---
title: "Magma’s en hun intrusie"
book: "Universitaire aard- en ruimtewetenschappen — jaar 2"
subject: earth
language: nl
chapter: 5
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# Hoofdstuk 5 — Magma’s en hun intrusie

Een basaltsmelt van $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ vloeit met een viscositeit van ongeveer $70\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$: stroperig, maar hij laat zich gieten. Een droge rhyolietsmelt van $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ heeft een viscositeit van bijna $10^{11}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, en een blok ervan zou uren nodig hebben om zichtbaar onder zijn eigen gewicht door te zakken. Daartussen liggen tien grootteordes, meer dan tussen water en het basalt, en het grootste deel van het verschil komt van twee dingen: het silica dat de smelt tot een netwerk verbindt, en de temperatuur, die in silicarijke [magma’s](#def-b2-magma-emplacement-magma) enkele honderden graden lager is. Enkele procenten opgelost water, die een rhyolietmagma op diepte kan bevatten, verlagen zijn viscositeit met een factor $10^{5}$, en die winst gaat weer verloren als het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) opstijgt en het water als bellen vrijkomt. Deze getallen bepalen of een [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) rustig het oppervlak bereikt, explodeert, of kilometers diep stolt als een [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies), een [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) of een [pluton](#def-b2-magma-emplacement-bodies). Dit hoofdstuk behandelt een [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) als een materiaal: zijn dichtheid, viscositeit en vluchtige bestanddelen, de fysica van zijn opstijging door spleten en als bellen, de vormen die het aanneemt wanneer het stopt, en de warmte die het aan de omringende gesteenten afgeeft.

**Wat je al weet.**

**Viskeuze stroming** (natuurkunde, tweede jaar universiteit): in een newtonse vloeistof met viscositeit $\eta$ is de schuifspanning $\eta$ maal de snelheidsgradiënt; tussen twee evenwijdige wanden drijft een drukgradiënt een parabolisch profiel (vlakke Poiseuille-stroming) aan; een bol die langzaam door een viskeuze vloeistof beweegt, ondervindt de stokeswrijving $6\pi\eta a v$. **Warmtegeleiding** (zelfde jaar): de temperatuur voldoet aan $\partial T/\partial t = \kappa\,\partial^2T/\partial x^2$, met diffusiviteit $\kappa = k/(\rho
c)$, en een temperatuursprong spreidt zich als een foutfunctie uit over een afstand van de orde $\sqrt{\kappa t}$. **Opwaartse kracht** (natuurkunde, eerste jaar universiteit): een lichaam dat in een dichtere vloeistof is ondergedompeld, ondervindt een netto opwaartse kracht gelijk aan het gewicht van de verplaatste vloeistof min zijn eigen gewicht. **Chemisch evenwicht** (scheikunde): in evenwicht voldoen de activiteiten van producten en reactanten aan de massawerkingswet met een constante $K$ die van de temperatuur afhangt. Uit Boek 3 van deze reeks: de lithostatische druk $p = \rho g z$ en de geotherm; uit de Boeken 1 en 2: mafische en felsische gesteenten, fenokristen en porfirische texturen.

## 5.1 Wat een magma is

**Definitie 5.1 (Magma).**

Een *magma* is gesmolten of gedeeltelijk gesmolten gesteente onder het oppervlak: een *silicaatsmelt*, de vloeistof die vooral uit silicium, zuurstof en metaalkationen bestaat, samen met de kristallen en gasbellen die ze meevoert. Een *kristalbrij* is een magma dat zo rijk is aan kristallen dat ze elkaar raken en een raamwerk vormen: het kan niet als een vloeistof stromen, en zijn smelt kan alleen door de poriën tussen de kristallen bewegen.

De samenstelling van de smelt wordt, zoals voor gesteenten, gegeven in gewichtsprocent oxiden. Drie smelten dienen het hele hoofdstuk door als referentie, alle drie in het laboratorium bestudeerd: een tholeïtisch basalt dat van een mid-oceanische rug is opgedregd (ongeveer $51\,\%$ SiO$_2$, $12\,\%$ ijzeroxide, $7\,\%$ MgO), een andesiet ($63\,\%$ SiO$_2$) en een rhyoliet ($78\,\%$ SiO$_2$, $8\,\%$ Na$_2$O $+$ K$_2$O en bijna geen ijzer of magnesium). Hun eruptietemperaturen verschillen evenveel als hun samenstellingen: basaltische [magma’s](#def-b2-magma-emplacement-magma) komen tot uitbarsting bij $1000\text{ tot }1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (lava die door een lavatunnel op Kilauea stroomde, is bij bijna $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ gemeten), andesitische [magma’s](#def-b2-magma-emplacement-magma) bij $800\text{ tot }1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, rhyolitische [magma’s](#def-b2-magma-emplacement-magma) bij $650\text{ tot }800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Een rhyolitisch [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) is koeler omdat het het residu is van een lange kristallisatie of de eerste smelt van korstgesteenten, die allebei bij lage temperatuur plaatsvinden ([Hoofdstuk 8](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/8-magmatische-differentiatie#ch-b2-magmatic-differentiation)).

Het kristalgehalte bepaalt of een [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) stroomt. Veld- en geochronologische studies van grote granietlichamen concluderen dat magmatische stroming in bulk een smeltfractie van minstens $30\text{ tot }50\,\%$ in volume vraagt; daaronder zijn de kristallen aan hun buren vastgegroeid en vervormt het materiaal als een vaste stof met poriën vol smelt. Een groot deel van het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) dat in de korst is opgeslagen, verkeert vermoedelijk in die toestand, als een brij die weer mobiel wordt wanneer er van onderen heet [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) bijkomt.

## 5.2 Dichtheid en viscositeit

### 5.2.1 De dichtheid van een smelt

Een [silicaatsmelt](#def-b2-magma-emplacement-magma) heeft geen kristalrooster, maar zijn volume kan toch worden opgebouwd uit zijn componenten. Experimenten met veel smelten tonen dat elk oxide een bijna vast volume per mol bijdraagt, zijn partieel molair volume, dat langzaam en lineair met temperatuur en druk verandert; het volume van de smelt is de som van deze bijdragen. De tabel hieronder geeft de waarden die in dit hoofdstuk worden gebruikt.

| Oxide | $\bar V_i$ ($\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{mol}$) | $\partial\bar V_i/\partial T$ ($10^{-3}$ $\mathrm{cm}^{3}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$) | $\partial\bar V_i/\partial p$ ($10^{-4}$ $\mathrm{cm}^{3}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{bar})$) |
| --- | --- | --- | --- |
| SiO$_2$ | 26.86 | 0 | $-1.89$ |
| Al$_2$O$_3$ | 37.42 | 2.62 | $-2.26$ |
| FeO | 12.68 | 3.69 | $-0.45$ |
| MgO | 12.02 | 3.27 | $0.27$ |
| CaO | 16.90 | 3.74 | $0.34$ |
| Na$_2$O | 29.65 | 7.68 | $-2.40$ |
| K$_2$O | 47.28 | 12.08 | $-6.75$ |
| H$_2$O | 22.9 | 9.5 | $-3.20$ |

***Table 5.1.** Partiële molaire volumes van oxidecomponenten in [silicaatsmelten](#def-b2-magma-emplacement-magma) bij $1\,\mathrm{bar}$, met hun afgeleiden naar temperatuur en druk. De referentietemperatuur is $1773\,\mathrm{K}$ (FeO $1723\,\mathrm{K}$, H$_2$O $1273\,\mathrm{K}$). Gegevens: compilatie van het programma DensityX (Iacovino en Till, 2019).*

**Propositie 5.2 (Dichtheid van een silicaatsmelt).**

Laat een smelt oxidecomponenten $i$ bevatten met molfracties $X_i$, molaire massa’s $M_i$ en partiële molaire volumes $\bar V_i(T, p) = \bar V_i^{\circ} + (\partial\bar
V_i/\partial T)(T - T_{\mathrm{ref}}) + (\partial\bar V_i/\partial p)(p - p_{\mathrm{ref}})$. Als de componenten ideaal mengen in volume, geldt

$$
\rho = \frac{\sum_i X_i M_i}{\sum_i X_i \bar V_i(T,p)}.
$$

**Bewijs.** Eén mol smelt bevat $X_i$ mol van component $i$, met massa $X_iM_i$. Ideale menging in volume betekent dat elke mol van component $i$ het volume $\bar V_i$ toevoegt, wat de andere ook zijn, dus de mol smelt neemt $\sum_i X_i\bar V_i$ in. De dichtheid is de verhouding van de twee. ∎

Water heeft een molaire massa van slechts $18\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ maar een partieel molair volume van $22.9\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{mol}$, dicht bij dat van silica: het verlaagt de dichtheid van een smelt sterk. Toegepast op de drie referentiesmelten geeft de propositie $2730\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ voor het basalt bij $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $2480\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ voor het andesiet bij $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $2340\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ voor het droge rhyoliet bij $850\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; één procent opgelost water haalt ongeveer $70\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ van het basalt af, evenveel als enkele honderden graden verwarming. Een basaltsmelt is daarom lichter dan het mantelperidotiet waaruit hij komt (ongeveer $3380\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ onder de korst in het referentiemodel van de aarde) en een beetje lichter dan de onderkorst van dat model ($2900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$), terwijl een rhyolietsmelt zelfs lichter is dan de bovenkorst ervan ($2600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$). Dit verschil drijft [magma’s](#def-b2-magma-emplacement-magma) omhoog.

### 5.2.2 Viscositeit

De viscositeit van een [silicaatsmelt](#def-b2-magma-emplacement-magma) wordt bepaald door het netwerk van SiO$_4$-tetraëders die via gedeelde zuurstofatomen verbonden zijn: om te stromen moet de smelt silicium–zuurstofbindingen verbreken en opnieuw vormen. Silica en alumina bouwen het netwerk; de kationen van magnesium, ijzer, calcium en de alkalimetalen breken het, en water ook, dat brugvormende zuurstofatomen in hydroxylgroepen omzet. Laboratoriummetingen aan natuurlijke smelten beslaan meer dan vijftien grootteordes, van $0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ tot $10^{14}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, en ze volgen geen eenvoudige arrheniuswet: de viscositeit stijgt sneller dan exponentieel in $1/T$ naarmate de smelt afkoelt naar zijn glasovergang.

**Propositie 5.3 (Wet van Vogel–Fulcher–Tammann).**

De viscositeit van een [silicaatsmelt](#def-b2-magma-emplacement-magma) met vaste samenstelling volgt, binnen enkele tienden van een logaritmische eenheid,

$$
\log_{10}\eta = A + \frac{B}{T - C},
$$

met $\eta$ in pascalseconde en $T$ in kelvin. Voor natuurlijke smelten ligt $A$ dicht bij $-4.55$, wat de samenstelling ook is; $B$ en $C$ (in kelvin) zijn lineaire combinaties van de molpercentages van de oxiden, met enkele producten ervan, gefit op ongeveer $1800$ metingen.

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

De figuur hieronder toont de wet voor de drie referentiesmelten en voor het rhyoliet met opgelost water. Bij $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ heeft het basalt $\eta \approx 70\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; het andesiet bij $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ongeveer $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; het droge rhyoliet bij $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ongeveer $10^{10.9}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Vier procent water brengt hetzelfde rhyoliet terug tot $10^{5.5}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, zes procent tot $10^{4.6}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Een onafhankelijke vergelijking, alleen gefit op waterhoudende granitische smelten, geeft dezelfde waarden binnen een halve logaritmische eenheid ([Oefening 5.1](#exo-b2-magma-emplacement-1)). Het effect van water is het grootst bij lage temperatuur, waar enkele tienden van een procent de viscositeit met grootteordes veranderen.

![Viscositeit van silicaatsmelten tegen de temperatuur, volgens de wet van Vogel–Fulcher–Tammann met de van de samenstelling afhankelijke parameters van Giordano, Russell en Dingwell (2008). Basalt: een tholeïet van een mid-oceanische rug; andesiet en rhyoliet: referentiesmelten uit het laboratorium (Moore en anderen, 1998). Elke kromme is getekend over de temperaturen waarbij zo’n magma gesmolten kan zijn.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/fig-df519953b2ba.svg)

*Viscositeit van [silicaatsmelten](#def-b2-magma-emplacement-magma) tegen de temperatuur, volgens de wet van Vogel–Fulcher–Tammann met de van de samenstelling afhankelijke parameters van Giordano, Russell en Dingwell (2008). Basalt: een tholeïet van een mid-oceanische rug; andesiet en rhyoliet: referentiesmelten uit het laboratorium (Moore en anderen, 1998). Elke kromme is getekend over de temperaturen waarbij zo’n [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) gesmolten kan zijn.*

Kristallen maken een [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) nog stijver. Een suspensie van starre deeltjes verzet zich sterker tegen afschuiving dan haar vloeistof alleen, omdat de vloeistof om de deeltjes heen moet stromen, en wanneer de deeltjes dicht genoeg opeengepakt zijn om elkaar te raken, vergrendelen ze tot een raamwerk.

**Propositie 5.4 (Relatie van Einstein–Roscoe).**

Een suspensie van een volumefractie $\phi$ starre bollen in een newtonse vloeistof met viscositeit $\eta_{\ell}$ heeft de viscositeit

$$
\eta = \eta_{\ell}\,(1 - R\phi)^{-2.5}, \qquad R = 1/\phi_m \approx 1.35,
$$

waarbij $\phi_m$ de maximale pakkingsfractie is, waarbij de suspensie vastloopt. Voor kleine $\phi$ wordt dit de relatie van Einstein, $\eta = \eta_{\ell}(1 + 2.5\phi)$.

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

Twintig procent kristallen verdubbelt de viscositeit, veertig procent vermenigvuldigt haar met zeven, zestig procent met meer dan zestig ([Oefening 5.5](#exo-b2-magma-emplacement-5)); in echte [magma’s](#def-b2-magma-emplacement-magma), waar de kristallen langwerpig en van veel groottes zijn, komt de vergrendeling eerder, rond de $50\text{ tot }70\,\%$ kristallen waarbij de veldgegevens het einde van de stroming in bulk plaatsen.

## 5.3 Vluchtige bestanddelen

**Definitie 5.5 (Magmatische vluchtige bestanddelen).**

Een *magmatisch vluchtig bestanddeel* is een component van een [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) dat op diepte in de smelt is opgelost en bij lage druk een aparte gasfase vormt: vooral water, dan koolstofdioxide, dan zwavelverbindingen. *Ontmenging van vluchtige bestanddelen* is de scheiding van een vluchtig bestanddeel uit de smelt in gasbellen. De *verzadigingsdruk van vluchtige bestanddelen* van een smelt is de druk waaronder zijn opgeloste vluchtige bestanddelen hun oplosbaarheid overschrijden, zodat zich een gasfase moet vormen.

Mafische [magma’s](#def-b2-magma-emplacement-magma) bevatten gewoonlijk $1\text{ tot }3\,\%$ vluchtige bestanddelen in massa, intermediaire [magma’s](#def-b2-magma-emplacement-magma) $3\text{ tot }4\,\%$, felsische [magma’s](#def-b2-magma-emplacement-magma) $4\text{ tot }7\,\%$, en de ontmenging van $4\text{ tot }6\,\%$ water drijft de meeste explosieve erupties aan. Hoeveel water een smelt kan bevatten, hangt vooral van de druk af. De figuur hieronder toont metingen aan basaltische en rhyolitische smelten die bij een bekende waterdruk werden gehouden tot ze verzadigd waren, daarna tot glas afgeschrikt en geanalyseerd: de oplosbaarheid stijgt steil bij lage druk en trager bij hoge druk.

**Propositie 5.6 (Wortelwet voor water).**

Veronderstel dat water in een [silicaatsmelt](#def-b2-magma-emplacement-magma) vooral als hydroxylgroepen oplost, via de reactie $\mathrm{H_2O\,(gas)} + \mathrm{O^{2-}\,(melt)} \rightleftharpoons
2\,\mathrm{OH^-\,(melt)}$, met de zuurstof van de smelt in grote overmaat. Dan is, bij lage watergehalten, het opgeloste water evenredig met de vierkantswortel van de waterdruk: $w \approx s\sqrt{p}$, met $s$ een constante die afhangt van de smelt en de temperatuur.

**Bewijs.** De massawerkingswet geeft $x_{\mathrm{OH}}^2 = K\,x_{\mathrm{O}}\,f$, waarbij $f$ de fugaciteit van water is (bij matige drukken dicht bij zijn druk) en de $x$ molfracties zijn. De zuurstof van de smelt is in grote overmaat, dus $x_{\mathrm{O}}$ blijft bijna constant, en $x_{\mathrm{OH}} = \sqrt{Kx_{\mathrm{O}}}\,
\sqrt f$. Elke opgeloste watermolecule vormt twee hydroxylgroepen, dus het opgeloste water is $x_{\mathrm{OH}}/2$, evenredig met $\sqrt f$. Bij hogere gehalten lost een deel van het water op als moleculen, evenredig met $f$ zelf, en stijgt de oplosbaarheid sneller dan de vierkantswortel ([Oefening 5.10](#exo-b2-magma-emplacement-10)). ∎

Met de kleinste kwadraten op de metingen gefit, geeft $w = s\sqrt p$ $s = 0.34$ gewichtsprocent per $\sqrt{\mathrm{MPa}}$ voor de basalten en $s = 0.44$ voor de rhyolieten; elke meting ligt binnen één procent water van haar kromme. De verzadigingsdruk van een smelt met $w$ procent water is dan $p_s = (w/s)^2$: $129\,\mathrm{MPa}$ voor een rhyoliet met $5\,\%$ water, ongeveer $5\,\mathrm{km}$ diep in de korst, maar slechts $2\,\mathrm{MPa}$ voor een basalt met $0.5\,\%$, honderd meter of minder.

![Oplosbaarheid van water in basaltische en rhyolitische smelten bij 800 to 1200\, C tegen de waterdruk: metingen verzameld door Moore en anderen (1998), en wortelwetten gefit met de kleinste kwadraten. Bij 100\, MPa, ongeveer 4\, km diep in de korst, kan een rhyoliet 4.4\,\% water bevatten, een basalt 3.4\,\%.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/fig-e6add1f2b146.svg)

*Oplosbaarheid van water in basaltische en rhyolitische smelten bij $800\text{ tot }1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ tegen de waterdruk: metingen verzameld door Moore en anderen (1998), en wortelwetten gefit met de kleinste kwadraten. Bij $100\,\mathrm{MPa}$, ongeveer $4\,\mathrm{km}$ diep in de korst, kan een rhyoliet $4.4\,\%$ water bevatten, een basalt $3.4\,\%$.*

Koolstofdioxide is veel minder oplosbaar dan water. Het lost op als moleculen in rhyolieten en als carbonaatgroepen in basalten, meer in alkalische smelten dan in tholeïeten, en ook zijn oplosbaarheid stijgt met de druk. Een [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) met beide gassen begint daarom al diep te ontmengen, met een gas dat zeer rijk is aan CO$_2$, en het gas wordt rijker aan water naarmate het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) opstijgt. Basalten die op de diepe zeebodem zijn uitgevloeid, bevatten blaasjes met meer dan $95\,\%$ CO$_2$, wat verzadiging met CO$_2$ vereiste, zelfs onder $5\,\mathrm{km}$ water. Schattingen van het oorspronkelijke CO$_2$-gehalte van de moederbasalten van Kilauea lopen van $0.2\text{ tot }0.6\,\%$, en smeltinsluitsels die in hun olivijnkristallen zijn opgesloten, leggen verzadigingsdrukken tot $500\,\mathrm{MPa}$ vast.

Ontmengd gas neemt een groot volume in. Eén procent water in een [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) van $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ neemt, als ideaal gas, ongeveer $12\,\%$ van het volume in bij $100\,\mathrm{MPa}$, $57\,\%$ bij $10\,\mathrm{MPa}$ en meer dan $99\,\%$ bij atmosferische druk ([Oefening 5.7](#exo-b2-magma-emplacement-7)). De bellen verlagen de dichtheid van het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) nog meer en drijven het sneller omhoog; in een viskeus [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) kunnen ze niet ontsnappen, en [Hoofdstuk 6](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/6-vulkaanuitbarstingen#ch-b2-eruptive-styles) laat zien hoe ze het fragmenteren.

## 5.4 Opstijging

Een magmalichaam dat minder dicht is dan zijn omgeving, ondervindt een opwaartse kracht van $\Delta\rho\,g$ per volume-eenheid, waarbij $\Delta\rho$ het dichtheidsverschil is. Het kan op twee manieren opstijgen: door een spleet die het voor zich uit opent, of als een hete, zachte bel die het omringende gesteente opzij duwt.

### 5.4.1 Gangen

Op diepte staat het gesteente onder een grote lithostatische druk, maar een spleet gevuld met [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) onder een iets hogere druk dan de kleinste hoofdspanning kan opengaan en aan haar top langer worden. [Magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) vult de spleet terwijl die groeit, en het resultaat is een dunne plaat [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma), meters breed en kilometers lang, die zich een weg omhoog snijdt: een [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) in wording. Het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) stroomt dan tussen twee bijna evenwijdige wanden.

**Propositie 5.7 (Stroming van magma in een gang).**

Een newtons [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) met viscositeit $\eta$ dat door een drukgradiënt $G$ omhoog wordt gedreven (voor stroming door opwaartse kracht $G = \Delta\rho\,g$) tussen twee evenwijdige wanden op een afstand $w$ van elkaar, stroomt met de gemiddelde snelheid

$$
\bar u = \frac{G w^2}{12\,\eta},
$$

en het volumedebiet per lengte-eenheid van de [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) is $q = \bar u w = G w^3/(12\eta)$.

**Bewijs.** Bij stationaire laminaire stroming is het snelheidsprofiel over de [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de vlakke poiseuilleparabool $u(x) = \frac{G}{2\eta}\left(\frac{w^2}{4} - x^2\right)$, voor $-w/2 \le x \le w/2$, die op beide wanden nul is. Haar gemiddelde is $\bar u = \frac1w\int_{-w/2}^{w/2}u\,dx = \frac{G}{2\eta}\left(\frac{w^2}{4} -
\frac{w^2}{12}\right) = \frac{Gw^2}{12\eta}$. ∎

De derde macht van de breedte maakt brede [gangen](#def-b2-magma-emplacement-bodies) veel efficiënter dan smalle. Een basalt van $100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ in een [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) van $1\,\mathrm{m}$ breed, met $\Delta\rho =
300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, stijgt met ongeveer $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en doorkruist $10\,\mathrm{km}$ korst in een uur; een rhyoliet van $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ in dezelfde [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) zou er meer dan een jaar over doen, en onderweg stollen, dus silicarijke [magma’s](#def-b2-magma-emplacement-magma) hebben veel bredere [gangen](#def-b2-magma-emplacement-bodies) nodig ([Oefening 5.6](#exo-b2-magma-emplacement-6)). Het reynoldsgetal $\rho\bar u w/\eta$ van deze stromingen is klein genoeg om ze laminair te houden. Opstijgsnelheden die voor [magma’s](#def-b2-magma-emplacement-magma) tijdens erupties zijn geschat, scheiden effusieve erupties, onder ongeveer $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, van explosieve erupties erboven, met een overgangsgebied van $0.005\text{ tot }0.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ waarin beide stijlen voorkomen; kimberlieten, die van diepten van meer dan $150\,\mathrm{km}$ komen, zijn geschat op $0.1\text{ tot }30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, en een diffusiestudie van een ervan geeft $0.02\text{ tot }0.23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, gemiddeld over de laatste $80\text{ tot }110\,\mathrm{km}$, een reis van $5\text{ tot }74$ dagen.

### 5.4.2 Diapieren

**Definitie 5.8 (Diapier, niveau van neutraal drijfvermogen, stoping).**

Een *diapier* is een lichaam van licht materiaal, [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) of gedeeltelijk gesmolten gesteente, dat door zijn omgeving opstijgt door die opzij te laten vloeien. Het *niveau van neutraal drijfvermogen* van een [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) is de diepte waarop zijn dichtheid gelijk is aan die van het omringende gesteente: daaronder is het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) lichter, daarboven is het dichter dan zijn omgeving. *Magmatische stoping* is het loskomen van blokken van het wand- of dakgesteente, die in het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) zinken; blokken die in het gestolde gesteente ingesloten blijven, zijn xenolieten.

**Propositie 5.9 (Opstijging volgens Stokes).**

Een bol met straal $a$ en dichtheidstekort $\Delta\rho$ die langzaam opstijgt door een newtons medium met viscositeit $\eta$, bereikt de eindsnelheid

$$
v = \frac{2\,\Delta\rho\,g\,a^2}{9\,\eta}
$$

als hij star is, en $1.5$ keer deze waarde als hij een vloeistof met verwaarloosbare viscositeit is.

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

Het gesteente rond een [diapier](#def-b2-magma-emplacement-ascent) is geen vloeistof van $100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ maar een hete vaste stof, waarvan de viscositeit vele grootteordes hoger is dan die van welke smelt ook: in de korst stijgt een magmabol van een kilometer doorsnede maar millimeters per jaar, en verliest hij zijn warmte lang voordat hij ver is gestegen ([Oefening 5.9](#exo-b2-magma-emplacement-9)). [Diapieren](#def-b2-magma-emplacement-ascent) werken waar de omgeving heet en zacht is, in de mantel en in de diepe wortels van gebergten, en waar het lichte materiaal een gedeeltelijk gesmolten massa van kilometers doorsnede is; de ondiepe korst wordt door [gangen](#def-b2-magma-emplacement-bodies) doorkruist.

## 5.5 Intrusie

Het meeste [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) bereikt nooit het oppervlak. Het stopt waar het niet langer lichter is, of waar een sterkere laag het tegenhoudt, en spreidt zich uit tot een lichaam waarvan de vorm vastlegt hoe het ruimte voor zichzelf maakte.

**Definitie 5.10 (Intrusieve lichamen).**

Een *pluton* is elk magmalichaam dat binnen de korst is gestold. Een *gang* is een plaatvormig pluton dat de gelaagdheid van zijn gastgesteente doorsnijdt (of elke plaat als het gastgesteente geen gelaagdheid heeft); een *sill* is een plaatvormig pluton evenwijdig aan de gelaagdheid. Een *laccoliet* is een sill die dikker is geworden door de bovenliggende lagen tot een koepel op te duwen. Een *batholiet* is een groot pluton, of een verzameling plutonen, met een dagzomend oppervlak van meer dan $100\,\mathrm{km}^{2}$.

![Vormen van intrusieve lichamen in een gelaagd gastgesteente (schematisch, niet op schaal): een toevoergang die de lagen doorsnijdt, een sill langs een laagvlak, een laccoliet die de lagen erboven opbolt, een gang die tot aan het oppervlak snijdt, en een batholiet met blokken die van zijn dak zijn losgekomen en een contacthof.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/fig-ca62f6b04f10.svg)

*Vormen van intrusieve lichamen in een gelaagd gastgesteente (schematisch, niet op schaal): een toevoergang die de lagen doorsnijdt, een [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) langs een laagvlak, een [laccoliet](#def-b2-magma-emplacement-bodies) die de lagen erboven opbolt, een [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) die tot aan het oppervlak snijdt, en een [batholiet](#def-b2-magma-emplacement-bodies) met blokken die van zijn dak zijn losgekomen en een [contacthof](#def-b2-magma-emplacement-aureole).*

Waar een [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) stopt, hangt eerst af van zijn dichtheid. In een korst waarvan de dichtheid met de diepte toeneemt, stijgt een [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) tot zijn [niveau van neutraal drijfvermogen](#def-b2-magma-emplacement-ascent) en spreidt het zich daar zijwaarts uit, als een [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) of een lens; lichte sedimenten dicht bij het oppervlak zijn bijzonder doeltreffende vallen voor dicht basaltmagma. Een sterke, stijve laag kan ook een [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) tegenhouden en langs haar basis omleiden. De figuur hieronder toont het principe.

![Het niveau van neutraal drijfvermogen (schematisch). De dichtheid van de korst neemt toe met de diepte, door compactie van sedimenten en door de overgang naar dichtere gesteenten; een magma met vaste dichtheid stijgt zolang het lichter is dan zijn omgeving (gearceerd) en spreidt zich uit waar de twee dichtheden elkaar ontmoeten.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/fig-bb7824b73aea.svg)

*Het [niveau van neutraal drijfvermogen](#def-b2-magma-emplacement-ascent) (schematisch). De dichtheid van de korst neemt toe met de diepte, door compactie van sedimenten en door de overgang naar dichtere gesteenten; een [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) met vaste dichtheid stijgt zolang het lichter is dan zijn omgeving (gearceerd) en spreidt zich uit waar de twee dichtheden elkaar ontmoeten.*

Een [pluton](#def-b2-magma-emplacement-bodies) moet ruimte voor zichzelf maken. Het kan zijn dak optillen, zoals een [laccoliet](#def-b2-magma-emplacement-bodies) doet; het kan zijn wanden opzij duwen waar die zacht zijn; het kan ruimte vullen die door breuken is geopend; en het kan zijn dak blok voor blok laten afbreken. Grote [plutonen](#def-b2-magma-emplacement-bodies) werden lang voorgesteld als enorme magmatanks die in één keer werden geplaatst. Datering heeft dat beeld veranderd. De zirkonen van de Tuolumne Intrusive Suite, een granietbatholiet in Californië, tonen dat ze werd geplaatst tussen $95$ en $85\,\mathrm{Ma}$, het oudst aan de randen en het jongst in het centrum, en een van haar eenheden alleen al over meer dan $3\,\mathrm{Myr}$, tussen $92.8\,\mathrm{Ma}$ en $88.8\,\mathrm{Ma}$. Eén enkel magmalichaam van $5\,\mathrm{km}$ dik en $20\,\mathrm{km}$ breed, geplaatst op $15\,\mathrm{km}$ diepte, zou onder $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, waar het ongeveer half gekristalliseerd is, zijn afgekoeld in ongeveer $500\,000$ jaar. Zulke [plutonen](#def-b2-magma-emplacement-bodies) moeten stapsgewijs zijn opgebouwd, uit veel kleinere intrusies zoals platen en [gangen](#def-b2-magma-emplacement-bodies), over miljoenen jaren ([Oefening 5.11](#exo-b2-magma-emplacement-11)).

![Een gang bij Shiprock, in het Navajo Volcanic Field (New Mexico): het ganggesteente weerstond de erosie beter dan de zandsteen en schalie die het doorsneed, en staat nu als een muur; in de verte de vulkanische schoorsteen waaruit meerdere zulke gangen uitstralen. Foto: Dexter Perkins (CC0).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/img-275f4c2b5c29.jpg)

*Een [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) bij Shiprock, in het Navajo Volcanic Field (New Mexico): het ganggesteente weerstond de erosie beter dan de zandsteen en schalie die het doorsneed, en staat nu als een muur; in de verte de vulkanische schoorsteen waaruit meerdere zulke [gangen](#def-b2-magma-emplacement-bodies) uitstralen. Foto: Dexter Perkins (CC0).*

## 5.6 Afkoeling en contactmetamorfose

Een intrusie verliest haar warmte door geleiding naar haar gastgesteenten. Het eenvoudigste model behandelt de intrusie en haar gastgesteente als één geleidend medium met uniforme diffusiviteit $\kappa$: op tijdstip nul heeft een plaat met dikte $b$ de intrusietemperatuur $T_m$ en het gastgesteente $T_0$. De oplossing van de warmtevergelijking, met $x$ gemeten vanaf het midden van de plaat, is

$$
T(x,t) = T_0 + \frac{T_m - T_0}{2}\left[\operatorname{erf}\frac{b/2 - x}{2\sqrt{\kappa t}}
+ \operatorname{erf}\frac{b/2 + x}{2\sqrt{\kappa t}}\right].
$$

De figuur hieronder toont ze voor een [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) van $100\,\mathrm{m}$ dik.

**Propositie 5.11 (Contacttemperatuur).**

In dit model blijft, zolang $\sqrt{\kappa t}$ klein is ten opzichte van $b$, de temperatuur aan het contact van de intrusie op het gemiddelde $(T_m + T_0)/2$ van de temperaturen van intrusie en gastgesteente.

**Bewijs.** Aan het contact $x = b/2$ is de eerste foutfunctie $\operatorname{erf}0 = 0$ en de tweede $\operatorname{erf}(b/(2\sqrt{\kappa t}))$, die dicht bij $1$ ligt zolang $b \gg 2\sqrt{\kappa t}$. Dan is $T = T_0 + (T_m - T_0)/2$. ∎

Een basaltgang van $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ in gesteenten van $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ verhit zo zijn contact tot $600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. De kristallisatiewarmte, gewoonlijk $700\text{ tot }1000\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$, houdt het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) langer heet en verhoogt deze waarde: met $900\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ die vrijkomt tussen $1150$ en $950\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, geeft hetzelfde model $690\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, terwijl temperatuurafhankelijke geleidbaarheden en natte gastgesteenten beide schattingen met 50 tot $75\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ verlagen.

![Conductieve afkoeling van een sill van 100\, m dik (gearceerd), geïntrudeerd bij 1150\, C in gesteente van 100\, C, met = 0.7 × 10-6\, m2/ s en zonder latente warmte. Het contact blijft decennialang rond 625\, C terwijl de warmte zich in het gastgesteente verspreidt; na twee eeuwen vormen de sill en zijn omgeving één brede warme zone.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/fig-08d021217845.svg)

*Conductieve afkoeling van een [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) van $100\,\mathrm{m}$ dik (gearceerd), geïntrudeerd bij $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ in gesteente van $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, met $\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ en zonder latente warmte. Het contact blijft decennialang rond $625\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ terwijl de warmte zich in het gastgesteente verspreidt; na twee eeuwen vormen de [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) en zijn omgeving één brede warme zone.*

De tijdschaal van de afkoeling is de tijd die warmte nodig heeft om door de intrusie te diffunderen, van de orde $(b/2)^2/\kappa$: ongeveer $16$ dagen voor een [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) van $2\,\mathrm{m}$ breed, een eeuw voor een [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) van $100\,\mathrm{m}$ dik, honderdduizend jaar voor een [pluton](#def-b2-magma-emplacement-bodies) van enkele kilometers. De latente warmte verlengt ze, en ook de noodzaak om het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) te laten stollen in plaats van het alleen af te koelen.

**Propositie 5.12 (Stolling van een intrusie).**

Laat [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) op zijn stollingstemperatuur $T_m$, met latente warmte $L$ per volume-eenheid, de ruimte $y > 0$ vullen naast een gastgesteente op $T_0$ dat $y < 0$ inneemt, beide met warmtecapaciteit $\rho c$ per volume-eenheid en diffusiviteit $\kappa$. Het stollingsfront schuift op als $y_s = 2\lambda\sqrt{\kappa t}$, waarbij $\lambda$ de wortel is van

$$
\frac{L\sqrt\pi}{\rho c\,(T_m - T_0)} = \frac{e^{-\lambda^2}}{\lambda\,(1 + \operatorname{erf}\lambda)},
$$

en het contact blijft op $T_0 + (T_m - T_0)/(1 + \operatorname{erf}\lambda)$. Een [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) met dikte $b$, die vanaf beide wanden stolt, is vast na $t = b^2/(16\lambda^2\kappa)$.

**Bewijs.** Het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) voor het front blijft op $T_m$, dus warmte stroomt alleen in de vaste stof en het gastgesteente, waar de vorm $T = T_0 + (T_m - T_0)(1 + \operatorname{erf}\xi)/(1 +
\operatorname{erf}\lambda)$ met $\xi = y/(2\sqrt{\kappa t})$ wordt geprobeerd. Elke functie van $\xi$ van de vorm $\alpha + \beta\operatorname{erf}\xi$ lost de warmtevergelijking op; deze nadert $T_0$ ver in het gastgesteente ($\xi \to -\infty$) en is gelijk aan $T_m$ op het front $\xi = \lambda$. Bij $y = 0$ geeft ze de genoemde contacttemperatuur. Op het front moet de latente warmte die de oprukkende vaste stof vrijmaakt, $L\,dy_s/dt = L\lambda\sqrt{\kappa/t}$ per oppervlakte- en tijdseenheid, worden afgevoerd, $k\,\partial T/\partial y = k(T_m -
T_0)\,e^{-\lambda^2}/[(1 + \operatorname{erf}\lambda)\sqrt{\pi\kappa t}]$. Gelijkstellen van de twee en gebruik van $k = \rho c\kappa$ geeft de vergelijking voor $\lambda$. Elke wand van de [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) laat zijn eigen front groeien, onafhankelijk zolang de kern op $T_m$ blijft; de twee fronten ontmoeten elkaar als $2\lambda\sqrt{\kappa t} = b/2$. ∎

Met de latente warmte van een basalt en een gastgesteente van ongeveer $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ is $\lambda$ ongeveer $0.65$: een [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) van $100\,\mathrm{m}$ dik stolt in ongeveer zeventig jaar, en zijn contact blijft intussen rond $740\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ in plaats van $625\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Het weekendprobleem werkt dit geval uit. Omdat de tijd groeit met het kwadraat van de dikte, doet een tien keer dikkere [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) er honderd keer langer over.

**Definitie 5.13 (Contacthof en zijn gesteenten).**

Een *afschrikrand* is de fijnkorrelige of glasachtige rand van een intrusie, waar het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) snel afkoelde tegen kouder gastgesteente. Een *contacthof* is de zone van gastgesteente rond een intrusie die door haar warmte werd gemetamorfoseerd. *Hoornrots* is het harde, fijnkorrelige, niet-gefolieerde gesteente waarin moddersteen en vulkanische gesteenten veranderen in een contacthof. *Skarn* is het gesteente dat ontstaat waar hete magmatische fluïda reageren met carbonaatgastgesteente en calcium–ijzer–magnesiumsilicaten zoals granaat en pyroxeen afzetten, vaak met magnetiet en metaalsulfiden.

Contacthoven variëren van enkele centimeters rond kleine [gangen](#def-b2-magma-emplacement-bodies) en [sills](#def-b2-magma-emplacement-bodies) tot enkele tientallen meters rond een grote stock, en contactmetamorfose beslaat ongeveer $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ tot meer dan $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Een moddersteen wordt een [hoornrots](#def-b2-magma-emplacement-aureole), een kalksteen een marmer, een zandsteen een kwartsiet. Een [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) dat diep wordt geplaatst in gesteenten die al heet zijn, vormt bijna geen [contacthof](#def-b2-magma-emplacement-aureole): de breedte hangt af van de grootte en temperatuur van de intrusie en van de temperatuur van haar gastgesteente, zoals het afkoelingsmodel voorspelt ([Oefening 5.12](#exo-b2-magma-emplacement-12)). De mineralen die in een [contacthof](#def-b2-magma-emplacement-aureole) groeien, en wat ze over de temperatuur zeggen, horen bij [Hoofdstuk 10](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/10-metamorfe-reacties-en-facies#ch-b2-metamorphic-facies); de metalen die [skarns](#def-b2-magma-emplacement-aureole) concentreren, bij [Hoofdstuk 29](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/29-ertsafzettingen#ch-b2-ore-deposits).

**In het veld — De contacten van een gang lezen.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/img-b11b8d5434ec.jpg)

*Een geoloog onderzoekt het contact van een donkere [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) met licht gastgesteente (door AI gegenereerde illustratie).*

Waar een [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) dagzoomt, volgt een geoloog eerst zijn contacten met het gastgesteente. Een rand die fijnkorreliger of glasachtiger is dan het centrum van de [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies), toont dat het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) tegen koud gesteente werd afgeschrikt; een [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) van $25\,\mathrm{cm}$ breed die aan de kust van Brits-Columbia werd bestudeerd, heeft [afschrikranden](#def-b2-magma-emplacement-aureole) van $2\,\mathrm{cm}$ dik. Het gastgesteente naast het contact wordt onderzocht op verhitting: een kleurverandering, een verharding, nieuwe mineralen die van de [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) weg vervagen. De breedte van de verhitte zone en van de [afschrikrand](#def-b2-magma-emplacement-aureole), gemeten ten opzichte van de breedte van de [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies), geeft aan hoe heet het gastgesteente was toen de [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) aankwam; een [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) zonder [afschrikrand](#def-b2-magma-emplacement-aureole) en zonder [contacthof](#def-b2-magma-emplacement-aureole) drong binnen in gesteenten die al heet waren. Er worden monsters genomen dwars over de [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies), van rand tot centrum, voor de geochemie van zijn smelt en voor de grootte van zijn kristallen.

## 5.7 Oefeningen

**Oefening 5.1 ★.**

Voor waterhoudende granitische smelten geeft een op metingen gefitte vergelijking $\log_{10}\eta = [-3.545 + 0.833\ln w] + [9601 - 2368\ln w]/\{T - [195.7 + 32.25\ln
w]\}$, met $\eta$ in $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $w$ het watergehalte in gewichtsprocent en $T$ in kelvin. Bereken $\log_{10}\eta$ bij $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ voor $w = 1$ en $w = 4$, en de factor waarmee de drie extra procent water de viscositeit verlagen.

**Oplossing van Oefening 5.1.**

$T = 1073\,\mathrm{K}$. Voor $w = 1$ is $\ln w = 0$: $\log_{10}\eta = -3.545 +
9601/(1073 - 195.7) = -3.545 + 10.94 = 7.40$. Voor $w = 4$ is $\ln 4 = 1.386$: $A = -3.545 + 1.155 = -2.390$, $B = 9601 - 3283 = 6318$, $C = 195.7 + 44.7 =
240.4$, en $\log_{10}\eta = -2.390 + 6318/832.6 = -2.390 + 7.588 = 5.20$. De viscositeit daalt met een factor $10^{7.40 - 5.20} = 10^{2.20} \approx 160$.

**Oefening 5.2 ★.**

Bereken met de wortelwet, $s = 0.44$ voor een rhyoliet en $s = 0.34$ voor een basalt (gewichtsprocent per $\sqrt{\mathrm{MPa}}$), de verzadigingsdruk van een rhyoliet met $6\,\%$ water en van een basalt met $0.5\,\%$, en de overeenkomstige diepten in een korst met dichtheid $2600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ($g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$).

**Oplossing van Oefening 5.2.**

Rhyoliet: $p_s = (6/0.44)^2 = 186\,\mathrm{MPa}$, op een diepte van $186 \times 10^{6}/(2600\times9.81)
= 7.3\,\mathrm{km}$. Basalt: $p_s = (0.5/0.34)^2 = 2.16\,\mathrm{MPa}$, op $2.16 \times 10^{6}/(2600\times9.81) = 85\,\mathrm{m}$. Het rhyoliet begint diep in de korst bellen te vormen, het basalt pas dicht bij het oppervlak (als het geen CO$_2$ bevat).

**Oefening 5.3 ★.**

Bereken de contacttemperatuur van een basaltgang van $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ die in gesteenten van $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ is geïntrudeerd, en daarna in gesteenten van $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Welke van de twee [gangen](#def-b2-magma-emplacement-bodies) krijgt de bredere [afschrikrand](#def-b2-magma-emplacement-aureole)?

**Oplossing van Oefening 5.3.**

$(1150 + 50)/2 = 600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $(1150 + 400)/2 = 775\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. De [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) in het koude gesteente wordt aan zijn contact sterker afgeschrikt, en krijgt de bredere [afschrikrand](#def-b2-magma-emplacement-aureole).

**Oefening 5.4 ★.**

Benoem elk lichaam. (a) Een plaat doleriet van $30\,\mathrm{m}$ dik die tussen twee lagen zandsteen ligt over $20\,\mathrm{km}$. (b) Een verticale plaat basalt van $2\,\mathrm{m}$ breed die horizontale kalkstenen doorsnijdt. (c) Een graniet die over $2000\,\mathrm{km}^{2}$ dagzoomt, opgebouwd uit een twaalftal eenheden van verschillende ouderdom. (d) Een lens porfier van $1\,\mathrm{km}$ doorsnede, vlak aan de basis, waarboven de lagen opgebold zijn. (e) Een horizontale plaat basalt in een graniet.

**Oplossing van Oefening 5.4.**

(a) Een [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies), evenwijdig aan de gelaagdheid. (b) Een [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies), die de gelaagdheid doorsnijdt. (c) Een [batholiet](#def-b2-magma-emplacement-bodies), meer dan $100\,\mathrm{km}^{2}$ en opgebouwd uit veel intrusies. (d) Een [laccoliet](#def-b2-magma-emplacement-bodies), die zijn dak heeft opgebold. (e) Een [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies): graniet heeft geen gelaagdheid, dus elke plaat erin is een [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies), wat haar oriëntatie ook is.

**Oefening 5.5 ★★.**

Een basaltsmelt heeft $\eta_{\ell} = 100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Bereken met de relatie van Einstein–Roscoe ($R = 1.35$) de viscositeit van het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) met $5\,\%$, $20\,\%$, $40\,\%$ en $60\,\%$ kristallen, en vergelijk de eerste met de verdunde formule van Einstein. Bij welke kristalfractie voorspelt de relatie vastlopen?

**Oplossing van Oefening 5.5.**

$(1 - 1.35\phi)^{-2.5}$: voor $\phi = 0.05$ is $0.9325^{-2.5} = 1.19$, dus $119\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, tegen $1 + 2.5\times0.05 = 1.125$, $113\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, met de formule van Einstein (dichtbij, zoals het hoort in de verdunde limiet). Voor $0.20$: $0.73^{-2.5} =
2.20$, $220\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; voor $0.40$: $0.46^{-2.5} = 6.97$, $697\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; voor $0.60$: $0.19^{-2.5} = 63.6$, ongeveer $6360\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Vastlopen bij $\phi = 1/1.35 = 0.74$.

**Oefening 5.6 ★★.**

[Magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) met een dichtheid die $300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ lager is dan die van zijn wanden, stijgt door een [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) op. (a) Bereken voor een basalt ($\eta = 100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\rho = 2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) in een [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) van $1\,\mathrm{m}$ breed de gemiddelde snelheid, het debiet per meter [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies), het reynoldsgetal en de tijd om $10\,\mathrm{km}$ te stijgen. (b) Dezelfde tijd voor een rhyoliet van $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ in een [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) van $1\,\mathrm{m}$ breed, daarna van $10\,\mathrm{m}$ breed. (c) Een [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) van $1\,\mathrm{m}$ breed verliest zijn warmte in een tijd van de orde $(w/2)^2/\kappa$, met $\kappa =
1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: welke van de drie opstijgingen kan slagen?

**Oplossing van Oefening 5.6.**

$G = 300\times9.81 = 2943\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$. (a) $\bar u = 2943\times1^2/(12\times100) =
2.45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $q = 2.45\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; $Re = 2700\times2.45\times1/100 = 66$, laminair; $t = 10000/2.45 = 4080\,\mathrm{s}$, ongeveer $1.1\,\mathrm{h}$. (b) $\bar u =
2943/(12\times10^{6}) = 2.45 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $t = 4.08 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 472$ dagen; met $w = 10\,\mathrm{m}$ is $\bar u$ honderd keer groter, $0.0245\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, en $t =
4.08 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 4.7$ dagen. (c) De [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) van $1\,\mathrm{m}$ koelt af in ongeveer $0.5^2/10^{-6} = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$, 2.9 dagen; de [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) van $10\,\mathrm{m}$ in $5^2/10^{-6} =
2.5 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, 289 dagen. Het basalt ($1.1\,\mathrm{h}$) en het rhyoliet in de brede [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) (4.7 dagen) komen aan voordat hun [gangen](#def-b2-magma-emplacement-bodies) stollen; het rhyoliet in de [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) van $1\,\mathrm{m}$ (472 dagen) niet.

**Oefening 5.7 ★★.**

Een [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) met dichtheid $2400\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ bij $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ geeft $1\,\%$ van zijn massa af als waterdamp. Bereken, met de damp als ideaal gas ($R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$, $18.015\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$), de volumefractie gas in het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) bij $100\,\mathrm{MPa}$, $10\,\mathrm{MPa}$ en $0.1\,\mathrm{MPa}$. Welke van de drie waarden is het minst betrouwbaar, en waarom?

**Oplossing van Oefening 5.7.**

Per kilogram [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) is $n = 10/18.015 = 0.555\,\mathrm{mol}$ water en $nRT =
0.555\times8.314\times1173 = 5414\,\mathrm{J}$; de resterende smelt neemt $0.99/2400 =
4.13 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$ in. Bij $100\,\mathrm{MPa}$: $V = 5.41 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$, fractie $5.41/(5.41 + 41.3) = 0.12$. Bij $10\,\mathrm{MPa}$: $V = 5.41 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$, fractie $0.57$. Bij $0.1\,\mathrm{MPa}$: $V = 0.0541\,\mathrm{m}^{3}$, fractie $0.992$. De waarde bij $100\,\mathrm{MPa}$ is het minst betrouwbaar: waterdamp bij zo’n druk is dicht en verre van ideaal (en veel van het water zou in feite nog opgelost zijn).

**Oefening 5.8 ★★.**

In een bekken neemt de dichtheid van de gesteenten toe met de diepte $z$ als $\rho(z) =
2300 + 60\,z$ ($\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $z$ in $\mathrm{km}$) tot $10\,\mathrm{km}$. (a) Waar ligt het [niveau van neutraal drijfvermogen](#def-b2-magma-emplacement-ascent) van een basaltsmelt van $2650\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$? (b) Het dichtheidsmodel van dit hoofdstuk toont dat één procent opgelost water de dichtheid van een basaltsmelt met ongeveer $70\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ verlaagt. Waar stopt een smelt met één procent water meer? (c) Wat is de opwaartse kracht per kubieke meter van de droge smelt $2\,\mathrm{km}$ onder zijn [niveau van neutraal drijfvermogen](#def-b2-magma-emplacement-ascent)?

**Oplossing van Oefening 5.8.**

(a) $2300 + 60z = 2650$ geeft $z = 5.8\,\mathrm{km}$. (b) De smelt heeft $2580\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$: $z = 280/60 = 4.7\,\mathrm{km}$, ongeveer $1.2\,\mathrm{km}$ hoger. (c) Bij $z = 7.8\,\mathrm{km}$ heeft het gesteente $2300 + 60\times7.8 = 2770\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; de kracht is $(2770 - 2650)\times9.81 = 1.2\,\mathrm{kN}$ per kubieke meter, omhoog.

**Oefening 5.9 ★★.**

Veronderstel dat een granietdiapier met straal $1\,\mathrm{km}$ en dichtheidstekort $300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ opstijgt door onderkorst met viscositeit $10^{19}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Bereken zijn stokessnelheid (starre bol) in millimeter per jaar en de tijd om $10\,\mathrm{km}$ te stijgen. Vergelijk met de tijdschaal $a^2/\kappa$ van zijn afkoeling, met $\kappa
= 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. Wat volgt daaruit?

**Oplossing van Oefening 5.9.**

$v = 2\times300\times9.81\times(1000)^2/(9\times10^{19}) = 6.5 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, of $6.5 \times 10^{-11}\times3.156 \times 10^{7} = 2.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ per jaar, $2.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. Een stijging van $10\,\mathrm{km}$ duurt $10^{4}/2.1 \times 10^{-3} = 4.8\,\mathrm{Myr}$. De tijdschaal van de afkoeling is $(1000)^2/10^{-6} = 10^{12}\,\mathrm{s} = 32\,\mathrm{kyr}$: het lichaam stolt na een stijging van ongeveer $32000\times0.0021 \approx 70\,\mathrm{m}$. Een magmatische [diapier](#def-b2-magma-emplacement-ascent) kan zo’n korst niet doorkruisen; hij heeft een hetere, zachtere omgeving nodig.

**Oefening 5.10 ★★★.**

Water lost in een smelt op als moleculen, $x_m = K_1 f$, en als hydroxylgroepen, $x_{\mathrm{OH}}^2 = K_2 x_m$ (de zuurstof van de smelt in grote overmaat), zodat het totale opgeloste water $x = x_m + x_{\mathrm{OH}}/2$ is. (a) Druk $x$ uit als functie van $f$ en toon aan dat het zich gedraagt als $\sqrt f$ bij lage $f$ en als $f$ bij hoge $f$. (b) Bij welke fugaciteit zijn de twee vormen van water even overvloedig? (c) Bereken met $K_1 = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{MPa}^{-1}$ en $K_2 = 0.2$ die fugaciteit, en het aandeel water dat als hydroxyl is opgelost bij $100\,\mathrm{MPa}$.

**Oplossing van Oefening 5.10.**

(a) $x_{\mathrm{OH}} = \sqrt{K_2x_m} = \sqrt{K_1K_2f}$, dus $x = K_1f + \frac12\sqrt{K_1K_2f}$. De verhouding van de eerste term tot de tweede is $2\sqrt{K_1f/K_2}$: ze gaat naar nul als $f \to 0$ (de vierkantswortel overheerst) en groeit onbegrensd met $f$ (de lineaire term overheerst). (b) $K_1 f = \frac12\sqrt{K_1K_2 f}$ geeft $K_1^2f^2 =
K_1K_2f/4$, dus $f = K_2/(4K_1)$. (c) $f = 0.2/(4 \times 10^{-4}) = 500\,\mathrm{MPa}$. Bij $100\,\mathrm{MPa}$: $x_m = 0.0100$, $\frac12\sqrt{10^{-4}\times0.2\times100} =
\frac12\times0.0447 = 0.0224$, dus $x = 0.0324$ en het aandeel hydroxyl is $0.0224/0.0324 = 69\,\%$.

**Oefening 5.11 ★★★.**

Een granietpluton van $1000\,\mathrm{km}^{3}$ wordt opgebouwd over $4\,\mathrm{Myr}$. (a) Bereken zijn gemiddelde magma-aanvoer in $\mathrm{km}^{3}$ per jaar en in $\mathrm{m}^{3}$ per seconde. (b) Eén enkele [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) van $1\,\mathrm{km}$ lang en $2\,\mathrm{m}$ breed, met een gemiddelde snelheid van $0.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, voedt hem: hoe lang zou de [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) erover doen om het hele [pluton](#def-b2-magma-emplacement-bodies) aan te voeren? Welke fractie van de $4\,\mathrm{Myr}$ is dat? (c) Als het [pluton](#def-b2-magma-emplacement-bodies) is opgebouwd uit platen van $20\,\mathrm{m}$ dik en $10\,\mathrm{km}$ bij $10\,\mathrm{km}$ breed, hoeveel platen zijn er nodig, en hoeveel tijd ligt er gemiddeld tussen twee ervan? (d) Hoe lang doet een plaat er, met $\lambda = 0.65$ en $\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, over om te stollen? Is het [pluton](#def-b2-magma-emplacement-bodies) ooit één groot magmalichaam?

**Oplossing van Oefening 5.11.**

(a) $1000/4 \times 10^{6} = 2.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{3}$ per jaar, dat is $2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{3}$ per jaar, of $2.5 \times 10^{5}/3.156 \times 10^{7} = 0.0079\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, ongeveer acht liter per seconde. (b) De [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) voert $1000\times2\times0.8 = 1600\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ aan, en levert $10^{12}\,\mathrm{m}^{3}$ in $6.25 \times 10^{8}\,\mathrm{s}$, ongeveer 20 jaar: $5 \times 10^{-6}$ van de $4\,\mathrm{Myr}$. (c) Elke plaat bevat $20\times10^{4}\times10^{4} = 2 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{3} =
2\,\mathrm{km}^{3}$, dus 500 platen, gemiddeld één om de $4 \times 10^{6}/500 = 8000$ jaar. (d) $t = (10)^2/(4\times0.65^2\times0.7 \times 10^{-6}) = 8.5 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, 2.7 jaar. Elke plaat stolt duizenden jaren voordat de volgende aankomt: tenzij de aanvoer in snelle stoten komt, is het [pluton](#def-b2-magma-emplacement-bodies) nooit één groot magmalichaam, zoals de datering van grote [plutonen](#def-b2-magma-emplacement-bodies) doet vermoeden.

**Oefening 5.12 ★★★.**

Ver van een dunne [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) met breedte $b$ (op afstanden $x \gg b$) werkt zijn warmte als een ogenblikkelijke vlakke bron: $T - T_0 = (T_m - T_0)\,b\,e^{-x^2/(4\kappa
t)}/\sqrt{4\pi\kappa t}$. (a) Toon aan dat de temperatuur op afstand $x$ het hoogst is op $t^* = x^2/(2\kappa)$, en dat deze hoogste stijging $\Delta T_{\max} = (T_m -
T_0)\,b/(x\sqrt{2\pi e})$ is. (b) Op welke afstand warmt het gesteente voor een [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) van $2\,\mathrm{m}$ breed met $T_m - T_0 =
1100\,\mathrm{K}$ hoogstens $100\,\mathrm{K}$ op, en wanneer ($\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$)? (c) Waarom zijn de contacthoven van dunne [gangen](#def-b2-magma-emplacement-bodies) zo smal?

**Oplossing van Oefening 5.12.**

(a) Bij vaste $x$ is $\ln(T - T_0) = \text{const} - \frac12\ln t - x^2/(4\kappa t)$, waarvan de afgeleide $-1/(2t) + x^2/(4\kappa t^2)$ nul wordt bij $t^* = x^2/(2\kappa)$. Dan is $e^{-x^2/(4\kappa t^*)} = e^{-1/2}$ en $\sqrt{4\pi\kappa t^*} = x\sqrt{2\pi}$, dus $\Delta
T_{\max} = (T_m - T_0)\,b\,e^{-1/2}/(x\sqrt{2\pi}) = (T_m - T_0)\,b/(x\sqrt{2\pi e})$. (b) $\sqrt{2\pi e} = 4.13$: $x = 1100\times2/(100\times4.13) = 5.3\,\mathrm{m}$, bereikt na $t^* = 5.3^2/(2\times0.7 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, ongeveer 230 dagen (op slechts 2.7 gangbreedten is de benadering met een vlakke bron grof). (c) De verwarming neemt af als $b/x$: een dunne [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) draagt weinig warmte, en het gesteente wordt alleen binnen enkele gangbreedten merkbaar opgewarmd.

## 5.8 Probleem: De sill onder het plateau

**Probleem 5.1.**

Weekendprobleem — een basaltmagma volgen van zijn toevoergang tot een sill, zijn water, en de tijd die de sill nodig heeft om te stollen

Onder een denkbeeldig plateau rusten sedimenten (schalie en zandsteen) met een gemiddelde dichtheid van $2450\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ op $3.0\,\mathrm{km}$ diepte op een kristallijn basement met een dichtheid van $2800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. Een basaltmagma steeg op van $15\,\mathrm{km}$ door een [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) van $2.0\,\mathrm{m}$ breed en spreidde zich langs de basis van de sedimenten uit als een [doleriet-sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) van $100\,\mathrm{m}$ dik. Gegevens: intrusietemperatuur $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; viscositeitswet van de smelt $\log_{10}\eta = -4.55 + 5510/(T - 611)$ ($T$ in kelvin); dichtheid van de smelt met zijn water $2710\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; $20\,\%$ kristallen in volume (Einstein–Roscoe, $R = 1.35$); opgelost water $0.40\,\%$, oplosbaarheid $s = 0.34$ procent per $\sqrt{\mathrm{MPa}}$; temperatuur van het gastgesteente bij de [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $\rho c = 2.5\,\mathrm{MJ}/(\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{K})$, latente warmte $900\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$, waarbij het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) wordt behandeld alsof het stolt op zijn intrusietemperatuur; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; één jaar is $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$.

**Deel I — Het magma.**

1. Bereken $\log_{10}\eta$ en $\eta$ van de smelt bij $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $1423\,\mathrm{K}$ ).
2. Hetzelfde bij $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Met welke factor verandert de viscositeit over deze $50\,\mathrm{K}$ ?
3. Bereken de viscositeit van het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) met zijn kristallen bij $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
4. Bij welke kristalfractie zou de relatie van Einstein–Roscoe het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) doen vastlopen? Vergelijk met de veldschatting van het einde van de stroming in bulk.
5. Bereken het dichtheidsverschil tussen het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) en het basement, en tussen het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) en de sedimenten.
6. Bereken de lithostatische druk op het niveau van de [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) .

**Deel II — Omhoog door de gang.**

7. Bereken de drukgradiënt van de opwaartse kracht, $\Delta\rho\,g$ , die het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) door het basement drijft.
8. Bereken de gemiddelde snelheid van het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) in de [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) .
9. Bereken het debiet per meter [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) , en het totale debiet als de [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) $1.0\,\mathrm{km}$ lang is.
10. Bereken het reynoldsgetal van de stroming. Is ze laminair?
11. Hoe lang doet het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) erover om van $15\,\mathrm{km}$ tot $3.0\,\mathrm{km}$ te stijgen?
12. Vergelijk met de tijdschaal $(w/2)^2/\kappa$ waarover de [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) zijn warmte verliest. Kan hij open blijven?
13. Leg uit waarom het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) op $3.0\,\mathrm{km}$ stopte en zich zijwaarts uitspreidde, met de woordenschat van het hoofdstuk.

**Deel III — Het water.**

14. Bereken de verzadigingsdruk van het water van de smelt, en de diepte in de sedimenten waar ze wordt bereikt.
15. Hoeveel water zou de smelt op het niveau van de [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) kunnen bevatten? Ontmengt het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) van de [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) water?
16. Blaasjes in de [afschrikrand](#def-b2-magma-emplacement-aureole) van de [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) bevatten vooral CO $_2$ . Verklaar.
17. Als alle $0.40\,\%$ water aan het oppervlak vrijkwam, bij $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $0.1\,\mathrm{MPa}$ , welke volumefractie van het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) zou de damp dan innemen (ideaal gas)?

**Deel IV — Afkoeling en stolling.**

18. Bereken, zonder latente warmte, de contacttemperatuur van de [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) .
19. Bereken, zonder latente warmte, de temperatuur $10\,\mathrm{m}$ boven het bovenste contact $10$ jaar na de intrusie.
20. Hetzelfde model: bereken de temperatuur in het midden van de [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) na $10$ jaar en $50$ jaar.
21. Hetzelfde model: bereken $80\,\mathrm{m}$ boven het bovenste contact de temperatuur na $300$ , $363$ en $420$ jaar. Bereikt het gesteente daar ooit $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?
22. Bereken $L\sqrt\pi/(\rho c\,(T_m - T_0))$ voor de [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) .
23. Bereken $e^{-\lambda^2}/(\lambda(1 + \operatorname{erf}\lambda))$ voor $\lambda = 0.64$ , $0.65$ en $0.66$ ( $\operatorname{erf}0.64 = 0.6346$ , $\operatorname{erf}0.65 = 0.6420$ , $\operatorname{erf}0.66 = 0.6494$ ), en geef $\lambda$ tot op twee decimalen.
24. Bereken, met latente warmte, de contacttemperatuur terwijl de [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) stolt. Waarom is ze hoger dan in vraag 18?
25. Bereken de tijdschaal $(b/2)^2/\kappa$ in jaren.
26. Bereken de tijd die de [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) nodig heeft om te stollen, in jaren, het kerngetal van dit probleem, en leg uit waarom die korter is dan de tijdschaal van de vorige vraag, hoewel er latente warmte moet worden afgevoerd.

**Oplossing van Probleem 5.1.**

**1.** $\log_{10}\eta = -4.55 + 5510/(1423 - 611) = -4.55 + 6.786 = 2.24$; $\eta = 172\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

**2.** $-4.55 + 5510/762 = -4.55 + 7.231 = 2.68$, $\eta = 480\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$: een factor $480/172 = 2.8$ voor $50\,\mathrm{K}$.

**3.** $172\times(1 - 1.35\times0.20)^{-2.5} = 172\times0.73^{-2.5} = 172\times2.20 =
378\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

**4.** $\phi = 1/1.35 = 0.74$. De veldgegevens plaatsen het einde van de stroming in bulk bij een smeltfractie van $30\text{ tot }50\,\%$, dat is $50\text{ tot }70\,\%$ kristallen: eerder, omdat echte kristallen geen bollen van één grootte zijn.

**5.** Basement: $2800 - 2710 = 90\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) is lichter. Sedimenten: $2450 - 2710 = -260\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) is dichter.

**6.** $p = 2450\times9.81\times3000 = 72.1\,\mathrm{MPa}$.

**7.** $90\times9.81 = 883\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$.

**8.** $\bar u = 883\times2.0^2/(12\times378) = 3532/4536 = 0.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**9.** $q = 0.78\times2.0 = 1.56\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; over $1.0\,\mathrm{km}$ ongeveer $1560\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

**10.** $Re = 2710\times0.78\times2.0/378 = 11$: laminair.

**11.** $12000/0.78 = 15\,400\,\mathrm{s}$, ongeveer $4.3\,\mathrm{h}$.

**12.** $(1.0)^2/0.7 \times 10^{-6} = 1.43 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, 16.5 dagen, veel langer dan $4.3\,\mathrm{h}$: de [gang](#def-b2-magma-emplacement-bodies) blijft open zolang het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) stroomt.

**13.** Op $3.0\,\mathrm{km}$ ontmoet het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) sedimenten die lichter zijn dan het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) zelf: de basis van de sedimenten is zijn [niveau van neutraal drijfvermogen](#def-b2-magma-emplacement-ascent). Daarboven zou het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) dichter zijn dan zijn omgeving, dus spreidt het zich zijwaarts langs het contact uit als een [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies).

**14.** $p_s = (0.40/0.34)^2 = 1.38\,\mathrm{MPa}$, bereikt op $1.38 \times 10^{6}/(2450\times9.81) = 58\,\mathrm{m}$ onder het oppervlak.

**15.** $0.34\times\sqrt{72.1} = 0.34\times8.49 = 2.9\,\%$, veel meer dan de aanwezige $0.40\,\%$: het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) van de [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) ontmengt geen water.

**16.** CO$_2$ is veel minder oplosbaar dan water: het raakt verzadigd en vormt al diep tijdens de opstijging bellen, dus het eerste gas van een basalt is vooral CO$_2$.

**17.** Per kilogram is $n = 4.0/18.015 = 0.222\,\mathrm{mol}$, $V = 0.222\times8.314\times1423/
10^{5} = 0.0263\,\mathrm{m}^{3}$; de smelt neemt $0.996/2710 = 3.68 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$ in; de fractie is $0.0263/(0.0263 + 0.000368) = 0.986$, $98.6\,\%$.

**18.** $(1150 + 100)/2 = 625\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**19.** Na 10 jaar is $2\sqrt{\kappa t} = 2\sqrt{0.7 \times 10^{-6}\times3.156 \times 10^{8}} =
29.7\,\mathrm{m}$. Het punt ligt op $x = 60\,\mathrm{m}$ van het midden: $T = 100 +
525\,[\operatorname{erf}(-10/29.7) + \operatorname{erf}(110/29.7)] = 100 + 525\,(-0.365 +
1.000) = 433\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**20.** In het midden is $T = 100 + 1050\operatorname{erf}(50/2\sqrt{\kappa t})$: na 10 jaar $1050\operatorname{erf}(1.68) = 1050\times0.983$, $T = 1132\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; na 50 jaar is $2\sqrt{\kappa t} = 66.5\,\mathrm{m}$, $1050\operatorname{erf}(0.752) = 1050\times0.713$, $T = 848\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**21.** Bij $x = 130\,\mathrm{m}$: $294\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ na 300 jaar, $295\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ na 363 jaar (het maximum), $295\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ na 420 jaar. Zonder latente warmte bereikt het gesteente $80\,\mathrm{m}$ boven de [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) nooit helemaal $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**22.** $9 \times 10^{8}\times1.772/(2.5 \times 10^{6}\times1050) = 0.608$.

**23.** $\lambda = 0.64$: $e^{-0.4096}/(0.64\times1.6346) = 0.6639/1.0461 = 0.635$; $0.65$: $0.6554/1.0673 = 0.614$; $0.66$: $0.6469/1.0886 = 0.594$. De waarde $0.608$ ligt tussen $0.65$ en $0.66$, dicht bij $0.65$: $\lambda = 0.65$.

**24.** $100 + 1050/(1 + 0.642) = 100 + 640 = 740\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. De latente warmte die aan het stollingsfront vrijkomt, houdt de kant van het [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) langer op $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, dus het contact ontvangt meer warmte.

**25.** $(50)^2/0.7 \times 10^{-6} = 3.57 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$, 113 jaar.

**26.** $t = (100)^2/(16\times0.65^2\times0.7 \times 10^{-6}) = 10^{4}/4.73 \times 10^{-6} =
2.11 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$, dus $2.11 \times 10^{9}/3.156 \times 10^{7}$: de [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) is vast na **$67\,$ jaar**. Dat is korter dan $(b/2)^2/\kappa$ met de factor $1/(4\lambda^2) = 0.59$: die tijdschaal geeft alleen de grootteorde, en beide wanden van de [sill](#def-b2-magma-emplacement-bodies) voeren tegelijk warmte af naar een koud gastgesteente, snel genoeg om ook de latente warmte af te voeren.