---
title: "Orbitale forcering en de ijstijden"
book: "Universitaire aard- en ruimtewetenschappen — jaar 2"
subject: earth
language: nl
chapter: 25
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/25-orbitale-forcering-en-de-ijstijden
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# Hoofdstuk 25 — Orbitale forcering en de ijstijden

Over het laatste miljoen jaar heeft de vorm van de baan van de aarde het zonlicht dat de hele planeet in een jaar ontvangt met minder dan twee duizendsten veranderd: tussen $340.00$ en $340.54\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ aan de top van de atmosfeer. Over hetzelfde miljoen jaar schommelde de daggemiddelde instraling van half juli op $65{}^{\circ}$ NB tussen ongeveer 388 en $500\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, met meer dan een kwart. De ijstijden volgden het tweede getal, niet het eerste. Dit hoofdstuk berekent beide uit de elementen van de baan van de aarde, en vraagt hoe het zonlicht op één breedte in één seizoen het tempo kan aangeven van de groei en het verval van ijskappen die continenten bedekken.

**Wat je al weet.**

**Uit de natuurkundeboeken**: de ellips, haar halve lange as $a$ en excentriciteit $e$, de wetten van Kepler. **Uit Boek 3**: de ecliptica en de scheefstand $\varepsilon$, de declinatie van de zon $\delta$ met $\sin\delta = \sin\varepsilon\sin\lambda$ ($\lambda$ de ware lengte van de zon, langs de ecliptica geteld vanaf het lentepunt), het tropisch jaar, de daggemiddelde instraling

$$
\bar Q = \frac{S_0}{\pi}\left(\frac{a}{r}\right)^{2}\bigl(h_0\sin\varphi\sin\delta +
  \cos\varphi\cos\delta\sin h_0\bigr),\qquad \cos h_0 = -\tan\varphi\tan\delta ,
$$

en haar globaal en jaarlijks gemiddelde, $S_0/(4\sqrt{1 - e^2})$. **Uit de schoolboeken**: de glaciale cyclus en het Laatste Glaciale Maximum; stralingsforcering. **Uit eerdere hoofdstukken**: de [ijs–albedoterugkoppeling](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/18-de-precambrische-aarde#def-b2-precambrian-earth-ice-albedo) ([Definitie 18.8](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/18-de-precambrische-aarde#def-b2-precambrian-earth-ice-albedo)); de benthische stapelreeks, de reeks van EPICA Dome C en ouderdomsmodellen ([Hoofdstuk 24](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/24-klimaatarchieven-en-proxys#ch-b2-climate-proxies)).

## 25.1 De baan en haar drie elementen

De baan van de aarde is een ellips met de zon in één brandpunt. De planeten, vooral Jupiter en Saturnus, vervormen haar langzaam en draaien haar in haar vlak; de aantrekking van de zon en de maan op de equatoriale uitstulping doet de rotatieas tollen als een tol. Drie grootheden beschrijven wat er voor het zonlicht toe doet: hoe langgerekt de ellips is, hoe scheef de as staat, en waar langs de baan de seizoenen vallen.

**Definitie 25.1 (Lengte van het perihelium; klimatologische precessie).**

De *lengte van het perihelium* $\varpi$ is de hoek, gemeten in het baanvlak vanaf de richting van het lentepunt, tussen die richting en de richting van het perihelium gezien vanaf de zon; ze wordt geteld vanaf het bewegende lentepunt, dus ze verandert zowel door het tollen van de as als door het draaien van de baan. De *klimatologische precessie* is de grootheid $e\sin\varpi$, ook precessieindex genoemd.

![De baan van de aarde gezien vanaf de noordkant, met de excentriciteit overdreven tot 0.3 en de huidige lengte van het perihelium, = 101.4. De aarde beweegt tegen de klok in (pijl); de punten geven haar positie bij de equinoxen en zonnewenden aan. Het perihelium valt enkele dagen na de decemberzonnewende, het aphelium enkele dagen na de junizonnewende. Schematisch.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-orbital-forcing/fig-a6a17e15d9d2.svg)

*De baan van de aarde gezien vanaf de noordkant, met de excentriciteit overdreven tot 0.3 en de huidige [lengte van het perihelium](#def-b2-orbital-forcing-elements), $\varpi = 101.4{}^{\circ}$. De aarde beweegt tegen de klok in (pijl); de punten geven haar positie bij de equinoxen en zonnewenden aan. Het perihelium valt enkele dagen na de decemberzonnewende, het aphelium enkele dagen na de junizonnewende. Schematisch.*

Gezien vanaf de aarde beweegt de zon langs de ecliptica, en haar ware lengte $\lambda$ is de hoek vanaf het lentepunt: $\lambda = 90{}^{\circ}$ bij de junizonnewende, $270{}^{\circ}$ bij de decemberzonnewende. De aarde staat in het perihelium wanneer de zon in de richting tegenover het perihelium staat, bij $\lambda = \varpi + 180{}^{\circ}$; vandaag is $\varpi = 101.37{}^{\circ}$ en valt het perihelium bij $\lambda = 281.37{}^{\circ}$, ongeveer elf dagen na de decemberzonnewende, rond 3 januari.

**Definitie 25.2 (Milankovitch-parameters).**

De *Milankovitch-parameters* zijn de drie baangrootheden die de verdeling van het zonlicht over de aarde door de seizoenen en de breedten bepalen: de excentriciteit $e$, de scheefstand $\varepsilon$ en de [klimatologische precessie](#def-b2-orbital-forcing-elements) $e\sin\varpi$. De *Milankovitch-theorie* stelt dat hun trage variaties het tempo aangeven van de groei en het verval van de kwartaire ijskappen, via de zomerinstraling op hoge noordelijke breedten.

Elke parameter varieert met zijn eigen ritmen. De excentriciteit heeft hoofdperioden bij $95\,000$, $99\,000$, $124\,000$ en $131\,000$ jaar, die samen een cyclus van ongeveer $100\,000$ jaar vormen, en een periode van $405\,000$ jaar, de stabielste van alle; over het laatste miljoen jaar varieerde ze van $0.0046$ tot $0.0565$, en vandaag, met $0.0172$, neemt ze langzaam af. De scheefstand varieert met een hoofdperiode van $40\,978$ jaar, tussen $22.1{}^{\circ}$ en $24.5{}^{\circ}$ over het laatste miljoen jaar; met $23.44{}^{\circ}$ neemt ze af, voorbij haar laatste maximum van ongeveer $10\,000$ jaar geleden. De as tolt rond in ongeveer $25\,770$ jaar, terwijl de baan in ongeveer $112\,000$ jaar draait; samen verplaatsen ze het perihelium door de seizoenen met hoofdperioden bij $19\,000$, $22\,400$ en $23\,700$ jaar.

![De drie Milankovitch-parameters over het laatste miljoen jaar: (a) de excentriciteit; (b) de scheefstand; (c) de klimatologische precessie, waarvan de omhullende de excentriciteit is. Gegevens: Berger en Loutre (1991), NOAA NCEI Paleoclimatology, opgehaald op 23 oktober 2026.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-orbital-forcing/fig-97c085725911.svg)

*De drie [Milankovitch-parameters](#def-b2-orbital-forcing-milankovitch) over het laatste miljoen jaar: (a) de excentriciteit; (b) de scheefstand; (c) de [klimatologische precessie](#def-b2-orbital-forcing-elements), waarvan de omhullende de excentriciteit is. Gegevens: Berger en Loutre (1991), NOAA NCEI Paleoclimatology, opgehaald op 23 oktober 2026.*

De [klimatologische precessie](#def-b2-orbital-forcing-elements) schommelt snel, maar slechts zo ver als de excentriciteit toelaat: wanneer de baan bijna cirkelvormig is, zoals $400\,000$ jaar geleden, maakt het nauwelijks uit waar het perihelium valt. De figuur toont het duidelijk: de omhullende van paneel (c) is paneel (a).

## 25.2 Zonlicht uit de baan

De daggemiddelde instraling die hierboven werd herhaald, heeft nog één ingrediënt nodig: de afstand tot de zon op een gegeven dag.

**Propositie 25.3 (Afstand en de lengte van de zon).**

Wanneer de ware lengte van de zon $\lambda$ is, is de afstand aarde–zon

$$
\frac{r}{a} = \frac{1 - e^2}{1 - e\cos(\lambda - \varpi)} .
$$

Bij de junizonnewende ($\lambda = 90{}^{\circ}$) geldt, in eerste orde in $e$, $(a/r)^2 \approx 1 - 2e\sin\varpi$; bij de decemberzonnewende $(a/r)^2 \approx 1 + 2e\sin\varpi$.

**Bewijs.** Op een ellips met de zon in een brandpunt is $r/a = (1 - e^2)/(1 + e\cos v)$, waarbij de ware anomalie $v$ de hoek bij de zon is van het perihelium naar de aarde. De aarde wordt vanaf de zon gezien in de richting tegenover die van de zon gezien vanaf de aarde, dus haar lengte gezien vanaf de zon is $\lambda + 180{}^{\circ}$, en $v = \lambda + 180{}^{\circ} - \varpi$, $\cos v = -\cos(\lambda - \varpi)$. Bij $\lambda = 90{}^{\circ}$ is $\cos(\lambda - \varpi) = \sin\varpi$ en $(a/r)^2 = (1 -
e\sin\varpi)^2/(1 - e^2)^2 = 1 - 2e\sin\varpi + O(e^2)$; bij $\lambda = 270{}^{\circ}$ keert het teken om. ∎

De [klimatologische precessie](#def-b2-orbital-forcing-elements) is daarom de juiste index: ze meet hoeveel dichter bij de zon, of verder weg, de aarde bij de junizonnewende staat. Wanneer $e\sin\varpi$ groot en positief is, zoals vandaag en veel sterker $116\,000$ jaar geleden, valt de noordelijke zomer bij het aphelium en is ze zwak; wanneer ze groot en negatief is, zoals ongeveer $10\,000$ jaar geleden, valt de noordelijke zomer bij het perihelium.

**Voorbeeld 25.4 (De junizon op 65∘65{}^{\circ}65∘ NB, vandaag).**

Vandaag is $e = 0.017236$, $\varpi = 101.37{}^{\circ}$, $\varepsilon = 23.446{}^{\circ}$, en de tabellen gebruiken $S_0 = 1360\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Bij de junizonnewende is $\delta = \varepsilon$; bij $\varphi =
65{}^{\circ}$ is $\cos h_0 = -\tan65{}^{\circ}\tan23.446{}^{\circ} = -0.9301$, dus $h_0 = 158.44{}^{\circ} =
2.7654\,\mathrm{rad}$: de zon staat $2 \times 158.44/360 \times 24 = 21.1$ uur op. De haakjesterm van de instralingsformule is $2.7654 \times 0.9063 \times 0.3979 + 0.4226 \times 0.9174 \times 0.3674 =
1.1397$, en op de gemiddelde afstand is $\bar Q = 432.90 \times 1.1397 = 493.4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. De afstandsfactor is $(a/r)^2 = 0.9671$, dus $\bar Q = 477.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

De tweede wet van Kepler voegt een wending toe. Bij het aphelium beweegt de aarde langzamer: het seizoen dat daar valt, is zwakker maar duurt langer. Noordelijke zomers zijn vandaag ongeveer 4.5 dagen langer dan noordelijke winters, en lentes ongeveer drie dagen langer dan herfsten.

**Propositie 25.5 (Jaargemiddelden hangen niet van de precessie af).**

De energie die per oppervlakte-eenheid aan de top van de atmosfeer wordt ontvangen tussen twee gegeven lengten van de zon, hangt niet af van $\varpi$, en de jaargemiddelde instraling op elke breedte is die van een cirkelvormige baan met straal $a$, vermenigvuldigd met $1/\sqrt{1 - e^2}$. Op een pool is het jaargemiddelde

$$
\bar Q_{\text{pool}} = \frac{S_0\sin\varepsilon}{\pi\sqrt{1 - e^2}} ,
$$

dat met de scheefstand toeneemt.

**Bewijs.** Volgens de tweede wet van Kepler bestrijkt de voerstraal oppervlakte met de constante snelheid $\pi ab/T$, en de oppervlakte die wordt bestreken terwijl de aarde over $\mathrm d\lambda$ draait, is $\frac12 r^2\,\mathrm d\lambda$, dus $\mathrm dt =
T r^2\,\mathrm d\lambda/(2\pi ab)$, met $b = a\sqrt{1 - e^2}$. De instraling op een gegeven breedte en lengte van de zon is $(a/r)^2$ keer haar waarde $Q_a(\lambda)$ op de afstand $a$, dus de ontvangen energie is $\int Q_a(\lambda)(a/r)^2\,\mathrm dt = \frac{T}{2\pi\sqrt{1 - e^2}}\int
Q_a(\lambda)\,\mathrm d\lambda$: de afstand is weggevallen, en daarmee $\varpi$. Over het hele jaar doorloopt $\lambda$ $360{}^{\circ}$ en is het gemiddelde $\frac{1}{2\pi\sqrt{1-e^2}}\int_0^{2\pi}
Q_a\,\mathrm d\lambda$. Op de noordpool is $Q_a = S_0\sin\delta = S_0\sin\varepsilon\sin\lambda$ voor $0 < \lambda < \pi$ en anders 0; de integraal is $2S_0\sin\varepsilon$. ∎

Precessie verplaatst zonlicht van het ene seizoen naar het andere, nooit een jaar in of uit; excentriciteit verandert het jaartotaal met een factor $1/\sqrt{1 - e^2}$, hoogstens $0.16\,\%$ over het laatste miljoen jaar; scheefstand verplaatst zonlicht tussen breedten, verhoogt het jaargemiddelde aan de polen en verlaagt het licht aan de evenaar. Alleen het patroon over de seizoenen en de breedten verandert sterk, en dat toont de figuur hieronder.

![(a) Daggemiddelde instraling bij de junizonnewende, vandaag en 10\,000 jaar geleden, toen de noordelijke zomer bij het perihelium viel en de scheefstand groter was: ongeveer 50\, W\, m-2 meer op de hoge noordelijke breedten. (b) Jaargemiddelde instraling voor de twee uiterste scheefstanden van het laatste miljoen jaar, met de huidige excentriciteit: een grotere helling stuurt meer zonlicht naar de polen en iets minder naar de tropen. Berekend uit de baanelementen met S_0 = 1360\, W\, m-2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-orbital-forcing/fig-eb2b4093abd7.svg)

*(a) Daggemiddelde instraling bij de junizonnewende, vandaag en $10\,000$ jaar geleden, toen de noordelijke zomer bij het perihelium viel en de scheefstand groter was: ongeveer $50\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ meer op de hoge noordelijke breedten. (b) Jaargemiddelde instraling voor de twee uiterste scheefstanden van het laatste miljoen jaar, met de huidige excentriciteit: een grotere helling stuurt meer zonlicht naar de polen en iets minder naar de tropen. Berekend uit de baanelementen met $S_0 = 1360\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.*

## 25.3 De instralingskromme berekenen

De instralingskromme die Milankovitch opstelde, is nu een routineberekening. De baanelementen van het verleden worden berekend door de bewegingen van de planeten te integreren; om de duizend jaar getabelleerd, vormen ze de invoer. Voor elke ouderdom geeft de methode hieronder de instraling op elke breedte en in elk seizoen.

**Methode 25.6 (Instraling van het verleden).**

1. Lees $e$ , $\varpi$ en $\varepsilon$ af voor de gewenste ouderdom.
2. Kies het seizoen met de ware lengte van de zon $\lambda$ : $90{}^{\circ}$ voor de junizonnewende; half juli in de tabellen komt overeen met $\lambda = 120{}^{\circ}$ .
3. Bereken $\delta$ uit $\sin\delta = \sin\varepsilon\sin\lambda$ , en de uurhoek van de zonsondergang $h_0$ op de breedte $\varphi$ (pooldag of poolnacht als $|\tan\varphi\tan\delta| > 1$ ).
4. Bereken de afstandsfactor $(a/r)^2$ met [Propositie 25.3](#prop-b2-orbital-forcing-distance) .
5. Vermenigvuldig: $\bar Q = (S_0/\pi)(a/r)^2(h_0\sin\varphi\sin\delta +  \cos\varphi\cos\delta\sin h_0)$ .

Toegepast op de 1001 ouderdommen van het laatste miljoen jaar reproduceert de methode de getabelleerde instraling van half juli op $65{}^{\circ}$ NB tot op $0.012\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, de afronding van de tabellen, en de getabelleerde waarden voor juni van vandaag exact. De tabellen leggen de oorsprong van de tijd in 1950.

![Boven: daggemiddelde instraling op 65 NB over de laatste 400\,000 jaar, half juli zoals getabelleerd door Berger en Loutre (grijs, breed) en zoals berekend met de methode hierboven (rood), en bij de junizonnewende (blauw, gestreept). Onder: berekende min getabelleerde waarden van half juli, in W\, m-2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-orbital-forcing/fig-6a01593979bd.svg)

*Boven: daggemiddelde instraling op $65{}^{\circ}$ NB over de laatste $400\,000$ jaar, half juli zoals getabelleerd door Berger en Loutre (grijs, breed) en zoals berekend met de methode hierboven (rood), en bij de junizonnewende (blauw, gestreept). Onder: berekende min getabelleerde waarden van half juli, in $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.*

Twee kenmerken vallen op. De kromme wordt beheerst door de [klimatologische precessie](#def-b2-orbital-forcing-elements), met pieken die zo’n $20\,000$ jaar uit elkaar liggen en waarvan de hoogte aanzwelt en afneemt met de excentriciteit; de scheefstand voegt een tragere modulatie toe. En de schommelingen zijn groot: over de laatste $800\,000$ jaar varieerde de waarde van half juli van 388 tot $497\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

## 25.4 De Milankovitch-theorie en de glaciale cycli

**Geschiedenis — Zonlicht op vijfenzestig graden noord.**

Milutin Milankovitch, geboren in 1879, bouwde een wiskundige klimaattheorie op uit de variaties van het zonlicht met seizoen en breedte. Door de drie baanvariaties te combineren, berekende hij de instraling van de breedten en de bijbehorende oppervlaktetemperaturen voor $600\,000$ jaar vóór 1800. Op voorstel van de klimatoloog Köppen koos hij de zomerinstraling op $65{}^{\circ}$ NB als de beslissende grootheid: de grote ijskappen waren dicht bij die breedte gegroeid, en koele zomers smelten minder van de wintersneeuw, zodat sneeuw zich van jaar tot jaar ophoopt. Hij achtte de scheefstand de belangrijkste van de drie parameters. Zo’n vijftig jaar lang werd de theorie grotendeels genegeerd; Milankovitch stierf in 1958. In 1976 vonden Hays, Imbrie en Shackleton in diepzeesedimenten van de laatste $450\,000$ jaar spectrale pieken van klimaatvariabiliteit bij ongeveer $23\,000$, $42\,000$ en $100\,000$ jaar, de perioden van precessie, scheefstand en excentriciteit, en ze concludeerden dat veranderingen in de baan van de aarde de fundamentele oorzaak zijn van de kwartaire ijstijden.

De figuur hieronder herhaalt hun test op de reeksen van [Hoofdstuk 24](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/24-klimaatarchieven-en-proxys#ch-b2-climate-proxies). Ze vergelijkt de amplitudespectra, de sterkte van elke periode, van de juli-instraling op $65{}^{\circ}$ NB en van de benthische stapelreeks, in twee vensters van $700\,000$ jaar.

![Amplitudespectra, elk geschaald op zijn eigen maximum, van de instraling van half juli op 65 NB over de laatste 700\,000 jaar en van de benthische stapelreeks LR04 over hetzelfde venster en over 1\,250\,000 tot 1\,950\,000 jaar geleden (trend verwijderd, getaperd). De instraling heeft haar vermogen bij de precessieperioden, rond 19 tot 24 duizend jaar, en bij de periode van de scheefstand; het recente ijsvolume piekt rond 100\,000 jaar, waar de instraling bijna niets heeft; het oudere ijsvolume piekt bij 41\,000 jaar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-orbital-forcing/fig-ca733e055959.svg)

*Amplitudespectra, elk geschaald op zijn eigen maximum, van de instraling van half juli op $65{}^{\circ}$ NB over de laatste $700\,000$ jaar en van de benthische stapelreeks LR04 over hetzelfde venster en over $1\,250\,000$ tot $1\,950\,000$ jaar geleden (trend verwijderd, getaperd). De instraling heeft haar vermogen bij de precessieperioden, rond 19 tot 24 duizend jaar, en bij de periode van de scheefstand; het recente ijsvolume piekt rond $100\,000$ jaar, waar de instraling bijna niets heeft; het oudere ijsvolume piekt bij $41\,000$ jaar.*

### Glacialen, interglacialen en terminaties

**Definitie 25.7 (Glaciale periode; interglaciaal; glaciale terminatie).**

In de kwartaire reeks is een *glaciale periode* een interval waarin grote ijskappen de noordelijke continenten bedekken, vastgelegd door een hoge benthische $\delta^{18}$O en een laag zeeniveau; een *interglaciaal* is een interval met weinig landijs op het noordelijk halfrond buiten Groenland, zoals nu. Een *glaciale terminatie* is een van de grote overgangen die een glaciale cyclus beëindigen, van volledig glaciale naar interglaciale omstandigheden, veel sneller dan de groei die eraan voorafging.

Over het laatste half miljoen jaar ligt de dominante periode van het klimaat dicht bij $100\,000$ jaar, hoewel de forcering met die periode, die alleen van de excentriciteit komt, verwaarloosbaar is naast die van scheefstand en precessie. De cycli zijn ook scheef: de benthische $\delta^{18}$O registreert een stapsgewijze opbouw van ijs over ongeveer $90\,000$ jaar, daarna een afbraak in ongeveer $10\,000$, een zaagtand waarvan de dalende flanken de terminaties zijn. Het laatste [interglaciaal](#def-b2-orbital-forcing-glacials), van ongeveer $129\,000$ tot $116\,000$ jaar geleden, eindigde toen de zomerinstraling op $65{}^{\circ}$ NB daalde tot een van haar laagste waarden van de laatste $800\,000$ jaar: de waarde bij de junizonnewende bereikte haar minimum, $438.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $116\,000$ jaar geleden, en de waarde van half juli haar op een na laagste minimum, $392.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $114\,000$ jaar geleden. Het Laatste Glaciale Maximum kwam zo’n $95\,000$ jaar later.

Hoe snel kan een ijskap haar forcering volgen? Het eenvoudigste model behandelt het ijsvolume $V$ als relaxerend naar het volume $V_{\mathrm{eq}}$ dat de huidige instraling in stand zou houden, met een responstijd $\tau$:

$$
\frac{\mathrm dV}{\mathrm dt} = \frac{V_{\mathrm{eq}}(t) - V}{\tau} .
$$

**Propositie 25.8 (Een vertraagde respons).**

Voor een forcering $V_{\mathrm{eq}} = A\sin\omega t$ nadert de oplossing van het vertragingsmodel

$$
V = \frac{A}{\sqrt{1 + \omega^2\tau^2}}\,\sin\bigl(\omega(t - t_{\ell})\bigr),\qquad
  t_{\ell} = \frac{\arctan(\omega\tau)}{\omega} :
$$

het ijs volgt trage forcering bijna volledig en snelle forcering maar zwak, altijd te laat. De respons op een som van sinusoïden is de som van de responsen: het model schept geen periode die zijn forcering mist.

**Bewijs.** Probeer $V = B\sin\omega t + C\cos\omega t$: invullen geeft $\omega B\tau = -C$ en $-\omega C\tau = A -
B$, dus $B = A/(1 + \omega^2\tau^2)$, $C = -\omega\tau A/(1 + \omega^2\tau^2)$, een amplitude $\sqrt{B^2 + C^2} = A/\sqrt{1 + \omega^2\tau^2}$ en een faseachterstand $\arctan(\omega\tau)$. Elke andere oplossing verschilt van deze met een veelvoud van $\mathrm e^{-t/\tau}$, dat uitdooft. De vergelijking is lineair, dus oplossingen tellen op. ∎

![Het vertragingsmodel aangedreven door de instraling van half juli op 65 NB (minder zon, meer ijs), tegenover de benthische stapelreeks, alle drie gestandaardiseerd (gemiddelde 0, standaardafwijking 1); positieve waarden betekenen meer ijs. Het model volgt de precessieschommelingen van de stapelreeks maar heeft niets van haar grote zaagtandcycli. De responstijd van 10\, kyr is een modelkeuze.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-orbital-forcing/fig-0d73a8065767.svg)

*Het vertragingsmodel aangedreven door de instraling van half juli op $65{}^{\circ}$ NB (minder zon, meer ijs), tegenover de benthische stapelreeks, alle drie gestandaardiseerd (gemiddelde 0, standaardafwijking 1); positieve waarden betekenen meer ijs. Het model volgt de precessieschommelingen van de stapelreeks maar heeft niets van haar grote zaagtandcycli. De responstijd van $10\,\mathrm{kyr}$ is een modelkeuze.*

Over de laatste $800\,000$ jaar correleert het vertraagde model met de stapelreeks met $r = 0.42$, de instraling zelf slechts met $0.23$: de vertraging helpt, maar een lineaire ijskap kan geen cycli van $100\,000$ jaar maken uit een forcering die er geen heeft. De terminaties moeten niet-lineair gedrag inhouden dat een bescheiden duw van de instraling versterkt. De kandidaten zijn terugkoppelingen die op het hele klimaat werken: de [ijs–albedoterugkoppeling](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/18-de-precambrische-aarde#def-b2-precambrian-earth-ice-albedo) van [Definitie 18.8](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/18-de-precambrische-aarde#def-b2-precambrian-earth-ice-albedo), want een planeet met meer sneeuw en ijs weerkaatst meer zonlicht; en koolstofdioxide, dat in de Antarctische ijskernen stijgt op tijdschalen van millennia telkens wanneer de omwentelende circulatie van de Atlantische Oceaan verzwakt, zoals gebeurt wanneer smeltwater van de ijskappen in de Noord-Atlantische Oceaan stroomt. Voorbij een drempel van koolstofdioxide kunnen interglaciale omstandigheden zich stabiliseren.

**Definitie 25.9 (Midden-pleistocene overgang).**

De *midden-pleistocene overgang* is de verandering, van ongeveer $1\,250\,000$ tot $700\,000$ jaar geleden, van glaciale cycli van ongeveer $41\,000$ jaar met kleine amplitude naar quasi-periodieke cycli van ongeveer $100\,000$ jaar met grote amplitude, met dikkere ijskappen, zonder enige overeenkomstige verandering in de orbitale forcering.

Vóór de overgang volgden de ijskappen de scheefstand, zoals het gestreepte spectrum van de figuur hierboven toont; één telling vindt een [glaciale terminatie](#def-b2-orbital-forcing-glacials) in 67, 88 en $52\,\%$ van de scheefstandscycli van het vroege, middelste en late Kwartair. De orbitale theorie alleen kan de verandering niet verklaren; de kandidaten zijn de dynamica van de ijskappen zelf, misschien na het verdwijnen van de zachte regoliet waarover ze gleden, en een geleidelijke daling van koolstofdioxide tijdens de glaciale minima. Er is nog geen verklaring die algemeen wordt aanvaard.

## 25.5 Koolstofdioxide in de glaciale cycli

De Antarctische ijskernen tonen dat koolstofdioxide de glaciale cycli volgt: tussen 188 en $194\,\mathrm{ppm}$ tijdens het Laatste Glaciale Maximum, tussen 266 en $282\,\mathrm{ppm}$ in het laatste [interglaciaal](#def-b2-orbital-forcing-glacials); de samengestelde reeks van [Hoofdstuk 24](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/24-klimaatarchieven-en-proxys#ch-b2-climate-proxies) geeft $189.7\,\mathrm{ppm}$ voor 19 tot $23\,\mathrm{ka}$ en $279.4\,\mathrm{ppm}$ over de tweeduizend jaar vóór de industrie. Zijn stralingsforcering groeit ongeveer met de logaritme van de concentratie, $3.93\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ per verdubbeling.

**Voorbeeld 25.10 (Baan tegenover koolstofdioxide).**

Van $189.7\,\mathrm{ppm}$ naar $279.4\,\mathrm{ppm}$ is de forcering $3.93\log_2(279.4/189.7) = 3.93 \times
0.559 = 2.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, over de hele aarde en het hele jaar. De baan veranderde over het laatste miljoen jaar het globaal en jaarlijks gemiddelde van de instraling met hoogstens $340.54 - 340.00 =
0.54\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, maar de instraling van half juli op $65{}^{\circ}$ NB met ongeveer $109\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

De baan is een gangmaker, geen motor. Ze herverdeelt het zonlicht tussen seizoenen en breedten en bepaalt het tijdstip; de ijskappen, door hun albedo en hun traagheid, en koolstofdioxide, door zijn globale forcering, maken van een regionaal signaal een globale klimaatverandering.

## Oefeningen

Gegevens voor de oefeningen, tenzij anders vermeld: $S_0 = 1360\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ (de waarde van de tabellen); een tropisch jaar van $365.2422$ dagen; de baanelementen van de tabellen, waarvan vandaag $e = 0.017236$, $\varpi = 101.37{}^{\circ}$, $\varepsilon = 23.446{}^{\circ}$.

**Oefening 25.1 ★.**

Neem $e = 0.0167$. (a) Bereken de verhouding van de apheliumafstand $a(1 + e)$ tot de periheliumafstand $a(1 - e)$. (b) Druk hun verschil uit als percentage van $a$. (c) Met welke factor is het zonlicht in het perihelium sterker dan in het aphelium?

**Oplossing van Oefening 25.1.**

(a) $1.0167/0.9833 = 1.0340$: het aphelium ligt $3.4\,\%$ verder dan het perihelium. (b) $a(1 + e) - a(1 - e) = 2ea = 0.0334\,a$, $3.34\,\%$ van $a$, dicht bij de 3.4 procent die gewoonlijk wordt opgegeven. (c) Het zonlicht neemt af met het omgekeerde kwadraat van de afstand: $1.0340^2 = 1.069$, ongeveer $7\,\%$ meer zonlicht in het perihelium.

**Oefening 25.2 ★.**

De tabellen geven vandaag $e = 0.017236$, $\varpi = 101.37{}^{\circ}$; $e = 0.019971$, $\varpi =
293.86{}^{\circ}$ $10\,000$ jaar geleden; $e = 0.019249$, $\varpi = 359.99{}^{\circ}$ $6000$ jaar geleden. (a) Bereken de [klimatologische precessie](#def-b2-orbital-forcing-elements) voor elke ouderdom. (b) Geef voor elke ouderdom de lengte van de zon in het perihelium. (c) Op welke ouderdom lag het perihelium het dichtst bij de junizonnewende, en op welke bij de septemberequinox?

**Oplossing van Oefening 25.2.**

(a) Vandaag $0.017236 \times \sin101.37{}^{\circ} = 0.017236 \times 0.9804 = 0.01690$; $10\,000$ jaar geleden $0.019971 \times \sin293.86{}^{\circ} = 0.019971 \times (-0.9145) = -0.01826$; $6000$ jaar geleden $0.019249 \times \sin359.99{}^{\circ} \approx 0$, de waarden van de tabellen. (b) De lengte van de zon in het perihelium is $\varpi + 180{}^{\circ}$: $281.37{}^{\circ}$ vandaag, $473.86{}^{\circ}$ $-$ $360{}^{\circ}$ $=$ $113.86{}^{\circ}$ $10\,000$ jaar geleden, $179.99{}^{\circ}$ $6000$ jaar geleden. (c) $10\,000$ jaar geleden viel het perihelium $24{}^{\circ}$ na de junizonnewende, van de drie het dichtst erbij, in de noordelijke zomer; $6000$ jaar geleden viel het bij de septemberequinox, waar de [klimatologische precessie](#def-b2-orbital-forcing-elements) nul is.

**Oefening 25.3 ★.**

De rotatieas precedeert met een periode van ongeveer $25\,770$ jaar ten opzichte van de sterren, terwijl de baan draait met een periode van ongeveer $112\,000$ jaar. Neem aan dat beide bewegingen het perihelium ten opzichte van het lentepunt in dezelfde zin verplaatsen, zodat hun frequenties optellen. (a) Combineer de twee frequenties om de periode te vinden waarmee het perihelium door de seizoenen beweegt. (b) Vergelijk met de hoofdperioden van de [klimatologische precessie](#def-b2-orbital-forcing-elements), $19.0$, $22.4$ en $23.7$ duizend jaar.

**Oplossing van Oefening 25.3.**

(a) De frequenties tellen op: $1/25.77 + 1/112 = 0.03880 + 0.00893 = 0.047\,73\,\mathrm{kyr}^{-1}$, een periode van $1/0.04773 = 21.0$ duizend jaar. (b) Het resultaat valt binnen het bereik van de hoofdperioden, 19.0 tot 23.7 duizend jaar. Eén getal kan ze niet reproduceren: het draaien van de baan is zelf de som van verscheidene bewegingen met verschillende frequenties, die elk met de precessie van de as één periode van de [klimatologische precessie](#def-b2-orbital-forcing-elements) geven; het gemiddelde is de $23\,000$ jaar die gewoonlijk wordt opgegeven.

**Oefening 25.4 ★.**

Bereken met [Propositie 25.5](#prop-b2-orbital-forcing-annual) en $e = 0.0167$ de jaargemiddelde instraling op de noordpool voor scheefstanden van $22.1{}^{\circ}$ en $24.5{}^{\circ}$. Met welk percentage groeit ze tussen de twee?

**Oplossing van Oefening 25.4.**

$\sqrt{1 - 0.0167^2} = 0.99986$. Voor $22.1{}^{\circ}$: $1360 \times 0.37622/(\pi \times 0.99986) =
162.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; voor $24.5{}^{\circ}$: $1360 \times 0.41469/(\pi \times 0.99986) =
179.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. De verhouding is $\sin24.5{}^{\circ}/\sin22.1{}^{\circ} = 1.102$: het jaargemiddelde op de pool groeit met $10.2\,\%$, ongeveer $16.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, tussen de twee uitersten.

**Oefening 25.5 ★★.**

(a) Bereken exact de afstandsfactor $(a/r)^2$ bij de junizonnewende vandaag en $116\,000$ jaar geleden ($e = 0.043988$, $\varpi = 92.71{}^{\circ}$), en vergelijk met de benadering $1 -
2e\sin\varpi$. (b) Bereken beide bij de decemberzonnewende. (c) Waarom is de benadering $116\,000$ jaar geleden slechter?

**Oplossing van Oefening 25.5.**

(a) Bij de junizonnewende is $(a/r)^2 = \bigl((1 - e\sin\varpi)/(1 - e^2)\bigr)^2$. Vandaag is $e\sin\varpi
= 0.016898$ en $(0.983102/0.999703)^2 = 0.9671$, tegenover $1 - 0.033796 = 0.9662$; $116\,000$ jaar geleden $e\sin\varpi = 0.043939$ en $(0.956061/0.998065)^2 = 0.9176$, tegenover $1 -
0.087878 = 0.9121$. (b) Bij de decemberzonnewende is $(a/r)^2 = \bigl((1 + e\sin\varpi)/(1 -
e^2)\bigr)^2$: vandaag $1.0347$ tegenover $1.0338$, $116\,000$ jaar geleden $1.0940$ tegenover $1.0879$. (c) De verwaarloosde termen zijn van orde $e^2$: $(1 - x)^2/(1 - e^2)^2 \approx 1 - 2x + x^2 + 2e^2$ met $x = e\sin\varpi$, hier ongeveer $3e^2$. Ze bedragen $3 \times 0.0172^2 = 0.0009$ vandaag en $3
\times 0.0440^2 = 0.0058$ $116\,000$ jaar geleden, dicht bij de gevonden verschillen, $0.0009$ en $0.0055$: de benadering is zes keer slechter wanneer de excentriciteit tweeënhalf keer groter is.

**Oefening 25.6 ★★.**

Werk [Voorbeeld 25.4](#ex-b2-orbital-forcing-today) stap voor stap opnieuw uit: de uurhoek van de zonsondergang op $65{}^{\circ}$ NB bij de junizonnewende, de daglengte, de instraling op de gemiddelde afstand en de instraling van vandaag.

**Oplossing van Oefening 25.6.**

Bij de junizonnewende is $\delta = \varepsilon = 23.446{}^{\circ}$. $\cos h_0 = -\tan65{}^{\circ}\tan23.446{}^{\circ}
= -2.14451 \times 0.43369 = -0.93006$, dus $h_0 = 158.44{}^{\circ} = 2.7654\,\mathrm{rad}$. De dag duurt $2 \times 158.44/15 = 21.13$ uur (de aarde draait $15{}^{\circ}$ per uur). Met $\sin65{}^{\circ} = 0.90631$, $\cos65{}^{\circ} = 0.42262$, $\sin\delta = 0.39788$, $\cos\delta = 0.91744$ en $\sin h_0 = 0.36742$ is de haakjesterm $2.7654 \times 0.90631 \times 0.39788 + 0.42262 \times 0.91744 \times 0.36742 = 0.99720
+ 0.14246 = 1.13966$. Op de gemiddelde afstand is $\bar Q = (1360/\pi) \times 1.13966 = 432.90 \times 1.13966
= 493.4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; met de afstandsfactor van [Oefening 25.5](#exo-b2-orbital-forcing-5) is $493.4 \times
0.9671 = 477.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Ter controle geven dezelfde stappen op $60{}^{\circ}$ NB $475.96\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, waar de tabellen $475.95$ geven.

**Oefening 25.7 ★★.**

(a) Toon met $\mathrm dt = T(r/a)^2\,\mathrm d\lambda/(2\pi\sqrt{1 - e^2})$ en $(r/a)^2 \approx 1 +
2e\cos(\lambda - \varpi)$ aan dat het halfjaar van de maart- tot de septemberequinox ongeveer $T/2 + (2T/\pi)\,e\sin\varpi$ duurt. (b) Bereken hoeveel dagen het vandaag langer is dan het andere halfjaar. (c) Vergelijk met de 4.5 dagen waarmee noordelijke zomers langer zijn dan winters en de drie dagen waarmee lentes langer zijn dan herfsten.

**Oplossing van Oefening 25.7.**

(a) De maartequinox is $\lambda = 0$, de septemberequinox $\lambda = \pi$. Met $\sqrt{1 - e^2}
\approx 1$ is de duur $\frac{T}{2\pi}\int_0^{\pi}\bigl(1 + 2e\cos(\lambda -
\varpi)\bigr)\,\mathrm d\lambda = \frac{T}{2\pi}\bigl(\pi + 2e[\sin(\lambda - \varpi)]_0^{\pi}\bigr)
= \frac{T}{2\pi}(\pi + 4e\sin\varpi) = \frac T2 + \frac{2T}{\pi}e\sin\varpi$. (b) Het andere halfjaar is evenveel korter, dus het verschil is $(4T/\pi)\,e\sin\varpi = (4 \times
365.2422/\pi) \times 0.016898 = 465.04 \times 0.016898 = 7.86$ dagen. (c) Lente en zomer samen zijn $4.5 + 3 = 7.5$ dagen langer dan herfst en winter; de twee opgegeven verschillen zijn afgerond, en de overeenstemming valt binnen die afronding.

**Oefening 25.8 ★★.**

Over het laatste miljoen jaar varieerde de excentriciteit van $0.0046$ tot $0.0565$. (a) Bereken de globaal en jaarlijks gemiddelde instraling $S_0/(4\sqrt{1 - e^2})$ bij beide uitersten. (b) Hoeveel, in $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ en in procent, veranderde de baan haar? (c) Vergelijk met het bereik van de instraling van half juli op $65{}^{\circ}$ NB, 388 tot $497\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

**Oplossing van Oefening 25.8.**

(a) Voor $e = 0.0046$: $\sqrt{1 - e^2} = 0.999989$ en $340/0.999989 = 340.004\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Voor $e = 0.0565$: $\sqrt{1 - 0.003192} = 0.998403$ en $340/0.998403 = 340.544\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) Het verschil is $0.54\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $0.16\,\%$. (c) De instraling van half juli op $65{}^{\circ}$ NB schommelde met $497 - 388 = 109\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, ongeveer $25\,\%$ van haar gemiddelde en tweehonderd keer de verandering van het globaal jaarlijks gemiddelde: de baan werkt op het klimaat door zonlicht te verplaatsen tussen seizoenen en breedten, niet door het totaal te veranderen.

**Oefening 25.9 ★★.**

Bereken met het vertragingsmodel en $\tau = 10\,\mathrm{kyr}$ de relatieve amplitude en de vertraging van het ijsvolume voor een sinusvormige forcering met perioden van 23, 41 en $100$ duizend jaar. Welke band begunstigt de ijskap, en waarom?

**Oplossing van Oefening 25.9.**

Met $\omega = 2\pi/P$ en $\tau = 10\,\mathrm{kyr}$: voor $P = 23$ is $\omega\tau = 2.732$, een relatieve amplitude $1/\sqrt{1 + 7.464} = 0.344$ en een vertraging $\arctan(2.732)/\omega = 1.2199/0.2732 = 4.47$ kyr; voor $P = 41$ is $\omega\tau = 1.532$, amplitude $0.546$, vertraging $0.9926/0.1532 = 6.48$ kyr; voor $P =
100$ is $\omega\tau = 0.628$, amplitude $0.847$, vertraging $0.5610/0.0628 = 8.93$ kyr. De ijskap begunstigt de trage forcering: ze volgt $85\,\%$ van een cyclus van $100\,000$ jaar maar slechts een derde van een precessiecyclus, omdat ze te weinig tijd heeft om te groeien of te krimpen voordat een snelle forcering omkeert. Ze werkt als een laagdoorlaatfilter.

**Oefening 25.10 ★★★.**

De instraling van half juli op $65{}^{\circ}$ NB heeft bijna geen vermogen bij $100\,000$ jaar, en toch heeft het ijsvolume van de laatste $700\,000$ jaar daar het grootste deel van zijn vermogen. (a) Toon aan dat als de forcering $A_1\sin
\omega_1 t + A_2\sin\omega_2 t$ is, het vertragingsmodel alleen bij $\omega_1$ en $\omega_2$ reageert. (b) Toon aan dat een respons met de term $V^2$, bijvoorbeeld $\mathrm dV/\mathrm dt = (V_{\mathrm{eq}} -
V)/\tau + kV^2$, de frequenties $\omega_1 - \omega_2$ en $\omega_1 + \omega_2$ kan scheppen, door de lineaire oplossing in $V^2$ in te vullen. (c) Met welke periode zweven twee precessietermen met perioden van $23.7$ en $19.0$ duizend jaar? Wat volgt daaruit voor de cycli van $100\,000$ jaar?

**Oplossing van Oefening 25.10.**

(a) De vergelijking is lineair: als $V_1$ antwoordt op $A_1\sin\omega_1t$ en $V_2$ op $A_2\sin\omega_2t$, antwoordt $V_1 + V_2$ op hun som. Volgens [Propositie 25.8](#prop-b2-orbital-forcing-lag) zijn $V_1$ en $V_2$ sinusoïden met frequenties $\omega_1$ en $\omega_2$ (zodra het overgangsverschijnsel is uitgestorven), dus de respons bevat geen andere frequentie. (b) Met $V \approx B_1\sin(\omega_1t - \phi_1) +
B_2\sin(\omega_2t - \phi_2)$ is

$$
\begin{aligned}
  V^2 &= \tfrac12(B_1^2 + B_2^2) - \tfrac12B_1^2\cos(2\omega_1t - 2\phi_1) -
  \tfrac12B_2^2\cos(2\omega_2t - 2\phi_2)\\
  &\quad + B_1B_2\bigl[\cos\bigl((\omega_1 - \omega_2)t - \phi_1 + \phi_2\bigr) -
  \cos\bigl((\omega_1 + \omega_2)t - \phi_1 - \phi_2\bigr)\bigr],
\end{aligned}
$$

dus de term $kV^2$ forceert de vergelijking bij de verschil- en somfrequenties, en bij de dubbele frequenties. (c) $1/(1/19.0 - 1/23.7) = 1/(0.05263 - 0.04219) = 95.8$ duizend jaar; het paar 19.0 en 22.4 geeft 125 duizend jaar. De verschilfrequenties van de precessietermen vallen in de excentriciteitsband, zoals het moet, want de [klimatologische precessie](#def-b2-orbital-forcing-elements) is $e\sin\varpi$. Een niet-lineaire ijskap zou dus een ritme van $100\,000$ jaar uit de precessie kunnen halen; een lineaire niet. De cycli van $100\,000$ jaar wijzen op niet-lineair gedrag, al toont deze berekening alleen niet welk.

**Oefening 25.11 ★★★.**

Op de noordpool is de energie die per vierkante meter tijdens de pooldag wordt ontvangen $E = \int S_0(a/r)^2
\sin\delta\,\mathrm dt$ over het halfjaar waarin $\delta > 0$. (a) Toon met het bewijs van [Propositie 25.5](#prop-b2-orbital-forcing-annual) aan dat $E = S_0T\sin\varepsilon/(\pi\sqrt{1 - e^2})$. (b) Bereken $E$ in $\mathrm{GJ}\,\mathrm{m}^{-2}$ voor $\varepsilon = 22.1{}^{\circ}$ en $24.5{}^{\circ}$, met $e = 0.0167$ en $T$ = 365.25 dagen. (c) De precessie komt niet voor in $E$. Waarom kan ze toch het afsmelten van een ijskap veranderen?

**Oplossing van Oefening 25.11.**

(a) Zoals in het bewijs van [Propositie 25.5](#prop-b2-orbital-forcing-annual) is $(a/r)^2\,\mathrm dt =
T\,\mathrm d\lambda/(2\pi\sqrt{1 - e^2})$, en $\sin\delta = \sin\varepsilon\sin\lambda$ is positief voor $0 < \lambda < \pi$. Dus $E = \frac{S_0T\sin\varepsilon}{2\pi\sqrt{1 - e^2}}\int_0^{\pi}\sin\lambda
\,\mathrm d\lambda = S_0T\sin\varepsilon/(\pi\sqrt{1 - e^2})$. (b) $T = 365.25 \times 86400 =
3.1558 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, $S_0T/\pi = 1.3661 \times 10^{10}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-2}$; voor $22.1{}^{\circ}$ is $E = 1.3661 \times 10^{10}
\times 0.37622/0.99986 = 5.14\,\mathrm{GJ}\,\mathrm{m}^{-2}$; voor $24.5{}^{\circ}$ $5.67\,\mathrm{GJ}\,\mathrm{m}^{-2}$, $10\,\%$ meer. (c) De precessie bepaalt hoe dezelfde energie over de tijd wordt gespreid: een zomer in het perihelium is korter en intenser, een zomer in het aphelium langer en zwakker. Smelten begint pas boven $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, dus een korte intense zomer kan meer doen smelten dan een lange koele die hetzelfde totaal ontvangt.

**Oefening 25.12 ★★★.**

(a) Bereken de stralingsforcering van de stijging van koolstofdioxide van $189.7\,\mathrm{ppm}$ naar $279.4\,\mathrm{ppm}$, met $3.93\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ per verdubbeling en een logaritmische wet. (b) De bereiken die voor het Laatste Glaciale Maximum en het laatste [interglaciaal](#def-b2-orbital-forcing-glacials) worden gegeven, zijn 188 tot $194\,\mathrm{ppm}$ en 266 tot $282\,\mathrm{ppm}$: bereken de kleinste en de grootste forcering die ze toelaten. (c) Vergelijk met de verandering van de globale jaarlijkse instraling van [Oefening 25.8](#exo-b2-orbital-forcing-8) en met de schommeling van de zomerinstraling op $65{}^{\circ}$ NB. Wat is de trekker en wat de versterker?

**Oplossing van Oefening 25.12.**

(a) $3.93\log_2(279.4/189.7) = 3.93\log_2 1.4729 = 3.93 \times 0.5586 = 2.20\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) De kleinste stijging is van 194 naar $266\,\mathrm{ppm}$: $3.93\log_2 1.3711 = 3.93 \times 0.4554 =
1.79\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; de grootste van 188 naar $282\,\mathrm{ppm}$: $3.93\log_2 1.5 = 3.93 \times 0.5850 =
2.30\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (c) De forcering van koolstofdioxide is vier keer de grootste verandering van de globale jaarlijkse instraling, $0.54\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, en ze werkt overal en het hele jaar; de zomer instraling op $65{}^{\circ}$ NB schommelt met ongeveer $109\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, maar op één breedte en in één seizoen. De baan is de trekker, via de zomers van de noordelijke ijskappen; koolstofdioxide is, met de [ijs–albedoterugkoppeling](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/18-de-precambrische-aarde#def-b2-precambrian-earth-ice-albedo), een versterker die de verandering over de aarde verspreidt.

**Probleem 25.1.**

Weekendprobleem — Zonlicht op $65{}^{\circ}$ NB

Het laatste [interglaciaal](#def-b2-orbital-forcing-glacials) eindigde ongeveer $116\,000$ jaar geleden. Hoeveel zonlicht ontving de zomer op de breedte van de grote noordelijke ijskappen toen, vergeleken met nu? Gebruik de gegevens van de oefeningen. De tabellen geven, $116\,000$ jaar geleden, $e = 0.0440$, $\varpi = 92.7{}^{\circ}$, $\varepsilon = 22.52{}^{\circ}$; vandaag, op dezelfde manier afgerond, $e = 0.0172$, $\varpi = 101.4{}^{\circ}$, $\varepsilon = 23.45{}^{\circ}$.

**Deel I — De baan toen en nu.**

1. Bereken de [klimatologische precessie](#def-b2-orbital-forcing-elements) toen en nu.
2. Bereken de perihelium- en apheliumafstanden, in eenheden van $a$ , toen en nu.
3. Bij welke lengte van de zon stond de aarde toen in het perihelium, en nu? Bij welke zonnewende?
4. Met welke factor was het zonlicht in het perihelium sterker dan in het aphelium, toen en nu?
5. Was de scheefstand groter of kleiner dan nu? Wat betekent dat voor de zomers op hoge breedten?
6. Bereken de globaal en jaarlijks gemiddelde instraling toen en nu. Is het verschil significant?

**Deel II — De afstand bij de junizonnewende.**

7. Toon met [Propositie 25.3](#prop-b2-orbital-forcing-distance) aan dat bij de junizonnewende $r/a = (1 -  e^2)/(1 - e\sin\varpi)$ .
8. Bereken $r/a$ bij de junizonnewende toen en nu.
9. Bereken $(a/r)^2$ toen en nu.
10. Vergelijk met de benadering $1 - 2e\sin\varpi$ .
11. Met welk percentage was het zonlicht bij de zonnewende zwakker dan op de gemiddelde afstand, toen en nu?

**Deel III — Zonlicht op $65{}^{\circ}$ NB.**

12. Geef de declinatie van de zon bij de junizonnewende toen en nu.
13. Bereken de uurhoek van de zonsondergang op $65{}^{\circ}$ NB op die dag, toen en nu.
14. Leid daaruit de daglengte af.
15. Bereken de daggemiddelde instraling op de gemiddelde afstand.
16. Bereken de daggemiddelde instraling, toen en nu.
17. De tabellen geven voor half juli 397.60 en $426.76\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ . Waarom zijn de waarden bij de zonnewende hoger?
18. Wat telde zwaarder in het verschil tussen toen en nu, de scheefstand of de afstand?

**Deel IV — Het antwoord van de ijskap.**

19. Neem het vertragingsmodel met $\tau = 10\,\mathrm{kyr}$ : welk deel van een plotselinge verandering van $V_{\mathrm{eq}}$ heeft de ijskap bereikt na 5, 10 en $20\,\mathrm{kyr}$ ?
20. De juni-instraling op $65{}^{\circ}$ NB daalde van een maximum ongeveer $128\,000$ jaar geleden tot het minimum van $116\,000$ jaar geleden, een halve precessiecyclus. Welk deel van de forcering volgt de ijskap voor een sinusoïde met periode $23\,\mathrm{kyr}$ , en met hoeveel vertraging?
21. Waarom kan een ijskap binnen één precessiecyclus niet de grootte bereiken die een lage zomerinstraling in stand zou houden?
22. Het ijs had zo’n $90\,000$ jaar nodig om op te bouwen tot het Laatste Glaciale Maximum en ongeveer $10\,000$ jaar om af te smelten. Waarom kan het vertragingsmodel die asymmetrie niet voortbrengen?
23. Koolstofdioxide stond tussen 266 en $282\,\mathrm{ppm}$ in het laatste [interglaciaal](#def-b2-orbital-forcing-glacials) en tussen 188 en $194\,\mathrm{ppm}$ tijdens het Laatste Glaciale Maximum. Hoe helpt het een regionale verandering van zonlicht een globale klimaatverandering te worden?
24. Samengevat: wat was de daggemiddelde instraling op $65{}^{\circ}$ NB bij de junizonnewende toen het laatste [interglaciaal](#def-b2-orbital-forcing-glacials) eindigde, $116\,000$ jaar geleden?

**Oplossing van Probleem 25.1.**

**1.** Toen $0.0440 \times \sin92.7{}^{\circ} = 0.0440 \times 0.99889 = 0.04395$; nu $0.0172 \times
\sin101.4{}^{\circ} = 0.0172 \times 0.98027 = 0.01686$, ongeveer 2.6 keer minder. **2.** Toen $1 - 0.0440 = 0.956$ en $1 + 0.0440 = 1.044$; nu $0.9828$ en $1.0172$. **3.** Bij $\lambda = \varpi + 180{}^{\circ}$: toen $272.7{}^{\circ}$, nu $281.4{}^{\circ}$, beide dicht bij de decemberzonnewende ($\lambda = 270{}^{\circ}$); toen passeerde de aarde het perihelium minder dan drie dagen erna, en het aphelium bij de junizonnewende. **4.** Toen $(1.044/0.956)^2 = 1.0921^2 = 1.193$, nu $(1.0172/0.9828)^2 = 1.0350^2 = 1.071$: toen $19\,\%$ meer zonlicht in het perihelium, nu $7\,\%$. **5.** Kleiner, $22.52{}^{\circ}$ tegenover $23.45{}^{\circ}$: de zomerzon stond lager op hoge breedten, en hoge breedten ontvingen minder zonlicht in de zomer en over het jaar. **6.** Toen $340/\sqrt{1 - 0.001936} = 340/0.999032 = 340.33\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; nu $340/0.999852
= 340.05\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Het verschil, $0.28\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ of minder dan een duizendste, is onbeduidend. **7.** Bij $\lambda = 90{}^{\circ}$ is $\cos(90{}^{\circ} - \varpi) = \sin\varpi$ in [Propositie 25.3](#prop-b2-orbital-forcing-distance). **8.** Toen $(1 - 0.001936)/(1 - 0.04395) = 0.998064/0.956049 = 1.04395$; nu $(1 -
0.000296)/(1 - 0.01686) = 0.999704/0.983139 = 1.01685$. **9.** Toen $1/1.04395^2 = 0.91758$; nu $1/1.01685^2 = 0.96714$. **10.** Toen $1 - 2 \times 0.04395 = 0.91210$; nu $1 - 2 \times 0.01686 = 0.96628$: de benadering wijkt toen $0.0055$ af, nu $0.0009$. **11.** Toen $1 - 0.91758 = 8.2\,\%$ zwakker, nu $3.3\,\%$. **12.** Bij de zonnewende is $\delta = \varepsilon$: toen $22.52{}^{\circ}$, nu $23.45{}^{\circ}$. **13.** Toen $\cos h_0 = -2.14451 \times 0.41462 = -0.88916$, $h_0 = 152.77{}^{\circ} =
2.6663\,\mathrm{rad}$; nu $\cos h_0 = -2.14451 \times 0.43378 = -0.93023$, $h_0 = 158.47{}^{\circ} =
2.7659\,\mathrm{rad}$. **14.** $2h_0/15{}^{\circ}$ per uur: toen $20.37$ uur, nu $21.13$ uur. **15.** Toen $2.6663 \times 0.90631 \times 0.38301 + 0.42262 \times 0.92375 \times 0.45759 =
0.92554 + 0.17864 = 1.10418$ ($1.104\,17$ onafgerond), en $432.90 \times 1.10417 =
478.0\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; nu $2.7659 \times 0.90631 \times 0.39795 + 0.42262 \times 0.91741 \times
0.36697 = 0.99757 + 0.14228 = 1.13985$ ($1.139\,82$ onafgerond), en $432.90 \times 1.13982 = 493.4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. **16.** Toen $478.0 \times 0.91758 = 438.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; nu $493.4 \times 0.96714 =
477.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $38.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ meer dan toen. **17.** Half juli is de lengte van de zon $120{}^{\circ}$: $\sin\delta = \sin\varepsilon\sin120{}^{\circ}$, een declinatie van ongeveer $20{}^{\circ}$ in plaats van $23{}^{\circ}$, dus een kortere dag en een lagere zon: op $65{}^{\circ}$ NB is de daggemiddelde instraling het grootst rond de zonnewende, wanneer de declinatie het grootst is. **18.** Met de huidige afstand kost de verandering van de scheefstand alleen $(493.4 - 478.0) \times
0.96714 = 14.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; met de oude scheefstand kost de afstand alleen $478.0 \times
(0.96714 - 0.91758) = 23.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Samen geven ze $38.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; de afstand telde voor ongeveer drie vijfde. **19.** Na een plotselinge verandering heeft de ijskap $1 - \mathrm e^{-t/\tau}$ ervan bereikt: $1 - \mathrm e^{-0.5} = 0.39$ na $5\,\mathrm{kyr}$, $1 - \mathrm e^{-1} = 0.63$ na $10\,\mathrm{kyr}$, $1 - \mathrm e^{-2} = 0.86$ na $20\,\mathrm{kyr}$. **20.** $\omega\tau = 2\pi \times 10/23 = 2.732$: de ijskap volgt $1/\sqrt{1 + 2.732^2} =
0.34$ van de forcering, $\arctan(2.732)/\omega = 4.5$ kyr te laat. **21.** Een halve precessiecyclus, zo’n 11 tot $12\,\mathrm{kyr}$, is ongeveer één responstijd: voordat de ijskap twee derde van de weg heeft afgelegd, keert de instraling om en trekt haar terug. **22.** In het lineaire model groeit en krimpt het ijs even snel bij forceringen van dezelfde grootte: een stijgende en een dalende forcering geven spiegelbeeldige responsen. Een trage opbouw gevolgd door een snelle ineenstorting vraagt een respons die afhangt van de toestand of van de richting van de verandering, dus een niet-lineaire. **23.** Koolstofdioxide steeg met $3.93\log_2(266/194) = 1.8$ tot $3.93\log_2(282/188) =
2.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ van glaciaal naar [interglaciaal](#def-b2-orbital-forcing-glacials): een forcering over de hele aarde en het hele jaar. Vrijgekomen wanneer de Atlantische circulatie verzwakt, draagt het de verandering van de noordelijke zomers over naar de hele planeet, en versterkt het die, samen met het albedo van het krimpende ijs. **24.** Toen het laatste [interglaciaal](#def-b2-orbital-forcing-glacials) eindigde, bedroeg de daggemiddelde instraling bij de junizonnewende op $65{}^{\circ}$ NB ongeveer **$439\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$**, $39\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ minder dan nu en haar laagste waarde van de cyclus.