23.44{}^{\circ}$ kemiringan itu sedang menurun, setelah melewati maksimum terakhirnya sekitar $10\,000$ tahun yang lalu. Sumbu bergoyang mengitari satu putaran dalam sekitar $25\,770$ tahun, sementara orbit berputar dalam sekitar $112\,000$ tahun; bersama-sama keduanya menggerakkan perihelion melalui musim-musim dengan periode utama dekat $19\,000$, $22\,400$, dan $23\,700$ tahun.

![Ketiga parameter Milankovitch selama sejuta tahun terakhir: (a) eksentrisitas; (b) kemiringan sumbu; (c) presesi iklim, yang selubungnya adalah eksentrisitas. Data: Berger dan Loutre (1991), NOAA NCEI Paleoclimatology, sebagaimana diambil pada 23 Oktober 2026.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-orbital-forcing/fig-ea2b9980f28d.svg)

*Ketiga [parameter Milankovitch](#def-b2-orbital-forcing-milankovitch) selama sejuta tahun terakhir: (a) eksentrisitas; (b) kemiringan sumbu; (c) [presesi iklim](#def-b2-orbital-forcing-elements), yang selubungnya adalah eksentrisitas. Data: Berger dan Loutre (1991), NOAA NCEI Paleoclimatology, sebagaimana diambil pada 23 Oktober 2026.*

[Presesi iklim](#def-b2-orbital-forcing-elements) berayun cepat, tetapi hanya sejauh yang dibolehkan eksentrisitas: ketika orbit hampir bulat, seperti $400\,000$ tahun yang lalu, hampir tidak penting di mana perihelion jatuh. Gambar itu menunjukkannya dengan jelas: selubung panel (c) adalah panel (a).

## 25.2 Sinar Matahari dari orbit

Insolasi harian rata-rata yang diingatkan di atas memerlukan satu bahan lagi: jarak Matahari pada hari tertentu.

**Proposisi 25.3 (Jarak dan bujur Matahari).**

Bila bujur sejati Matahari adalah $\lambda$, jarak Bumi–Matahari adalah

$$
\frac{r}{a} = \frac{1 - e^2}{1 - e\cos(\lambda - \varpi)} .
$$

Pada solstis Juni ($\lambda = 90{}^{\circ}$), sampai orde pertama dalam $e$, $(a/r)^2 \approx 1 - 2e\sin\varpi$; pada solstis Desember, $(a/r)^2 \approx 1 + 2e\sin\varpi$.

**Bukti.** Pada elips dengan Matahari di salah satu fokus, $r/a = (1 - e^2)/(1 + e\cos v)$, dengan anomali sejati $v$ yaitu sudut di Matahari dari perihelion ke Bumi. Bumi dilihat dari Matahari pada arah yang berlawanan dengan arah Matahari dilihat dari Bumi, sehingga bujurnya dilihat dari Matahari adalah $\lambda + 180{}^{\circ}$, dan $v = \lambda + 180{}^{\circ} - \varpi$, $\cos v = -\cos(\lambda - \varpi)$. Pada $\lambda = 90{}^{\circ}$, $\cos(\lambda - \varpi) = \sin\varpi$ dan $(a/r)^2 = (1 -
e\sin\varpi)^2/(1 - e^2)^2 = 1 - 2e\sin\varpi + O(e^2)$; pada $\lambda = 270{}^{\circ}$ tandanya berubah. ∎

Karena itu [presesi iklim](#def-b2-orbital-forcing-elements) adalah indeks yang tepat: indeks ini mengukur seberapa lebih dekat ke Matahari, atau lebih jauh, Bumi berada pada solstis Juni. Bila $e\sin\varpi$ besar dan positif, seperti masa kini dan jauh lebih besar lagi $116\,000$ tahun yang lalu, musim panas utara jatuh dekat aphelion dan lemah; bila besar dan negatif, seperti sekitar $10\,000$ tahun yang lalu, musim panas utara jatuh dekat perihelion.

**Contoh 25.4 (Matahari Juni pada 65∘65{}^{\circ}65∘ LU, masa kini).**

Kini $e = 0.017236$, $\varpi = 101.37{}^{\circ}$, $\varepsilon = 23.446{}^{\circ}$, dan tabel-tabelnya memakai $S_0 = 1360\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Pada solstis Juni $\delta = \varepsilon$; pada $\varphi =
65{}^{\circ}$, $\cos h_0 = -\tan65{}^{\circ}\tan23.446{}^{\circ} = -0.9301$, sehingga $h_0 = 158.44{}^{\circ} =
2.7654\,\mathrm{rad}$: Matahari berada di atas ufuk selama $2 \times 158.44/360 \times 24 = 21.1$ jam. Bagian dalam kurung rumus insolasi adalah $2.7654 \times 0.9063 \times 0.3979 + 0.4226 \times 0.9174 \times 0.3674 =
1.1397$, dan pada jarak rata-rata $\bar Q = 432.90 \times 1.1397 = 493.4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Faktor jaraknya $(a/r)^2 = 0.9671$, sehingga $\bar Q = 477.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

Hukum kedua Kepler menambahkan satu liku. Dekat aphelion Bumi bergerak lebih lambat: musim yang jatuh di sana lebih lemah tetapi berlangsung lebih lama. Musim panas utara kini sekitar 4.5 hari lebih panjang daripada musim dingin utara, dan musim semi sekitar tiga hari lebih panjang daripada musim gugur.

**Proposisi 25.5 (Rata-rata tahunan tidak bergantung pada presesi).**

Energi yang diterima per satuan luas di puncak atmosfer antara dua bujur Matahari yang tertentu tidak bergantung pada $\varpi$, dan insolasi rata-rata tahunan pada lintang mana pun sama dengan insolasi orbit lingkaran berjari-jari $a$ dikalikan dengan $1/\sqrt{1 - e^2}$. Di kutub, rata-rata tahunannya adalah

$$
\bar Q_{\text{kutub}} = \frac{S_0\sin\varepsilon}{\pi\sqrt{1 - e^2}} ,
$$

yang tumbuh seiring kemiringan ekliptika.

**Bukti.** Menurut hukum kedua Kepler, jari-jari menyapu luas dengan laju tetap $\pi ab/T$, dan luas yang tersapu ketika Bumi berputar sebesar $\mathrm d\lambda$ adalah $\frac12 r^2\,\mathrm d\lambda$, sehingga $\mathrm dt =
T r^2\,\mathrm d\lambda/(2\pi ab)$, dengan $b = a\sqrt{1 - e^2}$. Insolasi pada lintang dan bujur Matahari tertentu adalah $(a/r)^2$ kali nilainya $Q_a(\lambda)$ pada jarak $a$, sehingga energi yang diterima adalah $\int Q_a(\lambda)(a/r)^2\,\mathrm dt = \frac{T}{2\pi\sqrt{1 - e^2}}\int
Q_a(\lambda)\,\mathrm d\lambda$: jaraknya saling meniadakan, dan bersamanya $\varpi$. Selama setahun penuh, $\lambda$ menjalani $360{}^{\circ}$ dan rata-ratanya $\frac{1}{2\pi\sqrt{1-e^2}}\int_0^{2\pi}
Q_a\,\mathrm d\lambda$. Di Kutub Utara $Q_a = S_0\sin\delta = S_0\sin\varepsilon\sin\lambda$ untuk $0 < \lambda < \pi$ dan 0 di luar itu; integralnya $2S_0\sin\varepsilon$. ∎

Presesi memindahkan sinar Matahari dari satu musim ke musim lain, tidak pernah masuk ke atau keluar dari satu tahun; eksentrisitas mengubah total tahunan dengan faktor $1/\sqrt{1 - e^2}$, paling banyak $0.16\,\%$ selama sejuta tahun terakhir; kemiringan sumbu memindahkan sinar Matahari antarlintang, menaikkan rata-rata tahunan di kutub dan sedikit menurunkannya di khatulistiwa. Hanya pola musiman dan pola lintangnya yang banyak berubah, dan itulah yang ditunjukkan gambar di bawah.

![(a) Insolasi harian rata-rata pada solstis Juni, masa kini dan 10\,000 tahun yang lalu, ketika musim panas utara jatuh dekat perihelion dan kemiringan sumbu lebih besar: sekitar 50\, W\, m-2 lebih banyak di lintang tinggi utara. (b) Insolasi rata-rata tahunan untuk kedua kemiringan sumbu ekstrem selama sejuta tahun terakhir, dengan eksentrisitas masa kini: kemiringan yang lebih besar mengirim lebih banyak sinar Matahari ke kutub dan sedikit lebih sedikit ke daerah tropis. Dihitung dari unsur-unsur orbit dengan S_0 = 1360\, W\, m-2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-orbital-forcing/fig-d9b0c5a81ba1.svg)

*(a) Insolasi harian rata-rata pada solstis Juni, masa kini dan $10\,000$ tahun yang lalu, ketika musim panas utara jatuh dekat perihelion dan kemiringan sumbu lebih besar: sekitar $50\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ lebih banyak di lintang tinggi utara. (b) Insolasi rata-rata tahunan untuk kedua kemiringan sumbu ekstrem selama sejuta tahun terakhir, dengan eksentrisitas masa kini: kemiringan yang lebih besar mengirim lebih banyak sinar Matahari ke kutub dan sedikit lebih sedikit ke daerah tropis. Dihitung dari unsur-unsur orbit dengan $S_0 = 1360\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.*

## 25.3 Menghitung kurva insolasi

Kurva insolasi yang dibangun Milankovitch kini merupakan perhitungan rutin. Unsur-unsur orbit masa lalu dihitung dengan mengintegrasikan gerak planet-planet; ditabulasikan setiap seribu tahun, unsur-unsur itu menjadi masukannya. Untuk setiap umur, metode di bawah memberikan insolasi pada lintang dan musim mana pun.

**Metode 25.6 (Insolasi masa lalu).**

1. Bacalah $e$ , $\varpi$ , dan $\varepsilon$ untuk umur yang diinginkan.
2. Pilih musim berdasarkan bujur sejati Matahari $\lambda$ : $90{}^{\circ}$ untuk solstis Juni; pertengahan Juli dalam tabel-tabel itu sesuai dengan $\lambda = 120{}^{\circ}$ .
3. Hitung $\delta$ dari $\sin\delta = \sin\varepsilon\sin\lambda$ , dan sudut jam terbenamnya Matahari $h_0$ pada lintang $\varphi$ (siang atau malam kutub jika $|\tan\varphi\tan\delta| > 1$ ).
4. Hitung faktor jarak $(a/r)^2$ dengan [Proposisi 25.3](#prop-b2-orbital-forcing-distance) .
5. Kalikan: $\bar Q = (S_0/\pi)(a/r)^2(h_0\sin\varphi\sin\delta +  \cos\varphi\cos\delta\sin h_0)$ .

Bila diterapkan pada 1001 umur selama sejuta tahun terakhir, metode itu mereproduksi insolasi pertengahan Juli yang ditabulasikan pada $65{}^{\circ}$ LU sampai dalam $0.012\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, yaitu pembulatan tabel-tabel itu, dan nilai Juni yang ditabulasikan untuk masa kini secara tepat. Tabel-tabel itu menempatkan titik awal waktu pada 1950.

![Atas: insolasi harian rata-rata pada 65 LU selama 400\,000 tahun terakhir, pertengahan Juli seperti yang ditabulasikan oleh Berger dan Loutre (abu-abu, lebar) dan seperti yang dihitung dengan metode di atas (merah), dan pada solstis Juni (biru, putus-putus). Bawah: nilai pertengahan Juli yang dihitung dikurangi nilai yang ditabulasikan, dalam W\, m-2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-orbital-forcing/fig-a0bed348c492.svg)

*Atas: insolasi harian rata-rata pada $65{}^{\circ}$ LU selama $400\,000$ tahun terakhir, pertengahan Juli seperti yang ditabulasikan oleh Berger dan Loutre (abu-abu, lebar) dan seperti yang dihitung dengan metode di atas (merah), dan pada solstis Juni (biru, putus-putus). Bawah: nilai pertengahan Juli yang dihitung dikurangi nilai yang ditabulasikan, dalam $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.*

Dua ciri menonjol. Kurva itu didominasi oleh [presesi iklim](#def-b2-orbital-forcing-elements), dengan puncak-puncak yang berjarak sekitar $20\,000$ tahun yang tingginya membesar dan mengecil mengikuti eksentrisitas; kemiringan sumbu menambahkan modulasi yang lebih lambat. Dan ayunannya besar: selama $800\,000$ tahun terakhir nilai pertengahan Juli berkisar dari 388 sampai $497\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

## 25.4 Teori Milankovitch dan siklus glasial

**Sejarah — Penyinaran pada enam puluh lima derajat utara.**

Milutin Milankovitch, yang lahir pada 1879, membangun teori matematis iklim dari variasi sinar Matahari menurut musim dan lintang. Dengan menggabungkan ketiga variasi orbital, ia menghitung insolasi di berbagai lintang dan suhu permukaan yang bersesuaian selama $600\,000$ tahun sebelum 1800. Atas saran klimatolog Köppen ia memilih insolasi musim panas pada $65{}^{\circ}$ LU sebagai besaran yang menentukan: lembaran-lembaran es besar telah tumbuh dekat lintang itu, dan musim panas yang sejuk mencairkan lebih sedikit salju musim dingin, sehingga salju terakumulasi dari tahun ke tahun. Ia menganggap kemiringan sumbu sebagai parameter terpenting di antara ketiganya. Selama sekitar lima puluh tahun teori itu sebagian besar diabaikan; Milankovitch wafat pada 1958. Pada 1976 Hays, Imbrie, dan Shackleton menemukan dalam sedimen laut dalam dari $450\,000$ tahun terakhir puncak-puncak spektral variabilitas iklim pada sekitar $23\,000$, $42\,000$, dan $100\,000$ tahun, yaitu periode presesi, kemiringan sumbu, dan eksentrisitas, lalu menyimpulkan bahwa perubahan orbit Bumi adalah penyebab mendasar zaman es Kuarter.

Gambar di bawah mengulangi uji mereka pada rekaman-rekaman dari [Bab 24](https://one-course.com/books/earth/4/id/chapter/24-arsip-dan-proksi-iklim#ch-b2-climate-proxies). Gambar itu membandingkan spektrum amplitudo, yaitu kekuatan setiap periode, dari insolasi Juli pada $65{}^{\circ}$ LU dan dari tumpukan bentik, dalam dua jendela sepanjang $700\,000$ tahun.

![Spektrum amplitudo, masing-masing diskalakan terhadap maksimumnya sendiri, dari insolasi pertengahan Juli pada 65 LU selama 700\,000 tahun terakhir dan dari tumpukan bentik LR04 pada jendela yang sama dan pada 1\,250\,000 sampai 1\,950\,000 tahun yang lalu (tren dihilangkan, diberi jendela peruncing). Insolasi memiliki dayanya pada periode presesi, dekat 19 sampai 24 ribu tahun, dan pada periode kemiringan sumbu; volume es masa kini berpuncak dekat 100\,000 tahun, tempat insolasi hampir tidak memiliki apa-apa; volume es yang lebih tua berpuncak pada 41\,000 tahun.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-orbital-forcing/fig-dc1582f9a8c7.svg)

*Spektrum amplitudo, masing-masing diskalakan terhadap maksimumnya sendiri, dari insolasi pertengahan Juli pada $65{}^{\circ}$ LU selama $700\,000$ tahun terakhir dan dari tumpukan bentik LR04 pada jendela yang sama dan pada $1\,250\,000$ sampai $1\,950\,000$ tahun yang lalu (tren dihilangkan, diberi jendela peruncing). Insolasi memiliki dayanya pada periode presesi, dekat 19 sampai 24 ribu tahun, dan pada periode kemiringan sumbu; volume es masa kini berpuncak dekat $100\,000$ tahun, tempat insolasi hampir tidak memiliki apa-apa; volume es yang lebih tua berpuncak pada $41\,000$ tahun.*

### Glasial, interglasial, dan terminasi

**Definisi 25.7 (Periode glasial; interglasial; terminasi glasial).**

Dalam rekaman Kuarter, yang disebut *periode glasial* adalah selang waktu ketika lembaran es besar menutupi benua-benua utara, yang terekam oleh $\delta^{18}$O bentik yang tinggi dan muka laut yang rendah; yang disebut *interglasial* adalah selang waktu dengan sedikit es daratan di Belahan Bumi Utara di luar Greenland, seperti masa kini. Yang disebut *terminasi glasial* adalah salah satu peralihan besar yang mengakhiri suatu siklus glasial, dari kondisi glasial penuh ke kondisi interglasial, jauh lebih cepat daripada pertumbuhan yang mendahuluinya.

Selama setengah juta tahun terakhir periode iklim yang dominan mendekati $100\,000$ tahun, meskipun gaya paksa pada periode itu, yang hanya berasal dari eksentrisitas, dapat diabaikan dibandingkan dengan gaya paksa kemiringan sumbu dan presesi. Siklus-siklusnya juga timpang: $\delta^{18}$O bentik merekam penumpukan es bertahap selama sekitar $90\,000$ tahun, lalu peluruhan dalam sekitar $10\,000$ tahun, suatu gigi gergaji yang sisi turunnya adalah terminasi. [Interglasial](#def-b2-orbital-forcing-glacials) terakhir, dari sekitar $129\,000$ sampai $116\,000$ tahun yang lalu, berakhir ketika insolasi musim panas pada $65{}^{\circ}$ LU turun ke salah satu nilai terendahnya dalam $800\,000$ tahun terakhir: nilai solstis Juni mencapai minimumnya, $438.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $116\,000$ tahun yang lalu, dan nilai pertengahan Juli minimum terendah keduanya, $392.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $114\,000$ tahun yang lalu. Maksimum Glasial Terakhir datang sekitar $95\,000$ tahun kemudian.

Seberapa cepat lembaran es dapat mengikuti gaya paksanya? Model paling sederhana memperlakukan volume es $V$ sebagai besaran yang berelaksasi menuju volume $V_{\mathrm{eq}}$ yang dapat dipertahankan oleh insolasi saat itu, dengan waktu tanggap $\tau$:

$$
\frac{\mathrm dV}{\mathrm dt} = \frac{V_{\mathrm{eq}}(t) - V}{\tau} .
$$

**Proposisi 25.8 (Tanggapan yang tertunda).**

Untuk gaya paksa $V_{\mathrm{eq}} = A\sin\omega t$, penyelesaian model tunda menuju

$$
V = \frac{A}{\sqrt{1 + \omega^2\tau^2}}\,\sin\bigl(\omega(t - t_{\ell})\bigr),\qquad
  t_{\ell} = \frac{\arctan(\omega\tau)}{\omega} :
$$

es mengikuti gaya paksa lambat hampir sepenuhnya dan gaya paksa cepat hanya dengan lemah, selalu terlambat. Tanggapan terhadap jumlah sinusoid adalah jumlah tanggapan-tanggapannya: model itu tidak menciptakan periode yang tidak dimiliki gaya paksanya.

**Bukti.** Cobalah $V = B\sin\omega t + C\cos\omega t$: dengan substitusi, $\omega B\tau = -C$ dan $-\omega C\tau = A -
B$, sehingga $B = A/(1 + \omega^2\tau^2)$, $C = -\omega\tau A/(1 + \omega^2\tau^2)$, amplitudonya $\sqrt{B^2 + C^2} = A/\sqrt{1 + \omega^2\tau^2}$ dan tunda fasenya $\arctan(\omega\tau)$. Penyelesaian lain mana pun berbeda dari penyelesaian ini sebesar suatu kelipatan $\mathrm e^{-t/\tau}$, yang lenyap. Persamaan itu linear, sehingga penyelesaian-penyelesaiannya dapat dijumlahkan. ∎

![Model tunda yang digerakkan oleh insolasi pertengahan Juli pada 65 LU (makin sedikit penyinaran, makin banyak es), dibandingkan dengan tumpukan bentik, ketiganya dibakukan (rata-rata 0, simpangan baku 1); nilai positif berarti lebih banyak es. Model itu mengikuti liukan presesi tumpukan itu tetapi tidak memiliki satu pun siklus gigi gergajinya yang besar. Waktu tanggap 10\, ka adalah pilihan model.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-orbital-forcing/fig-36941bd3018a.svg)

*Model tunda yang digerakkan oleh insolasi pertengahan Juli pada $65{}^{\circ}$ LU (makin sedikit penyinaran, makin banyak es), dibandingkan dengan tumpukan bentik, ketiganya dibakukan (rata-rata 0, simpangan baku 1); nilai positif berarti lebih banyak es. Model itu mengikuti liukan presesi tumpukan itu tetapi tidak memiliki satu pun siklus gigi gergajinya yang besar. Waktu tanggap $10\,\mathrm{ka}$ adalah pilihan model.*

Selama $800\,000$ tahun terakhir, model tunda berkorelasi dengan tumpukan itu pada $r = 0.42$, sedangkan insolasi itu sendiri hanya pada $0.23$: tunda itu membantu, tetapi lembaran es yang linear tidak dapat membuat siklus $100\,000$ tahun dari gaya paksa yang tidak memilikinya. Terminasi pasti melibatkan perilaku tak linear yang memperkuat dorongan kecil dari insolasi. Kandidatnya adalah umpan balik yang bekerja pada seluruh iklim: [umpan balik es–albedo](https://one-course.com/books/earth/4/id/chapter/18-bumi-prakambrium#def-b2-precambrian-earth-ice-albedo) pada [Definisi 18.8](https://one-course.com/books/earth/4/id/chapter/18-bumi-prakambrium#def-b2-precambrian-earth-ice-albedo), karena planet dengan lebih banyak salju dan es memantulkan lebih banyak sinar Matahari; dan karbon dioksida, yang dalam inti es Antarktika naik dalam skala waktu ribuan tahun setiap kali sirkulasi pembalikan Atlantik melemah, seperti yang terjadi ketika air lelehan dari lembaran es mengalir ke Atlantik Utara. Di atas suatu ambang karbon dioksida, kondisi [interglasial](#def-b2-orbital-forcing-glacials) dapat menjadi stabil.

**Definisi 25.9 (Transisi Pleistosen Tengah).**

Yang disebut *transisi Pleistosen Tengah* adalah perubahan, dari sekitar $1\,250\,000$ sampai $700\,000$ tahun yang lalu, dari siklus glasial sekitar $41\,000$ tahun dengan amplitudo kecil ke siklus kuasi-periodik sekitar $100\,000$ tahun dengan amplitudo besar, dengan lembaran es yang lebih tebal, tanpa perubahan yang bersesuaian pada gaya paksa orbital.

Sebelum transisi itu lembaran es mengikuti kemiringan sumbu, seperti yang ditunjukkan spektrum putus-putus pada gambar di atas; satu hitungan menemukan [terminasi glasial](#def-b2-orbital-forcing-glacials) pada 67, 88, dan $52\,\%$ siklus kemiringan sumbu pada Kuarter awal, tengah, dan akhir. Teori orbital saja tidak dapat menjelaskan perubahan itu; kandidatnya adalah dinamika lembaran es itu sendiri, mungkin setelah tersingkirnya regolit lunak tempat lembaran es itu meluncur, dan penurunan bertahap karbon dioksida selama minimum glasial. Belum ada penjelasan yang disepakati secara umum.

## 25.5 Karbon dioksida dalam siklus glasial

Inti es Antarktika menunjukkan bahwa karbon dioksida mengikuti siklus glasial: antara 188 dan $194\,\mathrm{ppm}$ pada Maksimum Glasial Terakhir, antara 266 dan $282\,\mathrm{ppm}$ pada [interglasial](#def-b2-orbital-forcing-glacials) terakhir; rekaman gabungan pada [Bab 24](https://one-course.com/books/earth/4/id/chapter/24-arsip-dan-proksi-iklim#ch-b2-climate-proxies) memberikan $189.7\,\mathrm{ppm}$ untuk 19 sampai $23\,\mathrm{ka}$ dan $279.4\,\mathrm{ppm}$ selama dua ribu tahun sebelum industri. Gaya radiatifnya tumbuh mendekati logaritma konsentrasinya, $3.93\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ untuk setiap penggandaan.

**Contoh 25.10 (Orbit lawan karbon dioksida).**

Dari $189.7\,\mathrm{ppm}$ ke $279.4\,\mathrm{ppm}$, gaya radiatifnya $3.93\log_2(279.4/189.7) = 3.93 \times
0.559 = 2.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, di seluruh bola Bumi dan sepanjang tahun. Orbit, selama sejuta tahun terakhir, mengubah insolasi rata-rata global dan tahunan paling banyak $340.54 - 340.00 =
0.54\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, tetapi insolasi pertengahan Juli pada $65{}^{\circ}$ LU sekitar $109\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

Orbit adalah pengatur laju, bukan mesin. Orbit menyebarkan ulang sinar Matahari antara musim dan lintang dan menentukan waktunya; lembaran es, dengan albedo dan kelambatannya, dan karbon dioksida, dengan gaya paksa globalnya, mengubah sinyal regional menjadi perubahan iklim global.

## Latihan

Data untuk latihan, kecuali dinyatakan lain: $S_0 = 1360\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ (nilai dalam tabel-tabel itu); tahun tropis $365.2422$ hari; unsur-unsur orbit dari tabel-tabel itu, yang untuk masa kini $e = 0.017236$, $\varpi = 101.37{}^{\circ}$, $\varepsilon = 23.446{}^{\circ}$.

**Latihan 25.1 ★.**

Ambil $e = 0.0167$. (a) Hitung perbandingan jarak aphelion $a(1 + e)$ terhadap jarak perihelion $a(1 - e)$. (b) Nyatakan selisihnya sebagai persentase dari $a$. (c) Dengan faktor berapa sinar Matahari di perihelion lebih kuat daripada di aphelion?

**Solusi Latihan 25.1.**

(a) $1.0167/0.9833 = 1.0340$: aphelion $3.4\,\%$ lebih jauh daripada perihelion. (b) $a(1 + e) - a(1 - e) = 2ea = 0.0334\,a$, $3.34\,\%$ dari $a$, dekat dengan 3.4 persen yang biasa dikutip. (c) Sinar Matahari melemah sebanding dengan kebalikan kuadrat jarak: $1.0340^2 = 1.069$, sekitar $7\,\%$ lebih banyak sinar Matahari di perihelion.

**Latihan 25.2 ★.**

Tabel-tabel itu memberikan $e = 0.017236$, $\varpi = 101.37{}^{\circ}$ untuk masa kini; $e = 0.019971$, $\varpi =
293.86{}^{\circ}$ untuk $10\,000$ tahun yang lalu; $e = 0.019249$, $\varpi = 359.99{}^{\circ}$ untuk $6000$ tahun yang lalu. (a) Hitung [presesi iklim](#def-b2-orbital-forcing-elements) untuk setiap umur. (b) Untuk masing-masing, berikan bujur Matahari pada saat perihelion. (c) Pada umur berapa perihelion paling dekat dengan solstis Juni, dan pada umur berapa dengan ekuinoks September?

**Solusi Latihan 25.2.**

(a) Kini $0.017236 \times \sin101.37{}^{\circ} = 0.017236 \times 0.9804 = 0.01690$; $10\,000$ tahun yang lalu $0.019971 \times \sin293.86{}^{\circ} = 0.019971 \times (-0.9145) = -0.01826$; $6000$ tahun yang lalu $0.019249 \times \sin359.99{}^{\circ} \approx 0$, yaitu nilai-nilai dalam tabel. (b) Bujur Matahari pada saat perihelion adalah $\varpi + 180{}^{\circ}$: $281.37{}^{\circ}$ masa kini, $473.86{}^{\circ}$ $-$ $360{}^{\circ}$ $=$ $113.86{}^{\circ}$ $10\,000$ tahun yang lalu, $179.99{}^{\circ}$ $6000$ tahun yang lalu. (c) $10\,000$ tahun yang lalu perihelion jatuh $24{}^{\circ}$ setelah solstis Juni, yang terdekat dengannya di antara ketiganya, pada musim panas utara; $6000$ tahun yang lalu perihelion jatuh pada ekuinoks September, tempat [presesi iklim](#def-b2-orbital-forcing-elements) bernilai nol.

**Latihan 25.3 ★.**

Sumbu rotasi berpresesi dengan periode sekitar $25\,770$ tahun relatif terhadap bintang-bintang, sementara orbit berputar dengan periode sekitar $112\,000$ tahun. Anggaplah kedua gerak itu menggeser perihelion relatif terhadap ekuinoks dalam arah yang sama, sehingga frekuensinya dijumlahkan. (a) Gabungkan kedua frekuensi itu untuk menemukan periode perihelion bergerak melalui musim-musim. (b) Bandingkan dengan periode utama [presesi iklim](#def-b2-orbital-forcing-elements), $19.0$, $22.4$, dan $23.7$ ribu tahun.

**Solusi Latihan 25.3.**

(a) Frekuensinya dijumlahkan: $1/25.77 + 1/112 = 0.03880 + 0.00893 = 0.047\,73\,\mathrm{ka}^{-1}$, periode sebesar $1/0.04773 = 21.0$ ribu tahun. (b) Hasilnya jatuh di dalam rentang periode utama, 19.0 sampai 23.7 ribu tahun. Satu angka tunggal tidak dapat mereproduksi semuanya: perputaran orbit itu sendiri merupakan jumlah beberapa gerak dengan frekuensi berbeda, yang masing-masing bergabung dengan presesi sumbu untuk memberikan satu periode [presesi iklim](#def-b2-orbital-forcing-elements); rata-ratanya adalah $23\,000$ tahun yang biasa dikutip.

**Latihan 25.4 ★.**

Dengan [Proposisi 25.5](#prop-b2-orbital-forcing-annual) dan $e = 0.0167$, hitung insolasi rata-rata tahunan di Kutub Utara untuk kemiringan sumbu $22.1{}^{\circ}$ dan $24.5{}^{\circ}$. Berapa persen insolasi itu bertambah di antara keduanya?

**Solusi Latihan 25.4.**

$\sqrt{1 - 0.0167^2} = 0.99986$. Untuk $22.1{}^{\circ}$: $1360 \times 0.37622/(\pi \times 0.99986) =
162.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; untuk $24.5{}^{\circ}$: $1360 \times 0.41469/(\pi \times 0.99986) =
179.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Perbandingannya $\sin24.5{}^{\circ}/\sin22.1{}^{\circ} = 1.102$: rata-rata tahunan di kutub bertambah $10.2\,\%$, sekitar $16.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, di antara kedua ekstrem itu.

**Latihan 25.5 ★★.**

(a) Hitung secara tepat faktor jarak $(a/r)^2$ pada solstis Juni masa kini dan $116\,000$ tahun yang lalu ($e = 0.043988$, $\varpi = 92.71{}^{\circ}$), dan bandingkan dengan pendekatan $1 -
2e\sin\varpi$. (b) Hitung keduanya pada solstis Desember. (c) Mengapa pendekatan itu lebih buruk $116\,000$ tahun yang lalu?

**Solusi Latihan 25.5.**

(a) Pada solstis Juni berlaku $(a/r)^2 = \bigl((1 - e\sin\varpi)/(1 - e^2)\bigr)^2$. Kini $e\sin\varpi
= 0.016898$ dan $(0.983102/0.999703)^2 = 0.9671$, dibandingkan dengan $1 - 0.033796 = 0.9662$; $116\,000$ tahun yang lalu $e\sin\varpi = 0.043939$ dan $(0.956061/0.998065)^2 = 0.9176$, dibandingkan dengan $1 -
0.087878 = 0.9121$. (b) Pada solstis Desember $(a/r)^2 = \bigl((1 + e\sin\varpi)/(1 -
e^2)\bigr)^2$: kini $1.0347$ dibandingkan dengan $1.0338$, $116\,000$ tahun yang lalu $1.0940$ dibandingkan dengan $1.0879$. (c) Suku-suku yang diabaikan berorde $e^2$: $(1 - x)^2/(1 - e^2)^2 \approx 1 - 2x + x^2 + 2e^2$ dengan $x = e\sin\varpi$, di sini sekitar $3e^2$. Suku-suku itu bernilai $3 \times 0.0172^2 = 0.0009$ masa kini dan $3
\times 0.0440^2 = 0.0058$ $116\,000$ tahun yang lalu, dekat dengan selisih yang ditemukan, $0.0009$ dan $0.0055$: pendekatan itu enam kali lebih buruk ketika eksentrisitasnya dua setengah kali lebih besar.

**Latihan 25.6 ★★.**

Ulangi [Contoh 25.4](#ex-b2-orbital-forcing-today) langkah demi langkah: sudut jam terbenamnya Matahari pada $65{}^{\circ}$ LU pada solstis Juni, panjang siang hari, insolasi pada jarak rata-rata, dan insolasi masa kini.

**Solusi Latihan 25.6.**

Pada solstis Juni $\delta = \varepsilon = 23.446{}^{\circ}$. $\cos h_0 = -\tan65{}^{\circ}\tan23.446{}^{\circ}
= -2.14451 \times 0.43369 = -0.93006$, sehingga $h_0 = 158.44{}^{\circ} = 2.7654\,\mathrm{rad}$. Siang hari berlangsung $2 \times 158.44/15 = 21.13$ jam (Bumi berputar $15{}^{\circ}$ per jam). Dengan $\sin65{}^{\circ} = 0.90631$, $\cos65{}^{\circ} = 0.42262$, $\sin\delta = 0.39788$, $\cos\delta = 0.91744$, dan $\sin h_0 = 0.36742$, bagian dalam kurung adalah $2.7654 \times 0.90631 \times 0.39788 + 0.42262 \times 0.91744 \times 0.36742 = 0.99720
+ 0.14246 = 1.13966$. Pada jarak rata-rata $\bar Q = (1360/\pi) \times 1.13966 = 432.90 \times 1.13966
= 493.4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; dengan faktor jarak dari [Latihan 25.5](#exo-b2-orbital-forcing-5), $493.4 \times
0.9671 = 477.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Sebagai pemeriksaan, langkah-langkah yang sama pada $60{}^{\circ}$ LU memberikan $475.96\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, sedangkan tabel-tabel itu memberikan $475.95$.

**Latihan 25.7 ★★.**

(a) Dengan memakai $\mathrm dt = T(r/a)^2\,\mathrm d\lambda/(2\pi\sqrt{1 - e^2})$ dan $(r/a)^2 \approx 1 +
2e\cos(\lambda - \varpi)$, tunjukkan bahwa setengah tahun dari ekuinoks Maret sampai ekuinoks September berlangsung sekitar $T/2 + (2T/\pi)\,e\sin\varpi$. (b) Hitung berapa hari setengah tahun itu melebihi setengah tahun lainnya pada masa kini. (c) Bandingkan dengan 4.5 hari selisih musim panas utara terhadap musim dingin dan tiga hari selisih musim semi terhadap musim gugur.

**Solusi Latihan 25.7.**

(a) Ekuinoks Maret adalah $\lambda = 0$, ekuinoks September $\lambda = \pi$. Dengan $\sqrt{1 - e^2}
\approx 1$, durasinya $\frac{T}{2\pi}\int_0^{\pi}\bigl(1 + 2e\cos(\lambda -
\varpi)\bigr)\,\mathrm d\lambda = \frac{T}{2\pi}\bigl(\pi + 2e[\sin(\lambda - \varpi)]_0^{\pi}\bigr)
= \frac{T}{2\pi}(\pi + 4e\sin\varpi) = \frac T2 + \frac{2T}{\pi}e\sin\varpi$. (b) Setengah tahun yang lain lebih pendek dengan jumlah yang sama, sehingga selisihnya $(4T/\pi)\,e\sin\varpi = (4 \times
365.2422/\pi) \times 0.016898 = 465.04 \times 0.016898 = 7.86$ hari. (c) Musim semi dan musim panas bersama-sama melebihi musim gugur dan musim dingin sebesar $4.5 + 3 = 7.5$ hari; kedua selisih yang dikutip itu dibulatkan, dan kesesuaiannya berada di dalam pembulatan itu.

**Latihan 25.8 ★★.**

Selama sejuta tahun terakhir eksentrisitas berkisar dari $0.0046$ sampai $0.0565$. (a) Hitung insolasi rata-rata global dan tahunan $S_0/(4\sqrt{1 - e^2})$ pada kedua ekstrem itu. (b) Seberapa besar, dalam $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ dan dalam persen, orbit mengubahnya? (c) Bandingkan dengan rentang insolasi pertengahan Juli pada $65{}^{\circ}$ LU, 388 sampai $497\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

**Solusi Latihan 25.8.**

(a) Untuk $e = 0.0046$: $\sqrt{1 - e^2} = 0.999989$ dan $340/0.999989 = 340.004\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Untuk $e = 0.0565$: $\sqrt{1 - 0.003192} = 0.998403$ dan $340/0.998403 = 340.544\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) Selisihnya $0.54\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $0.16\,\%$. (c) Insolasi pertengahan Juli pada $65{}^{\circ}$ LU berayun sebesar $497 - 388 = 109\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, sekitar $25\,\%$ dari rata-ratanya dan dua ratus kali perubahan rata-rata tahunan global: orbit memengaruhi iklim dengan memindahkan sinar Matahari antara musim dan lintang, bukan dengan mengubah totalnya.

**Latihan 25.9 ★★.**

Dengan model tunda dan $\tau = 10\,\mathrm{ka}$, hitung amplitudo relatif dan tunda volume es untuk gaya paksa sinusoidal dengan periode 23, 41, dan $100$ ribu tahun. Pita mana yang diunggulkan lembaran es, dan mengapa?

**Solusi Latihan 25.9.**

Dengan $\omega = 2\pi/P$ dan $\tau = 10\,\mathrm{ka}$: untuk $P = 23$, $\omega\tau = 2.732$, amplitudo relatif $1/\sqrt{1 + 7.464} = 0.344$ dan tunda $\arctan(2.732)/\omega = 1.2199/0.2732 = 4.47$ ka; untuk $P = 41$, $\omega\tau = 1.532$, amplitudo $0.546$, tunda $0.9926/0.1532 = 6.48$ ka; untuk $P =
100$, $\omega\tau = 0.628$, amplitudo $0.847$, tunda $0.5610/0.0628 = 8.93$ ka. Lembaran es mengunggulkan gaya paksa yang lambat: lembaran es mengikuti $85\,\%$ siklus $100\,000$ tahun tetapi hanya sepertiga siklus presesi, karena waktunya terlalu sedikit untuk tumbuh atau menyusut sebelum gaya paksa yang cepat berbalik arah. Lembaran es bertindak sebagai tapis lolos-rendah.

**Latihan 25.10 ★★★.**

Insolasi pertengahan Juli pada $65{}^{\circ}$ LU hampir tidak memiliki daya pada $100\,000$ tahun, tetapi volume es selama $700\,000$ tahun terakhir memiliki sebagian besar dayanya di sana. (a) Tunjukkan bahwa jika gaya paksanya $A_1\sin
\omega_1 t + A_2\sin\omega_2 t$, model tunda hanya menanggapi pada $\omega_1$ dan $\omega_2$. (b) Tunjukkan bahwa tanggapan yang memuat suku $V^2$, misalnya $\mathrm dV/\mathrm dt = (V_{\mathrm{eq}} -
V)/\tau + kV^2$, dapat menciptakan frekuensi $\omega_1 - \omega_2$ dan $\omega_1 + \omega_2$, dengan menyubstitusikan penyelesaian linear ke dalam $V^2$. (c) Dua suku presesi dengan periode $23.7$ dan $19.0$ ribu tahun berinterferensi dengan periode berapa? Apa kesimpulanmu tentang siklus $100\,000$ tahun?

**Solusi Latihan 25.10.**

(a) Persamaan itu linear: jika $V_1$ menanggapi $A_1\sin\omega_1t$ dan $V_2$ menanggapi $A_2\sin\omega_2t$, $V_1 + V_2$ menanggapi jumlahnya. Menurut [Proposisi 25.8](#prop-b2-orbital-forcing-lag) $V_1$ dan $V_2$ adalah sinusoid dengan frekuensi $\omega_1$ dan $\omega_2$ (setelah transiennya lenyap), sehingga tanggapan itu tidak memuat frekuensi lain. (b) Dengan $V \approx B_1\sin(\omega_1t - \phi_1) +
B_2\sin(\omega_2t - \phi_2)$,

$$
\begin{aligned}
  V^2 &= \tfrac12(B_1^2 + B_2^2) - \tfrac12B_1^2\cos(2\omega_1t - 2\phi_1) -
  \tfrac12B_2^2\cos(2\omega_2t - 2\phi_2)\\
  &\quad + B_1B_2\bigl[\cos\bigl((\omega_1 - \omega_2)t - \phi_1 + \phi_2\bigr) -
  \cos\bigl((\omega_1 + \omega_2)t - \phi_1 - \phi_2\bigr)\bigr],
\end{aligned}
$$

sehingga suku $kV^2$ memaksa persamaan itu pada frekuensi selisih dan frekuensi jumlah, serta pada frekuensi ganda. (c) $1/(1/19.0 - 1/23.7) = 1/(0.05263 - 0.04219) = 95.8$ ribu tahun; pasangan 19.0 dan 22.4 memberikan 125 ribu tahun. Frekuensi selisih suku-suku presesi jatuh dalam pita eksentrisitas, sebagaimana seharusnya, karena [presesi iklim](#def-b2-orbital-forcing-elements) adalah $e\sin\varpi$. Karena itu lembaran es yang tak linear dapat menarik irama $100\,000$ tahun dari presesi; lembaran es yang linear tidak dapat. Siklus $100\,000$ tahun merupakan bukti perilaku tak linear, meskipun perhitungan ini saja tidak menunjukkan perilaku yang mana.

**Latihan 25.11 ★★★.**

Di Kutub Utara, energi yang diterima per meter persegi selama siang kutub adalah $E = \int S_0(a/r)^2
\sin\delta\,\mathrm dt$ selama setengah tahun ketika $\delta > 0$. (a) Tunjukkan dengan bukti [Proposisi 25.5](#prop-b2-orbital-forcing-annual) bahwa $E = S_0T\sin\varepsilon/(\pi\sqrt{1 - e^2})$. (b) Hitung $E$ dalam $\mathrm{GJ}\,\mathrm{m}^{-2}$ untuk $\varepsilon = 22.1{}^{\circ}$ dan $24.5{}^{\circ}$, dengan $e = 0.0167$ dan $T$ = 365.25 hari. (c) Presesi tidak muncul dalam $E$. Mengapa presesi tetap dapat mengubah pencairan suatu lembaran es?

**Solusi Latihan 25.11.**

(a) Seperti dalam bukti [Proposisi 25.5](#prop-b2-orbital-forcing-annual), $(a/r)^2\,\mathrm dt =
T\,\mathrm d\lambda/(2\pi\sqrt{1 - e^2})$, dan $\sin\delta = \sin\varepsilon\sin\lambda$ positif untuk $0 < \lambda < \pi$. Jadi $E = \frac{S_0T\sin\varepsilon}{2\pi\sqrt{1 - e^2}}\int_0^{\pi}\sin\lambda
\,\mathrm d\lambda = S_0T\sin\varepsilon/(\pi\sqrt{1 - e^2})$. (b) $T = 365.25 \times 86400 =
3.1558 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, $S_0T/\pi = 1.3661 \times 10^{10}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-2}$; untuk $22.1{}^{\circ}$, $E = 1.3661 \times 10^{10}
\times 0.37622/0.99986 = 5.14\,\mathrm{GJ}\,\mathrm{m}^{-2}$; untuk $24.5{}^{\circ}$, $5.67\,\mathrm{GJ}\,\mathrm{m}^{-2}$, $10\,\%$ lebih banyak. (c) Presesi menentukan bagaimana energi yang sama tersebar dalam waktu: musim panas di perihelion lebih singkat dan lebih intens, musim panas di aphelion lebih panjang dan lebih lemah. Pencairan baru dimulai di atas $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, sehingga musim panas yang singkat dan intens dapat mencairkan lebih banyak daripada musim panas yang panjang dan sejuk yang menerima total yang sama.

**Latihan 25.12 ★★★.**

(a) Hitung gaya radiatif dari kenaikan karbon dioksida dari $189.7\,\mathrm{ppm}$ ke $279.4\,\mathrm{ppm}$, dengan $3.93\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ per penggandaan dan hukum logaritmik. (b) Rentang yang diberikan untuk Maksimum Glasial Terakhir dan [interglasial](#def-b2-orbital-forcing-glacials) terakhir adalah 188 sampai $194\,\mathrm{ppm}$ dan 266 sampai $282\,\mathrm{ppm}$: hitung gaya radiatif terkecil dan terbesar yang dimungkinkannya. (c) Bandingkan dengan perubahan insolasi tahunan global pada [Latihan 25.8](#exo-b2-orbital-forcing-8) dan dengan ayunan insolasi musim panas pada $65{}^{\circ}$ LU. Mana yang menjadi pemicu dan mana yang menjadi penguat?

**Solusi Latihan 25.12.**

(a) $3.93\log_2(279.4/189.7) = 3.93\log_2 1.4729 = 3.93 \times 0.5586 = 2.20\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) Kenaikan terkecil adalah dari 194 ke $266\,\mathrm{ppm}$: $3.93\log_2 1.3711 = 3.93 \times 0.4554 =
1.79\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; yang terbesar dari 188 ke $282\,\mathrm{ppm}$: $3.93\log_2 1.5 = 3.93 \times 0.5850 =
2.30\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (c) Gaya radiatif karbon dioksida empat kali perubahan terbesar insolasi tahunan global, $0.54\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, dan bekerja di mana-mana dan sepanjang tahun; insolasi musim panas pada $65{}^{\circ}$ LU berayun sekitar $109\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, tetapi pada satu lintang dan satu musim. Orbit adalah pemicunya, melalui musim panas lembaran es utara; karbon dioksida, bersama [umpan balik es–albedo](https://one-course.com/books/earth/4/id/chapter/18-bumi-prakambrium#def-b2-precambrian-earth-ice-albedo), adalah penguat yang menyebarkan perubahan itu ke seluruh bola Bumi.

**Soal 25.1.**

Soal akhir pekan — Sinar Matahari pada $65{}^{\circ}$ LU

[Interglasial](#def-b2-orbital-forcing-glacials) terakhir berakhir sekitar $116\,000$ tahun yang lalu. Berapa banyak penyinaran yang diterima musim panas di lintang lembaran-lembaran es besar utara saat itu, dibandingkan dengan masa kini? Gunakan data latihan. Tabel-tabel itu memberikan, untuk $116\,000$ tahun yang lalu, $e = 0.0440$, $\varpi = 92.7{}^{\circ}$, $\varepsilon = 22.52{}^{\circ}$; untuk masa kini, dibulatkan dengan cara yang sama, $e = 0.0172$, $\varpi = 101.4{}^{\circ}$, $\varepsilon = 23.45{}^{\circ}$.

**Bagian I — Orbit dulu dan kini.**

1. Hitung [presesi iklim](#def-b2-orbital-forcing-elements) dulu dan kini.
2. Hitung jarak perihelion dan aphelion, dalam satuan $a$ , dulu dan kini.
3. Pada bujur Matahari berapa Bumi berada di perihelion dulu, dan kini? Dekat solstis yang mana?
4. Dengan faktor berapa sinar Matahari di perihelion lebih kuat daripada di aphelion, dulu dan kini?
5. Apakah kemiringan sumbu lebih besar atau lebih kecil daripada masa kini? Apa artinya bagi musim panas di lintang tinggi?
6. Hitung insolasi rata-rata global dan tahunan dulu dan kini. Apakah selisihnya berarti?

**Bagian II — Jarak pada solstis Juni.**

7. Tunjukkan dari [Proposisi 25.3](#prop-b2-orbital-forcing-distance) bahwa pada solstis Juni $r/a = (1 -  e^2)/(1 - e\sin\varpi)$ .
8. Hitung $r/a$ pada solstis Juni dulu dan kini.
9. Hitung $(a/r)^2$ dulu dan kini.
10. Bandingkan dengan pendekatan $1 - 2e\sin\varpi$ .
11. Berapa persen sinar Matahari solstis lebih lemah daripada pada jarak rata-rata, dulu dan kini?

**Bagian III — Penyinaran pada $65{}^{\circ}$ LU.**

12. Berikan deklinasi Matahari pada solstis Juni dulu dan kini.
13. Hitung sudut jam terbenamnya Matahari pada $65{}^{\circ}$ LU pada hari itu, dulu dan kini.
14. Simpulkan panjang siang harinya.
15. Hitung insolasi harian rata-rata pada jarak rata-rata.
16. Hitung insolasi harian rata-rata, dulu dan kini.
17. Tabel-tabel itu memberikan, untuk pertengahan Juli, 397.60 dan $426.76\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ . Mengapa nilai solstis lebih tinggi?
18. Mana yang lebih berpengaruh pada selisih antara dulu dan kini, kemiringan sumbu atau jarak?

**Bagian IV — Jawaban lembaran es.**

19. Dalam model tunda dengan $\tau = 10\,\mathrm{ka}$ , berapa bagian dari perubahan mendadak $V_{\mathrm{eq}}$ yang telah dicapai lembaran es setelah 5, 10, dan $20\,\mathrm{ka}$ ?
20. Insolasi Juni pada $65{}^{\circ}$ LU turun dari maksimum sekitar $128\,000$ tahun yang lalu ke minimum $116\,000$ tahun yang lalu, setengah siklus presesi. Untuk sinusoid dengan periode $23\,\mathrm{ka}$ , berapa bagian gaya paksa yang diikuti lembaran es, dan seberapa terlambat?
21. Mengapa lembaran es tidak dapat mencapai, dalam satu siklus presesi, ukuran yang dapat dipertahankan oleh insolasi musim panas yang rendah?
22. Es memerlukan sekitar $90\,000$ tahun untuk menumpuk sampai Maksimum Glasial Terakhir dan sekitar $10\,000$ tahun untuk mencair. Mengapa model tunda tidak dapat menghasilkan ketimpangan itu?
23. Karbon dioksida berada antara 266 dan $282\,\mathrm{ppm}$ pada [interglasial](#def-b2-orbital-forcing-glacials) terakhir dan antara 188 dan $194\,\mathrm{ppm}$ pada Maksimum Glasial Terakhir. Bagaimana karbon dioksida membantu perubahan penyinaran regional menjadi perubahan iklim global?
24. Sebagai ringkasan: berapa insolasi harian rata-rata pada $65{}^{\circ}$ LU pada solstis Juni ketika [interglasial](#def-b2-orbital-forcing-glacials) terakhir berakhir, $116\,000$ tahun yang lalu?

**Solusi Soal 25.1.**

**1.** Dulu $0.0440 \times \sin92.7{}^{\circ} = 0.0440 \times 0.99889 = 0.04395$; kini $0.0172 \times
\sin101.4{}^{\circ} = 0.0172 \times 0.98027 = 0.01686$, sekitar 2.6 kali lebih kecil. **2.** Dulu $1 - 0.0440 = 0.956$ dan $1 + 0.0440 = 1.044$; kini $0.9828$ dan $1.0172$. **3.** Pada $\lambda = \varpi + 180{}^{\circ}$: dulu $272.7{}^{\circ}$, kini $281.4{}^{\circ}$, keduanya dekat solstis Desember ($\lambda = 270{}^{\circ}$); dulu Bumi melewati perihelion kurang dari tiga hari setelahnya, dan aphelion pada solstis Juni. **4.** Dulu $(1.044/0.956)^2 = 1.0921^2 = 1.193$, kini $(1.0172/0.9828)^2 = 1.0350^2 = 1.071$: $19\,\%$ lebih banyak sinar Matahari di perihelion dulu, $7\,\%$ kini. **5.** Lebih kecil, $22.52{}^{\circ}$ dibandingkan dengan $23.45{}^{\circ}$: Matahari musim panas berdiri lebih rendah di lintang tinggi, dan lintang tinggi menerima lebih sedikit sinar Matahari pada musim panas dan sepanjang tahun. **6.** Dulu $340/\sqrt{1 - 0.001936} = 340/0.999032 = 340.33\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; kini $340/0.999852
= 340.05\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Selisihnya, $0.28\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ atau kurang dari satu per seribu, tidak berarti. **7.** Pada $\lambda = 90{}^{\circ}$, $\cos(90{}^{\circ} - \varpi) = \sin\varpi$ dalam [Proposisi 25.3](#prop-b2-orbital-forcing-distance). **8.** Dulu $(1 - 0.001936)/(1 - 0.04395) = 0.998064/0.956049 = 1.04395$; kini $(1 -
0.000296)/(1 - 0.01686) = 0.999704/0.983139 = 1.01685$. **9.** Dulu $1/1.04395^2 = 0.91758$; kini $1/1.01685^2 = 0.96714$. **10.** Dulu $1 - 2 \times 0.04395 = 0.91210$; kini $1 - 2 \times 0.01686 = 0.96628$: pendekatan itu meleset sebesar $0.0055$ dulu, $0.0009$ kini. **11.** Dulu $1 - 0.91758 = 8.2\,\%$ lebih lemah, kini $3.3\,\%$. **12.** Pada solstis $\delta = \varepsilon$: $22.52{}^{\circ}$ dulu, $23.45{}^{\circ}$ kini. **13.** Dulu $\cos h_0 = -2.14451 \times 0.41462 = -0.88916$, $h_0 = 152.77{}^{\circ} =
2.6663\,\mathrm{rad}$; kini $\cos h_0 = -2.14451 \times 0.43378 = -0.93023$, $h_0 = 158.47{}^{\circ} =
2.7659\,\mathrm{rad}$. **14.** $2h_0/15{}^{\circ}$ per jam: dulu $20.37$ jam, kini $21.13$ jam. **15.** Dulu $2.6663 \times 0.90631 \times 0.38301 + 0.42262 \times 0.92375 \times 0.45759 =
0.92554 + 0.17864 = 1.10418$ ($1.104\,17$ tanpa pembulatan), dan $432.90 \times 1.10417 =
478.0\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; kini $2.7659 \times 0.90631 \times 0.39795 + 0.42262 \times 0.91741 \times
0.36697 = 0.99757 + 0.14228 = 1.13985$ ($1.139\,82$ tanpa pembulatan), dan $432.90 \times 1.13982 = 493.4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. **16.** Dulu $478.0 \times 0.91758 = 438.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; kini $493.4 \times 0.96714 =
477.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $38.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ lebih banyak daripada dulu. **17.** Pada pertengahan Juli bujur Matahari adalah $120{}^{\circ}$: $\sin\delta = \sin\varepsilon\sin120{}^{\circ}$, deklinasi sekitar $20{}^{\circ}$ alih-alih $23{}^{\circ}$, sehingga siang lebih pendek dan Matahari lebih rendah: pada $65{}^{\circ}$ LU insolasi harian rata-rata paling besar dekat solstis, ketika deklinasinya paling besar. **18.** Dengan jarak masa kini, perubahan kemiringan sumbu saja mengurangi $(493.4 - 478.0) \times
0.96714 = 14.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; dengan kemiringan sumbu yang lama, jarak saja mengurangi $478.0 \times
(0.96714 - 0.91758) = 23.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Keduanya berjumlah $38.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; jarak berperan sekitar tiga perlima. **19.** Setelah perubahan mendadak, lembaran es telah mencapai $1 - \mathrm e^{-t/\tau}$ darinya: $1 - \mathrm e^{-0.5} = 0.39$ setelah $5\,\mathrm{ka}$, $1 - \mathrm e^{-1} = 0.63$ setelah $10\,\mathrm{ka}$, $1 - \mathrm e^{-2} = 0.86$ setelah $20\,\mathrm{ka}$. **20.** $\omega\tau = 2\pi \times 10/23 = 2.732$: lembaran es mengikuti $1/\sqrt{1 + 2.732^2} =
0.34$ dari gaya paksa, dengan keterlambatan $\arctan(2.732)/\omega = 4.5$ ka. **21.** Setengah siklus presesi, sekitar 11 sampai $12\,\mathrm{ka}$, kira-kira sama dengan satu waktu tanggap: sebelum lembaran es menempuh dua pertiga jalannya, insolasi berbalik dan menariknya kembali. **22.** Dalam model linear, es tumbuh dan menyusut dengan laju yang sama untuk gaya paksa yang sama besarnya: gaya paksa yang naik dan yang turun memberikan tanggapan yang saling mencerminkan. Penumpukan lambat yang diikuti keruntuhan cepat memerlukan tanggapan yang bergantung pada keadaan atau arah perubahan, yaitu tanggapan yang tak linear. **23.** Karbon dioksida naik sebesar $3.93\log_2(266/194) = 1.8$ sampai $3.93\log_2(282/188) =
2.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ dari glasial ke [interglasial](#def-b2-orbital-forcing-glacials): gaya paksa di seluruh bola Bumi dan sepanjang tahun. Karena dilepaskan ketika sirkulasi Atlantik melemah, karbon dioksida membawa perubahan musim panas utara ke seluruh planet, dan, bersama albedo es yang menyusut, memperkuatnya. **24.** Ketika [interglasial](#def-b2-orbital-forcing-glacials) terakhir berakhir, insolasi harian rata-rata solstis Juni pada $65{}^{\circ}$ LU sekitar **$439\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$**, $39\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ lebih kecil daripada masa kini dan merupakan nilai terendahnya dalam siklus itu.